aa r X i v : . [ m a t h . SP ] D ec LA G ´EOM ´ETRIE DE BAKRY- ´EMERY ET L’ ´ECARTFONDAMENTAL
JULIE ROWLETT
Abstract.
Cet article est une pr´esentation rapide, d’une partde r´esultats de l’auteur et Z. Lu [L-R09], et d’autre part, de lar´esolution de la conjecture de l’´ecart fondamental par Andrews etClutterbuck [A-C10]. Nous commen¸cons par rappeler ce qu’estla g´eom´etrie de Bakry-´Emery, nous poursuivons en montrant lesliens entre valeurs propres du laplacien de Dirichlet et de Neu-mann. Nous d´emontrons ensuite un rapport entre l’´ecart fonda-mental et la g´eom´etrie de Bakry-´Emery, puis nous pr´esentons lesid´ees principales de la preuve de la conjecture de l’´ecart fondamen-tal de [A-C10]. Nous concluons par des r´esultats pour l’´ecart destriangles et des simplexes. La g´eom´etrie de Bakry- ´Emery
Soit (
M, g ) une vari´et´e riemannienne (avec ou sans bord); Bakry et´Emery ont introduit une g´eom´etrie qu’ils ont utilis´ee pour ´etudier lesprocessus de diffusion [B-E83]. Une vari´et´e Bakry- ´Emery est un triplet(
M, g, φ ), o`u la fonction φ ∈ C ∞ ( M ). La mesure sur M est la mesure`a poids e − φ dV g , o`u dV g est la mesure associ´ee `a la m´etrique g . Lelaplacien de Bakry- ´Emery est donn´e par∆ φ = ∆ g − ∇ φ · ∇ . La courbure de Bakry- ´Emery-Ricci est Ric ∞ = Ric + Hess( φ ) . On s’int´eresse `a la g´eom´etrie de Bakry- ´Emery pour g´en´eraliser la g´eom´etriediff´erentielle aux vari´et´es singuli`eres; voir Sturm [S06], Wei-Wylie [WW07],et Lott [L03]. Il est possible de g´en´eraliser la notion de courbure deRicci aux vari´et´es singuli`eres qui sont la limite de Gromov-Hausdorffpoint´ee de vari´et´es riemanniennes lisses `a courbure de Ricci born´ee
Key words and phrases.
MSC 35P05, 58J50; fundamental gap, ´ecart fondamen-tal, valeurs propres du laplacian, valeurs propres Dirichlets, valeurs propres Neu-mann, g´eom´etrie Bakry-´Emery, laplacien d´erive, simplexes. Dans Lott [L03], elle est appel´ee ∞ -courbure-Bakry-´Emery-Ricci. inf´erieurement. Ces limites sont des espaces m´etriques-mesur´es, et sontaussi ´etudi´ees dans le transport optimal; voir Villani [V04].Le r´esultat suivant montre que pour une vari´et´e de Bakry- ´Emery dedimension n donn´ee, il existe une famille `a un param`etre (positif) dedomaines de dimension n + 1, qui s’effondrent sur la vari´et´e quand leparam`etre tend vers 0 de sorte que la famille `a un param`etre de valeurspropres associ´ees convergent vers celles de la vari´et´e. Th´eor`eme 1 (Lu-R.) . Soit ( M, g, φ ) une vari´et´e de Bakry- ´Emery (avecou sans bord). Soit M ε := { ( x, y ) ∈ M × R + | ≤ y ≤ εe − φ ( x ) } ⊂ M × R + . Soient { µ k } ∞ k =0 les valeurs propres du laplacien de Bakry- ´Emery de M ;lorsque ∂M = ∅ on consid`ere la condition Neumann au bord. Soient µ k,ε les valeurs propres (de Neumann si ∂M = ∅ ) du laplacien ˜∆ := ∆ g + ∂ y , sur M ε , o`u ∆ g est le laplacien pour la m´etrique g sur M . Alors, lim ε → µ k,ε = µ k ∀ k ∈ N . Une cons´equence imm´ediate de ce th´eor`eme est le
Corollaire 1 (Lu-R.) . Soit Ω un domaine de R n , et soit φ la premi`erefonction propre du laplacien euclidien sur Ω . Soit Ω ε := { ( x, y ) ∈ R n +1 | x ∈ Ω , ≤ y ≤ εφ ( x ) } . Soient { λ k } ∞ k =1 les valeurs propres de Dirichlet de Ω , et soient { µ k,ε } ∞ k =0 les valeurs propres de Neumann de Ω ε . Alors, lim ε → µ k − ,ε = λ k − λ , ∀ k ∈ N , k ≥ . Rappelons que pour un domaine Ω de R n , l’´ecart fondamental de Ωest la diff´erence entre les deux premi`eres valeurs propres de Dirichlet, λ − λ . Le corollaire a des implications int´eressantes pour l’´ecartfondamental; pour k = 2 on alim ε → µ ,ε = λ − λ . Techniques utiles.
