La théorie arithmétique des grandeurs algébriques de Kronecker (1882)
aa r X i v : . [ m a t h . HO ] J a n La théorie arithmétique des grandeursalgébriques de Kronecker (1882) ∗ Erwan Penchèvre
La préface des
Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischenGrössen annonce en quelques phrases le projet de Kronecker, qui, selon Dieu-donné ([6], p. 27), « was the first to dream of one vast algebraico-geometricconstruction comprising the theory of numbers and algebraic geometry ». Lapremière partie des
Grundzüge est une théorie des extensions de corps etdes entiers algébriques. Comme l’indique Kronecker et comme l’a démontréH. M. Edwards, une bonne définition du concept même d’entier est à cetégard cruciale. Dans la deuxième partie, il s’agit alors de faire une théoriede la divisibilité dans les anneaux d’entiers. Mais, comme le remarque J.Boniface, à la différence de Dedekind, Kronecker, lors du passage des en-tiers naturels aux entiers algébriques, ne s’intéresse pas tant à préserver leslois (théorème d’existence et d’unicité de la décomposition en facteurs pre-miers, qui joue un rôle majeur chez Dedekind, mais est secondaire, comme l’amontré Edwards, chez Kronecker) qu’à préserver les objets, ici le plus grandcommun diviseur de plusieurs entiers, qu’il définit pour un anneau d’entiersquelconque. Enfin, la théorie des corps construite par Kronecker concerneaussi bien les extensions transcendantes, qu’il manipule géométriquement aumoyen d’un concept de « variété » ( Mannigfaltigkeit ), et il laisse entendreà la fin de sa préface que le concept de « Stufe » (ce qui, traduit dans unlangage algébrico-géométrique plus moderne, désigne la codimension d’unesous-variété de l’espace affine) aura un rôle important dans l’édifice . Nous ∗ Mots clefs : Kronecker, algebraic geometry, algebraic number theory, eliminationtheory, 01A55, 13P15, 14-03, 11-03. Ce texte développe et corrige un chapitre de mathèse ; il a fait l’objet d’un exposé à la « Journée en l’honneur de Christian Houzel » àl’IHP (Paris) le 23 novembre 2007.1. Cf . p. 2 où il parle du problème de « la représentation de toutes les grandeurs entièresalgébriques d’un genre... par des fonctions linéaires de plusieurs grandeurs algébriques...afin de rendre réelles les grandeurs fractionnaires idéales »2. Selon Kronecker, à l’issue du dernier paragraphe des Grundzüge , il apparaîtra que« le concept de
Stufe convient pour remplacer le concept d’irrationalité algébrique ». Nousy reviendrons infra section 6.
Kronecker choisit délibéremment (il s’en justifie dans le § 1) d’éviter lemot « corps » utilisé par Dedekind, et il préfère parler de « domaine de ra-tionalité » (
Rationalitäts-Bereich ) pour désigner un corps Q ( R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) qu’il note lui-même de la manière suivante : ( R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) où R ′ , R ′′ , R ′′′ ,... sont des « grandeurs » données. Kronecker insiste d’embléesur le fait que le concept de « grandeur » recouvre ici les notions usuelles denombres rationnels et nombres irrationnels algébriques (tel √ ), aussi bienque celle de « grandeur indéterminée » ou de « fonction rationnelle de plu-sieurs grandeurs indéterminées ». Pour motiver sa démarche, il indique dès le§ 1 que la notion d’irréductibilité d’un polynôme (à coefficients dans un do-maine de rationalité) n’a de sens que relativement au domaine de rationalitéchoisi, et il remarque que Galois et Abel étaient déjà conscients du besoinde préciser le sens du mot « rationnel ». Il renvoie au manuscrit d’Abel Surla résolution algébrique des équations publié après sa mort en 1839. Abel ydéfinit en effet les différentes modalités du concept de « grandeur » presquecomme Kronecker, et il écrit :D’après la nature des quantités connues nous ferons les distinc-tions suivantes :1. Une quantité qui peut s’exprimer algébriquement par l’unités’appelle un nombre algébrique ; si elle peut s’exprimer ra-tionnellement par l’unité, elle s’appelle un nombre rationnel,et si elle peut être formée de l’unité par addition, soustrac-tion et multiplication, elle s’appelle un nombre entier.2. Si les quantités connues contiennent une ou plusieurs quan-tités variables, la quantité y est dite fonction algébrique,rationnelle ou entière de ces quantités selon la nature desopérations nécessaires pour la former. Dans ce cas on re-garde comme quantité connue toute quantité constante. cf . [1] t. 2 p. 224. Ailleurs, sur le caractère relatif de la notion d’irréductibilité,Abel s’exprimait ainsi : « Une équation φx = 0 , dont les coefficiens sont des fonctionsrationnelles d’un certain nombre de quantités connues a , b , c ,... s’appelle irréductible ,lorsqu’il est impossible d’exprimer aucune de ses racines par une équation moins élevée,dont les coefficiens sont également des fonctions rationnelles de a , b , c ,... » ([1], t. I, p. 479).
2e lexique introduit par Kronecker au § 2 de son mémoire permet dedécrire le contexte relatif, que l’on exprime aujourd’hui en précisant de quelcorps de base un corps donné est l’extension. Kronecker nomme « domainede base » (
Stammbereich ) un corps de base Q ( R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) , et « domainede genre G ′ » ( der Bereich der Gattung G ′ ) une extension engendrée parla grandeur G ′ , c’est-à-dire de la forme Q ( G ′ , R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) , ce qu’il notelui-même : ( G ′ , R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) Un genre G ′ est dit « d’ordre n » quand G ′ est de degré n sur le corps debase ; il est dit « genre galoisien » quand l’extension est galoisienne (c’est-à-dire que tous les conjugués de G ′ appartiennent à Q ( G ′ , R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) ).Dans la terminologie de Kronecker, l’expression « genre G ′ » ne s’appliqueen fait qu’à l’ensemble des éléments primitifs (c’est-à-dire les éléments demême degré que G ′ sur le corps de base) de l’extension considérée, tandisque l’expression « domaine de genre G ′ » désigne toute l’extension. Kroneckerdémontre que le degré d’une sous-extension divise le degré de l’extension.Au § 3, Kronecker remarque que l’on peut construire toute extension de Q par l’adjonction « d’un certain nombre de grandeurs variables ou indé-pendantes, et de fonctions algébriques de celles-ci ». Il démontre ensuite lethéorème de l’élément primitif, qui permet d’écrire toute extension de typefini de Q sous la forme Q ( R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) où tous les R sauf un sont desindéterminées. Il mentionne aussi l’existence d’extensions qui ne sont pas detype fini, telle la clôture algébrique de Q , mais il choisit de restreindre sonpropos aux extensions de type fini .Par anticipation, remarquons déjà que tout le développement des Grundzüge se rapportera tantôt à l’une, tantôt à l’autre des trois structures suivantes :– un anneau d’entiers O K ⊂ K où K est une extension algébrique de Q (c’estl’objet de la théorie des nombres algébriques)– un anneau de degré de transcendance ( n − sur Q , engendré par ( n − indéterminées : Q [ x , ..., x n − ] ⊂ Q ( x , ..., x n − ) (c’est l’objet de la théoriedes variétés affines sur un corps, et de la théorie de l’élimination)– un anneau d’entiers O K ⊂ K où K est une extension algébrique k ( x n ) d’uncorps k = Q ( x , ..., x n − ) de degré de transcendance ( n − sur Q Mais quand on parle de « structures algébriques » dans l’œuvre de Kronecker,il faut bien-sûr y mettre un bémol puisqu’il avait un point de vue finitiste etrefusait l’usage d’ensembles infinis.
4. En fait, Kronecker n’impose pas de limite au nombre d’interminées R ′ , R ′′ , R ′′ , ... . Ilpourrait y en avoir une infinité, et il serait donc plus exact de parler, de manière générale,d’« extensions finies d’extensions purement transcendantes de Q ». F ( x, x ′ , x ′′ , ... ) à coef-ficients dans une extension de type fini de Q . Il remarque d’emblée que d’habi-tude on avait recours à la théorie de l’élimination pour résoudre ce problème.Et que l’on pense en effet aux travaux des algébristes du XVII ème pour larecherche de facteurs rationnels (Jan Hudde) par la méthode des coefficientsindéterminés, puis aux travaux de Lagrange que nous avons déjà commentés.Les raisonnements sur lesquels Bézout (et plus tard Cayley) fonde sa théoriede l’élimination, et que les progrès de l’algèbre linéaire jusqu’à Kronecker nepeuvent éclaircir d’avantage, ont un défaut que la théorie de l’éliminationconçue par Poisson (puis Hesse et Schläfli) ne peut relever, puisque celle-ci se place d’emblée dans le cadre restreint du résultant d’un système de n équations ayant un nombre fini de solutions. Une théorie plus générale étaitencore à naître. Revenons au § 4 des Grundzüge . Kronecker juge que :...lors du développement naturel et complet de la théorie de l’éli-mination on utilise la décomposition d’une fonction entière en sesfacteurs. C’est pourquoi on aura recours ici à une nouvelle mé-thode [de décomposition] qui ne nécessite que des moyens simples,déjà applicable ici.Ce qui semblait d’abord n’être qu’une exigence gratuite d’effectivité revêtdonc une autre dimension. Kronecker entend fonder la théorie de l’élimina-tion. Certes la théorie kroneckerienne de l’élimination est une théorie effec-tive : il ne s’agit ni de donner une définition a priori du résultant, ni dedonner seulement une borne au nombre de solutions d’un système d’équa-tions polynomiales, mais vraiment de résoudre un tel système absolumentquelconque. La méthode d’élimination proposée par Kronecker consiste enfait, interprétée en termes modernes, en la décomposition d’une variété algé-brique affine (ensemble des solutions d’un système d’équations polynomiales)en ses composantes irréductibles. Et cette méthode requiert en effet un algo-rithme pour décomposer un polynôme en ses facteurs irréductibles. Décrivonsrapidement celui que donne Kronecker. En faisant le produit des conjuguésdu polynôme F ( x, x ′ , x ′′ , ... ) et en posant x ′ = c x g , x ′′ = c x g , ... x ( n ) = c n x g n pour g assez grand, il se ramène au cas d’un polynôme F ( x ) à une indétermi-4ée, à coefficients dans Z . Dans ce cas, il représente le facteur f ( x ) cherchépar une formule d’interpolation f ( x ) = f ( r ) g ( x ) + f ( r ) g ( x ) + ... + f ( r n ) g n ( x ) où les r i sont des entiers distincts quelconques, et les g n ( x ) certains poly-nômes. Si f ( x ) est un facteur de F ( x ) , alors pour tout i , f ( r i ) divise F ( r i ) ,et il n’y a donc qu’un nombre fini de facteurs f ( x ) possibles. A ce stade planeun mystère : quelle place peut bien avoir la théorie de l’élimination au seind’une « théorie arithmétique des grandeurs algébriques » ? Une première ré-ponse nous sera donnée par le rôle qu’occupe le discriminant dans la théoriearithmétique de Kronecker. Au §§ 5–7, Kronecker définit la « grandeur entière ». Il utilise à cet effetune nouvelle notation [ R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ] pour désigner l’anneau que l’on noterait aujourd’hui Z [ R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ] . Krone-cker classe les grandeurs entières en « espèces » ( Art ) au sein d’un « genre ».Si R ′ , R ′′ , R ′′′ ,... sont des indéterminées, les entiers de Q ( R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) sont simplement les éléments de Z [ R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ] . Dans une extension decorps, une grandeur est dite entière si elle est solution d’une équation à co-efficients entiers dans le corps de base et coefficient dominant égal à 1. Si S ′ , S ′′ , S ′′′ ,... sont des entiers algébriques dans un « domaine de genre » K = Q ( G , R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) sur un corps de base k = Q ( R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) , Kro-necker nomme l’anneau Z [ R ′ , R ′′ , R ′′′ , ..., S ′ , S ′′ , S ′′′ , ... ] un « domaine d’es-pèce ». La réunion de tous les domaines d’espèces d’un même domaine degenre constitue la clôture intégrale de l’anneau d’entiers du corps de basedans son extension. L’objectif des §§ 6 et 7 est de démontrer que cet en-semble est bien lui-même un « domaine d’espèce », que Kronecker qualifiera
5. Une définition de la notion d’entier algébrique commence nécessairement par la don-née, assez arbitraire, d’un anneau d’entiers en quelque sorte « absolu », intégralementclos, dont chaque autre anneau d’entiers sera une certaine clôture intégrale dans une ex-tension de son corps de fractions. En caractéristique zéro, le choix naturel est celui de Z . Mais parfois, Kronecker énonce des résultats « en faisant abstraction des coefficientsentiers » ( sofern von den Zahlcoefficienten abgesehen wird , cf . par exemple début du § 7).Cela revient alors à définir l’anneau d’entiers absolu comme étant Q [ R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ] , où R ′ , R ′′ , R ′′′ ,... sont des indéterminées (remarquez que dans ces conditions, aussi bien Z [ R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ] que Q [ R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ] sont intégralement clos dans leur corps de fractioncommun Q ( R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) ). Haupt-Art ). Kronecker démontre un peu plus : no-tons O k l’anneau d’entiers du corps de base k et O K sa clôture intégrale dans K , alors O K est un O k -module de type fini. Au § 6, il montre que O K estun O k -module de type fini, en se ramenant au cas où k est une extensionpurement transcendante de Q (au § 7, il remarque que dans certains cas, unnombre n de générateurs suffisent, où n est le degré de K sur k ) . A cet effet,il introduit le concept de discriminant de n grandeurs x (1) , x (2) , ..., x ( n ) d’ungenre d’ordre n : c’est le carré du déterminant (cid:12)(cid:12)(cid:12) x ( h ) i (cid:12)(cid:12)(cid:12) ( h, i = 1 , , ..., n ) oùpour tout h , x ( h )1 , x ( h )2 ,..., x ( h ) n sont les conjugués de x ( h ) . Ce concept étaitdéjà présent, sans être nommé, dans son article de 1862 (publié en 1881) Über die Discriminante algebraischer Functionen einer Variabeln . Commeson titre l’indique, ce texte se restreignait au cas des grandeurs algébriquessur un corps de base de la forme k = Q ( v ) (où v est une indéterminée). Kro-necker y étudiait le discriminant d’une grandeur x solution d’une équationirréductible de degré n à coefficients dans ce corps, discriminant défini commeétant le carré de (cid:12)(cid:12) x hi (cid:12)(cid:12) où les x hi (pour ≤ i ≤ n et ≤ h ≤ n − ) sont lesconjugués des n premières puissances de x . Le discriminant d’une grandeur x est donc le discriminant des n grandeurs , x, ..., x n − , et il coïncide d’ailleursavec le discriminant de l’équation , défini comme produit des différences desracines. Soit x une grandeur entière algébrique sur k , et K = k ( x ) . Dans cecas particulier, n générateurs suffisent à engendrer le O k -module O K . Kro-necker montre que, pour tout autre grandeur algébrique entière y sur k telleque K = k ( y ) , le discriminant ∆ de ces n générateurs divise le discriminantde y . Il l’appelle alors « facteur essentiel » du discriminant de y ( wesent-liche Theiler ). Il montre même que ∆ est le plus grand commun diviseur detous ces discriminants , ce qui lui donne un sens intrinsèque (indépendantdu choix des générateurs). Il montre de plus que le « facteur non essentiel »du discriminant de y est toujours un carré. Dans la préface de 1881 à cetarticle, Kronecker écrivait :Je pourrais décrire comme étant l’un des principaux fruits de cetravail le fait que le traitement du cas pour ainsi dire général ou
