La formule des traces tordue pour les corps de fonctions
aa r X i v : . [ m a t h . R T ] F e b LA FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DEFONCTIONS
JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE
Résumé.
Dans ce travail nous adaptons au cas d’un corps global de carac-téristique positive, c’est-à-dire un corps de fonctions sur un corps fini F q , lesrésultats prouvés pour un corps de nombres dans [LW]. En d’autres termes,nous établissons la formule des traces tordue au sens du Friday Morning Se-minar de Princeton (1983-1984), c’est-à-dire la formule des traces pour un G -espace tordu e G où G est un groupe réductif connexe défini sur un corps defonctions F . La stabilisation de cette formule viendra plus tard (on l’espère !). Introduction
Lorsqu’on essaie de remplacer dans [LW] le corps de nombres par un corps defonctions, on tombe immédiatement sur une différence, semblable à celle qui existeentre les cas archimédiens et non-archimédiens dans les travaux d’Arthur [A2] etWaldspurger [W] sur la formule des traces locale. On dispose pour chaque sous-groupe parabolique P de G d’un espace vectoriel réel a P et d’un morphisme H P : P ( A ) → a P . On note A P son image et on note B P l’image de A P ( A ) où A P est le tore déployémaximal dans le centre de P . On a les inclusions B P ⊂ A P ⊂ a P . Pour les corps de nombres ces trois groupes sont égaux et on dispose de plus d’unrelèvement canonique A P de A P dans A P ( A ) . Il est de plus usuel de se limiter àtraiter l’espace des formes automorphes pour P qui sont invariantes par A P ; celane restreint pas la généralité car on peut par torsion par un caractère automorphede P ( A ) passer à un caractère quelconque sur A P . Pour les corps de fonctions lesmorphismes H P ne sont plus surjectifs : A P est un réseau de a P et en général A P = B P de sorte qu’un relèvement central de A P n’existe pas. Ceci compliquecertains arguments et a des conséquences importantes pour la présentation desrésultats .Nos références principales seront [LW] et [W] et on supposera que le lecteur aces deux textes sous la main. L’organisation de cet article suit celle de [LW] et onse contentera souvent de citer sans démonstration les résultats de cet ouvrage pourpeu qu’ils passent sans autre forme de procès à la caractéristique positive. Il estdivisé en quatre parties.
1. Observons en particulier que les espaces homogènes X G et Y Q qui interviendront ici jouentun rôle analogue mais ne sont pas identiques aux espaces X G ou Y Q de [LW]. Partie I. Géométrie et combinatoire.
Dans le chapitre 1, après le rappel desnotations usuelles, on adapte à notre cadre le calcul des transformées de Laplace(ou anti-Laplace) des fonctions caractéristiques de polytopes [LW, 1.9] ainsi que lesrésultats de [LW, 1.10] sur les ( G, M ) -familles. Les intégrales sur les polytopes quiapparaissent dans [LW] doivent ici être remplacées par des sommes sur l’intersectionde ces polytopes avec des réseaux. La combinatoire des polytopes est certes iden-tique mais la manipulation des intersections est plus délicate ; on doit en particuliertenir compte des groupes finis P = B P \ A P . Leur traitement requiert l’utilisationde divers outils techniques empruntés à Arthur [A2] et Waldspurger [W]. Pour lescorps de nombres les ( G, M ) -familles fournissent des polynômes en la variable detroncature T qui permettent de contrôler le comportement asymptotique des diverstermes de la formule des traces. Ici les ( G, M ) -familles fournissent, pour les T “ra-tionnels”, des expressions du type PolExp c’est-à-dire des combinaisons linéaires depolynômes et d’exponentielles. Par un passage à la limite on définit un polynômequi est l’analogue des polynômes asymptotiques pour les corps de nombres. Dansle chapitre 2, on généralise au cas tordu les relations et propriétés du chapitre 1.L’analogue de l’étude dans le cas tordu de la notion d’élément semi-simple [LW, 2.6]est renvoyée ici au chapitre suivant. Le chapitre 3 contient des rappels sur la théo-rie de la réduction. Sur un corps global de caractéristique p > , cette théorie estessentiellement due à Harder [H]. En reprenant les idées de Harder sur la descentegaloisienne, Springer [S] a donné un traitement uniforme (valable pour tout corpsglobal) des principaux résultats de cette théorie. Là où c’est nécessaire, on remplacedonc par [S] la référence au livre de Borel dans [LW, ch. 3]. Par ailleurs, on définitun ersatz de la décomposition de Jordan (inutilisable ici car en général elle n’estpas rationnelle) : on remplace la notion d’élément quasi semi-simple régulier ellip-tique par celle d’élément primitif (qui d’ailleurs apparaît en [LW, 3.7]). Toute paire ( f M , δ ) formée d’un facteur de Levi f M de e G défini sur F et d’un élément primitif δ de f M ( F ) , définit un sous-ensemble O o de e G ( F ) stable par G ( F ) -conjugaison. Cesensembles O o joueront le rôle des classes de ss-conjugaison de [LW]. Partie II. Théorie spectrale, troncatures et noyaux.
Le chapitre 4 concernel’opérateur de troncature Λ T . Ses propriétés sont essentiellement les mêmes quedans le cas des corps de nombres, exceptées les propriétés de décroissance qui sontici beaucoup plus fortes. On pose X G = G ( F ) \ G ( A ) et X G = A G ( A ) G ( F ) \ G ( A ) . Pour un corps de fonctions, l’opérateur de troncature Λ T appliqué à une fonctionlisse et K -finie ϕ sur X G fournit une fonction Λ T ϕ sur X G à support d’imagecompacte dans X G . De plus la décomposition Λ T = C T + ( Λ T − C T ) où C T est la multiplication par la fonction caractéristique d’un domaine de Siegeltronqué se simplifie ici car, si T est assez régulier, on a ( Λ T − C T ) ϕ = 0 . Lechapitre 5 introduit les opérateurs d’entrelacement et les séries d’Eisenstein dontles propriétés, en particulier leur prolongement méromorphe, ont été établies parMorris [Mo1, Mo2] et reprises dans [MW, II, IV]. La preuve de la formule pour leproduit scalaire de deux séries d’Eisenstein tronquées reprend celle de [LW, 5.4.3].Dans le cas où les fonctions induisantes sont cuspidales, on obtient une formuleexacte essentiellement due à Langlands. Dans le cas où les fonctions ne sont pas A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 3 cuspidales, on dispose d’une formule asymptotique qui se déduit du cas cuspidal.Cette formule asymptotique fournit une majoration uniforme lorsque les paramètres λ et µ sont imaginaires purs. En effet, ici, les espaces de paramètres sont compacts,ce qui n’était pas le cas pour les corps de nombres. Dans le chapitre 6 est introduit lenoyau intégral. Le théorème de factorisation de Dixmier-Malliavin, et la propriétéde A -admissibilité, sont trivialement vrais ici. On énonce la principale propriétédu noyau tronqué (l’opérateur de troncature agissant sur la première variable) : sarestriction à S ∗ × S ∗ est bornée et à support compact, où S ∗ est un domainede Siegel pour le quotient X G . Dans le chapitre 7 on rappelle la décompositionspectrale de L ( X G ) due à Langlands pour les corps de nombres [La] et Morrispour les corps de fonctions [Mo1, Mo2] puis rédigée pour tout corps global parMœglin et Waldspurger [MW]. On remarquera que si A G , le tore déployé maximaldans le centre de G , n’est pas trivial, il n’y a pas de spectre discret dans L ( X G ) et, pour parer ce fait, il est usuel de donner la décomposition spectrale en ayantfixé un caractère unitaire d’un sous-groupe co-compact de A G ( F ) \ A G ( A ) . Pourles corps de nombres on se limite aux fonctions sur X G qui sont invariantes par lerelèvement A G de A G dans A G ( A ) . Comme déjà observé ci-dessus, pour les corps defonctions, en général un tel relèvement n’existe pas. En l’absence d’un choix naturelnous ne ferons aucune hypothèse sur le comportement des fonctions sur A G ( A ) etla décomposition spectrale comprendra, comme première étape, la décompositionsuivant les caractères unitaires de A G ( F ) \ A G ( A ) . Partie III. La formule des traces grossière.
Dans le chapitre 8 on donne, àtitre d’exemple, la formule des traces dans le cas compact. Comme nous ne faisonsaucune hypothèse sur l’action du centre de G l’intégrale du noyau sur la diagonaleporte ici sur Y G = A e G ( A ) G ( F ) \ G ( A ) au lieu de A G G ( F ) \ G ( A ) dans [LW]. Puis on énonce l’identité fondamentale entreles deux troncatures, pour le noyau, que l’on doit considérer pour traiter le casgénéral. Le chapitre 9 décrit le développement géométrique dit « grossier ». Lerésultat principal est la convergence de l’expression X o Z Y G | k T o ( x ) | d x où o parcourt les classes d’équivalence de paires primitives dans e G ( F ) . Il impliqueen particulier que les intégrales orbitales des éléments primitifs sont absolumentconvergentes. Comme en [LW, 9.3], on ne donnera des formules explicites que pourles orbites primitives et pour les orbites quasi semi-simples. Le développement géo-métrique fin qui explicite les contributions unipotentes n’est pas abordé ici. Lechapitre 10 établit la convergence d’une première forme du développement spec-tral. Il s’agit de montrer la convergence de chaque terme d’une somme indexée pardes sous-groupes paraboliques. Les résultats principaux sont les propositions 10.1.2et 10.2.1 analogues de [LW, 10.1.6, 10.2.3]. Dans le chapitre 11 pour chaque termedes développements géométriques et spectraux un élément de l’ensemble PolExp estdéfini ainsi que le polynôme limite. On obtient la première forme, dite « grossière »,de la formule des traces. Partie IV. Forme explicite de termes spectraux.
Il reste à exploiter la dé-composition spectrale pour obtenir le développement spectral fin. Les preuves des
JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE énoncés des chapitres 12 et 13 suivent pas à pas celles des chapitres 12 et 13 de[LW], à deux différences (simplificatrices) près : d’une part il est inutile d’introduireune fonction B car ici les paramètres spectraux évoluent dans un espace compact ;d’autre part la décomposition de l’opérateur de troncature en Λ T = C T +( Λ T − C T ) devient ici, pour T assez régulier, Λ T = C T . Le chapitre 14 contient la combinatoirefinale donnant lieu aux formules explicites. La preuve de la proposition 14.2.2 estplus technique que celle de son analogue [LW, 14.1.8] et fournit une formule moinssimple à cause d’une inversion de Fourier relative à un accouplement qui n’est pasparfait. C’est un problème déjà présent dans le cas local. On s’inspire du traitementde cela dans [W] pour obtenir les formules finales.On trouvera en appendice un erratum corrigeant les lapsus et erreurs que nousavons pu repérer dans [LW]. Partie I. Géométrie et combinatoire Racines, convexes et ( G, M ) -familles Le corps F . Dans tout cet article F est un corps global et, sauf mentionexpresse du contraire lorsque nous faisons le parallèle avec le cas des corps denombres, il est de caractéristique p > .Soit F q « le » corps fini à q éléments, pour une puissance q du nombre premier p .Soit V une courbe projective lisse et géométriquement connexe sur F q , de corps defonctions F . L’ensemble | V | des points fermés de V est en bijection avec l’ensembledes places de F . Pour v ∈ | V | , on note F v le corps complété de F en v , o v l’anneaudes entiers de F v , p v l’idéal maximal de o v , et κ v le corps résiduel o v / p v . Ce dernierest une extension finie de F q , de degré deg( v ) appelé « degré de v », et de cardinal q v = q deg( v ) . Pour v ∈ | V | , on note encore v la valuation sur F v normalisée par v ( F × v ) = Z , c’est-à-dire par v ( ̟ v ) = 1 pour une uniformisante ̟ v de F v , et onnote | | v la valeur absolue sur F v définie par | x | v = q − v ( x ) v , x ∈ F v . Soit A l’anneau des adèles de F et A × le groupe des idèles. On dispose de l’appli-cation degré deg : A × → Z définie par deg( a ) = X v ∈| V | − v ( a v ) deg( v ) pour a = ( a v ) v ∈| V | ∈ A × et on pose | a | = Q v | a v | v = q deg( a ) . Le groupe F × est un sous-groupe discret de A × contenu dans A = { a ∈ A × : deg( a ) = 0 } , et le quotient F × \ A est un compact. A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 5
Réseaux A P et B P de l’espace vectoriel a P . Soit P un groupe linéairealgébrique connexe défini sur F . On note X F ( P ) le groupe des caractères algébriques de P définis sur F . Le Z -module libre de type fini a P, Z d´ef = Hom( X F ( P ) , Z ) est un réseau de l’espace vectoriel réel a P d´ef = Hom( X F ( P ) , R ) . Nous aurons aussi besoin du Q -espace vectoriel des éléments rationnels dans a P : a P, Q d´ef = Hom( X F ( P ) , Q ) et du complexifié a P, C d´ef = Hom( X F ( P ) , C ) . Pour x ∈ P ( A ) on note H P ( x ) l’élément de a P tel que h χ, H P ( x ) i = deg χ ( x ) = log q | χ ( x ) | pour tout χ ∈ X F ( P ) . L’application H P est un morphisme H P : P ( A ) → a P dont l’image, notée a P,F dans dans [A2] et [W], sera ici notée A P : A P d´ef = H P ( P ( A )) . Pour un corps de fonction A P est un sous-groupe d’indice fini de a P, Z et donc unréseau de a P (alors que A P = a P pour un corps de nombres). Une inclusion de F -groupes algébriques linéaires connexes P ⊂ Q induit des homomorphismes a P, • → a Q, • . On pose a QP d´ef = ker[ a P → a Q ] et A QP d´ef = ker[ A P → A Q ] = A P ∩ a QP . Pour H ∈ A P on notera P ( A ; H ) l’image réciproque de H . Le noyau de H P ,usuellement noté P ( A ) , n’est autre que P ( A ; 0) . Le groupe P ( A ) = P ( A ; 0) opèrepar translations sur P ( A ; H ) ainsi que le groupe P ( F ) des points F -rationnels de P qui est un sous-groupe de P ( A ) , et donc P ( A ) opère à droite sur le quotient P ( F ) \ P ( A ; H ) .On note Z P le centre « schématique » de P , et A P ⊂ Z P le tore central F -déployémaximal de Z P . L’homomorphisme naturel A A P → A P est injectif mais n’est pas surjectif en général ; son image sera notée B P d´ef = H P ( A P ( A )) . C’est un sous-groupe d’indice fini de A P ; on pose P d´ef = B P \ A P ≃ A P ( A ) P ( A ) \ P ( A ) . Pour P ⊂ Q , l’inclusion A Q ⊂ A P induit une section a Q → a P de l’homomorphismesurjectif a P → a Q et donc une décomposition a P = a Q ⊕ a QP . Pour X = X P ∈ a P , cette décomposition s’écrit X = X Q + X Q . JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE
Dualité et mesures.
On appelle caractère d’un groupe topologique un ho-momorphisme continu dans C × , et caractère unitaire un caractère à valeurs dans legroupe U des nombres complexes de module . Le dual de Pontryagin d’un groupeabélien localement compact est le groupe topologique de ses caractères unitaires.Si a est un espace vectoriel réel de dimension finie on notera a ∗ l’espace vectorielréel dual, h Λ , X i le produit scalaire de X ∈ a et Λ ∈ a ∗ , et b a le dual de Pontryaginde a que l’on peut identifier, au moyen de l’exponentielle, avec le sous-espace i a ∗ des vecteurs imaginaires purs dans a ∗ ⊗ C . Si R est un réseau de a on notera R ∨ l’ensemble des Λ ∈ i a ∗ tels que h Λ , X i ∈ iπ Z pour tout X ∈ R . C’est l’orthogonalde R du point de vue de la dualité de Pontryagin : le groupe compact b a / R ∨ s’identifieau dual de Pontryagin de R : b R ≃ b a / R ∨ . Pour une fonction à décroissance rapide f sur R , on note b f la fonction lisse sur b R définie par b f (Λ) = X X ∈ R f ( X ) e h Λ ,X i , Λ ∈ b R . Si b R est muni de la mesure duale de la mesure de comptage sur R , c’est-à-dire telleque vol( b R ) = 1 , on a la formule d’inversion f ( X ) = Z b R b f (Λ) e −h Λ ,X i dΛ , X ∈ R . Pour alléger légèrement les notations, pour P comme en 1.2, on se permettra d’écrire b a P , b A P , etc. en place de c a P , c A P , etc. On pose µ P d´ef = b A P . Notons Ξ( P ) , resp. Ξ( P ) , l’ensemble des caractères unitaires de A P ( A ) , resp. A P ( A ) , qui sont triviaux sur A P ( F ) . Ce sont deux groupes abéliens localementcompact, et Ξ( P ) est un quotient discret de Ξ( P ) . Le groupe Ξ( P ) s’insère dansla suite exacte courte → b B P → Ξ( P ) → Ξ( P ) → . Convention
Pour les mesures de Haar sur les groupes abéliens localementcompacts, on adoptera les normalisations suivantes. On impose la compatibilité auxsuites exactes courtes et à la dualité de Pontryagin. Les réseaux de a P sont munisde la mesure de comptage. Cela implique que le groupe fini P est lui aussi munide la mesure de comptage, et que l’on a vol( µ P ) = vol( b B P ) = vol( b P ) = 1 . On impose aussi que la mesure de Haar sur A P ( F ) \ A P ( A ) vérifie vol( A P ( F ) \ A P ( A ) ) = 1 . Ceci implique en particulier que le groupe discret Ξ( P ) , dual du groupe compact A P ( F ) \ A P ( A ) , est muni de la mesure de comptage.
2. On observera que cette convention n’est pas celle utilisée dans [A2] où on affecte des mesuresaux espaces vectoriels.
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Tout caractère χ de P ( A ) s’écrit de manière unique χ = χ u | χ | avec | χ | ( g ) = | χ ( g ) | et χ u unitaire. Le caractère | χ | est trivial sur P ( A ) . On note χ = χ la restriction de χ à P ( A ) . Tout élément ν ∈ a ∗ P, C définit un caractère de P ( A ) trivial sur P ( A ) : p e h ν, H P ( p ) i , p ∈ P ( A ) . Ce caractère ne dépend que de l’image de ν dans a ∗ P, C / A ∨ P et sa restriction à A P ( A ) ne dépend que de l’image de ν dans a ∗ P, C / B ∨ P . La suite exacte courte → b P → a ∗ P, C / A ∨ P → a ∗ P, C / B ∨ P → correspond à la restriction des caractères de P ( A ) à A P ( A ) . Si π est une représen-tation de P ( A ) , pour ν ∈ a ∗ P, C / A ∨ P on note π ν la représentation de P ( A ) définiepar π ν ( p ) = π ( p ) e h ν, H P ( p ) i , p ∈ P ( A ) . On la notera aussi parfois π ⋆ ν . De même, si ξ est un caractère de A P ( A ) , pour ν ∈ a ∗ P, C / B ∨ P on note ξ ν = ξ ⋆ ν le caractère a ξ ( a ) e h ν, H P ( a ) i de A P ( A ) .1.4. Sous-groupes paraboliques.
Soit G un groupe algébrique réductif connexedéfini sur F . Tous les sous-groupes paraboliques de G , ainsi que leurs composantesde Levi, considérés dans la suite sont supposés définis sur F . On fixe un sous-groupeparabolique minimal P de G et une composante de Levi M de P . On note A le tore F -déployé maximal du centre Z M de M . Ainsi M est le centralisateur de A dans G . Un sous-groupe parabolique de G est dit « standard », resp. « semi-standard », s’il contient P , resp. M . Un facteur de Levi de G , c’est-à-dire unecomposante de Levi d’un sous-groupe parabolique de G , est dit « semi-standard »s’il contient M , et il est dit « standard » si c’est la composante de Levi semi-standard d’un sous-groupe parabolique standard. Dans la suite tous les sous-groupeparaboliques et tous les sous-groupe de Levi seront semi-standards ; nous omettronsparfois de le préciser.On note P = P G , resp. L = L G , l’ensemble des sous-groupes paraboliques, resp.facteurs de Levi, de G , (semi-standards) et P st = P G st le sous-ensemble de P formédes éléments standards. Pour P ∈ P , on note M P ou simplement M la composantede Levi (semi-standard) de P , et U P ou simplement U le radical unipotent de P ;on a A P = A M , a P = a M et A P = A M . On pose a P = dim( a P ) . Pour
P, Q ∈ P tels que P ⊂ Q , on a noté a QP le noyau de l’homomorphisme naturel a P → a Q . On pose a QP = dim( a QP ) = a P − a Q . Pour M ∈ L on note P ( M ) , resp. F ( M ) , le sous-ensemble des Q ∈ P avec commecomposante de Levi M Q = M , resp. M Q ⊃ M . Pour Q ∈ F ( M ) , on pose P Q ( M ) = { P ∈ P ( M ) : P ⊂ Q } , F Q ( M ) = { P ∈ F ( M ) : P ⊂ Q } . On se permettra de remplacer l’indice P par un indice M dans les objets qui nedépendent pas du choix de P ∈ P ( M ) . Par exemple, pour Q ∈ F ( M ) et P ∈ P Q ( M ) ,on écrira parfois a QM au lieu de a QP , et X QM au lieu de X QP pour X ∈ a P . On JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE remplacera souvent l’indice « P » par un indice « 0 » : ainsi on écrira A pour A P , a pour a P , a = a Q ⊕ a Q , etc.On fixe une forme quadratique définie positive ( · , · ) sur a , invariante par legroupe de Weyl W = N G ( A ) /M , où N G ( A ) est le normalisateur de A dans G .Pour tout X ∈ a , on note k X k = ( X, X ) la norme de X . Pour M ∈ L , la forme ( · , · ) induit par restriction une forme quadratique définie positive sur a M , invariantepar le groupe de Weyl W M = N M ( A ) /M . Pour Q ∈ F ( M ) , a QM n’est autre quel’orthogonal de a Q dans a M pour cette forme.On note ∆ = ∆ G l’ensemble des racines simples de A dans G pour l’ordredéfini par P . C’est une base du dual a G, ∗ de a G . Les coracines sont des éléments ˇ β de a G tels que pour toute racine α on ait h α, ˇ β i = N α,β ∈ Z . Les coracines appartiennent donc à a G , Q . On note ˇ∆ = ˇ∆ G la base de a G forméepar les coracines, et ˆ∆ = ˆ∆ G la base des poids c’est-à-dire la base de ( a G ) ∗ dualede ∆ G . Pour P ∈ P st , on note ∆ P ⊂ ∆ l’ensemble des racines simples de A dans M P pour l’ordre défini par P ∩ M P , et ˇ∆ P la base de a P formée par lescoracines. On note ˆ∆ P l’ensemble des restrictions non nulles des éléments de ˆ∆ ausous-espace a P de a G .Plus généralement, pour P, Q ∈ P st tels que P ⊂ Q , on note ∆ QP l’ensembledes restrictions non nulles des éléments de ∆ Q au sous-espace a QP de a Q . On note ˇ∆ QP l’ensemble des projections non nulles des éléments de ˇ∆ Q sur l’espace a QP parrapport à la décomposition a Q = a P ⊕ a QP . On note ˆ∆ QP la base de a Q, ∗ P duale de ˇ∆ QP :c’est le sous-ensemble des éléments de ˆ∆ Q nuls sur a P . On considère les élémentsde ∆ QP et ˆ∆ QP comme des formes linéaires sur a grâce à la décomposition a = a P ⊕ a QP ⊕ a Q . Rappelons que deux réseaux R et R d’un R -espace vectoriel de dimension finiesont dits commensurables si leur intersection R ∩ R est d’indice fini dans chacund’eux. En particulier on a le Lemme
Les réseaux Z ( ˇ∆ QP ) sont commensurables aux A QP . Ces définitions s’étendent à toute paire de sous-groupes paraboliques ( P, Q ) de G tels que P ⊂ Q : on choisit un élément g ∈ G ( F ) tel que g − P g ⊃ P et, partransport de structures via le F -automorphisme Int g de G , on définit les analoguesdes objets ci-dessus ; cela ne dépend pas du choix de g .On note a +0 l’ensemble des X ∈ a tels que h α, X i > pour tout α ∈ ∆ . Unélément de a est dit régulier s’il appartient à a +0 . Pour X ∈ a , on pose d ( X ) = inf α ∈ ∆ h α, X i . Ainsi X est régulier si et seulement si d ( X ) > .Soit M un facteur de Levi de G . Pour P ∈ P ( M ) , les homomorphismes de R -espaces vectoriels a M → a P et de Z -modules A M → A P sont des isomorphismes.Pour P, Q ∈ P tels que P ⊂ Q , on a noté A QP le réseau ker[ A P → A Q ] = A P ∩ a QP de a QP . Lemme
On a une suite exacte courte de réseaux : → A QP → A P → A Q → A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 9
Démonstration.
Il convient d’établir la surjectivité de la flèche A P → A Q . Pourcela on invoque la décomposition d’Iwasawa (rappelée en 3.1) : tout q ∈ Q ( A ) peuts’écrire q = pk avec k ∈ K où K est un bon sous-groupe compact maximal dans G ( A ) et p ∈ P ( A ) , donc H Q ( q ) = H Q ( p ) = H P ( p ) . (cid:3) On pose dualement µ QP d´ef = µ P / µ Q = b A QP . Notons qu’en général il n’y a pas de section canonique relevant A Q dans A P . Enrevanche, on a toujours l’inclusion B Q = H Q ( A Q ( F )) = H P ( A Q ( F )) ⊂ B P . Puisque A Q est un sous-tore de A P , on a l’égalité : B Q = B P ∩ a Q . En résumé, les inclusions A Q ( A ) ⊂ A P ( A ) ⊂ M P ( A ) ⊂ M Q ( A ) donnent le diagramme commutatif suivant : A P / / A Q B P O O B Q O O o o où la flèche horizontale du haut est surjective alors que les trois autres sont injec-tives. On pose B QP d´ef = B Q \ B P et C QP d´ef = B Q \ A P . On observe que B QP est un réseau de a QP et que C QP est un Z -module de type fini quis’insère dans la suite exacte courte → B QP → C QP → P → . Familles orthogonales et ( G, M ) -familles. Fixons un facteur de Levi M ∈ L et considérons une famille X = ( X P ) P ∈ F ( M ) d’éléments X P ∈ a P . Une telle famille est dite M -orthogonale (ou simplement ortho-gonale ) si pour tous P et Q dans F ( M ) tels que P ⊂ Q , la projection ( X P ) Q de X P dans a Q est égale à X Q . Pour M ′ ∈ L tel que M ⊂ M ′ , une famille M -orthogonaledétermine par restriction une famille M ′ -orthogonale. Il suffit, pour définir une fa-mille M -orthogonale, de se donner des X P ∈ a M pour chaque P ∈ P ( M ) vérifiantla propriété suivante : si P et P ′ ∈ P ( M ) sont adjacents et si α est l’unique racinede A M positive pour P et négative pour P ′ alors X P − X P ′ est un multiple de ˇ α .La famille est dite régulière si les X P − X P ′ sont des multiples positifs de ˇ α . Ondit que la famille est entière , resp. rationnelle , si X P ∈ A M , resp. X P ∈ a M, Q , pourtout P ∈ P ( M ) . En ce cas X Q ∈ A Q , resp. X Q ∈ a Q, Q , pour tout Q ∈ F ( M ) .On notera H G,M ou simplement H M si aucune confusion n’en résulte, le R -espacevectoriel de dimension finie formé des familles M -orthogonales, et H M = H G,M ⊂ H M le réseau formé des familles qui sont entières. On note b H M = i H ∗ M le dual de Pontryagin de H M . Le groupe compact b H M = b H M / H ∨ M s’identifie au dual de Pontryagin de H M . Pour chaque P ∈ F ( M ) , on dispose d’uneapplication π P : H M → a P , X X P qui est surjective et on note ι P : b a P → b H M l’application injective transposée de π P .Une manière très simple de construire une famille M -orthogonale est de fixerun élément T ∈ a . Pour P ∈ P ( M ) , si w est l’unique élément de W tel que w ( P ) = P , on pose [ T ] P = wT . On a donc [ T ] P = T et l’ensemble T = ([ T ] P ) P ∈ P ( M ) définit une famille M -orthogonale. Pour Q ∈ F ( M ) , on a [ T ] Q = ([ T ] P ) Q pourun (i.e. pour tout) P ∈ P Q ( M ) . Cette famille est régulière, resp. rationnelle, si etseulement si T ∈ a +0 , resp. T ∈ a , Q . Soit X = ( X P ) une famille M -orthogonale, etsoit T un élément de a . On définit une autre famille M -orthogonale en posant : X ( T ) = X + T c’est-à-dire X ( T ) P = X P + [ T ] P . La notion de ( G, M ) -famille est duale de celle de famille M -orthogonale. Une ( G, M ) -famille est la donnée d’une famille de fonctions c = (Λ c (Λ , P ) | P ∈ F ( M )) à valeurs dans C , ou plus généralement à valeurs dans un espace vectoriel de di-mension finies E , vérifiant les conditions :— pour tout P ∈ F ( M ) , la fonction Λ c (Λ , P ) est lisse sur b a P ;— pour tous P, Q ∈ F ( M ) tels que P ⊂ Q (i.e. P ∈ F Q ( M ) ), on a c ( · , P ) | b a Q = c ( · , Q ) . Pour chaque P ∈ F ( M ) , on prolonge c ( · , P ) en une fonction sur b a constante surles fibres de la projection b a → b a P . Comme pour les familles M -orthogonales, ilsuffit pour définir une ( G, M ) -famille de se donner des fonctions lisses c ( · , P ) : b a M → E pour P ∈ P ( M ) qui vérifient la propriété suivante : pour P, P ′ ∈ P ( M ) deux éléments adjacentscorrespondant à des chambres séparées par le mur a R , où R est l’élément de F ( M ) engendré par P et P ′ , on a l’égalité c ( · , P ) | b a R = c ( · , P ′ ) | b a R . Les fonctions c ( · , Q ) pour Q ∈ F ( M ) r P ( M ) s’en déduisent par restriction.Une ( G, M ) -famille c = ( c ( · , P )) est dite périodique si pour tout P ∈ F ( M ) , lafonction Λ c (Λ , P ) est invariante par translation par A ∨ P , i.e. se factorise par µ P d´ef = b A P . Pour qu’une ( G, M ) -famille c = ( c ( · , P )) soit périodique, il suffit quepour tout P ∈ P ( M ) , la fonction Λ c (Λ , P ) soit A ∨ M -périodique. On notera D ( G, M ) le C -espace vectoriel formé des ( G, M ) -familles périodiques. A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 11
Soit m une mesure de Radon à décroissance rapide sur H M et à valeurs dans E .On lui associe une ( G, M ) -famille en posant, pour Λ ∈ b a P : c (Λ , P ) = Z H M e h Λ ,X P i d m ( X ) où X P = π P ( X ) . La ( G, M ) -famille c est périodique si et seulement si la mesure m est produit d’une fonction à décroissance rapide sur le réseau H M par la mesurede comptage. Par abus de notation nous noterons encore m cette fonction. Satransformée de Fourier b m ( L ) = X U ∈ H M e −h L , U i m ( U ) pour L ∈ b H M se factorise par b H M c’est-à-dire est invariante par H ∨ M . On notera c m la ( G, M ) -famille périodique définie par c m (Λ , P ) = X U ∈ H M e h Λ ,U P i m ( U ) = ( b m ◦ ι P )(Λ) . On munit l’espace vectoriel de dimension finie H M d’une structure euclidienneet on note k X k la norme du vecteur X ∈ H M . L’espace S ( H M ) des fonctions m àdécroissance rapide sur H M est muni d’une structure d’espace de Fréchet au moyendes normes n d pour d ∈ N : n d ( m ) = sup U ∈ H M (1 + k U k ) d | m ( U ) | . Tout opérateur différentiel à coefficients constants D sur b a M permet de définir unesemi-norme N D sur l’espace D ( G, M ) en posant N D ( c ) = X P ∈ P ( M ) sup Λ ∈ µ M | D c (Λ , P ) | , munissant ainsi D ( G, M ) d’une structure d’espace de Fréchet. L’application linéaire S : S ( H M ) → D ( G, M ) définie par m c m est continue. Lemme
Toutes les ( G, M ) -familles périodiques sont obtenues de cette ma-nière. En d’autres termes, l’application S est surjective.Démonstration. C’est une variante de [LW, 1.10.1]. La preuve en est identique àceci près que la fonction χ sur R servant à construire la globalisation sur b H M de la ( G, M ) -famille c donnée, qui ici est périodique, doit ici être prise périodique au lieude lui imposer d’être à support compact. Plus précisément, on fixe une base B G de b a G = i a ∗ G , et pour chaque P ∈ F ( M ) , on pose B P = ι P ( B G ∪ i b ∆ P ) ⊂ b H M . On note B la base de b H M formée par l’union de ces ensembles B P . C’est l’unionde B G et des e Q = ι Q ( i̟ Q ) où Q parcourt l’ensemble F max ( M ) des sous-groupesparaboliques maximaux propres de G contenant M et ̟ Q est l’unique élément de b ∆ Q . Pour chaque P ∈ F ( M ) , on a une partition de B en B = B P ∪ B P avec B P = { e Q | Q ∈ F max ( M ) , Q P } qui induit une décomposition de b H M en somme directe. Pour λ ∈ b H M , on note λ = λ P + λ P la décomposition associée et l’on pose χ P ( λ P ) = Y Q P χ ( x Q ( λ )) si λ P = X Q P x Q ( λ ) e Q . On définit la fonction f ( λ ) = X P ∈ F ( M ) ( − a Q − a M c ( λ P , P ) χ P ( λ P ) où l’on a identifié λ P ∈ ι P ( b a P ) à un élément de b a P . Notons Z le réseau de R engendré par les x Q ( λ ) pour λ ∈ H ∨ M et Q ∈ F max ( M ) . Il suffit de prendre pour χ une fonction lisse et Z -invariante sur R telle que χ (0) = 1 . N’importe quel caractèrede Z \ R convient, par exemple χ = 1 . (cid:3) Ce résultat permet de définir d’autres normes sur l’espace D ( G, M ) : Définition
Pour d ∈ N on pose N d ( c ) = inf { n d ( m ) | c m = c } . Fonctions caractéristiques de cônes et de convexes.
Pour
P, Q ∈ P telsque P ⊂ Q , on note τ QP , resp. b τ QP , la fonction caractéristique du cône ouvert dans a défini par ∆ QP , resp. ˆ∆ QP : τ QP ( X ) = 1 ⇔ h α, X i > , ∀ α ∈ ∆ QP , b τ QP ( X ) = 1 ⇔ h ̟, X i > , ∀ ̟ ∈ ˆ∆ QP . Pour Q = G , on écrira souvent τ P = τ GP , b τ P = b τ GP . La propriété essentielle pour lacombinatoire est que les matrices, indexées par les couples de sous-groupes parabo-liques standards, τ = ( τ P,Q ) et b τ = ( b τ P,Q ) définies par τ P,Q = (cid:26) ( − a P τ QP si P ⊂ Q sinon et b τ P,Q = (cid:26) ( − a P b τ QP si P ⊂ Q sinonsont inverses l’une de l’autre : τ b τ = b τ τ = 1 (cf. [LW, 1.7.2]).Soit M ∈ L . Fixons un élément Q ∈ P ( M ) . Cet élément définit un ordre surl’ensemble des racines de A M dans G . On écrit α > Q , resp. α < Q , pour signifierqu’une racine α est positive, resp. négative, pour cet ordre. Pour P ∈ P ( M ) , notons φ GP,Q la fonction caractéristique des X ∈ a GP suivante : φ GP,Q ( X ) = 1 ⇔ (cid:26) h ̟ α , X i ≤ pour α ∈ ∆ P tel que α > Q h ̟ α , X i > pour α ∈ ∆ P tel que α < Q où { ̟ α : α ∈ ∆ P } = ˆ∆ P est la base de a G, ∗ P duale de { ˇ α : α ∈ ∆ P } = ˇ∆ P . On note a ( P, Q ) le nombre des α ∈ ∆ P tels que α < Q . Par définition, φ GP,Q se factorise par a GP . Observons que φ GP,Q est noté φ M,s dans [LW] lorsque P = s ( Q ) pour un élément s dans le groupe de Weyl. Plus généralement pour R ∈ F ( M ) et P, Q ∈ P R ( M ) ,on définit la fonction φ RQ,P comme ci-dessus en remplaçant G par L = M R , P par P ∩ L et Q par Q ∩ L . Nous aurons aussi besoin de φ QP la fonction caractéristiquedu cône fermé dans a défini par − ˆ∆ QP : φ QP ( X ) = 1 ⇔ h ̟, X i ≤ , ∀ ̟ ∈ ˆ∆ QP .
3. Comme dans [LW], toutes les fonctions indexées par P sont des fonctions sur a qui sefactorisent à travers a P \ a ( ≃ a P ) . Dans [W], elles sont considérées comme des fonctions sur a P . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 13
On observera que φ QP = φ QP,P .Pour P et R dans P tels que P ⊂ R , on définit la fonction Γ RP sur a × a par Γ RP ( H, X ) = X { Q | P ⊂ Q ⊂ R } ( − a Q − a R τ QP ( H ) b τ RQ ( H − X ) . D’après [LW, 1.8.3] la projection dans a RP du support de la fonction H Γ RP ( H, X ) est compacte. Précisément, il existe une constante c > telle que si Γ RP ( H, X ) = 0 on a (cid:13)(cid:13) H RP (cid:13)(cid:13) ≤ c (cid:13)(cid:13) X RP (cid:13)(cid:13) où X X RP est la projection orthogonale par rapport à a P ⊕ a R . De plus, si P eststandard et X est régulier, on a Γ RP ( H, X ) = τ RP ( H ) φ RP ( H − X ) . Soit M ∈ L . Pour une famille M -orthogonale X = ( X P ) et pour R ∈ F ( M ) , onnote Γ RM ( · , X ) la fonction sur a définie par Γ RM ( H, X ) = X P ∈ F R ( M ) ( − a P − a R b τ RP ( H − X P ) . D’après [LW, 1.6.5], si la famille X est régulière, alors Γ RM ( · , X ) est la fonctioncaractéristique de l’ensemble des H ∈ a dont la projection H RM dans a RM appartientà l’enveloppe convexe des points X RP pour P ∈ P R ( M ) . En général, la projection dusupport de la fonction Γ RM ( · , X ) dans a RM est compacte [LW, 1.8.5]. Précisément, ilexiste une constante c > (indépendante de la famille X ) tel que pour tout H ∈ a tel que Γ RM ( H, X ) = 0 , on ait (cid:13)(cid:13) H RM (cid:13)(cid:13) ≤ c sup P ∈ P R ( M ) (cid:13)(cid:13) X RP (cid:13)(cid:13) . On se limite maintenant au cas R = G . Lemme
Soit Q ∈ P ( M ) . On a Γ GM ( H, X ) = X P ∈ P ( M ) ( − a ( P,Q ) φ GP,Q ( H − X P ) . Démonstration.
Ceci résulte de [LW, 1.8.7 (2)]. (cid:3)
Pour les (nombreuses) autres égalités reliant les fonctions τ QP , b τ QP , φ GP,Q , Γ QP et Γ QM , on renvoie à [LW, 1.7, 1.8] et [W, 1.3].Pour P, Q ∈ P tels que P ⊂ Q sont définies en [LW, 1.9] les fonctions méro-morphes ˆ ǫ QP et ǫ QP sur a ∗ , C = a ∗ ⊗ R C . On rappelle la définition de ǫ QP : Définition
On munit l’espace vectoriel a QP d’une mesure de Haar. Pour Λ ∈ a ∗ , C en dehors des murs, on pose ǫ QP (Λ) = vol( a QP / Z ( ˇ∆ QP )) Y α ∈ ∆ QP h Λ , ˇ α i − où Z ( ˇ∆ QP ) désigne le réseau de a QP engendré par ˇ∆ QP , et a QP / Z ( ˇ∆ QP ) est muni de lamesure quotient de la mesure sur a QP par la mesure de comptage sur Z ( ˇ∆ QP ) . On observera que, si hℜ (Λ) , α i > pour tout α ∈ ∆ QP , on a ǫ QP (Λ) = Z a QP φ QP ( H ) e h Λ ,H i d H .
Pour X P ∈ a P on pose aussi ǫ Q,X P P (Λ) = Z a QP φ QP ( H − X P ) e h Λ ,H i d H = e h Λ ,X QP i ǫ QP (Λ) . En sommant sur des réseaux au lieu d’espaces vectoriels on définit, comme en [W,1.5], des variantes ε Q,X P P ( Z ; Λ) des fonctions ǫ Q,X P P . Pour Z ∈ A Q , on pose A QP ( Z ) d´ef = { H ∈ A P : H Q = Z } . Si Z ′ ∈ A P est tel que Z ′ Q = Z , on a alors A QP ( Z ) = Z ′ + A QP . Pour Λ ∈ a ∗ , C , Z ∈ A Q et X P ∈ a P , on pose ε Q,X P P ( Z ; Λ) = X H ∈ A QP ( Z ) φ QP ( H − X P ) e h Λ ,H i . Lemme
La série définissant ε Q,X P P ( Z ; Λ) est absolument convergente si hℜ Λ , ˇ α i > pour tout α ∈ ∆ QP . Dans ce domaine, la série ne dépend que de laprojection de Λ dans a ∗ P, C / A ∨ P . Pour X P ∈ a P, Q , la fonction Λ ε Q,X P P ( Z ; Λ) se prolonge méromorphiquement à tout Λ ∈ a ∗ , C .Démonstration. Montrons le prolongement méromorphe, pour X P ∈ a P, Q . Lapreuve ci-après est classique (cf. [A2] et [W]). Pour tout entier k ≥ on pose D k = k − D où D = Z ( ˇ∆ QP ) ⊂ a QP . Choisissons k tel que D k contienne A QP et ( X P − Z ′ ) Q . Le réseau dual D ∨ k , formédes Λ ∈ a Q, ∗ P ⊗ C tels que h Λ , Y i ∈ iπ Z pour tout Y ∈ D k , vérifie l’inclusion D ∨ k ⊂ A Q, ∨ P . Considérons les fonctions méromorphes ε QP,k (Λ) = Y α ∈ ∆ QP (1 − e −h Λ ,µ α,k i ) − avec µ α,k = k − ˇ α . L’ensemble des H ∈ D k tels que φ QP ( H ) = 1 est celui formé des X α ∈ ∆ QP n α k − ˇ α pour des entiers n α ≤ . Pour Λ ∈ a ∗ , C tel que hℜ Λ , ˇ α i > pour tout α ∈ ∆ QP , ona donc : ε QP,k (Λ) = X H ∈ D k φ QP ( H ) e h Λ ,H i .
4. Dans [A2], cette fonction est notée ( θ QP,k − ) − . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 15
Par inversion de Fourier sur le groupe abélien fini A QP \ D k , on obtient ε Q,X P P ( Z ; Λ) = e h Λ ,Z ′ i [ D k : A QP ] X ν ∈ A Q, ∨ P / D ∨ k X H ∈ D k φ QP ( H + Z ′ − X P ) e h Λ+ ν,H i = e h Λ ,Z ′ i [ D k : A QP ] X ν ∈ A Q, ∨ P / D ∨ k X H ∈ D k φ QP ( H ) e h Λ+ ν,H +( X P − Z ′ ) Q i et donc ε Q,X P P ( Z ; Λ) = e h Λ ,Z ′ i [ D k : A QP ] X ν ∈ A Q, ∨ P / D ∨ k e h Λ+ ν, ( X P − Z ′ ) Q i ε QP,k (Λ + ν ) . Le lemme en résulte. (cid:3)
Lemme
Le lemme 1.6.3 reste vrai pour tout X P ∈ a P .Démonstration. Pour α ∈ ∆ QP , X P ∈ a P et H ∈ A P , posons x α = h α, X P i et h α = h α, H i . On observe que h α ∈ Z . Notons ∆ l’ensemble des α ∈ ∆ QP avec x α ∈ Z . Il existe un Y P ∈ a P, Q tel que les coordonnées y α = h α, Y P i vérifient :— y α = x α pour tout α ∈ ∆ ;— ( y α − h α )( x α − h α ) > pour tout α ∈ ∆ QP r ∆ et tout H ∈ A P .Pour un tel Y P on a φ QP ( H − Y P ) = φ QP ( H − X P ) et donc ε Q,Y P P ( Z ; Λ) = ε Q,X P P ( Z ; Λ) . (cid:3) Pour
P, Q ∈ P ( M ) , Z ∈ A Q et X P ∈ a P , on pose ε G,X P P,Q ( Z ; Λ) = X H ∈ A GP ( Z ) φ GP,Q ( H − X P ) e h H, Λ i la série étant absolument convergente si hℜ Λ , ˇ α i > pour tout α ∈ ∆ Q . Elle nedépend que de la projection de Λ dans a ∗ P, C / A ∨ P . Lemme
Pour X P ∈ a P , la fonction Λ ε G,X P P,Q ( Z ; Λ) ne dépend que del’image de Λ dans a ∗ P, C / A ∨ P . Elle se prolonge méromorphiquement à tout Λ ∈ a ∗ , C ,et on a l’égalité ε G,X P P,Q ( Z ; Λ) = ( − a ( P,Q ) ε G,X P P ( Z ; Λ) . Démonstration.
Compte tenu de 1.6.4, c’est l’assertion (2) de [W, 1.5]. (cid:3)
Soit X = ( X P ) P ∈ F ( M ) une famille M -orthogonale. On pose : γ Q, X M,F ( Z ; Λ) = X H ∈ A QM ( Z ) Γ QM ( H, X ) e h Λ ,H i . Lemme
La série X H ∈ A QM ( Z ) Γ QM ( H, X ) e h Λ ,H i est une somme finie. La fonction Λ γ Q, X M,F ( Z ; Λ) est une fonction entière de Λ ∈ a ∗ , C qui ne dépend que de l’image de Λ dans a ∗ M, C / A ∨ M . Pour Λ en dehors desmurs, on a l’identité suivante : γ Q, X M,F ( Z ; Λ) = X P ∈ P Q ( M ) ε Q,X P P ( Z ; Λ) . Démonstration.
La compacité de la projection sur a QM du support de la fonction H Γ QM ( H, X ) ([LW, 1.8.5]) implique que la série définissant γ Q, X M,F est une somme finie. Elle définitdonc une fonction entière. Pour la seconde assertion on invoque l’expression 1.6.1 de Γ M au moyen des φ P,Q et 1.6.5. (cid:3)
Lemme
On suppose que la famille M -orthogonale X est rationnelle. Choi-sissons un entier k tel que, pour tout P ∈ P Q ( M ) , le réseau D k dans a QM contienne A QM et ( X P − Z ′ ) Q . La valeur en Λ de la fonction γ Q, X M,F ( Z ; Λ) peut s’écrire γ Q, X M,F ( Z ; Λ) = X P ∈ P Q ( M ) X ν p P, Λ+ ν ( X QP ) e h Λ+ ν,X QP i où les ν varient dans A Q, ∨ M / D ∨ k et les p P,λ sont des polynômes en X QP de degré d ( λ ) ,le cardinal de l’ensemble des α ∈ ∆ QP avec h λ, ˇ α i ∈ ikπ Z .Démonstration. Pour Λ en dehors des murs, on a γ Q, X M,F ( Z ; Λ) = X P ∈ P Q ( M ) ε Q,X P P ( Z ; Λ) . On a vu dans la preuve de 1.6.3 que ε Q,X P P ( Z ; Λ) = e h Λ ,Z ′ i [ D k : A QM ] X ν ∈ A Q, ∨ M / D ∨ k e h Λ+ ν, ( X P − Z ′ ) Q i ε QP,k (Λ + ν ) . Fixons λ = Λ+ ν . Pour t ∈ R et ξ en position générale, on dispose du développementde Laurent au voisinage de t = 0 des fonctions ε QP,k ( tξ + λ ) . On rappelle que ε QP,k ( λ ) = Y α ∈ ∆ QP (1 − e −h λ,µ α,k i ) − où µ α,k = k − ˇ α et donc e h tξ + λ, ( X P − Z ′ ) Q i ε QP,k ( tξ + λ ) = t − d ( λ ) e h tξ,X QP i f P ( t, ξ, λ ) e h λ,X QP i où d ( λ ) est le nombre de racines α ∈ ∆ QP telles que e h λ,µ α,k i = 1 c’est-à-dire h λ, ˇ α i ∈ ikπ Z et où, pour λ et ξ fixé, f P ( t, ξ, λ ) est une fonction de t lisse auvoisinage de t = 0 , indépendante de X P , vérifiant f P (0 , ξ, λ ) = 0 . La dérivée parrapport à t d’ordre d ( λ ) de e h tξ,X QP i f P ( t, ξ, λ )
5. On observera que l’identité 1.6.1, qui résulte de [LW, 1.8.7], remplace (avantageusement) ladécomposition [LW, 1.9.3 (3)] dont ni la formulation ni la preuve ne s’étendent au cas des corpsde fonctions : en effet, les murs peuvent contenir des points du réseau qui donnent alors unecontribution non nulle.
