Maximal operators and Fourier restriction on the moment curve
aa r X i v : . [ m a t h . C A ] F e b MAXIMAL OPERATORS AND FOURIER RESTRICTION ON THEMOMENT CURVE
MICHAEL JESURUMABSTRACT. We bound certain ๐ -maximal restriction operators on the moment curve. INTRODUCTION
Let ๐พ ( ๐ก ) = ( ๐ก, ๐ก , . . . , ๐ ๐ก ๐ ) , and let ฮ be the image of this curve for ๐ก โ โ . Drury [1]proved the Fourier restriction estimate || ห ๐ || ๐ฟ ๐ ( ฮ ) โค ๐ถ ๐ || ๐ || ๐ฟ ๐ ( โ ๐ ) for 1 โค ๐ < ๐ + ๐ + ๐ + ๐ and ๐ โฒ = ๐ ( ๐ + ) ๐ . In the spirit of [4], we study the ๐ -maximal formof this restriction operator: ๐ ๐ ห ๐ | ฮ , where ๐ ๐ โ ( ๐ฅ ) = (cid:18) sup ๐ > โ โซ ๐ต ( ๐ฅ,๐ ) | โ | ๐ (cid:19) / ๐ and 1 โค ๐ < โ . For ๐ โฅ
3, we have the following maximal restriction theorem:
Theorem 1.1.
For ๐ = ๐ ( ๐ + ) ๐ โฒ > ๐ and ๐ satisfying ( ๐ โค ๐ โฒ ๐ , if โค ๐ โค ๐ + ๐๐ + ๐ โ ; ๐ < ๐ โฒ โ ๐ + ๐ โ , if ๐ + ๐๐ + ๐ โ < ๐ < ๐ + ๐ + ๐ + ๐ , we have the following estimate for every ๐ โ ๐ฟ ๐ ( โ ๐ ) : (1.1) || ๐ ๐ ห ๐ || ๐ฟ ๐ ( ฮ ) โค ๐ถ ๐,๐ || ๐ || ๐ฟ ๐ ( โ ๐ ) . Mรผller, Ricci, and Wright [3] introduced maximal restriction theorems to obtain apointwise interpretation of the restriction operator associated to ๐ถ curves in โ . Tofacilitate such estimates, at the end of the paper they introduced the operator(1.2) ๐ โ ( ๐ฅ ) = ( ๐ | โ | ) / ( ๐ฅ ) to aid with bounds for a strong maximal operator. Later, Vitturi [6] proved similarmaximal restriction estimates in the case of the unit sphere in any dimension ๐ โฅ ๐ = ๐ =
3. In particular, he generalized the operator (1.2) to ๐ ๐ โ = ( ๐ | โ | ๐ ) / ๐ ( ๐ฅ ) for 1 โค ๐ < โ , and Theorem 2 in that paper was a maximal restriction result for thisoperator on the unit circle for ๐ < and ๐ โค
2. Thus, in the case ๐ =
2, Theorem 1.1 isdue to Ramos [4], since the arguments that apply to the circle also apply to the parabola.Kovaฤ [2] took a more general approach, proving maximal and variational restric-tion estimates using restriction inequalities as a black box. Theorem 1, Remark 2, and emark 3 in that paper combine with Druryโs [1] restriction estimate to show that || ๐ ห ๐ || ๐ฟ ๐ ( ฮ ) โค ๐ถ ๐ || ๐ || ๐ฟ ๐ ( โ ๐ ) for 1 โค ๐ < ๐ + ๐ + ๐ + ๐ + and ๐ โฒ = ๐ ( ๐ + ) ๐ . Theorem 1.1 extends this range of ๐ to the fullDrury range for ๐ and gives estimates of the form (1.1) for ๐ > ๐ โฅ
3, the ๏ฌrst two cases of Theorem 1.1 are distinct. When ๐ =
2, we ob-tain the full range given by Drury: ๐ < ๐ + ๐ + ๐ + ๐ . For ๐ = ๐ + , the range of ๐ correspondsto the Christ-Prestini range ๐ < ๐ + ๐๐ + ๐ โ . This range can be seen in Figure 1. ๐ ๐ (cid:0) ๐ + ๐๐ + ๐ + , (cid:1) ๐ = ๐ โฒ โ ๐ + ๐ โ ๐ = ๐ โฒ ๐ ๐๐ + ๐ + ๐ โ ๐ + ๐ ๐ = ๐ โฒ (1.1) holds(1.1) unknown(1.1) fails FIGURE 1.
Range of ๐ and ๐ for which the ๐ -maximal restriction operator is boundedfrom ๐ฟ ๐ to ๐ฟ ๐ , where ๐ = ๐ ( ๐ + ) ๐ โฒ . Outline of Proof.
The overall structure follows Druryโs induction scheme from [1].To accomodate this, we prove the super๏ฌcially stronger result:
Proposition 1.2.