6. A partir du § 6, et au moins jusqu’au § 18, Kronecker utilise souvent l’hypothèseque k est une extension purement transcendante de Q ( natürliche Rationalitäts-Bereich ).C’est le fait que k ait un anneau d’entiers factoriel qui importe dans les démonstrations.On n’obtient donc une théorie relative de la divisibilité dans les anneaux d’entiers que sil’anneau d’entiers du corps de base a lui-même « naturellement » une telle théorie. Detoute façon, comme on l’a déjà remarqué, tous les corps considérés par Kronecker sont desextensions finies d’extensions purement transcendantes de Q .7. Lorsque les n grandeurs sont des entiers algébriques, le fait que les conjugués d’unentier soient eux-mêmes des entiers implique que le discriminant est un entier algébrique.8. Cf . p. 221. Riemann, dans sa
Théorie des fonctions abéliennes , s’était en effet restreintau cas des fonctions dont les points de ramification « coïncident seulementpar paires, et en se détruisant » ( cf . § VI). Kronecker démontre qu’il existe un ξ ∈ K dans le discriminant duquel le facteur essentiel et le facteur non essen-tiel n’ont aucune racine commune et les racines du facteur non essentiel sonttoutes des racines de multiplicité exactement égale à 2. Géométriquement, lesracines du facteur essentiel sont le lieu de ramification de ξ , vu comme fonc-tion de la variable v , et les racines du facteur non essentiel correspondent àce que Riemann appelait des « points de ramification qui coïncident », c’est-à-dire, dans un langage plus moderne, à des points singuliers de la courbed’équation F ( ξ, v ) = 0 (remarquons que la « surface de Riemann » de ξ n’estautre qu’un modèle non singulier de cette courbe, au sein de sa classe d’équi-valence birationnelle). Kronecker est donc parvenu à transformer l’équationen une équation dont les points singuliers sont tous des points doubles d’abs-cisses distinctes et situés hors de son lieu de ramification. Noether ( cf . [4],p. 370–375) y a vu la première méthode de résolution des singularités descourbes algébriques planes, préfigurant les résultats de peu postérieurs (dé-but des années 1870) de Noether, Hamburger et Weierstrass ( cf . [24] section13.2).Mais revenons aux Grundzüge . Le discriminant (et le lieu de ramifica-tion) était un invariant important en théorie des nombres (Dirichlet avaitpar exemple donné une formule dépendant du discriminant pour le nombrede classes d’un corps quadratique) ainsi qu’en théorie des fonctions d’unevariable (par exemple pour déterminer le genre d’une surface de Riemann).Kronecker cherche à présent (§ 8) à généraliser cette notion au cas de plusieursvariables. Mais, dans le cas général, le système de générateurs du O k -module O K a plus de n éléments, et Kronecker considère le « système fondamental dediscriminants », ensemble des discriminants des générateurs pris n à n , ainsique (dans le langage d’aujourd’hui) l’idéal engendré par tous ces discrimi-nants . Géométriquement, c’est-à-dire quand les indéterminées du corps debase sont conçues comme des variables, il explique que la variété des zéros decet idéal est un « invariant du genre ». Dans son langage, il représente en faitcet idéal par une forme linéaire dont les coefficients sont les discriminants des Cf . p. 199.10. Dans la terminologie moderne, cet idéal est un « idéal déterminantiel », cf . [10]. n à n (on verra plus loin le rapport avec le concept d’idéal).Dans le cas où l’anneau d’entiers du corps de base est factoriel, il proposede définir le discriminant du genre comme étant le plus grand commun divi-seur ∆ des discriminants des générateurs pris n à n (sa variété des zéros est,nous dit Kronecker, une partie de la variété des zéros de l’idéal ci-dessus).Kronecker montre qu’alors, si x ′ , x ′′ ,..., x ( n + m ) sont les générateurs de O K ,et u x ′ + u x ′′ + ... + u n + m x ( n + m ) un élément générique de O K , le facteur deson discriminant indépendant des u divise une puissance de ∆ .Jusqu’ici, Kronecker a donc posé les fondements d’une théorie des ex-tensions de corps et des anneaux d’entiers, dans laquelle le polynôme mini-mal d’une grandeur (qui détermine ses conjugués, l’ordre du genre auquelelle appartient, son discriminant, et est unitaire à coefficients entiers si etseulement si la grandeur est entière ) joue un rôle important. Mais unethéorie complète de la « grandeur algébrique » ne peut faire l’économie del’étude des « systèmes absolument quelconques d’équations » ( ganz allge-meiner Gleichungssysteme ). Il faudrait par exemple généraliser le conceptde discriminant d’une grandeur algébrique (solution d’une équation à coeffi-cients dans le corps de base) au cas d’un système de grandeurs, solution d’unsystème d’équations à plusieurs inconnues. Au § 10, Kronecker remarque queles rapports des ( n + 1) grandeurs x , x ′ , ..., x ( n ) solutions d’un système de n équations homogènes F = 0 , F = 0 , ..., F n = 0 sont algébriques et défi-nissent un « genre » (en toute rigueur, il faut supposer ici qu’il n’y a qu’unnombre fini de solutions) : cet ensemble de grandeurs engendre une extensionalgébrique du corps des coefficients des équations. Dans ce cas, il propose dedéterminer directement le discriminant du genre, au moyen d’un jacobien(généralisant ainsi le discriminant d’une équation à une inconnue, résultantde l’équation et de sa dérivée). Il se donne une ( n + 1) -ième forme de degréquelconque F à coefficients indéterminés et considère le résultant des ( n + 1) équations F = 0 , F = 0 , ..., F n = 0 , | F gh | = 0 où | F gh | est le jacobien de F , F , ..., F n . Il affirme alors, sans le démontrer,que le discriminant du genre est un facteur irréductible (quand les F sont
11. On remarquera de plus que la non-annulation du discriminant de u x ′ + u x ′′ + ... + u n + m x ( n + m ) , vu comme polynôme en u , ..., u n , est une condition pour que cet élémentsoit un élément primitif (puisqu’alors tous ses conjugués sont distincts). Kronecker utiliseainsi le discriminant dans un cas particulier, fin § 12.12. On est ici en caractéristique 0, donc si α est un entier algébrique, son polynômeminimal est Q ( X − α i ) , où les α i sont les conjugués distincts de α , entiers algébriques euxaussi. L’équation Q ( X − α i ) = 0 est alors une équation de dépendance intégrale de α .13. Pour donner un sens à cette affirmation, il faut préciser quel est l’anneau d’entiersdu corps de base, soit par exemple Z [ f ′ , f ′′ , ... ] où f ′ , f ′′ , ... sont les coefficients (génériques) F , et dont l’an-nulation est une condition nécessaire et suffisante pour que deux des solutionsdu système d’équations initial soient égales. Kronecker se propose de publier ultérieurement une étude générale sur les« systèmes absolument quelconques d’équations » et d’en indiquer seulementles principaux résultats dans les
Grundzüge . Il décrit alors, en un paragrapheque nous allons traduire intégralement, un véritable programme de recherchespour la théorie de l’élimination, au sein de laquelle le contexte relatif des« domaine de base » et « domaine de genre » aura désormais un rôle àjouer :Un système d’un nombre quelconque d’équations algébriques pour z , z ′ , z ′′ , ..., z ( n − , dont les coefficients appartiennent au domainede rationalité ( R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) , définit des relations algébriquesentre les grandeurs z et R , dont la connaissance et la représen-tation constituent le but de la théorie de l’élimination. Les m fonctions G , G , ..., G m qui, posées égales à zéro, constituent leséquations, doivent être supposées fonctions rationnelles entièresdes n grandeurs z , mais dont les coefficients sont seulement fonc-tions rationnelles (entières ou fractionnaires) des grandeurs R à coefficients entiers. Quant au nombre des fonctions, que l’onnote m , il ne faut aucunement le restreindre ; il peut, commedans le cas particulier – dit général – ci-dessus [cas du discrimi-nant de n équations homogènes à ( n + 1) inconnues] étre égal à n , c’est-à-dire au nombre des grandeurs z à déterminer, mais ilpeut aussi être plus grand ou plus petit que ce nombre. Si l’onconçoit les grandeurs z comme des variables libres ( als unbes-chränkt veränderlich ), alors les équations G = 0 constituent unecertaine restriction de cette variabilité ( eine gewisse Beschrän-kung dieser Variabilität ), dont une caractérisation plus précisepeut être décrite comme étant le problème de l’élimination. Ilfaut alors maintenir l’indétermination des grandeurs indétermi-nées parmi les grandeurs R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... , ou leur libre variabilitési elles sont conçues comme des variables ; c’est-à-dire que seule lavariabilité des grandeurs z est à caractériser, ce qui ne demande des équations. Pour une expression plus classique de ce « discriminant », cf . [23], tome I,volume 2, § 66, p. 147–148. R . La distinc-tion ainsi faite entre les variables z et celles qui surviennent parmiles grandeurs R est de la plus grande importance ; elle n’impliqueaucune restriction de la généralité, elle sépare plutôt seulementles problèmes distincts qui peuvent être posés par l’élimination,selon leur contenu conceptuel.On dirait aujourd’hui que Kronecker se propose d’étudier un idéal définissantune variété plongée dans un espace affine A n Q ( R ′ , R ′′ , R ′′′ ,... ) . Un des « principauxrésultats » de la théorie de Kronecker réside en la possibilité de ramenerle cas d’un système quelconque d’équations au cas d’une unique équation.Kronecker l’explique géométriquement à la fin du § 10 : toute composante Y de dimension k de la variété X ⊂ A n peut être projetée birationnellement sur une hypersurface d’une certaine sous-variété linéaire de dimension ( k +1) .Soient x (0) , x (1) , ..., x ( n − des coordonnées suffisamment générales de l’espaceaffine A n ; il suffira de projeter sur la sous-variété linéaire { x ( k +1) = x ( k +2) = ... = x ( n − = 0 } ≃ A k +1 . D’ailleurs, la projection de la composante de dimension k sur la sous-variété { x (0) = x ( k +1) = x ( k +2) = ... = x ( n − = 0 } ≃ A k en fait un revêtement ramifié. On a en effet le diagramme commutatif sui-vant : ( x (0) , x (1) , ..., x ( n − ) ( x (0) , x (1) , ..., x ( k ) , , ..., (0 , x (1) , x (2) , ..., x ( k ) , , ..., A n −−−→ A n −−−→ A n x x x Y p k −−−→ A k +1 q k −−−→ A k ( x (0) , x (1) , ..., x ( k ) ) ( x (1) , x (2) , ..., x ( k ) ) Notons π k = q k ◦ p k . Pour établir ces résultats, Kronecker donne une mé-thode effective de décomposition d’une variété en composantes irréductibles,qui consiste à éliminer les inconnues du système d’équations successivementl’une après l’autre. Chaque composante peut enfin être représentée comme
14. Pour retrouver ces résultats dans un contexte moderne, cf . [13], exercice I.4.8 p. 31,et l’article récent de Marc Giusti et Joos Heintz [11], qui étudie le coût (théorie de lacomplexité) de la méthode de Kronecker. Enfin [12] et [20] suggèrent que la méthode deKronecker est une alternative efficace aux algorithmes d’élimination ayant recours à des« techniques de réécriture » (c’est-à-dire aux bases de Gröbner). ( n + 1) équations.Kronecker commence par décrire sa méthode d’élimination. Supposons x ( n − , x ( n − ,..., x ( k +1) déjà éliminées, et l’image par p k des composantes de X de dimension ≤ k définie par un idéal ( H , H , ..., H m ) qui, outre l’imagede ces composantes, peut encore s’annuler sur certaines variétés « immer-gées » , images de variétés incluses dans des composantes de X de dimension > k .Le choix d’un système de coordonnées suffisamment général permet d’as-surer que l’image de toute composante irréductible de dimension ≤ k de X par p k est un fermé, que π k fait de toute composante irréductible de X de dimension k un revêtement ramifié de A k , et que les images par p k dedeux composantes de dimension ≤ k distinctes sont distinctes. Démontronsla première de ces trois assertions. La projection p k vérifie le diagrammecommutatif suivant : ( Z : X (0) : X (1) : ... : X ( n − ) X ( k +1) = X ( k +2) = ... = X ( n − = 0 } ∩ L ( Z : X (0) : X (1) : ... : X ( n − ) P n − { Z = X (0) = X (1) = ... = X ( k ) = 0 } −−−→ P n y y A n p k −−−→ A n ( X (0) Z , X (1) Z , ..., X ( n − Z ) ( X (0) Z , X (1) Z , ..., X ( k ) Z , , ..., où L ( Z : X (0) : X (1) : ... : X ( n − ) est la sous-variété linéaire projective de codimension ( k + 1) contenant ( Z : X (0) : X (1) : ... : X ( n − ) et { Z = X (0) = X (1) = ... = X ( k ) = 0 } . Notons Y la clôture projective d’une composante Y de X dedimension ≤ k . Alors dim Y ∩ { Z = 0 } ≤ k − . Or dim { Z = X (0) = X (1) = ... = X ( k ) = 0 } = n − k − Donc, d’après le théorème de Bertini, pour un choix de coordonnées X (0) ,..., X ( k ) suffisamment générales, on aura : dim Y ∩ { Z = X (0) = X (1) = ... = X ( k ) = 0 } < et Y évite { Z = X (0) = X (1) = ... = X ( k ) = 0 } . L’image de Y par p k estdonc fermée.