A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 17 est un polynôme en X QP de degré d ( λ ) . Le terme de degré zéro dans le développementde Laurent au voisinage de t = 0 de la fonction e h tξ + λ,Z ′ i [ D k : A QM ] e h tξ + λ, ( X P − Z ′ ) Q i ε QP,k ( tξ + λ ) est donc de la forme p P,λ ( X QP ) e h λ,X QP i . Comme d’après 1.6.6 la fonction t γ Q, X M,F ( Z ; Λ + tξ ) est lisse, les parties polaires se compensent . (cid:3) Soit c = ( c ( · , P )) une ( G, M ) -famille. Pour Q ∈ F ( M ) , Z ∈ A Q et une famille M -orthogonale X = ( X P ) , on note c Q, X M,F ( Z ; · ) la fonction définie pour Λ ∈ b a endehors des murs par c Q, X M,F ( Z ; Λ) = X P ∈ P Q ( M ) ε Q,X P P ( Z ; Λ) c (Λ , P ) . Proposition
Soient Q ⊂ R deux sous-groupes paraboliques dans F ( M ) .Considérons une ( R, M ) -famille périodique c associée à une fonction m à décrois-sance rapide sur H R,M , et une famille M -othogonale X . Alors, c Q, X M,F ( Z ; Λ) = X U ∈ H R,M m ( U ) γ Q, X + U M,F ( Z + U Q ; Λ) et la fonction Λ c Q, X M,F ( Z ; Λ) est une fonction lisse sur µ M .Démonstration. On exprime la ( R, M ) -famille c au moyen de la fonction m : pour P ∈ P ( M ) et Λ ∈ µ M on a c (Λ , P ) = X U ∈ H R,M e h Λ ,U P i m ( U ) et donc c Q, X M,F ( Z ; Λ) = X P ∈ P Q ( M ) X U ∈ H R,M m ( U ) e h Λ ,U P i ε Q,X P P ( Z ; Λ) . Fixons un P ′ ∈ P ( M ) . Pour Λ dans le cône positif associé à P ′ on a ε Q,X P P ( Z ; Λ) = ( − a ( P,P ′ ) X H ∈ A QM ( Z ) φ QP,P ′ ( H − X P ) e h Λ ,H i . Donc c Q, X M,F ( Z ; Λ) est égal à X U ∈ H R,M m ( U ) X P ∈ P Q ( M ) ( − a ( P,P ′ ) X H ∈ A QM ( Z ) φ QP,P ′ ( H − X P ) e h Λ ,H + U P i
6. On remarquera que contrairement au cas des corps de nombres les polynômes obtenus nesont en général pas homogènes.7. Notons que cette fonction ne dépend que de la ( Q, M ) -famille ( c ( · , P )) P ∈ F Q ( M ) et de lafamille ( Q, M ) -orthogonale ( X P ) P ∈ F Q ( M ) déduites de c et X par restriction. qui est encore égal à X U ∈ H R,M m ( U ) X P ∈ P Q ( M ) ( − a ( P,P ′ ) X H ∈ A QM ( Z + U Q ) φ QP,P ′ ( H − ( X P + U P )) e h Λ ,H i Donc, vu 1.6.1, c Q, X M,F ( Z ; Λ) = X U ∈ H R,M m ( U ) X H ∈ A QM ( Z + U Q ) Γ QM ( H, X + U ) e h Λ ,H i et on obtient la formule de l’énoncé grâce à 1.6.6. On observe maintenant que pour Λ ∈ µ M , la fonction sur H R,M U γ X + U M,F ( Z + U Q ; Λ) = X H ∈ A QM ( Z + U Q ) Γ QM ( H, X + U ) e h Λ ,H i est majorée par U X H ∈ A QM ( Z + U Q ) | Γ QM ( H, X + U ) | . La fonction H
7→ | Γ QM ( H, X + U ) | pour H ∈ A M ne prend qu’un nombre fini de valeurs entières, bornées indépendamment de U . Elleest à support compact inclus dans une boule de rayon majoré par un polynômeen U . Sa somme sur H est donc bornée par un polynôme en U . Par ailleurs m est à décroissance rapide ce qui prouve la convergence absolue, uniforme en Λ , dela série en U . L’expression c Q, X M,F ( Z ; Λ) est donc une fonction continue en Λ . Plusgénéralement, les dérivées en Λ correspondent à des séries analogues où l’opérateurdifférentiel sur c se traduit en transformée de Fourier par la multiplication par unpolynôme en U . On a encore la convergence uniforme des séries vu la décroissancerapide de m , d’où la lissité de la fonction Λ c Q, X M,F ( Z ; Λ) . (cid:3) Lemme
On reprend les hypothèses de 1.6.7. La valeur en Λ de la fonction c Q, X M,F ( Z ; Λ) peut s’écrire c Q, X M,F ( Z ; Λ) = X P ∈ P Q ( M ) X ν q P, Λ+ ν ( X QP ) e h Λ+ ν,X QP i où les ν varient dans A Q, ∨ M / D ∨ k , les q P, Λ+ ν sont des polynômes en X QP de degréinférieur ou égal à d (Λ + ν ) .Démonstration. La preuve est analogue à celle de 1.6.7 : les fonctions f P ( t, ξ, λ ) doivent être remplacées par les g P ( t, ξ, Λ + ν ) = f P ( t, ξ, Λ + ν ) c (Λ + tξ, P ) . Il convient ensuite d’observer que là aussi les singularités des ε Q,X P P ( Z ; Λ) se com-pensent puisque la fonction t c Q, X M,F ( Z ; Λ + tξ ) est lisse d’après 1.6.8. Mais les degrés des polynômes peuvent s’abaisser là où les c (Λ , P ) ont des zéros. (cid:3) A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 19
Pour une ( G, M ) -famille c (périodique ou non) et une famille M -orthogonalequelconque X , on pose pour Λ ∈ b a en dehors des murs c Q, X M (Λ) = X P ∈ P Q ( M ) ǫ Q,X P P (Λ) c (Λ , P ) . Cela définit une fonction lisse sur b a (les singularités des fonctions ǫ sur les murssont compensées par des annulations dues aux propriétés des ( G, M ) -familles). Si X est la famille triviale, on écrit simplement c GM (Λ) = c G, X =0 M (Λ) . Pour U ∈ H M , on note c ( U ) la ( G, M ) -famille définie par c ( U ; Λ , P ) = e h Λ ,U P i c (Λ , P ) . Pour Λ ∈ b a en dehors des murs, on pose c QM ( U ; Λ) = X P ∈ P Q ( M ) ǫ QP (Λ) c ( U ; Λ , P ) . On a c QM ( U ; Λ) = e h Λ ,U Q i c QM ( U Q ; Λ) où U Q est la famille M -orthogonale ( U QP ) dans M Q . Plus généralement, pour X et U deux familles M -orthogonales quelconques, on pose c Q, X M ( U ; Λ) d´ef = X P ∈ P Q ( M ) ǫ Q,X P P (Λ) c ( U ; Λ , P ) . Observons que c Q, X M ( U ; Λ) = c QM ( X Q + U ; Λ) . Si c est une ( G, M ) -famille périodique et U une famille M -orthogonale rationnelle,la ( G, M ) -famille c ( U ) est périodique si et seulement si la famille U est entière.Auquel cas, si c = c m pour une fonction m à décroissance rapide sur H M , alors c ( U ) = c m ′ où m ′ ( V ) = m ( V − U ) . Pour U entière et X quelconque on pose c Q, X M,F ( Z, U ; Λ) = X P ∈ P Q ( M ) ε Q,X P P ( Z ; Λ) c ( U ; Λ , P ) . On a c Q, X M,F ( Z, U ; Λ) = c Q, X + U M,F ( Z + U Q ; Λ) . On pose aussi γ Q, X M,F ( Z, U ; Λ) d´ef = γ Q, X + U M,F ( Z + U Q ; Λ) = X P ∈ P Q ( M ) ε Q,X P P ( Z ; Λ) e h Λ ,U P i . Si X = T pour un T ∈ a , on remplacera l’exposant T par un simple T dans lesexpressions ci-dessus. Avec cette convention on a le
8. Rappelons que la fonction ǫ Q,X P P (Λ) dépend du choix d’une mesure de Haar sur a QP = a QM .On prend bien sûr la même mesure pour tous les P ∈ P Q ( M ) .9. Notons que dans [W], c’est la ( G, M ) -famille c ( U G ) qui est notée « c ( U ) ».10. On observera que la famille U Q est à priori seulement rationnelle. Corollaire
Soit c = c m une ( G, M ) -famille périodique donnée par unefonction m à décroissance rapide sur H M . Pour T ∈ a on a c Q,TM,F ( Z ; Λ) = X U ∈ H M m ( U ) γ Q,TM,F ( Z, U ; Λ) . Démonstration.
C’est un corollaire de 1.6.8. (cid:3)
Soit H Q,M le R –espace vectoriel formé des familles M –orthogonales dans M Q – c’est-à-dire qu’on remplace les conditions sur P ∈ P ( M ) par des conditions sur P ∈ P Q ( M ) . Soit H Q,M ⊂ H Q,M le réseau formé des familles qui sont entières.L’application naturelle (qui n’est à priori pas surjective) H M = H G,M → H Q,M envoie H M = H G,M dans H Q,M . Elle donne par dualité une application b H Q,M → b H M qui se factorise en une application b H Q,M → b H M . Toute fonction lisse h sur b H M = i H ∗ M définit donc par composition une fonctionlisse h Q sur b H Q,M = i H ∗ Q,M , et si h est périodique alors h Q l’est aussi. En ce cas, h = b m pour une (unique) fonction à décroissance rapide m sur le réseau H M , et onnote m Q la fonction à décroissance rapide sur le réseau H Q,M définie par d m Q = h Q .Cette fonction vaut en dehors de l’image de l’application H G,M → H Q,M , et pour U dans cette image on a m Q ( U ) = X V ∈ H GQ,M ( U ) m ( V ) où H GQ,M ( U ) ⊂ H G,M est la fibre au-dessus de U . Corollaire
Soit c = c m une ( G, M ) -famille périodique donnée par unefonction m à décroissance rapide sur H G,M . Pour T ∈ a on a c Q,TM,F ( Z ; Λ) = X U ∈ H Q,M m Q ( U ) γ Q,TM,F ( Z, U ; Λ) où γ Q,TM,F ( Z, U ; Λ) = γ Q, U ( T ) M,F ( Z + U Q ; Λ) . Démonstration.
C’est encore un corollaire de 1.6.8. (cid:3)
Par inversion de Fourier ceci se reformule comme suit :
Lemme
Soit X une famille ( Q, M ) -orthogonale, et soit c une ( Q, M ) -famille périodique donnée par une fonction à décroissance rapide m sur H Q,M .Pour Z ∈ A Q et V ∈ A M on pose b c Q, X M,F ( Z ; V ) = Z µ M c Q, X M,F ( Z ; Λ) e −h Λ ,V i dΛ . On a alors b c Q, X M,F ( Z ; V ) = X U ∈ H Q,M Z + U Q = V Q m ( U )Γ QM ( V, X + U ) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 21
Démonstration.
On sait d’après 1.6.8 que c Q, X M,F ( Z ; V ) = X U ∈ H Q,M m ( U ) γ Q, X + U M,F ( Z + U Q ; V ) donc b c Q, X M,F ( Z ; V ) = X U ∈ H Q,M m ( U ) b γ Q, X + U M,F ( Z + U Q ; V ) et on observe que b γ Q, X + U M,F ( Z + U Q ; V ) = (cid:26) Γ QM ( V, X + U ) si Z + U Q = V Q sinon . (cid:3) L’ensemble PolExp.
Nous avons besoin des lemmes élémentaires 1.7.1 et1.7.2. Faute de référence nous en donnons une preuve.
Lemme
On considère, pour k = 1 , . . . , m , des nombres complexes a k et desnombres complexes b k deux à deux distincts de module . On suppose que (1) lim n → + ∞ m X k =1 a k b nk = 0 . Alors les a k sont tous nuls.Démonstration. On le démontre par récurrence sur m . Si m = 1 c’est évident.Supposons-le vrai pour m − . En posant d k = b k /b m et c k = a k (1 − d k ) la condition(1) implique lim n → + ∞ m − X k =1 a k d nk − m − X k =1 a k d n +1 k ! = lim n → + ∞ m − X k =1 c k d nk = 0 . Les b k sont tous différents donc les d k sont tous différents. L’hypothèse de récurrenceimpose c k = 0 pour ≤ k ≤ m − . Comme − d k = 0 les a k sont nuls pour ≤ k ≤ m − ; ceci implique a m = 0 . (cid:3) Soit a un espace vectoriel réel de dimension finie, et soit R un réseau de a . Onconsidère pour T ∈ R une combinaison linéaire de polynômes et d’exponentielles : φ ( T ) = X ν ∈ E p ν ( T ) e h ν,T i où E est un sous-ensemble fini de b R = b a / R ∨ et les p ν sont des polynômes sur a . Lemme
Soit C un cône ouvert non vide de a , et soit T ⋆ ∈ R . On supposeque φ ( T ) tend vers lorsque k T k tend vers l’infini pour T dans T ⋆ + ( C ∩ R ) . Alors p ν = 0 pour tout ν .Démonstration. La preuve se fait par récurrence sur la dimension de a . Le cas de ladimension zéro est fourni par 1.7.1. Le réseau R peut être décomposé en une sommedirecte R = Z v ⊕ R avec v ∈ C ∩ R primitif (c’est-à-dire que v = nv avec v ∈ R et n ∈ Z implique n = ± ). Considérons T = nv + T ∈ R avec n ∈ N et T ∈ R .On peut écrire φ ( nv + T ) sous la forme φ ( nv + T ) = X µ ∈ E ( v ) q µ ( n, T ) b nµ où les b µ = e h µ,v i sont des nombres complexes de module deux à deux distinctset E ( v ) est le quotient de E défini par la restriction à Z v . Les fonctions q µ sont dela forme : q µ ( n, T ) = d µ X s =0 X τ ∈ E µ r s,τ ( T ) e h τ,T i n s où les s sont entiers, les r s,τ sont des polynômes sur a , l’espace vectoriel engendrépar R , et E µ est un sous-ensemble fini de b R = b a / R ∨ . Soit d est le degré maximaldes polynômes q µ en n , et soit a µ ( T ) le coefficient de n d dans q µ : a µ ( T ) d´ef = X τ ∈ E µ r d,τ ( T ) e h τ,T i où, par convention, r d,τ ( T ) = 0 si d > d µ . On a (2) lim n → + ∞ n − d φ ( nv + T ) − X µ a µ ( T ) b nµ ! = 0 . On observe que pour T fixé et n assez grand on a nv + T ∈ T ⋆ + ( C ∩ R ) . Par hypothèse (3) lim n → + ∞ φ ( nv + T ) = 0 . On déduit de (2) et (3) que lim n → + ∞ X µ a µ ( T ) b nµ = 0 . D’après le lemme 1.7.1 les a µ ( T ) sont tous nul. Par récurrence descendante sur ledegré on obtient que pour tout entier s et tout T ∈ R : X τ ∈ E µ r s,τ ( T ) e h τ,T i = 0 . Par hypothèse de récurrence sur la dimension de a cela implique que les r s,τ sontnuls. On en déduit que les p ν le sont. (cid:3) Nous introduisons maintenant comme dans [W, 1.7] l’ensemble PolExp :
Définition
On note
PolExp l’espace vectoriel des fonctions φ : a , Q → C telles que, pour tout réseau R de a , Q , il existe une famille indexée par les ν ∈ b R depolynômes sur a T p R ,ν ( φ, T ) avec les propriétés suivantes :— les ν ∈ b R tels que p R ,ν = 0 sont en nombre fini ;— pour T ∈ R , on a l’égalité φ ( T ) = P ν ∈ b R p R ,ν ( φ, T ) e h ν,T i . D’après 1.7.2, les p R ,ν sont uniquement déterminés par une approximation de φ R = φ | R , sur l’intersection de R et d’un cône ouvert non vide de a . Observonsque si R et R ′ sont deux réseaux de a , Q tels que R ⊂ R ′ , pour ν ∈ b R on a p R ,ν ( φ, T ) = X ν ′ ∈ R ∨ / R ′∨ p R ′ ,ν + ν ′ ( φ, T ) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 23
La famille ( p R ,ν ) ν ∈ b R se déduit donc de la famille ( p R ′ ,ν ′ ) ν ′ ∈ c R ′ . Proposition
Soient c une ( G, M ) -famille périodique à valeurs scalaires, X une famille M -orthogonale rationnelle, Z ∈ A Q et Λ ∈ b a M . On note µ l’image de Λ Q dans µ QM = µ M / µ Q . Soit R un réseau de a , Q , et pour k ∈ N ∗ soit R k = k − R .Alors :(i) La fonction T φ ( T ) = c Q, X ( T ) M,F ( Z ; Λ) appartient à PolExp .(ii) Si µ = 0 , il existe un entier k ≥ , ne dépendant que de R , tel que p R k , ( φ, T ) = 0 pour tout entier k ≥ k .(iii) Si µ = 0 , i.e. Λ ∈ Λ Q + A ∨ M , alors lim k → + ∞ p R k , ( φ, T ) = vol( A QM \ a QM ) − e h Λ Q ,Z i c QM ( X ( T ) Q ; Λ Q ) et en particulier, cette limite est indépendante de R . Plus précisément, ilexiste un réel b > ne dépendant que de R , X et T tel que pour tout entier k ≥ on ait la majoration | p R k , ( φ, T ) − vol( A QM \ a QM ) − e h Λ Q ,Z i c QM ( X ( T ) Q ; Λ Q ) | ≤ b N d ( c ) k − où N d est la norme pour les ( G, M ) -familles périodiques définie en 1.5.2 et d la dimension de a QM .Démonstration. L’assertion ( i ) est une conséquence immédiate de 1.6.9. Relevons Z en un élément Z ′ de A M et choisissons un entier k ′ tel que, pour tout P ∈ P Q ( M ) ,le réseau D k ′ de a QM contienne A QM et ( X P − Z ′ ) Q . Pour P ∈ P Q ( M ) , notons [ R ] QP le réseau de a QM image de R par l’application T [ T ] QP = ([ T ] P ) Q . On suppose k assez grand de sorte que pour tout P ∈ P Q ( M ) on ait [ R k ] Q, ∨ P ⊂ D ∨ k ′ ⊂ A Q, ∨ M . Avec les notations de 1.6.9 on sait que : p R k , ( φ ; T ) = X P ∈ P Q ( M ) X ν ∈ E P q P, Λ+ ν ([ T ] QP ) où E P = { ν ∈ A Q, ∨ M / [ R k ] Q, ∨ P | Λ Q + ν = 0 } . On voit que E P possède un unique élément si Λ Q ∈ A Q, ∨ M c’est-à-dire si µ = 0 etest vide sinon ; ( ii ) en résulte. Lorsque µ = 0 on va esquisser une démonstrationde ( iii ) , différente de celle de [W, 1.7, lemme ( ii ) ]. Pour alléger les notations oncommence par traiter le cas Λ Q = 0 . D’après la proposition 1.6.8 on a φ ( T ) = X U ∈ H M m ( U ) γ Q, X ( T ) M,F ( Z, U ; Λ) avec m à décroissance rapide sur le réseau H M et γ Q, X ( T ) M,F ( Z, U ; Λ) = γ Q, ( X + U )( T ) M,F ( Z + U Q ; Λ) . Fixons U ∈ H M et posons V = X + U . On rappelle que γ Q, V ( T ) M,F ( Z + U Q ; Λ) = X H ∈ A QM ( Z + U Q ) Γ QM ( H, V ( T )) e h Λ ,H i . Relevons U Q en un élément U ′ Q de A M , et posons Z ′′ = Z ′ + U ′ Q . On obtient γ Q, V ( T ) M,F ( Z + U Q ; Λ) = e h Λ ,Z ′′ i X H ∈ A QM Γ QM ( Z ′′ + H, V ( T )) e h Λ ,H i . Notons R QM l’image de R par l’application H H QM . On suppose R assez fin desorte que R QM contienne A QM ainsi que l’image ( Z ′′ ) Q de Z ′′ dans a QM . Par inversionde Fourier sur le groupe fini A QM \ R QM on a γ Q, V ( T ) M,F ( Z + U Q ; Λ) = e h Λ ,Z ′′ i [ R QM : A QM ] X ν ∈ A Q, ∨ M / R Q, ∨ M X H ∈ R QM Γ QM ( Z ′′ + H, V ( T )) e h Λ+ ν,H i . Le polynôme en T attaché à Λ = ν = 0 , que nous noterons p R , ( V , T ) , vaut : p R , ( V , T ) = 1[ R QM : A QM ] X H ∈ R QM Γ QM ( Z ′′ + H, V ( T )) . La restriction à a QM de la fonction H Γ QM ( Z ′′ + H, V ( T )) est, d’après [LW, 1.8.4 (2), 1.8.3], combinaison linéaire à coefficients dans {− , +1 } d’une famille finie de fonctions caractéristiques de polytopes du type C ( P, Q, R, X ) qui sont convexes, bornés (mais en général non fermés) ; en particulier elle est àsupport compact de rayon borné par un polynôme en V ( T ) . Lorsque l’on remplace R par R k = k − R et que l’on fait tendre k vers l’infini p R k , ( V , T ) a pour limiteune intégrale au sens de Riemann : lim k →∞ p R k , ( V , T ) = vol( A QM \ a QM ) − Z H ∈ a QM Γ QM ( H, V ( T )) d H soit encore lim k →∞ p R k , ( V , T ) = vol( A QM \ a QM ) − γ QM ( V ( T ); 0) . Le terme d’erreur est majoré par le volume des hypercubes (les mailles du réseau k − R QM ) rencontrant la frontière des polytopes ; ces hypercubes sont inclus dansun voisinage tubulaire de la frontière des polytopes, de rayon a/k où a est uneconstante ne dépendant que de la taille des mailles de R . Le voisinage tubulairea un volume borné par le produit de a/k et de r ( R , V ( T )) qui est la somme desmesures des frontières des polytopes. Donc | p R k , ( V , T ) − vol( A QM \ a QM ) − γ QM ( V ( T ); 0) | ≤ ak − r ( R , V ( T )) . On passe de γ Q, X M,F à c Q, X M,F en sommant sur U cette inégalité contre m ( U ) d’où : | p R k , ( φ, T ) − vol( A QM \ a QM ) − c QM ( X ( T ) Q ; 0) | ≤ ak − X U ∈ H M r ( R , U + X ( T )) | m ( U ) | . Comme r ( R , V ( T )) est majoré par un polynôme en V ( T ) on voit (avec les notationsde 1.5.2) qu’il existe un entier d et une fonction b ( R , X ( T )) telle que X U ∈ H M r ( R , U + X ( T )) | m ( U ) | ≤ b ( R , X ( T )) n d ( m ) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 25
En prenant l’infimum sur les m , on obtient l’assertion souhaitée lorsque Λ Q = 0 .Maintenant on observe que c Q, X ( T ) M,F ( Z ; Λ Q ) = e h Λ Q ,Z i d Q, X ( T ) M,F ( Z ; 0) où d est la ( Q, M ) -famille périodique déduite de c par translation par Λ Q . Le casgénéral en résulte. (cid:3) L’expression vol( A QM \ a QM ) − e h Λ Q ,Z i c Q,T M ( X Q ; Λ) est indépendante du choix de la mesure de Haar sur a QM . Dans les applications quenous avons en vue la normalisation naturelle semble être la suivante : pour chaque M ∈ L , on munit a M de la mesure de Haar telle que vol( B M \ a M ) = 1 et pour Q ∈ F ( M ) , on munit a QM de la mesure de Haar compatible aux mesures sur a M et a Q = a M Q et à la décomposition a M = a Q ⊕ a QM . Alors on a vol( B QM \ a QM ) = 1 et vol( A QM \ a QM ) = | M | − | Q | . Espaces tordus
Tous les résultats de [LW, ch. 2] sont vrais ici, à l’exception de 2.6 et 2.10.L’adaptation au cas tordu la version « corps de fonctions » des résultats du chapitreprécédent sur les transformées de Laplace des fonctions caractéristiques de cônes etles ( G, M ) -familles est immédiat. Nous serons très succincts.2.1. Hypothèses.
Soit ( e G, G ) un G -espace tordu. On rappelle que e G est une va-riété algébrique affine, munie d’une action algébrique de G à gauche qui en fait un G -espace principal homogène, et d’une application e G → Aut( G ) , δ Int δ telle que Int gδ = Int g ◦ Int δ pour tout g ∈ G et tout δ ∈ e G . On en déduit une action à droite de G sur e G , donnéepar δg = Int δ ( g ) g . On suppose que e G est défini sur F , c’est-à-dire que les actions à gauche et à droitede G sur e G sont définies sur F , et que e G ( F ) est non vide. L’ensemble e G ( A ) despoints adéliques de e G est un espace tordu sous G ( A ) , et on a e G ( A ) = G ( A ) e G ( F ) = e G ( F ) G ( A ) . On notera souvent θ l’automorphisme de G défini par Int δ pour un δ ∈ e G ( A ) . Onobserve que l’automorphisme induit par θ sur a G ne dépend que de e G . On pose a e G = a θG et a e G = dim a e G . On suppose, comme en [LW, 2.5] , que l’application naturelle a θG → a G / (1 − θ ) a G
11. Dans [W], l’hypothèse est un peu plus forte que celle de [LW, 2.5] : le F -automorphisme θ de Z G est supposé d’ordre fini, ce qui assure l’existence d’un F -groupe algébrique affine G + decomposante neutre G , tel que e G soit une composante connexe de G + . est un isomorphisme. Dans ce cas on a une décomposition en somme directe a G = a e G ⊕ a e GG en posant a e GG = (1 − θ ) a G . On observe que det( θ − | a e GG ) = 0 . Notons X le Z -module libre des caractères du tore A G . Soit X θ le groupe des co-invariants sous θ dans X et e X le Z -module libre quotient de X θ par son sous-groupede torsion. On notera A e G le tore déployé dont le groupe des caractères est e X . C’estaussi le tore déployé dont le groupe des co-caractères est le sous-groupe Y θ desinvariants sous θ du groupe Y des co-caractères de A G . Le morphisme X → e X induit un homomorphisme A e G → A G qui identifie A e G à la composante neutre dusous-groupe A θG de A G formé des points fixes sous θ . En particulier A e G ( A ) est unsous-groupe d’indice fini de A G ( A ) θ = A θG ( A ) . Soit H e G : G ( A ) → a e G l’application composée de H G : G ( A ) → a G et de la projection sur a e G . On note A e G l’image de H e G , c’est-à-dire l’image de A G par la projection orthogonale par rapportà a e GG . C’est un réseau de a e G . Comme dans le cas non tordu, on a un morphismenaturel injectif A A e G → A e G . On note B e G (= H e G ( A e G ( A ))) son image, qui est unsous-groupe d’indice fini de A e G , et on pose e G d´ef = B e G \ A e G . Notons que d’après ce qui précède, B e G coïncide avec le sous-groupe Y θ de Y = B G formé des points fixes sous θ : on a B e G = B θG = B G ∩ a e G . On pose B e GG = B e G \ B G et C e GG = B e G \ A G . On observe que B e GG est un réseau de a e GG , et que C e GG est un Z -module de type finiqui s’insère dans la suite exacte courte → B e GG → C e GG → G → . On suppose, ce qui est loisible, que la paire parabolique définie sur F minimale ( P , A ) de G a été choisie de telle sorte qu’elle soit stable par Int δ pour un élément δ ∈ e G ( F ) , déterminé de manière unique modulo M ( F ) . On fixe un tel δ , et onpose θ = Int δ , e P = δ P et f M = δ M . Alors le F -automorphisme θ de G induit par fonctorialité un automorphisme de a , que l’on note encore θ . Puisquele F -automorphisme θ préserve A et P , il induit une permutation de l’ensemblefini ∆ et donc un automorphisme d’ordre fini de a G . On renvoie à [LW, 2.7, 2.8]pour l’adaptation des autres notions.L’extension au cas tordu de la notion de famille orthogonale, de ( G, M ) -familleet de la combinatoire des fonctions τ , b τ , φ et Γ , est immédiate (cf. [LW, 2.9]).On dispose de plus ici de la notion de famille de famille f M -orthogonale entièreet de ( e G, f M ) -famille périodique. Toute famille M -orthogonale X = ( X P ) définitpar projection une famille f M -orthogonale ( X e P ) , et si X est entière alors ( X e P ) l’estaussi. En particulier, tout élément T ∈ a définit une famille f M -orthogonale ([ T ] e P ) .Toutes les relations de [LW, 1.7, 1.8] et [W, 1.3] sont valables pour ces nouvelles A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 27 fonctions. Par exemple, si X = ( X e P ) est une famille f M -orthogonale, pour Λ ∈ a ∗ , C ,on pose γ e Q, X f M,F ( Z ; Λ) = X H ∈ A e Q e P ( Z ) Γ e Q f M ( H, X ) e h Λ ,H i . Comme dans le cas non tordu, Λ γ e Q, X f M,F ( Z ; Λ) est une fonction entière de Λ ∈ a ∗ , C ,et on a la décomposition pour Λ en dehors des murs γ e Q, X f M,F ( Z ; Λ) = X e P ∈ P e Q ( f M ) ε e Q, X e P ( Z ; Λ) . Pour une ( e G, f M ) -famille c = ( c ( · , e P )) , comme en 1.6 et modulo le choix d’unemesure de Haar sur l’espace a e Q f M on définit pour Λ ∈ b a en dehors des murs c e Q f M (Λ) = X e P ∈ P e Q ( f M ) ǫ e Q e P (Λ) c (Λ , e P ) . De même, si Z ∈ A e Q et X = ( X e P ) est une famille f M -orthogonale, on pose c e Q, X f M,F ( Z ; Λ) = X e P ∈ P e Q ( f M ) ε e Q, X e P ( Z ; Λ) c (Λ , e P ) . Ces fonctions vérifient les mêmes propriétés que dans le cas non tordu. En particu-lier, toute ( e G, f M ) -famille périodique c s’écrit c = c m pour une fonction à décrois-sance rapide m sur le réseau H f M des familles f M -orthogonales qui sont entières. Ona une formule d’inversion de Fourier analogue de celle de 1.6.8 dans le cas tordu,et la fonction Λ c e Q, X f M,F ( Z ; Λ) sur b a est lisse et invariante par A ∨ f M . On a aussiune variante de cette formule d’inversion de Fourier, lorsque c se prolonge en une ( G, M ) -famille périodique : Lemme
Soient f M ∈ e L , e Q ∈ F ( f M ) et Z ∈ A e Q . Soit X une famille f M -orthogonale, et soit c = ( c ( · , e P )) une ( e G, f M ) -famille périodique. Supposons que c se prolonge en une ( G, M ) -famille périodique ( c ( · , P )) , et soit m une fonction àdécroissance rapide sur H M telle que c = c m . Alors c e Q, X f M,F ( Z ; Λ) = X U ∈ H M m ( U ) γ e Q, X f M,F ( Z, U ; Λ) avec γ e Q, X f M,F ( Z, U ; Λ) = γ e Q, U ′ + X f M,F ( Z + U e Q ; Λ) où U ′ est la famille f M -orthogonale entière déduite de U par projection.Démonstration. Notons m ′ la fonction à décroissance rapide sur H f M définie par m ′ ( U ′ ) = X U ∈ H M ( U ′ ) m ( U ) où H M ( U ′ ) ⊂ H M est la fibre au-dessus de U ′ . Il suffit de voir que la ( e G, f M ) -famille c est associée à m ′ : on a c = c m ′ . (cid:3) La preuve de 1.7.4 s’étend au cas tordu et fournit le
Lemme
Soient f M ∈ e L , e Q ∈ F ( f M ) et Z ∈ A e Q . Soit X une famille f M -orthogonale rationnelle, et soit c = ( c ( · , e P )) une ( e G, f M ) -famille périodique. Pour Λ ∈ b a , la fonction T c e Q, X ( T ) f M,F ( Z ; Λ) appartient à PolExp . On a aussi l’analoguetordu des points (ii) et (iii) de 1.7.4.
Nous aurons besoin d’une variante de ce qui précède. Le Z -module de type fini C e Q f M d´ef = B e Q \ A f M s’insère dans la suite exacte courte → B e Q \ B f M → C e Q f M → f M → . On note B e Q f M ( Z ) ⊂ C e Q f M la fibre au-dessus de Z ∈ f M . C’est un espace principalhomogène sous B e Q f M = B e Q \ B f M . Pour Λ ∈ a G, ∗ , C ⊕ B ∨ e Q , e P ∈ P e Q ( f M ) , T ∈ a et X ∈ a on pose η e Q,T e P,F ( Z ; X, Λ) = X H ∈ B e Q f M ( Z ) Γ e Q e P ( H − X, T ) e h Λ ,H i . L’expression (1) η e Q,T e P,F ( Z ; X ) = η e Q,T e P,F ( Z ; X, ne dépend que de l’image de T dans B e Q e P \ a e Q e P . La proposition suivante est une variantede 1.6.7 et 1.7.4. Proposition
Pour X ∈ a , Q , la fonction T φ ( T ) = η e Q,T e P,F ( Z ; X ) est un élément de PolExp : pour tout réseau R de a , Q , sa restriction à R s’écrit φ R ( T ) = X ν ∈ E p R ,ν ( T ) e h ν,T i où E est un sous-ensemble fini de b R et les p R ,ν sont des polynômes de degré majorépar a e P − a e Q . Les polynômes p R k , ont pour limite, lorsque k → ∞ , un polynômequi est indépendant du réseau R .Démonstration. Puisque η e Q,T e P,F ( Z ; X ) = e h Λ ,Z ′ i η e Q,T e P,F (0; X − Z ′ ) on peut supposer Z = 0 et il suffit de traiter le cas e Q = e G . Posons η e G,T e P,F ( X, Λ) = η e G,T e P,F (0; X, Λ) . On rappelle que (2) Γ e G e P ( H, T ) = X { e R | e P ⊂ e R } ( − a e R − a e G τ e R e P ( H )ˆ τ e G e R ( H − T ) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 29 et que la projection dans a e G e P du support de la fonction H Γ e G e P ( H, T ) est compacte.Pour Λ ∈ a e G , C sa transformée anti-Laplace η e G,T e P,F ( X, Λ) = X H ∈ B e G e P Γ e G e P ( H − X, T ) e h Λ ,H i est donc une fonction holomorphe de Λ . Comme dans 1.6.3 on considère un réseau D k de a e G e P assez fin pour que B e G e P et les images de X et T dans a e G e P soient contenusdans ce réseau. On a η e G,T e P,F ( X, Λ) = c − X ν ∈ N X H ∈ D k Γ e G e P ( H − X, T ) e h Λ+ ν,H i où ν parcourt le dual N = B e G, ∨ e P / D ∨ k de B e G e P \ D k et c est l’indice de B e G e P dans D k .La somme en H peut se calculer au moyen de l’expression (2) lorsque ℜ ( − Λ) estrégulier : η e G,T e P,F ( X, Λ) = X { e R | e P ⊂ e R } η T e P, e R ( X, Λ) avec η T e P, e R ( X, Λ) = c − ( − a e R − a e G X ν ∈ N X H ∈ D k τ e R e P ( H − X )ˆ τ e R ( H − T − X ) e h Λ+ ν,H i qui est une fonction méromorphe en Λ ayant un pôle d’ordre a e G e P = a e P − a e G en Λ = 0 . On conclut comme dans 1.6.7 en considérant les développements de Laurentdes η T e P, e R ( X, Λ) . Pour la dernière assertion on procède comme dans la preuve de1.7.4. (cid:3) Les fonctions σ RQ et e σ RQ . D’après [LW, 2.11.1], pour un Q ∈ P st , il existe unplus petit e Q + ∈ e P st et un plus grand e Q − ∈ e P st tels que Q − ⊂ Q ⊂ Q + . De plus [LW, 2.11.2], pour
Q, R ∈ P st tels que Q + ⊂ R − , on a ( a RQ ) θ = a e R − e Q + .Pour Q, R ∈ P tels que Q ⊂ R , on note σ RQ la fonction caractéristique del’ensemble des H ∈ a tels que h α, H i > pour α ∈ ∆ RQ h α, H i ≤ pour α ∈ ∆ Q r ∆ RQ h ̟, H i > pour tout ̟ ∈ ˆ∆ R Si de plus Q ∈ P st et Q + ⊂ R − , il existe un e P ∈ e P tel que Q ⊂ P ⊂ R et ondéfinit la variante tordue e σ RQ de la fonction σ RQ en remplaçant la troisième conditionpar h ˜ ̟, H i > pour tout ˜ ̟ ∈ ˆ∆ e P . D’après [LW, 2.11.3], la fonction e σ RQ estindépendante du choix du ˜ P ∈ e P avec Q ⊂ P ⊂ R utilisé pour la définir, ce quijustifie la notation. La fonction q . Pour Q ∈ P st , considérons l’application linéaire q = q Q : a → a e GQ définie par q ( X ) = ((1 − θ ) X e G ) Q = ((1 − θ ) X ) e GQ . Elle se factorise à travers la projection orthogonale a → a e GQ avec Q = Q ∩ θ − ( Q ) ∈ P st . Tous les résultats de [LW, 2.12, 2.13] sont vrais ici, mutatis mutandis.3.
Théorie de la réduction
Décomposition d’Iwasawa.
Pour v ∈ | V | , on fixe une paire parabolique dé-finie sur F v minimale ( P v, , A v, ) de G v = G × F F v , et on note M v, le centralisateurde A v, dans G v . On suppose que P v, ⊂ P ,v = P × F F v , A v, ⊃ A ,v = A × F F v . Un sous-groupe compact de G ( F v ) est dit « M v, -admissible » s’il est spécial –donc maximal – et correspond à un sommet de l’immeuble de G ( F v ) qui appartientà l’appartement associé à A v, . Rappelons qu’un sous-groupe compact maximal M v, -admissible K v de G ( F v ) vérifie les propriétés suivantes (cf. [LW, 3.1.1]) :— G ( F v ) = P v, ( F v ) K v (décomposition d’Iwasawa) ;— tout élément de N G ( M v, )( F v ) /M v, ( F v ) a un représentant dans K v ;— pour tout sous-groupe parabolique P de G contenant M v, et défini sur F v ,notant M la composante de Levi de P contenant M v, (elle est définie sur F v ), on a la décomposition K v ∩ P ( F v ) = ( K v ∩ M ( F v ))( K v ∩ U P ( F v )) et K v ∩ M ( F v ) est un sous-groupe compact M v, -admissible de M ( F v ) .Un sous-groupe compact maximal K = Y v ∈| V | K v de G ( A ) est dit « M -admissible » s’il vérifie les propriétés suivantes :— pour tout v ∈ | V | , K v est un sous-groupe compact M v, -admissible de G ( F v ) ;— pour tout F -plongement G ֒ → GL n , on a K v = GL n ( o v ) ∩ G ( F v ) pourpresque tout v ∈ | V | ;Fixons un sous-groupe compact maximal M -admissible K = Q v ∈| V | K v de G ( A ) . Alors on a la décomposition d’Iwasawa G ( A ) = P ( A ) K et tout élément de N G ( A ) ( M ) /M ( A ) a un représentant dans K . Plus généralement,pour tout P ∈ P on a G ( A ) = P ( A ) K .
12. Notons que notre définition de q Q diffère de celle de [LW, 2.13], puisqu’on projette sur a e GQ et non pas sur a GQ . Cela ne change pas grand chose à l’affaire puisque par hypothèse, l’application − θ est un automorphisme de a e GG . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 31
Pour P ∈ P , grâce à la décomposition d’Iwasawa, on étend les morphismes H P en des fonctions sur G ( A ) tout entier que, par abus de notation, on note encore H P : pour g ∈ G ( A ) , on écrit g = pk avec p ∈ P ( A ) et k ∈ K , et on pose H P ( g ) = H P ( p ) . Pour e P ∈ e P , on note e H P : e G ( A ) → a P la fonction définie par e H P ( δ g ) = H P ( g ) . Suivant la convention habituelle, on pose H = H P et e H = e H P .La construction de hauteurs dans [LW, 3.2], qui reprend essentiellement celle de[MW, I.2.2], est valable pour un corps global de caractéristique quelconque. Pour lanotion de hauteur sur un F -espace vectoriel de dimension finie, on renvoie à loc. cit .On suppose donné un F -plongement ρ : G → GL( V ) pour un F -espace vectoriel de dimension finie V . On choisit une hauteur k·k sur le F -espace vectoriel End( V ) × End( V ) , et pour x ∈ G ( A ) , on pose | x | = k ( ρ ( x ) , t ρ ( x − )) k . L’élément T . D’après [LW, 3.3.3], il existe un point T ∈ a G tel que pourtout élément s ∈ W , et pour tout représentant w s de s dans G ( F ) , on ait H ( w s ) = T − sT , H ( w − s ) = T − s − T . Cet point est donné par T = X α ∈ ∆ t α (1) ˇ ̟ α où ˇ ̟ α ∈ a G est l’élément correspondant à α ∈ ∆ dans la base duale et t α (1) ∈ R est défini par H ( w α ) = t α (1)ˇ α où w α est un représentant dans G ( F ) de la symétrie s α . Puisque ˇ∆ ⊂ a , Q il existeun entier k ≥ tel que T ∈ k − A . Pour x ∈ G ( A ) , T ∈ a et s ∈ W , on pose Y x,T,s = s − ( T − H ( w s x )) . Si x = 1 , on écrit simplement Y T,s d´ef = Y ,T,s = s − T + ( T − s − T ) , et si T = 0 , on pose Y s = Y ,s . Pour P ∈ P ( M ) et s ∈ W tel que s ( P ) = P , onpose Y T,P = Y T,s . Ceci définit comme en [LW, 3.3] une famille orthogonale Y ( T ) d´ef = ( Y T,P ) P ∈ P avec Y T,P = [ T ] P + ( T − [ T ] P ) . On note Y = ( Y P ) la famille M -orthogonale définie par Y P d´ef = Y ,P = T − [ T ] P = T − s − T = Y s . Puisque Y s ( P ) = H ( w − s ) ∈ A , la famille Y est entière et on a Y ( T ) = Y + T .Plus généralement, pour x ∈ G ( A ) et T ∈ a , on définit comme en [LW, 3.3.2 ( iii ) ]une famille M -orthogonale ( Y x,T,P ) : pour P ∈ P ( M ) et s ∈ W tel que s ( P ) = P ,on pose Y x,T,P = Y x,P,s . On a donc Y T,P = Y ,T,P . La famille ( Y x,T,P ) est rationnelle
13. Dans [LW, 3.3 et 5.3], les éléments Y x,T,s , Y T,s , Y s sont notés respectivement Y s ( x, T ) , Y s ( T ) , Y s . si T ∈ a , Q . De plus ( loc. cit .), il existe une constante c telle que si d ( T ) > c , cettefamille est régulière.3.3. Éléments primitifs.
En caractéristique positive, la décomposition de Jordann’est en général pas définie sur le corps de base ; il convient donc ici de remplacer lanotion d’élément quasi semi-simple régulier elliptique par celle d’élément primitif[LW, 3.7, p. 76] : un élément de e G ( F ) est dit primitif (dans e G ) s’il n’appartient àaucun sous-espace parabolique propre de e G défini sur F , autrement dit, si son orbitesous G ( F ) ne rencontre aucun e P ( F ) pour e P = e G . On note e G ( F ) prim l’ensemble deséléments primitis de e G ( F ) . Pour f M ∈ e L , on dispose plus généralement de la notiond’élément primitif de f M ( F ) et de l’ensemble f M ( F ) prim .On appelle paire primitive (dans e G ) une paire ( f M , δ ) où f M ∈ e L et δ est unélément primitif de f M ( F ) . Deux paires primitives ( f M , δ ) et ( f M ′ , δ ′ ) sont diteséquivalentes s’il existe un élément x ∈ G ( F ) tel que f M ′ = Int x ( f M ) et δ ′ = Int x ( δ ) .On note [ f M , δ ] la classe d’équivalence de ( f M , δ ) et O l’ensemble de ces classes.Pour un élément γ ∈ e G ( F ) , on note O ( γ ) sa classe de G ( F ) -conjugaison. Consi-dérons un espace parabolique e P = f M U ∈ e P tel que O ( γ ) ∩ e P ( F ) = ∅ , avec e P minimal pour cette propriété. On choisit g ∈ G ( F ) tel que g − γg ∈ e P ( F ) . On peutécrire g − γg = δu avec δ ∈ f M ( F ) et u ∈ U ( F ) . La condition de minimalité assureque δ est primitif dans f M . Lemme
La correspondance γ ( f M , δ ) induit une application surjective ζ : e G ( F ) → O . Démonstration.
Il convient de montrer que deux paires primitives associées à unmême γ sont équivalentes. Soient donc e P = f M U et e P ′ = f M ′ U ′ deux sous-ensemblesparaboliques tels que gγg − = δu pour g ∈ G ( F ) , δ ∈ f M ( F ) , u ∈ U ( F ) ainsi que g ′ γg ′− = δ ′ u ′ pour g ′ ∈ G ( F ) , δ ′ ∈ f M ′ ( F ) et u ′ ∈ U ′ ( F ) . En posant x = g ′ g − on a δ ′ u ′ = xδux − . L’élément δ ′ est un point rationnel de l’intersection f M ′ ∩ Int x ( e P ) quiest un sous-espace parabolique de f M ′ . Puisque δ ′ est primitif dans f M ′ , on en déduitque f M ′ ∩ Int x ( e P ) = f M ′ . L’espace tordu e P ′ ∩ Int x ( e P ) admet une décomposition deLevi de la forme e P ′ ∩ Int x ( e P ) = f M ′ ⋉ ( U ′ ∩ Int x ( P )) . En échangeant les rôles de δ et δ ′ , on voit que f M est un facteur de Levi de l’espacetordu e P ∩ Int x − ( e P ′ ) . Par conjugaison par x on obtient que Int x ( f M ) est aussi unfacteur de Levi de e P ′ ∩ Int x ( e P ) . D’après [BT, 4.7] il existe un unique élément v ∈ ( U ′ ∩ Int x ( U ))( F ) qui conjugue les facteurs de Levi f M ′ et Int x ( f M ) . Donc, enposant y = vx , on a f M ′ = Int y ( f M ) . Maintenant yδuy = vδ ′ u ′ v − = δ ′ u ′′ où u ′′ = Int − δ ′ ( v ) u ′ v − ∈ U ′ ( F ) . D’autre part on a yδy − ∈ f M ′ ( F ) et donc yuy − ∈ P ′ ( F ) . Puisque v ∈ U ′ ( F ) l’élément xux − est un élément rationnel de P ′ ∩ Int x ( U ) = U ′ ∩ Int x ( U ) . Donc yuy − ∈ U ′ ( F ) ce qui implique l’égalité δ ′ = yδy − . (cid:3) A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 33
Lemme (i) L’application ζ fournit une partition de l’ensemble des classesde G ( F ) -conjugaison dans e G ( F ) et pour o = [ f M , δ ] ∈ O l’ensemble O o = [ e Q ∈ P ( f M ) { g − δug | g ∈ G ( F ) , u ∈ U Q ( F ) } est la fibre de ζ au desus de o .(ii) Pour e Q ∈ e P , on a On a la décomposition O o ∩ e Q ( F ) = ( O o ∩ f M Q ( F )) U Q ( F ) . Démonstration.
Le point ( i ) est clair. Prouvons ( ii ) . Soit ( f M , δ ) une paire primitivedans la classe o . On distingue deux cas : ou bien il n’existe aucun élément x ∈ G ( F ) tel que f M ⊂ Int x ( f M Q ) , auquel cas les ensembles à gauche et à droite de l’égalité (2)sont vides. Ou bien il existe un tel x et, quitte à remplacer e Q par Int x ( e Q ) , on peutsupposer que f M ⊂ f M Q . Un γ ∈ O o ∩ e Q ( F ) peut s’écrire γ = γ u avec γ ∈ f M Q ( F ) et u ∈ U Q ( F ) . Soient e P un F -sous-espace parabolique de f M Q minimal pour lacondition γ ∈ e P ( F ) et f M une composante de Levi de e P (définie sur F ). Ona γ = δ u avec δ ∈ f M ( F ) et u ∈ U P ( F ) . La paire ( f M , δ ) est conjuguée à ( f M , δ ) et donc γ appartient à O o ∩ f M Q ( F ) . D’où l’inclusion ⊂ . L’inclusion en sensinverse s’obtient de manière similaire. (cid:3) Ensembles de Siegel, partitions et lemme de finitude.
Rappelons qu’ona noté G ( A ) le noyau de H G , et P ( A ) = M ( A ) U ( A ) celui de H = H P . Pour t ∈ R , on note A G ( t ) l’ensemble des a ∈ A ( A ) ∩ G ( A ) tels que h α , H ( a ) i > t pour toute racine α ∈ ∆ . On peut choisir un ensemble fini F dans M ( A ) ∩ G ( A ) de sorte que ( A ( A ) ∩ G ( A ) ) M ( A ) F = M ( A ) ∩ G ( A ) . D’après [S], on sait que :(1) le quotient G ( F ) \ G ( A ) est compact si et seulement si G der est anisotrope ;(2) il existe un t ∈ R tel que G ( A ) = G ( F ) P ( A ) A G ( t ) F K . Puisque M , der est anisotrope, l’assertion (1) montre qu’il existe un sous-ensemblecompact Ω de M , der ( A ) tel que M , der ( A ) = M ( F )Ω . D’après [S, 1.7], l’en-semble U ( F ) \ U ( A ) est compact, il existe donc un sous-ensemble compact Ω de U ( A ) tel que U ( F )Ω = U ( A ) . Il résulte de l’assertion (2) qu’il existe un t ∈ R tel que, en posant Ω = Ω Ω ⊂ P ( A ) on ait (3) G ( A ) = G ( F )Ω A G ( t ) F K . Maintenant considérons une section du morphisme composé A ( A ) → A G ( A ) \ A ( A ) → B G = B G \ B (= A A G \ A A ) et notons B G son image. Une telle section s’obtient en choisissant (arbitrairement)des représentants dans l’image réciproque d’une Z -base de B G et en prenant lesous-groupe engendré . On pose B G ( t ) = B G ∩ A G ( t ) .
