aa r X i v : . [ m a t h . DG ] M a y La formule de la trace pour les tissusplanaires
Jean-Paul Dufour
Abstract
We give a complete proof of the fact that the trace of the curvatureof the connection associated to a planar d-web ( d >
3) is the sum ofthe Blaschke curvature of its sub 3-webs.
Keywords: planar webs Un d -tissu du plan est une famille de d feuilletages d’un ouvert du plan quisont deux `a deux transverses. Il y a plusieurs m´ethodes ´equivalentes pourdonner ces feuilletages. Il y a des m´ethodes ”explicites” o`u chaque feuilletageest donn´e soit par les trajectoires d’un champ ou, ce qui revient au mˆeme,en se donnant les pentes m i ( x, y ) de chaque feuilletage dans un syst`eme decoordonn´ees ( x, y ) ou bien encore en se donnant ses int´egrales premi`eres f i (les feuilletages sont donn´es par les courbes de niveau des f i ). AlainH´enaut a d´evelopp´e la m´ethode ”implicite” qui pr´esente les feuilles commeles trajectoires d’une ´equation diff´erentielle implicite du type F ( x, y, y ′ ) = 0o`u F est un polynˆome de degr´e d en y ′ `a coefficients d´ependant de x et y. Pour une bibliographie relativement compl`ete sur ce domaine nous renvoyonsau livre de J.V. Pereira et L. Pirio de 2015 [PP] ou au texte de J. V. Perieraau S´eminaire Bourbaki de 2007 [JP].Dans ce travail, on consid`ere un d -tissu W ( f , . . . , f d ) sur un ouvert U du plan donn´e (explicitement) par ses d int´egrales premi`eres f , . . . , f d . Un invariant important d’un tel tissu est son ”rang”, c’est la dimensionde l’espace vectoriel de ses ”relations ab´eliennes” P di =1 h i ( f i ) = 0 o`u les h i sont des fonctions d’une variable, nulles en un point fix´e. En 2004 etdans le contexte ”implicite” Alain H´enaut [AH] a montr´e que l’on pouvait1ssocier au tissu un fibr´e vectoriel sur U muni d’une connexion ∇ dont l’unedes propri´et´es est que sa courbure est nulle si et seulement si le rang dutissu a la valeur maximale possible ( d − d − / . A la mˆeme ´epoque L.Pirio a soutenu sa th`ese [P] dans laquelle, entre autre, il revisite des travauxanciens de A. Pantazi [AP], pour construire une connexion analogue dans lecas ”explicite”. En 2005 Olivier Ripoll [OR], sous la direction d’A.H´enaut,a soutenu une th`ese sur ces sujets. Ces deux auteurs ont construit desprogrammes Maple qui calculent la connexion et sa courbure pour d = 3 , d =4 et d = 5 , dans le cas ”explicite” pour L. Pirio et dans le cas ”implicite” pourO. Ripoll. En 2007 Vincent Cavalier et Daniel Lehmann [CL] ont g´en´eralis´eles constructions pr´ec´edentes aux tissus de codimension 1 en dimension n arbitraire, pourvu que ceux-ci soient ”ordinaires” (ce qui est toujours lecas pour n = 2) et tels qu’il existe un entier k tel que d = ( n − k )! / (( n − k !) (ce qui est toujours le cas pour n = 2 avec k = d − d -tissus plans pour tout d, mais aussi qui peut fonctionner entoute dimension. Dans la suite on note ∇ cette connexion.En 1933 W. Blaschke [WB] avait attach´e une ”courbure” aux 3-tissus duplan. La courbure de Blaschke est celle de ∇ dans le cas particulier d = 3 . Dans leurs th`eses et travaux suivants L. Pirio et O. Ripoll ont conjectur´ele r´esultat suivant.
