Maxwell's Equations in Arbitrary Coordinate System
aa r X i v : . [ m a t h - ph ] N ov Maxwell’s Equations in Arbitrary Coordinate System
D. S. Kulyabov ∗ and A. V. Korolkova † Peoples’ Friendship University of Russia ‡ The article is devoted to application of tensorial formalism for derivation of different types ofMaxwell’s equations. The Maxwell’s equations are written in the covariant coordinate-free and thecovariant coordinate forms. Also the relation between vectorial and tensorial formalisms and differ-ential operators for arbitrary holonomic coordinate system in coordinate form is given. The resultsobtained by tensorial and vectorial formalisms are verified in cylindrical and spherical coordinatesystems.
I. INTRODUCTION
Problems of waveguide mathematical modelling some-times need curvilinear coordinate system to be applied.The choice of specific coordinate system is defined by thecross-section of the waveguide.Usually the description of waveguide model is basedon Maxwell’s equations in Cartesian coordinate sys-tem. With the help of vector transformation propertyMaxwell’s equations are rearranged for sertain coordi-nate system (spherical or cylindrical). But in some prob-lems, e.g. simulation of a heavy-particle accelerator, thewaveguide may has the form of a cone or a hyperboloid.Another example of a waveguide with a complex formis the Luneberg lens, which has the form of a part ofa sphere or a cylinder attached to a planar waveguide.Therefore in the case of a waveguide with a complex formthe Maxwell’s equations should be written in a arbitrarycurvilinear coordinate system.It’s well established to apply vectorial formalism toMaxwell’s equations. But in this case Maxwell’s equa-tions in a curvilinear coordinate system are lengthy. In [1]some preliminary work on tensorial formalism resultingin a more compact form of Maxwell’s equations is made.The tensorial formalism has a mathematical apparatuswhich allows to use covariant coordinate-free form ofMaxwell’s equations. In this case the transition to a cer-tain coordinate system may be done on the final stageof research writing down the results. But tensorial for-malism can’t be directly applied to Maxwell’s equationsbecause the relation between vectorial and tensorial for-malisms should be proven before.Different forms of Maxwell’s equations are used inproblems of finding Hamiltonian of electromagnetic fieldapplied in variational integrator (particularly, symplec-tic integrator) construction. The main task is the fulfill-ment of the condition of symplectic structure conserva-tion during equations discretization. The several forms ∗ [email protected] † [email protected] ‡ Published in: Kulyabov, D. S., Korolkova, A. V. & Korolkov, V.I. Maxwell’s Equations in Arbitrary Coordinate System. Bulletinof Peoples’ Friendship University of Russia. Series «Mathemat-ics. Information Sciences. Physics» 96–106 (2012). of Maxwell’s equations are used in electromagnetic fieldHamiltonian derivation: • • momentum representation (complex form is used); • momentum representation.As a summary the main goals of the article may beformulated: to show connection between vectorial andtensorial formalisms (section II); to apply tensorial for-malism for different forms of Maxwell’s equations (sec-tion IV); to verify the obtained results by representingMaxwell’s equations in spherical and cylindrical coordi-nate systems (section V). II. CONNECTION BETWEEN VECTORIALAND TENZORIAL FORMALISMS
Let’s use the abstract indices formalism introducedin [3] in application to tensor algebra. In [3] α is theabstract index, α — a tensor component index. The us-age of a component index in some expression means thatsome arbitrary basis is introduced in this equation andindices obey the Einstein rule of summation (the sum istaken over every numeric index which occurs in one termof the expression twice — top and bottom). Abstractindices have an organizing value.Let’s consider an arbitrary n -dimensional vector andspace V i conjugated to V i space V i .In tensorial formalism the basis is given in coordinateform: δ ii = ∂∂x i ∈ V i , δ ii = d x i ∈ V i , i = 1 , n. In vectorial formalism the basis is given by elements withthe length d s i ′ upon the corresponding coordinate: δ ii ′ = ∂∂s i ′ , δ i ′ i = d s i ′ , i ′ = 1 , n. Nonholonomic basis usually provides some comfort. Ifthis: • retention values coordinate conversion (i.e., movingdistance in distance, angles in the angles and so on); • indistinguishability of contravariant and covariantvectors that allows to use only one index type.In tensor form: d s = g ij d x i d x j , i, j = 1 , n, where g ij — metric tensor.In vector form: d s = g i ′ j ′ d s i ′ d s j ′ , i ′ , j ′ = 1 , n. (1)In the case of orthogonal basis, (II) has the form of: d s = g i ′ i ′ d s i ′ d s i ′ , i ′ = 1 , n. (2)let’s express the vector basis through the tensor one: d s i ′ = h i ′ i d x i , ∂∂s i ′ = h ii ′ ∂∂x i . Where h i ′ i , h ii ′ , i, i ′ = 1 , n , — matrix of Jacobi.For orthogonal basis from (II) g ii d x i d x i = g i ′ i ′ h i ′ i h i ′ i d x i d x i , i, i ′ = 1 , n. Let’s introduce the notation (for orthogonal coordinatesystem): (cid:16) h i (cid:17) := h i ′ i h i ′ i = g ii g i ′ i ′ , h i := h i ′ i = s g ii g i ′ i ′ , i, i ′ = 1 , n. Variables h i are called Lame coefficients [6].Let’s express vector f i ∈ V i by its components f i intensor δ ii and vector δ ii ′ basises: f i = f i δ ii = f i ∂∂x i ,f i = f i ′ δ ii ′ = f i ′ ∂∂s i ′ = f i ′ h i ′ i ∂∂x i . And then f i ′ = f i h i ′ i , i, i ′ = 1 , n. (3)In the similar way, for covectors: f i = f i δ ii = f i d x i ,f i = f i ′ δ i ′ i = f i ′ d s i ′ = f i ′ h i ′ i d x i , and then f i ′ = f i h i ′ i , i, i ′ = 1 , n. (4)So the connection between tensorial and vectorial for-malisms is proved. III. TENSORIAL NOTATION OFDIFFERENTIAL OPERATORS INCOMPONENTS
Let’s present the differential operators in the compo-nents (for connections associated with metric).The expression for gradient (the variable ϕ is a scalar): (grad ϕ ) i = (grad ϕ ) i δ ii , (grad ϕ ) i = ∇ i ϕ = ∂ i ϕ, i = 1 , n. (5)The expression for an arbitrary vector divergence ⇀ f ∈ V i is: div ⇀ f = ∇ i f i = f i,i − Γ iji f j = f i,i − f i ( p | g | ) ,i p | g | == 1 p | g | ∂ i (cid:16)p | g | f i (cid:17) , (6)or in components: div ⇀ f = 1 p | g | ∂ i (cid:16)p | g | f i (cid:17) , i = 1 , n. (7)Variable g is det (cid:16) g ii (cid:17) .Because of the nonnegativity of radical expression andbecause of M g < in Minkowsky space let’s use thefollowing notation | g | .The expression for rotor is valid only in E space: (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i = h ⇀ ∇ , ⇀ f i = (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i δ ii , (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i = e ijk ∇ j f k , i, j, k = 1 , , (8)where e ijk is the alternating tensor expressed by Levi–Civita simbol ε ijk : e ijk = p g (3) ε ijk , e ijk = 1 p g (3) ε ijk , i, j, k = 1 , . In general e a a ...a n = q | g ( n ) | ε a a ...a n ,e a a ...a n = p | g ( n ) | g ( n ) ε a a ...a n = sgn g ( n ) p | g ( n ) | ε a a ...a n ,a , a , . . . , a n = 1 , n. (9)From (III) for divergence and (III) for gradient one canget Laplacian: ∆ ϕ = ∇ i (cid:0) ∇ i ϕ (cid:1) = ∇ i (cid:0) g ij (grad ϕ ) j (cid:1) == ∇ i (cid:0) g ij ∂ j ϕ (cid:1) = 1 p | g | ∂ i (cid:16)p | g | g ij ∂ j ϕ (cid:17) . IV. MAXWELL’S EQUATIONSPRESENTATION