14. À priori B G n’est pas invariant sous l’action de W . Pour t ∈ R et Ω un sous-ensemble compact de P ( A ) , on pose S t, F , Ω = Ω B G ( t ) F K . D’après (3), on voit que pour t assez petit et Ω assez gros, on a (4) G ( A ) = G ( F ) S t, F , Ω . On notera simplement S un tel domaine S t, F , Ω pour le quotient G ( F ) \ G ( A ) .La propriété de finitude usuelle pour un corps de nombres, à savoir que si S est un domaine de Siegel pour le quotient G ( F ) \ G ( A ) , l’ensemble des γ ∈ G ( F ) tels que γ S ∩ S = ∅ est fini, n’est plus vraie ici. En effet, pour tout corps global,tout élément unipotent u ∈ U ( A ) et tout voisinage ouvert relativement compactde l’identité V dans U ( A ) , on a a − ua ∈ V pour a ∈ A ( A ) avec H ( a ) assezloin dans la chambre de Weyl positive (i.e. d ( H ( a )) assez grand). Maintenant,pour un corps de fonctions le sous-groupe compact maximal K est ouvert et donc γ S ∩ S = ∅ pour tout γ ∈ U ( F ) ; il en résulte que la propriété de finitude esten défaut.Pour P ∈ P st , notons P ( F ) st − prim l’ensemble des γ ∈ P ( F ) tels que γ / ∈ Q ( F ) pour tout Q ∈ P st tel que Q ( P . Tout élément primitif de G ( F ) est contenu dans G ( F ) st − prim , mais la réciproque est fausse en général.Pour α ∈ ∆ , notons P α l’unique élément de P st tel que ∆ r { α } soit unebase du système de racines de M P α . Un élément γ ∈ G ( F ) est dans G ( F ) st − prim si et seulement s’il n’appartient à aucun P α ( F ) pour α ∈ ∆ . Soient γ ∈ G ( F ) et g, g ′ ∈ S tels que g = γg ′ . Écrivons g = yax et g ′ = y ′ a ′ x ′ avec y, y ′ ∈ Ω , a, a ′ ∈ B G ( t ) et x, x ′ ∈ F K . D’après [S, 2.6], pour chaque α ∈ ∆ , il existe uneconstante c α > t telle que si log | α ( a ) | ≥ c α ou log | α ( a ′ ) | ≥ c α , alors γ ∈ P α ( F ) .On en déduit que l’ensemble des γ ∈ G ( F ) st − prim tels que γ S ∩ S = ∅ , est fini.Le lemme ci-dessous est une simple généralisation de ce résultat. Nous l’énonçonspour un travail ultérieur (il ne sera pas utilisé ici). Lemme
Soit P = M U ∈ P st . Pour γ ∈ P ( F ) , on note γ M la projectionde γ sur M ( F ) = U ( F ) \ P ( F ) . Alors l’ensemble des projections γ M des éléments γ ∈ P ( F ) st − prim tels que γ S ∩ S = ∅ , est fini.Démonstration. Soient γ ∈ P ( F ) et g, g ′ ∈ S tel que g = γg ′ . Comme plus haut,on écrit g = yax , g ′ = y ′ a ′ x ′ . Alors l = xx ′− ∈ P ( A ) . Pour p ∈ P ( A ) , écrivons p = p U p M avec p U ∈ U ( A ) et p M ∈ M ( A ) . L’équation g = γg ′ se récrit y U Int y M a ( l U ) y M a l M = γ U Int γ M ( y ′ U ) γ M y ′ M a ′ soit encore y U Int y M a ( l U ) = γ U Int γ M ( y ′ U ) et y M a l M = γ M y ′ M a ′ . Puisque l M appartient au compact ( P ( A ) ∩ F K F − ) M de M ( A ) et γ M appartientà M ( F ) st − prim , l’équation y M a l M = γ M y ′ M a ′ assure que les projections γ M sontdans un ensemble fini. (cid:3) Fixons comme ci-dessus une section du morphisme A G ( A ) → B G et notons B G son image. Puisque le groupe B G G ( A ) \ G ( A ) = B G ( M ( A ) ∩ G ( A ) ) \ M ( A ) estfini, on peut fixer aussi un sous-ensemble fini E G ⊂ M ( A ) tel que G ( A ) = B G G ( A ) E G = B G E G G ( A ) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 35
Posons S ∗ = E G S et S = B G S ∗ = B G E G S . Ainsi S ∗ est un domaine de Siegel pour le quotient B G G ( F ) \ G ( A ) , et S estun domaine de Siegel pour le quotient G ( F ) \ G ( A ) . Les résultats vrais pour S s’étendent sans difficulté à S ∗ .Pour L ∈ L , on peut définir de la même manière des domaines de Siegel S L, , S L, ∗ = E L S L, et S L = B L S L, ∗ . On peut bien sûr imposer, même si ce n’estpas vraiment nécessaire, que ces domaines soient compatibles à la conjugaison :si L, L ′ ∈ L sont tels que A L ′ = Int g ( A L ) pour un g ∈ G ( F ) , on demande que S L ′ , = Int g ( S L, ) , E L ′ = Int g ( E L ) et B L ′ = Int g ( B L ) .Fixons un élément T ∈ a .Fixons aussi une section du morphisme A ( A ) → B ,et notons B son image (on peut prendre B = B G × B G ). Pour Q ∈ P st et T ∈ a ,on note S QP ( T , T ) l’ensemble des x = uac ∈ G ( A ) avec u ∈ U Q ( A ) , a ∈ B et c ∈ C Q où C Q est unsous-ensemble compact de G ( A ) , tels que (cid:26) h α, H ( x ) − T i > pour tout α ∈ ∆ Q h ̟, H ( x ) − T i ≤ pour tout ̟ ∈ ˆ∆ Q D’après [LW, 1.8.3], si T − T est régulier (ce que l’on suppose) la condition ci-dessusest équivalente à Γ QP ( H ( x ) − T , T − T ) = 1 . On note F QP ( · , T ) la fonction caractéristique de l’ensemble Q ( F ) S QP ( T , T ) . Elle dépend du compact C Q et aussi de l’élément T ∈ a . En pratique, on prendra C Q assez gros, et − T et T assez réguliers. En particulier, on supposera toujours que F QP ( · , T ) est invariante àgauche par B Q Q ( F ) où B Q est l’image d’une section du morphisme A Q ( A ) → B Q .Tous les résultats de [LW, 3.6] sont vrais ici, en particulier [LW, 3.6.3] qui estl’analogue pour M P ( F ) U P ( A ) \ G ( A ) de la partition [LW, 1.7.5] de a .Les lemmes 3.7.1, 3.7.2 et 3.7.3 de [LW] sont vrais ici. Quant au lemme 3.7.4 de[LW], il suffit d’en modifier l’énoncé de la manière suivante : Lemme
Soit Ω un compact de e G ( A ) , et soit e P ∈ e P . L’ensemble des éléments δ ∈ f M P ( F ) tels que δ soit M P ( F ) -conjugué à un élément δ ∈ f M P ( F ) prim pour un e P ∈ e P tel que e P ⊂ e P (i.e. P ⊂ P ), et x − δux ∈ Ω pour des éléments x ∈ G ( A ) et u ∈ U P ( A ) , appartient à un ensemble fini de classes de M P ( F ) -conjugaison. Partie II. Théorie spectrale, troncatures et noyaux L’opérateur de troncature
Terme constant.
Une fonction ϕ : G ( A ) → C est dite à croissance lente s’ilexiste des réels c, r > tels que pour tout g ∈ G ( A ) , on ait | ϕ ( g ) | ≤ c | g | r . On écrit aussi « | ϕ ( g ) | ≪ | g | r pour tout g ∈ G ( A ) ». Soit P ∈ P , et soit ϕ une fonction sur U P ( F ) \ G ( A ) mesurable et localement L .On définit le terme constant ϕ P = Π P ϕ de ϕ le long de P par ϕ P ( x ) = Z U P ( F ) \ U P ( A ) ϕ ( nx ) d u , x ∈ G ( A ) , où d u est la mesure de Tamagawa sur U P ( A ) – i.e. celle qui donne le volume au quotient U P ( F ) \ U P ( A ) . Alors ϕ P est une fonction sur U P ( A ) \ G ( A ) mesurableet localement L . De plus, si ϕ est à croissance lente, resp. lisse, alors ϕ P est àcroissance lente, resp. lisse.Pour P ∈ P st , on note R P, +0 l’ensemble des racines de T dans M P qui sontpositives par rapport à ∆ P . Rappelons que l’on a fixé en 3.4 un domaine de Siegel S = B G S ∗ pour le quotient G ( F ) \ G ( A ) . Fixons aussi un sous-groupe ouvertcompact K ′ de G ( A ) .Le lemme suivant [MW, I.2.7] est le résultat technique clef pour l’étude du termeconstant dans le cas des corps de fonctions. Lemme
Soit P ∈ P st . Il existe une constante c P > telle que : si g ∈ S vérifie h H ( g ) , α i > c P pour tout α ∈ R G, +0 r R P, +0 alors, pour toute fonction ϕ sur G ( F ) \ G ( A ) invariante à droite par K ′ , on a ϕ P ( g ) = ϕ ( g ) . Ce lemme se généralise aux fonctions ϕ sur U P ′ ( A ) M P ′ ( F ) \ G ( A ) pour P ′ ∈ P st tel que P ⊂ P ′ : en remplaçant R G, +0 par R P ′ , +0 dans la condition sur g , on obtientde même ϕ P ( g ) = ϕ ( g ) . On a aussi la variante suivante [MW, I.2.8] : Lemme
Il existe une constante c ′ > telle que que pour tout T ′ ∈ a telque d ( T ′ ) > c ′ , la propriété suivante soit vérifiée : pour tout P ∈ P st , tout g ∈ S tel que (cid:26) h α, H ( g ) − T ′ i > pour tout α ∈ ∆ P h ̟, H ( g ) − T ′ i ≤ pour tout ̟ ∈ ˆ∆ P et toute fonction ϕ sur G ( F ) \ G ( A ) invariante à droite par K ′ , on a ϕ P ( g ) = ϕ ( g ) . Pour
Q, R ∈ P tels que Q ⊂ R , et ψ une fonction sur U Q ( F ) \ G ( A ) mesurableet localement L , on pose Π Q,R ψ = X { P ∈ P | Q ⊂ P ⊂ R } ( − a P − a R ψ P . C’est encore une fonction sur U Q ( F ) \ G ( A ) mesurable et localement L . Lemme
Il existe une constante c ′′ > telle que pour tous les couples desous-groupes parboliques Q, R ∈ P st avec Q ( R , tout g ∈ S vérifiant h α, H ( g i > c ′′ pour tout α ∈ ∆ RQ et toute fonction ϕ sur G ( F ) \ G ( A ) invariante à droite par K ′ , on ait Π Q,R ϕ ( g ) = 0 . Démonstration.
Il suffit d’adapter celle de [MW, I.2.9]. Par définition de S , ilexiste une constante c < telle que h H ( g ) , δ i > c pour tout g ∈ S et tout δ ∈ R G, +0 . Fixons aussi une constante c > telle que pour tous P, P ′ ∈ P st tels que P ⊂ P ′ , on ait la version généralisée du lemme 4.1.1 : pour tout g ∈ S tel que h H ( g ) , α i > c pour tout α ∈ R P ′ , +0 r R P, +0 , et pour toute fonction ψ
15. Dans [LW, 4.3], cette fonction est notée Θ ψ . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 37 sur U P ′ ( A ) M P ′ ( F ) \ G ( A ) invariante à droite par K ′ , on a ψ P ′ ( g ) = ϕ ( g ) . Posons c ′′ = c − c .Soient Q, R ∈ P st tels que Q ( R , et soit g ∈ S . Posons ∆ RQ ( g ) = { α ∈ ∆ RQ : h α, H ( g ) i ≤ c ′′ } . L’ensemble des P ∈ P tels que Q ⊂ P ⊂ R est en bijection avec l’ensemble descouples (Θ , Θ ′ ) avec Θ ⊂ ∆ RQ ( g ) et Θ ′ ⊂ ∆ RQ r ∆ RQ ( g ) : pour un tel couple (Θ , Θ ′ ) ,on note P (Θ , Θ ′ ) l’élément de P st tel que Q ⊂ P (Θ , Θ ′ ) ⊂ R défini par ∆ P (Θ , Θ ′ ) Q = Θ ∪ Θ ′ . Puisque a P (Θ , Θ ′ ) − a R = a Q − a R − ( | Θ | + | Θ ′ | ) on a Π Q,R ϕ ( g ) = ( − a Q − a R X (Θ , Θ ′ ) ( − | Θ | + | Θ ′ | ϕ P (Θ , Θ ′ ) ( g ) où (Θ , Θ ′ ) parcourt les couples comme ci-dessus. Fixé un tel couple, toute racine α ∈ R P (Θ , Θ ′ ) , + r R P (Θ , ∅ ) , + s’écrit α = β + δ avec β ∈ Θ ′ et δ ∈ R P (Θ , Θ ′ ) , + ∪ { } ,et l’on a h α, H ( g ) i = h β, H ( g ) i + h δ, H ( g ) i > c ′′ + inf { c , } ≥ c . Par conséquent ϕ P (Θ , Θ ′ ) ( g ) = ϕ (Θ , ∅ ) ( g ) . On a donc Π Q,R ϕ ( g ) = ( − a Q − a R X Θ ′ ⊂ ∆ RQ r ∆ RQ ( g ) ( − | Θ ′ | X Θ ⊂ ∆ RQ ( g ) ( − | Θ | ϕ P ( θ, ∅ ) ( g ) . Or la somme sur Θ ′ est nulle si ∆ GQ ( g ) = ∆ RQ , ce qui prouve le lemme. (cid:3) Pour Q = P et R = G , puisque l’ensemble des g ∈ S ∗ tels que h H ( g ) , α i ≤ c ′′ est compact, on a en particulier [MW, I.2.9] : Lemme
Il existe un sous-ensemble compact C = C K ′ de S ∗ tel que pourtoute fonction ϕ sur G ( F ) \ G ( A ) invariante à droite par K ′ , le support de Π P ,G ϕ | S ∗ soit contenu dans C . Soit Q ∈ P st . Pour T ∈ a , on définit un opérateur de troncature Λ T,Q , pourune fonction ϕ ∈ L ( Q ( F ) \ G ( A )) , par Λ T,Q ϕ ( x ) = X P ∈ P st ,P ⊂ Q ( − a P − a Q X ξ ∈ P ( F ) \ Q ( F ) b τ QP ( H ( ξx ) − T ) ϕ P ( ξx ) . D’après [LW, 3.7.1], la somme sur ξ est finie. Notons que l’opérateur Λ T,Q ne dépendque de la projection T Q de T sur a Q . On pose Λ T = Λ T,G . Les résultats de [LW, 4.1] sur les propriétés de Λ T sont vrais ici. En particulier,pour T assez régulier (i.e. tel que d ( T ) ≥ c pour une constante c dépendant de G ), l’opérateur Λ T est un idempotent [LW, 4.1.3] : on a Λ T ◦ Λ T ϕ = Λ T ϕ . Définition
Pour X ∈ a GQ et T ∈ a G , on définit T [[ X ]] = T [[ X ]] Q ∈ a Q en posant T − X = X α ∈ ∆ x α ˇ α et T [[ X ]] = X α ∈ ∆ Q x α ˇ α . Le raffinement [LW, 4.2.2] des propriétés de Λ T,Q est encore vrai ici.4.2.
Troncature et support.
Cette section adapte au cas des corps de fonctionsles résultats de [LW, 4.3]. On fixe un T ∈ a , assez régulier. La proposition suivante[MW, I.2.16 (2)] joue ici le rôle de [LW, 4.3.2]. Elle est très simple à prouver etcependant fournit des décroissances beaucoup plus radicales. Proposition
Soit K ′ un sous-groupe ouvert compact de G ( A ) . Il existeun sous-ensemble fermé Ω = Ω
T,K ′ de G ( F ) \ G ( A ) d’image compacte dans B G G ( F ) \ G ( A ) tel que pour toute fonction ϕ sur G ( F ) \ G ( A ) invariante à droite par K ′ , le supportde la fonction tronquée Λ T ϕ soit contenu dans Ω .Démonstration. On reprend celle de [MW, I.2.16 (2)]. Fixons un élément T ′ ∈ a assez régulier : on demande que la conclusion du lemme 4.1.2 soit vérifiée pour K ′ .Pour P ∈ P st , notons G ( A ) P,T ′ l’ensemble des x ∈ G ( A ) vérifiant (cid:26) h α, H ( x ) − T ′ i > pour tout α ∈ ∆ P h ̟, H ( x ) − T ′ i ≤ pour tout ̟ ∈ ˆ∆ P et posons S ∗ P,T ′ = S ∗ ∩ G ( A ) P,T ′ . D’après [LW, 4.1.1], pour P ∈ P st et x ∈ G ( A ) , si ( Λ T ϕ ) P ( x ) = 0 alors h ̟, H ( x ) − T i ≤ pour tout ̟ ∈ ˆ∆ P . Grâce à [LW, 1.2.8], on en déduit que le support de ( Λ T ϕ ) P | S ∗ P,T ′ est contenu dansun compact de S ∗ indépendant de ϕ . En appliquant le lemme 4.1.2 à la fonction Λ T ϕ , on obtient que le support de Λ T ϕ | S ∗ P,T ′ est contenu dans un compact de S ∗ indépendant de ϕ . Puisque [LW, 1.7.5] X P ∈ P st φ PP τ GP = 1 on a G ( A ) = S P ∈ P st G ( A ) P,T ′ . D’où la proposition. (cid:3) Pour démontrer la proposition 4.2.1, on a utilisé la partition [LW, 1.7.5] de a .On peut aussi, pour P ∈ P st , utiliser l’analogue de cette partition pour X P : d’après[LW, 3.6.4] on a (1) Λ T ϕ ( x ) = X Q,R ∈ P st Q ⊂ R A TQ,R ϕ ( x )
16. On a utilisé les doubles crochets pour éviter les confusions avec la famille M -orthogonale ([ T ] P ) définie par un élément T ∈ a . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 39 avec (2) A TQ,R ϕ ( x ) = X ξ ∈ Q ( F ) \ G ( F ) F QP ( ξx, T ) σ RQ ( H ( ξx ) − T )Π Q,R ϕ ( ξx ) . Si Q = R , alors σ RQ = 0 sauf si Q = R = G , auquel cas A TG,G ϕ ( x ) = F GP ( x, T ) ϕ ( x ) . On note C T l’opérateur A TG,G . Puisque la fonction F GP ( · , T ) est invariante à gauchepar B G G ( F ) et que son support est d’image compacte dans B G G ( F ) \ G ( A ) , ilexiste un sous-ensemble fermé Ω ∗ = Ω ∗ T,K ′ de G ( F ) \ G ( A ) d’image compacte dans B G G ( F ) \ G ( A ) tel que pour toute fonction ϕ sur G ( F ) \ G ( A ) invariante à droitepar K ′ , le support de ( Λ T − C T ) ϕ soit contenu dans Ω ∗ . On a aussi la variante de[LW, 4.3.3] : Proposition
Soit K ′ un sous-groupe ouvert compact de G ( A ) . Il existeune constante c = c K ′ (qui ne dépend pas de T ) telle que si d ( T ) ≥ c , alors pourtoute fonction ϕ sur G ( F ) \ G ( A ) invariante à droite par K ′ , on a ( Λ T − C T ) ϕ = 0 . Démonstration.
Pour étudier ( Λ T − C T ) ϕ ( x ) , on traite séparément chaque terme A TQ,R ϕ ( x ) avec Q = R dans (1). On peut prendre x dans S . Pour ξ ∈ Q ( F ) \ G ( F ) ,il s’agit de contrôler Π Q,R ϕ ( ξx ) sous la condition F QP ( ξx, T ) σ RQ ( H ( ξx ) − T ) = 1 . D’après [LW, 3.6.1], pour x fixé, il y a au plus un ξ modulo Q ( F ) tel que l’expressionci-dessus soit non nulle. Puisqu’on est libre de multiplier ξx par un élément de Q ( F ) ,on peut supposer que ξx = uay ∈ S QP ( T , T ) avec u ∈ U Q ( A ) , a ∈ B et y ∈ C Q – cf. 3.4. On peut même supposer que u ∈ Ω Q pour un compact Ω Q ⊂ U Q ( A ) telque U Q ( F )Ω Q = U Q ( A ) . Rappelons que C Q est un compact fixé (assez gros, maisqui ne dépend pas de T ) de G ( A ) , et que H = H ( ξx ) vérifie (cid:26) h α, H − T i > ∀ α ∈ ∆ Q h ̟, H − T i ≤ ∀ ̟ ∈ ˆ∆ Q . Puisque σ RQ ( H − T ) = 1 , on a h α, H i > h α, T i pour tout α ∈ ∆ RQ . Comme l’élément T − T est régulier, il existe c ∈ R (indépendant de T ) tel que h α, H i > c pourtout α ∈ R R, + . D’après le lemme 4.1.3, il existe c ′′ > tel que pour g ∈ S tel que h H ( g ) , α i > c ′′ pour tout α ∈ ∆ RQ , on ait Π Q,R ϕ ( g ) = 0 pour toute fonction ϕ sur G ( F ) \ G ( A ) invariante à droite par K ′ . Ici l’élément ξx = uay n’appartient pasà S , mais H = H ( a ) + H ( y ) et y reste dans un compact fixé, par conséquentil existe c ′ ∈ R (indépendant de T ) tel que log | α ( a ) | > c ′ pour tout α ∈ R R, + .Puisque u reste dans un compact fixé de U Q ( A ) , pour tout P ′ ∈ P R st , la versiongénéralisée du lemme 4.1.1 s’applique encore à ξx (cf. la preuve de [MW, I.2.7]), etquitte à modifier la constante c ′′ , la conclusion du lemme 4.1.3 s’applique encore à ξx . D’où la proposition. (cid:3) La différence par rapport au cas des corps de nombres est ici spectaculaire : surun corps de nombres F , pour toute fonction lisse à croissance uniformément lente ϕ sur B G G ( F ) \ G ( A ) , la fonction Λ T ϕ est seulement à décroissance rapide. Parailleurs la décomposition Λ T = C T + ( Λ T − C T ) qui joue un rôle crucial dans les estimées de [LW, ch. 12, 13] est bien plus simpleà contrôler car ici, pour toute fonction K ′ -invariante à droite sur G ( F ) \ G ( A ) , nonseulement Λ T ϕ est à support d’image compacte dans B G G ( F ) \ G ( A ) , mais si T est assez régulier, la troncature est encore plus brutale : on a Λ T ϕ = C T ϕ . Celasimplifiera la preuve des estimées à établir plus loin.5. Formes automorphes et produits scalaires
Formes automorphes sur X P . On fixe une mesure de Haar d g sur G ( A ) .On note d k la mesure de Haar sur K telle que vol( K ) = 1 . Pour P ∈ P , on note d u P , ou simplement d u , la mesure de Tamagawa sur U P ( A ) . Par quotient par lamesure de comptage sur U P ( F ) , on obtient une mesure sur U P ( F ) \ U P ( A ) qui vérifie vol( U P ( F ) \ U P ( A )) = 1 . Posons M = M P . La mesure de Haar d m sur M ( A ) est choisie de sorte que l’onait la formule d’intégration Z G ( A ) f ( g ) d g = Z U P ( A ) × M ( A ) × K f ( umk ) e −h ρ P , H P ( m ) i d u d m d k où ρ P désigne la demi-somme des racines positives de A P . La fonction m δ P ( m ) = e h ρ P , H P ( m ) i est le module de P ( A ) : d( mum − ) = δ P ( m ) d u . On pose X P = P ( F ) U P ( A ) \ G ( A ) et X P = A P ( A ) P ( F ) U P ( A ) \ G ( A ) . En particulier X G = G ( F ) \ G ( A ) et X G = A G ( A ) G ( F ) \ G ( A ) . Les groupes G ( A ) et P ( F ) U P ( A ) sont unimodulaires ; on dispose donc d’une mesurequotient invariante à droite sur X P . Pour φ localement intégrable et à supportcompact sur X P , on a la formule d’intégration : (1) Z X P φ ( x ) d x = Z X M × K δ P ( m ) − φ ( mk ) d m d k où d x est la mesure quotient. Par contre, si P = G il n’y a pas de mesure G ( A ) -invariante à droite sur X P . Toutefois, il existe une fonctionnelle invariante à droite µ X P sur l’espace des sections du fibré en droites sur X P défini par δ P . Ces sectionssont représentables par les fonctions sur X P vérifiant φ ( px ) = δ P ( p ) φ ( x ) pour p ∈ A P ( A ) P ( F ) U P ( A ) . La fonctionnelle est définie par : µ X P ( φ ) = Z X M × K δ P ( m ) − φ ( mk ) d ˙ m d k où d ˙ m est la mesure quotient.
17. On prendra garde à ce que l’espace noté ici X G ne coïncide pas avec l’espace ainsi noté dans[LW] car dans cette référence il y a en plus un quotient par B G . Son usage correspond plutôt àcelui de notre X G sans toutefois lui être égal. A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 41
Rappelons que l’on a noté Ξ( P ) le groupe des caractères unitaires de A P ( A ) quisont triviaux sur A P ( F ) . Soit ξ ∈ Ξ( P ) . On dit qu’une fonction ϕ sur X P « setransforme à gauche suivant ξ » si pour tout x ∈ G ( A ) on a ϕ ( ax ) = ξ ( a ) ϕ ( x ) pour a ∈ A P ( A ) . On note L ( X M ) ξ l’espace de Hilbert formé des fonctions ϕ sur X M qui se trans-forment à gauche suivant ξ et sont de carré intégrable sur X M . Le groupe M ( A ) agit sur L ( X M ) ξ par translations à droite. Considérons deux fonctions ϕ et ψ loca-lement intégrables sur X P qui se transforment à gauche suivant le même caractère ξ ∈ Ξ( P ) . On pose (si l’intégrale converge) (2) h ϕ, ψ i P = Z X M × K ϕ ( mk ) ψ ( mk ) d ˙ m d k . Ce produit scalaire définit l’espace de Hilbert L ( X P ) ξ siège de la représentationunitaire « induite parabolique » Ind G ( A ) P ( A ) L ( X M ) ξ définie par ( ρ ( y ) ϕ )( x ) = δ − / P ( x ) δ / P ( xy ) ϕ ( xy ) . Pour la notion générale de forme automorphe nous renvoyons le lecteur à [MW,I.2.17]. Soit M ∈ L . Un caractère de A M ( A ) est automorphe s’il est trivial sur A M ( F ) . Ainsi Ξ( M ) est le groupe des caractères unitaires automorphes de A M ( A ) .Pour P ∈ P ( M ) , une forme automorphe ϕ sur X P est une fonction K -finie à droitetelle que la fonction m ϕ ( mx ) sur X M est automorphe. Elle est dite cuspidale sipour tout Q ∈ P tel que Q ( P , le terme constant ϕ Q est nul – ou, ce qui revientau même, si pour tout x , la fonction m ϕ ( mx ) sur X M est cuspidale. Notons A cusp ( X P ) l’espace des formes automorphes cuspidales sur X P . Pour ξ ∈ Ξ( P ) ,notons A cusp ( X P ) ξ ⊂ A cusp ( X P ) le sous-espace formé des fonctions qui se transforment à gauche suivant ξ . Définition
Soit P ∈ P ( M ) .— On appelle représentation automorphe discrète modulo le centre – ou sim-plement discrète – de M ( A ) , une sous-représentation irréductible de M ( A ) dans l’espace L ( X M ) ξ pour un ξ ∈ Ξ( M ) . On note L ( X M ) ξ le sous-espace fermé de L ( X M ) ξ engendré par ces représentations.— On appelle forme automorphe discrète pour P une fonction K -finie sur X P telle que pour tout x , la fonction m ϕ ( mx ) sur M ( A ) soit un vecteurd’une représentation automorphe, discrète modulo le centre, de M . Une représentation automorphe irréductible de M ( A ) est discrète modulo lecentre si et seulement si sa restriction à M ( A ) est une somme finie de repré-sentations irréductibles dans L ( M ( F ) \ M ( A ) ) . Pour ξ ∈ Ξ( P ) , on note A disc ( X P ) ξ l’espace engendré par les formes automorphesdiscrètes qui se transforment à gauche suivant ξ sur X P . Le produit scalaire h· , ·i P munit A disc ( X P ) ξ d’une structure d’espace pré-hilbertien. On sait (grâce à 4.2.1pour les corps de fonctions) que A cusp ( X P ) ξ ⊂ A disc ( X P ) ξ . Ainsi A cusp ( X P ) ξ est lui aussi muni d’une structure d’espace pré-hilbertien.5.2. Opérateurs d’entrelacement et séries d’Eisenstein.
Soient
P, Q ∈ P deux sous-groupes parabolique associés, i.e. tels que M P et M Q soient conjuguésdans G ( F ) . Considérons une fonction Φ lisse sur X P se transformant à gauchesuivant un caractère unitaire automorphe ξ de A M ( A ) . Pour λ ∈ a ∗ P, C et x ∈ G ( A ) ,posons Φ( x, λ ) = e h λ + ρ P , H P ( x ) i Φ( x ) . La fonction x Φ( x, λ ) ne dépend que de l’image de λ dans a ∗ P, C / A ∨ P . Pour s ∈ W ( a P , a Q ) et λ ∈ a ∗ P, C « assez régulier » dans la chambre associée à P dans a ∗ P, C , on a une expression définie par une intégrale convergente : ( M Q | P ( s, λ )Φ)( x, sλ ) = Z U s,P,Q ( A ) Φ( w − s nx, λ ) d n où l’on a posé U s,P,Q = ( U Q ∩ w s U P w − s ) \ U Q . On obtient ainsi un opérateur M Q | P ( s, λ ) : A disc ( X P ) ξ → A disc ( X Q ) sξ . Pour P et Q standards et P fixé, alors Q est déterminé par s , et on pose M ( s, λ ) = M Q | P ( s, λ ) . Pour s = 1 on écrira M Q | P ( λ ) = M Q | P (1 , λ ) . Dans le cas particulier où Q = s ( P ) on a (cf. [LW, 5.2.1]) : M s ( P ) | P ( s, λ ) = e h λ + ρ P ,Y s i s où Y s = H ( w − s ) = T − s − T et s : A disc ( X P ) ξ → A disc ( X Q ) sξ est défini par s Φ( x ) = Φ( w − s x ) . Définition
Pour ν ∈ µ P , on pose ϕ ν ( x ) = e h ν, H P ( x ) i ϕ ( x ) et on note D ν l’opérateur ϕ ϕ ν , i.e. D ν ϕ = ϕ ν . Lemme
Pour
P, Q ∈ P associés, s ∈ W ( a P , a Q ) , ν ∈ µ P et λ ∈ a ∗ P, C assezrégulier, l’opérateur D ν vérifie l’équation fonctionnelle : M Q | P ( s, λ ) D ν = D sν M Q | P ( s, λ + ν ) . Démonstration.
Il suffit d’observer que ( D ν Φ)( x, λ ) = Φ( x, λ + ν ) . (cid:3)
18. En notant R P l’ensemble des racines de A P dans P , on demande ici que h ˇ α, ℜ λ − ρ P i > pour toute racine α ∈ R P telle que sα ∈ − R Q . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 43
Soient
P, Q ∈ P tels que P ⊂ Q . Pour Φ ∈ A disc ( X P ) ξ et λ ∈ a ∗ P, C assez régulier,on définit une série d’Eisenstein sur X Q par la formule : E Q ( x, Φ , λ ) = X γ ∈ P ( F ) \ Q ( F ) Φ( γx, λ ) . Pour Q = G , on pose E ( · , Φ , λ ) = E G ( · , Φ , λ ) . Le théorème [LW, 5.2.2] est vrai ici(mutatis mutandis) : pour Φ ∈ A disc ( X P ) ξ et x ∈ X Q , les fonctions λ ( M Q | P ( s, λ )Φ)( x ) et λ E ( x, Φ , λ ) admettent un prolongement méromorphe définissant des fonctions rationnelles surle cylindre a ∗ P, C / A ∨ P = Hom( A P , C × ) . La ( G, M ) -famille spectrale. Soient M ∈ L , P ∈ P ( M ) et λ ∈ a ∗ P, C . Ondéfinit une ( G, M ) -famille périodique à valeurs opérateurs [LW, 5.3.2] : pour Q ∈ P ( M ) et Λ ∈ b a M , on pose M ( P, λ ; Λ , Q ) = M Q | P ( λ ) − M Q | P ( λ + Λ) . Soit T ∈ a . Rappelons que l’on a défini en 3.2 une famille M -orthogonale, qui estrationnelle si T ∈ a , Q : Y ( T ) = ( Y T,P ) où, pour P ∈ P ( M ) , on a posé Y T,P = [ T ] P + Y P et Y P = T − [ T ] P . Suivant la convention habituelle, pour Q ∈ P et P ∈ P ( M ) tels que P ⊂ Q , onpose Y T,Q = ( Y T,P ) Q et Y Q = ( Y P ) Q . Rappelons que pour P ∈ P ( M ) , l’élément Y P appartient à A G = A ∩ a G . En particulier la famille M -orthogonale ( Y P ) est entière. On peut donc définir une autre ( G, M ) -famille périodique à valeursopérateurs : pour Q ∈ P ( M ) et Λ ∈ b a M en posant M ( Y ; P, λ ; Λ , Q ) = e h Λ ,Y Q i M ( P, λ ; Λ , Q ) . Le lemme suivant résulte de 1.6.8 :
Lemme
Fixons un élément Z ∈ A G . Les fonctions méromorphes de λ et Λ à valeurs opérateurs M G,TM,F ( Z, Y ; P, λ ; Λ) = X Q ∈ P ( M ) ε G, [ T ] Q Q ( Z ; Λ) M ( Y ; P, λ ; Λ , Q ) sont lisses pour les valeurs imaginaires pures de λ et Λ . Observons que l’expression M G,TM,F ( Z, Y ; P, λ ; Λ) est égale à M G,TM,F ( Z ; P, λ ; Λ) = X Q ∈ P ( M ) ε G, [ T ] Q Q ( Z ; Λ) M ( P, λ ; Λ , Q ) si Y = 0 et donc par exemple si G est déployé.
19. Les propriétés de rationalité dans le cas cuspidal sont établies en [MW, IV.4]. Le cas généralest traité en [MW, Appendice II].20. La notion de méromorphie invoquée pour un opérateur disons A ( λ ) l’est au sens faible, c’està dire la méromorphie pour les fonction λ A ( λ )Φ pour Φ dans un espace de Banach. Soit Z ∈ A G . Pour Q, R ∈ P st , on introduit la fonction méromorphe de λ ∈ a ∗ Q, C et µ ∈ a ∗ R, C , à valeurs opérateurs, Ω TR | Q ( Z ; λ, µ ) = X S,s,t ε G,T S S ( Z ; sλ − tµ ) M ( t, µ ) − M ( s, λ ) où S parcourt les éléments de P st qui sont associés à Q , s parcourt les élémentsde W ( a Q , a S ) et t parcourt les éléments de W ( a R , a S ) . Notons que Ω TR | Q ( Z ; λ, µ ) ne dépend que des images de λ dans a ∗ Q, C / A ∨ Q et µ dans a ∗ R, C / A ∨ R , et que l’on a Ω TR | Q ( Z ; λ, µ ) = 0 si R et Q ne sont pas associés.Le lemme [LW, 5.3.4] est vrai ici. Il entraîne la variante suivante de [LW, 5.3.5] :en posant M = M R , le changement de variables s u = t − s , S S ′ = t − S et sλ − tµ Λ u = uλ − µ , donne Ω TR | Q ( Z ; λ, µ )= X u ∈ W ( a Q , a R ) X S ′ ∈ P ( M ) e h Λ u ,Y S ′ i ε G, [ T ] S ′ S ′ ( Z ; Λ u ) M ( R, µ ; Λ u , S ′ ) M R | Q ( u, λ )= X u ∈ W ( a Q , a R ) M G,TM,F ( Z, Y ; R, µ ; Λ u ) M R | Q ( u, λ ) . Puisque pour λ ∈ b a Q , l’opérateur M R | Q ( u, λ ) est une isométrie [LW, 5.2.2 (2)], onen déduit que la fonction à valeurs opérateurs ( λ, µ ) Ω TR | Q ( Z ; λ, µ ) est lisse pourles valeurs imaginaires pures de λ et µ . L’opérateur Ω TR | Q ( Z ; λ, µ ) entrelace les représentation de G ( A ) dans A disc ( X Q ) ξ et A disc ( X R ) ξ ′ où ξ et ξ ′ sont des caractères unitaires automorphes de A Q ( A ) et A R ( A ) respectivement telsque pour un (i.e. pour tout) u ∈ W ( a Q , a R ) on ait ξ ′ = uξ . Définition
On pose [ Ω ] TR | Q ( Z ; λ, µ ) = | b R | − X ν ∈ b R D ν Ω TR | Q ( Z ; λ, µ + ν ) . La fonction à valeurs opérateurs ( λ, µ ) [ Ω ] TR | Q ( Z ; λ, µ ) est lisse pour les valeursimaginaires pures de λ et µ . Séries d’Eisenstein et troncature.
Soit M ∈ L . Pour Z ∈ A G et H ∈ A M ,on pose X G ( Z ) = G ( F ) \ G ( A ; Z ) , X M ( H ) = M ( F ) \ M ( A ; H ) et X M = A M ( A ) M ( F ) \ M ( A ) . On rappelle que pour P ∈ P ( M ) , on a défini un produit scalaire h Φ , Ψ i P = Z X M × K Φ( mk )Ψ( mk ) d m d k . Lemme
Soient Φ et Ψ deux fonctions sur X P qui se transforment à gauchesuivant le même caractère unitaire automorphe de A M ( A ) . Pour H ∈ A M , on pose h Φ , Ψ i P,H = Z X M ( H ) × K Φ( mk )Ψ( mk ) d m d k .
21. Dans l’énoncé de loc. cit ., M est la composante de Levi standard de Q . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 45
On a alors h Φ , Ψ i P,H = | b M | − X ν ∈ b M e −h ν,H i h D ν Φ , Ψ i P Démonstration.
On observe que puisque Φ( amk )Ψ( amk ) = Φ( mk )Ψ( mk ) pour tout a ∈ A M ( A ) , le produit scalaire h Φ , Ψ i P,H ne dépend que de l’image de H dans M . On conclut par transformée de Fourier sur le groupe fini M . (cid:3) Soit ϕ ∈ L ( P ( F ) \ G ( A ; Z )) . On pose, si la série converge, E ( ϕ ) = X P ( F ) \ G ( F ) ϕ ( γx ) . Soit ψ ∈ L ( X M × K ) , c’est-à-dire que ψ est une fonction localement intégrablesur X M × K qui est invariante à gauche sous A M ( A ) . On pose, si l’intégrale a unsens, b ψ ( ν ) = Z X M × K e h ν, H M ( m ) i ψ ( m, k ) d m d k . Nous aurons besoin du calcul formel suivant :
Lemme
Notons A M ( Z ) l’image réciproque dans A M de Z ∈ A G . Soit ϕ comme ci-dessus et supposons que ϕ P ( x ) = Z U P ( F ) \ U P ( A ) ϕ ( ux ) d u soit de la forme ( ⋆ ) ϕ P ( mk ) = δ P ( m ) e h ξ, H P ( m ) i ψ ( m, k ) pour m ∈ M ( A ) , k ∈ K , ξ ∈ µ M et ψ ∈ L ( X M × K ) . On a l’égalité suivante : Z X G ( Z ) E ( ϕ ) d x = | b M | − X ν ∈ b M X H ∈ A M ( Z ) e h ξ − ν,H i b ψ ( ν ) . Démonstration.
Tout d’abord il est classique d’observer que Z X G ( Z ) E ( ϕ ) d x = Z P ( F ) \ G ( A ; Z ) ϕ ( x ) d x = Z P ( F ) U P ( A ) \ G ( A ; Z ) ϕ P ( x ) d x . La formule d’intégration 5.1 (1) montre alors que Z X G ( Z ) E ( ϕ ) d x = X H ∈ A M ( Z ) Z X M ( H ) × K δ P ( m ) − ϕ P ( mk ) d m d k soit encore, compte tenu de l’hypothèse ( ⋆ ) : Z X G ( Z ) E ( ϕ ) d x = X H ∈ A M ( Z ) e h ξ,H i Z X M ( H ) × K ψ ( mk ) d m d k et il suffit pour conclure d’observer que Z X M ( H ) × K ψ ( mk ) d m d k = | b M | − X ν ∈ b M e h− ν,H i b ψ ( ν ) . (cid:3) Nous pouvons maintenant établir l’analogue dans notre cadre de [LW, 5.4.3].Soient Φ et Ψ des formes automorphes associées à des sous-groupe paraboliquesstandard. Précisément : Hypothèses
On suppose que :(i) Φ ∈ A disc ( X Q ) ξ et Ψ ∈ A disc ( X R ) ξ ′ pour des sous-groupes paraboliquesassociés Q, R ∈ P st où ξ , resp. ξ ′ , est un caractère unitaire automorphe de A Q ( A ) , resp. A R ( A ) ;(ii) λ ∈ a ∗ Q, C / A ∨ Q et µ ∈ a ∗ R, C / A ∨ R ;(iii) ξ ′ = wξ pour un (i.e. pour tout) w ∈ W ( a Q , a R ) . Théorème
Soit Z ∈ A G . Sous les hypothèses 5.4.3 on a les assertionssuivantes :(i) On suppose que Φ et Ψ sont cuspidales. On a l’égalité entre fonctions méro-morphes de λ et µ : Z X G ( Z ) Λ T E ( x, Φ , λ ) E ( x, Ψ , − ¯ µ ) d x = h [ Ω ] TR | Q ( Z ; λ, µ )Φ , Ψ i R . (ii) On suppose que Φ et Ψ sont discrètes mais non nécessairement cuspidales.Il existe une constante c > telle que pour tout λ ∈ µ Q et tout µ ∈ µ R , onait : (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)Z X G ( Z ) Λ T E ( x, Φ , λ ) E ( x, Ψ , − ¯ µ ) d x − h [ Ω ] TR | Q ( Z ; λ, µ )Φ , Ψ i R (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≪ e − c d ( T ) . Démonstration.
Prouvons ( i ) . Pour λ ∈ a ∗ Q, C dans le domaine de convergence de lasérie d’Eisenstein E ( x, Φ , λ ) , et puisque Φ est cuspidale, on a [LW, 5.4.1] Λ T E ( x, Φ , λ ) = X S,s,γ ( − a ( s ) φ M,s ( s − ( H ( γx ) − T ))( M ( s, λ )( γx, sλ ) où la somme porte sur les S ∈ P st associés à Q , s ∈ W ( a Q , a S ) , γ ∈ S ( F ) \ G ( F ) ,et M = M Q . On déduit de 5.4.2 que pour λ dans le domaine de convergence de E ( x, Φ , λ ) et − ¯ µ dans celui de E ( x, Ψ , − ¯ µ ) , l’intégrale de ( i ) est égale à (1) X S,s Z X S ( Z ) ( − a ( s ) φ M,s ( s − ( H ( x ) − T )) A ( x, s ) d x avec X S ( Z ) = S ( F ) U S ( A ) \ G ( A ; Z ) ( X S ( Z ) est l’image de (cid:16)` H ∈ A M ( Z ) X M ( H ) (cid:17) × K dans X S ) et A ( x, s ) = ( M ( s, λ )Φ)( x, sλ )Π S E ( x, Ψ , − ¯ µ ) . Notons que φ M,s ( s − ( H ( x ) − T )) ne dépend que de l’image H S ( x ) G − T GS de H ( x ) − T dans a GS . D’après [LW, 5.2.2 (5)], on a A ( x, s ) = X t ∈ W G ( a R , a S ) e h sλ − tµ +2 ρ S , H S ( x ) i ( M ( s, λ )Φ)( x ) M ( t, − ¯ µ )Ψ)( x ) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 47
La fonction M ( s, λ )Φ appartient à A cusp ( X S ) sξ et la fonction M ( t, − ¯ µ )Ψ appar-tient à A cusp ( X S ) tξ ′ . Il résulte de 5.4.1 et 5.4.2 que l’expression (1) est égale à lasomme sur S , s et t de | b S | − X ν ∈ b S X H ∈ A S ( Z ) ( − a ( s ) φ M,s ( H − T S ) e h sλ − tµ − ν,H i h D ν M ( s, λ )Φ , M ( t, − ¯ µ )Ψ i S . Fixons un triplet ( S, s, t ) comme ci-dessus. En tenant compte de 1.6.5 on a pour λ assez régulier et µ fixé : X H ∈ A S ( Z ) ( − a ( s ) φ M,s ( H − T S ) e h sλ − tµ − ν,H i = ε G,T S S ( Z ; sλ − tµ − ν ) . On obtient que l’expression (1) est égale à la somme sur S , s et t de (2) | b S | − X ν ∈ b S ε G,T S S ( Z ; sλ − tµ − ν ) h D ν M ( s, λ )Φ , M ( t, − ¯ µ )Ψ i S . soit encore (3) | b R | − X ν ∈ b R ε G,T S S ( Z ; sλ − t ( µ + ν )) h D tν M ( s, λ )Φ , M ( t, − ¯ µ )Ψ i S . et, grâce à l’équation fonctionnelle 5.2.2, on obtient que (3) est égal à (4) | b R | − X ν ∈ b R ε G,T S S ( Z ; sλ − t ( µ + ν )) h D ν M ( t, − ( µ + ν )) − M ( s, λ )Φ , Ψ i R . On voit apparaître la ( G, M ) -famille spectrale à valeurs opérateurs pour M = M R et l’intégrale de ( i ) est donc égale à | b R | − X ν ∈ b R h D ν Ω TR | Q ( Z ; λ, µ + ν )Φ , Ψ i R . L’assertion ( i ) en résulte. Le cas général ( ii ) est dû à Arthur [A1] dans le cas descorps de nombres. La preuve consiste à se ramener au cas cuspidal, c’est-à-dire à laformule de Langlands [LW, 5.4.2. ( i ) ]. Dans le cas des corps de fonctions, on prouvede la même manière ( ii ) à partir de ( i ) . Notons qu’ici, les groupes µ Q et µ R sontcompacts, d’où la borne uniforme en λ et µ . (cid:3) Sous les hypothèses ( i ) et ( ii ) de 5.4.3, pour que l’intégrale Z X G ( Z ) Λ T E ( x, Φ , λ ) E ( x, Ψ , − ¯ µ ) d x soit non nulle, il faut que wξ et ξ ′ coïncident sur A R ( F ) \ A R ( A ) pour un (i.e. pourtout) w ∈ W ( a Q , a R ) . Cette condition équivaut à l’existence d’un τ ∈ µ R tel que ( wξ ) ⋆ τ = ξ ′ . Son image dans b B R est uniquement déterminée. Notons E ( ξ, ξ ′ ) l’ensemble des τ ∈ µ R vérifiant cette équation pour un (i.e. pour tout) w ∈ W ( a Q , a R ) . S’il estnon vide, c’est un espace principal homogène sous b R . Proposition
Sous les hypothèses ( i ) et ( ii ) de 5.4.3, le théorème 5.4.4reste vrai sans l’hypothèse ( iii ) à condition de remplacer [ Ω ] TR | Q ( Z ; λ, µ ) par l’opé-rateur [ Ω ] TR | Q ( Z, ξ, ξ ′ ; λ, µ ) d´ef = | b R | − X ν ∈ E ( ξ,ξ ′ ) D ν Ω TR | Q ( Z ; λ, µ + ν ) . Par convention [ Ω ] TR | Q ( Z, ξ, ξ ′ ; λ, µ ) = 0 si E ( ξ, ξ ′ ) est vide. Si ( λ − µ − τ ) ∈ b G pour τ ∈ E ( ξ, ξ ′ ) , chacun de membres de l’égalité ne dépend que de l’image de Z dans G .Démonstration. Il suffit d’observer que E ( x, D τ + ν Ψ , µ ) = E ( x, D ν Ψ , µ + τ ) . (cid:3) Le noyau intégral
Opérateurs et noyaux.
Notons C ∞ c ( e G ( A )) l’espace des fonctions lisses et àsupport compact sur e G ( A ) . On notera d y la mesure G ( A ) -invariante à droite et àgauche sur e G ( A ) déduite de la mesure de Haar d x sur G ( A ) en posant : Z e G ( A ) f ( y ) d y = Z G ( A ) f ( δx ) d x avec δ ∈ e G ( F ) . La mesure ainsi définie est indépendante du choix de δ . L’espace tordu localementcompact e G ( A ) est unimodulaire au sens de [LW, 2.1]. Il agit sur X G de la manièresuivante : pour x ∈ X G et y ∈ e G ( A ) , on choisit un représentant ˙ x de x dans G ( A ) et un élément δ dans e G ( F ) . Alors ˙ x ′ = δ − ˙ xy est un élément de G ( A ) , dont l’image x ′ dans X G ne dépend pas des choix de ˙ x et de δ . On pose x ∗ y = x ′ .On fixe dans toute la suite un caractère unitaire ω de G ( A ) trivial sur le groupe A e G ( A ) G ( F ) . La représentation régulière droite ρ de G ( A ) dans L ( X G ) se prolongenaturellement en une représentation unitaire e ρ de ( e G ( A ) , ω ) , au sens de [LW, 2.3] :pour ϕ ∈ L ( X G ) , et x et y comme ci-dessus, on pose e ρ ( y, ω ) ϕ ( x ) = ( ωϕ )( x ∗ y ) = ω ( δ − ˙ xy ) ϕ ( δ − ˙ xy ) . Par intégration contre une fonction f ∈ C ∞ c ( e G ( A )) , on définit l’opérateur e ρ ( f, ω ) = Z e G ( A ) f ( y ) e ρ ( y, ω ) d y . Il est représenté par le noyau intégral sur X G × X G : K e G ( f, ω ; x, y ) = X δ ∈ e G ( F ) ω ( y ) f ( x − δy ) c’est-à-dire que ( e ρ ( f, ω ) ϕ )( x ) = Z X G K e G ( f, ω ; x, y ) ϕ ( y ) d y . Le noyau K e G ( f, ω ; x, y ) sera noté K ( f, ω ; x, y ) si aucune confusion craindre. D’après[LW, 6.2.1] on a le Lemme
Il existe des constantes c ( f ) et N telles que, pour tout x et tout y dans G ( A ) , on ait | K ( f, ω ; x, y ) | ≤ c ( f ) | x | N | y | N . Factorisation du noyau.
Pour f ∈ C ∞ c ( e G ( A )) et h ∈ C ∞ c ( G ( A )) , on note f ⋆ h ∈ C ∞ c ( e G ( A )) la fonction définie par ( f ⋆ h )( x ) = Z G ( A ) f ( xy − ) h ( y ) d y . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 49
Le noyau intégral de l’opérateur e ρ ( f ∗ h, ω ) sur X G est donné par K ( f ⋆ h, ω ; x, y ) = Z X G K ( f, ω ; x, z ) K G ( ωh ; z, y ) d z . Toute fonction f ∈ C ∞ c ( e G ( A )) est K ′ -bi-invariante, c’est-à-dire invariante à droiteet à gauche, par K ′ un sous-groupe ouvert compact de G ( A ) , que l’on peut choisirdistingué dans K . Si on suppose que le caractère ω est trivial sur K ′ la fonction X G × X G → C , ( x, y ) K ( f, ω ; x, y ) est ( K ′ × K ′ ) -invariante (pour l’action à droite) et le noyau K ( f, ω ; x, y ) est A -admissible au sens de [LW, 6.3]. Le théorème de factorisation de Dixmier-Malliavin[LW, 6.3.1] est trivialement vrai ici : notons e K ′ la fonction caractéristique de K ′ divisée par vol( K ′ ) . C’est un idempotent de C ∞ c ( G ( A )) et l’on a f = f ⋆ e K ′ = e K ′ ⋆ f = e K ′ ⋆ f ⋆ e K ′ . Puisque ω | K ′ = 1 le noyau K ( f, ω ; x, y ) s’écrit K ( f, ω ; x, y ) = Z X G K ( f, ω ; x, z ) K G ( e K ′ ; z, y ) d z . Propriétés du noyau tronqué.
