aa r X i v : . [ m a t h . K T ] O c t LE TH ´EOR `EME DE P ´ERIODICIT ´E EN K -TH ´EORIEHERMITIENNE Max Karoubi
La p´eriodicit´e de Bott joue un rˆole primordial en K -th´eorie topologique. Elleest d’ailleurs li´ee intimement au th´eor`eme d’Atiyah-Singer et plus g´en´eralement `ala g´eom´etrie non commutative. Dans deux articles pr´ec´edents [ K1 ] et [ K2 ], nousavons d´emontr´e l’analogue de ce th´eor`eme en K -th´eorie hermitienne pour des an-neaux discrets avec (anti)involution a a , sous l’hypoth`ese qu’il existe un ´el´ement λ du centre de A tel que λ + λ = 1 (on dit alors que 1 est scind´e dans A ). Si l’anneauest commutatif et muni de l’involution triviale, ceci introduit l’hypoth`ese que 2 estinversible dans A .Si cette derni`ere hypoth`ese est anodine pour les alg`ebres de Banach, il n’en est pasde mˆeme pour des anneaux importants comme l’anneau de groupe Z π , o`u π estun groupe discret. Une difficult´e rencontr´ee pour l’´etude de ce type d’anneau est ladivergence entre les notions de forme quadratique et de forme hermitienne. Danscet article, nous d´eveloppons une th´eorie qui d´epasse cette dichotomie et qui estd´ej`a pr´esente dans le travail fondamental de Ranicki [ R ]. Grˆace `a cette th´eorie leth´eor`eme de p´eriodicit´e peut ˆetre d´emontr´e pour tout anneau. Nous montrons parexemple que les groupes de Witt sup´erieurs d’un corps fini de caract´eristique 2 sonttous isomorphes `a Z / K1 ] et [ K2 ] quenous adaptons `a notre propos, ce qui nous permet d’ˆetre relativement bref pourcertaines d´emonstrations. Un autre ingr´edient essentiel est un cup-produit entreformes quadratiques d´efini par Clauwens [ C ] . Celui-ci permet de d´efinir le mor-phisme de p´eriodicit´e dans le cas g´en´eral. L’article de Clauwens ayant ´et´e ´ecrit dansun contexte diff´erent, nous reprenons dans un appendice les lemmes essentiels dontnous avons besoin pour nos d´emonstrations.R´esumons bri`evement les diff´erentes parties de cet article(1) Description de diff´erents types de formes hermitiennes.
Apr`es desrappels sur les d´efinitions classiques utilis´ees, nous introduisons un nou-veau type de groupe orthogonal, dit “´elargi” : cf. 1.6/7. Si 1 est scind´e dans A , celui-ci co¨ıncide avec le groupe orthogonal sur l’anneau des nombresduaux associ´e `a A , soit A [ e ] /e , not´e simplement A ( e ) dans la suite del’article. c (cid:13) (2) Les groupes de Grothendieck et Bass en K − th´eorie hermitienne. Nous montrons comment les th´eor`emes principaux en K − th´eorie hermi-tienne restent valables dans le cas “´elargi”. Nous pr´ecisons aussi les nota-tions utilis´ees, en suivant partiellement la terminologie du livre de Bak [ ? ].Par exemple, la notation “ L ” , utilis´ee en [ K1 ] et [ K2 ], est abandonn´eeet remplac´ee par la notation “ KQ ” , pour ´eviter toute ambig¨uit´e avec lesgroupes de chirurgie.(3) Les groupes ε K Q n ( A ) pour n > < Les d´efinitions essentiellessont contenues dans ce paragraphe, en utilisant des id´ees bien connues en K − th´eorie alg´ebrique. Le th´eor`eme 3.2 permet de comparer les th´eories“max” et “min”, suivant la terminologie de Bak. Nous montrons aussicomment les techniques de Quillen se transcrivent dans notre situation enune description plus g´eom´etrique des ´el´ements de ε K Q n ( A ).(4) Cup-produits en K − th´eorie hermitienne. Le cup-produit de Clau-wens. Le cup-produit en K − th´eorie hermitienne est d´efini `a l’aide de sadescription en termes de fibr´es plats. Un cup-produit plus subtil, dˆu es-sentiellement `a Clauwens, est d´efini en 4.3 (cf. aussi l’appendice). Nousmontrons comment tous ces produits sont reli´es entre eux dans le th´eor`eme4.7.(5) Le th´eor`eme fondamental de la K − th´eorie hermitienne pour desanneaux arbitraires. Dans ce paragraphe, nous g´en´eralisons les r´esultatsprincipaux de [ K1 ] et [ K2 ] (cf. le th´eor`eme 5.2 et la remarque 5.11). Larelation avec les groupes de Witt est faite dans le th´eor`eme 5.10.(6) Les groupes de Witt stabilis´es.
En utilisant les r´esultats pr´ec´edents,nous introduisons une th´eorie nouvelle de groupes de Witt “stabilis´es”g´en´eralisant ceux d´efinis en [ K4 ]. Ses propri´et´es fondamentales sont d´ecritesen 6.1. Une g´en´eralisation dans le cadre des sch´emas a ´et´e propos´ee parM. Schlichting [ S ] en supposant 2 inversible.(7) Appendice.
Les lemmes de Clauwens.
Remerciements.
Ce travail a ´et´e essentiellement accompli pendant le pro-gramme th´ematique sur la th´eorie de l’homotopie en 2007, organis´e au Fields Ins-titute `a Toronto. Je remercie ´egalement A. Ranicki pour avoir attir´e mon attentionsur l’article de Clauwens [ C ], J. Berrick pour la d´emonstration du lemme 4 en ap-pendice, plus simple que le lemme original de Clauwens, ainsi que M. Schlichtingpour des commentaires pertinents apr`es une premi`ere version de ce texte.
1. Description des diff´erents types de formes hermitiennes etquadratiques.1.1.
Soit A un anneau muni d’une (anti)involution a a (on dit alors que A est un anneau hermitien) et soit ε = ± P ( A ) la cat´egoriedes A − modules (`a droite) qui sont projectifs de type fini (les morphismes ´etantrestreints aux isomorphismes). Si E est un objet de P ( A ), son dual E ∗ est le groupeform´e des applications additives f : E → A telles que f ( xλ ) = λf ( x ), o`u λ ∈ A et On pourrait choisir plus g´en´eralement un ´el´ement ε du centre de A tel que εε = 1. Cependant,on se ram`ene `a ce cas en rempla¸cant A par M ( A ), l’alg`ebre des matrices 2 × A , munie d’une involution ad´equate (cf. 1.10). E TH´EOR`EME DE P´ERIODICIT´E EN K -TH´EORIE HERMITIENNE 3 x ∈ E . C’est en fait un objet de P ( A ), la structure de A -module `a droite ´etant d´efiniepar la formule ( f.λ )( x ) = f ( x ) λ . Le module E et son bidual E ∗∗ sont isomorphescanoniquement grˆace `a la correspondance x ( f f ( x )). Nous identifierons E `a E ∗∗ par cet isomorphisme. Par ailleurs, si f : E → F est un morphisme dans P ( A ), sontranspos´e t f : F ∗ → E ∗ est d´efini par la formule classique t ( f )( g ) = g.f et on a t ( t f ) = f , compte tenu des isomorphismes canoniques entre les modules E , F etleurs biduaux respectifs. Nous d´efinissons une forme ε -hermitienne sur E comme un morphisme φ : E → E ∗ tel que t φ = εφ , o`u t φ : ( E ∗ ) ∗ ∼ = E → E ∗ . La forme φ est dite “nond´eg´en´er´ee” si c’est un isomorphisme. Il convient de remarquer que la donn´ee de φ ´equivaut `a celle d’une application Z − bilin´eaire χ : E × E → A telle que χ ( xλ, yµ ) = λχ ( x, y ) µ si λ et µ ∈ A , x et y ∈ E . La correspondance estdonn´ee par la formule classique suivante χ ( x, y ) = φ ( y )( x )La condition de ε -symetrie ( t φ = εφ ) se traduit par l’identit´e χ ( y, x ) = εχ ( x, y )Dans cet article, les formes hermitiennes φ qui nous int´eressent sont paires : elless’´ecrivent sous la forme φ = φ + ε t φ Il convient de noter que φ n’est pas d´etermin´e par cette formule. Si φ est un autrechoix et si pose γ = φ − φ , on a t γ = − εγ . Les formes hermitiennes paires sont les objets d’une cat´egorie not´ee ε Q max ( A ), d´efinie de la mani`ere suivante : un morphisme( E, φ ) → ( F, ψ )est un isomorphisme f entre les A -modules sous-jacents tel que le diagramme sui-vant commute E φ (cid:15) (cid:15) f / / F ψ (cid:15) (cid:15) E ∗ F ∗ t f o o De mani`ere parall`ele, en suivant Tits [ T ] et Wall [ W ], on d´efinit uneforme ε -quadratique non d´eg´en´er´ee sur E comme une classe de morphismes φ : E → E ∗ tels que φ + ε t φ = φ soit une forme hermitienne non d´eg´en´er´ee. Plus pr´ecis´ement,la classe de φ est d´efinie modulo l’addition par un morphisme du type t γ − εγ .Les formes ε -quadratiques sont aussi les objets d’une cat´egorie not´ee ε Q min ( A ).Un morphisme ( E, φ ) → ( F, ψ ) En suivant la terminologie de Bak [ ? ]. cf. la note pr´ec´edente. MAX KAROUBI est un isomorphisme f entre les A -modules sous-jacents tel qu’il existe γ , morphismede E dans E ∗ , v´erifiant l’identit´e t f.