Mapping Class Group d'un germe de courbe plane singulière
aa r X i v : . [ m a t h . D S ] A p r MAPPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBEPLANE SINGULI `ERE
DAVID MAR´IN ET JEAN-FRANC¸ OIS MATTEI
R´esum´e.
Nous prouvons que toute conjugaison topologique entre germesde courbes holomorphes singuli`eres du plan complexe est homotope `aune conjugaison qui s’´etend aux diviseurs exceptionnels des d´esingulari-sations minimales de ces courbes. Grˆace `a ce r´esultat, nous donnons unepr´esentation explicite d’un sous-groupe d’indice fini du mapping classgroup d’un germe de courbe plane.
Table des mati`eres
Vocabulaire 11. Introduction 22. Conjugaison de germes de courbes marqu´ees 42.1. D´esingularisations et syst`emes locaux 42.2. Tubes de Milnor et hom´eomorphismes excellents 52.3. Marquages entre germes de courbes 73. Topologie des tubes de Milnor 83.1. Groupe fondamental et homologie 83.2. D´ecomposition de JSJ 103.3. Structures p´eriph´eriques et isomorphismes g´eom´etriques 134. D´emonstration du th´eor`eme principal 164.1. R´eduction `a la dimension trois 174.2. Construction d’un hom´eomorphisme JSJ-compatible 184.3. Conjugaison des arbres duaux des diviseurs 204.4. Extension `a la dimension quatre 235. Groupe d’automorphismes d’un germe de courbe 31R´ef´erences 33
Vocabulaire -Si A est un sous-ensemble d’un espace topologique, on d´esigne par ◦ A sonint´erieur, A son adh´erence et on note δA := A \ ◦ A . Si A est une vari´et´e `abord, son bord est not´e ∂A .- Pour une courbe analytique X , on note Sing( X ) l’ensemble de ses pointssinguliers et Comp( X ) la collection de ses composantes irr´eductibles. Deuxcomposantes irr´eductibles sont dites adjacentes si elles sont distinctes et Date : 21 novembre 2018.Le premier auteur a ´et´e partiellement financ´e par les projets MTM2007-65122 etMTM2008-02294 du Ministerio de Educaci´on y Ciencia de Espa˜na / FEDER. d’intersection non-vide. Le nombre v ( Y ) de composantes de X adjacentes`a Y ∈ Comp( X ) est appel´e valence de Y . Nous notons Comp k ( X ) la col-lection des composantes de X de valence ≥ k . Une composante connexe del’adh´erence de X \ S Y ∈ Comp ( X ) Y est appel´ee chaˆıne (g´eom´etrique) de X ,si elle ne contient pas de composante de valence 1 ; elle est appel´ee branchemorte (g´eom´etrique) de X , sinon.1. Introduction
Soient ( S,
0) et ( S ′ ,
0) deux germes de courbes holomorphes singuli`erescontenues dans ( C , conjugaison topologique entre ( S, et ( S ′ , h : ( C , → ( C ,
0) tel que ( h ( S ) ,
0) =( S ′ , h est excellente , si elle se rel`eve auxr´eductions des singularit´es de S et de S ′ , d´efinissant ainsi un hom´eomor-phisme entre des voisinages des diviseurs exceptionnels E S et E S ′ de cesr´eductions, qui :– conjugue topologiquement E S `a E S ′ ,– est compatible aux fibrations de Hopf des composantes de E S et E S ′ , endehors d’un voisinages des singularit´es du transform´e total D S de S ,– est holomorphe au voisinage de chaque point singulier de D S .La question naturelle de l’existence de conjugaisons excellentes est r´esoluepar les r´esultats classiques de O. Zariski et M. Lejeune [22, 9]. Les techniquesde plombage introduites par Mumford [14] et d´evelopp´ees par Neumann[15, 5, 16] permettent de pr´eciser ce probl`eme et de calculer ais´ement certainsinvariants topologiques, dont le groupe fondamental du compl´ementaire de S : (1) Γ S := π ( B ε \ S, · ) , B ε := {| z | + | z | ≤ ε } , < ε ≪ . L’objet de ce travail est de d´ecrire les “classes d’homotopies” des conju-gaisons topologiques entre deux germes de courbes fix´es et de montrer quechaque classe contient une conjugaison excellente.Plus pr´ecis´ement, nous disons que deux conjugaisons f , g entre ( S, S ′ ,
0) sont fondamentalement ´equivalentes et nous notons f ≍ g , si lesrestrictions de f et g `a B ε \ S sont homotopes en tant qu’applications `avaleurs dans B ε ′ \ S ′ , pour 0 < ε ≪ ε ′ ≪
1. Visiblement ≍ est une relationd’´equivalence sur l’ensemble des conjugaisons topologiques entre S et S ′ .Notons que la structure conique du compl´ementaire B ε \ S au dessus de ∂ B ε \ S et la suite suite exacte d’homotopie associ´ee `a sa structure de fibr´eau dessus du cercle, montrent que B ε \ S est un espace d’Eilenberg-MacLane K ( π, f ≍ g si etseulement si les actions de f et g sur les groupes fondamentaux de B ε \ S et B ε ′ \ S ′ co¨ıncident `a automorphisme int´erieur pr`es (dˆu aux choix des pointsde base).Nous d´efinissons un marquage de S ′ par S comme une classe d’´equivalenced’une conjugaison entre S et S ′ , pour la relation d’´equivalence fondamentale ≍ . Le r´esultat principal de ce travail est le suivant : Th´eor`eme A.
Tout marquage admet un repr´esentant excellent.
APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 3
Notre construction est enti`erement bas´ee sur les r´esultats de d´ecompositiondes vari´et´es de dimension 3 de Waldhausen [19], Jaco-Shalen [6] et Johannson[7]. Elle ne peut pas se d´eduire des th´eor`emes classiques de Zariski-Lejeune[22, 9] ; pour s’en convaincre il suffit de consid´erer l’´eventualit´e S = S ′ , pourlaquelle le r´esultat de Zariski-Lejeune est sans objet, alors que le th´eor`emeA induit des r´esultats non-triviaux sur les automorphismes des germes decourbes.L’ensemble G S de marquages d’un germe de courbe S par lui-mˆeme estmuni d’une structure de groupe par la composition. C’est l’analogue ger-mifi´e du mapping class group des surfaces de Riemann. La th´eorie d’ho-motopie des espaces K ( π,
1) indique que le groupe G S se plonge dans legroupe des automorphismes ext´erieurs Out(Γ S ) du groupe fondamental Γ S d´efini en (1). L’image Out g (Γ S ) ⊂ Out(Γ S ) de ce plongement se caract´erisepar la pr´eservation de certaines donn´ees alg´ebriques de Γ S , qui sont de na-ture g´eom´etrique : la structure p´eriph´erique munie de ses m´eridiens , cf. lad´efinition (3.16), le th´eor`eme (3.15) et le corollaire (3.19). Le sous-groupe G S de G S constitu´e des germes d’hom´eomorphismes fixant chaque compo-sante irr´eductible de S , est distingu´e et d’indice fini : il est ´egal au noyaudu morphisme naturel de G S dans le groupe le groupe S S des permutationsdes composantes irr´eductibles de S . Le th´eor`eme pr´ec´edent nous permetd’expliciter un syst`eme de g´en´erateurs de G S ; d´esignons par E S : B S → C l’application de r´eduction (minimale) de S , on a : Th´eor`eme B.
Il existe un ´epimorphisme M D A( D • ) ⊕ M C Z C ։ G S , o`u : D d´ecrit l’ensemble des composantes irr´eductibles de valence v ( D ) ≥ du diviseur total D S := E − S ( S ) , A( D • ) est le groupe d’Artin pur de D ∼ = S point´e par Sing( D S ) ∩ D , C d´ecrit la collection C S des chaˆınes de D S et Z C := Z . Remarquons que le groupe quotient G S / G S correspond aux “grandes sym´e-tries de S ”. Notons aussi que le graphe de la d´ecomposition topologiquede JSJ de la 3-vari´et´e `a bord obtenue en enlevant a la sph`ere S ε := ∂ B ε un voisinage tubulaire de l’entrelacs S ∩ S ε , est constitu´e de : Comp ( D S )comme ensemble de sommets et C S comme ensemble d’arˆetes. Ainsi, G S estun groupe de graphe au sens de [18]. Nous verrons sur un exemple explicite,qu’en g´en´eral l’´epimorphisme ci-dessus n’est pas un isomorphisme.Le probl`eme r´esolu par le th´eor`eme A nous est apparu de fa¸con naturelledans l’´etude de la classification topologique de germes de feuilletages singu-liers. Il joue un rˆole cl´e dans la r´esolution de la conjecture de Cerveau-Sad[3, 10, 11].Le plan du travail est le suivant :
1. i.e. le groupe de tresses pures du plan `a v ( D ) − Z . DAVID MAR´IN ET JEAN-FRANC¸ OIS MATTEI -Au chapitre 2 nous introduisons quelques notions sur la d´esingularisationminimale d’un germe de courbe singuli`ere, ainsi que sur les tubes de Milnor(de dimension trois et quatre) ; elles nous permettront de pr´eciser l’´enonc´edu th´eor`eme principal ainsi que la notion cl´e de marquage.-Au chapitre 3 nous ´etablissons les propri´et´es topologiques des tubes deMilnor qui nous seront utiles par la suite. Ce chapitre est divis´e en troissections. Dans la premi`ere nous donnons une pr´esentation du groupe fonda-mental du compl´ementaire d’une courbe singuli`ere. Dans la deuxi`eme nouspr´ecisons la d´ecomposition de Jaco-Shalen-Johannson du tube de Milnor dedimension trois, qui jouera un rˆole cl´e dans la preuve du th´eor`eme principal.Enfin, dans la troisi`eme section nous ´etudions les propri´et´es alg´ebriques del’action d’une conjugaison topologique entre germes de courbes, sur quelques´el´ements remarquables des groupes fondamentaux associ´es aux composantesde bord.-Au chapitre 4 nous donnons la preuve du th´eor`eme A, structur´ee enquatre sections : r´eduction `a la dimension trois, construction d’un hom´eo-morphisme entre les 3-tubes de Milnor compatible aux d´ecompositions deJSJ introduites dans la section 3.2, conjugaison des arbres duaux des di-viseurs exceptionnels des d´esingularisations, enfin extension aux 4-tubes deMilnor.-Finalement, nous ´etudions au chapitre 5 les propri´et´es alg´ebriques dugroupe G S et nous d´emontrons le th´eor`eme B, `a l’aide du th´eor`eme A d´ej`a´etabli. 2. Conjugaison de germes de courbes marqu´ees
D´esingularisations et syst`emes locaux.
Dans tout cet article S d´esigne l’intersection d’une courbe analytique de C avec une boule ferm´e B := B r de centre 0 = (0 ,
0) et rayon r > B est une boule de Milnor pour S , i.e. 0 ∈ S et S \ { } est lisse et transverse`a toutes les sph`eres ∂ B r , pour 0 < r ≤ r . Soit E : B → B l’applicationde r´eduction (minimale) de S ; nous notons D := E − ( S ) le diviseur total , E := E − (0) le diviseur exceptionnel et S := D \ E la transform´ee stricte de S . D´esignons par Comp( D ) l’ensemble de composantes irr´eductibles de D etpar Sing( D ) l’ensemble des points singuliers de D . Notons encore S ( D ) := D ∩ Sing( D ). Deux composantes D, D ′ ∈ Comp( D ) sont dites adjacentes si D = D ′ et leur intersection D ∩ D ′ = ∅ ; dans ce cas D ∩ D ′ = { s } ⊂ Sing( D ). Nous consid´erons aussi une seconde courbe analytique S ′ ∋ B ′ := B r ′ pour S ′ ; E ′ : B ′ → B ′ , D ′ , E ′ , S ′ d´esignent respectivement l’application de r´eduction, le diviseur total, lediviseur exceptionnel et la transform´ee stricte de S ′ . Dans tout l’article, nousadoptons les notations suivantes :(2) A ∗ := ( A \ S ) , A ∗ := ( A \ D ) , pour A ⊂ B et A ⊂ B . De mˆeme, si A ′ ⊂ B ′ et A ′ ⊂ B ′ , nous notons A ′∗ := ( A ′ \ S ′ ) et A ′∗ :=( A ′ \ D ′ ).Donnons nous pour chaque point singulier s ∈ Sing( D ), un syst`eme de co-ordonn´ees locales holomorphes ( x s , y s ) : Ω s ∼ −→ D × D d´efinies sur voisinage APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 5 ferm´e Ω s de s dans B , `a valeurs sur le polydisque ferm´e D × D , telles que D ∩ Ω s = { x s y s = 0 } et Ω s ∩ Ω s ′ = ∅ , pour s = s ′ , avec D ε := {| z | ≤ ε } ⊂ C .Fixons aussi pour chaque composante irr´eductible D ∈ Comp( D ), une fi-bration localement triviale en disques ferm´es donn´ee par une submersiondiff´erentiable ρ D : Ω D → D , d´efinie sur un voisinage ferm´e Ω D de D dans B .Adoptons les notations suivantes, D et D ′ d´esignant encore des composantesirr´eductibles de D :(3) D s := D ∩ Ω s , pour s ∈ S ( D ) := Sing( D ) ∩ D , et :(4) K D := D \ [ s ∈ S ( D ) ◦ D s , K s := D s ∪ D ′ s , si D ∩ D ′ = { s } . Nous noterons aussi pour tout X ⊂ B , tout K ⊂ D non-r´eduit `a pointsingulier et tout s ∈ Sing( D ),(5) X ( K ) := X ∩ ρ − D ( K ) et X s := X ∩ Ω s =: X ( K s ) . D´efinition 2.1.
Nous dirons que la collection L := (( x s , y s ) , ρ D ) s, D est un syst`eme local de S sur B , s’il satisfait de plus les propri´et´es suivantes, pourtout D ∈ Comp( D ) et s ∈ Sing( D ) :(i) la restriction de ρ D `a D est l’identit´e ;(ii) si D ⊂ E , alors ρ D est holomorphe sur ρ − D ( K D ) ;(iii) si D ⊂ S et m ∈ D ∩ ∂ B , alors ρ − D ( m ) ⊂ ∂ B .(iv) si z := x s ou y s d´esigne la coordonn´ee locale non-identiquement nullesur D , alors z ◦ ρ D ( m ) = z ( m ) , pour | z ( m ) | ≤ / , m ∈ Ω D ∩ Ω s .La fibration ρ D sera appel´ee ici fibration de Hopf de base `a D . Notons qu’alors ρ D est holomorphe au voisinage de chaque point singulierde D et que les composantes locales de D en ces points, sont des fibres deces fibrations. Nous laissons au lecteur le soin de voir que, les cartes locales( x s , y s ) ´etant donn´ees, il existe des fibrations ρ D telles que L soit un syst`emelocal de S sur B .2.2. Tubes de Milnor et hom´eomorphismes excellents.
