Liouville-type theorems with constraints outside of small sets on circles or spheres for functions of finite order
aa r X i v : . [ m a t h . C V ] S e p УДК 517.574 : 517.576 : 517.550.4 : 517.547.2 : 517.518.244
Б. Н. Хабибуллин
Теоремы типа Лиувилля с ограничениямивне малых множеств на окружностях илисферах для функций конечного порядка
Доказано, что субгармонические функции конечного порядка на конеч-номерном вещественном пространстве, ограниченные сверху вне некото-рых асимптотически малых множеств на сферах, ограничены сверху всю-ду. Отсюда следует, что субгармонические функции конечного порядка накомплексной плоскости, целые и плюрисубгармонические функции конеч-ного порядка, а также выпуклые или гармонические функции конечногопорядка, ограниченные сверху вне таких же множеств на сферах, явля-ются постоянными. Наши результаты и методы доказательства новые идля функций одной комплексной переменной.Библиография: 12 названийКлючевые слова: целая функция, (плюри)субгармоническая функция,выпуклая функция, среднее по окружности и сфере, функция конечногопорядка, теорема ЛиувилляWe prove that subharmonic functions of finite order on finite dimensionalreal space, bounded from above outside of some asymptotically small sets onspheres, are bounded from above everywhere. It follows that subharmonicfunctions of finite order on the complex plane, entire and plurisubharmonicfunctions of finite order, and convex or harmonic functions of finite orderbounded from above outside of such sets on spheres are constant. Our resultsand methods of proof are also new for functions of one complex variable.Bibliography: 12 titlesKey words: entire fubction, (pluri)subharmonic function, convex function,harmonic function, average over circumference and sphere, function of finitetype, Liouville theorem
MSC 2010: § 1. Введение1.1. Предшествующие результаты.
Всюду в статье N := { , , . . . } —множество натуральных чисел, R и C — соответственно поля вещественных и комплексных чисел. Для чисел m, n ∈ N векторные пространства R m над R и C n над C рассматриваются как евклидовы пространства с евклидовойнормой-модулем |·| . При необходимости и возможности пространство C n отож-дествляется с R n . Исходный классический результат — Теорема Лиувилля [1] , [2] , [3] , [4] . Из ограниченности сверху выпуклойили гармонической функции на R m , а также целой или плюрисубгармониче-ской функции на C n следует, что эта функция постоянна. Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда (проект №18-11-00002). c (cid:13) Б. Н. Хабибуллин, 2020
Б. Н. ХАБИБУЛЛИН
При условии ограниченности сверху целой функции одной комплексной пе-ременной вне малых множеств известна и находит применения следующая
Теорема B ([5; лемма 4.2], [6; лемма 4.2], [7; теорема 2.1]).
Если целая функ-ция конечного порядка на C ограничена вне E ⊂ C , а площади пересечений E с кругами радиуса r ∈ R + := { x ∈ R : x > } с центром в нуле определены иявляются величиной порядка o ( r ) при r → + ∞ , то эта функция постоянная. «Быстрое» доказательство теоремы B изложено в [8]. В [9]–[10] теорема Bперенесена на функции многих переменных: Теорема A [9; теорема 1], [10; теорема 1].