ψ .f = φ + γ − ε t γ ( S ) Si A est un corps muni de l’involution triviale, il est facilede voir que la cat´egorie des 1-formes quadratiques est ´equivalente `a la cat´egorieusuelle : il suffit de poser q ( x ) = φ ( x )( x )Cette remarque justifie la d´efinition abstraite introduite dans 1.3.Par ailleurs, si 1 est scind´e dans A (cf. l’introduction), la cat´egorie des modules ε -hermitiens est ´equivalente `a celle des modules ε -quadratiques : avec les d´efinitionsci-dessus il suffit de poser γ = λ ( t f.ψ .f − φ ). Ce cas se pr´esente notamment si 2est inversible dans A . Nous allons maintenant introduire une troisi`eme cat´egorie qui jouera unrˆole important dans notre travail et qui sera not´ee Q ´el ( A ) (“´el” pour “´elargi” ; cf. lafin de 1.7). Les objets sont quasiment les mˆemes que ceux de la cat´egorie ε Q min ( A )pr´ec´edente, sauf que l’on consid`ere les φ comme donn´es dans la structure (on neconsid`ere pas seulement les classes de tels φ ). Un morphisme de ( E, φ ) vers ( F, ψ )est d´efini par un couple ( f, γ ), tel que l’identit´e (S) ci-dessus soit satisfaite. La loide composition des morphismes s’explicite ainsi( f, γ ) . ( g, ζ ) = ( f.g, ζ + t g.γ.g ) ( C )ce qui est coh´erent avec l’identit´e ( S ). Il est instructif de d´ecrire plus pr´ecis´ement le groupe des automorphismesd’un objet dans chacune des trois cat´egories. Si (
E, φ ) est un objet de ε Q max ( A ), le groupe unitaire ε O max ( E, φ ) est d´efini par des isomorphismes f : E → E telsque t f.φ.f = φ Si on note f ∗ = φ − . t f.φ l’op´erateur adjoint de f , il revient au mˆeme d’´ecrire f ∗ .f = Id E (ou f.f ∗ = Id E )Le groupe orthogonal ε O min ( E, φ ) est d´efini par des isomorphismes f : E → E tels qu’il existe γ , morphisme de E dans E ∗ , v´erifiant l’identit´e t f.φ .f = φ + γ − ε t γ ( E )Il est clair que ε O min ( E, φ ) est un sous-groupe de ε O max ( E, φ ) pour φ = φ + ε t φ ,la forme hermitienne associ´ee `a φ . Il est facile de voir que les groupes ε O max ( E, φ )et ε O min ( E, φ ) co¨ıncident si 1 est scind´e dans A .Finalement, le groupe orthogonal ´elargi ε O ´el ( E, φ ) est d´efini par des couples( f, γ ) v´erifiant l’identit´e ( E ) ci-dessus. La loi de composition est donn´ee par l’iden-tit´e ( C ) ´ecrite aussi plus haut. On a un ´epimorphisme ε O ´el ( E, φ ) → ε O min ( E, φ ) E TH´EOR`EME DE P´ERIODICIT´E EN K -TH´EORIE HERMITIENNE 5 dont le noyau est ´egal au groupe ab´elien ε S ( E ) form´e des morphismes γ : E → E ∗ tels que t γ = εγ . Nous obtenons ainsi une extension de groupes non triviale eng´en´eral 1 / / ε S ( E ) / / ε O ´el ( E, φ ) / / ε O min ( E, φ ) / / E `a son dual par la forme hermi-tienne φ associ´ee `a φ . Le morphisme γ est alors remplac´e par un endomorphisme u = φ − γ de E . On peut de mˆeme remplacer φ par ψ = φ − φ . On a alors ψ ∗ = φ − . t ψ.φ = φ − ( t φ .εφ − .φ ) = φ − ( φ − φ ) = 1 − ψ . La relation ( E ) ci-dessuss’´ecrit alors f ∗ .ψ.f = ψ + u − u ∗ ou encore f − .ψ.f = ψ + u − u ∗ puisque f estunitaire.Grˆace `a cette traduction, la loi de composition dans ε O ´el ( E, φ ) s’´ecrit simplement( f, u ) . ( g, v ) = ( f.g, v + g ∗ .u.g ) = ( f.g, v + g − .u.g )Le noyau ε S ( E ) de l’homomorphisme surjectif ε O ´el ( E, φ ) → ε O min ( E, φ ) s’iden-tifie `a l’ensemble des morphismes auto-adjoints de E , not´e simplement S ( E ). L’ex-tension pr´ec´edente s’´ecrit alors de mani`ere ´equivalente1 → S ( E ) / / ε O ´el ( E ) / / ε O min ( E ) / / ε O min ( E ) op`ere `a droite sur S ( E ) par la formulesuivante : ( u, g ) g − .u.g Si 1 est scind´e dans A , on peut d´efinir une section s de cette extensionen posant s ( g ) = ( g, λ ( g ∗ .ψ.g − ψ )) = ( g, λ ( g − .ψ.g − ψ ))Il en r´esulte que le groupe orthogonal ´elargi s’identifie au produit semi-direct dugroupe orthogonal ε O ( E ) par le groupe additif S ( E ), grˆace `a l’action d´efinie ci-dessus. Une autre fa¸con de voir les choses est d’introduire l’anneau des nombresduaux A ( e ) avec e = 0 et e = − e puis d’´etendre les scalaires `a A ( e ). Nous savonsd´ej`a que le groupe orthogonal ε O min ( E ) s’identifie au groupe unitaire ε O max ( E ).Par ailleurs l’´epimorphisme O max ( E ( e )) → O max ( E )a comme noyau l’ensemble des matrices unitaires du type 1+ ue , c’est-`a-dire v´erifiantl’identit´e (1 + ue )(1 − u ∗ e ) = 1 + ( u − u ∗ ) e = 1, soit u = u ∗ . Le groupe unitaireop`ere sur ce noyau par l’action `a droite d´efinie par la mˆeme action : ( u, g ) g − ug .Il en r´esulte que le groupe orthogonal ´elargi O ´el ( E ) s’identifie `a O max ( E ( e )) en tantque produit semi-direct. Consid´erons le cas particulier o`u A = B × B op , B op ´etant l’anneau oppos´e`a B , l’involution permutant les facteurs du produit. Si nous posons λ = (1 , λ + λ = 1, ce qui montre que 1 est scind´e dans A . Il est facile de voir que ladonn´ee d’un A -module hermitien ´equivaut `a celle d’un B -module. Les cat´egories ε Q max ( A ) et ε Q min ( A ) sont donc toutes les deux ´equivalentes `a la cat´egorie P ( B )(avec les isomorphismes comme morphismes). D’apr`es 1.7, nous en d´eduisons queles cat´egories ε Q ´el ( A ) et P ( B ( e )) sont ´equivalentes. En effet, nous avons montr´e MAX KAROUBI en 1.7 que le groupe des automorphismes d’un objet de ε Q ´el ( A ) est le mˆeme quecelui des automorphismes du B -module correspondant, vu comme un objet de B ( e )par extension des scalaires. Puisque les classes d’isomorphie d’objets de P ( B ( e ))co¨ıncident avec les classes d’isomorphie d’objets de P ( B ), l’assertion r´esulte deconsid´erations g´en´erales sur les ´equivalences de cat´egories. Rappelons maintenant la d´efinition du foncteur hyperbolique classique H : P ( A ) → ε Q min ( A )Si E est un objet de P ( A ), H ( E ) est le A -module E ⊕ E ∗ muni de la forme qua-dratique ϕ : E ⊕ E ∗ → ( E ⊕ E ∗ ) ∗ ≈ E ∗ ⊕ E d´efinie par la matrice ϕ = (cid:18) (cid:19) Si u est un isomorphisme dans la cat´egorie P ( A ), on d´efinit H ( u ) = g = u ⊕ t u − .On v´erifie que t g.ϕ .g = ϕ et que H ( u ) est donc bien un isomorphisme dans lacat´egorie ε Q min ( A ). On peut d´ecrire ce foncteur de mani`ere plus conceptuelle enconsid´erant l’anneau Λ = M ( A ) des matrices 2 × A et o`ul’involution est d´efinie par (cid:18) a bc d (cid:19) (cid:18) d bc a (cid:19) L’´equivalence de Morita d´emontr´ee dans [ ? ] § ε Q min (Λ)et ε Q min ( A ) sont ´equivalentes. On d´emontre par la mˆeme m´ethode que les cat´egories ε Q max (Λ) et ε Q max ( A ) d’une part et les cat´egories ε Q ´el (Λ) et ε Q ´el ( A ) d’autre partsont ´equivalentes. Le foncteur hyperbolique P ( A ) → ε Q min ( A ) est alors induit parl’homomorphisme d’anneaux A × A op → M ( A ) d´efini par( a, b ) (cid:18) a b (cid:19) D’apr`es 1.8, cette m´ethode a l’avantage de d´efinir un nouveau foncteur hyperboliquede P ( A ) dans la cat´egorie plus fine ε Q ´el ( A ) par la composition des foncteurs ´evidentssuivants induits par des morphismes d’anneaux ou des ´equivalences de Morita : P ( A ) → P ( A ( e )) ∼ ε Q ´el ( A × A op ) → ε Q ´el ( M ( A )) ∼ ε Q ´el ( A )On proc`ede de mˆeme pour le foncteur “oubli” ε Q ´el ( A ) → P ( A ) qui est la composi-tion ε Q ´el ( A ) → ε Q ´el ( A × A op ) ∼P ( A ( e )) → P ( A )
