Morse homology: orientation of the moduli space of gradient flow lines, coherence and applications
aa r X i v : . [ m a t h . A T ] J u l MORSE HOMOLOGY : ORIENTATION OF THE MODULI SPACE OF GRADIENTFLOW LINES, COHERENCE AND APPLICATIONS
MATHIEU GIROUX
R´esum´e. aIn this paper, we shall compute the chain complex and the corresponding homologyof some Morse function f over integer coefficients. The definition of the correct boundaryoperator requires a careful construction of moduli space of (pseudo)gradient flow linesorientations. We will then apply this construction in the computation of these homologygroups on 4-manifolds.—–Dans ce papier, nous calculerons le complexe de chaˆınes d´efini sur les points critiquesd’une fonction de Morse f et l’homologie correspondante dans le cas des coefficientsentiers. La d´efinition de l’op´erateur de bord demande de d´efinir correctement les orienta-tions des espaces de modules de flots induites par le (pseudo)gradient de f . On appliqueraalors cette construction au calcul explicite de ces homologies sur les vari´et´es de dimension4. Mots cl´es.
Th´eorie de Morse, homologie, orientation, coh´erence.
Table des mati`eres
1. Introduction 22. Remerciements 33. Orientation et coh´erence 34. Calcul des groupes d’homologie de Morse pour S × T S × T Z Date : 20 juillet 2020. Introduction
Un bon nombre de questions venant de diverses branches des math´ematiques m`ene auprobl`eme d’analyser la topologie d’un complexe simplicial. Cela dit, il n’existe que peude techniques g´en´erales disponibles pour nous aider dans une telle tˆache. Nous pouvonsn´eanmoins appr´ecier que certaines th´eories tr`es g´en´erales aient ´et´e d´evelopp´ees dans cetteoptique, du moins dans le cas des vari´et´es lisses. L’une des th´eories les plus puissantes etles plus utiles dans ce contexte est la th´eorie de Morse – voir [12, 21] pour une couverturepresque compl`ete des termes utilis´es tout au long de ce papier. En dimension finie ou endimension infinie, cette th´eorie joue un rˆole crucial dans la recherche math´ematique inter-nationale actuelle [15, 18, 20, 24]. En dimension finie (cas classique), cette homologie permetau moyen d’une fonction de Morse r´eelle, c’est-`a-dire d’une fonction r´eelle non d´eg´en´er´ee enses points critiques (hessien non d´eg´en´er´e) d´efinie sur une vari´et´e diff´erentiable quelconque,de d´ecomposer la vari´et´e en morceaux ´el´ementaires qui permettent de construire explicite-ment l’homologie de la vari´et´e. La version de Witten [32] permet de calculer cette homologieen construisant un complexe de chaˆınes d´efini sur les points critiques de la fonction f eten d´efinissant l’op´erateur bord par le comptage des lignes de flots n´egatives du gradientde f . Bien que le complexe lui-mˆeme d´epende fortement de la fonction de Morse choisie,l’homologie du complexe est ind´ependante de ce choix. Le papier sera organis´e comme suit :dans l’optique de calculer le complexe de chaˆıne d´efini sur les points critiques d’une fonc-tion de Morse f et l’homologie correspondante dans le cas des coefficients entiers , nousd´efinirons, en premier lieu, correctement les orientations des espaces de modules des flots etnous fournirons une preuve de la coh´erence de cette orientation. Enfin, nous appliqueronscette construction et l’utiliserons lors du calcul explicite de ces homologies sur une vari´et´ede dimension 4 – i.e. S × T . Nous conclurons la discussion avec une invitation `a g´en´eraliserla discussion dans un contexte de dimension infinie.Avant de clore cette section d’introduction, il est ´egalement pertinent de mentionnerla grande utilit´e de la th´eorie Morse (ainsi que sa version complexe, la th´eorie de Picard-Lefschetz [28]) dans le contexte de la physique th´eorique [6, 14, 31]. En effet, il s’av`ere quela th´eorie Morse a une formulation physique tr`es int´eressante ; par exemple, une fonctionMorse peut ˆetre consid´er´ee comme une sorte de potentiel, donc le flux induit par son gradientest la force subie par une particule (ou une corde). Les points d’´equilibre de la particulecorrespondent alors aux points critiques du potentiel. Si nous prenons une extension su-persym´etrique de ce potentiel [30], interpr´etant le tout comme une th´eorie quantique, lastructure de l’´etat fondamental calcule l’homologie de l’espace dans lequel les particules (oules cordes) se d´eplacent. Ceci refl`ete bien le fait qu’il est possible de d´eduire de l’informationsur la topologie d’une vari´et´e en ´etudiant la dynamique d’une (super)corde soumise `a un(super)potentiel – voir [13] pour une couverture compl`ete et plusieurs exemples. La th´eoriede Morse apparait aussi dans de r´ecents d´eveloppements sur les int´egrales de Feynman etles int´egrales de cordes – e.g. [22, 23] – et la topologie de cordes [5]. Il est `a noter que le signe associ´e `a une orientation est, en pratique, une probl´ematique bien subtilelorsque nous calculons l’op´erateur de bord induisant l’homologie de Morse. Afin d’´eviter de tels probl`emestechniques, l’homologie est g´en´eralement calcul´ee sur Z / Z au lieu de Z . Or, c’est le dernier cas qui seraconsid´er´e dans le pr´esent article. Remerciements
L’auteur souhaite remercier Pr. Fran¸cois Lalonde pour lui avoir donn´e l’opportunit´e defaire cette ´etude, ainsi que pour ses nombreux conseils et astuces sans lesquels ce texte nese serait pas ´ecrit. L’auteur est aussi reconnaissant envers l’Universit´e de Montr´eal pour sonhospitalit´e lors de l’´et´e 2018.3.