Let โค ๐ < ๐ + . Denote by ๐ ๐๐ the ๐ -fold composition of ๐ ๐ with itself.Then for each ๐ โ โ , โค ๐ < ๐ + ๐ + ( ๐ โ ) ๐ + ๐ + ( ๐ โ ) , and ๐ โฒ = ๐ ( ๐ + ) ๐ , we have || ๐ ๐๐ ห ๐ || ๐ฟ ๐ ( ฮ ) โค ๐ถ ๐,๐ || ๐ || ๐ฟ ๐ ( โ ๐ ) . Indeed, for ๐ โฅ ๐ + , we can interpolate the above result with the bound || ๐ โ ห ๐ || ๐ฟ โ ( ฮ ) โค || ๐ || ๐ฟ ( โ ๐ ) , which follows from Hausdor๏ฌ-Young. For 1 โค ๐ <
2, we can apply Hรถlderโs inequalityto see that ๐ ๐ ห ๐ ( ๐ฅ ) โค ๐ ห ๐ ( ๐ฅ ) . hus, Theorem 1.1 follows from Proposition 1.2. To prove Proposition 1.2, we ๏ฌrstlinearize the operator ๐ โฆโ ๐ ๐๐ ห ๐ | ฮ (Section 2). Then, in Section 3, we apply the in-duction hypothesis to prove a mixed-norm estimate for the ๐ -fold power of the linearoperator from Section 2. We interpolate this estimate with an ๐ฟ bound for that sameoperator that comes from Plancherel. This interpolation allows us to increase the valueof ๐ , which completes the induction. Acknowledgements.
The author would like to thank Betsy Stovall for suggesting thisproject and for advising throughout the process. This work was supported by NSF grantDMS-1653264. 2.
KOLMOGOROV-SALIVERSTOV LINEARIZATION
We ๏ฌrst ๏ฌx 2 โค ๐ < ๐ + . This value of ๐ will remain ๏ฌxed throughout this sectionand the next. The ๏ฌrst step is to linearize the maximal operator given in Proposition 1.2.The technique here is similar to [4], which built on the techniques of [3], [6], and [5].Let ๐ ๐ ( ๐ฅ ) be the ๐ฟ -normalized characteristic function of the ball of radius ๐ ; that is, ๐ ๐ ( ๐ฅ ) = | ๐ต ๐ | ๐ (cid:18) ๐ฅ๐ (cid:19) , where ๐ต ๐ is the ball centered at 0 with radius ๐ . Let ๐ , . . . , ๐ ๐ : โ ๐ โ โ > be measurableand ๐ : โ ๐ ร โ ๐ โ โ be a measurable function such that(2.1) โ โซ ๐ต ๐ ( ๐ฅ ) ( ๐ฅ ) . . . โ โซ ๐ต ๐๐ ( ๐ฆ๐ โ ) ( ๐ฆ ๐ โ ) | ๐ ( ๐ฅ, ๐ฆ ๐ ) | ๐ โฒ d ๐ฆ ๐ . . . d ๐ฆ โค ๐ฅ โ โ ๐ . Set(2.2) A ๐๐ฅ ( ๐ง , . . . , ๐ง ๐ ) = ๐ ( ๐ฅ, ๐ฅ โ ๐ง โ . . . โ ๐ง ๐ ) ๐ ๐ ( ๐ฅ ) ( ๐ง ) ๐ ๐ ( ๐ฅ โ ๐ง ) ( ๐ง ) . . . ๐ ๐ ๐ ( ๐ฅ โ ๐ง โ ... โ ๐ง ๐ โ ) ( ๐ง ๐ ) . and(2.3) ๐ ๐,๐,๐,๐ ๐ ( ๐ฅ ) = โซ โ ๐๐ ห ๐ ( ๐ฅ โ ๐ง โ . . . โ ๐ง ๐ ) A ๐๐ฅ ( ๐ง , . . . , ๐ง ๐ ) d ๐ง . . . d ๐ง ๐ , or, equivalently,(2.4) ๐ ๐,๐,๐,๐ ๐ ( ๐ฅ ) = โ โซ ๐ต ๐ ( ๐ฅ ) ( ๐ฅ ) . . . โ โซ ๐ต ๐๐ ( ๐ง๐ โ ) ( ๐ง ๐ โ ) ห ๐ ( ๐ง ๐ ) ๐ ( ๐ฅ, ๐ง ๐ ) d ๐ง ๐ . . . d ๐ง . Lemma 2.1.