2. Les groupes de Grothendieck et Bass en K − th´eorie hermitienne.2.1. Aux cat´egories pr´ec´edentes ε Q max ( A ), ε Q min ( A ) et ε Q ´el ( A ), nous pou-vons associer trois groupes de K − th´eorie hermitienne not´es ε K Q max ( A ), ε K Q min ( A )et ε K Q ´el ( A ) respectivement, reli´es par des homomorphismes canoniques ε K Q ´el ( A ) u / / ε K Q min ( A ) v / / ε K Q max ( A ) , Il est clair que u est un isomorphisme et que v est surjectif. Par ailleurs, nouspouvons d´efinir l’analogue du groupes de Bass K ( A ) en K − th´eorie hermitienne. E TH´EOR`EME DE P´ERIODICIT´E EN K -TH´EORIE HERMITIENNE 7 Dans ce but, le lemme suivant, dont la d´emonstration est d´etaill´ee dans [ KV ] p. 61par exemple, est essentiel. Tout module ε -quadratique est facteur direct d’un module hy-perbolique. Puisque tout module projectif de type fini est facteur direct d’un modulelibre du type A n , on voit que les groupes classiques qui jouent le rˆole de GL n ( A )sont les groupes d’automorphismes de modules hyperboliques du type H ( A n ) danschacune des trois cat´egories concern´ees.Plus pr´ecis´ement, ´ecrivons E = M ⊕ M ∗ (on consid`erera le cas o`u M = A n un peuplus tard). La forme quadratique associ´ee est d´efinie par la matrice φ pr´ec´edenteavec ψ comme forme hermitienne associ´ee, soit φ = (cid:18) (cid:19) φ = (cid:18) ε (cid:19) Si f : E → E est un homomorphisme d´efini par une matrice f = (cid:18) a bc d (cid:19) , sonadjoint est la matrice f ∗ = (cid:18) t d ε t bε t c t a (cid:19) .Dans le cas o`u M = A n , il convient de remplacer la notation t u par t u , si on ´ecrit u comme une matrice n × n . En effet, la conjugaison r´esulte de l’identification de A n avec son dual ( A n ) ∗ . On d´esigne par ε O max n,n ( A ) (resp. ε O min n,n ( A ) , ε O ´el n,n ( A )) legroupe unitaire (resp. orthogonal, orthogonal ´elargi) associ´e au module hyperbo-lique ( A ) n ⊕ ( A n ) ∗ . Supposons que A soit un corps muni de l’involution trivialeet que ε = 1. Le fait que f soit unitaire ( f ∈ O max n,n ( A )) se traduit par les identit´essuivantes (o`u a , b , c et d sont des matrices n × n ) : a. t d + b. t c = 1 a. t b + b. t a = 0 c. t d + d. t c = 0 c. t b + d. t a = 1L’automorphisme f est orthogonal ( f ∈ O min n,n ( A )) s’il existe en outre des matrices h et k telles que a. t b = h − t h et c. t d = k − t k .Pour d´ecrire un ´el´ement du groupe orthogonal ´elargi, il faut se donner en outreun endomorphisme d´efini par une matrice 2 n × nu = (cid:18) α βγ δ (cid:19) li´ee `a f et `a la forme φ (cf. 1.6/7). Plus pr´ecis´ement, le couple ( f, u ) doit v´erifierl’identit´e suivante (cid:18) t d.a t b.d t c.a t c.b (cid:19) = (cid:18) (cid:19) + (cid:18) α βγ δ (cid:19) − (cid:18) t δ t β t γ t α (cid:19) Elle r´esulte de l’´equation ( E ) en 1.7, `a condition d’identifier E ⊕ E ∗ `a E ∗ ⊕ E (avec E = A n ). MAX KAROUBI
Revenons au cas g´en´eral d’un anneau A quelconque. Pour simplifier,nous ´ecrirons ε O n,n ( A ) au lieu de ε O max n,n ( A ), ε O min n,n ( A ), ε O ´el n,n ( A ) en revenant `aces notations sp´ecifiques lorsqu’il sera n´ecessaire de distinguer les trois groupes. Demˆeme, nous utiliserons la terminologie uniforme “groupe orthogonal” au lieu de“groupe unitaire”, “groupe orthogonal” ou “groupe orthogonal ´elargi”, lorsque nosconsid´erations s’appliquent aux trois variantes. Avec ces conventions, le groupe or-thogonal infini ε O ( A ) est d´efini comme la limite inductive des groupes ε O n,n ( A ) avecles inclusions ´evidentes. En suivant l’exemple du groupe lin´eaire, nous d´efinissonsle “groupe de Bass” ε K Q ( A ) comme le quotient de ε O ( A ) par le sous-groupe descommutateurs [ ε O ( A ) , ε O ( A )]. Le fait que ce sous-groupe soit parfait r´esulte deconsid´erations bien connues sur la stabilisation des matrices qu’on peut r´esumerpar des identit´es g´en´erales. La premi`ere est la suivante : (cid:18) αβα − β (cid:19) = (cid:18) α α −
00 0 1 (cid:19) (cid:18) β β − (cid:19) (cid:18) α − α
00 0 1 (cid:19) (cid:18) β − β (cid:19) Par ailleurs, modulo le sous-groupe des commutateurs, une matrice du type α α −
00 0 1 peut aussi s’´ecrire α α −
00 0 1 = α
00 0 α − qui est le commutateur suivant α α − Toutes ces identit´es (qui sont vraies dans le cadre plus g´en´eral de cat´egorie mono¨ıdalessym´etriques) d´emontrent bien que [ ε O ( A ) , ε O ( A )] est parfait. Pour chacune des troisth´eories consid´er´ees, on utilisera les notations ε K Q max ( A ), ε K Q min ( A ), ε K Q ´el ( A )ou simplement ε K Q ( A ). Consid´erons un carr´e cart´esien d’anneaux hermitiens (avec ϕ surjectif ) A ϕ (cid:15) (cid:15) ψ / / A ϕ (cid:15) (cid:15) A ψ / / A ′ On a alors une suite exacte (dite de Mayer-Vietoris) entre les groupes de K -th´eoriehermitienne ε K Q ( A ) / / ε K Q ( A ) ⊕ ε K Q ( A ) / / ε K Q ( A ′ ) / / ε K Q ( A ) / / . . .. . . / / ε K Q ( A ) ⊕ ε K Q ( A ) / / ε K Q ( A ′ ) D´emonstration.
Ce th´eor`eme classique peut ˆetre d´emontr´e de diverses mani`eres.
E TH´EOR`EME DE P´ERIODICIT´E EN K -TH´EORIE HERMITIENNE 9 L’une d’entre elle est esquiss´ee dans le livre de Milnor [ M ] et d´etaill´ee dans celui deBak [ ? ]. Une autre d´emonstration est indiqu´ee dans [ KV ] p. 68-70 (elle s’appliquedans les trois situations). Le point important est de remarquer qu’un ´el´ement dusous-groupe des commutateurs [ ε O ( A ′ ) , ε O ( A ′ )] se rel`eve en un ´el´ement de ε O ( A ).Ceci est d´emontr´e grˆace au lemme de Whitehead classique adapt´e au cas hermitien(cf. [ KV ] th´eor`eme 2.6 par exemple). Dans [ ? ] p. 191, Bak d´emontre une suite exacte int´eressante reliant lesgroupes ε K Q max et ε K Q min . Elle s’´ecrit ε K Q min ( A ) / / ε K Q max ( A ) / / ε Ξ( A ) / / ε K Q min ( A ) / / ε K Q max ( A )Le groupe de 2-torsion ε Ξ( A ) est explicit´e ainsi. Nous d´efinissons d’abord Γ = Γ( A )comme l’ensemble des ´el´ements a de A tels que a = εa et Λ comme le sous-groupede Γ form´e des b − εb . Alors ε Ξ( A ) est le quotient de Γ / Λ ⊗ A Γ / Λ par le sous-groupeengendr´e par tous les ´el´ements de la forme { a ⊗ b − b ⊗ a } et { a ⊗ b − a ⊗ bab } Dans la d´efinition du produit tensoriel Γ / Λ ⊗ A Γ / Λ, l’action `a droite de A sur Γ / Λest ( γ, a ) aγa . L’action `a gauche est d´efinie de mani`ere similaire par ( a, γ ) a.γ.a Un th´eor`eme plus g´en´eral est en fait ´enonc´e dans [ ? ] en utilisant des “formes pa-ram`etres” arbitraires Γ et Λ. La suite exacte pr´ec´edente permet de d´efinir un invariantdes formes quadratiques proche de l’invariant de Arf en consid´erant des corpsde caract´eristique 2 (cf. [B2]). Dans ce cas, le groupe K Q max ( A ) est r´eduit `a 0, K Q max ( A ) ∼ = Z et le noyau de la fl`eche K Q min ( A ) → K Q max ( A ) = Z s’identifie ainsi au groupe Ξ( A ) pr´ec´edent : c’est le quotient de A ⊗ Z A par le sous-groupe engendr´e par les relations { a ⊗ b − b ⊗ a } , { a ⊗ b − a ⊗ b a } et { c a ⊗ b − a ⊗ c b } .L’invariant de Arf classique est obtenu par l’application a ⊗ b a.b : elle est `a valeursdans le quotient G de F par le sous-groupe additif engendr´e par les relations { a − a } .Cette application de Ξ( A ) dans G admet une r´etraction induite par l’application a ⊗ a .
3. Les groupes de K − th´eorie hermitienne ε K Q n ( A ) pour n < et n > .3.1. Pour d´efinir les groupes ε K Q n pour n <
0, nous suivons le mˆeme sch´emaqu’en K -th´eorie alg´ebrique [ KV ]. De mani`ere pr´ecise, si on pose n = − m , on pose K Q n ( A ) = KQ ( S m A ), o`u S m A est la m i`eme suspension de l’anneau A . Notons quel’isomorphisme ε K Q ´el ( A ) ∼ = ε K Q min ( A )implique par suspensions it´er´ees l’isomorphisme ε K Q ´el − m ( A ) ∼ = ε K Q min − m ( A )Le th´eor`eme suivant est moins ´evident. L’homomorphisme ε K Q min n ( A ) → ε K Q max n ( A ) est surjectif pour n = 0 , bijectif pour n < . D´emonstration.
La surjectivit´e pour tout n est une cons´equence imm´ediate desd´efinitions (car nous consid´erons des formes hermitiennes paires). Par inductionsur n , il suffit de d´emontrer l’injectivit´e pour n = −
1. Pour cela, ´ecrivons la suiteexacte 2.8, en rempla¸cant A par sa suspension SA et son cˆone CA . On obtient alorsun diagramme commutatif ε K Q min1 ( CA ) / / (cid:15) (cid:15) ε K Q max1 ( CA ) / / (cid:15) (cid:15) ε Ξ( CA ) / / (cid:15) (cid:15) ε K Q min ( CA ) / / (cid:15) (cid:15) ε K Q max ( CA ) (cid:15) (cid:15) ε K Q min1 ( SA ) / / ε K Q max1 ( SA ) / / ε Ξ( SA ) / / ε K Q min ( SA ) / / ε K Q max ( SA ) Puisque le cˆone d’un anneau est “flasque” (il existe un foncteur τ de la cat´egorie P ( CA ) dans elle-mˆeme tel que τ ⊕ Id soit isomorphe `a τ ), ses groupes de K − th´eoriehermitienne sont r´eduits `a 0, ce qui implique que ε Ξ( CA ) est aussi ´egal `a 0. Pourd´emontrer l’injectivit´e de la fl`eche ε K Q min − ( A ) → ε K Q max − ( A ), il suffit donc demontrer que l’homomorphisme ε Ξ( CA ) → ε Ξ( SA ) est surjectif, ce qui est unecons´equence du lemme suivant. Notons Γ( R ) le groupe Γ d´efini en 2.8 pour tout anneau R .Alors l’homomorphisme canonique Γ( CA ) → Γ( SA ) est surjectif. D´emonstration.
