Lugares geométricos asociados a dos puntos del plano
Jaime Chica Escobar, Hernando Manuel Quintana Ávila, Jonathan Taborda Hernández
aa r X i v : . [ m a t h . G M ] F e b LUGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO
Jaime Chica Escobar *1 , Hernando Manuel Quinta Ávila **2 and Jonathan Taborda Hernández ***3 , Profesor jubilado UdeA, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Departamento de Matemáticas,Medellín-Colombia. Instituto Tecnológico Metropolitano, ITM, Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas,Medellín-Colombia. Académico independiente.19 de febrero de 2020 R ESUMEN . Tanto la elipse como la hipérbola son lugares geométricos que se pueden definir estableciendo una relación entrepuntos P del plano y dos puntos fijos A y B (que son sus focos F ′ = A y F = B ).Dados dos puntos A y B del plano (que ya no llamamos los focos F y F ′ ), vamos a presentar tres lugares geométricos asociadosa A y B distintos de la elipse y la hipérbola.A BSTRACT . Both the ellipse and the hyperbola are geometric places that can be defined by establishing a relationship betweenpoints P of the plane and two fixed points A and B (which are its foci F ′ = A and F = B ).Given two points A and B of the plan (which we no longer call the foci F and F ′ ), we are going to present three geometricplaces associated with A and B other than the ellipse and the hyperbola. Í NDICE
1. Introducción 21.1. Primer lugar geométrico: círculo de Apollonius 41.2. Segundo lugar geométrico: circunferencia de centro en el punto medio de AB AB Mathematics Subject Classification. * [email protected] ** [email protected] *** [email protected]
1. I
NTRODUCCIÓN
Tanto la elipse como la hipérbola son lugares geométricos que se pueden definir estableciendo una relación entrepuntos P del plano y dos puntos fijos A y B (que son sus focos F ′ = A y F = B ). La elipse : Lugar de los puntos P del plano para los cuales: PA + PB = a , ( a constante 2 a > AB ) (véase Fig. 1),curva que se estudió en el texto de la La elipse . A BP
Figura 1.
La Elipse E = { P (cid:30) PA + PB = a , 2a constante } La hipérbola : Lugar de los puntos P del plano para los cuales: | PA − PB | = a , ( a constante 2 a < AB ) (véase Fig. 2) A BP
Figura 2.
La hipérbola: H = (cid:8) | PA − PB | = a , ( a constante 2 a < AB (cid:9) Curva que se ha estudiado a lo largo de la monografía sobre la
Hipérbola . Dados dos puntos A y B del plano (que ya no llamamos los focos F ′ y F ), vamos a presentar tres lugares geométricosasociados a A y B distintos de la elipse y la hipérbola. Cf. Chica y Quintana ([7]). Cf. Chica y Quintana ([9])
UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 3 (1) El lugar de los puntos X del plano para los cuales XAXB = λ ; λ ∈ R , λ > λ = ←→ AB llamada la «circunfe-rencia de Apollonius para A y B y de razón λ », denotada por, (véase Fig. 3). C AB , λ : (cid:26) X ∈ R (cid:30) XAXB = λ , λ : constante (cid:27) B QXP
Figura 3.
Círculo de Apollonius; C AB , λ : (cid:26) X ∈ R (cid:30) XAXB = λ , λ : constante (cid:27) En el caso λ = X es la recta mediatriz del segmento determinado por AB .(2) El lugar de los puntos P en los que se tiene que PA + PB = K : constante dada.El lugar es ahora una circunferencia de centro en el punto medio de AB , (véase Fig. 4). A B
Figura 4. P ∈ C ⇐⇒ PA + PB = K (3) El lugar de los puntos P del plano en los que se cumple que PA − PB = K . Ahora el lugar es una rectaperpendicular a AB , (véase Fig. 5). PA O B
Figura 5. n P / PA − PB = K , K constante o recta perpendicular a AB . A continuación se presentan por separado el estudio para cada uno de estos lugares geométricos asociados ados puntos fijos A y B . Para empezar iniciemos estudiando la noción de con-jugados armónicos de A y B para una razón λ = mn . Fijemos A y B y tomemos un punto X que recorre la recta ←→ AB , (veáse Fig. 6). • Si tomamos X a la izquierda de A , λ = XAXB < • Cuando X se aleja hacia la izquierda de A , λ = XAXB → − . • Cuando X se tome en A , λ = XAXB = AB = • Si X se toma entre A y B , λ crece como lo indica la (Fig. 6).Si X se toma en M , punto medio de AB , λ = MAMB = X se acerque a B , λ → ya que XB → X a la derecha de B , λ = XAXB > X se aleje, λ decrece teniéndose que λ → λ aparece indicada en la Fig. 6. De suerte que si tomamos 0 < λ < P y S , P entre A y M y S a la izquierda de A de modo que: SASB = PAPB = λ , 0 < λ < P y S se llaman los conjugados armónicos de A y B para λ . UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 5
X A M B X1
Figura 6.