On a défini en 3.4 un domaine de Siegel S ∗ = E G S pour le quotient B G G ( F ) \ G ( A ) et on pose G ( A ) ∗ = E G G ( A ) . Onnote Λ T l’opérateur de troncature agissant sur la première variable d’un noyau K ( f, ω ; x, y ) . On a la variante [MW, IV.2.5 (b)] des lemmes [LW, 6.4.1, 6.4.2] :
Lemme (i) – Il existe un sous-ensemble compact Ω de S ∗ tel que pourtout y ∈ G ( A ) ∗ , la fonction S ∗ → C , x Λ T K ( f, ω ; x, y ) soit à support dans Ω . De plus la fonction S ∗ × S ∗ → C , ( x, y ) Λ T K ( f, ω ; x, y ) est à support compact, donc bornée.(ii) – Soit K ′ un sous-groupe ouvert compact de G ( A ) . Il existe un sous-ensemblecompact Ω de S ∗ × S ∗ tel que pour toute fonction K ′ -bi-invariante f dans C ∞ c ( e G ( A )) , le support de la restriction à S ∗ × S ∗ du noyau tronqué ( x, y ) Λ T K ( f, ω ; x, y ) soit contenu dans Ω .Démonstration. La fonction ( x, y ) K ( f, ω ; x, y ) sur X G × X G est ( K ′ × K ′ ) -invariante pour un sous-groupe ouvert compact K ′ de G ( A ) . On peut donc ap-pliquer 4.2.1 : il existe un sous-ensemble compact Ω de S ∗ tel que pour tout y ∈ G ( A ) ∗ , le support de la fonction x Λ T K ( f, ω ; x, y ) soit contenu dans Ω . Onprocède ensuite comme dans la preuve de [MW, IV.2.5 (b)]. La dernière assertionrésulte de 4.2.1 et de la preuve de [MW, IV.2.5 (b)]. (cid:3) Décomposition spectrale
Les sorites de [LW, 7.1] sont valables ici. La décomposition spectrale de L ( X G ) a été obtenue par Langlands pour les corps de nombres [La] et Morris pour lescorps de fonctions [Mo1, Mo2] puis rédigée pour tout corps global par Mœglin etWaldspurger [MW]. Un résultat de finitude.
Soit P ∈ P . On observe qu’une fonction K -finiesur X P est forcément K ′ -invariante à droite pour un sous-groupe ouvert K ′ de K . Pour ξ ∈ Ξ( P ) , on note A disc , K ′ ( X P ) ξ le sous-espace de A disc ( X P ) ξ formédes fonctions qui sont K ′ -invariantes. On définit de la même manière les espaces A cusp , K ′ ( X P ) ξ . Sur un corps de fonctions on a le résultat de finitude suivant : Théorème
La représentation de G ( A ) dans A disc ( X P ) ξ est admissible :pour tout sous-groupe ouvert compact K ′ de G ( A ) , l’espace A disc , K ′ ( X P ) ξ est dedimension finie.Démonstration. D’après 4.1.2, il existe un sous-ensemble compact Ω de X P tel quetoute forme automorphe cuspidale K ′ -invariante sur X P soit à support contenudans Ω . On en déduit que l’espace A cusp , K ′ ( X P ) ξ est de dimension finie. End’autres termes, la représentation de G ( A ) dans A cusp ( X P ) ξ est admissible. D’aprèsla décomposition spectrale de Langlands, les formes automorphes discrètes Φ ∈ A disc , K ′ ( X P ) ξ s’obtiennent comme résidus de séries d’Eisenstein construites à partir de formesautomorphes cuspidales Φ ′ ∈ A cusp , K ′ ( X Q ) ξ ′ pour Q ⊂ P et ξ ′ un caractère uni-taire automorphe de A Q ( A ) prolongeant ξ . Comme l’espace A cusp , K ′ ( X Q ) ξ ′ est dedimension finie et même nul sauf pour un ensemble fini des caractères ξ ′ , les sériesd’Eisenstein ne peuvent donner naissance par résidus qu’à un espace de dimensionfinie de formes discrètes. (cid:3) Ce théorème rend inutile le découpage suivant les données cuspidales utilisé parArthur (et repris dans [LW]) dans le développement spectral de la formule destraces, puisqu’il règle immédiatement les éventuelles questions de convergence.7.2.
Données discrètes et décomposition spectrale.
Pour M ∈ L , notons W G ( M ) le quotient de l’ensemble des éléments w ∈ W G tels que w ( M ) = M par W M . C’est un groupe et on note w G ( M ) son ordre. Rappelons que pour σ unereprésentation de M ( A ) et λ ∈ µ M , on a noté σ λ = σ ⋆ λ la représentation définiepar les opérateurs σ ⋆ λ : x e h λ, H M ( x ) i σ ( x ) . Définition
On appelle donnée discrète pour G un couple ( M, σ ) où σ estune représentation automorphe irréductible de M ( A ) discrète modulo le centre c’est-à-dire apparaissant comme composant de L ( X M ) ξ – l’espace de Hilbert engendrépar les sous-représentations irréductibles de L ( X M ) ξ – pour un caractère unitaireautomorphe ξ de A M ( A ) . Deux données discrètes ( M, σ ) et ( M ′ , σ ′ ) de G sont diteséquivalentes s’il existe un couple ( w, λ ) ∈ W G × µ M tel que wM w − = M ′ , w ( σ ⋆ λ ) ≃ σ ′ . Nous noterons
Stab M ( σ ) le sous-groupe de b M formé des λ tels que σ ⋆ λ ≃ σ et b c M ( σ ) son indice : b c M ( σ ) = | b M || Stab M ( σ ) | . Soit ( M, σ ) une donnée discrète pour G et soit P ∈ P ( M ) . Soit ξ la restriction à A M ( A ) du caractère central de σ . On notera A ( X P , σ ) ⊂ A disc ( X P ) ξ A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 51 le sous-espace des formes automorphes ϕ sur X P telles que pour tout x ∈ G ( A ) ,la fonction m ϕ ( mx ) sur X M soit un vecteur de la composante isotypique de σ dans L ( X M ) ξ . C’est l’espace des fonctions K -finies à droite dans l’espace de lareprésentation induite parabolique de P ( A ) à G ( A ) de la composante isotypique de σ dans L ( X M ) ξ . On notera B P ( σ ) une base orthonormale de cet espace vectorielpré-hilbertien.Considérons x ∈ X P , y ∈ e G ( A ) , θ = Int δ et µ ∈ a ∗ M, C . Rappelons que l’on a posé (1) ϕ ( x, µ ) = e h µ + ρ P , H P ( x ) i ϕ ( x ) . Définition
Pour une représentation automorphe irréductible σ de M P ( A ) discrète modulo le centre, on définit pour Q = θ ( P ) un opérateur unitaire ρ P,σ,µ ( δ, y, ω ) : A ( X P , σ ) → A ( X Q , θ ( ω ⊗ σ )) en posant (2) ( ρ P,σ,µ ( δ, y, ω ) ϕ )( x, θ ( µ )) = ( ωϕ )( δ − xy, µ ) . Cet opérateur réalise un avatar tordu par δ et ω de la représentation induiteparabolique Ind G ( A ) P ( A ) ( σ ⋆ µ ) . Différentes réalisations peuvent apparaître et doivent être comparées :
Lemme
Pour µ et λ ∈ µ M , les avatars tordus ρ = ρ P,σ,λ + µ ( δ, y, ω ) et ρ = ρ P,σ⋆λ,µ ( δ, y, ω ) sont équivalents et l’entrelacement est donné par les opérateurs D λ et D θ ( λ ) (définisen 5.2.1). En d’autres termes, le diagramme suivant A ( X P , σ ) ρ / / D λ (cid:15) (cid:15) A ( X Q , θ ( ω ⊗ σ )) D θ ( λ ) (cid:15) (cid:15) A ( X P , σ ⋆ λ ) ρ / / A ( X Q , θ ( ω ⊗ σ ⋆ λ )) est commutatif, c’est-à-dire que l’on a (3) D θ ( λ ) ◦ ρ P,σ,λ + µ ( δ, y, ω ) = ρ P,σ⋆λ,µ ( δ, y, ω ) ◦ D λ . Démonstration.
C’est une conséquence immédiate des équations (1) et (2). (cid:3)
Par intégration contre une fonction f ∈ C ∞ c ( e G ( A )) , on définit l’opérateur ρ P,σ,µ ( δ, f, ω ) et on pose e ρ P,σ,µ ( y, ω ) = ρ P,σ,µ ( δ , y, ω ) , e ρ P,σ,µ ( f, ω ) = ρ P,σ,µ ( δ , f, ω ) . Soit ϕ : X G → C une fonction continue et à support compact. Pour P ∈ P , Ψ ∈ A disc ( X P ) et µ ∈ µ P , on pose b ϕ (Ψ , µ ) = Z X G ϕ ( x ) E ( x, Ψ , µ ) d x .
22. On prendra garde à ce que, contrairement au cas des corps de nombres, on ne dispose pasd’un représentant canonique dans l’orbite de σ sous les décalages par les µ ∈ µ M . Pour deux fonctions φ, ϕ : X G → C continues et à support compact, on pose h φ, ϕ i X G = Z X G φ ( x ) ϕ ( x ) d x . Pour M ∈ L , notons— Π disc ( M ) l’ensemble des classes d’isomorphisme de représentations auto-morphes irréductibles de M ( A ) discrètes modulo le centre,— Π disc ( M ) le quotient de Π disc ( M ) par la relation d’équivalence donnée parla torsion par les caractères unitaires de A M .D’après [MW, VI] avec les conventions de 1.3.1 pour la normalisation des mesures( vol( µ M ) = 1 ) et les notations de 7.2.1, on a le Théorème
Le produit scalaire h φ, ϕ i X G admet la décomposition spectralesuivante : h φ, ϕ i X G = X M ∈ L / W w G ( M ) X σ ∈ Π disc ( M ) b c M ( σ ) Z µ M X Ψ ∈ B P ( σ ) b φ (Ψ , µ ) b ϕ (Ψ , µ ) d µ où l’on a identifié L / W a un ensemble de représentants dans L et où pour chaqueclasse σ ∈ Π disc ( M ) on a choisi un représentant σ ∈ Π disc ( M ) dans la classe σ . Décomposition spectrale d’un noyau.
La proposition [LW, 7.2.2] est vraieici, mutatis mutandis . Plus précisément, soient P ∈ P st et θ un F -automorphismede G . Soit H ( x, y ) un noyau intégral sur X θ ( P ) × X P de la forme H = K K ∗ : H ( x, y ) = Z X P K ( x, z ) K ∗ ( z, y ) d z où K (resp. K ) est un noyau A -admissible sur X θ ( P ) × X P (resp. X P × X P ).On suppose que pour S ∈ P P st , σ ∈ Π disc ( M S ) et µ ∈ µ S , on a des opérateurs derang fini et, plus précisément, s’annulant en dehors d’un ensemble fini de vecteursde B S ( σ ) : A ,σ,µ ∈ Hom( A ( X S , σ ) , A ( X θ ( S ) , θ ( σ )) et A ,σ,µ ∈ Hom( A ( X S , σ ) , A ( X S , σ )) vérifiant Z X P K ( x, y ) E P ( y, Ψ , µ ) d y = E θ ( P ) ( x, A ,σ,µ Ψ , θ ( µ )) et Z X P K ( x, y ) E P ( y, Ψ , µ ) d y = E P ( x, A ,σ,µ Ψ , µ ) . Posons B σ,µ = A ,σ,µ A ∗ ,σ,µ ∈ Hom( A ( X S , σ ) , A ( X θ ( S ) , θ ( σ )) et H σ ( x, y ; µ ) = X Ψ ∈ B S ( σ ) E θ ( P ) ( x, B σ,µ Ψ , θ ( µ )) E P ( y, Ψ , µ ) .
23. On observera que dans [LW] la définition des espaces X P diffère de la nôtre par un quotientpar B P ; il en résulte que, pour que la formule [LW, 7.2.2 (1)] soit correcte, il faut la modifiercomme indiqué dans l’Erratum pour [LW] (voir l’Annexe A). A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 53
Proposition
Le noyau H ( x, y ) admet la décomposition spectrale sui-vante : (1) H ( x, y ) = X M ∈ L / W w G ( M ) X σ ∈ Π disc ( M ) b c M ( σ ) Z µ M H σ ( x, y ; µ ) d µ . De plus, la somme sur Ψ dans l’expression H σ ( x, y ; µ ) est finie, et en posant h ( x, y ) = X M ∈ L / W w G ( M ) X σ ∈ Π disc ( M ) b c M ( σ ) Z µ M | H σ ( x, y ; µ ) | d µ , on a la majoration (inégalité de Schwartz) (2) | H ( x, y ) | ≤ h ( x, y ) ≤ K K ∗ ( x, x ) / K K ∗ ( y, y ) / . Démonstration.
Comme dans la preuve de [LW, 7.2.2], cela résulte des généralitéssur la décomposition spectrale des noyaux produits [LW, 7.1.1 (1)] et de la formeexplicite de la décomposition spectrale automorphe (théorème 7.2.4). (cid:3)
Pour δ ∈ e G ( F ) , posons θ = Int δ et Q = θ ( P ) . On considère l’opérateur ρ ( δ, f, ω ) : L ( X P ) → L ( X Q ) défini par ρ ( δ, f, ω ) φ ( x ) = Z e G ( A ) f ( y )( ωφ )( δ − xy ) d y . Il est donné par le noyau intégral K Q,δ ( x, y ) = Z U Q ( F ) \ U Q ( A ) ω ( x ) X η ∈ Q ( F ) f ( x − u − η − δy ) d u . Soit S ∈ P P st , et soit σ une représentation automorphe de M S ( A ) . Pour µ ∈ a ∗ P, C et f ∈ C ∞ c ( e G ( A )) , on a défini en 7.2 un opérateur ρ S,σ,µ ( δ, f, ω ) : A ( X S , σ ) → A ( X θ ( S ) , θ ( ω ⊗ σ )) . Pour Ψ ∈ A ( X S , σ ) et x ∈ X Q , on a ρ ( δ, f, ω ) E P ( x, Ψ , µ ) = E Q ( x, ρ S,σ,µ ( δ, f, ω )Ψ , θ ( µ )) , d’où Z X P K Q,δ ( x, y ) E P ( y, Ψ , µ ) d y = E Q ( x, ρ S,σ,µ ( δ, f, ω )Ψ , θ ( µ )) . Rappelons que l’on a fixé une base orthonormale B S ( σ ) de l’espace pré-hilbertien A ( X S , σ ) . Pour µ ∈ µ S , on pose K Q,P,σ ( x, y ; µ ) = X Ψ ∈ B S ( σ ) E Q ( x, ρ S,σ,µ ( δ, f, ω )Ψ , θ ( µ )) E P ( y, Ψ , µ ) . On a les variantes de la proposition [LW, 7.3.1] et de son corollaire [LW, 7.3.2] :
Proposition
La fonction f ∈ C ∞ c ( e G ( A )) étant fixée, alors(i) Le noyau K Q,δ ( x, y ) admet la décomposition spectrale suivante : K Q,δ ( x, y ) = X M ∈ L P / W P w Q ′ ( M ) X σ ∈ Π disc ( M ) b c M ( σ ) Z µ M K Q,P,σ ( x, y ; µ ) d µ . (ii) La restriction à S × G ( A ) de la fonction ( x, y ) X M ∈ L P / W P w Q ′ ( M ) X σ ∈ Π disc ( M ) b c M ( σ ) Z µ M | Λ T,Q K Q,P,σ ( x, y ; µ ) | d µ est bornée et à support compact en x et à croissance lente en y .Démonstration. Le point ( i ) est une conséquence de 7.3.1 et 6.2 : on choisit unsous-groupe ouvert compact K ′ de G ( A ) tel que e K ′ ∗ f ∗ e K ′ = f et ω | K ′ = 1 ;pour S ∈ P P st , σ ∈ Π disc ( M S ) et µ ∈ µ S , on considère les opérateurs A ,σ,µ = ρ S,σ,µ ( δ, f, ω ) et A ,σ,µ = ρ S,σ,µ ( e K ′ ) puis on pose B σ,µ = A ,σ,µ A ∗ ,σ,µ . On en déduit que le noyau tronqué Λ T,Q K Q,δ ( x, y ) est égal à X M ∈ L P / W w P ( M ) X σ ∈ Π disc ( M ) b c M ( σ ) Z µ M Λ T,Q K Q,P,σ ( x, y ; µ ) d µ . On observe que, grâce à la factorisation 6.2, on a Λ T,Q K Q,P,σ ( x, y ; µ ) = Z X G Λ T,Q K Q,P,σ ( x, z ; µ ) K ∗ P,P,σ ( e K ′ ; z, y ; µ ) d z avec K ∗ P,P,σ ( e K ′ ; z, y ; µ ) = X Ψ ∈ B S ( σ ) E P ( z, Ψ , µ ) E P ( y, ρ S,σ,µ ( e K ′ )Ψ , µ ) . On en déduit le point ( ii ) comme dans la preuve de [LW, 7.3.1 ( ii ) ], grâce à l’inégalitéde Schwarz 7.3.1 (2), au lemme 6.3.1 (i) et à l’inégalité de 6.1.1. (cid:3) Corollaire
La restriction à S × G ( A ) de la fonction ( x, y )
7→ | Λ T,Q K Q,δ ( x, y ) | est bornée et à support compact en x et à croissance lente en y . Partie III. La formule des traces grossière Formule des traces : état zéro
Le cas compact.
Dans cette section nous établissons la formule des tracestordue dans le cas où G der est anisotrope, c’est-à-dire où X G = A G ( A ) G ( F ) \ G ( A ) est compact. Rappelons que l’on a fixé un caractère unitaire ω de G ( A ) trivial surle groupe A e G ( A ) G ( F ) . Soit f ∈ C ∞ c ( e G ( A )) . On pose Y G d´ef = A e G ( A ) G ( F ) \ G ( A ) et J ( f, ω ) d´ef = Z Y G K ( f, ω ; x, x ) d x avec K ( f, ω ; x, y ) = X δ ∈ e G ( F ) f ( x − δy ) ω ( y ) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 55
Il est facile de montrer que l’intégrale sur Y G est absolument convergente. Indiquonsrapidement comment on en déduit la formule des traces. Pour plus de détails onrenvoie aux chapitres suivants où les résultats de ce paragraphe seront établis dansun cadre plus général.On peut développer l’intégrale suivant les classes de conjugaison. On note e Γ un système de représentants des classes de G ( F ) -conjugaison dans e G ( F ) et G δ ( F ) le groupe des points F -rationnels du centralisateur G δ de δ dans G . Pour δ ∈ e G ( F ) prim , on choisit une mesure de Haar sur G δ ( A ) et on pose a G ( δ ) = vol( A e G ( A ) G δ ( F ) \ G δ ( A )) . Si G δ ( A ) ker( ω ) on pose O δ ( f, ω ) = 0 et, si G δ ( A ) ⊂ ker( ω ) , on pose O δ ( f, ω ) = Z G δ ( A ) \ G ( A ) ω ( g ) f ( g − δg ) d ˙ g où d ˙ g est la mesure quotient. Proposition Si G der est anisotrope, on a le développement géométrique : J ( f, ω ) = X δ ∈ e Γ a G ( δ ) O δ ( f, ω ) . Seul un nombre fini de δ (dépendant du support de f ) donne une contribution nonnulle à la somme. Nous allons maintenant considérer le développement spectral. En général J ( f, ω ) n’est pas une trace car, sauf si A G est trivial, l’opérateur e ρ ( f, ω ) opérant dans L ( X G ) n’est pas un opérateur à trace.Rappelons qu’on a noté Ξ( G ) le groupe des caractères unitaires automorphes de A G ( A ) . On note Ξ( G, e G ) ⊂ Ξ( G ) le sous-groupe des caractères triviaux sur A e G ( A ) . Les groupes Ξ( G ) et Ξ( G, e G ) sont munis de mesures de Haar en suivant les conventions de 1.3.1 : elles donnentle volume à b B G et b B e GG respectivement . Soit Ξ( G, θ, ω ) ⊂ Ξ( G ) le sous-ensemble formé des caractères ξ tels que, en notant ω A G la restriction de ω à A G ( A ) , on ait ξ ◦ θ = ω A G ⊗ ξ . Si Ξ( G, θ, ω ) est non vide, c’est un espace tordu sous le groupe Ξ( G ) θ des pointsfixes sous θ dans Ξ( G ) . On observe que b B θG est un sous-groupe ouvert de Ξ( G ) θ .On munit Ξ( G ) θ de la mesure de Haar telle que vol( b B θG ) = 1 ce qui fournit unemesure Ξ( G ) θ -invariante sur Ξ( G, θ, ω ) .Considérons un caractère ξ ∈ Ξ( G ) et posons pour x et y dans G ( A ) : K ξ ( f, ω ; x, y ) = X δ ∈ A G ( F ) \ e G ( F ) Z A G ( A ) ξ ( z ) f ( z − x − δy ) ω ( y ) d z
24. Rappelons que b B e GG est le dual de Pontryagin du réseau B e GG = B e G \ B G de a e GG . soit encore K ξ ( f, ω ; x, y ) = Z A G ( F ) \ A G ( A ) ξ ( z ) K ( f, ω ; zx, y ) d z . Par inversion de Fourier on voit que K ( f, ω ; x, y ) = Z ξ ∈ Ξ( G ) K ξ ( f, ω ; x, y ) d ξ , et on observe que (1) K ξ ( f, ω ; zx, zy ) = ζ ξ ( z ) K ξ ( f, ω ; x, y ) où ζ ξ = ( ξ ◦ θ ) − · ( ω A G ⊗ ξ ) = ω A G ⊗ ξ − θ est un élément du groupe Ξ( G, e G ) . On observe aussi que, par définition, ζ ξ = 1 équivaut à ξ ∈ Ξ( G, θ, ω ) . Pour ξ ∈ Ξ( G ) , on note L ( X G ) ξ l’espace de Hilbert des fonctions sur X G quise transforment suivant ξ sur A G ( A ) . Lorsque ξ ∈ Ξ( G, θ, ω ) c’est-à-dire si ζ ξ = 1 ,l’opérateur e ρ ( f, ω ) induit un endomorphisme de L ( X G ) ξ . D’après 7.1.1 c’est unopérateur de rang fini. On pose J ( f, ω, ξ ) d´ef = Z X G K ξ ( f, ω ; x, x ) d x et on a (2) J ( f, ω, ξ ) = trace (cid:0) e ρ ( f, ω ) | L ( X G ) ξ (cid:1) . On note Π disc ( e G, ω ) l’ensemble des classes d’isomorphisme de représentations automorphes irréductiblesde G ( A ) discrètes modulo le centre, qui admettent un prolongement à ( e G ( A ) , ω ) .Pour ξ ∈ Ξ( G, θ, ω ) , on note Π disc ( e G, ω ) ξ le sous-ensemble de Π disc ( e G, ω ) formé desreprésentations dont le caractère central restreint à A G ( A ) est égal à ξ . Enfin pour π ∈ Π disc (Π , ω ) ξ , on note A ( X G , π ) la composante isotypique de π dans A ( X G ) ξ ⊂ L ( X G ) ξ . Lemme
Pour ξ ∈ Ξ( G, θ, ω ) , on a J ( f, ω, ξ ) = X π ∈ Π disc ( e G,ω ) ξ trace ( e ρ ( f, ω ) | A ( X G , π )) . Démonstration.
On observe que les représentations π qui n’admettent pas de pro-longement à ( e G ( A ) , ω ) contribuent par zéro à la trace de l’opérateur e ρ ( f, ω ) . (cid:3) On choisit, pour chaque π ∈ Π disc ( e G, ω ) , un prolongement ˜ π à ( e G ( A ) , ω ) de π (plus correctement, d’un représentant ( π, V π ) de la classe π ) et on note m ( π, ˜ π ) lamultiplicité tordue de ( π, ˜ π ) dans L ( X G ) ξ π , définie dans [LW, 2.4], où ξ π est larestriction à A G ( A ) du caractère central de π . Le nombre m ( π, ˜ π )trace(˜ π ( f, ω ) | V π ) A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 57 ne dépend pas du choix de ˜ π . Ceci fournit une nouvelle expression : J ( f, ω, ξ ) = X π ∈ Π disc ( e G,ω ) ξ m ( π, ˜ π )trace(˜ π ( f, ω ) | V π ) . Lemme
On suppose que l’ensemble Ξ( G, θ, ω ) est non vide. Si { ψ } est unefamille de fonctions sur Ξ( G, e G ) qui tend, au sens des distributions, vers la massede Dirac à l’origine, alors pour tout fonction κ lisse sur Ξ( G ) , on a lim ψ Z ξ ∈ Ξ( G ) ψ ( ω A G ⊗ ξ − θ ) κ ( ξ ) d ξ = Z ξ ∈ Ξ( G,θ,ω ) κ ( ξ ) d ξ . Démonstration.
Par hypothèse, il existe ξ ∈ Ξ( G, θ, ω ) . En écrivant ξ sous la forme ξ = ξ ξ ξ avec ξ ∈ Ξ( G ) θ on a ω A G ⊗ ξ − θ = ξ − θ . On observe alors qu’en posant Ξ( G ) = Ξ( G ) / Ξ( G ) θ on a Z ξ ∈ Ξ( G ) ψ ( ω A G ⊗ ξ − θ ) k ( ξ ) d ξ = Z ξ ∈ Ξ( G ) ψ ( ξ − θ ) Z ξ ∈ Ξ( G ) θ k ( ξ ξ ξ ) d ξ ! d ξ . On peut supposer que ψ est à support dans le tore compact b B e GG = (1 − θ ) b B G ( ⊂ Ξ( G, e G )) . Puisque les mesures sont compatibles à la suite exacte courte → b B θG → b B G − θ −−−→ b B e GG → , le lemme en résulte. (cid:3) Proposition Si G der est anisotrope on a l’identité : J ( f, ω ) = Z ξ ∈ Ξ( G,θ,ω ) trace (cid:0) e ρ ( f, ω ) | L ( X G ) ξ (cid:1) d ξ soit encore J ( f, ω ) = Z ξ ∈ Ξ( G,θ,ω ) X π ∈ Π disc ( e G,ω ) ξ trace ( e ρ ( f, ω ) | A ( X G , π )) . Démonstration.
Par définition J ( f, ω ) = Z Y G Z ξ ∈ Ξ( G ) K ξ ( f, ω ; x, x ) d ξ ! d x soit encore J ( f, ω ) = Z ˙ x ∈ X G Z z ∈ A G ( F ) A e G ( A ) \ A G ( A ) Z ξ ∈ Ξ( G ) K ξ ( f, ω ; zx, zx ) d ξ ! d z d ˙ x . Considérons une famille { φ } de fonctions à support compact sur le groupe abélienlocalement compact A G ( F ) A e G ( A ) \ A G ( A ) et tendant vers la fonction , de sorte que la famille { b φ } de leurs transformées deFourier tende vers la masse de Dirac sur Ξ( G, e G ) à l’origine. Alors J ( f, ω ) est égalà lim φ → Z X G Z A G ( F ) A e G ( A ) \ A G ( A ) Z ξ ∈ Ξ( G ) K ξ ( f, ω ; zx, zx ) d ξ ! φ ( z − ) d z d ˙ x soit encore, en utilisant (1), à lim φ → Z X G Z A G ( F ) A e G ( A ) \ A G ( A ) Z ξ ∈ Ξ( G ) φ ( z − ) ζ ξ ( z ) K ξ ( f, ω ; x, x ) d ξ ! d z d ˙ x . Comme φ est à support compact, on peut intervertir les intégrations en z et ξ , eton a J ( f, ω ) = lim φ → Z X G Z ξ ∈ Ξ( G ) b φ ( ζ ξ ) K ξ ( f, ω ; x, x ) d ξ ! d ˙ x . Compte tenu de 8.1.3, cette limite s’écrit Z X G Z ξ ∈ Ξ( G,θ,ω ) K ξ ( f, ω ; x, x ) d ξ ! d ˙ x . Comme X G est compact on peut encore intervertir et on obtient J ( f, ω ) = Z ξ ∈ Ξ( G,θ,ω ) J ( f, ω, ξ ) d ξ . On conclut en invoquant (2). (cid:3)
On pose µ e G d´ef = b A e G et on note Π disc ( e G, ω ) le quotient de Π disc ( e G, ω ) par la relation d’équivalence donnéepar la torsion par les éléments de µ e G . Pour π ∈ Π disc ( e G, ω ) , on pose b c e G ( π ) = | b e G || Stab e G ( π ) | où Stab e G ( π ) ⊂ b e G est le stabilisateur de π dans µ e G . Lemme
Le morphisme b B θG → b B e G = c B θG induit par ξ ξ | B e G est surjectif et son noyau est fini de cardinal j ( e G ) = | det(1 − θ | a e GG ) | . Démonstration.
Le groupe b B θG est le dual de Pontryagin du groupe (1 − θ ) B G \ B G .Le morphisme composé B e G = B θG → B G → (1 − θ ) B G \ B G est injectif et son conoyau est égal à (cid:0) (1 − θ ) B G + B e G (cid:1) \ B G = (1 − θ ) B G \ B e GG . Or l’indice [ B e GG : (1 − θ ) B G ] est égal à | det(1 − θ | a e GG ) | . D’où le lemme par dualitéde Pontryagin. (cid:3) A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 59
Avec les conventions de 1.3.1 pour la normalisation des mesures ( vol( µ e G ) = 1 ),la proposition 8.1.4 s’écrit aussi : Proposition Si G der est anisotrope on a l’identité suivante : J ( f, ω ) = j ( e G ) − X π ∈ Π disc ( e G,ω ) b c e G ( π ) Z µ e G trace ( e ρ ( f, ω ) | A ( X G , π λ )) d λ . où, pour chaque classe π , on a choisi un représentant π dans Π disc ( e G, ω ) . Seul unnombre fini de π (dépendant de f ) donne une contribution non triviale à la somme.Démonstration. On peut écrire Z ⊕ Ξ( G,θ,ω ) L ( X G ) ξ d ξ = M ξ ∈ Ξ( G,θ,ω ) Z ⊕ b B θG L ( X G ) ξ⋆µ d µ où Ξ( G, θ, ω ) ⊂ Ξ( G ) est l’ensemble des restrictions à A G ( A ) des éléments de Ξ( G, θ, ω ) . On a donc J ( f, ω ) = X ξ ∈ Ξ( G,θ,ω ) Z b B θG trace (cid:0) e ρ ( f, ω ) | L ( X G ) ξ⋆µ (cid:1) d µ et trace (cid:0) e ρ ( f, ω ) | L ( X G ) ξ⋆µ (cid:1) = X π ∈ Π disc ( e G,ω ) ξ⋆µ trace ( e ρ ( f, ω ) | A ( X G , π )) . En remarquant que, pour tout ν ∈ b e G , π ∈ Π disc ( e G, ω ) ξ⋆µ équivaut à π ⋆ ν ∈ Π disc ( e G, ω ) ξ⋆µ puis en passant aux classes d’équivalence modulo torsion par les éléments de µ e G ,on obtient l’expression de l’énoncé grâce au lemme 8.1.5. (cid:3) Corollaire Si G der est anisotrope, la formule des traces tordue est l’iden-tité suivante : X δ ∈ e Γ a G ( δ ) O δ ( f, ω ) = j ( e G ) − X π ∈ Π disc ( e G,ω ) b c e G ( π ) Z µ e G trace ( e ρ ( f, ω ) | A ( X G , π λ )) d λ . Ce sont les identités 8.1.1, 8.1.4 et 8.1.6 que nous devons généraliser lorsque G der n’est plus nécessairement anisotrope. Il conviendra d’intégrer sur Y G des avatarstronqués du noyau. La première étape est fournie par le paragraphe suivant.8.2. L’identité fondamentale.
Soit f ∈ C ∞ c ( e G ( A )) . Pour e P ∈ e P , on pose K e P ( x, y ) = Z U P ( F ) \ U P ( A ) X δ ∈ e P ( F ) ω ( y ) f ( x − δuy ) d u . C’est le noyau de la représentation naturelle de ( e G ( A ) , ω ) dans L ( X P ) . Pour Q ∈ P tel que Q ⊂ P , on note Λ T,Q K e P ( x, y ) l’opérateur de troncature Λ T,Q appliqué à lafonction x K e P ( x, y ) pour y fixé. Le lemme [LW, 8.2.1] est vrai ici.On pose k T g´eom ( x ) = X e P ∈ e P st ( − a e P − a e G X ξ ∈ P ( F ) \ G ( F ) k T e P , g´eom ( ξx ) avec k T e P , g´eom ( x ) = ˆ τ P ( H ( x ) − T ) K e P ( x, x ) et k T spec ( x ) = X e P ∈ e P st ( − a e P − a e G X ξ ∈ P ( F ) \ G ( F ) k T e P , spec ( ξx ) avec k T e P , spec ( x ) = X Q,R ∈ P st Q ⊂ P ⊂ R X ξ ∈ Q ( F ) \ P ( F ) e σ RQ ( H ( ξx ) − T ) Λ T,Q K e P ( ξx, ξx ) . On a donc k T spec ( x ) = X e P ∈ e P st ( − a e P − a e G X Q,R ∈ P st Q ⊂ P ⊂ R X ξ ∈ Q ( F ) \ G ( F ) e σ RQ ( H ( ξx ) − T ) Λ T,Q K e P ( ξx, ξx ) . On a la proposition [LW, 8.2.1] : tous ces termes ne dépendent que de la projectionde T dans a e G = a G ⊕ a e GG et on a les identités k T e P , g´eom = k T e P , spec pour tout e P ∈ e P st . On en déduit l’identité fondamentale :
Proposition
On a l’identité k T g´eom = k T spec . Ce résultat, qui est une conséquence immédiate de la combinatoire des cônes, estle point de départ pour la formule des traces dans le cas non compact.Chacune des expressions k T g´eom et k T spec possède un développement : la premièresuivant les classes d’équivalence de paires primitives et la seconde suivant la décom-position spectrale. Pour obtenir la formule des traces on intègre sur Y G les fonctions k T g´eom et k T spec . On montrera que la convergence des intégrales (pour T suffisammentrégulier) est compatible aux développements de chacune de ces expressions. Ainsi,l’égalité de J T g´eom ( f, ω ) d´ef = Z Y G k T g´eom ( x ) d x et de J T spec ( f, ω ) d´ef = Z Y G k T spec ( x ) d x fournira la formule des traces, c’est-à-dire l’égalité du développement géométriqueet du développement spectral. Précisons que l’égalité J T g´eom ( f, ω ) = J T spec ( f, ω ) est une égalité de fonctions dans PolExp : les intégrales convergent et sont égalespour T ∈ a suffisamment régulier et elles définissent un même élément de PolExp(d’après 1.7.2 ). 9. Développement géométrique
Convergence : côté géométrique.
Rappelons qu’on a introduit en 3.3 l’en-semble O des classes d’équivalence de paires primitives dans e G ( F ) et que pourchaque o ∈ O on a défini un ensemble O o de classes de conjugaison de e G ( F ) .Compte tenu de 3.3.2 on peut décomposer k T g´eom ( x ) en k T g´eom ( x ) = X o ∈ O k T o ( x ) A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 61 où k T o ne comporte que la contribution des éléments δ ∈ O o : k T o ( x ) = X e P ∈ e P st ( − a e P − a e G X ξ ∈ P ( F ) \ G ( F ) k T e P , o ( ξx ) avec k T e P , o ( x ) = ˆ τ P ( H ( x ) − T ) K e P, o ( x, x ) où K e P, o ( x, x ) = Z U P ( F ) \ U P ( A ) X δ ∈ O o ∩ e P ( F ) ω ( x ) f ( x − δux ) d u . On considère
Q, R ∈ P st . Rappelons [LW, 2.11.1] qu’il existe un e P ∈ e P st telque Q ⊂ P ⊂ R si et seulement on a Q + ⊂ R − . On a défini en 3.4 un ensemble S QP ( T , T ) dépendant d’un compact C Q ⊂ G ( A ) , et on a noté F QP ( · , T ) la fonctioncaractéristique de l’ensemble Q ( F ) S QP ( T , T ) . Comme en [LW, 3.6.3], on suppose que C Q est assez gros, et que T et − T sontassez réguliers.On pose Y Q = A e G ( A ) Q ( F ) \ G ( A ) . Le point clef pour la convergence du côté géométrique (théorème 9.1.2 ci-dessous)est le résultat suivant [LW, 9.1.1] :
Proposition
Supposons T assez régulier, c’est-à-dire d ( T ) ≥ c où c estune constante dépendant du support de f . L’intégrale Z Y Q F QP ( x, T ) e σ RQ ( H ( x ) − T ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) X e P ∈ e P st , e Q + ⊂ e P ⊂ e R − ( − a e P − a e Q K e P , o ( x, x ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) d x est convergente.Démonstration. Notons Ω f le support de f . C’est un compact de e G ( A ) , et pour x ∈ G ( A ) tel que K e P , o ( x, x ) = 0 , on a x − δux ∈ Ω f pour des éléments δ ∈ O o ∩ e P ( F ) et u ∈ U P ( A ) . Puisque H G ( x − δux ) = 0 et Ω f ∩ G ( A ) est compact, on peutappliquer [LW, 3.6.7] : si T est assez régulier, précisément si d ( T ) ≥ c où c est uneconstante dépendant de Ω f , les δ ∈ O o ∩ e P ( F ) qui donnent une contribution nonnulle à l’expression de l’énoncé appartiennent à O o ∩ e Q + ( F ) . On peut donc commedans la preuve de [LW, 9.1.1] remplacer K e P , o ( x, x ) par une expression Φ e P , o ( x ) quis’écrit Φ e P , o = P η ∈ O o ∩ f M Q + Φ e P ,η, o ( x ) avec Φ e P ,η, o ( x ) = Z U P ( F ) \ U P ( A ) X ν ∈ U Q + ( F ) f ( x − ηνux ) d u . Posons Ξ RQ ( x ) = e σ RQ ( H ( x ) − T ) X η ∈ O o ∩ f M Q + (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) X e P ∈ e P st ,Q ⊂ P ⊂ R ( − a e P − a e G Φ e P ,η, o ( x ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) .
25. Le lecteur prendra garde que dans [LW] on passe au quotient par B G , qui dans le cas descorps de nombres est identifié à un sous-groupe du centre, car f a été intégrée sur le centre. Il s’agit de montrer que l’intégrale Z Y Q F QP ( x, T )Ξ RQ ( x ) d x est convergente. Posons Z Q = A e G ( A ) A Q ( F ) \ A Q ( A ) ⊂ Y Q . On commence par estimer, pour v ∈ U Q ( A ) et x ∈ G ( A ) , l’intégrale Θ RQ ( v, x ) = Z Z Q Ξ RQ ( vax ) δ Q ( a ) − d a , de façon uniforme lorsque x reste dans un compact fixé. Notons que la somme sur η dans l’expression Ξ RQ ( vax ) porte sur un ensemble fini, dépendant à priori de x et a .Comme dans la preuve de [LW, 9.1.1], on montre que pour x dans un compact fixé,l’ensemble des a ∈ Z Q donnant une contribution non triviale à l’expression Θ RQ ( v, x ) est contenu dans un compact ; par conséquent la somme sur η dans l’expression Ξ RQ ( vax ) porte sur un ensemble fini (indépendant de a et x dans un compact fixé).Il reste à estimer la somme sur a dans l’expression Θ RQ ( v, x ) . Notons Z R − Q l’imagede A Q ( A ) ∩ A R − ( A ) = { a ∈ A Q ( A ) : H R − ( a ) = 0 } dans Z Q . Le morphisme − θ : Z Q → Z = Z P , a aθ ( a − ) a pour noyau le sous-groupe e Z R − Q de Z R − Q + formé des éléments θ -invariants. D’aprèsla preuve [LW, 9.1.1], il suffit de considérer les a ∈ e Z R − Q .Soit n l’algèbre de Lie de U Q + . On n’a pas ici d’application exponentielle, maison peut fixer un F -isomorphisme de varietés algébriques j : n → U Q + compatible àl’action de A Q + , i.e. tel que j ◦ Ad a = Int a ◦ j pour tout a ∈ A Q + . En effet, pour toute racine α de A Q + dans U Q + , on pose ( α ) = (cid:26) { α } si α n’est pas une racine { α, α } sinon . On note U ( α ) le F -sous-groupe de U Q + correspondant à ( α ) , et n ( α ) son algèbrede Lie. Soient α , . . . , α r les racines non divisibles de A Q + dans U Q + , ordonnéesarbitrairement. On a la décomposition en produit direct U = U ( α ) · · · U ( α r ) , resp.en somme directe n = n ( α ) ⊕ · · ·⊕ n ( α r ) , et il suffit de prouver que pour i = 1 , . . . , r ,il existe un F -isomorphisme de variétés algébriques j i : n ( α i ) → U ( α i ) compatibleà l’action de A Q + . Alors pour X ∈ n , on écrit X = P ri =1 X i avec X i ∈ n ( α i ) ,et on pose j ( X ) = j ( X ) · · · j r ( X r ) . Fixons un indice i et prouvons l’existencede j i . Supposons tout d’abord ( α i ) = { α i } . D’après [B, 21.17, 21.20], U ( α i ) est F -isomorphe, en tant que variété algébrique, à un espace affine V i , la conjugaisonpar a ∈ A Q + sur U ( α i ) correspondant à la translation par α i ( a ) sur V i . Supposonsmaintenant ( α i ) = { α i , α i } . D’après [B, 21.19] et la preuve de [B, 21.20], il existeun F -isomorphisme de variétés algébriques ( U ( α i ) /U (2 α i ) ) × U (2 α i ) → U ( α i ) compatible à l’action de A Q + , et l’argument précédent s’applique à chacun des deuxgroupes unipotents U ( α i ) /U (2 α i ) et U (2 α i ) . Cela prouve l’existence de j i en général, A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 63 et donc celle de j . Notons que j induit une bijection n ( A ) → U Q + ( A ) qui se restreinten une bijection n ( F ) → U Q + ( F ) .Soit n ∗ le dual de n . Fixons un caractère non trivial ψ de F \ A , et notons n ∨ l’orthogonal de n ( F ) dans n ∗ ( A ) pour ce caractère. Pour Λ ∈ n ∗ ( A ) et ∈ U P ( A ) ,posons g ( x, Λ , δ, u ) = Z n ( A ) ψ ( h X, Λ i ) f ( x − δj ( X ) ux ) d X .
Comme dans la preuve de [LW, 9.1.1], la formule de Poisson permet d’écrire Ξ RQ ( x ) = e σ RQ ( H ( x ) − T ) X η (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) X Λ ∈ n ∨ ( Q,R ) g ( x, Λ , η, (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) où n ∨ ( Q, R ) est un sous-ensemble de n ∨ défini en loc. cit . La suite de la démons-tration est identique à celle de loc. cit . : via l’étude de l’action coadjointe de e Z R − Q sur n ∨ , on obtient que la somme définissant Θ RQ ( v, x ) est absolument convergente,uniformément lorsque x reste dans un compact. On conclut comme à la fin de lapreuve de loc. cit . (cid:3) Rappelons que si le compact C Q est assez gros, et si T et − T sont assez réguliers,on a la partition [LW, 3.6.3] X Q ∈ P st ,Q ⊂ P X ξ ∈ Q ( F ) \ P ( F ) F QP ( ξx, T ) τ PQ ( H ( ξx ) − T ) = 1 . On en déduit [LW, 9.1.2] :
Théorème Si T est assez régulier, précisément si d ( T ) ≥ c où c est uneconstante ne dépendant que du support de f , l’expression X o ∈ O Z Y G | k T o ( x ) | d x est convergente. De plus, seul un ensemble fini de classes o (dépendant du supportde f ) donne une contribution non triviale à la somme. L’intégrale étant absolument convergente, il est loisible de poser J T o d´ef = Z Y G k T o ( x ) d x et J T g´eom d´ef = Z Y G k T g´eom ( x ) d x . On obtient alors le développement géométrique de la formule des traces :
Corollaire
On a J T g´eom = X o ∈ O J T o . Il ne s’agit ici que de la forme dite « grossière » du développement géométrique.Nous allons donner une forme plus explicite pour certains termes. La théorie desintégrales orbitales pour les corps de fonctions est encore à écrire. Elle sera biensûr nécessaire pour un développement géométrique « fin » au sens de Langlands.Il est toutefois possible de traiter les termes primitifs (cf. 9.2) et les termes quasisemi-simple comme pour les corps de nombres (cf. 9.4). Pour les autres termes, ontombe sur des difficultés que nous n’essaierons pas de résoudre ici (cf. 9.3). Il estraisonnable d’espérer que pour p ≫ ces difficultés disparaissent (cf. 9.5). Contribution des classes primitives.
Notons O prim ⊂ O l’ensemble desclasses de G ( F ) -conjugaison d’éléments primitifs dans e G ( F ) . Pour o ∈ O prim , l’ex-pression k T o ( x ) = X δ ∈ O o ω ( x ) f ( x − δx ) ne dépend pas de T . On la note aussi k o ( x ) . Avec les notations du paragraphe 8.2,on a donc k prim ( f, ω ; x ) = X o ∈ O prim k o ( x ) et l’intégrale (1) J e G ( f, ω ) = Z Y G k prim ( f, ω ; x ) d x est absolument convergente. Elle définit une distribution sur e G ( A ) , donnée par (2) J e G prim ( f, ω ) = X δ ∈ e Γ prim Z A e G ( A ) G δ ( F ) \ G ( A ) ω ( g ) f ( g − δg ) d g où e Γ prim est un système de représentants des classes de G ( F ) -conjugaison dans e G ( F ) prim . Ici G δ ( F ) est le groupe des points F -rationnels du centralisateur G δ de δ dans G , et d g est le quotient de la mesure de Haar sur A e G ( A ) \ G ( A ) par lamesure de comptage sur A e G ( F ) \ G δ ( F ) . Seul un nombre fini de δ (dépendant dusupport de f ) donne une contribution non triviale à la somme. Corollaire
Pour δ ∈ e G ( F ) prim , l’intégrale orbitale Z A e G ( A ) G δ ( F ) \ G ( A ) ω ( g ) f ( g − δg ) d g est absolument convergente. Corollaire
Pour δ ∈ e G ( F ) prim , le groupe (localement compact) G δ ( A ) est unimodulaire et le quotient A e G ( A ) G δ ( F ) \ G δ ( A ) est de volume fini.Démonstration. Considérons le cas ω = 1 et f positive. L’intégrale orbitale Z A e G ( A ) G δ ( F ) \ G ( A ) f ( x − δx ) d x étant convergente il en résulte que pour toute fonction lisse ϕ et à support compactsur Y = G δ ( A ) \ G ( A ) l’intégrale Z A e G ( A ) G δ ( F ) \ G ( A ) ϕ ( x ) f ( x − δx ) d x est convergente et définit une fonctionnelle G ( A ) -invariante à droite sur l’espacevectoriel engendré par les fonctions ψ sur Y de la forme ψ ( ˙ x ) = ϕ ( ˙ x ) f ( x − δx ) .Mais, en variant f et ϕ , on obtient ainsi toutes les fonctions lisses et à support
26. Vu comme F -schéma en groupes, G δ n’est à priori ni lisse ni connexe. A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 65 compact sur Y . Il existe donc une mesure G ( A ) -invariante à droite sur Y ce quiimplique que le groupe G δ ( A ) est unimodulaire, puisque G ( A ) l’est. La convergencede l’intégrale orbitale implique que le volume de A e G ( A ) G δ ( F ) \ G δ ( A ) est fini. (cid:3) Pour δ ∈ e G ( A ) prim , on choisit une mesure de Haar sur G δ ( A ) et on pose a G ( δ ) = vol( A e G ( A ) G δ ( F ) \ G δ ( A )) où le volume est calculé en prenant la mesure quotient de la mesure de Haar sur A e G ( A ) \ G δ ( A ) par la mesure de comptage sur A e G ( F ) \ G δ ( F ) . Si G δ ( A ) ker( ω ) ,on pose O δ ( f, ω ) = 0 et si G δ ( A ) ⊂ ker( ω ) , on pose O δ ( f, ω ) = Z G δ ( A ) \ G ( A ) ω ( g ) f ( g − δg ) d ˙ g où d ˙ g est la mesure quotient de la mesure de Haar sur G ( A ) par la mesure de Haarsur G δ ( A ) .On fixe un système de représentants e Γ ⊂ e G ( F ) des classes de G ( F ) -conjugaisondans e G ( F ) , et on note e Γ prim ⊂ e Γ le sous-ensemble formé des éléments primitifs. Proposition
L’intégrale (1) est absolument convergente et définit unedistribution invariante sur e G ( A ) . On a (3) J e G prim ( f, ω ) = X δ ∈ e Γ prim a G ( δ ) O δ ( f, ω ) , où la somme porte sur un ensemble fini (dépendant du support de f ).Démonstration. Un calcul élémentaire fournit l’égalité (3). La finitude résulte dulemme 3.4.2. (cid:3)
Sur la descente centrale.
Dans [LW, 9.2], en vue de l’utilisation de la des-cente centrale de Harish Chandra qui est une technique essentielle dans les travauxd’Arthur sur le développement géométrique fin, l’expression k T o ( x ) est remplacéepar une expression j T o ( x ) de même intégrale sur Y G . En caractéristique positivele lemme [LW, 9.2.1], qui permet de faire ce remplacement, n’est plus vrai mêmedans le cas non tordu. En effet considérons une paire primitive ( M, δ ) dans G et P = M U . Notons U δ le centralisateur de δ dans U . On considère le F -morphisme π δ de variétés algébriques : π δ : U P × U δP → U P défini par ( u, v ) u − v Int δ ( u ) . En général l’inclusion π δ ( U P × U δ ) ⊂ U P est stricte et donc le lemme [LW, 9.2.2]est en défaut, comme le montre l’exemple ci-dessous.