Fixons main-tenant une ´equation holomorphe r´eduite f de S , d´efinie sur un voisinageouvert de B . Pour tout r´eel η >
0, notons :(6) T η := f − ( D η ) ∩ B et T η := E − ( T η ) ⊂ B . Lorsque η > f `a T ∗ η est une fibration C ∞ -localement triviale au dessus de D η \ { } ; nous dirons alors que T η et T η sont des S . Apr`es avoir fix´e une ´equation holomorpher´eduite de S ′ au voisinage de B ′ , nous d´efinissons de la mˆeme mani`ere les4-tubes de Milnor pour S ′ et les notons T ′ η ′ ⊂ B ′ , T ′ η ′ ⊂ B ′ . Remarque 2.2. Si T η ⊂ B est un 4-tube de Milnor et B ε est une bouleferm´ee contenue dans ◦ T η , alors les inclusions B ∗ ε ⊂ T ∗ η ⊂ B ∗ induisent desisomorphismes au niveau des groupes fondamentaux. DAVID MAR´IN ET JEAN-FRANC¸ OIS MATTEI
Le syst`eme local L ´etant fix´e, nous pouvons pr´eciser la topologie des 4-tubes de Milnor. Pour η > unchamp de vecteurs diff´erentiable X sur T η s’annulant sur D qui, pour toutecomposante D de D , est tangent aux fibres de ρ D en tout point de T η ( K D )et tel que X · ( f ◦ E ) = f ◦ E . Ce champ se projette via E en un champlipchitzien X sur T η qui est tangent `a S et nul `a l’origine. Les flots de ceschamps sont d´efinis pour tous les temps n´egatifs.Consid´erons les 3-vari´et´es `a bord suivantes, que nous appelons ,(7) M η := f − ( ∂ D η ) ∩ B ⊂ ∂T η et M η := E − ( M η ) ⊂ ∂ T η . `A l’aide des flots de X et de X , on construit facilement une r´etraction pard´eformation de T ∗ η sur M η -et donc aussi une r´etraction par d´eformationde T ∗ η sur M η . Les propri´et´es de tangence de ces flots permettent d’ˆetreplus pr´ecis. Proposition 2.3.
Il existe un diff´eomorphisme
Θ : M η × ]0 , η ] ∼ −→T ∗ η telque : Θ( M η × { η } ) = M η , Θ( ∂ M η × ]0 , T ′∗ η ∩ ∂ B ′ , Θ( m, η ) = m , pour tout m ∈ M η et < η ≤ η . De plus D ∈ Comp( D ) , Θ( M η ( K D ) × ]0 , η ]) = T ∗ η ( K D ) , et la restriction de Θ `a M η ( K D ) × ]0 , η ] , se prolonge en une applicationdiff´erentiable Θ D : M η ( K D ) × [0 , η ] → T η ( K D ) v´erifiant : ρ D ◦ Θ D ( m, s ) = ρ D ( m ) , Θ D ( m,
0) = ρ D ( m ) ∈ K D . Ce diff´eomorphisme se redescend en un diff´eomorphisme(8) Θ ♭ : M η × ]0 , η ] ∼ −→ T ∗ η qui induit une r´etraction par d´eformation de ( T ∗ η , T ∗ η ∩ ∂ B ) sur ( M η , ∂M η ).Comme T ∗ η est un r´etract par d´eformation de B ∗ , cf. [13] , M η est aussi unr´etract par d´eformation de B ∗ . Ainsi pour η assez petit, les restrictions de ρ D `a T η ( K D ), sont aussi des fibrations en disques. Remarque 2.4.
Les inclusions B ∗ ε ⊂ T ∗ η ⊂ B ∗ , lorsqu’elles ont lieu, in-duisent des isomorphismes au niveau du groupe fondamental. Comme,toujours d’apr`es [13], M η fibre (par f ) sur le cercle ∂ D η , la suite exacted’homotopie de cette fibration montre que M η est un espace de Eilenberg-MacLane K ( π, T ∗ η et B ∗ , qui se r´etractent sur M η ,ainsi que de T ∗ η , B ∗ et M η qui leurs sont hom´eomorphes.
2. Par transversalit´e, un champ X D poss´edant ces propri´et´es existe sur un voisinageouvert W D de chaque K D ; sur Ω s , s ∈ Sing( D ), l’existence de tels champs X s r´esulte del’homog´en´eit´e de la fonction f ◦ E . Tous ces champs se recollent en utilisant une partitionde l’unit´e form´ee de fonctions u D : W D → R ´egales `a 1 sur T η ( K D ) et u s : Ω s → R nullessur Ω s ∩ ( ∪ D T η ( K D )), cf. [20].3. Cela se voit facilement en utilisant par exemple la structure conique [13] du couple( B , S ). APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 7
Le syst`eme local L pour S sur B ´etant toujours fix´e, consid´erons aussi unsyst`eme local pour S ′ sur B ′ , L ′ := (cid:0) ( x ′ s ′ , y ′ s ′ ) : Ω ′ s ′ → D × D , ρ ′ D ′ : Ω ′ D ′ → D ′ (cid:1) s ′ , D ′ . Nous conservons pour L ′ les notations (3), (4) et (5) utilis´ees pour L . D´efinition 2.5.
Un hom´eomorphisme
Φ : T η → T ′ η ′ entre deux 4-tubes deMilnor de S et de S ′ , tel que Φ( S ) = S ′ , sera dit excellent pour L et L ′ , s’ilse rel`eve en un hom´eomorphisme φ : T η → T ′ η ′ , E ′ ◦ φ = Φ ◦ E , satisfaisantles propri´et´es suivantes :(a) φ est holomorphe au voisinage de chaque point singulier de D ;(b) pour toute composante irr´eductible D de D , on a l’´egalit´e : φ ( T η ( K D )) = T ′ η ′ ( K ′ φ ( D ) ) ; de plus sur ces ensembles φ conjugue les fibrations ρ D et ρ ′ φ ( D ) , i.e. ρ ′ D ( φ ( m )) = φ ( ρ D ( m )) , m ∈ T η ( K D ) . Marquages entre germes de courbes.
Classiquement la structureconique de B ∗ , qui sera pr´ecis´ee en (4.1), induit une r´etraction par d´eforma-tion de B ∗ sur toute boule ferm´ee plus petite B ∗ ε ⊂ B ∗ . Si T η ⊂ B est un4-tube de Milnor contenant B ε , les inclusions B ∗ ε ⊂ T ∗ η ⊂ B ∗ induisent doncdes isomorphismes au niveau des groupes fondamentaux. Toute applicationcontinue de l’un de ces ensembles vers B ′∗ d´efinit ainsi un morphisme dugroupe fondamental de B ∗ dans celui de B ′∗ . Plus pr´ecis´ement consid´eronsl’ensemble C ( B ∗ , B ′∗ ) des applications continues F : U → B ′ , o`u U est unsous-ensemble connexe par arc de B ∗ , tel que l’application d’inclusion i U : U ֒ → B ∗ induit un isomorphisme i U ∗ : π ( U, p ) ∼ −→ π ( B ∗ , p ). Notons alors : F ∗ := F ∗ ◦ ( i U ) − : π ( B ∗ , p ) → π ( B ′∗ , F ( p )) . D´efinition 2.6.
Nous dirons que deux ´el´ements F : U → B ′∗ et G : V → B ′∗ de C ( B ∗ , B ′∗ ) sont fondamentalement ´equivalents et nous noterons F ≍ G , sipour tout chemin α trac´e dans B ∗ d’origine un point p de U et d’extr´emit´eun point q de V , il existe un chemin α ′ trac´e dans B ′∗ d’origine F ( p ) etd’extr´emit´e G ( q ) , tel que (9) α ′∗ ◦ F ∗ = G ∗ ◦ α ∗ , o`u α ∗ : π ( B ∗ , p ) → π ( B ∗ , q ) et α ′∗ : π ( B ′∗ , F ( p )) → π ( B ′∗ , G ( q )) sont lesisomorphismes induits par α et α ′ . On v´erifie facilement que ≍ est bien une relation d’´equivalence dans C ( B ∗ , B ′∗ )et que F ≍ G d`es qu’il existe existe un couple de chemins ( α, α ′ ) satisfaisantl’´egalit´e (9). D´efinition 2.7.
Une classe d’´equivalence f de ≍ s’appellera marquage de S ′ par S , s’il existe un voisinage ouvert U de l’origine dans B et un repr´esentant ˘ F : U ∗ → B ′∗ de f , qui se prolonge en un hom´eomorphisme F : U ∼ −→ F ( U ) ⊂ B ′ v´erifiant F ( S ∩ U ) = S ′ ∩ F ( U ) et pr´eservant les orientations de U, U ′ et S, S ′ en tant que courbes complexes.
4. Si S = S ′ est donn´ee par une ´equation r´eelle alors F ( x, y ) = (¯ x, ¯ y ) pr´eserve l’orien-tation de l’espace ambiante mais renverse l’orientation de S . DAVID MAR´IN ET JEAN-FRANC¸ OIS MATTEI
Dor´enavant tous les hom´eomorphismes conjuguant deux germes de courbesque nous consid´erons sont suppos´es pr´eserver l’orientation de l’espaceambiant et celles des courbes holomorphes.
Visiblement deux hom´eomorphismes conjuguant S `a S ′ sur des voisinagesde l’origine d´efinissent le mˆeme marquage (de S ′ par S ) s’ils ont mˆeme germe`a l’origine. Nous parlerons donc de germe d’hom´eomorphisme repr´esentantun marquage . Comme d’apr`es (2.4), B ∗ ǫ est un espace K ( π, de topologie alg´ebrique donne la caract´erisation suivante. Proposition 2.8.
Deux germes d’hom´eomorphismes au voisinage de ∈ C conjuguant les germes `a l’origine de S et de S ′ , repr´esentent le mˆeme mar-quage si et seulement si pour ε > assez petit, ils induisent des applicationsde B ∗ ε dans B ′∗ , qui sont homotopes. Cela nous am`ene `a poser la
Question.
Est-ce que deux germes d’hom´eomorphismes h , h : ( C , → ( C ,
0) tels que h i ( S,
0) = ( S ′ , i = 0 ,
1, d´efinissent le mˆeme marquage siet seulement s’il existe une germe d’hom´eomorphisme H : ( C , I ) → ( C , I )le long du compact I := 0 × × [0 , H ( x, y, t ) = ( H t ( x, y ) , t ),v´erifie H = h , H = h et tel que les germes de H ( S × [0 , S ′ × [0 , I , soient ´egaux ?Le r´esultat principal de ce travail est le th´eor`eme suivant. Th´eor`eme 2.9.
Soient L = (( x s , y s ) , ρ D ) s, D et L ′ = (( x ′ s ′ , y ′ s ′ ) , ρ ′ D ′ ) s ′ , D ′ deux syst`emes locaux de S et S ′ sur B et B ′ respectivement et h : B ε ∼ −→ h ( B ε ) ⊂ B ′ un hom´eomorphisme tel que h ( S ∩ B ε ) = S ′ ∩ h ( B ε ) . Alors il existe unhom´eomorphisme Φ : T η ∼ −→ T ′ η ′ , Φ( S ) = S ′ , qui est excellent pour L et L ′ ,et tel que les restrictions h | B ∗ ε et Φ | T ∗ η : T ∗ η → T ′∗ η ′ sont fondamentalement´equivalentes. En d’autres termes, on obtient le th´eor`eme A de l’introduction :
Tout marquage de S ′ par S peut ˆetre repr´esent´e par un hom´eomorphismeexcellent entre deux 4-tubes de Milnor. Topologie des tubes de Milnor
Avant de commencer la preuve du th´eor`eme 2.9, nous ´etablissons danscette section les propri´et´es topologiques des tubes de Milnor que nous utili-serons par la suite.3.1.
Groupe fondamental et homologie.
Nous allons expliciter une pr´e-sentation du groupe fondamental Γ de T ∗ η . Pour cela, rappelons que l’arbredual A de la d´esingularisation de S est constitu´e d’un sommet pour chaque´el´ement D ∈ Comp( D ) et d’une arˆete joignant les sommets correspondants`a D et D ′ , pour chaque singularit´e s ∈ Sing( D ), point d’intersection de D
5. Cf. par exemple [21] corollaire (4.4), page 226.
APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 9 et D ′ .Fixons un syst`eme local L pour S ainsi qu’une immersion topologique j d’une r´ealisation g´eom´etrique | A | de A dans T ∗ η , telle que :– pour chaque D ∈ Comp( D ), j − ( T ∗ η ( K D )) contient un seul somment s D de A , qui est celui associ´e `a D et de plus ρ D ◦ j est un plongementsur un voisinage de s D ;– pour chaque s ∈ Sing( D ), j − ( T ∗ η ( K s )) est contenu dans une seulearˆete, qui est celle associ´ee `a s . Nous supposons aussi, ce qui est toujourspossible, que le point de coordonn´ees ( x s , y s ) = (1 ,
1) appartient `a j ( A ).Comme j ( A ) est contractile, on a un isomorphisme canonique entre lesgroupes π ( T ∗ η , j ( A )) et Γ qu’on nous n’expliciterons pas. D´efinition 3.1.
Pour chaque D ∈ Comp( D ) consid´erons l’´el´ement c D ∈ Γ repr´esent´e par le lacet simple ρ − D ( ρ D ( j ( s D ))) ∩ M η , orient´e comme le bordd’une courbe holomorphe de T ∗ η . Remarque 3.2.
Soit s ∈ Sing( D ) le point d’intersection de D et D ′ ∈ Comp( D ). Supposons que l’on a : D ∩ Ω s = { x s = 0 } et D ′ ∩ Ω s = { y s = 0 } .Alors c D et c D ′ sont les classes d’homotopie des lacets ( x s , y s ) = ( e iπt ,
1) et( x s , y s ) = (1 , e iπt ) respectivement. Proposition 3.3.
Le groupe fondamental Γ admet comme syst`eme de g´en´e-rateurs { c D } D ∈ Comp( D ) , avec les relations donn´ees par les familles (10) Y D ′ ∈ Comp( D ) c ( D ′ ,E ) D ′ = 1 , [ c D , c E ] ( D,E ) = 1 d’indices E ∈ Comp( E ) et D ∈ Comp( D ) . La preuve de cette proposition se fait en appliquant le th´eor`eme classiquede Seifert-Van Kampen de fa¸con r´ecurrente, voir par exemple [14, 4, 10].Nous ´ecrirons les ´el´ements de Γ en notation multiplicative et ses classesdans Γ / [Γ , Γ] ∼ = H ( T ∗ η ; Z ) en notation additive, mais en conservant lesmˆemes noms. Corollaire 3.4.
Le groupe d’homologie H ( T ∗ η ; Z ) est un groupe ab´elienlibre de rang r := S ) , engendr´e par les classes c S j associ´es auxcomposantes irr´eductibles S , . . . , S r de S . De plus, si l’on note { E , . . . , E n } les composantes de E et respectivement c E et c S les vecteurs transpos´es de ( c E , . . . , c E n ) et de ( c S , . . . , c S r ) , alors (11) c E = − ( E , E ) − ( E , S ) c S , o`u ( E , E ) et ( E , S ) d´esignent les matrices ayant pour coordonn´ees les nombresd’intersection ( E i , E j ) et ( E i , S k ) respectivement. Enfin la composante ( i, k ) de la matrice − ( E , E ) − · ( E , S ) est ´egale `a l’ordre d’annulation ν Ei ( f k ◦ E ) de f k ◦ E sur E i , o`u f k d´esigne une ´equation r´eduite de S k .
6. Dans le produit Q D ′ ∈ Comp( D ) c ( D ′ ,E ) D ′ , l’ordre est celui donn´e par l’ordre cyclique desarˆetes de la projection ρ E ◦ j (star( s E )) de l’´etoile de s E , dans la composante E , qui estde dimension r´eelle deux. Preuve.