Orientation et coh´erence
Dans ce qui suivra, nous assumerons que le couple ( f, X ) satisfait la condition de Morse-Smale [1, 2]. Il clair que pour tout point critique ξ d’une vari´et´e orient´ee M avec O M ( ξ ) lavari´et´e stable W s ( ξ ) et la vari´et´e instable W u ( ξ ) sont diff´eomorphiques `a un p -disque pour0 ≤ p ≤ dim( M ). Ainsi, ces sous-vari´et´es de M sont orientables. La convention adopt´eeci-bas sera la suivante. L’orientation O W u ( ξ ) sera d´efinie en premier pour tous les pointscritiques ξ tels que(3.1) O W u ( ξ ) ⊕ O W s ( ξ ) = O M ( ξ ) . Par cons´equent, une orientation d´efinie sur W u ( ξ ) en induit une naturelle sur W s ( ξ ).Voici la proposition principale sur l’orientation des modules de flots. Proposition 1. (Orientations induites) ∀ ξ ∈ Crit( f ) : Ind( ξ ) > fixons une orientationarbitraire sur W u ( ξ ) que l’on note O W u ( ξ ) . Ainsi, ∀ ξ, γ ∈ Crit( f ) la vari´et´e connect´ee (3.2) ξ M γ := W u ( ξ ) ∩ W s ( γ ) , et l’espace des orbites associ´e (3.3) ξ M γ := W u ( ξ ) ∩ W s ( γ ) ∩ f − ( η ) , o`u η est une valeur r´eguli`ere de f dans ( f ( ξ ) , f ( γ )) , disposent d’orientations induites, res-pectivement, O ind ξ M γ et O ind ξ M γ . Nous prouverons les lemmes suivants en pr´ealable `a la preuve de la proposition centrale.
Lemme 1.
Soit M une vari´et´e orient´ee. Soient S et S deux sous-vari´et´es orient´ees de M transverses. Alors, la sous-vari´et´e S ∩ S est orient´ee. Preuve du lemme.
Ceci est clair puisque la transversalit´e de l’intersection – i.e. S ⋔ S –implique que (3.4) ∀ z ∈ S ∩ S , T z ( S ∩ S ) = T z S ∩ T z S , (preuve compl`ete en annexe) et de l’algorithme de Zassenhaus [19] utilisant les orientationssur les espaces tangents respectifs. Q.E.D Comme W u ( ξ ) et W s ( γ ) sont des sous-vari´et´es orient´ees et dont l’intersection est trans-versale sous la condition que X est de Smale, il s’en suit que W u ( ξ ) ∩ W s ( γ ) est aussiorient´ee. Une d´efinition ´equivalente, mais sans doute plus explicite, de ξ M γ serait ξ M γ := { ligne de flots de ∇∇ f reliant ξ et γ } / reparam´etrisation , o`u le quotient par reparam´etrisation identifie u ( s ) `a u ( s + constante) et o`u le (pseudo)gradient, d´enot´e ∇∇ ,est introduit plus bas dans le texte. MATHIEU GIROUX
Lemme 2. (Caract´erisation de O des sous-vari´et´es d’une vari´et´e orient´ee) Soit M une vari´et´eorient´ee. Soit S une n -sous-vari´et´e de codimension k dans M . Alors, S est orient´ee si etseulement si son fibr´e normal [26], que nous nommerons N S , est un fibr´e vectoriel orient´e.
Preuve du lemme. S est de dimension n et de codimension k . Restreint `a S (aux points de S dans M ), le fibr´e tangent de M se d´ecompose comme suit (3.5) T M | S ∼ = T S ⊕ N S.