Suppose there is ๐ถ > such that for every ๐ ๐ฅ and ๐ , . . . , ๐ ๐ as above, and forall ๐ Schwartz, || ๐ ๐,๐,๐,๐ ๐ || ๐ฟ ๐ ( ฮ ) โค ๐ถ || ๐ || ๐ฟ ๐ ( โ ๐ ) . Then || ๐ ๐๐ ห ๐ || ๐ฟ ๐ ( ฮ ) โค ๐ถ || ๐ || ๐ฟ ๐ ( โ ๐ ) . for all Schwartz functions ๐ .Proof. Let ๐ be a Schwartz function, and let ๐ ( ๐ฅ, ๐ฆ ) = ห ๐ ( ๐ฆ ) | ห ๐ ( ๐ฆ ) | ๐ โ (cid:18) โ โซ ๐ต ๐ ( ๐ฅ ) ( ๐ฅ ) . . . โ โซ ๐ต ๐๐ ( ๐ง๐ โ ) ( ๐ง ๐ โ ) | ๐ ( ๐ง ๐ ) | ๐ d ๐ง ๐ . . . d ๐ง (cid:19) ๐ โฒ . hen for any ๐ฅ โ โ ๐ , โ โซ ๐ต ๐ ( ๐ฅ ) ( ๐ฅ ) . . . โ โซ ๐ต ๐๐ ( ๐ฆ๐ โ ) ( ๐ฆ ๐ โ ) | ๐ ( ๐ฅ, ๐ฆ ๐ ) | ๐ โฒ d ๐ฆ ๐ . . . d ๐ฆ = โ โซ ๐ต ๐ ( ๐ฅ ) ( ๐ฅ ) . . . โ โซ ๐ต ๐๐ ( ๐ฆ๐ โ ) ( ๐ฆ ๐ โ ) | ๐ ( ๐ฆ ๐ ) | ๐ โฒ ( ๐ โ ) d ๐ฆ ๐ . . . d ๐ฆ โ โซ ๐ต ๐ ( ๐ฅ ) ( ๐ฅ ) . . . โ โซ ๐ต ๐๐ ( ๐ง๐ โ ) ( ๐ง ๐ โ ) | ๐ ( ๐ง ๐ ) | ๐ d ๐ง ๐ . . . d ๐ง . Since ๐ โฒ ( ๐ โ ) = ๐ , the numerator and denominator are equal and hence ๐ satis๏ฌes (2.1).Moreover, using (2.4), we have ๐ ๐,๐,๐,๐ ๐ ( ๐ฅ ) = โ โซ ๐ต ๐ ( ๐ฅ ) ( ๐ฅ ) . . . โ โซ ๐ต ๐๐ ( ๐ง๐ โ ) ( ๐ง ๐ โ ) | ห ๐ ( ๐ง ๐ ) | ๐ d ๐ง ๐ . . . d ๐ง (cid:18) โ โซ ๐ต ๐ ( ๐ฅ ) ( ๐ฅ ) . . . โ โซ ๐ต ๐๐ ( ๐ง๐ โ ) ( ๐ง ๐ โ ) | ๐ ( ๐ง ๐ ) | ๐ d ๐ง ๐ . . . d ๐ง (cid:19) ๐ โฒ . Thus, we obtain ๐ ๐,๐,๐,๐ ๐ ( ๐ฅ ) = (cid:18) โ โซ ๐ต ๐ ( ๐ฅ ) ( ๐ฅ ) . . . โ โซ ๐ต ๐๐ ( ๐ง๐ โ ) ( ๐ง ๐ โ ) | ห ๐ ( ๐ง ๐ ) | ๐ d ๐ง ๐ . . . d ๐ง (cid:19) ๐ . For well-chosen ๐ , . . . , ๐ ๐ , this can be made arbitrarily close to ๐ ๐๐ ห ๐ ( ๐ฅ ) , so the claimholds. (cid:3) Hereafter, we will use the form of ๐ ๐,๐,๐,๐ given in (2.3). As is often the case, itwill be more convenient to work with an extension operator rather than the restriction.Given ๐ : โ ๐ โ โ and ๐ : โ โ โ , h ๐ ๐,๐,๐,๐ ๐, ๐ i = โซ โ โซ โ ๐๐ ห ๐ ( ๐พ ( ๐ก ) โ ๐ง โ . . . โ ๐ง ๐ ) A ๐๐พ ( ๐ก ) ( ๐ง , . . . , ๐ง ๐ ) ๐ ( ๐ก ) d ๐ง . . . d ๐ง ๐ d ๐ก = โซ โ โซ โ ๐๐ โซ โ ๐ ๐ โ ๐๐๐ ( ๐พ ( ๐ก )โ ๐ง โ ... โ ๐ง ๐ ) ๐ ( ๐ ) A ๐๐พ ( ๐ก ) ( ๐ง , . . . , ๐ง ๐ ) ๐ ( ๐ก ) d ๐ d ๐ง . . . d ๐ง ๐ d ๐ก . Hence the adjoint is given by ๐ โ ๐,๐,๐,๐ ๐ ( ๐ ) = โซ โ โซ โ ๐๐ ๐ ๐๐๐ ( ๐พ ( ๐ก )โ ๐ง โ ... โ ๐ง ๐ ) A ๐๐พ ( ๐ก ) ( ๐ง , . . . , ๐ง ๐ ) ๐ ( ๐ก ) d ๐ง . . . d ๐ง ๐ d ๐ก = โซ โ ๐ ๐๐๐๐พ ( ๐ก ) ลก A ๐๐พ ( ๐ก ) ( ๐, . . . , ๐ ) ๐ ( ๐ก ) d ๐ก . Setting ยฎ ๐ ๐ = ( ๐, . . . , ๐ ) , we have ๐ โ ๐,๐,๐,๐ ๐ ( ๐ ) = โซ โ ๐ ๐๐๐๐พ ( ๐ก ) ลก A ๐๐พ ( ๐ก ) ( ยฎ ๐ ๐ ) ๐ ( ๐ก ) d ๐ก . Proposition 1.2 now follows from the following lemma:
Lemma 2.2.