Rappelons les principes variationnels clas-siques. Notre convention pour le laplacien associ´e `a une m´etrique rie-mannienne g est ∆ = 1 p det( g ) X i,j ∂ i g ij p det( g ) ∂ j . A G´EOM´ETRIE DE BAKRY-´EMERY ET L’´ECART FONDAMENTAL 3
Le laplacien euclidien est donc∆ = n X j =1 ∂ ∂x j . Les valeurs propres de Dirichlet (de Neumann) sont les nombres r´eels λ pour lesquels il existe une fonction, alors dite propre, u ∈ C ∞ (Ω) telleque − ∆ u = λu et u | ∂ Ω = 0 , (Neumann : ∂u∂n (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ∂ Ω = 0) , o`u n est le champ de vecteur normal de ∂ Ω. Les valeurs propres deDirichlet sont not´ees λ et indic´ees par N ≥ . Les valeurs propres deNeumann sont not´ees µ et indic´ees par N . Les valeurs propres deDirichlet et de Neumann satisfont les principes variationnels (voir parexemple Chavel [C74] et Courant-Hilbert [C-H53]) λ = inf f ∈C (Ω) (cid:26) R Ω |∇ f | R Ω f (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) f | ∂ Ω = 0 , f (cid:27) ,µ = inf f ∈C (Ω) (cid:26) R Ω |∇ f | R Ω f (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) f (cid:27) , et pour k > j > λ k = inf f ∈C (Ω) (cid:26) R Ω |∇ f | R Ω f (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) f | ∂ Ω = 0 , f Z Ω f φ j , < j < k (cid:27) ,µ j = inf f ∈C (Ω) (cid:26) R Ω |∇ f | R Ω f (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) f Z Ω f ϕ l , ≤ l < j (cid:27) , o`u φ j et ϕ l sont les fonctions propres associ´ees `a λ j et `a µ j , respec-tivement. Si on n’impose aucune condition au bord, la condition deNeumann est alors imm´ediatement satisfaite par la fonction r´ealisantl’infimum.Les valeurs propres satisfont aussi les principes “min-max” suivants: λ k = inf (cid:26) sup (cid:26) R Ω |∇ f | R Ω f (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) f ∈ L (cid:27)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) dim( L ) = k, f | ∂ Ω = 0 ∀ f ∈ L (cid:27) ,µ k = inf (cid:26) sup (cid:26) R Ω |∇ f | R Ω f (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) f ∈ L (cid:27)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) dim( L ) = k (cid:27) , o`u L ⊂ H (Ω). Les principes variationnels et min-max sont identiquespour un op´erateur Schr¨odinger ∆+ V , o`u le potentiel V est une fonctionlisse.Rappelons la proposition suivante [L-R09]: J. ROWLETT
Proposition 1.
Soit Ω ⊂ R n un domaine de R n `a bord lisse et soitune base orthonormale de fonctions propres { φ k } ∞ k =1 respectivement as-soci´ees aux valeurs propres Dirichlet { λ k } ∞ k =1 . Alors, pour tout k ∈ N , ψ k = φ k φ est lisse jusqu’au bord et satisfait: (1.1) ∆ ψ k + 2 ∇ log φ ∇ ψ k = − ( λ k − λ ) ψ k . (1.2) ∂ψ k ∂n (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ∂ Ω = 0 . De plus, ∇ log φ ∇ ψ k est lisse jusqu’au bord. Si le bord est seulementlisse par morceaux, l’´egalit´e (1.1) est encore satisfaite, ∇ log φ ∇ ψ k estlisse jusqu’aux parties lisses de ∂ Ω , et de plus l’´egalit´e (1.2) est v´erifi´eesur chaque composante lisse de ∂ Ω . Une cons´equence imm´ediate de la proposition pr´ec´edente (pour k = 2on retouve un r´esultat de Ma-Liu [M-L09]) est Proposition 2 (Lu-R./Ma-Liu) . Soit Ω ⊂ R n un domaine born´e de R n et soit { φ k } ∞ k =1 une base orthonormale de fonctions propres respective-ment associ´ees aux valeurs propres de Dirichlet { λ k } ∞ k =1 du laplacieneucildien. Soient { µ k } ∞ k =0 les valeurs propres de Neumann du laplaciende Bakry- ´Emery pour la fonction poid − φ . Alors, λ k − λ = µ k − ∀ k ∈ N , k ≥ . Motiv´e par cette proposition, nous avons d´emontr´es les principesvariationnels