15. Macaulay les appellera ainsi. Kronecker semble ne pas être conscient de l’existence deces variétés immergées, dont Macaulay donnera un exemple ( cf . [21], exemple ( ii ) p. 22).
11n sépare de ( H , H , ..., H m ) ses composantes de dimension k en cher-chant le plus grand commun diviseur des polynômes H i , soit F n − k (ce quisuppose un algorithme de factorisation dans les anneaux de polynômes, donton a déjà parlé). Pour tout i , notons aussi K i = H i F n − k . On obtient ainsi unidéal ( K , K , ..., K m ) contenant l’image par p k des composantes de dimen-sion ≤ ( k − . On élimine ensuite x ( k ) . Pour ce faire, Kronecker calculesimplement le résultant des deux polynômes en x ( k ) (cid:26) U K + U K + ... + U m K m V K + V K + ... + V m K m où U , ..., U m et V , ..., V m sont des indéterminées. Ce résultant est une formeen ces indéterminées, dont les coefficients engendrent à leur tour un idéaldont le lieu des zéros contient l’image par p k − des composantes de X dedimension ≤ k − (ainsi que, peut-être, certaines variétés « immergées »).Conformément aux idées de Kronecker, pour étudier les composantes de di-mension k , il faut « maintenir la variabilité » des grandeurs x (1) , x (2) ,..., x ( k ) .Le polynôme F n − k ∈ k ( x (1) , ..., x ( k ) )[ x (0) ] fournit alors une équation F n − k = 0 décrivant la variabilité de la grandeur x (0) dans les composantes de dimen-sion k , et cette équation a un nombre fini de racines dans k ( x (1) , ..., x ( k ) ) .Autrement dit, l’hypersurface d’idéal ( F n − k ) est conçue comme un revête-ment ramifié de { x (0) = 0 } ⊂ A k +1 (le choix de coordonnées suffisammentgénérales permet d’assurer que x (0) ne prend pas de valeur infinie).Pour étudier de manière effective la relation entre chaque composanteirréductible Y de X de dimension k et son image p k ( Y ) , et en particulierla variabilité des autres variables x ( k +1) ,..., x ( n − en fonction de x (1) ,..., x ( k ) ,Kronecker utilise le même changement de variables que Poisson en 1802 ; ilchoisit comme nouveau système de coordonnées x = u x (0) + u x (1) + ... + u n − x ( n − , x (1) , x (2) , ..., x ( n − où u , u , ..., u n − sont des indéterminées . On applique alors seulement la
16. Ici, nous changeons légèrement les notations de Kronecker. De plus, dans les
Grundzüge , Kronecker parle en fait de deux changements de variables en même temps(nous faisions allusion au premier en disant qu’il fallait choisir un système de coordonnées« suffisamment général »). On pourrait croire qu’un deuxième changement de variablesest superflu, puisque on a déjà supposé le premier suffisamment général pour éviter les casd’exception. Mais le rôle du second changement de variables, comme l’a bien vu Macaulay,n’est pas d’éviter des cas d’exception. Il s’agit plutôt d’utiliser l’auxiliaire des coefficientsindéterminés pour donner une expression algébrique de la relation entre Y et p k ( Y ) . Cf .[21] p. 18, et aussi [23], II.2, p. 154 et 158. F n − k ∈ k ( u , u , ..., u n − , x (1) , x (2) , ..., x ( k ) )[ x ] F n − k est appelée « résolvente partielle » . Kronecker appelle « résolventetotale » ( Gesammtresolvente ) le produit Q F i = 0 des résolventes partielles.A chaque racine ξ de F n k correspond un feuillet de l’une des composantesde dimension k , paramétré par les variables x (1) ,..., x ( k ) , et dont les pointsont pour coordonnées ( ξ, x (1) , ..., x ( k ) , ξ ( k +1) , ξ ( k +2) , ..., ξ ( n − ) . Ces points ontpour coordonnées, dans le système de coordonnées initial : ( ξ (0) , x (1) , ..., x ( k ) , ξ ( k +1) , ..., ξ ( n − ) où l’on pose ξ (0) = u ( ξ − u x (1) − ... − u k x ( k ) − u k +1 ξ ( k +1) − ... − u n − ξ ( n − ) .On peut donc écrire : F n − k = Y i ( x − ξ i ) = Y i (cid:16) x − ( u ξ (0) i + u x (1) + ... + u k x ( k ) + u k +1 ξ ( k +1) i + ... + u n − ξ ( n − i (cid:17) où, pour tout i , ( ξ (0) i , ξ ( k +1) i , ..., ξ ( n − i ) ∈ (cid:16) k ( u , ..., u n − , x (1) , ..., x ( k ) ) (cid:17) n − k On a ainsi justifié l’affirmation de Kronecker, que les F n − k sont « décompo-sables en facteurs linéaires » en u ,..., u n − . Le choix initial de coordonnéessuffisamment générales permet encore d’assurer que les ξ (0) i , ξ ( k +1) i ,..., ξ ( n − i sont toutes finies, et l’on a ainsi décrit la réunion des composantes de dimen-sion k de X comme revêtement ramifié de A k par π k . Mais il est possible quecertains des feuillets ( ξ (0) , x (1) , ..., x ( k ) , ξ ( k +1) , ..., ξ ( n − ) ainsi décrits dépendent de u , ..., u n − . Macaulay a montré que si un tel feuilletexiste, il appartient à une variété « immergée ». Donc toutes les composantes Y de dimension k de X sont décrites par des paramétrages indépendants de u , ..., u n − : ( ξ (0) i , ξ ( k +1) i , ..., ξ ( n − i ) ∈ (cid:16) k ( x (1) , ..., x ( k ) ) (cid:17) n − k
17. Nous avons choisi, comme certains auteurs, l’orthographe française « résolvente »plutôt que « résolvante », car le mot « résolvante » est utilisé dans un autre contexte pourdésigner les « résolvantes de Lagrange » et les « résolvantes de Galois ».18. cf . [18] p. 30.
13n produit de d facteurs ( x − ξ ) décrivant tous les feuillets d’une mêmecomposante irréductible Y est un facteur irréductible de F n − k ∈ k ( u , ..., u n − )[ x, x (1) , ..., x ( k ) ] .Substituons à nouveau à x , dans ce facteur, sa valeur x = u x (0) + u x (1) + ... + u n − x ( n − , on obtient alors un polynôme Φ ∈ ( k [ u , ..., u n − ]) [ x (0) , x (1) , ..., x ( n − ] . Kro-necker écrit : En donnant aux grandeurs u un certain nombre de système devaleurs, on voit facilement que ( n + 1) tels systèmes de valeurssuffisent toujours à faire en sorte que les équations ainsi obtenues Φ = 0 , Φ = 0 ,..., Φ n +1 = 0 aient pour résolvente totale Φ = 0 .En effet , pour ≤ i ≤ n + 1 , remplaçons les indéterminées u , ..., u n − respectivement par d’autres indéterminées u ( i )0 , ..., u ( i ) n − , on obtient un poly-nôme Φ i qui s’annule identiquement sur Y . On peut voir la variété d’idéal (Φ ) comme un fibré sur l’espace affine de coordonnées u (1)0 , ..., u (1) n − . Ecrivons V (Φ ) comme réunion de ses composantes irréductibles V (Φ ) = [ j Y (1) j ∪ [ k Z (1) k de sorte que les Y (1) j soient les composantes irréductibles dont la fibre en u (1)0 , ..., u (1) n − est constante, et que les Z (1) k soient les composantes irréductiblesdont la fibre varie avec u (1)0 , ..., u (1) n − . Ecrivons aussi V (Φ , Φ ) comme réunionde ses composantes irréductibles, en adoptant la même convention : V (Φ , Φ ) = [ j Y (2) j ∪ [ k Z (2) k Si l’on spécialise à présent u (1)0 , ..., u (1) n − en des valeurs quelconques dans k , ilest possible de spécialiser u (2)0 , ..., u (2) n − dans k de sorte que : dim [ k Z (2) k = dim [ k Z (1) k − cf . [18] p. 30. Kronecker ne démontre pas cette assertion. Selon Macaulay, König l’adémontrée dans [15] p. 234. Selon Netto et Le Vavasseur, [23] I 9 § 69, K. Th. Vahlenaurait montré que ( n + 1) équations sont parfois nécessaires . Mais l’exemple qu’il donneest en fait erroné, cf . les cours de S. S. Abhyankar à Montréal (1970) sur le « nombreminimal d’équations définissant une courbe algébrique gauche », [2] p. 12.20. La méthode démonstrative exposée ici nous a été enseignée par Marc Giusti. Lechoix des valeurs en lesquelles nous spécialisons les indéterminées peut être rendu effectif(grâce aux techniques exposées dans [11]). ≤ i ≤ n + 1 , V (Φ , ..., Φ i ) = [ j Y ( i ) j ∪ [ k Z ( i ) k On peut alors spécialiser les autres indéterminées u (3)0 , ..., u (3) n − ,..., u ( n +1)0 , ..., u ( n +1) n − de proche en proche, de sorte que : n > dim [ k Z (1) k > dim [ k Z (2) k > ... > dim [ k Z ( n +1) k Alors nécessairement S k Z ( n +1) k = ∅ , et V (Φ , ..., Φ n +1 ) = Y .Avec Macaulay, on peut aussi utiliser Φ pour décrire l’équivalence bira-tionnelle entre Y et p k ( Y ) . Macaulay remarque que le coefficient de u d dans Φ donne une équation de p k ( Y ) : φ ( x (0) , x (1) , ..., x ( k ) ) = 0 Pour tout k + 1 ≤ i ≤ n − , le coefficient de u i u d − donne une équation dela forme : x ( i ) φ ′ − φ i = 0 , où φ ′ , φ i ∈ k [ x (0) , x (1) , ..., x ( k ) ] . Cela donne un sens précis à l’assertion faitepar Kronecker dans un langage encore vague à la fin de cette section : Pour toute composante de dimension m d’une variété de dimen-sion quelconque, il existe donc une correspondance biunivoqueentre ses points et ceux d’une sous-variété d’une variété de di-mension ( m + 1) . Aux § 11 et 12, Kronecker nous offre un premier exemple d’applicationde sa théorie. « La théorie de l’élimination, nous dit-il, montre la sourcepropre de la nouvelle lumière qui fut apportée par Galois dans la théoriedes équations algébriques, il y a un demi-siècle ». Le corps de décompositiond’une équation irréductible x n − c x n − + ... ± c n = 0 cf . [21] p. 27–28.22. es lässt sich daher jedes m -fach ausgedehnte Gebilde einer beliebig grossen Mannigfal-tigkeit auf ein solches eindeutig beziehen, das aus einer nur ( m +1) -fachen Mannigfaltigkeitentnommen ist , [18] p. 31.
