Liouville-type theorems outside of small exceptional sets for functions of finite order
УУДК 517.574 : 517.576 : 517.550.4 : 517.547.2 : 517.518.244
ТЕОРЕМЫ ТИПА ЛИУВИЛЛЯВНЕ МАЛЫХ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ МНОЖЕСТВДЛЯ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Б.Н. Хабибуллин
Аннотация.
Доказано, что выпуклые функции на вещественной прямой R и субгармонические функции на R m , m > , конечного порядка, огра-ниченные сверху вне некоторого множества нулевой относительной лебе-говой плотности, ограничены сверху всюду соответственно на R или R m .Отсюда субгармонические на комплексной плоскости C , целые и плюри-субгармонические на C n , а также выпуклые или гармонические функциина R m конечного порядка, ограниченные сверху вне некоторого множе-ства нулевой относительной лебеговой плотности, постоянны. Ключевые слова: целая функция, субгармоническая функция, плю-рисубгармоническая функция, выпуклая функция, гармоническая функ-ция, среднее по шару, функция конечного порядка, теорема Лиувилля
MSC 2010:
Основа нашей заметки — классическая для целых, т. е. голоморфных на ком-плексной плоскости C или на C n , где n ∈ N := { , , . . . } , функций Теорема Лиувилля.
Если целая функция ограничена, то она постоянна.
Такое же заключение верно и для ограниченных сверху субгармонических функ-ций на C [1, следствие 2.3.4] и, как очевидное следствие, плюрисубгармоническихфункций на C n , выпуклых функций на вещественной прямой R и, как мгновен-ное следствие, на R m при < m ∈ N , а также гармонических функций на R m прилюбых m ∈ N [2, теорема 1.19].Недавно в работе [3, лемма 4.2] была дана версия теоремы Лиувилля для целыхфункций конечного порядка на C , ограниченных не всюду, а лишь вне некоторогомалого множества E ⊂ C . В [4, лемма 4.2] её доказательство откорректировано, аперед её формулировкой в [5, преамбула теоремы 2.1] отмечается, что установленаона А. А. Боричевым. Приведённые в [3] и [4] доказательства используют далеко нетривиальные факты и рассуждения теорий функций комплексного переменного. c (cid:13) Поступила 3 сентября 2020 г. a r X i v : . [ m a t h . C V ] S e p Б.Н. Хабибуллин
Теорема B (([3, лемма 4.2], [4, лемма 4.2], [5, теорема 2.1])) . Если целая функ-ция конечного порядка на C ограничена вне множества E ⊂ C нулевой плоскойплотности по плоской мере Лебега λ в том смысле, что определён предел (1) lim r → + ∞ λ (cid:0) { z ∈ E : | z | ≤ r } (cid:1) r = 0 , то эта функция постоянная. Основные результаты настоящей статьи развивают и распространяют теоремуB на плюрисубгармонические и целые функции на C n для всех n ∈ N , а такжена выпуклые и гармонические функции на R m . При этом наше доказательствои для случая целых функций одной комплексной переменной проще и построенона подходе, отличном от применявшегося в предшествующем доказательстве А.А.Боричева теоремы B. Так, это «одномерное» доказательство уже было представ-лено в краткой заметке [6] с описанием его перспектив.Пусть функция M со значениями в расширенной вещественной прямой R := R ∪ {±∞} определена на положительной полуоси R + := { x ∈ R : x ≥ } , в R m или в C n , отождествляемом с R n , с евклидовой нормой | · | , но, вообще говоря,вне некоторого замкнутого шара B ( r ) ограниченного радиуса r ∈ R + с центром внуле. Порядок функции M (около ∞ ) можно определить как(2) ord [ f ] := lim sup | x |→∞ ln (cid:0) M + ( x ) (cid:1) ln | x | ∈ R + ∪ { + ∞} , где M + : x (cid:55)→ max { , M ( x ) } — положительная часть функции M . Порядок целойфункции f на C n определяется как порядок ord (cid:2) ln | f | (cid:3) плюрисубгармонической функции ln | f | . Относительной лебеговой плотностью измеримого по мере Лебега λ на R m подмножества E ⊂ R m называем величину(3) L m ( E ) := lim r → + ∞ λ (cid:0) E ∩ B ( r ) (cid:1) r m , если предел существует. Определение очевидным образом переносится на C n , отож-дествлённое с R n , как L n ( E ) . Основная теорема.
