Matrices de commutation tensorielle: de l'équation de Dirac vers une application en physique des particules
aa r X i v : . [ phy s i c s . g e n - ph ] M a y iUNIVERSITE D’ANTANANARIVO FACULTE DES SCIENCES
FORMATION DOCTORALE EN PHYSIQUEDEPARTEMENT DE PHYSIQUE
Laboratoire de Rhéologie des Suspensions
MEMOIRE D’HABILITATION ADIRIGER DES RECHERCHES option : Mécanique et physique des suspensions sur : MATRICES DE COMMUTATION TENSORIELLE : DE L’EQUATION DE DIRAC VERS UNEAPPLICATION EN PHYSIQUE DES PARTICULES présenté par
RAKOTONIRINA Christian devant la commission d’examen composée de :Président : Monsieur RAKOTOMAHANINA RALAISOAEmile Professeur émérite
Rapporteurs : Madame RANDRIAMANANTANY Zely Arivelo Professeur titulaireMadame RAZANAJATOVO Mariette Professeur titulaireMonsieur RAKOTOMALALA Jean Lalaina Professeur
Examinateurs : Monsieur RANAIVO-NOMENJANAHARY Flavien Professeur titulaireMonsieur ANDRIAMAMPIANINA José Professeur
Directeur de HDR :Monsieur RATIARISON Adolphe Andriamanga Professeur titulairei
ATRICES DE COMMUTATIONTENSORIELLE : DE L’EQUATION DEDIRAC VERS UNE APPLICATION ENPHYSIQUE DES PARTICULES
RAKOTONIRINA Christian26 septembre 2018 i Abstract
We construct two sets of representations of the Dirac equation. They trans-form themselves from one to another in multiplying by the tensor commu-tation matrix (TCM) ⊗ . The Gauss matrix can lead us to the Choleskydecomposition. The TCMs can be used in order to obtain different transformsof some matrix equations to linear matrix equations of the form AX = B . ATCM n ⊗ n is expressed in terms of the n ⊗ n -Gell-Mann matrices. In orderto generalize this expression to which of TCMs n ⊗ p , we introduced what wecall rectangle Gell-Mann matrices. The electric charge operator (ECO) foreight leptons and quarks of the Standard Model (SM) of a same generationproposed by Zenczykowski is expressed in terms of the TCM ⊗ . An ECOincluding all the fermions of the SM is constructed in terms of TCM ⊗ .Then the eigenvalues of a TCM take sense. Keywords : Dirac equation, Dirac-Sidharth equation, Kronecker product,Swap operator, System of linear equations, Cholesky, Generalized Gell-Mannmatrices, leptons, Quarks.
Résumé
Nous avons construit deux ensembles de représentations de l’équation de Di-rac. Ils se transforment l’un en l’autre en multipliant par la matrice de com-mutation tensorielle (MCT) ⊗ . La méthode de Gauss matricielle peut nousconduire à la d*écomposition de Cholesky. Les MCT peuvent être utiliséesafin dŠobtenir différentes transformées de certaines équations matricielles enéquations matricielles linéaires de la forme AX = B . Une MCT n ⊗ n aété exprimée en termes de matrices de Gell-Mann n ⊗ n . Afin de génŕalisercette expression à celles des MCT n ⊗ p , nous avons introduit ce que nousappelons matrices de Gell-Mann rectangles. L’opérateur charges électriques(OCE), pour huit leptons et quarks du modèle standard (MS) d’une mêmegénération proposé par Zenczykowski a été exprimé en termes de MCT ⊗ .Un OCE incluant tous les fermions du MS a été construit en termes de MCT ⊗ . Alors, les valeurs propres d’une MCT ont pris sens. Mots clés : Equation de Dirac, Equation de Dirac-Sidharth, produit deKronecker, Système d’´quations linéaires, Cholesky, Matrices de Gell-Manngénéralisées, leptons, quarks. vant-propos
Ce document présente un ensemble de travaux de recherches que nousavons mené depuis l’obtention de notre doctorat en 2003. Nous avons ras-semblons dans ce mémoire nos publications pour obtenir certaine cohérence.Nous avons délibérément choisi de ne pas y inclure notre travail sur les équa-tions différentielles. En effet, l’inclusion de ce travail rendrait difficile, pourne pas dire impossible, la cohérence. Ces activités se sont déroulées à l’Ins-titut Supérieur de Téchnologie d’Antananarivo, IST-T, où nous enseignonsen tant que maître de conférences et à l’université d’Antananarivo, Départe-ment de Physique, Laboratoire de Rhéologies des Suspensions, LRS, où nousavons travaillé pour finir ce mémoire et avons encadré un étudiant en DEA.Nous avons aussi travaillé avec Madagascar-Institut National des Sciences etTechniques Nucléaires, Madagascar-INSTN, où nous avions travaillé de 1999à 2003 pour preparer notre thèse de doctorat et avons encadré un étudianten DEA.Ce travail est la suite logique de notre formation en mathématiques et notrethèse de physique théorique. Il est incontestable que les mathématiques sontdes outils que tous les pays peuvent utiliser pour contribuer au dévelop-pement des sciences. Réciproquement, les sciences, de par leurs développe-ments, enrichissent les mathématiques. Comme son titre l’indique, ce travailest un exemple qui met en évidence cette dialectique entre sciences, phy-sique et mathématiques. En effet, notre étude mathématiques de l’équationde Dirac-Sidharth, qui est une équation relativiste des particules de spin- nous conduit aux matrices que nous appelons matrices de commutation ten-sorielle. Ces matrices sont très utiles en mathématiques, dans les résolutionsdes équations matricielles. Elles se généralisent à ce que nous appelons ma-trices de permutation tensorielles qui, à leur tour, ont une application enmécanique quantique.Nous avons exprimé ces matrices en termes de matrices de Gell-Mann généra-lisées, qui sont des matrices de la physique des particules, en espérant trouverapplication de ces matrices dans ce domaine de la physique. Nous pensonsque nous nous dirigeons vers l’application de ces matrices en physique desiiivparticules lorsque, lors de la recherche que nous avons effectué dans le La-boratoire de Rhéologies des Suspensions, LRS, Université d’Antananarivo,nous avons exprimé l’opérateur charges éléctrique des particules fermions duModèle Standard proposé par Zenczykowski en termes de matrice de com-mutation tensorielle. Ainsi, ce travail s’inscrit dans le cadre de l’applicationde l’algèbre linéaire et multilinéaire en physique.L’insertion de la subsection sur la méthode de Cholesky dans ce mémoiresemble perturber un peu la cohérence. Mais comme cette subsection fait par-tie de l’algèbre linéaire et qu’elle figure parmi les fruits de notre recherchepédagogique effectuée à l’Institut Supérieur de Technologie d’Antananarivo,IST-T, nous nous excusons auprès des lecteurs cette incohérence apparente.Nous disons "apparente" parce que pour un lecteur averti ce ne sera plusdu tout une incohérence, puisque cette subsection est un pont menant versl’application des matrices de commutation tensorielle aux études des équa-tions matricielles. Cette subsection, constitue une partie d’un chapitre denotre cours d’Analyse Numérique à l’Institut Supérieur de Technologie d’An-tananarivo, IST-T, est donnée en anglais aux étudiants, mais expliquée enMalagasy. able des matières p ⊗ n en termes de matrices de Gell-Mann généralisées . . . . 39vi TABLE DES MATIÈRES ⊗ ⊗ A Matrices. Une généralisation 53B Produit Tensoriel de matrices 55
NTRODUCTION
Le produit tensoriel de matrices ou produit de kronecker ou encore produitdirect de matrices n’est pas commutatif en général. Cependant, le produit decertaines matrices avec un produit tensoriel de matrices commute ce produit.Ces matrices sont les matrices de commutation tensorielle (MCT) ou matricesde commutation de kronecker (Cf. par exemple [1, 2, 3, 4]). Les MCT ontdes applications en mécanique quantique, en particulier en théorie quantiquede l’information (Cf. par exemple [2, 3, 4, 5, 6]). Nous avons découvert lesMCT quand nous travallions sur l’équation de Dirac [7, 8], qui est l’équationquantique relativiste des particules de spin telles qu’un électron. Cepen-dant, dans ce mémoire c’est l’équation de Dirac-Sidharth qui nous conduit àces matrices. C’est une équation de Dirac modifiée. Les représentations quisont communes à ces équations sont ce qui nous y conduisent.Nous pensons que ces matrices méritent plus d’attention puisqu’elles ont aussides applications en mathématiques, plus précisement pour les résolutions deséquations matricielles (Cf. par exemple [1, 10, 9]). Lorsque nous étudiions[11], l’expression de la MCT ⊗ en termes de matrices de Pauli, U ⊗ = 12 I ⊗ I + 12 X i =1 σ i ⊗ σ i (1)nous a fait remarqué que ce MCT pourrait avoir applications en physiquedes particules.Les MCT se généralisent aux matrices de permutation tensorielle (MPT), quipermutent le produit tensoriel de matrices. Les MPT ont aussi des applica-tions en mécanique quantique.Ce mémoire est divisé en trois chapitres de la manière suivante. Dans lechapitre I, nous étudierons une équation de Dirac modifiée, l’équation deDirac-Sidharth. C’est là que la MCT ⊗ U ⊗ = TABLE DES MATIÈRES nous apparaîtra comme quand nous étudiions l’équation de Dirac. Le chapitreII est l’études et applications mathématiques des MCT et leur généralisationaux MPT. Dans le chapitre III, nous généraliserons l’expression (1) à celle dela MCT n ⊗ n en termes de matrices de Gell-Mann n × n , qui sont des matricesde la physique des particules. Pour généraliser à son tour cette relation à cellede MCT n ⊗ p , nous introduirons ceux que nous appelons matrices de Gell-Mann rectangles. Nous verrons aussi dans ce chapitre comment exprimer uneMPT en termes de matrices de Gell-Mann généralisées. A la fin de ce chapitre,nous exprimerons l’opérateur charges électriques (OCE) de fermions proposépar Zenczykowski Q = 12 σ ⊗ σ ⊗ σ + 16 X i =1 σ i ⊗ σ i ! ⊗ σ en termes de la MCT ⊗ . Puis nous introduirons les MCT ⊗ et ⊗ pour obtenir des opérateurs charges électriques pour plus de fermions. hapitre 1MCT A PARTIR DEL’EQUATION DEDIRAC-SIDHARTH Ce chapitre est basé sur Ref. [12]
Nous allons construire l’équation de Dirac-Sidharth, à partir de l’hamil-tonien de Sidharth, par quantification de l’énergie et de l’impulsion dansl’algèbre de Pauli. Nous allons résoudre cette équation en utilisant le produittensoriel de matrices.Selon la relativité restreinte d’Einstein [13], la relation entre l’énergie etl’impulsion est E = c p + m c à partir de laquelle nous pouvons déduire l’équation de Klein-Gordon etl’équation de Dirac. Cette théorie utilise le concept de l’espace-temps continu.L’espace-temps quantifié a été introduit pour la première fois par Snyder[14, 15], sous le nom de géométrie non commutative de Snyder, à cause dela modification sur les relations de commutation. Dans cette théorie les rela-tions de commutation sont [14, 15] [ x µ , x ν ] = iα ℓ c ~ ( x µ p ν − x ν p µ ) , [ x µ , p ν ] = i ~ (cid:20) δ µν + iα ℓ c ~ p µ p ν (cid:21) , CHAPITRE 1. MCT A PARTIR DE L’EQUATION DE DIRAC-SIDHARTH [ p µ , p ν ] = 0 où ℓ est une échelle de longueur quelconque en physique. Par exemple, ℓ = ℓ p = q ~ Gc ≈ . × − cm la longueur de Planck , la longueur minimale pos-sible de mesurer en physique, où G est la constante gravitationnelle. Commeconsequence, la relation entre énergie et implulsion est modifiée et devient(en unité SUN, c = ~ = 1 )[16] E = p + m + αl p ou (en unité SI)[17, 18] E = c p + m c + α (cid:16) c ~ (cid:17) ℓ p (1.1)où α une constante adimensionnelle. ǫ = ~ c √ αℓ (1.2)est l’énergie de Planck dûe à l’échelle de longueur de Planck ℓ = ℓ p [17, 18].Alors, [18] E = c p + m c + c p ǫ Le rôle fondamental de ǫ est expliqué dans [17, 18, 19].En fait, en appliquant l’hamiltonien de Snyder-Sidharth (1.1) Sidharth aconstruit l’équation de Dirac-Sidharth [16, 20], i.e. l’équation de Dirac mo-difiée dûe à la géométrie non commutative de l’espace de phase.Dans la sous-section 1.1.1, nous construirons l’équation de Dirac-Sidharth,à partir de la relation (1.1), par quantification de l’énergie et l’impulsion.Dans la sous-section 1.1.2, nous résoudrons l’équation de Dirac-Sidharth parutilisation du produit tensoriel de matrices. Pour établir l’équation de Dirac-Sidharth