La transformée de Fourier pour les espaces tordus sur un groupe réductif p -adique I. Le théorème de Paley-Wiener
aa r X i v : . [ m a t h . R T ] S e p LA TRANSFORMÉE DE FOURIER POUR LES ESPACESTORDUS SUR UN GROUPE RÉDUCTIF p -ADIQUEI. LE THÉORÈME DE PALEY–WIENER Guy Henniart & Bertrand Lemaire
Résumé . —
Soit G un groupe réductif connexe défini sur un corps local non ar-chimédien F . On pose G = G ( F ) . Soit aussi θ un F –automorphisme de G , et ω un caractère lisse de G . On s’intéresse aux représentations complexes lisses π de G telles que π θ = π ◦ θ est isomorphe à ωπ = ω ⊗ π . Si π est admissible, en particulierirréductible, le choix d’un isomorphisme A de ωπ sur π θ (et d’une mesure de Haarsur G ) définit une distribution Θ Aπ = tr( π ◦ A ) sur G . La transformée de Fouriertordue associe à une fonction f sur G localement constante et à support compact,la fonction ( π, A ) Θ Aπ ( f ) sur un groupe de Grothendieck adéquat. On décrit icison image (théorème de Paley–Wiener), et l’on réduit la description de son noyau(théorème de densité spectrale) à un énoncé sur la partie discrète de la théorie. Abstract . —
Let G be a connected reductive group defined over a non–Archimedeanlocal field F . Put G = G ( F ) . Let θ be an F –automorphism of G , and let ω be a smoothcharacter of G . This paper is concerned with the smooth complex representations π of G such that π θ = π ◦ θ is isomorphic to ωπ = ω ⊗ π . If π is admissible, inparticular irreducible, the choice of an isomorphism A from ωπ to π θ (and of a Haarmeasure on G ) defines a distribution Θ Aπ = tr( π ◦ A ) on G . The twisted Fouriertransform associates to a compactly supported locally constant function f on G , thefunction ( π, A ) Θ Aπ ( f ) on a suitable Grothendieck group. Here we describe itsimage (Paley–Wiener theorem), and we reduce the description of its kernel (spectraldensity theorem) to a result on the discrete part of the theory. Table des matières
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Représentations des espaces tordus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73. Énoncé du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334. Réduction à la partie « discrète » de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365. Le théorème de Paley–Wiener sur la partie discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Classification mathématique par sujets (2000). —
Mots clefs . — corps local non archimédien, espace tordu, caractère tordu, transformée deFourier , théorème de Paley–Wiener, théorème de densité spectrale.
GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
1. Introduction1.1. —
Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien, et soit G ungroupe réductif connexe défini sur F . Le groupe G = G ( F ) des points F –rationnels de G ,muni de la topologie donnée par F , est localement profini — en particulier localement com-pact — et unimodulaire. On appelle représentation de G , ou G –module , une représentationlisse de G à valeurs dans le groupe des automorphismes d’un espace vectoriel sur C . Le choixd’une mesure de Haar dg sur G permet de définir, pour toute représentation admissible π de G , une distribution Θ π sur G , c’est–à–dire une forme linéaire sur l’espace H ( G ) desfonctions localement constantes et à support compact sur G : pour f ∈ H ( G ) , l’opérateur π ( f ) = R G f ( g ) π ( g ) dg sur l’espace de π est de rang fini, et l’on pose Θ π ( f ) = tr( π ( f )) . Cette distribution Θ π ne dépend que de la classe d’isomorphisme de π (et aussi du choix de dg ). Notons G ( G ) le groupe de Grotendieck des représentations de longueur finie de G . Toutélément π de G ( G ) définit par linéarité une distribution Θ π sur G .Le théorème de Paley–Wiener (scalaire) prouvé dans [ BDK ] caractérise les applications Z –linéaires de G ( G ) vers C qui sont de la forme π Θ π ( f ) pour une fonction f ∈ H ( G ) .L’espace H ( G ) est muni d’un produit de convolution ∗ , donné par f ∗ h ( x ) = Z G f ( g ) h ( g − x ) dg. Le noyau de l’application f ( π Θ π ( f )) contient le sous–espace [ H ( G ) , H ( G )] de H ( G ) engendré par les commutateurs f ∗ h − h ∗ f . Le théorème de densité spectrale affirme quece noyau est égal à [ H ( G ) , H ( G )] . Il a été démontré par Kazhdan dans [ K1 , appendix], viaun argument local–global utilisant la formule des traces, donc valable seulement si F est decaractéristique nulle. Kazhdan a ensuite étendu son résultat au cas où F est de caractéristiquenon nulle [ K2 ], par la méthode des corps proches en supposant G déployé. Notons que cetteméthode est certainement valable sous des hypothèses moins restrictives, par exemple ensupposant la caractéristique résiduelle grande par rapport au rang de G — voir les travauxrécents de J.–L. Waldspurger sur le lemme fondamental —, mais cela reste à rédiger. On s’intéresse ici à la version « tordue » des résultats précédents. La torsion enquestion est donnée par un F –automorphisme de G , disons θ . On fixe aussi un caractère ω de G , c’est–à–dire un homomorphisme continu dans C × . Pour f ∈ H ( G ) et x ∈ G , onnote x f la fonction g ω ( x ) f ( x − gθ ( x )) sur G . La théorie de l’endoscopie tordue étudie lesdistributions D sur G qui, pour tout f ∈ H ( G ) et tout x ∈ G , vérifient D ( x f ) = D ( f ) .Soit π une représentation irréductible de G telle que π θ = π ◦ θ est isomorphe à ωπ = ω ⊗ π .Le choix d’un isomorphisme A de ωπ sur π θ définit comme plus haut une distribution Θ Aπ = tr( π ◦ A ) sur G . Cette distribution Θ Aπ dépend bien sûr du choix de A (et ausside celui de dg ), et elle vérifie Θ Aπ ( x f ) = Θ Aπ ( f ) . Pour décrire l’image et le noyau de l’application f ( π Θ Aπ ( f )) comme dans le casnon tordu, il faut commencer par la définir ! On peut le faire de diverses manières, l’une d’elleétant la suivante. Soit G C ( G, θ, ω ) le C –espace vectoriel engendré par les paires ( π, A ) où π est une représentation de G de longueur finie telle que π θ ≃ ωπ et A est un isomorphismede ωπ sur π θ , modulo les relations :– pour toute suite exacte → ( π , A ) → ( π , A ) → ( π , A ) → , i.e. une suite exactede G -modules qui commute aux A i , on a ( π , A ) = ( π , A ) − ( π , A ) ;– pour tout λ ∈ C × , on a ( π, λA ) = λ ( π, A ) ; A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU – pour tout entier k > et toute paire ( ρ, B ) formée d’une représentation de longueurfinie ρ de G telle que ρ ( k ) ≃ ρ et d’un isomorphisme B de ρ sur ρ ( k ) , on a ι k ( ρ, B ) = 0 .Ci–dessus, ι k ( ρ, B ) est la paire ( π, A ) définie par π = ρ ⊕ ρ (1) ⊕ · · · ⊕ ρ ( k − , A ( v , v , . . . , v k − ) = ( v , . . . , v k − , B ( v )) , où l’on a posé ρ ( i ) = ω − i ρ θ i , ω i désignant le caractère g w ( gθ ( g ) · · · θ i − ( g )) de G . Parconstruction, π (1) = ω − π θ est isomorphe à π et A est un isomorphisme de π sur π (1) .L’application f (( π, A ) Θ Aπ ( f )) définit un morphisme C –linéaire H ( G ) → G C ( G, θ, ω ) ∗ = Hom C ( G C ( G, θ, ω ) , C ) . C’est ce morphisme que l’on étudie dans cet article.
Plutôt que de fixer le F –automorphisme θ de G , il convient de travailler avec un G –espace algébrique tordu G ♮ tel que l’ensemble G ♮ = G ♮ ( F ) de ses points F –rationnelsest non vide. Le choix d’un point–base δ ∈ G ♮ définit un F –automorphisme θ = Int G ♮ ( δ ) de G qui permet d’identifier G ♮ au G -espace topologique tordu Gθ (cf. 2.2). On appelle ω –représentation de G ♮ , ou ( G ♮ , ω ) –module , la donnée d’une paire ( π, A ) formée d’une re-présentation π de G telle que π (1) ≃ π et d’un isomorphisme A de π sur π (1) (on ren-voie à 2.3 pour une définition plus intrinsèque). On note Π la paire ( π, A ) , et l’on pose Π ◦ = π . Les ω –représentations de G ♮ s’organisent naturellement en une catégorie abélienne,et G C ( G ♮ , ω ) = G C ( G, θ, ω ) est un quotient du groupe de Grothendieck des ω –représentations Π de G ♮ telles que la représentation Π ◦ de G sous–jacente est de longueur finie.Toute ω –représentation Π de G ♮ telle que Π ◦ est admissible définit comme plus hautune distribution Θ Π sur G ♮ , c’est–à–dire une forme linéaire sur l’espace H ( G ♮ ) des fonctionslocalement constantes et à support compact sur G ♮ : pour φ ∈ H ( G ♮ ) , on pose Θ Π ( φ ) = tr(Π( φ )) , où Π( φ ) est l’opérateur R G ♮ φ ( δ )Π( δ ) dδ sur l’espace de Π (il est de rang fini). Ici dδ est lamesure G –invariante sur G ♮ image de dg par l’homéomorphisme g g · δ . On a donc Θ Π ( φ ) = Θ Π( δ )Π ◦ ( φ ◦ ) , où φ ◦ est la fonction g φ ( g · δ ) sur G . Traduite en ces termes, la transformée de Fourierpour ( G ♮ , ω ) est le morphisme C –linéaire H ( G ♮ ) → G C ( G ♮ , ω ) ∗ = Hom C ( G C ( G ♮ , ω ) , C ) déduit par linéarité de l’application φ (Π Θ Π ( φ )) .Notre résultat principal (énoncé en 3.1) est une description de ce morphisme : le théorèmede « Paley–Wiener tordu » décrit son image, et le théorème de « densité spectrale tordue » sonnoyau. En fait la densité spectrale en question est plutôt une conséquence de la descriptiondu noyau : l’espace H ( G ♮ ) est naturellement muni d’une structure de H ( G ) –bimodule, et lesous–espace [ H ( G ♮ ) , H ( G )] ω de H ( G ♮ ) engendré par les fonctions φ ∗ f − ωf ∗ φ est clairementcontenu dans le noyau. Le théorème de densité spectrale tordue dit que cette inclusion est uneégalité : si une fonction φ annule toutes les traces Θ Π , où Π parcourt les ω –représentationsde G ♮ telles que Π ◦ est irréductible, alors elle est dans [ H ( G ♮ ) , H ( G )] ω . Cela implique enparticulier qu’elle annule toutes les distributions D sur G ♮ telles que D ( x φ ′ ) = D ( φ ′ ) pourtout φ ′ ∈ H ( G ♮ ) et tout x ∈ G , où l’on a posé x φ ′ ( δ ) = ω ( x ) φ ′ ( x − · δ · x ) .Dans cet article, on démontre la surjectivité dans le théorème de 3.1 (théorème de Paley–Wiener tordu). La preuve de l’injectivité (théorème de densité spectrale tordue), beaucoupplus longue que prévue, est seulement ébauchée ici, et sera terminée ailleurs [ HL ]. GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Le théorème de Paley–Wiener tordu a été démontré par Rogawski dans [ R ], pour θ d’ordre fini et ω = 1 . La preuve est essentiellement celle de [ BDK ], adaptée au cas tordu.Sous les mêmes hypothèses ( θ l = id et ω = 1 ), Flicker a décrit dans [ F ] une preuve locale duthéorème de densité spectrale, utilisant la méthode de « dévissage » de Bernstein. À notreconnaissance, cette méthode n’a jamais été rédigée par Bernstein. Elle est particulièrementbien expliquée par Dat (dans le cas non tordu) dans son article sur le K [ D ]. Ce dernierpermet d’ailleurs de reconstruire les arguments manquants dans [ F ].La démonstration proposée ici et dans [ HL ] est entièrement locale, et aussi entièrementspectrale puisqu’aucun recours aux intégrales orbitales n’est nécessaire. Comme dans [ F ], ontraite de façon semblable la surjectivité (Paley–Wiener) et l’injectivité (densité spectrale).Le théorème de Paley–Wiener est démontré ici en adaptant au cas tordu les arguments de[ BDK ]. Le théorème de densité spectrale sera (complètement) démontré dans [ HL ] grâce laméthode de dévissage de Bernstein.Par induction parabolique et récurrence sur la dimension de G , on ramène l’étude dela transformée de Fourier à la partie « discrète » de ( G ♮ , ω ) . Notant H dis ( G ♮ , ω ) le sous–espace de H ( G ♮ , ω ) = H ( G ♮ ) / [ H ( G ♮ ) , H ( G )] ω engendré par les fonctions « ω –cuspidales »,et G dis C ( G ♮ , ω ) ∗ l’espace des formes linéaires « discrètes » sur G C ( G ♮ , ω ) — ces notions sontles avatars tordus des notions habituelles, cf. 1.6 —, la transformée de Fourier pour ( G ♮ , ω ) se restreint en un morphisme H dis ( G ♮ , ω ) → G dis C ( G ♮ , ω ) ∗ . Une bonne partie du présent article est consacrée à l’étude de ce morphisme, précisémentà la description de son image, son injectivité étant démontrée dans [ HL ]. La description(image et noyau) de la transformée de Fourier sur l’espace G C ( G ♮ , ω ) tout entier s’en déduitensuite aisément. Notons que si le centre de G ♮ est compact — cas particulier auquel il esten principe toujours possible de se ramener en fixant le caractère central — le morphismeci–dessus est un isomorphisme. Notons aussi que dans le cas non tordu, cet isomorphisme adéjà été établi en caractéristique nulle par Kazhdan [ K1 , theorem B]. Le théorème de Paley–Wiener démontré ici a déjà été utilisé par J.-L. Waldspurgerpour établir la formule des traces locale tordue en caractéristique nulle [ W ]. Notons que dansce même papier, l’auteur démontre — toujours en caractéristique nulle, et sous l’hypothèseoù la restriction de θ au centre Z ( G ) de G est d’ordre fini — un théorème de densité, appelé« théorème » de Kazhdan [ W , 5.5], qui (en caractéristique nulle) est équivalent au théorèmede densité spectrale établi ici. Précisément, Waldspurger (dans [ W ]) commence par établirune première formule des traces locale tordue non–invariante , formule de laquelle il déduit le« théorème » de Kazhdan. Ensuite il utilise le théorème de Paley–Wiener — en particulierl’existence de pseudo–coefficients — pour rendre cette première formule invariante. Décrivons brièvement les points–clés de la démonstration du théorème de Paley–Wiener tordu. On fixe une famille P ( G ♮ ) de sous–espaces paraboliques standard P ♮ de G ♮ munis d’une décomposition de Levi standard P ♮ = M ♮ P · U P ; ici P désigne le sous–groupeparabolique de G sous–jacent à P ♮ , et U P son radical unipotent. Pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , les versionstordues des foncteurs induction parabolique et restriction de Jacquet normalisés définissentdes morphismes C –linéaires ω i G ♮ P ♮ : G C ( M ♮ P , ω ) → G C ( G ♮ , ω ) , ω r P ♮ G ♮ : G C ( G ♮ , ω ) → G C ( M ♮ P , ω ) . A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU Notons G C , ind ( G ♮ , ω ) le sous–espace de G C ( G ♮ , ω ) engendré par les ω i G ♮ P ♮ ( G C ( M ♮ P , ω )) pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) distinct de G ♮ , et posons G dis C ( G ♮ , ω ) = G C ( G ♮ , ω ) / G C , ind ( G ♮ , ω ) . Une forme linéaire sur G C ( G ♮ , ω ) est dite « discrète » si elle s’annule sur G C , ind ( G ♮ , ω ) . Une ω –représentation Π de G ♮ telle que Π ◦ est irréductible est dite « discrète » si son image dans G dis C ( G ♮ , ω ) n’est pas nulle. On note Irr dis C ( G ♮ , ω ) le sous–ensemble de G C ( G ♮ , ω ) formé des ω –représentations discrètes de G ♮ . Notons que la décomposition G C ( G ♮ , ω ) = h Π : Π ∈ Irr dis C ( G ♮ , ω ) i + G C , ind ( G ♮ , ω ) n’est en général pas une somme directe.Pour φ ∈ H ( G ♮ ) et P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , on a défini dans [ L2 , 5.9] le terme constant tordu ω φ P ♮ ,K ∈ H ( M ♮ P ) relatif à un sous–groupe compact maximal spécial K de G choisi demanière convenable (en bonne position par rapport aux sous–groupes paraboliques standardde G , cf. 4.7). On dit que φ est « ω –cuspidale » si pour tout P ♮ ∈ P ( G ♮ ) distinct de G ♮ , l’imagede ω φ P ♮ ,K dans H ( M ♮ P , ω ) est nulle. D’après l’analogue tordu de la formule de Van Dijk pourles traces des représentations induites [ L2 , théo.], si φ est ω –cuspidale alors Θ Π ( φ ) = 0 pourtout Π ∈ G C , ind ( G ♮ , ω ) . D’ailleurs si l’on admet le théorème de densité spectrale tordue pourtous les sous–espaces de Levi propres de G ♮ , la réciproque est vraie aussi. La transformée deFourier induit donc bien un morphisme H dis ( G ♮ , ω ) → G dis C ( G ♮ , ω ) ∗ . On démontre en 4.9 que le théorème principal (3.1) se ramène à un énoncé analogue sur lapartie discrète de la théorie (4.8), c’est–à–dire à la description de l’image et à l’injectivitédu morphisme ci–dessus.
Décrivons l’image du morphisme précédent. L’application ( k, π ) π ( k ) induit uneaction de Z sur la plupart des objets reliés à la théorie des représentations de G :– l’ensemble Irr( G ) des classes d’isomorphisme de représentations irréductibles de G ;– l’ensemble Θ( G ) = ` s Θ( s ) des classes de G –conjugaison de paires cuspidales de G , où s parcourt l’ensemble des classes d’équivalence inertielle de paires cuspidales de G et Θ( s ) désigne la variété complexe associée à s (cf. 2.15) ;– le centre Z ( G ) de la catégorie des G –modules ;– etc.L’application caractère infinitésimal θ G : Irr( G ) → Θ( G ) est ainsi Z –équivariante. Pour chaque classe d’équivalence inertielle s , on note Θ dis G ♮ ,ω ( s ) le sous–ensemble de Θ( s ) formé des θ G (Π ◦ ) pour une ω –représentation discrète Π de G ♮ .Remarquons que pour que Θ dis G ♮ ,ω ( s ) soit non vide, il faut que la variété Θ( s ) soit Z –stable.Comme dans [ BDK ], on montre (en 5.3–5.5) la
Proposition . —
L’ensemble Θ dis G ♮ ,ω ( s ) est une partie constructible de Θ( s ) . Notons P ( G ♮ ) le groupe — algébrique, diagonalisable sur C — des caractères non ramifiésde G qui sont θ –stables (il ne dépend pas du choix de δ ∈ G ♮ ), et posons d ( G ♮ ) = dim P ( G ♮ ) .Comme dans loc. cit., on en déduit (en 5.2) le Corollaire . —
L’ensemble Θ dis G ♮ ,ω ( s ) est union finie de P ( G ♮ ) –orbites. GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Soit aussi P C ( G ♮ ) l’ensemble des ( ω = 1 )–représentations du G/G –espace tordu G ♮ /G ,où G ⊂ G désigne le groupe engendré par les sous–groupes compacts de G . L’ensemble P C ( G ♮ ) , identifié à un ensemble de fonctions G ♮ → C × , est muni d’une structure de groupe,qui en fait une extension (algébrique, scindée) de P ( G ♮ ) par C × . On en déduit la descriptionde l’image du morphisme H dis ( G ♮ , ω ) → G dis C ( G ♮ , ω ) ∗ . C’est l’espace, disons F dis ( G ♮ , ω ) , desformes linéaires ϕ sur G dis C ( G ♮ , ω ) vérifiant :– il existe un ensemble fini S de classes d’équivalence inertielle s tel que pour tout Π ∈ Irr dis C ( G ♮ , ω ) , on a ϕ (Π) = 0 si θ G (Π ◦ ) ∈ Θ( G ) r ` s ∈ S Θ( s ) ;– pour tout Π ∈ Irr dis C ( G ♮ , ω ) , l’application P C ( G ♮ ) → C , Ψ ϕ (ΨΠ) est une fonction régulière sur la variété P C ( G ♮ ) . L’article s’organise comme suit.Dans la section 2, on reprend la théorie des représentations de G dans le cas tordu. Il s’agitessentiellement de suivre l’action de Z — donnée par ( k, π ) π ( k ) — sur les principauxobjets de la théorie. Le cadre choisi est celui des ω –représentations de G ♮ , qui sont reliéesaux représentations tordues de G via le foncteur d’oubli Π Π ◦ . Parmi les résultats obtenusdans ce cadre tordu, signalons : le lemme géométrique, le théorème du quotient de Langlands,la description du centre de Berstein.Le résultat principal est énoncé dans la section 3. On montre aussi comment la descriptionde l’image de la transformée de Fourier implique la « variante tempérée » du théorème dePaley–Wiener, c’est–à–dire la version en termes des ω u –représentations tempérées des sous–espaces de Levi de G ♮ ; où ω u est le caractère unitaire ω | ω | − de G .Dans la section 4, on ramène l’étude de la transformée de Fourier à celle de sa restrictionà la partie « discrète » des représentations.Dans la section 5, on démontre le théorème de Paley–Wiener dans le cas discret. Pour celaon adapte au cas tordu les techniques de [ BDK ]. Comme dans loc. cit., le point–clé consisteà montrer que pour toute classe d’équivalence inertielle s dans G , l’ensemble Θ dis G ♮ ,ω ( s ) estune partie constructible de Θ( s ) . Signalons brièvement certaines hypothèses admises au cours de l’article.En 2.2, on fixe un point–base δ ∈ G ♮ , et l’on pose θ = Int G ♮ ( δ ) .En 2.8, on fixe une mesure de Haar dg sur G et l’on note dδ la mesure de Haar sur G ♮ image de dg par l’isomorphisme G → G ♮ , g g · δ pour un (resp. pour tout) δ ∈ G ♮ .En 2.10, on fixe un sous–espace parabolique minimal P ♮ ◦ de G ♮ , et une décomposition deLevi P ♮ ◦ = M ♮ ◦ · U ◦ . Le groupe P ◦ sous–jacent à P ♮ ◦ est un sous–groupe parabolique minimalde G , et P ◦ = M ◦ U ◦ (décomposition de Levi ) où M ◦ est le groupe sous–jacent à M ♮ ◦ .À partir de 2.10, on suppose que δ appartient à M ♮ ◦ . La paire parabolique minimale ( P ◦ , M ◦ ) de G est donc θ –stable.À partir de 2.19, on suppose que θ stablise un sous–groupe d’Iwahori de G en bonneposition par rapport à ( P ◦ , M ◦ ) .En 4.7, on fixe un sous–groupe compact maximal spécial K ◦ de G en bonne position parrapport à toute paire parabolique de G contenant ( P ◦ , M ◦ ) . Ce groupe K ◦ n’est pas supposé θ –stable. À partir de 4.7, on suppose que toutes les mesures de Haar utilisées sont cellesnormalisées par K ◦ . A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU
2. Représentations des espaces tordus2.1. Conventions. —
Pour éviter de tomber dans les pièges habituels, on fixe un univers de Grothendieck assez grand U , cf. [ G , chap. I]. Toutes les catégories considérées dans cetarticle sont implicitement des U –catégories : les objets d’une catégorie C sont les élémentsd’un ensemble qui appartient à l’univers U , noté Ob( C ) , et pour M, N ∈ Ob( C ) , les flèches M → N dans C sont les éléments d’un ensemble qui appartient lui aussi à l’univers U , noté Hom C ( M, N ) . En particulier, on appelle simplement « ensemble » un ensemble qui appartientà l’univers U . Toutes les conventions de loc. cit. sont adoptées ici. Par exemple, quand onparle de système inductif (resp. projectif ) d’objets d’une catégorie, on suppose implicitementque ce système est indexé par un ensemble appartenant à U ; idem pour les sommes directeset les produits directs.Sauf mention expresse du contraire, les modules sur un anneau A sont des modules àgauche . Rappelons que tout anneau A possède une unité, disons A , et que tout A –module X vérifie A · x = x , x ∈ X . Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien(de caractéristique quelconque). On note o l’anneau des entiers de F , p l’idéal maximal de F , et κ le corps résiduel o / p .Soit G un groupe réductif connexe défini sur F , et soit G ♮ un G –espace algébrique tordu(au sens de J.-P. Labesse) lui aussi défini sur F . Rappelons que G ♮ est une variété algébriqueaffine définie sur F , munie :– d’une action algébrique de G à gauche définie sur F G × G ♮ → G ♮ , ( g, δ ) g · δ telle que pour tout δ ∈ G ♮ , l’application G → G ♮ , g g · δ est un isomorphisme devariétés algébriques ;– d’une application Int G ♮ : G ♮ → Aut( G ) où Aut( G ) désigne le groupe des automorphismes algébriques de G , telle que pour tout g ∈ G et tout δ ∈ G ♮ , on a Int G ♮ ( g · δ ) = Int G ( g ) ◦ Int G ♮ ( δ ) . Cela munit G ♮ d’une action algébrique de G à droite définie sur F , donnée par G ♮ × G → G ♮ , ( δ, g ) δ · g = Int G ♮ ( δ )( g ) · δ. On suppose que l’ensemble G ♮ = G ♮ ( F ) des points F –rationnels de G ♮ est non vide,et l’on munit G = G ( F ) et G ♮ de la topologie p –adique, ce qui fait de G ♮ un G –espacetopologique tordu, cf. [ L2 , 2.4]. La donnée de l’espace topologique tordu ( G, G ♮ ) équivaut àcelle d’un groupe topologique Z –gradué G = ` k ∈ Z G k tel que G = G et G = G ♮ . Pour k ∈ Z , G k est un G –espace topologique tordu, et le groupe des points F –rationnels d’un G –espacealgébrique tordu G k défini sur F . Les G k sont reliés entre eux par des F –morphismes detransition ϕ k,k ′ : G k × G k ′ → G k + k ′ vérifiant ϕ k ( g · γ, g ′ · γ ′ ) = g Int G k ( γ )( g ′ ) · ϕ k,k ′ ( γ, γ ′ ) et Int G k + k ′ ( ϕ k,k ′ ( γ, γ ′ )) = Int G k ( γ ) ◦ Int G k ′ ( γ ′ ) . GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Pour k ′ = − k , on dispose d’un F –morphisme « inverse » G k → G − k , γ γ − donné par ϕ k, − k ( γ, γ − ) = 1 G . On a donc