27. Rappelons qu’ici Y G joue le rôle de l’espace X G = A G G ( F ) \ G ( A ) de [LW]. Observonsaussi que la définition de l’expression j T e P, o ( x ) donnée dans [LW, 9.2] n’est pas correcte ; il faut laremplacer par celle donnée dans l’erratum A (viii).28. Notons (1 − δ ) U l’image du F -endomorphisme u u . Int δ ( u ) − . Ce morphisme se factoriseen un F -morphisme bijectif de variétés algébriques U δ \ U → (1 − δ ) U qui n’est en général pasun isomorphisme. Au F -schéma en groupes (affine) U δ correspond un sous-groupe algébrique F -fermé (au sens de Borel [B]) de G , noté de la même manière. Le F -morphisme en question estun isomorphisme si et seulement s’il est séparable, auquel cas le F -schéma en groupes U δ estgéométriquement réduit (donc lisse) et correspond à un groupe algébrique défini sur F . Supposons F de caractéristique p > . Soit γ un élément de GL p ( F ) qui engendreune extension radicielle non triviale E = F [ γ ] de F . Cette extension est de degré p et γ est primitif dans GL p ( F ) . Plongeons M = GL p × GL p diagonalement dans GL p et notons δ l’élément ( γ, γ ) de M ( F ) . Alors ( M, δ ) est une paire primitivedans G = GL p et si P le sous-groupe parabolique standard de G de composantede Levi M , on a U δ ( F ) ≃ E . On identifie U ( F ) à M p ( F ) et U δ ( F ) à E ⊂ M p ( F ) .On voit que dans ce cas l’application π δ est donnée par ( x, y ) n ( x ) + y où n ( x ) d´ef = (Ad( γ ) − x . On peut choisir γ tel que γ p soit scalaire et donc (Ad( γ ) − p = 0 . Il en résulteque π δ ne peut pas être surjective. Par exemple si p = 2 , on a γn ( x ) γ − = n ( x ) etdonc n ( x ) ∈ E pour tout x ∈ M ( F ) ce qui implique n ( x ) + y ∈ E pour tout couple ( x, y ) ∈ M ( F ) × E .Cet exemple montre que pour les paires primitives ( f M , δ ) dans e G avec f M = e G et δ inséparable, la descente centrale ne fonctionne plus sans modification. C’estl’une des principales difficultés à résoudre du côté géométrique.9.4. Contribution des classes quasi semi-simples.
Un élément δ de e G est dit quasi semi-simple si l’automorphisme τ = Int δ de G est quasi semi-simple, c’est-à-dire s’il stabilise une paire de Borel ( B, T ) de G . Pour l’étude des automorphismesquasi semi-simples sur un corps quelconque, on renvoie à [Le, ch. 2 et 3]. Un auto-morphisme τ de G est quasi semi-simple si et seulement l’automorphisme τ der de G der est quasi semi-simple. La composante neutre G τ = ( G τ ) du centralisateurd’un automorphisme quasi semi-simple τ de G est un groupe algébrique linéaireréductif (connexe), qui est défini sur F si τ l’est [Le, 4.6.3]. On prendra garde àce que si F est de caractéristique p > un automorphisme non trivial de G peutêtre quasi semi-simple et unipotent ; toutefois, un tel automorphisme est forcémentquasi-central .Pour δ ∈ e G et τ = Int δ , notons (1 − τ ) G l’image du morphisme de G dans G : − τ : g gτ ( g ) − . On dit que δ est séparable si le morphisme − τ est séparable, c’est-à-dire s’il induitun isomorphisme de variétés algébriques G δ \ G → (1 − τ ) G . Si δ ∈ e G ( F ) est séparable, le F -schéma en groupes G δ est lisse et correspond à unsous-groupe algébrique fermé de G défini sur F .Soit δ ∈ e G ( F ) un élément quasi semi-simple. En général δ n’est pas séparable,mais on sait (d’après [Le, 4.6.3]) que la composante neutre G δ = ( G δ ) de soncentralisateur est un groupe algébrique linéaire (connexe) défini sur F . On peutdonc comme sur un corps de nombres définir son centralisateur stable I δ (cf. [LW,
29. En caractéristique p > , un automorphisme τ de G est dit unipotent s’il existe un entier k ≥ tel que τ p k = Id . Par exemple pour p = 2 , l’automorphisme τ : t t − du tore G m estquasi semi-simple et unipotent. De plus le morphisme − τ : t t de G m n’est pas séparable.Un automorphisme quasi semi-simple τ de G est dit quasi-central si dim( G τ ′ ) ≤ dim( G τ ) pourtout automorphisme quasi semi-simple τ ′ de G de la forme τ ′ = Int g ◦ τ avec g ∈ G . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 67 ) : G δ d´ef = G δ, ⊂ I δ ⊂ G δ . Considérons le tore déployé maximal A δ dans le centre de I δ , ou ce qui revient aumême de G δ , et notons M δ le centralisateur de A δ dans G . C’est un facteur deLevi de G , et δ est elliptique (mais pas nécessairement régulier) dans f M δ = δM δ end’autres termes : A δ = A f M δ . Notons e P st ( δ ) le sous-ensemble de e P st formé des e P tel que f M P contienne un conjuguéde f M δ dans G ( F ) . Soit o = [ f M , δ ] une paire primitive dans e G et soit c la classe de G ( F ) -conjugaison de δ dans e G ( F ) . La contribution de c à k T o ( x ) est donnée par k T c ( x ) = X e P ∈ e P st ( δ ) ( − a e P − a e G X ξ ∈ P ( F ) \ G ( F ) k T e P , c ( ξx ) avec k T e P , c ( x ) = ˆ τ P ( H ( x ) − T ) K e P, c ( x, x ) où K e P , c ( x, x ) = Z U P ( A ) X δ ∈ c ∩ f M P ( F ) ω ( x ) f ( x − δux ) d u . Quitte à remplacer δ par un conjugué dans G ( F ) , on peut supposer que f M δ est unfacteur de Levi standard. Pour e P ∈ e P st , on définit l’ensemble W ( a f M δ , e P ) comme en [LW, 9.3] et on pose j e P , c ( x ) = ι ( δ ) − X s ∈ W ( a f Mδ , e P ) X η ∈ I s ( δ ) ( F ) \ P ( F ) ω ( x ) f ( x − η − s ( δ ) ηx ) où s ( δ ) = w s δw − s et ι ( δ ) = | I δ ( F ) \ G δ ( F ) | . Enfin on pose j T c ( x ) = X e P ∈ e P st ( − a e P − a e G X ξ ∈ P ( F ) \ G ( F ) b τ P ( H ( ξx ) − T ) j e P, c ( ξx ) . Observons que la somme sur e P porte en fait sur le sous-ensemble e P st ( δ ) . Lemme
On a l’égalité des intégrales Z Y G k T c ( x ) d x = Z Y G j T c ( x ) d x .
30. Le centre « schématique » Z G n’est en général pas réduit. On considère le centre « réduit » Z G de G , c’est-à-dire le centre au sens de Borel [B]. C’est un groupe algébrique diagonalisable,à priori seulement F -fermé, mais qui est en fait défini sur F : d’après [B, 18.2] il existe un toremaximal T de G défini sur F ; un tel tore se déploie sur une extension algébrique séparable E de F , par suite le sous-groupe fermé Z G ⊂ T est défini sur E , donc sur F puisqu’il est F -fermé. Lecentre « réduit » Z e G = Z θG de e G est lui aussi un groupe algébrique diagonalisable défini sur F . Onprend pour I δ le sous-groupe algébrique fermé de G engendré par G δ et Z e G .31. Observons qu’un un élément quasi semi-simple δ est primitif si et seulement s’il est elliptiquerégulier c’est-à-dire que G δ est un tore et le sous-tore déployé maximal de G δ est égal à A e G . Démonstration.
Pour e P ∈ e P st ( δ ) tel que l’orbite c rencontre e P ( F ) , pour f M ⊂ f M P un conjugué de f M δ , et pour s ∈ W ( a f M δ , a f M ) , d’après [Le, 3.7.6] le morphime U P → U P , u u − Int s ( δ ) ( u ) est séparable. Puisque le centralisateur U s ( δ ) P = U P ∩ G s ( δ ) est trivial, ce morphismeest un isomorphisme qui induit une application bijective U P ( A ) → U P ( A ) . On endéduit l’égalité K e P , c ( x, x ) = Z U P ( F ) \ U P ( A ) j e P , c ( ux ) d u et le lemme en résulte. (cid:3) Posons A I δ d´ef = H f M δ ( I δ ( A )) ⊂ A f M δ et C e GI δ d´ef = B e G \ A I δ ⊂ C e G f M δ . Si le caractère ω de G ( A ) est trivial sur I δ ( A ) = ker( I δ ( A ) → A I δ ) il définit, parrestriction à I δ ( A ) , un caractère de C e GI δ de la forme H e h µ δ ,H i pour un élément µ δ ∈ ker( µ I δ → µ e G ) ⊂ µ I δ d´ef = b A I δ . On a introduit en 3.2 la famille orthogonale Y ( x, T ) et on pose v T f M δ ( ω, x ) = ω ( x ) X H ∈ C e GIδ Γ e G f M δ ( H, Y ( x, T )) e h µ δ ,H i . Lemme
La fonction T v T f M δ ( ω, x ) est dans PolExp .Démonstration.
On a la suite exacte courte → B e G f M δ → C e GI δ → I δ d´ef = B f M δ \ A I δ → . On note B e G f M δ ( Z ) ⊂ C e GI δ la fibre au-dessus de Z ∈ I δ et on pose η e G, Y ( x,T ) f M δ ,F ( Z ; µ δ ) = X H ∈ B e G f Mδ ( Z ) Γ e G f M δ ( H, Y ( x, T )) e h µ δ ,H i . On a donc v T f M δ ( ω, x ) = ω ( x ) X Z ∈ Iδ η e G, Y ( x,T ) f M δ ,F ( Z ; µ δ ) . L’assertion résulte alors de 2.1.3. (cid:3)
Observons que pour M ∈ L , Q ∈ F ( M ) et m ∈ M ( A ) on a Y mx,T,Q = Y x,T,Q − H Q ( m ) et donc Γ e G f M δ ( H, Y ( mx, T )) = Γ e G f M δ ( H + H M δ ( m ) , Y ( x, T )) pour m ∈ M δ ( A ) . On en déduit que la fonction x v T f M δ ( ω, x ) est invariante partranslation à gauche par h ∈ I δ ( A ) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 69
Proposition Si I δ ( A ) ⊂ ker( ω ) on a l’identité Z Y G j T c ( x ) d x = ι ( δ ) − vol (cid:0) I δ ( F ) \ I δ ( A ) (cid:1) Z I δ ( A ) \ G ( A ) v T f M δ ( ω, x ) f ( x − δx ) d ˙ x . L’intégrale sur Y G est nulle sinon.Démonstration. Posons e f M δ ( x, T ) = X s ∈ W ( a f Mδ ) X e Q ∈ F s ( f M δ ) ( − a e Q − a e G b τ e Q ( s − ( H ( w s x ) − T )) . Comme dans la preuve de [LW, 9.3.1] on a Z Y G j T c ( x ) d x = ι ( δ ) − Z A e G ( A ) I δ ( F ) \ G ( A ) ω ( x ) e f M δ ( x, T ) f ( x − δx ) d x . Pour que l’intégrale sur Y G soit non nulle, il faut que I δ ( A ) soit inclus dans ker( ω ) .Si tel est le cas, on observe que pour h ∈ M δ ( A ) on a e f M δ ( hx, T ) = Γ e G f M δ ( H M δ ( h ) , Y ( x, T )) et donc que Z A e G ( A ) I δ ( F ) \ I δ ( A ) ω ( hx ) e f M δ ( hx, T ) d h = vol( I δ ( F ) \ I δ ( A ) ) v T f M δ ( ω, x ) . (cid:3) Sur le développement géométrique fin.
Le développement géométriquefin consiste en l’expression des termes du développement géométrique 9.1.3 aumoyen d’intégrales orbitales pondérées. Les propositions 9.2.3 et 9.4.3 fournissentune telle expression pour les termes primitifs ou quasi semi-simples.Les autres termes font intervenir des contributions unipotentes et, comme on avu en 9.3, la descente centrale ne peut plus être utilisée en général sans modification.On ne peut donc pas espérer pouvoir reprendre sans efforts les travaux d’Arthur, àmoins d’imposer à p d’être « suffisament grand » par rapport au rang de G de sorteque :– pour toute paire primitive ( f M , δ ) , l’élément δ est quasi semi-simple ;– pour tout δ ∈ e G ( F ) , l’automorphisme Int δ de G est séparable ;– pour tout δ ∈ e G ( F ) on a une décomposition de Jordan δ = δ s δ u = δ u δ s en partie quasi semi-simple δ s et partie unipotente δ u définie sur F ;– pour tout δ ∈ e G ( F ) quasi semi-simple et tout ensemble fini S de places de F ,il n’y a qu’un nombre fini de classes de G δ ( F S ) -conjugaison unipotentes.Observons que si, comme le fait Arthur, on se limite au cas où un (et donc tout) δ ∈ e G ( F ) induit un automorphisme extérieur d’ordre fini de G , on peut alors deman-der que le centre schématique Z G soit réduit et que e G induise un automorphismede Z G d’ordre fini premier à p .Une hypothèse plus forte que les précédentes, mais aussi plus facile à vérifier,est la suivante. On considère ( GL n , GL n ) comme un espace tordu c’est-à-dire que
32. Les hypothèses sont probablement redondantes : il s’agit d’une liste de de propriétés toujoursvraies pour un corps de nombres mais, en général, fausses pour un corps de fonctions. GL n agit sur lui même par conjugaison. On demande qu’il existe un entier n < p et un F -morphisme d’espaces tordus algébriques ι : ( e G, G ) → ( GL n , GL n ) d’image fermée et qui soit un isomorphisme sur son image. Sous ces hypothèses,il doit être possible de reprendre sans grands changements les travaux d’Arthursur le développement géométrique fin : on commence par traiter les contributionsunipotentes, c’est-à-dire les paires primitives ( f M , δ ) avec δ quasi semi-simple etunipotent ; puis on traite le cas général par descente centrale. Toutefois, cela resteà faire. 10. Première forme du développement spectral
Convergence : côté spectral.
On commence par récrire l’expression pour k T spec ( x ) définie en 8.2. Pour Q, R ∈ P st , on pose k T spec ( Q, R, x ) = e σ RQ ( H ( x ) − T ) X e P ∈ e P st e Q + ⊂ e P ⊂ e R − ( − a e P − a e G Λ T,Q K e P ( x, x ) . On a donc k T spec ( x ) = X Q,R ∈ P st Q ⊂ R X ξ ∈ Q ( F ) \ G ( F ) k T spec ( Q, R, ξx ) . On pose ˜ ǫ ( Q, R ) = (cid:26) ( − a e R − a e G si Q + ⊂ R − sinonet on note e G ( Q, R ) l’ensemble des δ ∈ e G ( F ) tels que δ ∈ e P ( F ) pour un seul e P ∈ e P st tel que e Q + ⊂ e P ⊂ e R − (autrement dit l’ensemble des δ ∈ e R − ( F ) tels que δ / ∈ e P ( F ) pour tout e P ∈ e P st tel que e Q + ⊂ e P ( e R − ). On pose K Q,R ( x, y ) = Z U Q ( F ) \ U Q ( A ) X δ ∈ e G ( Q,R ) ω ( y ) f ( x − u − Q δy ) d u Q . D’après [LW, 10.1.1], on a (1) k T spec ( x ) = X Q,R ∈ P st Q ⊂ R ˜ ǫ ( Q, R ) X ξ ∈ Q ( F ) \ G ( F ) e σ RQ ( H ( ξx ) − T ) Λ T,Q K Q,R ( x, ξx ) . Pour δ ∈ e G ( F ) , on a défini K Q,δ ( x, y ) en 7.3.2, et on pose Q δ = Q ∩ Int − δ ( Q ) ∈ P Q st . On a donc (2) K Q,R ( x, x ) = X δ ∈ f W ( Q,R ) X ξ ∈ Q δ ( F ) \ Q ( F ) K Q,δ ( x, ξx ) où f W ( Q, R ) est un ensemble de représentants de e G ( Q, R ) modulo Q ( F ) à droite età gauche, i.e. des doubles classes Q ( F ) \ e G ( Q, R ) /Q ( F ) . Rappelons que l’on a posé Y Q δ = A e G ( A ) Q δ ( F ) \ G ( A ) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 71
Rappelons aussi que l’on a fixé en 3.4 un sous-ensemble fini E Q de M ( A ) tel que M Q ( A ) = B Q E Q M Q ( A ) où B Q ⊂ A Q ( A ) est l’image d’une section du morphisme A Q ( A ) → B Q . On pose M Q ( A ) ∗ d´ef = E Q M Q ( A ) = M Q ( A ) E Q . On a donc M Q ( A ) = B Q M Q ( A ) ∗ . On suppose de plus, ce qui est loisible, que B Q est de la forme B Q = B e G B e GQ où B e GQ est l’image d’une section du morphisme composé A Q ( A ) → A e G ( A ) \ A Q ( A ) → B e GQ = B e G \ B Q et B e G est l’image d’une section du morphisme A e G ( A ) → B e G . Les lemmes [LW,10.1.2 à 10.1.4] sont vrais ici, et on a la variante de [LW, 10.1.5] : Lemme
Soient δ ∈ Q ( F ) \ e G ( Q, R ) , u ∈ U Q ( A ) , a ∈ B e GQ , k , k ∈ K et m , m ∈ M Q ( A ) ∗ . Supposons que, pour un ξ ∈ Q ( F ) , on ait K Q,δ ( am k , ξuam k ) = 0 et e σ RQ ( H ( a )) = 1 . Alors on a k H ( a ) k ≤ c (1 + k H ( m ) k ) pour une constante c > ne dépendant que du support de f .Démonstration. On reprend, en la modifiant, celle de [LW, 10.1.5]. On commencepar modifier δ et ξ comme au début de la preuve de loc. cit : on suppose que δ = w s δ où w s ∈ M R − ( F ) représente un élément s du groupe de Weyl W M R − de M R − tel que s − α > pour toute racine α ∈ ∆ Q , et ξ ∈ U ( F ) . Pour i = 1 , ,on écrit m i = m ′ i x i avec m ′ i ∈ M Q ( A ) et x i ∈ E Q . Rappelons que K Q,δ ( x, y ) = Z U Q ( A ) ω ( x ) X µ ∈ M Q ( F ) f ( x − u − Q µδy ) d u Q . On a supposé K Q,δ ( am k , ξuam k ) = 0 ce qui n’est possible que s’il existe un u Q ∈ U Q ( A ) et un µ ∈ M Q ( F ) tels que k − x − m ′− a − u − Q µδξuam ′ x k appartient au support de f . On en déduit qu’il existe un compact Ω de G ( A ) , nedépendant que du support de f , tel que m ′− a − u − Q µδξuam ′ ∈ Ω . On décompose H = H ( a ) suivant la décomposition a e GQ = a R − Q ⊕ b GR − ⊕ a e G e R − ⊕ a e GG . où b GR − est l’orthogonal de a e G e R dans a GR − . On rappelle que θ − a e GG → a e GG est unautomorphisme. Comme dans la preuve de loc. cit , il suffit de considérer les a ∈ B Q tels que H ∈ a R − Q . (cid:3) Proposition
Supposons T assez régulier, c’est-à-dire d ( T ) ≥ c où c est une constante dépendant du support de f . Alors pour tous Q, R ∈ P st tels que Q ⊂ R et tout δ ∈ e G ( Q, R ) , l’intégrale Z Y Qδ e σ RQ ( H ( x ) − T ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) Λ T,Q K Q,δ ( x, x ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) d x est convergente.Démonstration. C’est l’analogue de [LW, 10.1.6]. Rappelons que G ( A ) = U Q ( A ) M Q ( A ) K . Puisque U Q ( F ) \ U Q ( A ) est compact, il existe un compact Ω ⊂ U Q ( A ) tel que U Q ( A ) = U Q ( F )Ω . On a donc G ( A ) = Q ( F )Ω S M Q K où S M Q = B Q S M Q , ∗ = ( B e G B e GQ )( E Q S M Q , ) est un domaine de Siegel pour le quotient M Q ( F ) \ M Q ( A ) . On pose S ∗ Q = S M Q , ∗ .Alors Ω B e GQ S ∗ Q K est un domaine de Siegel pour le quotient B e G Q ( F ) \ G ( A ) . Onest donc ramené à estimer, pour δ ∈ e G ( Q, R ) , l’expression (3) X a ∈ B e GQ Z Ω × S ∗ Q × K δ Q ( am ) − e σ RQ ( H ( am ) − T )Ξ Q,δ ( uamk ) d u d m d k avec Ξ Q,δ ( x ) = X ξ ∈ Q δ ( F ) \ Q ( F ) | Λ T,Q K Q,δ ( ξx, ξx ) | . D’après [LW, 10.1.2], on a Ξ Q,δ ( uamk ) = X ξ ∈ Q δ ( F ) \ Q ( F ) | Λ T,Q K Q,δ ( amk, ξuamk ) | . On déduit (d’après la définition de K Q,δ ) que l’expression (3) est égale à X a ∈ B e GQ Z Ω × S ∗ Q × K δ Q ( am ) − e σ RQ ( H ( am ) − T ) × X ξ ∈ Q δ ( F ) \ Q ( F ) | Λ T,Q K Q,δ ( mk, ξa − δ ( a − ua ) mk ) | d u d m d k. avec a − δ = a Int − δ ( a − ) . Notons que e σ RQ ( H ( am ) − T ) ne dépend que de la pro-jection H ( a ) + H Q ( m ) + T Q de H ( am ) − T dans a Q . Puisque H Q ( M Q ( A ) ) = 1 et E Q est fini, H Q ( m ) ne prend qu’un nombre fini de valeurs. On en déduit qu’ilexiste une constante c > (ne dépendant que de E Q ) telle que si d ( T ) ≥ c , alorsla condition e σ RQ ( H ( am ) − T ) = 1 pour un m ∈ S ∗ Q entraîne que e σ RQ ( H ( a )) = 1 .D’après le lemme 6.3.1 (i), l’opérateur de troncature fournit un noyau (4) ( m , m ) Λ T,Q K Q,δ ( m k, ξa − δ ( a − ua ) m k ) A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 73 sur M Q ( A ) × M Q ( A ) dont la restriction à S ∗ Q × S ∗ Q est lisse et à support compact,donc bornée. Choisissons un sous-groupe ouvert distingué K ′ de K tel que la fonc-tion f ∈ C ∞ c ( e G ( A )) définissant K Q,δ soit K ′ -bi-invariante. Notons K ′ Q le groupe K ′ ∩ M Q ( A ) . Pour tous a , u , k et ξ , la fonction ( m , m ) K Q,δ ( m k, ξa − δ ( a − ua ) m k ) sur M Q ( F ) \ M Q ( A ) × M Q ( F ) \ M Q ( A ) est ( K ′ Q × K ′ Q ) -invariante à droite. D’après6.3.1 (ii), il existe un compact Ω de S ∗ Q × S ∗ Q tel que pour tous a , u , k et ξ , lesupport de la restriction à S ∗ Q × S ∗ Q du noyau tronqué (4) soit contenu dans Ω .Par restriction à la diagonale, on obtient une fonction en m = m = m bornéesur S ∗ Q , et à support dans un compact C de S ∗ Q indépendant de a , u , k et ξ .D’après le lemme 10.1.1 (en supposant d ( T ) ≥ c ), si Ξ Q,δ ( umak ) = 0 , alors k H ( a ) e G k ≤ c (1 + k H ( m ) k ) pour une constante c > . Par conséquent la sommesur a ∈ B e GQ dans (3) est finie. D’après [LW, 10.1.4], la somme sur ξ dans X ξ ∈ Q δ ( F ) \ Q ( F ) | Λ T,Q K Q,δ ( mk, ξa − δ ( a − ua ) mk ) | porte sur un ensemble fini, que l’on peut choisir indépendant de a , u , m et k (puisque x = mk et y = a − δ ( a − ua ) mk varient dans des compacts, cf. la preuve de loc. cit .).Cela achève la démonstration. (cid:3) On en déduit l’analogue de [LW, 10.1.7] :
Corollaire Si d ( T ) > c où c est une constante dépendant du supportde f , l’intégrale Z X G | k T spec ( x ) | d x est convergente. Ce corollaire est aussi impliqué par l’identité fondamentale 8.2.1 et le théorème9.1.2. On pose J T spec d´ef = Z X G k T spec ( x ) d x . Annulations supplémentaires.
Comme dans [LW, 10.2.3] on a des annula-tions supplémentaires qui sont une première étape essentielle pour le développementspectral fin :
Proposition Si T est assez régulier (comme dans le lemme [LW,10.2.1] ), on a (1) J T spec = X Q,R ∈ P st Q ⊂ R ˜ η ( Q, R ) Z Y Qδ e σ RQ ( H ( x ) − T ) Λ T,Q K Q,δ ( x, x ) d x avec ˜ η ( Q, R ) = (cid:26) ˜ ǫ ( Q, R ) si Q + = R − sinonDémonstration. Soient
Q, R ∈ P st tels qu’il existe un e P ∈ e P st avec Q ⊂ P ⊂ R . Onsuppose que les éléments de f W ( Q, R ) sont de la forme δ = w s où w s ∈ f M R − ( F ) est un représentant de s = s ⋊ θ avec s ∈ W M R − de longueur minimale danssa double classe W M Q \ W M R − / W M Q . On a donc sα > et s − α > pour toute racine α ∈ ∆ Q , et M s = Q δ ∩ M Q est un sous-groupe parabolique standard de M Q (cf. [LW, 10.2]). On note S l’élément de P st tel que S ∩ M Q = M S , et onpose U QS = U S ∩ M Q . Le lemme [LW, 10.2.1] et la proposition [LW, 10.2.2] sontvrais ici. Cela implique que si T est assez régulier (comme dans [LW, 10.2.1]),alors pour Q, R ∈ P st tels que Q ⊂ R , seul l’élément δ ∈ f W ( Q, R ) appartenant àla double classe Q ( F ) δ Q ( F ) donne une contribution non triviale à l’intégrale de k T spec exprimé au moyen des équations 10.1.(1) et 10.1.(2). (cid:3) Dans le cas non tordu la formule est beaucoup plus simple, puisque la condition ∈ W ( Q, R ) implique Q = R , et que σ QQ = 0 sauf si Q = G [LW, 2.11.4]. On adonc (dans le cas non tordu) J T spec = Z X G Λ T,G K G ( x, x ) d x . Formule des traces : propriétés formelles
Le polynôme asymptotique.
Rappelons que l’on a la décomposition k T g´eom ( x ) = X o ∈ O k T o ( x ) et l’identité fondamentale 8.2.1 k T g´eom ( x ) = k T spec ( x ) . Pour • = spec , g´eom ou o , on écrira parfois k e G,T • ( f, ω ; x ) en place de k T • ( x ) s’il est nécessaire de préciser les données. On a vu en 9.1.2 et 10.1.3 que l’intégrale Z Y G k T • ( x ) d x est absolument convergente. En particulier on a la décomposition Z Y G k T • ( x ) d x = X Z ∈ e G Z Y G ( Z ) k T • ( x ) d x où Y G ( Z ) est l’image dans Y G de l’ensemble { g ∈ G ( A ) | H e G ( g ) = Z ′ } pour unrelèvement (quelconque) Z ′ de Z dans A e G . La fonction f ∈ C ∞ c ( e G ( A )) étant fixéeon considère, pour chaque e Q ∈ e P st , la fonction f e Q ∈ C ∞ c ( f M Q ( A )) définie par f e Q ( m ) = Z U Q ( A ) × K f ( k − muk ) d u d k . On a la suite exacte courte → B e G e Q → C e G e Q → e Q → et pour Z ∈ e Q et T, X ∈ a , on a posé (cf. 2.1.3) η e G,T e Q,F ( Z ; X ) = X H ∈ B e G e Q ( Z ) Γ e G e Q ( H − X, T ) où B e G e Q ( Z ) est la fibre au-dessus de Z ∈ e Q . On a la variante de [LW, 11.1.1] : A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 75
Théorème
Pour • = spec , g´eom ou o , Il existe une fonction T J T • = J e G,T • ( f, ω ) dans PolExp telle que si d ( T ) ≥ c ( f ) pour une constante c ( f ) , ne dépendant quedu support de f , on ait J T • = Z Y G k T • ( x ) d x . Démonstration.
On reprend celle de [LW, 11.1.1]. D’après [LW, 8.2.1], pour e P ∈ e P st on a k T e P , spec ( x ) = ˆ τ e P ( H ( x ) − T ) K e P ( x, x ) = k T e P , g´eom ( x ) . On a donc k T • ( x ) = X e P ∈ e P st ( − a e P − a e G X ξ ∈ P ( F ) \ G ( F ) ˆ τ e P ( H ( ξx ) − T ) K e P, • ( ξx, ξx ) où K e P , spec = K e P = K e P , g´eom est introduit en 8.2 et K e P, o a été défini dans 9.1. Comme dans la démonstration de[LW, 11.1.1], pour T et X ∈ a , Q assez réguliers, on obtient Z Y G k T + X • ( x ) d x = X e Q ∈ e P st Z Y Q Γ e G e Q ( H ( x ) − X, T ) k X e Q, • ( x ) d x avec k X e Q, • ( x ) = X { e P ∈ e P st | e P ⊂ e Q } X ξ ∈ P ( F ) \ Q ( F ) ( − a e P − a e Q ˆ τ e Q e P ( H ( ξx ) − X ) K e P , • ( ξx, ξx ) . Fixons un e Q ∈ e P st . Puisque vol( A e G ( F ) \ A e G ( A ) ) = 1 , on peut remplacer l’intégralesur Y Q par une intégrale sur Y ′ Q = B e G Q ( F ) \ G ( A ) où B e G est l’image d’une section du morphisme A e G ( A ) → B e G . Notons B e G e Q l’imaged’une section du morphisme composé A e Q ( A ) → A e G ( A ) \ A e Q ( A ) → B e G e Q = B e G \ B e Q et posons B e Q = B e G B e G e Q , Y ′′ Q = B e Q Q ( F ) \ G ( A ) . Pour Z ∈ e Q , notons Y ′′ Q ( Z ) l’image de l’ensemble { g ∈ G ( A ) | H e Q ( g ) = Z ′ } dans Y ′′ Q , où Z ′ est un relèvement de Z dans A e Q . On obtient que Z Y Q Γ e G e Q ( H ( x ) − X, T ) k X e Q, • ( x ) d x = X Z ∈ e Q η e G,T e Q,F ( Z ; X ) Z Y ′′ Q ( Z ) k X e Q, • ( x ) d x avec Z Y ′′ Q ( Z ) k X e Q, • ( x ) d x = Z [ B e Q M Q ( F ) \ M Q ( A )]( Z ) k f M Q ,X • ( f e Q , ω ; m ) d m . Pour • = o , le terme k f M Q ,X • ( f Q , ω ; m ) est défini en remplaçant dans la dé-finition de k e G,X o l’ensemble G ( F ) -invariant O o par l’ensemble M Q ( F ) -invariant O o ∩ f M Q ( F ) . Ce dernier correspond à une union finie (éventuellement vide) de classes de paires primitives dans f M Q . Comme plus haut, on peut remplacer l’inté-grale sur [ B e Q M Q ( F ) \ M Q ( A )]( Z ) par une intégrale sur Y M Q ( Z ) . En posant J e G,X • ( f, ω ) = Z Y G k X • ( f, ω ; x ) d x on a donc J e G,T + X • ( f, ω ) = X e Q ∈ e P st X Z ∈ e Q η e G,T e Q,F ( Z ; X ) J f M Q ,X • ( Z ; f e Q , ω ) avec J f M Q ,X • ( Z ; f e Q , ω ) = Z Y MQ ( Z ) k f M Q ,X • ( f e Q , ω ; m ) d m . D’où le résultat puisque d’après 2.1.3 les fonctions T η e G,T e Q,F ( Z ; X ) appartiennentà PolExp. (cid:3) Action de la conjugaison.
Pour y ∈ G ( A ) , on note f y la fonction f ◦ Int y .Soient y ∈ G ( A ) et T ∈ a , Q . Pour e Q ∈ e P st et Z ∈ e Q , considérons la fonction dans C ∞ c ( f M Q ( A )) définie par m f T e Q,y ( Z ; m ) = Z U Q ( A ) × K f ( k − muk ) η e G, − H ( ky ) e Q,F ( Z ; T ) d u d k avec η e G,X e Q,F ( Z ; T ) = X H ∈ B e G e Q ( Z ) Γ e Q ( H − T, X ) . Proposition
Soient y ∈ G ( A ) et T ∈ a , Q . Pour • = spec , g´eom ou o et pour T assez régulier, on a J e G,T • ( f y , ω ) = X e Q ∈ e P st X Z ∈ e Q J f M Q ,T • ( f T e Q,y ( Z ) , ω ) . Démonstration.
On reprend les notations de la preuve de 11.1.1. Commençons parremplacer f par f y et x par xy dans l’expression pour k T • ( x ) . On obtient k T • ( f y , ω ; xy ) = X e P ∈ e P st ( − a e P − a e G X ξ ∈ P ( F ) \ G ( F ) ˆ τ e P ( H ( ξxy ) − T ) K e P, • ( ξx, ξx ) où K e P , • ( x ′ , x ′ ) = K e P , • ( f, ω ; x ′ , x ′ ) . Si x ′ = u m k est une décomposition d’Iwasawade x ′ ∈ G ( A ) , avec u ∈ U ( A ) , m ∈ M ( A ) et k = k x ′ ∈ K , alors on a H ( x ′ y ) = H ( m ) + H ( ky ) = H ( x ′ ) + H ( ky ) . D’après [LW, 2.9.4.(2)], on en déduit que k T • ( f y , ω ; xy ) = X e Q ∈ e P st X η ∈ Q ( F ) \ G ( F ) Γ e Q ( H ( ηx ) − T, − H ( k ηx y )) k T e Q, • ( ηx ) où k T e Q, • ( x ′ ) = k T e Q, • ( f, ω ; x ′ ) , puis, grâce au changement de variable x xy , quepour T ∈ a , Q assez régulier, on a (1) Z Y G k T • ( f y , ω, x ) = X e Q ∈ e P st Z Y Q Γ e Q ( H ( x ) − T, − H ( k x y )) k T e Q, • ( x ) d x . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 77
On obtient ensuite (comme dans la preuve de 11.1.1) que, toujours pour T ∈ a , Q assez régulier, le terme à gauche de l’égalité dans (1) vaut (2) X e Q ∈ e P st X Z ∈ e Q Z Y ′′ Q ( Z ) η e G, − H ( k x y ) e Q,F ( Z ; T ) k T e Q, • ( x ) d x . Compte-tenu de la définition de f e Q,y et de la décomposition d’Iwasawa pour G ( A ) ,on obtient que l’intégrale sur Y ′′ Q ( Z ) dans (2) est égale à Z Y MQ ( Z ) k f M Q ,T • ( f T e Q,y ( Z ) , ω ; m ) d m . D’où la proposition. (cid:3)
La formule des traces : première forme.
D’après 11.1.1, pour tout réseau R de a , Q , la restriction à R de la fonction T J e G,T • ( f, ω ) est de la forme J e G,T R , • ( f, ω ) = X ν ∈ b R p R ,ν ( • , f, ω ; T ) e h T,ν i où les p R ,ν ( • , f, ω ; T ) sont des polynômes en T . D’après 1.7.4 et 2.1.3 les polynômes p R k , ( • , f, ω ; T ) ont une limite lorsque k → ∞ et on pose : J e G • ( f, ω ) d´ef = lim k → + ∞ p R k , ( • , f, ω ; T ) . Théorème
On a l’identité : X o ∈ O J e G o ( f, ω ) = J e G spec ( f, ω ) . Pour M et K fixés, elle est indépendante du choix de P .Démonstration. Par intégration de l’identité fondamentale 8.2.1, ce qui a un senscompte tenu de 9.1.2 et 10.2.1, on obtient l’identité X o ∈ O J e G,T R , o ( f, ω ) = J e G,T R , spec ( f, ω ) . L’indépendance du choix de P lorsque l’on prend T = T se prouve comme dans[LW, 11.3.1]. Le théorème en résulte par passage à la limite. (cid:3) C’est l’analogue du théorème [LW, 11.3.2]. Le reste de l’article est consacré aucalcul de la limite J e G spec ( f, ω ) . L’étude des limites J e G o ( f, ω ) des termes géométriquesfera l’objet d’un article ultérieur. Partie IV. Forme explicite de termes spectraux
Estimées uniformes des développements spectraux
La formule de départ.
Soit Q ∈ P st . On pose Q ′ = θ − ( Q ) , Q = Q ∩ Q ′ . Rappelons que l’on a posé Y Q = A e G ( A ) Q ( F ) \ G ( A ) . Pour S ∈ P Q ′ st , on note n Q ′ ( S ) le nombre de chambres dans a Q ′ S . Pour S ∈ P Q ′ st , σ ∈ Π disc ( M S ) et µ ∈ a ∗ Q ′ , C , on a défini en 7.2 un opérateur e ρ S,σ,µ ( f, ω ) = ρ S,σ,µ ( δ , f, ω ) : A ( X S , σ ) → A ( X θ ( S ) , θ ( σ )) , et on a fixé une base orthonormée B S ( σ ) de l’espace pré-hilbertien A ( X S , σ ) . Pour Ψ ∈ B S ( σ ) , posons J TQ,Q ′ ;Ψ ( x, y ) = Z µ S Λ T,Q E Q ( x, e ρ S,σ,µ ( f, ω )Ψ , θ µ ) E Q ′ ( y, Ψ , µ ) d µ . On a la variante suivante de [LW, 12.1.1] :
Proposition
Pour T ∈ a tel que d ( T ) ≥ c ( f ) , on a J e G,T = X Q,R ∈ P st Q ⊂ R ˜ η ( Q, R ) Z Y Q e σ RQ ( H Q ( y ) − T ) × X S ∈ P Q ′ st n Q ′ ( S ) X σ ∈ Π disc ( M S ) b c M S ( σ ) X Ψ ∈ B S ( σ ) J TQ,Q ′ ;Ψ ( y ) d y avec J TQ,Q ′ ;Ψ ( y ) = J TQ,Q ′ ;Ψ ( y, y ) . Démonstration.
Elle est identique à celle de loc. cit ., compte-tenu de la formule10.2.1 et de l’expression pour le noyau K Q,δ ,χ donnée par la proposition 7.3.2. (cid:3) D’après 7.3.2, l’ensemble des ( σ, Ψ) tels que e ρ S,σ,µ ( f, ω )Ψ = 0 est fini. Donc,seul un nombre fini de termes non nuls apparaissent dans l’expression de J e G,T .L’expression J e G,T est une combinaison linéaire finie d’intégrales itérées (1) Z Y Q e σ RQ ( H Q ( y ) − T ) J TQ,Q ′ ;Ψ ( y ) d y où par définition (2) X Ψ ∈ B S ( σ ) J TQ,Q ′ ;Ψ ( x, y ) = Z µ S Λ T,Q K Q,Q ′ ,σ ( x, y ; µ ) d µ . À priori la proposition n’affirme que la convergence des intégrales dans l’ordreindiqué, et pas la convergence absolue de l’intégrale multiple.Pour H ∈ A Q , notons M Q ( A ; H ) l’ensemble des m ∈ M Q ( A ) tels que H Q ( m ) = H .
On note Y Q ( H ) l’image de U Q ( A ) × M Q ( A ; H ) × K dans Y Q . On pose C e GQ d´ef = B e G \ A Q . Observons que H Q envoie Z Q = A e G ( A ) A Q ( F ) \ A Q ( A ) sur un sous-groupe d’in-dice fini de C e GQ . L’intégrale itérée (1) est égale à (3) X H ∈ C e GQ e σ RQ ( H Q − T ) Z Y Q ( H ) J TQ,Q ′ ;Ψ ( y ) d y . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 79
Estimations.
Les estimations [LW, 12.2.1] et [LW, 12.2.3] sont valables ici,mutatis mutandis. On rappelle que S ∗ est un domaine de Siegel pour le quotient B G G ( F ) \ G ( A ) où B G est l’image d’une section du morphisme A G ( A ) → B G . Lemme
Soit h ∈ C ∞ c ( G ( A )) . Il existe c > tel que pour tout x, y ∈ S ∗ ,on ait X δ ∈ B G G ( F ) | h ( x − δy ) | < c δ P ( x ) / δ P ( y ) / . Démonstration.
Elle est identique à celle de [LW, 12.2.1]. Pour passer du groupe U R à son algèbre de Lie u R , on utilise comme dans la preuve de la proposition de9.1 l’existence d’un F -isomorphisme de variétés algébriques u R → U R compatibleà l’action de A R . (cid:3) On fixe S ∈ P Q ′ st , une représentation automorphe σ ∈ Π disc ( M S ) , et des vecteurs Ψ ∈ A ( X S , σ ) et Φ ∈ A ( X θ ( S ) , θ ( σ )) . On pose L = M Q , L ′ = M Q ′ , L = M Q . On fixe un domaine de Siegel S L, ∗ pour le quotient B Q L ( F ) \ L ( A ) . On supposeque B Q ⊂ A Q ( A ) est de la forme B Q = B G B GQ où B GQ ⊂ A Q ( A ) est l’image d’une section du morphisme composé A Q ( A ) → A G ( A ) \ A Q ( A ) → B GQ . On fixe aussi un compact Ω Q ⊂ U Q ( A ) tel que U Q ( A ) = U Q ( F )Ω et l’on pose S GQ = Ω Q B GQ S L, ∗ K . C’est un domaine de Siegel pour le quotient B G Q ( F ) \ G ( A ) . On fixe de la mêmemanière un domaine de Siegel S GQ ′ = Ω Q ′ B GQ ′ S L ′ , ∗ K pour B G Q ′ ( F ) \ G ( A ) . Proposition
Il existe c > tel que pour tout ( x, y ) ∈ S GQ × S GQ ′ , onait Z µ S | E Q ( x, Φ , θ µ ) E Q ′ ( y, Ψ , µ ) | d µ < c δ P ( x ) / δ P ( y ) / . Démonstration.
On prend ϕ = 1 dans celle de [LW, 12.2.3]. Comme dans loc. cit .,on se ramène à prouver qu’il existe c > tel que pour tout y ∈ S ∗ , on ait Z µ S | E G ( y, Ψ , µ ) | d µ < c δ P ( y ) . On choisit un sous-groupe ouvert compact K ′ de G ( A ) tel que la fonction Ψ soitinvariante à droite par K ′ , et on considère le noyau K G ( e K ′ ; y, y ) = X δ ∈ B G G ( F ) e K ′ ( y − δy ) . Son expression spectrale est une somme de termes tous positifs ou nuls et l’un d’euxest l’intégrale ci-dessus. On conclut grâce au lemme 12.2.1. (cid:3)
Corollaire
Pour tout ( x, y ) ∈ G ( A ) × G ( A ) , l’intégrale J TQ,Q ′ ( x, y ) = Z µ S Λ T,Q E Q ( x, Φ , θ µ ) E Q ′ ( y, Ψ , µ ) d µ est absolument convergente. De plus, il existe c, D > et un sous-ensemble compact C Q de S L, ∗ tels que pour tout x ∈ B GQ S L, ∗ K et tout y ∈ G ( A ) , en écrivant x = ask avec a ∈ B GQ , s ∈ S L, ∗ et k ∈ K , on ait | J TQ,Q ′ ( x, y ) | ≤ c | a | D | y | D si s ∈ C Q et J TQ,Q ′ ( x, y ) = 0 sinon.Démonstration. Soit K ′ un sous-groupe ouvert compact distingué de K tel que lafonction φ soit invariante à droite par K ′ . D’après la proposition 4.2.1, il existeun sous-ensemble compact C Q de S L, ∗ tel que pour tout ( a, k ) ∈ B GQ × K et tout µ ∈ µ S , le support de la fonction sur S L, ∗ h Λ T,Q E Q ( ask, Φ , θ ( µ )) soit contenu dans C Q . D’autre part pour y ∈ G ( A ) , il existe un g ∈ B G Q ′ ( F ) tel que gy ∈ S GQ ′ . On procède comme dans la preuve de [LW, 12.2.4], en remar-quant que puisque la fonction δ P est à croissance lente, δ P ( x ) / δ P ( gy ) / estessentiellement majoré par | a | D | y | D . (cid:3) À priori nous ne pouvons rien dire ici sur le centre, c’est pourquoi nous noussommes limité aux x ∈ B GQ S L, ∗ K . Pour y = x , on en déduira en 12.3 des estimations pour x ∈ B e GQ S L, ∗ K .12.3. Convergence d’une intégrale itérée.
On suppose ici que T est un élémentrégulier de a G tel que θ ( T ) = T . On suppose de plus que T est dans un cônefixé, c’est-à-dire que pour tout α ∈ ∆ , on a c < α ( T ) ≤ c d ( T ) pour des constantes c , c > fixées arbitrairement. Dans un tel cône, les fonctions d ( T ) , k T k et α ( T ) pour tout α ∈ ∆ , sont équivalentes. On a fixé des vecteurs Ψ ∈ A ( X S , σ ) et Φ ∈ A ( X θ ( S ) , θ ( σ )) . Pour alléger l’écriture, posons J ( x, y ) = Z µ S Λ T,Q E Q ( x, Φ , θ µ ) E Q ′ ( y, Ψ , µ ) d µ et J ( y ) = J ( y, y ) . On vérifie comme en [LW, p. 161] que l’expression J TQ,Q ′ ;Ψ ( y ) est une combinaisonlinéaire finie d’expressions de ce type. En effet, on peut écrire e ρ S,σ,µ ( f, ω )Ψ = X Φ ∈ A ( X S ,σ ) b h Φ , Ψ ( µ )Φ
33. Cette condition peut sembler inadéquate, dès lors qu’on aura in fine à évaluer un élémentde PolExp en T ∈ A G qui n’est à priori pas θ -invariant. Mais comme l’élément de PolExp àévaluer ne dépend que de l’image de T ∈ a G , Q dans le sous-espace a e G f M , Q = ( a G , Q ) θ de a G , Q formédes éléments θ -invariants, cette condition n’est pas vraiement gênante. A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 81 où la somme est finie et b h = b h Φ , Ψ est la transformée de Fourier d’une fonction h sur A S à support fini : b h ( µ ) = X H ∈ A S e −h µ,H i h ( H ) où la somme porte sur un ensemble fini. On veut prouver la convergence de l’inté-grale (1) Z Y Q e σ RQ ( H Q ( y ) − T ) | J ( y ) | d y , ou, ce qui est équivalent, de l’expression (2) X H ∈ C e GQ e σ RQ ( H Q − T ) Z Y Q ( H ) | J ( y )) | d y . L’intégration sur Y Q ( H ) se décompose en une intégration sur le produit U Q ( F ) \ U Q ( A ) × X e GL ( H ) × K où X e GL ( H ) est l’image de L ( A ; H ′ ) dans A e G ( A ) L ( F ) \ L ( A ) pour un relèvement H ′ ∈ A Q de H ∈ C e GQ . Par ailleurs, la fonction que l’on intègre est invariante àgauche par le groupe U Q ( A ) ∩ U Q ′ ( A ) . Posons U LQ = U Q ∩ L et U L ′ Q = U Q ∩ L ′ .L’application naturelle U Q → U LQ × U L ′ Q induit un isomorphime U Q ( F )( U Q ( A ) ∩ U Q ′ ( A ) \ U Q ( A ) → U LQ ( F ) \ U LQ ( A ) × U L ′ Q ( F ) \ U L ′ Q ( A ) . On peut donc remplacer dans (2) la variable y par uu ′ xk avec u ∈ U LQ ( F ) \ U LQ ( A ) , u ′ ∈ U L ′ Q ( F ) \ U L ′ Q ( A ) , x ∈ X e GL ( H ) et k ∈ K . La mesure d y se transforme alors en δ Q ( x ) − d u d u ′ d x d k et on a H Q ( x ) = H Q ( y ) = H . On obtient : (3) J ( uu ′ xk ) = J ( uxk, u ′ xk ) = Z µ S Λ T,Q E Q ( uxk, Φ , θ µ ) E Q ′ ( u ′ xk, Ψ , µ ) d µ . On a la variante suivante du lemme [LW, 12.3.1] :
Lemme
Il existe un sous-ensemble fini ω ⊂ a e GQ indépendant de T tel quesi J ( uu ′ xk ) est non nul, alors q Q ( H ) = ((1 − θ ) H ) e GQ appartient à ω .Démonstration. Via le choix d’une section de la surjection A M → A Q ′ on disposed’un isomorphisme µ M = µ Q ′ × µ Q ′ S et l’intégration sur µ S se décompose en uneintégrale double : J ( uu ′ xk ) = Z µ Q ′ S Z µ Q ′ Λ T,Q E Q ( uxk, Φ , θ ( µ Q ′ + µ Q ′ )) × E Q ′ ( u ′ xk, Ψ , µ Q ′ + µ Q ′ ) d µ Q ′ d µ Q ′ . Soit B Q ⊂ A Q ( A ) un sous-groupe de la forme B Q = B QQ B Q (= B QQ B GQ B G ) où B QQ ⊂ A Q ( A ) est l’image d’une section du morphisme composé A Q ( A ) → A Q ( A ) \ A Q ( A ) → B QQ . Notons S L , ∗ = E L S L , un domaine de Siegel pour le quotient B Q L ( F ) \ L ( A ) (cf. 3.4). Fixons de la même manière un sous-groupe B ′ Q = B Q ′ Q B Q ′ ⊂ A Q ( A ) . Onne peut pas en général s’arranger pour que B Q = B ′ Q , mais puisque B Q ∩ B ′ Q est d’indice fini dans B Q , quitte à grossir E L , on peut toujours supposer que L ( A ) = ( B Q ∩ B ′ Q ) L ( F ) S L , ∗ . On suppose aussi que B G est de la forme B G = B e GG B e G où B e GG ⊂ A G ( A ) est l’imaged’une section du morphisme composé A G ( A ) → A e G ( A ) \ A G ( A ) → B e GG = B e G \ B G et l’on pose B e GQ = B e GQ B e GQ = B QQ B GQ B e GG et B ′ e GQ = B Q ′ Q B e GQ ′ = B Q ′ Q B GQ ′ B e GG . Choisissons un relèvement de x ∈ X e GL ( H ) dans L ( A ; H ′ ) et écrivons x = zas avec z ∈ B e G L ( F ) , a ∈ ( B e GQ ∩ B ′ e GQ ) et s ∈ S L , ∗ . On décompose a sous la forme a = a Q a Q = a Q ′ a Q ′ avec a Q ∈ B e GQ , a Q ∈ B QQ , a Q ′ ∈ B e GQ ′ et a Q ′ ∈ B Q ′ Q . Posons H = H Q ( a ) . Commedans la démonstration de [LW, 12.3.1], on obtient que J ( uu ′ xk ) = δ / Q ( a Q ) δ / Q ′ ( a Q ′ ) Z µ Q ′ e h θ ( µ Q ′ ) , ( H ) Q i−h µ Q ′ , ( H ) Q ′ i d µ Q ′ × Z µ Q ′ S Λ T,Q E Q ( ua Q sk, Φ , θ ( µ Q ′ )) E Q ′ ( u ′ a Q ′ sk, Ψ , µ Q ′ ) d µ Q ′ . Or Z µ Q ′ e h θ ( µ Q ′ ) , ( H ) Q i−h µ Q ′ , ( H ) Q ′ i d µ Q ′ = Z µ Q ′ e h µ Q ′ ,θ − (( H ) Q ) − ( H ) Q ′ i d µ Q ′ et cette intégrale n’est non nulle que si θ − (( H ) Q ) − ( H ) Q ′ = 0 . Pour que J ( uu ′ xk ) soit non nul, il faut donc que ( H Q ( x ) − θ ( H Q ′ ( x ))) e G = ( H − θ ( H )) e GQ = ( H Q ( s ) − θ ( H Q ′ ( s ))) e G . Maintenant, on observe que l’ensemble ω = { ( H Q ( s ) − θ ( H Q ′ ( s ))) e G : s ∈ S L , ∗ } ⊂ a e GQ est fini et le lemme en résulte. (cid:3) Proposition
Pour T ∈ ( a G ) θ , l’expression X H ∈ C e GQ e σ RQ ( H Q − T ) Z Y Q ( H ) (cid:12)(cid:12) J TQ,Q ′ ( y ) (cid:12)(cid:12) d y est convergente et la somme sur H est finie. A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 83
Démonstration.