Let โค ๐ < ๐ + ๐ + ( ๐ โ ) ( ๐ โ ) , ๐ = ๐ ( ๐ + ) ๐ โฒ , and โค ๐ < ๐ + . There is ๐ถ > suchthat for ๐ , . . . , ๐ ๐ and ๐ measurable satisfying (2.1) , and for all Schwartz functions ๐ , (2.5) || ๐ โ ๐,๐,๐,๐ ๐ || ๐ฟ ๐ ( โ ๐ ) โค ๐ถ || ๐ || ๐ฟ ๐ ( ฮ ) . . THE INDUCTION ARGUMENT
The proof of Lemma 2.2 proceeds by induction. The base case is ๐ = ๐ = โ .Here, | ๐ โ ๐,๐,๐,๐ ๐ ( ๐ ) | = (cid:12)(cid:12)(cid:12) โซ โ ๐ ๐๐๐๐พ ( ๐ก ) ลก A ๐๐พ ( ๐ก ) ( ยฎ ๐ ) ๐ ( ๐ ) d ๐ก (cid:12)(cid:12)(cid:12) โค โซ โ sup ๐ฅ โ โ ๐ || A ๐๐ฅ || ๐ฟ ( โ ๐๐ ) | ๐ ( ๐ก ) | d ๐ก . By (2.1), || A ๐๐ฅ || ๐ฟ ( โ ๐ ) โค ๐ฅ . Thus, | ๐ โ ๐,๐,๐,๐ ๐ ( ๐ ) | โค โซ โ | ๐ ( ๐ก ) | d ๐ก = || ๐ || ๐ฟ ( ฮ ) . This completes the base case. The following lemma, along with a little arithmetic, es-tablishes the claimed range of ๐ and ๐ : Lemma 3.1.
Assume for every โค ๐ < ๐ < ๐ + ๐ + ( ๐ โ ) ( ๐ โ ) , ๐ = ๐ ( ๐ + ) ๐ โฒ , there is ๐ถ > suchthat (2.5) holds for all ๐ , all measurable ๐ , . . . , ๐ ๐ : โ ๐ โ โ > , all measurable ๐ : โ ๐ ร โ ๐ โ โ satisfying (2.1) for every ๐ฅ โ โ ๐ , and all ๐ . Then (2.5) holds for all such ๐ , ๐ , ๐ , and ๐ , and forall ๐ satisfying ๐๐ > ( ๐ + ) ๐ โฒ ( ๐ โฒ โ ) + ๐ ( ๐ + ) ๐ , and ๐ = ๐ ( ๐ + ) ๐ โฒ . To prove Lemma 3.1, we adapt Druryโs argument in [1]. Thus, we rewrite theleft-hand side of (2.5) as || ๐ โ ๐,๐,๐,๐ ๐ || ๐ฟ ๐ ( โ ๐ ) = || ( ๐ โ ๐,๐,๐,๐ ๐ ) ๐ || / ๐๐ฟ ๐ / ๐ ( โ ๐ ) . Expanding gives ( ๐ โ ๐,๐,๐,๐ ๐ ) ๐ ( ๐ ) = โซ โ ๐ ๐ ๐๐๐ ร ๐๐ = ๐พ ( ๐ฅ ๐ ) ๐ ร ๐ = โบ ๐ด ๐พ ( ๐ฅ ๐ ) ( ยฎ ๐ ๐ ) ๐ ( ๐ฅ ๐ ) d ๐ฅ . De๏ฌne(3.1) ๐๐บ ( ๐ ) = โซ ฮ +ยทยทยท+ ฮ ๐ ๐๐๐๐ฆ ๐ ร ๐ = โบ A ๐๐พ ( ๐ฅ ๐ ) ( ยฎ ๐ ๐ ) ๐บ ( ๐ฆ ) d ๐ฆ, where ๐ฅ = ๐ฅ ( ๐ฆ ) is uniquely determined by ๐ฅ < ๐ฅ < ยท ยท ยท < ๐ฅ ๐ and ๐ฆ = ร ๐๐ = ๐พ ( ๐ฅ ๐ ) . If ๐ฃ isthe Vandermonde determinant, | ๐ฃ ( ๐ฅ ) | = ร โค ๐ < ๐ โค ๐ | ๐ฅ ๐ โ ๐ฅ ๐ | , then with the choice ๐บ ( ๐ฆ ) = ๐ ร ๐ = ๐ ( ๐ฅ ๐ ) | ๐ฃ ( ๐ฅ ) | โ , we have(3.2) ๐๐บ ( ๐ ) = ๐ ! ( ๐ โ ๐,๐,๐,๐ ๐ ) ๐ ( ๐ ) . o apply the induction hypothesis, we will need to work with another change of vari-ables. For โ = ( โ , โ โฒ ) with โ = < โ < ยท ยท ยท < โ ๐ , set ๐ฅ ๐ = ๐ก + โ ๐ and ๐พ โ ( ๐ก ) = ๐ ร ๐ = ๐พ ( ๐ฅ ๐ ) . De๏ฌne the auxiliary function(3.3) ห ๐บ ( ๐ก, โ ) = ๐บ ( ๐พ โ ( ๐ก )) = ๐ ร ๐ = ๐ ( ๐ก + โ ๐ ) | ๐ฃ ( โ ) | โ . Finally, ๏ฌx 0 < ๐ < ๐ + โ ๐ . Lemma 3.2.