Int G − k ( γ − ) = Int G k ( γ ) − . Ces données définissent un F –schéma en groupeslisse de composantes connexes les G k , dont G est le groupe des points F –rationnels.Fixons un point–base δ ∈ G ♮ , et notons θ le F –automorphisme Int G ♮ ( δ ) de G ♮ . Lesous–ensemble Gθ = G ⋊ θ de G ⋊ Aut F ( G ) est naturellement muni d’une structure de G –espace topologique tordu (cf. la remarque 1 de [ L2 , 3.4]) ; ici Aut F ( G ) désigne le groupe des F –automorphismes algébriques de G . On peut bien sûr identifier G ♮ à Gθ via l’application g · δ gθ , mais on préfère ne pas le faire car cette identification n’est pas canonique (engénéral elle dépend du choix de δ , cf. la remarque 3 de loc. cit.).On fixe aussi un caractère ω de G = G ( F ) , c’est–à–dire un morphisme continu de G dans C × . Notons C ( G ) la composante neutre du centre Z ( G ) de G . C’est un tore défini sur F . Remarque . — La restriction de θ à C ( G ) ne dépend pas du choix de δ , et on ne supposepas qu’elle est d’ordre fini. En d’autres termes, on ne suppose pas que G ♮ est isomorphe àune composante connexe d’un groupe algébrique affine. On ne suppose pas non plus que ω est unitaire. (cid:4) ω –représentations de G ♮ . — Pour un groupe topologique totalement discontinu H , on appelle représentation de H , ou H –module , une représentation lisse de H à valeursdans le groupe des automorphismes d’un espace vectoriel complexe. Les représentationsde H forment une catégorie abélienne, notée R ( H ) . On note Irr( H ) l’ensemble des classesd’isomorphisme de représentations irréductibles de H .On s’intéresse aux représentations π de G telles que ωπ = ω ⊗ π est isomorphe à π θ = π ◦ θ .Si π est irréductible, alors d’après le lemme de Schur, l’espace Hom G ( ωπ, π θ ) des opérateursd’entrelacement entre ωπ et π θ est de dimension , mais en général il n’y a pas de vecteurprivilégié dans cet espace — sauf si le groupe G est quasi–déployé sur F , mais même dans cecas il faut faire des choix. On a donc intérêt à travailler dans une catégorie de représentationsenglobant cet espace, par exemple celle des ω –représentations (lisses) de G ♮ introduite dans[ L2 , 2.6].Une ω –représentation de G ♮ — ou ( G ♮ , ω ) –module —, est la donnée d’une représentation ( π, V ) de G et d’une application Π : G ♮ → Aut C ( V ) telle que, pour tout δ ∈ G ♮ et tous x, y ∈ G , on a Π( x · δ · y ) = ω ( y ) π ( x ) ◦ Π( δ ) ◦ π ( y ) . Pour x ∈ G et δ ∈ G ♮ , on a π ( x ) = Π( x · δ ) ◦ Π( δ ) − = ω ( x ) − Π( δ ) − ◦ Π( δ · x ) . La représentation π est déterminée par Π , et notée Π ◦ comme dans loc. cit. Remarquons quel’opérateur A = Π( δ ) est un isomorphisme de ωπ sur π θ . L’espace d’une ω –représentation Π de G ♮ , c’est–à–dire celui de la représentation Π ◦ de G sous–jacente, est noté V Π = V Π ◦ .Les ω –représentations de G ♮ s’organisent naturellement en une catégorie, notée R ( G ♮ , ω ) .Un morphisme u entre deux ω –représentations Π et Π ′ de G ♮ est une application C –linéaire u : V Π → V Π ′ telle que u ◦ Π( δ ) = Π ′ ( δ ) ◦ u pour tout δ ∈ G ♮ — de manière équivalente, u estun morphisme entre Π ◦ et Π ′◦ tel que u ◦ Π( δ ) = Π ′ ( δ ) ◦ u . L’application Π Π ◦ définitun foncteur d’oubli de R ( G ♮ , ω ) dans R ( G ) , et ce foncteur est fidèle. Notons que s’il existe A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU une ω –représentation Π de G ♮ telle que Π ◦ est irréductible, alors le caractère ω est trivialsur le centre Z ♮ = Z ( G ♮ ) de G ♮ , défini par Z ♮ = { z ∈ Z ( G ) : θ ( z ) = z } . En d’autres termes, si ω | Z ♮ = 1 alors la théorie qui nous intéresse ici est vide.On a des notions évidentes de sous– ω –représentation (resp. de ω –représentation quotient)d’une ω –représentation de G ♮ , et de suite exacte courte de ω –représentations de G ♮ (cf.loc. cit.). Si u est un morphisme entre deux ω –représentations Π et Π ′ de G ♮ , le noyau ker u et l’image Im u sont des sous– ω –représentations de Π et Π ′ respectivement, et l’on a la suiteexacte courte de ω –représentations de G ♮ : → ker u → Π → Π ′ / Im u → . Cela fait de R ( G ♮ , ω ) une catégorie abélienne.Une ω –représentation Π de G ♮ est dite irréductible si V Π est l’unique sous–espace nonnul G ♮ –stable de V Π , et G –irréductible (ou fortement irréductible [ L2 ]) si la représentation Π ◦ de G est irréductible. On note Irr( G ♮ , ω ) l’ensemble des classes d’isomorphisme de ω –représentations irréductibles de G , et Irr ( G ♮ , ω ) le sous–ensemble de Irr( G ♮ , ω ) formé des ω –représentations qui sont G –irréductibles.On a une action naturelle de C × sur Irr( G ♮ , ω ) , notée C × × Irr( G ♮ , ω ) → Irr( G ♮ , ω ) , ( λ, Π) λ · Π . Cette action stabilise
Irr ( G ♮ , ω ) , et le foncteur d’oubli Π Π ◦ induit une applicationinjective Irr ( G ♮ , ω ) / C × ֒ → Irr( G ) d’image le sous–ensemble Irr G ♮ ,ω ( G ) de Irr( G ) formé des π tels que ω − π θ = π . π ( k ) pour k ∈ Z . — Si π est une représentation de G , pourchaque entier k ≥ , on note ω k le caractère de G défini par ω k = ω ◦ N θ,k , N θ,k ( x ) = xθ ( x ) · · · θ k − ( x ) , x ∈ G, et π ( k ) la représentation de G définie par π ( k ) = ω − k π θ k . Le caractère ω k ne dépend pas du choix du choix du point–base δ , alors que (contrairementà ce que la notation pourrait faire croire) la représentation π ( k ) en dépend. Pour k, k ′ ≥ ,on a π ( k )( k ′ ) = π ( k + k ′ ) . Pour chaque entier k ≥ , notons π ( − k ) la représentation de G telle que π ( − k )( k ) = π . Précisément, on a π ( − k ) = ω − − k π θ − k où ω − k est le caractère de G défini par ω − k = ω − k ◦ θ − k = ω − ◦ θ − ◦ N θ − ,k . On vérifie que π ( k )( − k ) = π . Par suite posant π (0) = π , on a π ( k )( k ′ ) = π ( k + k ′ ) , k, k ′ ∈ Z . On l’a dit plus haut, la représentation π ( k ) dépend du choix du point–base δ . En effet,remplacer δ par δ ′ = x · δ pour un x ∈ G revient à remplacer θ par le F –automorphisme θ ′ = Int G ( x ) ◦ θ de G , et pour chaque entier k ≥ , à remplacer π ( k ) par ω − k π θ ′ k = ω − k ⊗ ( π ◦ Int G ( N θ,k ( x )) ◦ θ k ) , qui est isomorphe à π ( k ) , et π ( − k ) par ω − − k π θ ′− k = ω − − k ⊗ ( π ◦ θ − k ◦ Int G ( N θ,k ( x ) − )) , GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE qui est isomorphe à π ( − k ) . Pour k ∈ Z , π ( k ) ne dépend donc à isomorphisme près que de G ♮ , de ω , et de la classe d’isomorphisme de π . ι k pour k ≥ . — Soit un entier k ≥ . Pour δ ∈ G ♮ , on définit commeen 2.4 une application N δ,k = N τ,k : G → G , τ = Int G ( δ ) : pour x ∈ G , on pose N δ,k ( x ) = xτ ( x ) · · · τ k − ( x ) . L’application N δ,k ainsi définie est un morphisme de variétés algébriques, et si τ est définisur F (e.g. si δ ∈ G ♮ ) alors N δ,k l’est aussi.Le G –espace algébrique tordu G ♮ est muni d’un F –morphisme de variétés algébriques G ♮ → G k , δ δ k défini comme suit : on pose δ = δ et δ k = ϕ ,k − ( δ, δ k − ) si k > . Pour δ ∈ G ♮ et g ∈ G ,on a ( g · δ ) k = N δ,k ( g ) · δ k , et si k > , on a δ k − = ϕ k, − ( δ k , δ − ) = ϕ − ,k ( δ − , δ k ) . Le choix d’un point–base δ de G ♮ fournit un point–base δ k de G k : on pose δ k = ( δ ) k . On définit comme suit un foncteur ι k : R ( G k , ω k ) → R ( G ♮ , ω ) . Pour une ω k –représentation Σ de G k , on note ι k (Σ) = Π la ω –représentation de G ♮ définiepar :– la représentation Π ◦ de G sous–jacente à Π est ⊕ k − i =0 Σ ◦ ( i ) ,– Π( δ )( v , . . . , v k − ) = ( v , . . . , v k − , Σ( δ k )( v )) .Pour un morphisme u entre deux ω k –représentations Σ et Σ ′ de G k , on note ι k ( u ) lemorphisme u × · · · × u entre ι k (Σ) et ι k (Σ ′ ) .Pour k = 1 , on a G = G ♮ et ι est le foncteur identique de R ( G ♮ , ω ) . Notons que pour k > , la ω –représentation ι k (Σ) dépend du choix de δ , mais sa classe d’isomorphisme n’endépend pas. Remarque . — Pour des entiers k, k ′ ≥ tels que k ′ divise k , on définit de la mêmemanière un F –morphisme de variétés algébriques G k ′ → G k , δ δ k/k ′ et — grâce aux points–base δ k ′ de G k ′ et δ k = ( δ k ′ ) k/k ′ de G k — un foncteur ι k ′ k : R ( G k , ω k ) → R ( G k ′ , ω k ′ ) . Pour k, k ′ , k ′′ ≥ tels que k ′ divise k et k ′′ divise k ′ , on a ι k ′′ k ′ ◦ ι k ′ k = ι k ′′ k . En particulier pour k ′′ = 1 , on a ι k ′ ◦ ι k ′ k = ι k . (cid:4) A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU s (Π) . — Si π est une représentation irréductible de G , on lui associecomme suit un invariant s ( π ) ∈ Z ≥ ∪ { + ∞} . S’il existe un plus petit entier k ≥ tel que π ( k ) est isomorphe à π , on pose s ( π ) = k , sinon on pose s ( π ) = + ∞ . Notons que cetinvariant s ( π ) ne dépend que G ♮ , de ω , et de la classe d’isomorphisme de π . Si nécessaire,on le notera aussi s G ♮ ,ω ( π ) . Pour k ∈ Z , on a s ( π ( k )) = s ( π ) . Si Π est une ω –représentation irréductible de G ♮ , on lui associe comme dans [ L2 , 8.4] uninvariant s (Π) ∈ Z ≥ ∪{ + ∞} . Rappelons la construction. On choisit une sous–représentationirréductible π de Π ◦ , et l’on pose s (Π) = s ( π ) . L’invariant s (Π) est bien défini (i.e. il ne dépend pas du choix de π ), et il dépend seulementde la classe d’isomorphisme de Π . On a Π ◦ ≃ (cid:26) ⊕ k ∈ Z π ( k ) si s ( π ) = + ∞⊕ s ( π ) − k =0 π ( k ) sinon . En particulier la représentation Π ◦ est semisimple, et elle est de type fini si et seulement si s (Π) < + ∞ , auquel cas elle est de longueur finie. Si s = s (Π) < + ∞ , alors d’après loc. cit., ilexiste une ω s –représentation G –irréductible Σ de G s telle que Σ ◦ = π et ι s (Σ) est isomorpheà Π .Pour k ∈ Z ≥ , notons Irr k − ( G ♮ , ω ) le sous–ensemble de Irr( G ♮ , ω ) formé des Π telsque s (Π) = k (pour k = 1 , les notations sont cohérentes), et Irr ′ ( G k , ω k ) le sous–ensemblede Irr ( G k , ω k ) formé des Σ tels que s (Σ ◦ ) = k . Ici Irr ( G k , ω k ) est l’ensemble des classesd’isomorphisme de ω k –représentations G –irréductibles de G k , et s (Σ ◦ ) = s G ♮ ,ω (Σ ◦ ) . Les ω k –représentations G –irréductibles de G k dont la classe d’isomorphisme appartient à Irr ′ ( G k , ω k ) sont dites ( G ♮ , ω ) –régulières . Remarque . — On peut, pour toute représentation irréductible σ de G , définir l’invariant s k ( σ ) = s G k ,ω k ( σ ) ∈ Z ≥ ∪{ + ∞} en remplaçant dans la définition de s ( σ ) la paire ( G ♮ , ω ) parla paire ( G k , ω k ) . On a s k ( σ ) = + ∞ si s ( σ ) = + ∞ , et s k ( σ ) = inf { i ∈ Z ≥ : σ ( ki ) ≃ σ ( k ) } sinon. En d’autre termes, on a s k ( σ ) = 1 k ppcm( k, s ( σ )) Pour une ω k –représentation irréductible Σ de G k , l’invariant s (Σ) associé comme plus hautà Σ est donné par s (Σ) = s k ( σ ) pour une (resp. pour toute) sous–représentation irréductible σ de Σ ◦ . Ainsi Σ est G –irréductible si et seulement si s (Σ) = 1 . (cid:4) On définit comme suit une action de Z k = Z /k Z sur Irr( G k , ω k ) . Rappelons que l’on aposé δ k = ( δ ) k ∈ G k . Pour une ω k –représentation Σ de G k et un entier i ≥ , on note Σ( i ) la ω k –représentation de G k donnée par Σ( i )( g · δ k ) = Σ ◦ ( i )( g ) ◦ Σ( δ k ) , g ∈ G. La représentation de G sous–jacente est Σ( i ) ◦ = Σ ◦ ( i ) , et à isomorphisme près, Σ( i ) nedépend pas du choix de δ . Comme Int G k ( δ k ) = θ k , la ω k –représentation Σ( k ) de G k estisomorphe à Σ . On obtient ainsi une action de Z k sur Irr( G k , ω k ) qui stabilise Irr ( G k , ω k ) ,et Irr ′ ( G k , ω k ) est le sous–ensemble de Irr ( G k , ω k ) formé des Σ dont le stabilisateur sous Z k est trivial. Le lemme suivant est une simple généralisation de [ R , lemma 2.1]. GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Lemme . —
Le foncteur ι k induit une application bijective Irr ′ ( G k , ω k ) / Z k → Irr k − ( G ♮ , ω ) . Démonstration . — Soit Π une ω –représentation irréductible de G ♮ d’invariant s (Π) = k . Ona vu que pour toute sous–représentation irréductible π de Π ◦ , il existe une ω k –représentation G –irréductible Σ de G k telle que Σ ◦ = π et Π ≃ ι k (Σ) . Par définition de s (Π) , lesreprésentations π ( i ) de G , i = 0 , . . . , k − , sont deux–à–deux non équivalentes. Par suiteles ω k –représentations Σ( i ) de G k , i = 0 , . . . , k − , sont deux–à–deux non équivalentes.Elles définissent donc un élément de Irr ′ ( G k , ω k ) / Z k . Réciproquement, soit Σ ′ une ω k –représentation G –irréductible de G k dont le stabilisateur sous Z k est trivial, telle que ι k (Σ ′ ) ≃ Π . Puisque ι k (Σ ′ ) ◦ ≃ ⊕ k − i =0 Σ ′ ( i ) ◦ et Π ◦ ≃ ⊕ k − i =0 Σ( i ) ◦ , il existe un indice j ∈ { , . . . , k − } tel que Σ ′◦ ≃ Σ( j ) ◦ . On en déduit que Σ ′ est isomorphe à λ · Σ( j ) pour un nombre complexenon nul λ , mais comme ι k ( λ · Σ( j )) = λ · ι k (Σ( j )) ≃ λ · ι k (Σ) , ce λ vaut . D’où le lemme. G C ( G ♮ , ω ) .— L’action de C × sur Irr( G ♮ , ω ) provient d’une action fonctoriellesur R ( G ♮ , ω ) , triviale sur les flèches, encore notée ( λ, Π) λ · Π . Soit G C ( G ♮ , ω ) le C –espacevectoriel engendré (sur C ) par les ω –représentations Π de G ♮ telles que Π ◦ est de longueurfinie, modulo les relations :– pour toute suite exacte → Π → Π → Π → de ω –représentations de G ♮ (tellesque les Π ◦ i sont de longueur finie), on a Π = Π − Π ;– pour tout λ ∈ C × , on a λ · Π = λ Π ;– pour tout entier k > , on a ι k ( G k , ω k ) = 0 .Pour une ω –représentation Π de G ♮ et un nombre complexe non nul λ , on a ( λ · Π) ◦ = Π ◦ mais λ · Π Π si λ = 1 . La deuxième relation signifie que si λ , . . . , λ n sont des nombrescomplexes non nuls tels que P ni =1 λ i = 0 , alors pour toute ω –représentation Π de G ♮ telleque Π ◦ est de longueur finie, on a P ni =1 λ i Π = 0 dans G C ( G ♮ , ω ) .Notons Irr < + ∞ ( G ♮ , ω ) le sous–ensemble des Irr( G ♮ , ω ) formé des Π tels que s (Π) < + ∞ .On a donc Irr < + ∞ ( G ♮ , ω ) = a k ≥ Irr k ( G ♮ , ω ) , et l’action de C × sur Irr( G ♮ , ω ) stabilise chacun des espaces Irr k ( G ♮ , ω ) . D’autre part on aune action de Z sur Irr( G ) , donnée par ( k, π ) π ( k ) . D’après 2.6, l’application Π π , où π est sous–représentation irréductible de Π ◦ , induit une application injective Irr < + ∞ ( G ♮ , ω ) / C × → Irr( G ) / Z d’image l’ensemble des Z –orbites des π dans Irr( G ) tels que s G ♮ ,ω ( π ) < + ∞ .On note :– G ( G ♮ , ω ) le Z –module libre de base Irr ω< + ∞ ( G ♮ ) ,– G ( G ♮ , ω ) le sous–groupe de G ( G ♮ , ω ) engendré par Irr ( G ♮ , ω ) ,– G > ( G ♮ , ω ) le sous–groupe de G ( G ♮ , ω ) engendré par ` k ≥ Irr k ( G ♮ , ω ) .On a donc la décomposition G ( G ♮ , ω ) = G ( G ♮ , ω ) ⊕ G > ( G ♮ , ω ) Soit aussi G ( G ) le Z –module libre de base Irr( G ) . Le foncteur d’oubli Π Π ◦ induit unmorphisme de groupes G ( G ♮ , ω ) → G ( G ) , encore noté Π Π ◦ . A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU On peut aussi, pour chaque entier k ≥ , remplacer la paire ( G ♮ , ω ) par la paire ( G k , ω k ) dans les définitions ci–dessus (cf. 2.6, remarque). Le foncteur ι ◦ k : R ( G ) → R ( G ) sous–jacent à ι k envoie représentation de longueur finie sur représentation de longueur finie, parconséquent ι k induit un morphisme de groupes G ( G k , ω k ) → G ( G ♮ , ω ) , encore noté ι k .Le quotient G ( G ♮ , ω ) = G ( G ♮ , ω ) / G > ( G ♮ , ω ) est encore trop gros : il contient des élémentsqui ne contribuent en rien à l’affaire qui nous intéresse (cf. 2.9). Soit donc G + ( G ♮ , ω ) le sous–groupe de G ( G ♮ , ω ) engendré par G > ( G ♮ , ω ) et par les éléments de la forme P ni =1 λ i · Π pourun élément Π de Irr ( G ♮ , ω ) , un entier n > , et des nombres complexes non nuls λ , . . . , λ n tels que P ni =1 λ i = 0 . Lemme . —
Pour tout entier k > , on a l’inclusion ι k ( G ( G k , ω k )) ⊂ G + ( G ♮ , ω ) . Démonstration . — Il suffit de montrer que pour toute ω k –représentation irréductible Σ de G k , la classe d’isomorphisme de ι k (Σ) appartient à G + ( G ♮ , ω ) . D’après la remarque de 2.5 etle lemme de 2.6, il existe un entier a ≥ et une ω ka –représentation G –irréductible Σ ′ de G ka tels que Σ est isomorphe à ι kka (Σ ′ ) . Par suite ι k (Σ) est isomorphe à ι k ( ι kka (Σ ′ )) = ι ka (Σ ′ ) ,et quitte à remplacer k par ka et Σ par Σ ′ , on peut supposer que Σ est G –irréductible. Soitalors σ = Σ ◦ et s = s ( σ ) . Puisque σ ( k ) ≃ σ , s divise k . Si s = 1 , alors d’après le lemme de2.6, ι k (Σ) est une ω –représentation irréductible de G d’invariant s ( ι k (Σ)) = k , et son imagedans G ( G ♮ , ω ) appartient à G > ( G ♮ , ω ) . On peut donc supposer s > . Posons ∆ = ι sk (Σ) .C’est une ω s –représentation de G s , telle que ∆ ◦ = σ ⊕ σ ( s ) ⊕ · · · ⊕ σ (( k ′ − s ) , k ′ = k/s. Choisissons un isomorphisme e B de σ sur σ ( s ) . Alors e B k ′ est un isomorphisme de σ sur σ ( k ) ,et l’on peut choisir e B de telle manière que e B k ′ = Σ( δ k ) . Notons e Σ la ω s –représentation( G –irréductible) de G s définie par e Σ ◦ = σ et e Σ( δ s ) = e B . Soit µ une racine primitive k ′ –ièmede l’unité (dans C × ). Posons ∆ ′ = ⊕ k ′ − i =0 µ i · e Σ . C’est une ω s –représentation de G s , telle que ∆ ′◦ = ⊕ k ′ − i =0 σ . Pour j = 0 , . . . , k ′ − , notons V ∆ ,j le sous–espace vectoriel de V ∆ = ⊕ k ′ − i =0 V σ formé des vecteurs de la forme ( v, µ j e B ( v ) , µ j e B ( v ) , . . . , µ ( k ′ − j e B k ′ − ( v )) , v ∈ V σ . Il est stable sous l’action de G (via ∆ ◦ ) et sous celle de ∆( δ s ) , donc définit une sous– ω s –représentation de ∆ , que l’on note ∆ j . L’application V σ → V ∆ ,j , v ( v, µ j e B ( v ) , µ j e B ( v ) , . . . , µ ( k ′ − j e B k ′ − ( v )) est un isomorphisme de µ j · e Σ sur ∆ j . On en déduit que ∆ = ⊕ k ′ − j =0 ∆ j est isomorphe à ∆ ′ .Par conséquent ι k (Σ) = ι s (∆) est isomorphe à ⊕ k ′ − i =0 µ i · ι s ( e Σ) , dont la classe d’isomorphismeappartient à G + ( G ♮ , ω ) .D’après le lemme, l’espace G C ( G ♮ , ω ) introduit au début de ce n ◦ s’identifie canoniquementau quotient G ( G ♮ , ω ) / G + ( G ♮ , ω ) . De plus le dual algébrique G C ( G ♮ , ω ) ∗ = Hom C ( G C ( G ♮ , ω ) , C ) coïncide avec l’espace des formes Z –linéaires Φ sur G ( G ♮ , ω ) vérifiant Φ( λ · Π) = λ Φ(Π) GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE pour tout Π ∈ Irr ( G ♮ , ω ) et tout λ ∈ C × . Notations . — La projection canonique G ( G ♮ , ω ) → G C ( G ♮ , ω ) identifie Irr ( G ♮ , ω ) à unsous–ensemble de G C ( G ♮ , ω ) , que l’on note aussi Irr C ( G ♮ , ω ) — il engendre G C ( G ♮ , ω ) maisn’est pas une base sur C . D’autre part, l’action de C × sur G ( G ♮ , ω ) est notée avec un « · »,que l’on aura tendance à supprimer après projection sur G C ( G ♮ , ω ) . ( H ♮ , ω ) –modules et ( H ♮ K , ω ) –modules. — Pour un espace topologique totalementdiscontinu X , on note H ( X ) l’espace des fonctions complexes sur X qui sont localementconstantes et à support compact. On pose H = H ( G ) et H ♮ = H ( G ♮ ) .Fixons une mesure de Haar dg sur G , et notons dδ la mesure de Haar sur G ♮ au sensde [ L2 , 2.5] image de dg par l’isomorphisme G → G ♮ , g g · δ pour un (resp. pour tout) δ ∈ G ♮ . La mesure dg munit l’espace H d’un produit de convolution, et l’espace H ♮ d’unestructure de H –bimodule [ L2 , 8.2] : pour f, f ′ ∈ H , φ ∈ H ♮ et δ ∈ G ♮ , on pose ( f ∗ φ )( δ ) = Z G f ( g ) φ ( g − · δ ) dg, ( φ ∗ f )( δ ) = Z G φ ( δ · g ) f ( g − ) dg. Comme dans loc. cit. on appelle ( H ♮ , ω ) –module un H –module V muni d’une application H ♮ → End C ( V ) , φ ( v φ · v ) telle que pour tout φ ∈ H ♮ , tous f, f ′ ∈ H et tout v ∈ V ,on a ( f ∗ φ ∗ f ′ ) · v = f · ( φ · ( ωf ′ · v )) . Les ( H ♮ , ω ) –modules forment une sous–catégorie (non pleine) de la catégorie des H –modulesà gauche : un morphisme entre deux ( H ♮ , ω ) –modules V et V est une application C –linéaire u : V → V telle que u ( φ · v ) = φ · u ( v ) pour tout φ ∈ H ♮ et tout v ∈ V (une telle applicationest automatiquement H –linéaire). Variante . — Soit H ♮ω = H ( G ♮ , ω ) l’espace vectoriel H ♮ muni de la structure de H –bimodule donnée par (pour φ ∈ H ♮ et f ∈ H ) : f · φ = f ∗ φ, φ · f = φ ∗ ω − f. Par définition, la notion de ( H ♮ , ω ) –module équivaut à celle de H ♮ω –module (c’est–à–dire de ( H ♮ω , ξ = 1) –module). (cid:4) Exemple . — L’application H → H ♮ω , f u ( f ) = u δ ( f ) définie par u ( f )( g · δ ) = f ( g ) ( g ∈ G ) est un isomorphisme C –linéaire vérifiant u ( f ∗ h ∗ f ′ ) = f · u ( h ) · ωf ′ θ . Pour φ ∈ H ♮ et f ∈ H , posons φ • f = u − ( φ · f ) ∈ H . Pour f, f ′ , h ∈ H et φ ∈ H ♮ , on a ( f ∗ φ ∗ f ′ ) • h = f ∗ ( φ • ( ωf ′ ∗ h )) . En d’autres termes, H est muni d’une structure de ( H ♮ , ω ) –module. À isomorphisme près,cette structure ne dépend pas du choix de δ ∈ G ♮ : remplacer δ par δ ′ = x · δ revient àremplacer u par u ′ = δ x ◦ u , où l’on a posé δ x ( f )( g ) = f ( gx ) , f ∈ H , g ∈ G . (cid:4) Pour une ω –représentation Π de G ♮ et une fonction φ ∈ H ♮ , on note Π( φ ) le C -endo-morphisme de l’espace V de Π donné par Π( φ )( v ) = Z G ♮ φ ( δ )Π( δ )( v ) dδ, v ∈ V. Puisque φ est localement constante et à support compact, et que Π ◦ est lisse, l’intégraleest absolument convergente (c’est même une somme finie). Cela munit V d’une structure de A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU ( H ♮ , ω ) –module non dégénéré , c’est–à–dire tel que H ♮ · V = V , et l’application (Π , V ) V est un isomorphisme entre R ( G ♮ , ω ) et la catégorie des ( H ♮ , ω ) –modules non dégénérés —une sous–catégorie pleine de celle des ( H ♮ , ω ) –modules.Pour un sous-groupe ouvert compact K de G , on note H K = H K ( G ) la sous-algèbre de H formée des fonctions qui sont bi–invariantes par K . On note e K l’élément unité de H K ,c’est–à–dire la fonction caractéristique de K divisée par vol( K, dg ) , et l’on pose H ♮ K = H K ( G ♮ ) = e K ∗ H ♮ ∗ e K . C’est le sous– H K –bimodule de H ♮ formé des fonctions qui sont bi–invariantes par K . Side plus ω est trivial sur K , on définit comme ci–dessus les notions de ( H ♮ K , ω ) –module etde ( H ♮ K , ω ) -module non dégénéré, ainsi que les catégories correspondantes. Alors pour toute ω –représentation (Π , V ) de G ♮ , le sous–espace V K = e K · V de V (formé des vecteurs quisont fixés par K ) est naturellement muni d’une structure de ( H ♮ K , ω ) –module.Soit K ♮ un sous–espace tordu ouvert compact de G ♮ , c’est–à–dire un sous–ensemble de laforme K ♮ = K · δ pour un sous–groupe ouvert compact K de G et un élément δ de G ♮ tel que Int G ♮ ( δ )( K ) = K . Le H K –bimodule H ♮ K est un H K –module à gauche (resp. à droite) librede rang : notant e K ♮ la fonction caractéristique de K ♮ divisée par vol( K ♮ , dδ ) = vol( K, dg ) ,on a H ♮ K = H K ∗ e K ♮ = e K ♮ ∗ H K . Si de plus ω est trivial sur K , alors pour toute ω –représentation (Π , V ) de G ♮ , le ( H ♮K , ω ) –module V K est automatiquement non dégénéré : on a V K = H ♮ K · V K (= H ♮ K · V ) . En particulier il coïncide avec le sous–espace V K ♮ = e K ♮ · V de V .Un ( H ♮ , ω ) –module non dégénéré V est dit simple s’il est non nul et si le seul sous–espacenon nul H ♮ -stable de V est V lui–même, et il est dit H –simple s’il est simple comme H –module. On définit de la même manière les notions de ( H ♮ K , ω ) –module (non dégénéré) simpleet H K –simple.D’après [ L2 , 8.3, 8.6], une ω –représentation non nulle (Π , V ) de G ♮ est irréductible (resp. G –irréductible) si et seulement si pour tout sous–espace tordu ouvert compact K ♮ de G ♮ telque ω est trivial sur K , le ( H ♮ K , ω ) –module (resp. le H K –module) V K est nul ou simple ;où K est le sous–groupe de G sous–jacent à K ♮ . De plus pour un tel K ♮ , l’application (Π , V ) V K ♮ = V K induit (d’après loc. cit.) une bijection entre :– l’ensemble des classes d’isomorphisme de ω –représentations irréductibles (Π , V ) de G ♮ telles que V K = 0 ,– et l’ensemble des classes d’isomorphisme de ( H ♮ K , ω ) –modules simples ;elle induit aussi une bijection entre :– l’ensemble des classes d’isomorphisme de ω –représentations G –irréductibles (Π , V ) de G ♮ telles que V K = 0 ,– et l’ensemble des classes d’isomorphisme de ( H ♮ K , ω ) –modules H K –simples. Remarque 1 . — Les résultats ci–dessus sont vrais pour tout espace topologique tordulocalement profini ( G, G ♮ ) vérifiant la propriété (P ) de [ L2 , 8.3], c’est–à–dire tel qu’il existeune base de voisinages de dans G formée de sous–groupes ouverts compacts et un élément δ ∈ G ♮ normalisant chacun des éléments de la base. Dans le cas qui nous intéresse ici, on avérifié [ L2 , 8.6] que si I ♮ est un sous–espace d’Iwahori de G ♮ , c’est–à–dire un sous–espacetordu de la forme I ♮ = I · δ pour un sous–groupe d’Iwahori I de G , alors tous les sous-groupes GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE de congruence de I sont normalisés par δ (voir 2.19). Notons que puisque les sous–groupesd’Iwahori de G sont tous conjugués dans G , il existe un sous–espace d’Iwahori de G ♮ . (cid:4) Remarque 2 . — Soit K ♮ un sous–espace tordu ouvert compact de G ♮ tel que ω est trivialsur le groupe K sous–jacent à K ♮ . À tout ( H ♮ K , ω ) –module simple W est associé comme en2.6 un invariant s ( W ) ∈ Z ≥ ∪ { + ∞} . Puisque H ♮ K = H K ∗ e K ♮ = e K ♮ ∗ H K , l’application x e K ♮ · x est un C –automorphisme de W . Choisissons un sous– H K –module simple W de W , et pour chaque entier k ≥ , notons W k et W − k les sous– H K –modules de W définispar W k = e K ♮ · W k − et e K ♮ · W − k = W − k +1 . Pour k ∈ Z , le H K –module W k est simple.On distingue deux cas : ou bien dim C ( W ) = + ∞ , auquel cas on pose s ( W ) = + ∞ , etl’on a W = ⊕ k ∈ Z W k ; ou bien dim C ( W ) < + ∞ , auquel cas il existe un plus petit entier s = s ( W ) ≥ tel que W s = W , et l’on a W = ⊕ s − k =0 W k . Bien sûr si (Π , V ) est une ω –représentation irréductible de G ♮ telle que le ( H ♮ K , ω ) –module V K est isomorphe à W , on a s (Π) = s ( V K ) . (cid:4) Remarque 3 . — Puisque G est dénombrable à l’infini, la démonstration du lemme deSchur donnée dans [ BZ , 2.11] est valable ici : pour toute ω –représentation irréductible Π de G ♮ , l’espace des endomorphismes de Π est de dimension . En particulier, Π possède uncaractère central ω Π : Z ( G ♮ ) → C × . Pour toute sous–représentation irréductible π de Π ◦ ,la restriction à Z ( G ♮ ) du caractère central ω π : Z ( G ) → C × de π coïncide avec ω Π . Si deplus Π est G –irréductible, on a ω − ( ω Π ◦ ) θ = ω Π ◦ . (cid:4) Θ Π . — Pour toute ω –représentation Π de G ♮ telle que Π ◦ est admis-sible, on définit comme suit une distribution Θ Π sur G ♮ , appelée caractère–distribution ousimplement caractère , de Π : pour φ ∈ H ♮ , l’opérateur Π( φ ) sur l’espace de Π est de rangfini, et l’on pose Θ Π ( φ ) = trace(Π( φ )) . La distribution Θ Π ne dépend que de la classe d’isomorphisme de Π (et bien sûr du choixde dδ ), et vérifie Θ λ · Π = λ Θ Π , λ ∈ C × . Pour tout élément Π de G ( G ♮ , ω ) , on définit par linéarité une distribution Θ Π sur H ♮ , quivérifie– Θ λ · Π = λ Θ Π pour tout λ ∈ C × ,– Θ Π = 0 si Π ∈ ι k ( G ( G k , ω k )) pour un entier k > .On en déduit que pour φ ∈ H ♮ , l’application G ( G ♮ , ω ) → C , Π Θ Π ( φ ) se factorise à travers G C ( G ♮ , ω ) . C’est donc un élément du dual algébrique G C ( G ♮ , ω ) ∗ de G C ( G ♮ , ω ) , que l’on note Φ φ . Notre théorème principal — cf. 3.1 pour un énoncé précis —est une description de ce morphisme C –linéaire H ♮ → G C ( G ♮ , ω ) ∗ , φ Φ φ . Le théorème de Paley–Wiener décrit son image, et le théorème de densité spectrale sonnoyau.