Если плюрисубгармоническаяили целая функция конечного порядка на C n ограничена сверху вне E ⊂ C n , аобъёмы пересечений E ⊂ C n с шарами радиуса r ∈ R + с центром в нуле опре-делены и являются величиной порядка o ( r n ) при r → + ∞ , то эта функцияпостоянная. Из теоремы 1 настоящей статьи следует, что заключение теоремы B сохраня-ется и после замены ограничения на множество E из теоремы B на существенноболее слабое:[ E ] существует неограниченная возрастающая последовательность поло-жительных чисел ( r k ) k ∈ N на R + , удовлетворяющая условию lim sup k →∞ r k +1 r k < + ∞ , (1.1) для которой множества e k := { arg z : z ∈ E, | z | = r k } T [0 , π ) измеримыпо линейные мере Лебега на интервале [0 , π ) , а предел линейных мерЛебега множеств e k при k → ∞ равен нулю. Более того, методы настоящей работы дают подобные результаты и для плю-рисубгармонических и целых функций на C n при всех n ∈ N , а также для вы-пуклых и гармонических функций на R m при всех m ∈ N . Далее при обращениик (плюри)субгармоническим, гармоническим, целым и выпуклым функциям иих свойствам вполне достаточны основные сведения о них из [1], [2], [3], [4]. Через B m ( x, r ) := (cid:8) x ′ ∈ R m : | x ′ − x | < r (cid:9) , (1.2B) B m ( x, r ) := (cid:8) x ′ ∈ R m : | x ′ − x | r (cid:9) , (1.2 B ) S m − ( x, r ) := (cid:8) x ′ ∈ R m : | x ′ − x | = r (cid:9) = B m ( x, r ) \ B m ( x, r ) , (1.2S)обозначаем соответственно открытый и замкнутый шары, а также сферу в R m радиуса r ∈ R + с центром x ∈ R m , , а B m ( r ) := B m (0 , r ) , B m ( r ) := B m (0 , r ) и S m − ( r ) := S m − (0 , r ) , где нижние индексы m и m − указывают на размер-ность. Такие же обозначения с m := 2 n используем в C n , отождествляемомс R n . Нижние индексы m и m − по возможности опускаем, когда это не Положительность всегда понимается как > , а возрастание определяется с нестрогиминеравенствами. То же самое по отрицательности, убыванию, монотонности . Со строгиминеравенствами — это строгая положительность, строгое возрастание и т.д., и т.п. ЕОРЕМЫ ТИПА ЛИУВИЛЛЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВНЕ МАЛЫХ МНОЖЕСТВ. . . вызывает разночтений. Меру Лебега на R m обозначаем через λ , а поверхност-ную меру на S ( r ) через σ r . Через b m и s m − обозначаем соответственно объ-ём λ (cid:0) B (1) (cid:1) единичного шара B (1) в R m и площадь σ r (cid:0) S ( r ) (cid:1) единичной сферы S (1) ⊂ B (1) ⊂ R m . Для λ -интегрируемой функции v : B m ( x, r ) → R её среднеепо шару B m ( x, r ) обозначаем как B v ( x, r ) := 1 b m r m Z B ( x,r ) v d λ, B v ( r ) := B v (0 , r ) , (1.3B)а для σ r -интегрируемой v : S m − ( x, r ) → R её среднее по сфере S m − ( x, r ) как S v ( x, r ) := 1 s m − r m − Z S ( r ) v ( x + y ) d σ r ( y ) , S v ( r ) := S v (0 , r ) . (1.3S)Для λ -интегрируемой функции v : B ( x, r ) → R средние по сферам 1.3S опреде-лены почти всюду по линейной мере Лебега на [0 , r ] и связаны равенством B v ( x, r ) = mr m Z r S v ( x, t ) t m − d t. Через sbh ( S ) обозначаем класс всех субгармонических ( локально выпуклых при m = 1 ) функций на каких-либо открытых окрестностях множества S ⊂ R m .Роль средних из (1.3) для субгармонических функций v