For ๐ de๏ฌned as in (3.1) and ๐ + ๐ < ๐ + , we have (3.4) || ๐๐บ || ๐ฟ ๐ + ๐ โค ๐ถ || ห ๐บ || ๐ฟ ( ๐ + ๐ )โฒ โ โฒ ( ๐ฟ ( ๐ + ๐ )โฒ ๐ก ; | ๐ฃ ( โ ) |) . Proof.
For any test function ๐ป , by (3.1) we have |h ๐๐บ, ๐ป i| = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) โซ โ ๐ ๐๐บ ( ๐ ) ๐ป ( ๐ ) d ๐ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) โซ โ ๐ โซ ฮ +ยทยทยท+ ฮ ๐ ๐๐๐๐ฆ ๐ ร ๐ = โบ A ๐๐พ ( ๐ฅ ๐ ) ( ยฎ ๐ ๐ ) ๐บ ( ๐ฆ ) ๐ป ( ๐ ) d ๐ฆ d ๐ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) . Changing the order of integration and applying Plancherel in ๐ , |h ๐๐บ, ๐ป i| = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) โซ ฮ +ยทยทยท+ ฮ ๐บ ( ๐ฆ ) โซ โ ๐๐ ๐ โ ๐ = A ๐๐พ ( ๐ฅ ๐ ) ( ๐ค , . . . , ๐ค ๐ ) b ๐ป ( ๐ฆ โ ๐ค โ . . . โ ๐ค ๐ ) d ๐ค . . . d ๐ค ๐ d ๐ฆ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) . We can now apply the following lemma, which we will prove shortly.
Lemma 3.3.
Let A ๐๐ง ( ๐ค , . . . , ๐ค ๐ ) be de๏ฌned as in (2.2) , and let ห ๐ป be a test function. Then foreach ๐, ๐ โ โ and ๐ง , . . . , ๐ง ๐ , (3.5) โซ โ ๐๐ | ( A ๐๐ง โ . . . โ A ๐๐ง ๐ ) ( ๐ค , . . . , ๐ค ๐ ) ห ๐ป ( ๐ฆ โ ๐ค โ . . . โ ๐ค ๐ ) | d ๐ค . . . d ๐ค ๐ โค ๐ ๐๐๐ ห ๐ป ( ๐ฆ ) . Using this lemma, we see that |h ๐๐บ, ๐ป i| โค โซ ฮ +ยทยทยท+ ฮ | ๐บ ( ๐ฆ ) | ๐ ๐๐๐ ห ๐ป ( ๐ฆ ) d ๐ฆ. By Hรถlderโs inequality, we obtain |h ๐๐บ, ๐ป i| โค || ๐บ || ( ๐ + ๐ ) โฒ || ๐ ๐๐๐ ห ๐ป || ๐ + ๐ . Since ๐ < ๐ + ๐ , we have |h ๐๐บ, ๐ป i| โค || ๐บ || ( ๐ + ๐ ) โฒ || ห ๐ป || ๐ + ๐ . Finally, ๐ + ๐ >
2, so by Hausdor๏ฌ-Young, |h ๐๐บ, ๐ป i| โค || ๐บ || ( ๐ + ๐ ) โฒ || ๐ป || ( ๐ + ๐ ) โฒ . Thus, TG is bounded from ๐ฟ ( ๐ + ๐ ) โฒ to ๐ฟ ๐ + ๐ , which, along with a change of variables,proves the lemma. (cid:3) ow we prove Lemma 3.3. Proof.
Fix ๐ โฅ
1. We proceed by induction. The base case is ๐ =
1. In this case, theleft-hand side of (3.5) is โซ โ ๐๐ | ห ๐ป ( ๐ฆ โ ๐ค โ . . . โ ๐ค ๐ ) ๐ ( ๐ง, ๐ง โ ๐ค โ . . . โ ๐ค ๐ )ยท ๐ ๐ ( ๐ง ) ( ๐ค ) . . . ๐ ๐ ๐ ( ๐ง โ ๐ค โ ... โ ๐ค ๐ โ ) ( ๐ค ๐ ) | d ๐ค . . . d ๐ค ๐ . Applying Hรถlderโs inequality, this is bounded by (cid:18) โซ โ ๐๐ | ห ๐ป ( ๐ฆ โ ๐ค โ . . . โ ๐ค ๐ ) | ๐ (cid:12)(cid:12) ๐ ๐ ( ๐ง ) ( ๐ค ) (cid:12)(cid:12) . . . (cid:12)(cid:12) ๐ ๐ ๐ ( ๐ง โ ๐ค โ ... โ ๐ค ๐ โ ) ( ๐ค ๐ ) (cid:12)(cid:12) d ๐ค . . . d ๐ค ๐ (cid:19) ๐ ยท (cid:18) โซ โ ๐๐ | ๐ ( ๐ง, ๐ง โ ๐ค โ . . . โ ๐ค ๐ ) | ๐ โฒ (cid:12)(cid:12) ๐ ๐ ( ๐ง ) ( ๐ค ) (cid:12)(cid:12) . . . (cid:12)(cid:12) ๐ ๐ ๐ ( ๐ง โ ๐ค โ ... โ ๐ค ๐ โ ) ( ๐ค ๐ ) (cid:12)(cid:12) d ๐ค . . . d ๐ค ๐ (cid:19) ๐ โฒ . Changing variables in each integral transforms the above into (cid:18) โ โซ ๐ต ๐ ( ๐ง ) ( ๐ฆ ) . . . โ โซ ๐ต ๐๐ ( ๐ฃ๐ โ + ๐ง โ ๐ฆ ) ( ๐ฃ ๐ โ ) | ห ๐ป ( ๐ฃ ๐ ) | ๐ d ๐ฃ ๐ . . . d ๐ฃ (cid:19) ๐ ยท (cid:18) โ โซ ๐ต ๐ ( ๐ง ) ( ๐ง ) . . . โ โซ ๐ต ๐๐ ( ๐ง โ ๐ฃ๐ โ ) ( ๐ฃ ๐ โ ) | ๐ ( ๐ง, ๐ฃ ๐ ) | ๐ โฒ d ๐ฃ ๐ . . . d ๐ฃ (cid:19) ๐ โฒ By (2.1), the second term is bounded by 1. Moreover, the ๏ฌrst term is bounded by ๐ ๐๐ ห ๐ป ( ๐ฆ ) , so the base case is done. Now, assume we have (3.5) for some ๐ and all functionsห ๐ป . We want to bound(3.6) โซ โ ๐๐ | ( A ๐๐ง โ . . . โ A ๐๐ง ๐ + ) ( ๐ค , . . . , ๐ค ๐ ) ห ๐ป ( ๐ฆ โ ๐ค โ . . . โ ๐ค ๐ ) | d ๐ค . . . d ๐ค ๐ , with the convolution performed ๐ + ๐ -fold convolution with ๐ด ๐ง ๐ + to rewrite (3.6) as โซ โ ๐๐ | ( A ๐๐ง โ . . . โ A ๐๐ง ๐ ) โ A ๐๐ง ๐ + ( ๐ค , . . . , ๐ค ๐ ) ห ๐ป ( ๐ฆ โ ๐ค โ . . . โ ๐ค ๐ ) | d ๐ค . . . d ๐ค ๐ . Expanding this convolution, we can further rewrite (3.6) as โซ โ ๐๐ โซ โ ๐๐ | ( A ๐๐ง โ . . . โ A ๐๐ง ๐ ) ( ๐ฃ , . . . , ๐ฃ ๐ ) A ๐๐ง ๐ + ( ๐ค โ ๐ฃ , . . . , ๐ค ๐ โ ๐ฃ ๐ )ยท ห ๐ป ( ๐ฆ โ ๐ค โ . . . โ ๐ค ๐ ) | d ๐ฃ . . . d ๐ฃ ๐ d ๐ค . . . d ๐ค ๐ . With the change of variables ๐ข ๐ = ๐ค ๐ โ ๐ฃ ๐ , (3.6) becomes โซ โ ๐๐ โซ โ ๐๐ | ( A ๐๐ง โ . . . โ A ๐๐ง ๐ ) ( ๐ฃ , . . . , ๐ฃ ๐ ) A ๐๐ง ๐ + ( ๐ข , . . . , ๐ข ๐ )ยท ห ๐ป ( ๐ฆ โ ๐ฃ โ . . . โ ๐ฃ ๐ โ ๐ข โ . . . โ ๐ข ๐ ) | d ๐ฃ . . . d ๐ฃ ๐ d ๐ข . . . d ๐ข ๐ . By the induction hypothesis, the above is bounded by โซ โ ๐๐ | A ๐๐ง ๐ + ( ๐ฃ , . . . , ๐ฃ ๐ ) ๐ ๐๐๐ ห ๐ป ( ๐ฆ โ ๐ฃ โ . . . โ ๐ฃ ๐ ) | d ๐ฃ . . . d ๐ฃ ๐ . Finally, another application of the induction hypothesis shows that (3.6) is bounded by ๐ ( ๐ + ) ๐๐ ห ๐ป ( ๐ฆ ) . (cid:3) emma 3.4. For ๐ de๏ฌned as in (3.1) , there is a constant ๐ถ ๐,๐ such that (3.7) || ๐๐บ || ๐ฟ ๐ โค ๐ถ ๐,๐ || ห ๐บ || ๐ฟ โ โฒ ( ๐ฟ ๐๐ก ; | ๐ฃ ( โ ) |) . Proof.