nous allons utiliser la méthodede J.J. Sakurai [21] pour la dérivation de l’équation de Dirac.La fonction d’onde d’une particule de spin- doit être à deux composantes.Ainsi, pour quantifier la relation énergy-impulsion relativiste afin d’obtenirl’équation modifiée de Klein-Gordon [16, 20], ou équation de Klein-Gordon-Sidharth, d’une particule de spin- , les operateurs qui prennent part dans la .1. EQUATION DE DIRAC-SIDHARTH ET PRODUIT TENSORIEL DE MATRICES × . Ainsi, prenons comme règlesde quantification E −→ i ~ σ ∂∂t = i ~ ∂∂t ~p −→ − i ~ σ ∂∂x − i ~ σ ∂∂x − i ~ σ ∂∂x = − i ~ ~σ ~ ∇ = ˆ p σ + ˆ p σ + ˆ p σ où σ = (cid:18) (cid:19) , σ = (cid:18) − ii (cid:19) , σ = (cid:18) − (cid:19) sont les matrices de Pauli. Alors, nous avons d’abord l’équation de Klein-Gordon-Sidharth c ~ (cid:18) ∂ c ∂t − ∆ − m c − α ℓ ~ ~ ∇ (cid:19) φ = 0 (cid:18) i ~ ∂∂t + ic ~ ~σ ~ ∇ (cid:19) mc ( + ∞ X k =0 ( − k (cid:20) i √ αmc ~ ℓ (cid:16) − i ~ ~σ ~ ∇ (cid:17) (cid:21) k ) × (cid:18) i ~ ∂∂t − ic ~ ~σ ~ ∇ (cid:19) φ = (cid:20) mc + i √ α c ~ ℓ (cid:16) − i ~ ~σ ~ ∇ (cid:17) (cid:21) φ dont l’operateur agit sur la fonction d’onde à deux composantes φ , qui estsolution de l’équation de Klein-Gordon-Sidharth. Soit χ = 1 mc ( + ∞ X k =0 ( − k (cid:20) i √ αmc ~ ℓ (cid:16) − i ~ ~σ ~ ∇ (cid:17) (cid:21) k ) (cid:18) i ~ ∂∂t − ic ~ ~σ ~ ∇ (cid:19) φ alors, nous avons le système d’équations aux dérivées partielles suivantes i ~ ∂c∂t χ + i ~ ~σ ~ ∇ χ = mcφ + i √ α ℓ ~ (cid:16) i ~ ~σ ~ ∇ (cid:17) φi ~ ∂c∂t φ − i ~ ~σ ~ ∇ φ = mcχ − i √ α ℓ ~ (cid:16) i ~ ~σ ~ ∇ (cid:17) χ En additionnant et en soustrayant ces équations, et en transformant leséquations obtenues sous forme matricielle, nous avons l’équation de Dirac-Sidharth i ~ γ µD ∂ µ ψ D − mcψ D − i √ αℓ ~ γ D ∆ ψ D = 0 dans la representation de Dirac (ou "Standard") des γ -matrices, où γ D = (cid:18) σ − σ (cid:19) = σ ⊗ σ , γ jD = (cid:18) σ j − σ j (cid:19) = iσ ⊗ σ j , j = 1 , , , γ D = iγ D γ D γ D γ D = (cid:18) σ σ (cid:19) = σ ⊗ σ , et ψ D = (cid:18) χ + φχ − φ (cid:19) , CHAPITRE 1. MCT A PARTIR DE L’EQUATION DE DIRAC-SIDHARTH ∆ = ∂ ∂x + ∂ ∂x + ∂ ∂x .Les matrices × γ µD ) ≤ µ ≤ satisfont les relations suivantes γ µD γ νD + γ νD γ µD = 2 g µν I , µ, ν ∈ { , , , } (1.3)où g µν = 0 if µ = ν , g jj = − , j ∈ { , , } , g = 1 Nous savons que [22]
P γ = − γ P Il s’ensuit que l’équation de Dirac-Sidharth est non invariant sous l’opérateurparité (ou réflexion dans l’espace) [23].L’équation i ~ γ µW ∂ µ ψ W − mcψ W − i √ αℓ ~ γ W ∆ ψ W = 0 est l’équation de Dirac-Sidharth dans la representation de Weyl (ou chiral),où ψ W = (cid:18) χφ (cid:19) .Ainsi, χ et φ sont les composantes (ou chiralité) respectivement gauche etdroite. Dans cette section, nous cherchons les solutions de l’équation de Dirac-Sidharth, en forme d’onde plane en utilisant le produit tensoriel de matrices.Nous avions utilisé cette méthode pour résoudre l’équation de Dirac [8].Ainsi, cherchons une solution sous la forme ψ D = U ( p ) e i ~ ( ~p~x − Et ) Soit Ψ un spineur à quatre composantes qui est un état propre de ˆ p j = − i ~ ∂∂x j et de ˆ E = i ~ ∂∂t , ~p = p p p , et ~n = ~pp = n n n .L’équation de Dirac-Sidharth devient σ ⊗ σ U ( p ) − ~ cpσ ⊗ (cid:18) ~ ~σ~n (cid:19) U ( p ) − mc σ ⊗ σ U ( p )+ c √ αp ℓ ~ σ ⊗ σ U ( p ) = 0 Prenons U ( p ) sous la forme U ( p ) = ϕ ⊗ u .1. EQUATION DE DIRAC-SIDHARTH ET PRODUIT TENSORIEL DE MATRICES u est un vecteur propre de l’opérateur spin ~ ~σ~n . ϕ = (cid:18) ϕ ϕ (cid:19) et u sont àdeux componsantes.Comme u = 0 , donc (cid:18) ηcpσ + mc σ − c √ αp ℓ ~ σ (cid:19) ϕ = Eϕ (1.4)avec η = ( +1 spin haut − spin basEn résolvant cette équation par rapport à ϕ et ϕ , nous avons Ψ + = r E + mc E ηcp − i c ~ √ αp ℓmc + E ! ⊗ se i ~ ( ~p~x − Et ) la solution à énergie positive, où s = √ n ) (cid:18) − n + in n (cid:19) spin haut, s = √ n ) (cid:18) n n + in (cid:19) spin bas.D’après l’équation (1.4), cette méthode fait apparaître la matrice h = ηcpσ − c √ αp ℓ ~ σ + mc σ , ou h = ηcpσ − c p ǫ σ + mc σ (si ℓ est l’échellede longueur de Planck), dont les valeurs propres sont les énergies positiveet negative. h est comme un vecteur dans l’algèbre de Pauli. Ainsi, l’éner-gie d’une particule de spin- peut être considérée comme un vecteur dansl’algèbre de Pauli, dont la longueur ou l’intensité est donnée par la relationénergie-impulsion relativiste. h = E Définition 1
Un système de matrices × γ µ ) ≤ µ ≤ satisfaisant la relation (1 . , c’est-à-dire γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2 g µν I , est appelé une représentation del’équation de Dirac-Sidharth. Si de plus, ( γ µ ) ≤ µ ≤ est un système de matricesunitaires , on dit qu’il est une représentation unitaire de l’équation de Dirac-Sidharth. Les théorèmes suivants concernent les relations entre différentes représenta-tions [24].
Théorème 2
Théorème Fondamental de Pauli.Pour deux représentations de l’équation de Dirac-Sidharth ( γ µ ) ≤ µ ≤ , (cid:0) γ ′ µ (cid:1) ≤ µ ≤ , CHAPITRE 1. MCT A PARTIR DE L’EQUATION DE DIRAC-SIDHARTH il existe une matrice S , définie à une constante multiplicative près et non sin-gulier ( det ( S ) = 0) , telle que γ µ = Sγ ′ µ S − , µ = 0 , , , . Corollaire 3
Pour deux représentations unitaires de l’équation de Dirac-Sidharth ( γ µ ) ≤ µ ≤ , (cid:0) γ ′ µ (cid:1) ≤ µ ≤ , il existe une matrice unitaire U , définie àune phase près γ µ = U γ ′ µ U − , µ = 0 , , , . Dans la section 1.1.1 nous avons vu comment les matrices gamma dansla representation de Dirac peuvent être exprimées à l’aide des matrices dePauli. De manière analogue nous pouvons obtenir, en construisant l’équationde Dirac-Sidharth six representations unitaires de cette equation, à savoir ( σ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ ) Représentation de Dirac ( σ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ )( σ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ )( σ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ )( σ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ ) Représentation de Weyl ( σ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ ) et six autres représentations unitaires de l’équation de Dirac-Sidharth obte-nues en commutant les produits tensoriels de matrices ci-dessus ( σ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ )( σ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ )( σ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ )( σ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ )( σ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ )( σ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ , iσ ⊗ σ ) . .1. EQUATION DE DIRAC-SIDHARTH ET PRODUIT TENSORIEL DE MATRICES U ⊗ = puisqu’elle commute le produit tensoriel de deux matrices × quelconques, A , B ∈ C × de la manière suivante U ⊗ · ( A ⊗ B ) · U ⊗ = B ⊗ A Nous l’appelons MCT ⊗ . Elle commute aussi le produit tensoriel de deuxmatrices complexes unicolonnes de la manière suivante. Pour a = (cid:18) a a (cid:19) , b = (cid:18) b b (cid:19) ∈ C × quelconques U ⊗ . ( a ⊗ b ) = b ⊗ a La MCT ⊗ est fréquemment trouvée en théorie quantique de l’infor-mation [4], [25], [26], où on écrit à l’aide des matrices de Pauli [4],[25] U ⊗ = 12 I ⊗ I + 12 X i =1 σ i ⊗ σ i (1.5)La MCT ⊗ a été écrite par KAZUYUKI FUJII [4] de la manière suivante U ⊗ = (1.6)afin d’obtenir une conjecture pour la forme de la MCT n ⊗ n , pour tout n ∈ N ⋆ .Dśignons par U n ⊗ p la MCT n ⊗ p , n , p ∈ N .0 CHAPITRE 1. MCT A PARTIR DE L’EQUATION DE DIRAC-SIDHARTH hapitre 2MATRICES DEPERMUTATIONTENSORIELLE
Ce chapitre est basé sur Refs. [27, 28, 29, 30]
Définition 4
Pour p , q ∈ N , p ≥ , q ≥ , nous appelons MCT p ⊗ q lamatrice de permutation U p ⊗ q ∈ C pq × pq , vérifiant la propriété suivante U p ⊗ q . ( a ⊗ b ) = b ⊗ a (2.1) pour tous a ∈ C p × , b ∈ C q × . En considerant U p ⊗ q comme une matrice d’un tenseur d’ordre deux (Cf.Annexe A), nous pouvons la construire en utilisant la règle suivante. Règle 5
Commençons par mettre 1 sur la première ligne et première co-lonne, puis passons à la deuxième colonne en descendant p lignes suivantcette colonne plaçons 1 à cette place qui est la p + 1 -ième ligne et deuxièmecolonne. Puis passons à la troisième colonne en descendant p lignes suivantcette colonne plaçons 1 à cette place qui est la p + 2 -ième ligne et troisièmecolonne, et ainsi de suite jusqu’à nous n’avons que p − lignes pour des-cendre (alors nous avons comme nombre de 1 : q ). Puis passons à la colonne CHAPITRE 2. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE suivante qui est la ( q + 1) -ième colonne, mettre 1 sur la deuxième ligne decette colonne (puisque ( p −
1) + 1 = p ) et répétons le processus jusqu’à nousn’avons que p − lignes pour descendre (alors nous avons comme nombre de1 : q ). Après, passons à la colonne suivante qui est la (2 q +1) -ième colonne,mettre 1 sur la troisième ligne de cette colonne (puisque ( p −
2) + 2 = p ) etrépétons le processus jusqu’à nous n’avons que p − lignes pour descendre(alors nous avons comme nombre de 1 : q ). En Continuant de cette manièrenous aurons que l’élément sur p × q -ième ligne et p × q -ième colonne est 1.Les autres éléments sont 0. Proposition 6
Pour n, p ∈ N , n, p > , U n ⊗ p = ( p,n ) X ( i,j ) E ( i,j ) p × n ⊗ E ( i,j ) t p × n = ( p,n ) X ( i,j ) E ( i,j ) p × n ⊗ E ( j,i ) n × p où E ( i,j ) p × n est la matrice p × n élémentaire formée par des zeros sauf l’élémentsur la i -ième ligne et j -ième colonne qui est égal à . Preuve.
Soient a = a a ... a n ∈ C n × , b = b b ... b p ∈ C p × U n ⊗ p · ( a ⊗ b ) = ( p,n ) X ( i,j ) E ( i,j ) p × n ⊗ E ( j,i ) n × p · ( a ⊗ b ) = ( p,n ) X ( i,j ) ( E ( i,j ) p × n · a ) ⊗ ( E ( j,i ) n × p · b )= ( p,n ) X ( i,j ) ( δ ik a j ) k p ⊗ ( δ jl b i ) l n = ( p,n ) X ( i,j ) ( δ ik b i ) k p ⊗ ( δ jl a j ) l n = ( p,n ) X ( i,j ) ... b i ... ⊗ ... a j ... = b ⊗ a où δ ij est le symbole de kronecker. .1. MATRICES DE COMMUTATION TENSORIELLE Exemple 7
L’application de la règle 5 nous donne U ⊗ = U ⊗ = ⊗ (cid:18) (cid:19) + ⊗ (cid:18) (cid:19) + ⊗ (cid:18) (cid:19) + ⊗ (cid:18) (cid:19) + ⊗ (cid:18) (cid:19) + ⊗ (cid:18) (cid:19) Remarque 8
Considérons la fonction L de l’ensemble de toutes les matricesde dimension finies vers l’ensemble des matrices unicolonnes . Pour une ma-trice X = x x . . . x p x x . . . x p . . . . . . . . . . . .x n x n . . . x np , L ( X ) = x x ... x p x x ... x p ... x n x n ... x np . On peut obtenir facilement que U n ⊗ p · L ( X ) = L (cid:0) X T (cid:1) . Ici n et p sont des éléments quelconques de N ⋆ , n, p ≥ . Ainsi, il s’agitd’une généralisation de l’ expression d’un élément d’une MCT n ⊗ n pour4 CHAPITRE 2. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE un n ∈ N ⋆ [4]. D’abord, étudions l’exemple ci-dessous pour conjecturerl’expression pour le cas plus général. Ainsi, nous suivons la méthode de [4].Ecrivons alors U ⊗ de la façon suivante : U ⊗ = Considérons les matrices rectangles I n × p = (cid:0) δ ij (cid:1) ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ p , I p × n = (cid:0) δ ij (cid:1) ≤ i ≤ p, ≤ j ≤ n ,où δ ij est le symbole de Kronecker. La matrice np × npI p × n ⊗ I n × p = (cid:0) δ i i j j (cid:1) = (cid:0) δ i j δ i j (cid:1) où, i i = 11 , , . . . , n, , , . . . , n, . . . , p , p , . . . , pn indices de lignes, j j = 11 , , . . . , p, , , . . . , p, . . . , n , n , . . . , np indices de colonnes,nous suggère la proposition suivante. Proposition 9 U n ⊗ p = (cid:0) U i i j j (cid:1) = (cid:0) δ i i j j (cid:1) = (cid:0) δ i j δ i j (cid:1) (2.2) où, i i = 11 , , . . . , n, , , . . . , n, . . . , p , p , . . . , pn indices de lignes, j j = 11 , , . . . , p, , , . . . , p, . . . , n , n , . . . , np indices de colonnes, .2. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE Preuve.