6≡ −∞ обусловленаполностью характеризующими их, при условии полунепрерывности сверху илокальной интегрируемости по λ , неравенствами для средних по шару и сфере[1], [2]. В частности, с постоянной a m := / при m = 1 , / √ e при m = 2 , / m − p m/ при m > имеют место точные неравенства [12; теорема], [13; (5)–(6), перед теоремой 3] v (0) S v ( a m R ) B v ( R ) S v ( R ) (1.4) для любой функции v : B ( R ) → R c четырьмя свойствами [ v ] функция v интегрируема на B ( R ) по мере Лебега λ ; [ v ] сужение v (cid:12)(cid:12) B ( R ) функции v на B ( R ) ⊂ R m — субгармоническая функция; [ v ] сужение v (cid:12)(cid:12) S ( R ) функции v на S ( R ) ⊂ R m интегрируемо по мере σ R ; [ v ] lim sup B ( R ) ∋ x ′ → x v ( x ′ ) v ( x ) для σ R -почти каждой точки x ∈ S ( R ) . Пусть функция M со значениями в расширенной вещественной прямой R := R ∪{±∞} определена на R + , в R m или в C n , но, возможно, вне некоторого шара B ( r ) радиуса r ∈ R + . Порядок функции M (около ∞ ) определяется как [11;2.1] ord [ f ] := lim sup | x |→ + ∞ ln (cid:0) M + ( x ) (cid:1) ln | x | ∈ R + ∪ { + ∞} , (1.5) Б. Н. ХАБИБУЛЛИН где M + : x max (cid:8) , M ( x ) (cid:9) — положительная часть функции M . Порядокцелой функции f на C n или голоморфной функции f вне некоторого шара —это порядок ord (cid:2) ln | f | (cid:3) плюрисубгармонической функции ln | f | при соглашении,что субгармонические функции на подмножествах комплексной плоскости C также называем и плюрисубгармоническими. Основная теорема.
Пусть m ∈ N , r ∈ R + , E ⊂ R m , ( r k ) k ∈ N — последо-вательность из [ E ] с r > r и ограничением (1.1) , для которой множества E k := E ∩ S ( r k ) ⊂ S ( r k ) измеримы по поверхностной мере σ r k и lim sup k →∞ σ r k ( E k ) r m − k = 0 . (1.6) Тогда для любой функции v ∈ sbh (cid:0) R m \ B ( r ) (cid:1) конечного порядка ord [ v ] < + ∞ имеет место равенство sup R m \ B ( r ) v := max { M E , M } , где M E := sup R m \ E v , M := sup B ( r ) \ B ( r ) v . (1.7) Замечание 1.
Чем больше исключаемое множество E ⊂ R m в (1.7), темзаключительное равенство (1.7) сильнее. Поэтому среди всех множеств E сфиксированными пересечениями E k := E ∩ S ( r k ) ⊂ S ( r k ) выбор E оптимален,если включить в E все открытые шаровые слои B ( r k +1 ) \ B ( r k ) между сферами S ( r k ) и S ( r k +1 ) , что никак не может нарушить условие (1.6). Теорема 1.
В условиях основной теоремы для C n , отождествлённого с R n и m := 2 n , ограниченность сверху на B ( r ) \ B ( r ) и одновременно на C n \ E плюрисубгармонической или голоморфной функции на C n \ B ( r ) конечногопорядка влечёт за собой её постоянство всюду на C n \ B ( r ) . Замечание 2.
По теореме 1 действительно получаем заключение теоремыB при более слабом ограничении [ E ], обсуждавшееся выше после её формули-ровки, поскольку обозначения из [ E ] и (1.6) согласованы при n = 1 и m = 2 · для меры Лебега λ на [0 , π ) и меры длины окружности σ r k на S ( r k ) как λ ( e k ) = σ r k ( E k ) r k , lim sup k →∞ λ ( e k ) = lim sup k →∞ σ r k ( E k ) r k . (1.8) Замечание 3.
При n > по известному принципу Хартогса функция, го-ломорфная на дополнении C n \ B ( r ) компакта B ( r ) , является сужением неко-торой целой функции на C n \ B ( r ) . Теорема 2.
Пусть для каждой точки s ∈ S (1) и соответствующей ейкомплексной прямой C s := { z s : z ∈ C } в C n , рассматриваемой как комплекс-ная плоскость, найдутся E s ⊂ C s и последовательность (cid:0) r k ( s ) (cid:1) k ∈ N , для кото-рых выполнено [ E ] . Если для плюрисубгармонической или целой функции на C n её сужение на каждую плоскость C s — функция конечного порядка, огра-ниченная сверху на C s \ E s своей постоянной, то эта функция постоянна навсём C n . ЕОРЕМЫ ТИПА ЛИУВИЛЛЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВНЕ МАЛЫХ МНОЖЕСТВ. . . Теорема 3.