By Minkowskiโs inequality for integrals, || ๐๐บ || ๐ฟ ๐ = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) โซ โ โซ โ โ ยท ยท ยท โซ โ โ ๐ โ โซ โ ๐ ๐๐๐๐พ โ ( ๐ก ) ๐ ร ๐ = ล A ๐๐พ ( ๐ก + โ ๐ ) ( ยฎ ๐ ๐ ) ห ๐บ ( ๐ก, โ ) ๐ฃ ( โ ) d ๐ก d โ โฒ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ๐ฟ ๐๐ โค (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) โซ โ ๐ ๐๐๐๐พ โ ( ๐ก ) ๐ ร ๐ = ล A ๐๐พ ( ๐ก + โ ๐ ) ( ยฎ ๐ ๐ ) ห ๐บ ( ๐ก, โ ) ๐ฃ ( โ ) d ๐ก (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ๐ฟ โ ๐ฟ ๐๐ . De๏ฌne the operator ๐ โ ๐น ( ๐ ) = โซ โ ๐ ๐๐๐๐พ โ ( ๐ก ) ๐ ร ๐ = ล A ๐๐พ ( ๐ก + โ ๐ ) ( ยฎ ๐ ๐ ) ๐น ( ๐ก ) d ๐ก, whose adjoint is given by ๐ โ โ ๐ป ( ๐ก ) = โซ โ ๐ ๐ โ ๐๐๐๐พ โ ( ๐ก ) ๐ ร ๐ = ยญ A ๐๐พ ( ๐ก + โ ๐ ) ( ยฎ ๐ ๐ ) ๐ป ( ๐ ) d ๐ = โซ โ ๐๐ ๐ โ ๐ = A ๐๐พ ( ๐ก + โ ๐ ) ( ๐ค , . . . , ๐ค ๐ ) ห ๐ป ( ๐พ โ ( ๐ก ) โ ๐ค โ . . . โ ๐ค ๐ ) d ๐ค . . . d ๐ค ๐ . Using Lemma 3.3, we obtain the bound | ๐ โ โ ๐ป ( ๐ก ) | โค ๐ ๐๐ ห ๐ป ( ๐พ โ ( ๐ก )) . Since each ๐พ โ is an a๏ฌne transformation of the original curve, the induction hypothesisyields || ๐ โ โ ๐ป || ๐ฟ ๐ โฒ โค ๐ถ ๐,๐ || ๐ป || ๐ฟ ๐ โฒ . Hence, we have || ๐ โ ๐น || ๐ฟ ๐๐ โค ๐ถ ๐,๐ || ๐น || ๐ฟ ๐ . Setting ๐น ( ๐ก ) = ห ๐บ ( ๐ก, โ ) ๐ฃ ( โ ) for each โ and integrating in โ โฒ ๏ฌnishes the proof. (cid:3) By interpolating (3.4) and (3.7), we obtain(3.8) || ๐๐บ || ๐ฟ ๐ โค ๐ถ ๐,๐,๐ || ห ๐บ || ๐ฟ ๐โ โฒ ( ๐ฟ ๐๐ก ; | ๐ฃ ( โ ) |) for all ( ๐ โ , ๐ โ ) in the triangle with vertices ( , ) , ( , ๐ โ ) , and ( ( ( ๐ + ๐ ) โฒ ) โ , ( ( ๐ + ๐ ) โฒ ) โ ) ,with ๐ satisfying ( ๐ + ) ( ๐ โ ) ๐ โ + ๐ โ + ๐ ( ๐ + ) ๐ โ = ๐ ( ๐ + ) . Expanding out ห ๐บ using (3.3), we see that || ห ๐บ || ๐ฟ ๐โ โฒ ( ๐ฟ ๐๐ก ; | ๐ฃ ( โ ) |) = (cid:18) โซ โ | ๐ฃ ( โ ) | โ( ๐ โ ) (cid:18) โซ โ ๐ โ | ๐ ( ๐ก + โ ) . . . ๐ ( ๐ก + โ ๐ ) | ๐ d ๐ก (cid:19) ๐๐ d โ โฒ (cid:19) ๐ . s noted in [1], ๐ฃ ( , โ โฒ ) โ โ ๐ฟ ๐ , โ โ โฒ , so we can apply Hรถlderโs inequality to obtain(3.9) || ห ๐บ || ๐ฟ ๐โ โฒ ( ๐ฟ ๐๐ก ; | ๐ฃ ( โ ) |) โค || ๐ || ๐๐ฟ ๐, ๐ก for ๏ฃฑ๏ฃด๏ฃด๏ฃด๏ฃด๏ฃฒ๏ฃด๏ฃด๏ฃด๏ฃด๏ฃณ < ๐ < ๐ + ,๐ โค ๐ < ๐๐ + โ ๐๐ , and ๐๐ = ( ๐ + ) ( ๐ โ ) ๐ โ + ๐ โ โ ๐ ( ๐ โ ) . Plugging (3.2) and (3.9) into (3.8),(3.10) || ๐ ๐,๐,๐,๐ ๐ || ๐ฟ ๐ . || ๐ || ๐ฟ ๐, , for(3.11) ๐๐ = ( ๐ + ) ( ๐ โ ) ๐ โ + ๐ โ โ ๐ ( ๐ โ ) , where ๐ = ๐ ( ๐ + ) ๐ โฒ , and ๐ and ๐ satisfy (Figure 2): ๏ฃฑ๏ฃด๏ฃด๏ฃด๏ฃด๏ฃด๏ฃด๏ฃฒ๏ฃด๏ฃด๏ฃด๏ฃด๏ฃด๏ฃด๏ฃณ ๐๐ + < ๐ โ < ,๐ โ โค ๐ โ , ( ๐ + ) ๐ โ โ ๐ โ < ๐, and ( ๐ โ ( ๐ + ๐ ) โฒ ) ๐ โ + ๐ ( ( ๐ + ๐ ) โฒ โ ) ๐ โ โฅ ๐ โ . ๐๐ + ๐ โ ๐ โ ๐ โ = ๐ โ ( ๐ + ) ๐ โ โ ๐ โ < ๐๐ โ = ( ๐ โ ( ๐ + ๐ ) โฒ ) ๐ โ + ๐ (( ๐ + ๐ ) โฒ โ ) ๐ โ ๐๐ = ( ๐ + ) ( ๐ โ ) ๐ โ + ๐ โ โ ๐ ( ๐ โ ) ( ๐๐ + , ( ๐ + ) ๐ โฒ (( ๐ + ๐ ) โฒ โ ) + ๐ ( ๐ + ) ๐ ) FIGURE 2.