Il s’agit de prouver que pour H ∈ C e GQ , la fonction ( u, u ′ , x, k ) e σ RQ ( H − T ) δ Q ( x ) − J ( uu ′ xk ) est absolument intégrable sur U LQ ( F ) \ U LQ ( A ) × U L ′ Q ( F ) \ U L ′ Q ( A ) × X e GL ( H ) × K et qu’elle est nulle sauf pour un nombre fini de H . On procède comme dans lapreuve de [LW, 12.3.2]. On commence par découper le domaine de sommation en H grâce à la partition de [LW, 1.7.5] appliquée au couple ( P, R ) = ( Q , Q ) : on peutfixer un P ′ ∈ P st tel que Q ⊂ P ′ ⊂ Q et imposer que φ P ′ Q ( H − T ) τ QP ′ ( H − T ) = 1 . On s’intéresse donc aux H ∈ a Q tels que (4) e σ RQ ( H − T ) φ P ′ Q ( H − T ) τ QP ′ ( H − T ) = 1 , q Q ( H ) ∈ ω . D’après [LW, 2.13.3] (l’exposant G est ici remplacé par un exposant e G , voir 2.2),pour H vérifiant (4), on a (5) k H e G − T Q k ≪ k ( H − T ) QP ′ k d’où (6) k H e G k ≪ k H QP ′ k . Les constantes implicites dans (5) et (6) dépendent de T . Au lieu d’intégrer sur x ∈ X e GL ( H ) , on peut choisir un relèvement H ′ ∈ A Q de H ∈ C e GQ et intégrer sur x ∈ (( B Q ∩ B ′ Q ) S L , ∗ ) ∩ L ( A ; H ′ ) . De même, on peut faire varier ( u, u ′ ) dansun compact Ω LQ × Ω L ′ Q de U LQ ( A ) × U L ′ Q ( A ) . On écrit x = zas avec z ∈ B e G L ( F ) , a ∈ ( B e GQ ∩ B ′ e GQ ) et s ∈ S L , ∗ , et on décompose a en a = a Q a Q = a Q ′ a Q ′ comme dans la preuve du lemme 12.3.1.Pour u ∈ Ω LQ , u ′ ∈ Ω L ′ Q et k ∈ K , en supposant que a − Q θ ( a Q ′ ) appartient à A e G ( A ) A Q ( A ) – sinon J ( uu ′ xk ) = 0 (cf. la preuve de loc. cit .) –, on a J ( uu ′ xk ) = δ Q ( a Q ) J ( ua Q sk, u ′ a Q ′ sk ) . Quitte à grossir E Q , on peut supposer que L ( A ) ∗ = E Q L ( A ) est contenu dans L Q ( A ) ∗ = E Q L Q ( A ) . Alors pour chaque u ∈ Ω LQ , on peut choisir un γ ∈ L ( F ) telque y = γua Q s ∈ S L, ∗ = E Q S L, . D’après 12.3.2, il existe c, D > et un compact C L dans S L, ∗ tel que pour tout k ∈ K , tout u ∈ Ω LQ et tout u ′ ∈ Ω L ′ Q , on ait J ( y k, u ′ a Q ′ sk ) = 0 si y / ∈ C L et | J ( y k, u ′ a Q ′ sk ) | ≤ c | u ′ a Q ′ s | D sinon . Comme dans la preuve de [LW, 12.3.2], on obtient (7) k H QP ′ k + k H ( s ) k ≪ k H ( y ) k .
34. Notons que notre s joue le rôle du x de la démonstration de [LW, 12.3.2]. Pour y ∈ C L , d’après (6) et (7), k H e G k et k H ( s ) k sont bornés. On en déduit que H varie dans un sous-ensemble fini de C e GQ . D’autre part s appartient à S L , ∗ et k H ( s ) k est borné, par conséquent | s | est borné. On obtient que δ Q ( x ) − | J ( u ′ uxk ) | ≪ . D’où la proposition, puisque l’ensemble Ω LQ × Ω L ′ Q × (( B Q ∩ B ′ Q ) S L , ∗ ∩ L ( A ; H )) × K est de volume fini. (cid:3) Transformation de l’opérateur Λ T,Q . Pour calculer l’expression (1) X H ∈ C e GQ e σ RQ ( H Q − T ) Z Y Q ( H ) J TQ,Q ′ ( y ) d y , on décompose l’intégrale sur Y Q ( H ) comme en 12.3. On peut permuter l’intégralesur le groupe compact U Q L ( F ) \ U Q L ( A ) × U Q L ′ ( F ) \ U Q L ′ ( A ) avec celle sur le groupe (lui aussi compact) µ S . Pour ( x, k ) ∈ X e GL ( H ) × K , lacomposée de ces deux intégrales est égale à (2) Z µ S ( Λ T,Q E Q ) Q ( xk, Φ , θ ( µ )) E Q ′ Q ( xk, Ψ , µ ) d µ où l’indice Q signifie que l’on prend le terme constant le long de Q . D’après [LW,4.1.1], cette expression (2) n’est non nulle que si φ QQ ( H − T ) = 1 . Cela entraîne que dans le découpage suivant les P ′ ∈ P st tel que Q ⊂ P ′ ⊂ Q dansla preuve de la proposition 12.3.2, seul le domaine correspondant à P ′ = Q donneune contribution non nulle. D’après 12.3 (5), il existe c > telle que pour les H vérifiant e σ RQ ( H − T ) φ QQ ( H − T ) = 1 , q Q ( H ) ∈ ω on ait (3) k H e G − T Q k ≤ c . Le point est qu’ici la constante c est indépendante de T (d’après [LW, 2.13.3] et lelemme 12.3.1). En particulier, puisque T Q ∈ a GQ , on a H e G − T Q = H e GG + ( H G − T Q ) et k H e GG k est borné par une constante indépendante de T . Fixons un réel η tel que < η < . Si T est assez régulier, la condition (3) entraîne (4) k H Q − T QQ k ≤ k ηT k . Pour T ∈ a , on note κ T la fonction caractéristique du sous-ensemble des X ∈ a tels que k X k ≤ k T k . D’après [LW, 4.2.2] il existe c ′ > tel que si d ( T ) ≥ c ′ ( c + 1) ,
35. Observons que la fonction κ T utilisée ici n’est pas tout-à-fait la même que celle de [LW]puisque nous ne passons pas au quotient par le centre. A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 85 l’expression (2) multipliée par e σ RQ ( H − T ) vaut κ ηT ( H Q − T QQ ) e σ RQ ( H − T ) φ QQ ( H − T ) × Z µ S Λ T [[ H Q ]] ,Q E QQ ( xk, Φ , θ ( µ )) E Q ′ Q ( xk, Ψ , µ ) d µ si k H e G − T Q k ≤ c et elle est nulle sinon. Ce dernier point résulte de l’analoguede la preuve de 12.3 (5) pour l’expression ci-dessus. Notons que pour H vérifiant φ GQ ( H − T ) = 1 , l’élément T [[ H Q ]] = T [[ H Q ]] Q ∈ a Q P est « plus régulier » que T Q : en effet, d’après [LW, 4.2.1], on a d L P ∩ L ( T [[ H Q ]]) ≥ d L P ∩ L ( T Q ) ≥ d ( T ) . On a donc prouvé la
Proposition
Il existe c, c ′ > tel que pour tout T ∈ ( a G ) θ vérifiant d ( T ) ≥ c ′ ( c + 1) , l’expression (1) soit égale à X H ∈ C e GQ κ ηT ( H Q − T QQ ) e σ RQ ( H − T ) φ QQ ( H − T ) e −h ρ Q ,H i × Z X e GL ( H ) × K Z µ S Λ T [[ H Q ]] ,Q E QQ ( xk, Φ , θ ( µ )) E Q ′ Q ( xk, Ψ , µ ) d µ d x d k . La somme sur C e GQ ne fait intervenir que des H tels que k H e G − T Q k ≤ c . On a aussi l’analogue de [LW, 12.5.1] :
Proposition
Pour H ∈ C e GQ , on considère l’expression (5) Z X e GL ( H ) × K Z µ S (cid:12)(cid:12)(cid:12) Λ T [[ H Q ]] ,Q E QQ ( xk, Φ , θ ( µ )) E Q ′ Q ( xk, Ψ , µ ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) d µ d x d k . On suppose que T est dans le cône introduit en 12.3 et qu’il est « suffisammentrégulier », c’est-à-dire que les constantes c et c définissant le cône sont telles que c c − est assez grand. On a les assertions suivantes :(i) Si φ QQ ( H − T ) = 1 , l’expression (5) est convergente.(ii) Il existe η avec < η < tel que si < η < η , alors il existe c > tel quepour tout T ∈ ( a G ) θ et tout H ∈ C e GQ vérifiant e σ RQ ( H − T ) φ QQ ( H − T ) κ ηT ( H Q − T QQ ) = 1 l’expression (5) soit majorée par c e h ρ Q ,H i d ( T ) dim( a Q ) . Démonstration.
On reprend celle de loc. cit . On veut majorer l’intégrale intérieuredans (5). Comme dans la preuve de [LW, 12.2.3], on se ramène grâce à l’inégalitéde Schwartz à majorer deux types d’intégrales : (6) Z µ S Λ T [[ H Q ]] ,Q E QQ ( xk, Φ , θ ( µ )) Λ T [[ H Q ]] ,Q E QQ ( xk, Φ , θ ( µ )) d µ
36. Il faut supprimer le signe ( − a Q − a G dans la formule du lemme [LW, 4.2.2] page 86. Voirl’erratum ( i ) de l’annexe A. et (7) Z µ S E Q ′ Q ( xk, Ψ , µ ) E Q ′ Q ( xk, Ψ , µ ) d µ . Commençons par majorer l’intégrale (7). Rappelons que l’on a fixé en 12.2 undomaine de Siegel S GQ ′ = Ω Q ′ B GQ ′ S L ′ , ∗ K pour le quotient B G Q ′ ( F ) \ G ( A ) . Soit h Q ′ la fonction sur Q ′ ( F ) \ G ( A ) / K définie par h Q ′ ( y ) = X δ ∈ Q ′ ( F ) δ P ( δy ) / S GQ ′ ( δy ) . On a h Q ′ ( y ) ≪ δ P ( y ) / ≪ h Q ′ ( y ) pour y ∈ S GQ ′ . D’après la proposition 12.2.2, pour b ∈ B G et y, y ′ ∈ Q ′ ( F ) S GQ ′ , l’intégrale (8) Z µ S E Q ′ ( by, Ψ , µ ) E Q ′ ( by ′ , Ψ , µ ) d µ = Z µ S E Q ′ ( y, Ψ , µ ) E Q ′ ( y ′ , Ψ , µ ) d µ est essentiellement majorée par h Q ′ ( y ) h Q ′ ( y ′ ) . Ensuite on prend le terme constanten chacune des variables y, y ′ . Cette opération, qui consiste à intégrer sur un com-pact, commute à l’intégrale sur µ S . Puis on prend y = y ′ = a G sk avec k ∈ K , s ∈ S L , ∗ , x = as ∈ L ( A ; H ′ ) pour un relèvement H ′ ∈ A Q de H ∈ C e GQ et a = a G a G ∈ B G B GQ (on peut même supposer a G ∈ B GQ ∩ B ′ GQ comme dans ladémonstration de 12.3.2). L’intégrale (7) est donc essentiellement majorée par h Q ′ Q ( y ) = h Q ′ Q ( a G s ) . Comme la fonction h Q ′ est à croissance lente, son terme constant h Q ′ Q l’est aussi.L’intégrale (7) est donc essentiellement majorée par | a G s | D pour D > assez grand.L’intégrale (6) se déduit elle aussi de (8) en prenant les termes constants le long de Q puis en appliquant l’opérateur Λ T [[ H Q ]] ,Q , et enfin en posant y = y ′ = a G sk .Quand on prend les termes constants, on obtient une expression essentiellementmajorée par h QQ ( y ) h QQ ( y ′ ) . Rappelons que l’hypothèse φ QQ ( H − T ) = 1 assure que l’élément T [[ H Q ]] ∈ a Q P estrégulier. D’après la proposition 4.2.1, il existe un sous-ensemble compact Ω de S L , ∗ tel que si Λ T [[ H Q ]] ,Q h QQ ( a G sk ) = 0 , alors s ∈ Ω . Comme H Q ( x ) G = H Q ( a G ) + H Q ( s ) G = H G et que H est fixé, a G reste dans un ensemble fini de B GQ . D’où le point (1). Prouvons(2). On suppose que l’hypothèse (9) e σ RQ ( H − T ) φ QQ ( H − T ) κ ηT ( H Q − T QQ ) = 1 est vérifiée . On peut prendre x dans un domaine de Siegel S L = B L S L , ∗ .On écrit x = as avec a ∈ B Q et s ∈ S L , ∗ . Si η est assez petit, l’hypothèse (9)
37. Si η est assez petit, l’hypothèse (9) implique τ PQ ( H ) = 1 où e P est l’unique élément de e P st vérifiant la double inclusion Q ′ ⊂ P ⊂ R (cf. [LW, p. 171]). En particulier cela entraîne τ Q ′ Q ( H ) = 1 et τ QQ ( H ) = 1 . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 87 implique comme dans la preuve de [LW, 12.5.1] (majoration (4) page 170) qu’ilexiste une constante
D > telle que h QQ ( a G s ) ≪ δ Q ( a ) | s | D . Mais cette majoration est inutile ici, on peut directement passer à la page 172.Notons C l’opérateur qui multiplie une fonction sur Y Q par la fonction x F Q P ( x, T [[ H Q ]]) et décomposons l’opérateur Λ = Λ T [[ H Q ]] ,Q en ( Λ − C ) + C . Rappelons que T [[ H Q ]] est « plus régulier » que T . D’après 4.2.2, si T est assezrégulier, on peut remplacer l’opérateur Λ T [[ H Q ]] ,Q par C dans l’intégrale intérieurede l’expression (5). Il nous faut donc majorer l’intégrale I C ( xk ) = Z µ S F Q P ( ask, T [[ H Q ]]) E QQ ( xk, Φ , θ ( µ )) E QQ ( xk, Φ , θ ( µ )) d µ sous les hypothèses (9) et (10) F Q P ( xk, T [[ H Q ]]) = F Q P ( s, T [[ H Q ]]) = 1 . Cela conduit à majorer (7) et l’analogue de (7) où Q remplace Q ′ . Sous (9) et (10)on obtient comme dans la preuve de [LW, 12.5.1] que h Q ′ ( a G s ) est essentiellementmajoré par δ P ( x ) / . Donc (7) est essentiellement majoré par δ P ( x ) . Il en est demême de l’analogue de (7) relatif à Q , et donc aussi de I C ( xk ) . On obtient quel’expression (5) est essentiellement majorée par Z X L ( H ) F Q P ( x, T [[ H Q ]]) δ P ( x ) d x ou ce qui revient au même par e h ρ Q ,H i Z S L , ∗ F Q P ( s, T [[ H Q ]]) δ P ( s ) d s . Rappelons que S L , ∗ = E L S L , = E L Ω L B L ( t ) F L K L avec B L ( t ) = B ( t ) ∩ L ( A ) . On décompose s en s = vbk avec v ∈ E L Ω L , b ∈ B L ( t ) et k ∈ F L K L . La décomposition des mesures introduit un facteur δ L P ∩ L ( b ) − = δ P ( b ) − , et l’intégrale sur S L , ∗ est essentiellement majorée par lecardinal de l’ensemble { b ∈ B L ( t ) : F Q P ( b, T [[ H Q ]]) = 1 } . En écrivant Y = H ( b ) ∈ a L , on conclut comme à la fin de la démonstration de[LW, 12.5.1]. (cid:3) Retour à la formule de départ.
On suppose désormais que < η < η où η vérifie les conditions de la proposition 12.4.2.L’expression pour J G,T de la proposition de 12.1.1 est une combinaison linéairefinie d’intégrales itérées 12.1 (1) (ou, ce qui revient au même, d’expressions 12.1 (3))dont la convergence est assurée par la proposition 12.3.2.
Proposition
Il existe une constante absolue c ′ > et une constante c ( f ) > telles que, si d ( T ) ≥ c ′ ( c ( f ) + 1) , on a J e G,T = X Q,R ∈ P st Q ⊂ R ˜ η ( Q, R ) X S ∈ P Q ′ st n Q ′ ( S ) X σ ∈ Π disc ( M S ) b c M S ( σ ) × X Ψ ∈ B S ( σ ) X H ∈ C e GQ A T ( H, e ρ S,σ,µ ( f, ω )Ψ , Ψ) avec A T ( H ; Φ , Ψ) = κ ηT ( H Q − T QQ ) e σ RQ ( H − T ) φ QQ ( H − T ) × e −h ρ Q ,H i Z X e GL ( H ) × K Z µ S Λ T [[ H Q ]] ,Q E QQ ( xk, Φ , θ ( µ )) × E Q ′ Q ( xk, Ψ , µ ) d µ d x d k . Démonstration.
Ceci résulte de la proposition 12.4.1. (cid:3)
Définition
On écrira A T ( H ) pour A T ( H ; Φ , Ψ) lorsque les fonctions Φ et Ψ sont fixées, et on pose A T = X H ∈ C e GQ A T ( H ) . Simplification du produit scalaire
Une majoration uniforme.
Pour P ∈ P , choisissons une section du mor-phisme A P ( A ) → B P et notons B P son image. Cela permet de relever Ξ( P ) dans Ξ( P ) , d’où une identification Ξ( P ) = Ξ( P ) × b B P . Le groupe des caractères automorphes, mais non nécessairement unitaires, de A P ( A ) s’identifie à Ξ( P ) × a ∗ P . Un tel caractère ξ peut donc s’écrire ξ = ξ u | ξ | = ( ζ ⋆ µ ) ⋆ ν = ζ ⋆ ( µ + ν ) avec ζ = ξ | A P ( A ) , µ ∈ b B P et ν ∈ a ∗ P . On le notera ξ = ( ζ, µ, ν ) .Soit φ une forme automorphe sur X G (discrète ou non). Pour P ∈ P st , on note φ P , cusp le terme constant cuspidal de φ le long de P , défini en [MW, I.3.4, I.3.5].C’est une forme automorphe cuspidale sur X P , qui s’écrit sous la forme φ P , cusp = X ( q,ξ ) q ( H P ( x )) φ q,ξ ( x ) où ( q, ξ ) parcourt un sous-ensemble fini de C [ a P ] × Ξ( P ) × a ∗ P et φ q,ξ est une formeautomorphe cuspidale sur X P se transformant suivant ξ . En écrivant ξ = ( ζ, µ, ν ) comme ci-dessus, on voit que la fonction x e −h µ + ν, H P ( x ) i φ q,ξ ( x ) A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 89 appartient à A disc ( X P ) ζ . Notons A cusp ( X P ) Ξ( P ) le sous-espace de A cusp ( X P ) engendré par les espaces A cusp ( X P ) ξ pour ξ ∈ Ξ( P ) identifié au sous-groupe de Ξ( P ) des caractères triviaux sur B P . Il se décompose en A cusp ( X P ) Ξ( P ) = M ζ ∈ Ξ( P ) A cusp ( X P ) ζ . Pour tout P ∈ P st , fixons un sous-ensemble compact Γ P ⊂ a ∗ P, C / A ∨ P , deux entiersnaturels n P et d P , et un sous-espace de dimension finie V P de A cusp ( X P ) Ξ( P ) . Onnote A (( V P , d P , Γ P , n P ) P ∈ P st ) l’ensemble des formes automorphes φ sur X G telles que pour tout P ∈ P st , le termeconstant cuspidal φ P , cusp puisse s’écrire φ P , cusp = n P X i =1 e h λ P,i + ρ P , H P ( x ) i n P,j X j =1 q P,i,j ( H P ( x )) φ P,i,j ( x ) avec n P ≤ n P , λ P,i ∈ Γ P , q P,i,j ∈ C [ a P ] avec deg( q P,i,j ) ≤ d P , et φ P,i,j ∈ V P .Notons que cet ensemble n’est pas un espace vectoriel (à cause de la condition n P ≤ n P ). Dans l’expression (2), on peut supposer que les λ P,i sont deux-à-deuxdistincts. On définit comme en [LW, 13.1] une norme k φ k cusp = X P ∈ P st k φ P , cusp k cusp . D’après [LW, 13.1.1], on a le
Lemme
Pour tout λ ∈ a ∗ , il existe une constante c > telle que pour tout φ ∈ A (( V P , d P , Γ P , n P ) P ∈ P st ) et tout x ∈ S = B G S ∗ , on ait la majoration | φ ( x ) | ≤ c k φ k cusp X P ∈ P st e h λ P + ℜ ( λ P,i )+ ρ P , H ( x ) i (1 + H P ( x )) d P où λ P est la projection de λ sur a P, ∗ . Majoration des termes constants.
On fixe deux sous-groupe paraboliquesstandards
Q, R ∈ P st tels que Q ⊂ R et ˜ η ( Q, R ) = 1 . On pose Q ′ = θ − ( Q ) et Q = Q ∩ Q ′ . On fixe aussi S ∈ P Q ′ st et σ ∈ Π disc ( M S ) . La représentation σ intervientdans le spectre discret de M S ( F ) \ M S ( A ) . Considérons :— un sous-groupe parabolique P ∈ P st tel que S cusp ⊂ S ;— une représentation automorphe cuspidale σ cusp de M S cusp ( A ) qui est unesous-représentation irréductible de L ( B S cusp \ X M S cusp ) – c’est-à-dire que σ se réalise dans A cusp ( X S cusp ) ζ pour un caractère ζ ∈ Ξ( S cusp ) ;— un opérateur différentiel D à coefficients polynomiaux sur a S, ∗ S cusp , C ;— un point ν ∈ a S, ∗ S cusp .Pour Φ cusp ∈ B S cusp ∩ M S ( σ cusp ) et ν ∈ a S, ∗ S cusp , C , formons la série d’Eisenstein E M S ( y, Φ cusp , ν ) = X γ ∈ ( S cusp ∩ M S )( F ) \ M S ( F ) Φ cusp ( γy, ν ) , y ∈ M S ( A ) . On applique l’opérateur D sous l’hypothèse que la fonction ν DE M S ( y, Φ cusp , ν ) est holomorphe en ν = ν et on note D ν = ν E M S ( y, Φ cusp , ν ) sa valeur en ν = ν .Comme dans [LW] on voit qu’en choisissant convenablement la base B S ( σ ) de A ( X S , σ ) , on peut supposer que pour tout élément Ψ ∈ B S ( σ ) , il existe des données S cusp , σ cusp , D , ν et Ψ cusp ∈ B S cusp ( σ cusp ) telles que E Q ′ ( y, Ψ , µ ) = D ν = ν E Q ′ ( y, Ψ cusp , ν + µ ) pour tout µ ∈ a ∗ S, C / A ∨ S . Prendre un terme constant et prendre un résidu sont deuxopérations qui commutent. Grâce à [LW, 5.2.2.(4)], on obtient (1) E Q ′ Q ( y, Ψ , µ ) = D ν = ν X s ∈ W Q ′ ( a S cusp ,Q ) E Q ( y, M ( s, ν + µ )Ψ cusp , s ( ν + µ )) . Le terme constant E Q ′ S ′ cusp ( y, Ψ , µ ) de la forme automorphe E Q ′ Q ( y, Ψ , µ ) relatif à unsous-groupe parabolique S ′ cusp ∈ P Q st associé à S cusp dans Q ′ est égal à : D ν = ν X s ∈ W Q ′ ( a S cusp ,Q ) X s ′ ∈ W Q ( a s ( S cusp) , a S ′ cusp ) M ( s ′ s, ν + µ )Ψ cusp ( y, s ′ s ( µ + ν )) . Les exposants cuspidaux de E Q ′ S ′ cusp ( y, Ψ , µ ) sont les s ′ s ( ν + µ ) ∈ a ∗ S ′ cusp , C / A ∨ S ′ cusp . Pour w ∈ W Q ′ ( a S cusp , a S ′ cusp ) notons Q ′ w le plus petit sous-groupe paraboliquestandard de Q ′ tel que a Q ′ w ⊂ w ( a S ) . D’après [LW, 13.2 (5)] et [MW, V.3.16,VI.1.6 (c)], on sait que pour µ ∈ µ S les parties réelles des exposants cuspidaux de E Q ′ S ′ cusp ( y, Ψ , µ ) sont de la forme wν pour des w ∈ W Q ′ ( a S cusp , a S ′ cusp ) tels que (2) b τ Q ′ w S ′ cusp ( − wν ) = 1 . Ainsi dans l’expression E Q ′ S ′ cusp ( y, Ψ , µ ) pour µ ∈ µ S , les termes indexés par lescouples ( s, s ′ ) tels que l’élément w = ss ′ ne vérifie pas (2) sont nuls. On décompose E Q ′ Q ( y, Ψ , µ ) en E Q ′ Q ( y, Ψ , µ ) = E Q ′ Q , unit ( y, Ψ , µ ) + E Q ′ Q , + ( y, Ψ , µ ) . ou le terme E Q ′ Q , unit est la sous-somme de (1) indexée par les s tels que s ( a S ) ⊂ a Q et le terme E Q ′ Q , + est la sous-somme restante. On obtient comme en [LW, 13.2 (7)]que pour µ ∈ µ S , on a E Q ′ Q , unit ( y, Ψ , µ ) = X s ∈ W Q ′ ( a S ,Q ) E Q ( y, M ( s, µ )Ψ , µ ) . Rappelons que W Q ′ ( a S , Q ) est l’ensemble des restrictions à a S des s ∈ W Q ′ telsque s ( a S ) ⊃ a Q et s est de longueur minimale dans sa classe W Q s (ce qui signifie A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 91 que s ( S ) ∩ L est standard dans L = M Q ). D’après [LW, 13.2 (6)], la fonction E Q ′ Q , unit ( y, Ψ , µ ) est lisse pour µ ∈ µ S , il en est donc de même pour la fonction E Q ′ Q , + ( y, Ψ , µ ) = E Q ′ Q ( y, Ψ , µ ) − E Q ′ Q , unit ( y, Ψ , µ ) . Proposition
Soient Z ∈ A G et T ∈ a Q .(i) Il existe un entier N ∈ N et un réel c > tels que | E Q ′ Q ( xk, Ψ , µ ) | ≤ c δ P ( a ) (1 + k H k ) N | s | N pour tout H ∈ A GQ ( Z ) tel que τ Q ′ Q ( H ) = 1 , tout ( a, s ) ∈ B L × S L , ∗ telque x = as ∈ L ( A ; H ) , tout k ∈ K et tout µ ∈ µ S .(ii) Il existe un entier N ∈ N et un réel c > tels que | E Q ′ Q ( xk, Ψ , µ ) | ≤ c δ P ( x ) (1 + k X Q k ) N (1 + k H ( s ) k ) N pour tout X ∈ A GP ( Z ) tel que τ Q ′ P ( X + T ) = 1 , tout ( a, s ) ∈ B L × S L , ∗ tel que H ( x ) = X avec x = as , tout k ∈ K et tout µ ∈ µ S .(iii) Il existe un entier N ∈ N et un réel c > tels que | E Q ′ Q , unit ( xk, Ψ , µ ) | ≤ c δ P ( x ) (1 + k H k ) N (1 + k H ( s ) k ) N pour tout H ∈ A GQ ( Z ) , tout ( a, s ) ∈ B L × S L , ∗ tel x = as ∈ L ( A ; H ) ,tout k ∈ K et tout µ ∈ µ S .(iv) Il existe un réel R > , un entier N > et un réel c > tels que | E Q ′ Q , + ( xk, Ψ , µ ) |≤ c δ P ( x ) (1 + k X Q k ) N (1 + k H ( s ) k ) N sup α ∈ ∆ Q ′ r ∆ Q e − R h α, H ( x ) i pour tout X ∈ A GP ( Z ) tel que τ Q ′ P ( X + T ) = 1 , tout ( a, s ) ∈ B L × S L , ∗ tel que H ( x ) = X avec x = as , tout k ∈ K et tout µ ∈ µ S .Démonstration. On suit pas à pas celle de la proposition [LW, 13.2.1]. (cid:3)
Simplication du terme constant.
On a introduit en 12.5.2 des expression A T ( H ) et A T . On note A T unit = X H ∈ C e GQ A T unit ( H ) les expressions obtenues en remplaçant les fonctions E Q ′ Q par E Q ′ Q , unit et E QQ par E QQ , unit dans la définition de A T ( H ) . Alors [LW, 13.3.1] est vrai ici : Proposition
L’intégrale définissant A T unit ( H ) et la somme définissant A T unit sont absolument convergentes, et pour tout réel r , il existe c > tel que | A T − A T unit | ≤ c d ( T ) − r . Démonstration.
Elle est identique à celle de loc. cit , à la simplification suivanteprès : la décomposition de l’opérateur Λ = Λ T [[ H Q ]] ,Q en ( Λ − C ) + C conduit à ladécomposition des expressions A T ( H ) et A T unit ( H ) en A T ( H ) = A T Λ − C ( H ) + A T C ( H ) et A T unit ( H ) = A T Λ − C , unit ( H ) + A T C , unit ( H ) . Comme dans la preuve de la proposition 12.4.2, si T est assez régulier, on a A T ( H ) = A T C ( H ) et A T unit ( H ) = A T C , unit ( H ) . Seules les expressions A T C ( H ) et A T C , unit ( H ) sont à comparer. Les assertions sontalors conséquence de 13.2.1. (cid:3) Simplification du produit scalaire.
On a défini en 4.1.5 un élément T [[ H Q ]] dans a Q P . Pour S ∈ P Q ′ st et H ∈ A Q , considérons l’opérateur (introduiten 5.3 mais avec ici Q en place de G et T [[ H Q ]] au lieu de T ) Ω T,Q S | θ ( S ) ( H ; λ, µ ) = X S ′ ∈ P Q X s ∈ W Q ( a θ S ) , a S ′ ) t ∈ W Q ′ ( a S , a S ′ ) ε Q ,T [[ H Q ]] S ′ S ′ ( H ; sλ − tµ ) M ( t, µ ) − M ( s, λ ) . On considère maintenant des fonctions Ψ ∈ A ( X S , σ ) et Φ ∈ A ( X θ ( S ) , θ ( ω ⊗ σ )) . Pour µ, ν ∈ µ S et λ ∈ µ θ ( S ) , on pose ω T,Q ( H ; λ, µ ; ν ) d´ef = h D ν Ω T,Q S,θ ( S ) ( H ; λ, µ )Φ , Ψ i S c’est-à-dire ω T,Q ( H ; λ, µ ; ν ) = X S ′ ∈ P Q X s ∈ W Q ( a θ S ) , a S ′ ) t ∈ W Q ′ ( a S , a S ′ ) ε Q ,T [[ H Q ]] S ′ S ′ ( H ; sλ − tµ ) ×h D ν M ( t, µ ) − M ( s, λ )Φ , Ψ i S ′ . Avec les notations de la proposition 5.4.5, pour tout e u ∈ W e G ( a S , a S ) , on a E ( θ ( ω A S ξ ) , ξ ) = { ν ∈ µ S | e u ( ω A S ξ ) ⋆ ν | B M = ξ } . Comme seule la restriction de ν à B M intervient, et s’il est non vide, c’est un espacehomogène sous b M . Lorsque ξ = ξ σ nous adopterons une notation plus condensée : Définition
On pose E ( σ ) d´ef = { ν ∈ µ S | ξ e u ( ω ⊗ σ ) ⋆ ν | B M = ξ σ } = E ( θ ( ω A S ξ σ ) , ξ σ ) . Lemme
Pour que l’expression ω T,Q ( H ; λ, µ ; ν ) soit non nulle, il est né-cessaire que ν appartienne à E ( σ ) .Démonstration. On a D ν M ( t, µ ) − M ( s, λ )Φ ∈ A ( X S , e u ( ω ⊗ σ ) ⋆ ν ) et Ψ ∈ A ( X S , σ ) . Pour que l’expression ω T,Q ( H ; λ, µ ; ν ) soit non nulle, il est nécessaire que l’on ait ξ e u ( ω ⊗ σ ) ⋆ ν | B M = ξ σ . (cid:3) Définition
On pose [ ω ] T,Q ( H ; λ, µ ) = | b S | − X ν ∈ E ( σ ) ω T,Q ( H ; λ, µ + ν ; ν ) avec [ ω ] T,Q ( H ; λ, µ ) = 0 si E ( σ ) = ∅ . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 93
Avec les notations de la proposition 5.4.5 on a [ ω ] T,Q ( H ; λ, µ ) = h [ Ω ] T,Q S | θ ( S ) ( H, ξ, ξ ′ ; λ, µ )Φ , Ψ i S mais avec Q en place de G et T [[ H Q ]] au lieu de T . D’après 5.4 cette expressionest holomorphe en λ et µ . Pour λ = θ ( µ ) , on écrit [ ω ] T,Q ( H ; µ ) = [ ω ] T,Q ( H ; θ ( µ ) , µ ) . Observons que [ ω ] T,Q ( H ; µ ) ne dépend que de l’image de H dans C e GQ = B e G \ A Q .On pose A T pure ( H ) = κ ηT ( H Q − T QQ ) e σ RQ ( H − T ) φ QQ ( H − T ) Z µ S [ ω ] T,Q ( H ; µ ) d µ et A T pure = X H ∈ C e GQ A T pure ( H ) . Proposition
La série définissant A T pure est convergente et pour tout réel r , on a une majoration | A T unit − A T pure | ≪ e − r d ( T ) . Démonstration.
La preuve suit pas à pas les arguments de [LW, 13.4.1]. Toutd’abord on utilise [LW, 2.13.1] pour prouver la convergence de la série définissant A T pure . Puis, grâce au calcul approché du produit scalaire des séries d’Eisensteintronquées donné par 5.4.4 ( ii ) et compte-tenu de 5.4.5 pour le décalage en ν , onmontre qu’il existe un réel c > pour lequel on a la majoration souhaitée. (cid:3) Corollaire
Pour tout réel r , on a une majoration | A T − A T pure | ≪ d ( T ) − r . Démonstration.
On invoque de plus 13.3.1. (cid:3)
Décomposition de A T pure . On va décomposer la somme sur H ∈ C e GQ dans A T pure en une somme sur C e GQ précédée d’une somme sur A QQ grâce à la suite exactecourte → A QQ → C e GQ → C e GQ → . Considérons H ∈ C e GQ , Z ∈ C e GQ et Y ∈ a QQ tels que Z = H Q et Y = T QQ − H Q et donc H = Z + T QQ − Y .
Puisque κ ηT ( − Y ) = κ ηT ( Y ) , on a κ ηT ( H Q − T QQ ) e σ RQ ( H − T ) φ QQ ( H − T ) = κ ηT ( Y ) e σ RQ ( Z − T Q ) φ QQ ( − Y ) et T [[ H Q ]] = T [[ T QQ − Y ]] . En écrivant T − ( T QQ − Y ) = T Q + T Q + Y = X α ∈ ∆ x α ˇ α , on a T Q + Y = X α ∈ ∆ r ∆ Q x α ˇ α Q et T Q = X α ∈ ∆ r ∆ Q x α ˇ α Q où ˇ α Q est la projection de ˇ α dans a Q , d’où Y = X Q avec X = X α ∈ ∆ Q r ∆ Q x α ˇ α . D’après [LW, 4.2.1], on a T [[ H Q ]] = T [[ T QQ − Y ]] = T Q − X α ∈ ∆ Q r ∆ Q x α ˇ α Q = ( T − X ) Q . Lorsque φ QQ ( − Y ) = 1 on a x α ≥ pour α ∈ ∆ Q r ∆ Q et donc X appartient aucône C ( Q, Q ) de a Q engendré par les éléments ˇ α pour α ∈ ∆ Q r ∆ Q . On a donc H = H T − XZ où on a posé H UZ d´ef = Z + U QQ . L’application qui à Y associe X ∈ C ( Q, Q ) est injective et on note C F ( Q, Q ; T ) ⊂ C ( Q, Q ) son image. On a ainsi transformé la somme sur H ∈ C e GQ en une somme sur ( Z, X ) ∈ C e GQ × C F ( Q, Q ; T ) la fonction κ ηT ( H Q − T QQ ) e σ RQ ( H − T ) φ QQ ( H − T ) devenant κ ηT ( X Q ) e σ RQ ( Z − T ) . Pour Z ∈ A Q et X ∈ C F ( Q, Q ; T ) on pose ω T,Q ( Z, X ; λ, µ ; ν ) d´ef = X S ′ ∈ P Q X s ∈ W Q ( a θ S ) , a S ′ ) X t ∈ W Q ′ ( a S , a S ′ ) × ε Q , ( T − X ) S ′ S ′ ( H T − XZ ; sλ − tµ ) h M ( s, λ )Φ , M ( t, µ ) D − ν Ψ i S ′ . On a donc ω T [[ H Q ]] ,Q ( H T − XZ ; λ, µ ; ν ) = ω T,Q ( Z, X ; λ, µ ; ν ) . En remplaçant la variable t par t ′ t avec t ∈ W Q ′ ( a S , Q ) et t ′ ∈ W Q ( t ( a S ) , a S ′ ) ,et la variable s par t ′− s ∈ W Q ( θ ( a S ) , t ( a S )) cette expression peut s’écrire : X t ∈ W Q ′ ( a S ,Q ) X s ∈ W Q ( θ ( a S ) ,t ( a S )) X S ′ ∈ P Q X t ′ ∈ W Q ( t ( a S ) , a S ′ ) × ε Q , ( T − X ) S ′ S ′ ( H T − XZ ; t ′ ( sλ − tµ )) h M ( t ′ s, λ )Φ , M ( t ′ t, µ ) D − ν Ψ i S ′ . Le sous-groupe parabolique t ( S ) n’est en général pas standard mais il existe ununique sous-groupe parabolique standard t S ⊂ Q tel que M t ( S ) = M t S . On pose t M = M t S . On peut remplacer ci-dessus S ′ par t S . Alors la double somme en S ′ et t ′ se transforme en une somme sur l’ensemble P Q ( t M ) des S ′′ ∈ P Q tels que M S ′′ = t M : pour S ′ ∈ P Q st et t ′ ∈ W Q ( t ( a S ) , a S ′ ) , le sous-groupe parabolique S ′′ = t ′− ( S ′ ) appartient à P Q ( t M ) . Pour H ′ = t ′− ( H ) on a ε Q , ( T − X ) S ′ S ′ ( H ; t ′ ( sλ − tµ )) = ε Q , [ T − X ] S ′′ S ′′ ( H ′ ; sλ − tµ ) et h M ( t ′ s, λ )Φ , M ( t ′ t, µ ) D − ν Ψ i S ′ A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 95 égale h M ( t ′ , sλ ) M ( s, λ )Φ , M ( t ′ , tµ ) M ( t, µ ) D − ν Ψ i S ′′ . Notons que [ T − X ] S ′′ = t ′− (( T − X ) S ′ ) et donc [ T − X ] Q S ′′ = t ′− (( T − X ) Q S ′ ) D’après [LW, 4.3.5], on a M ( t ′ , tµ ) − M ( t ′ , sλ ) = e h sλ − tµ,Y S ′′ i M S ′ | S ′′ ( tµ ) − M S ′ | S ′′ ( sλ ) avec Y S ′′ = ( T − t ′− ( T )) S ′′ . En définitive, on obtient ω T,Q ( Z, X ; λ, µ ; ν ) = X t ∈ W Q ′ ( a S ,Q ) X s ∈ W Q ( θ ( a S ) ,t ( a S )) ω T,Q s,t ( Z, X ; λ, µ ; ν ) avec ω T,Q s,t ( Z, X ; λ, µ ; ν ) = X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ε Q , [ T − X ] S ′′ S ′′ ( H T − XZ ; sλ − tµ ) e h sλ − tµ,Y S ′′ i ×h M S ′′ | t S ( sλ ) M ( s, λ )Φ , M S ′′ | t S ( tµ ) M ( t, µ ) D − ν Ψ i S ′′ . On doit intégrer en µ la fonction ω T,Q ( Z, X ; µ ; ν ) d´ef = ω T,Q ( Z, X ; θ ( µ ) , µ + ν ; ν ) puis sommer en Z et X . Chaque expression ω T,Q s,t ( Z, X ; λ, µ ; ν ) est encore unefonction lisse de λ et µ , et l’on pose ω T,Q s,t ( Z, X ; µ ; ν ) d´ef = ω T,Q s,t ( Z, X ; θ ( µ ) , µ + ν ; ν ) . L’expression ω T,Q s,t ( Z, X ; µ ; ν ) ne dépend que de l’image de Z dans C e GQ = B e G \ A Q .Ces manipulations permettent d’écrire, au moins formellement, A T pure comme unesomme indexée par des éléments s et t dans des ensembles de Weyl : A T pure = X t ∈ W Q ′ ( a S ,Q ) X s ∈ W Q ( θ ( a S ) ,t ( a S )) A Ts,t où A Ts,t = | b S | − X ν ∈ E ( σ ) A Ts,t,ν avec A Ts,t,ν = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X X ∈C F ( Q,Q ; T ) κ ηT ( X Q ) Z µ S ω T,Q s,t ( Z, X ; µ ; ν ) d µ . On peut montrer, en reprenant des arguments de [LW, 13.4.1], déjà utilisés pour lapreuve de 13.4.4, que l’expression converge (dans l’ordre indiqué). Une autre preuvede la convergence de la série en Z résultera de 13.6.3 (A).Nous aurons besoin d’une variante de l’expression ω T,Q s,t ( Z, X ; λ, µ ; ν ) où la som-mation porte sur P Q ( t M ) , sans variable X et où le sous-groupe parabolique Q estremplacé par Q . On pose pour Z ∈ A Q : ω T,Qs,t ( Z ; λ, µ ; ν ) = X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ε Q, [ T ] S ′′ S ′′ ( Z ; sλ − tµ ) e h sλ − tµ,Y S ′′ i ×h M S ′′ | t S ( sλ ) M ( s, λ )Φ , M S ′′ | t S ( tµ ) M ( t, µ ) D − ν Ψ i S ′′ . C’est une fonction lisse de λ et µ . On pose ω T,Qs,t ( Z ; µ ; ν ) = ω T,Qs,t ( Z ; θ ( µ ) , µ + ν ; ν ) . et [ ω ] T,Qs,t ( Z ; µ ) = | b S | − X ν ∈ E ( σ ) ω T,Qs,t ( Z ; µ ; ν ) . Les expressions ω T,Qs,t ( Z ; µ ; ν ) ne dépendent que de l’image de Z dans C e GQ = B e G \ A Q . Proposition
On pose : A Ts,t = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) Z µ S [ ω ] T,Qs,t ( Z ; µ ) d µ . (i) L’expression A Ts,t est convergente dans l’ordre indiqué.(ii) Pour tout réel r , on a une majoration : | A Ts,t − A Ts,t | ≪ d ( T ) − r . Cette proposition est l’analogue de [LW, 13.5.1], l’un des résultats les plus finsdu livre. Sa démonstration occupera les deux sections suivantes.13.6.
Première étape.
Considérons l’application sθ − t : µ S → µ t S . On note χ S son noyau et η t S son image, et l’on pose η S = χ S \ µ S , χ t S = η t S \ µ t S . L’application ci-dessus se restreint en un isomorphisme ι : η S → η t S . La suiteexacte courte de groupes abéliens compacts → η t S → µ t S → χ t S → donne par dualité de Pontryagin une suite exacte courte de Z -modules libres detype fini → b χ t S → A t S → b η t S → . En relevant dans A t S une Z -base de b η t S , on définit un morphisme section dumorphisme A t S → b η t S ce qui fournit un isomorphisme entre A t S et le produit b χ t S × b η t S . Dualement cela permet d’identifier µ t S au produit χ t S × η t S et doncd’écrire Λ ∈ µ t S sous la forme Λ = Λ χ + Λ η ∈ χ t S × η t S via cette identification (non canonique), et on identifie de même µ S au produit η S × χ S . On définit un élément de µ S en posant, pour ( χ, Λ) ∈ χ S × µ t S , µ ( χ, Λ) = χ + ι − (Λ η ) . L’application χ S × µ t S → µ S × χ t S , ( χ, Λ) ( µ ( χ, Λ) , Λ χ ) est bijective et on a la relation (1) θ µ ( χ, Λ) = s − ( tµ ( χ, Λ) + Λ η ) . Posons λ ( χ, Λ) = s − ( tµ ( χ, Λ) + Λ) . Fixons ν ∈ µ S . Rappelons que t M = M t S et L = M Q . Pour χ ∈ χ S , Λ ∈ µ t S et S ′′ ∈ P Q ( t M ) , posons c ( χ ; Λ , S ′′ ; ν ) = h M S ′′ | t S ( sλ ( χ, Λ)) M ( s, λ ( χ, Λ))Φ , M S ′′ | t S ( tµ ( χ, Λ) + ν ) M ( t, µ ( χ, Λ) + ν ) D − ν Ψ i S ′′ . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 97
Les expressions c ( χ ; Λ , S ′′ ; ν ) , considérées comme des fonctions de Λ dépendant desparamètres χ et ν , définissent une ( Q, t M ) -famille périodique c ( χ ; ν ) . On définitaussi une ( Q, t M ) -famille périodique d ( χ ; ν ) = c ( Y , χ ; ν ) par d ( χ ; Λ , S ′′ ; ν ) = e h Λ ,Y S ′′ i c ( χ ; Λ , S ′′ ; ν ) . En se limitant aux S ′′ ∈ P Q ( t M ) , on obtient des ( Q , t M ) -familles périodiques.Pour Z ∈ A Q , resp. H ∈ A Q , et X ′ ∈ a , Q , on leurs associe les fonctions d Q,X ′ t M,F ( Z, χ ; Λ; ν ) = X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ε Q, [ X ′ ] S ′′ S ′′ ( Z ; Λ) d ( χ ; Λ , S ′′ ; ν ) et d Q ,X ′ t M,F ( H, χ ; Λ; ν ) = X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ε Q , [ X ′ ] S ′′ S ′′ ( H ; Λ) d ( χ ; Λ , S ′′ ; ν ) . Ces fonctions sont lisses en χ et Λ . Lemme
Soient Z ∈ C e GQ , χ ∈ χ S , Λ ∈ η t S et X ∈ C + F ( Q, Q ; T ) . On a leségalités ( i ) ω T,Q s,t ( Z, X ; µ ( χ, Λ); ν ) = d Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; Λ; ν ) . et ( ii ) ω T,Qs,t ( Z ; µ ( χ, Λ); ν ) = d Q,T t M,F ( Z, χ ; Λ; ν ) . Démonstration.
Rappelons que, par définition, ω T,Q s,t ( Z, X ; λ, µ ; ν ) = X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ε Q , [ T − X ] S ′′ S ′′ ( H T − XZ ; sλ − tµ ) e h Y S ′′ ,sλ − tµ i ×h M S ′′ | t S ( sλ ) M ( s, λ )Φ , M S ′′ | t S ( tµ ) M ( t, µ ) D − ν Ψ i S ′′ . Pour Z ∈ A Q et Λ ∈ µ S en position générale, on a d Q,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; Λ; ν ) = ω T,Q s,t ( Z, X ; λ ( χ, Λ) , µ ( χ, Λ) + ν ; ν ) . Mais, d’après la relation (1) on a λ ( χ, Λ) = θ µ ( χ, Λ) + s − (Λ χ ) . On obtient ( i ) pour Λ χ = 0 . La preuve de ( ii ) est similaire. (cid:3) On munit χ S et η t S des mesures de Haar telles que vol( χ S ) = 1 = vol( η t S ) . Enposant, comme ci-dessus, H T − XZ = Z + ( T − X ) QQ , l’expression A Ts,t,ν se récrit A Ts,t,ν = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X X ∈C F ( Q,Q ; T ) κ ηT ( X Q ) × Z χ S Z η tS d Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; Λ; ν ) dΛ ! d χ . Pour Z ∈ A Q , S ′′ ∈ P Q ( t S ) , V ∈ A t S et X ′ ∈ a , Q , on pose b d ( χ ; V, S ′′ ; ν ) = Z µ tS d ( χ ; Λ , S ′′ ; ν ) e −h Λ ,V i dΛ et b d Q,X ′ t M,F ( Z, χ ; V ; ν ) = Z µ tS d Q,X ′ t M,F ( Z, χ ; Λ; ν ) e −h Λ ,V i dΛ . Pour H ∈ A Q , on définit de manière analogue b d Q ,X ′ t M,F ( H, χ ; V ; ν ) . Ces fonctionssont à décroissance rapide en V . Notons D t S d´ef = η ∨ t S ⊂ A t S l’annulateur de η t S ( ⊂ µ t S ) dans A t S . Lemme
On a A Ts,t,ν = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X X ∈C F ( Q,Q ; T ) κ ηT ( X Q ) Z χ S X V ∈ D tS b d Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; V ; ν ) d χ . Démonstration.