FORMULE DE LA TRACE. La trace de la courbure de ∇ est lasomme des courbures de Blaschke des sous-3-tissus W ( f i , f j , f k ) de W ( f , . . . , f d ) . Nous voyons la courbure de Blaschke, et la trace de la courbure de ∇ , comme des 2-formes `a valeurs scalaires sur le plan ; cela donne sens `a laformule pr´ec´edente.On peut voir les pr´emisses de cette formule dans les travaux de N. Mi-haileanu [NM] et A. Pantazi [AP]. L. Pirio et O. Ripoll ind´ependamment enont donn´e des preuves pour d = 4 , d quelconque. L. Pirio a donn´e `a cette formulele nom de ”formule de Mihaleanu.”Dans ce travail nous proposons une d´emonstration compl`ete de ce r´esultatbas´ee sur la m´ethode utilis´ee pour construire le programme de D. Lehmann2t de l’auteur [DL]. Elle est un peu longue mais tous les calculs sont ex-plicit´es et ´el´ementaires. La m´ethode ”explicite” a l’avantage de permettredes raisonnements par r´ecurrence sur le nombre d car on peut comprendreplus facilement ce qui advient de la connexion quand on rajoute une ( d + 1)-`eme fonction. Dans le cadre ”implicite” on ne travaille qu’avec les polynˆomessym´etriques de ces fonctions et l’effet de l’ajout d’une nouvelle fonction estun peu plus cach´e. Ceci dit, le d´etail des calculs que l’on trouvera danscertaines parties de la d´emonstration laisse penser que l’on pourrait avoirune d´emonstration plus simple dans le contexte ”implicite”. d -tissu. Nous rappelons, sans ´ecrire tous les d´etails, comment nous construisons lefibr´e vectoriel et la connexion dans le texte de D. Lehmann et l’auteur[DL].On travaille au voisinage d’un point P du plan et on impose que lesfonctions f ,..., f d soient nulles en P . On choisit des coordonn´ees locales x et y qui s’annulent elles aussi en P. Si f est une fonction d´efinie sur unvoisinage de P, f x (resp. f y ) d´esigne la d´eriv´ee de f par rapport `a x (resp. y ). Ainsi f xx d´esigne la d´eriv´ee seconde de f par rapport `a x ....Les relations ab´eliennes de notre tissu sont les relations d X i =1 h i ( f i ) = 0o`u les h i sont des fonctions d’une variable qui s’annulent `a l’origine.Pour ´etudier cette relation on d´erive successivement ses deux membrespar rapport aux deux variables.On note ω ri = h ( r ) i ( f i ) , o`u h ( r ) i d´esigne la d´eriv´ee r -i`eme de h i . A l’ordre 1 on a les deux ´equations d X i =1 ω i f x = 0 d X i =1 ω i f y = 0que l’on r´ecrit sous forme matricielle P ( ω , . . . , ω d ) = 03`u P est la matrice jacobienne de ( x, y ) ( f ( x, y ) , . . . , f d ( x, y )) . A l’ordre 2 on a 3 ´equations que l’on range en prenant pour premi`erecelle qui correspond `a la d´eriv´ee ∂∂x , la deuxi`eme `a ∂∂x∂y , la troisi`eme `a ∂∂y .On les ´ecrit matriciellement sous la forme G ( ω , . . . , ω d ) + P ( ω , . . . , ω d ) = 0. Plus g´en´eralement, on range les ´equations d’ordre r − ∂∂x r − , ∂∂x r − ∂y , . . . , ∂∂y r − pour les d´erivations et on les r´ecrit sous la forme matricielle G r − r ( ω , . . . , ω d ) + · · · + G r ( ω r − , . . . , ω r − d ) + P r ( ω r − , . . . , ω r − d ) = 0 . Les matrices G jr ont des coefficients qui sont des expressions polynomialesdes d´eriv´ees partielles des f i d’ordre 1 `a j. Lorsque cela nous paraˆıtra utile pour rendre notre texte plus clair, nousrajouterons l’indice ( f , . . . , f d ) `a nos matrices. Ainsi on ´ecrira G ij ; f ,...,f d `ala place de G ij pour pr´eciser quelles sont les fonctions en jeu.La premi`ere ´etape du programme donn´e dans [DL] calcule les coefficientsdes matrices G sr et P r par r´ecurrence. Nous retiendrons simplement que lesmatrices P r ont des colonnes de la forme f r − i = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ( f ix ) r − ( f ix ) r − ( f iy ) .. ( f ix ) r − j ( f iy ) j − .. ( f iy ) r − (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) et que, si l’on note G r ( f i ) les colonnes de G r et G r + ( f i ) la ( r − G r ( f i ), on a les relationsde r´ecurrence G r + ( f i ) = f ix .G r − ( f i ) + ∂f r − i ∂x .