Пусть m ∈ N и E ⊂ R m — множество нулевой относи-тельной лебеговой плотности L m ( E ) = 0 в R m . Если субгармоническая функция v конечного порядка на R m ограничена сверху на R m \ E , то (4) sup R m v = sup R m \ E v < + ∞ . Пусть n ∈ N . Функция на C n называется плюрисубгармонической, если её суже-ние на каждую комплексную прямую — субгармоническая. В частности, при n = 1 эти понятия — одно и то же, а каждая плюрисубгармоническая функция на C n ЕОРЕМЫ ТИПА ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 3 и субгармоническая на R n . По нашей основной теореме из классических теоремЛиувилля для плюрисубгармонических и целых функций сразу следует Теорема 1.
Пусть n ∈ N и E ⊂ C n — множество нулевой относительнойлебеговой плотности в C n в смысле (3) на R n , отождествлённом с C n , т. е. L n ( E ) = 0 . Если плюрисубгармоническая или целая функция конечного порядкана C n ограничена сверху на C n \ E , то она постоянная. Субгармонические функции на R — это в точности выпуклые функции, а при m ∈ N каждая выпуклая или гармоническая функция субгармоническая. По на-шей основной теореме из классических теорем Лиувилля для выпуклых или гар-монических функций на R m сразу следует Теорема 2.
Пусть m ∈ N и E ⊂ R m — множество нулевой относительнойлебеговой плотности в R m . Если выпуклая или гармоническая функция конечногопорядка на R m ограничена сверху на R m \ E , то она постоянная. Таким образом, достаточно доказать основную теорему, к чему и переходим.Для m ∈ N , x ∈ R m и r ∈ R + через B ( x, r ) := { x (cid:48) ∈ R m : | x (cid:48) − x | ≤ r } обо-значаем замкнутый шар в R m радиуса r с центром x , и, как и прежде, B ( r ) := B (0 , r ) . Аналогично для C n , отождествляемом с R n . Для λ -интегрируемой функ-ции v : B ( x, r ) → R полагаем(5) B v ( x, r ) := 1 λ (cid:0) B ( x, r ) (cid:1) (cid:90) B ( x,r ) v d λ = 1 b m r m (cid:90) B ( x,r ) v d λ, B v ( r ) := B v (0 , r ) , где b m — объём единичного шара. Это соответственно средние функции v по за-мкнутым шарам B ( x, r ) и B ( r ) . Положительность понимается как ≥ , отри-цательность — это ≤ . Предложение 1.
Пусть v — положительная λ -измеримая функция на замкну-том шаре B ( R ) ⊂ R m , < r < R , и x ∈ B ( r ) . Тогда (6) B v ( x, R − r ) ≤ (cid:16) rR − r (cid:17) m B v ( R ) . Доказательство.
По определению (5), в силу положительности v на B ( R ) и вклю-чений B ( x, R − r ) ⊂ B ( R ) для всех x ∈ B ( r ) получаем B v ( x, R − r ) (5) = 1 b m ( R − r ) m (cid:90) B ( x,R − r ) v d λ ≤ b m ( R − r ) m (cid:90) B ( R ) v d λ = b m R m b m ( R − r ) m b m R m (cid:90) B ( R ) v d λ (5) = (cid:16) rR − r (cid:17) m B v ( R ) , что и требовалось для (6). (cid:3) Через sbh ( S ) обозначаем класс всех субгармонических ( локально выпуклых при m = 1 ) функций на каких-либо открытых окрестностях множества S ⊂ R m . Роль Б.Н. Хабибуллин средних по шару из (5) для субгармонических функций обусловлена полностьюхарактеризующим их, при условии полунепрерывности сверху и локальной инте-грируемости по мере Лебега λ , неравенством о среднем по шару [1], [2]:(7) v ( x ) ≤ B v ( x, r ) при v ∈ sbh (cid:0) B ( x, r ) (cid:1) . Предложение 2.
Пусть v — субгармоническая функция на замкнутом шаре B ( R ) ⊂ R m , r ∈ (0 , R ) и E ⊂ B ( r ) — λ -измеримое множество. Тогда (8) (cid:90) E v d λ ≤ (cid:16) rR − r (cid:17) m λ ( E ) B v + ( R ) . Доказательство.