Un ´el´ement de Γ( SA ) est d´efini par une matrice infinie M telleque sur chaque ligne et chaque colonne il n’existe qu’un nombre fini d’´el´ements nonnuls et telle que t M = εM modulo une matrice finie. Soient a ij les ´el´ements (ennombre fini) de la matrice M tels que a ij = εa ji . Si on remplace ces ´el´ements par0, on trouve une matrice N dans CA qui est ε -hermitienne et dont la classe dans SA est ´egale `a celle de M . D´efinissons maintenant les groupes ε K Q n pour n >
0, ce qui est plusd´elicat. En principe, il suffit de copier la construction + de Quillen `a l’espace B ε O ( A ), ce qui est possible car le sous-groupe des commutateurs [ ε O ( A ) , ε O ( A )] estparfait. On d´efinit alors ε K Q n ( A ) comme le n i`eme groupe d’homotopie de B ε O ( A ) + (pour n > K -th´eorie hermitienne ε K Q max n ( A ) , ε K Q min n ( A ) et ε K Q ´el n ( A )associ´es respectivement aux groupes ε O max ( A ), ε O min ( A ) et ε O ´el ( A ). Conform´ement`a la philosophie de cet article, nous adopterons la notation uniforme ε K Q n ( A )pour ne pas compliquer l’exposition, lorsqu’il n’y a pas de risque de confusion. Cesgroupes sont difficiles `a calculer en g´en´eral, comme d’ailleurs les groupes K n ( A )de Quillen dont ils sont la g´en´eralisation. Nous verrons cependant que, dans unecertaine mesure, les “groupes de Witt sup´erieurs” ε W n ( A ) = Coker ( K n ( A ) → ε K Q n ( A )) sont plus accessibles. E TH´EOR`EME DE P´ERIODICIT´E EN K -TH´EORIE HERMITIENNE 11 Comme il est bien connu, il existe d’autres d´efinitions des foncteurs K n et ε K Q n ´equivalentes `a la construction + de Quillen. La construction dite “ S − S ”(due aussi `a Quillen) est d´etaill´ee dans le cadre hermitien dans [ K1 ] § A -fibr´esplats qui est d´etaill´ee dans [ K2 ] p. 42 et c’est celle que nous utiliserons essentielle-ment ici. Rappelons-l`a bri`evement dans le cadre que nous int´eresse.On d´efinit un A -fibr´e hermitien “virtuel” sur un CW -complexe X comme la donn´eed’une fibration acyclique Y → X et d’un A -fibr´e plat E sur Y , la fibre ´etant un A -module projectif de type fini muni d’une forme hermitienne dans l’un des troissens que nous avons donn´es `a ce terme (ceci veut dire que les fonctions de transi-tion du fibr´e sur Y sont des fonctions localement constantes dans chacune des troiscat´egories “max”, “min” ou “´el” concern´ees).Deux tels fibr´es virtuels E → Y → X et E ′ → Y ′ → X sont dits ´equivalents s’il existe un fibr´e virtuel E → Y → X et un diagrammecommutatif Y f / / σ (cid:15) (cid:15) X f ′ (cid:15) (cid:15) Y f > > }}}}}}}} Y ′ σ ′ o o tel que σ ∗ ( E ) ∼ = E et σ ′∗ ( E ) ∼ = E ′ .En suivant le mˆeme sch´ema qu’en [ K2 ] p. 42-50, on montre que le groupe deGrothendieck construit avec ces fibr´es virtuels est isomorphe au groupe d´efini par lesclasses d’homotopie de X dans ε K Q ( A ) × B ε O ( A ) + , not´e ε K Q A ( X ), et qui est une“th´eorie cohomologique” en X . Si X est une sph`ere de dimension n ≥
0, on retrouveainsi ε K Q n ( A ) comme le conoyau de la fl`eche ´evidente ε K Q ( A ) → ε K Q A ( X ).On peut d´efinir le spectre de la K − th´eorie hermitienne par la mˆeme m´ethodequ’en K − th´eorie alg´ebrique. Ainsi, dans [ K1 ], on d´emontre l’analogue du th´eor`emede Gersten-Wagoner [ W ] en K − th´eorie hermitienne : on a une ´equivalence d’ho-motopie (non naturelle) entre Ω( B ε O ( SA ) + ) et ε K Q ( A ) × B ε O ( A ) + (la mˆemed´emonstration s’applique dans les trois cas consid´er´es ici). Plus pr´ecis´ement, ond´efinit le Ω-spectre de la K -th´eorie hermitienne ε KQ ( A ) ∗ par les formules sui-vantes : ε KQ ( A ) n = Ω ( B ε O ( S n + A ) + ) pour n ≥ ε KQ ( A ) n = Ω − n ( B ε O ( A ) + ) pour n < K -th´eorie hermitienne, nous nous servirons plutˆot de la th´eorie co-homologique associ´ee en termes de fibr´es virtuellement plats comme nous l’avonsexplicit´e plus haut. D’ailleurs, une situation analogue se pr´esente en K − th´eorietopologique, o`u les op´erations sont plus ais´ement d´efinies sur les fibr´es vectorielsplutˆot que sur la grassmannienne infinie.
4. Cup-produits en K − th´eorie hermitienne. Le cup-produit deClauwens.4.1. L’avantage du point de vue des fibr´es plats est une d´efinition tr`es simpledu cup-produit. Celui-ci est explicit´e dans [ K2 ] `a partir d’un morphisme Z -bilin´eaire ϕ : A × B → C v´erifiant la propri´et´e de multiplicativit´e suivante ϕ ( aa ′ , bb ′ ) = ϕ ( a, b ) ϕ ( a ′ , b ′ )Le cup-produit s’´ecrit alors sous la forme d’un accouplement bilin´eaire K A ( X ) × K B ( Y ) → K A ⊗ B ( X × Y )o`u la fl`eche est simplement induite par le produit tensoriel des fibr´es virtuellementplats. Si X est un espace muni d’un point base P , il est commode d’introduirela “ K -th´eorie r´eduite” e K A ( X ) = Ker [ K A ( X ) → K A ( P ) = K ( A )]. Le produitpr´ec´edent induit alors un “cup-produit r´eduit” e K A ( X ) × e K B ( Y ) → e K A ⊗ B ( X ∧ Y )En particulier, si X (resp. Y ) est une sph`ere S n (resp. S p ) avec n et p ≥
0, on end´eduit le cup-produit usuel en K -th´eorie alg´ebrique (cf. aussi [ L ]). Le mˆeme sch´ema s’applique en K − th´eorie hermitienne . Par exemple,compte tenu des signes de sym´etrie, les cup-produits classiques sont sch´ematis´espar des accouplements ε K Q max × η K Q min → εη K Q min et ε K Q max × η K Q ´el → εη K Q ´el De mani`ere pr´ecise, si nous consid´erons une ε -forme hermitienne paire φ = φ + ε t φ sur un A -module E et une forme η -quadratique d´efinie par une classe de de mor-phismes ψ sur un B -module F , alors φ ⊗ ψ est une classe de forme εη -quadratiquesur E ⊗ F . En outre, si α (resp. β ) est un morphisme unitaire (resp. orthogonal)de E (resp. F ), il est facile de voir que α ⊗ β est un morphisme orthogonal de E ⊗ F . De mani`ere analogue, si ( β, γ ) est un morphisme dans la cat´egorie η Q ´el , lecouple ( α ⊗ β, α ⊗ γ ) d´efinit un morphisme dans la cat´egorie εη Q ´el , ce qui d´efinitle deuxi`eme accouplement.Ces deux cup-produits, d´efinis en termes de modules, s’´etendent naturellement auxfibr´es plats ou virtuellement plats dans les cat´egories concern´ees (il convient denoter cependant que ψ n’est pas donn´e dans la structure pour le premier accou-plement mais seulement sa classe fibre par fibre). En consid´erant des fibr´es platssur des sph`eres homologiques, on d´efinit ainsi des accouplements ε K Q max n ( A ) × η K Q min p ( B ) → εη K Q min n + p ( C )et ε K Q max n ( A ) × η K Q ´el p ( B ) → εη K Q ´el n + p ( C ) ´A condition de supposer en outre que ϕ ( a, b ) = ϕ ( a, b ) E TH´EOR`EME DE P´ERIODICIT´E EN K -TH´EORIE HERMITIENNE 13 Nous allons maintenant introduire un autre cup-produit plus subtil, dˆuessentiellement `a Clauwens [ C ]. Celui-ci a ´et´e ´ecrit par Clauwens pour les cat´egoriesde modules mais il s’´etend ais´ement aux “bonnes” cat´egories des fibr´es virtuel-lement plats munis de formes quadratiques. De mani`ere pr´ecise, consid´erons lacat´egorie η Q ´el ( B ) ainsi que la sous-cat´egorie ε Q ´el ( A [ s ]) de ε Q ´el ( A [ s ]) form´ee des A [ s ]-modules provenant de A par extension des scalaires, l’involution sur A [ s ] ´etantinduite par l’involution de A et la transformation s − s .Un objet de ε Q ´el ( A [ s ]) peut ˆetre d´ecrit comme un couple ( E, θ ), o`u E est un objetde P ( A ) et θ une forme ε -quadratique sur E ⊗ Z Z [ s ] s’´ecrivant sous la forme P θ n s n ,o`u θ n est un morphisme de E vers E ∗ .Consid´erons maintenant un objet ( F, δ ) de η Q ´el ( B ) , o`u δ est une forme η -quadratiquenon d´eg´en´er´ee sur F avec ∆ = δ + η t δ comme forme hermitienne associ´ee. Sur E ⊗ F on peut alors consid´erer la forme εη -quadratique d´efinie par la formule suivante κ = X θ n ⊗ ∆(∆ − δ ) n Cette formule se simplifie si on identifie F et son dual par l’isomorphisme ∆, cequi revient `a remplacer ∆ − δ par δ . On peut de mˆeme identifier E `a E ∗ par l’iso-morphisme θ + P ∞ n =0 t θ n . Le foncteur de dualit´e f t f est alors remplac´ee parle foncteur d’adjonction f f ∗ . Un avantage de cette formulation est aussi de sed´ebarrasser des signes de sym´etrie. La formule pr´ec´edente s’´ecrit alors sous uneforme plus simple κ = X θ n ⊗ δ n avec δ ∗ = 1 − δ . En quelques lemmes fondamentaux (cf. [ C ] p. 43 et 44 et aussil’appendice, o`u on ´ecrit φ au lieu de ∆ − δ pour ´eviter toute confusion), Clauwensmontre que l’accouplement pr´ec´edent Obj ( ε Q ´el ( A [ s ])) × Obj ( η Q ´el ( B )) → Obj ( εη Q ´el ( A ⊗ B ))est bien d´efini sur les classes d’isomorphie de modules quadratiques ´elargis. En fait,Clauwens consid`ere dans son article des modules libres mais sa m´ethode est plusg´en´erale, comme nous l’explicitons dans l’appendice. En particulier, nous pouvonsd´efinir un cup-produit remarquable ε K Q ´el ( A [ s ]) × η K Q ´el ( B ) → εη K Q ´el ( A ⊗ B )o`u ε K Q ´el ( A [ s ]) est le sous-groupe de ε K Q ´el ( A [ s ]) engendr´e par les modules prove-nant de A par extension des scalaires (ceci est stablement le cas si A est noeth´erienr´egulier par exemple).Dans les consid´erations pr´ec´edentes, nous aurions pu remplacer la cat´egorie Q ´el par la cat´egorie plus simple Q min . La raison pour travailler dans la cat´egorie Q ´el est notre souhait de g´en´eraliser l’acccouplement d´efini sur les groupes K Q auxgroupes K Q n d´efinis dans le § n >
0. Si nous choisissons la d´efinition de la K − th´eorie hermitienne en termes de fibr´es plats, il nous faut montrer par exempleque la classe d’isomorphie de la forme quadratique κ d´efinie plus haut ne d´ependque des classes de θ et de δ . Les lemmes de Clauwens (red´emontr´es en appendice)montrent la n´ecessit´e de se donner le morphisme γ dans la formule ( S ) en 1.4. Grˆace`a ce nouveau point du vue, on peut ´etendre le cup-produit pr´ec´edent aux groupesde K Q -th´eorie sup´erieurs (dans la cat´egorie “´el”), soit ε K Q ´el n ( A [ s ]) × η K Q ´el p ( B ) → εη K Q ´el n + p ( A ⊗ B ) Au d´ebut de son article (th´eor`eme 1, p. 42), Clauwens montre que modulol’addition de A -modules hyperboliques (voir l’appendice pour un ´enonc´e pr´ecis), onpeut se ramener au cas o`u θ est “lin´eaire”, i.e. du type θ = gs . En d’autres termes, θ n = 0, `a l’exception de θ qui est ´egal `a g . Puisque la forme hermitienne associ´ee gs + ε t g (1 − s ) est un isomorphisme, ceci implique que t g = εg (1 + N ), o`u N estun endomorphisme nilpotent de E (un tel g est dit “presque hermitien”). Dans cecas, la formule pour la forme quadratique κ ci-dessus est tr`es simple : on trouve κ = g ⊗ δ (si on identifie F `a son dual par ∆ ) En d’autres termes, l’accouplement pr´ec´edentsur les groupes K Q ´el g´en´eralise (pour N = 0) l’accouplement classique entre lesformes hermitiennes (non n´ecessairement paires) et les formes quadratiques. Uncas particulier important est le cup-produit K Q ´el ( S Z [ s ]) × η K Q ´el p ( B ) → η K Q ´el p ( S Z ⊗ B ) = η K Q ´el p ( SB ) Soit u l’´element de K Q ´el ( S Z [ s ]) = K Q ´el ( S Z [ s ]) cor-respondant `a l’´el´ement unit´e dans K Q ( Z [ s ]) = Z × Z (cf. [ C ] , p. 47). Alors lecup-produit par u induit un isomorphisme entre η K Q ´el p ( B ) et η K Q ´el p ( SB ) D´emonstration.
Elle est analogue `a celle en K − th´eorie alg´ebrique ou hermitienneclassique (cf. [ K1 ] p. 224). Rappelons par ailleurs qu’un autre cup-produit plus simple a ´et´e d´efinien 4.2 : ε K Q max n ( A ) × η K Q ´el p ( B ) → εη K Q ´el n + p ( A ⊗ B )Ces deux produits sont reli´es ainsi : Le cup-produit de Clauwens est partiellement associatif dansle sens suivant. Pour trois anneaux B , C et D , on a le diagramme commutatif (avec n = n + n , ε = ε ε ) ε K Q max n ( C ) × ε K Q ´el n ( D [ s ]) × η K Q ´el p ( B ) / / (cid:15) (cid:15) ε K Q max n ( C ) × ε η K Q ´el n + p ( D ⊗ B ) (cid:15) (cid:15) ε ε K Q ´el n + n (( C ⊗ D )[ s ]) × η K Q ´el p ( B ) / / εη K Q ´el n + p ( C ⊗ D ⊗ B ) D´emonstration.
C’est une cons´equence directe de la formule donn´ee en 4.3. Nousdevons multiplier les deux membres de la formule par la mˆeme forme hermitiennepaire avant et apr`es avoir fait le produit tensoriel par ∆(∆ − δ ) n . Pour les degr´es n´egatifs, nous avons seulement `a consid´ererdes modules sur des suspensions it´er´ees des anneaux consid´er´es. La notion de formequadratique ´elargie est alors inutile dans les d´emonstrations. On peut mˆeme selimiter aux formes hermitiennes paires pour les degr´es < Si 1 est scind´e dans A (par exemple si 2 est inversible), ona des isomorphismes K Q ´el n ( A ) ∼ = K Q max n ( A ( e )) ∼ = K Q min n ( A ( e )) avec e = − e . E TH´EOR`EME DE P´ERIODICIT´E EN K -TH´EORIE HERMITIENNE 15
5. Le th´eor`eme fondamental de la K − th´eorie hermitienne pour desanneaux arbitraires5.1. Dans ce paragraphe, nous allons d´esigner le spectre de la K -th´eorie her-mitienne ainsi que celui de la K -th´eorie alg´ebrique par des caract`eres gras. Demani`ere pr´ecise, K ( A ) repr´esentera le spectre de la K -th´eorie alg´ebrique usuelle ; ce-lui de la K -th´eorie hermitienne sera repr´esent´e par l’un des trois spectres ε K Q max ( A ), ε K Q min ( A ) ou ε K Q ´el ( A ), suivant la th´eorie consid´er´ee. En particulier, les fonc-teurs “oubli” et hyperbolique induisent des morphismes ε K Q ´el ( A ) → K ( A ) et K ( A ) → − ε K Q ´el ( A )dont les fibres homotopiques respectives seront not´ees ε V ´el ( A ) et − ε U ´el ( A ). L’´enonc´esuivant g´en´eralise le th´eor`eme de [ K2 ] (p. 260). Nous avons une ´equivalence d’homotopie naturelle ε V ´el ( A ) ≈ Ω − ε U ´el ( A ) Le th´eor`eme est ´evident lorsque A = B × B op , une situationd´ej`a consid´er´ee dans les paragraphes pr´ec´edents. Dans ce cas, les spectres ε V ´el ( A )et Ω − ε U ´el ( A ) co¨ıncident tous les deux avec la fibre homotopique du morphisme´evident K ( B ( e )) → K ( B ) xK ( B ).Par ailleurs, si 1 est scind´e dans A , nous retrouvons le th´eor`eme fondamental de la K -th´eorie hermitienne ´enonc´e dans [ K2 ] p. 260 (cf. la remarque 5.11 un peu plusloin). La d´emonstration du th´eor`eme 5.2 va ˆetre en fait calqu´ee sur celle de [ K2 ].Nous mentionnerons simplement ici les modifications `a y apporter. Rappelons d’abord le principe g´en´eral de la d´emonstration dans [ K2 ]que nous appliquerons `a plusieurs reprises : un morphisme d’anneaux hermitiens f : A → B induit une application entre spectres ε K Q ´el ( A ) → ε K Q ´el ( B )dont nous pouvons interpr´eter la fibre homotopique d’apr`es un argument adapt´e deWagoner [ W ]. Pour cela, on consid`ere le produit fibr´e d’anneaux R / / (cid:15) (cid:15) CB (cid:15) (cid:15) SA / / SB d’o`u on d´eduit la fibration homotopique ε K Q ´el ( R ) / / ε K Q ´el SA ) / / ε K Q ´el ( SB )car ε K Q ´el ( CB ) est contractile. L’espace des lacets de ε K Q ´el ( R ) est donc la fibrehomotopique recherch´ee du morphisme ε K Q ´el ( A ) → ε K Q ´el ( B )Deux cas importants peuvent ˆetre consid´er´es. Dans le premier, le morphismeest A × A op → M ( A ) et dans le second A → A × A op , tous les deux d´efinis en par U A (resp. V A ) l’anneau R obtenu dans ces deux cas,nous voyons que ε U ´el ( A ) est homotopiquement ´equivalent `a Ω ε K Q ´el ( U A ) et que ε V ´el ( A ) est homotopiquement ´equivalent `a ΩK ε Q ´el ( V A ). Nous souhaitons d´efinir une application ε V ´el ( SA ) → − ε U ´el ( A )L’id´ee, d´ej`a pr´esente dans [ K2 ], est d’inclure cette application dans le diagrammesuivant ε K Q ´el ( A ) / / (cid:15) (cid:15) K ( A ) / / (cid:15) (cid:15) ε V ´el ( SA ) / / (cid:15) (cid:15) ε K Q ´el ( SA ) / / σ (cid:15) (cid:15) K ( SA ) / / (cid:15) (cid:15) ε V ´el ( S A ) (cid:15) (cid:15) − ε D ´el ( A ) / / K ( A ) / / − ε U ´el ( A ) / / − ε D ´el ( SA ) / / K ( SA ) / / − ε U ´el ( SA ) La th´eorie − ε D ´el ( A ) est ici la fibre homotopique de l’application K ( A ) → − ε U ´el( A ) qui est induite par le morphisme d’anneaux