De l’alg`ebre multilin´eaire, nous avons l’identit´e (3.6) n + k ^ ( T M | S ) = n + k ^ ( T S ⊕ N S ) ∼ = n ^ T S ⊗ R k ^ N S, o`u n est la puissance ext´erieure maximale du fibr´e T S et k puissance ext´erieure maximale dufibr´e N S . Comme, par hypoth`ese, M est orient´ee, par d´efinition d’un fibr´e vectoriel orient´e,la top-wedge puissance V n + k ( T M ) est un fibr´e en droites trivialisable. Il est clair que larestriction V n + k ( T M | S ) l’est aussi. Ainsi, T M | S est orient´e.” ⇒ ” Assumons que S est une sous-vari´et´e orient´ee. En suivant l’id´ee de la preuve du premierlemme, il est clair que T S est aussi orient´e. Par la relation en somme directe, on induitune orientation sur
N S .” ⇐ ” Assumons que N S est un fibr´e vectoriel orient´e. Par la relation en somme directe,comme M , donc T M | S , est orient´ee par hypoth`ese, cela induit une orientation sur T S etdonc sur S . Q.E.D Lemme 3. (Lemme de s´eparation) donn´e une chaˆıne courte et exacte munie des applications i et π entre objets de cat´egories (3.7) 0 → A i −→ B π −→ C → , alors B ∼ = A ⊕ C avec i d´efini comme l’injection canonique de A et π la projection canoniquesur C – i.e. il existe un isomorphisme de chaˆınes courtes et exactes (3.8) (0 → A i −→ B π −→ C → ∼ = (0 → A i −→ A ⊕ C π −→ C → . Preuve du lemme.
Voir [29].
Lemme 4.
Soient
A, B, C des R -modules. Soit C = A + B . Alors, A ∼ = C/B . Preuve du lemme. ´Etablissons la chaˆıne courte suivante par le truchement de l’inclusion (( i : B ֒ → A + B ) : { y | y ∈ B } → { y + 0 | y ∈ B, ∈ A } ) (injective) et la projection (( π : A + B → A ) : { x + y | x ∈ A, y ∈ B } → { ( x + y ) − y | x ∈ A } ) (surjective) (3.9) 0 → B i −→ A + B π −→ A → . Par construction, nous remarquons : (i) i ( x ) = x ⇒ Im( i ) = B , (ii) ker( π ) = B . Ainsi, ker( ∂ k ) ≡ Im( ∂ k +1 ) . Il s’en suit que cette chaˆıne est courte et exacte. De plus, comme π estsurjective, par le premier th´eor`eme d’isomorphisme, A ∼ = A + B ker( π ) = A + B Im( i ) ∼ = A + BB = CB . (3.10)
Q.E.D Soient V et W deux espaces vectoriels sur un corps K . Alors, rappelons que ^ ( V ⊕ W ) ∼ = ^ ( V ) ⊗ K ^ ( W ) . Dans ce qui suivra R = R , comme R est un corps et donc un anneau, le R -module´equivaut `a un R = R -espace vectoriel. Par fibre, la condition de Smale sur X implique unerelation de transversalit´e qui se r´eduit, par abus de notation sur la restriction de ces fibr´essur ξ M γ et `a l’aide du lemme ci-haut, `a(3.11) T W u ( ξ ) | ξ M γ + T W s ( γ ) | ξ M γ = T ξ M γ ⇒ T W u ( ξ ) | ξ M γ ∼ = T ξ M γ /T W s ( γ ) | ξ M γ ∼ = N W s ( γ ) | ξ M γ . Lemme 5. (Relation en somme directe)
L’isomorphisme (3.12)
T W u ( ξ ) | ξ M γ ∼ = T ξ M γ ⊕ N W s ( γ ) | ξ M γ , existe. Avant de donner la preuve, rappelons que comme ξ M γ := W u ( ξ ) ∩ W s ( γ ) est transverse,nous avons, par le lemme en annexe,(3.13) T ξ M γ := T ( W u ( ξ ) ∩ W s ( γ )) = T W u ( ξ ) ∩ T W s ( γ ) . Ainsi, il existe l’application injective canonique(3.14) ( i : T ξ M γ = T W u ( ξ ) ∩ T W s ( γ ) → ˜ T W u ( ξ )) : Θ → Θ | ∩ , o`u ˜ T W u ( ξ ) = T W u ( ξ ) | T W u ( ξ ) ∩ T W s ( γ ) . Muni de cette injection nous pouvons fournir lapreuve suivante. Preuve du lemme.
Prenons la chaˆıne courte suivante (3.15) 0 → T ξ M γ i −→ T W u ( ξ ) | ξ M γ π −→ N W s ( γ ) | ξ M γ → , o`u i est l’injection ci-haute et la projection π , ici l’identit´e, puisque nous avons une ´equivalenceentre chaˆınes (3.16) 0 → T ξ M γ i −→ T W u ( ξ ) | ξ M γ π −→ N W s ( γ ) | ξ M γ → , et (3.17) 0 → T ξ M γ i −→ T W u ( ξ ) | ξ M γ π −→ T W u ( ξ ) | ξ M γ → , dˆu au fait que X soit de Smale – i.e. T W u ( ξ ) | ξ M γ ∼ = N W s ( γ ) | ξ M γ . Par cons´equent, ker( π ) =0 . Cela implique que les groupes d’homologie soient triviaux et que la chaˆıne soit exacte. Dulemme de s´eparation, nous avons le r´esultat d´esir´e. Q.E.D Preuve de la proposition.