Soient a = ( a j ) ≤ j ≤ n ∈ C n × , b = ( b j ) ≤ j ≤ p ∈ C p × ( a ⊗ b ) i i −→ ( U n ⊗ p · ( a ⊗ b )) i i = δ i j δ i j a j b j = δ i j b j δ i j a j = b i a i = ( b ⊗ a ) i i Dans cette section nous suivons l’idée dans [31], en algèbre linéaire etmultilinéaire, en établissant d’abord les théorèmes pour les opérateurs, defaçon intrinsèque, c’est-à-dire indépendamment des bases, puis les théorèmescorrespondant pour les matrices. Ainsi, nous allons d’abord parler d’opéra-teurs de permutation tensorielle (OPT). Nous utiliserons aussi ses notationspour les vecteurs et covecteurs, en surlignant les vecteurs, x , et en soulignantles covecteurs, ϕ . Définition 10
Considérons les C -espaces vectoriels de dimensions finies E , E , . . . , E k et une permutation σ sur { , , . . . , k } . L’opérateur linéaire U σ de E ⊗ E ⊗ . . . ⊗ E k à E σ (1) ⊗ E σ (2) ⊗ . . . ⊗ E σ ( k ) , U σ ∈ L ( E ⊗ E ⊗ . . . ⊗ E k , E σ (1) ⊗ E σ (2) ⊗ . . . ⊗ E σ ( k ) ) , défini par U σ ( x ⊗ . . . ⊗ x k ) = x σ (1) ⊗ . . . ⊗ x σ ( k ) pour tous x ∈ E , x ∈ E , . . . , x k ∈ E k est appelé un σ -OPT.Si n = 2 , alors nous disons que U σ est un opérateur de commutation tenso-rielle. Proposition 11 Si U σ est un σ -OPT, alors son transposé U Tσ est un σ − -OPT, U σ − = U − σ . Preuve.
Considérons les C -espaces vectoriels E , E , . . . , E k de dimen-sions finies et E ⋆ , E ⋆ , . . . , E k⋆ sont leurs espaces duaux. U σ ∈ L ( E ⊗E ⊗ . . . ⊗ E k , E σ (1) ⊗ E σ (2) ⊗ . . . ⊗ E σ ( k ) ) σ -OPT. Alors U σT ∈L ( E σ (1) ⋆ ⊗ E σ (2) ⋆ ⊗ . . . ⊗ E σ ( k ) ⋆ , E ⋆ ⊗ E ⋆ ⊗ . . . ⊗ E k⋆ ) .Soient ϕ σ (1) ∈ E σ (1) ⋆ , ϕ σ (2) ∈ E σ (2) ⋆ , . . . ϕ σ ( k ) ∈ E σ ( k ) ⋆ , x ∈ E , x ∈ E , . . . ,6 CHAPITRE 2. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE x k ∈ E k . U σT · (cid:0) ϕ σ (1) ⊗ ϕ σ (2) ⊗ . . . ⊗ ϕ σ ( k ) (cid:1) ( x ⊗ x ⊗ . . . ⊗ x k )= ϕ σ (1) ⊗ ϕ σ (2) ⊗ . . . ⊗ ϕ σ ( k ) [ U σ ( x ⊗ x ⊗ . . . ⊗ x k )](par définition de l’opérateur transposé [31])= ϕ σ (1) ⊗ ϕ σ (2) ⊗ . . . ⊗ ϕ σ ( k ) ( x σ (1) ⊗ x σ (2) ⊗ . . . ⊗ x σ ( k ) )= ϕ σ (1) ( x σ (1) ) ⊗ ϕ σ (2) ( x σ (2) ) ⊗ . . . ⊗ ϕ σ ( k ) ( x σ ( k ) ) = ϕ σ (1) ( x σ (1) ) ϕ σ (2) ( x σ (2) ) . . . ϕ σ ( k ) ( x σ ( k ) ) (puisque les ϕ σ ( i ) ( x σ ( i ) ) sont des éléments de C )= ϕ ( x ) ⊗ ϕ ( x ) ⊗ . . . ⊗ ϕ k ( x k ) = ( ϕ ⊗ ϕ ⊗ . . . ⊗ ϕ k )( x ⊗ x ⊗ . . . ⊗ x k ) Nous avons U σT (cid:0) ϕ σ (1) ⊗ ϕ σ (2) ⊗ . . . ⊗ ϕ σ ( k ) (cid:1) ( x ⊗ x ⊗ . . . ⊗ x k )= ( ϕ ⊗ ϕ ⊗ . . . ⊗ ϕ k )( x ⊗ x ⊗ . . . ⊗ x k ) pour tous x ∈ E , x ∈ E , . . . , x k ∈ E k .D’où, U σT · (cid:0) ϕ σ (1) ⊗ ϕ σ (2) ⊗ . . . ⊗ ϕ σ ( k ) (cid:1) = ϕ ⊗ ϕ ⊗ . . . ⊗ ϕ k Proposition 12
Considérons les C -espaces vectoriels de dimensions finies E , E , . . . , E k , F , F , . . . , F k , une permutation σ sur { , , . . . , k } et un σ -OPT U σ ∈ L (cid:0) F ⊗ . . . ⊗ F k , F σ (1) ⊗ . . . ⊗ F σ ( k ) (cid:1) . Alors, pour tous φ ∈L ( E , F ) , φ ∈ L ( E , F ) , . . . , φ k ∈ L ( E k , F k ) U σ · ( φ ⊗ . . . ⊗ φ k ) = (cid:0) φ σ (1) ⊗ . . . ⊗ φ σ ( k ) (cid:1) · V σ où V σ ∈ L ( E ⊗ E ⊗ . . . ⊗ E k , E σ (1) ⊗ E σ (2) ⊗ . . . ⊗ E σ ( k ) ) est un σ -OPT. Preuve. φ ⊗ . . . ⊗ φ k ∈ L ( E ⊗ . . . ⊗ E k , F ⊗ . . . ⊗ F k , ) , donc U σ · ( φ ⊗ φ ⊗ . . . ⊗ φ k ) ∈ L (cid:0) E ⊗ . . . ⊗ E k , F σ (1) ⊗ . . . ⊗ F σ ( k ) (cid:1) . (cid:0) φ σ (1) ⊗ φ σ (2) ⊗ . . . ⊗ φ σ ( k ) (cid:1) · V σ ∈ L (cid:0) E ⊗ . . . ⊗ E k , F σ (1) ⊗ . . . ⊗ F σ ( k ) (cid:1) Si x ∈ E , x ∈ E , . . . , x k ∈ E k , alors U σ · ( φ ⊗ . . . ⊗ φ k ) ( x ⊗ . . . ⊗ x k ) = U σ [ φ ( x ) ⊗ φ ( x ) ⊗ . . . ⊗ φ k ( x k )] = φ σ (1) (cid:0) x σ (1) (cid:1) ⊗ . . . ⊗ φ σ ( k ) (cid:0) x σ ( k ) (cid:1) (puisque U σ est un OPT) = (cid:0) φ σ (1) ⊗ . . . ⊗ φ σ ( k ) (cid:1) (cid:0) x σ (1) ⊗ . . . ⊗ x σ ( k ) (cid:1) = (cid:0) φ σ (1) ⊗ . . . ⊗ φ σ ( k ) (cid:1) · V σ ( x ⊗ . . . ⊗ x k ) . Définition 13
Considérons les C -espaces vectoriels E , E , . . . , E k de di-mensions n , n , . . . , n k et σ -OPT U σ ∈ L ( E ⊗ E ⊗ . . . ⊗ E k , E σ (1) ⊗ .2. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE E σ (2) ⊗ . . . ⊗ E σ ( k ) ). Soit B = ( e , e , . . . , e n ) une base de E ; B = ( e , e , . . . , e n ) une base de E ;. . . B k = ( e k , e k , . . . , e kn k ) une base de E k . U σ la matrice de U σ par rapport au couple de bases (cid:0) B ⊗ B ⊗ . . . ⊗ B k , B σ (1) ⊗ B σ (2) ⊗ . . . ⊗ B σ ( k ) (cid:1) . La matrice carrée U σ de di-mension n × n × . . . × n k est indépendante des bases B , B ,. . . , B k . Nousappelons cette matrice la σ -MPT n ⊗ n ⊗ . . . ⊗ n k . Proposition 14
Soient U σ la σ -MPT n ⊗ n ⊗ . . . ⊗ n k et V σ la σ -MPT m ⊗ m ⊗ . . . ⊗ m k . Alors, pour toutes matrices A , A ,. . . , A k , de dimensionsrespectives, m × n , m × n , . . . , m k × n k U σ · ( A ⊗ . . . ⊗ A k ) · V Tσ = A σ (1) ⊗ . . . ⊗ A σ ( k ) (2.3) Preuve.
Soient A ∈ L ( E , F ) , A ∈ L ( E , F ) , . . . , A k ∈ L ( E k , F k ) .Leurs matrices par rapport aux couples de bases (cid:0) B , B ′ (cid:1) , (cid:0) B , B ′ (cid:1) ,. . . , (cid:0) B k , B ′ k (cid:1) sont respectivement A , A ,. . . , A k . Alors, A ⊗ A ⊗ . . . ⊗ A k est la matrice de A ⊗ A ⊗ . . . ⊗ A k par rapport à ( B ⊗ B ⊗ . . . ⊗ B k , B ′ ⊗ B ′ ⊗ . . . ⊗ B ′ k ) .Cependant, A ⊗ A ⊗ . . . ⊗ A k ∈ L ( E ⊗ E ⊗ . . . ⊗ E k , F ⊗ F ⊗ . . . ⊗ F k ) et A σ (1) ⊗ A σ (2) ⊗ . . . ⊗ A σ ( k ) ∈ L (cid:0) E σ (1) ⊗ . . . ⊗ E σ ( k ) , F σ (1) ⊗ . . . ⊗ F σ ( k ) (cid:1) ,donc U σ · ( A ⊗ . . . ⊗ A k ) , (cid:0) A σ (1) ⊗ . . . ⊗ A σ ( k ) (cid:1) · V σ ∈ L (cid:0) E ⊗ . . . ⊗ E k , F σ (1) ⊗ . . . ⊗ F σ ( k ) (cid:1) . A σ (1) ⊗ A σ (2) ⊗ . . . ⊗ A σ ( k ) est la matrice de A σ (1) ⊗ A σ (2) ⊗ . . . ⊗ A σ ( k ) par rapportà (cid:0) B σ (1) ⊗ . . . ⊗ B σ ( k ) , B ′ σ (1) ⊗ . . . ⊗ B ′ σ ( k ) (cid:1) . Par suite ( A σ (1) ⊗ . . . ⊗ A σ ( k ) ) · V σ est celle de ( A σ (1) ⊗ . . . ⊗ A σ ( k ) ) · V σ par rapport à (cid:0) B ⊗ . . . ⊗ B k , B ′ σ (1) ⊗ . . . ⊗ B ′ σ ( k ) (cid:1) . U σ · ( A ⊗ A ⊗ . . . ⊗ A k ) est la matrice de U σ · ( A ⊗ A ⊗ . . . ⊗ A k ) parrapport au même couple de bases.D’après la proposition 12, nous avons U σ · ( A ⊗ . . . ⊗ A k ) = (cid:0) A σ (1) ⊗ . . . ⊗ A σ ( k ) (cid:1) · V σ Proposition 15
La matrice U σ est une σ -MPT n ⊗ n ⊗ . . . ⊗ n k si, etseulement si, pour tous a ∈ C n × , a ∈ C n × ,. . . , a k ∈ C n k × U σ · ( a ⊗ . . . ⊗ a k ) = a σ (1) ⊗ . . . ⊗ a σ ( k ) Preuve. ” = ⇒ ” C’est évident d’après la proposition 14. ” ⇐ = ” Supposons que pour tous a ∈ C n × , a ∈ C n × ,. . . , a k ∈ C n k × U σ · ( a ⊗ . . . ⊗ a k ) = a σ (1) ⊗ . . . ⊗ a σ ( k ) CHAPITRE 2. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE
Soient a ∈ E , a ∈ E , . . . , a k ∈ E k et B , B ,. . . , B k bases de E , E ,. . . , E k par rapport auxquelles les composantes de a , a ,. . . , a k forment lesmatrices colonnes a , a ,. . . , a k . Le σ -OPT U σ ∈ L ( E ⊗ E ⊗ . . . ⊗ E k , E σ (1) ⊗ E σ (2) ⊗ . . . ⊗ E σ ( k ) ) dont la matrice par rapport à ( B ⊗B ⊗ . . . ⊗B k , B σ (1) ⊗ B σ (2) ⊗ . . . ⊗ B σ ( k ) ) est U σ . Donc U σ ( a ⊗ . . . ⊗ a k )= a σ (1) ⊗ . . . ⊗ a σ ( k ) . Ceci est vraie pour tous a ∈ E , a ∈ E ,. . . , a k ∈ E k .Puisque U σ est un σ -OPT, U σ est une σ -MPT n ⊗ n ⊗ . . . ⊗ n k . Maintenant, nous allons généraliser la formule (2.2). Considérons les ma-trices I n σ ( r ) × n r = (cid:0) δ i r j r (cid:1) ≤ i r ≤ n σ ( r ) , ≤ j r ≤ n r , r = 1 , , . . . , k . I n σ (1) × n ⊗ I n σ (2) × n ⊗ . . . ⊗ I n σ ( k ) × n k = (cid:0) δ i i ...i k j j ...j k (cid:1) = (cid:0) δ i j δ i j . . . δ i k j k (cid:1) ,est une matrice carrée n n . . . n k × n σ (1) n σ (2) . . . n σ ( k ) , qui nous suggère laproposition suivante. Proposition 16 U n ⊗ n ⊗ ... ⊗ n k ( σ ) = (cid:0) U i i ...i k j j ...j k (cid:1) = (cid:16) δ i j σ (1) δ i j σ (2) . . . δ i k j σ ( k ) (cid:17) Preuve.