A × A op → M ( A ) d´ecrit pr´ec´edemment.Pour compl´eter ce diagramme, nous utilisons un ´el´ement remarquable de − D max0 ( Z )et effectuons le “cup-produit” par cet ´el´ement pour d´efinir une application naturelle σ : ε K Q ´el ( A ) → − ε D ´el ( A ). Les d´etails sont explicit´es en [ K2 ] § A n’est pas n´ecessaire pour cet argument, commeil a ´et´e d´ej`a soulign´e dans [ K2 ]). Nous proc´edons de mani`ere sym´etrique pour construire une application ensens inverse − ε U ´el ( A ) → ε V ´el ( SA ). Elle s’ins`ere dans le diagramme commutatifsuivant / / Ω − ε K Q ´el ( A ) / / (cid:15) (cid:15) − ε U ´el ( A ) / / (cid:15) (cid:15) K ( A ) / / (cid:15) (cid:15) − ε K Q ´el ( A ) / / θ (cid:15) (cid:15) − ε U ´el ( A ) (cid:15) (cid:15) / / ε E ´el ( SA ) / / ε V ´el ( SA ) / / K ( A ) / / ε E ´el ( S A ) / / ε V ´el ( S A ) La th´eorie ε E ´el ( A ) est ici la fibre homotopique de l’application compos´ee ε V ´el ( A ) → ε V ´el ( SA × SA op ) = K ( A ( e )) → K ( A )Pour compl´eter le diagramme, nous devons d´efinir une application θ : − ε K Q ´el ( A ) → ε E ´el ( S A )L’id´ee nouvelle par rapport `a [ K2 ] est d’utiliser maintenant le cup-produit de Clau-wens (´ecrit de mani`ere relative pour la theorie E ), soit − E ´el − ( Z [ s ]) × − ε K Q ´el n ( A ) → ε E ´el n − ( A )(avec s = − s ).Ceci se traduit au niveau des spectres par l’application θ . L’´el´ement de − E ´el − ( Z [ s ]) = − K Q ´el − ( Z [ s ]) = − K Q min − ( Z [ s ]) avec lequel est effectu´e le cup-produit est ´ecrit demani`ere explicite dans [ K1 ] p. 243 par une matrice `a 30 termes avec un l´eger chan-gement de notations (remplacer la lettre λ par s ). Nous devons ensuite plongerl’alg`ebre des polynˆomes laurentiens en les deux variables z et t dans la doublesuspension de Z [ s ]. En fait, pour la K − th´eorie, c’est `a dire la K − th´eorie hermitienne de A × A op , nous devonsremplacer l’anneau des nombres duaux A ( e ) par A , comme il a ´et´e pr´ecis´e en 1.8. E TH´EOR`EME DE P´ERIODICIT´E EN K -TH´EORIE HERMITIENNE 17 Pour terminer la d´emonstration du th´eor`eme 5.2, nous devons montrer que lesdeux compositions ε V ´el ( SA ) / / − ε U ´el ( A ) / / ε V ´el ( SA ) et − ε U ´el ( A ) / / ε V ´el ( SA ) / / − ε U ´el ( A )sont des ´equivalences d’homotopie. Nous nous r´ef´erons de nouveau `a [ K2 ] p 273-277 pour le d´etail des arguments. Le point essentiel est l’associativit´e partielle ducup-produit ´etabli en 4.7 qui remplace l’associativit´e usuelle utilis´ee en [ K2 ]. Eneffet, de cette associativit´e partielle, on d´eduit des diagrammes commutatifs K Q ´el ( Z [ s ]) × ε K Q ´el n ( A ) / / (cid:15) (cid:15) ε K Q ´el n ( A ) (cid:15) (cid:15) − D ´el ( Z [ s ]) × ε K Q ´el n ( A ) / / (cid:15) (cid:15) − ε D ´el n ( A ) (cid:15) (cid:15) K Q ´el ( Z [ s ]) × ε K Q ´el n ( A ) / / ε K Q ´el n ( A )Ce raisonnement montre que la composition ε V ´el ( SA ) / / − ε U ´el ( A ) / / ε V ´el ( SA )est une ´equivalence d’homotopie. On d´emontre de mˆeme la commutativit´e du dia-gramme − D ´el ( Z [ s ]) × ε K Q ´el n ( A ) / / (cid:15) (cid:15) − ε D ´el n ( A ) (cid:15) (cid:15) K Q ´el ( Z [ s ]) × ε K Q ´el n ( A ) / / (cid:15) (cid:15) ε K Q n ( A ) (cid:15) (cid:15) − D ´el ( Z [ s ]) × ε K Q ´el n ( A ) / / − ε D ´el n ( A )ce qui montre que la composition en sens inverse − ε U ´el ( A ) / / ε V ´el ( SA ) / / − ε U ´el ( A )est aussi une ´equivalence d’homotopie. Si nous nous int´eressons uniquement aux “groupes de Witt´etendus” ε W ´el n ( A ) = Coker ( K n ( A ) → ε K Q ´el n ( A ))les arguments pr´ec´edents se simplifient consid´erablement (avec un r´esultat moinsfort cependant ; `a comparer avec 5.9 et 6.6). Le cup-produit par les ´el´ements u ∈ − W max2 ( Z ) et u − ∈ − W ´el − ( Z [ s ]), associ´es aux ´el´ements construits en 5.5 et 5.6,d´efinissent des homomorphismes ε W ´el n ( A ) → − ε W ´el n +2 ( A ) et − ε W ´el n +2 ( A ) → ε W ´el n ( A )dont la composition (`a isomorphisme pr`es) est la multiplication par 4 (en utilisantdes arguments de K − th´eorie topologique : cf. [ K1 ], p. 251). Notons que ε W ´el n ( A ) est isomorphe `a ε W min n ( A ) si n ≤ ε W max n ( A ) si n <
0. Le groupe de Witt“stabilis´e” que nous d´efinirons dans le § Comme il a ´et´e explicit´e en [ K2 ] p. 278, le th´eor`eme 5.2 implique unesuite exacte `a 12 termes dont les termes sont d´efinis ainsi. Le “cogroupe de Witt” ε W n ´el ( A ) est le noyau de la fl`eche oubli ε K Q ´el n ( A )) → K n ( A )Nous d´efinissons le groupe k n ( A ) (resp. k n ( A ) ) comme le groupe de cohomologiede Tate pair (resp. impair) de Z / K n ( A ). Avec les d´efinitions pr´ec´edentes, nous avons une suite exacte`a 12 termes o`u, pour simplifier, nous ´ecrivons F pour F ( A ) en g´en´eral, F ´etantl’un des foncteurs W ´el , W ´el , k ´el ou k ´el . . . / / k n +1 / / − ε W ´el n +2 / / ε W ´el n / / k ´el n +1 / / − ε W ´el n +1 / / − ε W ´el n +1 / / k n +1 / / ε W ´el n +2 / / − ε W ´el n / / k n +1 / / ε W ´el n +1 / / ε W ´el n +1 / / k n +1 . . . Supposons que 1 soit scind´e dans A (par exemple que 2soit inversible). Les homomorphismes naturels ε W ´el n ( A ) → ε W n ( A ) et ε W ´el n ( A ) → ε W n ( A ) sont alors des isomorphismes. D´emonstration.
En raisonnant par r´esurrence sur n , c’est une cons´equence imm´ediatede 5.9 et du th´eor`eme 4.3 de [ K2 ] (voir aussi la remarque suivante). Si 1 est scind´e dans A , nous avons un diagramme commu-tatif de spectres ε V ´el ( A ) ≈ Ω − ε U ´el ( A ) ε V ( A ) O O ≈ Ω − ε U ( A ) O O o`u les fl`eches verticales sont des monomorphismes scind´es. On voit ainsi que leth´eor`eme 5.2 implique le th´eor`eme fondamental de [ K2 ] p. 260. Nous profitonsde cette occasion pour combler une lacune dans sa d´emonstration : elle supposaitimplicitement que W ( Z [ s ]) ≈ Z , un r´esultat dˆu aussi `a Clauwens ([ C ] p. 47). Nous allons conclure ce paragraphe par un calcul explicite de groupesde Witt dans des situations qui ne sont pas envisag´ees en [ K2 ]. Nous remarquonsd’abord que par la mˆeme m´ethode, nous pouvons d´efinir en bas degr´es des mor-phismes de p´eriodicit´e ε U min ( A ) / / − ε V min ( SA ) et − ε V min ( SA ) / / ε U min ( A ) E TH´EOR`EME DE P´ERIODICIT´E EN K -TH´EORIE HERMITIENNE 19 inverses l’un de l’autre `a isomorphisme pr`es, en sorte que le diagramme suivantcommute ε U ´el ( A ) (cid:15) (cid:15) / / − ε V ´el ( SA ) (cid:15) (cid:15) / / ε U ´el ( A ) (cid:15) (cid:15) ε U min ( A ) / / − ε V min ( SA ) / / ε U min ( A )En effet, la sophistication des fibr´es plats n’est pas n´ecessaire dans cette situation.Par ailleurs, puisque ε K Q ´el ( B ) est isomorphe `a ε K Q min ( B ) pour tout anneau B ,on d´eduit du diagramme pr´ec´edent un isomorphisme ε U ´el ( A ) ≈ → − ε U min ( A ). Nousavons enfin le diagramme commutatif suivant de suites exactes0 / / ε W ´el ( A ) (cid:15) (cid:15) / / ε U ´el ( A ) (cid:15) (cid:15) / / K ( A ) (cid:15) (cid:15) / / ε K Q ´el ( A ) (cid:15) (cid:15) / / ε W min ( A ) / / ε U min ( A ) / / K ( A ) / / ε K Q min ( A )Puisque les trois fl`eches de droite verticales sont des isomorphismes, nous en d´eduisonsle th´eor`eme suivant L’homomorphisme naturel ε W ´el ( A ) → ε W min ( A )est un isomorphisme. Soit A = F q un corps fini de caract´eristique 2. D’apr`esQuillen, les groupes K n ( F q ) sont des groupes finis d’ordre impair `a l’exceptionde K ( F q ) = Z . On a W ( F q ) = Z /
2, isomorphisme d´efini par l’invariant de Arf et W ( F q ) = Z /
2, isomorphisme d´efini par l’invariant de Dickson. Ici les groupes deWitt sont ceux calcul´es avec la forme param`etre min (c’est-`a-dire ceux associ´es `ades formes quadratiques).Par ailleurs, la suite exacte des 12 (th´eor`eme 5.11) se r´eduit en fait `a une suite `a 6termes, car ε = 1 = −
1. Si on utilise le th´eor`eme pr´ec´edent, on en d´eduit que lesgorupes de Witt ´elargis W ´el n ( F q ) sont ´egaux `a Z / n ∈ Z .