В условиях основной теоремы ограниченность сверху на до-полнении R m \ E выпуклой или гармонической функции на R m конечного по-рядка влечёт за собой её постоянство всюду на R m . § 2. Неравенства со средними по сферам и шарам Установим вспомогательные неравенства в несколько большем объёме, чемнеобходимо в настоящей статье, в частности, с целью сравнить подходы к оцен-кам субгармонических функций через средние по сферам и средние по шарам,а также создать задел для исследования субгармонических функций и их под-классов в круге и шаре.
Предложение 1.
Пусть < r < R ∈ R + , v — функция на B ( R ) ⊂ R m счетырьмя свойствами [ v ]–[ v ] и положительной частью v + . Тогда v ( x ) (1.4) S v (cid:0) x, a m ( R − r ) (cid:1) S v + (cid:0) x, a m ( R − r ) (cid:1) (1.4) B v + ( x, R − r ) (2.1B) (cid:16) rR − r (cid:17) m B v + ( R ) (1.4) (cid:16) rR − r (cid:17) m S v + ( R ) при x ∈ B ( r ); (2.1S) v ( x ) (1.4) S v ( x, t ) (cid:0) R + r + t (cid:1) R m − (cid:0) R − r − t (cid:1) m − S v + ( R ) R m − (cid:0) R − r − t (cid:1) m − S v + ( R ) (2.1t) = 4 (cid:16) r + tR − ( r + t ) (cid:17) m − S v + ( R ) при x ∈ B ( r ) и < t < R − r , (2.1r) откуда при выборе t := ( R − r ) имеем v ( x ) (1.4) S v (cid:16) x, R − r (cid:17) m +1 (cid:16) rR − r (cid:17) m − S v + ( R ) при x ∈ B ( r ) , (2.1R) а (2.1r) при < t → даёт неравенство v ( x ) (cid:16) rR − r (cid:17) m − S v + ( R ) при x ∈ B ( r ) . (2.1v) Доказательство.
Ссылки-метки над тремя неравенствами в (2.1) обосно-вывают их. Второе неравенство в (2.1B) — очевидно следствие положитель-ности v + > v . Переходное неравенство от (2.1B) к (2.1B) установлено в [9;предложение 1]–[10; предложение 1] совершенно элементарным приёмом дляпроизвольных положительных λ -измеримых функций v + на B ( r ) .Прежде чем доказывать неравенства (2.1t)–(2.1r) для корректности построе-ний и выкладок отметим, что, не умаляя общности, можем рассмотреть толькофункции v ∈ sbh (cid:0) B ( R ) (cid:1) , к которым можно перейти с помощью гомотетии пере-менной с коэффициентом < , а затем вернуться к исходной функции v , устрем-ляя этот коэффициент в (2.1t)–(2.1r) к единице. Ввиду непрерывности среднихпо шару и сфере для субгармонических функций неравенства (2.1t)–(2.1r) притаком переходе не нарушатся. Более того, достаточно рассматривать только непрерывные положительные функции v ∈∈ sbh (cid:0) B ( R ) (cid:1) , а потом для произ-вольной функции v + ∈∈ sbh (cid:0) B ( R ) (cid:1) воспользоваться убывающей к ней после-довательностью таких функций. Для положительной непрерывной функции Б. Н. ХАБИБУЛЛИН v + ∈ sbh (cid:0) B ( R ) (cid:1) уже можно рассмотреть её положительное гармоническое про-должение H > v + со сферы S ( R ) внутрь B ( R ) , т. е. в B ( R ) , построенное спомощью интеграла Пуассона. Для такой функции H по неравенству Харнака[2; теорема 1.18] имеют место неравенств H ( x ′ ) ( R + | x ′ | ) R m − ( R − | x ′ | ) m − H (0) для любой точки x ′ ∈ B ( R ) где H (0) равно среднему S v + ( R ) по сфере S ( R ) функции v + , а v + ( x ′ ) H ( x ′ ) ,поскольку H — мажоранта функции v + . Таким образом, v + ( x ′ ) ( R + | x ′ | ) R m − ( R − | x ′ | ) m − S v + ( R ) для любой точки x ′ ∈ B ( R ) . Дробь в правой части здесь возрастает при росте | x ′ | . Следовательно, полагая x ′ = x + y для x ∈ B ( r ) и y ∈ S ( t ) , при фиксированных < r < R и < t < R − r ,имеем | x ′ | r + t < R и v + ( x + y ) (cid:0) R + ( r + t ) (cid:1) R m − (cid:0) R − ( r + t ) (cid:1) m − S v + ( R ) при x ∈ B ( r ) и y ∈ S ( t ) . Правая часть неравенство здесь — это фиксированное число, и интегрированиеобеих частей этого неравенства по вероятностной мере s m − t m − σ t по опреде-лению (1.3S) среднего по сфере даёт S ( x, t ) = 1 s m − t m − Z S ( t ) v + ( x + y ) d σ t ( y ) ( R + r + t ) R m − ( R − r − t ) m − S v + ( R ) при всех x ∈ B ( r ) и < t < R − r , что доказывает второе неравенство в(2.1t). Продолжения этой цепочки неравенств от (2.1t) к (2.1r) и до (2.1R)элементарно. Замечание 4.
Простой сравнительный анализ неравенств (2.1B)–(2.1S) снеравенствами (2.1t)–(2.1R) показывает, что первые могут быть более эффек-тивными при < r → за счёт стремления множителя в них перед S v + ( R ) кединице, в то время как во второй группе неравенств этот множитель все-гда не меньше четырёх. Напротив, при R > r → R ситуация противопо-ложная, поскольку порядок роста множителя перед S v + ( R ) в (2.1B)–(2.1S)— это O (cid:0) ( R − r ) − m (cid:1) при R − r → , а в остальных неравенствах — только O (cid:0) ( R − r ) − m +1 (cid:1) . В соизмеримых с R границах q R/r Q со строго положи-тельными числами q > и Q < + ∞ пара этих групп неравенств равнозначна,если отвлечься от размерности m , и даёт постоянную, зависящую только от q и Q . В настоящей статье используется лишь последний «соизмеримый» вариант.А вариант с малыми r представляется более приспособленным к случаю мед-ленно растущих исследуемых функций, в то время как вариант с r , близкимик R — для исследования быстро растущих функций в R m или в C n , а такжедля применений к функциям в круге или в шаре. ЕОРЕМЫ ТИПА ЛИУВИЛЛЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВНЕ МАЛЫХ МНОЖЕСТВ. . . Предложение 2.
Пусть < r < R ∈ R + , v — функция на B ( R ) ⊂ R m с че-тырьмя свойствами [ v ]–[ v ] и положительной частью v + , а подмножество E ⊂ S ( r ) ⊂ R m измеримо по поверхностной мере σ r на S ( r ) . Тогда Z E v d σ r min n , rR − r o(cid:16) R + rR − r (cid:17) m − σ r ( E ) S v + ( R ) . (2.2) Доказательство.
Интегрирование крайних частей неравенств (2.1B)–(2.1S)по поверхностной мере σ r и по множеству E ⊂ S ( r ) ⊂ B ( r ) даёт Z E v d σ r Z E (cid:16) rR − r (cid:17) m S v + ( R ) d σ r = (cid:16) rR − r (cid:17) m S v + ( R ) σ r ( E ) , а такая же процедура применительно к неравенству (2.1v) — Z E v d σ r Z E (cid:16) rR − r (cid:17) m − S v + ( R ) d σ r = 4 (cid:16) rR − r (cid:17) m − S v + ( R ) σ r ( E ) . Пересечение этих соотношение — в точности (2.2).