Clairement, du lemme 1, comme X est de Smale, W u ( ξ ) ∩ W s ( γ ) est orientable. Ainsi ξ M γ est orientable. Dans ce qui suit, nous observerons comment induireune orientation sur la vari´et´e connect´ee ξ M γ en obtenant d’abord une orientation pour lefibr´e tangent de la vari´et´e instable de ξ et une orientions pour le fibr´e normal de la vari´et´estable de γ en imposant une restriction de ces fibr´es par la vari´et´e connect´ee elle-mˆeme. Defa¸con analogue, nous obtiendrons une orientation pour l’espace des orbites correspondantvia l’orientation induite plus tˆot sur la vari´et´e connect´ee et l’orientation naturelle du fibr´een droites de R , donn´e le pseudo-gradient de f .Du travail fait plus haut, (3.18) T W u ( ξ ) | ξ M γ ∼ = T ξ M γ ⊕ N W s ( γ ) | ξ M γ . Le but est maintenant de montrer que
T W u ( ξ ) | ξ M γ et que N W s ( γ ) | ξ M γ sont deux fibr´esorient´es, rendant ainsi ´evidant une orientation sur T ξ M γ et donc sur ξ M γ . La condition de transversalit´e est satisfaite pour tout point dans ξ M γ , sous-vari´et´e de M . MATHIEU GIROUX
En premier lieu, la restriction du fibr´e total
T W u ( ξ ) `a n’importe quelle sous-vari´et´e de M – e.g. ξ M γ – doit ˆetre orient´ee. Ainsi, T W u ( ξ ) | ξ M γ est un fibr´e orient´e. En second lieu, uneorientation sur W u ( γ ) induit par construction une orientation sur W s ( γ ) . Ceci tient si etseulement si N W s ( γ ) , donc N W s ( γ ) | ξ M γ , est un fibr´e orient´e. Explicitement, on restreintle fibr´e vectoriel (3.19) π : N W s ( γ ) → W s ( γ ) , `a (une fibre de) la sous-vari´et´e ξ M γ ֒ → W s ( γ ) , pour obtenir une orientation sur le fibr´enormal restreint `a la vari´et´e connect´ee. Par la relation en somme directe (3.18) , ces deuxorientations en induisent une sur le fibr´e tangent de la vari´et´e connect´ee de M entre ξ et γ et, par d´efinition, sur ξ M γ .Nous voulons maintenant induire une orientation sur l’espace des orbites associ´e ξ M γ . Ily a une d´ecomposition en somme directe tr`es ´evidente reliant le fibr´e tangent de cet espaceau fibr´e tangent de la vari´et´e connect´ee de M entre ξ et γ – i.e. (3.20) T ξ M γ | ξ M γ ∼ = R ⊕ T ξ M γ . Notons que de plus haut, la restriction T ξ M γ | ξ M γ est orient´ee. De plus, donn´e le pseudo-gradient, d´enot´e ∇∇ ( f ) et d´efini comme dans [1], R est clairement un fibr´e en droite orient´e.De la derni`ere relation en somme directe, T ξ M γ est donc orient´e et ξ M γ par le fait mˆeme.Q.E.D Remarque : Comme le note [1, p. 39] L ( ξ, γ ), l’espace des modules de flots entre ξ et γ ,correspond `a ξ M γ . Ainsi, on induit une orientation sur L ( ξ, γ ).Nous prouvons maintenant la proposition suivante. Proposition 2. (Coh´erence)
L’application de collage O ω η , induite sur les orientations desfibr´es par S (d´efinie plus bas) avec ω η := u S η v ainsi que les orientations obtenues dans lapremi`ere proposition sont compatibles – i.e. (3.21) O ω η ( O ( ξ M uγ ) Ind , O ( γ M vζ ) Ind ) = O ( ξ M ω η ζ ) . Avant d’´elaborer une preuve, nous avons besoin des pr´eliminaires suivants.
Lemme 6. (Application de collage)
Soit ( f, X ) un couple de Morse-Smale. Soient ξ, γ, ζ ∈ Crit( f ) tels que Ind( ξ ) = k + 1 , Ind( γ ) = k et Ind( ζ ) = k − . Alors, il existe un nombrer´eel positif η et un plongement (immersion injective) (3.22) S : ξ M γ × [ η , ∞ [ × γ M ζ → ξ M ζ , tel que (3.23) ( u, η, v ) u S η v := ω η , et (3.24) ω η η →∞ −−−−→ ( u, v ) et ω η η → η −−−−→ ( u, v ) | passe par γ . Notons que la derni`ere condition est ´equivalente, donn´ee la m´etrique de l’espace ambiant d ,`a d ( ω η , γ ) → . Preuve du lemme.