Range of ๐ and ๐ for which (3.10) holds with ๐ satisfying (3.11) and ๐ = ๐ ( ๐ + ) ๐ โฒ . Since ๐ + ๐ โค ๐ + , the point ( ๐ โ , ๐ โ ) = ( ๐๐ + , ( ๐ + ) ๐ โฒ (( ๐ + ๐ ) โฒ โ ) + ๐ ( ๐ + ) ๐ ) lies on theboundary of this region and satis๏ฌes ( ๐ + ) ( ๐ โ ) ๐ โ + ๐ โ โ ๐ ( ๐ โ ) < ๐๐ . aking ( ๐ โ , ๐ โ ) slightly inside of the region and using real interpolation, we obtain || ๐ ๐,๐,๐,๐ ๐ || ๐ฟ ๐ . || ๐ || ๐ฟ ๐ , ๐ = ๐ ( ๐ + ) ๐ โฒ , ๐๐ > ( ๐ + ) ๐ โฒ ( ( ๐ + ๐ ) โฒ โ ) + ๐ ( ๐ + ) ๐ . Since this is true for all 0 < ๐ < ๐ + ๐ โ ๐ , we have || ๐ ๐,๐,๐,๐ ๐ || ๐ฟ ๐ . || ๐ || ๐ฟ ๐ , ๐ = ๐ ( ๐ + ) ๐ โฒ , ๐๐ > ( ๐ + ) ๐ โฒ ( ๐ โฒ โ ) + ๐ ( ๐ + ) ๐ , which proves Lemma 2.2 and hence Theorem 1.1.4. BOUNDS ON ๐ We are not able to show, nor do we believe, that the range of ๐ is sharp. The fol-lowing proposition shows that ๐ โค ๐ โฒ is necessary in any bound of the form (1.1), whichcorresponds to ๐ โค ๐ + ๐ + in the full Drury range. This counterexample in dimension ๐ = Proposition 4.1.
Suppose that for some ๐ , ๐ , and ๐ , and all ๐ โ ๐ฟ ๐ ( โ ๐ ) , we have the bound (4.1) || ๐ ๐ ห ๐ || ๐ฟ ๐ ( ฮ ) โค ๐ถ ๐,๐ || ๐ || ๐ฟ ๐ ( โ ๐ ) . Then ๐ โค ๐ โฒ .Proof. For 0 < ๐ก <
1, let ห ๐ ๐ก = ๐ [โ ๐ก,๐ก ] ๐ , and let ๐ =
1. We ๏ฌrst compute ๐ ๐ก . ๐ ๐ก ( ๐ฅ ) = โซ โ ๐ ๐ ๐๐๐ฅ๐ ๐ [โ ๐ก,๐ก ] ( ๐ ) d ๐ = โซ ๐ก โ ๐ก ยท ยท ยท โซ ๐ก โ ๐ก ๐ ๐๐๐ฅ๐ d ๐ = ๐ ร ๐ = ๐ ๐๐๐ฅ ๐ ๐ก โ ๐ โ ๐๐๐ฅ ๐ ๐ก ๐๐๐ฅ ๐ = ๐ ร ๐ = sin ( ๐๐ฅ ๐ ๐ก ) ๐๐ฅ ๐ . Thus, we have || ๐ ๐ก || ๐ฟ ๐ ( โ ๐ ) = (cid:18) โซ โ ๐ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ๐ ร ๐ = sin ( ๐๐ฅ ๐ ๐ก ) ๐๐ฅ ๐ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ๐ d ๐ฅ (cid:19) ๐ = (cid:18) โซ โ ๐ ๐ ร ๐ = (cid:18)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ๐ก sin ( ๐ฆ ๐ ) ๐ฆ ๐ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ๐ ยท ๐๐ก (cid:19) d ๐ฅ (cid:19) ๐ = ๐ถ๐ก ๐๐ โฒ . For ๐ฅ โ [โ , ] ๐ , by taking the ball centered at ๐ฅ with radius 10, we see that ๐ ๐ ห ๐ ๐ก ( ๐ฅ ) & ๐ก ๐๐ . Hence, we have || ๐ ๐ ห ๐ ๐ก || ๐ฟ ๐ ( ฮ ) & ๐ก ๐๐ . Combining these estimates and (4.1) gives ๐ก ๐๐ . ๐ก ๐๐ โฒ . Sending ๐ก โ ๐๐ โฅ ๐๐ โฒ , which means that ๐ โค ๐ โฒ . (cid:3) EFERENCES [1] Stephen W. Drury. โRestrictions of Fourier transforms to curvesโ. In:
Annales deLโInstitut Fourier
Journal of Functional Analysis F ( ๐ฟ ๐ ) โ. In: Revista Matemรกtica Iberoamerican
Low-dimensional maximal restriction principles for the Fourier transform .2019. arXiv: .[5] Joรฃo Ramos.
Maximal restriction estimates and the maximal function of the Fourier trans-form . 2018. arXiv: .[6] Marco Vitturi.
A note on maximal Fourier restriction for spheres in all dimensions . 2017.arXiv: ..