Variación de λ = XAXB cuando X se desplaza por la recta ←→ AB Si tomamos λ >
1, podemos hallar Q y R en ←→ AB , Q entre M y B , R a la derecha de B , de manera que, QAQB = RARB = λ λ > Q y R se llaman los conjugados armónicos de A, B para λ , (véase Fig. 7). A S P M B RQ
Figura 7. S y P conjugados armónicos de A , B para λ > ; Q y R conjugados armónicos de A , B para λ > UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 6
Así las cosas, si λ = >
1, por ejemplo, podemos construir dos puntos Q y R , Q entre M y B , R a la derechade B de modo que, QAQB = RARB = x con origen en A y con unaabertura de compás fija se marcan los puntos 1, 2, 3, 4, 5. Luego se une 5 con B y por el punto 3 se traza laparalela a B AB en Q , (véase Fig. 8).Se tiene entonces que, QAQB = AB = = λ A M BQ x
Figura 8.
Construcción con regla y compás del punto Q entre M y B Ahora se construye R , (véase Fig. 9). A B
Ry21 332
Figura 9.
Construcción con regla y compás del punto R , R a la derecha de B , con λ = Se traza por A la semirecta y y se señalan con el compás los puntos 1, 2 y 3. Se une 1 con B y por 3 se traza 3 R UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 7 paralelo a 1 B .Se tiene entonces que, RARB = = λ La construcción de los puntos P y Q en los que se cumple que: PAPB = QAQB = = λ aparece indicada en la (Fig. 10).
52 3 52
P A Q B
Figura 10.
Construcción con regla y compás de los puntos Q y P , P a la izquierda de A cuando λ = Otro hecho geométrico que necesitamos es el siguiente.
Teorema 1.
Si en un triángulo △ ABC, se trazan las bisectrices interior y exterior en A, llamemos D y E a los pies deesas bisectrices. Entonces, DBDC = EBEC = cb (véase Fig. 11) La demostración se omite, trate el lector de hacerla o consulte un libro de geometría. El teorema anterior tieneun recíproco.
Teorema 2.
Se tiene un triángulo △ ABC en el que b < c y dos puntos F entre B y C y G a la derecha de C. (1) Si FBFC = cb , entonces F es el pie de la bisectriz interior trazada desde A. (2) Si GBGC = cb , entonces G es el pie de la bisectriz exterior trazada desde A, (véase Fig. 12). UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 8
B D
C EAc ba
Figura 11. AD , AE bisectrices interior y exterior en A . DBDC = EBEC = cb A C FB Ga
Figura 12
La demostración se omite. Llévela a cabo.Y ahora si la circunferencia de Apollonius . Proposición 1 ( Círculo de Apollonius ) . Sea AB un segmento dado y pq un decimal dado con p > q. Llamemos P yQ a los conjugados armónicos de A y B para pq . O sea, P está entre A y B , Q a la derecha de B y se tiene que,PAPB = QAQB = pqEl lugar de los puntos X del plano en los que se cumple que,XAXB = pqes la circunferencia de diámetro PQ. UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 9
Demostración.