Il suffit d’observer que par inversion de Fourier on a Z η tS d Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; Λ; ν ) dΛ = X V ∈ D tS b d Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; V ; ν ) . (cid:3) Il résultera du lemme 13.6.3 (qui est l’analogue de [LW, 13.6.3]) que cette ex-pression est absolument convergente.
Lemme
Fixons un réel ρ > , et considérons les cinq expressions : ( A ) X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X X ∈C F ( Q,Q ; T ) Z χ S X V ∈ D tS | b d Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; V ; ν ) | d χ ;( B ) X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X X ∈C F ( Q,Q ; T ) (1 − κ ηT ( X Q )) Z χ S X V ∈ D tS | b d Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; V ; ν ) | d χ ;( C ) X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X X ∈C F ( Q,Q ; T ) Z χ S X V ∈ D tS (1 − κ ρT ( V )) | b d Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; V ; ν ) | d χ ;( D ) X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) Z χ S X V ∈ D tS | b d Q,T t M,F ( Z, χ ; V ; ν ) | d χ ;( E ) X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) Z χ S X V ∈ D tS (1 − κ ρT ( V )) | b d Q,T t M,F ( Z, χ ; V ; ν ) | d χ . Alors on a :(i) Les cinq expressions sont convergentes.(ii) Pour tout réel r , l’expression (B) est essentiellement majorée par d ( T ) − r .(iii) Il existe une constante absolue ρ > telle que si ρ > ρ , alors pour tout réel r , les expressions (C) et (E) sont essentiellement majorées par d ( T ) − r . Admettons provisoirement ce lemme prouvé au paragraphe suivant. D’après1.5.1, pour chaque χ ∈ χ S (le paramètre ν étant fixé), il existe une fonction àdécroissance rapide ϕ = ϕ ( χ ; ν ) : U ϕ ( U ) = ϕ ( χ ; U ; ν ) A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 99 sur H Q, t M telle que c ( χ ; ν ) = c ϕ . Rappelons que c ( χ ; ν ) est la ( Q, t M ) -famillepériodique définie par c ( χ ; Λ , S ′′ ; ν ) = h M S ′′ | t S ( sλ ( χ, Λ)) M ( s, λ ( χ, Λ))Φ , M S ′′ | t S ( tµ ( χ, Λ) + ν ) M ( t, µ ( χ, Λ) + ν ) D − ν Ψ i S ′′ et que l’on a posé d ( χ ; ν ) = c ( Y , χ ; ν ) . Pour H ∈ A Q et X ′ ∈ a , Q , on a donc d Q ,X ′ t M,F ( H, χ ; Λ; ν ) = X U ∈ H Q ,tM ϕ ( U − Y ) γ Q ,X ′ t M,F ( H, U ; Λ) avec γ Q ,X ′ t M,F ( H, U ; Λ) = X H ′ ∈ A Q tM ( H + U Q ) Γ Q t M ( H ′ , U ( X ′ )) e h Λ ,H ′ i . Pour Z ∈ A Q et X ∈ C + F ( Q, Q ; T ) , on obtient d Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; Λ; ν ) = X U ∈ H Q ,tM ϕ ( U − Y ) γ Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , U ; Λ) . On a aussi d Q,T t M,F ( Z, χ ; Λ; ν ) = X U ∈ H Q,tM ϕ ( U − Y ) γ Q,T t M,F ( Z, U ; Λ) . On introduit comme ci-dessus des transformées de Fourier inverses V b γ Q ,X ′ t M,F ( H, U ; V ) et V b γ Q,X ′ t M,F ( Z, U ; V ) le paramètre V variant dans A t M . Par inversion de Fourier, on a b γ Q,X ′ t M,F ( Z, U ; V ) = (cid:26) Γ Q t M ( V, U ( X ′ )) si Z + U Q = V Q sinon . On en déduit que b d Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; V ; ν ) = X U ∈ H Q ,tM H T − XZ + U Q = V Q ϕ ( χ ; U − Y ; ν )Γ Q t M ( V, U ( T − X )) et b d Q,T t M,F ( Z, χ ; V ; ν ) = X U ∈ H Q,tM Z + U Q = V Q ϕ ( χ ; U − Y ; ν )Γ Q t M ( V, U ( T )) . Fixons un réel ρ > ρ comme dans le point ( iii ) et posons E T = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) Z χ S X V ∈ D tS κ ρT ( V ) X X ∈C F ( Q,Q ; T ) b d Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; V ; ν ) d χ . D’après 13.6.2 et les assertions du lemme 13.6.3 concernant les expressions (A), (B)et (C), l’expression E T est absolument convergente, et pour tout réel r , on a unemajoration | A Ts,t,ν − E T | ≪ d ( T ) − r .
00 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE
Notons R + t S l’ensemble des racines de A t M qui sont positives pour le sous-groupe pa-rabolique standard t S . Pour tout S ′′ ∈ P Q ( t M ) , notons a ( S ′′ ) le nombre d’élémentde ( − ∆ S ′′ ) ∩ R + t S – ou encore de ( − ∆ Q S ′′ ) ∩ R + t S – et C Q ( S ′′ ) ⊂ a Q t M le cône formé des X α ∈ ∆ Q S ′′ ∩ R + tS x α ˇ α + X α ∈ ( − ∆ Q S ′′ ) ∩ R + tS y α ˇ α pour des x α ≥ et des y α > . Pour Y ∈ a Q t M + A Q , on pose C Q F ( Y ; S ′′ ) = (cid:0) Y + C Q ( S ′′ ) (cid:1) ∩ A t M ⊂ A Q t M ( Y Q ) . Notons que pour H ∈ A t M , on a C Q F ( H + Y ; S ′′ ) = H + C Q F ( Y ; S ′′ ) . En remplaçant les exposants Q par Q , on définit de la même manière C Q ( S ′′ ) ⊂ a Q t M et C QF ( Y ; S ′′ ) ⊂ A t M . Lemme
Pour Z ∈ A Q , χ ∈ χ S , V ∈ A t M et X ∈ C F ( Q, Q ; T ) , on a b d Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; V ; ν ) = X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ( − a ( S ′′ ) X V ∈C Q F ( − H T − XZ,S ′′ ; S ′′ ) b d ( χ ; V + V , S ′′ ; ν ) avec H T − XZ,S ′′ d´ef = Z + [ T − X ] QS ′′ . Démonstration.
On rappelle que H T − XZ = Z + ( T − X ) QQ ∈ A Q . On a b d Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , χ ; V ; ν ) = X U ∈ H Q ,tM ϕ ( χ ; U − Y ; ν ) b γ Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , U ; V ) avec b γ Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , U ; V ) = (cid:26) Γ Q t M ( V, U ( T − X )) si H T − XZ + U Q = V Q sinon . Le lemme 1.6.1 nous dit que Γ Q t M ( V, U ( T − X )) = X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ( − a ( S ′′ ) C Q ( S ′′ ) (cid:0) ([ T − X ] S ′′ + U S ′′ − V ) Q (cid:1) où C Q ( S ′′ ) est la fonction caractéristique du cône C Q ( S ′′ ) . On obtient b γ Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , U ; V ) = X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ( − a ( S ′′ ) × (cid:26) C Q ( S ′′ ) (cid:0) ([ T − X ] S ′′ + U S ′′ ) Q − V (cid:1) si H T − XZ + U Q = V Q sinonsoit encore b γ Q ,T − X t M,F ( H T − XZ , U ; V ) = X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ( − a ( S ′′ ) C Q ( S ′′ ) ( Y ) A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 101 avec Y = Z + ( T − X ) QQ + [ T − X ] Q S ′′ + U S ′′ − V = H T − XZ,S ′′ + U S ′′ − V .
La condition Y ∈ C Q ( S ′′ ) équivaut à U S ′′ ∈ V + C Q F ( − H T − XZ,S ′′ ; S ′′ ) et implique que U Q = V Q − H . D’autre part on a, par définition, d ( χ ; Λ , S ′′ ; ν ) = X U ∈ H Q ,tM ϕ ( χ ; U − Y ; ν ) e h Λ ,U ′′ S i et donc, par inversion de Fourier, b d ( χ ; V, S ′′ ; ν ) = X U ∈ H Q ,tM U S ′′ = V ϕ ( χ ; U − Y ; ν ) . Par conséquent, on a X U ∈ H Q ,tM ϕ ( χ ; U − Y ; ν ) V + C Q F ( − H T − XZ,S ′′ ; S ′′ ) ( U S ′′ ) = X V ∈C Q F ( − H T − XZ,S ′′ ; S ′′ ) b d ( χ ; V + V ; ν ) ce qui prouve le lemme. (cid:3) D’après 13.6.4, la somme sur X dans l’expression E T devient (2) X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ( − a ( S ′′ ) X X ∈C F ( Q ,Q ; T ) X V ∈C Q F ( − H T − XZ,S ′′ ; S ′′ ) b d ( χ ; V + V , S ′′ ; ν ) . L’expression (2) est bien absolument convergente.
Lemme
Pour Z ∈ A Q , χ ∈ χ S et V ∈ D t S b d Q,T t M,F ( Z, χ ; V ; ν ) X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ( − a ( S ′′ ) X V ∈C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) b d ( χ ; V + V , S ′′ ; ν ) . avec H TZ,S ′′ d´ef = Z + [ T ] QS ′′ . Démonstration.
Elle est identique à celle du lemme 13.6.4. (cid:3)
Pour S ′′ ∈ P Q ( t M ) , il résulte des définitions que l’application C ( Q, Q ) × C Q ( S ′′ ) → a Q t M définie par ( X, V ) [ X ] QS ′′ + V est injective et a pour image le cône C Q ( S ′′ ) . Pour X ∈ C F ( Q, Q ; T ) , tout élément V ∈ C Q F ( − H T − XZ,S ′′ ; S ′′ ) s’écrit V = − H T − XZ,S ′′ + V ∗ = − H TZ,S ′′ + V ∗ avec V ∗ ∈ C Q ( S ′′ ) et V ∗ = [ X ] QS ′′ + V ∗ ∈ C Q ( S ′′ ) . Par définition V appartient à C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) . Réciproquement, tout élément V ∈ C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) s’écrit V = − H TZ,S ′′ + [ X ] QS ′′ + V ∗ = − H T − XZ,S ′′ + V ∗ avec X ∈ C ( Q, Q ) et V ∗ ∈ C Q ( S ′′ ) . Donc V appartient à C Q F ( − H T − XZ,S ′′ ; S ′′ ) , etcomme ( V ) Q = − Z − ( T − X ) QQ = − H T − XZ ,
02 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE par définition X appartient à C F ( Q, Q ; T ) . L’expression (2) se récrit donc X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ( − a ( S ′′ ) X V ∈C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) b d ( χ ; V + V , S ′′ ; ν ) soit encore, d’après 13.6.5, b d Q,T t M,F ( Z, χ ; V ; ν ) − X S ′′ ∈ P Q ( t M ) r P Q ( t M ) ( − a ( S ′′ ) X V ∈C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) b d ( χ ; V + V , S ′′ ; ν ) . On en déduit l’égalité (3) E T = E T − E T où E T = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) Z χ S X V ∈ D tS κ ρT ( V ) b d Q,T t M,F ( Z, χ ; V ; ν ) d χ et E T = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) Z χ S X V ∈ D tS κ ρT ( V ) × X S ′′ ∈ P Q ( t M ) r P Q ( t M ) ( − a ( S ′′ ) X V ∈C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) b d ( χ ; V + V , S ′′ ; ν ) . La décomposition (3) est justifiée car l’expression E T est absolument convergented’après 13.6.3(D) et donc E T est convergente au moins dans l’ordre indiqué. Lemme
Pour S ′′ ∈ P Q ( t M ) r P Q ( t M ) , posons E TS ′′ = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) Z χ S X V ∈ D tS κ ρT ( V ) X V ∈C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) | b d ( χ ; V + V , S ′′ ; ν ) | d χ . Pour tout réel r , on a une majoration de la forme E TS ′′ ≪ d ( T ) − r . Admettons ce lemme (qui sera lui aussi prouvé dans le paragraphe suivant), etposons E T = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) Z χ S X V ∈ D tS b d Q,T t M,F ( Z, χ ; V ; ν ) d χ . L’expression E T est absolument convergente et d’après l’assertion ( iii ) du lemme13.6.3 concernant l’expression (E), pour tout réel r , on a | E T − E T | ≪ d ( T ) − r . Par inversion de Fourier de la somme sur V dans E T , on a E T = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) Z χ S Z η tS d Q,T t M,F ( Z, χ ; Λ; ν ) dΛ ! d χ . avec (d’après 13.6.1 ( ii ) ) d Q,T t M,F ( Z, χ ; Λ; ν ) = ω T,Qs,t ( Z ; µ ( χ, Λ); ν ) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 103
L’expression E T est convergente dans l’ordre indiqué. On peut regrouper les inté-grales en χ et Λ grâce au changement de variables ( χ, Λ) µ ( χ, Λ) . On obtient E T = A Ts,t,ν d´ef = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) Z µ S ω T,Qs,t ( Z ; µ ; ν ) d µ . On a prouvé que pour tout réel r , on a | A Ts,t,ν − A Ts,t,ν | ≪ d ( T ) − r . ce qui achève la preuve de 13.5.1 modulo les majorations 13.6.3 et 13.6.6 qui serontétablies dans la section suivante.13.7. Fin de la preuve.
Avant d’attaquer la démonstration proprement dite deslemmes 13.6.3 et 13.6.6, on établit une variante du lemme 1.6.12. Soit Z ∈ A Q .Pour P ′ ∈ F Q ( t M ) , U ∈ A P ′ et X ∈ a P ′ , considérons l’expression γ Q,UP ′ ,F ( Z ; X, Λ) d´ef = X H ∈ A QP ′ ( Z ) Γ QP ′ ( H − X, U ) e h Λ ,H i . Puisque la somme sur H est finie, c’est une fonction entière en Λ . Pour V ∈ A P ′ ,sa transformée de Fourier inverse b γ Q,UP ′ ,F ( Z ; X, V ) = Z µ P ′ γ Q,UP ′ ,F ( Z ; X, Λ) e −h Λ ,V i dΛ est donnée par b γ Q,UP ′ ,F ( Z ; X, V ) = (cid:26) Γ QP ′ ( V − X, U ) si Z = V Q sinonSoit e une ( Q, t M ) -famille périodique donnée par une fonction à décroissance rapide m sur H Q, t M . La fonction e QP ′ ,F ( Z ; X, Λ) = X U ∈ H Q,tM m ( U ) γ Q,U P ′ P ′ ,F ( Z + U Q ; X, Λ) est lisse en Λ . Pour V ∈ A P ′ , on définit comme ci-dessus les transformées de Fourierinverses b e QP ′ ,F ( Z ; X, V ) et b e ( V, P ′ ) . Ce sont des fonctions à décroissance rapide en V ∈ A P ′ . Lemme
Pour V ∈ A P ′ , on a b e QP ′ ,F ( Z ; X, V ) = X U ∈ A QP ′ ( V Q − Z ) b e ( U, P ′ )Γ QP ′ ( V − X, U ) . De plus pour tout réel r , il existe une constante c > telle que | b e QP ′ ,F ( Z ; X, V ) | ≤ c (cid:0) k V − Z − X Q k (cid:1) − r Démonstration.
On a b e QP ′ ,F ( Z ; X, V ) = X U ∈ H Q,tM Z + U Q = V Q m ( U )Γ QP ′ ( V − X, U P ′ ) avec, pour U ∈ A P ′ , X U ∈ H Q,tM U P ′ = U m ( U ) = Z µ P ′ e (Λ , P ′ ) e −h Λ ,U i dΛ = b e ( U, P ′ ) .
04 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE
D’où la première assertion du lemme. Quant à la majoration, pour
V, U ∈ A P ′ telsque Γ QP ′ ( V − X, U ) , on a k ( V − X ) Q k ≪ k U Q k . Si de plus Z + U Q = V Q , alorspuisque V − Z − X Q = U Q + ( V − X ) Q , on a k V − Z − X Q k ≪ k U Q k + k ( V − X ) Q k ≪ k U k . On obtient que pour tout réel r > , l’expression | b e QP ′ ,F ( Z ; X, V ) | (1 + k V − Z − X Q k ) r est essentiellement majorée par X U ∈ A QP ′ ( V Q − Z ) b e ( U, P ′ ) | (1 + k U k ) r Cette somme converge car b e ( U, P ′ ) est à décroissance rapide en U . (cid:3) Démonstration du lemme 13.6.3.
On reprend en l’adaptant celle de [LW, 13.6.3].Commençons par l’expression (D). D’après 1.6.12, pour V ∈ A t M , on a b d Q,T t M,F ( Z, χ ; V ; ν ) = X U ∈ H Q,tM Z + U Q = V Q ϕ ( χ ; U − Y ; ν )Γ Q t M ( V, U ( T )) avec (d’après [LW, 1.8.6]) Γ Q t M ( V, U ( T )) = X P ′ ∈ F Q ( t M ) Γ P ′ t M ( V, T )Γ QP ′ ( V P ′ − [ T ] P ′ , U P ′ ) . On obtient b d Q,T t M,F ( Z, χ ; V ; ν ) = X P ′ ∈ F Q ( t M ) Γ P ′ t M ( V, T ) b d QP ′ ,F ( Z, χ ; [ T ] P ′ , V P ′ ; ν ) avec, pour X ∈ a P ′ et V ′ ∈ A P ′ , b d QP ′ ,F ( Z, χ ; X, V ′ ; ν ) d´ef = X U ∈ H Q,tM U Q = V ′ Q − Z ϕ ( χ ; U − Y ; ν )Γ QP ′ ( V ′ − X, U P ′ ) . soit encore (d’après 13.7.1) b d QP ′ ,F ( Z, χ ; X, V ′ ; ν ) = X U ∈ A QP ′ ( V ′ Q − Z ) b d ( χ ; U, P ′ ; ν )Γ QP ′ ( V ′ − X, U ) . L’expression (D) est donc majorée par X P ′ ∈ F Q ( t M ) I T ( D ) ( P ′ ) avec I T ( D ) ( P ′ ) = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) Z χ S X V ∈ D tS Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) | b d QP ′ ,F ( Z, χ ; [ T ] P ′ , V P ′ ; ν ) | d χ .
38. Rapelons que puisque l’élément T est régulier, la famille orthogonale T est régulière, etd’après [LW, 1.8.7] la fonction H Γ P ′ t M ( H, T ) est la fonction caractéristique d’un ensemble quise projette sur un compact convexe de a P ′ t M . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 105
Fixons un P ′ ∈ F Q ( t M ) . L’élément T étant fixé, d’après [LW, 1.8.5] il existe uneconstante c > telle que pour tout V ∈ a t S tel que Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) = 0 , on ait k V P ′ k ≤ c . Pour X ∈ a P ′ , la fonction b d QP ′ ,F ( Z, χ ; X, V ′ ; ν ) est à décroissance rapideen V ′ ∈ A P ′ , uniformément en χ , par conséquent l’expression Z χ S X V ∈ D tS Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) | b d QP ′ ,F ( Z, χ ; [ T ] P ′ , V P ′ ; ν ) | d χ est convergente et, en posant φ ( Z, X, V ′ ) d´ef = Z χ S | b d QP ′ ,F ( Z, χ ; X, V ′ ; ν ) | d χ on a I T ( D ) ( P ′ ) = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X V ∈ D tS Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) φ ( Z, [ T ] P ′ , V P ′ ) . Le groupe D t S est par définition l’annulateur de η t S = ( sθ − t ) µ S ⊂ µ t S dans A t S . On a donc D t S = ker (cid:0) θ − s − (1 − wθ ) : A t S → A S (cid:1) avec w = sθ ( t ) − soit encore D t S = ker (1 − wθ : A t S → A t S )) . Posons d t S = ker (cid:0) − wθ : a t S → a θ ( t S ) ) (cid:1) et d P ′ = d t S ∩ a P ′ . Soit e P ′ l’orthogonal de d P ′ dans a P ′ . On note V ′ V ′ d , resp. V ′ V ′ e , la projectionorthogonale de a P ′ = d P ′ ⊕ e P ′ sur d P ′ , resp. e P ′ . Posons d ( P ′ ) t S = d t S ∩ ( a P ′ t S ⊕ e P ′ ) . On a la décomposition (1) d t S = d P ′ ⊕ d ( P ′ ) t S et la projection a t S → a P ′ t S , V V P ′ est injective sur d ( P ′ ) t S . Posons D P ′ d´ef = D t S ∩ a P ′ = A t S ∩ d P ′ , et notons D ♭P ′ et D ( P ′ ) t S les projections orthogonales de D t S sur d P ′ et d ( P ′ ) t S pour ladécomposition (1). On a l’inclusion D P ′ ⊂ D ♭P ′ (avec égalité si P ′ = t S ) et la suiteexacte courte (2) 0 → D P ′ → D t S → D ( P ′ ) t S → . On décompose la somme P V ∈ D tS en une double somme X V ∈ D ( P ′ ) tS X V ∈ D P ′ ( V ) où D P ′ ( V ) ⊂ D t S est la fibre au-dessus de V pour la suite exacte courte (2).L’expression I T ( D ) ( P ′ ) se récrit I T ( D ) ( P ′ ) = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X V ∈ D ( P ′ ) tS Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) φ e ( Z, [ T ] P ′ , V )
06 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE avec φ e ( Z, X, V ) d´ef = X V ∈ D P ′ ( V ) φ ( Z, X, V P ′ ) . On a φ e ( Z, X, V ) ≪ φ ♭e ( Z, X ) d´ef = X V ′ ∈ D ♭P ′ φ ( Z, X, V ′ ) . Observons que φ ( Z, X, V ′ ) = φ (0 , X − Z ′ , V ′ − Z ′ ) où Z ′ est un relèvement de Z dans A P ′ . On en déduit que les fonctions φ e ( Z, X, V ) et φ ♭e ( Z, X ) ne dépendent que Z e et qu’elles sont à décroissance rapide en Z e .D’autre part, puisque la projection V V P ′ est injective sur D ( P ′ ) t S , la somme X V ∈ D ( P ′ ) tS Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) est finie. D’où la majoration I T ( D ) ( P ′ ) ≪ X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) φ ♭e ( Z, [ T ] P ′ ) . D’après [LW, 13.6.(10)], on a l’inclusion (3) d t S ⊂ ker( q Q ) où q Q : a → a e GQ est l’application définie en 2.3. Rappelons que cette application estlégèrement différente de celle de [LW, 2.13] (au lieu de projeter sur a GQ , on projetteici sur a e GQ ). L’inclusion (3) entraîne l’analogue de la majoration [LW, 13.6.(9)] : (4) k ( Z − T Q ) e G k ≪ k ( Z − T Q ) e k pour tout Z ∈ a Q tel que e σ RQ ( Z − T ) = 1 . On en déduit que k Z e G k ≪ k Z e k pour tout Z ∈ A Q tel que e σ RQ ( Z − T ) = 1 . Celaentraîne la convergence de I T ( D ) ( P ′ ) et achève la preuve de la convergence de (D).Considérons maintenant l’expression (E). On voit comme ci-dessus qu’elle estmajorée par X P ′ ∈ F Q ( t M ) I T ( E ) ( P ′ ) avec I T ( E ) ( P ′ ) = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X V ∈ D tS (1 − κ ρT ( V ))Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) φ ( Z, [ T ] P ′ , V P ′ ) soit encore I T ( E ) ( P ′ ) = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X V ∈ D ( P ′ ) tS Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) × X V ∈ D P ′ ( V ) (1 − κ ρT ( V )) φ ( Z, [ T ] P ′ , V P ′ ) . Fixons ρ ′ > , pour l’instant arbitraire. Pour alléger l’écriture, posons Z T d´ef = Z − T Q ∈ a Q . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 107
Observons que e σ RQ ( Z − T ) = e σ RQ ( Z T ) = e σ RQ ( Z e GT ) . On majore I T ( E ) ( P ′ ) par I T ( E ) , ≥ ( P ′ ) + I T ( E ) ,< ( P ′ ) où I T ( E ) , ≥ ( P ′ ) , resp. I T ( E ) ,< ( P ′ ) , est l’expression obtenue en remplaçant la fonction e σ RQ ( Z − T ) par e σ RQ ( Z T )(1 − κ ρ ′ T ( Z T )) , resp. e σ RQ ( Z T ) κ ρ ′ T ( Z T ) , dans I T ( E ) ( P ′ ) . Oncommence par majorer I T ( E ) , ≥ ( P ′ ) . On peut choisir ρ ′′ > tel que (1 − κ ρ ′ T ( Z T )) = 1 (c’est-à-dire k Z T k > ρ ′ k T k ) implique k Z e GT k > ρ ′′ k T k . Alors on a I T ( E ) , ≥ ( P ′ ) ≪ X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z e GT )(1 − κ ρ ′′ T ( Z e GT )) X V ∈ D ( P ′ ) tS Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) φ e ( Z, [ T ] P ′ , V ) . Pour tout V ∈ D P ′ ( V ) la projection orthogonale V P ′ ,e de V P ′ sur e P ′ ne dépendque de V , et on la note V ,e . D’après le lemme 13.7.1, pour tout réel r on a unemajoration (5) φ e ( Z, X, V ) ≪ (1 + k V ,e − Z T,e − X e k ) − r où la constante implicite est absolue, c’est-à-dire ne dépend d’aucune variable. Laconstante implicite dans la majoration (4) est elle aussi absolue. Comme dans lapreuve de [LW, 13.6.3, page 203] on montre que l’on peut choisir ρ ′′ tel que lacondition e σ RQ ( Z e GT )(1 − κ ρ ′′ T ( Z e GT ))Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) = 1 entraîne une majoration k Z e GT k ≪ k V ,e − Z T,e − [ T ] P ′ ,e k . Pour tout réel r on a donc une majoration I T ( E ) , ≥ ( P ′ ) ≪ X Z ∈ C e GQ (1 − κ ρ ′′ T ( Z e GT ))(1 + k Z e GT k ) − r X V ∈ D ( P ′ ) tS Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) . La somme en V est essentiellement majorée par k T k D pour un certain entier D ,et la somme en Z est essentiellement majorée par k T k − r . D’où la majoration I T ( E ) , ≥ ( P ′ ) ≪ d ( T ) − r . Traitons maintenant I T ( E ) ,> ( P ′ ) . Grâce à la suite exacte courte (6) 0 → D P ′ t S d´ef = D t S ∩ d ( P ′ ) t S → D t S → D ♭P ′ → , on peut décomposer la somme P V ∈ D tS en une double somme X V ′ ∈ D ♭P ′ X V ∈ D P ′ tS ( V ′ )
39. Voir toutefois l’erratum (xi) de l’annexe A.
08 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE où D P ′ t S ( V ′ ) est la fibre au-dessus de V ′ dans D t S pour la suite exacte courte (6).On a donc I T ( E ) ,< ( P ′ ) = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) κ ρ ′ T ( Z T ) X V ′ ∈ D ♭P ′ φ ( Z, [ T ] P ′ , V ′ ) × X V ∈ D P ′ tS ( V ′ ) (1 − κ ρT ( V ))Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) . Comme dans la preuve de [LW, 13.6.3], il existe une constante c > telle quepour tout V ∈ D t S tel que Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) = 1 , on ait la majoration k V k ≤ c k T k où V = V − V d est l’image de V dans D ( P ′ ) t S . Si ρ > c , en ajoutant la condition (1 − κ ρT ( V )) = 1 c’est-à-dire ρ k T k < k V k , on obtient k V d k > ( ρ − c ) k T k c’est-à-dire (1 − κ ( ρ − c ) T ( V d )) = 1 . En particulier V d = 0 et l’espace d P ′ n’est pas nul. Ilexiste c > tel que la condition κ ρ ′ T ( Z T ) = 1 c’est-à-dire k Z T k ≤ ρ ′ k T k entraîne k Z T,d + [ T ] P ′ ,d k ≤ c k T k . En prenant ρ > c + c , on obtient que la condition κ ρ ′ T ( Z T )(1 − κ ρT ( V ))Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) = 1 entraîne l’inégalité k V d − Z T,d − [ T ] P ′ ,d k ≥ ( ρ − ( c + c )) k T k > (cid:18) − c ρ − c (cid:19) k V d k . Grâce au lemme 13.7.1, on en déduit que pour tout réel r l’expression I T ( E ) ,< ( P ′ ) est essentiellement majorée par X Z ∈ C e GQ κ ρ ′ T ( Z e GT ) X V ′ ∈ D ♭tS (1 + k V ′ k ) − r (1 − κ ( ρ − c ) T ( V ′ )) X V ∈ D ( P ′ ) tS Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) . Les sommes en Z et en V sont essentiellement majorées par k T k D pour un entier D convenable, et pour tout réel r la somme sur V ′ est essentiellement majorée par k T k − r . D’ou une majoration I T ( E ) ,< ( P ′ ) ≪ d ( T ) − r . qui, jointe à la majoration I T ( E ) , ≥ ( P ′ ) ≪ d ( T ) − r , assure la convergence de l’ex-pression (E) et l’assertion de ( iii ) la concernant.Considérons maintenant l’expression (A). Comme pour (D), on obtient qu’elleest essentiellement majorée par X P ′ ∈ F Q ( t M ) I T ( A ) ( P ′ ) avec I T ( A ) ( P ′ ) = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X X ∈C F ( Q,Q ; T ) × X V ∈ D tS | Γ P ′ t M ( V P ′ , T − X ) | ψ ( H T − XZ , [ T − X ] P ′ , V P ′ ) et ψ ( H, Y, V ′ ) d´ef = Z χ S | b d Q P ′ ,F ( H, χ ; Y, V ′ ; ν ) | d χ . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 109
Ici T − X est la famille orthogonale ([ T − X ] P ′ ) . Elle est rationnelle si T ∈ a , Q .Fixons un P ′ ∈ F Q ( t M ) . Rappelons que e P ′ est l’orthogonal de d P ′ = d t S ∩ a P ′ dans a P ′ , et qu’on a noté V ′ V ′ e la projection orthogonale de a P ′ = d P ′ ⊕ e P ′ sur e P ′ . Comme pour (D), l’expression I T ( A ) ( P ′ ) se récrit I T ( A ) ( P ′ ) = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X X ∈C F ( Q,Q ; T ) × X V ∈ D ( P ′ ) tS | Γ P ′ t M ( V P ′ , T − X ) | ψ e ( H T − XZ , [ T − X ] P ′ , V ) avec ψ e ( H, Y, V ) d´ef = X V ∈ D P ′ ( V ) ψ ( H, Y, V P ′ ) . D’après le lemme 13.7.1, pour tout réel r on a une majoration ψ e ( H, Y, V ) ≪ (1 + k V ,e − ( H + Y Q ) e k ) − r . Pour H = H T − XZ = Z + ( T − X ) QQ et Y = [ T − X ] P ′ , on a H + Y Q = Z + [ T − X ] QP ′ = Z T − X + [ T − X ] P ′ avec Z T − X = Z − ( T − X ) Q . Comme X appartient à C F ( Q, Q ; T ) ⊂ a Q , on a Z T − X = Z T . Notons d ♭Q ⊂ a Q l’image de d t S par la projection V V Q , et soit h l’orthogonal de d ♭Q dans a Q . Puisque d Q = d P ′ ∩ a Q ⊂ d ♭Q , on a l’inclusion h ⊂ e P ′ . Notons h ⊥ l’orthogonal de h dans e P ′ , et V V h = V P ′ ,h la projection orthogonale de a = a P ′ ⊕ d P ′ ⊕ h ⊕ h ⊥ sur h . Pour V ∈ d t S , on a V h = 0 . D’autre part puisque la projection V V h sefactorise à travers V V Q , on a [ T − X ] P ′ ,h = ( T − X ) h = T h − X h . Pour toutréel r , on obtient une majoration ψ e ( H T − XZ , [ T − X ] P ′ , V ) ≪ (1 + k Z T,h + T h − X h k ) − r . Or d’après [LW, 13.6.(13), p. 204], pour tout Z ∈ C e GQ tel que e σ RQ ( Z T ) = 1 et tout X ∈ C ( Q, Q ) , on a une majoration (7) k Z e GT k + k X k ≪ k Z T,h + T h − X h k . Comme k Z e G k ≪ k Z e GT k , pour tout réel r , on obtient une majoration I T ( A ) ( P ′ ) ≪ X Z ∈ C e GQ X X ∈C F ( Q,Q ; T ) (1 + k Z e G k + k X k ) − r X V ∈ D ( P ′ ) tS | Γ P ′ t M ( V P ′ , T − X ) | . Puisque l’application V V P ′ est injective, la somme en V est essentiellementmajorée par k T k D + (1 + k X k ) D
10 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE pour un entier D convenable. On en déduit que pour pour tout réel r , on a unemajoration (8) I T ( A ) ( P ′ ) ≪ X Z ∈ C e GQ X X ∈C F ( Q,Q ; T ) k T k D (1 + k Z e G k ) − r (1 + k X k ) − r . Cela prouve la convergence de l’expression (A).Quant aux deux expressions restantes ((B) et (C)), leur convergence se déduitdes raisonnements précédents comme dans la preuve de du lemme [LW, 13.6.3].Idem pour la majoration du point ( ii ) de l’énoncé. Cela achève la preuve du lemme13.6.3. (cid:3) Démonstration du lemme 13.6.6.
Le sous-groupe parabolique S ′′ ∈ P Q ( t M ) r P Q ( t M ) étant fixé, on considère la transformée de Fourier inverse V b d ( χ ; V, S ′′ ; ν ) . C’est une fonction à décroissance rapide en V ∈ A t M , uniformément en χ . Parconséquent la fonction V ξ ( V ) = Z χ S | b d ( χ ; V, S ′′ ; ν ) | d χ sur A t M est encore à décroissance rapide, et on a une majoration (9) E TS ′′ ≪ X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X V ∈ D tS κ ρT ( V ) X V ∈C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) ξ ( V + V ) . Rappelons que pour Y ∈ a Q t M + A Q , on a posé C QF ( Y ; S ′′ ) = (cid:0) Y + C Q ( S ′′ ) (cid:1) ∩ A t M ⊂ A Q t M ( Y Q ) . On note C Q ( S ′′ ) Q et C QF ( Y ; S ′′ ) Q les images (projections orthogonales) de C Q ( S ′′ ) et C QF ( Y ; S ′′ ) dans a Q . Par définition C Q ( S ′′ ) Q est un sous-ensemble de a QQ , Y Q appartient à a QQ + A Q , et on a les inclusions C QF ( Y ; S ′′ ) Q ⊂ ( Y Q + C Q ( S ′′ ) Q ) ∩ A Q ⊂ A QQ ( Y Q ) . Pour X ∈ C QF ( Y ; S ′′ ) Q , on note C QF ( Y ; S ′′ ) Q X ⊂ C QF ( Y ; S ′′ ) la fibre au-dessus de X . Cette fibre est contenue dans A Q t M ( X ) . On peut donc décomposer la somme P V ∈C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) en une double somme X X ∈C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) Q X V ∈C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) Q X puis majorer brutalement la seconde somme par P V ∈ A Q tM ( X ) . On obtient (10) E TS ′′ ≪ X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X V ∈ D tS κ ρT ( V ) X X ∈C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) Q ξ ( V Q + X ) . avec, pour V ∈ A Q , ξ ( V ) = X V ∈ A Q tM ( V ) ξ ( V ) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 111
La fonction ξ est à décroissance rapide en V ∈ A Q .Notons k le noyau de l’application q Q : a → a e GQ définie en 2.3, et k t sa projectionsur a t S ou ce qui revient au même (puisque a t S ⊂ a Q ⊂ k ) son intersection aveccet espace. On note f l’orthogonal de k t dans a t S . Puisque k = k t ⊕ a t S , c’est aussil’orthogonal de k dans a . C’est donc un sous-espace de a Q . Pour V ∈ a t S = k t ⊕ f ,on note V f = V Q ,f la projection orthogonale de V sur f . D’après l’inclusion (3), ona d t S ⊂ k t , par conséquent V f = 0 pour tout V ∈ d t S . D’après (10), pour tout réel r , on obtient une majoration (11) E TS ′′ ≪ X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z T ) X V ∈ D tS κ ρT ( V ) X X ∈C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) Q (1 + k X f k ) − r . La somme sur V est essentiellement majorée par k T k D pour un D convenable.L’élément H TZ,S ′′ est par définition égal à Z + [ T ] QS ′′ = Z T + [ T ] S ′′ . Tout élément X ∈ C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) Q s’écrit X = − H TZ ; S ′′ + X ′ avec X ′ ∈ C Q ( S ′′ ) Q , et l’on a X f = − Z T,f − T f + X ′ f . D’après [LW, 13.7 (4)], pour Z ∈ A Q tel que e σ RQ ( Z T ) = 1 et X ′ ∈ C QF ( S ′′ ) Q , on aune majoration absolue k T k + k Z e GT k + k X ′ k ≪ k − Z T,f − T f + X ′ f k . On en déduit que pour Z ∈ A Q tel que e σ RQ ( Z T ) = 1 et X ∈ C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) Q , ona une majoration absolue k T k + k Z e G k + k X k ≪ k X f k . D’après (11), pour tout réel r , on obtient une majoration (12) E TS ′′ ≪ k T k D − r X Z ∈ C e GQ (1 + k Z e G k ) − r X X ∈C QF ( − H TZ,S ′′ ; S ′′ ) Q (1 + k X k ) − r . Ceci est essentiellement majoré par d ( T ) − r , ce qui démontre le lemme. (cid:3) Élargissement des sommations.
D’après [LW, 13.8.1], on a l’inclusion (1) W Q ′ ( a S , Q ) ⊂ W G ( a S , Q ) . On relache les hypothèses sur Q et R : on suppose seulement P ⊂ Q ⊂ R et onabandonne l’hypothèse ˜ η ( Q, R ) = 0 . Pour t ∈ W G ( a S , Q ) , on pose ˜ η ( Q, R ; t ) = X e P ( − a e P − a e G où la somme porte sur l’ensemble des e P ∈ e P st tels que Q ⊂ P ⊂ R et t ∈ W P . Cetensemble peut être vide. S’il est non vide, alors il existe deux espaces paraboliquesstandards e P ⊂ e P tel que ce soit l’ensemble des e P ∈ e P st vérifiant e P ⊂ e P ⊂ e P (on a alors P = R − ). On en déduit que ˜ η ( Q, R ; t ) = 0 si et seulement s’il existe un unique e P ∈ e P st tel que Q ⊂ P ⊂ R et t ∈ W P , auquel cas on a e η ( Q, R ; t ) = ( − a e P − a e G . Rappelons que pour P ′ ∈ F Q ( t M ) et w = sθ ( t ) − on a posé : d t S = ker (cid:0) − wθ : a t S → a θ ( t S ) ) (cid:1) .
12 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE
Rappelons aussi que pour V ∈ a P ′ = d P ′ ⊕ e P ′ , on a noté V e la projection orthogo-nale de V sur e P ′ . Lemme
On suppose ˜ η ( Q, R ; t ) = 0 . Soient Z ∈ A Q et V ∈ D t S tels que e σ RQ ( Z − T )Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) = 1 . Alors :(i) k ( Z − T Q ) e G k ≪ k V P ′ ,e − ( Z − T Q ) e − [ T ] P ′ ,e k ;(ii) k T k + k ( Z − T Q ) e G k ≪ k V P ′ ,e − ( Z − T Q ) e − [ T ] P ′ ,e k si t / ∈ W Q ′ ( a S , Q ) .Démonstration. Ce sont les analogues des assertions (3) ( i ) et (3) ( ii ) en bas de lapage 211 de [LW], dont la preuve occupe les pages 212 à 215 de loc. cit . (cid:3) Proposition
Soient t ∈ W G ( a S , Q ) et s ∈ W Q ( θ ( a S ) , t ( a S )) . On pose A Ts,t = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) Z µ S [ ω ] T,Qs,t ( Z ; µ ) d µ . On suppose ˜ η ( Q, R ; t ) = 0 .(i) L’expression A Ts,t est convergente dans l’ordre indiqué.(ii) Supposons t / ∈ W Q ′ ( a S , Q ) . Alors pour tout réel r , on a une majoration | A Ts,t | ≪ d ( T ) − r . Démonstration.
Le lemme 13.6.1 ( ii ) s’applique ici encore et on en déduit l’analoguede 13.6.2 : A Ts,t,ν = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) Z χ S X V ∈ D tS b d Q,T t M,F ( Z, χ ; V ; ν ) d χ . L’expression est convergente dans l’ordre indiqué. Il s’agit de prouver qu’elle estabsolument convergente puis de la majorer lorsque t / ∈ W Q ′ ( a S , Q ) . On observeque dans la preuve de la convergence de l’expression (D) du lemme 13.6.3, ce n’estqu’à partir de la relation (3) que l’hypothèse t ∈ W Q ′ est utilisée. On a donc iciaussi la majoration A Ts,t,ν ≪ X P ′ ∈ F Q ( t S ) I T ( D ) ( P ′ ) avec I T ( D ) ( P ′ ) = X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T ) X V ∈ D ( P ′ ) tS Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) φ e ( Z, [ T ] P ′ , V ) . D’après 13.7.(5) et le lemme 13.8.1, pour tout réel r , en posant C r = 1 sans hypo-thèse sur t et C r = k T k − r sous l’hypothèse de ( ii ) , on a une majoration I T ( D ) ( P ′ ) ≪ C r X Z ∈ C e GQ (1 + k ( Z − T Q ) e G k ) − r X V ∈ D ( P ′ ) tS Γ P ′ t M ( V P ′ , T ) où la constante implicite est absolue. La somme en V est essentiellement majoréepar k T k D pour un certain entier D . La somme en Z est convergente ce qui démontrele point ( i ) . Sous l’hypothèse de ( ii ) on obtient I T ( D ) ( P ′ ) ≪ k T k − r pour tout réel r ,ce qui démontre ( ii ) . (cid:3) A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 113
On pose A T = X t ∈ W G ( a S ,Q ) ˜ η ( Q, R ; t ) X s ∈ W Q ( θ ( a S ) ,t ( a S )) A Ts,t . Corollaire
Pour tout réel r , on a les majorations suivantes :(i) Si ˜ η ( Q, R ) = 0 alors | ˜ η ( Q, R ) A T − A T | ≪ d ( T ) − r .(ii) Si ˜ η ( Q, R ) = 0 alors | A T | ≪ d ( T ) − r . Définition
On considère
Q, S ∈ P st tels que S ⊂ Q ′ = θ − ( Q ) . Soient t ∈ W G ( a S , Q ) , s ∈ W Q ( θ ( a S ) , t ( a S )) , Z ∈ A Q , µ ∈ µ S et λ ∈ µ θ ( a S ) . Pour σ ∈ Π disc ( M S ) on définit l’opérateur Ω T,Qs,t ( Z ; S, σ ; λ, µ ) = X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ε Q, [ T ] S ′′ S ′′ ( Z ; sλ − tµ ) e h sλ − tµ,Y S ′′ i × M ( t, µ ) − M S ′′ | t S ( tµ ) − M S ′′ | t S ( sλ ) M ( s, λ ) . C’est une fonction lisse de λ et µ . On a introduit en 13.4.1 l’ensemble E ( σ ) qui,s’il est non vide, est un espace principal homogène sous b M . Pour µ ∈ µ S , on pose : [ Ω ] T,Qs,t ( Z ; S, σ ; µ ) = | b S | − X ν ∈ E ( σ ) D ν Ω T,Qs,t ( Z ; S, σ ; θ ( µ ) , µ + ν ) . La fonction µ [ Ω ] T,Qs,t est lisse. On rappelle que l’on a défini en 12.1.1 uneexpression J e G,T = J e G,T ( f, ω ) . Nous allons en introduire une variante. Pour allégerun peu les notations nous aurons recours au lemme élémentaire suivant : Lemme
Considérons deux espaces pré-hilbertiens E ⊂ F où E est unfacteur direct et un opérateur A : E → F de rang fini (ou plus généralement, enpassant aux complétions, un opérateur nucléaire entre espaces de Hilbert). Soit B une base orthonormale de E . L’expression Sp ( A ) = X Ψ ∈ B h A Ψ , Ψ i F donnée par une série convergente, est indépendante du choix de la base. Si de plus A stabilise E , c’est-à-dire si A est un endomorphisme de E , alors Sp ( A ) = trace( A ) . Nous appliquerons ce lemme au cas où E = A ( X S , σ ) et où F est l’espaceengendré par A ( X S , σ ) et les A ( X S , e u ( σ ⊗ ω ) ⋆ ν ) pour ν ∈ E ( σ ) . Nous poserons Sp σ ( A ) = X Ψ ∈ B S ( σ ) h A Ψ , Ψ i S . Proposition
On considère l’expression J e G,T spec ( f, ω ) = X Q,R ∈ P st Q ⊂ R X S ∈ P Q ′ st n Q ′ ( S ) X σ ∈ Π disc ( M S ) b c M ( σ ) × X t ∈ W G ( a S ,Q ) X s ∈ W Q ( θ ( a S ) ,t ( a S )) ˜ η ( Q, R ; t ) X Z ∈ C e GQ e σ RQ ( Z − T Q ) × Z µ S Sp σ (cid:16) [ Ω ] T,Qs,t ( Z ; S, σ ; µ ) e ρ S,σ,µ ( f, ω ) (cid:17) d µ .
14 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE (i) L’expression J e G,T spec = J e G,T spec ( f, ω ) est convergente.(ii) Pour tout réel r , on a une majoration | J e G,T spec − J e G,T spec | ≪ d ( T ) − r . Démonstration.
On observe que, d’après 7.1.1, l’opérateur e ρ S,σ,µ ( f, ω ) est de rangfini ; l’assertion ( i ) résulte alors de 13.8.2. Compte tenu de l’expression pour J e G,T donnée en 12.5.1, on voit que la majoration ( ii ) résulte de la conjonction des inéga-lités 13.4.5, 13.5.1 et 13.8.3. (cid:3) Formules explicites
Combinatoire finale.
Soient
S, S , Q ∈ P st tels que S = θ ( S ) ⊂ Q . Ona donc, comme précédemment, S ⊂ θ − ( Q ) = Q ′ . Soit aussi e u ∈ W e G ( a S , a S ) .D’après [LW, 14.1.1], e u s’écrit d’une manière et d’une seule sous la forme e u = uθ , u = t − s ∈ W G ( a S , a S ) avec t ∈ W G ( a S , Q ) et s ∈ W Q ( a S , t ( a S )) . Soit S ′′ ∈ P st tel que a S ′′ = t ( a S ) , etsoit S = t − ( S ′′ ) . On a donc S ′′ ⊂ Q . On considère des paramètres µ et ν dans µ S , et l’on pose Λ = e uµ − ν . Rappelons que l’on a posé en 3.2 Y u = T − u − T = H ( w − u ) . On introduit une variante tordue : Y e u = θ − Y u = θ − T − e u − T ainsi que le scalaire a S ( µ, e u ) = e h µ + ρ S ,Y e u i = e h θ µ + ρ S ,Y u i . On pose enfin M = M S , Q = t − Q = t − sQ = e uQ ′ ∈ F ( M ) . Soit H ∈ A Q . Pour S ∈ P Q ( M ) , on a défini en 5.3 et 5.4 M ( Y ; S, µ ; Λ , S ) = e h Λ ,Y S i M S | S ( µ ) − M S | S ( µ + Λ) et M Q ,TM,F ( H, Y ; S, µ ; Λ) = X S ∈ P Q ( M ) ε Q , [ T ] S S ( H ; Λ) M ( Y ; S, µ ; Λ , S ) . Pour µ ∈ µ M et λ ∈ µ θ ( M ) , on a défini en 13.8.4 l’opérateur Ω T,Qs,t ( tH ; S, σ ; λ, µ ) = X S ′′ ∈ P Q ( t M ) ε Q, [ T ] S ′′ S ′′ ( tH ; sλ − tµ ) e h sλ − tµ,Y S ′′ i × M ( t, µ ) − M S ′′ | t S ( tµ ) − M S ′′ | t S ( sλ ) M ( s, λ ) . Proposition
Soient ν ∈ µ M et Λ = uλ − µ . Avec les notations de 7.2.2on a Ω T,Qs,t ( tH ; S, σ ; λ, µ + ν ) e ρ S,σ,µ ( f, ω )= a S ( θ − λ, e u ) a S ( µ, e u ) M Q ,TM,F ( H, Y ; S, µ + ν ; Λ − ν ) M S | e uS ( µ + Λ) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 115
Démonstration.