15 coefficients dans le domaine de base Q ( R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) est une extensionfinie, engendrée par ses racines ξ , ξ , ..., ξ n . L’on peut aussi interpréter cesracines comme la variété solution d’un système de ( n + i ) équations, queKronecker définit explicitement : ( ¯ C ) f k ( ξ , ξ , ..., ξ n ) = c k , g i ( ξ , ξ , ..., ξ n ) = c ′ i où, pour k = 1 , ..., n , les f k sont les fonctions symétriques élémentaires desracines, et g i sont des fonctions rationnelles bien choisies . Conformémentaux résultats du paragraphe précédent, Kronecker montrera plus loin (à la findu § 12) que ( n + 1) équations suffisent en général. La résolvente du systèmed’équations est de la forme : g ( x, u , u , ..., u n ) = Y ( x − u ξ r − u ξ r − ... − u n ξ r n ) où le produit est étendu à toutes les permutations ( r , ..., r n ) appartenant augroupe de l’équation. En changeant les indices, on trouve : g ( x, u , u , ..., u n ) = Y ( x − u r ξ − u r ξ − ... − u r n ξ n ) et l’on voit ainsi que g est une fonction des indéterminées u , u , ..., u n inva-riante par les permutations du groupe . Kronecker se flatte d’avoir ainsi donnéà la théorie de Galois un « perfectionnement formel », en ayant remplacé laconsidération du groupe par celle d’une « fonction concrète, invariable par legroupe ». Le lecteur moderne s’étonnera de cette préférence pour une « fonc-tion concrète », justement de la part de Kronecker, qui fit œuvre de pionnierdans l’axiomatisation de la notion de groupe abstrait ! Mais le calcul de larésolvente donne ici encore une méthode effective pour déterminer le groupede l’équation, étant donné la représentation de son corps de décompositioncomme quotient d’un anneau de polynômes : Q ( f , ... f n )[ x , ..., x n ] / ( f ( x , ..., x n ) − c , ..., f n ( x , ..., x n ) − c n , g ( x , ..., x n ) − c ′ , ..., g i ( x , ..., x n ) − c ′ i ) Cf . § 12. On remarquera que la variété des solutions est un ensemble fini de points,obtenus en faisant agir le groupe de l’équation sur les coordonnées de l’un quelconqued’entre eux. Mais vue comme variété sur Q ( R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) , elle est irréductible. Par contre,la variété solution des équations f k ( ξ , ξ , ..., ξ n ) = c k , qui consiste en l’ensemble des pointsdont les coordonnées sont une permutation quelconque des racines, n’est en général pasirréductible sur Q ( R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ) . Les équations supplémentaires g i ( ξ , ξ , ..., ξ n ) = c ′ i sont donc nécessaires pour séparer les composantes irréductibles. Certainement Kroneckerétait-il conscient, en quelque manière, d’une telle interprétation géométrique (voir nosremarques plus loin sur ce sujet). Si l’on conçoit les coefficients de l’équation de départcomme étant des variables, on obtient un « revêtement galoisien ».24. Cf . [28], pp. 44–48. g i , mais Kroneckercontourne d’abord ce problème en remarquant que la résolvente g est unfacteur irréductible de la résolvente du système d’équations ( C ) f k ( x , ..., x n ) = c k ( k = 1 , ..., n ) qui s’écrit : Y ( x − u ξ r − u ξ r − ... − u n ξ r n ) où le produit est cette fois étendu à toutes les permutations ( r , ..., r n ) dugroupe symétrique. La théorie de Galois est donc ramenée à un problèmede factorisation. Enfin les coefficients de g sont des fonctions des racinesinvariantes par les permutations du groupe, et ils fournissent d’ailleurs lesystème d’équations g i ( ξ , ..., ξ n ) = c ′ i cherché. Mais comme dans la fonc-tion g , les rôles des indéterminées u et des racines ξ sont interchangeables,Kronecker préfère se ramener à l’étude des fonctions rationnelles des n in-déterminées u dans le § 12 : après adjonction des indéterminées u , ..., u n , lecorps de décomposition de l’équation de départ est devenu corps de rupturede l’équation g ( x ) = 0 sur Q ( R ′ , R ′′ , R ′′′ , ..., u , u , ..., u n ) . Ce dernier corps Q ( R ′ , R ′′ , R ′′′ , ..., u , u , ..., u n ) est lui-même corps de décomposition d’uneéquation en u , sur un sous-corps contenant les fonctions symétriques élémen-taires de u , ..., u n et les coefficients de g . Le groupe de Galois de ce nouveaucorps de décomposition est le même que le groupe de Galois de l’équationde départ. On a donc ramené la question à l’étude du corps des fonctionsrationnelles de n indéterminées u , ..., u n . Le paragraphe § 11 se présentedonc comme une incursion rapide, et difficile à lire, en théorie de Galois :Kronecker n’écrit jamais le système d’équations ( ¯ C ) (bien qu’il utilise cettenotation pour le désigner), et une erreur typographique change le ( ¯ C ) en ( C ) (fin de la page 33).Après avoir ainsi ramené la question à l’étude du corps des fonctionsrationnelles de n indéterminées, Kronocker propose (au § 12) de prendre àprésent « comme point de départ », en théorie de Galois, l’étude de ce corps.Cela revient justement à faire la théorie de Galois d’une équation générique dedegré n . Le corps des fonctions rationnelles à n indéterminées sur Q peut eneffet se représenter comme extension finie du corps des fonctions symétriques,comme le montre le diagramme suivant, où l’on a aussi indiqué les anneauxd’entiers étudiés par Kronecker : K = Q ( f , ..., f n )[ x , ..., x n ] / ( f − P x i , ..., f n − Q x i )= Q ( x , ..., x n ) ←−−− O K = Q [ x , ..., x n ] x x k = Q ( f , ..., f n ) ←−−− O k = Q [ f , ..., f n ] est de degré n ! sur k . Kronecker montre que le O k -module O K est libre derang n ! , en exhibant une base n x h ...x h n − n − o h k = 0 , ..., n − kk = 1 , ..., n − Le discriminant du genre est alors le carré du déterminant (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:16) x h σ (1) ...x h n − σ ( n − (cid:17) h ,...,h n − ,σ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) où h k = 0 , ..., n − k et σ parcourt le groupe symétrique Σ n . En ordonnantconvenablement les éléments de la base, on peut réécrire cette matrice commeproduit AB des deux matrices suivantes. La matrice A est une matrice dia-gonale par blocs, le i -ème bloc sur la diagonale étant de la forme (cid:16) x h στ i (2) ...x h n − στ i ( n − (cid:17) h ,...,h n − ,σ où h k = 0 , ..., n − k , où τ est la permutation cyclique (12 ...n ) , et où σ parcourtle sous-groupe de Σ n laissant i invariant. La matrice B est constituée elle ausside n × n blocs de taille ( n − × ( n − , le bloc ( i, j ) étant simplement x i − j Id ( n − . Notons D le carré du déterminant de Vandermonde (c’est-à-direle discriminant de l’équation). On vérifie alors aisément que det B = ±D ( n − .Par récurrence sur n , on montre alors que (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:16) x h σ (1) ...x h n − σ ( n − (cid:17) h ,...,h n − ,σ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = D n !2 comme l’annonce Kronecker sans le démontrer à la fin du § .De même, si L = Q ( f , ..., f n , g ) est une sous-extension de degré ρ sur k ,Kronecker démontre que ρ générateurs suffisent à engendrer le O k -module O L = L ∩ O K . Si l’équation x n − f x n − + ... ± f n = 0 reste irréductible sur L , Kronecker dit que l’extension L est « propre » ( ei-gentlich ). Dans ce cas, le groupe de l’équation sur L est d’ordre r = n ! ρ , etKronecker propose, plutôt que de parler du « groupe de l’équation » (no-tion qui renvoie à la nature de l’indétermination des racines), d’introduire
25. On a donc un nouveau cas particulier dans lequel le nombre de générateurs d’unebase de O K est égal au degré de K sur k (Kronecker l’avait déjà annoncé au § 7).
18e terme « genre d’affection » (
Affect-Gattung ), pour désigner le corps desfonctions rationnelles de n indéterminées invariantes par les permutations dugroupe, notion qui renvoie donc, en quelque sorte, à la nature arithmétiquedes racines et des fonctions rationnelles des racines. L’équation est alors diteavoir une certaine « affection » d’ordre r , et ses racines appartenir à unecertaine « classe » d’ordre r ( cf . [18], p. 37). Ce faisant, Kronecker se réclameplus d’Abel que de Galois, et mentionne à cet égard un problème de Galoisinverse :Il échappe à Galois un problème des plus intéressants, dans lathéorie des équations algébriques, qu’Abel a trouvé et aussi traité.C’est le problème de déterminer toutes les équations d’une cer-taine classe pour un domaine de rationalité donné, et je vais icil’exposer plus en détail, aussi parce qu’il montre clairement lanature arithmétique des questions algébriques. Si g est un élément primitif de L sur k , déterminer les équations de genred’affection L (c’est-à-dire les équations dont le groupe de Galois est le groupede K sur L ), à coefficients dans un corps donné, revient à trouver certainesdes solutions dans ce corps d’une équation Φ( g , f , ..., f n ) = 0 (qui n’est autreque l’équation de g sur k ). Il s’agit donc, remarque Kronecker, d’un « pro-blème diophantien ». Pour mieux comprendre cette attitude, il suffira derappeler ses travaux sur le théorème dit « de Kronecker-Weber ». Ces tra-vaux s’inscrivent dans la continuité des recherches menées par Abel dans sonmanuscrit Sur la résolution algébrique des équations . Abel y proposait un cer-tain problème de Galois inverse : « Trouver toutes les équations d’un degrédéterminé quelconque qui soient résolubles algébriquement » . Le théorèmede Kronecker-Weber résout le problème de Galois inverse suivant : quelleest la forme générale d’une extension galoisienne de Q dont le groupe estabélien ? En 1853, Kronecker affirmait déjà que toute extension de Q dontle groupe est cyclique se plonge dans une extension engendrée par des ra-cines de l’unité , et il en donnait l’esquisse d’une démonstration (Weberen donnerait plus tard une démonstration complète). En 1877, il généraliseet énonce le théorème qui a gardé son nom, et souligne son intérêt pour lathéorie des nombres :Toutes les racines des équations abéliennes à coefficients entiers Cf . [18], p. 38.27. cf . [1] t. 2 p. 219. Voir aussi [14] p. 62–65.28. Kronecker écrit dans [16] p. 10 que « la racine de toute équation abélienne à coef-ficients entiers peut être représentée comme fonction rationnelle de racines de l’unité ».Mais ce sont seulement les équations de groupe cyclique qu’il désigne alors par l’expression« équation abélienne ». Dans ce même article, il affirme qu’il avait été conduit, en 1857, dans ses re-cherches sur les fonctions elliptiques et la multiplication complexe, à formulerune conjecture analogue sur les extensions abéliennes d’un corps quadratiqueimaginaire. Nous reviendrons sur ce sujet, étroitement lié à la théorie du corpsde classes, quand nous commenterons la section § 19 des
Grundzüge . On a vu ci-dessus, dans la construction de la résolvente d’un systèmed’équations par Kronecker, une première utilisation de l’« auxiliaire des co-efficients indéterminés » ( methodische Hülfsmittel der unbestimmten Coeffi-cienten ). Il utilise à nouveau cette méthode de l’adjonction d’indéterminéesau domaine de base dans les sections § 14 à 18, pour construire une théoriede la divisibilité dans les anneaux d’entiers. Pour qualifier cette méthode,il parlera plus loin d’un accroissement de la « dimension », en utilisant unlangage géométrique :De même que la ligne des nombres réels s’étend par une « unitélatérale » en le plan des nombres complexes, un domaine de gran-deurs [ R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ] est agrandi par les indéterminées [...], d’unecertaine manière, en rapport à sa « dimension ». Il ne s’agit donc pas seulement d’un auxiliaire algébrique formel. Cette mé-thode est à la fois censée être la plus simple, mais aussi produire la descriptionla plus simple de la réalité mathématique. Kronecker la compare à l’un desgrands progrès des mathématiques du XIX ème siècle : bien des phénomènesde l’analyse gagnent en « simplicité » quand ils sont étudiés du point de Cf . [17], p. 69. Dans cet article, Kronecker utilise l’expression Abelsche Gleichung pour désigner une équation abélienne, et l’expression einfache Abelsche Gleichung pourdésigner une équation dont le groupe est cyclique.30. Cf . § 22. . Quelle que soit l’interprétation suggérée ici parKronecker, ses successeurs ont d’ailleurs naturellement adopté une interpréta-tion géométrique des Grundzüge , en particulier de sa méthode d’élimination,comme on l’a déjà remarqué. Donc, bien que le langage de Kronecker soitrarement géométrique, le plus souvent arithmético-algébrique, il semble lé-gitime d’en pousser l’interprétation au delà du formel, bien qu’il faille avoirrecours pour cela au substrat intuitif auquel nous sommes aujourd’hui habi-tués, celui de la théorie des ensembles et des théories de structures (telle lanotion d’idéal). C’est ce que l’on a fait ci-dessus en traduisant son langagedans les notations modernes de l’algèbre commutative. Pour faire une théoriede la divisibilité dans les anneaux d’entiers, qui ne sont pas toujours facto-riels, l’on a recours aujourd’hui à la théorie des idéaux de Dedekind. Dansles § 14 à 18, Kronecker propose une autre solution, commentée de manièredétaillée par Harold M. Edwards dans [7]. Nous allons seulement résumerson analyse, avant de proposer notre propre interprétation . Kummer, dès1844, avait construit une théorie de la divisibilité pour les entiers cycloto-miques (éléments de Z [ ζ p ] , où ζ p est une racine p -ième de l’unité, p premier),en introduisant des « nombres idéaux », afin de rétablir l’existence et l’uni-cité de la décomposition d’un entier en facteurs premiers. Un tel « nombreidéal » n’était pas défini autrement par Kummer qu’en énonçant la relationd’équivalence entre deux entiers cyclotomiques modulo ce nombre. Dedekindavait au contraire choisi comme fondement, à partir de 1871, l’« idéal », en-semble des entiers divisibles par un « nombre idéal » donné. Il introduisitplus tard (années 1890) des idéaux fractionnaires, et donna ainsi à la théoriela forme qu’elle a gardée jusqu’à aujourd’hui. Kronecker choisit de définir,plutôt que des « nombres idéaux » ou des « idéaux », des « diviseurs », dé-finis (sur le modèle de Kummer) par une relation d’équivalence. Seulement(au contraire de Kummer) il exprime cette relation d’équivalence comme unevéritable relation de divisibilité, à condition d’adjoindre à l’anneau d’entiersdes indéterminées. Un diviseur est noté mod [ φx + φ ′ x ′ + φ ′′ x ′′ + ... ] où φx + φ ′ x ′ + ... est une forme à coefficients x, x ′ , ... dans l’anneau d’entiers.Kronecker définit la norme Nm ( φx + φ ′ x ′ + ... ) d’une forme (produit desconjugués, la conjugaison agissant sur les coefficients de la forme). La forme Cf . [18], p. 94.32. H. Weyl a proposé encore une autre lecture, axiomatique, de la théorie des diviseursde Kronecker, dans [27], chapitre 2. Il dresse une liste d’axiomes que doit vérifier le conceptde « diviseur ». Puis il définit le diviseur A comme une suite finie d’entiers algébriques ( α , ..., α r ) , en donnant un critère de divisibilité d’un entier algébrique quelconque α par A , et il montre que cette définition vérifie les axiomes (p. 49). ( φx + φ ′ x ′ + ... ) , telle que : P. Fm ( φx + φ ′ x ′ + ... ) = Nm ( φx + φ ′ x ′ + ... ) où P est le plus grand commun diviseur des coefficients de la norme (appeléaujourd’hui son « contenu »). Un entier quelconque z est alors dit « divisible »( theilbar ) par ce diviseur si et seulement si le quotient z. Fm ( φx + φ ′ x + ... ) φx + φ ′ x + ... est une forme Q à coefficients entiers algébriques. H. M. Edwards a remarquéque les lecteurs de Kronecker (Dedekind, Hurwitz) ont buté sur ce point,Kronecker ne laissant pas clairement entendre si le quotient Q doit être uneforme à coefficients entiers algébriques, ou si Q doit simplement vérifier uneéquation N m ( X − Q ) = 0 à coefficients entiers dans le corps de base (les deuxétant équivalents, bien que Kronecker ne le démontre pas) . Deux diviseurssont dits « absolument équivalents » lorsqu’ils définissent la même relationde divisibilité. Kronecker construit ainsi toute une théorie de la divisibilité. Ala section § 14, il montre que le diviseur mod [ x + u ′ x ′ + u ′′ x ′′ + ... ] , défini parune forme linéaire , est en un certain sens le plus grand commun diviseur desentiers x, x ′ , x ′′ , ... . A la section § 15, il définit le vocabulaire et les notations,puis il énonce et il démontre son « premier théorème fondamental » :Quand le produit de deux formes algébriques entières [=formesdont les coefficients sont des grandeurs algébriques entières], dontl’une est primitive, est congruent à zéro modulo un diviseur al-gébrique, alors l’autre forme doit elle-même être divisible par lediviseur. Les sections § 16 et 17 sont consacrées à la démonstration d’un « secondthéorème fondamental » :Des diviseurs algébriques qui ont les mêmes éléments [=les mêmescoefficients] sont absolument équivalents. Cf . [7], p. 356 et 364–368. Ce problème amena Dedekind à concevoir son « théorèmede Prague », qui permet, comme le montre Edwards, de simplifier considérablement lathéorie de Kronecker. Cf . infra p. 37.34. Cf . § 14, IX.35. Cf . § 16, II.