4n construit par blocs la matrice `a ( d + 1)( d − / d − d colonnes M M = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) P . . . G P . . G G P . . . . . . .. . . . . .. . . . . .G d − d − G d − d − . . G d − P d − (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) Le noyau de cette matrice donne le fibr´e de rang ( d − d − / , et de basele plan des ( x, y ) , sur lequel la connexion ∇ sera d´efinie.On construit ∇ comme suit.On consid`ere d’abord la matrice par blocs `a ( d − d lignes et ( d − d colonnes ∆ = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) Id d . .
00 0 Id d . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . Id d A d − A d − . . A A (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) o`u Id d d´esigne la matrice identit´e `a d lignes et A j = − P − d .G jd . On note D x (resp. D y ) la matrice diagonale dont les ´el´ements diagonauxsont ( f x , . . . , f dx ) (resp. ( f y , . . . , f dy )) . On consid`ere maintenant la matrice DD x (resp. DD y ) diagonale par blocs, `a ( d − d lignes, dont les blocsdiagonaux sont tous ´egaux `a D x (resp. D y ).On consid`ere la matrice carr´ee `a ( d − d colonnes ∆ x = DD x . ∆ (resp.∆ y = DD y . ∆).Les coefficients des deux matrices ∆ x et ∆ y d´ependent de ( x, y ) ; ellesdonnent donc des morphismes du fibr´e trivial de rang ( d − d sur le plan.On a une connexion ∇ sur ce fibr´e en prenant ∇ ∂∂x = ∂∂x − ∆ x et la mˆemechose en rempla¸cant x par y. On peut voir que cette connexion pr´eserve lesous-fibr´e donn´e par le noyau de
M M .La connexion ∇ est alors la restriction de ∇ au noyau de M M .Pour construire une base du noyau de
M M nous proc´edons comme suit.5n remarque que chacun des blocs ”diagonaux” P r de M M est tel queses r premi`eres colonnes forment une sous-matrice inversible. Cela nousm`ene `a changer un peu l’´ecriture de nos variables : on r´ecrit( ω , ..., ω d ; ω , ..., ω d ; ... ; ω d − , ..., ω d − d ) , plutˆot sous la forme( ω , ω , β , ..., β d ; ω , ω , ω , β , ..., β d ; ... ; ω d − , ..., ω d − d − , β d − d ) . C’est `a dire que l’on remplace ω ri par β ri pour i > r + 1.On obtient une base B = { e , . . . , e d ; e , . . . , e d ; . . . ; e d − d − , e d − d ; e d − d } du noyau de M M en prenant pour e ri le vecteur du noyau de M M dont lescoordonn´ees β sj sont toutes nulles sauf β ri qui est 1.Notons Ω x (resp. Ω y ) les matrices de ∇ ∂∂x (resp. ∇ ∂∂y ) par rapport `ala base B . Ses coefficients sont obtenus comme suit. On remarque d’abordque si l’on d´erive n’importe quel vecteur e ri de la base B par rapport `a x ou y on obtient un vecteur dont toutes les composantes β sj sont nulles. Ainsi ∇ ∂∂x ( e ri ) a des composantes β sj qui sont celles de − ∆ x ( e ri ) . On note Ω r,ix,s,j sacomposante β sj ; c’est sa composante sur le vecteur de base e sj . Alors Ω x estla matrice qui a les coefficients Ω r,ix,s,j ; autrement dit, on a − ∆ x ( e ri ) = d − X s =1 d X j = s +2 Ω r,ix,s,j e sj . On agit de mˆeme en permutant x et y pour calculer Ω y . D´efinition.