Il suffit d’´ecrire matriciellement les ´equations(12) 0 = X D ∈ Comp( D ) ( E i , D ) c D = n X j =1 ( E i , E j ) c E j + r X k =1 ( E i , S k ) c S k qui se d´eduisent des relations (10), puis d’exprimer les c E i en fonction des c S k grˆace au fait bien connu que det( E , E ) est ´egal `a ±
1. Finalement, ν Ei ( f k ◦ E ) = 12 iπ Z c Ei E ∗ (cid:18) df k f k (cid:19) = 12 iπ Z − r P ℓ =1 (cid:0) ( E , E ) − ( E , S ) (cid:1) iℓ E ( c S ℓ ) df k f k = − (cid:0) ( E , E ) − · ( E , S ) (cid:1) ik , (13)car iπ R E ( c S ℓ ) df k f k = δ ℓk . (cid:3) D´ecomposition de JSJ.
Ce qui suit est bien connu des sp´ecialistesde la topologie des 3-vari´et´es. Il s’agit des applications aux singularit´es decourbes, de la classification des vari´et´es de dimension 3 due `a Waldhausen[19], Jaco-Shalen [6] et Johannson [7]. Cette ´etude est effectu´ee par Michel-Weber [12] et par Neumann [15, 16], via des techniques de plombage. Dansce paragraphe nous pr´ecisons et adaptons ces m´ethodes, afin de mettre en´evidence les propri´et´es qui nous seront utiles au chapitre suivant. Pour les´enonc´es pr´ecis des th´eor`emes utilis´es, nous nous r´ef´erons `a [8] dont nousadoptons le vocabulaire ; le lecteur pourra aussi se r´ef´erer `a la monographie[20] de CTC Wall, ainsi qu’`a l’article [17] de Neumann-Swarup.Avec les notations (4) et (5), d´efinissons pour tout point singulier s ettoute composante D de D , les sous-vari´et´es `a bord de M η suivantes :(14) M s := M η ∩ Ω s et M D := M η ( K D ) ;nous les appelons ici blocs ´el´ementaires de M η . La d´ecomposition de M η en “blocs de Jaco-Shalen-Johannson” (JSJ) et en “tores ´epaissis”, que nousallons maintenant d´efinir, sera obtenue en agr´egeant de tels blocs.Notons R ⊂ Comp( D ) l’ensemble des composantes de D de valence ≥
3. Celles-ci correspondent aux les sommets de rupture de l’arbre dual A .Pr´ecisons la notion de chaˆıne de composantes reliant deux ´el´ements D ′ et D ′′ ∈ R : c’est une collection finie de composantes(15) C := { D , . . . , D l C +1 } , l C ≥ , D = D ′ , D l C +1 = D ′′ , telle que(16) v ( D ) = · · · = v ( D l C ) = 2 et D j ∩ D j +1 = ∅ , j = 0 , . . . , l C . D´esignons par C l’ensemble de chaˆınes de composantes de D reliant descomposantes de R . Rappelons qu’on appelle branche morte de E adjacente`a D ∈ R , toute suite finie C := { D , . . . , D l C } , l C ≥
1, de composantes de E ,telle que(17) D = D , v ( D j ) = 2 , v ( D l C ) = 1 , D k ∩ D k +1 = ∅ , pour 1 ≤ j ≤ l C et 0 ≤ k ≤ l C −
1. La composante D l C est appel´ee composanted’extr´emit´e de C et le point d’intersection de D avec D , point d’attache de APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 11 C . Nous d´esignons par M l’ensemble de branches mortes de E .Soit C = { D , . . . , D ℓ C +1 } ∈ C . D´esignons par s j le point d’intersection de D j − et D j , j = 0 , . . . , l C . Classiquement, pour η > M s j est un tore ´epaissi , i.e. M s j est hom´eomorphe au produitdu tore standard T := ∂ D × ∂ D avec un intervalle compact. Chaque M D j , j = 1 , . . . , l C , est aussi un tore ´epaissi et l’on obtient par recollement une3-vari´et´e `a bord M C , munie d’un hom´eomorphisme :(18) ˘ σ C : M C := l C [ j =1 M D j ∪ l C [ j =0 M s j ∼ −→ T × [ − , . Cette structure produit s’´etend sur un voisinage du bord de M C sur une3-vari´et´e `a bord f M C , munie d’un hom´eomorphisme(19) σ C : f M C ∼ −→ T × [ − − ǫ, ǫ ] , σ − C ( T × [ − , M C , σ C|M C = ˘ σ C . Consid´erons le 2-tore T C := σ − C ( T ×{ } ). L’adh´erence B de toute compo-sante connexe de M η \ ( ∪ C∈ C T C ) contient un unique bloc ´el´ementaire M D , D ∈ R . Nous disons que B est le bloc de JSJ de M η associ´e `a D et nous lenotons B D . Nous d´esignons par B ♭D la composante connexe de la fermeturede M η \ ∪ C∈ C M C , contenue dans B D .Consid´erons une branche morte C = { D , . . . , D l C } ∈ M de E . Nous no-tons encore :(20) M C := l C [ j =1 M D j ∪ l C − [ j =0 M s j , o`u { s j } := D j ∩ D j +1 . Ainsi, pour D ∈ R , B ♭D est l’union de M D et des vari´et´es M C , pour toutesles branches mortes C s’attachant en un point de D . Remarquons que si C ∈ M alors M C est hom´eomorphe `a un tore solide D × S ; notons aussi quele compl´ementaire M ◦C d’une fibre de Hopf (non contenue dans D l C − ) dudiviseur D l C de valence 1 dans M C a le type d’homotopie du tore S × S . D´efinition 3.5.
Pour
C ∈ C ∪ M , posons H C = H ( M C , Z ) , si C ∈ C et H C = H ( M ◦C , Z ) , si C ∈ M . Pour chaque D j ∈ C , la classe c j d’une fibre de ρ D j restreinte `a M D j et orient´ee comme bord d’une courbe holomorphe de T η , sera appel´ee m´eridien associ´e `a D j . Si C ∈ M , nous d´esignons par c l C +1 et nous appelons m´eridien exceptionnel de C , le g´en´erateur du noyau du mor-phisme H ( M ◦C , Z ) → H ( M C , Z ) induit par l’inclusion, dont l’ orientationet induite par le bord d’une courbe holomorphe de T η . Proposition 3.6. Si C ∈ C ∪ M alors :(i) H C est un groupe ab´elien libre de rang qui admet comme syst`eme deg´en´erateurs c , . . . , c l C +1 , avec les relations (21) c j − + e j c j + c j +1 = 0 , e j = ( D j , D j ) j = 1 , . . . , l C ; e j est aussi ´egal `a la classe de Chern du fibr´e normal de D j dans B , int´egr´ee sur laclasse fondamentale. (ii) pour tout j = 0 , . . . , l C , les ´el´ements c j , c j +1 forment base de H C ; cesbases d´efinissent toutes la mˆeme orientation ; la -forme Z -lin´eaire ca-nonique det( · , · ) sur H C telle que det( c j , c j +1 ) = 1 et det( c j , c j ) = 0 ,correspond `a la forme d’intersection de chaque composante connexe de ∂ M C , consid´er´ee comme surface orient´ee ;(iii) on a c = a c l C + b c l C +1 , avec a = ± det( A ) = 0 , o`u A d´esigne lamatrice de la restriction au diviseur l C S j =1 D j , de la forme d’intersectionde E ;(iv) les ´el´ements c ⊗ , c l C +1 ⊗ forment une Q -base de H C ⊗ Q .Preuve. L’affirmation (i) est une cons´equence directe du fait que H C s’iden-tifie `a l’homologie enti`ere d’un tore et des relations (12). L’assertion (ii) sed´eduit facilement `a partir des relations (21), voir aussi [4, 5], qui s’´ecriventsous forme matricielle comme(22) e · · · e · · ·
00 . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . 00 · · · e l C − · · · · · · e l C | {z } A c c ......0 c l C = − c c l C +1 . En appliquant la formule de Cramer on voit sans peine que le coefficient a de l’expression c = a c l C + b c l C +1 n’est autre que a = ± det A , o`u A est lamatrice de la restriction au diviseur l C S j =1 D j ⊂ E de la forme d’intersectionde E qui est d´efinie n´egative. Ce qui donne (iii), car det A = 0. Finalement,l’affirmation (iv) est une cons´equence directe de (iii). (cid:3) D´esignons par S M ( D ) ⊂ S ( D ) l’ensemble des points d’attache des branchesmortes sur D et notons :(23) b S ( D ) := S ( D ) \ S M ( D ) , b K D := D \ [ s ∈ b S ( D ) ◦ D s = K D ∪ [ s ∈ S M ( D ) D s . Corollaire 3.7.
Pour chaque composante D de E de valence ≥ , la restric-tion `a M D de la fibration ρ D du syst`eme local L , se prolonge en une fibrationde Seifert b ρ D : B ♭D → b K D , de fibres exceptionnelles b ρ − D ( s ) , s ∈ S M ( D ) . Deplus b ρ − D ( s ) est l’intersection de B ♭D avec une fibre de la fibration de Hopfde base la composante d’extr´emit´e de la branche morte qui s’attache `a D aupoint s .Preuve. Donnons-nous m := [ ∂ D × { } ] un m´eridien et p := [ { } × S ] unparall`ele dans H ( D ∗ × S , Z ). Il est bien connu qu’une courbe de D ∗ × S de classe d’homologie enti`ere a m + b p est une fibre d’une fibration de Seifertde D × S , si et seulement si a = 0. On conclut en appliquant la partie (iii)de la proposition pr´ec´edente et en remarquant que m = c l C +1 . (cid:3) APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 13
Remarque 3.8.
La structure produit des tores ´epaissis M C , C ∈ C , permetd’´etendre facilement b ρ D en une fibration de Seifert(24) b ρ ext D : B D → b K ext D , b K ext D := D \ ∪ s ∈ b S ( D ) ˇ D s , b ρ ext D | B ♭D = b ρ D , dont les fibres sont contenues dans les fibres de σ C , ˇ D s d´esignant ici undisque conforme ferm´e de centre s contenu dans ◦ D s .Ainsi chaque tore T C , C ∈ C , qui est l’intersections de deux blocs de JSJ,est muni des deux fibrations en cercles, obtenues en restreignant `a T C lesfibrations de Seifert de chaque bloc adjacent. Les classes d’homologie desfibres correspondantes `a ces deux fibrations sont c et c l C +1 , qu’on peutconsid´erer comme des ´el´ements de H ( T C , Z ) puisque l’inclusion T C ⊂ M C est un isomorphisme en homologie. Remarque 3.9.
Soit
C ∈ C . Pour j ∈ { , l C + 1 } , en utilisant que v ( D j ) ≥ T C est incompressible dans B D , ce qui donnele monomorphisme H ( T C , Z ) ֒ → H ( B D j , Z ). Ainsi c et c l C +1 sont aussiind´ependantes dans H ( B D j , Z ) et donc les fibrations de Seifert de B D et B D l C +1 ne sont pas compatibles. En utilisant les relations (11), il est facilede voir que l’image de H ( T C , Z ) dans H ( M η , Z ) est diff´erente des imagesde l’homologie des tores bordant M η .Les hypoth`eses du th´eor`eme (1.2.3) de [8] ´etant satisfaites, il vient : Corollaire 3.10.
La famille ( T C ) C∈ C est une famille caract´eristique detores essentiels de la 3-vari´et´e M η et d´etermine sa d´ecomposition de JSJ,qui est constitu´ee de blocs de type Seifert. Remarque 3.11.
Les sommets de l’arbre de la d´ecomposition de JSJ de M η (correspondants aux blocs Seifert B D ) sont en correspondance bijective avecles composantes D ∈ R et ses arˆetes (joignant deux sommets correspondantsa deux blocs Seifert adjacents) sont en correspondance bijective avec leschaˆınes C ∈ C .3.3. Structures p´eriph´eriques et isomorphismes g´eom´etriques.
Pourchaque composante irr´eductible S k de S consid´erons un voisinage tubu-laire W k de S k ∩ ( B r \ ◦ B s ) avec 0 < s < r ≪ ρ S k et ρ D k `a W k := E − ( W k ) soient des fibrations triviales, D k ∈ Comp( D ) d´esignant la composante d’attache de S k . Le groupe fon-damental P k := π ( W ∗ k ) est isomorphe `a Z m k ⊕ Z p k o`u m k et p k sont lesbords orient´es d’une fibre de la restriction `a W ∗ k de ρ S k et ρ D k respective-ment. L’ab´elianit´e de P k permet de ne pas `a expliciter un point de basedans W ∗ k . Remarquons que m k est un g´en´erateur du noyau du morphisme π ( W ∗ k ) → π ( W k ) induit par l’inclusion. Soit s = S k ∩ D k ∈ Sing( D ) le pointd’attache de S k . Quitte `a permuter les coordonn´ees ( x s , y s ) nous supposonsque x s = 0 est une ´equation de S k . Nous choisissons ε , ε > W ∗ k se r´etracte sur le 2-tore {| x s | = ε , | y s | = ε } . Les lacets m et p
8. i.e. une famille minimale de tores telle l’adh´erence de chaque composante connexedu compl´ementaire est une vari´et´e de Seifert ou atoro¨ıdale, cf. [8] p. 144.9. i.e. incompressible dans M η et non-isotope `a une composante de ∂ M η . de W ∗ k d´efinis par ( x s , y s ) ◦ m ( t ) = ( ε e iπt , ε ) et ( x s , y s ) ◦ p ( t ) = ( ε , ε e iπt )sont deux repr´esentants de m k et p k respectivement. D´efinition 3.12.
Nous appellerons m k et p k le m´eridien et le parall`ele ca-nonique de S k . Proposition 3.13.
L’ensemble W ∗ k est incompressible dans T ∗ η , i.e. le mor-phisme i k : P k → Γ induit par l’inclusion W ∗ k ⊂ T ∗ η , qui s’explicite par i k ( m k ) = c S k , i k ( p k ) = c D k , est injectif.Preuve. Ceci peut se d´emontrer directement, par utilisation r´ep´et´ee duth´eor`eme de Van Kampen, comme nous l’avons d´ej`a fait en la construc-tion d’un voisinage adapt´e de D par “assemblage bord `a bord” dans [10].Nous allons pr´esenter une autre preuve bas´ee sur l’incompressibilit´e dans T ∗ η de la fibre de Milnor F d’une ´equation r´eduite f de S . Notons par i CW , i W T , i CF , i F T respectivement les morphismes au niveau des groupesfondamentaux, induits par les inclusions F ∩ W ∗ k ⊂ W ∗ k , W ∗ k ⊂ T ∗ η , F ∩ W ∗ k ⊂ F, F ⊂ T η ∗ . Remarquons que π ( F ) est le noyau du morphisme f ∗ : Γ → Z qui envoie c D sur la multiplicit´e ν D ( f ◦ E ) de f ◦ E le long de D . Notons ν k := ν D k ( f ◦ E ). Comme f ◦ E = x s y ν k s , on a l’isomorphisme π ( F ∩ W ∗ k ) ∼ = Z b k , o`u b k d´esigne la composante du bord (orient´e) de F contenue dans W ∗ k et i CW ( b k ) = p k − ν k m k . D’autre part, si k = α p k + β m k ∈ π ( W ∗ k )appartient au noyau de i W T , alors f ∗ ( i W T ( α p k + β m k )) = αν k + β = 0 ; d’o`u k = i CW ( α b k ). Comme i W T ◦ i CW = i F T ◦ i CF , i CF et i F T sont injectives, α = 0 et i W T est donc aussi injective. (cid:3)
Dor´enavant nous identifierons P k a son image dans Γ, en prenant le pointde base dans W ∗ k . Si nous avons besoin de consid´erer plus d’un sous-groupe P k `a la fois, il nous faudra alors de consid´erer la famille de tous les conjugu´esde P k dans Γ. Le r´esultat suivant pr´ecise cette situation. Proposition 3.14.