Замечание 5.
Прежде всего и к (2.2) всецело относится предыдущее за-мечание 4. Кроме того, при большой размерности m преимущество у второйкомпоненты в минимуме из (2.2), но часто может быть наоборот при малых m . § 3. Доказательства основных результатов Доказательство основной теоремы.
Если хотя бы одна из величин M или M E равна + ∞ , то (1.7) очевидно. В противном случае положим M :=max { M , M E } ∈ R , и сначала рассмотрим случай функции v , субгармоническойна всём пространстве R m , для которой по принципу максимума sup B ( r ) v (1.7) M M, а также sup S ( r k ) \ E k v M (3.1)По условию (1.1) нетрудно подобрать числа q > и Q ∈ R + и выделить такуюстрого возрастающую подпоследовательность из последовательности ( r k ) k ∈ N ,что отношение каждого последующего члена подпоследовательности к пред-шествующему попадает в отрезок [ q, Q ] , а начинается она по-прежнему с r .Сохраним за этой подпоследовательностью то же обозначение ( r k ) k ∈ N , для ко-торой теперь q r k +1 r k Q для каждого k ∈ N , (3.2)а для соответствующих множеств E k = E ∩ D ( r k ) по-прежнему выполнено (1.6).Вместо функции v ∈ sbh ( R m ) рассмотрим положительную функцию V := ( v − M ) + = V + ∈ sbh ( R m ) (3.3)— положительную часть функции v − M , которая отрицательна на S ( r ) и навсех множествах S ( r k ) \ E k при k ∈ N , а также конечного порядка. Интегри-рование по поверхностной мере σ r k для каждого k ∈ N даёт неравенство S V ( r k ) = 1 s m − r m − k Z S ( r k ) V d σ r k s m − r m − k Z E k V d σ r k . Б. Н. ХАБИБУЛЛИН
Применим теперь к интегралу в правой части предложение 2 с r k в роли r , r k +1 в роли R , E k в роли E и функцией V = V + в роли v : Z E k V d σ r k min n , r k r k +1 − r k o(cid:16) r k r k +1 − r k (cid:17) m − σ r k ( E k ) S V ( r k +1 ) (3.2) (cid:16) qq − (cid:17) m − σ r k ( E k ) S V ( r k +1 ) . Применяя эту оценку к предшествующей, получаем S V ( r k ) s m − (cid:16) qq − (cid:17) m − σ r k ( E k ) r m − k S V ( r k +1 ) , где S V ( r k +1 ) S V ( Qr k ) ввиду (3.2) и возрастания среднего по сферам S V .Отсюда согласно условию (1.1) имеем lim k → + ∞ S V ( r k ) S V ( Qr k ) = 0 , где функция S V конечного порядка, поскольку таковой является функция V .Но последнее предельное равенство нулю для положительной возрастающейфункции конечного порядка на R + на последовательности ( r k ) k ∈ N , удовлетво-ряющей (1.1), возможно лишь для нулевой функции S V ≡ на R + . Такимобразом, ( v − M ) + ≡ и v M = max { M , M E } . Отсюда ввиду определениячисел M и M E в (1.7) получаем требуемое первое равенство в (1.7).В случае субгармонической функции v , определённой лишь на R m \ B ( r ) ,можем заменить её на функцию ( M на B ( r ) , sup { v, M } на R m \ B ( r ) , (3.4)которая субгармонична уже на всём R m и обладает всеми требуемыми в основ-ной теореме свойствами, но с числом max { M , M E } в роли M E , что не меняетзаключения основной теоремы. Доказательство теоремы 1.