Voir [25, Proposition 2.56]. Q.E.D
Avec les ´el´ements des annexes en main, nous sommes prˆets `a consid´erer la constructionsuivante.donn´es ξ, γ, ζ ∈ Crit( f ) d’indices de Morse k + 1, k et k − u ∈ ξ M γ et v ∈ γ M ζ , nous verrons que l’application de collage S induit une applicationde collage des orientations – i.e.(3.25) O ω η : Or( ξ M uγ ) × Or( γ M vζ ) → Or( ξ M ω η ζ ) , o`u ξ M uγ d´enote la composante connect´ee de ξM γ contenant u (voir la figure ci-haut).Par construction, la courbe d´ecrite par le flot φ η ( u ) – i.e. ξ M uγ de dimension 1 – sa-tisfait dd η φ η ( u ) = 0 comme aucun point critique n’est atteint. Ainsi, comme dd η φ η ( u ) = ∇∇ ( f ( φ η ( u ))) = 0, une orientation sur ξ M uγ est alors induite par le pseudo gradient, d´enot´eepar O ˙ φ η ( u ), et de fa¸con similaire pour γ M vζ , par O ˙ φ η ( v ). De la fa¸con avec laquelle nous avonsconstruit la preuve sur le plongement S , nous avons que les vecteurs des champs de vecteurs ∇∇ f ( ω η ) et dd η ω η sont lin´eairement ind´ependants. Souvenons-nous que dim( ξ M ω η ζ ) = 2. Pourchaque η ∈ [ η , ∞ [, ( ∇∇ f ( ω η ) , − dd η ω η ) est un cadre de champs vectoriels [27] qui g´en`ere l’es-pace bidimensionnel ξ M ω η ζ . Ainsi, ( ∇∇ f ( ω η ) , − dd η ω η ) forme un cadre global continu donnantlieu a `a une orientation sur l’espace ξ M ω η ζ . Cette orientation sera d´enot´ee(3.26) O ( ∇∇ f ( ω η ) , − dd η ω η ) . De fa¸con explicite, nous d´efinissons alors l’application de collage de la proposition 2 commesuit(3.27) O ω η ( O ˙ φ η ( u ) , O ˙ φ η ( v )) := O ( ∇∇ f ( ω η ) , − dd η ω η ) . De la g´eom´etrie diff´erentielle, nous avons qu’une vari´et´e lisse, connect´ee et orientable aexactement deux orientations. Ainsi, pour un cas g´en´eral et non bas´e sur l’orientation induitepar le flot, il semble appropri´e de d´efinir l’application de collage comme O ω η ( O ( ξ M uγ ) , O ( γ M vζ )) := αβ O ω η ( O ˙ φ η ( u ) , O ˙ φ η ( v ))= αβ O ( ∇∇ f ( ω η ) , − dd η ω η ) , (3.28)o`u α, β ∈ {± } peuvent ˆetre d´etermin´es par le truchement des relations suivantes(3.29) O ( ξ M uγ ) = α O ˙ φ η ( u ) et O ( γ M vζ ) = β O ˙ φ η ( v ) . Avec ceci, nous pouvons attaquer la preuve de la seconde proposition.
Preuve de la proposition.
D´efinissons n u ∈ {± } par la relation O ( ξ M uγ ) Ind = n u O φ η ( u ) etsimilairement pour v . Alors, par d´efinition de l’application de collage O ω η O ω η ( O ( ξ M uγ ) Ind , O ( γ M vζ ) Ind ) = n u n v O ω η ( O ˙ φ η ( u ) , O ˙ φ η ( v ))= n u n v O ( ∇∇ f ( ω η ) , − dd η ω η ) | {z } ( ⋆ ) . (3.30) Notre but est ´evidemment de construire une fa¸con de comparer ( ⋆ ) avec une orientationinduite sur ξ M ω η ζ , O ( ξ M ω η ζ ) Ind — obtenue comme suit.