Pour a r = ( a j r r ) ≤ j r ≤ n r ∈ C n r × , r = 1 , , . . . , k , ( a ⊗ a ⊗ . . . ⊗ a k ) i i ...i k −→ ( U n ⊗ n ⊗ ... ⊗ n k ( σ ) · ( a ⊗ a ⊗ . . . ⊗ a k )) i i ...i k == δ i j σ (1) δ i j σ (2) . . . δ i k j σ ( k ) a j a j . . . a j k k = δ i j σ (1) a j σ (1) σ (1) δ i j σ (2) a j σ (2) σ (2) . . . δ i k j σ ( k ) a j σ ( k ) σ ( k ) = a i σ (1) a i σ (2) . . . a i k σ ( k ) = (cid:0) a σ (1) ⊗ a σ (2) ⊗ . . . ⊗ a σ ( k ) (cid:1) i i ...i k Définition 17
Pour k ∈ N , k > et pour une permutation σ sur { , , . . . , k } ,nous appelons σ -matrice de transposition tensorielle n ⊗ n ⊗ . . . ⊗ n k une .2. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE σ -MPT n ⊗ n ⊗ . . . ⊗ n k si σ est une transposition. Considérons la σ -matrice de transposition tensorielle n ⊗ n ⊗ . . . ⊗ n k , U n ⊗ n ⊗ ... ⊗ n k ( σ ) avec σ la transposition ( i j ) . U n ⊗ n ⊗ ... ⊗ n k ( σ ) · ( a ⊗ . . . ⊗ a i ⊗ a i +1 ⊗ . . . ⊗ a j ⊗ a j +1 ⊗ . . . ⊗ a k )= a ⊗ . . . ⊗ a i − ⊗ a j ⊗ a i +1 ⊗ . . . ⊗ a j − ⊗ a i ⊗ a j +1 ⊗ . . . ⊗ a k pour tous a l ∈ C n l × .Si ( B l i ) ≤ l i ≤ n j n i , (cid:0) B l j (cid:1) ≤ l j ≤ n i n j sont respectivement des bases de C n j × n i et C n i × n j , alors la MCT U n i ⊗ n j peut être decomposée comme une combinaisonlinéaire de la base (cid:0) B l i ⊗ B l j (cid:1) ≤ l i ≤ n j n i , ≤ l j ≤ n i n j de C n i n j × n i n j . Nous voulonsprouver que U n ⊗ n ⊗ ... ⊗ n k ( σ ) est une combinaison linéaire de (cid:0) I n n ...n i − ⊗ B l i ⊗ I n i +1 n i +2 ...n j − ⊗ B l j ⊗ I n j +1 n j +2 ...n k (cid:1) ≤ l i ≤ n j n i , ≤ l j ≤ n i n j .Pour ce faire, il nous suffit de prouver la proposition suivante. Proposition 18
Supposons σ = (cid:18) (cid:19) = (cid:0) (cid:1) permutation sur { , , } , ( B i ) ≤ i ≤ N N , ( B i ) ≤ i ≤ N N sont respectivement des bases de C N × N et C N × N . Si U N ⊗ N = N N X i =1 N N X i =1 α i i B i ⊗ B i , α i i ∈ C , alors U N ⊗ N ⊗ N ( σ ) = N N X i =1 N N X i =1 α i i B i ⊗ I N ⊗ B i . Preuve.
Soient b ∈ C N × , b ∈ C N × .Développons d’abord la relation U N ⊗ N · ( b ⊗ b ) = b ⊗ b N N X i =1 N N X i =1 α i i ( B i ⊗ B i ) . ( b ⊗ b ) = b ⊗ b N N X i =1 N N X i =1 α i i ( B i . b ) ⊗ ( B i . b ) = b ⊗ b En utilisant la proposition 39, de l’Annexe B,0
CHAPITRE 2. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE N N X i =1 N N X i =1 α i i ( B i . b ) ⊗ b ⊗ ( B i . b ) = b ⊗ b ⊗ b N N X i =1 N N X i =1 α i i ( B i . b ) ⊗ ( I N . b ) ⊗ ( B i . b ) = b ⊗ b ⊗ b N N X i =1 N N X i =1 α i i ( B i ⊗ I N ⊗ B i ) . ( b ⊗ b ⊗ b ) = b ⊗ b ⊗ b D’où, U N ⊗ N ⊗ N ( σ ) = N N X i =1 N N X i =1 α i i B i ⊗ I N ⊗ B i Notation 19
Soit σ ∈ S n , c’est-à-dire σ est une permutation sur {1, 2, . . . ,n}, p ∈ N , p ≥ , nous notons la MPT U p ⊗ p ⊗ . . . ⊗ p | {z } n − times ( σ ) par U p ⊗ n ( σ ) ,[31]. Nous utilisons les lemmes [32] suivants pour prouver la proposition ci-dessous.
Lemme 20
Toute permutation σ ∈ S n peut s’écrire comme produit de trans-positions. (Cette factorisation en un produit de transpositions n’est pas unique) C σ = ( i i i . . . i n − i n ) = ( i i ) ( i i ) . . . ( i n − i n ) Lemme 21
Soit σ ∈ S n , dont le cycle est C σ = ( i i i . . . i n − i n ) alors C σ = ( i i i . . . i n − ) ( i n − i n ) Proposition 22
Pour n ∈ N ∗ , n > , σ ∈ S n dont le cycle est C σ = ( i i i . . . i k − i k ) avec k ∈ N ∗ , k > . Alors, U p ⊗ n ( σ ) = U p ⊗ n (( i i . . . i k − )) · U p ⊗ n (( i k − i k )) ou U p ⊗ n ( σ ) = U p ⊗ n (( i i )) · U p ⊗ n (( i i )) · . . . · U p ⊗ n (( i k − i k )) avec p ∈ N ∗ , p > . .3. MATRICES DE COMMUTATION TENSORIELLE ET EQUATIONS MATRICIELLES Corollaire 23
Pour n ∈ N ∗ , n > , σ ∈ S n dont le cycle est C σ = ( i i i . . . i n − n ) Alors, U p ⊗ n ( σ ) = (cid:2) U p ⊗ ( n − (( i i . . . i n − i n − )) ⊗ I p (cid:3) · U p ⊗ n (( i n − n )) Les équations matricielles que nous allons voir dans cette section sont leséquations matricielles de la forme AX = B , A · X · B = C et A · X + X · B = C .Pour la première équation une étude de la méthode de Cholesky sera donnée.La deuxième et la troisième équations peut être ramenées à la première, etc’est là que nous introduirons les MCT. Les méthodes directes pour résoudre un système linéaire, méthode d’élimina-tion de Gauss, décomposition LU et méthode de Cholesky sont bien connues.Nous sommes d’accord avec certains auteurs [34, 35] que la décomposition LUet la méthode de Cholesky sont très utiles pour résoudre plusieurs systèmeslinéaires dont la seule différence est les termes constants dans les secondsmembres.La méthode d’élimination de Gauss avec ou sans choix de pivot peutnous conduire à la décomposition LU. La méthode d’élimination de Gaussavec choix de pivot ne peut pas nous conduire à la méthode de Cholesky carle choix de pivot peut détruire la syméetrie. Cependant, quelques fois nousn’avons pas besoin de choisir le pivot.Comme la méthode d’élimination de Gauss peut nous conduire à la dé-composition LU, nous pensons que c’est mieux de résoudre d’abord l’une deces équations par la méthode d’élimination de Gauss et les autres par la dé-composition LU. Ainsi, nous serons permis de résoudre d’abord l’une de ceséquation par la méthode d’élimination de Gauss et les autres par la méthodede Cholesky, dans le cas où la matrice est symétrique et définie positive, si laméthode d’élimination de Gauss peut nous conduire à la décomposition deCholesky.2
CHAPITRE 2. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE
Cette sous-section est arrangée de la façons suivante. Dans le paragrapheci-dessous nous allons présenter la décomposition LU en utilisant la méthoded’élimination de Gauss. Dans le paragraphe suivant, nous prouverons avecl’aide de la décomposition LU que nous pouvons obtenir la décomposition deCholesky à partir de la méthode d’élimination de Gauss sans choix de pivot.Enfin, un exemple pour rendre plus claire la méthode sera présenté.
Elimination de Gauss
Considérons le système de n équations à n incon-nues suivant : a x + a x + . . . + a n x n = b a x + a x + . . . + a n x n = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a i x + a i x + . . . + a in x n = b i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a n x + a n x + . . . + a nn x n = b n qui peut s’écrire sous forme matricielle AX = B (2.4)où A = ( a ij ) ≤ i,j ≤ n , X = x x ... x n , B = b b ... b n Si a = 0 , l’élimination de Gauss sur la première colonne s’écrit a (0)11 x + a (0)12 x + . . . + a (0)1 n x n = b (0)1 a (1)22 x + . . . + a (1)2 n x n = b (1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a (1) i x + . . . + a (1) in x n = b (1) i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a (1) n x + . . . + a (1) nn x n = b (1) n avec a (0)1 j = a j et a (1) ij = − a i a j − a a ij a ,qui peut s’écrire, sous forme matricielle A X = B (2.5)et peut être obtenue en multipliant (2.4) par la matrice triangulaire inférieure .3. MATRICES DE COMMUTATION TENSORIELLE ET EQUATIONS MATRICIELLES G = . . . − a (0)21 a (0)11 . . . − a (0)31 a (0)11 . . . ... ... ... . . . ... − a (0) n a (0)11 . . . A = G A et B = G B .L’élimination de Gauss sur la deuxième colonne peut être obtenue parmultiplication à la relation (2.5) la matrice triangulaire inférieure G = . . .
00 1 0 0 . . . − a (1)32 a (1)22 . . . − a (1)42 a (1)22 . . . ... ... ... ... . . . ... − a (1) n a (1)22 . . . L’équation matricielle (2.5) devient A X = B avec A = G G A et B = G G B .En continuant ainsi, nous avons finalement, UX = B ′ (2.6)avec U = G n − . . . G G U une matrice triangulaire supérieure et B ′ = G n − . . . G G B .4 CHAPITRE 2. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE
Nous pouvons vérifier facilement que l’inverse de G l est G − l = . . . . . .
00 1 . . . . . . ... ... . . . ... ... . . . . . .