Let’s consider Maxwell’s equations in CGS-system: ⇀ ∇ × ⇀ E = − c ∂ ⇀ B∂t ; ⇀ ∇ · ⇀ D = 4 πρ ; ⇀ ∇ × ⇀ H = 1 c ∂ ⇀ D∂t + 4 πc ⇀ j ; ⇀ ∇ · ⇀ B = 0 . (10)Here ⇀ E and ⇀ H — electric and magnetic intensities, ⇀ j isthe current density, ρ is the charge density, c is the lightvelocity. A. Maxwell’s Equations Covariant Form by3-vectors
Let’s express the equation (IV) in the covariant form e ijk ∇ j E k = −∇ B i ; ∇ i D i = 4 πρ ; e ijk ∇ j H k = ∇ D i + 4 πc j i ; ∇ i B i = 0 . (11)Let’s rewrite the expression (IV) in the tensorial for-malism components with the help of (III) and (III): p g (3) h ∂ j E k − ∂ k E j i = − c ∂ t B i , i, j, k = 1 , , p g (3) ∂ i (cid:16)p g (3) D i (cid:17) = 4 πρ, i = 1 , , p g (3) h ∂ j H k − ∂ k H j i = − c ∂ t D i + 4 πc j i , i, j, k = 1 , , p g (3) ∂ i (cid:16)p g (3) B i (cid:17) = 0 , i = 1 , . B. Maxwell’s Equations Covariant Form by4-vectors
Let’s rewrite (IV) with the help of electromagnetic fieldtensors F αβ and G αβ [4]: ∇ α F βγ + ∇ β F γα + ∇ γ F αβ = F [ αβ ; γ ] = 0 , (12) ∇ α G αβ = 4 πc j β , (13) where F αβ = E E E − E − B B − E B − B − E − B B ,F αβ = − E − E − E E − B B E B − B E − B B ,G αβ = − D − D − D D − H H D H − H D − H H ,G αβ = D D D − D − H H − D H − H − D − H H ,E i , H i , i = 1 , , — components of electric and magneticfields intensity vectors; D i , B i , i = 1 , , — componentsof vectors of electric and magnetic induction[ ? ].The equation (IV B) may be rewritten in a simplerform ∇ α ∗ F αβ = 0 . (14)Where the tensor ∗ F αβ dual conjugated to F αβ is intro-duced ∗ F αβ = 12 e αβγδ F γδ , where e αβγδ is the alternating tensor (see (III)): e αβγδ = √− gε αβγδ , e αβγδ = − √− g ε αβγδ . Similarly ∗ F αβ = 12 e αβγδ F γδ , ∗ G αβ = 12 e αβγδ G γδ , ∗ G αβ = 12 e αβγδ G γδ . We write in components: ∗ F αβ = √− g B B B − B E − E − B − E E − B E − E , ∗ F αβ = 1 √− g − B − B − B B E − E B − E E B E − E , ∗ G αβ = 1 √− g − H − H − H H D − D H − D D H D − D , ∗ G αβ = √− g H H H − H D − D − H − D D − H D − D , The ordered pair ( E i , B i ) ( F αβ ∼ ( E i , B i ) ) may beassigned to F αβ by following F i = E i , F ij = − ε ijk B k . So the following expressions may be written F αβ ∼ ( E i , B i ) , F αβ ∼ ( − E i , B i ) ,G αβ ∼ ( D i , H i ) , G αβ ∼ ( − D i , H i ) , ∗ F αβ ∼ √− g ( B i , − E i ) , ∗ F αβ ∼ √− g ( − B i , − E i ) , ∗ G αβ ∼ √− g ( H i , − D i ) , ∗ G αβ ∼ √− g ( − H i , − D i ) . (15) C. Complex Form of Maxwell’s Equations
The complex form of Maxwell’s equations was consid-ered by various authors [2], [5].Similar to (IV B) let’s introduce correspondence be-tween an ordered pair and a complex 3-vector F i ∼ ( E i , B i ) , F i = E i + i B i ; G i ∼ ( D i , H i ) , G i = D i + i H i . (16)Let’s express intensity and induction by means of com-plex vectors E i = F i + ¯ F i , B i = F i − ¯ F i ,D i = G i + ¯ G i , H i = G i − ¯ G i . Two complementary vectors K i = G i + F i , L i = ¯ G i − ¯ F i . (17) The expression (IV A) assumes the form ∇ i ( K i + L i ) = 4 πρ ; − i ∇ ( K i − L i ) + e ijk ∇ j ( K k − L k ) = i 4 πc j i . (18)
1. Complex Form of Maxwell’s Equations in Vacuum
From D i = E i , H i = B i and (IV C) it follows K i = E i + i B i = F i , L i = 0 . Then the equations (IV C) will have the form ∇ i F i = 4 πρ ; − i ∇ F i + e ijk ∇ j F k = i 4 πc j i . (19)
2. Complex Representation of Maxwell’s Equations inHomogeneous Isotropic Space
In homogeneous isotropic space the following relations D i = εE i , µH i = B i (where ε — dielectric permittivityand µ — magnetic permeability) are correct.The resulting expressions may be simplified as follows.In (IV C 1) we need the formal substitutions c → c ′ = c √ εµ (the speed of light in vacuum is substituted by thespeed of light in medium) and j α → j α √ ε . The result: F i = √ εE i + i 1 √ µ B i , ∇ i F i = 4 π √ ε ρ ; e ijk ∇ j F k = i 4 π √ µc j i + i √ εµc ∂F i ∂t . This representation of Maxwell’s equations has severalnames. In particular, it is known as a representation ofthe Riemann–Sielberstein.
D. Momentum Representation of Maxwell’sEquations
Let’s expand the vectors of electric and magnetic fieldsintensity in a wavevector Fourier series k j , j — abstractindex: ˆ E i ( t, k j ) = 1 p (2 π ) Z d x j p g (3) E i ( t, x j )e − i k j x j , ˆ H i ( t, k j ) = 1 p (2 π ) Z d x j p g (3) H i ( t, x j )e − i k j x j , ˆ B i ( t, k j ) = 1 p (2 π ) Z d x j p g (3) B i ( t, x j )e − i k j x j , ˆ D i ( t, k j ) = 1 p (2 π ) Z d x j p g (3) D i ( t, x j )e − i k j x j , ˆ ρ ( t, k j ) = 1 p (2 π ) Z d x j p g (3) ρ ( t, x j )e − i k j x j , ˆ i ( t, k j ) = 1 p (2 π ) Z d x j p g (3) j i ( t, x j )e − i k j x j . (20)And inverse transvorm is E i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ E i ( t, k j )e i k j x j ,H i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ H i ( t, k j )e i k j x j ,B i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ B i ( t, k j )e i k j x j ,D i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ D i ( t, k j )e i k j x j ,ρ ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ ρ ( t, k j )e i k j x j ,j i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ i ( t, k j )e i k j x j . (21)Let’s note that the vector components E i ( t, x j ) and ˆ E i ( t, k j ) , (similarly: H i ( t, x j ) and ˆ H i ( t, k j ) , D i ( t, x j ) and ˆ D i ( t, k j ) , B i ( t, x j ) and ˆ B i ( t, k j ) , j i ( t, x j ) and ˆ i ( t, k j ) ) are used in different basises: E i ( t, x j ) = E i ( t, x j ) δ ii , ˆ E i ( t, k j ) = ˆ E ˆ ı ( t, k j ) δ i ˆ ı , ˆ g (3) := det g ˆ ı ˆ , d s = g ˆ ı ˆ d x ˆ ı d x ˆ . where the basis δ i ˆ ı is given according to the vector k i . Forall k i the independent basis is defined. We can use expres-sions under integral sign putting down Maxwell’s equa-tions from (IV D). Or use the formulas for the Fourier transforms. \ ( af ( x i ) + bg ( x i )) = a ˆ f ( k i ) + b ˆ g ( k i ) , a, b = const , \ ∂f ( x i ) ∂x j = i k j ˆ f ( k i ) , \ f ( x i ) g ( x i ) = 1 p (2 π ) ( ˆ f ∗ ˆ g )( k i ) , where ( ˆ f ∗ ˆ g )( k i ) = ∞ Z −∞ ˆ f ( k i − s i )ˆ g ( s i )d s i . In the simplest case ( g = const ) i 1 p g (3) ε ijk k j E k ( t, k j ) = − c ∂ t B i ( t, k j ) , i 1 p g (3) ε ijk k j H k ( t, k j ) = 1 c ∂ t D i ( t, k j ) + 4 πc j i ( t, k j ) , i k i D i ( t, k j ) = 4 πρ ( t, k j ) , i k i B i ( t, k j ) = 0 . (22)Because of the complex form of the resulting equationsthe complex form of Maxwell’s equations (IV C) is rec-ommended to use F i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ F i ( t, k j )e i k j x j ,G i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ G i ( t, k j )e i k j x j ,ρ ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ ρ ( t, k j )e i k j x j ,j i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ i ( t, k j )e i k j x j . Remark.