Le normalisateur de P k dans Γ est ´egal `a P k , i.e. si ζ ∈ Γ et ζ P k ζ − ⊂ P k alors ζ ∈ P k . En particulier, la d´ecomposition P k = Z m k ⊕ Z p k est intrins`eque dans Γ .Preuve. La preuve de la proposition pr´ec´edente montre que π ( F ) ∩ P k = π ( F ∩ W ∗ k ) = Z b k . Soit ζ ′ := ζ m ℓk avec ℓ := f ∗ ( ζ ) = iπ R ζ E ∗ (cid:16) dff (cid:17) .Comme f ∗ ( m k ) = 1 il r´esulte que f ∗ ( ζ ′ ) = 0 et donc ζ ′ ∈ π ( F ). Ainsi, ζ ′ b k ζ ′− ∈ π ( F ) ∩ ζ ′ P k ζ ′− = π ( F ) ∩ P k = Z b k . D’o`u ζ ′ b k ζ ′− = b nk pour un certain n ∈ Z . En passant `a l’homologie la derni`ere ´egalit´e on ob-tient que n = 1 et donc [ ζ ′ , b k ] = 1, que nous pouvons interpr´eter commeune relation dans le groupe libre π ( F ). Comme le sous-groupe h ζ ′ , b k i de π ( F ) est aussi libre d’apr`es le th´eor`eme classique de Schreier, nous end´eduisons qu’il est monog`ene : h ζ ′ , b k i = h θ i pour un certain θ ∈ π ( F ) = h u , v , . . . , u g , v g , b , . . . , b r | g Q i =1 [ u i , v i ] r Q j =1 b j = 1 i , o`u b j ⊂ ∂F . Nous pouvons
10. Lorsque S n’est pas irr´eductible, i.e. r >
1, on peut raisonner directement en homo-logie, car alors π ( W ∗ k ) ∼ = H ( W ∗ k ; Z ) ∼ = Z ֒ → Z r ∼ = H ( T ∗ η ; Z ). Ce derni`ere inclusion vientde (13) car f ℓ ◦ E s’annule sur D k , pour tout ℓ = 1 , . . . , r .11. Elle r´esulte trivialement de la suite exacte d’homotopie de la fibration de Milnor.12. i.e. la d´ecomposition P = Z m P ⊕ Z p P de tout sous-groupe conjugu´e P := ζ P k ζ − donn´ee par m P := ζ m k ζ − et p P := ζ p k ζ − , ne d´epend pas de ζ . APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 15 supposer que b k = b . Il suffit de prouver que b n’est pas une puissancenon-triviale dans π ( F ) car dans ce cas ζ ′ ∈ h θ i = h b k i ⊂ P k . Si r > b fait parti du syst`eme libre de g´en´erateurs u , v , . . . , u g , v g , b , . . . , b r − de π ( F ) ; il n’est donc pas une puissance non-triviale. Si r = 1 alors b − = g Q i =1 [ u i , v i ] est un mot cycliquement r´eduit dans le groupe libre π ( F ) = h u , v , . . . , u g , v g | i ; on voit encore facilement, qu’il ne peut ˆetre une puis-sance non-triviale. (cid:3) Th´eor`eme 3.15.
Soit U un voisinage ouvert de dans B et h un hom´eo-morphisme de U sur un voisinage U ′ de dans B ′ , tel que h ( S ∩ U ) = S ′ ∩ U ′ . Supposons que l’inclusion U ⊂ B induit un isomorphisme π ( U ∗ ) ∼ = Γ .Alors, pour toute composante S k de S l’isomorphisme h ∗ : Γ → Γ ′ induit par h envoie P k sur le sous-groupe P ′ k associ´e `a la composante S ′ k = h ( S k ∩ U ) de S ′ ∩ U ′ et transforme m´eridien en m´eridien : h ∗ ( m k ) = m ′ k .Preuve. Consid´erons des voisinages tubulaires W k de S k ∩ ( B r \ ◦ B s ) et W ′′ k ⊂ W ′ k de S ′ k ∩ ( B ′ r ′ \ ◦ B ′ s ′ ) contenus dans U et U ′ respectivement tels que W ′′ k ⊂ h ( W k ) ⊂ W ′ k et P k = π ( W ∗ k ) et π ( W ′′∗ k ) = π ( W ′∗ k ) = P ′ k via l’inclusion W ′′∗ k ⊂ W ′∗ k . Ainsi h ∗ ( P k ) ⊂ P ′ k et le compos´e P ′ k → h ∗ ( P k ) → P ′ k estun isomorphisme. Ainsi h ∗ ( P k ) = P ′ k et la restriction de h ∗ `a P k ∼ = Z est surjective sur P ′ k ∼ = Z . Comme tout morphisme surjectif de Z surlui-mˆeme est aussi injectif, h ∗ : P k → P ′ k est un isomorphisme. De mˆeme h ∗ : π ( W k ) → π ( W k ′ ) est aussi un isomorphisme. Ainsi h ∗ conjugue lesnoyaux des morphismes induits par les inclusions W ∗ k ⊂ W k et W ′∗ k ⊂ W ′ k quisont engendr´es par m k et m ′ k respectivement. On conclut que h ∗ ( m k ) = m ′± k ;mais l’exposant est ´egal `a +1, car h pr´eserve les orientations. (cid:3) Dans l’´enonc´e du th´eor`eme pr´ec´edent, k ´etant donn´e, nous avions arbi-trairement choisi dans W k et W ′′ k , les points de base pour Γ et Γ ′ respective-ment. Mais nous aimerions disposer d’une notion ind´ependante de ces choix,intrins`eque `a h ∗ . Pour cela, revenons `a la d´efinition d’´equivalence fondamen-tale introduite en 2.6 et notons que l’ambigu¨ıt´e de l’action h ∗ : Γ → Γ ′ estcontrˆol´ee par la composition `a droite et/ou `a gauche de h ∗ par des automor-phismes int´erieurs. Cela nous conduit `a introduire la notion d’ isomorphismeext´erieur , comme une classe d’´equivalence d’isomorphisme Γ → Γ ′ modulocomposition par des automorphismes int´erieurs. Nous pouvons alors d´efinir D´efinition 3.16.
Nous disons qu’un isomorphisme ext´erieur ϕ : Γ → Γ ′ pr´eserve les structures p´eriph´eriques s’il envoie tous les sous-groupesconjugu´es des P k sur des sous-groupes conjugu´es des P ′ k ′ . L’isomorphisme ϕ est dit g´eom´etrique si de plus il envoie tous les conjugu´es des m´eridiens m k sur des conjugu´es des m´eridiens m ′ k ′ . Remarque 3.17.
Le th´eor`eme 3.15 affirme que si h : ( U, S ) → ( U ′ , S ′ )est un germe d’hom´eomorphisme alors h ∗ : Γ → Γ ′ est un isomorphismeg´eom´etrique. La premi`ere moiti´e de la preuve de 3.15 implique que si h : U ∗ → U ′∗ est un hom´eomorphisme alors h ∗ : Γ → Γ ′ pr´eserve la structurep´eriph´erique ; cependant il peut ne pas ˆetre g´eom´etrique, comme montre
13. pr´eservant comme toujours les orientations. l’exemple suivant : U = U ′ = C , S = S ′ = { xy = 0 } et h : C ∗ × C ∗ → C ∗ × C ∗ est d´efini par h ( x, y ) = ( xy, y ).Rappelons ici un important r´esultat de F. Waldhausen [19, Corollary 6.5] : Th´eor`eme 3.18.
Soient M et M ′ des vari´et´es de dimension trois, irr´educ-tibles, `a bord incompressible et soit ϕ : π ( M ) → π ( M ′ ) un isomorphismepr´eservant la structure p´eriph´erique, i.e. pour toute composante connexe F de ∂M , il existe une composante connexe F ′ de ∂M ′ , telle que ϕ ( π ( F )) soitconjugu´e `a π ( F ′ ) . Alors il existe un hom´eomorphisme φ : M → M ′ indui-sant ϕ en homotopie, i.e. ϕ = φ ∗ . Corollaire 3.19. Si ϕ : Γ → Γ ′ est un isomorphisme qui pr´eserve la struc-ture p´eriph´erique, alors il existe un hom´eomorphisme h : T ∗ η → T ′∗ η , tel que h ∗ = ϕ : π ( T ∗ η ) → π ( T ′∗ η ) . Si de plus ϕ est g´eom´etrique, alors h s’´etend enun hom´eomorphisme de T ∗ η sur T ′∗ η , tel que h ( S ) = S ′ . Ainsi, tout isomor-phisme g´eom´etrique est induit par un (unique) marquage.Preuve. Nous pouvons appliquer le th´eor`eme de Waldhausen `a l’isomor-phisme ϕ : Γ ∼ = π ( M η ) → π ( M ′ η ) ∼ = Γ ′ , car M η et M η ′ sont irr´eductibles,d’apr`es la remarque 2.4 et `a bord incompressible, grˆace `a la proposition 3.13.Il existe donc un hom´eomorphisme φ : M η → M η ′ , qui s’´etend triviale-ment en un hom´eomorphisme h : T ∗ η → T ∗ η ′ , via les structures produit T ∗ η ∼ = M η × ]0 , η ] et T ′∗ η ∼ = M ′ η × ]0 , η ] donn´ees par (8). D’autre part, si ϕ conjugue les m´eridiens des tores du bord de M η et M ′ η , alors φ s’´etend en unhom´eomorphisme de T η ∩ ∂ B sur T ′ η ∩ ∂ B ′ . En utilisant la structure coniquede S et S ′ , il est facile d’´etendre φ en un hom´eomorphisme entre les paires h : ( T η , S ) → ( T ′ η , S ′ ). (cid:3) D´emonstration du th´eor`eme principal ´Etant donn´e l’hom´eomorphisme h : B ε ∼ −→ h ( B ε ) ⊂ B ′ tel que h ( S ∩ B ε ) = S ′ ∩ h ( B ε ), dans la premi`ere section de ce chapitre nous construisons uneapplication ˘ h de M η sur M ′ η ′ , pour 0 < η ≪ η ′ ≪
1, qui est fondamentale-ment ´equivalente `a h . Grˆace aux r´esultats de Waldhausen, nous modifieronscette application par une homotopie, afin d’obtenir un hom´eomorphisme h entre les 3-tubes de Milnor.Dans la section suivante, en utilisant les r´esultats classiques de Jaco-Shalen-Johannson, nous isotopons h `a un nouvel hom´eomorphisme h quipr´eserve des r´ealisations tr`es pr´ecises de la d´ecomposition JSJ des 3-tubesde Milnor.Ensuite `a la section 4.3, nous construisons un isomorphisme explicite entreles arbres duaux des d´esingularisations minimales de S et de S ′ .Celui-ci nous permet, `a la section suivante, d’´etendre h aux 4-tubes deMilnor. Cette extension `a la dimension quatre se fait faite en quatre ´etapes :Dans la premi`ere, nous ne nous occupons que des blocs T η ( D ) associ´es auxcomposantes de valence ≥
3. Dans la deuxi`eme ´etape, nous traitons le casdes chaˆınes C de composantes de valence 2, en utilisant la structure produitdes blocs T η ( C ). `A l’´etape suivante, nous consid´erons le cas des branchesmortes et celui des transform´ees strictes des s´eparatrices. Finalement `a la APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 17 derni`ere ´etape, nous modifierons l’hom´eomorphisme construit, `a l’aide d’iso-topies bien choisies, afin d’assurer qu’il est fondamentalement ´equivalent `al’hom´eomorphisme h initial.4.1. R´eduction `a la dimension trois.
Fixons des r´eels positifs r < ε et ε ′′ < ε ′ , tels que(25) B ′ ε ′′ h ( B r ) B ′ ε ′ h ( B ε ) ⊂ B ′∗ . Munissons le couple ( B , S ) d’une structure conique , c’est `a dire d’un diff´eo-morphisme ϕ : ∂ B × [0 , → B en dehors de l’origine, v´erifiant : ϕ ( ∂ B ×{ r } ) = ∂ B r , pour tout r ∈ ]0 , ϕ (( S ∩ ∂ B ) × [0 , S et ϕ ( m,
0) = 0, ϕ ( m,
1) = m ,pour tout m ∈ ∂ B . Nous disposons aussi d’une structure conique ϕ ′ : ∂ B ′ × [0 , → B ′ , pour le couple ( B ′ , S ′ ). Notons ̺ : B → B ε la r´etraction pard´eformation qui correspond, via ϕ , `a l’application valant ( m, t ) ( m, ε ),pour ε ≤ t ≤
1. Notons aussi σ ′ : ( B ′ \ { } ) → ∂ B ′ la r´etraction pard´eformation correspondant, via ϕ ′ , `a ( m, s ) ( m, σ ′ : B ′ → B ′ , l’application continue correspondant, via ϕ ′ , `a l’application( m, t ) ( m, ς ( t )), o`u ς ( t ) est affine pour ε ′′ ≤ t ≤ ε ′ et v´erifie ς ( t ) = t , pour t ≤ ε ′′ et ς ( t ) = 1, pour t ≥ ε ′ . Visiblement nous avons : ̺ − ( S ) = S , σ ′ ( S ′ ) = S ′ , σ ′− ( S ′ ) = S ′ , σ ′− ( S ′ ) = S ′ . Notons aussi que ̺ et σ ′ sont l’identit´e au voisinage de l’origine et que σ ′ co¨ıncide avec σ ′ en dehors de B ′ ε ′ . Posons :(26) h := σ ′ ◦ h ◦ ̺ : B −→ B ′ . Cette application est continue, n´ecessairement surjective et v´erifie h ( ∂ B ) = ∂ B ′ , h ( S ) = S ′ et h − ( S ′ ) = S . Elle d´efinit ainsi une application de B ∗ dans B ′∗ . D’autre part h co¨ıncide avec h au voisinage de l’origine et doncles restrictions de h et de h `a B ∗ ε , que nous d´esignerons encore par h et h ,sont fondamentalement ´equivalentes : h ≍ h .Fixons maintenant des 4-tubes de Milnor T η ⊂ B pour S et T ′ η ′ ⊂ B ′ pour S ′ , tels que h ( T η ) ⊂ T ′ η ′ . D´esignons par r : T ∗ η → M η la r´etraction pard´eformation sur le 3-tube de Milnor (7), donn´ee par la structure produitd´ecrite en (2.3) et notons r ′ : T ′∗ η ′ → M ′ η ′ := f ′− ( ∂ D η ′ ) ∩ B ′ la r´etractionsimilaire. Posons :(27) ˘ h := r ′ ◦ h ◦ ι M η : M η → M ′ η ′ , o`u ι M η : M η ֒ → T ∗ η d´esigne l’application d’inclusion. Remarque 4.1.