00 0 . . . a ( l − l +1) l a ( l − ll . . . ... ... ... . . . ... . . . a ( l − nl a ( l − ll . . . Donc G n − G n − · · · G G est une matrice inversible et l’équation (2.6) de-vient LUX = B avec L = G − G − · · · G − n − G − n − et nous avons la décomposition de A commeproduit de matrice triangulaire inférieure par une matrice triangulaire supé-rieure A = LU On peut vérifier facilement que L = . . . . . . a (0)21 a (0)11 . . . . . . a (0)31 a (0)11 a (1)32 a (1)22 . . . ... ...... ... . . . . . . a (0)( l +1)1 a (0)11 a (1)( l +1)2 a (1)22 . . . a ( l − l +1) l a ( l − ll . . . ... ... ... ... a (0) n a (0)11 a (1)( n )2 a (1)22 . . . a ( l − nl a ( l − ll . . . .3. MATRICES DE COMMUTATION TENSORIELLE ET EQUATIONS MATRICIELLES Méthode de Cholesky
Maintenant, supposons A est une matrice symé-trique et définie positive. Alors, la méthode de Cholesky consiste à décom-poser A comme le produit A = G T G avec G est une matrice triangulaire supérieure et G T son transposée.Laissons nous d’abord généraliser cette décomposition. Définition 24
Soit A = ( a ij ) ≤ i,j ≤ n une matrice complexe symétrique. Nousappelons matrice de Gauss de A la matrice triangulaire supérieure U ( A ) ,obtenue en transformant A par l’élimination de Gauss ci-dessus. Proposition 25
Soit A = ( a ij ) ≤ i,j ≤ n une matrice complexe symétrique,telle que det ( A ) = 0 , U ( A ) = u u . . . u n u . . . u n ... ... . . . ... . . . u nn la matrice de Gauss de A . Alors A peut être décomposée comme le produit A = G T G avec G = u √ u u √ u . . . u n √ u u √ u . . . u n √ u ... ... . . . ... . . . u nn √ u nn où √ u ii une racine carrée du nombre complexe u ii . Preuve. U ( A ) = a (0)11 a (0)12 . . . a (0)1 n a (1)22 . . . a (1)2 n ... ... . . . ... . . . a ( n − nn CHAPITRE 2. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE L ( A ) = . . . . . . a (0)21 a (0)11 . . . . . . a (0)31 a (0)11 a (1)32 a (1)22 . . . ... ...... ... . . . . . . a (0)( l +1)1 a (0)11 a (1)( l +1)2 a (1)22 . . . a ( l − l +1) l a ( l − ll . . . ... ... ... ... a (0) n a (0)11 a (1)( n )2 a (1)22 . . . a ( l − nl a ( l − ll . . . A = L ( A ) D − DU ( A ) avec D = q a (0)11 . . . q a (1)22 . . . ... ... . . . ... . . . √ a ( n − nn Soit G = DU ( A ) . Comme A est symétrique, d’où L ( A ) D − = G T . Exemple 26
Considérons les deux systèmes d’quations linéaires suivants x − x + x = 3 − x + 5 x + 2 x − x = − x + 5 x + x = − x − x + x + 4 x = 2 x − x + x = 3 − x + 5 x + 2 x − x = 12 x + 5 x + x = 2 x − x + x + 4 x = 2 .3. MATRICES DE COMMUTATION TENSORIELLE ET EQUATIONS MATRICIELLES dont la seule différence est les seconds membres et leur matrice est symé-trique. Ainsi, résolvons le premier par la méthode d’élimination de Gauss etle second par la décomposition LU ou la méthode de Cholesky. − − − −
30 2 5 11 − x x x x = − − − − −
20 2 5 10 − x x x x = − − − − − −
20 2 5 10 − x x x x = − − − − − −
20 0 4 20 0 2 2 x x x x = − − − − − −
20 0 4 20 0 2 2 x x x x = − − − − − −
20 0 4 20 0 0 1 x x x x = − − x = 1 , x + 2 = − , x = − , x − − − , x = 1 , x − , x = 3 Maintenant, passons au deuxième système, qui peut s’écrire, d’après laProposition 25, G T GX = B et être résolu en écrivant (cid:26) G T Y = BGX = Y − − y y y y = CHAPITRE 2. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE y = 3 , y = 1 , y = 2 , y = 2 , y = 0 , − y = 2 , y = 1 − −
10 0 2 10 0 0 1 x x x x = x = 1 , x + 1 = 0 , x = − , x − − , x = , x − + 1 = 3 , x = Dans cette sous-section, les transformées de certaines équations matri-cielles, aux équations matricielles de la forme (2.4), se transforment l’une àl’autre à aide d’une MCT. A · X · B = C Soient A , B , et C , matrices m × n , p × q et m × q , respecti-vement. Considérons l’équation matricielle A · X · B = C , par rapport à X ,matrice n × q . Cette équation peut se transformer au système d’équationslinéaires dont l’équations matricielle est [38] (cid:0) A ⊗ B T (cid:1) · L ( X ) = L ( C ) (2.7)ou (cid:0) B T ⊗ A (cid:1) · L (cid:0) X T (cid:1) = L (cid:0) C T (cid:1) (2.8)L’équation (2 . s’obtient en multipliant l’équation (2 . par la MCT U m ⊗ q et en utilisant la remarque .Réciproquement, l’équation (2 . s’obtient en multipliant l’équation (2 . parla MCT U q ⊗ m . A · X + X · B = C L’équation matricielle A · X + X · B = C , où A est unematrice m × m , B est une matrice n × n et C est une matrice m × n , peutse transformer au système d’équations linéaires dont l’équations matricielleest [38] (cid:0) A ⊗ I n + I m ⊗ B T (cid:1) · L ( X ) = L ( C ) (2.9)où I n est la matrice unité n × n , ou (cid:0) I n ⊗ A + B T ⊗ I m (cid:1) · L (cid:0) X T (cid:1) = L (cid:0) C T (cid:1) (2.10)L’équation (2 . s’obtient en multipliant l’équation (2 . par la MCT U m ⊗ n .Réciproquement, l’équation (2 . s’obtient en multipliant l’équation (2 . par la MCT U n ⊗ m . hapitre 3VERS UNE APPLICATION ENPHYSIQUE DES PARTICULES Ce chapitre est basé sur Refs. [28, 39, 40, 41]
Soit n ∈ N , n ≥ . Les matrices de Gell-Mann généralisées ou ma-trices de Gell-Mann n × n sont des matrices hermitiennes et de trace nulles Λ , Λ ,. . . , Λ n − qui satisfont la relation de commutation (Cf. par exemple[42]) [Λ a , Λ b ] = 2 i n − X a =1 f abc Λ c (3.1)où f abc sont les constantes de structure qui sont réelles et totalement antisy-métriques, et T r (Λ a , Λ b ) = 2 δ ab avec δ ab le symbole de Kronecker.Pour n = 2 , les matrices de Gell-Mann × sont les matrices de Pauli ha-bituelles. Pour n = 3 , elles correspondent aux huit matrices de Gell-Mann × , qui se construisent de la façon suivante : les trois premières sont desmatrices × obtenues en ajoutant aux trois matrices de Pauli troisièmeligne et troisième colonne formées de 0, à savoir290 CHAPITRE 3. VERS UNE APPLICATION EN PHYSIQUE DES PARTICULES λ = , λ = − i i , λ = − Les deux secondes matrices × sont obtenues en ajoutant aux deux ma-trices Pauli non-diagonales deuxième ligne et deuxième colonne formées de0, à savoir λ = , λ = − i i Les deux troisième matrices × sont obtenues en ajoutant aux deux ma-trices Pauli non-diagonales première ligne et première colonne formées de 0,à savoir λ = , λ = − i i Et finalement, la dérnière matrice est une matrice diagonale qui est hermi-tienne, trace nulle avec
T r (cid:0) λ (cid:1) = 2 à savoir λ = √ − De façon analogue, nous pouvons construire à partir des matrices de Gell-Mann ( n − × ( n − les matrices de Gell-Mann n × n . Les premières [( n − − matrices de Gell-Mann n × n sont obtenues en ajoutant n -ième ligne et n -ième colonne formées de 0 à chaque matrices de Gell-Mann ( n − × ( n − . Les (2 n − matrices de Gell-Mann n × n sont les matricessymétriques et les matrices antisymétriques non-diagonales suivantes Λ ( n − = . . . . . . ... . . . ...... . . . ... . . . . . . , Λ ( n − +1 = . . . . . . − i ... . . . ...... . . . ... i . . . . . . , .1. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE ET MATRICES DE GELL-MANN Λ ( n − +2 = . . . . . . ... . . . . . . ... . . . . . . , Λ ( n − +3 = . . . . . . − i ... . . . . . . ... i . . . . . . ,..., Λ n − = . . . . . . ... ...... . . . ...... . . .
00 10 . . . . . . . . . , Λ n − = . . . . . . ... ...... . . . ...... . . . − i . . . . . . . . . i et finalement, la dérnière matrice est une matrice diagonale, hermitienne etde trace nulle avec T r (cid:0) Λ n − (cid:1) = 2 à savoir Λ n − = √ C n . . . . . . . . .
00 1 ... . . . ...... . . . ... . . . . . . . . . − ( n − Elles satisfont aussi la relation d’anticommutation (Cf. par exemple[42]) { Λ a , Λ b } = 4 n δ ab I n + 2 n − X c =1 d abc Λ c (3.2)où les constantes d abc sont réelles et totalement symétriques, et en utilisantles relations (3.1) et (3.2), nous avons Λ a Λ b = 2 n δ ab + n − X c =1 d abc Λ c + i n − X c =1 f abc Λ c (3.3)Les constantes de structure satisfont la relation (Cf. par exemple[42]) n − X e =1 f abe f cde = 2 n ( δ ac δ bd − δ ad δ bc ) + n − X e =1 d ace d dbe − n − X e =1 d ade d bce (3.4)2 CHAPITRE 3. VERS UNE APPLICATION EN PHYSIQUE DES PARTICULES
Pour la démonstration du Théorème 27 ci-dessous, notons, pour ≤ i 00 1 − ...... . . . . . . ,. . . , Λ ( n − = √ C n . . . 00 1 1 ...... . . . . . . − ( n − Théorème 27 Nous avons U n ⊗ n = 1 n I n ⊗ I n + 12 n − X i =1 Λ i ⊗ Λ i (3.5) Preuve. I n ⊗ I n = (cid:0) δ i i j j (cid:1) = (cid:0) δ i j δ i j (cid:1) U n ⊗ n = (cid:0) δ i j δ i j (cid:1) (3.1.6)où, i i sont des indices de ligne j j sont des indices de colonne [4].Considérons d’abord les C n matrices de Gell-Mann n × n symétriques, qui .1. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE ET MATRICES DE GELL-MANN Λ ( ij ) = (cid:16) Λ ( ij ) lk (cid:17) ≤ l ≤ n, ≤ k ≤ n = (cid:0) δ il δ jk (cid:1) ≤ l ≤ n, ≤ k ≤ n + (cid:0) δ jl δ ik (cid:1) ≤ l ≤ n, ≤ k ≤ n = (cid:0) δ il δ jk + δ jl δ ik (cid:1) ≤ l ≤ n, ≤ k ≤ n Alors Λ ( ij ) ⊗ Λ ( ij ) = (cid:16)(cid:0) Λ ( ij ) ⊗ Λ ( ij ) (cid:1) l l k k (cid:17) = (cid:0) δ il δ jk + δ jl δ ik (cid:1) (cid:0) δ il δ jk + δ jl δ ik (cid:1) l l indices de ligne, k k indices de colonne.C’est-à-dire (cid:0) Λ ( ij ) ⊗ Λ ( ij ) (cid:1) l l k k = δ il δ jk δ il δ jk + δ il δ jk δ jl δ ik + δ jl δ ik δ il δ jk + δ jl δ ik δ jl δ ik Les C n matrices de Gell-Mann n × n , antisymétriques peuvent s’écrire Λ [ ij ] = (cid:16) Λ [ ij ] lk (cid:17) ≤ l ≤ n, ≤ k ≤ n = (cid:0) − iδ il δ jk + iδ jl δ ik (cid:1) ≤ l ≤ n, ≤ k ≤ n Alors Λ [ ij ] ⊗ Λ [ ij ] = (cid:16)(cid:0) Λ [ ij ] ⊗ Λ [ ij ] (cid:1) l l k k (cid:17)(cid:0) Λ [ ij ] ⊗ Λ [ ij ] (cid:1) l l k k = − δ il δ jk δ il δ jk + δ il δ jk δ jl δ ik + δ jl δ ik δ il δ jk − δ jl δ ik δ jl δ ik et X ≤ i 20 0 0 (cid:19) , Λ = (cid:18) √ (cid:19) . Nous pouvons vérifier faci-lement que U ⊗ = 12 I +2 × ⊗ I × + 12 X a =1 Λ + a ⊗ Λ a où Λ + a est le conjugué hermitien de Λ a .– Matrices de Gell-Mann × De façon analogue, mais cette fois nous ajoutons aux matrices de Pauliet I une troisième ligne formé de zeros, au lieu de colonne. Alors, nousavons un système (Λ a ) a de matrices × qui satisfont U ⊗ = 12 I +3 × ⊗ I × + 12 X a =1 Λ + a ⊗ Λ a En effet, U n ⊗ p = U Tn ⊗ p = U + n ⊗ p , pour tous n, p ∈ N , n, p > .