6. Les groupes de Witt stabilis´es6.1. Remarque.
Ce paragraphe est une extension aux anneaux quelconquesdes id´ees d´evelopp´ees dans une Note aux Comptes Rendus [ K4 ]. Une autre exten-sion aux sch´emas est d´ecrite dans [ S ]. Nous nous pla¸cons dans la cat´egorie des anneaux discrets A avec invo-lution a a (nous ne supposons pas la commutativit´e ni l’existence d’un ´el´ementunit´e). Les groupes de Witt stabilis´es ε W n ( A ), avec ε = ± n ∈ Z , que nousd´efinirons plus loin, v´erifient les propri´et´es suivantes
1) Exactitude . Pour toute suite exacte d’anneaux discrets avec involution0 / / A ′ / / A / / A ′′ / / W / / ε W n +1 ( A ) / / ε W n +1 ( A ”) / / ε W n ( A ′ ) / / ε W n ( A ) / / ε W n ( A ′′ ) / /
2) Periodicit´e . Nous avons un isomorphisme naturel ε W n ( A ) ∼ = − ε W n +2 ( A )et par cons´equent une p´eriodicit´e 4 par rapport `a l’indice n .
3) Invariance par extension nilpotente . Si I est un id´eal nilpotent dans A , la projection A → A/I induit un isomorphisme ε W n ( A ) ∼ = ε W n ( A/I )En d’autres termes ε W n ( I ) = 0 pour un anneau nilpotent.
4) Invariance homotopique . Si 1 est scind´e dans A (en particulier si 2 estinversible) l’extension polynomiale A → A [ t ] (o`u t = t ) induit un isomor-phisme ε W n ( A ) ∼ = ε W n ( A [ t ])
5) Normalisation . Si A est unitaire, il existe un homomorphisme naturelΘ : ε W n ( A ) → ε W n ( A )o`u ε W n ( A ) est le groupe de Witt classique [ K1 ] construit avec les formesquadratiques. Celui-ci induit un isomorphisme ε W n ( A ) ⊗ Z Z ′ ∼ = ε W n ( A ) ⊗ Z Z ′ o`u Z ′ = Z [1 / A est noeth´erien r´egulier, l’homomorphisme Θ est un isomorphisme lorsque n ≤
0. Si on suppose en outre que 2 est inversible dans A , les W n ( A ), n mod 4, sont les groupes de Witt triangul´es de Balmer [Ba]. Pour d´emontrer l’existence d’une telle th´eorie, nous allons essentielle-ment utiliser les r´esultats du paragraphe pr´ec´edent sur la p´eriodicit´e en K -th´eoriehermitienne. Rappelons que dans [ K2 ] p. 243 nous avons d´efini un ´el´ement remar-quable u − dans − K Q − ( Z [ s ]) = − K Q ´el − ( Z [ s ])d´efini par une matrice antisym´etrique ayant 30 ´el´ements et `a coefficients dans l’an-neau des polynˆomes laurentiens `a deux variables Z [ s ][ t, u, t − , u − ]. Cet ´el´ementnous a d´ej`a servi dans le § − ε U ´el n +1 ( A ) → ε V ´el n ( A ). Dans le paragraphe 4, nous avons d´efini pour tout anneau unitaire A uncup-produit − K Q ´el − ( Z [ s ]) × ε K Q ´el n ( A ) → − ε K Q ´el n − ( A )Puisque nous sommes seulement int´eress´es aux valeurs de n qui sont ≤
0, nouspouvons remplacer les groupes K Q ´el n par K Q min n (et mˆeme K Q max n pour n < K Q n . En outre, l’homomorphisme de p´eriodicit´e(d´efini par le cup-produit avec u − ) β : ε K Q n ( A ) → − ε K Q n − ( A )compos´e `a gauche par la fl`eche oubli − ε K Q n − ( A ) → K n − ( A ) ou compos´e `a droitepar la fl`eche hyperbolique K n ( A ) → ε K Q n ( A ) est r´eduit `a 0 (car la K -th´eorie de lasuspension d’un anneau noeth´erien r´egulier est triviale). Par cons´equent, la limiteinductive du syst`eme de groupes de K − th´eorie hermitienne ε K Q n ( A ) / / − ε K Q n − ( A ) / / ε K Q n − ( A ) / / − ε K Q n − ( A ) / / . . . E TH´EOR`EME DE P´ERIODICIT´E EN K -TH´EORIE HERMITIENNE 21 est aussi la limite inductive du syst`eme de groupes de Witt associ´es ε W n ( A ) / / − ε W n − ( A ) / / ε W n − ( A ) / / − ε W n − ( A ) / / . . . Cette limite est par d´efinition le groupe de Witt stabilis´e ε W n ( A ) que nous sou-haitions d´efinir. Notons que grˆace `a l’excision en K -th´eorie et en K -th´eorie her-mitienne en degr´es ≤
0, nous pouvons ´etendre cette d´efinition aux anneaux nonn´ecessairement unitaires en d´efinissant ε K Q n ( A ) comme le noyau de ε K Q n ( A + ) → ε K Q n ( Z ) , o`u A + est l’anneau A (consid´er´e comme une Z -alg`ebre) apr`es additiond’un ´el´ement unit´e. La d´efinition de ε W n ( A ) pour A non unitaire est tout `a faitanalogue. De ces consid´erations et de l’excision pour les groupes K Q n si n ≤ A toute suite exacte d’anneaux discrets avec involution / / A ′ / / A / / A ” / / nous pouvons associer naturellement une suite exacte des groupes de Witt stabilis´es . . . / / ε W n ( A ′ ) / / ε W n ( A ) / / ε W n ( A ′′ ) / / ε W n − ( A ′ ) / / ε W n − ( A ) / / . . . L’isomorphisme ε W n ( A ) ∼ = − ε W n +2 ( A ) et la p´eriodicit´e 4 se d´eduisentimm´ediatement des d´efinitions. Soit A un anneau noeth´erien r´egulier uni-taire. Alors le groupe de Witt stabilis´e W ( A ) (resp. − W ( A ) ) co¨ıncide avec legroupe de Witt classique des formes quadratiques (resp. (-1)-quadratiques). Enoutre, pour tout anneau A unitaire, les homomorphismes canoniques ε W ´el n ( A ) / / ε W min n ( A ) / / ε W max n ( A ) / / ε W n ( A ) induisent des isomorphismes en tensorisant par Z ′ = Z [1 / . D´emonstration.
Puisque les groupes de K -th´eorie n´egative de A sont triviaux si A est noeth´erien r´egulier, la suite exacte `a 12 termes d´ecrite en 5.9 montre que lesfl`eches de la suite ε W ( A ) / / − ε W − ( A ) / / ε W − ( A ) / / − ε W − ( A ) / / ... sont des isomorphismes. Par exemple, si ε = 1 et si A est le corps `a 2 ´el´ements,nous trouvons le groupe Z / A est un anneau quelconque, en utilisant la localisation en K -th´eorie hermitienne, nous avons construit en [ K1 ] deux ´el´ements dans − W max2 ( Z )et − W max − ( Z ) dont le cup-produit dans W max ( Z ) est une puissance de 2. Lespremiers isomorphismes se d´emontrent en se ramenant par p´eriodicit´e aux degr´esn´egatifs. Le dernier isomorphisme r´esulte de la suite exacte `a 12 termes d´emontr´eeen 5.9. Si I est un id´ealnilpotent dans A , la projection A → A/I induit un isomorphisme ε W n ( A ) ∼ = ε W n ( A/I ) Par cons´equent, ε W n ( I ) = 0 pour tout id´eal nilpotent I . D´emonstration.
Sans restreindre la g´en´eralit´e, nous pouvons supposer que A estunitaire. Dans ce cas, il est bien connu que tout module projectif de type fini sur A/I provient d’un module projectif E sur A par extension des scalaires et qu’il estdonc du type E/I . Par cons´equent, la forme ε -hermitienne sur A/I est donn´ee parun isomorphisme ϕ : E/I → ( E/I ) ∗ Puisque ϕ est paire, nous pouvons l’´ecrire sour la forme ϕ + ε t ϕ . Soit e ϕ unhomomorphisme E → E ∗ tel que e ϕ = ϕ mod I . Alors ϕ = f ϕ + ε t f ϕ est uneforme ε - hermitienne non d´eg´en´er´ee E → E ∗ qui est un relev´e de ϕ . Ceci montreque le morphisme ε K Q ( A ) → ε K Q ( A/I ) est surjectif pour tout id´eal nilpotent I (aussi bien pour K Q max que pour K Q min ). Il en est donc de mˆeme de ε K Q n ( A ) → ε K Q n ( A/I )pour n ≤ n < ε W n ( A ) → ε W n ( A/I )en r´esulte.L’injectivit´e du morphisme ε W n ( A ) → ε W n ( A/I ) est plus d´elicate `a montrer. Enraisonnant par r´ecurrence sur le degr´e de nilpotence de I , nous pouvons d’abordsupposer que I = 0. Par ailleurs, nous savons que tout module muni d’une formehermitienne paire est facteur direct d’un module hyperbolique. C’est donc l’imaged’un projecteur auto-adjoint p , soit p = p et p ∗ = p dans un H ( A n ).Enfin, sans restreindre la g´en´eralit´e (puisque nous stabilisons), nous pouvons sup-poser que A est la suspension SR d’un anneau R et que I = SJ o`u J est un id´eal de R tel que J = 0. La d´emonstration de l’injectivit´e se r´esume alors `a la solution duprobl`eme suivant : nous consid´erons deux projecteurs auto-adjoints p et p dansun module hyperbolique sur A = SR tels que leurs images mod I , soient p et p sont conjugu´ees. Puisque ε K Q ( SR ) ∼ = ε K Q ( R ) en g´en´eral et que le morphisme ε K Q ( R ) → ε K Q ( R/J ) est surjectif comme nous l’avons vu pr´ec´edemment, nouspouvons supposer sans restreindre la g´en´eralit´e que p = p ou encore p = p + σ ,o`u σ appartient `a I . De l’identit´e ( p ) = p et de l’´egalit´e I = 0, nous d´eduisonsles relations suivantes : σ = p σ + σp σp σ = 0 σ = σ p = p σ Consid´erons maintenant l’endomorphisme α = 1 − p − p + 2 p p . Puisque α ≡ I , c’est un isomorphisme. Par ailleurs, il v´erifie la relation αp = p α .Nous allons maintenant montrer que αα ∗ = 1. Pour cela, on remarque que α s’´ecritaussi α = 1 − σ + 2 p σ La surjectivit´e de l’homomorphisme ε K Q min1 (Λ) → ε K Q min1 (Λ /I ) implique la surjectivit´ede l’homomorphisme ε O min (Λ) → ε O min (Λ /I ). E TH´EOR`EME DE P´ERIODICIT´E EN K -TH´EORIE HERMITIENNE 23 et, grˆace aux identit´es pr´ec´edentes, un calcul direct montre bien que αα ∗ = (1 − σ + 2 p σ )(1 − σ + 2 σp ) = 1Les projecteurs p et p sont ainsi conjugu´es par un automorphisme unitaire etd´eterminent par cons´equent la mˆeme classe de forme hermitienne paire . Soit A un anneau unitaire telque 1 soit scind´e dans A . Il existe donc un ´el´ement λ dans le centre de A telque λ + λ = 1 . L’extension polynomiale A → A [ t ] (avec t = t ) induit alors unisomorphisme ε W n ( A ) ∼ = ε W n ( A [ t ]) D´emonstration.