A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU Soit P ♮ un sous–espaceparabolique de G ♮ , muni d’une décomposition de Levi P ♮ = M ♮ · U. On note avec les mêmes lettres sans l’exposant « ♮ » les groupes topologiques sous–jacentsà P ♮ et M ♮ : P est un sous–groupe parabolique de G de radical unipotent U , et M est unecomposante de Levi de P . Soit i GP : R ( M ) → R ( G ) et r PG : R ( G ) → R ( M ) les foncteurs induction parabolique et restriction de Jacquet normalisés. On considère ω comme un caractère de M par restriction. Dans [ L2 , 5.9 et 5.10] sont définis les foncteursinduction parabolique normalisée ω i G ♮ P ♮ : R ( M ♮ , ω ) → R ( G ♮ , ω ) et restriction de Jacquet normalisée ω r P ♮ G ♮ : R ( G ♮ , ω ) → R ( M ♮ , ω ) . Ils vérifient ( ω i G ♮ P ♮ ) ◦ = ι GP et ( ω r P ♮ G ♮ ) ◦ = r PG , et commutent aux foncteurs ι k . Comme i GP et r PG préservent la propriété d’être de longueur finie, on obtient des morphismes de groupes ω i G ♮ P ♮ : G ( M ♮ , ω ) → G ( G ♮ , ω ) et ω r P ♮ G ♮ : G ( G ♮ , ω ) → G ( M ♮ , ω ) . Par passage aux quotients, ces derniers induisent des morphismes C –linéaires ω i G ♮ P ♮ : G C ( M ♮ , ω ) → G C ( G ♮ , ω ) et ω r P ♮ G ♮ : G C ( G ♮ , ω ) → G C ( M ♮ , ω ) . Remarque . — L’espace tordu M ♮ et le groupe M ne sont pas spécifiés dans les notations,mais cette ambiguïté disparaîtra plus loin puisque nous n’aurons à considérer que dessous–groupes paraboliques « standard », c’est–à–dire contenant un sous–groupe paraboliqueminimal de G fixé une fois pour toutes. Notons aussi que pour que l’espace G C ( M ♮ , ω ) soitnon nul, il faut que ω soit trivial sur le centre Z ( M ♮ ) de M ♮ (cid:4) Fixons un sous–espace parabolique minimal P ♮ ◦ de G ♮ , et une décomposition de Levi P ♮ ◦ = M ♮ ◦ · U ◦ . Notons P ( G ♮ ) l’ensemble des sous–espaces paraboliques de G ♮ contenant P ♮ ◦ — on les qualifiede « standard »—, et P ( G ♮ , ω ) le sous–ensemble de P ( G ♮ ) formé des P ♮ tels que ω est trivialsur M ♮ P . Pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , on note M ♮ P l’unique composante de Levi de P ♮ contenant M ♮ ◦ , P et M P les groupes topologiques sous–jacents à P ♮ et M ♮ P , et U P le radical unipotent de P . On a la décomposition de Levi P ♮ = M ♮ P · U P . Pour P ♮ , Q ♮ ∈ P ( G ♮ ) tels que Q ♮ ⊂ P ♮ , on note ω i P ♮ Q ♮ le foncteur ω i M ♮P Q ♮ ∩ M ♮P : R ( M ♮ Q , ω ) → R ( M ♮ P , ω ) GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE et ω r Q ♮ P ♮ le foncteur ω r Q ♮ ∩ M ♮P M ♮P : R ( M ♮ P , ω ) → R ( M ♮ Q , ω ) . On obtient comme plus haut des morphismes de groupes ω i P ♮ Q ♮ : G ( M ♮ Q , ω ) → G ( M ♮ P , ω ) , ω r Q ♮ P ♮ : G ( M ♮ P , ω ) → G ( M ♮ Q , ω ) , et des morphismes C –linéaires ω i P ♮ Q ♮ : G C ( M ♮ Q , ω ) → G C ( M ♮ P , ω ) , ω r Q ♮ P ♮ : G C ( M ♮ P , ω ) → G C ( M ♮ Q , ω ) , que l’on notera parfois aussi ω i P ♮ Q ♮ , C et ω r Q ♮ P ♮ , C pour éviter toute ambiguïté. Lemme . —
Soit P ♮ , Q ♮ , R ♮ ∈ P ( G ♮ ) tels que R ♮ ⊂ Q ♮ ⊂ P ♮ . Soit Σ une ω –représentationde M ♮ R , et soit Π une ω –représentation de M ♮ P . (1) On a un isomorphisme naturel, fonctoriel en Σ , ω i P ♮ Q ♮ ◦ ω i Q ♮ R ♮ (Σ) ≃ ω i P ♮ R ♮ (Σ) . (2) On a un isomorphisme naturel, fonctoriel en Π , ω r R ♮ Q ♮ ◦ ω r Q ♮ P ♮ (Π) ≃ ω r R ♮ P ♮ (Π) . (3) On a un isomorphisme naturel, fonctoriel en Σ et Π , Hom M ♮R ( ω r R ♮ P ♮ (Π) , Σ) ≃ Hom M ♮P (Π , ω i P ♮ R ♮ (Σ)) . Démonstration . — Les propriétés de transitivité des foncteurs induction parabolique etrestriction de Jacquet normalisés sont conséquences directes des définitions. On épargneau lecteur leurs vérifications. Quant au point (3), on sait que le foncteur r RP = ( ω r R ♮ P ♮ ) ◦ estun adjoint à gauche du foncteur i PR = ( ω i P ♮ R ♮ ) ◦ : on a un isomorphisme naturel, fonctoriel en Σ ◦ et Π ◦ , Hom M R ( r RP (Π ◦ ) , Σ ◦ ) ≃ Hom M P (Π ◦ , i PR (Σ ◦ )) . Il induit par restriction un isomorphisme de
Hom M ♮R ( ω r R ♮ P ♮ (Π) , Σ) sur Hom M ♮P (Π , ω i P ♮ R ♮ (Σ)) ,fonctoriel en Σ et Π .On note L ( G ♮ ) l’ensemble { M ♮ P : P ♮ ∈ P ( G ♮ ) } , et L ( G ♮ , ω ) le sous–ensemble de L ( G ♮ ) formé des M ♮ P tels que ω est trivial sur le centre Z ( M ♮ P ) = Z ( M P ) θ de M ♮ P . Pour P ∈ P ( G ♮ ) ,on a P ♮ = M ♮ P · U ◦ , par conséquent l’application P ( G ♮ ) → L ( G ♮ ) , P ♮ M ♮ P est bijective, etelle induit une bijection P ( G ♮ , ω ) → L ( G ♮ , ω ) .Le groupe P ◦ est un sous–groupe parabolique minimal de G , et l’on définit de la mêmemanière P ( G ) , M P pour P ∈ P ( G ) , i PQ et r QP pour P, Q ∈ P ( G ) tels que Q ⊂ P , et L ( G ) .L’application P ( G ) → L ( G ) , P M P est bijective. Hypothèse . —
On suppose désormais que le point–base δ est choisi dans M ♮ ◦ . Puisque θ = Int G ♮ ( δ ) stabilise P ◦ , il opère sur P ( G ) et l’application P ♮ P est unebijection de P ( G ♮ ) sur le sous–ensemble P ( G ) θ de P ( G ) formé des P qui sont θ –stables. Pour P ∈ P ( G ) , on a θ ( M P ) = M θ ( P ) et θ ( U P ) = U θ ( P ) . En particulier θ opère aussi sur L ( G ) .On note L ( G ) θ le sous–ensemble de L ( G ) formé des M qui sont θ -stables. Pour P ∈ P ( G ) ,puisque P = M P P ◦ , on a θ ( P ) = θ ( M P ) P ◦ . On en déduit que l’application P ( G ) θ → L ( G ) θ , P M P est elle aussi bijective. A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU Notons que les opérations de θ sur P ( G ) et sur L ( G ) dépendent du choix de la composantede Levi M ♮ ◦ de P ♮ ◦ , mais elles ne dépendent pas du choix de δ dans M ♮ ◦ . Soit M un groupe topologique localement profini, etsoit M ♮ un M –espace topologique tordu. On note M le sous-groupe de M engendré par sessous–groupes ouverts compacts, et l’on pose P ( M ) = Hom( M/M , C × ) . Les éléments de P ( M ) sont appelés caractères non ramifiés de M . Exemple . — Soit A le groupe des points F –rationnels d’un tore déployé et défini sur F ,et soit X = X ∗ ( A ) le groupe des caractères algébriques de A . On a A = Hom( X, F × ) et A est le sous–groupe compact maximal Hom( X, o × ) de A . Le choix d’une uniformisante ̟ de F × définit un sous–groupe fermé (discret) A ̟ = Hom( X, h ̟ i ) de A . L’applicationproduit A ̟ × A → A est un isomorphisme de groupes topologiques ; d’où un isomorphisme A ̟ ≃ A/A , qui identifie Hom( A ̟ , C × ) au groupe P ( A ) .Pour tout caractère χ de M , le caractère χ τ = χ ◦ τ de M , où τ = Int M ♮ ( δ ) pour un δ ∈ M ♮ , ne dépend pas du choix de δ ∈ M ♮ . On note P ( M ♮ ) le sous–groupe de P ( M ) formédes ψ tels que ψ ◦ Int G ♮ ( δ ) = ψ pour un (i.e. pour tout) δ ∈ M ♮ . Les éléments de P ( M ♮ ) sont appelés caractères non ramifiés de M ♮ . Pour δ ∈ M ♮ , on pose aussi P ( M ) τ = P ( M ♮ ) , τ = Int M ♮ ( δ ) . Remarque 1 . — Supposons de plus que M ♮ est un sous–espace tordu de G ♮ , par exempleune composante de Levi d’un sous–espace parabolique de G ♮ . On peut alors définir un autresous–groupe de P ( M ) , qui contient P ( M ♮ ) . Soit P ( M, G ♮ ) le sous–groupe de P ( M ) formédes ψ vérifiant la propriété suivante : il existe un élément w de N G ( M ) /M tel que pour un(i.e. pour tout) δ ∈ M ♮ , posant τ = Int M ♮ ( δ ) , on a ψ τ = w ψ, w ψ = ψ ◦ Int w − ; où N G ( M ) désigne le normalisateur de M dans G . En d’autres termes, P ( M, G ♮ ) est le sous–groupe de P ( M ) formé des ψ tels que ψ ◦ Int G ♮ ( δ ) | M = ψ pour un δ ∈ G ♮ normalisant M .Ce groupe P ( M, G ♮ ) dépend bien sûr de M et de G ♮ , mais il ne dépend pas de M ♮ . On a P ( M ♮ ) = P ( M, M ♮ ) . (cid:4) Soit P C ( M ♮ ) le sous–ensemble de Irr C ( M ♮ ) = Irr C ( M ♮ , ω = 1) formé des Π tels que Π ◦ est un caractère non ramifié de M . Ce caractère est alors un élément de P ( M ♮ ) . D’ailleursle foncteur d’oubli Π Π ◦ induit une application bijective P C ( M ♮ ) / C × → P ( M ♮ ) . Pour Ψ ∈ P C ( M ♮ ) et δ ∈ M ♮ , Ψ( δ ) est un C -automorphisme d’un espace vectoriel complexede dimension , c’est–à–dire la multiplication par un nombre complexe non nul, et l’onidentifie Ψ( δ ) à ce nombre. Cela munit l’ensemble P C ( M ♮ ) d’une structure de groupe : pour Ψ , Ψ ′ ∈ P C ( M ♮ ) et δ ∈ M ♮ , on pose (ΨΨ ′ )( δ ) = Ψ( δ )Ψ ′ ( δ ) . Tout élément δ de M ♮ définit un scindage du morphisme P C ( M ♮ ) → P ( M ♮ ) , Ψ Ψ ◦ : pour ψ ∈ P ( M ♮ ) , on note ψ δ l’élément de P C ( M ♮ P ) défini par ψ δ ( g · δ ) = ψ ( g ) , g ∈ G . Pour toutcaractère η de M , le groupe P C ( M ♮ ) opère sur l’ensemble des η -représentations de M ♮ : pour Ψ ∈ P C ( M ♮ ) , Π une η -représentation de M ♮ et δ ∈ M ♮ , on pose (Ψ · Π)( δ ) = Ψ( δ )Π( δ ) , δ ∈ M ♮ . GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
On a (Ψ · Π) ◦ = Ψ ◦ Π ◦ . Remarque 2 . — Pour P ∈ P ( G ♮ ) , le groupe P ( M P ) est un tore complexe (de groupedes caractères algébriques M P /M P ), et P ( M ♮ P ) = P ( M P ) θ . Par suite les groupes P ( M ♮ P ) et P C ( M ♮ P ) sont des variétés algébriques affines complexes, en fait des groupes algébriquesaffines diagonalisables sur C . Le morphisme P C ( M ♮ P ) → P ( M ♮ P ) , Ψ Ψ ◦ est algébrique,et pour δ ∈ M ♮ P , le morphisme P ( M ♮ P ) → P C ( M ♮ P ) , ψ ψ δ est lui aussi algébrique. Onnote P ( M ♮ P ) et P C ( M ♮ P ) les composantes neutres de P ( M ♮ P ) et P C ( M ♮ P ) . Ce sont des torescomplexes, et le morphisme P C ( M ♮ P ) → P ( M ♮ P ) induit par restriction un morphisme surjectif P C ( M ♮ P ) → P ( M ♮ P ) de noyau C × . (cid:4) On aura aussi besoin de la variante suivante des constructions précédentes. Pour uncaractère non ramifié ξ de M , on note P ( M ♮ , ξ ) le sous–groupe de P ( M ) formé des ψ tels que ψ ◦ Int G ♮ ( δ ) = ξψ pour un (i.e. pour tout) δ ∈ M ♮ , et l’on note P C ( M ♮ , ξ ) le sous–ensemblede Irr C ( M ♮ , ξ ) formé des Π tels que Π ◦ est un caractère non ramifié de M . Ce caractèreappartient à P ( M ♮ , ξ ) , et le foncteur d’oubli Π Π ◦ induit une application bijective P C ( M ♮ , ξ ) / C × → P ( M ♮ , ξ ) . L’ensemble P C ( M ♮ , ξ ) est un espace principal homogène sous P C ( M ♮ ) , et pour Ψ ∈ P C ( M ♮ , ξ ) et δ ∈ M ♮ , on peut comme plus haut identifier Ψ( δ ) à un nombre complexe non nul. Enfinpour tout caractère η de M , toute η -représentation Π de M ♮ et tout Ψ ∈ P C ( M ♮ , ξ ) , on note Ψ · Π la ξη –représentation de M ♮ définie comme ci–dessus. On a encore (Ψ · Π) ◦ = Ψ ◦ Π ◦ . Soit | ω | le caractère non ramifié de G donné par | ω | ( g ) = | ω ( g ) | , g ∈ G, et soit ω u le caractère unitaire de G tel que ω = ω u | ω | . Soit Π une ω –représentation G –irréductible de G ♮ . D’après la classification de Langlands,il existe un triplet ( P, σ, ξ ) formé d’un sous-groupe parabolique standard P de G , d’unereprésentation irréductible tempérée σ de M P et d’un caractère non ramifié ξ de M P quiest positif par rapport à U P , tels que Σ ◦ est isomorphe à l’unique quotient irréductible de i GP ( ξσ ) . L’unicité de la décomposition de Langlands implique que θ ( P ) = P et que ω − ( ξσ ) θ est isomorphe à σ . Comme la représentation ω − σ θ et le caractère | ω | − ξ θ de M P sontrespectivement tempérée et positif par rapport à U P , ω − σ θ est isomorphe à σ et | ω | − ξ θ = ξ .On en déduit qu’il existe une ω u -représentation M P –irréductible Σ de M ♮ P et un élément Ξ de P C ( M ♮ P , | ω | ) tels que Σ ◦ = σ , Ξ ◦ = ξ , et Π est l’unique quotient irréductible de ω i G ♮ P ♮ (Ξ · Σ) . Définition . — Une ω –représentation G –irréductible Π de G ♮ est dite unitaire s’il existeun produit scalaire hermitien G ♮ –invariant sur l’espace de Π , ce qui n’est possible que si lecaractère ω est lui–même unitaire. Un tel produit, s’il existe, est a fortiori G –invariant, et lareprésentation Π ◦ de G sous–jacente à Π est unitaire.Supposons que π = Π ◦ est unitaire, et fixons un produit scalaire hermitien G –invariantsur l’espace V de π . Posons ( v, v ′ ) ♮ = (Π( δ )( v ) , Π( δ )( v ′ )) , v, v ′ ∈ V, A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU pour un (i.e. pour tout) δ ∈ G ♮ . Si ω est unitaire, c’est un autre produit scalaire hermitien G –invariant sur V , par suite ( · , · ) ♮ = λ ( · , · ) pour un nombre réel λ > , et Π est unitaire siet seulement si λ = 1 . Remarque . — Si Π est une ω –représentation de G ♮ , sa contragrédiente ˇΠ est définiecomme suit. Notant V l’espace de π = Π ◦ et ˇ V celui de la contragrédiente ˇ π de π , on pose h v, ˇΠ( δ )(ˇ v ) i = h Π( δ ) − ( v ) , ˇ v i , ( v, ˇ v ) ∈ V × ˇ V .
Cela définit une ω − –représentation ˇΠ de G ♮ , telle que ˇΠ ◦ = ˇ π . Si de plus π est irréductibleet unitaire, alors notant (Π , V ) la conjuguée complexe de Π — c’est une ω –représentation G –irréductible de G ♮ —, l’opérateur v A v = h v, ·i de V dans ˇ V est un isomorphisme de π sur ˇ π , et c’est un isomorphisme de Π sur ˇΠ si et seulement si Π est unitaire (auquel cas ona forcément ω = ω − ). (cid:4) D’après ce qui précède, à toute ω –représentation G –irréductible Π de G ♮ est associée untriplet ( P ♮ , Σ , Ξ) où :– P ♮ est un sous–espace parabolique standard de G ♮ ,– Σ est une ω u –représentation M P –irréductible tempérée de M ♮ P , c’est–à–dire unitaire ettelle que Σ ◦ est tempérée,– Ξ est un élément de P C ( M ♮ P , | ω | ) tel que Ξ ◦ est positif par rapport à U P .Un tel triplet est appelé triplet de Langlands pour ( G ♮ , ω ) , et Π est l’unique quotient G –irréductible, donc aussi l’unique quotient irréductible, de l’induite parabolique ω i G ♮ P ♮ (Ξ · Π) .Réciproquement, à tout triplet de Langlands µ = ( P ♮ , Σ , Ξ) pour ( G ♮ , ω ) est associéeune ω –représentation G –irréductible Π = Π µ de G ♮ : c’est l’unique quotient irréductible de e Π µ = ω i G ♮ P ♮ (Ξ · Σ) . En effet, puisque µ ◦ = ( P, Σ ◦ , Ξ ◦ ) est un triplet de Langlands pour G , lareprésentation i GP (Ξ ◦ Σ ◦ ) = e Π ◦ µ de G a un unique quotient irréductible, disons π . Comme la représentation i GP (Ξ ◦ Σ ◦ )(1) = ω − i GP (Ξ ◦ Σ ◦ ) θ de G est isomorphe à i GP (Ξ ◦ Σ ◦ ) , on a nécessairement π (1) ≃ π. On en déduit qu’il existe un quotient Π de e Π µ tel que Π ◦ = π . Ce quotient est l’uniquequotient irréductible de e Π µ .Deux tels triplets de Langlands ( P ♮ , Σ , Ξ ) , ( P ♮ , Σ , Ξ ) pour ( G ♮ , ω ) sont dits équivalentssi P ♮ = P ♮ et s’il existe un nombre complexe λ de module tels que λ · Σ ≃ Σ et λ − Ξ = Ξ . Comme dans le cas non tordu, l’application µ Π µ induit une bijection de l’ensemble des classes d’équivalence de triplets de Langlands pour ( G ♮ , ω ) sur Irr ( G ♮ , ω ) . Notons
Irr , t ( G ♮ , ω u ) le sous–ensemble de Irr ( G ♮ , ω u ) formé des éléments tempérés. Il s’identifie à un sous–ensemble de Irr C ( G ♮ , ω u ) ,que l’on note Irr C , t ( G ♮ , ω u ) — cf. 2.7 (notations). D’après 2.12, le Z –module G ( G ♮ , ω ) estsomme directe des Z –modules Z Π µ pour µ parcourant les classes d’équivalence de tripletsde Langlands pour ( G ♮ , ω ) . On en déduit la version tordue suivante du théorème de la basede Langlands (qu’il convient d’appeler « décomposition » de Langlands, cf. la remarque ci–dessous). GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Lemme 1 . —
On a la décomposition dans G ( G ♮ , ω ) G ( G ♮ , ω ) = X µ Z e Π µ + G > ( G ♮ , ω ) où µ parcourt les classes d’équivalence de triplets de Langlands pour ( G ♮ , ω ) .Démonstration . — Puisque G ( G ♮ , ω ) = G ( G ♮ , ω ) ⊕ G > ( G ♮ , ω ) , il suffit de montrer que G ( G ♮ , ω ) est contenu dans l’expression à droite de l’égalité dans l’énoncé. Soit donc Π une ω –représentation G –irréductible de G ♮ , et soit ( P ♮ , Σ , Ξ) un triplet de Langlands pour ( G ♮ , ω ) associé à Π . Posons σ = Σ ◦ , ξ = Ξ ◦ , et soit ( M P ′ , σ ′ ) une paire cuspidale standardde G telle que P ′ ⊂ P et ξσ est isomorphe à un sous–quotient de l’induite parabolique i PP ′ ( σ ′ ) . Chaque composant — i.e. classe d’isomorphisme d’un sous–quotient irréductible —de i GP ( ξσ ) = ω i G ♮ P ♮ (Ξ · Σ) ◦ est aussi un composant de i GP ′ ( σ ′ ) . Dans G ( G ♮ , ω ) , écrivons Π ≡ ω i G ♮ P ♮ (Ξ · Σ) − n X i =1 Π i (mod G > ( G ♮ , ω )) où les Π i sont des éléments de Irr ( G ♮ , ω ) tels que θ G (Π ◦ i ) = [ M P ′ , σ ′ ] . On refait ensuite lamême chose avec chacun des Π i : Π i ≡ ω i G ♮ P ♮i (Ξ i · Σ i ) − n i X j =1 Π i,j (mod G > ( G ♮ , ω )) . Puisque l’application θ G : Irr( G ) → Θ( G ) est à fibres finies, d’après le résultat bien connude Borel–Wallach [ BW , 4.3], le processus de décomposition s’arrête au bout d’un nombrefini d’étapes. On obtient donc une décomposition de la forme Π ≡ m X i =1 e Π µ i (mod G > ( G ♮ , ω )) , où les µ i sont des triplets de Langlands pour ( G ♮ , ω ) (qui ne sont pas forcément deux–à–deuxnon équivalents). Remarque . — D’après le théorème de la base de Langlands pour G , la somme P µ Z e Π µ est directe, mais sa projection sur G ( G ♮ , ω ) = G ( G ♮ , ω ) / G > ( G ♮ , ω ) ne l’est en général pas.En effet si µ est un triplet de Langlands pour ( G ♮ , ω ) tel que la ω –représentation e Π µ de G ♮ est réductible, les composants irréductibles de e Π µ ne sont pas forcément G –irréductibles. (cid:4) Un triplet de Langlands ( P ♮ , Σ , Ξ) pour ( G ♮ , ω ) est dit induit si P ♮ = G ♮ . Une ω –représentation G –irréductible Π de G ♮ est dite essentiellement tempérée s’il existe un Ψ ∈ P C ( G ♮ , | ω | − ) tel que la ω u –représentation Ψ · Π de G ♮ est tempérée, c’est–à–dire si Π estisomorphe à Π µ = e Π µ pour un µ non induit. De manière équivalente, Π est essentiellementtempérée si Π ◦ est une représentation essentiellement tempérée de G . On note Irr , e . t ( G ♮ , ω ) le sous–ensemble de Irr ( G ♮ , ω ) formé des éléments essentiellement tempérés. On note aussi :– G e . t ( G ♮ , ω ) le sous–groupe de G ( G ♮ , ω ) engendré par les ι k (Irr , e . t ( G k , ω k )) pour un entier k ≥ — il est stable sous C × ;– G L − ind ( G ♮ , ω ) le sous–groupe de G ( G ♮ , ω ) engendré par les ι k ( e Π µ ) pour un entier k ≥ et un triplet de Langlands induit µ pour ( G ♮k , ω k ) — lui aussi est stable sous C × ;– G C , e . t ( G ♮ , ω ) et G C ,L − ind ( G ♮ , ω ) leurs projections respectives dans G C ( G ♮ , ω ) — deuxsous–espaces vectoriels de G C ( G ♮ , ω ) . A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU D’après le lemme de 2.7, G C , e . t ( G ♮ , ω ) est le sous–espace vectoriel de G C ( G ♮ , ω ) engendré par Irr C , e . t ( G ♮ , ω ) = Irr , e . t ( G ♮ , ω ) , et G C ,L − ind ( G ♮ , ω ) est le sous–espace vectoriel de G C ( G ♮ , ω ) engendré par les projections des e Π µ dans G C ( G ♮ , ω ) , où µ parcourt les triplets de Langlandsinduits pour ( G ♮ , ω ) .D’après le lemme 1 et le théorème de la base de Langlands pour G , on a la décompositionen somme directe G ( G ♮ , ω ) = G e . t ( G ♮ , ω ) ⊕ G L − ind ( G ♮ , ω ) . On en déduit le
Lemme 2 . —
On a la décomposition en somme directe G C ( G ♮ , ω ) = G C , e . t ( G ♮ , ω ) ⊕ G C ,L − ind ( G ♮ , ω ) . Démonstration . — Pour alléger l’écriture, posons G + = G + ( G ♮ , ω ) , G e . t = G e . t ( G ♮ , ω ) , etc.Il s’agit d’établir l’inclusion ( ∗ ) G + ⊂ ( G e . t ∩ G + ) + ( G L − ind ∩ G + ) . Soit un élément Π de Irr k − ( G ♮ , ω ) pour un entier k > , et soit Σ ∈ Irr ( G k , ω k ) telque Π = ι k (Σ) . Dans G ( G k , ω k ) , Σ se décompose en Σ = Σ + Σ , où Σ ∈ G e . t ( G k , ω k ) et Σ ∈ G L − ind ( G k , ω k ) . Alors Π = ι k (Σ ) + ι k (Σ ) , et d’après le lemme de 2.7, Π appartient àla somme à droite de l’inclusion ( ∗ ) .Soit un élément Π ′ de Irr ( G ♮ , ω ) et des nombres complexes non nuls λ , . . . , λ n , n > , telsque P ni =1 λ i = 0 . Écrivons Π ′ = Π ′ +Π ′ , où Π ′ ∈ G e . t et Π ′ ∈ G L − ind . Alors Π = P ni =1 λ i · Π ′ s’écrit Π = Π +Π , où Π = P ni =1 λ i · Π ′ et Π = P ni =1 λ i · Π ′ , par conséquent Π appartientà la somme à droite de l’inclusion ( ∗ ) .L’inclusion ( ∗ ) étant vérifiée, le lemme est démontré. Soit A ◦ le tore déployémaximal (du centre) de M ◦ . On a Z G ( A ◦ ) = M ◦ , et le normalisateur N G ( A ◦ ) de A ◦ dans G coïncide avec N G ( M ◦ ) . On note W G le groupe de Weyl de G défini par W G = N G ( A ◦ ) /M ◦ . Soit π une représentation irréductible π de G . À π est associée une paire cuspidale standard ( M P , ρ ) de G , où P ∈ P ( G ) et ρ est une représentation irréductible cuspidale de M P , telleque π est isomorphe à un sous–quotient de i GP ( ρ ) . Si ( M P ′ , ρ ′ ) est une autre paire cuspidalestandard de G telle que π est isomorphe à un sous–quotient de i GP ′ ( ρ ′ ) , alors il existe unélément w de W G tel que w ( M P ) = M P ′ et n w ρ ≃ ρ ′ , où :– n w est un représentant de w dans N G ( A ◦ ) ,– n w ρ est la représentation ρ ◦ Int G ( n − w ) de w ( M P ) = Int G ( n w )( M P ) .Pour X ⊂ G et g ∈ G , on pose g X = Int G ( g )( X ) . Deux paires cuspidales — standard ounon — ( M, ρ ) et ( M ′ , ρ ′ ) de G telles que M ′ = g M et ρ ′ ≃ g ρ pour un g ∈ G sont dites G –équivalentes ou simplement équivalentes , et l’on note [ M, ρ ] = [
M, ρ ] G la classe d’équivalencede ( M, ρ ) . Toute paire cuspidale de G est équivalente à une paire cuspidale standard. Laclasse d’équivalence d’une paire cuspidale standard ( M P , ρ ) de G telle que π est isomorpheà un sous–quotient de i GP ( ρ ) est appelée support cuspidal de π , et notée θ G ( π ) .Pour une paire cuspidale ( M, ρ ) de G , on note ρ (1) la représentation ω − ρ θ de θ − ( M ) .On obtient ainsi une autre paire cuspidale ( M, ρ )(1) = ( θ − ( M ) , ρ (1)) GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE de G , dont la classe de G –équivalence, notée [ M, ρ ](1) , ne dépend pas du choix de δ ∈ M ♮ ◦ .Notons que si ( M, ρ ) est standard, i.e. si M = M P pour un P ∈ P ( G ) , alors ( M, ρ )(1) estaussi standard, puisque θ − ( M P ) = M θ − ( M P ) P .Soit Π une ω –représentation G –irréductible de G ♮ . Posons π = Π ◦ , et soit ( M P , ρ ) unepaire cuspidale standard de G telle que θ G ( π ) = [ M P , ρ ] . Puisque π est isomorphe à π (1) ,c’est un sous–quotient de i Gθ − ( P ) ( ρ (1)) , et aussi un sous–quotient de i Gθ − ( M P ) P ( ρ (1)) . Parsuite les paires cuspidales standard ( M P , ρ ) et ( M P , ρ )(1) de G sont équivalentes : il existeun élément w ∈ W G tel que w ( M P ) = θ − ( M P ) et n w ρ ≃ ρ (1) . En d’autres termes, posant τ = θ ◦ Int G ( n w ) , on a τ ( M P ) = M P et ω − ρ τ ≃ ρ .On note Θ( G ) l’ensemble des classes d’équivalence de paires cuspidales de G , et Θ ( G ) lesous–ensemble de Θ( G ) formé des [ M, ρ ] tels que [ M, ρ ](1) = [
M, ρ ] . L’application supportcuspidal θ G : Irr( G ) → Θ( G ) induit une application Irr ( G ♮ , ω ) / C × → Θ ( G ) , Π θ G ♮ (Π) = θ G (Π ◦ ) , dont l’image est notée Θ G ♮ ,ω ( G ) . Notons que pour qu’une paire cuspidale standard ( M P , ρ ) de G telle que [ M P , ρ ](1) = [ M P , ρ ] soit dans l’image de θ G ♮ , il faut et il suffit que l’induiteparabolique π = i GP ( ρ ) — qui est isomorphe à π (1) — possède un sous–quotient irréductible π ′ tel que π ′ (1) ≃ π ′ .L’application [ M, ρ ] [ M, ρ ](1) définit comme en 2.6 une action de Z sur Θ( G ) . On note Θ( G ) / Z l’ensemble des orbites de Z pour cette action, et l’on identifie Θ ( G ) à un sous–ensemble de Θ( G ) / Z . L’application θ G est Z -équivariante, et l’application Π θ G ♮ (Π) seprolonge en une application surjective θ G ♮ : Irr( G ♮ , ω ) / C × → Θ( G ) / Z , définie comme suit. Pour une ω –représentation irréductible Π de G ♮ , on choisit une sous–représentation irréductible π de Π ◦ , et l’on note θ G ♮ (Π) la Z –orbite de θ G ( π ) dans Θ( G ) .Cette Z –orbite est bien définie — i.e. elle ne dépend pas du choix de π — et dépendseulement de la classe d’isomorphisme de Π . Deux paires cuspidales ( M, ρ ) et ( M ′ , ρ ′ ) de G sont dites inertiellement équivalentes s’il existe un caractère non ramifié ψ ′ de M ′ tel que g M = M ′ et g ρ ≃ ψ ′ ρ ′ pour un g ∈ G .Soit B ( G ) l’ensemble des classes d’équivalence inertielle de paires cuspidales de G . Pour s ∈ B ( G ) , on note Θ( s ) ⊂ Θ( G ) la fibre au-dessus de s . Si s est la classe d’équivalenceinertielle d’une paire cuspidale ( M, ρ ) de G , alors Θ( s ) est un espace homogène sous le torecomplexe P ( M ) — pour ψ ∈ P ( M ) , on pose ψ · [ M, ρ ] = [
M, ψρ ] —, et en particulier unevariété algébrique affine complexe. Précisément, notons P ( M )( ρ ) la P ( M ) –orbite de ρ dans Irr( M ) , c’est–à–dire l’ensemble des classes d’isomorphisme de représentations de M de laforme ψρ pour un ψ ∈ P ( M ) . C’est une variété algébrique affine complexe (le quotient de P ( M ) par un groupe fini). Posons W G ( M ) = N G ( M ) /M et W s = { w ∈ W G ( M ) : n w ρ ≃ ψρ, ∃ ψ ∈ P ( M ) } , où n w désigne un représentant de w dans N G ( M ) . Le groupe W s opère sur la variété P ( M )( ρ ) ,et l’application ψρ [ M, ψρ ] est un isomorphisme de la variété quotient P ( M )( ρ ) /W s sur Θ( s ) . A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU L’action de Z sur Θ( G ) préserve les fibres de l’application Θ( G ) → B ( G ) , donc induit uneaction sur B ( G ) , notée ( k, s ) s ( k ) : si s est la classe inertielle d’une paire cuspidale ( M, ρ ) de G , alors s ( k ) est la classe inertielle de ( θ − k ( M ) , ρ ( k )) . On note B ( G ) le sous–ensemblede B ( G ) formé des s tels que s (1) = s , i.e. tels que la fibre Θ( s ) au-dessus de s est Z –stable. Lemme . —