On a : h ≍ h ≍ ˘ h . Quitte `a multiplier l’´equation f ′ par ηη ′ , nous supposons que η = η ′ .Nous identifions d´esormais T η `a T η , T ′ η `a T ′ η et nous continuons `a noter ˘ h l’application E ′− ◦ ˘ h ◦ E d´efinie sur M η := E − ( M η ) et `a valeurs dans M ′ η ′ := E ′− ( M ′ η ′ ). Celle-ci satisfait les hypoth`eses du th´eor`eme (6.1) deWaldhausen [19], car ˘ h ( ∂ M η ) ⊂ ∂ M ′ η ′ . Comme M η n’est pas l’espacetotal d’un fibr´e en droites sur une surface de Riemann close, il existe une homotopie F : M η × [0 , → M ′ η ′ v´erifiant F ( ∂ M η × [0 , ⊂ ∂ M ′ η ′ , F ( · ,
0) = ˘ h et telle que F ( · ,
1) soit un hom´eomorphisme. Nous posons(28) h := F ( · ,
1) : M η ∼ −→M ′ η . Remarque 4.2.
La relation h ≍ ˘ h est satisfaite.4.2. Construction d’un hom´eomorphisme JSJ-compatible.
Consid´e-rons maintenant pour M ′ η ′ , la d´ecomposition de JSJ similaire `a celle ef-fectu´ee pour M η : nous conservons les notations (14) pour les blocs ´el´emen-taires de M ′ η ′ ; Nous d´esignons par R ′ la collection des composantes de D ′ de valence ≥ C ′ celle des chaˆınes de composantes de D ′ reliant deux´el´ements de R ′ ; pour chaque C ′ ∈ C ′ , les tores ´epaissi M ′C ′ et f M ′C ′ , ainsique leur structure produit σ ′C ′ : f M ′C ′ ∼ −→ T × [ − − ǫ, +1 + ǫ ] sont construitscomme en (19) ; le 2-tore T ′C ′ = σ ′− C ′ ( T × { } ) est proprement plong´e dans M ′ η ′ et les adh´erences des composantes connexes de M ′ η ′ \ ∪ C ′ ∈ C ′ T ′C ′ consti-tuent les blocs de JSJ de M ′ η ′ ; chacun d’eux est not´e B ′ D ′ , car il contient ununique bloc ´el´ementaire M ′ D ′ , v ( D ′ ) ≥ b ρ ′ ext : B ′ D ′ → b K ′ D ′ ext , d´efinie comme en (24), prolonge la fibration de Hopf ρ ′ D : M ′ D ′ → K ′ D ′ ; enfin la famille ( T ′C ′ ) C ′ ∈ C ′ est, pour les mˆemes raisons,une famille caract´eristique de tores essentiels proprement plong´es dans M ′ η ′ .Visiblement ( T C ) C∈ C et ( h − ( T ′C ′ )) C ′ ∈ C ′ sont deux familles caract´eristiquesde tores essentiels de M η . D’apr`es le th´eor`eme d’unicit´e des familles carac-t´eristiques, cf. (1.2.6) de [8], il existe une bijection(29) κ : C ∼ −→ C ′ et un automorphisme ψ de M η isotope `a l’identit´e, tels que h ( ψ ( T C )) = T ′ κ ( C ) , pour tout C ∈ C . Posons e h := h ◦ ψ , nous avons :(30) e h ≍ h ≍ h et e h ( T C ) = T ′ κ ( C ) , pour tout C ∈ C . Remarque 4.3.
Visiblement e h transforme tout bloc de JSJ de M η en unbloc de JSJ de M ′ η ′ , d´efinissant ainsi une (unique) bijection κ : R ∼ −→ R ′ telle que e h ( B D ) = B ′ κ ( D ) . Lemme 4.4 (de l’accord´eon) . Il existe un hom´eomorphisme ˘ h isotope `a e h ,qui transforme tout tore ´epaissi en un tore ´epaissi, en respectant la structureproduit ; pr´ecis´ement : ˘ h ( M C ) = M ′ κ ( C ) et σ ′ κ ( C ) ◦ ˘ h = σ C .Preuve. Soit
C ∈ C et B D une composante de JSJ de M η , telle que T C ⊂ ∂B D . Le tore T ′C ′ , C ′ := κ ( C ), est une composante connexe de ∂B ′ κ ( D ) .Nous pouvons supposer que ∂B ♭D ⊃ σ − C ( T × { } ) et ∂B ′ ♭κ ( D ) ⊃ σ ′− C ′ ( T ×{ } ). L’hom´eomorphisme r s de T × [0 , ǫ ] sur T × [ s, ǫ ], d´efini par r s ( p, t ) := ( p, s + t ǫ − s ǫ ), s ∈ [0 , σ − C ( T × [0 , ǫ ]) sur σ − C ( T × [ s, ǫ ]), qui se prolonge par l’identit´e enun hom´eomorphisme R s : B D ∼ −→ B D ( s ) := ( B D \ σ − C ( T × [0 , s [)) , R s | B ♭D = id B ♭D . APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 19
On construit un hom´eomorphismes similaire R ′ s de B ′ κ ( D ) sur B ′ κ ( D ) ( s ) :=( B ′ κ ( D ) \ σ − C ′ ( T × [0 , s [)). Pour s ∈ [0 , F s : M η → M ′ η ′ d´efini par : F s ( m ) = ˘ h ( m ) , si m / ∈ B D ,F s ( m ) := R ′ s ◦ ˘ h ◦ R − s ( m ) , si m ∈ B D ( s ) ,F s ( m ) := σ ′C ′ − ◦ ( H × id [0 ,s ] ) ◦ σ C ( m ) , si m ∈ σ − C ( T × [0 , s ]) , o`u H ( p ) := σ ′C ′ (˘ h ( σ − C ( p, F s est une isotopie qui v´erifie F = ˘ h et F ( M C ∩ B D ) = M ′C ′ ∩ B ′ κ ( D ) . Pour achever la preuve dulemme, il suffit d’effectuer successivement de telles isotopies, pour toutes lescomposantes du bord de chaque bloc de JSJ de M η . (cid:3) Lemme 4.5.
Il existe un hom´eomorphisme h isotope `a ˘ h , qui satisfait lesmˆemes propri´et´es (4.4) que ˘ h et qui de plus conjugue les fibrations de Seifertdu compl´ementaire des tores ´epaissis, i.e. il existe des hom´eomorphismes ς D : b K D ∼ −→ b K ′ κ ( D ) , D ∈ R , tels que b ρ ′ κ ( D ) ◦ h | B ♭D = ς D ◦ b ρ D .Preuve. Visiblement B ♭D est muni de deux fibrations de Seifert : b ρ D de base b K D et b ρ ′ κ ( D ) ◦ ˘ h | B ♭D de base b K ′ κ ( D ) . Comme B ♭D n’est ni un un tore plein, niun tore ´epaissi, le th´eor`eme d’unicit´e des fibrations de Seifert (1.2.5) de [8],donne une isotopie ψ D, s : B ♭D → B ♭D , s ∈ [0 , ψ D, est l’identit´e et ψ D, conjugue les feuilletages d´efinies par ces deux fibrations. Pr´ecis´ement,si ς D : b K D → b K ′ κ ( D ) est l’hom´eomorphisme induit par ψ D, sur les espacesde feuilles, on a : b ρ ′ κ ( D ) ◦ ˘ h ◦ ψ D, = ς D ◦ b ρ D . Grˆace `a l’assertion (a) dulemme (4.6) ci-dessous, ces isotopies se recollent en une isotopie globale ψ s : M η → M η , v´erifiant ψ = id M η , ψ s | B ♭D = ψ D,s , D ∈ R et ψ s | T C = id T C , C ∈ C . Pour achever la d´emonstration, il suffit de poser h = ˘ h ◦ ψ . (cid:3) Lemme 4.6 (d’extension des isotopies) . Soit B une vari´et´e `a bords et B ♭ ⊂ B une sous-vari´et´e `a bords de mˆeme dimension, telle qu’il existe unhom´eomorphisme σ de B \ B ♭ sur ∂B × [0 , , v´erifiant σ ( ∂B ) = ∂B × { } et σ ( ∂B ♭ ) = ∂B × { } . Alors :(a) si F s : B ♭ → B ♭ , s ∈ [0 , , est une isotopie telle que F = id B♭ , alors ilexiste une isotopie F ′ s : B → B , telle que F ′ s | B ♭ = F s et F ′ s | ∂B = id ∂B , s ∈ [0 , ;(b) si G s : ∂B → ∂B , s ∈ [0 , , est une isotopie telle que G = id ∂B ,alors il existe alors une isotopie G ′ s : B → B , telle que G ′ s | B ♭ = id B ♭ et G ′ s | ∂B = G s , s ∈ [0 , .Preuve. (a) Notons e F s := σ ◦ F s ◦ σ − | ∂B ♭ . Pour m ∈ B \ B ♭ , nous posons e F ′ s ( m ) := σ − ◦ e F ′ s ◦ σ ( m ), avec e F ′ s ( p, t ) := e F s − t ( p, t ), si 0 ≤ t ≤ s et e F ′ s ( p, t ) := ( p, t ), si s ≤ t ≤
1. La preuve de (b) est similaire. (cid:3)
Pour chaque D ∈ R , l’hom´eomorphisme ς D donn´e par (4.5), induit unebijection ̟ D entre les points singuliers de D situ´es sur D et ceux de D ′ situ´es sur D ′ := κ ( D ). Celle-ci v´erifie, avec les notations (23) : ̟ D ( S M ( D )) = S M ( D ′ ) et donc ̟ D ( b S ( D )) = b S ( D ′ ) , puisque les points d’attache des branches mortes correspondent aux fibresexceptionnelles des fibrations de Seifert et les ´el´ements de b S ( D ), resp. de b S ( D ′ ), correspondent aux composantes connexes de ∂ b K D , resp. de ∂ b K ′ D ′ . Ilest facile de prouver que, quitte `a modifier h par une isotopie, ς D envoiele disque D s , s ∈ S M ( D ), sur le disque D ′ ̟ D ( s ) . Ainsi h envoie le bloc´el´ementaire M D sur le bloc ´el´ementaire M ′ D ′ , en conjuguant les fibrationsde Hopf restreintes `a ces blocs.4.3. Conjugaison des arbres duaux des diviseurs.
R´ecapitulons lesr´esultats obtenus : nous avons construit un hom´eomorphisme h : M η →M ′ η ′ tel que h ≍ h , ainsi que des bijections(31) κ : R → R , κ : C → C ′ , κ : M → M ′ , qui satisfont pour tout C ∈ C et e C ∈ M , les propri´et´es suivantes :(a) les images par κ des composantes d’extr´emit´e de C , sont les compo-santes d’extr´emit´e de κ ( C ) ;(b) si D ∈ R est la composante d’attache de e C , alors κ ( D ) est la compo-sante d’attache de κ ( C ) ;(c) l’hom´eomorphisme h envoie M C sur M ′ κ ( C ) , M e C sur M ′ κ ( e C ) et T C sur T ′ κ ( C ) ; pour D ∈ R , il envoie aussi, en conjuguant les fibrations deSeifert, B D sur B ′ κ ( D ) , B ′ ♭D sur B ′ ♭κ ( D ) et M D sur M ′ κ ( D ) .La proposition suivante ´etend les correspondances (31) `a toutes les compo-santes des diviseurs. Elle pr´ecise les r´esultats classiques de Zariski-Lejeuneen donnant, par la propri´et´e (c), les relations entre l’hom´eomorphisme h quitransforme S en S ′ et la correspondance des arbres duaux de D et D ′ . Proposition 4.7.
Il existe une bijection κ : Comp( D ) → Comp( D ′ ) entreles ensembles de composantes irr´eductibles de D et D ′ , telle que :(1) ( κ ( D ) , κ ( D ′ )) = ( D, D ′ ) , pour tout D, D ′ ∈ Comp( D ) ;(2) pour tout C ∈ C , resp. e C ∈ M , on a l’´equivalence : ( D ∈ C ) ⇔ ( κ ( D ) ∈ κ ( C )) , resp. ( D ∈ e C ) ⇔ ( κ ( D ) ∈ κ ( e C )) ; en particulier C et κ ( C ) ont mˆeme longueur, ainsi que e C et κ ( e C ) ;(3) la restriction de κ `a R ⊂ Comp( D ) est ´egale `a κ .En particulier les propri´et´es (a) (b) et (c) ci-dessus restent satisfaites par κ . Avant de prouver la proposition 4.7 nous avons besoin d’un r´esultat auxi-liaire. Soit
C ∈ C ∪ M .– Si C = { D , . . . , D l C +1 } ∈ C , consid´erons la chaˆıne C ′ = { D ′ , . . . , D ′ l C′ +1 } = κ ( C ) ∈ C ′ , que nous num´erotons de mani`ere `a avoir D ′ = κ ( D ) et D ′ l C′ +1 = κ ( D l C +1 ).– Si C = { D , . . . , D l C } ∈ M , consid´erons C ′ = { D ′ , . . . , D ′ l C′ } = κ ( C ) ∈ M ′ .D´esignons par c j ∈ H ( M C , Z ) le m´eridien associ´e `a D j et par c ′ k ∈ H ( M ′C ′ , Z )celui associ´e `a D ′ k , cf. (3.5). L’´egalit´e h ( M C ) = M ′C ′ induit un isomor-phisme : h ∗ : H ( M C , Z ) → H ( M ′C ′ , Z ) . APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 21
Dans le cas o`u C et C ′ sont des branches mortes, c l C +1 et c ′ l C′ +1 d´esignent lesm´eridiens exceptionnels correspondants. Comme h conjugue les fibrationsde Seifert de B D et B ′ D ′ , il conjugue aussi les fibres exceptionnelles ; ainsi h envoie M ◦C sur M ′◦C ′ et induit un isomorphisme : h ∗ : H ( M ◦C , Z ) → H ( M ′◦C ′ , Z ) . Lemme 4.8.
Pour tout j = 0 , . . . , l + 1 , on a les ´egalit´es : l C = l C ′ =: l et h ∗ ( c j ) = c ′ j ∈ H C ′ . Nous allons d’abord d´emontrer le sous-lemme technique suivant : Sous-Lemme 4.9.
Soient a = ( α , α ) et b = ( β , β ) ∈ Z , pgcd( α , α ) =1 , pgcd( β , β ) = 1 tels que det( a, b ) > . Il existe alors n ∈ N unique etune suite finie c := ( c , . . . , c n +1 ) d’´el´ements de Z ∩ ( Q a + Q b ) ⊂ Q uniquetels que : (32) det( c j , c j +1 ) = 1 , j = 0 , . . . , n, det( c k − , c k +1 ) > , k = 1 , . . . , n,c = a, c n +1 = b . En particulier si det( a, b ) = 1 , l’unique suite c satisfaisant (32) est donn´eepar n = 0 , c = a et c = b .Preuve du sous-lemme. L’existence de n et des c j se montre ais´ement `a l’aidede fractions continues. Pour l’unicit´e, nous utiliserons l’assertion suivante,facile `a prouver :( ⋄ ) soient u := ( ν , ν ) , v := ( υ , υ ) ∈ Z et λ, µ ∈ Q > , tels que det( u, v ) > , ν + ν > , υ + υ > et (1 ,
1) = λu + µv . Alors det( u, v ) > . Pour l’unicit´e, nous raisonnons par double r´ecurrence, avec l’hypoth`ese H N, N ′ suivante : “si c := ( c j ) n +1 j =0 et c ′ := ( c ′ k ) n ′ +1 k =0 sont deux suites finies d’´el´ementsde Z ∩ ( Q a + Q b ) , satisfaisant (32) et si ≤ n ≤ N et ≤ n ′ ≤ N ′ ,alors n = n ′ et c = c ′ .” Nous allons d’abord montrer H , N ⇒ H , N +1 ; par sym´etrie on aura aussi H N, ⇒ H N +1 , ; comme H , est ´evident, il suffira alors de prouver l’im-plication H N − , N ′ − ⇒ H N, N ′ . H , N ′ ⇒ H , N ′ +1 : `A un automorphisme de Z pr`es, nous supposons c = a = (1 ,
0) et c = b = (0 , ⋄ ) donne l’exis-tence d’un indice e k ∈ { , . . . , N ′ } , tel que c ′ e k = (1 , ≤ i ≤ N .On conclut en appliquant l’hypoth`ese de r´ecurrence aux deux suites((1 , , (1 , c ′ , . . . , c ′ e k ), ainsi qu’aux deux suites ((1 , , (0 , e c ′ := ( c ′ e k , . . . , c ′ N ′ +1 ).