In terms of classical electrodynamics vectors E j , H j , B j , D j decompositions in wavevector k j Fourierseries correspond to these vectors decomposition in mo-mentum Fourier series in quantum mechanics. That iswhy the representation (IV D) may be considered as mo-mentum representation.
E. Spinor Form of Maxwell’s Equations
The tensor of electromagnetic field F αβ and its compo-nents F αβ , α, β = 0 , may be considered in spinor form[3] (and similarly for G αβ ): F αβ = F AA ′ BB ′ ; F α β = F A A ′ B B ′ g αA A ′ g β B B ′ ,A, A ′ , B, B ′ = 0 , , α, β = 0 , , where g αA A ′ , α = 0 , , — Infeld–Van der Waerden sym-bols defined in real spinor basis ε A B in the followingway [3]: g αA A ′ := g αα ε AA ε A ′ A ′ , g A A ′ α := g αα ε AA ε A ′ A ′ , (23) ε A B = ε A ′ B ′ = (cid:18) − (cid:19) , ε AA ε AB = ε AB = (cid:18) (cid:19) . (24)Let’s write Maxwell’s equations using the spinors.The tensor F αβ is real and antisymmetric, it can berepresented in the form F αβ = ϕ AB ε A ′ B ′ + ε AB ¯ ϕ A ′ B ′ , ∗ F αβ = − i ϕ AB ε A ′ B ′ + i ε AB ¯ ϕ A ′ B ′ . (25)where ϕ AB is a spinor of electromagnetic field: ϕ AB := 12 F ABC ′ C ′ = 12 F AA ′ BB ′ ε A ′ B ′ = 12 F αβ ε A ′ B ′ . Similarly G αβ = γ AB ε A ′ B ′ + ε AB ¯ γ A ′ B ′ , (26) ∗ G αβ = − i γ AB ε A ′ B ′ + i ε AB ¯ γ A ′ B ′ . Replacing in (IV B) abstract indices α by AA ′ and β by BB ′ , we can write: ∇ AA ′ G AA ′ BB ′ = 4 πc j BB ′ . Using (IV E) we will get ∇ AB ′ γ BA + ∇ BA ′ γ B ′ A ′ = 4 πc j BB ′ . Similarly, from (IV B) and (IV E) it follows ∇ A ′ B ϕ AB − ∇ AB ′ ¯ ϕ A ′ B ′ = 0 . In so doing the system of Maxwell’s equations can bewritten as ∇ A ′ B ϕ AB − ∇ AB ′ ¯ ϕ A ′ B ′ = 0 , ∇ AB ′ γ BA + ∇ BA ′ γ B ′ A ′ = 4 πc j BB ′ . The spinor form of Maxwell’s equations system in vac-uum can be written in the form of one equation ∇ AB ′ ϕ BA = 2 πc j BB ′ . The components of electromagnetic field spinor: ϕ A B = 12 F αβ ε A ′ B ′ g αA A ′ g βB B ′ ,A, A ′ , B, B ′ = 0 , , α, β = 0 , . Using the equations (IV E), (IV E) and notation F i = E i − i B i , we will get [3]: ϕ = 12 ( F − i F ) ,ϕ = ϕ = − F ,ϕ = −
12 ( F + i F ) . V. MAXWELL’S EQUATIONS PRESENTATIONIN SOME COORDINATE SYSTEMSA. Maxwell’s Equations in Cylindric CoordinateSystem
Due to the standard ISO 31-11 the coordinates ( x , x , x ) are denoted as ( ρ, ϕ, z ) . In order to avoidsome collisions with charge density symbol ρ the follow-ing notation ( r, ϕ, z ) will be used.The law of coordinate transition from Cartesian coor-dinates to cylindric ones: x = r cos ϕ,y = r sin ϕ,z = z. The law of coordinate transition from cylindric coor-dinates to Cartesian ones: r = p x + y ,ϕ = arctg (cid:16) yx (cid:17) ,z = z. The metric tensor: g ij = r
00 0 1 , g ij = /r
00 0 1 . √ g = r. Lame coefficients: h ≡ h r = 1 , h ≡ h ϕ = r, h ≡ h z = 1 . The relation between the holonomic (tensor) and non-holonomic (vector) bases (see (II) and (II)): f r ′ = f r , f ϕ ′ = rf ϕ , f z ′ = f z ,f r ′ = f r , f ϕ ′ = 1 r f ϕ , f z ′ = f z . Differential operators in the holonomic basis: (grad f ) i = ∂f∂r δ ri + ∂f∂ϕ δ ϕi + ∂f∂z δ zi ;div ⇀ f = 1 r ∂ r ( rf r ) + ∂ ϕ ( f ϕ ) + ∂ z ( f z ) ; (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i = 1 r [ ∂ ϕ f z − ∂ z f ϕ ] δ ir ++ 1 r [ ∂ z f r − ∂ r f z ] δ iϕ + 1 r [ ∂ r f ϕ − ∂ ϕ f r ] δ iz . Differential operators in the nonholonomic basis: (grad f ) i = ∂f∂r δ r ′ i + 1 r ∂f∂ϕ δ ϕ ′ i + ∂f∂z δ z ′ i ;div ⇀ f = 1 r ∂ r (cid:16) rf r ′ (cid:17) + 1 r ∂ ϕ (cid:16) f ϕ ′ (cid:17) + ∂ z (cid:16) f z ′ (cid:17) ; (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i = 1 r [ ∂ ϕ f z ′ − r∂ z f ϕ ′ ] δ ir ′ ++ [ ∂ z f r ′ − ∂ r f z ′ ] δ iϕ + 1 r [ ∂ r ( rf ϕ ′ ) − ∂ ϕ f r ′ ] δ iz ′ . Maxwell’s equations in cylindric coordinates ( r, ϕ, z ) : r h ∂ j E k − ∂ k E j i = − c ∂ t B i , i, j, k = 1 , , r h ∂ j H k − ∂ k H j i = − c ∂ t D i + 4 πc j i , i, j, k = 1 , , r ∂ i (cid:0) rD i (cid:1) = 4 πρ, i = 1 , , r ∂ i (cid:0) rB i (cid:1) = 0 , i = 1 , . The final result after some rearrangements: r [ ∂ ϕ E − ∂ z E ] = − c ∂ t B , r [ ∂ z E − ∂ r E ] = − c ∂ t B , r [ ∂ r E − ∂ ϕ E ] = − c ∂ t B , r [ ∂ ϕ H − ∂ z H ] = − c ∂ t D + 4 πc j , r [ ∂ z H − ∂ r H ] = − c ∂ t D + 4 πc j , r [ ∂ r H − ∂ ϕ H ] = − c ∂ t D + 4 πc j , r D + ∂D ∂r + ∂D ∂ϕ + ∂D ∂z = 4 πρ, r B + ∂B ∂r + ∂B ∂ϕ + ∂B ∂z = 0 . B. Maxwell’s equations in Spherical CoordinateSystem