MATHIEU GIROUX
La premi`ere chose `a faire, ce sera de relier les orientations induites sur les fibr´es tangents T ξ M uγ , T γ M vζ et T ξ M ω η ζ . Malheureusement, comme W s ( γ ) ∩ W u ( γ ) = ∅ les bases des fibr´es– i.e. ξ M uγ , γ M vζ et ξ M ω η ζ – n’ont pas n´ecessairement un point commun. Or, par l’existencedes limites B E ± , il est clair que le singleton { γ } r´eside dans la fronti`ere de toutes cesbases. Ainsi, les bases ont un point commun si nous ´etendons les fibr´e `a { γ } en consid´erantla fronti`ere de celles-ci. Ces extensions seront not´ees T γξ M uγ , T γγ M vζ et T γξ M ω η ζ et serontn´ecessaires pour montrer comment ξ M ω η ζ est orient´e. Rappelons de B que les orientationscorrespondantes `a ces limites sont d´enot´ees O ( E ± ) .De la premi`ere proposition (3.31) T W u ( ξ ) | ξ M uγ ∼ = T ξ M uγ ⊕ N W s ( γ ) | ξ M uγ . Par extension sur { γ } , cet isomorphisme en somme directe se r´e´ecrit, comme les extensionsde W u ( ξ ) et W s ( γ ) `a { γ } est l’identit´e puisque γ en est un ´el´ement , (3.32) T γ W u ( ξ ) | ξ M uγ ∼ = T γξ M uγ ⊕ N γ W s ( γ ) | ξ M uγ , g´en´erant la relation en somme directe sur les orientations (3.33) O ( T γ W u ( ξ ) | ξ M uγ ) = O ( T γξ M uγ ) Ind ⊕ O ( N γ W s ( γ ) | ξ M uγ ) . En restreignant l’´egalit´e `a la fibre associ´ee `a γ (3.34) O ( T γ W u ( ξ ) | γ ) = O ( T γξ M uγ | γ ) Ind ⊕ O ( N γ W s ( γ ) | γ ) . De fa¸con analogue, il est vrai de la premi`ere proposition que (3.35)
T W u ( γ ) | γ M vζ ∼ = T γ M vζ ⊕ N W s ( ζ ) | γ M vζ , et ainsi (3.36) O ( T W u ( γ ) | γ M vζ ) = O ( T γ M vζ ) Ind ⊕ O ( N W s ( ζ ) | γ M vζ ) . En consid´erant l’extension `a { γ } (3.37) O ( T γ W u ( γ ) | γ M vζ ) = O ( T γγ M vζ ) Ind ⊕ O ( N γ W s ( ζ ) | γ M vζ ) . Ayant l’extension jusqu’`a { γ } en main, il est possible de restreindre l’´egalit´e `a la fibre cor-respondante `a γ (3.38) O ( T γ W u ( γ ) | γ ) = O ( T γγ M vζ | γ ) Ind ⊕ O ( N γ W s ( ζ ) | γ ) . De plus, remarquons que par d´efinition (3.39) W s ( γ ) ∩ W u ( γ ) = ∅ ⇒ W s ( γ ) ⋔ W u ( γ ) , et alors (3.40) T W s ( γ ) ∩ T W u ( γ ) = ∅ . De cette fa¸con, sur cette intersection ”+ ∼ = ⊕ ” . Par hypoth`ese de transversalit´e (3.41) T W u ( γ ) + T W u ( γ ) = T M ⇔ T W u ( γ ) ⊕ T W u ( γ ) ∼ = T M. Ici, aucune adaptation de la notation n’est n´ecessaire pour le premier et le dernier terme de l’´equation(3.32) – or, nous ajouterons γ en superscript `a T ⋆ et N⋆ afin de garder une consistance `a la notation utilis´eepour l’extension des fibr´es `a { γ } . Ici, l’adaptation de notation n’est plus abusive, dans le sens o`u l’extension ne correspond plusn´ecessairement `a l’identit´e.
Par d´efinition du fibr´e normal, (3.42)
T M ∼ = N W s ( γ ) ⊕ T W s ( γ ) . De ces deux derni`eres ´equations, nous obtenons l’isomorphisme suivant (3.43)
T W u ( γ ) ∼ = N W s ( γ ) ⇒ T γ W u ( γ ) | γ ∼ = N γ W s ( γ ) | γ . En utilisant (3.34) , (3.38) et le dernier isomorphisme, il est possible d’´ecrire O ( T γ W u ( ξ ) | γ ) = O ( T γξ M uγ | γ ) Ind ⊕ O ( N γ W s ( γ ) | γ )= O ( T γξ M uγ | γ ) Ind ⊕ O ( T γ W u ( γ ) | γ )= O ( T γξ M uγ | γ ) Ind ⊕ O ( T γγ M vζ | γ ) Ind ⊕ O ( N γ W s ( ζ ) | γ ) , (3.44) Comme ω η η → η −−−−→ ( u, v ) | passe par γ , dans cette limite O ( T γ W u ( ξ ) | γ ) = O ( T γξ M ω η ζ | γ ) Ind ⊕ O ( N γ W s ( ζ ) | γ ) . (3.45) Ceci prouve que T γξ M ω η ζ | γ est une vari´et´e orientable et en d´efinit mˆeme l’une des deux orien-tations. De la discussion dans [16, p. 104] comme ξ M ω η ζ est connect´ee nous avons qu’uneorientation sur le fibr´e total – i.e. T γξ M ω η ζ – est d´etermin´ee par l’orientation d’une seulefibre arbitraire – i.e. ici T γξ M ω