On consid`ere le tissu W ( f , . . . , f s ) donn´e par ses s int´egralespremi`eres locales f , . . . , f s ( s > P s − = P s − f ,...,f s , P s = P s ; f ,...,f s et G s = G s ; f ,...,f s d´efinies comme dans le para-graphe pr´ec´edent. La matrice P s − est de rang s − X , X , . . . , X s − , ´el´ement de trace de f , . . . , f s et on note γ ( f , . . . , f s ) la derni`erecomposante du vecteur − P − s G s ( X , X , . . . , X s − , . M f ,...,f s = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) P s − f ,...,f s G s ; f ,...,f s P s ; f ,...,f s (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) a un noyau engendr´e par un vecteur de la forme( X , X , . . . , X s − , Y , Y , . . . , Y s − , γ ( f , . . . , f s )) . Etudions maintenant l’expression de la courbure de ∇ dans la basedonn´ee dans la section pr´ec´edente. Elle a la matrice K = ∂∂y (Ω x ) − ∂∂x (Ω y ) + Ω x . Ω y − Ω y . Ω x . Le commutateur Ω x . Ω y − Ω y . Ω x a une trace nulle, donc la trace de la courbureest la trace de la matrice KK = ∂∂y (Ω x ) − ∂∂x (Ω y ) . Remarque.
Dans un prochain travail avec D. Lehmann nous prouveronsque la matrice K a toutes ses lignes nulles sauf la derni`ere. Donc sa trace ser´eduit au seul terme diagonal sur la cette derni`ere ligne. On aurait pu penserque ce r´esultat serait un ingr´edient essentiel de toute preuve de la formulede la trace. Dans la d´emonstration suivante nous proc´edons autrement, enn’utilisant que KK.
Pour calculer la trace de K , il suffit donc de calculer la trace de Ω x , de lad´eriver par rapport `a y , puis de retrancher ce que l’on obtient en ´echangeantles rˆoles de x et y .La trace de Ω x est la somme des Ω r,ix,r,i . Dans la suite de cette section on calcule Ω r,ix,r,i pour r et i fix´es. Pourcela on rappelle que e ri est le ( d − d -vecteur( ω , ω , β , ..., β d ; ω , ω , ω , β , ..., β d ; ... ; ω d − , ..., ω d − d − , β d − d )du noyau de M M dont les coordonn´ees β sj sont toutes nulles sauf β ri qui est1. La forme ”triangulaire inf´erieure par blocs” de M M implique que les ω si sont tous nuls pour s < r. C’est dire que e ri a la forme(0 , ..., ... ; 0 , ..., ω r , ..., ω rr +1 , , ..., , , , ..., ω r +11 , ..., ω r +1 r +2 , , ..., ω r +21 ... ) , o`u le 1 est `a la i -`eme place entre les deux points virgules qui l’encadrent.7n va distinguer deux cas : Le cas r < d − . Etudions − ∆ x ( e ri ) ; c’est, avec les notations de la sectionpr´ec´edente, − DD x . ∆( e rj ). La structure des lignes par blocs Id d de la partiesup´erieure de ∆ fait que l’on a − ∆ x ( e ri ) = ( θ , ..., θ d ; .... ; θ d − , ..., θ d − d )o`u les θ si sont tous nuls pour s < r − θ r − , ..., θ r − d ) = ( − f x ω r , ..., − f ( r − x ω rr +1 , , ..., , − f ix , , ..., r >
1) et( θ r , ..., θ rd ) = ( − f x ω r +11 , ..., − f ( r +2) x ω r +1 r +2 , , ..., . On en d´eduit Ω r,ix,r,i = 0si i > r + 2 et Ω r,r +2 x,r,r +2 = − f ( r +2) x ω r +1 r +2 . Exprimons maintenant ce qu’est ω r +1 r +2 Revenant un peu en arri`ere (avec i = r + 2) nous remarquons que le faitque e rr +2 soit dans le noyau de M M et que ses composantes β sj soient nullespour j > r + 2 et s = r ou s = r + 1 nous donne la relation M f ,...,f r +2 ( ω r , ..., ω rr +1 , ω r +11 , ..., ω r +1 r +2 ) = 0 . D’apr`es la d´efinition de d´ebut de cette section cela veut dire que ω r +1 r +2 estl’´el´ement de trace γ ( f , . . . , f r +2 ). 0n en d´eduit finalementΩ r,r +2 x,r,r +2 = − f ( r +2) x γ ( f , . . . , f r +2 ) . Le cas r = d − . On a e d − d = (0; ... ; 0; X ) avec X = ( ω d − , · · · , ω d − d − ,
1) et P d − ( X ) = 0(notation de la section pr´ec´edente). On a − ∆ x ( e d − d ) = (0; ... ; 0; − D x ( X ); − D x .A ( X ) . Or, par d´efinition, la derni`ere composante de A ( X ) = − P − G ( X ) estl’´el´ement de trace γ ( f , . . . , f d ). On en tire une formule analogue `a celle descas pr´ec´edents 8 d − ,dx,d − ,d = − f dx γ ( f , . . . , f d ) . On a le r´esultat analogue lorsque l’on ´echange x et y et on en tire facile-ment la proposition suivante. Proposition.