Рассмотрим плюрисубгармонические функ-ции v на C n \ B ( r ) . При этом можно перейти к функции (3.4), которая плюри-субгармонична на всём C n , и, тем более субгармонична на R n , отождествлён-ном с C n . При этом выполнены все условия основной теоремы, следовательнофункция (3.4) ограничена сверху всюду на C n . Но поскольку она плюрисуб-гармонична, то по теореме Лиувилля для плюрисубгармонических функций,получаем, что она постоянна.Если f — голоморфная функция на C n \ B ( r ) из теоремы 1, то для плюри-субгармонической функции ln | f | выполнены все условия теоремы 1. Следова-тельно, | f | — постоянная функция, откуда и функция f постоянна. Доказательство теоремы 2.
По теореме 1 для субгармонических функ-ций на комплексной плоскости сразу получаем, что сужение исходной плюри-субгармонической функции на каждую комплексную плоскость C ~e — постоян-ная функция. Но все комплексные прямые C ~e имеют общую точку , следова-тельно, и исходная плюрисубгармонической функция постоянна. От исходной ЕОРЕМЫ ТИПА ЛИУВИЛЛЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВНЕ МАЛЫХ МНОЖЕСТВ. . . целой функции f переходим к плюрисубгармонической функции ln | f | , котораяпо доказанной части теоремы 2 постоянна, откуда постоянна и f . Доказательство теоремы 3.
Выпуклая или гармоническая функция v субгармонична, а по основной теореме эта функция ограниченна сверху на всём R m . По теореме Лиувилля она постоянна. Замечание 6.
При m = 2 от гармонической функции в теореме 3 достаточ-но требовать её гармоничности не всюду на плоскости, а лишь в проколотойплоскости C \{ } [4; следствие 3.3]. Для иных размерностей это не верно. Список литературы [1]
Th. Ransford,
Potential Theory in the Complex Plane , Cambridge University Press,Cambridge, 1995. [2] У. Хейман, П. Кеннеди,
Субгармонические функции , Мир, М., 1980.[3]
L. H¨ormander,
Notions of Convexity , Progr. Math., , Birkh¨aser, Boston, 1994.. [4]
S. Axler, P. Bourdon, W. Ramey,
Harmonic Function Theory , Springer-Verlag, NewYork, 2001. [5]
A. Baranov, Yu. Belov, A. Borichev, “Summability properties of Gabor expansions”,
J. Funct. Anal , :9 (2018), 2532–2552. [6] A. Baranov, Y. Belov, A. Borichev, “Summability properties of Gabor expansions”,Version 2, Dec. 5, 2018, https://arxiv.org/abs/1706.05685v2. [7]
A. Aleman, A. Baranov, Y. Belov, H. Hedenmalm, “Backward shift and nearly invari-ant subspaces of Fock-type spaces”, July 12, 2020, https://arxiv.org/abs/2007.06107. [8]
Bulat N. Khabibullin, “To the Liouville theorem for entire functions of finite order”,Aug 30, 2020, (in Russian) https://arxiv.org/abs/2009.01019. [9]
Bulat N. Khabibullin, “Liouville-type theorems outside of small exceptional sets forfunctions of finite order”, Sep 3, 2020, (in Russian) https://arxiv.org/abs/2009.01447. [10] Б. Н. Хабибуллин, “Теоремы типа Лиувилля для функций конечного порядка”,
Уфим. матем. журнал , :4 (2020) (в печати.), https://arxiv.org/abs/2009.01019.[11] Б. Н. Хабибуллин, А. В. Шмелёва, “Выметание мер и субгармонических функ-ций на систему лучей. I. Классический случай”, Алгебра и анализ , :1 (2019),156–210.[12] A. F. Beardon, “Integral means of subharmonic functions”,
Proc. Camb. Philol. Soc. , (1971), 151–152. [13] P. Freitas, J. P. Matos, “On the Characterization of Harmonic and Subharmonic Func-tions via Mean-value Properties”,
Potential Anal. , (2010), 189–200. Б. Н. Хабибуллин (B. N. Khabibullin)
Башкирский государственный университет
E-mail : [email protected]@mail.ru