Due to standard ISO 31-11 coordinates ( x , x , x ) aredenoted as ( r, ϑ, ϕ ) . The law of coordinate transition from Cartesian coor-dinates to spherical ones: x = r sin ϑ cos ϕ,y = r sin ϑ sin ϕ,z = r cos ϑ. The law of coordinate transition from spherical coor-dinates to Cartesian ones: r = p x + y + z ,ϑ = arccos z p x + y + z ! = arctg p x + y z ! ,ϕ = arctg (cid:16) yx (cid:17) . The metric tensor: g ij = r
00 0 r sin ϑ , g ij = r
00 0 1 r sin ϑ √ g = r sin ϑ. Lame coefficients: h ≡ h r = 1 , h ≡ h ϑ = r, h ≡ h ϕ = r sin ϑ. The relation between the holonomic (tensor) and non-holonomic (vector) bases (see (II) and (II)): f r ′ = f r , f ϑ ′ = rf ϑ , f ϕ ′ = r sin ϑf ϕ ,f r ′ = f r , f ϑ ′ = 1 r f ϑ , f ϕ ′ = 1 r sin ϑ f ϕ . Differential operators in the holonomic basis: (grad f ) i = ∂f∂r δ ri + ∂f∂ϑ δ ϑi + ∂f∂ϕ δ ϕi ;div ⇀ f = 1 r ∂ r (cid:0) r f r (cid:1) + 1sin ϑ ∂ ϑ (cid:0) sin ϑf ϑ (cid:1) + ∂ ϕ ( f ϕ ) ; (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i = 1 r sin ϑ [ ∂ ϑ f ϕ − ∂ ϕ f ϑ ] δ ir ++ 1 r sin ϑ [ ∂ ϕ f r − ∂ r f ϕ ] δ iϑ + 1 r sin ϑ [ ∂ r f ϑ − ∂ ϑ f r ] δ iϕ . Differential operators in the nonholonomic basis: (grad f ) i = ∂f∂r δ r ′ i + 1 r ∂f∂ϑ δ ϑ ′ i + 1 r sin ϑ ∂f∂ϕ δ ϕ ′ i ;div ⇀ f = 1 r ∂ r (cid:16) r f r ′ (cid:17) + 1 r sin ϑ ∂ ϑ (cid:16) sin ϑf ϑ ′ (cid:17) ++ 1 r sin ϑ ∂ ϕ (cid:16) f ϕ ′ (cid:17) ; (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i = 1 r sin ϑ [ ∂ ϑ (sin ϑf ϕ ′ ) − ∂ ϕ f ϑ ′ ] δ ir ′ ++ 1 r (cid:20) ϑ ∂ ϕ f r ′ − ∂ r ( rf ϕ ′ ) (cid:21) δ iϑ ′ + 1 r [ ∂ r ( rf ϑ ′ ) − ∂ ϑ f r ′ ] δ iϕ ′ . Maxwell’s equations in spherical coordinates ( r, ϑ, ϕ ) : r sin ϑ h ∂ j E k − ∂ k E j i = − c ∂ t B i , i, j, k = 1 , , r sin ϑ h ∂ j H k − ∂ k H j i = − c ∂ t D i + 4 πc j i , i, j, k = 1 , , r sin ϑ ∂ i (cid:0) r sin ϑD i (cid:1) = 4 πρ, i = 1 , , r sin ϑ ∂ i (cid:0) r sin ϑB i (cid:1) = 0 , i = 1 , . The final result after some rearrangements: r sin ϑ [ ∂ ϑ E − ∂ ϕ E ] = − c ∂ t B , r sin ϑ [ ∂ ϕ E − ∂ r E ] = − c ∂ t B , r sin ϑ [ ∂ r E − ∂ ϑ E ] = − c ∂ t B , r sin ϑ [ ∂ ϑ H − ∂ ϕ H ] = − c ∂ t D + 4 πc j , r sin ϑ [ ∂ ϕ H − ∂ r H ] = − c ∂ t D + 4 πc j , r sin ϑ [ ∂ r H − ∂ ϑ H ] = − c ∂ t D + 4 πc j , r D + ∂ r D + ctg ϑD + ∂ ϑ D + ∂ ϕ D = 4 πρ, r B + ∂ r B + ctg ϑB + ∂ ϑ B + ∂ ϕ B = 0 . VI. CONCLUSION
The main results of the article are:1. The connection between tensorial and vectorial for-malisms is shown.2. The covariant coordinate representation of differ-ential operators for holonomic coordinate systemsis given.3. It is shown how to use tensor formalism for differentforms of Maxwell’s equations.4. Maxwell’s equations are presented in covariantcoordinate-free and covariant coordinate forms.5. It is shown that the results obtained by tensorialand vectorial formalisms are the same for cylindri-cal and spherical coordinate systems.6. It is shown that the usage of tensorial formalism in-stead of vectorial one for Maxwell’s equations maysimplify mathematical expressions (particularly innon-Cartesian coordinate systems).Using tensorial formalism instead of vectorial onecan simplify the form of equations and intermediateresults in non-Cartesian coordinate systems due towell developed formalism of tensor analysis. Thetransition to vectorial formalism can be done at afinal stage if necessary. [1] D. S. Kulyabov and N. A. Nemchaninova. Maxwell’sequations in curvilinear coordinates.
Bulletin of Peoples’Friendship University of Russia. Series Mathematics. In-formation Sciences. Physics , (2):172–179, 2011.[2] J. A. Stratton.
Electromagnetic Theory . MGH, 1941.[3] R. Penrose and W. Rindler.
Spinors and Space-Time:Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields , volume 1.Cambridge University Press, 1984.[4] H. Minkowski. Die grundlagen f¨ur die electromagnetischenvorg¨onge in bewegten k¨orpern.
Math. Ann. , (68):472–525, 1910.[5] L. Silberstein. Electromagnetische grundgleichungen inbivectorieller behandlung.
Annalen der Physik , 22:579–586, 1907.[6] F. M. Morse and H. Feshbach.
Methods of theoreticalphysics , volume 1. MGH, 1953. r X i v : . [ m a t h - ph ] N ov Уравнения Максвелла в произвольной системе координат
Д. С. Кулябов ∗ and А. В. Королькова † Российский университет дружбы народов ‡ В работе продемонстрировано применение тензорного формализма для получения разныхформ записи уравнений Максвелла. Получены уравнения Максвелла в ковариантной беско-ординатной и ковариантной координатной формах. Предварительно установлена связь междувекторным и тензорным формализмами, выписано координатное представление дифференци-альных операторов для произвольных голономных систем координат. Проведена верификациярезультатов, полученных с помощью тензорного и векторного формализмов на примере ци-линдрической и сферической систем координат.