Pour s ∈ B ( G ) , l’ensemble Θ ( s ) = Θ( s ) ∩ Θ ( G ) est une sous–variété algébrique fermée (éventuellement vide) de Θ( s ) .Démonstration . — On peut supposer Θ ( s ) non vide sinon il n’y a rien à démontrer. Soit ( M P , ρ ) une paire cuspidale standard de G telle que [ M P , ρ ] ∈ Θ ( s ) , et soit w ∈ W G tel que ρ (1) ≃ n w ρ . D’après 2.14, posant τ = θ ◦ Int G ( n w ) , on a τ ( M P ) = M P et ω − ρ τ ≃ ρ . De mêmepour ψ ∈ P ( M P ) , la classe [ M P , ψρ ] appartient à Θ ( s ) si et seulement s’il existe un élément w ψ de W G tel que, posant τ ψ = θ ◦ Int G ( n w ψ ) , on a τ ψ ( M P ) = M P et ω − ( ψρ ) τ ψ ≃ ψρ .Puisque w ( M P ) = θ − ( M P ) = w ψ ( M P ) , il existe un s ψ ∈ N G ( M P ) tel que n w ψ = n w s ψ . On a donc τ ψ = τ ◦ Int G ( s ψ ) , et comme ω − ( ψρ ) τ ψ = ( ψ τ ω − ρ τ ) Int G ( s ψ ) ≃ ( ψ τ ρ ) Int G ( s ψ ) est isomorphe à ψρ , on a s ψ ρ ≃ ( s ψ ψ ) − ψ τ ρ. En particulier, ¯ s ψ = s ψ (mod M P ) appartient au sous–groupe W s de W G ( M P ) , et ( ¯ s ψ ψ ) − ψ τ stabilise [ M P , ρ ] . Réciproquement, supposons qu’il existe un s ∈ N G ( M P ) tel que s ρ estisomorphe à ( s ψ ) − ψ τ ρ . Alors s ( ψρ ) ≃ ψ τ ρ ≃ ψ τ ( ω − ρ τ ) = ω − ( ψρ ) τ , et [ M P , ψρ ] appartient à Θ ( s ) . En définitive, on a montré qu’un élément [ M P , ψρ ] de Θ( s ) appartient à Θ ( s ) si et seulement s’il existe un s ∈ N G ( M P ) tel que s ( ψρ ) ≃ ψ τ ρ . Puisquele groupe W G ( M P ) est fini, cette condition définit une sous–variété algébrique fermée de Ψ( M P )( ρ ) . Comme le morphisme Ψ( M )( ρ ) → Θ( s ) , ψρ [ M P , ψρ ] est quasi–fini, il est fini(par homogénéité), donc fermé. D’où le lemme.L’application support inertiel β G : Irr( G ) → B ( G ) induit une application Irr ( G ♮ , ω ) / C × → B ( G ) , Π β G ♮ (Π) = β G (Π ◦ ) , dont l’image est notée B G ♮ ,ω ( G ) . Remarque . — Soit s ∈ B ( G ) , et soit ( M P , ρ ) une paire cuspidale standard de G telleque [ M P , ρ ] ∈ Θ( s ) . On sait qu’il existe un sous–ensemble Zariski–dense V de Θ( s ) , quel’on peut supposer Z –stable, tel pour tout [ M P , ρ ′ ] ∈ V , la représentation i GP ( ρ ′ ) — définieseulement à isomorphisme près — est irréductible. Si l’intersection V ∩ Θ ( G ) est non vide,alors s est dans l’image de β G ♮ . (cid:4) GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Comme en 2.14, on note B ( G ) / Z l’ensemble des orbites de Z dans B ( G ) , et l’on identifie B ( G ) à un sous–ensemble de B ( G ) / Z . L’application β G est Z –équivariante, et l’application Π β G ♮ (Π) se prolonge comme en loc. cit. en une application surjective β G ♮ : Irr( G ♮ , ω ) / C × → B ( G ) / Z . Le centre d’une catégorie abélienne A est par définition l’anneau des endomorphisme du foncteur identique de A . On le note Z ( A ) .Un élément de z de Z ( A ) est la donnée, pour chaque objet E de A , d’une flèche z E : E → E dans A , de sorte que pour toute flèche u : E → E dans A , on ait u ◦ z E = z E ◦ u. Notons Z ( G ) le centre de la catégorie R ( G ) . Rappelons que H = H ( G ) est une C –algèbre àidempotent (cf. [ BD , 1.1]), et que l’application ( π, V ) V est un isomorphisme de R ( G ) surla catégorie des H -modules (à gauche) non dégénérés. On peut voir H comme un H –modulenon dégénéré pour la multiplication à gauche. Pour chaque élément z ∈ Z ( G ) , on a doncun élément z H ∈ End G ( H ) . D’après [ BD , 1.5], l’application z z H est un isomorphismede Z ( G ) sur le commutant End H × H op ( H ) dans End Z ( H ) des multiplications à gauche et àdroite. Pour z ∈ Z ( G ) et f ∈ H , on pose z · f = z H ( f ) .Pour s ∈ B ( G ) , notons R s ( G ) la sous-catégorie pleine de R ( G ) formée des représentations π telles que β G ( π ′ ) = s pour tout sous-quotient irréductible π ′ de π . D’après [ BD , 2.10], R ( G ) est le produit des catégories R s ( G ) pour s parcourant les éléments de B ( G ) . End’autres termes, toute représentation π de G s’écrit comme une somme directe π = ⊕ s π s où s parcourt les éléments de B ( G ) et π s est un objet de R s ( G ) , et si π ′ = ⊕ s π ′ s est une autrereprésentation de G , on a Hom G ( π, π ′ ) = ⊕ s Hom G ( π s , π ′ s ) . On note Z s = Z s ( G ) le centre de la catégorie R s ( G ) . On a la décomposition en produitd’anneaux Z ( G ) = Y s Z s . Pour toute partie S de B ( G ) , on pose R S ( G ) = Y s ∈ S R s ( G ) , Z S ( G ) = Y s ∈ S Z s . Fixons un élément s ∈ B ( G ) , et choisissons une paire cuspidale standard ( M P , ρ ) de G telle que [ M P , ρ ] ∈ Θ( s ) . Rappelons que M P est le sous–groupe de M P engendré par sessous–groupes ouverts compacts. Posons Λ P = M P /M P . C’est un Z –module libre de typefini, et l’on a P ( M P ) = Hom Z (Λ P , C × ) . En d’autres termes, Λ P est le groupe des caractèresalgébriques du tore complexe P ( M P ) . Soit B P = C [Λ P ] l’algèbre affine de P ( M P ) , et soit ϕ P : M P → B P le « caractère universel » donné par l’évaluation : ϕ P ( m )( ψ ) = ψ ( m ) , m ∈ M P , ψ ∈ P ( M P ) . C’est aussi le composé de la projection canonique M P → Λ P et de l’inclusion Λ P ֒ → B P .Soit ρ B P la représentation de M P définie comme suit : l’espace de ρ B P est W = V ρ ⊗ C B P ,et pour m ∈ M P , v ∈ V ρ et b ∈ B P , on pose ρ B P ( m )( v ⊗ b ) = ρ ( m )( v ) ⊗ ϕ P ( m ) b. Notons π la représentation i GP ( ρ B P ) de G . L’anneau B P opère naturellement sur l’espace V de π , et pour ψ ∈ P ( M P ) correspondant à u ∈ Hom C ( B P , C ) — i.e. tels que ψ = u ◦ ϕ P —la localisation π ψ de π en ψ , c’est–à–dire la représentation de G déduite de π sur l’espace A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU V ψ = V ⊗ B P ,u C , est isomorphe à i GP ( ψρ ) . Soit maintenant z un élément de Z s . D’après[ BD , 1.17], l’endomorphisme z π de π est la multiplication par un élément de B P , disons b ,et pour chaque ψ ∈ P ( M P ) , l’endomorphisme z π ψ de π ψ est la multiplication par b ( ψ ) . Deplus (loc. cit.), si ψ, ψ ′ ∈ P ( M P ) sont tels que n w ( ψρ ) ≃ ψ ′ ρ pour un w ∈ W G ( M P ) , alors b ( ψ ) = b ( ψ ′ ) . Par conséquent la fonction ψ b ( ψ ) sur P ( M P ) se descend en une fonctionrégulière sur la variété Θ( s ) , disons f z . Le théorème 2.13 de [ BD ] dit que l’application Z s → C [Θ( s )] , z f z est un isomorphisme d’anneaux. Remarque . — Soit z ∈ Z ( G ) , décomposé en z = Q s z s , z s ∈ Z s . Pour toute représentationirréductible π de G telle que β G ( π ) = s , on a z π = f z s ( θ G ( π ))id V π . (cid:4) Z ( G ♮ , ω ) . — On l’a dit plus haut, l’action de C × sur Irr( G ♮ , ω ) provientd’une action fonctorielle sur R ( G ♮ , ω ) , triviale sur les flèches. Par dualité on obtient uneaction sur l’anneau des endomorphismes du foncteur identique de R ( G ♮ , ω ) . Soit Z ( G ♮ , ω ) l’anneau des endomorphismes C × –invariants du foncteur identique de R ( G ♮ , ω ) . Un élément Z de Z ( G ♮ , ω ) est par définition la donnée, pour chaque ω –représentation Π de G ♮ , d’unendomorphisme Z Π de Π tel que Z λ · Π = Z Π pour tout λ ∈ C × , de sorte que pour toutmorphisme u : Π → Π ′ entre deux ω –représentations Π et Π ′ de G ♮ , on ait u ◦ Z Π = Z Π ′ ◦ u. Soit (Π , V ) une ω –représentation de G ♮ . Décomposons Π ◦ en Π ◦ = ⊕ S (Π ◦ ) S où S parcourt les éléments de B ( G ) / Z , et (Π ◦ ) S est un objet de R S ( G ) . Pour chaque Z -orbite S dans B ( G ) , l’opérateur Π( δ ) envoie Π ◦ S sur Π ◦ S (1) = Π ◦ S , par conséquent Π sedécompose en Π = ⊕ S Π S , Π ◦ S = (Π S ) ◦ , et si Π ′ = ⊕ S Π ′ S est une autre ω –représentation de G ♮ , on a Hom G ♮ (Π , Π ′ ) = ⊕ S Hom G ♮ (Π S , Π ′ S ) . Pour une partie S de B ( G ) / Z , on note R S ( G ♮ , ω ) la sous–catégorie pleine de R ( G ♮ , ω ) formée des Π tels que Π ◦ est un objet de R S ( G ) , ou — ce qui revient au même — tels que β G ♮ (Π ′ ) ∈ S pour tout sous–quotient irréductible Π ′ de Π . Elle est stable sous l’actionde C × . On note Z S ( G ♮ , ω ) le sous–anneau de Z ( G ♮ , ω ) formé des endomorphismes C × –invariants du foncteur identique de R S ( G ♮ , ω ) . D’après ce qui précède, R ( G ♮ , ω ) est leproduit des catégories R S ( G ♮ , ω ) pour S parcourant les éléments de B ( G ) / Z . Par suiteon a la décomposition en produit d’anneaux Z ( G ♮ , ω ) = Y S ∈ B ( G ) / Z Z S ( G ♮ , ω ) . Posons R ( G ♮ , ω ) = R S ( G ♮ , ω ) , S = B G ♮ ,ω ( G ) . Toute ω –représentation G –irréductible de G ♮ est un objet de R ( G ♮ , ω ) , et R ( G ♮ , ω ) est leproduit des catégories R s ( G ♮ , ω ) pour s parcourant les éléments de B G ♮ ,ω ( G ) . Ainsi, pourdécrire l’anneau Z ( G ♮ , ω ) = Y s ∈ S Z s ( G ♮ , ω ) GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE des endomorphismes C × –invariants du foncteur identique de R ( G ♮ , ω ) , il suffit de décrirechacun des anneaux Z s ( G ♮ , ω ) . Z sur le « centre ». — L’application ( k, π ) π ( k ) définit une actionfonctorielle de Z sur R ( G ) , triviale sur les flèches. On en déduit une action ( k, z ) z ( k ) de Z sur Z ( G ) : pour z ∈ Z ( G ) et k ∈ Z , z ( k ) est l’élément de Z ( G ) donné par z ( k ) π = z π ( k ) . Pour k ∈ Z , l’application Z ( G ) → Z ( G ) , z z ( k ) est un automorphisme d’anneau (et mêmede C –algèbre). On note Z ( G ) le sous–anneau de Z ( G ) formé des z tels que z (1) = z . Pour z ∈ Z ( G ) et Π une ω –représentation de G ♮ , on a z Π ◦ (1) ◦ Π( δ ) = Π( δ ) ◦ z Π ◦ . En particulier si z (1) = z , alors z Π ◦ (1) = z Π ◦ est un endomorphisme de Π . Remarque 1 . — L’application H → H , f ωf θ est un automorphisme d’anneau, disons τ . Pour toute représentation π de R ( G ) , on a π ( k )( f ) = π ( τ − k ( f )) , k ∈ Z , f ∈ H . On endéduit que l’action de Z sur Z ( G ) , identifié à End H , H op ( H ) via l’isomorphisme z z H , estdonnée par z ( k ) · f = z · τ − k ( f ) . Soit H ( τ − le sous–espace vectoriel de H engendré parles fonctions f ∗ ( τ ( h ) − h ) pour f, h ∈ H . C’est un idéal bilatère τ –stable de H . Puisque z (1) H = z H ◦ τ − , un élément z de Z ( G ) appartient à Z ( G ) si et seulement s’il s’annulesur H ( τ − . Notons H = H ( G ) le H –bimodule quotient H / H ( τ − . L’isomorphisme z z H identifie donc Z ( G ) au sous–anneau End H × H op ( H ) de End H × H op ( H ) . (cid:4) Soit s un élément de B ( G ) . L’anneau Z s est Z –stable, et l’on note Z s , = Z s , ( G ) lesous–anneau de Z s formé des z tels que z (1) = z . La variété Θ( s ) est elle–aussi Z –stable, etl’isomorphisme Z s → C [Θ( s )] , z f z se restreint en un isomorphisme d’anneaux Z s , → C [Θ( s )] Z , où C [Θ( s )] Z désigne le sous–anneau de C [Θ( s ] formé des fonctions Z –invariantes.On définit comme suit une application Z s , → Z s ( G ♮ , ω ) , z ι ( z ) . Pour z ∈ Z s , et Π un objet de R s ( G ♮ , ω ) , l’endomorphisme z Π ◦ de Π ◦ est en fait unendomorphisme de Π , et puisque ( λ · Π) ◦ = Π ◦ pour tout λ ∈ C × , c’est un élément de Z s ( G ♮ , ω ) . On pose ι ( z ) Π = z Π ◦ . L’application ι ainsi définie est un morphisme d’anneaux,et il est bijectif. En effet, on définit comme suit son inverse Z Z ◦ . Pour Z ∈ Z s ( G ♮ , ω ) et π un objet irréductible de R s ( G ) , on pose e π = π ⊕ π (1) ⊕ · · · ⊕ π ( s − si s = s ( π ) < + ∞ et e π = ⊕ k ∈ Z π ( k ) sinon. La représentation e π (1) de G est isomorphe à e π , et il existe une ω –représentation Π de G ♮ telle que Π ◦ = e π . Cette représentation est irréductible, et d’après lelemme de Schur, l’endomorphisme Z Π de Π est la multiplication par une constante µ ∈ C × .On pose ( Z ◦ ) π = µ id V π . Par construction, on a ( Z ◦ ) π ( k ) = ( Z ◦ ) π pour tout k ∈ Z . D’après[ BD , 1.8], cela définit un élément Z ◦ de Z ( G ) , qui vérifie Z ◦ (1) = Z ◦ . L’application Z s ( G ♮ , ω ) → Z s , , Z Z ◦ ainsi définie est un morphisme d’anneaux, et pour z ∈ Z s , et Z ∈ Z s ( G ♮ , ω ) , on a bien ι ( z ) ◦ = z, ι ( Z ◦ ) = Z . En composant l’isomorphisme Z s ( G ♮ , ω ) → Z s , , Z Z ◦ avec l’isomorphisme Z s , → C [Θ( s )] Z , z f z , A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU on obtient un isomorphisme d’anneaux Z s ( G ♮ , ω ) → C [Θ( s )] Z , Z f Z . Remarque 2 . — La description de l’anneau Z s ( G ♮ , ω ) ci–dessus est valable même si lavariété Θ ( s ) est vide, et a fortiori même si aucun objet de R s ( G ♮ , ω ) n’est G –irréductible(on n’a pas supposé que s appartient à B G ♮ ,ω ( G ) ). (cid:4) Remarque 3 . — Si l’action de Z sur Θ( s ) se factorise à travers un quotient fini de Z ,alors l’ensemble Θ( s ) / Z des Z –orbites dans Θ( s ) est un quotient géométrique de Θ( s ) . Enparticulier c’est une variété algébrique affine, d’algèbre affine C [Θ( s ) / Z ] = C [Θ( s )] Z .En général, cela n’est pas vrai : l’ensemble Θ( s ) / Z des Z –orbites dans Θ( s ) n’est pas unquotient géométrique de Θ( s ) . Par exemple si G = G m , θ = id et ω est un caractères nonramifié unitaire de G = F × dont les puissances sont denses dans le tore P ( F × ) ≃ C × , alorsles Z –orbites dans P ( F × ) ne sont pas fermées, et toute fonction régulière Z –invariante sur P ( F × ) est constante. (cid:4) G . — Si J est un sous–groupeouvert compact de G , on note Irr J ( G ) le sous–ensemble de Irr( G ) formé des π tels que V Jπ = 0 . D’après [ BD , 3.7 et 3.9], β G (Irr J ( G )) est un sous–ensemble fini de B ( G ) . On ditque J est un « bon » sous–groupe ouvert compact de G si β − G ( β G (Irr J ( G ))) = Irr J ( G ) , auquel cas on pose S ( J ) = β G (Irr J ( G )) . De manière équivalente, J est un bon sous–groupeouvert compact de G si et seulement si toute représentation π de G admet une décompositionen somme directe π = π J ⊕ π ⊥ J où π J désigne la sous–représentation de π d’espace π ( G )( V J ) de V , et π ⊥ J la sous–représen-tation de π d’espace π ( G )(ker π ( e J )) . En ce cas, on note R J ( G ) la sous–catégorie pleine de R ( G ) formée des représentations π telles que π J = π . Elle est stable par sous–quotient, etcoïncide avec R S ( J ) ( G ) [ BD , 3.9]. De plus (loc. cit.), le foncteur V V J est une équivalenceentre R J ( G ) et la catégorie des H J –modules (à gauche), de quasi–inverse le foncteur qui aun H J –module W associe le H –module non dégénéré ( H ∗ e J ) ⊗ H J W .D’après [ BD , 2.9], pour qu’un sous–groupe ouvert compact J de G soit bon, il suffit qu’ilvérifie les conditions (a) et (b) suivantes — notées (3.7.1) et (3.7.2) dans [ BD , 3.7] —, pourtout sous–groupe de Levi M de G et tout sous–groupe parabolique P de G de composantede Levi M : (a) pour tout conjugué J ′ de J dans G , la classe de conjugaison de J ′ P = ( J ′ ∩ P ) / ( J ′ ∩ U P ) dans M ne dépend pas de P ni de J ′ ; où J ′ P est identifié à un sous–groupe de M vial’isomorphisme canonique M → P/U P . (b) pour toute représentation ( π, V ) de G , la projection canonique V → V P = V /V ( U P ) induit une application surjective V J → ( V P ) J P ; où V ( U P ) est le sous–espace de V engendré par les vecteurs π ( u )( v ) − v , u ∈ U P , v ∈ V .Soit I un sous–groupe d’Iwahori de G , c’est–à–dire le fixateur connexe d’une chambre del’immeuble (affine) étendu de G . Rappelons que I est le groupe des points o –rationnels d’un o –schéma en groupes affine lisse connexe I de fibre générique G . Pour chaque entier n ≥ ,on note I n le n –ième sous–groupe de congruence de I , c’est–à–dire le noyau de la projectioncanonique (réduction modulo p n ) J ( o ) → J ( o / p n ) . On pose aussi I = I . Proposition . —
Pour n ≥ , I n est un bon sous–groupe ouvert compact de G . GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Démonstration . — Le résultat est connu mais nous n’en avons trouvé aucune démonstrationdans la littérature. Puisque G opère transitivement sur les chambres de son immeuble étendu,quitte à remplacer I par l’un de ses conjugués dans G , on peut supposer que la chambre fixéepar I est contenue dans l’appartement associé à A ◦ . En ce cas I est en « bonne position »par rapport à la paire ( P ◦ , M ◦ ) , c’est–à–dire qu’il vérifie la décomposition triangulaire I = ( I ∩ U ◦ )( I ∩ M ◦ )( I ∩ U ◦ ) , où U ◦ est le radical unipotent du sous–groupe parabolique de G opposé à P ◦ par rapport à M ◦ . D’ailleurs (cf. [ BT ]) cette décomposition est une « décomposition schématique » au sensoù il existe des o –schémas en groupes affines lisses connexes M ◦ , U ◦ , U ◦ de fibres génériques M ◦ , U ◦ , U ◦ et de groupes des points o –rationnels I ∩ M ◦ , I ∩ U ◦ , I ∩ U ◦ tels que l’applicationproduit U ◦ × o M ◦ × o U ◦ → I est un isomorphisme de o –schémas. Ici M ◦ , U ◦ , U ◦ désignent lesgroupes algébriques définis sur F dont M ◦ , U ◦ , U ◦ sont les groupes des points F –rationnels.On en déduit que pour chaque entier n ≥ , I n est en bonne position par rapport à ( P ◦ , M ◦ ) .Fixons un entier n ≥ et posons J = I n . Fixons aussi un sous–groupe de Levi M de G et un sous–groupe parabolique P de G de composante de Levi M . Notons U le radicalunipotent de P , et U le radical unipotent du sous–groupe parabolique de G opposé à P parrapport à M .Supposons pour commencer que M contient M ◦ . Soit g ∈ G tel que g P = gP g − contient P ◦ . Rappelons que A ◦ est un tore déployé maximal de G . Puisque A ◦ et g − A ◦ sont contenusdans P , il existe un p ∈ P tel que g − A ◦ = p A ◦ . Alors x = gp appartient à N ◦ = N G ( A ◦ ) , etl’on a g P = x P . Puisque x stabilise l’appartement de l’immeuble étendu de G associé à A ◦ ,la chambre fixée par x I est encore dans cet appartement, par conséquent x J est en bonneposition par rapport à ( P ◦ , M ◦ ) , donc aussi par rapport à ( P ′ , M P ′ ) pour tout P ′ ∈ P ( G ) .Puisque P ′ = x P ∈ P ( G ) et x M ⊃ x M ◦ = M ◦ , on a M P ′ = x M , d’où x J = ( x J ∩ x U )( x J ∩ x M )( x J ∩ x U ) . En conjuguant par x − , on obient la décomposition triangulaire ( ∗ ) J = ( J ∩ U )( J ∩ M )( J ∩ U ) . D’après [ BD , 3.5.2], la propriété ( ∗ ) implique la condition (b) pour la paire ( P, M ) . Quantà la condition ( a ) , soit J ′ = g ′ J pour un g ′ ∈ G . Puisque P ◦ ⊂ x P pour un x ∈ N ◦ , ladécomposition d’Iwasawa G = P ◦ N ◦ I implique la décomposition G = P N ◦ I . Comme parailleurs I normalise J , on peut supposer que g ′ = py pour un p ∈ P et un y ∈ N ◦ . Ainsi J ′ ∩ P = p ( y J ∩ P ) et J ′ P est conjugué dans M à ( y J ) P . Or le groupe y J est en bonneposition par rapport à ( P ◦ , M ◦ ) , par conséquent lui aussi vérifie ( ∗ ) . En particulier on a ladécomposition y J ∩ P = ( y J ∩ M )( y J ∩ U ) , laquelle implique l’égalité ( y J ) P = y J ∩ M . Par récurrence sur la longueur des éléments de W G = N ◦ /M ◦ , on en déduit comme dans la démonstration du lemme 1.3.2 de [ L1 ] qu’ilexiste un élément y M ∈ N M ( A ◦ ) tel que y J ∩ M = y M ( J ∩ M ) . Cela prouve que la condition ( a ) est vérifiée.Passons au cas général : on ne suppose plus que M contient M ◦ . On procède alorsexactement comme dans les démonstrations des lemmes 1.3.2 et 1.3.3 de [ L1 ]. Remarque . — On suppose toujours que le groupe I est en bonne position par rapport à ( P ◦ , M ◦ ) . Le groupe θ ( I ) est un autre sous–groupe d’Iwahori de G , et puisque δ appartient A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU à M ♮ ◦ , il est lui aussi en bonne position par rapport à ( P ◦ , M ◦ ) : on a la décompositiontriangulaire θ ( I ) = ( θ ( I ) ∩ U ◦ )( θ ( I ) ∩ M ◦ )( θ ( I ) ∩ U ◦ ) . Par suite il existe un élement m ∈ M tel que θ ( I ) = m − Im . Quitte à remplacer δ par m · δ ∈ M ♮ ◦ , on peut supposer θ ( I ) = I . Alors θ ( I n ) = I n pour chaque entier n ≥ . (cid:4) D’après la remarque, on peut supposer vérifiée l’htpothèse suivante.
Hypothèse . —
On suppose de plus que le point–base δ ∈ M ♮ ◦ est choisi de telle manièreque le F –automorphisme θ = Int G ♮ ( δ ) de G stabilise un sous–groupe d’Iwahori de G enbonne position par rapport à ( P ◦ , M ◦ ) . D’après la proposition et la remarque ci–dessus, il existe une base de voisinages de dans G formée de sous–groupes ouverts compacts qui sont tous bons, θ –stables et en bonneposition par rapport à ( P ◦ , M ◦ ) . Cette propriété sera très utile pour la suite. G ♮ . — Un sous–espacetordu ouvert compact J ♮ de G ♮ est dit « bon » si le sous–groupe ouvert compact de G sous–jacent à J ♮ est bon. D’après 2.19, il existe des bons sous–espaces tordus ouverts compactsde G ♮ aussi petits que l’on veut.Soit J ♮ = J · δ un bon sous–espace ouvert compact de G ♮ tel que ω | J = 1 . Si Π est une ω –représentation de G ♮ , puisque V J = π ( e J )( V ) = Π( e J ♮ )( V ) = Π( δ )( V J ) , la décomposition de V en V = V J ⊕ V ⊥ J (cf. 2.19) est G ♮ –stable : pour g ∈ G et v ∈ V , on a Π( g · δ ) ◦ π ( e J )( v ) = π ( g ) ◦ Π( δ ) ◦ π ( e J )( v ) = π ( g ) ◦ Π( e J ♮ )( v ) . En d’autres termes, Π se décompose en Π = Π J ⊕ Π ⊥ J , où Π J est la restriction de Π sur V J et Π ⊥ J la restriction de Π sur V ⊥ J . On note R J ( G ♮ , ω ) lasous–catégorie pleine de R ( G, ω ) formé des ω –représentations Π telles que Π J = Π . Puisquele foncteur d’oubli Π Π ◦ envoie R J ( G ♮ , ω ) dans R J ( G ) , la catégorie R J ( G ♮ , ω ) est stablepar sous–quotients.Posons S = S ( J ) . C’est une partie (finie) Z –stable de B ( G ) , et la catégorie R J ( G ♮ , ω ) coïncide avec R S ( G ♮ , ω ) . De plus, le foncteur V V J est une équivalence entre R J ( G ♮ , ω ) et la catégorie des ( H ♮ J , ω ) –modules non dégénérés. En effet, pour un ( H ♮ J , ω ) –module nondégénéré W , l’espace V = ( H ∗ e J ) ⊗ H J W est un H -module non dégénéré, tel que V J = W et V J = V . Il définit donc une représentation de G , disons π . Pour g ∈ G et v ∈ V de laforme v = ( f ∗ e J ) ⊗ w , où f ∈ H et w ∈ W , on pose Π( g · δ )( v ) = π ( g ) ◦ Π( δ )( v ) , Π( δ )( v ) = ( τ ( ω − f ) ∗ e J ) ⊗ w ; où l’on a posé τ f ′ = f ′ ◦ τ − , τ = Int G ♮ ( δ ) . Notant g f la fonction x f ( g − x ) , on a Π( δ ) ◦ π ( g )( v ) = Π( δ )( g f ∗ e J ⊗ w )= τ ( ω − g f ) ∗ e J ⊗ w = ω − ( g ) π ( τ ( g )) ◦ Π( δ )( v ) = ω − ( g )Π( δ · g )( v ) . On obtient ainsi une ω –représentation (Π , V ) de G ♮ , telle que Π ◦ = π . Puisque le foncteurd’oubli Π Π ◦ est fidèle, cela définit un quasi–inverse du foncteur V V J entre R J ( G ♮ , ω ) et la catégorie des ( H ♮ J , ω ) –modules non dégénérés. GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Notation . — Soit J ( G ♮ , ω ) l’ensemble des bons sous–espaces ouverts compacts J ♮ de G ♮ tels que ω est trivial sur J , et soit J G ♮ ,ω ( G ) l’ensemble des sous–groupes ouverts compacts J de G tels que J est le groupe sous–jacent à un élément J ♮ de J ( G ♮ , ω ) .D’après 2.19, si I est un sous–groupe d’Iwahori de G ♮ normalisé par δ , notant n le pluspetit entier ≥ tel que ω | I n = 1 , on a l’inclusion { I n : n ≥ n } ⊂ J G ♮ ,ω ( G ) . En particulier, J G ♮ ,ω ( G ) est une base de voisinages de dans G . ( H ♮ , ω, B ) –modules admissibles. — La représentation i GP ( ρ B P ) de G introduiteen 2.16 est un ( G, B P ) –module admissible au sens de [ BD ], c’est–à–dire un B P -module V muni d’une représentation π : G → Aut C ( V ) telle que l’action de G sur V commute à cellede B P , vérifiant la condition d’admissibilité : pour tout sous-groupe ouvert compact J de G ,le B P -module V J est projectif et de type fini. Plus généralement, on a : Définition . — Soit H ♮ un espace topologique tordu de groupe sous-jacent H localementprofini, et soit X une variété algébrique affine sur C d’algèbre affine B = C [ X ] . On appelle ( H ♮ , ω, B ) –module admissible la donnée d’un B -module V et d’une ω –représentation de H ♮ d’espace V telle que l’action de H ♮ sur V commute à celle de B , vérifiant la conditiond’admissibilité : pour tout sous-groupe ouvert compact J de H , le B –module V J est projectifde type fini — i.e. le ( H, B ) –module sous–jacent est admissible. Remarque . — Si H ♮ vérifie la propriété (P ) de [ L2 , 8.3], c’est–à–dire s’il existe unefamille de sous–espaces tordus ouverts compacts de H ♮ telle que les sous–groupes de H sous–jacents aux éléments de cette famille forment une base de voisinage de dans H , alorsla condition d’admissibilité est équivalente à : pour tout sous–espace tordu ouvert compact J ♮ de H ♮ , le B –module V J ♮ est projectif de type fini. (cid:4) Soit V un ( H ♮ , ω, B ) –module admissible, où B est l’algèbre affine d’une variété algébriqueaffine X sur C et H ♮ opère sur V via une ω –représentation Π . Tout morphisme de variétésalgébriques u : X ′ → X définit comme suit un ( H ♮ , ω, B ′ ) –module admissible V u = V ⊗ B, ˜ u B ′ ,où B ′ = C [ X ′ ] et ˜ u : B ′ → B est le morphisme d’algèbres correspondant à u . En particulierpour tout point x ∈ X , vu comme un morphisme x : Spec( C ) → X , le localisé V x = V ⊗ B, ˜ x C de V en x est une ω –représentation de H ♮ , notée Π x , et la représentation sous–jacente Π ◦ x de H est admissible et de longueur finie.Soit P ∈ P ( G ♮ ) , et soit Σ une ω –représentation de M ♮ P telle que la représentation sous–jacente Σ ◦ de M P est admissible. Rappelons que P C ( M ♮ P ) est un groupe algébrique affine,diagonalisable sur C (cf. la remarque 2 de 2.11). Notons B = B P ♮ l’algèbre affine C [ P C ( M ♮ P )] ,et ϕ P ♮ : M ♮ P → B le « caractère universel » donné par l’évaluation : ϕ P ♮ ( δ )(Ξ) = Ξ( δ ) , δ ∈ M ♮ P , Ξ ∈ P C ( M ♮ P ) . On définit comme en 2.16 une ω –représentation Σ B = Σ ⊗ ϕ P ♮ de M ♮ P : l’espace de Σ B est W = V Σ ⊗ C B , et pour δ ∈ M ♮ P , v ∈ W et b ∈ B , on pose Σ B ( δ )( v ⊗ b ) = Σ( δ )( v ) ⊗ ϕ P ♮ ( δ ) b. Posons (Π , V ) = ω i G ♮ P ♮ (Σ B , W ) . C’est une ω –représentation de G . L’anneau B opère naturellement sur l’espace V , ce qui lemunit d’une structure de ( G ♮ , ω, B ) –module admissible. Pour Ξ ∈ P C ( M ♮ P ) correspondant A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU à u : B → C , la ω –représentation Π Ξ de G ♮ sur le localisé V Ξ = V ⊗ B,u C est isomorphe à ω i G ♮ P ♮ (Ξ · Σ) .Soit une fonction φ ∈ H ♮ . Rappelons qu’on a noté Φ φ l’élément de G C ( G ♮ , ω ) ∗ défini par Φ φ (Π ′ ) = Θ Π ′ ( φ ) , Π ′ ∈ Irr C ( G ♮ , ω ) . Soit J ♮ un sous–espace tordu ouvert compact de G ♮ , de groupe sous–jacent J , tel que ω | J = 1 et φ ∈ H ♮ J . L’opérateur Π( φ ) est un B –endomorphisme du sous–espace V J = V J ♮ de V formédes vecteurs fixés par J . Puisque V J est un B –module projectif de type fini, on dispose d’uneapplication trace tr B : End B ( V J ) → B . On pose b = tr B (Π( φ )) ∈ B. Pour Ξ ∈ P C ( M ♮ P ) correspondant à u : B → C , l’endomorphisme Π( φ ) ⊗ B,u C de ( V ⊗ B,u C ) J = V J ⊗ B,u C est isomorphe à ω i G ♮ P ♮ (Ξ · Σ)( φ ) , par conséquent b (Ξ) = Φ φ ( ω i G ♮ P ♮ (Ξ · Σ)) . En d’autres termes, l’application Ξ Φ φ ( ω i G ♮ P ♮ (Ξ · Σ)) est une fonction régulière sur la variété P C ( M ♮ P ) .