Se debe demostrar que (cid:26) X (cid:30) XAXB = pq (cid:27) = C : la circunferencia de diámetro PQ .(1) Sea X un punto del plano en el que XAXB = pq .por hipótesis, PAPB = QAQB = pq Veamos que X ∈ C donde C en la circunferencia de diámetro PQ , (véase Fig. 13). A B
QXP
Figura 13
Unimos X con A , B , P y Q . Bastará con que [ PXQ = ◦ .Consideremos el triángulo △ AXB .Como
PAPB = XAXB , P es el pie de la bisectriz interior en A .Como QAQB = XAXB , Q es el pie de la bisectriz exterior en A .Por lo tanto, PX ⊥ QX y [ PXQ = ◦ lo que nos prueba que X está en la circunferencia de diámetro PQ .(2) Tomemos ahora X ∈ C : la circunferencia de diámetro PQ .Por hipótesis, PAPB = QAQB = pq Veamos que
XAXB = pq , (véase Fig. 14).Se une X con P y Q . Como X ∈ C y [ PXQ está inscrito en el diámetro PQ , QX ⊥ PX . • Se traza por B , BMR k PX . UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 10 A P Q (cid:4)
MS N RX
Figura 14
Como BM k PX y QX ⊥ PX , QX ⊥ BM y por lo tanto, c M = ◦ .Ahora, por el Teorema Básico de Semejanza (TBS), XAXR = PAPB = pq . Así que XAXR = pq (1) • A continuación se traza por B , BNS k QX .Como d BN k QX y PX k QX , PX ⊥ QN y por lo tanto, b N = ◦ .Como b N = b X = c M = ◦ , entonces, \ NBM = ◦ y el cuadrilátero NXMB es un rectángulo y el triángulo △ SBR es rectángulo en B . Ahora, por el TBS, XAXS = QAQB = ↑ pq hipótesisAsí que, XAXS = pq (2)De (1) y (2), XAXR = XAXS . O sea que XR = XS lo que nos demuestra que en el triángulo rectángulo SBR , BX esmediana relativa a la hipotenusa, y por lo tanto, XB = XR = XS y regresando a (1): XAXB = pq (cid:4) Ejercicio 1.
Cálculo del radio del círculo de Apollonius.Ecuación analítica de la circunferencia de Apollonius.
Solución.
Sea C la circunferencia de Apollonius de AB para mn , m > n, (véase Fig. 15).Supongamos que hemos construido a P y Q; los conjugados armónicos de A , B para mn .Llamemos O el centro de la circunferencia de Apollonius y r a su radio.
UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 11 a A QO rrP xy XB Figura 15.
Circunferencia de Apollonius para A , B y razón λ = mn Entonces, PAPB = QAQB = mnLuego, PA + PBPB = m + nn , ABPB = m + nn ∴ PB = nm + n ABTambién, QA − QBQB = m − nn , ABQB = m − nn ∴ QB = nm − n ABAsí que, r = PB + QB = (cid:18) nm + n + nm − n (cid:19) AB = mnm − n ABy por lo tanto, r = mnm − n a UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 12
Ahora localicemos el centro O de C .OB = r · nm + n | {z } k PB AB = (cid:18) mnm − n − nm + n (cid:19) AB = n m − n ABAO = AB + OB = (cid:18) + n m − n (cid:19) AB = m m − n aFinalmente, la ecuación de la circunferencia C con respecto al sistema xy con origen en A es: (cid:18) x − m m − n a (cid:19) + y = (cid:18) mnm − n a (cid:19) AB . Para tratar el segundo lugarnecesitamos el «teorema de la mediana».
Teorema 3.
La suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual a dos veces el cuadrado de la mediana relativa altercer lado más la mitad del cuadrado del tercer lado, (veáse Fig. 16).
B CAM c b
Figura 16.
Teorema de la mediana
Demostración.
Para obtener este resultado vamos a aplicar dos veces la ley de Cosenos.En el triángulo △ AMC , b = a + m a − · a · m a · cos c M (3)En el triángulo △ AMB , c = a + m a − · a · m a · cos c M (4)Sumando y teniendo en cuenta que cos c M = − cos c M , b + c = a + m a O sea: b + c = m a + a (cid:4) Y ahora sí, estudiemos el segundo lugar geométrico.