I. ВВЕДЕНИЕ
В задачах математического моделирования вол-новодов часто возникает потребность использованиякриволинейных систем координат. Выбор конкретнойсистемы координат зависит от формы поперечного се-чения волновода.Обычно для описания исследуемой волноводной мо-дели за основу берётся запись уравнений Максвелла вдекартовой системе координат. Используя трансфор-мационные свойства векторов, уравнения Максвеллапереписываются для конкретной криволинейной си-стемы координат, часто сферической или цилиндри-ческой. Однако, например, в задаче моделированияускорителя тяжёлых частиц волновод может иметьформу конуса или гиперболоида. Другой пример вол-новода сложной формы — волноводная линза Люне-берга, представляющая собой часть сферы или цилин-дра, прикреплённой к планарному волноводу. Поэто-му, в случае более сложной формы волновода требует-ся запись уравнений Максвелла в произвольной кри-волинейной системе координат.Традиционно к уравнениям Максвелла применяютвекторный формализм. В этом случае запись уравне-ний в криволинейной системе координат крайне гро-моздка. В работе [1] проведены предварительные ис-следования по применению тензорного формализма,приводящего к более компактной и удобной формезаписи уравнений Максвелла. Кроме того, тензорныйформализм имеет мощный математический аппарат,который позволяет работать с ковариантной бескоор-динатной формой записи уравнений. В этом случаепереход к конкретной системе координат нужен толь-ко на заключительном этапе исследований при запи-си результата. Непосредственно применить тензорныйформализм к уравнениям Максвелла нельзя. Требу-ется установить связь векторного и тензорного фор-мализмов. ∗ [email protected] † [email protected] ‡ Опубликовано в: Kulyabov D.S., Korolkova A.V., Korolkov V.I.Maxwell’s Equations in Arbitrary Coordinate System // Bulletinof Peoples’ Friendship University of Russia. Series «Mathematics.Information Sciences. Physics». 2012. № 1. P. 96–106.
Различные формы записи уравнений Максвелла ис-пользуются и в задачах, связанных с нахождением га-мильтониана электромагнитного поля, применяемогодля построения вариационных интеграторов, в част-ности, симплектических интеграторов. Основная цель— выполнение условия сохранения симплектическойструктуры при дискретизации уравнений. Методы на-хождения гамильтониана электромагнитного поля ис-пользуют следующие формы записи уравнений Макс-велла: • через 3-векторы; • через 4-векторы; • комплексное представление; • импульсное представление (для его записи всвою очередь применяется комплексная форма); • спинорное представление.Резюмируя сказанное выше, сформулируем основ-ные задачи, решаемые в данной работе. Необходимопродемонстрировать связь векторного и тензорногоформализмов (раздел II). Применить тензорный фор-мализм для различных форм представления уравне-ний Максвелла (раздел IV) и верифицировать полу-ченные результаты, выписав явно уравнения Макс-велла в цилиндрической и сферической системах ко-ординат (раздел V). II. СВЯЗЬ ТЕНЗОРНОГО И ВЕКТОРНОГОФОРМАЛИЗМОВ ЗАПИСИ ВЕКТОРОВ
Будем использовать предложенный в [2] формализмабстрактных индексов. В [2] через α обозначен аб-страктный индекс, α — компонентный индекс тензора.Присутствие в некотором выражении компонентногоиндекса означает, что в него косвенным образом вве-дён некоторый (произвольный) базис, а сами индек-сы подчиняются правилу суммирования Эйнштейна(суммирование по всякому численному индексу, кото-рый встречается в одном члене выражения дважды:вверху и внизу). Абстрактные индексы имеют органи-зующее значение.Рассмотрим произвольное n -мерное векторное про-странство V i и сопряжённое к V i пространство V i .В тензорном формализме зададим голономный ба-зис: δ ii = ∂∂x i ∈ V i , δ ii = d x i ∈ V i , i = 1 , n. В векторном формализме неголономный базис зада-ётся через элементы длины d s i ′ по соответствующейкоординате: δ ii ′ = ∂∂s i ′ , δ i ′ i = d s i ′ , i ′ = 1 , n. Неголономный базис обычно предоставляет некото-рые удобства. В данном случае это: • сохранение величин при преобразовании коорди-нат (т. е. расстояния переходят в расстояние, уг-лы в углы и т. д.); • неразличимость контравариантных и ковари-антных векторов, что позволяет использоватьтолько один тип индекса.В тензорной записи: d s = g ij d x i d x j , i, j = 1 , n, где g ij — метрический тензор.В векторной записи: d s = g i ′ j ′ d s i ′ d s j ′ , i ′ , j ′ = 1 , n. (1)В случае ортогонального базиса (II) принимает вид: d s = g i ′ i ′ d s i ′ d s i ′ , i ′ = 1 , n. (2)Выразим векторный базис через тензорный: d s i ′ = h i ′ i d x i , ∂∂s i ′ = h ii ′ ∂∂x i . Здесь h i ′ i , h ii ′ , i, i ′ = 1 , n , — коэффициенты неголо-номности.Для ортогонального базиса из (II) находим: g ii d x i d x i = g i ′ i ′ h i ′ i h i ′ i d x i d x i , i, i ′ = 1 , n. Введём обозначение (для ортогональной системыкоординат): (cid:16) h i (cid:17) := h i ′ i h i ′ i = g ii g i ′ i ′ , h i := h i ′ i = s g ii g i ′ i ′ , i, i ′ = 1 , n. Величины h i называются коэффициентами Ламе [3,Т. 1, с. 34–35]. Выразим вектор f i ∈ V i через его компоненты f i втензорном δ ii и векторном δ ii ′ базисах соответственно: f i = f i δ ii = f i ∂∂x i ,f i = f i ′ δ ii ′ = f i ′ ∂∂s i ′ = f i ′ h i ′ i ∂∂x i . Отсюда получаем, что f i ′ = f i h i ′ i , i, i ′ = 1 , n. (3)Аналогично для ковекторов имеем: f i = f i δ ii = f i d x i ,f i = f i ′ δ i ′ i = f i ′ d s i ′ = f i ′ h i ′ i d x i , откуда получаем, что f i ′ = f i h i ′ i , i, i ′ = 1 , n. (4)Таким образом, показана связь между тензорным ивекторным формализмами. III. ТЕНЗОРНАЯ ЗАПИСЬДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВКОМПОНЕНТАХ
Запишем в компонентах дифференциальные опера-торы (для связностей, ассоциированных с метрикой).Выражение для градиента имеет вид (здесь ϕ — ска-ляр): (grad ϕ ) i = (grad ϕ ) i δ ii , (grad ϕ ) i = ∇ i ϕ = ∂ i ϕ, i = 1 , n. (5)Выражение для дивергенции некоторого произволь-ного вектора ⇀ f ∈ V i имеет вид: div ⇀ f = ∇ i f i = f i,i − Γ iji f j = f i,i − f i ( p | g | ) ,i p | g | == 1 p | g | ∂ i (cid:16)p | g | f i (cid:17) , (6)или в компонентах: div ⇀ f = 1 p | g | ∂ i (cid:16)p | g | f i (cid:17) , i = 1 , n. (7)Здесь g представляет собой det (cid:16) g ii (cid:17) . Так как под-коренное выражение должно быть неотрицательным,а в пространстве Минковского M g < , то для опре-делённости будем использовать запись | g | .Выражение для ротора действительно только в про-странстве E : (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i = h ⇀ ∇ , ⇀ f i = (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i δ ii , (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i = e ijk ∇ j f k , i, j, k = 1 , , (8)где e ijk — альтернирующий тензор, выражающийсячерез символ Леви-Чевиты ε ijk : e ijk = p g (3) ε ijk , e ijk = 1 p g (3) ε ijk , i, j, k = 1 , . В общем случае имеем: e a a ...a n = q | g ( n ) | ε a a ...a n ,e a a ...a n = p | g ( n ) | g ( n ) ε a a ...a n = sign g ( n ) p | g ( n ) | ε a a ...a n ,a , a , . . . , a n = 1 , n. (9)Из выражений (III) для дивергенции и (III) для гра-диента можно получить лапласиан: ∆ ϕ = ∇ i (cid:0) ∇ i ϕ (cid:1) = ∇ i (cid:0) g ij (grad ϕ ) j (cid:1) == ∇ i (cid:0) g ij ∂ j ϕ (cid:1) = 1 p | g | ∂ i (cid:16)p | g | g ij ∂ j ϕ (cid:17) . IV. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙМАКСВЕЛЛА
Рассмотрим уравнения Максвелла в системеСГС [4]: ⇀ ∇ × ⇀ E = − c ∂ ⇀ B∂t ; ⇀ ∇ · ⇀ D = 4 πρ ; ⇀ ∇ × ⇀ H = 1 c ∂ ⇀ D∂t + 4 πc ⇀ j ; ⇀ ∇ · ⇀ B = 0 . (10)Здесь ⇀ E и ⇀ H — напряжённости электрического имагнитного полей, ⇀ D и ⇀ B — электрическая и магнит-ная индукция соответственно, ⇀ j — плотность тока, ρ —плотность заряда, c — скорость света. A. Ковариантная запись уравнений Максвеллачерез 3-векторы
Запишем уравнения (IV) в явно ковариантной фор-ме e ijk ∇ j E k = −∇ B i ; ∇ i D i = 4 πρ ; e ijk ∇ j H k = ∇ D i + 4 πc j i ; ∇ i B i = 0 . (11)Перепишем (IV) в компонентах тензорного форма-лизма, используя (III) и (III): p g (3) h ∂ j E k − ∂ k E j i = − c ∂ t B i , i, j, k = 1 , , p g (3) ∂ i (cid:16)p g (3) D i (cid:17) = 4 πρ, i = 1 , , p g (3) h ∂ j H k − ∂ k H j i = − c ∂ t D i + 4 πc j i , i, j, k = 1 , , p g (3) ∂ i (cid:16)p g (3) B i (cid:17) = 0 , i = 1 , . B. Ковариантная запись уравнений Максвеллачерез 4-векторы
Запишем (IV) через тензоры электромагнитного по-ля F αβ и G αβ [5], [6, с. 256, 263–264]: ∇ α F βγ + ∇ β F γα + ∇ γ F αβ = F [ αβ ; γ ] = 0 , (12) ∇ α G αβ = 4 πc j β , (13)где тензоры F αβ , F αβ , G αβ и G αβ имеют следующиекомпоненты F αβ = E E E − E − B B − E B − B − E − B B ,F αβ = − E − E − E E − B B E B − B E − B B ,G αβ = − D − D − D D − H H D H − H D − H H ,G αβ = D D D − D − H H − D H − H − D − H H , E i , H i , i = 1 , , — компоненты векторов напряжённо-сти электрического и магнитного полей соответствен-но; D i , B i , i = 1 , , — компоненты векторов электри-ческой и магнитной индукции соответственно[ ? ].Уравнение (IV B) можно записать в более простомвиде ∇ α ∗ F αβ = 0 . (14)Здесь введён тензор ∗ F αβ , дуально сопряжённый тен-зору F αβ ∗ F αβ = 12 e αβγδ F γδ , где e αβγδ — альтернирующий тензор (см. (III)): e αβγδ = √− gε αβγδ , e αβγδ = − √− g ε αβγδ . Аналогично запишем ∗ F αβ = 12 e αβγδ F γδ , ∗ G αβ = 12 e αβγδ G γδ , ∗ G αβ = 12 e αβγδ G γδ . Запишем в компонентах: ∗ F αβ = √− g B B B − B E − E − B − E E − B E − E , ∗ F αβ = 1 √− g − B − B − B B E − E B − E E B E − E , ∗ G αβ = 1 √− g − H − H − H H D − D H − D D H D − D , ∗ G αβ = √− g H H H − H D − D − H − D D − H D − D , Кодифицируем запись используемых тензоров. Дляэтого поставим в соответствие F αβ упорядоченную па-ру ( E i , B i ) ( F αβ ∼ ( E i , B i ) ) следующим образом F i = E i , F ij = − ε ijk B k . Таким образом можно выписать следующие соот- ветствия F αβ ∼ ( E i , B i ) , F αβ ∼ ( − E i , B i ) ,G αβ ∼ ( D i , H i ) , G αβ ∼ ( − D i , H i ) , ∗ F αβ ∼ √− g ( B i , − E i ) , ∗ F αβ ∼ √− g ( − B i , − E i ) , ∗ G αβ ∼ √− g ( H i , − D i ) , ∗ G αβ ∼ √− g ( − H i , − D i ) . (15)По этой упорядоченной паре можно строить кактензорные, так и векторные представления тензораэлектромагнитной индукции. C. Комплексное представление уравненийМаксвелла
Можно построить несколько видов комплексногопредставления уравнений Максвелла, хотя обычноограничиваются вакуумным случаем в евклидовомпространстве. Мы же запишем комплексное представ-ление в среде в произвольных координатах.Комплексное представление уравнений Максвелларассматривалось разными авторами [7, с. 40–42], [8].Аналогично (IV B) зададим соответствие упорядо-ченной пары и комплексного 3-вектора F i ∼ ( E i , B i ) , F i = E i + i B i ; G i ∼ ( D i , H i ) , G i = D i + i H i . (16)Выразим напряжённость и индукцию через соответ-ствующие комплексные векторы E i = F i + ¯ F i , B i = F i − ¯ F i ,D i = G i + ¯ G i , H i = G i − ¯ G i . Введём два дополнительных комплексных вектора K i = G i + F i , L i = ¯ G i − ¯ F i . (17)Тогда уравнения (IV A) примут вид ∇ i ( K i + L i ) = 4 πρ ; − i ∇ ( K i − L i ) + e ijk ∇ j ( K k − L k ) = i 4 πc j i . (18)
1. Комплексное представление уравнений Максвелла ввакууме
Из соотношений D i = E i , H i = B i и (IV C) получа-ем K i = E i + i B i = F i , L i = 0 . Тогда уравнения (IV C) будут иметь вид ∇ i F i = 4 πρ ; − i ∇ F i + e ijk ∇ j F k = i 4 πc j i . (19)
2. Комплексное представление уравнений Максвелла воднородной изотропной среде
В однородной изотропной среде справедливы следу-ющие соотношения D i = εE i , µH i = B i , где ε и µ —диэлектрическая и магнитная проницаемости.Для упрощения получаемых выражений возможенследующий трюк. В (IV C 1) делаем формальную за-мену c → c ′ = c √ εµ (то есть заменяем скорость света ввакууме на скорость света в среде) и j α → j α √ ε . Тогдаполучим F i = √ εE i + i 1 √ µ B i , ∇ i F i = 4 π √ ε ρ ; e ijk ∇ j F k = i 4 π √ µc j i + i √ εµc ∂F i ∂t . Данное представление уравнений Максвелла имеетнесколько наименований. В частности, оно известнокак представление Римана–Зильберштейна.