22n particulier tout diviseur est absolument équivalent à un diviseur défini parune forme linéaire . Mais pour démontrer le « second théorème fondamental »,Kronecker commence justement par démontrer (§ 16) plusieurs propriétésdes diviseurs définis par des formes linéaires, dont un analogue du lemme deGauss :Si le produit de deux diviseurs algébriques est divisible par untroisième, et que le premier diviseur n’a aucun diviseur communavec le troisième, alors le deuxième est divisible par le troisième. H. M. Edwards remarque que Kronecker utilise, dans la démonstration dusecond théorème fondamental, l’existence, pour tout entier du corps de base,d’un diviseur qui le divise et soit défini par une forme linéaire, fait essen-tiel qu’il ne démontre proprement qu’à la section § 18. Enfin, à la section§ 18, Kronecker décrit une méthode effective pour obtenir tous les diviseursd’un entier du corps de base, et il en déduit l’existence et l’unicité de ladécomposition en facteurs premiers d’un quelconque diviseur.De ce point de vue, la théorie de Kronecker est donc une modification etune généralisation de celle de Kummer, en donnant le rôle central à la notionde plus grand commun diviseur (incarnée par les diviseurs définis par desformes linéaires, et qui apparaît dès le § 14) plutôt qu’à celle de facteur pre-mier (l’existence et l’unicité de la décomposition en facteurs premiers n’étantdécrite qu’au § 18, sans même qu’en soit proprement énoncé un théorème).Kronecker se flatte cependant d’avoir donné une existence « véritable » ( wirk-lich ) aux diviseurs en les représentant par des formes, grâce à l’« auxiliairedes coefficients indéterminés ». L’on pourrait en donner l’interprétation mo-derne suivante.Soit une extension galoisienne K sur k , avec des anneaux d’entiers O k et O K : K ←−−− O K x x k ←−−− O k On suppose O k factoriel. Soit S ⊂ O k [ u , u , ... ] l’ensemble multiplicatif des« formes primitives » en les indéterminées u , u , ... , à coefficients dans O k (les indéterminées forment un ensemble dénombrable { u , u , ... } ; on em-ploiera dans tout ce qui suit le mot « forme » pour désigner un polynômeen u , u , ... non nécessairement homogène , suivant ainsi l’habitude de Kro-necker). Alors S − O k [ u , u , ... ] est intégralement clos dans son corps de frac-tions k ( u , u , ... ) , et O K ⊗ S − O k [ u , u , ... ] est entier sur S − O k [ u , u , ... ] . Cf . § 16, V.
23n a donc plongé O k et O K dans deux nouveaux anneaux d’entiers, et l’ona à présent la situation suivante : K ( u , u , ... ) ←−−− O K ⊗ S − O k [ u , u , ... ] x x k ( u , u , ... ) ←−−− S − O k [ u , u , ... ] Théorème 1
L’anneau O K ⊗ S − O k [ u , u , ... ] est factoriel. Corollaire 1
Cet anneau est noethérien et principal .Démonstration . On démontrera d’abord que tout idéal ( x , ..., x k ) engendrépar un nombre fini de générateurs est principal, engendré par pgcd ( x , ..., x k ) = x u + ... + x k u k , où u , ..., u k sont des indéterminées qui ne figurent pas dans x , ..., x k .On prolonge les morphismes de conjugaison de K à K ( u , u , ... ) , ce quipermet de définir une norme dans K ( u , u , ... ) (il n’y a même pas besoin quel’extension K sur k soit galoisienne pour cela). On définit de même Fm α , pourtout α ∈ O K ⊗ S − O k [ u , u , ... ] , tel que :Nm α = P α . Fm α où P α est le plus grand commun diviseur des coefficients du numérateur deNm α . Alors Fm α est un quotient de formes primitives, donc une unité.Soit α = x u + ... + x k u k . Montrons que pour tout i , x i Fm αα est entier sur S − O k [ u , u , ... ] . Il suffit pour cela de voir que l’équationNm (cid:18) X − x i Fm αα (cid:19) = 0 est une équation à coefficients entiers. Or,Nm (cid:18) X − x i Fm αα (cid:19) = Nm ( Xα − x i Fm α ) P α . Fm α et l’on voit facilement que Nm ( Xα − x i Fm α ) est bien divisible par P α ( cf . lasection § 14 de Kronecker). Donc pour tout i , x i est divisible par α . Donc entermes d’idéaux, ( x , ..., x k ) = ( α ) .Pour la suite de la démonstration, on aura besoin de deux lemmes. Ondira qu’un diviseur de la forme x u + ... + x k u k , avec x i ∈ O K pour tout i ,est un « diviseur linéaire ».
37. En fait, suivant Weyl ([27], p. 60), on peut même montrer que tout idéal est de laforme ( x u + x u ) où x , x ∈ O K . emme 1 Soit p premier dans O k . Alors p possède un diviseur linéaire pre-mier qui n’est pas une unité.Démonstration ( cf . section § 18). Il existe au moins un diviseur linéaire de p qui n’est pas une unité, à savoir pu . S’il en existe d’autres, on peut les écriresous la forme pu + x u + ... + x k u k (à une unité près), car si ( x , ..., x k ) estun diviseur de p alors ( x , ..., x k ) = ( p, x , ..., x k ) . Soit Σ l’ensemble de cesdiviseurs. Tout diviseur linéaire de p est alors, à une unité près, un élément de Σ . Si O k = Z , quitte à réduire modulo p les entiers x , .., x k , on voit que l’onpeut d’ailleurs se limiter à un ensemble Σ fini . On ordonne Σ par la relationde divisibilité. Montrons qu’il a un élément minimal. Soient α, β, γ ∈ Σ , avec β = αγ . Alors P β = P α P γ . Donc si α divise strictement β , P γ = 1 , et P α divisera strictement P β . Si P α = 1 , α est minimal, sinon on recommenceavec α ce que l’on vient de faire avec β . Comme O k est factoriel, on obtientainsi un élément minimal α après un nombre fini d’étapes. . Montrons àprésent que α est premier. Soient β, γ ∈ O K ⊗ S − O k [ u , u , ... ] , tels que α ∤ β , α ∤ γ . Montrons que α ∤ βγ . On fait une récurrence sur le nombre m d’indéterminées présentes dans β ou γ . On peut supposer qu’aucune deces indéterminées n’apparaît dans α , quitte à multiplier par une unité . Si m = 0 , pgcd ( β, α ) = βu + αu est un diviseur linéaire de α , et, à cause ducaractère minimal de α , est donc trivial. Donc βγu + αγu = ǫγ où ǫ est uneunité, et comme α ne divise pas γ , il ne divise pas non plus βγ . Si m > ,soit u l’une des indéterminées présentes dans β ou γ . On écrit : β = X β i u i , γ = X γ j u j Alors si s et t sont les plus grands indices tels que α ∤ β s et α ∤ γ t , le coefficientde u s + t dans βγ ne sera pas divisible par α (par récurrence sur m ). Donc βγ non plus. Lemme 2 (Lemme de Gauss)
Soient p, a, b ∈ O K ⊗ S − O k [ u , u , ... ] avec p premier, p ∤ a et p | ab . Alors p | b .