pour le laplacien de Bakry- ´Emery; pour k = 2 et M ⊂ R n ,c’est le corollaire 1.3 de Kirsch-Simon [K-S87]. Proposition 3 (Lu-R./Kirsch-Simon) . Soit ( M, g, φ ) une vari´et´e deBakry- ´Emery (avec ou sans bord). Les valeurs propres du laplacien deBakry- ´Emery satisfont:pour la condition Dirichlet si ∂M = ∅ : λ = inf ϕ ∈C ( M ) (cid:26) R M |∇ ϕ | e − φ R M ϕ e − φ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ , ϕ | ∂M = 0 (cid:27) ; pour la condition Neumann si ∂M = ∅ : µ = inf ϕ ∈C ( M ) (cid:26) R M |∇ ϕ | e − φ R M ϕ e − φ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ , (cid:27) . Pour k ≥ , λ k = inf ϕ ∈C ( M ) (cid:26) R M |∇ ϕ | e − φ R M ϕ e − φ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ Z M ϕϕ j e − φ , ≤ j < k, ϕ | ∂M = 0 (cid:27) , A G´EOM´ETRIE DE BAKRY-´EMERY ET L’´ECART FONDAMENTAL 5 µ k = inf ϕ ∈C ( M ) (cid:26) R M |∇ ϕ | e − φ R M ϕ e − φ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ Z M ϕϕ j e − φ , ≤ j < k (cid:27) , o`u ϕ j est la fonction minimisante quand k = j . Si M ⊂ R n avec valeurs propres de Dirichlet { λ k } ∞ k =1 et fonctionspropres orthonormales associ´ees { φ k } ∞ k =1 , et si la fonction poid est φ = − φ , le principe variationnel pour ( M, g eucl , φ ) est alors λ k − λ = inf ϕ ∈C (Ω) (cid:26) R Ω |∇ ϕ | φ R Ω ϕ φ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ (cid:27) , et pour k ≥ λ k − λ = inf ϕ ∈C (Ω) (cid:26) R Ω |∇ ϕ | φ R Ω ϕ φ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ Z Ω ϕϕ j φ , ≤ j < k (cid:27) . Naturellement, si il y a un principe variationnel, il y a aussi unprincipe min-max.
Proposition 4 (Lu-R.) . Soit ( M, g, φ ) une vari´et´e de Bakry- ´Emery(avec ou sans bord). Alors les valeurs propres du laplacien de Bakry-´Emery satisfont: pour la condition Dirichlet si ∂M = ∅ λ k = inf (cid:26) sup (cid:26) R M |∇ ϕ | e − φ R M ϕ e − φ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ ∈ L (cid:27)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) dim ( L ) = k, f | ∂ Ω = 0 ∀ f ∈ L (cid:27) , et pour la condition Neumann si ∂M = ∅ : µ k = inf (cid:26) sup (cid:26) R M |∇ ϕ | e − φ R M ϕ e − φ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ ∈ L (cid:27)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) dim ( L ) = k (cid:27) , o`u L ⊂ H ( M, e − φ dV g ) . Une estimation utile est donn´ee par la proposition suivante:
Proposition 5 (Lu-R.) . Soient k ≥ , et ξ , · · · , ξ k orthogonales (etnon triviales) dans ( M, g, φ ) , c’est-`a-dire que ξ i , ≤ i ≤ k et Z M ξ i ξ j e − φ = 0 , i = j. Alors, si ∂M = ∅ , ou si ∂M = ∅ et on consid`ere alors la conditionde Neumann au bord, les valeurs propres du laplacien de Bakry- ´Emery { µ j } satisfont k X j =0 µ j ≤ k X j =1 R M |∇ ξ j | e − φ R M | ξ j | e − φ . J. ROWLETT L’´ecart fondamental
La fonction ´ecart ξ sur l’espace des domaines de R n est d´efinie commesuit: ξ : M → R , ξ ( M ) = d ( λ − λ ) , o`u d est le diam`etre de M et λ < λ sont les premi`eres valeurs pro-pres du laplacien euclidien avec la condition de Dirichlet au bord. Le probl`eme de l’´ecart consiste `a estimer la fonction ´ecart sur l’espace desdomaines convexes. Lorsque les domaines ne sont pas convexes, en con-sid´erant des domaines qui ont la forme de deux sph`eres separ´ees parune longue tube, l’´ecart tend vers zero. Si le domaine est normalis´ede sorte `a avoir diam`etre un, la fonction ´ecart est alors ´egale `a l’´ecartfondamental : λ − λ . Van den Berg [V83] a conjectur´e que la fonction ´ecart (sur les domainesconvexes) est born´ee inf´erieurement par une constante; il