η ζ | γ . Ainsi, ξ M ω η ζ est une vari´et´e orientable.Cela dit, nous avons la d´ecomposition naturelle de l’orientation en somme directe suivanteen extensions de { γ } (3.46) O ( T γξ M ω η ζ ) Ind = O ( T γξ M uγ ) Ind ⊕ O ( T γγ M vζ ) Ind = n u O ( E + ) ⊕ n v O ( E − ) . Comme une vari´et´e orientable poss`ede deux orientations possibles, nous devons avoir lacorrespondance suivante (3.47) n u O ( E + ) ⊕ n v O ( E − ) = n u n v O ( ∇∇ f ( ω η ) , − dd η ω η ) . Cette derni`ere condition sur l’orientation des fibr´es implique (3.48) O ω η ( O ( ξ M uγ ) Ind , O ( γ M vζ ) Ind ) = O ( ξ M ω η ζ ) . Q.E.D Calcul des groupes d’homologie de Morse pour S × T Dans le contexte de la th´eorie de Morse, nous d´esirons calculer les groupes d’homologiesdu produit S × T .De fa¸con g´en´erale, soient M et M deux vari´et´es munies de fonctions de Morse f et f ,respectivement, et munies de champs pseudo-gradients X et X satisfaisant la condition deSmale. Il est `a noter que(4.1) f + f : M × M → R , doit ˆetre une fonction de Morse. Les points critiques de f + f sont les points ( ξ , ξ ),o`u ξ ∈ Crit( f ) et ξ ∈ Crit( f ). Supposons le contraire. Alors, comme la diff´erentielle f i ⋆ : T p M i → R sur f i au point p ∈ M i est lin´eaire,( f + f ) ⋆ = f ⋆ + f ⋆ = 0 , (4.2) ∴ ( ξ , ξ ) ∈ Crit k ( f + f ) ⇔ ( ξ ∈ Crit i ( f ) ∧ ξ ∈ Crit j ( f ) : i + j = k ) . (4.3) Hormis cela, comme M et M sont deux espaces diff´erents, il est clair que le couple ( X , X )est lui aussi de Smale. Soit alors un point critique ξ := ( ξ , ξ ) de f + f d’indice k et soitun point critique γ := ( γ , γ ) de la mˆeme fonction, mais cette fois-ci d’indice k − une trajectoire connectant ξ `a γ . Ce flot est d´ecrit par(4.4) φ ( X ,X ) t ( · , ⋆ ) := ( φ X t ( · ) , φ X t ( ⋆ )) , de sorte que(4.5) ( ξ M γ ) ( X ,X ) ∼ = ( ξ M γ ) X × ( ξ M γ ) X . Remarquons que si ξ = γ et si ξ = γ , pour avoir ( ξ M γ ) ( X ,X ) = ∅ , nous demandons(4.6) (Ind( ξ ) ≥ Ind( γ ) + 1) ∧ (Ind( ξ ) ≥ Ind( γ ) + 1) . Ainsi, en g´en´eral, ces conditions se contractent comme(4.7) Ind( ξ ) ≥ Ind( γ ) + 2 . Si, dans un autre contexte, ξ et γ sont d’indices cons´ecutifs (alors soit que ξ = γ ou soitque ξ = γ ), nous avons(4.8) ( ξ M γ ) ( X ,X ) ∼ = ( ξ × ( ξ M γ ) X ξ = γ , ( ξ M γ ) X × ξ ξ = γ . Alors, le coefficient du nombre de fa¸cons de descendre dans un tel cas ´egale(4.9) N ( X ,X ) ( ξ, γ ) = N X ( ξ , γ ) ξ = γ ,N X ( ξ , γ ) ξ = γ , . Si maintenant nous consid´erons l’application(4.10) Φ : M i + j = k CM i ( M , f ) ⊗ CM j ( M , f ) → CM k ( M × M , f + f ) : ξ ⊗ ξ ( ξ , ξ ) . Notre objectif est de montrer que cette application est un isomorphisme de groupes ab´eliens.Pour ce faire, nous nous inspirerons de [1]. D’abord, consid´erons les lemmes, th´eor`emes etpropositions suivants.
Lemme 7.
L’application Φ d´efinit un isomorphisme de complexes (4.11)Φ : ( CM ⋆ ( M , f ) ⊗ CM ∗ ( M , f ) , ∂ X ⊗ M + M ⊗ ∂ X ) → ( CM ⋆ + ∗ ( M × M ,f + f ) , ∂ X ,X ) . Preuve du lemme.
Par simple calcul direct, nous avons d’une part Φ( ∂ X ⊗ M + M ⊗ ∂ X )( ξ ⊗ ξ ) = Φ( ∂ X ξ ⊗ ξ + ξ ⊗ ∂ X ξ )= Φ X γ ∈ Crit i − ( f ) N X ( ξ , γ ) γ ⊗ ξ + ξ ⊗ X γ ∈ Crit j − ( f ) N X ( ξ , γ ) γ = X γ ∈ Crit i − ( f ) N X ( ξ , γ )( γ , ξ ) + X γ ∈ Crit j − ( f ) N X ( ξ , γ )( ξ , γ ) . (4.12) et d’une autre part (4.13) ∂ ( X ,X ) Φ( ξ ⊗ ξ ) = X ( γ ,γ ) ∈ Crit i + j − ( f + f ) N ( X ,X ) (( ξ , ξ ) , ( γ , γ ))( γ , γ ) . Comme ξ et γ sont d’indices cons´ecutifs, la somme se r´e´ecrit comme (4.9)(4.14) ∂ ( X ,X ) Φ( ξ ⊗ ξ ) = X γ ∈ Crit i − ( f ) N X ( ξ , γ )( γ , γ = ξ )+ X γ ∈ Crit j − ( f ) N X ( ξ , γ )( γ = ξ , γ ) . En comparant, le r´esultat d´esir´e est v´erifi´e. Q.E.D
Lemme 8.