38. Remarquons en effet que pour O k = Z , l’anneau des restes O K / ( p ) est de cardinalfini p [ K : k ] .39. Remarquons toutefois que, dans le cas où Σ est infini, cette méthode n’est pas effec-tive car elle ne précise pas comment tester si α est minimal, ni comment trouver, sinon,un nouveau diviseur β . Kronecker annonce qu’il donnera une méthode meilleure, dans lasection § 25, pour la décomposition en facteurs premiers ; cette autre méthode marchedans le cas O k = Z , mais il semble douteux qu’elle soit applicable en général.40. Deux diviseurs linéaires ayant les mêmes coefficients sont égaux à une unité près. Ils’agit là d’un théorème énoncé par Kronecker au § 16. En effet, pour tout i , x v + ... + x k v k divise x i . Alors x v + ... + x k v k divise x u + ... + x k u k . émonstration . Par hypothèse, pgcd ( p, a ) = pu + au = ǫ est une unité.Donc bpu + bau = bǫ , et p | ab = ⇒ p | b . Corollaire 2
Aux unités près, il y a unicité de la décomposition en facteurspremiers dans O K ⊗ S − O k [ u , u , ... ] .Fin de la démonstration du théorème 1 (existence de la décomposition enfacteurs premiers). Soit α ∈ O K ⊗ S − O k [ u , u , ... ] . Si P α est une unité de O k , α est aussi une unité. Sinon, soit p ∈ O k premier tel que p | P α . Il existe(lemme 1) un diviseur linéaire premier π de p , donc de Nm α . Alors (lemme2) π divise l’un des conjugués σ ( α ) de α . Donc σ − ( π ) est un diviseur linéairepremier de α (il faut ici utiliser l’hypothèse que K est galoisien sur k ; cf . remarque ci-dessous). Soit β = ασ − ( π ) On a alors : P β .P σ − ( π ) = P α Si P β = 1 , c’est fini ; sinon l’on recommence avec β ce que l’on a fait avec α et l’on conclut par récurrence sur le nombre de facteurs premiers de P α (car O k est factoriel). q. e. d.Remarque : on peut sûrement se passer de l’hypothèse que l’extension K estgaloisienne dans la démonstration du théorème 1, en plongeant K dans uneextension galoisienne.Dans la section § 18, Kronecker annonce un théorème sur la ramification(il renvoie au § 25 pour plus de détails). Un entier premier p ∈ O k est dit ramifié si ses facteurs premiers dans O K ⊗ S − O k [ u , u , ... ] ne sont pas tousdistincts. Théorème 2
Un entier premier p ∈ O k est ramifié si et seulement s’il divisele discriminant du genre. A la suite de ce théorème, Kronecker énonce quelques assertions qui sont encontradiction avec sa définition de la norme, comme produit des conjugués distincts . Désignons-donc par « norme absolue » le produit des n conjugués,où n = [ K : k ] . Soit p ∈ O k premier. Sa norme absolue est p n . Alors la normeabsolue de chaque diviseur premier de p divise p n , et est donc elle-même dela forme p f . L’exposant f est appelé « ordre » du diviseur. Si p n’est pasramifié, la somme des ordres des diviseurs premiers de p est donc égale à n .Lorsque O k = Z , le discriminant du genre est différent de 1. On a donc lethéorème :
41. Kronecker énonce ce théorème à la section 8, p. 21. C’est une conséquence immédiate héorème 3 Il n’existe pas d’extension finie non ramifiée de Q . Sous les mêmes hypothèses, Kronecker montre que le nombres des restesdans O K modulo un diviseur est égal à la norme du diviseur. A la section19, il continue son incursion en théorie des nombres et propose d’appliquer le« principe d’équivalence de Kummer », c’est-à-dire de considérer, en termesmodernes, le groupe des classes d’idéaux. Un diviseur, élément de O K ⊗ S − O k [ u , u , ... ] , est dit appartenir à la « classe principale » ( Hauptclasse )s’il appartient (à une unité près) à O K . Le groupe des classes est alors définicomme quotient du monoïde multiplicatif de l’anneau O K ⊗ S − O k [ u , u , ... ] par la classe principale. La relation d’équivalence sous-jacente entre diviseursest appelée par Kronecker « équivalence relative », pour la distinguer dela relation d’« équivalence absolue » entre deux diviseurs qui ne diffèrentqu’à une unité près. Kronecker donne deux critères équivalents d’équivalencerelative. Notons H la classe principale, et supposons l’extension galoisienne(hypothèse que Kronecker omet mais qui semble ici nécessaire pour garantirque le monoïde quotient soit un groupe : l’inverse d’un diviseur, dans legroupe des classes, est en effet représenté par le produit de ses conjugués). er critère d’équivalence relative : les diviseurs φ et ψ sont équivalents si etseulement s’il existe un diviseur χ tel que φχ et ψχ appartiennent à H . d critère d’équivalence relative : les diviseurs φ et ψ sont équivalents si etseulement s’il existe deux diviseurs η , θ ∈ H tels que φ = ηθ ψ .Kronecker esquisse une démonstration de la finitude du groupe des classes,en construisant un ensemble fini de diviseurs, tel que pour tout diviseur φ ,son inverse (dans le groupe des classes) soit l’un d’eux. Démonstration . Soit k un entier tel que : k n ≤ Nm φ < ( k + 1) n On choisit une base de O K , et on considère l’ensemble de tous les entiersalgébriques à coefficients positifs ≤ k . Il y en a ( k + 1) n > Nm φ , donc deuxd’entre eux sont égaux modulo φ , et leur différence est un diviseur principal Cφ , dont les coefficients sont inférieurs à k en valeur absolue. Soit Cφ = kη où η est un nombre algébrique à coefficients inférieurs à 1. Alors Nm η estborné par une grandeur M indépendante de φ , etNm C. Nm φ = k n Nm η ≤ Nm φ.M Donc Nm C ≤ M , et l’inverse C de φ peut être choisi dans l’ensemble fini desdiviseurs de norme inférieure à M , q. e. d. de la méthode de factorisation qu’il expose dans la dernière section des Grundzüge . Cf . [8],§ 2.8, qui attribue ce théorème à Dedekind. Abhyankar [3] p. 444 l’attribue à Kroneckermais fait une remarque intéressante. Cassels, Fröhlich [5] l’attribuent à Minkowski qui ena aussi donné une démonstration. Q et la théorie des formes quadratiques de Gauss : l’applica-tion α Fm α associe à tout diviseur linéaire x u + x u une forme quadra-tique en les indéterminées u et u . Kronecker profite d’ailleurs pleinement decette ressource historique pour prévenir cette « apparence d’étrangeté » quene manquerait pas de ressentir son lecteur face à l’usage des indéterminéesen théorie des nombres :Il suffit de rappeler l’introduction par Gauss des formes quadra-tiques en arithmétique pure, pour lever cette apparence d’étran-geté. Avant Gauss, on ne connaissait que des formes quadratiquesde nombres ; Gauss a le premier laissé tombé ce point de vuerestreint suivant lequel on visait seulement la représentation desnombres par des formes quadratiques. Il a introduit, en arithmé-tique, des formes avec de véritables « indéterminées » ( indeter-minatae ). Les recherches décrites par Kronecker dans le reste de la section 19 consti-tuent la préhistoire de la théorie du corps de classe. Helmut Hasse ( cf . [5],ch. XI, « History of Class Field Theory ») a comparé les contributions respec-tives de Kronecker, Weber et Hilbert à la genèse de cette théorie. Dedekindavait déjà remarqué , dans le cas d’un corps de nombres, qu’à cause de lafinitude du groupe des classes, pour tout diviseur α , il existe m ∈ N tel que α m est principal, c’est-à-dire (à une unité près), égal à un élément a ∈ O K : α m = ǫa Dans l’anneau d’entiers de l’extension K ( m √ a ) , le diviseur α m est donc égal, à une unité près , à la puissance m -ième du diviseur principal m √ a : α m = ǫ ( m √ a ) m En décomposant en diviseurs premiers les deux membres de cette égalité,on en déduit que le diviseur α est égal à m √ a à une unité près, et est doncprincipal. Comme il n’y a qu’un nombre fini de classes, il suffit d’adjoindreun nombre fini de radicaux au corps K pour rendre principal chaque divi-seur. Mais Kronecker ne se satisfait pas d’un tel procédé, qui n’offre pas unedescription suffisamment explicite des extensions de corps ainsi obtenues. Ilexplique qu’il avait, depuis l’hiver 1856, trouvé comment associer à certains Cf . [18] § 22, p. 94-95.43. Cf . [9], p. 61, remarque n o
33 de Dedekind. associerte Gattung )dont le degré est égal au nombre de classes, et telle que « toutes les pro-priétés profondes en rapport avec la composition et la répartition en classesdu genre [...] se reflètent pour ainsi dire dans les propriétés élémentaires dugenre associé » . Pour mieux saisir la différence entre ces deux méthodes,soit K = Q ( √− . On montre facilement que le groupe des classes est Z / Z ,et qu’il est engendré par la classe de u + −√− v , qui est l’un des deux fac-teurs premiers de 2. La théorie hilbertienne du corps de classes consiste àdéterminer une extension abélienne maximale non-ramifiée L de K , quipeut d’ailleurs s’obtenir, dans ce cas particulier, au moyen de la théorie desfonctions elliptiques. Il s’agit du corps de décomposition L de l’équation X − X − sur K . Dans L , tous les diviseurs de K deviennent princi-paux (mais L peut très bien avoir de nouveaux diviseurs non principaux). Et [ L : K ] est bien égal au nombre de classes de K , comme Kronecker l’affirme( [ L : K ] = 3 ). Cette extension, non-ramifiée, fournit d’ailleurs l’exemple d’un« genre qui n’a pas de discriminant », situation qui semblait susciter l’intérêtde Kronecker . Démontrons-le directement. Soient R , T et S les anneauxd’entiers des corps Q , K et L . On a alors ([5], p. 17, tower formula ) : δ ( S/R ) = δ ( T /R ) [ L : K ] N K/ Q δ ( S/T ) Or T = Z h , i √ i et δ ( T /R ) = − . L’algorithme et la démonstration deKronecker (§ 6 des Grundzüge ) pour construire une base du Z -module O L ,ont pour conséquence immédiate que δ ( S/R ) est inférieur en valeur absolueau discriminant des grandeurs , x , x , x x , x , x x , où x et x désignentdeux des racines de X − X − . Or ce discriminant de 6 grandeurs n’est autreque D , où D est le discriminant de X − X − , comme Kronecker l’affirmeau § , et comme nous l’avons démontré plus haut. Le calcul donne donc : |D | = 23 ≥ | δ ( S/R ) | = 23 | N K/ Q δ ( S/T ) | donc | δ ( S/T ) | = 1 , comme annoncé. Kronecker faisait certainement allusionà de tels exemples, tirés de la théorie des fonctions elliptiques. Sur le mêmeexemple, l’autre méthode, critiquée par Kronecker, nous aurait conduit àcalculer le diviseur (cid:18) u + 1 − √− v (cid:19) = ǫ i √ Cf . [18], p. 67.45. Cf . [5], exercice 3. Plus précisément, l’extension abélienne en question doit être non-ramifiée et « totalement décomposée en les valuations archimédiennes de K ». Dans le casparticulier ci-dessus, cela signifie qu’il y a exactement trois K -plongements de L dans C essentiellement distincts vis-à-vis de la topologie induite par la norme dans C .46. cf . [18], p. 22. ǫ est une unité, puis à adjoindre au corps K le radical q i √ , rendantainsi principal u + −√− . Mais en procédant ainsi, on risque d’obtenirune extension ramifiée, et l’on est pas sûr d’obtenir une extension unique,indépendante du choix des radicaux adjoints au corps de base. L’histoirede la théorie du corps de classes a donc justifié la préférence de Kroneckerpour l’autre méthode, bien que celui-ci n’ait pas pu, semble-t-il , s’éleverdes exemples tirés de la théorie des fonctions elliptiques à une théorie plusgénérale. Kronecker est donc parvenu à faire valoir de nouveau la théorie classiquede la divisibilité (plus grand commun diviseur, décomposition en facteurspremiers) en étendant l’anneau d’entiers d’une extension algébrique par l’ad-jonction d’indéterminées. Au § 20, il remarque que cette « conservation desdéterminations conceptuelles lors du passage du rationnel à l’algébrique » nevaut pas, par contre, lors du passage d’un corps ne contenant pas de variableà un corps contenant des variables (c’est-à-dire une extension transcendanted’un corps de nombres). Bien que la théorie développée dans les sections § 14à 17 s’applique aussi à de tels corps, Kronecker la juge à présent insuffisante.Le concept de diviseur devant exprimer « quelque chose de commun » (
Ge-meinsames ) à deux ou plusieurs grandeurs du domaine, il avait en effet étédéfini sur le modèle du « plus grand commun diviseur », comme combinaisonlinéaire x u + ... + x n u n des grandeurs en question. Mais dans le cas où cer-taines des indéterminées de l’anneau d’entiers considéré sont conçues commedes variables , le plus grand commun diviseur ne suffit plus à exprimer toutle « commun » de n grandeurs. En effet, l’intuition géométrique fait corres-pondre au plus grand commun diviseur de n polynômes une hypersurface,sur laquelle les n polynômes s’annulent ensemble. Mais, en général, le lieucommun des zéros des n polynômes peut contenir d’autres variétés, de dimen-sions inférieures. Le plus grand commun diviseur ne saurait en rendre compte.C’est donc l’intuition géométrique qui présente d’abord à notre conscienceun « commun » autre que le « plus grand commun diviseur », sous la formed’une intersection, lieu des zéros communs à un ensemble de polynômes . Le Cf . les remarques de H. Hasse dans [5], ainsi que les remarques 32 à 36 de Dedekindet le commentaire de Edwards, Neumann et Purkert dans [9].48. L’opération intellectuelle par laquelle ce « quelque chose de commun », conceptd’abord vide de tout substrat mathématique, pourra légitimement subsumer le conceptde plus grand commun diviseur et le concept d’intersection, n’est-il pas un bel exemplede synthèse (au sens kantien), renversant l’image d’un Kronecker conservateur obsédé par Modulsystem ) ou « système de diviseurs » ( Divisoren-System ).Un élément G est dit « contenir le système de diviseurs ( F , ..., F n ) » lorsque G ≡ modulo ( F , ..., F n ) . Mais comme pour échapper de nouveau à la no-tion ensembliste d’« idéal », Kronecker représente tout système de diviseurspar une forme à coefficients indéterminés (par exemple F u + ... + F n u n ).Contrairement au cas des « diviseurs », la relation « être contenu dans », pourles systèmes de diviseurs, ne se traduit pas par une relation de divisibilité.Kronecker introduit au § 21 un concept de codimension ( Stufe ) sans ledéfinir de manière rigoureuse, en ayant recours encore une fois à l’intuitiongéométrique. On a vu que la méthode d’élimination du § 10 permet de décom-poser une variété affine, lieu des zéros d’un idéal de k [ x , ..., x n ] sur k , en com-posantes irréductibles. On peut alors définir la dimension comme dimensionmaximale de ses composantes. Au § 20, il traite en détail le cas d’une variétéaffine de dimension 0 dans le cas de l’intersection complète, c’est-à-dire d’unensemble fini de points solutions d’un système de n équations à ( n − incon-nues, sous l’hypothèse que le discriminant est non nul ; il utilise à cet effet lathéorie du résultant de n polynômes à ( n − indéterminées, sans d’ailleursse soucier de savoir si la « résolvente » définie au § 10 coïncide ou non avec le« résultant » classique . Dans ce cas particulier, la relation « être contenudans » se traduit bien par une relation de divisibilité. Quant à l’origine deces recherches, Kronecker renvoie à ses travaux de 1865 sur la formule d’in-terpolation de Lagrange. Nous avons déjà rencontré, au § 4, l’usage qu’il faitde cette formule pour factoriser les polynômes. Dans un article de 1865, Übereinige Interpolationsformeln für ganze Functionen mehrer Variabeln , il géné-ralise cette formule aux polynômes à plusieurs indéterminées. Le jacobien jouealors le rôle joué par la dérivée dans la formule de Lagrange. Soit un ensemblede m points ξ k = ( ξ k , ..., ξ nk ) , ≤ k ≤ m , solution d’un système d’équationsnon homogènes à n inconnues F ( x , ..., x n ) = 0 , ..., F n ( x , ..., x n ) = 0 . Onpeut alors écrire (on le justifierait aujourd’hui au moyen du théorème deszéros de Hilbert) : F i = ( x − ξ k ) F ( k )1 i + ... + ( x n − ξ nk ) F ( k ) ni Les déterminants D k ( x , ..., x n ) = (cid:12)(cid:12)(cid:12) F ( k ) hi (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ h,i ≤ n permettent alors d’écrire laformule d’interpolation suivante qui définit une fonction F ( x , ..., x n ) prenant une vision arithmétisante de la réalité mathématique ?49. Ce terme est devenu modular system chez Macaulay [21].50. Macaulay a donné un contre-exemple, cf . [21], p. 21.