14. Nous remercions Mark Spivakovski pour son aide et ses suggestions concernant lapreuve de ce lemme.15. Visiblement, 0 < λ, µ < ,
1) appartient `a l’int´erieur du parall´elogrammede sommet 0, u , u + v , v ; mais ceci est impossible lorsque u et v forment une Z -base de Z . H N − ,N ′ − ⇒ H N,N ′ : Toujours `a un automorphisme de Z pr`es, nouspouvons maintenant supposer a = (1 ,
0) et b = ( β , β ), avec β <β . Grˆace `a ( ⋄ ) on obtient deux indices e j ∈ { , . . . , N } et e k ∈{ , . . . , N ′ } tels que c e j = c ′ e k = (1 , c j ) j =0 ,..., e j et ( c k ) k =0 ,..., e k , ainsi qu’aux deuxsuites ( c j ) j = e j,...,N et ( c k ) k = e k,...,N ′ , permet de conclure.Ceci ach`eve la d´emonstration du sous-lemme. (cid:3) Preuve du lemme (4.8).
D’apr`es le lemme (4.5), h envoie toute composantede ∂ M C sur une composante de ∂ M ′C ′ en conjuguant les fibrations de Seifertcorrespondantes. L’isomorphisme h ∗ induit en homologie satisfait donc les´egalit´es :(33) h ∗ ( c ) = c ′ et h ∗ ( c l +1 ) = c ′ l ′ +1 , o`u nous posons l := l C et l ′ = l C ′ pour abr´eger. Grˆace `a l’assertion (ii) de laproposition 3.6 nous d´eduisons aussi que(34) det( a , b ) = det ′ ( h ∗ ( a ) , h ∗ ( b )) , pour tous a , b ∈ H C . Des relations (21) on tire :det( c j − , c j +1 ) = − ( D j , D j ) ≥ , j = 1 , . . . , l , car l’application E de r´eduction de S est minimale.Posons c ′′ j := h − ∗ ( c ′ j ). Les deux suites finies c := ( c j ) j =0 ,...,l +1 et c ′′ :=( c ′′ j ) j =0 ,...,l ′ +1 d’´el´ements de H ( M ′C ′ , Z ) ≃ Z , ont mˆeme premier et mˆemedernier terme (33) ; elles satisfont les relations (32) du lemme (4.9). Laconclusion r´esulte de l’unicit´e de ces familles. (cid:3) Preuve de la proposition (4.7).
Les chaˆınes et les branches mortes qui se cor-respondent par κ et par κ , ont mˆeme longueur ; il existe donc une et uneseule bijection κ : Comp( D ) → Comp( D ′ ) qui ´etend κ et qui satisfait les as-sertions (2) et (3), ainsi que l’´equivalence ( D ∩ D ′ = ∅ ⇔ κ ( D ) ∩ κ ( D ′ ) = ∅ ).Les auto-intersections de toutes les composantes compactes consid´er´ees ´etant ≤ −
1, il suffit pour prouver (1) de montrer les relations :(35) (
D, D ) = ( κ ( D ) , κ ( D )) , pour tout D ∈ Comp( E ) . Lorsque D j est contenue dans une chaˆıne ou une branche morte de E , les rela-tions (21) se d´eduisent directement des ´egalit´es ( D j , D j ) = − det( c j − , c j +1 ).Comme h ∗ commute aux formes d´eterminants (34), relations h ∗ ( c j ) = c ′ j dulemme (4.8) donnent : ( D j , D j ) = ( κ ( D j ) , κ ( D j )), pour tout j = 1 , . . . , l C +1.Il reste `a prouver (35) lorsque D est de valence ≥
3. Remarquons qu’alors M D est un r´etract par d´eformation de M ♯D := M D ∪ v ( D ) j =1 M s j , D ∩ D j =: { s j } , o`u D , . . . , D v ( D ) sont les composantes de D adjacentes `a D . Le point singu-lier s j est le point de branchement d’une chaˆıne, d’une branche morte C j , oubien encore d’une transform´ee stricte. Consid´erons le m´eridien associ´e `a D j ,qui est un ´el´ement c j de H ( M j , Z ) ≃ H ( M s j ∩ M D , Z ), o`u M j est le tore´epaissi M C j , ou M ◦C j dans les deux premiers cas, ou bien encore M s j ∪ M D j dans le dernier cas. D´esignons par e c j ∈ H ( M D , Z ) l’image de c j par le mo-nomorphisme induit en homologie par l’inclusion M D ∩ M s j ⊂ M D . Nous APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 23 pouvons r´e´ecrire la formule d’indice le long de D donn´ee par (12) de la fa¸consuivante, cf. [4, 5] :(36) ( D, D ) c + v ( D ) X j =1 e c j = 0 dans H ( M D , Z ) , o`u c est la classe d’homologie d’une fibre ρ − D ( p ), p ∈ K D , que nous appelons le m´eridien associ´e `a D . D’apr`es ce qui pr´ec`ede, { κ ( D j ) } j =1 ,...,v ( D ) est lacollection des composantes adjacentes `a κ ( D ) et grˆace au lemme (4.8), leursm´eridiens respectifs sont h ∗ ( c j ) ∈ H ( M ′ κ ( D ) ∩ M ′ s ′ j , Z ), o`u { s ′ j } := κ ( D ) ∩ κ ( D j ). De mˆeme h ∗ ( c ) est le m´eridien de κ ( D ), car h conjugue les fibrationde Seifert de B D et B ′ κ ( D ) . La formule d’indice le long de κ ( D ) donnel’´egalit´e (35). (cid:3) Extension `a la dimension quatre.
Toujours avec les notations (4)et (5), nous d´efinissons maintenant la collection des blocs ´el´ementaires du4-tube de Milnor T η par :(37) T s := T η ∩ Ω s et T D := T η ( K D ) , s ∈ Sing( D ) , D ∈ Comp( D ) . Un C ∈ C , resp. `a une branche morte e C ∈ M est,avec les notations (15) et (16), resp. (17) et (20) :(38) T C := l C [ j =1 T D j ∪ l C [ j =0 T s j , resp . T e C := l e C [ j =1 T D j ∪ l e C − [ j =0 T s j . Nous d´efinissons de mani`ere similaire les blocs ´el´ementaires de T ′ η ′ , que nousnotons T ′ s ′ , s ′ ∈ Sing( D ′ ) et T ′ D ′ , D ′ ∈ Comp( D ′ ), ainsi que les 4-tubes T ′C ′ , C ′ ∈ C ′ et T ′ e C ′ , e C ′ ∈ M ′ .Nous allons d’abord construire, pour ⋆ ∈ R , des hom´eomorphismes G ⋆ : T ⋆ → T ′ κ ( ⋆ ) satisfaisant les propri´et´es (a), (b) de (2.5) et co¨ıncidant avec h sur T ⋆ ∩ M η = M ⋆ . Ensuite nous construirons G ⋆ , lorsque ⋆ est une chaˆıne,puis une branche morte ou une transform´e stricte, qui satisfera toujours lespropri´et´es (a), (b) de (2.5), se recollera avec les G D , D ∈ R d´ej`a construits,mais qui ne co¨ıncidera plus n´ecessairement avec h sur M ⋆ . Enfin, `a l’aidede twists de Dehn, nous modifieront l’hom´eomorphisme global(39) G : T η −→ T ′ η ′ , G |M ⋆ = G ⋆ , ⋆ ∈ R ∪ C ∪ M , ainsi obtenu, pour qu’il devienne isotope `a h en restriction `a M η . Nousavons maintenant un hom´eomorphisme Φ qui satisfait le th´eor`eme 2.9.4.4.1. Construction de G D , pour D ∈ R . Les restrictions des fibrations deHopf aux blocs ´el´ementaires T D et T ′ κ ( D ) , D ∈ Comp( D ), sont des fibrationsen disques globalement triviales ; on dispose sur ces blocs de champs de vec-teurs diff´erentiables Z et Z ′ , tangents aux fibres de Hopf qui, en restriction`a chaque fibre, correspondent au champ radial r´eel u ∂∂u + v ∂∂v , dans des co-ordonn´ees trivialisantes ( u + iv, ρ D ) : T D → D × K D . Nous d´efinissons un hom´eomorphisme qui ´etend h |M D et conjugue les fibrations de Hopf, enposant : G D : T D → T ′ κ ( D ) , G D |M D = h , ρ ′ κ ( D ) ◦ G D = ρ D |T D ,G D ( φ Zt ( m )) := φ Z ′ t ( h ( m )) , si m ∈ M D , t < ,G D ( m ) := ς D ( m )( h ( m )) , si m ∈ K D , o`u φ Zt et φ Z ′ t d´esignent les flots de Z et Z ′ respectivement.4.4.2. Construction de G C , lorsque C est une chaˆıne. Consid´erons une chaˆıne
C ∈ C de D et la chaˆıne de D ′ associ´ee, C ′ := κ ( C )), C = { D j } j =0 ,...,l +1 ∈ C , C ′ = { D ′ j } j =0 ,...,l +1 , D ′ j := κ ( D j ) , les composantes D , D l +1 ´etant de valences ≥
3. Nous supposerons l ≥
1, lecas d’une chaˆıne de longueur l = 0, n’ayant aucune composante de valence2 et avec un seul point singulier { s } = D ∩ D se traitant de mani`ereidentique, avec M C = M s et M ′C ′ = M ′ s ′ , { s ′ } := D ′ ∩ D ′ .Dans une premi`ere ´etape, nous allons construire des hom´eomorphismes g s j holomorphes sur des voisinages W s j des singularit´es { s j } := D j − ∩ D j ; en-suite nous construirons des hom´eomorphismes g D j sur les blocs ´el´ementaires T D j , qui conjuguent les fibrations de Hopf ; enfin, `a la derni`ere ´etape, nousrecollons ces hom´eomorphismes, pour obtenir un hom´eomorphisme(40) G C : T C → T ′C ′ qui satisfait les propri´et´es (a) et (b) des hom´eomorphismes excellents (2.5). ´Etape 1. L’application f ◦ E , compos´ee de l’´equation de S fix´ee `a la section(2.2) avec l’application de r´eduction, est une ´equation globale de D . Lecorollaire 3.4 donne des formules universelles (voir aussi [5, Theorem 18.2])exprimant les multiplicit´es ν D ( f ◦ E ) le long de chaque composante D de D , `apartir de la matrice d’intersection de D . Les matrices d’intersection ( D ′ , D ′′ )et ( κ ( D ′ ) , κ ( D ′′ )), D ′ , D ′′ ∈ Comp( D ), sont ´egales d’apr`es l’assertion (1) de(4.7). On a donc en particulier, toujours avec les notations de la section(2.2), ν D ′ j ( f ′ ◦ E ′ ) = ν D j ( f ◦ E ) =: m j , j = 0 , . . . , l + 1 . Soit s j le point d’intersection de D j et D j +1 et s ′ j celui de D ′ j et D ′ j +1 . Ilexiste en ces points des coordonn´ees holomorphes locales(41) ( u j , v j ) : W s j ∼ −→ D × D , ( u ′ j , v ′ j ) : W ′ s ′ j ∼ −→ D × D , avec W s j ⊂ ◦ Ω s j et W ′ s ′ j ⊂ ◦ Ω ′ s ′ j , telles que v j = 0, resp. v ′ j = 0, soit une ´equa-tion locale de D j , resp. de D ′ j et qui rendent f ◦ E et f ′ ◦ E ′ monomiaux : f ◦ E | W sj = u m j +1 j v m j j et f ′ ◦ E ′| W ′ s ′ j = ηη ′ u ′ m j +1 j v ′ m j j , . On obtient ainsi un diff´eomorphisme holomorphe g s j entre les vari´et´es `abords et `a coins W s j ∩ T s j = W s j ∩ T η et W ′ s ′ j ∩ T ′ s ′ j = W ′ s ′ j ∩ T ′ η ′ , en posant :(42) g s j := ( u ′ j , v ′ j ) − ◦ ( u j , v j ) : W s j ∩ T η −→ W ′ s ′ j ∩ T ′ η ′ . APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 25
En supposant η > W s j ∩ M η , ainsi queles composantes connexes T j et T j +1 de M s j \ W s j , avec T j ∩ M D j = ∅ ,sont des tores ´epaissis. Leurs inclusions dans M C sont des isomorphismes enhomologie. Supposons que W ′ s ′ j ∩ M ′ η ′ satisfait les mˆemes propri´et´es. Quitte`a diminuer η ′ >
0, la restriction de g s j `a W s j ∩M η , `a valeurs dans W ′ s ′ j ∩M ′ η ′ ,d´efinit alors un isomorphisme, not´e :(43) g s j ∗ : H ( M C , Z ) → H ( M ′C ′ , Z ) . Lemme 4.10.
Soient c j et c ′ j , les m´eridiens associ´es aux composantes D j et D ′ j respectivement, cf. (3.5). Alors g s j ∗ ( c k ) = c ′ k , k := j, j + 1 , pour tout j = 0 , . . . , l .Preuve. Supposons k = j , le cas k = j + 1 se traite de la mˆeme mani`ere.Quitte `a permuter les coordonn´ees du syst`eme local, nous supposons aussique y s j = 0 est une ´equation de D j . Pour η > x s j et de u j sont transverses en tout point de W s j \ D j +1 , aux fibres de Milnor ,i.e. aux fibres de f ◦ E . Sur D j ∩ W s j , le champ de vecteurs holomorphe quis’´ecrit u j ∂∂u j , se rel`eve donc (via l’application u j ) en un champ Z tangent auxfibres de Milnor -et donc aussi `a M η . On construit facilement une fonction`a support compact α : ◦ W s j ∩ M η → R , telle que le flot au temps 1 de αZ envoie l j := u − j ( p ) ∩ W s j ∩ M η sur l ′ j := x − s j ( p ) ∩ W s j ∩ M η , o`u p = s j d´esigne un point fix´e de D j ∩ ◦ W s j . Soit K ⊂ D j ∩ ◦ W s j , s j ∈ ◦ K , p / ∈ K ,un disque conforme ferm´e. Quitte `a diminuer η >
0, la restriction de x s j `a M s j \ x − s j ( K ) est encore une fibration en cercles triviale ; ainsi une fibre l ′′ j de la restriction de ρ D j `a M D j ∩ M s j ⊂ ∂ ( M s j \ x − s j ( K )), est homologue `a l ′ j . Finalement on obtient :[ l j ] = [ l ′ j ] = [ l ′′ j ] = c j ∈ H ( M C , Z ) . Supposons η ′ > M ′C ′ soient satisfaites. Pour achever la d´emonstration, il suffit de remarquer quepar construction, g s j envoie les fibres de u j , resp. de v j , sur les fibres de u ′ j ,resp. de v ′ j . (cid:3) ´Etape 2. Donnons-nous maintenant des hom´eomorphismes(44) g D j : T D j −→ T ′ D ′ j , j = 1 , . . . , l tels que :(a) g D j ( T D j ∩ T s j ) = T ′ D ′ j ∩ T ′ s ′ j ,(b) g D j conjugue les fibrations de Hopf : il existe un hom´eomorphisme ς D j : K D j → K ′ D ′ j , tel que ς D j ◦ ρ D j ( m ) = ρ ′ D ′ j ◦ g D j ( m ), m ∈ T D j ,(c) le morphisme g D j ∗ : H ( M C , Z ) → H ( M ′C ′ , Z ) induit par la restric-tion de g D j `a M D j , `a valeurs dans M ′ D ′ j , v´erifie : g D j ∗ ( c k ) = c ′ k , k = j ± g D j ∗ .