La trace de la courbure du tissu W ( f , . . . , f d ) est la 2-forme − d X r =3 df r ∧ dγ ( f , . . . , f r ) . On consid`ere d’abord un 3-tissu W ( f, g, h ) du plan. Trivialement sa cour-bure classique de Blaschke est aussi la trace de la courbure de la connexionassoci´ee. Suivant la proc´edure d´ecrite dans la section pr´ec´edente, on l’obtienten calculant d’abord l’´el´ement de courbure γ ( f, g, h ). Nous allons donnerson expression pr´ecise dans le cas particulier o`u h ( x, y ) = y et f x et g x nes’annulent pas.On adopte les notations m f = f y /f x et m g = g y /g x . On prend X = 1( m g − m f ) f x , X = 1( m f − m g ) g x et on voit que ( X , X ,
1) engendre le noyau de P f,g,h = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) f x g x f y g y (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) . Alors γ ( f, g, h ) est la derni`ere composante du vecteur − P − f,g,h G f,g,h ( X , X , P f,g,h = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ( f x ) ( g x ) f x f y g x g y f y ) ( g y ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ,G f,g,h = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) f xx g xx f xy g xy f yy g yy (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) .
9r le mˆeme argument que celui qui permet de calculer la matrice inversed’une matrice de Vandermonde, montre que la derni`ere ligne de P − f,g,h est( m f m g , − ( m f + m g ) ,
1) ; on en tire γ ( f, g, h ) = − ( m f m g , − ( m f + m g ) , .G f,g,h ( X , X , , ce qui m`ene facilement `a γ ( f, g, h ) = 1 m f − m g { m f m g ( f xx /f x − g xx /g x ) − ( m f + m g )( f xy /f x − g xy /g x ) + ( f yy /f x − g yy /g x ) } . On en tire une formule explicite pour la courburede Blaschke de notretissu : − dy ∧ dγ ( f, g, y ) . Pour le tissu W ( f , . . . , f s ) la somme des courbures des sous 3-tissus est SC ( f , . . . , f s ) = − X
T r ( f , . . . , f s )(= − s X r =3 ( df r ∧ dγ ( f , . . . , f r ))la trace de la courbure de la connexion ∇ associ´ee comme plus haut. Laformule de la trace dit que l’on a SC ( f , . . . , f s ) = T r ( f , . . . , f s )pour tout s plus grand que 3.La formule est triviale pour s = 3 . Nous la d´emontrons par r´ecurrencesur s ; pour cela nous la supposons montr´ee `a l’ordre d − d. Comme SC ( f , . . . , f d ) et T r ( f , . . . , f d ) sont des quan-tit´es qui ne d´ependent pas des coordonn´ees on peut choisir ces coordonn´eespour avoir f d = y et la non-nullit´e des f ix pour i variant de 1 `a d − .