Из неравенства (7) о среднем по шару получаем v ( x ) ≤ B v ( x, R − r ) ≤ B v + ( x, R − r ) для каждой точки x ∈ B ( r ) . Интегрирование крайних частей этого неравенства по мере Лебега λ на множестве E даёт неравенство (cid:90) E v d λ ≤ (cid:90) E B v + ( x, R − r ) d λ ( x ) . Отсюда, по неравенству (6) предложения 1, применённому к подынтегральномувыражению с положительной функцией v + в последнем интеграле, получаем (cid:90) E v d λ ≤ (cid:90) E (cid:16) rR − r (cid:17) m B v + ( R ) d λ ( x ) = (cid:16) rR − r (cid:17) m B v + ( R ) λ ( E ) , что и даёт (8). (cid:3) Основная лемма.
Пусть v — субгармоническая функция на шаре B ( R ) ⊂ R m .Тогда для любого числа r ∈ (0 , R ) и для любого λ -измеримого подмножества E ⊂ B ( r ) имеет место неравенство (9) B v ( r ) ≤ b m r m (cid:90) B ( r ) \ E v d λ + 1 b m (cid:16) rR − r (cid:17) m λ ( E ) r m B v + ( R ) . Доказательство.
По определению (5) B v ( r ) = 1 b m r m (cid:90) B ( r ) \ E v d λ + 1 b m r m (cid:90) E v d λ, откуда по неравенству (8) предложения 2, применённому к последнему интегралу,получаем в точности требуемое (9). (cid:3) Доказательство основной теоремы.
Положим(10) M := sup R m \ E v ∈ R . По условию ограниченности сверху на R m \ E функции v можно рассмотреть суб-гармоническую функцию v − M , отрицательную на R m \ E . Применим теперь основ-ную лемму при произвольных < r ∈ R + с R = 2 r и с множеством-пересечением ЕОРЕМЫ ТИПА ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 5 E ∩ B ( r ) ⊂ B ( r ) в роли множества E к субгармонической функции ( v − M ) + ≥ ,где первый интеграл в правой части (9) будет равен нулю, а в итоге получим B ( v − M ) + ( r ) ≤ b m (cid:16) r r − r (cid:17) m λ (cid:0) E ∩ B ( r ) (cid:1) r m B ( v − M ) + (2 r )= 2 m b m λ (cid:0) E ∩ B ( r ) (cid:1) r m B ( v − M ) + (2 r ) при всех < r ∈ R + . Отсюда по условию L m ( E ) (3) = 0 для функции(11) r (cid:55)−→ < r ∈ R + B ( v − M ) + ( r ) ∈ R + имеем(12) B ( v − M ) + ( r ) = o (cid:0) B ( v − M ) + (2 r ) (cid:1) при r → + ∞ . Функция (11) конечного порядка ord [ B ( v − M ) + ] ∈ R + , поскольку ord [( v − M ) + ] ∈ R + ввиду конечности порядка ord [ v ] . Следовательно, (12) возможно только в случае B ( v − M ) + ≡ , и, как следствие ( v − M ) + ≡ . Это вместе с (10) даёт (4). (cid:3) Замечание.
Условие нулевой лебеговой плотности L m ( E ) = 0 в основной теоремеи в теореме 2, как и то же самое с m := 2 n в теореме 1, можно заменить на фор-мально более слабое условие: существует неограниченная последовательностьположительных чисел ( r k ) k ∈ N , для которой lim sup k →∞ r k +1 r k < + ∞ и при этом lim k →∞ λ (cid:0) E ∩ B ( r k ) (cid:1) r mk = 0 . Формально, поскольку последнее влечёт за собой L m ( E ) = 0 . Список литературы [1] Th. Ransford
Potential Theory in the Complex Plane , Cambridge University Press, Cambridge(1995).[2] У. Хейман, П. Кеннеди
Субгармонические функции . М.: Мир. 1980.[3] A. Baranov, Yu. Belov, A. Borichev
Summability properties of Gabor expansions // J. Funct.Anal. :9, 2532–2552 (2018).[4] A. Baranov, Y. Belov, A. Borichev
Summability properties of Gabor expansions,
Version 2, Dec.5, 2018, https://arxiv.org/abs/1706.05685v2[5] A. Aleman, A. Baranov, Y. Belov, H. Hedenmalm
Backward shift and nearly invariant subspacesof Fock-type spaces,
July 12, 2020, https://arxiv.org/abs/2007.06107[6] Bulat N. Khabibullin To the Liouville theorem for entire functions of finite order, Aug 30, 2020,https://arxiv.org/abs/2009.01019
Булат Нурмиевич ХабибуллинБашкирский государственный университет,г.Уфа, Башкортостан, Россия
E-mail address ::