D. Импульсное представление уравненийМаксвелла
Разложим векторы напряжённости электрическогои магнитного полей, электрической и магнитной ин-дукций в ряд Фурье по волновым векторам k j , j —абстрактный индекс (фурье-образы стандартно обо-значим шапочкой): ˆ E i ( t, k j ) = 1 p (2 π ) Z d x j p g (3) E i ( t, x j )e − i k j x j , ˆ H i ( t, k j ) = 1 p (2 π ) Z d x j p g (3) H i ( t, x j )e − i k j x j , ˆ B i ( t, k j ) = 1 p (2 π ) Z d x j p g (3) B i ( t, x j )e − i k j x j , ˆ D i ( t, k j ) = 1 p (2 π ) Z d x j p g (3) D i ( t, x j )e − i k j x j , ˆ ρ ( t, k j ) = 1 p (2 π ) Z d x j p g (3) ρ ( t, x j )e − i k j x j , ˆ i ( t, k j ) = 1 p (2 π ) Z d x j p g (3) j i ( t, x j )e − i k j x j . (20) Обратное преобразование: E i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ E i ( t, k j )e i k j x j ,H i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ H i ( t, k j )e i k j x j ,B i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ B i ( t, k j )e i k j x j ,D i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ D i ( t, k j )e i k j x j ,ρ ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ ρ ( t, k j )e i k j x j ,j i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ i ( t, k j )e i k j x j . (21)Следует заметить, что компоненты векторов E i ( t, x j ) и ˆ E i ( t, k j ) , (аналогично: H i ( t, x j ) и ˆ H i ( t, k j ) , D i ( t, x j ) и ˆ D i ( t, k j ) , B i ( t, x j ) и ˆ B i ( t, k j ) , j i ( t, x j ) и ˆ i ( t, k j ) ) рассматриваются в разных базисах: E i ( t, x j ) = E i ( t, x j ) δ ii , ˆ E i ( t, k j ) = ˆ E ˆ ı ( t, k j ) δ i ˆ ı , ˆ g (3) := det g ˆ ı ˆ , d s = g ˆ ı ˆ d x ˆ ı d x ˆ . где базис δ i ˆ ı взят относительно вектора k i . Для всех k i определён свой независимый базис. При выписыва-нии уравнений Максвелла из (IV D) можно работатьне с интегралами, а напрямую с подынтегральнымивыражениями. Или воспользоваться формулами дляпреобразований Фурье: \ ( af ( x i ) + bg ( x i )) = a ˆ f ( k i ) + b ˆ g ( k i ) , a, b = const , \ ∂f ( x i ) ∂x j = i k j ˆ f ( k i ) , \ f ( x i ) g ( x i ) = 1 p (2 π ) ( ˆ f ∗ ˆ g )( k i ) , где свёртка имеет вид ( ˆ f ∗ ˆ g )( k i ) = ∞ Z −∞ ˆ f ( k i − s i )ˆ g ( s i )d s i . Считая g = const , получим i 1 p g (3) ε ijk k j E k ( t, k j ) = − c ∂ t B i ( t, k j ) , i 1 p g (3) ε ijk k j H k ( t, k j ) = 1 c ∂ t D i ( t, k j ) + 4 πc j i ( t, k j ) , i k i D i ( t, k j ) = 4 πρ ( t, k j ) , i k i B i ( t, k j ) = 0 . (22)Поскольку результирующие (IV D) уравнения по-лучаются комплексными, то представляется бо-лее оправданным использование в данном подхо-де комплексного представления уравнений Максвел-ла (IV C): F i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ F i ( t, k j )e i k j x j ,G i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ G i ( t, k j )e i k j x j ,ρ ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ ρ ( t, k j )e i k j x j ,j i ( t, x j ) = 1 p (2 π ) Z d k j p ˆ g (3) ˆ i ( t, k j )e i k j x j . Замечание.
В рамках классической электродина-мики разложение векторов E j , H j , B j , D j в ряд Фурьепо волновым векторам k j соответствует в квантовоймеханике разложению этих векторов в ряд Фурье поимпульсам. Поэтому представление (IV D) можно на-звать импульсным. E. Спинорная запись уравнений Максвелла
Тензор электромагнитного поля F αβ и его компо-ненты F αβ , α, β = 0 , , можно рассматривать в спи-норной форме [2, с. 153] (аналогично и для G αβ ): F αβ = F AA ′ BB ′ ; F α β = F A A ′ B B ′ g αA A ′ g β B B ′ ,A, A ′ , B, B ′ = 0 , , α, β = 0 , , где g αA A ′ , α = 0 , , — символы Инфельда–ван дерВердена, определяемые в действительном спинорномбазисе ε A B следующим образом [2, с. 161]: g αA A ′ := g αα ε AA ε A ′ A ′ , g A A ′ α := g αα ε AA ε A ′ A ′ , (23) ε A B = ε A ′ B ′ = (cid:18) − (cid:19) , ε AA ε AB = ε AB = (cid:18) (cid:19) . (24)Запишем уравнения Максвелла через спиноры.Поскольку тензор F αβ действителен и антисиммет-ричен, то его можно представить в виде F αβ = ϕ AB ε A ′ B ′ + ε AB ¯ ϕ A ′ B ′ , ∗ F αβ = − i ϕ AB ε A ′ B ′ + i ε AB ¯ ϕ A ′ B ′ . (25)здесь ϕ AB — спинор электромагнитного поля: ϕ AB := 12 F ABC ′ C ′ = 12 F AA ′ BB ′ ε A ′ B ′ = 12 F αβ ε A ′ B ′ . Аналогично можно записать G αβ = γ AB ε A ′ B ′ + ε AB ¯ γ A ′ B ′ , (26) ∗ G αβ = − i γ AB ε A ′ B ′ + i ε AB ¯ γ A ′ B ′ . Заменяя в уравнении (IV B) абстрактные индексы α на AA ′ и β на BB ′ , запишем: ∇ AA ′ G AA ′ BB ′ = 4 πc j BB ′ . Используя соотношение (IV E) получим ∇ AB ′ γ BA + ∇ BA ′ γ B ′ A ′ = 4 πc j BB ′ . Аналогично, из (IV B) и (IV E) получим ∇ A ′ B ϕ AB − ∇ AB ′ ¯ ϕ A ′ B ′ = 0 . Таким образом полная система уравнений Максвел-ла в спинорном представлении имеет вид ∇ A ′ B ϕ AB − ∇ AB ′ ¯ ϕ A ′ B ′ = 0 , ∇ AB ′ γ BA + ∇ BA ′ γ B ′ A ′ = 4 πc j BB ′ . Система уравнений Максвелла в вакууме в спинор-ной форме запишется в виде одного уравнения [2, с.385]: ∇ AB ′ ϕ BA = 2 πc j BB ′ . Выпишем компоненты спинора электромагнитногополя: ϕ A B = 12 F αβ ε A ′ B ′ g αA A ′ g βB B ′ ,A, A ′ , B, B ′ = 0 , , α, β = 0 , . Используя (IV E), (IV E) и обозначив F i = E i − i B i ,можно записать [2, с. 386]: ϕ = 12 ( F − i F ) ,ϕ = ϕ = − F ,ϕ = −
12 ( F + i F ) . V. РЕАЛИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙМАКСВЕЛЛА В НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХКООРДИНАТ
Продемонстрируем реализацию уравнений Макс-велла в голономном базисе на примере часто исполь-зуемых систем координат: цилиндрической и сфери-ческой. Результат можно сравнить с реализацией внеголономной системе координат [9].