Il suffit de d´emontrer le th´eor`eme pour n = 0. Celui-ci est d´ej`aconnu pour 2 inversible dans A (voir [ O ] pour une preuve simple). Cependant, ilexiste des anneaux o`u 2 n’est pas inversible et o`u 1 est scind´e, par exemple le corpsfini F muni de l’involution non triviale. Pour traiter ce cas plus g´en´eral, nous de-vons r´e´examiner la preuve classique. En fait, le seul point qui m´erite une pr´ecisiondans cette preuve est le lemme suivant. Soit A un anneau avec λ dans le centre de A tel que λ + λ .Soit E un A -module muni d’une forme ε -hermitienne et soit α = 1 + νt un ´el´ementde GL ( E ⊗ Z [ t ]) avec ν nilpotent et auto-adjoint. Alors α peut ˆetre ´ecrit sous laforme γ ( t ) ∗ γ ( t ) , o`u γ ( t ) est un polynˆome en t dans l’anneau engendr´e par λ et ν . D´emonstration.
Nous allons construire par r´ecurrence sur n un polynˆome de degr´eau plus n dans l’anneau engendr´e par ν et λ , soit γ n ( t ) = 1 + a t + a t + · · · + a n t n ,tel que γ n ( t ) ∗ γ n ( t ) ≡ νt mod ( νt ) n +1 . Pour n = 1, nous posons γ ( t ) = 1 + λνt .Si γ n est construit, nous avons γ n ( t ) ∗ γ n ( t ) = 1+ νt + b n +1 ( νt ) n +1 mod ( νt ) n +2 avec b n +1 = b n +1 . Nous posons alors γ n +1 ( t ) = (1 − λb n +1 ( νt ) n +1 ) γ n ( t ) pour obtenirl’identit´e requise γ n +1 ( t ) ∗ γ n +1 ( t ) ≡ νt mod ( νt ) n +2 Si A est un corps fini de caract´eristique 2, il est facile demontrer que les groupes de Witt stabilis´es W n ( A ) sont tous isomorphes `a Z /
2. Ilsco¨ıncident en fait avec les groupes W ´el n ( A ) en tout degr´e. Ces groupes de Witt stabilis´es ont ´et´e g´en´eralis´es aux sch´emaspar M. Schlichting [ S ]. Dans cette g´en´eralit´e, on doit cependant supposer 2 inver-sible.
7. Les lemmes de Clauwens7.1. Lemme.
La forme hermitienne associ´ee `a la forme quadratique κ d´efinieen 4.3 est non d´eg´en´er´ee. D’apr`es 2.10, il revient au mˆeme de consid´erer des formes hermitienne paires ou des formesquadratiques dans les groupes stabilis´es.
D´emonstration.
Nous suivons les simplications de notation indiqu´ees en 4.3 en rem-pla¸cant notamment δ par φ tel que φ + φ ∗ = 1. Nous pouvons donc ´ecrire κ = X θ n ⊗ φ n qu’il est plus suggestif de noter θ ( φ ). Nous avons alors κ + κ ∗ = X θ n ⊗ φ n + X ( θ n ) ∗ ⊗ ( φ ) ∗ n = X θ n ⊗ φ n + X ( θ n ) ∗ ⊗ (1 − φ ) n Par ailleurs, on sait que le polynˆome en s d´efini par P θ n ⊗ s n + P ( θ n ) ∗ ⊗ (1 − s ) n estinversible (c’est la forme hermitienne H associ´ee `a θ ). Il en r´esulte ´evidemment que κ + κ ∗ est inversible. On peut aussi l’´ecrire H ( φ ) avec un abus d’´ecriture ´evident. Si on change θ = P θ n s n en θ + Z − Z ∗ , les formes quadratiquesassoci´es κ et κ ′ sont ´equivalentes. D´emonstration.
La forme quadratique θ = P θ n s n est modifi´ee en X θ n s n + X σ n s n − X ( σ n ) ∗ (1 − s ) n Par cons´equent κ est modifi´ee en κ + σ ( φ ) − ( σ ( φ )) ∗ (remplacer s par φ ). Modulo l’image de K Q ( A ) dans K Q ´el ( A [ s ]) (et mˆeme d’uneforme hyperbolique sur A ), tout ´el´ement de ce dernier groupe peut ˆetre repr´esent´epar une forme lin´eaire en s . D´emonstration.
Soit θ = P N θ n s n une forme quadratique de degr´e N . L’iden-tit´e suivante et un raisonnement par r´ecurrence sur N montre qu’on peut r´eduirele degr´e de θ `a 0 ou 1 − s ( θ N ) ∗ (1 − s ) N − θ − s θ N s N − = θ − θ N s N − sθ N s N − Si θ s’´ecrit θ + θ s , on peut aussi ´eliminer le terme constant en ´ecrivant que θ est ´equivalente `a θ + θ s − θ (1 − s ) + ( θ ) ∗ s = ( θ + θ + ( θ ) ∗ ) s ce qui d´emontre le lemme.Le lemme pr´ec´edent nous montre qu’il suffit de v´erifier la validit´e du produit deClauwens d´efini en 4.3 (mˆemes notations), dans le cas o`u θ est une forme lin´eaireen s, soit σs avec σ presque sym´etrique, i.e. σ ∗ = σ (1 + N ), avec N nilpotent. Ilnous faut montrer ensuite que le cup-produit de Clauwens ne d´epend que de laforme quadratique associ´ee `a δ (ou l’endomorphisme φ grˆace `a l’identification de F `a son dual). Rappelons qu’on a aussi identifi´e E `a son dual par l’isomorphisme θ + P ∞ n =0 t θ n .Si on pose G = E ⊗ F , la transpos´ee t f d’une application f de G dans son duals’identifie ´egalement `a son application adjointe f ∗ (cf. les remarques faites en 4.3). E TH´EOR`EME DE P´ERIODICIT´E EN K -TH´EORIE HERMITIENNE 25 Soit φ et ζ deux endomorphismes de F tels que φ + φ ∗ = 1 .Pour tout entier p ≥ , il existe alors un isomorphisme f p de G sur son dual telque ( f p ) ∗ ( σ ⊗ φ ) f p = σ ⊗ ( φ + ζ − ζ ∗ ) + Z p − ( Z p ) ∗ mod ( σN p +1 ⊗ o`u N = σ − σ ∗ − est nilpotent et o`u l’expression mod ( σN p +1 ⊗ signifie unesomme de morphismes du type σN p +1 ⊗ κ p +1 + σN p +2 ⊗ κ p +2 + . . . (qui est finiepuisque N est nilpotent). D´emonstration.
Puisque σ ∗ = σ + σN , on a σ ∗ N k ⊗ σN k ⊗ σN k +1 ⊗ N ∗ k σN r = σN r + k mod σN r + k +1 ⊗
1. Nous allons maintenantconstruire f p et Z p par r´ecurrence sur p . Pour p = 0, on pose f = 1 et Z = − σ ⊗ ζ .Pour d´efinir f p +1 `a partir de f p , on ´ecrit( f p ) ∗ ( σ ⊗ φ ) f p − [ σ ⊗ ( φ + ζ − ζ ∗ ) + Z p − ( Z p ) ∗ ] = − σN p +1 ⊗ κ p +1 mod ( σN p +1 ⊗ U = N p +1 ⊗ κ p +1 et f p +1 = f p + U et Z p +1 = Z p + U ∗ ( σ ⊗ φ )En travaillant mod ( σN p +2 ⊗ f p +1 ) ∗ ( σ ⊗ φ ) f p +1 − [ σ ⊗ ( φ + ζ − ζ ∗ ) + Z p +1 − ( Z p +1 ) ∗ ]= ( f p +1 ) ∗ ( σ ⊗ φ ) f p +1 − ( f p ) ∗ ( σ ⊗ φ ) f p − ( Z p +1 − Z p ) + (( Z p +1 ) ∗ − ( Z p ) ∗ ) − σN p +1 ⊗ κ = U ∗ ( σ ⊗ φ ) + ( σ ⊗ φ ) U − U ∗ ( σ ⊗ φ )) + ( σ ∗ ⊗ φ ∗ ) U − σN p +1 ⊗ κ = σN p +1 ( φ + φ ∗ − κ = 0 mod σN p +2 ⊗ R´ef´erences [B1] BAK A. : K -theory of forms. Annals of Math Studies 98, Princeton N.J. Princeton UniversityPress (1981).[B2] BAK A. : Arf ’s theorem for trace noetherian and other rings. Journal of Pure and AppliedAlgebra 14 (1979), 1-20[BA] BALMER P. : An introduction to triangular Witt groups and a survey of applications.Algebraic and arithmetic theory of quadratic forms, 3158, Contemp. Math., 344, Amer. Math.Soc. (2004).[C] CLAUWENS F.J.-B.J : The K -theory of almost symmetric forms. Topological structures II.Mathematical Centre Tracts 115, (1975) 41-49.[K1] KAROUBI M. : Th´eorie de Quillen et homologie du groupe orthogonal. Annals of Maths112, (1980) 207-282.[K2] KAROUBI M. : Le th´eor`eme fondamental de la K -th´eorie hermitienne. Annals of Maths112, (1980) 259-282.[K3] KAROUBI M. : Homologie cyclique et K -th´eorie. Ast´erisque N ◦
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