– Matrices de Gell-Mann × Utilisant encore la même manière, mais pour ce cas nous ajoutons auxmatrices de Pauli et I troisème et quatrième colonnes formées de ze-ros. Alors, nous avons un système formé par quatre matrices × I × , Λ , Λ , Λ . Et pour obtenir une base de C × , nous ajoutons ausystème les matrices Λ = (cid:18) √ (cid:19) , Λ = (cid:18) √ (cid:19) , Λ = (cid:18) √ 20 0 0 0 (cid:19) , Λ = (cid:18) √ (cid:19) . Le système satisfait la relation U ⊗ = 12 I +2 × ⊗ I × + 12 X a =1 Λ + a ⊗ Λ a Définition 28 Soient n, p ∈ N , p > n > . Nous appelons matrices de Gell-Mann n × p les matrices n lignes et p colonnes Λ , Λ , ..., Λ n − , Λ n , Λ n +1 ,..., Λ np − telles que : Λ , Λ , ..., Λ n − sont obtenues en ajoutant aux matrices de Gell-Mann n × n , ( n + 1) -ième, ( n + 2) -ième, ..., p -ième colonnes, formées de zeros ; Λ n = √ E (1 ,n +1) n × p , Λ n +1 = √ E (2 ,n +1) n × p , ..., Λ n + n − = √ E ( n,n +1) n × p , Λ n + n = √ E (1 ,n +2) n × p , Λ n + n +1 = √ E (2 ,n +2) n × p , ..., Λ n +2 n − = √ E (1 ,n +2) n × p ,...................................................................................................................., Λ n ( p − = √ E (1 ,p ) n × p , Λ n ( p − = √ E (2 ,p ) n × p , ..., Λ np − = √ E ( n,p ) n × p . CHAPITRE 3. VERS UNE APPLICATION EN PHYSIQUE DES PARTICULES Alors, nous définissons les matrices de Gell-Mann p × n comme les matricesobtenues en prenant les conjugués hermitiens des matrices de Gell-Mann n × p . Proposition 29 Pour n, p ∈ N , p, n > , considérons le système de matricesde Gell-Mann n × p , Λ , Λ , ..., Λ np − . Alors, U n ⊗ p = 1inf( n, p ) I + n × p ⊗ I n × p + 12 np − X a =1 Λ + a ⊗ Λ a (3.1.7) Preuve. Supposons p > n . np − X a = n Λ + a ⊗ Λ a = ( n,p ) X ( j,l )=(1 ,n +1) E ( j,l ) T n × p ⊗ E ( j,l ) n × p (3.1.8)En utilisant la proposition 6 et la formule (3.5) nous avons ( n,n ) X ( j,l )=(1 , E ( j,l ) T n × n ⊗ E ( j,l ) n × n = 1 n I n ⊗ I n + 12 n − X a =1 Λ ( n ) a ⊗ Λ ( n ) a (3.1.9)En ajoutant, dans (3.1.9), aux termes à gauche de ⊗ ’s p − n lignes, ( n + 1) -ième, ( n + 2) -ième, ..., p -ième lignes, et à droite p − n colonnes, ( n + 1) -ième, ( n + 2) -ième, ..., p -ième colonnes, formées de zeros nous avons ( n,p ) X ( j,l )=(1 , E ( j,l ) T n × p ⊗ E ( j,l ) n × p − ( n,p ) X ( j,l )=(1 ,n +1) E ( j,l ) T n × p ⊗ E ( j,l ) n × p = 1 n I + n × p ⊗ I n × p + 12 n − X a =1 Λ + a ⊗ Λ a En utilisant la proposition 6 et (3.1.8) nous avons (3.1.7).Maintenant, nous allons donner quelques proprités des matrices de Gell-Mann rectangles. Proposition 30 Pour n, p ∈ N , p, n > , soit (Λ a ) ≤ a ≤ np − un système dematrices de Gell-Mann n × p . Alors, T r (Λ + a Λ b ) = 2 δ ab . Proposition 31 Pour n, p ∈ N , p > n > , soit (Λ a ) ≤ a ≤ np − un systèmede matrices de Gell-Mann n × p . Alors, Λ a Λ + b − Λ b Λ + a = i n − X c =1 f abc Λ ( n ) c où les f abc sont les composantes d’un tenseur totalement antisymétrique, avec f abc = 0 si au moins un de a , b , c est dans { n , n + 1 , ..., np − } . .1. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE ET MATRICES DE GELL-MANN Conclusion Etant inspiré par une façon de construire les matrices de Gell-Mann n × n à partir des matrices de Gell-Mann ( n − × ( n − , nous pouvons construireune base de C n × p , dont les éléments font la généralisation de l’expression de U n ⊗ n en termes de matrices de Gell-Mann n × n à l’expression de U n ⊗ p . p ⊗ n en termes de matrices de Gell-Mann générali-sées Des théorèmes de la sous-section 2.2.3 et des relations sur les matricesde Gell-Mann généralisées sont dont nous avons besoin pour exprimer unematrice de permutation tensorielle en termes de matrices de Gell-Mann gé-néralisées. Dans cette sous-section, nous traitons quelques exemples. U n ⊗ ( σ ) σ = (1 2 3) En utilisant le Lemme 21, σ = (1 2)(2 3) , et par utilisation de la proposition22 U n ⊗ ((1 2 3)) = U n ⊗ ((1 2)) · U n ⊗ ((2 3)) (3.1.10)Nous pouvons vérifier facilement que U n ⊗ ((1 2)) = 1 n I n ⊗ I n ⊗ I n + 12 n − X a =1 Λ a ⊗ Λ a ⊗ I n et U n ⊗ ((2 3)) = 1 n I n ⊗ I n ⊗ I n + 12 n − X a =1 I n ⊗ Λ a ⊗ Λ a Ainsi, (3.1.10) devient U n ⊗ ((1 2 3)) = 1 n I n ⊗ I n ⊗ I n + 12 n n − X a =1 I n ⊗ Λ a ⊗ Λ a + 12 n n − X a =1 Λ a ⊗ Λ a ⊗ I n + 14 n − X a =1 n − X b =1 Λ a ⊗ Λ a Λ b ⊗ Λ b CHAPITRE 3. VERS UNE APPLICATION EN PHYSIQUE DES PARTICULES D’où, à l’aide de la relation (3.3) U n ⊗ ((1 2 3)) = 1 n I n ⊗ I n ⊗ I n + 12 n n − X a =1 I n ⊗ Λ a ⊗ Λ a + 12 n n − X a =1 Λ a ⊗ Λ a ⊗ I n + 12 n n − X a =1 Λ a ⊗ I n ⊗ Λ a − i n − X a =1 n − X b =1 n − X c =1 f abc Λ a ⊗ Λ b ⊗ Λ c + 14 n − X a =1 n − X b =1 n − X c =1 d abc Λ a ⊗ Λ b ⊗ Λ c (3.1.11)2) σ = (1 3 2) A l’aide du Lemme 21, σ = (1 3)(3 2) , et de la proposition 18, nous avons U n ⊗ ((1 3)) = 1 n I n ⊗ I n ⊗ I n + 12 n − X a =1 Λ a ⊗ I n ⊗ Λ a et par utilisation de la même méthode U n ⊗ ((1 3 2)) = 1 n I n ⊗ I n ⊗ I n + 12 n n − X a =1 I n ⊗ Λ a ⊗ Λ a + 12 n n − X a =1 Λ a ⊗ Λ a ⊗ I n + 12 n n − X a =1 Λ a ⊗ I n ⊗ Λ a + i n − X a =1 n − X b =1 n − X c =1 f abc Λ a ⊗ Λ b ⊗ Λ c + 14 n − X a =1 n − X b =1 n − X c =1 d abc Λ a ⊗ Λ b ⊗ Λ c La différence entre U n ⊗ ((1 2 3)) et U n ⊗ ((1 3 2)) est le signe moins devantle cinquième terme. U n ⊗ ( σ ) , σ = (1 2 3 4) A l’aide du Lemme 21, σ = (1 2 3)(3 4) , de la formule (3.1.11), de laproposition 22 et des relations (3.3) et (3.4), nous avons .1. MATRICES DE PERMUTATION TENSORIELLE ET MATRICES DE GELL-MANN U n ⊗ ( σ ) = 1 n I n ⊗ I n ⊗ I n ⊗ I n + 12 n n − X a =1 I n ⊗ Λ a ⊗ Λ a ⊗ I n + 12 n n − X a =1 Λ a ⊗ Λ a ⊗ I n ⊗ I n + 12 n n − X a =1 Λ a ⊗ I n ⊗ Λ a ⊗ I n + 12 n n − X a =1 I n ⊗ I n ⊗ Λ a ⊗ Λ a + 12 n n − X a =1 I n ⊗ Λ a ⊗ I n ⊗ Λ a + 12 n n − X a =1 Λ a ⊗ I n ⊗ I n ⊗ Λ a + 14 n n − X a =1 n − X b =1 Λ a ⊗ Λ a ⊗ Λ b ⊗ Λ b + 14 n n − X a =1 n − X b =1 Λ a ⊗ Λ b ⊗ Λ b ⊗ Λ a − n n − X a =1 n − X b =1 Λ a ⊗ Λ b ⊗ Λ a ⊗ Λ b + 14 n n − X a =1 n − X b =1 n − X c =1 d abc I n ⊗ Λ a ⊗ Λ b ⊗ Λ c − i n n − X a =1 n − X b =1 n − X c =1 f abc I n ⊗ Λ a ⊗ Λ b ⊗ Λ c + 14 n n − X a =1 n − X b =1 n − X c =1 d abc Λ a ⊗ I n ⊗ Λ b ⊗ Λ c − i n n − X a =1 n − X b =1 n − X c =1 f abc Λ a ⊗ I n ⊗ Λ b ⊗ Λ c + 14 n n − X a =1 n − X b =1 n − X c =1 d abc Λ a ⊗ Λ b ⊗ Λ c ⊗ I n − i n n − X a =1 n − X b =1 n − X c =1 f abc Λ a ⊗ Λ b ⊗ Λ c ⊗ I n + 14 n n − X a =1 n − X b =1 n − X c =1 d abc Λ a ⊗ Λ b ⊗ I n ⊗ Λ c − i n n − X a =1 n − X b =1 n − X c =1 f abc Λ a ⊗ Λ b ⊗ I n ⊗ Λ c + 18 n − X a =1 n − X b =1 n − X c =1 n − X e =1 n − X g =1 ( − if abc d ceg + id abc f ceg + d aec d bgc − d agc d cbe + d abc d ceg )Λ a ⊗ Λ b ⊗ Λ g ⊗ Λ e U ⊗ ( σ ) , σ ∈ S Maintenant, nous donnons la formule donnant U ⊗ ( σ ) , en termes desmatrices de Pauli, bien attendu. En utilisant la relation (Cf. par exemple[33]) σ l σ k = δ lk I + i X m =1 ε lkm σ m CHAPITRE 3. VERS UNE APPLICATION EN PHYSIQUE DES PARTICULES où ε ijk est totalement antisymétrique, qui est égal à 1 si ( i j k ) = (1 2 3) ,nous avons U ⊗ (1 2 3) = 14 I ⊗ I ⊗ I + 14 X l =1 I ⊗ σ l ⊗ σ l + 14 X l =1 σ l ⊗ I ⊗ σ l + 14 X l =1 σ l ⊗ σ l ⊗ I − i X i =1 3 X j =1 3 X k =1 ε ijk σ i ⊗ σ j ⊗ σ k et U ⊗ (1 3 2) = 14 I ⊗ I ⊗ I + 14 X l =1 I ⊗ σ l ⊗ σ l + 14 X l =1 σ l ⊗ I ⊗ σ l + 14 X l =1 σ l ⊗ σ l ⊗ I + i X i =1 3 X j =1 3 X k =1 ε ijk σ i ⊗ σ j ⊗ σ k Conclusion Partant du fait qu’une MPT est un produit de matrices de transpositiontensorielle, le théorème 18 et avec l’aide de l’expression d’une MCT en termesdes matrices de Gell-Mann généralisées, nous pouvons exprimer une MPTcomme combinaison linéaire des produits tensoriels des matrices de Gell-Mann généralisées.Nous n’avons pas l’intention de chercher une formule générale. Cependant,nous avons montré que toute MPT peut être exprimé en termes de matricesde Gell-Mann généralisées et puis l’expression peut être simplifiée en utilisantles relations entre ces matrices. Les fermions ont les nombres quantiques I , l’isospin et Y , l’hypercharge.La charge électrique Q d’un fermion est donnée par la relation de Gell-Mann-Nishijima Q = I + Y (3.2.1)Pour les fermions du modèle standard (MS), ces nombres quantiques sontdonnés par le tableau suivant. .2. MCT ET CHARGES ELECTRIQUES DES FERMIONS Q I Y Leptons Neutres ν eL , ν µL , ν τL / − Leptons Chargés e L , µ L , τ L − − / − e R , µ R , τ R − − Quarks u , c , t u rL , u bL , u gL , c rL , c bL , c gL , t rL , t bL , t gL / / / u rR , u bR , u gR , c rR , c bR , c gR , t rR , t bR , t gR / / Quarks d , s , b d rL , d bL , d gL , s rL , s bL , s gL , b rL , b bL , b gL − / − / / d rR , d bR , d gR , s rR , s bR , s gR , b rR , b bR , b gR − / − / Une relation matricielle de Gell-Mann-Nishijima pour huit leptons etquarks du MS de la même generation a été proposée par [11], dans la formula-tion dans l’espace des phases. Selon la formule (1.5) il est facile de remarquerque cette relation matricielle de Gell-Mann-Nishijima peut être exprimée entermes de U ⊗ . Dans cette section, nous allons écrire cette relation en cer-taines formes dont une interpétation physique de l’action de MCT U ⊗ serapossible. Alors, les valeur propres et les vecteur propres de U ⊗ prendrontdes sens physiques. Dans la sous-section 3.2.3, pour inclure plus de fermionsdu MS nous écrirons une formule matricielle donnant les charges électriquesen termes de la MCT ⊗ , U ⊗ = Alors le sens physique donné aux valeurs propres de la MCT U ⊗ est main-tenu. Dans la sous-section 3.2.4, pour inclure tous les fermions du MS nousécrirons la matrice des charges électriques en termes de MCT U ⊗ . Pour lescalculs nous avons utilisé SCILAB, un logiciel libre pour l’analyse numerique. Nous reécrivons ici la relation de Gell-Mann-Nishijima, qui donne l’OCEdes huit fermions, deux leptons et six quarks colorés, d’une seule génération4 CHAPITRE 3. VERS UNE APPLICATION EN PHYSIQUE DES PARTICULES du MS, par exemple e L , ν eL , u rL , u bL , u gL , d rL , d bL , et d gL , dans l’approche dansl’espace des phases [11]. Q = I + Y (3.2.2)oú I = 12 σ ⊗ σ ⊗ σ l’opérateur isospin , Y = X i =1 σ i ⊗ σ i ! ⊗ σ l’opérateur hypercharge.Nous remarquons que les opérateurs I et Y agissent indépendammentsur le champ de vecteur puisque dans l’expression de I , σ est au côté droitdu produit tensoriel et dans l’expression de Y , 13 3 X i =1 σ i ⊗ σ i ! est au côtégauche. ⊗ Selon la formule (1.5) nous pouvons introduire l’opérateur U ⊗ dansl’expression de l’opérateur hypercharge Y , et alors dans l’expression de l’OCE Q . Y = 23 U ⊗ ⊗ σ − σ ⊗ σ ⊗ σ D’où Q = 12 σ ⊗ σ ⊗ σ + 13 (cid:18) U ⊗ ⊗ σ − σ ⊗ σ ⊗ σ (cid:19) (3.2.3)ou Q = σ ⊗ σ ⊗ (cid:16) σ α σ (cid:17) + 13 (cid:18) U ⊗ − α σ ⊗ σ (cid:19) ⊗ σ (3.2.4)avec α un paramètre réel.Si α = 0 , nous avons la relation (3.2.3), c’est-à-dire (3.2.2). .2. MCT ET CHARGES ELECTRIQUES DES FERMIONS α = − , Q = σ ⊗ σ ⊗ Q L + 13 ( U ⊗ + σ ⊗ σ ) ⊗ σ (3.2.5)avec Q L = (cid:18) − (cid:19) dont la diagonale est formée par les charges électriquesde ν eL et de e L .Si α = 1 , Q = σ ⊗ σ ⊗ Q Q + 13 ( U ⊗ − σ ⊗ σ ) ⊗ σ (3.2.6)avec Q Q = (cid:18) / − / (cid:19) dont la diagonale est formée par les charges élec-triques d’un quark u et d’un quark d .Les quatre valeurs propres de U ⊗ sont une fois − et trois fois +1 . √ − un vecteur propre de U ⊗ associé à la valeur propre − , quiest, selon (3.2.5), associé aux leptons. , √ , sont les vecturs propres associés à +1 , qui est, selon(3.2.6), associés aux trois quarks colorés.La diagonale de Q L = (cid:18) − (cid:19) sont formée par les charges de e L et ν eL .La diagonale de Q Q = (cid:18) / − / (cid:19) sont formée par les charges de quark u (up) et de quark d (down). Le nombre de valeur propre − de U ⊗ est lenombre de génération de leptons. +1 trois fois valeur propre de U ⊗ , c’est-à-dire le nombre de couleurs. D’où, les valeurs propres de Q sont les chargesdes huit fermions mentionés ci-dessus.6 CHAPITRE 3. VERS UNE APPLICATION EN PHYSIQUE DES PARTICULES ⊗ Soit, par exemple, Q L = − − dont la diagonale est formée parla charge électrique d’un neutrino et les charges électriques de deux leptonschargés et Q Q = / − / − / dont la diagonale est formée par lacharge électrique d’un quark u (un quark c (charm) ou d’un quark t (top))et les charges électriques d’un quarks d, d’un quarks s (strange) ou quarks b(bottom). Q Q − Q L = 23 λ (3.2.7)où λ est la matrice unitaire × .D’où, λ ⊗ λ ⊗ Q Q + 13 ( U ⊗ − λ ⊗ λ ) ⊗ λ = λ ⊗ λ ⊗ Q L + 13 ( U ⊗ + λ ⊗ λ ) ⊗ λ Nous notons cette expression Q , comme un OCE.Les valeurs propres de la MCT U ⊗ sont − trois fois et +1 six fois. D’aprèsl’équation ci-dessus les valeurs propres − sont associées aux leptons tandisque les valeurs propres +1 sont associées aux quarks. Les trois valeurs propres − sont associées aux trois générations de leptons, tandis que les trois valeurspropres +1 sont associées aux trois couleurs de quarks gauchers et les troisautres sont associées aux trois couleurs de quarks droitiers. La diagonale de Q L sont formés par les charges des leptons du MS dans une même génération,par exemple ν eL , e L et e R . La diagonale de Q Q sont formés par les chargesd’un quark u , d’un quark d et d’un quark s . D’où, les vingt sept valeurspropres de Q , − six fois, trois fois, − / douze fois et +2 / six fois,peuvent être les charges des fermions du MS suivants : ν eL , ν µL , ν τL , e L , µ L , τ L , e R , µ R , τ R , u rL , u bL , u gL , u rR , u bR , u gR , d rL , d bL , d gL , d rR , d bR , d gR , s rL , s bL , s gL , s rR , s bR , s gR . Q Q = 12 λ + 12 √ λ D’après la relation (3.5) pour n = 3 , la MCT U ⊗ peut s’écrire en termesde matrices de Gell-Mann de la façon suivante U ⊗ = 13 λ ⊗ λ + 12 X i =1 λ i ⊗ λ i .2. MCT ET CHARGES ELECTRIQUES DES FERMIONS Q = λ ⊗ λ ⊗ (cid:18) − λ + 12 λ + 12 √ λ (cid:19) + 16 X i =1 λ i ⊗ λ i ! ⊗ λ Q peut s’écrire sous la forme de la relation (3.2.2), où I = 12 ( λ ⊗ λ ⊗ λ − τ ⊗ τ ⊗ τ − τ ⊗ τ ⊗ τ − τ ⊗ τ ⊗ τ ) Y = τ ⊗ τ ⊗ τ + τ ⊗ τ ⊗ τ + τ ⊗ τ ⊗ τ + 1 √ λ ⊗ λ ⊗ λ + 23 ( U ⊗ − λ ⊗ λ ) ⊗ λ avec τ = , τ = et τ = .D’après (2.3), I et Y commutent, donc ils sont simultanément diagona-lisables.Si nous prenons Q L = − et Q Q = / / − / larelation ci-dessus entre Q L et Q Q sera maintenue. Les vingt sept valeurspropres de l’OCE Q sont − trois fois, six fois, − / six fois et +2 / douzefois. Ces valeurs propres peuvent être les charges des fermions suivants : ν eL , ν µL , ν τL , ν eR , ν µR , ν τR , e L , µ L , τ L , c rL , c bL , c gL , c rR , c bR , c gR , t rL , t bL , t gL , t rR , t bR , t gR , b rL , b bL , b gL , b rR , b bR , b gR . Les neutrinos gauchers ν eR , ν µR , ν τR dont la charge est ne sont pas des fermions du MS. Pour inclure tous les fermions du MS, nous allons construire un OCE entermes de la MCT U ⊗ .Les valeurs propres de la MCT U ⊗ sont − six fois et +1 dix fois. Donc,l’OCE Q = Λ ⊗ Λ ⊗ Q Q + 13 ( U ⊗ − Λ ⊗ Λ ) ⊗ Λ = Λ ⊗ Λ ⊗ Q L + 13 ( U ⊗ +Λ ⊗ Λ ) ⊗ Λ CHAPITRE 3. VERS UNE APPLICATION EN PHYSIQUE DES PARTICULES où Λ est la matrice unité × et Q Q = − / / − / / , Q L = − − . Q a soixante quatre valeurs propres.La diagonale de Q L est formée par les charges des quatre leptons d’une mêmegénération, par exemple e L , ν eL , e R et ν eR , tandis que la diagonale de Q Q est formée par les charges d’un quark u , d’un quark d , d’un quark s (ou d’unquark b ) et quark c (ou d’un quark t ). Pour la MCT U ⊗ , les quatre valeurspropres − sont associées aux quatre générations de leptons, les trois valeurspropres +1 et une valeur propre − , sont respectivement associées aux troiscouleurs de quarks gauchers et le lepton qui forment ensemble un leptoquarkgaucher du modèle de Pati-Salam [43] (cid:18) u rL u bL u gL ν eL d rL d bL d gL e L (cid:19) = (cid:18) u rL u bL u gL u wL d rL d bL d gL d wL (cid:19) , (cid:18) s rL s bL s gL ν µL c rL c bL c gL µ L (cid:19) = (cid:18) s rL s bL s gL s wL c rL c bL c gL c wL (cid:19) tandis que les autres trois valeurs propres +1 et une valeur propre − , sontrespectivement associées aux trois couleurs de quarks droitiers et le leptonqui forment ensemble un leptoquark droitier du modèle de Pati-Salam (cid:18) u rR u bR u gR ν eR d rR d bR d gR e R (cid:19) = (cid:18) u rR u bR u gR u wR d rR d bR d gR d wR (cid:19) , (cid:18) s rR s bR s gR ν µR c rR c bR c gR µ R (cid:19) = (cid:18) s rR s bR s gR s wR c rR c bR c gR c wR (cid:19) Ainsi, selon [44] nous avons considéré les leptons dans les leptoquarkscomme des quarks de couleur blanche.Finalement, les dernières quatre valeurs propres +1 sont associées auxquatre couleurs de quarks de la troisième génération, plus un quark de couleurjaune, à savoir (cid:18) t rL t bL t gL t yL b rL b bL b gL b yL (cid:19) , (cid:18) t rR t bR t gR t yR b rR b bR b gR b yR (cid:19) , et ça termine la liste des soixante quatre fermions fondamentaux, avec desneutrinos droitiers y inclus. Λ = , Λ = − i i , Λ = − , .2. MCT ET CHARGES ELECTRIQUES DES FERMIONS Λ = , Λ = − i 00 0 0 0 i , Λ = , Λ = − i i , Λ = √ − Λ = , Λ = − i i , Λ = , Λ = − i i , Λ = , Λ = − i i , Λ = √ − sont les matrices de Gell-Mann × .La formule (3.5) pour n = 4 , U ⊗ = 14 Λ ⊗ Λ + 12 X i =1 Λ i ⊗ Λ i donne Q = Λ ⊗ Λ ⊗ − 112 Λ − 136 Λ + √ 32 Λ − √ ! + 16 X i =1 Λ i ⊗ Λ i ! ⊗ Λ Conclusion Grâce à [11], nous avons un OCE pour deux leptons et six quarks colorésdu MS d’une seule génération. Cet OCE peut être exprimé en termes de laMCT U ⊗ . Un OCE pour plus de fermions du MS en trois générations a étéobtenu en termes de la MCT U ⊗ .L’expression de ces OCE, ainsi que celui qui est proposé par [11], peut êtreobtenue à partir de la relation (3.2.7) entre les charges électriques des lep-tons et quarks. Ces expressions permettent de dire que les valeurs propres − d’une MCT sont associées aux leptons tandis que les valeurs propres +1 sont associées aux quarks.D’après le sens que prend une valeur propre d’une MCT, pour obtenir unOCE pour tous les fermions du MS en termes de la MCT U ⊗ , nous sommesobligés d’introduire la quatrième génération de leptons, le modèle de lepto-quark de Pati-Salam et les quarks de couleur jaune.0 CHAPITRE 3. VERS UNE APPLICATION EN PHYSIQUE DES PARTICULES onclusion et perspectives La MCT ⊗ nous est apparue lorsque nous avons étudié l’équation de Diracet sa modification, l’équation de Dirac-Sidharth. Alors, nous avons construitdeux ensembles dont chacun contient six représentations de l’équation deDirac. L’un de ces ensembles contient la représentation de Dirac et celle deWeyl. Ils se transforment l’un en l’autre par application de la MCT ⊗ .Dans le chapitre 2, nous avons généralisé les MCT aux MPT. Une façon dedécomposer les MPT U p ⊗ n ( σ ) en produit avec des matrices de transpositiontensorielle y a été construite. Les MCT peuvent être utilisées pour obtenirdifférentes transformées de certaines équations matricielles en équations ma-tricielles de la forme AX = B .La généralisation de la relation (1.5) en termes de matrices de Gell-Mann gé-néralisées, qui sont des matrices de la physique des particules, et qui consti-tuent une généralisation des matrices de Pauli, nous permet d’espérer l’utili-sation des MCT dans ce domaine de la physique. A l’aide de la décompositiondes MPT U p ⊗ n ( σ ) en produit avec des matrices de transposition tensorielle,nous avons aussi obtenu une façon d’exprimer ces MPT en termes des ma-trices de Gell-Mann généralisées.Afin de généraliser la relation (1.5) aux MCT U n ⊗ p , avec n = p , nous avonsintroduit ce que nous appelons matrices de Gell-Mann rectangles. L’article[46] utilise les matrices élémentaires × . Nous nous demandons ce que nouspourrons obtenir si nous utilisons des matrices de Gell-Mann × au lieude matrices élémentaires × .Il existe d’autres généralisations des matrices de Pauli, entre autres les ma-trices de Kibler [47], les nonions [48] et la généralisation par produits tenso-riels des matrices de Pauli elles-mêmes [49, 50]. Notre tentative d’exprimerla MCT ⊗ en termes de matrices de Kibler et de nonions nous fait penserqu’il doit y avoir une autre généralisation des matrices de Pauli (Π i ) ≤ i ≤ n − satisfaisant U n ⊗ n = 1 n Π ⊗ Π + 1 n n − X i =1 Π i ⊗ Π i CHAPITRE 3. VERS UNE APPLICATION EN PHYSIQUE DES PARTICULES avec Π la matrice unité n × n . Pour n = 2 p , p entier naturel non nul, cetterelation est satisfaite par la généralisation par produits tensoriels des matricesde Pauli [51].Nous avons exprimé l’OCE, pour huit leptons et quarks du MS d’une mêmegénération, proposé par Zenczykowski dans la formulation dans l’espace desphases, en termes de la MCT U ⊗ , sous une forme dont des interprètationsphysiques seraient possibles. Nous avons remarqué que cet OCE peut êtreobtenu à l’aide de la relation (3.2.7) entre les charges des leptons et desquarks. A l’aide de cette même relation nous avons construit, en termes de laMCT U ⊗ un OCE incluant les fermions du MS. Ça nous oblige à introduirela quatrième génération de leptons, le modèle de leptoquark de Pati-Salamet les quarks de couleur jaune. Les expressions de ces OCE en termes deMCT nous permettent de remarquer que les valeurs propres − d’une MCTpeuvent être associées aux leptons tandis que les valeurs propres +1 peuventêtre associées aux quarks. nnexe AMatrices. Une généralisation Si les éléments d’une matrice sont considérés comme les composantes d’untenseur du second ordre, nous adoptons la notation habituelle pour une ma-trice, sans crochets à l’intérieur. Tandis que si les éléments sont, par exemple,considérés comme les composantes d’un tenseur du sixième ordre, trois