3. Énoncé du résultat3.1. Le théorème principal. —
Soit F ( G ♮ , ω ) le sous–espace de G C ( G ♮ , ω ) ∗ formé desformes linéaires Φ qui vérifient les conditions (i) et (ii) suivantes :(i) Il existe un ensemble fini S ⊂ B G ♮ ,ω ( G ) tel que Φ(Π) = 0 pour tout Π ∈ Irr C ( G ♮ , ω ) tel que β G ♮ (Π) S .(ii) Pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) et Σ ∈ Irr C ( M ♮ P , ω ) , l’application Ξ Φ( ω i G ♮ P ♮ (ΞΣ)) est une fonctionrégulière sur la variété P C ( M ♮ P ) . Remarque 1 . — D’après [ BD , 3.7 et 3.9], la condition (i) est équivalente à la condition(i’) suivante : il existe un sous–groupe ouvert compact J de G tel que Φ(Π) = 0 pour tout Π ∈ Irr C ( G ♮ , ω ) tel que V J Π = 0 . D’ailleurs d’après 2.8 cette condition (i’) est équivalente àla condition (i”) suivante : il existe un sous–espace tordu ouvert compact J ♮ de G ♮ tel que Φ(Π) = 0 pour tout Π ∈ Irr C ( G ♮ , ω ) tel que V J ♮ Π = 0 . D’autre part dans la condition (ii),on peut bien sûr remplacer le groupe algébrique affine P C ( M ♮ P ) par sa composante neutre P C ( M ♮ P ) . (cid:4) Soit aussi F tr ( G ♮ , ω ) le sous–espace de F ( G ♮ , ω ) formé des Φ de la forme Φ φ pour unefonction φ ∈ H ♮ .Soit enfin [ H ♮ , H ] ω le sous–espace vectoriel de H ♮ engendré par les fonctions de la forme φ ∗ f − ωf ∗ φ pour φ ∈ H ♮ et f ∈ H . On note H ♮ω = H ( G ♮ , ω ) l’espace quotient H ♮ / [ H ♮ , H ] ω .En d’autres termes, H ♮ω est le quotient de l’espace H ♮ω = H ( G ♮ , ω ) introduit en 2.8 (variante)par le sous–espace [ H ♮ω , H ] engendré par les commutateurs φ · f − f · φ pour φ ∈ H ♮ω et f ∈ H . Théorème . —
L’application H ( G ♮ ) G C ( G ♮ , ω ) ∗ , φ Φ φ induit un isomorphisme de C –espaces vectoriels H ( G ♮ , ω ) → F ( G ♮ , ω ) . GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
D’après 2.21, on a l’inclusion F tr ( G ♮ , ω ) ⊂ F ( G ♮ , ω ) . Si Π est une ω –représentation de G ♮ ,pour φ ∈ H ♮ et f ∈ H , on a Π( φ ∗ f ) = Π( ωf ∗ φ ) et donc Π( φ ∗ f − ωf ∗ Π) = 0 . Ainsi, latransformée de Fourier H ♮ G C ( G ♮ , ω ) ∗ , φ Φ f induit bien une application C –linéaire H ( G ♮ , ω ) → F ( G ♮ , ω ) , et il s’agit de prouver qu’elle est surjective (théorème de Paley–Wiener) et injective (théorèmede densité spectrale). La suite de l’article et [ HL ] sont consacrés à la démonstration de cesdeux résultats. Par récurrence sur la dimension des sous–espaces paraboliques de G ♮ , on seramène dans la section 4 à démontrer un théorème analogue (4.8) sur la partie « discrète »de la théorie. La surjectivité de l’application du théorème de 4.8 est prouvée dans la section5, tandis que son injectivité est prouvée dans [ HL ].On peut voir H ♮ comme un H –module non dégénéré (à gauche). Pour chaque élément z de Z ( G ) , on a donc un élément z H ♮ ∈ End G ( H ♮ ) . Reprenons le C –isomorphisme u : H → H ♮ω del’exemple de 2.8 (rappelons que H ♮ω = H ♮ comme H –module à gauche). Pour f, h, f ′ ∈ H ,il vérifie u ( f ∗ h ∗ f ′ ) = f · u ( h ) · τ ( f ′ ) , où l’on a posé τ ( f ′ ) = ωf ′ θ . On a donc u ◦ z H = z H ♮ ◦ u, z ∈ Z ( G ) . En particulier pour f, f ′ ∈ H et φ ∈ H ♮ω , posant h = u − ( φ ) , on a z H ♮ ( f · φ · f ′ ) = z H ♮ ◦ u ( f ∗ h ∗ τ − ( f ′ ))= u ◦ z H ( f ∗ h ∗ τ − ( f ′ ))= u ( f ∗ z H ( h ) ∗ τ − ( f ′ )) = f · z H ♮ ( φ ) · f ′ . L’application z z H ♮ est donc un isomorphisme de Z ( G ) sur End H × H op ( H ♮ω ) . De plus [ H ♮ω , H ] est un sous–espace vectoriel Z ( G ) –stable de H ♮ω , i.e. [ H ♮ , H ] ω est un sous–espacevectoriel Z ( G ) –stable de H ♮ .L’anneau Z ( G ) opère sur l’espace G C ( G ♮ , ω ) ∗ : pour z ∈ Z ( G ) et Φ ∈ G C ( G ♮ , ω ) ∗ , on note z · Φ l’élément de G C ( G ♮ , ω ) ∗ défini par ( z · Φ)(Π) = f z ( θ G ♮ (Π))Φ(Π) , Π ∈ Irr C ( G ♮ , ω ) . Lemme . —
La transformée de Fourier H ( G ♮ ) G C ( G ♮ , ω ) ∗ , φ Φ φ est un morphisme de Z ( G ) –modules.Démonstration . — D’après [ BD , 1.5], le centre Z ( G ) de R ( G ) est la limite projective descentres Z ( e ∗ H ∗ e ) où e parcourt les idempotents de H , pour les morphismes de transitions Z ( e ′ ∗ H ∗ e ′ ) → Z ( e ∗ H ∗ e ) , h h ∗ e si e ∗ H ∗ e ⊂ e ′ ∗ H ∗ e ′ .En d’autres termes, tout élément z de Z ( G ) est la donnée, pour chaque idempotent e de H ,d’un élément z ( e ) ∈ Z ( e ∗ H ∗ e ) , avec la relation z ( e ) = z ( e ′ ) ∗ e si e = e ∗ e ′ . L’action de Z ( G ) sur le H –module (à gauche) H est donnée par (pour z ∈ Z ( G ) et f ∈ H ) : z · f = z ( e ) ∗ f si e ∗ f = f De même l’action de Z ( G ) sur H ♮ est donnée par (pour z ∈ Z ( G ) et φ ∈ H ♮ ) : z · φ = z ( e ) ∗ φ si e ∗ φ = φ. Si Π est une ω –représentation de G ♮ , pour z ∈ Z ( G ) et φ ∈ H ♮ , on a Π( z · φ ) = Π( z ( e ) ∗ φ ) = Π ◦ ( z ( e )) ◦ Π( φ ) = z Π ◦ ◦ Π( φ ) , où Π ◦ ( z ( e )) est l’opérateur R G z ( e )( g )Π ◦ ( g ) dg sur l’espace de Π . Si de plus Π est G –irréductible, on a z Π ◦ = f z ( θ G (Π ◦ ))id V Π . D’où le lemme. A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU Remarque 2 . — Le lemme ci–dessus ne dépend pas du théorème. Joint au théorème, ilimplique en particulier que le sous–espace F ( G ♮ , ω ) de G C ( G ♮ , ω ) ∗ est Z ( G ) –stable. (cid:4) Pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , P C ( M ♮ P , | ω | ) est unespace principal homogène sous P C ( M ♮ P ) , donc en particulier une variété algébrique affinecomplexe. Comme dans le cas non tordu, on peut remplacer la condition (ii) du théorèmede 3.1 par la condition (ii’) suivante : pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) et Σ ∈ Irr C , t ( M ♮ P , ω u ) , l’application Ξ Φ( ω i G ♮ P ♮ (ΞΣ)) est une fonction régulière sur la variété P C ( M ♮ P , | ω | ) . Cette affirmationrésulte du lemme suivant.
Lemme . —
Soit Φ ∈ F ( G ♮ , ω ) tel que pour tout P ♮ ∈ P ( G ♮ ) et tout Σ ∈ Irr C , t ( M ♮ P , ω u ) ,l’application Ξ Φ( ω i G ♮ P ♮ (ΞΣ)) est une fonction régulière sur la variété P C ( M ♮ P , | ω | ) . Alorspour tout P ♮ ∈ P ( G ♮ ) et tout Σ ∈ Irr C ( M ♮ P , ω ) , l’application Ξ Φ( ω i G ♮ P ♮ (ΞΣ)) est unefonction régulière sur la variété P C ( M ♮ P ) .Démonstration . — D’après le lemme 1 de 2.13, il suffit de montrer que pour tout P ♮ ∈ P ( G ♮ ) et tout triplet de Langlands µ ′ pour ( M ♮ P , ω ) , notant e Σ µ ′ la ω –représentation de M ♮ P associéeà µ ′ et e Σ C ,µ ′ son image dans G C ( M ♮ P , ω ) , l’application Ξ Φ( ω i G ♮ P ♮ (Ξ e Σ C ,µ ′ )) est une fonctionrégulière sur la variété P C ( M ♮ P ) . Le triplet µ ′ s’écrit µ ′ = ( Q ♮ ∩ M ♮ P , Σ ′ , Ξ ′ ) où Q ♮ est unélément de P ( G ♮ ) tel que Q ♮ ⊂ P ♮ , Σ ′ est une ω u –représentation M Q –irréductible tempéréede M ♮ Q , et Ξ ′ est un élément de P C ( M ♮ Q , | ω | ) tel que Ξ ′◦ est positif par rapport à U Q ∩ M P .On a (par définition) e Σ µ ′ = ω i P ♮ Q ♮ (Ξ ′ · Σ ′ ) et ω i G ♮ P ♮ (Ξ · e Σ µ ′ ) = ω i G ♮ Q ♮ (Ξ | M ♮Q Ξ ′ · Σ ′ ) , Ξ ∈ P C ( M ♮ P ) . D’où le résultat, puisque l’application P C ( M ♮ P ) → P C ( M ♮ Q , | ω | ) , Ξ Ξ | M ♮Q Ξ ′ est un morphisme algébrique. Remarque . — Supposons le caractère ω unitaire (i.e. | ω | = 1 ). Pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , notons P C , u ( M ♮ P ) le sous–groupe de P C ( M ♮ P ) formé des éléments unitaires. Rappelons que P C ( M ♮ P ) est un sous–ensemble de Irr C ( M ♮ P ) = Irr C ( M ♮ P , ξ = 1) , et qu’une représentation de M ♮ P estdite unitaire si son espace est muni d’un produit scalaire hermitien M ♮ P –invariant (cf. 2.12).Alors on peut, comme le fait Waldspurger [ W , 6.1], remplacer la condition (ii) du théorèmede 3.1 par la condition (ii”) suivante : pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) et Σ ∈ Irr C , t ( M ♮ P , ω ) , l’application Ξ Φ( ω i G ♮ P ♮ (ΞΣ)) est une « fonction de Paley–Wiener » sur P C , u ( M ♮ P ) . Pour la notion defonction de Paley–Wiener, on renvoie à [ W , 2.6] et 4.3. (cid:4) Pour un sous–espace tordu ouvert compact K ♮ = K · δ de G tel que ω est trivial sur K , on note [ H ♮ K , H K ] ω le sous–espace vectoriel de H ♮ K = H K ( G ♮ ) engendré par les fonctions de la forme φ ∗ f − ωf ∗ φ pour φ ∈ H ♮ K et f ∈ H K ,et l’on note H ♮ K,ω = H K ( G ♮ , ω ) l’espace quotient H ♮ K / [ H ♮ K , H K ] ω . En d’autres termes, notant H ♮ K,ω = H K ( G ♮ , ω ) le H K –bimodule défini comme en 2.8 (variante) en remplaçant la paire ( H ♮ , H ) par la paire ( H ♮ K , H K ) , l’espace H ♮ K,ω est le quotient de H ♮ K,ω par le sous–espace [ H ♮ K,ω , H K ] engendré par les commutateurs φ · f − f · φ pour φ ∈ H ♮ K,ω et f ∈ H K . GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
D’autre part on note F K ( G ♮ , ω ) le sous–espace vectoriel de F ( G ♮ , ω ) formé des éléments Φ telles que Φ(Π) = 0 pour tout Π ∈ Irr C ( G ♮ , ω ) tel que Π K = 0 , où Π K désigne la classed’isomorphisme du ( H ♮ K , ω ) –module H K –simple associé à Π (cf. 2.8).Rappelons que J G ♮ ,ω ( G ) est l’ensemble des sous–groupes ouverts compacts J de G telsque J est « bon » et normalisé par un élément de G ♮ , et ω | J = 1 Théorème . —
Pour tout J ∈ J G ♮ ,ω ( G ) , l’application H ( G ♮ , J ) → G C ( G ♮ , ω ) ∗ , φ Φ φ induit un isomorphisme de C –espaces vectoriels H J ( G ♮ , ω ) → F J ( G ♮ , ω ) . D’après la remarque 1 de 3.1, l’espace F ( G ♮ , ω ) est la limite inductive des sous–espaces F J ( G ♮ , ω ) pour J ∈ J G ♮ ,ω ( G ) . D’autre part, pour J, J ′ ∈ J G ♮ ,ω ( G ) tels que J ′ ⊂ J , onverra en [ HL ] que l’inclusion H J ( G ♮ , ω ) ⊂ H J ′ ( G ♮ , ω ) induit par passage aux quotients uneapplication injective ([ K2 , lemma 3.2] dans le cas non tordu) H J ( G ♮ , ω ) ⊂ H J ′ ( G ♮ , ω ) . En d’autres termes, on a l’égalité ( ∗ ) [ H ♮ J ′ ,ω , H J ′ ] ∩ H ♮ J = [ H ♮ J ,ω , H J ] . D’ailleurs cette égalité est contenue dans le théorème ci–dessus. Par conséquent si le théorèmeci–dessus est vrai, l’espace H ( G ♮ , ω ) est la limite inductive des sous–espaces H J ( G ♮ , ω ) pour J ∈ J G ♮ ,ω ( G ♮ ) , et par passage aux limites inductives on en déduit théorème de 3.1. Remarque . — Nous n’en aurons pas besoin par la suite, mais signalons quand même quela réciproque est vraie aussi : le théorème de 3.1 implique le théorème ci–dessus. En effetd’après 2.20, pour J ∈ J G ♮ ,ω ( G ) , on a la décomposition en produit de catégories abéliennes R ( G ♮ , ω ) = R J ( G ♮ , ω ) × R ⊥ J G ♮ , ω ) , où R ⊥ J ( G ♮ , ω ) est la sous–catégorie pleine de R ( G ♮ , ω ) engendrée par les ω –représentations Π ⊥ J de G ♮ pour Π parcourant les objets de R ( G ♮ , ω ) . D’où la décomposition F ( G ♮ , ω ) = F J ( G ♮ , ω ) ⊕ F ⊥ J ( G ♮ , ω ) , où F ⊥ J ( G ♮ , ω ) est le sous–espace vectoriel de F ( G ♮ , ω ) formé des éléments Φ tels que Φ(Π) = 0 pour tout Π ∈ Irr C ( G ♮ , ω ) tel que Π J = 0 . On verra en [ HL ] que l’espace vectoriel H ( G ♮ , ω ) admet lui aussi une décomposition H ( G ♮ , ω ) = H J ( G ♮ , ω ) ⊕ H ⊥ J ( G ♮ , ω ) qui, par définition, vérifie Θ Π | H J ( G ♮ ,ω ) = 0 pour tout Π ∈ Irr C ( G ♮ , ω ) tel que Π J = 0 . On endéduit que si le théorème de 3.1 est vrai alors le théorème ci–dessus l’est aussi. (cid:4)
4. Réduction à la partie « discrète » de la théorie4.1. Le « lemme géométrique ». —
Rappelons que l’on a posé W G = N G ( A ◦ ) /M ◦ .Pour chaque w ∈ W G , on fixe un représentant n w de w dans N G ( A ◦ ) . De la même manière,pour P ∈ P ( G ) , on pose W M P = N M P ( A ◦ ) /M ◦ ⊂ W G . Pour
P, Q ∈ P ( G ) , on pose W G ( P, Q ) = { w ∈ W G : w ( M P ) = M Q } A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU et W P,QG = { w ∈ W G : w ( M P ∩ P ◦ ) ⊂ P ◦ , w − ( M Q ∩ P ◦ ) ⊂ P ◦ } ; où, pour toute partie X de G normalisée par M ◦ , on a posé w ( X ) = Int G ( n w )( X ) . D’après[ BZ , 2.11], W P,QG est un système de représentants des doubles classes W M Q \ W G /W M P dans W G . Notons que W G ( P, Q ) ∩ W P,QG est un système de représentants des classes de W M Q \ W G ( P, Q ) = W G ( P, Q ) /W M P . Pour w ∈ W P,QG , on pose M P, ¯ w = M P ∩ w − ( M Q ) , M Q,w = w ( M P, ¯ w ) = w ( M P ) ∩ M Q . Ces groupes sont les composantes de Levi standard des sous–groupes paraboliques standard P ¯ w et Q w de G définis par P ¯ w = M P, ¯ w U ◦ , Q w = M Q,w U ◦ . Pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , le F –automorphisme θ = Int G ♮ ( δ ) de G ♮ opère sur W M P . On pose W M ♮P = { w ∈ W M P : θ ( w ) = w } . C’est un sous–groupe de W M P qui ne dépend pas du choix de δ ∈ M ♮ ◦ . D’autre part, pour P ♮ , Q ♮ ∈ P ( G ♮ ) , θ opère sur W G ( P, Q ) et sur W P,QG , et l’on pose W G ♮ ( P, Q ) = { w ∈ W G ( P, Q ) : θ ( w ) = w } , W P,QG ♮ = { w ∈ W P,QG : θ ( w ) = w } . On a donc W G ♮ ( P, Q ) = W G ♮ ∩ W G ( P, Q ) , W P,QG ♮ = W G ♮ ∩ W P,QG , et tout comme W G ♮ , ces groupes ne dépendent pas du choix de δ ∈ M ♮ ◦ . De plus, W P,QG ♮ s’identifie au sous–ensemble [ W M Q \ W G /W M P ] θ de W M Q \ W G /W M P formé des doublesclasses qui sont stabilisées par θ . Pour w ∈ W P,QG ♮ , les groupes P ¯ w et Q w sont θ –stables,donc définissent des sous–espaces paraboliques standard P ¯ w · δ et Q w · δ de G ♮ , notés P ♮ ¯ w et Q ♮w . Leurs composantes de Levi standard, M ♮ P, ¯ w = M P, ¯ w · δ et M ♮ Q,w = M Q,w · δ , vérifient w ( M ♮ P, ¯ w ) = M ♮ Q,w ; où, pour toute partie Y de G ♮ normalisée par M ◦ , on a posé w ( Y ) = n w · Y · n − w . Soit f ( w ) = ω f Q ♮ P ♮ ( w ) : R ( M ♮ P , ω ) → R ( M ♮ Q , ω ) le foncteur défini par f ( w ) = ω i Q ♮ Q ♮w ◦ (Σ → n w Σ) ◦ ω r P ♮ ¯ w P ♮ ; où n w Σ( δ ) = Σ( n − w · δ · n w ) , δ ∈ M ♮ P , ¯ w . Il induit un morphisme C –linéaire f C ( w ) = ω f Q ♮ P ♮ , C ( w ) : G C ( M ♮ P , ω ) → G C ( M ♮ Q , ω ) qui ne dépend pas du choix du représentant n w de w dans N G ( A ◦ ) .Soit aussi h = ω h Q ♮ P ♮ : R ( M ♮ P , ω ) → R ( M ♮ Q , ω ) le foncteur défini par h = ω r Q ♮ G ♮ ◦ ω i G ♮ P ♮ . Il induit un morphisme C –linéaire h C = ω h Q ♮ P ♮ , C : G C ( M ♮ P , ω ) → G C ( M ♮ Q , ω ) . GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Proposition . —
Pour Σ ∈ G C ( M ♮ P , ω ) , on a l’égalité dans G C ( M ♮ Q , ω ) h C (Σ) = X w f C ( w )(Σ) , où w parcourt les éléments de W P,QG ♮ .Démonstration . — Dans le cas non tordu — i.e. pour θ = id et ω = 1 —, on sait d’après[ BZ , 2.12] qu’il existe une filtration h ⊂ h ⊂ · · · ⊂ h k = h du foncteur h = r QG ◦ i GP : R ( M P ) → R ( M Q ) telle que pour i = 1 , . . . , k , le foncteur quotient h i /h i − : R ( M P ) → R ( M Q ) est isomorphe à f ( w i ) = i QQ wi ◦ ( σ → n wi σ ) ◦ r P ¯ wi P pour un w i ∈ W P,QG . Les w i sont deux–à–deux distincts, et W P,QG = { w i : i = 1 , . . . , k } .Précisément, soit w , . . . , w k les éléments de W P,QG ordonnés de telle manière que pour i = 1 , . . . , k − , on ait l ( w i ) ≥ l ( w i +1 ) , où l : W G → Z > désigne la fonction longueur. Alors pour i = 1 , . . . , k , X i = ` ij =1 P n w j Q est ouvert dans G (et Q –invariant à droite). Rappelons que pour une représentation σ de M P ,la représentation π = i GP ( σ ) de G opère par translations à droite sur l’espace des fonctions ϕ : G → V σ vérifiant :– ϕ ( mug ) = δ / P ( m ) σ ( m ) ϕ ( g ) pour m ∈ M P , u ∈ U P , g ∈ G ;– il existe un sous–groupe ouvert compact K ϕ de G tel que ϕ ( gx ) = ϕ ( g ) pour g ∈ G , x ∈ K ϕ .Ici δ P : M P → R > désigne la fonction module habituelle. Pour i = 1 , . . . , k , on note V π ( X i ) le sous–espace ( Q –stable) de V π formé des fonctions ϕ : G → V σ à support dans X i . Ildéfinit une sous–représentation π i de π | Q , dont on peut prendre la restriction de Jacquetnormalisée (d’espace le quotient de V π ( X i ) par le sous–espace engendré par les π i ( u )( v ) − v pour v ∈ V π ( X i ) et u ∈ U Q ) : c’est une représentation de M Q , que l’on note h i ( σ ) . Lafiltration h ⊂ h ⊂ · · · ⊂ h k = h ainsi définie vérifie h i /h i − ≃ f ( w i ) [ BZ , 5.2].Passons au cas tordu. Notons Ω , . . . , Ω s les θ –orbites dans W P,QG . Puisque l ◦ θ = l , onpeut supposer que les éléments de W P,QG ont été ordonnés de telle manière que Ω j = { w i j − +1 , w i j − +2 , . . . , w i j } , j = 1 , . . . , s ( i = 0 , i s = k ) . Soit Σ une ω –représentation de G ♮ , et soit Π = ω i Q ♮ P ♮ (Σ) . Posons σ = Σ ◦ et π = Π ◦ . On a π = i GP ( σ ) , et d’après [ L2 , 2.7], l’action de Π( δ ) sur V π est donnée par Π( δ )( ϕ )( g ) = ω ( θ − ( g ))Σ( δ )( ϕ ( θ − ( g )) , ϕ ∈ V π , g ∈ G. Pour j = 1 , . . . , s , puisque θ ( X i j ) = X i j , le sous–espace V j = V π ( X i j ) de V π est stable sousl’action de Π( δ ) , donc définit une sous– ω –représentation Π j de Π | Q ♮ telle que Π ◦ j = π i j .Comme dans le cas non tordu, on peut prendre la restriction de Jacquet normalisée de Π j (cf. [ L2 , 5.10]) : c’est une ω –représentation de M ♮ Q , que l’on note h j (Σ) . On obtient ainsiune filtration h ⊂ h ⊂ · · · ⊂ h s = h du foncteur h qui vérifie h ◦ j = h i j , j = 1 , . . . , s .Soit j ∈ { , . . . , s } . Notons h j le foncteur quotient h j / h j − : R ( M ♮ P , ω ) → R ( M ♮ Q , ω ) . A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU Posons k j = i j − i j − . C’est le cardinal de Ω j . Pour a = 1 , . . . , k j , posons w j,a = w i j − + a etnotons V j ( a ) le sous–espace de V j formé des fonctions ϕ : G → V σ à support dans X j,a = X i j − a P n w j,a Q. Quitte à réordonner l’orbite Ω j , on peut supposer que w j,a = θ a − ( w j, ) et θ k j ( w j, ) = w j, .L’automorphisme Π j ( δ ) = Π( δ ) | V j de V j permute les V j ( a ) : on a Π j ( δ )( V j ( a )) = V j ( a + 1) , a = 1 , . . . k j − et Π j ( δ )( V j ( k j )) = V j (1) . On distingue deux cas : k j > et k j = 1 . Si k j > , la ω –représentation Π j / Π j − de Q ♮ estdans l’image du foncteur ι k j pour Q ♮ (cf. 2.5), par suite la ω –représentation h j (Σ) de M ♮ Q est dans l’image du foncteur ι k j pour M ♮ Q . Si k j = 1 , i.e. si θ ( w i j ) = w i j , la ω –représentation h j (Σ) de M ♮ Q vérifie h j (Σ) ◦ = h i j ( σ ) /h i j − ( σ ) ≃ f ( w i j )( σ ) = f ( w i j )(Σ) ◦ . L’isomorphisme ci–dessus n’est pas vraiment canonique : il dépend du choix d’une mesurede Haar sur l’espace quotient ( U Q ∩ w ( P )) \ U Q , où l’on a posé w = w i j . Fixons une tellemesure, disons d ¯ u . Notons α : V σ → r P ¯ w P ( V σ ) la projection canonique, et β : V π ij → V f ( w )( σ ) l’opérateur défini par β ( ϕ )( m Q ) = δ / Q ( m ) Z U Q ∩ w ( P ) \ U Q α ( ϕ ( n − w um Q n w )) d ¯ u, m Q ∈ M Q . D’après [ BZ , 5.5], β induit par passage au quotient l’isomorphisme cherché ¯ β : h i j ( σ ) /h i j − ( σ ) → f ( w )( σ ) . Puisque ¯ β commute aux opérateurs h j (Σ)( δ ) et f ( w )(Σ)( δ ) — cf. l’action de Π( δ ) rappeléeplus haut —, c’est un isomorphisme de h j (Σ) sur f ( w )(Σ) . En conclusion, pour Σ ∈ G ( M ♮ P , ω ) , si | Ω j | > on a h j (Σ) ∈ G + ( M ♮ Q , ω ) , et sinon on a l’égalité dans G ( M ♮ Q , ω ) h j (Σ) = f ( w i j )(Σ) . La proposition est démontrée. a P , a PQ , a ∗ P , etc.— Pour P ∈ P ( G ) , on note X ∗ F ( M P ) le groupe descaractères algébriques de M P qui sont définis sur F . On note aussi A P le tore central déployémaximal de M P , et X ∗ ( A P ) = X ∗ F ( A P ) le groupe des caractères algébriques de A P — ils sonttous définis sur F . L’application X ∗ F ( M P ) → X ∗ ( A P ) , χ χ | A P est injective, de conoyaufini, et l’on pose a P = Hom Z (X ∗ F ( M P ) , R ) = Hom Z (X ∗ ( A P ) , R ) . C’est un espace vectoriel sur R , de dimension finie dim A P . L’application H P : M P → a P définie par e h χ,H P ( m ) i = | χ ( m ) | F , m ∈ M P , χ ∈ X ∗ F ( M P ) , a pour noyau M P et pour image un réseau de a P , noté a P,F . Ici | | F désigne la valeur absoluenormalisée sur F . Comme la restriction de H P à A P coïncide avec H A P , on peut aussi poser a A P ,F = H P ( A P ) . C’est encore un réseau de a P , et un sous–groupe d’indice fini de A P,F .Posons a ∗ P = Hom R ( a P , R ) , a ∗ P, C = Hom R ( a P , C ) = a ∗ P ⊗ R C . GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Pour tout sous–groupe fermé Λ de a P , on note Λ ∨ le sous–groupe de a ∗ P défini par Λ ∨ = { ν ∈ a ∗ P : h λ, ν i ∈ π Z , ∀ λ ∈ Λ } . Pour ν ∈ a ∗ P, C , on note ψ ν le caractère non ramifié de M P défini par ψ ν ( m ) = e h H P ( m ) ,ν i . L’application a ∗ P, C /i a ∨ P,F → P ( M P ) , ν ψ ν est un isomorphisme de groupes. Il identifie a ∗ P au groupe des caractères non ramifiés positifs de M P , et i a ∗ P /i a ∨ P,F au groupe des caractères non ramifiés unitaires de M P . On obtient dela même manière un isomorphisme de groupes a ∗ P, C /i a ∨ A P ,F → P ( A P ) , ν χ ν . Le groupe a ∨ P,F est un réseau de a ∗ P et un sous–groupe d’indice fini de a ∨ A P ,F , et la projectioncanonique a ∗ P, C /i a ∨ P,F → a ∗ P, C /i a ∨ A P ,F correspond, via les isomorphismes ν ψ ν et ν χ ν ,à la restriction des caractères de P ( M P ) → P ( A P ) , ψ ψ | A P .Soit P, Q ∈ P ( G ) tels que Q ⊂ P . L’inclusion M Q ⊂ M P induit une application injective(restriction des caractères) X ∗ F ( M P ) → X ∗ F ( M Q ) , et donc aussi une application surjective π PQ : a Q → a P , dont le noyau est noté a PQ . D’autre part l’inclusion A P ⊂ A Q induit une application surjective(restriction des caractères) X( A Q ) → X ∗ ( A P ) , et donc aussi une application injective a P → a Q , qui est une section de π PQ . On obtient les décompositions a Q = a P ⊕ a PQ , a ∗ Q = a ∗ P ⊕ ( a PQ ) ∗ , où l’on a posé ( a PQ ) ∗ = Hom R ( a PQ , R ) .Pour alléger l’écriture, on remplace l’indice P ◦ par un indice ◦ dans toutes les notationsprécédentes. Ainsi pour Q = P ◦ et P = G , on a les décompositions a ◦ = a G ⊕ a G ◦ , a ∗◦ = a ∗ G ⊕ ( a G ◦ ) ∗ . On fixe une forme quadratique ( · , · ) ◦ sur l’espace a ◦ , définie positive et invariante sousl’action du groupe de Weyl W G . Cela munit a ◦ d’une norme, donnée par | ν | = ( ν, ν ) / .Par dualité l’espace a ∗◦ est lui aussi muni d’une norme. Pour P ∈ P ( G ) , la décomposition a ◦ = a P ⊕ a P ◦ est orthogonale, et la forme quadratique ( · , · ) ◦ induit par restriction desformes quadratiques définies positives sur les espaces a P et a P ◦ , notées ( · , · ) P et ( · , · ) P ◦ . Plusgénéralement, pour P, Q ∈ P ( G ) tels que Q ⊂ P , la décomposition a Q = a P ⊕ a PQ estorthogonale, et la forme quadratique ( · , · ) Q induit par restriction une forme quadratiquedéfinie positive sur l’espace a PQ , notée ( · , · ) PQ . Remarque . — Les racines de A ◦ dans Lie( G ) sont des éléments de a ∗◦ , nuls sur a G . Leursrestrictions à a G ◦ forment un système de racine, en général non réduit. L’ensemble des racinessimples relativement au sous–groupe parabolique minimal P ◦ de G , noté ∆ G ◦ , est une basede ( a G ◦ ) ∗ , et l’ensemble des coracines ˇ α pour α ∈ ∆ G ◦ est une base de a G ◦ .Pour P ∈ P ( G ) , on définit de la même manière l’ensemble ∆ P ◦ des racines simples de A ◦ dans Lie( M P ) relativement à P ◦ ∩ M P ; c’est une base de ( a P ◦ ) ∗ . On peut aussi considérerles éléments de ∆ P ◦ comme des formes linéaires sur a ◦ , ce qui fait de ∆ P ◦ un sous–ensemblede ∆ G ◦ . Ainsi a GP est le sous–espace de a G ◦ intersection des noyaux des α ∈ ∆ P ◦ . A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU Pour