Posons µ ′ = µ + ν et Λ ′ = uλ − µ ′ = Λ − ν . Puisque Λ ′ = t − ( sλ − tµ ′ ) , pour S ′′ ∈ P Q ( t M ) et S = t − ( S ′′ ) ∈ P Q ( M ) , on a ε Q, [ T ] S ′′ S ′′ ( tH ; sλ − tµ ′ ) e h sλ − tµ ′ ,Y S ′′ i = ε Q ,t − [ T ] S ′′ S ( H ; Λ ′ ) e h Λ ′ ,t − Y S ′′ i . Or on a t − [ T ] S ′′ = [ T ] S , et t − Y S ′′ = Y S − Y t − ( S ) où Y t − ( S ) est la projection de Y t = T − t − T sur a M . Grâce à [LW, 6.1.1, 14.1.2],on obtient, comme dans la preuve de [LW, 14.1.3], que M ( t, µ ′ ) − M S ′′ | t S ( tµ ′ ) − M S ′′ | t S ( sλ ) M ( s, λ ) e ρ S,σ,µ ( f, ω ) est égal à a S ( θ − λ, e u ) a S ( µ, e u ) e h Λ ′ ,Y t − S ) i M S | S ( µ ′ ) − M S | S ( µ ′ + Λ ′ ) M S | e uS ( µ ′ + Λ ′ ) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) . D’où le résultat. (cid:3)
Pour ν ∈ µ M et Λ = ( e u − µ , on pose A T,Q M ( H ; σ, e u, µ ; ν )= Sp σ (cid:16) D ν M Q ,TM,F ( H, Y ; S, µ + ν ; Λ − ν ) M S | e uS ( µ + Λ) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) (cid:17) . Pour ν ∈ E ( σ ) , l’espace principal homogène sous b M introduit en 13.4.1, on a ν | B e G = 0 et Λ | B e G = 0 . L’expression A T,Q M ( H ; σ, e u, µ ; ν ) ne dépend donc que de l’image de H dans C Q = B e G \ A Q . On pose alors [ A ] T,Q M ( H ; σ, e u, µ ) = | b M | − X ν ∈ E ( σ ) A T,Q M ( H ; σ, e u, µ ; ν ) . Rappelons que S est l’unique élément de P st tel que M S = M . Lemme
On a l’égalité ( i ) [ A ] T,Q M ( H ; σ, e u, µ ) = Sp σ (cid:16) [ Ω ] T,Qs,t ( tH ; S, σ ; µ ) e ρ S,σ,µ ( f, ω ) (cid:17) . ( ii ) Cette expression est invariante si l’on remplace M , Q , S , e u et H par leursconjugués sous l’action d’un élément w ∈ W G , et simultanément σ et µ par wσ = σ ◦ Int − w et wµ = µ ◦ Int − w .Démonstration. Pour ( i ) , puisque M Q ,TM,F ( H, Y ; S, µ ; Λ) est lisse pour les valeursimaginaires pures de µ et Λ , on peut prendre λ = θ ( µ ) dans la proposition 14.1.1.Pour ( ii ) , rappelons que w définit un opérateur w : A ( X S , σ ) → A ( X wS , wσ ) . Cet opérateur est une isométrie et ( ii ) est une conséquence des équations fonction-nelles satisfaites par les opérateurs d’entrelacement. (cid:3)
16 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE
On observe que [ T ] Q = t − ( T Q ) puisque Q = t − Q . Soient aussi R ∈ P st telque Q ′ ⊂ R , et R = t − R . On pose J T,R M,Q ( σ, e u ) = X H ∈ C e GQ e σ R Q ( H − [ T ] Q ) Z µ M [ A ] T,Q M ( H ; σ, e u, µ ) d µ . On a défini cette expression pour M = M S avec S ∈ P st . Plus généralement, elleest bien définie pour tout M ∈ L , tout S ∈ P tel que M S = M , tout Q et tout R dans P tels que M ⊂ Q ⊂ R , et tout e u ∈ W e G ( a M , a M ) . On obtient l’analogue dela proposition [LW, 14.1.5] : Proposition
L’expression J e G,T spec ( f, ω ) de 13.8.6 se récrit J e G,T spec ( f, ω ) = X M ∈ L G / W G w G ( M ) X σ ∈ Π disc ( M ) b c M ( σ ) X e u ∈ W e G ( a M , a M ) J e G,TM ( σ, f, ω, e u ) . avec, par définition, J e G,TM ( σ, f, ω, e u ) = X Q , R ∈ P M ⊂ Q ⊂ R ˜ η ( Q , R ; u ) J T,R M,Q ( σ, e u ) . Maintenant, on définit une ( G, M ) -famille c = c ( σ, e u, µ ; ν ) par c (Λ , S ) = Sp σ (cid:0) D ν M ( Y ; S, µ + ν ; Λ , S ) M S | e uS ( µ + ν + Λ) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) (cid:1) . Elle est périodique car la famille orthogonale Y est entière. Pour Λ = ( e u − µ , ona donc A T,Q M ( H ; σ, e u, µ ; ν ) = c Q ,TM,F ( H ; Λ − ν ) . D’après 1.5.1, il existe une fonction à décroissance rapide U ϕ ( U ) = ϕ ( σ, e u, µ ; ν ; U ) sur H M telle que c = c ϕ . D’après la formule d’inversion de Fourier 1.6.10, on a A T,Q M ( H ; σ, e u, µ ; ν ) = X U ∈ H M ϕ ( U ) γ Q ,TM,F ( H, U ; Λ − ν ) avec γ Q ,TM,F ( H, U ; Λ − ν ) = γ Q , U ( T ) M,F ( H + U Q ; Λ − ν ) . Lemme
Le support de ϕ est contenu dans le réseau H GM = H M ∩ H GM du sous-espace H GM de H M formé des familles orthogonales U = ( U P ) telles que U G = 0 .Démonstration. Il suffit de voir que la ( G, M ) -famille périodique c est invariantepar translations par les éléments de b a G (en fait de µ G ). Par définition c (Λ , S ) = Sp σ (cid:0) D ν M ( Y ; S, µ + ν ; Λ , S ) M S | e uS ( µ + ν + Λ) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) (cid:1) avec M ( Y ; S, µ ; Λ , S ) = e h Λ ,Y S i M S | S ( µ ) − M S | S ( µ + Λ) . D’autre part on a c (Λ , S ) = Z µ G c (Λ + ν, S ) d ν = X U ∈ H M (cid:18)Z µ G e h ν,U G i d ν (cid:19) e h Λ ,U S i ϕ ( U ) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 117
On en déduit que ϕ ( U ) = (cid:18)Z µ G e h ν,U G i d ν (cid:19) ϕ ( U ) . Cela prouve le lemme. (cid:3)
Conformément à nos conventions on pose C e GM = B e G \ A M . Soit e L ∈ L e G le sous-ensemble de Levi minimal contenant M e u . En particulier e u ∈ W e L ( a M , a M ) . Proposition
On a l’égalité J e G,TM ( σ, f, ω, e u ) = | b M | − X ν ∈ E ( σ ) X H ∈ C e GM e −h ν,Y e u + H i × X U ∈ H M Z µ M e h ( e u − µ,H i Γ e G e L ( H, U ( T )) ϕ ( σ, e u, µ ; ν ; U ) d µ. Démonstration.
La preuve ci-après reprend pour l’essentiel les argument de [LW,14.1.7]. On rappelle que par définition on a J T,R M,Q ( σ, e u ) = | b M | − X ν ∈ E ( σ ) e −h ν,Y e u i J T,R M,Q ( σ, e u ; ν ) avec J T,R M,Q ( σ, e u ; ν ) = X H ∈ C e GQ e σ R Q ( H − [ T ] Q ) Z µ M A T,Q M ( H ; σ, e u, µ + ν ; ν ) d µ . Fixons ν ∈ E ( σ ) et posons ϕ = ϕ ( σ, e u, µ ; ν ) . Pour H ∈ A Q et U ∈ H M , on a (pardéfinition) γ Q ,TM,F ( H , U ; Λ) = X H ∈ A Q M ( H + U Q ) Γ Q M ( H, U ( T )) e h Λ ,H i . Par conséquent, en rappelant que c est la ( G, M ) -famille c ϕ = c ( σ, e u, µ ; ν ) , on a (1) c Q ,TM,F ( H ; Λ) = X U ∈ H M X H ∈ A Q M ( H + U Q ) ϕ ( U )Γ Q M ( H, U ( T )) e h Λ ,H i . Pour H ∈ A Q M ( H + U Q ) , on a H Q = H + U Q , et il existe une constante c > (indépendante de U ) telle que si Γ Q M ( H, U ( T )) = 0 , on ait (cid:13)(cid:13) H Q (cid:13)(cid:13) ≤ c sup P ∈ P Q ( M ) (cid:13)(cid:13) ( U P + [ T ] P ) Q (cid:13)(cid:13) . Par conséquent la somme X H ∈ A Q M ( H + U Q ) | Γ Q M ( H, U ( T )) | est finie, et puisque ϕ est à décroissance rapide sur H M , on en déduit que l’ex-pression (1) est absolument convergente. En prenant Λ = ( e u − µ − ν , on obtient
18 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE que Z µ S A T,Q M ( H ; σ, e u, µ ; ν ) d µ = X U ∈ H GM X H ∈ A Q M ( H + U Q ) × Z µ M ϕ ( σ, e u, µ ; ν ; U )Γ Q M ( H, U ( T )) e h ( e u − µ − ν,H i d µ. On a donc J T,R M,Q ( σ, e u ; ν ) = X H ∈ C e GQ X U ∈ H M X H ∈ A Q M ( H + U Q ) Z µ M G R Q ( H, µ, ν, U ) d µ avec G R Q ( H, µ, ν, U ) = e h ( e u − µ − ν,H i e σ R Q ( H − U ( T ))Γ Q M ( H, U ( T )) ϕ ( σ, e u, µ ; ν ; U ) . L’expression (2) X U ∈ H M X H ∈ A Q M ( H + U Q ) Z µ M G R Q ( H, µ, ν, U ) d µ est absolument convergente. Pour chaque U ∈ H M , puisque ( U S ) Q = U Q , on a A Q M ( H + U Q ) = A Q M ( H ) + U S . L’expression (2) est donc égale à X U ∈ H M X H ∈ A Q M ( H ) Z µ M G R Q ( H + U S , µ, ν, U ) d µ et J T,R M,Q ( σ, e u ; ν ) , c’est-à-dire la somme sur H ∈ C e GQ des expressions (2), se récrit (3) X H ∈ C e GM X U ∈ H M Z µ M G R Q ( H + U S , µ, ν, U ) d µ . Pour cela, il suffit de démontrer la convergence absolue d’une somme itérée de laforme X H ∈ C e GM X U ∈ H M e σ R Q ( H − [ T ] Q )Γ Q M ( H + U S , U ( T )) ψ (( e u ∗ − H + U S ) , U ) où e u ∗ est le transposé de e u (identifié à e u − ) et ψ ( X, U ) = Z µ M e h µ,X i ϕ ( σ, e u, µ ; ν ; U ) d µ . D’après ce qui précède, pour H ∈ A Q , l’expression X H ∈ A Q M ( H ) X U ∈ H M Γ Q M ( H + U S , U ( T )) ψ (( e u ∗ − H + U S ) , U ) est absolument convergente. De plus sa valeur en H est donnée par ξ (( e u ∗ − H ) pour une fonction ξ sur A Q qui est la transformée anti-Laplace d’une fonction lissesur µ Q = b A Q . Il suffit donc d’établir la convergence absolue de la somme X H ∈ C e GQ e σ R Q ( H − [ T ] Q ) ξ (( e u ∗ − H ) A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 119 qui résulte de [LW, 2.12.2] (voir aussi 2.3). On peut donc effectuer le changementde variable H H − U S dans (3). On obtient que J T,R M,Q ( σ, e u ; ν ) = X H ∈ C e GM X U ∈ H GM (cid:18)Z µ M G T,R M,Q ( H, µ, ν, U ) d µ (cid:19) . On a J e G,TM ( σ, f, ω, e u ) = X Q , R ∈ P M ⊂ Q ⊂ R ˜ η ( Q , R ; u ) J T,R M,Q ( σ, e u ) avec ˜ η ( Q , R ; u ) J T,R M,Q ( σ, e u ) = X e P ∈ e P , e u ∈ W e P Q ⊂ P ⊂ R ( − a e P − a e G J T,R M,Q ( σ, e u ) . Donc J e G,TM ( σ, f, ω, e u ) = | b M | − X ν ∈ b M e −h ν,Y e u i X H ∈ C e GM X U ∈ H GM × X Q , R ∈ P M ⊂ Q ⊂ R X e P ∈ e P , e u ∈ W e P Q ⊂ P ⊂ R ( − a e P − a e G e σ R Q ( H − U ( T ) Q )Γ Q M ( H, U ( T )) × Z µ M e h ( e u − µ − ν,H i ϕ ( σ, e u, µ ; ν ; U ) d µ. La double somme X Q , R ∈ P M ⊂ Q ⊂ R X e P ∈ e P , e u ∈ W e P Q ⊂ P ⊂ R s’écrit aussi X e P ∈ e P , e u ∈ W e P M ⊂ P X Q , R ∈ P M ⊂ Q ⊂ P ⊂ R = X e P ∈ F ( e L ) X Q , R ∈ P M ⊂ Q ⊂ P ⊂ R et d’après [LW, 2.11.5], la double somme X e P ∈ F ( e L ) X Q , R ∈ P M ⊂ Q ⊂ P ⊂ R ( − a e P − a e G e σ R Q ( H − U ( T ) Q )Γ Q M ( H, U ( T )) est égale à (4) X e P ∈ F ( e L ) X Q ∈ P M ⊂ Q ⊂ P ( − a e P − a e G ˆ τ e P ( H − U ( T ) P ) τ PQ ( H − U ( T ) Q )Γ Q M ( H, U ( T )) . D’après [LW, 1.8.4.(3)] et [LW, 2.9.3], cette double somme (4) est égale à X e P ∈ F ( e L ) ( − a e P − a e G ˆ τ e P ( H − U ( T ) P ) = Γ e G e L ( H, U ( T )) . Cela achève la preuve la proposition. (cid:3)
20 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE
Combinatoire finale (suite).
Ce paragraphe n’a pas d’équivalent pour lescorps de nombres : il s’agit, à l’aide du lemme d’inversion de Fourier 14.2.1, deremplacer la somme sur H ∈ C e GM dans la proposition 14.1.5 par une somme sur e Z ∈ b G .Rappelons que e L ∈ L e G est le sous-ensemble de Levi minimal contenant M e u .L’espace a e L est le sous-espace de a M formé des points fixes sous e u = uθ . On note a e LM l’orthogonal de a e L dans a M : a M = a e L ⊕ a e LM et l’on a a e LM = ( e u − a M . Par définition, A e L est l’image et A e LM le noyau de la projection de A M sur a e L . Ona donc une suite exacte → A e LM → A M → A e L → . La dualité de Pontryagin fournit alors la suite exacte → µ e L → µ M → µ e LM → . Conformément à nos conventions, les groupes compacts µ M , µ e L et µ e LM sont munisde la mesure de Haar qui leur donne le volume . Considérons le morphisme entregroupes de Lie abéliens compacts connexes φ : µ e LM × µ e L → µ M défini par φ ( ˙ µ, λ ) = ( e u − µ − λ où µ ∈ µ M est un relèvement de ˙ µ ∈ µ e LM . Le morphisme φ induit un isomorphismepour les algèbres de Lie car les espaces tangents à l’origine, de l’image de ( e u − et de µ e L , sont des supplémentaires orthogonaux (on identifie e u et son transposéinverse et on utilise que e u − ( e u −
1) = − ( e u − ). Il est donc surjectif et de noyaufini. On notera K e u ce noyau. Son cardinal est égal au jacobien de φ : Jac( φ ) = | K e u | = | det( e u − | a e LM ) | . Pour ν ∈ µ M , on note ξ e u,ν : µ M → µ M l’application µ ( e u − µ − ν . Considérons le sous-ensemble des µ ∈ µ M dont l’image par ξ e u,ν appartient à µ e L : µ M, e u ( ν ) = { µ ∈ µ M | ( e u − µ − ν ∈ µ e L } . C’est une union finie de translatés de µ e L . En effet, son quotient µ e LM, e u ( ν ) = µ M, e u ( ν ) / µ e L est un espace principal homogène sous le groupe µ e LM, e u (0) ≃ K e u . On a donc | µ e LM, e u ( ν ) | = | K e u | . On munit µ M, e u ( ν ) de la mesure µ e L -invariante induite par celle sur µ e L . Lemme
Pour X ∈ A e L , on note A e LM ( X ) l’ensemble de H ∈ A M tels que H e L = X . Soient ν ∈ µ M et ψ une fonction lisse sur µ M . On a l’identité X H ∈ A e LM ( X ) (cid:18)Z µ M e h ( e u − µ − ν,H i ψ ( µ ) d µ (cid:19) = | K e u | − Z µ M, e u ( ν ) e h ξ e u,ν ( µ ) ,X i ψ ( µ ) d µ . Démonstration.
C’est immédiat par inversion de Fourier (cf. [W, 3.20]). (cid:3)
A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 121
Rappelons que E ( σ ) d´ef = { ν ∈ µ M | ξ e u ( ω ⊗ σ ) ⋆ ν | B M = ξ σ } . En particulier, tout ν ∈ E ( σ ) est trivial sur B e G , et donc, pour tout µ ∈ µ M, e u ( ν ) , lecaractère ξ e u,ν ( µ ) de A e L est lui aussi trivial sur B e G . Soit e Z ∈ A e G . Pour ν, µ ∈ µ M et Λ = ( e u − µ , on pose A T, e G e L ( e Z ; σ, e u, µ ; ν )= Sp σ (cid:16) D ν M e G,T e L,F ( e Z, Y ; S, µ + ν ; Λ − ν ) M S | e uS ( µ + Λ) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) (cid:17) . Pour ν ∈ E ( σ ) , puisque Λ − ν est trivial sur B e G , cette expression ne dépend que del’image de e Z dans e G = B e G \ A e G . Proposition
On a J e G,TM ( σ, f, ω, e u ) = | b M | − | K e u | − X ν ∈ E ( σ ) X e Z ∈ e G Z µ M, e u ( ν ) A T, e G e L ( e Z ; σ, e u, µ ; ν ) d µ . Démonstration.
D’après 14.1.5 : J e G,TM ( σ, f, ω, e u ) = | b M | − X ν ∈ E ( σ ) X H ∈ C e GM e −h ν,Y e u + H i × X U ∈ H M Z µ M e h ( e u − µ,H i Γ e G e L ( H, U ( T )) ϕ ( σ, e u, µ ; ν ; U ) d µ. On décompose la somme sur les H ∈ C e GM en une double somme sur X ∈ C e G e L précédéede la somme en H ∈ A e LM ( X ) où C e G e L d´ef = B e G \ A e L et on obtient J e G,TM ( σ, f, ω, e u ) = | b M | − X ν ∈ E ( σ ) X X ∈ C e G e L X U ∈ H M × X H ∈ A e LM ( X ) Z µ M e h ( e u − µ − ν,H i Γ e G e L ( H, U ( T )) ϕ ( σ, e u, µ ; ν ; U ) d µ . En utilisant 14.2.1 on voit que J e G,TM ( σ, f, ω, e u ) = | b M | − | K e u | − X ν ∈ E ( σ ) X X ∈ C e G e L × Z µ M, e u ( ν ) X U ∈ H M e h ξ e u,ν ( µ ) ,X i Γ e G e L ( X, U ( T )) ϕ ( σ, e u, µ ; ν ; U ) d µ. On décompose la somme sur X ∈ C e G e L en une double somme sur e Z ∈ e G précédéede la somme sur X ∈ A e G e L ( e Z ) . Pour ν ∈ E ( σ ) , e Z ∈ e G et µ ∈ µ M, e u ( ν ) , on a X X ∈ A e G e L ( e Z ) e h ξ e u,ν ( µ ) ,X i Γ e G e L ( X ; U ( T )) = γ e G, U ( T ) e L,F ( e Z ; ξ e u,ν ( µ )) .
22 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE
Rappelons que la somme sur H M est en fait une somme sur H GM (cf. 14.1.4).D’après la formule d’inversion de Fourier pour les ( e G, e L ) -familles (2.1.1 (1)), pour µ ∈ µ M, e u ( ν ) , on a X U ∈ H GM γ e G, U ( T ) e L,F ( e Z ; ξ e u,ν ( µ )) ϕ ( σ, e u, µ ; ν ; U ) = c e G,T e L,F ( e Z ; ξ e u,ν ( µ )) où c est la ( G, M ) -famille définie par la fonction à décroissance rapide sur H M : U ϕ ( σ, e u, µ ; ν ; U ) . Puisque Λ − ν = ξ e u,ν ( µ ) le terme c e G,T e L,F ( e Z ; ξ e u,ν ( µ )) est égal àl’expression A T, e G e L ( e Z ; σ, e u, µ ; ν ) . (cid:3) On rappelle que l’on est parti de la formule 10.2.1 pour J e G,T spec ( f, ω ) récrite sousla forme 12.1.1. Puis on a introduit une variante J e G,T spec ( f, ω ) en 13.8.6 ( i ) que l’ona décomposé en une somme de termes J e G,TM ( σ, f, ω, e u ) (cf. 14.1.3) pour lesquelson obtient une nouvelle expression en 14.2.2. Ces formules ont été obtenues pour T ∈ a dans le translaté d’un cône ouvert non vide. Pour T ∈ a , Q , nous pouvonsmaintenant les comparer. Proposition
On a l’égalité de fonctions dans
PolExp : J e G,T spec ( f, ω ) = X M ∈ L G / W G w G ( M ) X σ ∈ Π disc ( M ) b c M ( σ ) X e u ∈ W e G ( a M , a M ) J e G,TM ( σ, f, ω, e u ) . Démonstration.
Les deux membres de cette équation sont, comme fonctions de T ∈ a , Q , des éléments de PolExp : on invoque 11.1.1 pour J e G,T et 5.3.1 pourles J e G,TM vu leur définition en 14.2.2. Compte tenu de la décomposition 14.1.3,la majoration 13.8.6 ( ii ) montre que les deux membres ne diffèrent que par unequantité qui tend vers zéro lorsque T tend vers l’infini dans un cône ouvert. Leurégalité résulte alors de 1.7.2. (cid:3) Cette proposition peut être vue comme l’analogue de [LW, 14.1.11] (raffiné en[LW, 14.2.1]). Toutefois c’est une égalité de fonctions dans PolExp et non une égalitéde polynômes et par ailleurs les sommes sur ν et e Z viennent compliquer l’expression14.2.2 ; une nouvelle étape est nécessaire ici.14.3. Le polynôme limite en T = T . Pour S ∈ P ( M ) et µ ∈ a ∗ M, C , rappelonsque M ( S, µ ) est la ( G, M ) -famille spectrale à valeurs opérateurs définie par M ( S, µ ; Λ , S ) = M S | S ( µ ) − M S | S ( µ + Λ) et qu’on lui a associé la valeur « vectorielle » (et non « discrète ») M e G e L ( S, µ ; Λ) = X e S ∈ e P ( e L ) ǫ e G e S (Λ) M ( S, µ ; Λ , S ) . Rappelons aussi que les fonctions ǫ e G e S (Λ) sont définies via le choix d’une mesure deHaar sur l’espace vectoriel réel a e G e L . On pose v e L d´ef = vol (cid:16) B e G e L \ a e G e L (cid:17) . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 123
Pour alléger l’écriture, posons (comme dans [LW, 14.1]) M e G e L ( S, µ ) d´ef = M e G e L ( S, µ ; 0) . Définition
Introduisons les notations suivantes : (1) V M ( e u ) = v − e L | b e L || b M | − | K e u | − et (2) µ M, e u ( ν, d´ef = { µ ∈ µ M, e u ( ν ) | ξ e u,ν ( µ ) = 0 } . L’ensemble µ M, e u ( ν, est stable par translations par µ e L et muni de la mesureinduite par celle sur µ e L . Introduisons maintenant la valeur en T du polynômelimite : on note J e GM ( σ, f, ω, e u ; ν ) l’expression (3) V M ( e u ) Z µ M, e u ( ν, Sp σ (cid:16) D ν M e G e L ( S, µ + ν ) M S | e uS ( µ + ν ) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) (cid:17) d µ et on pose (4) J e GM ( σ, f, ω, e u ) = X ν ∈ E ( σ ) J e GM ( σ, f, ω, e u ; ν ) . Comme l’intégrant est lisse en µ , l’intégrale (3) est absolument convergente. Onobservera que la définition de M e G e L ( S, µ ) suppose le choix d’une mesure de Haar sur a e G e L mais que le produit V M ( e u ) . M e G e L ( S, µ ) ne dépend pas du choix de cette mesure. Proposition
La fonction T h ( T ) = J e G,TM ( σ, f, ω, e u ) est dans PolExp et pour tout réseau R de a , Q , on a l’égalité lim k → + ∞ p R k , ( h, T ) = J e GM ( σ, f, ω, e u ) . Démonstration.
On reprend celle du lemme de [W, 3.23]. Fixons ν ∈ E ( σ ) . Pour e Z ∈ A e G et µ ∈ µ M, e u ( ν ) , considérons la fonction T a e Z,µ ( T ) = A T, e G e L ( e Z ; σ, e u, µ ; ν ) sur a , Q . D’après l’analogue tordu de 1.7.4, cette fonction appartient à PolExp . Pourtout réseau R de a , Q , on peut écrire a e Z,µ ( T ) = X τ ∈ E R e h τ,T i p R ,τ ( a e Z,µ , T ) où E R est un ensemble fini de caractères dans b R . De plus, la limite α e Z,µ d´ef = lim k → + ∞ p R k , ( a e Z,µ , T ) existe et elle est indépendante du réseau R . D’après l’analogue tordu de 1.7.4,la limite α e Z,µ se calcule comme suit. La ( G, M ) -famille périodique c ( σ, e u, µ ; ν )
24 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE introduite en 14.1 est de la forme c ( σ, e u, µ ; ν ) = d ( Y ) pour une ( G, M ) -famillepériodique d donnée par d (Λ , S ) = Sp σ (cid:0) D ν M ( S, µ + ν ; Λ , S ) M S | e uS ( µ + ν + Λ) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) (cid:1) et d ( Y ; Λ , S ) = e h Λ ,Y S i d (Λ , S ) . On a donc a e Z,µ ( T ) = d e G,T e L,F ( Y ; ξ e u,ν ( µ )) . Rappelons que ξ e u,ν ( µ ) est un élément de µ e L , et plus précisément un caractère de C e G e L = B e G \ A e L . Le dual de Pontryagin b C e G e L s’insère dans la suite exacte courte → b e G → b C e G e L → µ e G e L → . L’image de ξ e u,ν ( µ ) dans µ e G e L est nulle si et seulement si ξ e u,ν ( µ ) ∈ b e G . On déduitalors de 1.7.4 que α e Z,µ = ( vol (cid:16) A e G e L \ a e G e L (cid:17) − e h ξ e u,ν ( µ ) , e Z i d e G e L ( Y + T ; ξ e u,ν ( µ )) si ξ e u,ν ( µ ) ∈ b e G sinonoù, pour Λ ∈ b a e L en dehors des murs, d e G e L ( Y + T ; Λ) = X e P ∈ P ( e L ) e h Λ ,Y e P +[ T ] e P i ǫ e G e P (Λ) d (Λ , e P ) . Puisque Y e P + [ T ] e P est égal à l’image T , e L de T dans a e L , on a e h Λ ,Y e P +[ T ] e P i d (Λ , e P ) = e h Λ ,T , e L i × Sp σ (cid:16) D ν M ( S, µ + ν ; Λ , e P ) M S | e uS ( µ + ν + Λ) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) (cid:17) . Comme T , e L appartient à a e G e L , on a e h ξ e u,ν ( µ ) ,T , e L i = 1 . On a donc si ξ e u,ν ( µ ) ∈ b e G α e Z,µ = vol (cid:16) A e G e L \ a e G e L (cid:17) e h ξ e u,ν ( µ ) , e Z i × Sp σ (cid:16) D ν M e G e L ( S, µ + ν ; ξ e u,ν ( µ )) M S | e uS ( µ + ν + ξ e u,ν ( µ )) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) (cid:17) . Les fonctions considérées sont lisses lorsque µ varie dans le compact µ e L . On endéduit que la fonction h e Z,µ ( T ) : T Z µ M, e u ( ν, a e Z,µ ( T ) d µ appartient elle aussi à PolExp. Le contrôle du terme d’erreur dans le passage à lalimite (cf. 1.7.4) montre qu’il est uniforme et on obtient que lim k → + ∞ p R k , ( h e Z,µ , T ) = Z µ M, e u ( ν, lim k → + ∞ p R k , ( a e Z,µ , T ) d µ = Z µ M, e u ( ν, α e Z,µ d µ . La somme sur les e Z ∈ e G qui apparaissait dans 14.2.2 étant finie, on peut la fairepasser sous le signe somme. Mais la somme sur e Z ∈ e G des e h ξ e u,ν ( µ ) , e Z i vaut | b e G | si ξ e u,ν ( µ ) = 0 , et sinon. Il reste à observer que | b M | − | b e G | vol (cid:16) A e G e L \ a e G e L (cid:17) − = | b M | − | b e L | vol (cid:16) A e G e L \ a e G e L (cid:17) − | b e L | − | b e G | A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 125 et donc vol (cid:16) A e G e L \ a e G e L (cid:17) − | e L | − | e G | = v − e L . (cid:3) Soient ν ∈ µ M et µ ∈ µ M, e u ( ν ) tels que ξ e u,ν ( µ ) = 0 . Puisque ν = ( e u − µ on a D ν = D − µ D e uµ . D’après l’équation fonctionnelle 5.2.2, on a D e uµ M e G e L ( S, e uµ ) M S | e uS ( e uµ ) = M e G e L ( S, M S | e uS (0) D e uµ . On en déduit que (5) D ν M e G e L ( S, µ + ν ) M S | e uS ( µ + ν ) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) est égale à D − µ M e G e L ( S, M S | e uS (0) D e uµ ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) . Puisque d’après 7.2.3 on a D e uµ ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) = ρ S,σ⋆µ, ( e u, f, ω ) D µ l’expression (5) est encore égale à (6) D − µ A ( σ ⋆ µ, e u, D µ où l’on a posé (7) A ( σ, e u, µ ) = M e G e L ( S, µ ) M S | e uS ( µ ) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) . En observant que Sp σ (cid:0) D − µ A ( σ ⋆ µ, e u, D µ (cid:1) = Sp σ⋆µ ( A ( σ ⋆ µ, e u, l’expression 14.3.1 peut donc encore s’écrire J e GM ( σ, f, ω, e u ) = V M ( e u ) X ν ∈ E ( σ ) Z µ M, e u ( ν, Sp σ⋆µ ( A ( σ ⋆ µ, e u, µ . Lemme
Pour que l’expression Sp σ⋆µ ( A ( σ ⋆ µ, e u, soit non nulle, il fautque (8) e u ( ω ⊗ ( σ ⋆ µ )) ≃ σ ⋆ µ c’est-à-dire que σ ⋆ µ se prolonge en une représentation de ( M e u, ω ) . En ce cas on a Sp σ⋆µ ( A ( σ ⋆ µ, e u, A ( σ ⋆ µ, e u, . Démonstration.
L’opérateur A ( σ⋆µ, e u, envoie l’espace A ( X S , σ⋆µ ) dans l’espace A ( X S , e u ( ω ⊗ ( σ ⋆ µ ))) et pour que ces deux espaces soient d’intersection non nulle,il faut qu’ils soient égaux c’est-à-dire que la condition (8) soit vérifiée. (cid:3)
26 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE
Développement spectral fin.
D’après 14.3.3, la contribution de σ (l’orbitede σ sous torsion par µ M ) est nulle sauf peut-être si σ ∈ Π disc ( M ; e u, ω ) ⊂ Π disc ( M ) où Π disc ( M ; e u, ω ) est le sous-ensemble des σ ayant un représentant σ vérifiant lacondition (1) e u ( ω ⊗ σ ) ≃ σ . On supposera désormais que σ est un tel représentant . Considérons l’ensemble L ( σ, e u ) d´ef = { λ ∈ µ M | e u ( ω ⊗ ( σ ⋆ λ )) ≃ σ ⋆ λ } qui, compte tenu de (1), est égal à { λ ∈ µ M | ( e u − λ ∈ Stab M ( σ ) } . On observe que
Stab M ( σ ) ⊂ E ( σ ) . On a donc une injection L ( σ, e u ) → [ ν ∈ E ( σ ) µ M, e u ( ν, On note l ( σ, e u ) l’ensemble fini quotient de L ( σ, e u ) par l’action de µ e L . En choisissantdes représentants λ dans L ( σ, e u ) ⊂ µ M pour les éléments ˙ λ ∈ l ( σ, e u ) on définit uneinjection l ( σ, e u ) × µ e L → [ ν ∈ E ( σ ) µ M, e u ( ν, par ( ˙ λ, µ ) λ + µ . Dans la définition 14.3.1 (4) de J ( σ, f, ω, e u ) et compte tenu de 14.3.3 on peut doncremplacer la somme sur les ν ∈ E ( σ ) précédée de l’intégrale sur les µ ∈ µ M, e u ( ν, par la somme sur les ˙ λ ∈ l ( σ, e u ) précédée de l’intégrale sur µ e L : (2) J e GM ( σ, f, ω, e u ) = V M ( e u ) X ˙ λ ∈ l ( σ, e u ) Z µ e L trace( A ( σ ⋆ λ, e u, µ )) d µ . L’expression (2) est bien définie (i.e. elle ne dépend pas du choix des relèvements)puisque, d’après 14.3 (5) et 7.2.3, pour µ, µ ′ ∈ µ e L on a A ( σ ⋆ µ ′ , e u, µ ) = D µ ′ A ( σ, e u, µ + µ ′ ) D − µ ′ et donc trace( A ( σ ⋆ µ ′ , e u, µ )) = trace( A ( σ, e u, µ + µ ′ )) . Pour chaque classe σ on a choisi un représentant σ vérifiant la condition (1).D’après (2) et compte tenu de la définition 14.3 (3), on a J e GM ( σ, f, ω, e u ) = V M ( e u ) X ˙ λ ∈ l ( σ, e u ) Z µ e L trace (cid:16) M e G e L ( S, µ ) M S | e uS ( µ ) ρ S,σ⋆λ,µ ( e u, f, ω ) (cid:17) d µ . Cette expression ne dépend pas du choix de S ∈ P ( M ) ni du choix du représentant σ de σ .On rappelle que Π disc ( M ; e u, ω ) est l’ensemble des classes modulo torsion parles éléments de µ M des (classes d’isomorphisme de) représentations σ vérifiant lacondition (1). Notons Π disc ( M e u, ω ) l’ensemble des classes modulo torsion par les
40. Observons que l’existence d’un tel représentant exige que le caractère ω soit trivial sur legroupe A M e u ( A ) = A e L ( A ) . En général il n’est pas possible de réaliser la condition (1) pour tousles e u simultanément. A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 127 éléments de µ e L des (classes d’isomorphisme de) représentations verifiant (1). Onpose J e GM, e u ( f, ω ) = X σ ∈ Π disc ( M ; e u,ω ) b c M ( σ ) J e GM ( σ, f, ω, e u ) . Lemme
L’expression J e GM, e u ( f, ω ) se récrit J e GM, e u ( f, ω ) = v − e L X σ ∈ Π disc ( M e u,ω ) b c e L ( σ ) | det( e u − | a e LM ) | − × Z µ e L trace (cid:16) M e G e L ( S, µ ) M S | e uS (0) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) (cid:17) d µ . Démonstration.
L’application naturelle Π disc ( M ˜ u, ω ) → Π disc ( M ; e u, ω ) est surjective. On peut donc remplacer, dans l’expression J e GM, e u ( f, ω ) , la somme surles σ ∈ Π ( M ; e u, ω ) suivie de la somme sur les λ ∈ l ( σ, e u ) par une simple somme surles σ ∈ Π ( M e u, ω ) multipliée par le cardinal de l’image dans µ e LM du stabilisateur Stab M ( σ ) . Cette image est le groupe quotient Stab M ( σ ) / Stab e L ( σ ) où Stab e L ( σ ) d´ef = Stab M ( σ ) ∩ µ e L . Posons b c e L ( σ ) d´ef = | b e L || Stab e L ( σ ) | . Compte tenu de la définition 14.3.1, on a V M ( e u ) | Stab M ( σ ) || Stab e L ( σ ) | = v − e L b c e L ( σ ) b c M ( σ ) − | det( e u − | a e LM ) | − . On observe enfin que pour µ ∈ µ e L on a M S | e uS ( µ ) = M S | e uS (0) . (cid:3) Rappelons que W e G ( a M , a M ) est l’ensemble des restrictions à a M des éléments e u ∈ f W = W e G tels que e u ( a M ) = a M . C’est aussi le quotient W e G ( M ) = N f W ( M ) / W M de l’ensemble N f W ( M ) des e u ∈ f W tels que e u ( M ) = M par le groupe de Weyl de M : W M = N M ( M ) /M . Proposition
La valeur en T du polynôme limite introduite en 11.3.1vérifie l’identité J e G spec ( f, ω ) = X M ∈ L G / W G w G ( M ) X e u ∈ W e G ( M ) J e GM, e u ( f, ω ) Démonstration.
Par passage à la limite, 14.2.3 fournit l’identité J e G spec ( f, ω ) = X M ∈ L G / W G w G ( M ) X σ ∈ Π disc ( M ) b c M ( σ ) X e u ∈ W e G ( M ) J e GM ( σ, f, ω, e u ) puis on invoque 14.4.1. (cid:3)
28 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE
Pour e L ∈ e L et M ∈ L L , un élément e u ∈ W e L ( M ) est dit régulier si l’espace deLevi (dans e L ) qui lui est associé est e L lui-même. Ceci équivaut à demander que det( e u − | a LM ) = 0 . On note W e L ( M ) reg l’ensemble des e u ∈ W e L ( M ) qui sont réguliers. Lemme
Pour e u ∈ W e L ( M ) reg on a det( e u − | a e LM ) = 0 . Démonstration.
Par hypothèse (cf. 2.1) det( e u − | a e GG ) = det( θ − | a e GG ) = 0 ce qui implique ( e u − a e GG = a e GG . On observe que e u est un endomorphisme d’ordrefini de a GM ayant a e G e L comme sous-espace de points fixes. On a donc les égalités a GM = ( e u − a GM ⊕ a e G e L et a e GM = ( e u − a e GM ⊕ a e G e L soit encore a e LM ⊕ a e G e L = ( e u − a e GM ⊕ a e G e L . L’assertion du lemme en résulte. (cid:3)
L’expression J e GM, e u ( f, ω ) a déjà été définie pour M ∈ L et e u ∈ W e G ( M ) . Pour e L ∈ e L , posons J e G e L ( f, ω ) = X M ∈ L L | W M || W L | X e u ∈ W e L ( M ) reg J e GM, e u ( f, ω ) . Notons f W L = N L ( f M ) /M le quotient du normalisateur de f M dans L par M .Avec ces notations, on a la forme finale du développement spectral : Théorème
On a J e G spec ( f, ω ) = X e L ∈ e L | f W L || f W G | J e G e L ( f, ω ) . Démonstration.
Pour tout e u ∈ W e G ( M ) il existe un e L tel que e u appartienne à W e L ( M ) reg et J e GM, e u ( f, ω ) est donné par 14.4.1. On invoque enfin 14.4.2. (cid:3) Partie discrète modulo le centre.
Pour M ∈ L , on s’intéresse à la partiediscrète (modulo le centre) de J e GM ( f, ω ) . On pose J e GM, disc ( f, ω ) = X e u ∈ W e G ( M ) reg J e GM, e u ( f, ω ) . Pour e u ∈ W e G ( M ) reg , on a J e GM, e u ( f, ω ) = X σ ∈ Π disc ( M e u,ω ) b c e G ( σ ) | det( e u − | a e GM ) | − × Z µ e G trace (cid:0) M S | e uS (0) ρ S,σ,µ ( e u, f, ω ) (cid:1) d µ . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 129
On souhaite permuter la somme et l’intégrale dans l’expression J e GM, e u ( f, ω ) ci-dessus. On commence par regrouper les termes suivant le groupe Ξ( e G ) des caractèresunitaires automorphes de A e G ( A ) . On le munit d’une mesure de Haar suivant lesconventions de 1.3.1 ; elle vérifie vol( b B e G ) = 1 . Pour ξ ∈ Ξ( e G ) , on note Π disc ( M e u, ω ) ξ le sous-ensemble de Π disc ( M e u, ω ) formé de des σ tels que ξ σ | A e G ( A ) = ξ , et on pose trace (cid:0) M S | e uS (0) ρ S, disc ,ξ ( e u, f, ω ) (cid:1) = X σ ∈ Π disc ( M e u,ω ) ξ trace (cid:0) M S | e uS (0) ρ S,σ, ( e u, f, ω ) (cid:1) . Ici encore, l’expression est indépendante du choix de S ∈ P ( M ) . Posons J e GM, e u ( f, ω, ξ ) = | det( e u − a GM ) | − trace (cid:0) M S | e uS (0) ρ S, disc ,ξ ( e u, f, ω ) (cid:1) . Puisque | det( e u − a e GM ) | = j ( e G ) | det( e u − a GM ) | on obtient le Lemme
Pour M ∈ L et e u ∈ W e G ( M ) reg , on a J e GM, e u ( f, ω ) = j ( e G ) − Z Ξ( e G ) J e GM, e u ( f, ω, ξ ) d ξ . Rappelons qu’on a noté Ξ( G, θ, ω ) le sous-ensemble de Ξ( G ) formé des caractères ξ tels que, en notant ω A G la restriction de ω à A G ( A ) , on ait ξ ◦ θ = ω A G ⊗ ξ . Si Ξ( G, θ, ω ) est non vide on le munit, comme en 8.1, de la mesure Ξ( G ) θ -invariantedéduite de la mesure de Haar sur Ξ( G ) θ telle que vol( b B θG ) = 1 . Lemme
Pour M ∈ L et e u ∈ W e G ( M ) reg , on a J e GM, e u ( f, ω ) = Z Ξ( G,θ,ω ) J e GM, e u ( f, ω, ξ ) d ξ . Démonstration.
Cela résulte de 14.5.1 et 8.1.5. (cid:3)
Proposition
La partie « discrète modulo le centre » de la formule destraces est donnée par J e G disc ( f, ω ) = X M ∈ L G / W G w G ( M ) J e GM, disc ( f, ω ) avec J e GM, disc ( f, ω ) = X e u ∈ W e G ( M ) reg Z Ξ( G,θ,ω ) J e GM, e u ( f, ω, ξ ) d ξ . Cela s’écrit aussi J e G disc ( f, ω ) = X M ∈ L G | W M || W G | J e GM, disc ( f, ω ) .
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En particulier, pour M = G , on a J e GG, disc ( f, ω ) = Z Ξ( G,θ,ω ) trace (cid:0) e ρ ( f, ω ) | L ( X G ) ξ (cid:1) d ξ et on retrouve la formule de la proposition 8.1.4 si G der est anisotrope. Annexe A. Erratum pour [LW]
Dans cette annexe, les notations sont celles de [LW].(i) - Dans l’énoncé de [LW, 4.2.2] page 86 apparaît un signe ( − a Q − a G qui esterroné : il faut supprimer ce signe. L’erreur est engendrée par une faute de frappedans la preuve : dans la formule (1) en haut de la page 87 on doit lire ( − a R − a Q au lieu de ( − a R − a G .(ii) - Il a été observé par Delorme que dans la proposition [LW, 4.3.3] il faut ajouterune condition sur T . Non seulement T doit être « régulier » mais il doit être « loindes murs ». De fait, il est supposé implicitement que d P ( T ) > , mais il faut deplus fixer une constante c (positive assez grande) et se limiter à des T vérifiant k T k ≤ c d P ( T ) ou, ce qui revient au même, imposer (pour une autre constante) h α, T i ≤ c h β, T i pour tous les α et β ∈ ∆ . L’argument qui suit corrigeant la preuve de [LW, 4.3.3]est emprunté à un message de Waldspurger à Delorme. Démonstration.
On reprend la preuve et les notations de la proposition [LW, 4.3.2].On doit majorer | x | B | A Q,R ( x ) | pour Q ( R . L’expression A Q,R ( x ) est donnée par une somme sur ξ ∈ Q ( F ) \ G ( F ) ,mais pour x fixé il y a au plus un ξ modulo Q ( F ) tel que F QP ( ξx, T ) σ RQ ( H ( ξx − T ) = 1 . Quitte à remplacer x par ξx , on peut supposer (1) F QP ( x, T ) = 1 , (2) σ RQ ( H ( x ) − T ) = 1 . D’après [LW, 3.6.2], on peut aussi supposer x = n ak avec n ∈ N Q ( A ) , a ∈ A G et k ∈ Ω un compact (qui ne dépend que de du choix du sous-groupe parabolique Q ). Pour les majorations, on peut aussi bien supposer k = 1 . On impose aussi que n est dans un compact, ce que l’on peut assurer en le multipliant à gauche parun élément de N Q ( F ) . D’après [LW, 4.3.1], pour tout entier r ≥ , il existe unopérateur différentiel X Q,R de degré r , qui ne dépend que de Q , R , r , tel que | A Q,R ( x ) | ≤ sup n ′ ∈ N Q ( A ) | ρ (Ad( a − ) X Q,R ) ϕ ( n ′ a ) | . L’opérateur X Q,R est de la forme X Q,R = P m Z m avec Ad( e H ) Z m = e λ m ( H ) Z m pour H ∈ a RQ A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 131 où λ m est une combinaison linéaire à coefficients entiers ≥ r des racines dans ∆ RQ .On en déduit bien une majoration | A Q,R ( x ) | ≪ sup n ′ ,m e − r P α ∈ ∆ RQ h α, H ( a ) i | ρ ( Z m ) ϕ ( n ′ a ) | où les Z m ne dépendent que de Q , R , r . D’où (3) | x | B | A Q,R ( x ) | ≪ e C ( a ) sup n ′ ,m | ρ ( Z m ) ϕ ( n ′ a ) || x | − A où on a posé C ( a ) = c ( B + A ) k H ( a ) k − r X α ∈ ∆ RQ h α, H ( a ) i ,c étant une constante telle que | a | ≤ e c k H ( a ) k . La proposition 4.3.3 résulte de (3) àcondition de prouver que C ( a ) ≤ − A · d P ( T ) . Ecrivons H ( a ) = H Q + H RQ + H R avec H Q ∈ A Q , H RQ ∈ A RQ et H R ∈ A R . La condition (1) impose k H Q k ≪ k T k . Lacondition (2) impose (d’après [LW, 2.11.6]) que k H R − T R k ≪ k H RQ − T RQ k , avec desdéfinitions évidentes de T R et T RQ . D’où k H R k ≪ k H Q k + k T k . Elle impose aussique h α, H RQ − T Q i > pour tout α ∈ ∆ RQ . On en déduit C ( a ) ≤ c ( A + B ) k H RQ k + c ( A + B ) k T k − r X α ∈ ∆ RQ h α, H Q + T Q i où c , c sont des constantes positives qui ne dépendent de rien. En choisissant r ≥ c ( A + B ) pour une constante c convenable, on a c ( A + B ) k H Q k − X α ∈ ∆ RQ < h α, H Q i ≤ . Pour α ∈ ∆ RQ , soit β ∈ ∆ se projetant sur α . On sait que α est la somme de β etd’une combinaison linéaire des γ ∈ ∆ Q à coefficients positifs ou nuls. Donc h α, T Q i ≥ h β, T i ≥ d P ( T ) . Alors C ( a ) ≤ c ( A + B ) k T k − | ∆ RQ | r d P ( T ) Si on impose, comme dit plus haut, une condition k T k ≤ c d P ( T ) , alors pour r ≥ c A + B ) , on a bien C ( a ) ≤ − A · d P ( T ) . (cid:3) (iii) - La formule pour le produit scalaire h Φ , Ψ i P , en bas de la page 93, donnéepar une intégrale sur X P = A P P ( F ) N P ( A ) \ G ( A ) n’a pas de sens si P = G . Eneffet le groupe A P P ( F ) N P ( A ) n’est pas unimodulaire et il n’y a pas de mesure G ( A ) -invariante à droite sur X P (cf. 5.1). Il convient de poser h Φ , Ψ i P = Z K Z X M Φ( mk )Ψ( mk ) d m d k .
32 JEAN-PIERRE LABESSE AND BERTRAND LEMAIRE
En revanche sur X P,G = A G P ( F ) N P ( A ) \ G ( A ) on dispose de la mesure quotient eton a la formule d’intégration Z X P,G e h ρ P , H P ( x ) i φ ( x ) d x = Z K Z X M,G φ ( mk ) d m d k qui est utilisée dans la preuve du théorème [LW, 5.4.2].(iv) - Page 104. Dans la définition de l’opérateur ρ P,σ,µ ( δ, y, ω ) il manque le carac-tère ω dans la définition de l’espace d’arrivée.(v) - Page 106, ligne 16 il faut lire K e G ( f, ω ; x, y ) = X i Z X G K e G ( g i , ω ; x, z ) K ∗ G ( ωh i ; z, y ) d z . (vi) - Page 111. Dans l’énoncé de la proposition [LW, 7.2.2] il faut prendre pour K et K des noyaux sur X θ ( P ) ,G × X P,G et sur X P,G × X P,G et remplacer lesintégrales sur X P par des intégrales sur X P,G .(vii) - Page 112. Il faut remplacer B P ( σ ) par B S ( σ ) dans la définition de H σ : ici M est un sous-groupe de Levi de S avec S ⊂ P . Cette erreur due à un copier-collerintempestif s’est propagée dans toute la suite de [LW].(viii) - Page 128, ligne -15. La définition de j e P, o ( x ) n’a pas de sens. Il faut laremplacer par j e P, o ( x ) = X δ ∈ o ∩ f M P ( F ) Z N ( δ, A ) ω ( x ) f ( x − δnx ) d n . De même, dans l’énoncé du lemme 9.2.2 page 129 il faut remplacer la premièreexpression par Z N ( F ) \ N ( A ) X δ ∈ o ∩ f M P ( F ) Z N ( δ, A ) φ ( n − δn n ) d n d n . (ix) - Page 128, ligne -13. Lire : la partie quasi semi-simple δ s de δ . (x) - Page 129. Dans la preuve du lemme 9.2.2, il convient de dire (même si c’estimplicite) que l’application du lemme [LW, 9.2.1] induit une application surjectivesur les groupes des points adéliques.(xi) - Page 130, ligne -10. Lire s ( δ ) au lieu de δ s .(xii) - Page 130, ligne -11. Lire I s ( δ ) ( F ) au lieu de I δ s .(xiii) - Page 130, ligne -6. Pour une classe de conjugaison quasi semi-simple c ondoit préciser que k T c est définie en remplaçant, dans la définition de k T o [LW, 9.2], lasomme sur P ⊃ P par la somme sur les P ⊃ P tels que f M P contienne un conjuguéde f M δ et l’ensemble o par l’orbite c .(xiv) - Page 150. Dans la formule pour ˆ τ e P ( H − X ) il faut sommer sur les e Q ∈ e P st tels que e P ⊂ e Q , i.e. prendre e R = e G .(xv) - Page 168, ligne 2. Lire : et sera à l’œuvre... (xvi) - Page 182. Dans l’énoncé du point ( ii ) du lemme 13.1.1, il faut lire : Pourtout λ ∈ a ∗ , etc . A FORMULE DES TRACES TORDUE POUR LES CORPS DE FONCTIONS 133 (xvii) - Pages 183–186 : l’indice Q devrait être en exposant dans les termes àdroite des équations (2) page 183, (7) page 185 et (8) page 186 de [LW]. Ellescorrespondent ici aux équations (3) et (5) de la section 13.2.(xviii) - Page 203. Dans l’inégalité ligne 12 et dans celle ligne -3, il faut remplacer Y P ′ ,e ( T ) par − Y P ′ ,e ( T ) .(xix) - Page 203, ligne -9. L’inégalité est stricte : il faut lire k U + V k > ρ k T k .(xx) - Page 205, majoration (1) : il faut lire | A Ts,t − E T | .(xxi) - Page 207 : e Y S ′ ( X ) est la projection de u − X sur t ( a S ) Q .(xxii) - Page 219, ligne -6 : l’expression pour A Q M ( T, σ, e u, µ ) faisant intervenir unetrace n’a de sens que si l’opérateur est un endomorphisme de l’espace A ( X S , σ ) . Laformulation correcte est celle du point ( i ) du lemme [LW, 14.1.4]. Références [A1]
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Institut de Mathématique de Marseille, UMR 7373, Aix-Marseille Université,France