16. via les identifications H ( M D j , Z ) ≃ H ( M C , Z ) et H ( M ′ D ′ j , Z ) ≃ H ( M ′C ′ , Z )donn´es par les inclusions. Remarquons que l’´egalit´e (c) pour k = j , se d´eduit de (b) et que le cas k = j − k = j + 1, d’apr`es les formule d’indices (21)et l’assertion (1) de (4.7). Ainsi, la construction de g D j se fait sans peine,apr`es avoir trivialis´e les fibrations de Hopf. ´Etape 3. Il reste `a construire, pour chaque composante connexe T de T s j \ W s j , j = 0 , . . . , l , un hom´eomorphisme d´efini sur T , `a valeur sur unecomposante connexe T ′ de T ′ s ′ j \ W ′ s ′ j , qui se recolle avec g s j et g D j ′ , j ′ = j ou j + 1. Pour cela fixons un hom´eomorphisme Λ de T sur [0 , × S × D .Donnons-nous aussi une fibration en disques ρ T : T → C T := D j ′ ∩ T , quico¨ıncide avec ρ D j ′ sur une composante connexe de Λ − ( { , } × S × D ) etqui, sur l’autre composante, co¨ıncide avec une coordonn´ee homog´en´eisanted´efinie en (41). On proc`ede de mˆeme avec T ′ . On constate que les restrictionsde g s j et g D j ′ `a ∂ T , conjuguent les fibrations construites. Pour conclure, ilsuffit d’appliquer le lemme suivant, en utilisant pour cela le lemme (4.10). Lemme 4.11.
Soient φ et φ deux hom´eomorphismes du tore plein S × D sur lui mˆeme, qui commutent `a la premi`ere projection, i.e. φ k ( θ, z ) =( θ, φ k ( θ, z )) , k = 0 , . Si leurs restrictions `a S × ∂ D induisent l’identit´e enhomologie, il existe un hom´eomorphisme Φ de [0 , × S × D sur lui-mˆeme,qui commute aux deux premi`eres projections, i.e. Φ( θ, z, t ) = ( t, θ, Φ t ( θ, z )) et tel que : Φ = φ , Φ = φ , et Φ t ( θ, z ) = ( θ, z ) si ≤ t ≤ .Preuve. Les applications continues e φ k : θ φ k ( θ, · ), k = 0 ,
1, de S dans legroupe Aut( S ) des hom´eomorphismes (pr´eservant l’orientation) de S danslui-mˆeme, sont homotopes. En effet l’application( ψ τ ) τ ∈ [0 , iπ Z τ ψ τ (1) dzz est un isomorphisme du groupe fondamental de Aut( S ) sur Z ; or Z τ φ k ( e iπτ , dzz = 0 , car l’automorphisme de H ( S × S , Z ) induit par φ k est l’identit´e. Fixonsdes homotopies t e Φ k, t ∈ C ( S , Aut( S )), t ∈ [0 , e Φ k, = e φ k , e Φ k, =( θ id S ). Il suffit de poser :Φ t ( θ, z ) = e Φ , | z | +3 t − ( θ )( z | z | ) , si 0 ≤ − t ≤ | z | ≤ ,φ ( θ, z − t ) , si 0 ≤ | z | ≤ − t , ( θ, z ) , si ≤ t ≤ ,φ ( θ, z t − ) , si 0 ≤ | z | ≤ t − , e Φ , | z | +2 − t ( θ )( z | z | ) , si 0 ≤ t − ≤ | z | ≤ . (cid:3) Construction de G C , lorsque C est une branche morte ou une trans-form´ee stricte. Consid´erons d’abord le cas d’une une branche morte de D , not´ee C = { D j } j =0 ,...,l , v ( D ) ≥ C ′ := κ ( C ) = { D ′ j } j =0 ,...,l , D ′ j := κ ( D j ), la branche morte de D ′ correspondante. Nous pou-vons encore effectuer, dans ce contexte, toutes les constructions pr´ec´edentes, APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 27 sauf pour la composante d’extr´emit´e : pour { s j } := D j ∩ D j +1 , j = 0 , . . . , l −
1, nous construisons, avec les mˆemes notations qu’en (42), un hom´eomorphis-me g s j et, pour chaque composante de valence deux, un hom´eomorphisme g D j comme en (44). Dans H ( M ′◦C ′ , Z ), nous avons encore les ´egalit´es g s j ∗ ( c k ) = c ′ k , k = j, j + 1 , j = 0 , . . . , l − , pour les mˆemes raisons qu’au lemme (4.10) et grˆace `a (4.8) ; les g s j et g D j se recollent donc, comme `a l’´etape 3 ci-dessus. Il ne reste plus qu’`a ´etendre g s l − le long de D l . Pour cela, nous supposerons comme pr´ec´edemment que η, η ′ > T s l − \ W s l − et T ′ s ′ l − \ W ′ s ′ l − soient des tores ´epaissis. Il suffit alors de construire unhom´eomorphisme g de la composante connexe T de ( T s l − \ W s l − ) ∪ T D l contenant D l , sur la composante connexe T ′ de ( T ′ s l − \ W ′ s l − ) ∪ T ′ D ′ l conte-nant D ′ l , qui co¨ıncide avec g s l − sur le tore plein T ∩ W s l − . Fixons encoredes fibrations ρ T : T → T ∩ D l et ρ ′ T ′ : T ′ → T ′ ∩ D ′ l , qui co¨ıncident avecles fibrations de Hopf sut T D l , resp. sur T ′ D l et avec une coordonn´ee ho-mog´en´eisante (41) sur T ∩ W s l − , resp. sur T ′ ∩ W ′ s l − . Visiblement T et T ′ sont hom´eomorphes `a D × D , les fibrations ρ T et ρ ′ T correspondant `a lapremi`ere projection. Pour achever la construction de G C , il suffit d’utiliserle lemme suivant dont la d´emonstration est similaire `a celle de (4.11). Lemme 4.12.
Soit φ un hom´eomorphisme de ∂ D × D sur lui mˆeme, quicommute `a la premi`ere projection : φ ( θ, p ) = ( θ, φ ( θ, p )) et qui, en restric-tion `a ∂ D × ∂ D , induit l’identit´e en d’homologie. Alors φ se prolonge enun hom´eomorphisme Φ de D × D sur lui-mˆeme, qui commute aussi `a lapremi`ere projection.Preuve. Comme pour (4.11), il existe une application continue t e Φ t ∈ C ( S , Aut( S )), t ∈ [0 , e Φ ( θ )( ϑ ) = ϑ et e Φ ( θ )( ϑ ) = φ ( θ, ϑ ). Onpose Φ( z ′ , z ′′ ) := ( z ′ , Φ( z ′ , z ′′ )), avec :Φ( z ′ , z ′′ ) := | z ′′ | · e Φ | z ′ | ( z ′ | z ′ | )( z ′′ | z ′′ | ) , si | z ′ | ≤ | z ′′ | ≤ , | z ′′ | · e Φ | z ′ |− | z ′′|| z ′| ( z ′ | z ′ | )( z ′′ | z ′′ | ) , si | z ′ | ≤ | z ′′ | ≤ | z ′ | , | z ′ | · φ ( z ′ | z ′ | , z ′′ | z ′ | ) , si | z ′′ | ≤ | z ′ | ≤ . (cid:3) Consid´erons maintenant D et D ′ := κ ( D ), des transform´ees strictesde composantes irr´eductibles de S et S ′ respectivement. Les composantesadjacentes D ∈ Comp( D ), resp. D ′ := κ ( D ) ∈ Comp( D ′ ), sont de valence ≥
3. Notons { s } := D ∩ D et { s ′ } := D ′ ∩ D ′ , C := { D , D } , C ′ := { D ′ , D ′ } et posons : M C := M s ∪ M D , T C := T s ∪ T D , M ′C ′ := M ′ s ′ ∪ M ′ D ′ et T ′C ′ := T ′ s ′ ∪ T ′ D ′ . Avec les mˆemes notations, nous construisons commeen (43) un biholomorphisme g s : W s ∩ T η → W ′ s ′ ∩ T ′ η ′ . Pour les mˆemesraisons qu’en (4.10), celui-ci v´erifie le ´egalit´es g s ∗ ( c k ) = c ′ k , k = 0 ,
1, o`u c k ,resp. c ′ k , sont les classes dans H ( M C , Z ), resp. dans H ( M ′C ′ , Z ), d’une fibrequelconque de la fibration de Hopf ρ D k restreinte `a M s ∩ M D k , resp. ρ ′ D ′ k restreinte `a M ′ s ′ ∩ M ′ D ′ k . Remarquons que la restriction de h `a M C ∩ ∂ B (qui est une composante du bord de M η ), `a valeurs dans M ′C ′ ∩ ∂ B ′ , v´erifieaussi l’´egalit´e h ∗ ( c k ) = c ′ k dans H ( M ′C ′ , Z ) , , k = 0 , . En effet, par construction h et h sont fondamentalement ´equivalents ; leursactions sur Γ diff`erent donc d’un automorphisme int´erieur. En passant `al’homologie h ∗ = h ∗ . Le th´eor`eme (3.15) affirme que l’image par h ∗ dum´eridien m D du sous-groupe p´eriph´erique P ⊂
Γ associ´e `a C n’est autreque le m´eridien m D ′ ∈ P ′ ⊂ Γ ′ . Comme les isomorphismes P ∼ = H ( M C , Z )et P ′ ∼ = H ( M ′C ′ , Z ) font correspondre m D `a c et m ′ D ′ `a c ′ on obtientl’´egalit´e h ∗ ( c ) = c ′ . D’autre part, d’apr`es la remarque 3.9, l’inclusionnaturelle H ( M C , Z ) ֒ → H ( B D ) envoie c sur la classe d’homologie de c D ∈ π ( B D ) ⊂ Γ repr´esent´ee par une fibre de la fibration de Seifert de D . Nous avons une description analogue pour M ′C . Comme h conjugue lesfibrations de Seifert de B D et B ′ D ′ il en r´esulte que h ∗ ( c ) = c ′ .Soit H D : T D → T ′ D ′ un hom´eomorphisme qui co¨ıncide avec h en res-triction `a M C ∩B et qui commute aux fibrations de Hopf : H D ( K D ) = K ′ D ′ et H D ◦ ρ D = ρ ′ D ′ ◦ H D . Comme `a l’´etape 3 pr´ec´edente, nous construisonsun hom´eomorphisme G C : T C → T ′C ′ qui ´etend g s , qui est ´egal `a H D enrestriction `a M C ∩ M D et `a H D en restriction `a M C ∩ ∂ B .4.4.4. Modification par twists de Dehn.
Nous allons maintenant modifierl’hom´eomorphisme G obtenu par recollement (39), en le composant `a droitepar un hom´eomorphisme Ψ : T η → T η qui vaut l’identit´e sur chaque bloc T D , D ∈ R et tel que G ◦ Ψ satisfait le th´eor`eme (2.9). En posant Ψ C := Ψ |T C , ilsuffit de prouver l’assertion suivante, pour tout C =: { D j } lj =0 d´esignant unechaˆıne de C , une branche morte, ou bien une paire de composantes associ´ee`a une transform´ee stricte.( ⋆⋆ ) Il existe un hom´eomorphisme Ψ C : T C → T C , Ψ C ( T C ∩ D ) = T C ∩ D ,`a support dans l’int´erieur de (Ω s \ { s } ) , { s } := D ∩ D , tel que Ψ C|M C et G − ◦ h : M C → M C sont homotopes relativement au bordde M C , i.e. il existe une homotopie F t : M C → M C , t ∈ [0 , , telleque F = G − ◦ h , F = Ψ |M C et F t ( m ) = m , pour tout t ∈ [0 , et m ∈ ∂ M C . Rappelons qu’`a toute application continue K d’une vari´et´e `a bord X danselle mˆeme, qui vaut l’identit´e en restriction `a un sous-ensemble A ⊂ X , estassoci´e un morphisme de variation relative `a A , cf. [1] :var K : H ( X, A ; Z ) → H ( X, Z ) , [ δ ] [ K ( δ ) − δ ] . Celui-ci est un invariant de la classe d’homotopie relative `a A , de K . Notonsque si K ∗ : H ( X, Z ) → H ( X, Z ) d´esigne le morphisme induit par K et i ∗ : H ( X, Z ) → H ( X, A ; Z ) celui induit par l’inclusion ( X, ∅ ) ⊂ ( X, A ), ona l’identit´e : K ∗ = id H ( X, Z ) + var K ◦ i ∗ . Nous utiliserons le r´esultat suivant.
17. avec les identifications donn´ees par les inclusions : H ( M C ∩ ∂ B , Z ) ≃ H ( M C , Z )et H ( M ′C ′ ∩ ∂ B ′ , Z ) ≃ H ( M ′C ′ , Z ).18. Ici nous utilisons que les d´esingularisations de S et S ′ sont minimales et donc v ( D ) = v ( D ′ ) ≥ APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 29
Proposition 4.13.
Deux hom´eomorphismes χ et χ : M C → M C ´egaux `al’identit´e en restriction `a ∂ M C , sont homotopes relativement `a ∂ M C , si etseulement si leurs morphismes de variation sont ´egaux : var χ = var χ : H ( M C , ∂ M C ; Z ) → H ( M C , Z ) . Remarquons que si C est une branche morte, alors ( M C , ∂ M C ) est hom´eo-morphe `a ( S × D , S × S ) et H ( M C , ∂ M C ; Z ) = 0. Pour obtenir ( ⋆⋆ ), onpose alors Ψ C = id T C .Si C n’est pas une branche morte, l’assertion ( ⋆⋆ ) d´ecoule imm´ediatementdu lemme suivant. Lemme 4.14.
Supposons que C est une chaˆıne ou est associ´e `a une trans-form´ee stricte. Alors pour tout morphisme de L : H ( M C , ∂ M C ; Z ) → H ( M C , Z ) , il existe un hom´eomorphisme Ψ : T C → T C `a support dans ◦ Ω s \ { s } , v´erifiant Ψ C ( T C ∩ D ) = T C ∩ D et tel que L soit le morphisme devariation de la restriction de Ψ `a M C : L = var Ψ |MC .Preuve du lemme (4.14). Visiblement H ( M C , ∂ M C , Z ) = Z d est engendr´epar la classe d’un chemin quelconque δ reliant les deux composantes connexesde ∂ M C . Grˆace `a la formule var χ ◦ χ = var χ +var χ , il suffit de d´eterminerΨ pour L = L k : [ δ ] c k , k = 0 ,
1, o`u c et c sont les m´eridiens associ´es `a D et `a D . En effet ceux-ci forment une Z -base de H ( M C , Z ), d’apr`es laproposition 3.6. Pour k = 0 ou 1, fixons comme (41) des coordonn´ees ( u, v )au point s dans lesquelles l’application f ◦ E est monomiale et v = 0 est une´equation de D k . L’hom´eomorphisme (twist de Dehn) Ψ : T C → T C d´efinitpar u ◦ Ψ = u , v ◦ Ψ = (cid:26) e iπ (3 | u |− · v, si ≤ | u | ≤ ,v, si non , convient. (cid:3) Preuve de la Proposition (4.13).