31a valeur F k au point ξ k : F ( x , ..., x n ) = X k F k D k ( x , ..., x n ) D k ( ξ k , ..., ξ nk ) De plus, en remarquant qu’au point ξ k F ( k ) hi = ∂F i ∂x h , on a : D k ( ξ k , ..., ξ nk ) = J ( ξ k , ..., ξ nk ) où J est le déterminant fonctionnel (cid:12)(cid:12)(cid:12) ∂F i ∂x h (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ h,i ≤ n . En termes modernes, la for-mule d’interpolation de Kronecker décrit l’anneau de fonctions d’une variétéaffine intersection complète de dimension zéro, ensemble de m points, commeétant de la forme k m (où k est le corps des constantes), en associant à chaquefonction F ses valeurs en ces points ( F , ..., F m ) ∈ k m .La forme dominante de la formule d’interpolation de Kronecker est égaleà : R ( x , .., x n ) Q deg F i X F ( ξ k , ..., ξ nk ) J ( ξ k , ..., ξ nk ) où R est le jacobien des formes dominantes f , ..., f n de F , ..., F n , soit (cid:12)(cid:12)(cid:12) ∂f i ∂x h (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ h,i ≤ n .Le facteur constant P F ( ξ k ,...,ξ nk ) J ( ξ k ,...,ξ nk ) intervient aussi dans un théorème de Jacobi(1836) que Kronecker démontre dans cette article : si F est de degré < deg J ,on a X F ( ξ k , ..., ξ nk ) J ( ξ k , ..., ξ nk ) = 0 . La démonstration semble néanmoins incomplète. Kronecker affirme que laforme dominante de sa formule d’interpolation est, à un facteur constantprès, R ( x , .., x n ) X F ( ξ k , ..., ξ nk ) J ( ξ k , ..., ξ nk ) . Il en conclut que, pour un tel F , R ( x , .., x n ) X F ( ξ k , ..., ξ nk ) J ( ξ k , ..., ξ nk ) ∈ ( f , ..., f n ) , puis finalement que R ( x , .., x n ) X F ( ξ k , ..., ξ nk ) J ( ξ k , ..., ξ nk ) = 0 .
32l ne justifie pas les deux dernières étapes de son raisonnement, bien qu’ellessoient valables en général. En utilisant le formalisme de J.-P. Jouanolou, ilsuffit en effet de remarquer que l’idéal ( F , ..., F n ) n’a pas de forme d’inertiede degré deg J , et que l’idéal ( f , ..., f n ) a exactement une forme d’inertie dedegré deg J non triviale, le jacobien R .Le facteur constant P F ( ξ k ,...,ξ nk ) J ( ξ k ,...,ξ nk ) n’est autre que le « résidu de Grothen-dieck » , que l’on exprime aujourd’hui comme trace d’un endomorphismede multiplication (quand on travaille sur un corps algébriquement clos, latrace est bien la somme des valeurs d’une fonction en les différents pointsde la variété discrète). Pour mieux comprendre la situation, observons lecas d’une seule indéterminée. Le théorème de Jacobi dans ce cas était déjàconnu d’Euler . Si k est algébriquement clos, dans le k -module k [ X ] /f ( X ) ,la trace d’une fonction g est la somme des valeurs de g en les racines de f .Les formules d’Euler disent que ( m = deg f ) :Tr (cid:18) x i f ′ ( x ) (cid:19) = ( si ≤ i ≤ m − si i = m − Et dans ce cas, la trace peut s’écrire au moyen d’un résidu de Cauchy : ε (cid:18) x i f ( x ) (cid:19) = Tr (cid:18) x i f ′ ( x ) (cid:19) Mais suivons à nouveau le fil des
Grundzüge pour observer commentKronecker travaillait avec des variétés de dimension supérieure. Au § 22,il expose une théorie des formes représentant les systèmes de diviseurs. Soit A = k [ x , ..., x n − ] . Soit S ⊂ A [ u , u , ... ] l’ensemble (multiplicatif) des formes« proprement primitives », c’est-à-dire dont les coefficients engendrent l’idéal (1) de l’anneau A . Lemme 3
Si les formes E et F sont proprement primitives alors la forme EF l’est aussi, et réciproquement.Démonstration . Supposons EF proprement primitive. Son idéal n’a doncpas de zéro dans k . Or le produit des idéaux engendrés par les coefficientsde E et de F contient l’idéal engendré par les coefficients de EF . Donc ceproduit d’idéaux n’a pas de zéro non plus, donc E et F sont proprementprimitives (théorème des zéros de Hilbert). Réciproquement, supposons E et F proprement primitives. Soit z un zéro de l’idéal engendré par les coefficients
51. Serre le nomme « résidu de Grothendieck » dans [26], p.81.52. Cf . tome 2 des Institutiones Calculi Integralis , 1768–1770. EF . Alors EF ( z ) ≡ , donc soit E ( z ) ≡ , soit F ( z ) ≡ . Absurde. Donc EF est proprement primitive. q. e. d. Kronecker travaille dans l’anneau S − A [ u , u , ... ] . Une forme (en u , u , ... )est dite de codimension m quand la variété des zéros (dans k ) de ses coeffi-cients (éléments de A ) est de codimension m . Alors m ≤ n , et m = n si etseulement si la variété des zéros est vide, c’est-à-dire si la forme appartientà S (Kronecker a ici recours à un cas du théorème des zéros de Hilbert). Laforme F « contient » la forme F si et seulement si l’idéal des coefficients de F est inclus dans l’idéal des coefficients de F . Mais cela ne se traduit pas parune relation de divisibilité. Et cette relation « être contenu dans » donne lieuà une relation d’équivalence entre formes, qui ne se traduit pas non plus parl’égalité des formes dans S − A [ u , u , ... ] . Le « plus grand commun contenu »( grössten gemeinsamen Inhalt ) de F et F est la forme uF + F (où u estune indéterminée n’entrant pas dans l’expression de F et F ). En termes devariétés, il s’agit de l’intersection des deux variétés.De même que l’adjonction d’indéterminées avait permis à Kronecker, aux§ 14–18, de transformer un anneau d’entiers en un anneau principal, il tentede l’utiliser, aux § 20–22, pour transformer A en un anneau S − A [ u , u , ... ] ,faisant de toute variété, de dimension donnée, une intersection complète(c’est-à-dire que l’idéal d’une variété de dimension m devrait être engendrépar m polynômes). Afin de donner une formulation algébrique de la relationentre formes « être contenu dans » (qui n’est pas une relation de divisibilité),Kronecker énonce en effet le résultat suivant, pour deux « formes pures » decodimension m ( reine Formen m ter Stufe ) F , F :Soient F , F , ..., F m des formes algébriques entières, qui ont cha-cune les mêmes coefficients et diffèrent donc entre elles seulementquant au système des indéterminées, alors l’une de ces formesest contenue dans une forme F si F est absolument équivalente[c’est-à-dire égale, à un élément de S près] à une fonction linéairehomogène entière des m formes F , F , ..., F m . Kronecker ajoute :Ceci peut servir de définition de la codimension (
Stufenzahl ) m d’une forme pure F , si l’on ajoute seulement qu’aucun nombreplus petit que m ne peut servir à une telle représentation. Il nous est difficile de juger ces deux affirmations, qui lui ont probablementété suggérées par l’étude des variétés affines linéaires (dans ce cas l’énoncéci-dessus est évidemment juste). Dans le cas général, les travaux récents de cf . [18], § 22, p. 91.54. Cf . [18], p. 92. m et la codimension (au sens géométrique du terme). Une défini-tion algébrique de la codimension est bien ce qui manquait à Kronecker, pourpouvoir étendre sa théorie des « systèmes de diviseurs » à des anneaux A plusgénéraux. La théorie de l’élimination sur laquelle il fonde, au § 10, la notionde Stufe se rapporte exclusivement à des anneaux de polynômes sur un corps ,et à l’intuition géométrique sous-jacente des variétés affines. Il faudrait faireune théorie de l’élimination sur Z pour dépasser ce cadre. Kronecker sem-blait convaincu qu’il était possible de franchir le pas. Au § 21, il décrit à quoiressemblerait la théorie de la dimension dans le cas A = Z [ x , x , x ] :Prenons par exemple n = 4 et pensons les trois variables commedes coordonnées quelconques de l’espace, alors les diviseurs decodimension 1 sont soit des nombres soit des fonctions entièresdes coordonnées, dont l’annulation représente des surfaces. Parmiles systèmes de diviseurs de codimension 2, il s’en trouve dont leséléments ne peuvent tous s’annuler simultanément, et dont l’undes éléments peut être choisi comme nombre, mais il s’en trouveaussi, dont l’annulation simultanée des éléments représente unecourbe ; parmi les systèmes modulaires de codimension 3, l’on entrouve qui représente de même des systèmes de points... Il indique même que la théorie des systèmes de diviseurs de codimension2 dans Z [ x ] produit une théorie des nombres algébriques, la décompositiondu système de diviseurs ( F ( x ) , p ) correspondant à la décomposition de p enfacteurs premiers dans l’anneau d’entiers algébriques sur Q de Q [ X ] /F ( X ) (sauf pour un ensemble fini de valeurs de p ). En fait, il faut attendre la théoriedes schémas de Grothendieck pour avoir, comme le souhaitait Kronecker, unethéorie des variétés (les « schémas ») sur Z ou un anneau quelconque.Quant à la « grandeur entière », il y avait en tout cas une lacune dansles Grundzüge : bien que le concept de grandeur entière et celui de plusgrand commun diviseur aient subi avec succès le passage à des extensionsalgébriques quelconques de Q , voire de Q ( T ) , dans les sections § 14 à 18,et bien qu’au concept de plus grand commun diviseur ait été substitué celuid’intersection dans les sections § 20 à 22, effectuant ainsi le passage d’uncorps de nombres k à des extensions purement transcendantes de dimen-sion quelconque k ( x , ..., x n − ) au moyen d’une théorie de l’élimination dans k [ x , ..., x n − ] qui rend compte des variétés de codimension supérieure à 1,il restait à faire une théorie de la « grandeur entière » dans les extensionsalgébriques de k ( x , ..., x n − ) , qui tienne compte elle aussi des variétés de co-dimension supérieure à 1. Qu’il nous soit permis d’employer un vocabulaire Cf . [18], § 21. Grundzüge et montre que Kronecker était à la recherche d’uneautre formulation algébrique de la relation entre systèmes de diviseurs « êtrecontenu dans ». Il y démontre le théorème suivant : Soient M , M , M , ..., M n +1 des grandeurs entières d’un domaine de rationalité [ R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ] ,alors l’équation : X h M h U h . X i M m + i U i − = X k M ′ k U k h = 0 , , ...mi = 1 , , ...n − m + 1 k = 0 , , ...n , où U est une indéterminée, définit n + 1 grandeurs M ′ , M ′ , ...M ′ n du même domaine [ R ′ , R ′′ , R ′′′ , ... ] .(...)Le produit de formes : X h M h U h . X i M m + i U m + i (cid:18) h = 0 , , ...mi = 1 , , ...n − m + 1 (cid:19) vérifie une équation algébrique de degré ρ , dans laquelle le coeffi-cient de la puissance ρ ième est égal à 1, mais celui de la puissance r ième est une forme contenant le produit de formes Y h X k M ′ k V hk (cid:18) h = 1 , , ...ρ − rk = 0 , , ...n (cid:19) La relation « être contenu dans » qu’utilise Kronecker dans l’énoncé de cethéorème est simplement la relation d’inclusion entre les idéaux engendréspar les coefficients des formes. Autrement dit, le coefficient de la puissance r ième ( ≤ r ≤ ρ ) appartient à l’idéal ( M ′ , M ′ , ..., M ′ n ) ρ − r . A la suite dece théorème, Kronecker définit une nouvelle relation « être contenu dans »(plus faible que l’inclusion entre idéaux, mais qui implique au moins l’inclu-sion entre les radicaux des idéaux). Il explique ensuite, dans un paragraphequelque peu obscur, que cette nouvelle relation permet de définir un nouveau cf . [19], p. 419–420. Nous avons corrigé une faute dans la dernière formule de cettecitation (le texte des Werke contient r au lieu de ρ − r ). . Cet article, son titre l’indique, se rappor-tait principalement aux variétés de codimension supérieure à 1. Sans recoursà l’historiographie, il nous serait impossible de comprendre ce que Kroneckervisait.J. Molk, dans un long commentaire en français des Grundzüge , nous offreune explication possible quand il se propose de décomposer les systèmesde diviseurs en produits de systèmes irréductibles , pour A = k [ x, y ] . Acet effet, dans le cas d’un système de diviseurs (Φ( x, y ) , Ψ( x, y )) , il montreque ce système est équivalent au système des coefficients de la résolvente de Φ et Ψ ( cf . [22] p. 79-97). Il en est de même en général pour un systèmede diviseurs (Λ ( x, y ) , Λ ( x, y ) , ..., Λ µ ( x, y )) , à condition d’affaiblir la rela-tion d’équivalence entre systèmes de diviseurs comme le faisait Kronecker en1883 ( cf . [22] p. 104-105). Malgré ses efforts, Molk semble abandonner toutespoir d’une théorie générale des systèmes de diviseurs qui rende compte desfacteurs multiples dans la résolvente. Or la relation d’équivalence entre sys-tèmes de diviseurs consistant en l’égalité des radicaux des idéaux donne unethéorie générale sans notion de multiplicité ; mais Kronecker et Molk cher-chaient une relation d’équivalence plus forte. La recherche d’une telle relationd’équivalence était probablement motivée par la recherche d’une notion demultiplicité, et renoncer à toute notion de multiplicité était donc un constatd’échec.D’autres commentateurs des Grundzüge (Hurwitz, H. M. Edwards) ont vudans l’article de 1883 le chaînon manquant qui permet au moins de démontrerrigoureusement les considérations des sections 14 à 18. Il y avait en effet,comme nous l’avons mentionné, un point obscur dans la section 14, qui a faitdire à Dedekind :Ici se cache le cœur de la théorie des idéaux de Kronecker ; lasimplicité qui nous étonnait au début apparaît bientôt sous uneautre lumière, si l’on exige que la démonstration soit complète-ment achevée. .Kronecker semble en effet déduire, du fait qu’une forme Q vérifie une équationNm ( X − Q ) = 0 à coefficients entiers sur le corps de base, le fait que cette