10a formule `a l’ordre d − d − X r =3 ( df r ∧ d ( X
1) qui engendre le noyau de P d − .En tenant compte du fait que f d = y, le syt`eme P d − ( X , . . . , X d − ,
1) =0 se r´ecrit sous la forme d − X i =1 f d − − jix f j − iy X i = 0 d − X i =1 f d − iy X i = − j varie de 1 `a d − . Si l’on pose Y i = f d − ix X i et m i = f iy /f ix les d − V M (( Y , . . . , Y d − )) =(0 , . . . , , −
1) o`u
V M est une matrice de Vandermonde dont le coefficient surla s -i`eme ligne et la r -i`eme colonne est m s − r . On en tire que ( Y , . . . , Y d − )est l’oppos´e de la transpos´ee de la derni`ere colonne de V M − . On a alors Y i = − Q j = i ( m i − m j )et donc X i = − f d − ix Q j = i ( m i − m j )pour i variant de 1 `a d − . G d . Dans la section 2 nous avions not´e G d ( f ) , . . . , G d ( f d ) , ses colonnes (avec f d = y ).On remarque d’abord que, pour une fonction arbitraire f , le i -`eme coef-ficient de G d ( f ) est de la forme G di ( f ) = a di f d − i − x f i − y f xx + b di f d − i − x f i − y f xy + c di f d − ix f i − y f yy , avec la convention d’´ecriture que les puissances n´egatives des f x ou f y sontnulles ; les a di , b di et c di sont des nombres que nous allons d´eterminer.12our des raisons de sym´etrie par rapport aux deux d´erivations ∂/∂x et ∂/∂y , on a les relations suivantes : a di = c dd − i +1 , b di = b dd − i +1 . Nous utilisons la relation de r´ecurrence G d + ( f ) = f x .G d − ( f ) + ∂f d − i ∂x que nous avions donn´ee en section 2. Elle nous donne G di ( f ) = f x G d − i ( f ) + ( d − − i ) f d − i − x f i − y f xx + ( i − f d − i − x f i − y f xy pour i < d. On en tire les relations de r´ecurrence : a di = a d − i + d − − ib di = b d − i + i − c di = c k − i pour i < d. On a aussi les relations ´evidentes : a = 1 , b = c = 0 a = 0 , b = 1 , c = 0 a = b = 0 , c = 1 . Utilisant ces relations, les relations de sym´etrie et de r´ecurrence ci-dessuson obtient : a di = ( d − − i )( d − i )2 b di = ( i − d − i ) c di = ( i − i − i compris entre 1 et d. La derni`ere ligne de P − d . Pour calculer l’´el´ement de trace γ ( f , . . . , f d − , y ) nous aurons besoin d’unautre ingr´edient : la derni`ere ligne α = ( α , . . . , α d ) de P − d . Cette ligne estcaract´eris´ee par le fait que le produit de cette ligne avec chacune des r − P d est nul et son produit avec la derni`ere colonne est1. On a donc les ´equations d − X j =1 α j f d − jix f j − iy = 0pour tout i variant de 1 `a d − α d = 1 . En divisant les deux membres des d − f ix on peutles remplacer par d − X j =1 α j m j − i = 0 . Comme lorsque l’on calcule l’inverse d’une matrice de Vandermonde, onintroduit le polynˆome P ( t ) = P d − j =1 α j t j − et les relations pr´ec´edentes mon-trent que ce polynˆome admet les racines m , . . . , m d − et 1 comme coefficientdu terme de plus haut degr´e. On en d´eduit α = (( − d − S d − , ( − d − S d − , . . . , − S , , o`u les S i sont les polynˆomes sym´etriques en m , m , . . . , m d − .