Proposición 2 ( Circunferencia de centro en el punto medio de AB ) . Sea AB un segmento dado y O su punto medio. Ellugar de los puntos M para los cuales MA + MB = K donde K es una constante dada es una circunferencia de centro enO, (O punto medio) de AB (véase Fig. 17). UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 13 A O B M Figura 17
Demostración. • Sea M un punto del lugar. Unimos M con A y B .Entonces, MA + MB = k (5)Unimos M con O : punto medio de AB .Por el Teorema de la mediana en el triángulo △ MAB , MA + MB = · OM + AB · OM + AB = k ∴ OM = k − AB • Tomemos ahora un punto M ∈ C r k − AB ! y veamos que M cumple la propiedad, o sea que MA + MB = k . Unimos M con O .Como: M ∈ C s k − AB , OM = s k − AB UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 14
O sea que, OM = k − AB MA + MB = · OM + AB = ↓ k − AB ! + AB = k ,(7) (cid:4) Discusión 1. (1)
Habrá lugar si k − AB > , o sea sik > AB i.e., si k > AB √ = AB √ ≈ AB (2) Si k = √ AB, el lugar se reduce al punto O. (3)
En el caso que MA + MB = AB , o sea, si k = AB, el lugar es la circunferencia de diámetro AB.
Resumiendo, si k > AB · √
22 , se tiene n M (cid:30) MA + MB = K o = C ( O , R ) con R = O ; r K − AB ! (véase Fig.18). M A O B R Figura 18.
Circunferencia C ( O , R ) = O ; r K − AB ! = n M (cid:30) MA + MB = K o UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 15 AB . Para estudiar el tercer lugar geométrico necesitamos elsiguiente resultado de la geometría:
Teorema 4.
Se tiene un triángulo △ ABC con c > b. La diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo es dos veces elproducto del tercer lado por la proyección de la mediana relativa al tercer lado sobre este, (véase Fig. 19). B A CM a/2 a/2a nc a
Figura 19. c − b = a · MH = an Demostremos esta afirmación.
Demostración.
De nuevo se aplica dos veces la ley de Cosenos.En el triángulo △ AMC , b = a + m a − a · m a cos M (8)En el triángulo △ AMB , c = a + m a − a · m a cos M = ↑ a + m a + a · m a · cos M (9)cos c M = − cos c M (9) − (8) : c − b = a (cid:16) m a · cos c M (cid:17) O sea c − b = a · n (cid:4) Y con este resultado consideramos el tercer lugar geométrico.
Proposición 3 ( recta perpendicular a AB ) . El lugar de los puntos M desde los cuales la diferencia de los cuadrados de sudistancia a dos puntos fijos A y B es constante e igual a k ( k > ) es una recta perpendicular a la recta ←→ AB. Si O es el puntomedio de AB y D es el pie de la perpendicular de dicha recta perpendicular, OD = K · AB , (véase Fig. 20).
O sea:
Demostración. • Sea M un punto del lugar.Entonces MA − MB = k . Unimos M con O y bajamos desde M , MD ⊥ AB . OD : proyección de la mediana OM del triángulo △ ABC sobre AB . UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 16
M BA O D Figura 20
Entonces, MA − MB = · AB · OD O sea: 2 AB · OD = k ∴ OD = k · AB ,lo que indica que M está sobre la perpendicular por D a la recta ←→ AB . • Supongamos ahora que tomamos un punto M en la recta ℓ ⊥ a ←→ AB por D donde OD = k · AB , (véase Fig. 21). A O D B M Figura 21
UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 17
Veamos que M satisface la propiedad, o sea, veamos que MA − MB = k .Unimos M con O , A y B .En el triángulo △ MAB , MO es mediana y OD es la proyección de MO sobre ←→ AB .Luego, MA − MB = · AB · OD = ↑ · AB · k · AB = k , OD = k · AB (cid:4) Observación 1. (i)
El lugar de los puntos M tal que MB − MA = k es la recta ℓ ′ simétrica de la recta ℓ con respecto a O. (ii) Si k = AB , o sea, si k = AB, el lugar es la recta perpendicular por B · AB, (véase Fig. 22). A O B Figura 22
Muy relacionado con lo que se viene discutiendo es el siguiente
Problema 1.
Se tiene un triángulo △ ABC. Llamemos G al baricentro del triángulo (punto donde concurren las tres medianasdel triángulo).Demostrar que: (1) GA + BG + GC = ( a + b + c ) (2) ∀ X del plano: XA + XB + XC = (cid:16) GA + GB + GC (cid:17) + XG = ( a + b + c ) + XG (veáse Fig. 23) UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 18 B b aM G (cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10) (cid:11) Figura 23
En particular se tiene que si X se toma en G , XG = y m´ın n XA + XB + XC o = GA + GB + GC = ( a + b + c ) y se alcanza en G. Para establecer ( ) y ( ) primero demostremos que: Proposición 4.