57. Comme nous l’avons mentionné, Kronecker souhaitait réduire la théorie des nombresalgébriques à celle des systèmes de diviseurs de rang 2 dans Z [ x ] , et plus généralementtoute la théorie des « formes entières algébriques de rang m » à une théorie des « formesentières rationnelles de rang m + 1 » ( cf . [18] p. 113).58. Cf . [22] § IV.1. Il faut ici entendre la notion de produit, avec Molk, au sens du produitdes idéaux correspondant aux systèmes de diviseurs. Molk affirme (cf. [22] p. 107) que saméthode, décrite pour A = k [ x, y ] , est aussi valable pour A = Z [ x ] .59. Cf . [9], remarque n o
20 de Dedekind, et le commentaire des éditeurs que nous résu-mons ci-dessous. U i ( ≤ i ≤ n ), on obtient facilementle corollaire suivant : Corollaire 3
Les grandeurs M k M m + i (pour tout k , i tels que ≤ k ≤ m et ≤ i ≤ n − m + 1 ) sont entières sur Z [ M ′ , M ′ , ..., M ′ n ] . Ce corollaire se généralise facilement au produit de formes à un nombrequelconque d’indéterminées : X h M h φ h . X i M m + i ψ i = X k M ′ k χ k où φ h , ψ i , χ k désignent des produits quelconques des indéterminées . Enprenant P h M h φ h = X − Q et P i M m + i ψ i = Nm ( X − Q ) X − Q , on en déduit la pro-position annoncée.Reprenons le fil des Grundzüge . Kronecker entendait réduire la théorie des« formes entières algébriques de rang m » à une théorie des « formes entièresrationnelles de rang m + ». Dans la vingt-cinquième et dernière section des Grundzüge , il tente d’appliquer ce principe pour m = 1 ; il donne ainsi unnouvel algorithme (p. 114–117), déjà annoncé ailleurs dans les Grundzüge ,pour la décomposition d’une grandeur algébrique entière en ses diviseursirréductibles. Dans le cas O k = Z , l’idée de cette méthode n’est pas nouvelle.Plus généralement, soit O k = Q [ R ′ , R ′′ , ... ] k = Q ( R ′ , R ′′ , ... ) K = Q ( G , R ′ , R ′′ , ... ) où G vérifie une équation F ( G ) = 0 avec F ( R ) ∈ Q [ R ′ , R ′′ , ... ][ R ] . Cf . par exemple [8], partie 0, corollaire 3 p. 4.61. Nous ne décrivons ici que le cas où K est une extension algébrique de k ayant unélément primitif G . Mais on peut toujours se ramener à cette situation en adjoignant desindéterminées u ′ , u ′′ , ... ; on aurait alors K = Q ( u ′ , u ′′ , ... )( G , R ′ , R ′′ , ... ) et cela ne nuitpas à la suite du raisonnement. Selon Edwards, c’est Hensel qui a démontré, dans le casparticulier k = Q , la validité de l’algorithme décrit ici par Kronecker. Edwards avoue « Ido not know of a proof of Kronecker’s more general case. (If one could be given, it would bea large step toward the solution of the problem of factoring divisors in the general case.). ».Nous essayons ici de reconstituer le raisonnement, imparfait, de Kronecker dans le cas où k = Q ( R ′ , R ′′ , ... ) et O k = Q [ R ′ , R ′′ , ... ] . O K avec G et ses puissances (p. 111-112). En tout cas, O K contient l’anneau engendrépar G , R ′ , R ′′ , ... : Q [ G , R ′ , R ′′ , ... ] ⊂ O K Nous allons préciser cette affirmation. Remarquons que K , anneau engendrépar G sur k , est isomorphe à un anneau quotient : K ≃ k [ R ] / F ( R ) Soit ∆ le discriminant de F ( R ) . Alors ∆ ∈ O k . On va montrer que O K ⊂ O k, ( P ) [ G ] où l’anneau de droite est engendré par G sur O k, ( P ) , localisé de O k par rapportà n’importe quel idéal premier ( P ) avec P ne divisant pas ∆ . Soit en effet x ∈ O K , alors il existe des a i ∈ k tels que : x = deg F − X i =0 a i G i Les (deg F ) équations conjuguées forment un système d’équations linéaires enles a i , dont le déterminant est un déterminant de Vandermonde ayant pourcarré ∆ . Les formules de Cramer permettent d’exprimer chaque a i commequotient d’un élément de O k [ G ] par ce déterminant. Si P ∈ O k ne divise pas ∆ , il est donc clair que chaque a i appartient à l’anneau O k, ( P ) [ G ] . q. e. d. Soit une telle grandeur entière P irréductible dans O k et ne divisant pas ∆ .Essayons de la décomposer en produit de diviseurs (rappelons, conformémentà la théorie des diviseurs exposée plus haut, qu’il s’agit de décomposer P dans O K ⊗ S − O k [ u , u , ... ] ). Remarquons tout d’abord que l’on a bien une théoriede la codimension pour les systèmes de diviseurs dans Q [ R ′ , R ′′ , ... ][ R ] , théo-rie garantie par la méthode d’élimination de Kronecker et son interprétationgéométrique . Or pour décomposer ( P ) en ses composantes de codimension1 (c’est-à-dire en éléments de O K ), on va décomposer ( P, F ( R )) en ses com-posantes de codimension 2 (c’est-à-dire que l’on cherche un produit d’idéauxqui, en codimension 2, présente le même lieu des zéros que ( P, F ( R )) ). A ceteffet, on a naturellement recours à une décomposition de F : F ( R ) = f ( R ) n f ( R ) n ... + P F ( R )
62. On serait gêné par l’absence d’une théorie de la codimension dans le cas O k = Z [ R ′ , R ′′ , ... ] . f ( R ) , f ( R ) , ... irréductibles modulo P (cela a bien un sens puisque l’an-neau O k, ( P ) / ( P ) est un corps et que l’anneau de polynômes (cid:0) O k, ( P ) / ( P ) (cid:1) [ R ] est donc factoriel). D’ailleurs, comme le discriminant ∆ de F est non nulmodulo P , une telle décomposition ne compte pas de facteur double et n = n = ... = 1 . Remarque : une telle décomposition de F donne bien une décomposition« géométrique » de ( P, F ( R )) , au sens suivant. Mettons toutes les fractionsrationnelles au même dénominateur : f ( R ) = ˜ f ( R ) c ( R ′ , R ′′ , ... ) , f ( R ) = ˜ f ( R ) c ( R ′ , R ′′ , ... ) , ... F ( R ) = ˜ F ( R ) c ( R ′ , R ′′ , ... ) avec c ( R ′ , R ′′ , ... ) non divisible par P , de sorte que c ( R ′ , R ′′ , ... ) F ( R ) = ˜ f ( R ) ˜ f ( R ) ... + P ˜ F ( R ) Les lieux géométriques suivants sont alors confondus : Z (cid:18)Q i (cid:16) P, ˜ f i ( R ) (cid:17)(cid:19) = Z (cid:18) P, Q i ˜ f i ( R ) (cid:19) = Z ( P, c ( R ′ , R ′′ , ... ) F ( R ))= Z (( P, c ( R ′ , R ′′ , ... ))( P, F )) D’où [ i Z (cid:16) P, ˜ f i ( R ) (cid:17) = Z ( P, c ( R ′ , R ′′ , ... )) ∪ Z ( P, F ) Revenons à la théorie des diviseurs. La décomposition de F ( R ) donne, enposant R = G : ˜ f ( G ) ˜ f ( G ) ... + P ˜ F ( G ) = 0 Donc dans O K , P divise Q ˜ f i ( G ) . Donc dans O K ⊗ S − O k [ u , u , ... ] , il divise Y (cid:16) P + u i ˜ f i ( G ) (cid:17) Il est clair d’autre part que P + u i ˜ f i ( G ) divise P pour tout i . Lemme 4
Pour tous i = j , le diviseur P + u i ˜ f i ( G ) + u j ˜ f j ( G ) est une unité.Démonstration : on écrit l’égalité de Bézout suivante dans l’anneau (cid:0) O k, ( P ) / ( P ) (cid:1) [ R ] : A ( R ) f i ( R ) + B ( R ) f j ( R ) = C Et C = 0 car f i et f j sont premiers entre eux. On relève cette égalité dansl’anneau O k, ( P ) [ R ] : ˜ A ( R ) ˜ f i ( R ) + ˜ B ( R ) ˜ f j ( R ) = ˜ C ˜ C non divisible par P . On pose dans cette égalité R = G ; comme lediviseur u i ˜ f i ( G ) + u j ˜ f j ( G ) divise ˜ f i ( G ) et ˜ f j ( G ) , il divise ˜ C aussi. Donc lediviseur u i ˜ f i ( G ) + u j ˜ f j ( G ) + P divise le diviseur P + u ˜ C qui lui-même estune unité, donc celui-là en est une aussi, q. e. d. Ce lemme montre que les P + u i ˜ f i ( G ) sont tous premiers entre eux. Maisdonc comme chacun divise P , leur produit aussi. Finalement les diviseurs P et Q (cid:16) P + u i ˜ f i ( G ) (cid:17) se divisent mutuellement et sont égaux, à une unitéprès. On a donc trouvé une décomposition de P . Il reste à vérifier que lesdiviseurs P + u i ˜ f i ( G ) sont irréductibles. Lemme 5
Pour tout i , le diviseur P + u i ˜ f i ( G ) est irréductible.Démonstration : supposons qu’il existe f ( G ) ∈ O K tel que P + u i ˜ f i ( G ) + uf ( G ) soit différent d’une unité, et montrons qu’alors P + u i ˜ f i ( G ) divise f ( G ) . Ecrivons une égalité de Bézout dans (cid:0) O k, ( P ) / ( P ) (cid:1) [ R ] que l’on relèveimmédiatement à O k, ( P ) [ R ] : A ( R ) ˜ f i ( R ) + B ( R ) f ( R ) = C + P.D ( R ) Quitte à réduire au même dénominateur A ( R ) , B ( R ) , C et D ( R ) , on peutmême supposer qu’ils sont tous éléments de O k [ R ] . Posons R = G , on obtientune égalité de la forme : A ( G ) ˜ f i ( G ) + B ( G ) f ( G ) = C + P.D ( G ) avec A ( G ) , B ( G ) , C et D ( G ) éléments de O K . On en déduit que le diviseur u i ˜ f i ( G ) + uf ( G ) + P divise le diviseur C + vP . Ce dernier ne peut donc pasêtre une unité, et if faut que P divise C . Alors f i ( R ) et f ( R ) ont un facteurcommun modulo P (c’est-à-dire si l’on considère ces deux polynômes commeéléments de l’anneau (cid:0) O k, ( P ) / ( P ) (cid:1) [ R ] ). Mais f i est irréductible modulo P ,donc il divise f modulo P . Cette relation de divisibilité, relevée à O k, ( P ) [ R ] et quitte à réduire toutes les fractions au même dénominateur, implique quedans O k [ R ] , il existe un C ∈ O k non divisible par P tel que C.f ( R ) ∈ ( ˜ f i ( R ) , P ) D’où, en posant R = G , P + u i ˜ f i ( G ) | C.f ( G ) et comme C n’est pas divisible par P , on a finalement P + u i ˜ f i ( G ) | f ( G ) ,
41e qu’il fallait démontrer.Retenons seulement que le texte des
Grundzüge est de nature program-matique. Le titre l’annonçait déjà, « Esquisse d’une théorie arithmétique desgrandeurs algébriques ». Kronecker n’hésite pas à sauter les points obscurs etlaisser les détails à l’attention des commentateurs et de la recherche future,dans un ouvrage qui est le fruit d’une longue recherche menée sur des casparticuliers, champs d’essai des algorithmes, un ouvrage qui n’est pas unedémonstration a priori de résultats pressentis. Il n’a pourtant pas négligé dechercher les fondements simples de sa théorie ( einfachste Grundlagen , commeil le dit dans l’article de 1883) ; il définit certes des concepts (ceux de « genre »,de « grandeur entière », de discriminant, de « système de diviseurs », de codi-mension,...). Mais il ne semble pas vouloir en donner une construction logiquesuffisante. L’ouvrage s’organise alors autour d’algorithmes qui mettent enœuvre ces concepts et en donnent une certaine légitimation (l’algorithme defactorisation au § 4, l’algorithme de calcul d’une base du O k -module O K au§ 6, l’algorithme pour le calcul de la Gesammtresolvente au § 10, l’algorithmede décomposition en diviseurs premiers aux § 18 et 25...), et autour de casparticuliers (celui du corps de décomposition d’une équation aux § 11 et 12,celui des corps de nombres aux § 14 à 19, celui des variétés de dimension 0au § 20...) et de l’évocation de travaux antérieurs (par exemple ses recherchessur le corps de classes et la multiplication complexe au § 19, ou celles surles extensions non ramifiées – les « genres sans discriminant » – au § 8), casparticuliers qui entraînent peu à peu l’intuition vers son nouveau vêtement.
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