10 Le calcul de l’´el´ement de trace γ ( f , . . . , f r − , y ) . Rappelons que, par d´efinition, γ ( f , . . . , f r − , y ) est le dernier coefficient de − P − k G d ( X , . . . , X d − ,
1) o`u les X i sont ceux de la section 7 ; donc c’est leproduit scalaire usuel des deux vecteurs α (voir section 9) et G d ( X , . . . , X d − , γ ( f , . . . , f r − , y ) = − α.G d ( X , . . . , X d − , . On en d´eduit γ ( f , . . . , f r − , y ) = − d − X s =1 X s ( α.G d ( f s ))14n remarquant que G d ( y ) est nulle.On rappelle la formule de la section 8 : G di ( f s ) = a di f d − i − sx f i − sy f sxx + b di f d − i − sx f i − sy f sxy + c di f d − isx f i − sy f syy pour la i -`eme composante de G d ( f s ) . On rappelle que, pour cette formule,les puissances n´egatives de d´eriv´ees de fonctions sont nulles par convention.On a donc la formule α.G d ( f s ) = a s f sxx + b s f sxy + c s f syy , avec a s = d X i =1 α i a di f d − i − sx f i − sy ,b s = d X i =1 α i b di f d − i − sx f i − sy ,c s = d X i =1 α i c di f d − isx f i − sy . Plus pr´ecis´ement, on a donc a s = d X i =1 ( − d − i ( d − i − d − i )2 S d − i f d − i − sx f i − sy ,b s = d X i =1 ( − d − i ( i − d − i ) S d − i f d − i − sx f i − sy ,c s = d X i =1 ( − d − i ( i − i − S d − i f d − isx f i − sy ou encore a s = f d − sx d X i =1 ( − d − i ( d − i − d − i )2 S d − i m i − s ,b s = f d − sx d X i =1 ( − d − i ( i − d − i ) S d − i m i − s , s = f d − sx d X i =1 ( − d − i ( i − i − S d − i m i − s . On a la formule S d − i = m s S sd − i − + S sd − i , en notant S sk le k -i`eme polynˆome sym´etrique dans les variables m , . . . , m s − , m s +1 , . . . , m d − avec, par convention, S sj = 0 pour j < j > d − . C’est dire l’on oublie m s dans les S sj . En portant cela dans ´equations pr´ec´edentes on obtient a s = f d − sx d X i =1 ( − d − i ( d − i − d − i )2 ( S sd − i m i − s + S sd − i − m is ) ,b s = f d − sx d X i =1 ( − d − i ( i − d − i )( S sd − i m i − s + S sd − i − m i − s ) ,c s = f d − sx d X i =1 ( − d − i ( i − i − S sd − i m i − s + S sd − i − m i − s ) . En r´eordonnant les termes en fonction des puissances de m s , on arrive `a a s = f d − sx d X i =1 ( − d − i ( d − i − S sd − i − m is ,b s = f d − sx d X i =1 ( − d − i ( d − i − S sd − i − m is ,c s = f d − sx d X i =1 ( − d − i − ( i + 1) S sd − i − m is .
11 Fin de la preuve de la formule de la trace.
On a la relation γ ( f , . . . , f d − , y ) = − d − X s =1 X s ( a s f sxx + b s f sxy + c s f syy ) . X s a s = − A s , X s b s = − B s , X s c s = − C s , les A s , B s et C s ´etant ceux d´efinis dans la section 6. Il revient au mˆeme deprouver les relations a s = − A s /X s , b s = − B s /X s , c s = − C s /X s . Pour simplifier les notations on ne d´emontrera ces relations que dans le cas s = d − m `a la place de m d − . On a − A d − /X d − = 1 f d − d − x ( d − Y r =1 ( m − m r )) d − X j =1 mm j m − m j . On a la relation ( d − Y r =1 ( m − m r )) d − X j =1 mm j m − m j = d − X j =1 ( m − m ) · · · ( m − m j − ) mm j ( m − m j +1 ) · · · ( m − m d − )Pour calculer cette quantit´e on introduit la fonction P ( t ) = d − Y j =1 ( t − m j )et il est facile de voir que l’on la relation( d − Y r =1 ( t − m r )) d − X j =1 tm j t − m j = t ( tP ′ ( t ) − ( d − P ( t )) . Mais P ( t ) est aussi le polynˆome P ( t ) = d − X j =1 ( − d − − j S d − d − − j t j , o`u S d − r est le polynˆome sym´etrique de degr´e r dans les variables m , ..., m d − . Cela m`ene `a( d − Y r =1 ( t − m r )) d − X j =1 tm j t − m j = d − X i =1 ( − d − i ( d − i − S d − d − i − t i , t = m et rajoutant le facteur f d − d − x , on obtient a d − = − A d − /X d − , et, par la mˆeme m´ethode, `a a s = − A s /X s , pour tout s. Par ailleurs, on a − B d − /X d − = 1 f d − d − x ( d − Y r =1 ( m − m r )) d − X j =1 m + m j m − m j . Comme pour le calcul pr´ec´edent on obtient facilement( d − Y r =1 ( t − m r )) d − X j =1 t + m j t − m j = 2 tP ′ ( t ) − ( d − P ( t )qui, en revenant `l’expression polynomiale de P ( t ) , m`ene `a( d − Y r =1 ( t − m r )) d − X j =1 t + m j t − m j = d − X i =1 ( − d − i − ( d − i + 2) S d − d − i − t i , d’o`u il d´ecoule b d − = − B d − /X d − et de la mˆeme mani`ere b s = − B s /X s pour tout s. Enfin, on a − C d − /X d − = 1 f d − d − x ( d − Y r =1 ( m − m r )) d − X j =1 m − m j . Comme ( d − Y r =1 ( t − m r )) d − X j =1 t − m j = P ′ ( t ) ,
18n a ( d − Y r =1 ( t − m r )) d − X j =1 t − m j = d − X j =1 ( − d − − j jS d − d − − j t j − , et c d − = − C d − /X d − puis, par la mˆeme m´ethode, c s = − C s /X s , pour tout s. Ceci ach`eve notre d´emonstration de la formule de la trace pour les tissusplanaires.