foiscovariant et trois fois contravariant, alors nous représentons la matrice de lamanière suivante, par exemple M = (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (A.0.1) M = (cid:0) M i i i j j j (cid:1) i i i = 111 , , , , , , , , , , , indices de ligne j j j = 111 , , , , , , , indices de colonneLes premiers indices i et j sont les indices des crochets extérieurs que nousappelons crochet du premier ordre ; les deuxième indices i et j sont les534 ANNEXE A. MATRICES. UNE GÉNÉRALISATION indices des crochets suivants que nous appelons les crochets du deuxièmesordre ; les troisièmes indices i et j sont les indices des crochets les plus in-térieurs, de cet exemple, que nous appelons les crochets du troisièmes ordre.Ainsi, par exemple, M = 5 .Si nous supprimons les crochets du troisièmes ordre, alors les éléments dela matrice M sont considérés comme les composantes d’un tenseurs d’ordrequatre, deux fois contravariant et deux fois covariant.Considérons un cas plus général, M = (cid:0) M i i ...i k j j ...j k (cid:1) où les éléments de M sont considérés comme les composantes d’un tenseur d’ordre k , k fois contra-variant et k fois covariant. Les crochets du premier ordre sont les crochetsd’une matrice n × m ; les crochets du deuxièmes ordre sont les crochetsd’une matrice n × m ; · · · ; les crochets du k -ième ordre sont les crochetsd’une matrice n k × m k . M = ( γ st ) ≤ s ≤ n n ...n k , ≤ t ≤ m m ...m k si les élémentsde M sont considérés comme les composantes d’un tenseur du second ordre,une fois contravariant et une covariant. Alors, [45] s = n k . . . n n ( i − 1) + n k n k − . . . n ( i − 1) + . . . + n k ( i k − − 1) + i k (A.0.2) t = m k . . . m m ( j − 1) + m k m k − . . . m ( j − 1) + . . . + m k ( j k − + j k (A.0.3)Les éléments de la matrice N = (cid:0) N ijk (cid:1) = (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) , avec crochets inté-rieurs, peut être considérés comme les composantes d’un tenseur d’ordre trois,deux fois contravariant et une fois covariant. Alors, par exemple, ( N ) = 1 . nnexe BProduit Tensoriel de matrices Définition 32 Considérons A = ( A ij ) ∈ C m × n , B = ( B ij ) ∈ C p × r . La ma-trice définie par A ⊗ B = A B . . . A j B . . . A n B ... ... ... A i B . . . A ij B . . . A in B ... ... ... A m B . . . A mj B . . . A mn B obtenue après les multiplications par un scalar, A ij B , est appelée le produittensoriel de la matrice A par la matrice B . A ⊗ B ∈ C mp × nr Propriété 33 Le produit tensoriel de matrices est associatif. Propriété 34 Le produit tensoriel de matrices est distributif par rapport àl’addition. Propriété 35 ( B · A ) ⊗ ( B · A ) = ( B ⊗ B ) · ( A ⊗ A ) pour toutesmatrices B , A , B , B si les produits habituels de matrices B · A et B · A sont définis. Proposition 36 If A ⊗ B = O , then A = O or B = O , pour toutes matrices A , B . Proposition 37 I n ⊗ I m = I nm Proposition 38 Considérons ( A i ) ≤ i ≤ n × m une base de C n × m , ( B j ) ≤ j ≤ p × r une base de C p × r . Alors, ( A i ⊗ B j ) ≤ i ≤ n × m, ≤ j ≤ p × r est une base de C np × mr . ANNEXE B. PRODUIT TENSORIEL DE MATRICES Propriété 39 Considérons ( A i ) ≤ i ≤ n un système d’éléments de C p × r , ( B i ) ≤ i ≤ n un système d’éléments de C l × m , A ∈ C p × r et B ∈ C l × m . Si A ⊗ B = n X i =1 A i ⊗ B i (B.0.1) alors, pour toute matrice K , A ⊗ K ⊗ B = n X i =1 A i ⊗ K ⊗ B i Preuve. Prenons K = (cid:0) K j j (cid:1) ∈ C q × s , A i = (cid:16) A k ( i ) k (cid:17) , A = (cid:0) A k k (cid:1) , B i = (cid:16) B l ( i ) l (cid:17) , B = (cid:0) B l l (cid:1) . Alors, A k k K j j B l l = K j j A k k B l l et n X i =1 A k ( i ) k K j j B l ( i ) l = K j j n X i =1 A k ( i ) k B l ( i ) l sont respectivement les éléments de A ⊗ K ⊗ B et n X i =1 A i ⊗ K ⊗ B i sur la k j l -ième ligne, k j l -ième colonne. En utilisant (B.0.1), A k k B l l = n X i =1 A k ( i ) k B l ( i ) l . Donc, A k k K j j B l l = n X i =1 A k ( i ) k K j j B l ( i ) l . Ceci estvraie pour tous indices k , j , l , k , j , et l . D’où, A ⊗ K ⊗ B = n X i =1 A i ⊗ K ⊗ B i . ibliographie [1] Lin M.M., On the T-Stein equation X = AX T B + C , arXiv : 1210.5731v1[2] Zhang L. and Wu J., A Survey of Dynamical Matrices Theory , arXiv :1009.2210v5[3] Gilchrist A., Terno D.R. and Wood C.J., Vectorization of Quantum Ope-rations and its Use , arXiv : 0911.2539v2[4] Fujii K. : Introduction to Coherent States and Quantum InformationTheory , arXiv : quant-ph/0112090, prepared for 10th Numazu Meetingon Integral System, Noncommutative Geometry and Quantum theory,Numazu, Shizuoka, Japan, 7-9 Mai 2002(2002).[5] Chefles A., Gilson C.R. and Barnett S.M., Entanglement, Informationand Multiparticle Quantum Operations , arXiv : quant-ph/0006106v2[6] Wilmott C. and Wild P., On Interchanging the States of a Pair of Qudits ,arXiv : 0811.1545v1[7] Wang R.P., Varieties of Dirac Equation and Flavors of Leptons andQuarks , arXiv : hep-ph/0107184v2.[8] Rakotonirina, C. (2003). Produit Tensoriel de Matrices en Théorie deDirac , Thèse de Doctorat de Troisième Cycle, Université d’Antanana-rivo, Antananarivo, Madagascar, (2003).[9] Zhou B., Lam J. and Duan G-R., Toward Solution of Matrix Equation X = Af ( X ) B + C , arXiv : 1211.0346v1[10] Li N., Wang Q.-W., and Jiang J., An Efficient Algorithm for the Re-flexive Solution of the Quaternion Matrix Equation AXB + CX H D = F ,Journal of Applied Mathematics, vol. 2013, Article ID 217540, 14 pages,2013.[11] Zenczykowski P., Space, Phase Space and Quantum Numbers of Elemen-tary Particles , Acta Phys. Pol. B , 2053 (2007).[12] Raoelina Andriambololona, Rakotonirina C. A Study of the Dirac-Sidharth Equation , Electronic Journal of Theoretical Physics, EJTP 8,No. 25 (2011) 177-182 578 BIBLIOGRAPHIE [13] Einstein, A. On the Electrodynamics of Moving Bodies , Ann. der Phys.17, 891-921(1905).[14] Snyder, H.S., The Electromagnetic Field in Quantized Space-Time ,Phys.Rev., Vol.72, No.1, July 1, 68-71(1947).[15] Snyder, H.S., Quantized Space-time , Phys.Rev., Vol.71, No.1, January1, 38-41(1947).[16] Sidharth, B.G., Discrete Space-Time and Lorentz Symmetry ,Int.J.Th.Phys., Vol.43, No.9, September, 1857-1861(2004).[17] Glinka, L.A. CP violation, massive neutrinos, and its chiral conden-sate : new results from Snyder noncommutative geometry . Apeiron 17(4), 2010, 223-242(2010).[18] Glinka, L.A. Energy renormalization and integrability within the massiveneutrinos model , Apeiron 17 (4), 243-271(2010).[19] Glinka, L.A. Æthereal Multiverse : Selected Problems of LorentzSymmetry Violation, Quantum Cosmology, and Quantum Gravity ,arXiv :1102.5002v2(2011).[20] Sidharth, B.G., A Note on Non-commutativity and Mass Generation ,Int.J.Mod.Phys.E., Vol.14, No.6, , 927-929(2005).[21] Sakurai, J.J., Advanced Quantum Mechanics , Addison Wesley Publi-shing Company, 308-311(1967).[22] Bjorken J.D. and Drell S.D., Relativistic Quantum Mechanics , Mc-GrawHill, New York, , 39(1964).[23] Sidharth, B.G. The Mass of the Neutrinos , arXiv : 0904.3639v2(2009).[24] Messiah A., Mécanique Quantique , Dunod, Paris (1958).[25] Faddev L.D. : Algebraic Aspects of the Bethe Ansantz , Int.J.Mod.Phys.A,10, No 13, May, 1848(1995).[26] Verstraete F. : A Study of Entanglement in Quantum Informa-tion Theory , Thèse de Doctorat, Katholieke Universiteit Leuven, 90-93(2002).[27] Rakotonirina C., Tensor Permutation Matrices in Finite Dimensions ,arXiv : math.GM/0508053 (2005)[28] Rakotonirina C., Hanitriarivo Rakotoson, Expressing aTensor Permutation Matrix p ⊗ n in Terms of the Ge-neralized Gell-Mann Matrices On the Cholesky method , Journal of InterdisciplinaryMathematics, Vol. 12(2009), No.6 , pp. 875-882 IBLIOGRAPHIE On the Tensor Permutation Matrices , arXiv :1101.0910 (2011)[31] Raoelina Andriambololona : Algèbre linéaire et Multilinéaire. Applica-tions , tome 1, Collection LIRA, Madagascar, (1986).[32] Merris.R, Multilinear Algebra , Gordon and Breach Sciences Publi-shers,(1997).[33] Raoelina Andriambololona, Etude des Matrices Carrées de Dimension2 et quelques Applications , Ann.Univ.Madagascar, Série Sc. Nature etMath, No 9, (1972).[34] Démidovitch B. and Maron I., Eléments de Calcul Numérique . EditionsMir, (1979).[35] Nougier J.P., Méthodes de Calcul Numérique . Masson. Paris, (1987).[36] Kincaid D. and Cheney W., Numerical Mathematics and Computing .Brooks/Cole Publishing Co., Pacific Grove, CA, fourth edition, (1999).[37] Steven E.P., Numerical Methods Course Notes .http ://scicomp.ucsd.edu/ spav/pub/numas.pdf[38] Ikramov H., Recueil de Problèmes d’Algèbre linéaire , Edition Mir, Mos-cou, (1977).[39] Rakotonirina C., Expression of a Tensor Commutation Matrix in Termsof the Generalized Gell-Mann Matrices , International Journal of Mathe-matics and Mathematical Sciences, Volume 2007, Article ID 20672[40] Rakotonirina C., Rectangle Gell-Mann Matrices , International Mathe-matical Forum, Vol. 6, 2011, no. 2, 57 - 62[41] Rakotonirina C., Ratiarison A.A., Swap Operators and Electric Chargesof Fermions , International Journal of Theoretical and Applied Physics(IJTAP), Vol.3, No. I (June 2013), pp. 15-24.[42] Narison S., Spectral Sum Rules , vol. 26 of World Scientific Lecture Notesin Physics, World Scientific, Singapore, (1989).[43] Pati J. and Salam A., Lepton Number as the Fourth Color , Phys. Rev.D10, 275, (1974).[44] Baez J. and Huerta J., The Algebra of Grand Unified Theories , Bull.Am. Math. Soc. 47 (2010) 483-552 arXiv :0904.1556 [hep-th] (2009).[45] Raoelina Andriambololona, Etude Intrinsèque et Représentation Ma-tricielle des Produits Kroneckeriens et des Puissances Kroneckeriennesd’Opérateurs Linéaires - Etude Générale , Ann.Univ.Madagascar, SérieSc. Nature et Math, No 14, (1977).0 BIBLIOGRAPHIE [46] Pushpa, Bisht P. S., Tianjun Li and Negi O. P. S., Quaternion OctonionReformulation of Grand Unified Theories , arXiv : 1205.4617v1, (2012).[47] Kibler M.R., An angular momentum approach to quadratic Fouriertransform, Hadamard matrices, Gauss sums, mutually unbiased bases,the unitary group and the Pauli group , J. Phys. A : Math. Theor. 42353001 (28pp) (2009).[48] Volkov G., Ternary Quaternions and Ternary T U (3) algebra , arXiv :1006.5627v1 (2010).[49] Rigetti C., Mosseri R. and Devoret M., Geometric Approach to DigitalQuantum Information , Quantum Information Processing, Vol. 3, No. 6,December 2004 (2004)[50] Saniga M., Planat M. and Pracna P., Projective Ring Line EncompassingTwo-Qubits , hal-00111733, version 5 - 28 Dec 2006, (2006).[51] Rakotonirina C., Rakotondramavonirina J.,