P, Q ∈ P ( G ) tels que Q ⊂ P , soit ∆ PQ l’ensemble des restrictions non nulles deséléments de ∆ P ◦ au sous–espace a GQ de a G ◦ . C’est une base de ( a PQ ) ∗ , et a GP est le sous–espacede a GQ intersection des noyaux des α ∈ ∆ PQ . Notons que ∆ PQ n’est en général pas la base d’unsystème de racines. (cid:4) a P ♮ , a P ♮ Q ♮ , b P ♮ , b ∗ P ♮ , etc.— L’automorphisme θ = Int G ♮ ( δ ) de G induitpar restriction un automorphisme de A ◦ , qui ne dépend pas du choix de δ ∈ M ♮ ◦ . D’où unautomorphisme de a ◦ = Hom Z (X ∗ ( A ◦ ) , R ) , déduit de θ | A ◦ par fonctorialité et que l’on noteencore θ , donné par h χ, θ ( u ) i = h χ ◦ θ | A ◦ , u i , u ∈ a ◦ , χ ∈ X ∗ ( A ◦ ) . On note encore θ l’automorphisme de a ∗◦ déduit de θ par dualité : h u, θ ( u ∗ ) i = h θ − ( u ) , u ∗ i , u ∈ a ◦ , u ∗ ∈ a ∗◦ . La décomposition a ◦ = a G ⊕ a G ◦ est W G –stable. Elle est aussi θ –stable, et puisque θ induitune permutation de l’ensemble fini ∆ G ◦ (cf. la remarque de 4.2), il induit un automorphismed’ordre fini de l’espace a G ◦ . On peut donc supposer — i.e. on suppose ! — que la formequadratique définie positive W G –invariante ( · , · ) G ◦ sur a G ◦ , est aussi θ –invariante. Remarque 1 . — Il n’est en général pas possible de choisir la forme quadratique définiepositive W G –invariante ( · , · ) sur a ◦ de telle manière qu’elle soit θ –invariante. C’est possiblepar exemple si la restriction de θ au centre Z ( G ) de G est d’ordre fini.Une hypothèse moins restrictive consiste à supposer que l’application naturelle a θG → a G,θ est un isomorphisme, où a θG ⊂ a G désigne le sous–espace vectoriel des vecteurs θ –invariants,et a G,θ l’espace vectoriel des coinvariants de a G sous θ , c’est–à–dire le quotient de a G par lesous–espace vectoriel engendré par les u − θ ( u ) , u ∈ a G . En ce cas le sous–espace vectoriel ( a ∗ G ) θ ⊂ a ∗ G s’identifie au dual ( a θG ) ∗ = Hom R ( a θG , R ) de a θG . (cid:4) Pour P ∈ P ( G ♮ ) , les décompositions a ◦ = a P ⊕ a P ◦ , a P = a G ⊕ a GP , sont θ –stables. Soit a P ♮ = a θP le sous–espace vectoriel de a P formé des vecteurs θ –invariants.Il coïncide avec Hom Z (X ∗ ( A P ♮ ) , R ) où A P ♮ est le plus grand tore déployé du centre Z ( M ♮ P ) de M ♮ P — c’est un sous–tore de A P , et l’inclusion a P ♮ ⊂ a P est donnée par la restriction descaractères X ∗ ( A P ) → X ∗ ( A P ♮ ). On note :– a G ♮ P ♮ = ( a GP ) θ le sous–espace vectoriel de a GP formé des vecteurs θ –invariants ;– ˜ a G ♮ G le sous–espace vectoriel de a G engendré par les u − θ ( u ) , u ∈ a G ;– b G ♮ = a G,θ l’espace vectoriel a G / ˜ a G ♮ G des coinvariants de a G sous θ ;– b P ♮ l’espace vectoriel produit b G ♮ × a G ♮ P ♮ .L’espace dual b ∗ G ♮ = Hom R ( b G ♮ , R ) coïncide avec le sous–espace vectoriel ( a ∗ G ) θ de a ∗ G formédes vecteurs θ –invariants. D’autre part, comme la forme quadratique ( · , · ) GP sur a GP est θ –invariante, l’orthogonal de a G ♮ P ♮ dans a GP coïncide avec le sous–espace vectoriel de a GP engendrépar les u − θ ( u ) , u ∈ a GP . On en déduit que l’espace dual ( a G ♮ P ♮ ) ∗ = Hom R ( a G ♮ P ♮ , R ) coïncideavec le sous–espace vectoriel ( a GP ) ∗ ,θ = (( a GP ) ∗ ) θ de ( a GP ) ∗ formé des vecteurs θ –invariants. Parsuite l’espace dual b ∗ P ♮ = Hom R ( b P ♮ , R ) coïncide avec le sous–espace ( a ∗ P ) θ = ( a ∗ G ) θ ⊕ ( a GP ) ∗ ,θ de a ∗ P . On note π P ♮ P : a P → b P ♮ GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE la projection naturelle, produit de la projection canonique a G → b G ♮ et de la projectionorthogonale a GP → a G ♮ P ♮ . Enfin comme plus haut, on pose b ∗ P ♮ , C = Hom R ( b P ♮ , C ) = b ∗ P ♮ ⊗ R C . Pour
P, Q ∈ P ( G ♮ ) tels que Q ⊂ P , on définit de la même manière l’espace a P ♮ Q ♮ = ( a PQ ) θ .On a les décompositions b Q ♮ = b P ♮ ⊕ a P ♮ Q ♮ , b ∗ Q ♮ = b ∗ P ♮ ⊕ ( a P ♮ Q ♮ ) ∗ , où l’on a posé ( a P ♮ Q ♮ ) ∗ = Hom R ( a P ♮ Q ♮ , R ) . Soit π P ♮ Q : a Q → b P ♮ la projection naturelle, donnée par π P ♮ Q = π P ♮ P ◦ π PQ . Notant π P ♮ Q ♮ : b Q ♮ → b P ♮ la projection orthogonale, on a l’égalité π P ♮ Q = π P ♮ Q ♮ ◦ π Q ♮ Q . Remarque 2 . — Soit ˜ a P ♮ P le sous–espace de a P engendré par les u − θ ( u ) , u ∈ a P , et ˜ a P ♮ son orthogonal dans a P . Soit aussi a P ♮ P l’orthogonal de a P ♮ dans a P . Les espaces ˜ a P ♮ et a P ♮ P nesont en général pas θ –stables. Ils le sont par exemple si la forme quadratique ( · , · ) ◦ sur a ◦ est θ –invariante, c’est–à–dire si la forme quadratique ( · , · ) G sur a G est θ –invariante, auquel cason a les égalités ˜ a P ♮ = a P ♮ et a P ♮ P = ˜ a P ♮ P , et la décomposition θ –invariante a P = a P ♮ ⊕ a P ♮ P .En ce cas b P ♮ = a P ♮ , et π P ♮ P : a P → a P ♮ est la projection orthogonale. (cid:4) Pour P ∈ P ( G ♮ ) , l’application a ∗ P → P ( M P ) , ν ψ ν est θ –équivariante. Elle identifie b ∗ P ♮ au groupe des caractères non ramifiés positifs de M ♮ P . Pour tout sous–groupe fermé Λ de b P ♮ , on note Λ ∨ le sous–groupe de b ∗ P ♮ défini comme plus haut en remplaçant la paire ( a P , a ∗ P ) par la paire ( b P ♮ , b ∗ P ♮ ) . Soit b P ♮ ,F l’image de a P,F par l’application π P ♮ P : a P → b P ♮ .On a l’égalité b ∨ P ♮ ,F = a ∨ P,F ∩ b ∗ P ♮ , et l’application ν ψ ν induit par restriction un morphisme injectif b ∗ P ♮ , C /i b ∨ P ♮ ,F → P ( M ♮ P ) . L’image de ce morphisme est un sous–tore (algébrique, complexe) de P ( M ♮ P ) , de dimensioncelle de P ( M ♮ P ) . Ce tore est la composante neutre P ( M ♮ P ) de P ( M ♮ P ) , et le morphisme ν ψ ν identifie b ∗ P ♮ (resp. i b ∗ P ♮ /i b ∨ P ♮ ,F ) au sous–groupe de P ( M ♮ P ) formé des caractèrespositifs (resp. unitaires). Soit aussi b A P♮ ,F l’image de H P ( A P ♮ ( F )) par l’application π P ♮ P .L’application ν χ ν induit par restriction un isomorphisme de groupes b ∗ P ♮ , C /i b ∨ A P ♮ ,F → P ( A P ♮ ) , P ( A P ♮ ) = Hom( A P ♮ /A P ♮ , C × ) . Comme en 4.2, la projection canonique b ∗ P ♮ , C /i b ∨ P ♮ ,F → b ∗ P ♮ , C /i b ∨ A P ♮ ,F correspond, via lesisomorphismes ν ψ ν et ν χ ν , à la restriction des caractères P ( M ♮ P ) → P ( A P ♮ ) . A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU Remarque 3 . — Posons A ♮ P = A P · δ . C’est un sous–espace tordu de M ♮ P (isomorphe à A ♮ P · δ pour tout δ ∈ M ♮ P ), et le groupe P ( A ♮ P ) des caractères non ramifiés de A ♮ P est pardéfinition le sous–groupe de P ( A P ) formé des éléments θ –invariants. Notons b A ♮P ,F l’imagede a A P ,F par l’application π P ♮ P . C’est un réseau de a P ♮ qui vérifie la double inclusion b A P♮ ,F ⊂ b A ♮P ,F ⊂ b P ♮ ,F . La restriction des caractères P ( M ♮ P ) → P ( A ♮ P ) est un morphisme de variétés algébriques,de noyau et de conoyau finis. D’après ce qui précède, il induit un morphisme surjectif P ( M ♮ P ) → P ( A ♮ P ) de noyau isomorphe au groupe (fini) i b ∨ A ♮P ,F /i b ∨ P ♮ ,F . (cid:4) Notation . — Pour P ∈ P ( G ) , on pose d ( M P ) = dim P ( M P ) (= dim R a P ) , et pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , on pose d ( M ♮ P ) = dim P ( M ♮ P ) (= dim P ( M ♮ P ) = dim R b P ♮ )) . ω T P ♮ , C . — Pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , on note ω T P ♮ le foncteur ω i G ♮ P ♮ ◦ ω r P ♮ G ♮ : R ( G ♮ , ω ) → R ( G ♮ , ω ) . Il induit un morphisme de C –espaces vectoriels ω T P ♮ , C : G C ( G ♮ , ω ) → G C ( G ♮ , ω ) . On note G C , ind ( G ♮ , ω ) le sous–espace de G C ( G ♮ , ω ) engendré par les ω i G ♮ P ♮ ( G C ( M ♮ P , ω )) pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , P ♮ = G ♮ , et l’on pose G dis C ( G ♮ , ω ) = G C ( G ♮ , ω ) / G C , ind ( G ♮ , ω ) . On définit comme dans le cas non tordu une filtration décroissante { G C ,i ( G ♮ , ω ) } de G C ( G ♮ , ω ) : pour chaque entier i ≥ − , on pose G C ,i ( G ♮ , C ) = X P ♮ , d ( M P ) >i ω i G ♮ P ♮ ( G C ( M ♮ P , ω )) , où P ♮ parcourt les éléments de P ( G ♮ ) . On a donc G C ,i ( G ♮ , ω ) = G ( G ♮ , ω ) , i < d ( G ) , G C ,i ( G ♮ , ω ) = 0 , i ≥ d ( M ◦ ) , et G C ,d ( G ) ( G ♮ , ω ) = G C , ind ( G ♮ , ω ) . Proposition . —
Soit d un entier tel que d ( G ) ≤ d < d ( M ◦ ) . Il existe une famille denombres rationnels λ d = { λ d ( P ♮ ) : P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , d ( M P ) > d } telle que le C –endomorphisme A d = A λ d de G C ( G ♮ , ω ) défini par A d = id + X P ♮ , d ( M P ) >d λ d ( P ♮ ) ω T P ♮ , C vérifie les propriétés : ker A d = G C ,d ( G ♮ , ω ) , A d ◦ A d = A d . Démonstration . — Elle nécessite d’établir quelques lemmes. Le lemme 1 étend au cas tordula propriété d’invariance du morphisme induction parabolique sous l’action de W G parconjugaison [ BDK , lemma 5.4]. Le lemme 2 est la variante tordue de [
BDK , cor. 5.4]. GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Lemme 1 . —
Soit P ♮ , Q ♮ ∈ P ( G ♮ ) . Supposons que M ♮ Q = w ( M ♮ P ) (= n w · M ♮ P · n − w ) pourun w ∈ W G ♮ . Pour Σ ∈ G C ( M ♮ P , ω ) , on a l’égalité dans G C ( G ♮ , ω ) ω i G ♮ Q ♮ ( w Σ) = ω i G ♮ P ♮ (Σ) . Démonstration . — Par transport de structures, on a l’égalité ω i G ♮ w ( P ♮ ) , C ( w Σ) = ω i G ♮ P ♮ , C (Σ) , où ω i G ♮ ω ( P ♮ ) , C est le morphisme induction parabolique normalisé de M ♮ Q à G ♮ par rapport ausous–espace parabolique (non standard) w ( P ♮ ) = M ♮ Q · U w ( P ) de G ♮ . Rappelons que l’indice C indique que l’on est dans G C , cf. 2.10. Il s’agit de voir que l’on peut remplacer w ( P ♮ ) par w ( M ♮ P ) · U ◦ = Q ♮ .La double classe W M Q wW M P = W M Q w = wW M P est θ –stable. Quitte à remplacer w parun élément de W M Q w , on peut supposer que w ∈ W P,QG ♮ . Alors w ( M P ∩ P ◦ ) = M Q ∩ P ◦ , et pourtout sous–groupe parabolique standard R ′ de M P , w ( R ′ ) est un sous–groupe paraboliquestandard de M Q . On en déduit que pour R ♮ ∈ P ( G ♮ ) tel que R ♮ ⊂ P ♮ , w ( R ♮ ∩ M ♮ P ) est unsous–espace parabolique standard de M ♮ Q de composante de Levi standard ω ( M ♮ R ) .D’après le lemme 1 de 2.13, on peut supposer que Σ = ω i P ♮ R ♮ , C (Ξ ′ Σ ′ ) pour un R ∈ P ( G ♮ ) telque R ♮ ⊂ P ♮ , une ω u –représentation Σ ′ ∈ Irr C , t ( M ♮ R , ω u ) et un caractère Ξ ′ ∈ P C ( M ♮ R , | ω | ) tel que Ξ ′◦ est positif par rapport à U R ∩ M P . Par transitivité du morphisme inductionparabolique, on a l’égalité ω i G ♮ P ♮ , C (Σ) = ω i G ♮ R ♮ , C (Ξ ′ Σ ′ ) et (d’après ce qui précède) ω i G ♮ Q ♮ , C ( w Σ) = ω i G ♮ w ( R ♮ ∩ M ♮P ) · U Q , C ( w (Ξ ′ Σ ′ )) . Quitte à remplacer P ♮ par R ♮ et Σ par Ξ ′ Σ ′ , on peut donc supposer que Σ = Ξ ′ Σ ′ pour une ω u –représentation Σ ′ ∈ Irr C , t ( M ♮ P , ω u ) et un caractère Ξ ′ ∈ P C ( M ♮ P , | ω | ) tel que Ξ ′◦ > .Supposons qu’il existe un sous–ensemble Zariski–dense Ω de la sous–variété irréductible X = { ΨΞ ′ : Ψ ∈ P C ( M ♮ P ) } de P C ( M ♮ P , | ω | ) tel que pour tout Ψ ∈ Ω , on a l’égalité ω i G ♮ P ♮ , C (ΨΣ ′ ) = ω i G ♮ Q ♮ , C ( w (ΨΣ ′ )) . Pour φ ∈ H ♮ , les fonctions Ψ Φ φ ( ω i G ♮ P ♮ (ΨΣ ′ )) et Ψ Φ φ ( ω i G ♮ Q ♮ ( w (ΨΣ ′ ))) sur P C ( M ♮ P , | ω | ) sont régulières (2.21), d’où l’égalité Φ φ ( ω i G ♮ P ♮ , C (Σ)) = Φ φ ( ω i G ♮ Q ♮ , C ( w Σ)) . Enfin la propriété d’indépendance linéaire des caractères–distributions des ω –représentations G –irréductibles de G ♮ [ L2 , 8.5, prop.] implique l’égalité ω i G ♮ P ♮ , C (Σ) = ω i G ♮ Q ♮ , C ( w Σ) . Reste à prouver l’existence de Ω . Pour ν ∈ b ∗ P ♮ , C , notons Ψ ν l’élément de P C ( M ♮ P ) définipar Ψ ν = ψ δ ν (4.3, et remarque 2 de 2.11) ; on a donc Ψ ◦ ν = ψ ν et ψ ν | A P♮ = χ ν . Soit Σ ′ une ω u –représentation M P –irréductible de M ♮ P dans la classe d’isomorphisme Σ ′ . Puisque Σ ′ estunitaire (2.12, définition), son caractère central (cf. 2.8, remarque 3) l’est aussi. Choisissonsune uniformisante ̟ de F , et posons A ̟P ♮ = Hom(X ∗ ( A P ♮ ) , h ̟ i ) . Via la décomposition A P ♮ = A P ♮ × A ̟P ♮ , la restriction à A ̟P ♮ du caractère central de Σ ′ définit un caractère nonramifié unitaire de A P ♮ (cf. 2.11, exemple), i.e. de la forme χ iµ pour un élément µ ∈ b ∗ P ♮ .Posons Σ ′ = Ψ − iµ · Σ ′ . C’est une ω u –représentation M P –irréductible tempérée de M ♮ P , declasse d’isomorphisme Σ ′ = Ψ − iµ Σ ′ . D’autre part, le caractère ω est trivial sur le centre A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU Z ( M ♮ P ) de M ♮ P , par conséquent la restriction de Ξ ′◦ au tore A P ♮ est un caractère non ramifiépositif de A P ♮ , i.e. de la forme χ η pour un élément η ∈ b ∗ P ♮ (cf. 4.3). Posons Ξ ′ = Ψ − η · Ξ ′ .C’est un élément de X vérifiant Ξ ′ ( δ ) = Ξ ′ ( δ ) et Ξ ′ | A P♮ = 1 . En particulier, Ξ ′ se relèveen un élément e Ξ ′ ∈ P C ( G ♮ , | ω | ) . Posons Σ = Ξ ′ · Σ ′ . C’est une ω –représentation M P –irréductible de M ♮ P , de classe d’isomorphisme Σ = Ξ ′ Σ ′ . Pour ν ∈ b ∗ P ♮ , C , d’après le lemmede 2.10 (réciprocité de Frobenius), on a isomorphisme naturel ( ∗ ) Hom G ♮ ( ω i G ♮ P ♮ (Ψ ν · Σ ) , ω i G ♮ Q ♮ ( n w (Ψ ν · Σ )) ≃ Hom M ♮Q ( h (Ψ ν · Σ ) , n w (Ψ ν · Σ )); où h désigne le foncteur ω r Q ♮ G ♮ ◦ ω i G ♮ P ♮ . D’après le lemme géométrique (4.1, proposition), l’image h C (Ψ ν Σ ) de h (Ψ ν · Σ ) dans G C ( M ♮ Q , ω ) est donnée par ( ∗∗ ) h C (Ψ ν Σ ) = X s f C ( s )(Ψ ν Σ ) , où s parcourt les éléments de W P,QG ♮ . Pour s ∈ W P,QG ♮ , l’élément f C ( s )(Ψ ν Σ ) de G C ( M ♮ Q , ω ) a un caractère central, et la restriction à A ̟Q ♮ (= w ( A ̟P ♮ )) de ce caractère, identifiée commeplus haut à un caractère non ramifié de A Q ♮ via la décomposition A Q ♮ = A ̟Q ♮ × A Q ♮ , estdonnée par la projection orthogonale (cf. 4.3) de s ( ν ) ∈ s ( b ∗ P ♮ ¯ s , C ) = b ∗ Q ♮s , C sur b ∗ Q ♮ , C . De lamême manière, la restriction à A ̟Q ♮ du caractère central de w (Ψ ν Σ ) est donnée par w ( ν ) .Comme s et w opèrent isométriquement sur les espaces en question, on en déduit que pour ν générique, seul l’élément s = w dans la somme ( ∗∗ ) peut donner une contribution non trivialeà l’espace Hom de droite dans l’isomorphisme ( ∗ ) , et comme n w (Ψ ν · Σ ) est un quotient de h (Ψ ν · Σ ) — cf. la démonstration de la proposition de 4.1 —, il en donne effectivement une.On obtient que pour ν ∈ b ∗ P ♮ , C générique, on a dim C Hom M ♮Q ( ω i G ♮ P ♮ , C (Ψ ν · Σ ) , ω i G ♮ Q ♮ , C ( n w (Ψ ν · Σ )) = 1 . Le même raisonnement entraîne que pour ν ∈ b ∗ P ♮ , C générique, on a dim C End M ♮P ( ω i G ♮ P ♮ , C (Ψ ν · Σ )) = 1 et dim C End M ♮Q ( ω i G ♮ Q ♮ , C ( w (Ψ ν · Σ ))) = 1 D’après le raisonnement ci–dessus, on peut remplacer la condition « ν ∈ b ∗ P ♮ , C générique »par « ν = iµ , µ ∈ b ∗ P ♮ générique ». Pour ν ∈ b ∗ P ♮ , C , on a ω i G ♮ P ♮ (Ψ ν · Σ ) = e Ξ ′ · ω i G ♮ P ♮ (Ψ ν · Σ ′ ) . Pour µ ∈ b ∗ P ♮ , la représentation ω i G ♮ P ♮ (Ψ iµ · Σ ′ ) ◦ = i GP ( ψ iµ ( Σ ′ ) ◦ ) de G est unitaire et doncsemisimple, par suite la ω –représentation ω i G ♮ P ♮ (Ψ iµ · Σ ) de G ♮ est elle aussi semisimple (c’est–à–dire somme directe de ω –représentations irréductibles de G ♮ ). De même, toujours pour µ ∈ b ∗ P ♮ , la ω –représentation ω i G ♮ Q ♮ ( n w (Ψ iµ · Σ )) de G ♮ est semisimple. Par suite pour µ ∈ b ∗ P ♮ générique, les éléments ω i G ♮ P ♮ , C (Ψ iµ Σ ) et ω i G ♮ P ♮ , C ( w (Ψ iµ Σ )) de G C ( G ♮ , ω ) appartiennent à Irr C ( G ♮ , ω ) , et sont égaux.Pour µ ∈ b ∗ P ♮ , on a Ψ iµ Σ = Ψ − η + i ( µ − µ ) Ξ ′ Σ ′ . On conclut en remarquant que Ω = { λ Ψ − η + i ( µ − µ ) Ξ ′ : µ ∈ b ∗ P ♮ générique, λ ∈ C × } est un sous–ensemble Zariski–dense de X . GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Lemme 2 . —
Soit P ♮ , Q ♮ ∈ P ( G ♮ ) . (1) Pour Σ ∈ G C ( G ♮ , ω ) , on a l’égalité dans G C ( G ♮ , ω ) ω T Q ♮ , C ◦ ω i G ♮ P ♮ (Σ) = X w ω i G ♮ P ♮ ¯ w ◦ ω r P ♮ ¯ w P ♮ (Σ) , où w parcourt les éléments de W P,QG ♮ . (2) Pour Π ∈ G C ( G ♮ , ω ) , on a l’égalité dans G C ( G ♮ , ω ) ω T Q ♮ , C ◦ ω T P ♮ , C (Π) = X w ω T P ♮ ¯ w , C (Π) , où w parcourt les éléments de W P,QG ♮ .Démonstration . — Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté possible, pour w ∈ W G ♮ , on note « w »le foncteur « Σ → n w Σ ». D’après la proposition de 4.1, on a l’égalité dans G C ( G ♮ , ω ) ω T Q ♮ , C ◦ ω i G ♮ P ♮ (Σ) = X w ω i G ♮ Q ♮ ◦ ω i Q ♮ Q ♮w ◦ w ◦ ω r P ♮ ¯ w P ♮ (Σ) , où w parcourt les éléments de W P,QG ♮ . D’après le lemme 1, pour w ∈ W P ♮ ,Q ♮ , on a l’égalitédans G C ( M ♮ Q , ω ) ω i Q ♮ Q ♮w ◦ w ◦ ω r P ♮ ¯ w P ♮ (Σ) = ω i Q ♮ P ♮ ¯ w ◦ ω r P ♮ ¯ w P ♮ (Σ) . D’où le point (1), par transitivité du morphisme induction parabolique.Quant au point (2), par transitivité du morphisme restriction de Jacquet, d’après laproposition de 4.1, on a l’égalité dans G C ( M ♮ Q , ω ) ω r Q ♮ G ♮ ◦ ω T P ♮ , C (Π) = X w ω i Q♮Q♮w ◦ w ◦ ω r P ♮ ¯ w G ♮ (Π) , où w parcourt les éléments de W P,QG ♮ . On obtient le point (2) en appliquant le morphisme ω i G ♮ Q ♮ à cette expression (grâce au lemme 1, et par transitivité du morphisme inductionparabolique).On peut maintenant démontrer la proposition. Pour alléger l’écriture, on pose G C ,i = G C ,i ( G ♮ , ω ) , i ≥ − . D’après le point (1) du lemme 2, pour Q ♮ ∈ P ( G ♮ ) , l’opérateur ω T Q ♮ , C préserve la filtration { G C ,i } . Pour P ♮ , Q ♮ ∈ P ( G ♮ ) , puisque W G ( P, Q ) ∩ W P,QG est un système de représentants desclasses de W M Q \ W G ( P, Q ) = W G ( P, Q ) /W M P , l’ensemble W G ♮ ( P, Q ) ∩ W P,QG ♮ paramétrise le sous–ensemble [ W M Q \ W G ( P, Q )] θ ⊂ W M Q \ W G ( P, Q ) formé des classes θ –invariantes, et s’il est non vide alors il est de cardinal p Q ♮ = | [ W M Q \ W G ( Q, Q )] θ | . D’après loc. cit. et le lemme 1, on en déduit que pour et Σ ∈ G C ( M ♮ P , ω ) , on a ω T Q ♮ , C ◦ ω i G ♮ P ♮ (Σ) ≡ ( p Q ♮ ω i G ♮ P ♮ (Σ) (mod G C ,d ( M Q ) ) si W G ♮ ( P, Q ) ∩ W P,QG ♮ = ∅ G C ,d ( M Q ) ) sinon . A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU Pour k > d , choisissons un ordre { P ♮k, , . . . , P ♮k,n ( k ) } sur l’ensemble des P ♮ ∈ P ( G ♮ ) telsque d ( M P ) = k , et notons U k : G C ( G ♮ , ω ) → G C ( G ♮ , ω ) le morphisme défini par U k = ( T k,n ( k ) − p k,n ( k ) ) ◦ · · · ◦ ( T k, − p k, ); où l’on a posé T k,i = ω T P ♮k,i , C , p k,i = p P ♮k,i . D’après ce qui précède, l’opérateur U k préserve la filtration { G C ,i } et annule G C ,k − / G C ,k .Posons A ′ d = U d ( M ◦ ) ◦ · · · ◦ U d +1 . On a A ′ d ( G C ,d ) ⊂ G C ,d ( M ◦ ) = 0 , et d’après le point (2) du lemme 2, il existe un µ ∈ Z r { } et des λ d ( P ♮ ) ∈ Q pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , d ( M ♮ P ) > d , tels que A ′ d = µ (id + X P ♮ , d ( M P ) >d λ d ( P ♮ ) ω T P ♮ , C ) . L’opérateur A d = µ − A ′ d : G C ( G ♮ , ω ) → G C ( G ♮ , ω ) vérifiant A d (Π) ≡ Π (mod G C ,d ( G ♮ , ω )) , on a bien ker A d = G C ,d ( G ♮ , ω ) , A d ◦ A d = A d . Cela achève la démonstration de la proposition.