A. Уравнения Максвелла в цилиндрическойсистеме координат
В рамках стандарта ISO 31-11 координаты ( x , x , x ) обозначаются как ( ρ, ϕ, z ) . Чтобы невозникало коллизий с обозначением плотностизаряда ρ , будем использовать обозначения ( r, ϕ, z ) Закон преобразования координат от декартовых кцилиндрическим: x = r cos ϕ,y = r sin ϕ,z = z. Закон преобразования координат от цилиндриче-ских к декартовым: r = p x + y ,ϕ = arctg (cid:16) yx (cid:17) ,z = z. Метрический тензор: g ij = r
00 0 1 , g ij = /r
00 0 1 . √ g = r. Коэффициенты Ламе: h ≡ h r = 1 , h ≡ h ϕ = r, h ≡ h z = 1 . Соотношение между голономным (тензорным) инеголономным (векторным) базисами (см. (II) и (II)): f r ′ = f r , f ϕ ′ = rf ϕ , f z ′ = f z ,f r ′ = f r , f ϕ ′ = 1 r f ϕ , f z ′ = f z . Дифференциальные операторы в голономном бази-се: (grad f ) i = ∂f∂r δ ri + ∂f∂ϕ δ ϕi + ∂f∂z δ zi ;div ⇀ f = 1 r ∂ r ( rf r ) + ∂ ϕ ( f ϕ ) + ∂ z ( f z ) ; (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i = 1 r [ ∂ ϕ f z − ∂ z f ϕ ] δ ir ++ 1 r [ ∂ z f r − ∂ r f z ] δ iϕ + 1 r [ ∂ r f ϕ − ∂ ϕ f r ] δ iz . Дифференциальные операторы в неголономном ба-зисе: (grad f ) i = ∂f∂r δ r ′ i + 1 r ∂f∂ϕ δ ϕ ′ i + ∂f∂z δ z ′ i ;div ⇀ f = 1 r ∂ r (cid:16) rf r ′ (cid:17) + 1 r ∂ ϕ (cid:16) f ϕ ′ (cid:17) + ∂ z (cid:16) f z ′ (cid:17) ; (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i = 1 r [ ∂ ϕ f z ′ − r∂ z f ϕ ′ ] δ ir ′ ++ [ ∂ z f r ′ − ∂ r f z ′ ] δ iϕ + 1 r [ ∂ r ( rf ϕ ′ ) − ∂ ϕ f r ′ ] δ iz ′ . Запишем уравнения Максвелла в цилиндрическихкоординатах ( r, ϕ, z ) . r h ∂ j E k − ∂ k E j i = − c ∂ t B i , i, j, k = 1 , , r h ∂ j H k − ∂ k H j i = − c ∂ t D i + 4 πc j i , i, j, k = 1 , , r ∂ i (cid:0) rD i (cid:1) = 4 πρ, i = 1 , , r ∂ i (cid:0) rB i (cid:1) = 0 , i = 1 , . После преобразований окончательно получаем: r [ ∂ ϕ E − ∂ z E ] = − c ∂ t B , r [ ∂ z E − ∂ r E ] = − c ∂ t B , r [ ∂ r E − ∂ ϕ E ] = − c ∂ t B , r [ ∂ ϕ H − ∂ z H ] = − c ∂ t D + 4 πc j , r [ ∂ z H − ∂ r H ] = − c ∂ t D + 4 πc j , r [ ∂ r H − ∂ ϕ H ] = − c ∂ t D + 4 πc j , r D + ∂D ∂r + ∂D ∂ϕ + ∂D ∂z = 4 πρ, r B + ∂B ∂r + ∂B ∂ϕ + ∂B ∂z = 0 . B. Уравнения Максвелла в сферической системекоординат
В рамках стандарта ISO 31-11 координаты ( x , x , x ) обозначаются как ( r, ϑ, ϕ ) .Закон преобразования координат от декартовых ксферическим: x = r sin ϑ cos ϕ,y = r sin ϑ sin ϕ,z = r cos ϑ. Закон преобразования координат от сферических кдекартовым: r = p x + y + z ,ϑ = arccos z p x + y + z ! = arctg p x + y z ! ,ϕ = arctg (cid:16) yx (cid:17) . Метрический тензор: g ij = r
00 0 r sin ϑ , g ij = r
00 0 1 r sin ϑ √ g = r sin ϑ. Коэффициенты Ламе: h ≡ h r = 1 , h ≡ h ϑ = r, h ≡ h ϕ = r sin ϑ. Соотношение между голономным (тензорным) инеголономным (векторным) базисами (см. (II) и (II)): f r ′ = f r , f ϑ ′ = rf ϑ , f ϕ ′ = r sin ϑf ϕ ,f r ′ = f r , f ϑ ′ = 1 r f ϑ , f ϕ ′ = 1 r sin ϑ f ϕ . Дифференциальные операторы в голономном бази-се: (grad f ) i = ∂f∂r δ ri + ∂f∂ϑ δ ϑi + ∂f∂ϕ δ ϕi ;div ⇀ f = 1 r ∂ r (cid:0) r f r (cid:1) + 1sin ϑ ∂ ϑ (cid:0) sin ϑf ϑ (cid:1) + ∂ ϕ ( f ϕ ) ; (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i = 1 r sin ϑ [ ∂ ϑ f ϕ − ∂ ϕ f ϑ ] δ ir ++ 1 r sin ϑ [ ∂ ϕ f r − ∂ r f ϕ ] δ iϑ + 1 r sin ϑ [ ∂ r f ϑ − ∂ ϑ f r ] δ iϕ . Дифференциальные операторы в неголономном ба-зисе: (grad f ) i = ∂f∂r δ r ′ i + 1 r ∂f∂ϑ δ ϑ ′ i + 1 r sin ϑ ∂f∂ϕ δ ϕ ′ i ;div ⇀ f = 1 r ∂ r (cid:16) r f r ′ (cid:17) + 1 r sin ϑ ∂ ϑ (cid:16) sin ϑf ϑ ′ (cid:17) ++ 1 r sin ϑ ∂ ϕ (cid:16) f ϕ ′ (cid:17) ; (cid:16) rot ⇀ f (cid:17) i = 1 r sin ϑ [ ∂ ϑ (sin ϑf ϕ ′ ) − ∂ ϕ f ϑ ′ ] δ ir ′ ++ 1 r (cid:20) ϑ ∂ ϕ f r ′ − ∂ r ( rf ϕ ′ ) (cid:21) δ iϑ ′ + 1 r [ ∂ r ( rf ϑ ′ ) − ∂ ϑ f r ′ ] δ iϕ ′ . Запишем уравнения Максвелла в сферических ко-ординатах ( r, ϑ, ϕ ) . r sin ϑ h ∂ j E k − ∂ k E j i = − c ∂ t B i , i, j, k = 1 , , r sin ϑ h ∂ j H k − ∂ k H j i = − c ∂ t D i + 4 πc j i , i, j, k = 1 , , r sin ϑ ∂ i (cid:0) r sin ϑD i (cid:1) = 4 πρ, i = 1 , , r sin ϑ ∂ i (cid:0) r sin ϑB i (cid:1) = 0 , i = 1 , . После преобразований окончательно получаем: r sin ϑ [ ∂ ϑ E − ∂ ϕ E ] = − c ∂ t B , r sin ϑ [ ∂ ϕ E − ∂ r E ] = − c ∂ t B , r sin ϑ [ ∂ r E − ∂ ϑ E ] = − c ∂ t B , r sin ϑ [ ∂ ϑ H − ∂ ϕ H ] = − c ∂ t D + 4 πc j , r sin ϑ [ ∂ ϕ H − ∂ r H ] = − c ∂ t D + 4 πc j , r sin ϑ [ ∂ r H − ∂ ϑ H ] = − c ∂ t D + 4 πc j , r D + ∂ r D + ctg ϑD + ∂ ϑ D + ∂ ϕ D = 4 πρ, r B + ∂ r B + ctg ϑB + ∂ ϑ B + ∂ ϕ B = 0 . VI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Сформулируем основные выводы и результаты, по-лученные в работе:1. Показана связь между тензорным и векторнымформализмами.2. Выписано ковариантное координатное представ-ление дифференциальных операторов для голо-номных систем координат.3. Продемонстрировано применение тензорногоформализма для разных форм записи уравне-ний Максвелла.4. Выписаны уравнения Максвелла в ковариант-ной бескоординатной и ковариантной коорди-натной формах.5. Показано совпадение результатов, полученных спомощью тензорного и векторного формализмовна примере цилиндрической и сферической си-стем координат.6. Применение для уравнений Максвелла вместовекторного формализма тензорного позволяетупростить математические выкладки, в частно-сти при работе с недекартовыми системами ко-ординат.Упрощение записи уравнений и промежуточныхрасчётов в недекартовых системах координатвозможно а счёт использования хорошо разрабо-танного формализма тензорного анализа. Пере-вод же в уравнений или результатов векторныйформализм при необходимости можно осуществ-лять на заключительном этапе. [1] Кулябов Д. С., Немчанинова Н. А. Уравнения Макс-велла в криволинейных координатах // ВестникРУДН. Серия «Математика. Информатика. Физи-ка». — 2011. — № 2. — С. 172–179.[2] Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские по-ля. — М. : Мир, 1987. — Т. 1. — 528 с.[3] Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической фи-зики. — М. : Издательство иностранной литературы,1960.[4] Васильев А. Н. Классическая электродинамика. Крат-кий курс лекций. — C.-П. : БХВ-Петербург, 2010. [5]
Minkowski H. Die Grundlagen f¨ur die electromagnetischenVorg¨onge in bewegten K¨orpern // Math. Ann. –– 1910. ––H. 68. –– S. 472–525.[6]
Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика:Учебное пособие для студентов физ. спец. универси-тетов. — 2-е, перераб. изд. — М. : Высш. шк., 1990. —352 с.[7] Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.:ГИТТЛ, 1948.[8]