est donc na-turel de conjecturer que la constante est 3 π , l’´ecart de l’intervalle[0 , R ∼ = [0 , a ] × [0 , b ], o`u a ≥ b . Les valeurs propres sontalors λ j,k = π j a + π k b , et l’´ecart fondamental est 3 π a . La fonction ´ecart est 3 π ( a + b ) a . On voit dans cet exemple que la fonction ´ecart sur les rectangles estmaximis´ee par le carr´e et tend vers son infimum 3 π quand un rectangles’´ecrase sur un intervalle.Les premiers r´esultats estimant l’´ecart utilisent des estimations degradient dans l’esprit de Li-Yau [L-Y79]; Singer-Wong-Yau-Yau [SWYY85]ont montr´e que l’´ecart satisfait ξ ≥ π . En raffinant p´eniblement les mˆemes techniques, Yu-Zhong [Y-Z86] prouvel’estimation ξ ≥ π ;voir aussi Li-Treibergs [L-T91]. A G´EOM´ETRIE DE BAKRY-´EMERY ET L’´ECART FONDAMENTAL 7
Le corollaire 1 montre que si le diam`etre de M est un alors ξ = lim ε → µ ,ε . En utilisant ce corollaire directement avec les estimations de gradi-ent de [L-Y79], on obtient les r´esultats de [SWYY85] et [Y-Z86] avecdes preuves beaucoup plus courtes. Nous avons remarqu´e [L-R09]que le Hessien du logarithme de la premi`ere fonction propre joue lerˆole de la courbure Ricci pour les estimations de gradient de Li-Yau.On peut obtenir tous les r´esultats d’estimations de gradient pour lag´eom´etrie de Bakry- ´Emery; c’est un projet int´eressant que d’appliquerde tels r´esultats aux espaces m´etriques-mesur´es [S06]. Dans tous lescas, l’observation que le Hessien du logarithme de la premi`ere fonctionpropre joue le rˆole de la courbure Ricci a ´et´e une des cl´es de la preuvede la conjecture de l’´ecart fondamental.L’autre cl´e est l’´ecart associ´e `a un op´erateur Schr¨odinger `a potentielconvexe en dimension une; en dimension une, ce probl`eme a ´et´e resolupar Lavine [L94, Theorem 3.1].
Th´eor`eme 2 (Lavine) . Soit V une fonction convexe sur [0 , R ] et soient λ , λ les deux premi`eres valeurs propres de Dirichlet (respectivementNeumann) de l’op´erateur Schr¨odinger − d /dx + V sur [0 , R ] . Alors λ − λ ≥ Γ , o`u Γ est l’´ecart fondamental pour V = constante pour l’op´erateur deDirichlet (respectivement de Neumann), et il y a ´egalit´e si et seulementsi V = constante . Alors, pour l’op´erateur de Dirichlet, λ − λ ≥ π R , et pour l’op´erateur de Neumann λ − λ ≥ π R . Pour utiliser le th´eor`eme de Lavine, Andrews et Clutterbuck intro-duisent les module de continuit´e et module de convexit´e/concavit´e. D´efinition 1 (Andrews-Clutterbuck) . Soient une fonction η : R + → R + et une fonction f : Ω → R , o`u Ω ⊂ R n est un domaine. La fonction η est un module de continuit´e pour la fonction f si | f ( y ) − f ( x ) | ≤ η (cid:18) | y − x | (cid:19) . Pour d´efinir le module de convexit´e et concavit´e il faut d’abord d´efinirle module d’expansion et module de contraction. J. ROWLETT
D´efinition 2 (Andrews-Clutterbuck) . Soit une fonction ω : R + → R et soit X un champs de vecteur d´efini sur un domaine Ω ⊂ R n . Lafonction ω est un module d’expansion pour X si ( X ( y ) − X ( x )) · y − x | y − x | ≥ ω (cid:18) | y − x | (cid:19) , ∀ x, y ∈ Ω , y = x. La fonction ω est un module de contraction pour X si − ω est un moduled’expansion pour − X . D´efinition 3 (Andrews-Clutterbuck) . Soit une fonction ω : R + → R et soit f une fonction semi-convexe sur un domaine Ω ⊂ R n . Lafonction ω est un module de convexit´e pour f si ω est un moduled’expansion pour le champs de vecteur donn´e par le gradient de la fonc-tion f , ∇ f . La fonction ω est un module de concavit´e pour f si elleest un module de contraction pour ∇ f . Ensuite, Andrews et Clutterbuck ont utilis´e ces id´ees pour raffinerle r´esultat de Brascamp-Lieb [B-L76]: Hess log φ ≤