Variante . — On peut définir une autre filtration décroisssante { G C ( G ♮ , ω ) i } de G C ( G ♮ , ω ) ,en remplaçant la condition d ( M P ) > i par la condition d ( M ♮ P ) > i : pour chaque entier i ≥ − , on pose G C ( G ♮ , C ) i = X P ♮ , d ( M ♮P ) >i ω i G ♮ P ♮ ( G C ( M ♮ P , ω )) , où P ♮ parcourt les éléments de P ( G ♮ ) . On a donc G C ( G ♮ , ω ) i = G ( G ♮ , ω ) , i < d ( G ♮ ) , G C ( G ♮ , ω ) i = 0 , i ≥ d ( M ♮ ◦ ) . On peut aussi, grâce au lemme 2, établir la variante suivante de la proposition :
Soit d ′ un entier tel que d ( G ♮ ) ≤ d ′ < d ( M ♮ ◦ ) . Il existe une famille de nombres rationnels µ d ′ = { µ d ′ ( P ♮ ) : P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , d ( M ♮ P ) > d ′ } telle que le C –endomorphisme B d ′ = B µ d ′ de G C ( G ♮ , ω ) défini par B d ′ = id + X P ♮ , d ( M ♮P ) >d µ d ′ ( P ♮ ) ω T P ♮ , C vérifie les propriétés : ker B d ′ = G C ( G ♮ , ω ) d ′ , B d ′ ◦ B d ′ = B d ′ . (cid:4) GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE Z ( G ) et de P C ( G ♮ ) .— Commençons par quelques rappels sur le« centre ». Pour
P, Q ∈ P ( G ) tels que Q ⊂ P , l’application naturelle i P,Q : Θ( M Q ) → Θ( M P ) , qui a [ L, ρ ] M Q associe [ L, ρ ] M P , est un morphisme fini de variétés algébriques. Par dualité ilinduit un morphisme d’anneaux i ∗ P,Q : Z ( M P ) → Z ( M Q ) , donné par f i ∗ P,Q ( z ) ( x ) = f z ( i P,Q ( x )) , z ∈ Z ( M P ) , x ∈ Θ( M Q ) . Ce morphisme i ∗ P,Q fait de Z ( M Q ) un Z ( M P ) -module de type fini, et d’après [ BD , 2.13–2.16],on a le Lemme 1 . —
Soit
P, Q ∈ P ( G ) tels que Q ⊂ P . Soit z ∈ Z ( M P ) et t = i ∗ P,Q ( z ) ∈ Z ( M Q ) . (1) Pour toute représentation σ de M Q , l’endomorphisme i PQ ( t ) de i PQ ( σ ) coïncide avec z . (2) Pour toute représentation π de M P , l’endomorphisme r QP ( z ) de r QP ( π ) coïncide avec t . Rappelons (3.1) que l’anneau Z ( G ) = Q s Z s opère sur l’espace G C ( G ♮ , ω ) ∗ : pour z ∈ Z ( G ) et Φ ∈ G C ( G ♮ , ω ) ∗ , z · Φ est l’élément de G C ( G ♮ , ω ) ∗ est donné par ( z · Φ)(Π) = f z ( θ G (Π ◦ ))Φ(Π) , Π ∈ Irr C ( G ♮ , ω ) . D’après le lemme 1, pour P ♮ , Q ♮ ∈ P ( G ♮ ) tels que Q ♮ ⊂ P ♮ , les morphismes ( ω i Q ♮ P ♮ ) ∗ et ( ω r Q ♮ P ♮ ) ∗ sont des morphismes de Z ( M P ) -modules, i.e. on a ( ω i P ♮ Q ♮ ) ∗ ( z · Φ) = i ∗ P,Q ( z ) · ( ω i P ♮ Q ♮ ) ∗ (Φ) , Φ ∈ G C ( M ♮ P , ω ) ∗ , z ∈ Z ( M P ) , et ( ω r Q ♮ P ♮ ) ∗ ( i ∗ P,Q ( z ) · Φ) = z · ( ω r Q ♮ P ♮ ) ∗ (Φ) . On a aussi une action du groupe P C ( G ♮ ) sur l’espace G C ( G ♮ , ω ) ∗ : pour Ψ ∈ P C ( G ♮ ) et Φ ∈ G C ( G ♮ , ω ) ∗ , on pose (ΨΦ)(Π) = Φ(ΨΠ) , Π ∈ Irr C ( G ♮ , ω ) . Lemme 2 . —
On a : (1) Z ( G ) · F ( G ♮ , ω ) = F ( G ♮ , ω ) et P C ( G ♮ ) F ( G ♮ , ω ) = F ( G ♮ , ω ) . (2) Z ( G ) · F tr ( G ♮ , ω ) = F tr ( G ♮ , ω ) et P C ( G ♮ ) F tr ( G ♮ , ω ) = F tr ( G ♮ , ω ) .Démonstration . — Soit P ♮ ∈ P ( G ♮ ) et Φ ∈ G C ( G ♮ , ω ) ∗ . Pour z ∈ Z ( G ) et Σ ∈ Irr C ( M ♮ P , ω ) ,posant t = i ∗ G,P ( z ) ∈ Z ( M P ) , on a ( z · Φ)( ω i G ♮ P ♮ (Σ)) = ( ω i G ♮ P ♮ ) ∗ ( z · Φ)(Σ)= ( t · ( ω i G ♮ P ♮ ) ∗ (Φ))(Σ)= f t ( θ M P (Σ ◦ ))( ω i G ♮ P ♮ ) ∗ (Φ)(Σ) . Supposons que Φ appartient à F ( G ♮ , ω ) . Alors ( ω i G ♮ P ♮ ) ∗ (Φ) appartient à F ( M ♮ P , ω ) , d’aprèsla propriété de transitivité du morphisme induction parabolique. Par suite l’application Ξ ( z · Φ)( ω ι G ♮ P ♮ (ΞΣ)) A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU est une fonction régulière sur P C ( M ♮ P ) . Comme par ailleurs le « support inertiel » de z · Φ — c’est–à–dire l’ensemble des s ∈ B G ♮ ,ω ( G ) tels que θ G ♮ (Π) = s pour un Π ∈ Irr C ( G ♮ , ω ) vérifiant ( z · Φ)(Π) = 0 — est contenu dans celui de Φ , on a l’égalité Z ( G ) · F ( G ♮ , ω ) = F ( G ♮ , ω ) .La seconde égalité du point (1) est claire, puisque pour Ψ ∈ P C ( G ♮ ) on a Ψ ω i G ♮ P ♮ (Σ) = ω i G ♮ P ♮ (Ψ | M ♮P Σ) . Quant au point (2), la première égalité résulte du fait que l’application φ Φ φ estun morphisme de Z ( G ) –module (lemme de 3.1), et la seconde du fait qu’elle est P C ( G ♮ ) –équivariante pour l’action naturelle de P C ( G ♮ ) sur H ♮ (donnée par (Ψ , φ ) Ψ φ ). Pour P ♮ , Q ♮ ∈ P ( G ♮ ) tels que Q ♮ ⊂ P ♮ , le morphisme ω i P ♮ Q ♮ : G C ( M ♮Q , ω ) → G C ( M ♮ P , ω ) induitpar dualité un morphisme C –linéaire ( ω i P ♮ Q ♮ ) ∗ : G ( M ♮ P , ω ) ∗ → G C ( M ♮Q , ω ) ∗ . Précisément, on a ( ω i P ♮ Q ♮ ) ∗ (Φ)(Σ) = Φ( ω i P ♮ Q ♮ (Σ)) , Φ ∈ G C ( M ♮ P , ω ) , Σ ∈ G C ( M ♮Q , ω ) . De la même manière, le morphisme ω r Q ♮ P ♮ : G C ( M ♮ P , ω ) → G C ( M ♮Q , ω ) induit par dualité unmorphisme C –linéaire ( ω r Q ♮ P ♮ ) ∗ : G C ( M ♮Q , ω ) ∗ → G C ( M ♮ P , ω ) ∗ . Proposition . —
Pour P ♮ , Q ♮ ∈ P ( G ♮ ) tels que Q ♮ ⊂ P ♮ , on a : (1) ( ω i P ♮ Q ♮ ) ∗ ( F ( M ♮ P , ω )) ⊂ F ( M ♮Q , ω ) . (2) ( ω r Q ♮ P ♮ ) ∗ ( F tr ( M ♮Q , ω )) ⊂ F tr ( M ♮ P , ω ) .Démonstration . — Le point (1) — déjà utilisé dans la preuve du lemme 2 de 4.5 — résultede la propriété de transitivité du morphisme induction parabolique.Quant au point (2), on procède comme dans [ BDK , 5.3], grâce aux résultats de Casselmanreliant les caractères–distributions aux foncteurs restriction de Jacquet [ C ] (dans le cas tordu,voir aussi [ L2 , 5.10]). On peut supposer P ♮ = G ♮ . Fixons un sous–groupe d’Iwahori I de G ♮ enbonne position par rapport à ( P ◦ , M ◦ ) et tel que θ ( I ) = I , et notons I l’ensemble { I n : n ≥ } des sous–groupes de congruence de I . Pour n ≥ , posons H n ( M ♮ Q ) = H I n ∩ M Q ( M ♮ Q ) . Puisque H ( M ♮ Q ) = S n ≥ H n ( M ♮ Q ) , il suffit de montrer que pour chaque n ≥ , le sous–espace H ⋆n ( M ♮ Q ) de H n ( M ♮ Q ) formé des fonctions φ ′ telles que ( ω r Q ♮ G ♮ ) ∗ (Φ φ ′ ) ∈ F tr ( G ♮ , ω ) , coïncide avec H n ( M ♮ Q ) ; où Φ φ ′ est l’élément de F tr ( M ♮ Q , ω ) défini comme en 2.9 en remplaçant G ♮ par M ♮ Q . Posons M = M Q , U = U Q et U = U Q .Fixons n ≥ , et posons J = I n et J Γ = J ∩ Γ pour tout sous–groupe fermé Γ de G . Pour δ ∈ G ♮ , on note φ Jδ ∈ H J ( G ♮ ) la fonction caractéristique de la double classe J · δ · J diviséepar vol( J · δ · J, dδ ) . Pour δ ∈ M ♮ = M ♮ Q , on définit de la même manière φ J M δ ∈ H J M ( M ♮ ) .Dans le cas non tordu (i.e. si G ♮ = G ), on pose f Jg = φ Jg pour g ∈ G , et f J M m = φ J M m pour m ∈ M . Fixons un élément a ∈ A = A Q tel que Int G ( a ) contracte strictement U , c’est–à–direvérifiant \ k ≥ Int G ( a ) k ( U J ) = { } . GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Soit Π une ω –représentation admissible de G ♮ . Posons V = V Π et π = Π ◦ . L’espace V ( U ) = h π ( u )( v ) − v : v ∈ V, u ∈ U i coïncide avec l’ensemble des v ∈ V tels que R Ω v π ( u )( v ) du = 0 pour un sous–groupe ouvertcompact Ω v de U . Puisque Π est admissible, l’espace V ( U ) ∩ V J est dimension finie, et il existeun sous–groupe ouvert compact Ω de U tel que R Ω π ( u )( v ) du = 0 pour tout v ∈ V ( U ) ∩ V J .Quitte à remplacer Ω par un groupe plus gros, on peut supposer que J U est contenu dans Ω .Soit k ≥ un entier tel que Int G ♮ ( a ) k (Ω) ⊂ J U . Soit Π = δ Q ♮ ω r Q ♮ G ♮ la ω –représentation de M ♮ déduite de Π par passage au quotient sur l’espace V = V /V ( U ) . D’après la proposition3.3 de [ C ], pour tout entier k ≥ k , notant V J,ka le sous–espace π ( f Ja ) k ( V ) de V J , on a :– la projection canonique p : V → V induit par restriction un isomorphisme de C –espacesvectoriels V J,ka → V J M ;– π ( f Ja )( V J,ka ) = V J,ka .D’autre part, pour tout γ ∈ M ♮ tel que Int G ♮ ( γ ) contracte strictement U , d’après la démons-tration du point (1) du lemme 2 de [ L2 , 5.10], on a p (Π( φ Jγ )( v )) = Π( γ )( p ( v )) , v ∈ V J . Pour un tel γ , et pour tout entier k ≥ k , on a φ Ja k · γ = ( f Ja ) ∗ k ∗ φ Jγ , ( f Ja ) ∗ k = f Ja ∗ · · · ∗ f Ja ( k fois) ; de même on a et φ J M a k · γ = ( f J M a ) ∗ k ∗ φ J M γ . Par suite Π( φ Ja k · γ )( V ) ⊂ V J,ka , et puisque p ◦ Π( δ ) = Π( δ ) ◦ p , on a tr(Π( φ Ja k · γ ); V J ) = tr(Π( φ Ja k · γ ); V J,ka )= tr(Π( a k · γ ); V J M ) = tr(Π( φ J M a k · γ ); V J M ) . Posant φ = φ Ja k · γ et φ ′ = φ J M a k · γ , on a ( ω r Q ♮ G ♮ ) ∗ (Φ φ ′ ) = Φ φ , par conséquent φ ′ ∈ H ⋆J M ( M ♮ ) .Pour un δ ∈ M ♮ arbitraire, il existe un entier m ≥ tel que Int G ♮ ( a m · δ ) contractestrictement U , et d’après la discussion précédente, pour tout entier k ≥ k , la fonction φ J M a k + m · δ = ( f J M a ) ∗ ( k + m ) ∗ φ J M δ est dans l’espace H ∗ J M ( M ♮ ) . Puisque les fonctions φ J M δ engendrent le C –espace vectoriel H J M ( M ♮ ) , on obtient que pour toute fonction φ ′ ∈ H J M ( M ♮ ) , il existe un entier l ≥ telque ( f Ja ) ∗ l ∗ φ ′ appartient à H ⋆J M ( M ♮ ) .Rappelons que l’espace H J M ( M ) , vu comme un H J M ( M ) –module non dégénéré pour lamultiplication à gauche, est un Z ( M ) –module de type fini [ BD , cor. 3.4]. D’après 4.5, lemorphisme i ∗ G,Q : Z ( G ) → Z ( M ) en fait un Z ( G ) –module de type fini. Puisque ( ω r Q ♮ G ♮ ) ∗ est un morphisme de Z ( G ) –modules(4.5) et que F tr ( M ♮ , ω ) est un sous– Z ( M ) –module de G C ( M ♮ , ω ) ∗ (lemme 2 de 4.5), H ⋆J M ( M ) est un sous– Z ( G ) –module de H J M ( M ) . Par suite il existe un entier l ≥ tel que ( f Ja ) ∗ l ∗ φ ′ ∈ H ⋆J M ( M ) , φ ′ ∈ H J M ( M ) . Puisque f Ja est inversible dans H J M ( M ) , on obtient le résultat cherché : H ⋆J M ( M ) = H J M ( M ) . Cela achève la démonstration du point (2).
A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU P ♮ ; caractères des induites paraboliques.— On anoté G le sous–groupe de G engendré par les sous–groupes ouverts compacts. Il coïncideavec le sous–groupe \ χ ∈ X ∗ F ( G ) ker | χ | F ⊂ G, où (rappel) X ∗ F ( G ) désigne le groupe des caractères algébriques de G qui sont définis sur F .Soit K ◦ le stabilisateur dans G d’un sommet spécial de l’appartement de l’immeuble (nonétendu) de G associé à A ◦ , C’est un sous–groupe compact maximal spécial de G , en bonneposition rapport à ( P, M P ) pour tout P ∈ P ( G ) : on a G = K ◦ P, P ∩ K ◦ = ( P ∩ M P )( U P ∩ K ◦ ) . Notons qu’on ne suppose pas que θ ( K ◦ ) = K ◦ (d’ailleurs K ◦ n’est en général pas θ –stable,cf. la remarque (3) de [ L2 , 5.2]).Pour φ ∈ H ♮ et P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , on note ω φ P ♮ ,K ◦ ∈ H ( M ♮ P ) le terme constant de φ suivant P ♮ relativement à ( K ◦ , ω ) , défini par [ L2 , 5.9] ω φ P ♮ ,K ◦ ( δ ) = δ / P ♮ ( δ ) Z Z U P × K ◦ ω ( k ) φ ( k − · δ · uk ) du P dk, δ ∈ M ♮ P , où les mesures de Haar dδ , du P , dk sur G ♮ , U P , K ◦ ont été choisies de manière compatible.Précisément, on peut supposer que toutes ces mesures sont celles normalisées par K ◦ , commesuit. Définition . — Soit K un sous–groupe ouvert compact de G . Pour tout sous–groupe ferméunimodulaire H de G , on appelle mesure de Haar sur H normalisée par K l’unique mesurede Haar dh sur H telle que vol( H ∩ K, dh ) = 1 . De même, pour tout sous–espace fermé H ♮ de G ♮ de groupe sous–jacent H unimodulaire, on appelle mesure de Haar sur H ♮ normalisée par K l’image de la mesure de Haar dh sur H normalisée par K par l’isomorphisme topologique H → H ♮ , h h · δ pour un (i.e. pour tout) δ ∈ H ♮ . Hypothèse . —
On suppose désormais que toutes les mesures de Haar utilisées sont cellesnormalisées par K ◦ . On a donc vol( K ◦ · δ , dδ ) = vol( K ◦ , dg ) = vol( K ◦ , dk ) = 1 , et pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) , on a vol( M ♮ P ∩ ( K ◦ · δ ) , dδ M ♮P ) = vol( M P ∩ K ◦ , dm P ) = 1 et vol( U P ∩ K ◦ , du P ) = 1 . Soit P ♮ ∈ P ( G ♮ ) . Pour toute ω –représentation admissible Σ de M ♮ P telle Σ ◦ est admissible,on note Θ Σ la distribution sur M ♮ P définie comme en 2.9 à l’aide de la mesure dδ M ♮P . On ala formule de descente [ L2 , 5.9, théo.] : Proposition . —
Soit P ♮ ∈ P ( G ♮ ) . Soit Σ une ω –représentation de M ♮ P telle que Σ ◦ estadmissible, et soit Π = ω i G ♮ P ♮ (Σ) . Pour toute fonction φ ∈ H ♮ , on a l’égalité Θ Π ( φ ) = Θ Σ ( ω φ P ♮ ,K ◦ ) GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE
Une forme linéaire Φ sur G C ( G ♮ , ω ) est dite « discrète » si elle est nulle sur G C , ind ( G ♮ , ω ) . On note G dis C ( G ♮ , ω ) ∗ l’espacedes formes linéaires discrètes sur G C ( G ♮ , ω ) , et l’on pose F dis ( G ♮ , ω ) = F ( G ♮ , ω ) ∩ G dis C ( G ♮ , ω ) ∗ , F distr ( G ♮ , ω ) = F tr ( G ♮ , ω ) ∩ G dis C ( G ♮ , ω ) ∗ . Une fonction φ ∈ H ♮ est dite « ω –cuspidale » si pour tout P ♮ ∈ P ( G ♮ ) r { G ♮ } , l’image de φ K ◦ ,ωP ♮ ∈ H ( M ♮ P ) dans H ( M ♮ P , ω ) est nulle ; où (rappel) H ( M ♮ P , ω ) = H ( M ♮ P ) / [ H ( M ♮ P ) , H ( M P )] ω . On note H dis ( G ♮ , ω ) le sous–espace de H ( G ♮ , ω ) engendré par les images dans H ( G ♮ , ω ) desfonctions ω –cuspidales. Théorème . —
L’application H ( G ♮ ) → G C ( G ♮ , ω ) ∗ , φ Φ φ induit par restriction unisomorphisme de C –espaces vectoriels H dis ( G ♮ , ω ) → F dis ( G ♮ , ω ) . D’après la proposition de 4.7, la transforméee de Fourier H ♮ → F ( G ♮ , ω ) , φ Φ φ induitbien une application C –linéaire H dis ( G ♮ , ω ) → F dis ( G ♮ , ω ) . Remarque . — Si G = M ◦ , c’est–à–dire si G est compact modulo son centre, alors on a H dis ( G ♮ , ω ) = H ( G ♮ , ω ) et F dis ( G ♮ , ω ) = F ( G ♮ , ω ) ; en ce cas le théorème ci–dessus coïncideavec le théorème principal (3.1). En général, si le théorème de 3.1 est vrai pour tous lessous–espaces tordus M ♮ P , P ♮ ∈ P ( G ♮ ) r { G ♮ } , alors d’après la proposition de 4.7, une fonction φ ∈ H ♮ est ω –cuspidale si et seulement si elle annule toutes les traces des représentations ω i G ♮ P ♮ (Σ) , P ♮ ∈ P ( G ♮ ) r { G ♮ } , Σ ∈ G C ( M ♮ P , ω ) . On en déduit que si le théorème de 3.1 est vraien général — donc en particulier pour tous les espaces tordus M ♮ P , P ♮ ∈ P ( G ♮ ) —, alors lethéorème ci–dessus l’est aussi. (cid:4) Supposonsdémontré le théorème de 4.8 (en général, c’est–à–dire pour tout G ♮ ) et déduisons–en lethéorème de 3.1. D’après la remarque de 4.8, le théorème de 3.1 est vrai pour G ♮ = M ♮ ◦ . Parrécurrence sur la dimension de M P pour P ∈ P ( G ♮ ) , on peut donc supposer que le théorèmede 3.1 est vrai pour tout sous–espace M ♮ P , P ♮ ∈ P ( G ♮ ) r { G ♮ } .Commençons par le théorème de Paley–Wiener, c’est–à–dire la surjectivité de l’application H ♮ → F ( G ♮ , ω ) , φ Φ φ . D’après la proposition de 4.4 pour d = d ( G ) , il existe des nombresrationnels λ ( P ♮ ) pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) r { G ♮ } tels que le C –endomorphisme de G C ( G ♮ , ω ) A d = id + X P ♮ = G ♮ λ ( P ♮ ) ω T P ♮ , C vérifie ker A d = G C , ind ( G ♮ , ω ) , A d ◦ A d = A d . Le morphisme adjoint A ∗ d = id + X P ♮ = G ♮ λ ( P ♮ )( ω r P ♮ G ♮ ) ∗ ◦ ( ω i G ♮ P ♮ ) ∗ A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU envoie G C ( G ♮ , ω ) ∗ dans G dis C ( G ♮ , ω ) ∗ . Soit Φ ∈ F ( G ♮ , ω ) . Posons Φ ′ = A ∗ d (Φ) ∈ G dis C ( G ♮ , ω ) ∗ .Pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) r { G ♮ ) , d’après la proposition de 4.6 et le théorème de Paley–Wiener pour M ♮ P , on a ( ω i G ♮ P ♮ ) ∗ (Φ) ∈ F ( M ♮ P , ω ) = F tr ( M ♮ P , ω ) , Ensuite, d’après le point (2) de la proposition de 4.6, on a ( ω r P ♮ G ♮ ) ∗ ◦ ( ω i G ♮ P ♮ ) ∗ (Φ) ∈ F tr ( G ♮ , ω ) ⊂ F ( G ♮ , ω ) . Par conséquent Φ ′ appartient à G dis C ( G ♮ , ω ) ∗ ∩ F ( G ♮ , ω ) = F dis ( G ♮ , ω ) , et d’après le théorèmede 4.8, il existe une fonction ω –cuspidale φ ′ ∈ H ♮ telle que Φ ′ = Φ φ ′ . D’autre part, on vientde voir qu’il existe une fonction φ ′′ ∈ H ♮ telle que ( ω r P ♮ G ♮ ) ∗ ◦ ( ω i G ♮ P ♮ ) ∗ (Φ) = Φ φ ′′ . On a donc
Φ = Φ φ ′ − Φ φ ′′ = Φ φ ′ − φ ′′ ∈ F tr ( G ♮ , ω ) . Passons au théorème de densité spectrale, c’est–à–dire à l’injectivité de l’application H ♮ω → F ( G ♮ , ω ) , φ Φ φ . Soit φ ∈ H ♮ une fonction telle que Φ φ = 0 . Pour P ♮ ∈ P ( G ♮ ) tel que P ♮ = G ♮ , d’après la proposition de 4.7 et le théorème de densité spectrale pour M ♮ P ,le terme constant φ P ♮ = φ K ◦ ,ωP ♮ appartient au sous–espace [ H ( M ♮ P ) , H ( M P )] ω de H ( M ♮ P ) .Par conséquent la fonction φ est ω –cuspidale, et d’après le théorème de 4.8, elle est dans [ H ♮ , H ] ω , ce qu’il fallait démontrer. Remarque . — D’après ce qui précède, par récurrence sur la dimension de G , la surjectivitéde l’application du théorème de 3.1 est impliquée par la surjectivité de celle du théorèmede 4.8 ; idem pour l’injectivité. Pour démontrer le théorème principal (3.1), il suffit donc dedémontrer sa variante sur la partie discrète (4.8). (cid:4)
5. Le théorème de Paley–Wiener sur la partie discrète
D’après 4.9, le théorème de Paley–Wiener est impliqué par la surjectivité de l’applicationdu théorème de 4.8. C’est cette dernière que l’on établit dans cette section 5.
Une ω –représentation G –irréductible Π de G ♮ est dite « discrète » si son image dans G dis C ( G ♮ , ω ) n’est pas nulle ;où (rappel) G dis C ( G ♮ , ω ) = G C ( G ♮ , ω ) / G C , ind ( G ♮ , ω ) . On note Irr dis0 ( G ♮ , ω ) le sous–ensemblede Irr ( G ♮ , ω ) formé des ω –représentations discrètes. Il s’identifie à un sous–ensemble de Irr C ( G ♮ , ω ) , que l’on note Irr dis C ( G ♮ , ω ) . Lemme . —
Soit Π une ω –représentation G –irréductible discrète de G ♮ . Il existe une ω u -représentation G –irréductible tempérée Π ′ de G ♮ et un élément Ψ de P | ω | C ( G ♮ ) tels que θ G ♮ (Π) = θ G ♮ (Ψ · Π ′ ) .Démonstration . — Soit ( P ♮ , Σ , Ξ) un triplet de Langlands associé à Π . Posons σ = Σ ◦ , ξ = Ξ ◦ , et soit ( M P ′ , σ ′ ) une paire cuspidale standard de G telle que P ′ ⊂ P et ξ · σ est isomorphe à un sous-quotient (irréductible) de l’induite parabolique i PP ′ ( σ ′ ) . D’après ladémonstration du lemme 1 de 2.13, on a une décomposition Π ≡ m X i =1 e Π µ i (mod G > ( G ♮ , ω )) GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE où les µ i sont des triplets de Langlands pour ( G ♮ , ω ) tels que θ G (Π ◦ µ i ) = [ M P ′ , σ ′ ] . Rappelonsque si µ = ( P ♮ , Σ , Ξ) est un triplet de Langlands pour ( G ♮ , ω ) , on a posé e Π µ = ω i G ♮ P ♮ (Ξ · Π) .Puisque Π est discrète, l’un au moins de ces triplets, disons µ i est de la forme ( G ♮ , Π ′ , Ψ) ,et l’on a θ G ♮ (Ψ · Π ′ ) = θ G (Π ◦ µ i ) = θ G ♮ (Π) . Pour s ∈ B ( G ) , on note Θ dis G ♮ ,ω ( s ) le sous–ensemble de Θ G ♮ ,ω ( s ) formé des θ G ♮ (Π) pour un Π ∈ Irr dis0 ( G ♮ , ω ) . Proposition . —
Soit s ∈ B ( G ) . L’ensemble Θ dis G ♮ ,ω ( s ) , s’il est non vide, est union finiede P ( G ♮ ) –orbites.Démonstration . — On reprend la méthode de [ BDK ] en l’adaptant au cas tordu, commele fait Flicker dans [ F ]. Cette méthode consiste à vérifier que Θ dis G ♮ ,ω ( s ) est une partie constructible de Θ( s ) , c’est-à-dire une union finie de parties localement fermés (pour latopologie de Zariski). Admettons pour l’instant ce résultat — il sera démontré en 5.5 —et déduisons–en la proposition.Notons ω + le caractère ω − de G . L’application Π Π + = ˇΠ est une bijection de Irr ( G ♮ , ω ) sur Irr ( G ♮ , ω + ) , vérifiant (Π + ) + = Π . Elle commute au foncteur d’oubli Π Π ◦ :en notant π π + l’involution de Irr( G ) définie de la même manière, on a (Π + ) ◦ = (Π ◦ ) + .De plus, l’involution π π + de Irr( G ) induit par linéarité une involution de G ( G ) , quicommute au morphisme induction parabolique i GP , P ∈ P ( G ) . D’où une involution « + » surla variété algébrique complexe Θ( s ) , qui commute à l’application support cuspidal θ G : si θ G ( π ) = [ M, ρ ] ∈ Θ( s ) pour une paire cuspidale standard ( M, ρ ) de G , on a θ G ( π + ) = [ M, ρ + ] = θ G ( π ) + . On a aussi une involution ψ ψ + sur P ( M ) , donnée par ψ + = ψ − . Les involutions + sur P ( M ) et Θ( s ) sont anti–algébriques, et compatibles : pour [ M, ρ ] ∈ Θ( s ) et ψ ∈ P ( M ) , on a ( ψ · [ M, ρ ]) + = [ M, ( ψρ ) + ] = ψ + · [ M, ρ ] + . Supposons que Θ dis G ♮ ,ω ( s ) est non vide. D’après le lemme de 5.1, tout élément x de Θ dis G ♮ ,ω ( s ) est de la forme x = θ G ( ψ Π ′◦ ) pour une ω u –représentation G –irréductible tempérée Π ′ de G ♮ et un élément ψ de P ( G ♮ ) . Puisque π ′ = Π ′◦ est tempérée, donc en particulier unitaire, ona π ′ + = π ′ et x + = θ G ( ψ + π ′ ) = ψ + ψ − · x appartient à P ( G ♮ ) · x . Ici P ( G ♮ ) (= P ( G ) θ ) opère sur Θ( s ) via la restriction des caractères de G à M . L’involution + sur Θ( s ) induit par passage au quotient une involution anti–algébriquesur la variété algébrique quotient X = Θ( s ) / P ( G ♮ ) , que l’on note encore « + ». D’après lecalcul ci–dessus, cette involution + sur X fixe les points du sous–ensemble Θ dis G ♮ ,ω ( s ) / P ( G ♮ ) .Ce dernier est constructible, donc fini, ce qu’il fallait démontrer. On est donc ramené à vérifier quepour s ∈ B ( G ) , l’ensemble Θ dis G ♮ ,ω ( s ) est une partie constructible de Θ( s ) . Posons Θ = Θ( s ) et Θ ′ = Θ dis G ♮ ,ω ( s ) . Comme dans [ BDK , 5.1], il suffit de montrer que la paire Θ ′ ⊂ Θ satisfaitau critère suivant (loc. cit., p. 187) :(*) Pour toute sous-variété localement fermée X de Θ , il existe un morphisme dominantétale φ : Y → X tel que, notant ( X ∩ Θ ′ ) C le complémentaire de X ∩ Θ ′ dans X ,l’ensemble φ − (( X ∩ Θ ′ ) C ) est vide ou égal à Y tout entier. A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU Définition . — Soit X une variété algébrique affine complexe, d’anneau de fonctionsrégulières B = C [ X ] . Une application ν : X → G ( G ♮ , ω ) est dite régulière si elle est de la forme x Π x pour un ( G ♮ , ω, B ) -module admissible (Π , V ) , où Π x désigne la (semisimplifiée dela) localisation de Π en x — cf. 2.21. Une application régulière ν : X → G ( G ♮ , ω ) est dite irréductible si ν ( X ) ⊂ Irr( G ♮ , ω ) , et G –irréductible si ν ( X ) ⊂ Irr ( G ♮ , ω ) . Deux applicationsrégulières (irréductibles) ν, ν ′ : X → Irr( G ♮ , ω ) sont dites disjointes si ν ( x ) = ν ′ ( x ) pour tout x ∈ X , et elles sont dites C × –disjointes si ν ( x ) = λ · ν ′ ( x ) pour tout x ∈ X et tout λ ∈ C × . Remarque . — Pour chaque x ∈ X , la localisation Π x de Π en x est une ω –représentationde G ♮ de longueur finie, et puisque la représentation Π ◦ x de G sous–jacente est elle aussi delongueur finie, pour tout sous–quotient irréductible Π ′ de Π x , on a s (Π ′ ) < + ∞ . Choisissonsune suite de Jordan-Hölder de Π : x, ⊂ Π x, ⊂ · · · ⊂ Π x,n = Π x . Pour i = 1 , . . . , n , Π x,i est une sous– ω –représentation de Π , et le sous–quotient Π x,i / Π x,i − de Π x est irréductible. La semisimplifiée de Π x est par définition la somme sur i des classesd’isomorphisme des Π x,i / Π x,i − . (cid:4) Le lemme suivant est une variante tordue des constructions de loc. cit. (step 1 – step 2).On aurait pu se contenter de la version non tordue (cf. la proposition de 5.4), mais commeces constructions sont au coeur du raisonnement, et qu’il nous faut de toutes façons lesreprendre en détail, on préfère le faire dans le cadre tordu qui nous intéresse ici.