12 Exemple d’application de la formule de la trace.
Alain H´enaut a propos´e la conjecture suivante.
Soit W un d -tissu du plandonn´e de mani`ere implicite par le polynˆome F = ( y ′ ) d + f ( x, y ) ; alors la courbure de la connexion associ´ee est nulle si et seulement si f ( x, y ) est d´ecomposable, c’est `a dire de la forme X ( x ) Y ( y ) . Remarquons que dans l’ouvert o`u F est non nul, les d racines de F sont toutes de la forme m i = R ( x, y ) λ i o`u les λ i sont des constantes deux`a deux diff´erentes et la fonction R ( x, y ) est ind´ependante de l’indice i. Deplus f ( x, y ) est d´ecomposable si et seulement si R ( x, y ) l’est.Alors la conjecture d’H´enaut est un corollaire du lemme suivant. Lemme.
Soit W un d -tissu plan donn´e par ses pentes m i pour i variantde 1 `a d . On suppose que l’on a m i = R ( x, y ) λ i o`u les λ i sont des constantes deux `a deux diff´erentes et la fonction R ( x, y ) est ind´ependante de l’indice i et non nulle. Alors la courbure de la connexionassoci´ee est nulle si et seulement si R ( x, y ) est d´ecomposable. Nous allons donner une preuve de ce lemme en montrant d’abord le sensdirect : si R ( x, y ) est de la forme X ( x ) Y ( y ) alors la courbure est nulle puisla r´eciproque. 19 - On suppose R ( x, y ) = A ( x ) B ( y ) . Les feuilles des d feuilletages sont les trajectoires des d champs de vecteurs X i = ∂∂x + A ( x ) B ( y ) λ i ∂∂y . Ce sont aussi les trajectoires de Y i = 1 /A ( x ) ∂∂x + λ i B ( y ) ∂∂y . Or des changements de la coordonn´ee x, d’une part, et y, d’autre part, per-mettent de rectifier les champs de vecteurs 1 /A ( x ) ∂∂x et B ( y ) ∂∂y . Ces change-ments nous ram`enent au cas o`u tous les Y i sont `a coefficients constants, doncau cas o`u les d feuilletages sont tous form´es de segments parall`eles. Or onsait que ces tissus sont `a courbure nulle.
2- La r´eciproque.
On suppose que W est de courbure nulle. Alors latrace de cette courbure est encore nulle, donc, par la formule de la trace ,la somme des courbure des sous 3-tissus de W est nulle. Etudions le sous3-tissu de W donn´e par les pentes m i , m j et m k . Un calcul ´el´ementaire (quipeut ˆetre fait par Maple) montre que sa coubure est ∂ ∂x∂y ln ( R ( x, y )) . Ainsi on voit que la somme des courbures des sous 3-tissus est nulle si etseulement si ∂ ∂x∂y ln ( R ( x, y )) = 0 , ou, ce qui est ´equivalent, que la fonction R ( x, y ) est d´ecomposable. Ceci ach`eve la d´emonstration. References [WB] W. Blaschke,
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