0. Andrews etClutterbuck d´emontrent que (log ˜ φ ) ′ est un module de concavit´e pourlog φ , o`u ˜ φ est la fonction propre pour un op´erateur Schr¨odinger endimension une. Ce r´esultat signifie que φ est “davantage log-concave”que la premi`ere fonction propre du probl`eme en dimension une. Puisquele probl`eme a ´et´e resolu en dimension une, Andrews et Clutterbuckobtiennent l’estimation pour l’´ecart en dimension n [A-C10, Theorem1.3] suivante: Th´eor`eme 3 (Andrews-Clutterbuck) . Soit Ω ⊂ R n un domaine con-vexe de diam`etre R . Soient λ et λ les premi`eres valeurs propresDirichlet de ∆ + V sur Ω . Soit une fonction ˜ V ∈ C ([0 , R ]) , et soient E et E les premi`eres valeurs propres Dirichlet de − d /dx + ˜ V sur [0 , R ] . Si ˜ V ′ est un module de convexit´e pour V , alors λ − λ ≥ E − E . Enfin, ils ont montr´e la conjecture de l’´ecart fondamental.
Corollaire 2 (Andrews-Clutterbuck) . Si V est convexe alors λ − λ ≥ π R . Si on consid`ere l’´ecart sur l’espace des modules du triangle, il secomporte totalement diff´eremment.
A G´EOM´ETRIE DE BAKRY-´EMERY ET L’´ECART FONDAMENTAL 9 L’´ecart de simplexes
Dans la derni`ere section de cet article, nous consid´erons un probl`emeplus concret. Rappelons qu’un n -simplexe X est un ensemble de n + 1vecteurs { v , · · · , v n } de R n tels que v − v , · · · , v n − v sont lin´eairementind´ependants. Le domaine convexe ( n X j =0 t j v j (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) n X j =0 t j = 1 , t j ≥ ≤ j ≤ n ) est l’enveloppe convexe de { v , · · · , v n } . Ce domaine est born´e, `a bordlisse par morceaux. Par simplicit´e, nous ´ecrivons le simplexe X poursignifier `a la fois { v , · · · , v n } et l’enveloppe convexe de { v , · · · , v n } .Si n = 2, un simplexe est simplement un triangle. L’espace des mod-ules du n -simplexe est parametr´e par l’ensemble des n -simplexes dediam`etre un. En contraste du th´eor`eme de Andrews et Clutterbuck,la fonction ´ecart sur l’espace des modules du n -simplexe n’est pas min-imis´e par l es simplexes qui s’effondrent en dimension inf´erieure. Th´eor`eme 4 (Lu-R.) . Soit Y un ( n − -simplexe, o`u n ≥ . Soit { X j } j ∈ N une suite de n -simplexes, telle que chacun est un graphe sur Y et la hauteur de X j sur Y tend vers zero quand j → ∞ . Alors, ξ ( X j ) → ∞ , j → ∞ . Il existe alors une constante
C > d´ependant seulement de n et de Y telle que ξ ( X j ) ≥ Ch ( X j ) − / , o`u h ( X j ) est la hauteur de X j sur Y . Dans le cas des triangles ( n = 2), le th´eor`eme implique alors lecorollaire suivant: Corollaire 3 (Friedlander-Solomyak) . Soit P l’espace des modules dutriangle. Alors, la fonction ´ecart ξ : P → R est propre. Le corollaire implique l’existence d’un triangle minimisant l’´ecart; encollaboration avec T. Betcke [B-L-R], on montre la conjecture d’Antunes-Freitas [A-F08]:
Th´eor`eme 5 (Betcke-Lu-Rowlett) . Soit T un triangle. Alors, ξ ( T ) ≥ π , et il y a ´egalit´e si et seulement si T est ´equilat´eral. Une preuve ind´ependante de ce th´eor`eme se trouve dans [L-R08].
Il est alors naturel de proposer la g´en´eralisation suivante:
Conjecture 1.
Soit M n l’espace des modules du n -simplexe, n ≥ .Alors la fonction ´ecart ξ : M n → R est propre, et le simplexe d´efini par p , p , . . . , p n ∈ R n de sorte que | p i − p j | = 1 for ≤ i = j ≤ n minimise uniquement la fonction ´ecart sur M n . References [A-C10] B. Andrews et J. Clutterbuck,
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