Lemme . —
Soit ν : X → G ( G ♮ , ω ) une application régulière. Il existe un morphisme domi-nant étale φ : Y → X , des applications régulières µ , . . . , µ m : Y → Irr( G ♮ , ω ) deux–à–deuxdisjointes, et des entiers a , . . . , a m > tels que ν ◦ φ = P mi =1 a i µ i .Démonstration . — Posons B = C [ X ] , et soit (Π , V ) un ( G ♮ , ω, B ) –module admissible tel que ν ( x ) = Π x . Choisissons un sous–groupe ouvert compact J de G tel que V J engendre V comme H –module, i.e. tel que Π ◦ ( G )( V J ) = V . D’après 2.19, on peut supposer que J est« bon », θ ( J ) = J et ω | J . C’est donc un élément de J G ♮ ,ω ( G ) , et J ♮ = J · δ est un élementde J ( G ♮ , ω ) . D’après 2.20, l’étude du ( H ♮ , ω ) –module non dégénéré V se ramène à celle du ( H ♮ J , ω ) –module non dégénéré V J = V J ♮ . En particulier, tout sous–quotient irréductible Π ′ de Π vérifie Π ′ J ♮ = 0 .Quitte à remplacer la variété X par l’une de ses composantes irréductibles, on peut lasupposer irréductible. Soit K = C ( X ) le corps des fractions de B , et soit K une clôturealgébrique de K . Le ( H ♮ J , ω ) –module V J est aussi un B –module de type fini. Par conséquent W = K ⊗ B V J est un K –espace vectoriel de dimension finie, W = K ⊗ K W est un K –espacevectoriel de dimension finie, et il existe une suite de K –espaces vectoriels W ⊂ W ⊂ · · · ⊂ W n = W telle que pour i = 1 , . . . , n :– W i est un sous– ( H ♮ J , ω ) –module de W ;– W i /W i − est un ( H ♮ J , ω ) –module simple sur K .De plus, il existe une sous–extension finie K ′ / K de K / K , un sous– K ′ –espace vectoriel W ′ de W de dimension finie, et une suite de K ′ –espaces vectoriels W ′ ⊂ W ′ ⊂ · · · ⊂ W ′ n = W ′ telle que pour i = 1 , . . . , n :– W ′ i est un sous– ( H ♮ J , ω ) –module de W ′ ; GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE – W i = K ⊗ K ′ W ′ i .Ainsi pour i = 1 , . . . , n , le quotient X ′ i = W ′ i /W ′ i − est un ( H ♮ J , ω ) –module simple sur K ′ .D’après la remarque 2 de 2.8, X ′ i est un H J –module semisimple sur K ′ . Précisément, onchoisit un sous– H J –module simple (sur K ′ ) X ′ i, de X ′ i , et pour chaque entier k ≥ , on note X ′ i,k le sous– H J –module simple de X ′ i défini par X ′ i,k = e J ♮ · X ′ i,k − . Alors il existe un pluspetit entier entier s = s ( i ) ≥ tel que X ′ i = X ′ i, ⊕ X ′ i, ⊕ · · · ⊕ X ′ i,s − . D’après le théorème de Burnside, H J engendre l’espace End K ′ ( X ′ i,k ) sur K ′ .Le corps K ′ est une extension finie séparable de K , par suite il existe une variété algébriqueaffine irréductible Y ′ étale sur X (c’est–à–dire un morphisme dominant étale Y ′ → X ) telleque K ′ = C ( Y ′ ) . Notons B ′ = C [ Y ′ ] l’algèbre affine de Y ′ .Soit i ∈ { , . . . , n } . Choisissons une K ′ –base de X ′ i, , et notons Y ′ i, le sous– B ′ –modulede X ′ i, engendré par cette base. On a donc K ′ ⊗ B ′ Y ′ i, = X ′ i, . Rappelons que H J est une C –algèbre de type fini. Puisque End K ′ ( X ′ i, ) = K ′ ⊗ B ′ End B ′ ( Y ′ i, ) et que H J engendre End K ′ ( X ′ i, ) sur K ′ , il existe un ouvert dense Y i de Y ′ (ce qui revient àinverser certains éléments de B ′ ) tel que, notant B i = C [ Y i ] l’algèbre affine de Y i , on a :– Y i, = B i ⊗ B ′ Y ′ i, est libre (de type fini) sur B i ;– H J ⊂ End B i ( Y i, ) ;– H J engendre End B i ( Y i, ) sur B i .Pour k = 1 , . . . , s ( i ) − , posons Y i,k = e J ♮ · Y i, . C’est un sous– ( H J ⊗ C B i ) –module de X ′ i,k ,qui vérifie K ′ ⊗ B i Y i,k = X ′ i,k . On obtient ainsi un sous– ( H ♮ J , ω ) –module (non dégénéré) Y i = Y i, ⊕ · · · ⊕ Y i,s ( i ) − de X ′ i , qui est aussi un B i –module libre de type fini, tel que H ♮ J engendre End B i ( Y i ) sur B i .Pour y ∈ Y i , le localisé ( Y i, ) y de Y i, en y est un H J –module simple, et le localisé ( Y i ) y de Y i en y est un ( H ♮ J , ω ) –module simple. Notons Π i la ω –représentation de G ♮ d’espace H ∗ e J ⊗ H J Y i correspondant au ( H ♮J , ω ) –module non dégénéré Y i (2.20). C’est un ( G ♮ , ω, B i ) –module admissible tel que pour y ∈ Y i , la localisation Π i,y de Π i en y est irréductible (elleest G –irréductible si et seulement si s ( i ) = 1 ).Notons Y l’intersection des Y i , i = 1 , . . . , n . C’est un ouvert dense de Y ′ , étale sur X .La composition des morphismes Y ′ → X et Y ֒ → Y ′ est un morphisme dominant étale ν : Y → X . Pour y ∈ Y , on a l’égalité dans G ( G ♮ , ω ) : Π ν ( y ) = n X i =1 Π i,y . En regroupant les indices i tels que les fonctions Y → Irr( G ♮ , ω ) , y Π i,x sont égales,l’égalité ci–dessus s’écrit Π ν ( y ) = m X i =1 a i µ i ( y ) pour des applications régulières µ i : Y → Irr( G ♮ , ω ) deux–à–deux distinctes et des entiers a , . . . , a m > . Pour i = j , l’ensemble des y ∈ Y tels que µ i ( y ) = µ j ( y ) est fermé dans Y pour la topologie de Zariski. Quitte à remplacer Y par un ouvert plus petit, on peut supposerles fonctions µ i deux–à–deux disjointes. Cela achève la démonstration du lemme. A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU La définition de 5.3 s’appliquebien sûr au cas non tordu : si X est une variété algébrique affine complexe, d’anneau defonctions régulières B = C [ X ] , une application ν : X → G ( G ) est dite régulière si elle est de laforme x π x pour un ( G, B ) –module admissible ( π, V ) , où π x est la (semisimplifiée de la)localisation de π en x . Toute application régulière ν : X → G ( G ♮ , ω ) induit une applicationrégulière ν ◦ : X → G ( G ) , donnée par ν ◦ ( x ) = ν ( x ) ◦ , x ∈ X . Notons que deux applicationrégulières ( G –irréductibles) ν, ν ′ : X → Irr ( G ♮ , ω ) sont C × –disjointes si et seulement si lesapplications régulières sous–jacentes ν ◦ , ν ′◦ : X → Irr( G ) sont disjointes.Rappelons que le foncteur d’oubli Π Π ◦ induit une application injective Irr ( G ♮ , ω ) / C × ֒ → Irr( G ) d’image le sous–ensemble Irr ( G ) = Irr G ♮ ,ω ( G ) de Irr( G ) formé des π tels que π (1) = π . Soit G ( G ) le sous-groupe de G ( G ) engendré par Irr ( G ) — c’est aussi un quotient de G ( G ) — et q : G ( G ) → G ( G ) la projection canonique. Par définition, le foncteur d’oubli Π Π ◦ induit un morphisme degroupes surjectif G ( G ♮ , ω ) → G ( G ) , de noyau le sous–goupe de G ( G ♮ , ω ) engendré par les Π − λ · Π pour Π ∈ Irr ( G ♮ , ω ) et λ ∈ C × . Proposition . —
Soit ν : X → G ( G ) une application régulière. Il existe un morphismedominant étale φ : Y → X , des applications régulières µ , . . . , µ m : Y → Irr ( G ♮ , ω ) deux–à–deux C × –disjointes, et des entiers a , . . . , a m > , tels que q ◦ ν ◦ φ = P mi =1 a i µ ◦ i .Démonstration . — Soit B = C [ X ] . Par définition l’application ν est de la forme x π x pourun ( G, B ) –module admissible ( π, V ) . On choisit un bon sous–groupe ouvert compact J de G comme dans la démonstration du lemme de 5.3, i.e. tel que V J engendre V comme H –module, J est en « bon », θ ( J ) = J et ω | J = 1 . On peut aussi supposer X irréductible. D’après lelemme de 5.3, il existe un morphisme dominant étale φ ′ : Y ′ → X , des applications régulières µ ′ , . . . , µ ′ n : Y ′ → Irr( G ) deux–à–deux disjointes, et des entiers a ′ , . . . , a ′ n > , tels que ν ◦ φ ′ = P ni =1 a ′ i µ ′ i . Précisément, Y ′ est une variété algébrique affine complexe irréductible,d’anneau de fonctions régulières B ′ = C [ Y ′ ] , et pour i = 1 , . . . , n , on a µ ′ i ( y ) = π i,y pour un ( G, B ′ ) -module admissible ( π i , V i ) tel que :– W i = ( V i ) J engendre V i comme G -module,– H J engendre End B ′ ( W i ) comme B ′ -module.Pour chaque y ∈ Y ′ , le H J -module W i,y = ( V i,y ) J est simple, et pour i = j , les H J –modulessimples W i,y et W j,y sont non isomorphes.Pour i = 1 , . . . , n , notons ( π i (1) , V i (1)) le ( G, B ′ ) –module admissible défini par V i (1) = V i et π i (1) = ω − ( π i ) θ . Pour y ∈ Y ′ , la localisation π i (1) y de π i (1) en y est donnée par π i (1) y = ω − ( π i,y ) θ = π i,y (1) . L’application µ ′ i (1) : Y ′ → G ( G ) , y π i (1) y est encore régulière. Notons W i (1) le ( H J ⊗ C B ′ ) –module V i (1) J = ( V i ) J déduit de π i (1) par passage aux points fixes sous J . Soit K ′ = C ( Y ′ ) le corps des fractions de B ′ . Pour i = 1 , . . . , n , les H J -modules W i, K ′ = K ′ ⊗ B ′ W i et K ′ ⊗ B ′ W i (1) sont simples (sur K ′ ), etl’on note I le sous–ensemble de { , . . . , n } formé des indices i tels qu’ils sont isomorphes.D’après [ L2 , 8.2], pour i ∈ I , il existe un K ′ -automorphisme A i, K ′ de W i, K ′ tel que A i, K ′ ( ωf · v ) = θ f · A i, K ′ ( v ) , f ∈ H J , v ∈ W i, K ′ , GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE où l’on a posé θ f = f ◦ θ − . Puisque W i, K ′ est de dimension finie sur K ′ , il existe un ouvert Y i de Y ′ tel que A i, K ′ induit par restriction un C [ Y i ] –automorphisme de W i , disons A i . Celamunit W i d’une structure de ( H ♮J , ω ) –module non dégénéré, l’action de H ♮J commutant à cellede C [ Y i ] . Soit Π i la ω –représentation de G ♮ d’espace V i = ( H ∗ e J ) ⊗ H J W i correspondant au ( H ♮ J , ω ) –module W i (2.20). Notons que A i coïncide avec la restriction de Π i ( δ ) à W i = ( V i ) J .Par construction, (Π i , V i ) est un ( G ♮ , ω, C [ Y i ]) –module admissible tel que pour y ∈ Y i , lalocalisation Π i,y de Π i en y est une ω –représentation G –irréductible de G ♮ .L’intersection Y = T i ∈ I Y i est un ouvert (dense) de Y ′ , et pour i ∈ I , l’applicationrégulière Y → Irr ( G ♮ , ω ) , y µ i ( y ) = Π i,y vérifie µ ◦ i ( y ) = µ ′ i ( y ) , où µ ′ i : Y ′ → Irr( G ) est l’application régulière introduite en début dedémonstration. La composition des morphismes φ ′ : Y ′ → X et Y ֒ → Y ′ est un morphismedominant étale φ : Y → X , et pour y ∈ Y , on a q ◦ ν ◦ φ ( y ) = X i ∈ I a ′ i µ ′ i ( y ) . Puisque par construction les applications µ i (pour i ∈ I ) sont deux–à–deux C × –disjointes,la proposition est démontrée. Corollaire . —
Soit ν , . . . , ν m : X → G ( G ) des applications régulières, et µ , . . . , µ n : X → Irr ( G ♮ , ω ) des applications régulières deux–à–deux C × –disjointes. Soit X ′ l’ensembledes x ∈ X tels que { µ ◦ ( x ) , . . . , µ ◦ n ( x ) } est contenu dans le sous–groupe de G ( G ) engendré par q ◦ ν ( x ) , . . . , q ◦ ν m ( x ) . Il existe un morphisme dominant étale φ : Y → X tel que φ − ( X ′ ) est soit vide soit égal à Y tout entier.Démonstration . — D’après la proposition, il existe un morphisme dominant étale φ : Y → X et des applications régulières λ , . . . , λ s : Y → Irr ( G ♮ , ω ) tels que pour i = 1 , . . . , m ,l’application q ◦ ν i ◦ φ : Y → G ( G ) se décompose en q ◦ ν i ◦ φ = s X j =1 a i,j λ ◦ j pour des entiers a i,j > . Quitte à remplacer Y par un ouvert plus petit, on peut supposerque les applications λ ◦ , . . . , λ ◦ s : Y → Irr G ♮ ,ω ( G ) sont deux–à–deux disjointes, et que pourpour tout k ∈ { , . . . , n } et tout j ∈ { , . . . , s } , les applications µ ◦ k ◦ φ et λ ◦ j sont soit égalessoit disjointes. Supposons φ − ( X ′ ) = ∅ et soit y ∈ φ − ( X ′ ) . On a forcément n ≤ s et quitteà réordonner les λ j , on peut supposer que µ ◦ k ◦ φ = λ ◦ k ( k = 1 , . . . , n ). Par hypothèse, pour k = 1 , . . . , n , il existe des entiers b k,i ( i = 1 , . . . , m ) tels que µ ◦ k ◦ φ ( y ) = m X i =1 b k,i s X j =1 a i,j λ ◦ j ( y ) . Pour k = 1 , . . . , n et j = 1 , . . . , s , on a donc m X i =1 b k,i a i,j = δ k,j . Par suite φ − ( X ′ ) = Y et le lemme est démontré. A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU Θ ′ = Θ dis G ♮ ,ω ( s ) de Θ = Θ( s ) est constructible. — Montrons que la paire Θ ′ ⊂ Θ satisfait au critère ( ∗ ) de 5.3. On peut supposer que Θ ′ est non vide. Soit ( M P , ρ ) une paire cuspidale standard de G telle que [ M P , ρ ] ∈ Θ . Pour Q ∈ P ( G ) tel que P ⊂ Q ,notons η Q : P ( M P ) → G ( M Q ) l’application régulière définie par η Q ( ψ ) = i QP ( ψρ ) . Pour Q ♮ ∈ P ( G ♮ ) , on définit comme en 5.3 la projection canonique q Q, : G ( M Q ) → G ( M Q ) ,où G ( M Q ) est le sous–groupe de G ( M Q ) engendré par les représentations σ ∈ Irr( M Q ) tellesque ω − σ θ = σ .Soit X une sous–variété localement fermée de Θ . Puisque le morphisme P ( M P ) → Θ , ψ [ M P , ψρ ] est dominant (et même fini) étale, il existe une sous–variété e X de P ( M P ) telle que l’ensemble { [ M P , ψρ ] : ψ ∈ X ′ } est contenu dans X et le morphisme e X → X , ψ [ M P , ψρ ] est dominant étale. D’après la proposition de 5.4, il existe un morphisme dominant étale ˜ φ : Y → e X tel que pour chaque Q ♮ ∈ P ( G ♮ ) contenant P ♮ , l’application régulière ˜ η Q = η Q ◦ ˜ φ : Y → G ( M Q ) composée avec la projection canonique q Q, : G ( M Q ) → G ( M Q ) se décompose en q Q, ◦ ˜ η Q = m ( Q ♮ ) X i =1 a Q ♮ ,i µ ◦ Q ♮ ,i où :– µ Q ♮ , , . . . , µ Q ♮ ,m ( Q ♮ ) : Y → Irr ( M ♮Q , ω ) sont des applications régulières deux–à–deux C × –disjointes ;– a Q ♮ , , . . . , a Q ♮ ,m ( Q ♮ ) sont des entiers > .Posons n = m ( G ♮ ) et µ i = µ G ♮ ,i ( i = 1 , . . . , n ).Pour Q ♮ ∈ P ( G ♮ ) r { G ♮ } contenant P ♮ et i = 1 , . . . , m ( Q ♮ ) , l’application ν Q,i = i GQ ◦ µ ◦ Q ♮ ,i : Y → G ( G ) est régulière. La famille des ν Q,i : Y → G ( G ) obtenue en faisant varier Q ♮ ( = G ♮ ) et i de cettemanière, est notée { ν , . . . , ν m } . L’ensemble des points y ∈ Y tels que { µ ◦ ( y ) , . . . , µ ◦ n ( y ) } estcontenu dans le sous–groupe de G ( G ) engendré par q ◦ ν ( y ) , . . . , q ◦ ν m ( y ) est exactementl’image réciproque du complémentaire ( X ∩ Θ ′ ) C de X ∩ Θ ′ dans X par le morphisme dominantétale φ = ( e X → X ) ◦ ˜ φ : Y → X . On conclut grâce au corollaire de 5.4. Puisque Θ ′ vérifie la propriété ( ∗ ) de 5.3, c’est unepartie constructible de Θ . Cela achève la démonstration de la proposition de 5.2. F dis ( G ♮ , ω ) et F distr ( G ♮ , ω ) .— Pour tout sous–ensemble Y de Θ( G ) , on note G C ( G ♮ , ω ; Y ) le sous–espace vectoriel de G C ( G ♮ , ω ) engendré par les Π ∈ Irr C ( G ♮ , ω ) tels que θ G ♮ (Π) ∈ Y . On a la décomposition G C ( G ♮ , ω ; Y ) = M y G C ( G ♮ , ω ; y ) GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE où y parcourt les éléments de l’ensemble Y ∩ Θ G ♮ ,ω ( G ) . Dualement, pour Y ⊂ Θ( G ) , on note F Y ( G ♮ , ω ) le sous–espace vectoriel de G C ( G ♮ , ω ; Y ) ∗ formé des restrictions à G C ( G ♮ , ω ; Y ) deséléments de F ( G ♮ , ω ) , et pour S ⊂ B ( G ) , on pose F S ( G ♮ , ω ) = F Θ( S ) ( G ♮ , ω ) , Θ( S ) = a s ∈ S Θ( s ) . On a la décomposition F ( G ♮ , ω ) = M s F s ( G ♮ , ω ) où s parcourt les éléments de B G ♮ ,ω ( G ♮ ) . Remarque . — Pour s ∈ B ( G ) , notant z s l’élément unité de l’anneau Z s , on a l’égalité F s ( G ♮ , ω ) = z s · F ( G ♮ , ω ) . (cid:4) Posons Θ dis G ♮ ,ω ( G ) = a s ∈ B ( G ) Θ dis G ♮ ,ω ( s ) . Pour Y ⊂ Θ( G ) , on note G dis C ( G ♮ , ω ; Y ) la projection de G C ( G ♮ , ω ; Y ) sur G dis C ( G ♮ , ω ) , et l’onpose F dis Y ( G ♮ , ω ) = F Y ( G ♮ , ω ) ∩ F dis ( G ♮ , ω ) ⊂ G dis C ( G ♮ , ω ; Y ) ∗ . Pour S ⊂ B ( G ) , on pose F dis S ( G ♮ , ω ) = F disΘ( S ) ( G ♮ , ω ) . Puisque G dis C ( G ♮ , ω ) ∗ ⊂ G C ( G ♮ , ω ; Θ dis G ♮ ,ω ( G )) ∗ , on a la décomposition F dis ( G ♮ , ω ) = M s F dis s ( G ♮ , ω ) où s parcourt les éléments de l’ensemble B dis G ♮ ,ω ( G ) = β G ♮ (Irr dis0 ( G ♮ , ω )) — le sous–ensemblede B ( G ) formé des s tels que Θ dis G ♮ ,ω ( s ) est non vide.En remplaçant F ( G ♮ , ω ) par F tr ( G ♮ , ω ) , on définit de la même manière le sous–espace F tr ,Y ( G ♮ , ω ) de G C ( G ♮ , ω ; Y ) ∗ (pour Y ⊂ Θ( G ) ), et l’on pose F tr , S ( G ♮ , ω ) = F tr , Θ( S ) ( G ♮ , ω ) (pour S ⊂ B ( G ) ). On a la décomposition F tr ( G ♮ , ω ) = M s F tr , s ( G ♮ , ω ) où s parcourt les éléments de B G ♮ ,ω ( G ) . De même, posant F distr ,Y ( G ♮ , ω ) = F tr ,Y ( G ♮ , ω ) ∩ F dis ( G ♮ , ω ) , Y ⊂ Θ( G ) , et F distr , S ( G ♮ , ω ) = F distr , Θ( S ) ( G ♮ , ω ) , S ⊂ B ( G ) , on a la décomposition F distr ( G ♮ , ω ) = M s F distr , s ( G ♮ , ω ) où s parcourt les éléments de B dis G ♮ ,ω ( G ) .Pour démontrer la surjectivité dans le théorème de 4.8, il suffit de montrer que pourchaque s ∈ B dis G ♮ ,ω ( G ) , l’inclusion F distr , s ( G ♮ , ω ) ⊂ F dis s ( G ♮ , ω ) est une égalité. A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU Le lemme suivant est impliqué par la propriété d’indépendance linéaire des caractères–distributions des ω –représentations G –irréductibles de G ♮ [ L2 , 8.5, prop.]. Lemme . —
Pour tout sous–ensemble fini Y de Θ( G ) , on a l’égalité F tr ,Y ( G ♮ , ω ) = G C ( G ♮ , ω ; Y ) ∗ . Notons que si le groupe P ( G ♮ ) est fini, alors pour chaque s l’ensemble Θ dis G ♮ ,ω ( s ) est fini(proposition de 5.2), et d’après le lemme on a l’égalité cherchée : F distr , s ( G ♮ , ω ) = G dis C ( G ♮ , ω ; Θ( s )) ∗ = F dis s ( G ♮ , ω ) . L’idée consiste à se ramener au lemmede 5.6, comme dans [
BDK , 4.2].Rappelons que A G est le tore central déployé maximal de G . Choisissons une uniformisante ̟ de F et identifions le groupe Hom( A ̟G , C × ) à P ( A G ) comme dans l’exemple de 2.11. Pour u ∈ H ( A G ) , on note z ( u ) l’élément de Z ( G ) défini par z ( u ) π = Z A G u ( a ) π ( a ) da, π ∈ Irr( G ); où da est la mesure de Haar sur A G qui donne le volume à A G . L’algèbre C [ P ( A G )] desfonctions régulières sur la variété P ( A G ) , identifiée à l’algèbre de groupe C [ A ̟G ] , est une sous–algèbre de H ( A G ) ; d’où un morphisme d’algèbres C [ P ( A G )] → Z ( G ) . Pour chaque s ∈ B ( G ) ,on peut composer ce morphisme d’algèbres avec la projection canonique Z ( G ) → Z s . Lemorphisme de variétés correspondant η s : Θ( s ) → P ( A G ) est donné par η s ( θ G ( π )) = ω π | A ̟G , π ∈ β − G ( s ) . Notons que ce morphisme η s est P ( G ) –équivariant pour l’action (algébrique) de P ( G ) sur P ( A G ) donnée par ( ψ, χ ) ( ψ | A G ) χ , pour ψ ∈ P ( G ) et χ ∈ P ( A G ) .Comme pour A G , on identifie le groupe Hom( A ̟G ♮ , C × ) à P ( A G ♮ ) ; où (rappel) A G ♮ est letore déployé maximal du centre Z ♮ de G ♮ . L’action de P ( G ) sur P ( A G ) induit par restricionune action (algébrique) de P ( G ♮ ) sur P ( A G ♮ ) . L’application P ( G ♮ ) → P ( A G ♮ ) , ψ ψ | A G♮ est un morphisme surjectif de groupes algébriques, de noyau fini (cf. 4.3). En particulier c’estun morphisme fini, donc étale (puisqu’il est lisse).Fixons s ∈ B dis G ♮ ,ω ( G ) et posons Y = Θ dis G ♮ ,ω ( s ) . Posons aussi X = P ( A G ♮ ) . Par restriction, η s induit une application P ( G ♮ ) –équivariante η Y : Y → X , donnée par η Y ( θ G ♮ (Π)) = ω Π | A ̟G♮ , Π ∈ θ − G ♮ ( Y ) . Pour Π ∈ θ − G ♮ ( Y ) et ψ ∈ P ( G ♮ ) , elle vérifie η Y ( ψ · θ G ♮ (Π)) = ψ | A G♮ · η Y ( θ G ♮ (Π)) . Comme Y est union d’un nombre fini de P ( G ♮ ) –orbites (proposition de 5.2), et que pourchacune de ces orbites le stabilisateur dans P ( G ♮ ) est fini, l’application η Y est un morphismefini étale de variétés algébriques affines lisse. Ainsi le comorphisme C [ X ] → C [ Y ] fait de C [ Y ] un C [ X ] –module de type fini. En particulier, l’espace E Y = G dis C ( G ♮ , ω ; Y ) ∗ est un C [ X ] –module de type fini pour l’action de C [ X ] donnée par ( ϕ ∈ C [ X ] , Φ ∈ E Y , Π ∈ θ − G ♮ ( Y ) ) ( ϕ · Φ)(Π) = ϕ ( ω Π | A ̟G♮ )Φ(Π) . En d’autres termes, C [ X ] opère sur E Y via le morphisme d’algèbres C [ X ] → Z s , , ϕ z ϕ donné par ( z ϕ ) Π ◦ = ϕ ( ω Π | A ̟G♮ )id V Π pour tout objet irréductible Π de R s ( G ♮ , ω ) , cf. 2.18. Onen déduit que les espaces F Y = F dis Y ( G ♮ , ω ) et F ′ Y = F distr ,Y ( G ♮ , ω ) sont des sous– C [ X ] –modules GUY HENNIART & BERTRAND LEMAIRE de E Y . L’action de P C ( G ♮ ) sur G C ( G ♮ , ω ) ∗ définie en 4.5 induit une action sur G dis C ( G ♮ , ω ) ∗ ,et les espaces E Y , F Y et F ′ Y sont stables pour cette action.Soit x ∈ X correspondant à u : C [ X ] → C . Pour tout C [ X ] –module E , on note E x la fibre E ⊗ C [ X ] ,u C de E au–dessus de x . Comme le morphisme η Y : Y → X est fini et lisse, l’ensemble Y x = η − Y ( x ) est fini et la fibre C [ Y ] x coïncide avec C [ Y x ] , i.e. la « fibre géométrique » au–dessus de x est régulière. D’après le lemme de 5.6, on a l’égalité F ′ Y x = E Y x . En d’autrestermes, posant p x = ker u , on a l’inclusion F Y ⊂ F ′ Y + p x · E Y . Posons E = E Y / F ′ Y et F = F Y / F ′ Y ⊂ E . D’après l’inclusion ci–dessus, on a F ⊂ p x · E pourtout x ∈ X . Puisque E est un C [ X ] –module de type fini, il est localement libre en presque toutpoint de X . Comme d’après le lemme 2 de 4.5, E est P C ( G ♮ ) –équivariant, il est localementlibre en tout point de X , et l’inclusion F ⊂ p x · E ( x ∈ X ) implique que F = 0 ; ce qu’onvoulait démontrer. A THÉORÈME DE PALEY-WIENER TORDU Références [BD]
Bernstein J. & Deligne P. , Le « centre » de Bernstein in Représentations desgroupes réductifs sur un corps local (ed. Bernstein J., Deligne P., Kazhdan D., VignérasM.–F.), Travaux en Cours, Hermann, 1984.[BDK]
Bernstein J., Deligne P. & Kazhdan D. , Trace Paley–Wiener theorem forreductive p –adic groups , J. Analyse Math. (1986), pp. 180–192.[BT] Bruhat F., Tits J. , Groupes réductifs sur un corps local II. Schémas en groupes.Existence d’une donnée radicielle valuée , Pub. Math. IHES (1984), pp. 1–184.[BZ] Bernstein J., Zelevinsky A. , Induced representations of reductive p –adic groups I ,Ann. Sci. École Norm. Sup. (1977), pp. 441–472.[BW] Borel A., Wallach N. , Continuous cohomology, discrete subgroups, and represen-tations of reductive groups , Ann. Math. Studies , Princeton U. Press, Princeton, NJ,1980.[C] Casselman R. , Characters and Jacquet modules , Math. Ann. (1977), pp. 101–105.[D]
Dat J.–F. , On the K of a p –adic group , Invent. Math. (2000), pp. 171–226.[F] Flicker Y. , Bernstein’s isomorphism and good forms , Proc. Symp. Pure Math. (1995), pp. 171–196.[G] Gabriel P. , Des catégories abéliennes , Bull. Soc. Math. France (1962), pp. 323–448.[HL] Henniart G., Lemaire B. , La transformée de Fourier pour les espaces tordus sur ungroupe réductif p –adique, II. Le théorème de densité spectrale , mansucript.[K1] Kazhdan D. , Cuspidal geometry of p –adic groups , J. Analyse Math. (1986), pp.1–36.[K2] Kazhdan D. , Representations of groups over close local fields , J. Analyse Math. (1986), pp. 175–179.[L1] Lemaire B.
Représentations génériques de GL N et corps locaux proches , J. Algebra (2001), pp. 549–574.[L2(2010)] Lemaire B.
Caractères tordus des représentations admissibles , prépublicationarXiv : 1007.3576v1 [math.RT], 21 juillet 2010.[L2]
Lemaire B.
Caractères tordus des représentations admissibles , version remaniée etcomplétée de [
L2(2010) ], manuscript.[R]
Rogawski J. , Trace Paley–Wiener theorem in the twisted case , Trans. Amer. Math. Soc. (1998), pp. 215–229.[W]
Waldspurger J.–L. , La formule des traces locale tordue , prépubication arXiv :1205.1100v2 [math. RT], 13 septembre 2012.
31 octobre 2018
Guy Henniart , Université Paris–Sud, Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, CNRS, F–91405Orsay Cedex • E-mail :