La preuve consiste `a appliquer convenable-ment le th´eor`eme de classification d’Eilenberg, cf. [21, Theorem V.6.7], dontnous rappelons l’´enonc´e :
Th´eor`eme 4.15.
Soient Y un espace topologique ( n − -connexe avec π = π n ( Y ) ab´elien, ( X, A ) un CW-complexe relatif et f : X → Y une applicationcontinue. Supposons que(1) Y est q -simple pour n + 1 ≤ q ≤ dim( X, A ) ,(2) H q ( X, A ; π q ( Y )) = 0 pour n + 1 ≤ q ≤ dim( X, A ) ,(3) H q +1 ( X, A ; π q ( Y )) = 0 pour n + 1 ≤ q ≤ dim( X, A ) − .Alors la correspondance f ( f , f ) ∗ ı n ( Y ) induit une bijection entre l’en-semble de classes d’homotopie relatives `a A d’extensions de f | A et le groupede cohomologie H n ( X, A ; π ) . Dans cet ´enonc´e ı n ( Y ) ∈ H n ( Y ; π ) ∼ = Hom( H n ( Y ) , π ) s’identifie `a l’in-verse de l’isomorphisme de Hurewicz π n ( Y ) ∼ → H n ( Y ). Si Y est un CW-complexe, alors ı n ( Y ) envoie chaque n -cellule de Y sur l’unique ´el´ement de
19. En effet, var χ χ d = [ χ χ δ − δ ] = [ χ χ δ − χ δ ] + [ χ δ − δ ] = var χ d + var χ d car[ χ δ ] = [ δ ] = d dans H ( M C , ∂ M C ; Z ). π = π n ( Y ) obtenu en ´ecrasant le ( n − Y au point base.D’autre part ( f , f ) ∗ = ( i ∗ × ) − ◦ ∂ ∗ ◦ F ∗ ( f ,f ) , o`u l’application F ( f ,f ) : X × ∂ I ∪ A × I → Y est d´efinie par F ( f ,f ) ( x, t ) = f t ( x ) si x ∈ X et t ∈ ∂ I = { , } et par F ( f ,f ) ( a, t ) = f ( a ) = f ( a ) si a ∈ A et t ∈ I := [0 , ∂ ∗ : H n ( X × ∂ I ∪ A × I ; π ) → H n +1 ( X × I , X × ∂ I ∪ A × I ; π ) est le mor-phisme de connexion et i ∗ × : H n ( X, A ; π ) → H n +1 ( X × I , X × ∂ I ∪ A × I ; π )est l’isomorphisme induit par le produit par le g´en´erateur i ∈ H ( I , ∂ I ), enremarquant que ( X × I , X × ∂ I ∪ A × I ) = ( X, A ) × ( I , ∂ I ).Notons encore T = S × S et I = [0 , C est une chaˆıne, resp. unebranche morte, nous appliquons le th´eor`eme avec X = Y := M C qui esthom´eomorphe `a T × I , resp. `a X = Y ∼ = D × S , et est donc est un espacede Eilenberg-MacLane K ( π, π = π ( T × I ) = H ( T × I ) ∼ = Z (resp. π = Z ). Les hypoth`eses du th´eor`eme pr´ec´edent sont donc trivialementsatisfaites. Nous posons aussi A := ∂ M C ∼ = T × ∂ I , resp. A ∼ = ∂ D × S et f = id.Si C est une branche morte alors H ( X, A ; π ) = H ( D × S , ∂ D × S , Z ) = H (( D , ∂ D ) × ( S , ∅ )) = 0 , par la formule de K¨unneth relative et par le fait que H i ( D , ∂ D ) = 0 pour i = 0 ,
1. Dans ce cas on obtient donc que toutes les extension de l’identit´esur A sont homotopes relativement `a A .Dans le cas o`u C est une chaˆıne (de C ou une paire de composantes as-soci´ee `a une transform´ee stricte) nous obtenons que les classes d’homotopierelatives `a A d’extensions de l’identit´e sont en correspondance bijective avec H ( T × I , T × ∂ I ; Z ) ∼ = Z Il suffit de montrer que si f : T × I → T × I est uneextension de l’identit´e sur T × ∂ I telle que var f = 0, alors (id , f ) ∗ ı ( T × I ) =(id , id) ∗ ı ( T × I ). En fait, pour ne pas avoir `a travailler avec le morphismede connexion, il suffit de voir que F ∗ (id ,f ) ı ( T × I ) = F ∗ (id , id) ı ( T × I ) ∈ H ( T × I × ∂ I ∪ T × ∂ I × I ; Z ) . Comme T × I × ∂ I ∪ T × ∂ I × I = T × ∂ ( I × I ), on voit que H ( T × I × ∂ I ∪ T × ∂ I × I ) ∼ = H ( T ) ⊕ H ( ∂ ( I × I )) ∼ = Z , d’o`u H ( T × I × ∂ I ∪ T × ∂I × I ; Z ) ∼ =Hom( H ( T × I × ∂ I ∪ T × ∂ I × I ) , Z ) ∼ = Z ⊗ Z .Rappelons que c , c est une base de H ( T × I ) = H ( T ) telle que c ⊂ D ∗ × { e iθ } et c ⊂ { z } × S . Soit e un g´en´erateur de H ( ∂ ( I × I )) ∼ = Z . Il estfacile `a voir que ı ( T × I ) ∈ H ( T × I ; π ( T × I )) ∼ = Hom( H ( T × I ) , H ( T × I ))s’identifie a l’application identit´e et alors F ∗ (id ,f ) ı ( T × I ) ∼ = F (id ,f ) ∗ , o`u F (id ,f ) ∗ : H ( T × ∂ ( I × I )) ∼ = Z c ⊕ Z c ⊕ Z e → Z c ⊕ Z c ∼ = H ( T × I )s’identifie `a une matrice de la forme (cid:18) k m (cid:19) , ( m, k ) ∈ Z v´erifient que var f ( d ) = k c + m c o`u d est le g´en´erateur de H ( T × I , T × ∂ I ; Z ) ∼ = Z qui joigne les deux composantes connexes de T × ∂ I .Ceci compl`ete la preuve de la proposition. (cid:3) APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 31 Groupe d’automorphismes d’un germe de courbe ´Etant donn´ee un germe de courbe plane S , nous notons :– G S l’ensemble de marquages de S par lui mˆeme, qui est un groupe pourla composition ;– Γ S le groupe fondamental du tube de Milnor ´epoint´e T η \ S ;– Out(Γ S ) := Aut(Γ S ) / Inn(Γ S ) le groupe d’automorphismes ext´erieursde Γ S ;– Out g (Γ S ) le sous-groupe de Out(Γ S ) form´e des automorphismes ext´erieursg´eom´etriques, cf. la d´efinition 3.16. Th´eor`eme 5.1.
L’application ∗ : G S → Out(Γ S ) , qui a chaque marquage [ h ] associe son action h ∗ sur le groupe fondamental Γ S , est un isomorphismesur Out g (Γ S ) .D´emonstration. L’application ∗ est bien d´efinie pr´ecis´ement parce qu’onconsid`ere des automorphismes ext´erieurs de Γ S qui ´eliminent l’ambigu¨ıt´e duchoix de h dans la classe fondamental [ h ]. L’application ∗ est trivialementun morphisme de groupes injectif grˆace `a la Proposition 2.8 car T η \ S est unespace K (Γ S , g (Γ S ) est cons´equencedu corollaire 3.19. (cid:3) Corollaire 5.2.
Tout ´el´ement de
Out g (Γ S ) est r´ealisable par un hom´eomor-phisme excellent de ( T η , S ) sur lui mˆeme. Soit A S l’arbre dual pond´er´e de la r´esolution minimale de S et S S legroupe de permutations des composantes irr´eductibles de S . Il existe deuxmorphismes naturels bien d´efinis σ : G S → S S et ¯ σ : Aut( A S ) → S S . L’exis-tence d’un hom´eomorphisme excellent dans chaque classe d’homotopie de G S et l’injectivit´e de ¯ σ , prouv´e dans le lemme suivant, permet de consid´erer unmorphisme bien d´efini α : G S → Aut( A S )tel que σ = ¯ σ ◦ α . Lemme 5.3.
Avec les notations pr´ec´edentes on a que :(i) ¯ σ est injective, et en cons´equence ker σ = ker α ;(ii) α est surjective et donc Im σ = Im ¯ σ .D´emonstration. La premi`ere assertion se d´emontre facilement par r´ecurrencesur le nombre r de composantes irr´eductibles de S . Le cas r = 1 se d´emontrepar r´ecurrence sur le nombre g de paires de Puisseux de S . Quand g = 1une description tr`es explicite de la situation permet de montrer que ¯ σ est in-jective dans ce cas. La deuxi`eme assertion se d´emontre aussi par r´ecurrencesur le nombre de composantes irr´eductibles de S . Quand S est irr´eductibleAut( A S ) = { id } d’apr`es (i). Si S i et S j sont deux composantes irr´eductiblesde S exchang´ees par g ∈ Aut( A S ) alors les sous-arbres pond´er´es correspon-dants aux r´eductions de S i et S j sont isomorphes. Dans ce cas il est facile `avoir qu’il existe un hom´eomorphisme de ( T η , D ) qui induit g et qui est l’iden-tit´e en dehors d’un voisinage de de la partie du diviseur D qui n’intersectepas les sous-arbres correspondants `a S i et S j . (cid:3) Toujours avec les notations (4), (5), (37), (38), pour une chaˆıne
C ∈ C nousposons : K C := T C ∩ D , T η ( ∂K C ) = T η ( ∂ ( K C ∩ D )) ∪ T η ( ∂ ( K C ∩ D l C +1 )). D´efinition 5.4.
Pour chaque ´el´ement B ∈ B := R ∪ C consid´erons le groupe G B des classes d’homotopie relatives `a K B ∪ T η ( ∂K B ) d’hom´eomorphismesde T B qui laissent K B invariant et sont l’identit´e sur T η ( ∂K B ) . Tout ´el´ement de G B induit un marquage excellent `a support contenu dans T η ( K B ). Nous avons donc un morphisme bien d´efini β : M B ∈ B G B → G S . Proposition 5.5.
Consid´erons D ∈ R et C ∈ C .(i) Le groupe G D est isomorphe au groupe A ( D • ) des classes d’homotopierelative `a D ∩ Sing( D ) d’hom´eomorphismes de D fixant chaque pointde S ( D ) .(ii) Tout ´el´ement de G C est un twist de Dehn le long de C , cf. section (4.4.4).En particulier, G C ∼ = Z .D´emonstration. Pour prouver (i) on trivialise T η ( K D ) ∼ = K D × D et on ´ecritun repr´esentant excellent d’un ´el´ement quelconque f de G D sous la forme( f, g ) o`u f : K D → K D est un hom´eomorphisme valant l’identit´e sur ∂K D et g : K D → Homeo( D , ≃ S . Comme g | ∂K D est constante ´egal `a id D il enr´esulte que ( f, g ) est isotope `a ( f, id D ). Ainsi, f = [( f, g )] est compl`etementd´etermin´e par [ f ] ∈ A ( D • ). R´eciproquement, tout ´el´ement [ f ] ∈ A ( D • )d´etermine de fa¸con univoque l’´el´ement [( f, id D )] ∈ G D . D’autre part, l’asser-tion (ii) est une cons´equence imm´ediate de la Proposition 4.13. (cid:3) Le groupe modulaire pur A ( D • ) s’identifie au quotient du groupe d’Artinde tresses pures du plan `a v ( D ) − Z . Il s’identifie aussi au quotient du groupe de tresses pures de la sph`ere a v ( D ) brins, par son centre qui est isomorphe `a Z / Z , voir par exemple [2].Nous appellerons les ´el´ements de G D twists d’Artin au dessus de D .D’apr`es la Proposition 5.5, le th´eor`eme B de l’introduction affirme quel’image de β est le noyau G S de σ , c’est `a dire, les twists d’Artin et les twistsde Dehn engendrent le sous-groupe d’indice fini G S de G S . Preuve du th´eor`eme B.
D’apr`es le th´eor`eme principal et le lemme 5.3, tout´el´ement de G S peut ˆetre repr´esent´e par un hom´eomorphisme excellent f : T η → T η qui fixe chaque composante irr´eductible de D et qui est l’iden-tit´e sur le bord de chaque bloc T η ( K D ) et T η ( C ). D’apr`es le th´eor`eme deSeifert-Van Kampen, le groupe fondamental Γ S est le produit amalgam´e desgroupes fondamentaux Γ S ( D ) = π ( B D ), D ∈ R , des blocs Seifert de lad´ecomposition JSJ de M η au dessus des groupes fondamentaux de ses toresessentiels Γ S ( C ) = π ( T C ), C ∈ C . Soit D ∈ R un sommet terminal de l’arbrede JSJ de M η , cf. (3.11), et C ∈ C sa chaˆıne adjacente. En composant f pardeux ´el´ements convenables de G D et G C on peut supposer que f ∗ : Γ S → Γ S est l’identit´e sur Γ S ( D ) ⊃ Γ S ( C ). On conclut en raisonnant par r´ecurrencesur le nombre de blocs de Seifert sur lesquels f ∗ n’est pas l’identit´e. (cid:3)
20. Ceci est possible grˆace `a l’holomorphie de f au voisinage de chaque singularit´e de D . APPING CLASS GROUP D’UN GERME DE COURBE 33
L’exemple suivant montre que l’´epimorphisme du th´eor`eme B n’est pas eng´en´eral injectif. Ainsi il peut exister d’autres relations entre les g´en´erateursde G D et G C `a part de celles qu’on vient d’expliciter. Exemple 5.6.
La courbe S = f − (0) avec f ( x, y ) = y ( y − x ) − x a deuxpaires de Puiseux, le diviseur exceptionnel de sa d´esingularisation minimaleconsiste en cinq droites E i , i = 1 , . . . ,
5, num´erot´es par ordre d’apparitionet ayant pour matrice d’intersection − − − − − . Dans ce cas, il y a deux diviseurs de valence trois E et E avec deux (resp.une) branches mortes adjacentes E , E (resp. E ). Il n’y a qu’une chaˆıne C de longueur 0 correspondant au point E ∩ E . Le groupe fondamental Γ S d’un tube de Milnor de f moins S admet comme syst`eme de g´en´erateurs lesclasses d’homotopie a , b , c , b , c , d de lacets contenus dans des fibres deHopf des diviseurs E , E , E , E , E et S respectivement. Les relations deces g´en´erateurs sont engendr´es par a = c = b , a b c = c , c = b , c b d = c et(45) [ c , a ] = [ c , b ] = [ c , c ] = [ c , b ] = [ c , d ] = 1 . En prenant le point de base convenablement, l’action sur Γ S d’un twist deDehn autour de C de type ( p, q ) est de la forme suivante : a a , b = b , c c , b c p b c − p , c c , d c p dc − p , qui d’apr`es les relations (45) co¨ıncide avec l’automorphisme int´erieur associ´e`a l’´el´ement c p c q ∈ Γ S . Ainsi, dans ce cas, β ( G C ) ⊂ ker( ∗ ) qui est trivial. R´ef´erences [1]
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