La suma de los cuadrados de las medianas de un triángulo es de la suma de los cuadrados de los lados deltriángulo, (véase Fig. 24).Demostración. Se debe probar que: m a + m b + m c = ( a + b + c ) Por el Teorema de la mediana: b + c = m a + a a + c = m b + b a + b = m + c ( a + b + c ) = ( m a + m b + m c ) + a + b + c ( a + b + c ) = ( m a + m b + m c ) ∴ m a + m b + m c = ( a + b + c ) (cid:4) UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 19 A b N CMa GB Pc
Figura 24
Corolario 1.
La suma de los cuadrados de las distancias al centroide (o baricentro) de un triángulo a los vértices es de la sumade los cuadrados de los lados.Demostración. En efecto, como: GA = m a GB = m b y GC = m c GA + GB + GC = ( m a + m b + m c )= ↑ · ( a + b + c ) Prop. (4) = ( a + b + c ) (cid:4) Ahora si demostremos la segunda parte del problema (1):« ∀ X del plano: XA + XB + XC = ( GA + GB + GC ) | {z } cte + XG », (véase Fig. 25). Demostración. • Consideremos la mediana AM .Sea D el punto medio de AG , (véase Fig. 26).Por el Teorema de la mediana en el triángulo: △ XBC : XB + XC = XM + a UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 20 B M C X (cid:5)(cid:0)(cid:1) Figura 25 B M C X (cid:2)(cid:3)(cid:12) Figura 26
En el △ XDM : XD + XM = XG + DM En el △ XAG : XA + XG = XD + AG Multiplicando la segunda ecuación por 2 y añadiendo: XA + XB + XC − XG = a + DM + AG = ↑ a + AG DM = AG O sea que, XA + XB + XC − XG = a + AG (10) UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 21 • Consideremos la mediana de BG .Llamemos E el punto medio de BG , (véase Fig. 27). B E G A N XC
Figura 27
Aplicando el Teorema de la mediana al triángulo △ XAC :Al △ XAC XA + XC = XN + b △ XNC : XN + XE = XG + EN △ XGB : XG + XB = XE + BG XA + XB + XC − XG = b + EN + BG = ↑ b + BG = EN = BG O sea que, XA + XB + XC − XG = b + BG (11) • Consideremos ahora la mediana de CP .Llamemos F el punto medio de CG , (véase Fig. 28). UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 22 B C F GP A X
Figura 28
Al aplicar el Teorema de la mediana al triángulo △ XAB : XA + XB = XP + c △ XPF : XP + XF = XG + AF △ XGC : XG + XC = XF + GC XA + XB + XC − XG = c + PF + GC = ↑ c + GC PF = GC O sea que, XA + XB + XC − XG = c + GC (12)Al sumar (10), (11) y (12):3 (cid:16) XA + XB + XC (cid:17) − XG = (cid:16) a + b + c (cid:17) + (cid:16) GA + GB + GC (cid:17) =
12 3 (cid:16) GA + GB + GC (cid:17) + (cid:16) GA + GB + GC (cid:17) = (cid:16) GA + GB + GC (cid:17) = (cid:16) GA + GB + GC (cid:17) Luego, XA + XB + XC = GA + GB + GC + XG UGARES GEOMÉTRICOS ASOCIADOS A DOS PUNTOS DEL PLANO 23 o también, XA + XB + XC = ( a + b + c ) + XG (cid:4) Corolario 2.
Si X se toma en G , XG = y se tiene que, m´ın n XA + XB + XC o = GA + GB + GC = ( a + b + c ) y se alcanza en el punto G (cid:4) Corolario 3.
Si X se toma en O: el circuncentro del triángulo △ ABC,OA + OB + OC = GA + GB + GC + OG Pero, OA = OB = OC = R : radio de la circunferencia circunscrita al triánguloLuego, R = ( a + b + c ) + OG y por lo tanto, OG = R − ( a + b + c ) (cid:4) EFERENCIAS [1] O. Alexander and W. Gerhard.
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