L’homologie d’un produit tensoriel de complexes est le produit tensoriel des ho-mologies – i.e. (4.15) H ⋆ ( C ∗ ⊗ d ∗ ) = H ⋆ ( C ∗ ) ⊗ H ⋆ ( d ∗ ) . Preuve du lemme.
Voir [1, p. 556]. Q.E.D
Lemme 9. Si ≤ α < ∞ , alors (4.16) H ⋆ M α C α ! ∼ = M α H ⋆ ( C α ) . Preuve du lemme.
Voir [29]. Q.E.D
Th´eor`eme 1. (Formule de K¨unneth)
Soient M et M deux vari´et´es compacte ( k fini). Alors, l’isomorphisme suivant existe (4.17) HM k ( M × M , f + f , Or) → M i + j = k HM i ( M , f , Or) ⊗ HM j ( M , f , Or) . Preuve du Th´eor`eme.
Par l’isomorphisme Φ (ici Or ∼ = Z ) HM k ( M × M , f + f , Or) ≡ HM ( CM k ( M × M , f + f , Or)) ∼ = Φ HM M i + j = k CM i ( M , f , Or) ⊗ CM j ( M , f , Or) ∼ = M i + j = k HM ( CM i ( M , f , Or) ⊗ CM j ( M , f , Or)) ∼ = M i + j = k HM ( CM i ( M , f , Or)) ⊗ HM ( CM j ( M , f , Or)) ≡ M i + j = k HM i ( M , f , Or)) ⊗ HM j ( M , f , Or) . (4.18) Q.E.D
Il est maintenant temps de d´efinir ( f , X ) et ( f , X ) explicitement sur M = S et sur M = T . Pour se faire, consid´erons d’abord une proposition [1, p.9]. Elle va comme suit Proposition 3.
Soit M ⊂ R n une sous-vari´et´e. Pour presque tous les points (propri´et´eg´en´erique) p ∈ R n , la fonction (4.19) (( f p : M → R ) : ξ
7→ k ξ − p k ) , est de Morse. Preuve de la proposition.
La diff´erentielle de f p est donn´ee par f p⋆ ( η ) = ( ddξ k ξ − p k ) · η = ( ddξ ( ξ − p ) · ( ξ − p )) · η = 2( ξ − p ) · η. (4.20) Comme η ∈ dom( f p⋆ ) ≡ T ξ M , ξ est un point critique si et seulement si ( ξ − p ) est orthogonal`a T ξ M . Comme M est une sous-vari´et´e de R n , par [1, Th´eor`eme A.1.1], il nous est possiblede choisir une param´etrisation locale de ξ ∈ M au voisinage de p (si d ≤ n ) (4.21) ( u , ..., u d ) ξ ( u , ..., u d ) . Dans ces coordonn´ees, nous avons, composantes par composante de la diff´erentielle ∂∂ u i f p = ∂∂ u i (( ξ − p ) · ( ξ − p ))= 2( ξ − p ) · ∂∂ u i ξ. (4.22) Alors, ∂ ∂ u i ∂ u j f p = ∂∂ u i (2( ξ − p ) · ∂∂ u j ξ )= 2 (cid:18) ∂∂ u i ∂ u i ξ · ∂∂ u i ∂ u j ξ + ( ξ − p ) · ∂ ∂ u i ∂ u j ξ (cid:19) . (4.23) Rappelons que si A ∈ MAT n × n ( V, K ) , A est inversible (non d´eg´en´er´ee) si et seulement si det( A ) = 0 si et seulement si Rang( A ) = n si et seulement si ker( A ) = 0 . Ainsi, le point ξ est un point critique non d´eg´en´er´e si et seulement si le vecteur ( ξ − p ) est orthogonal `a T ξ M et que le rang de h ∂ ∂ ui ∂ uj f p i est ´egal `a d . Il reste `a montrer que, sous ces conditions, f p estg´en´eriquement une fonction de Morse. Il est suffisant de montrer que les p qui ne satisfontpas cette condition de g´en´er´ecit´e sur la non-d´eg´en´erescence sont des points critiques d’uneapplication lisse dans le but d’utiliser le Th´eor`eme de Sard.Pour ce faire, nous consid`ererons le fibr´e normal de M dans R n – i.e. (4.24) N := { ( ξ, ν ) ∈ M × R n | ν ⊥ T ξ M } ⊂ M × R n , muni de l’application (4.25) ( E : N → R n ) : ( ξ, ν ) ξ + ν. Le r´esultat d´esir´e suit du prochain lemme. Q.E.D
En effet, nous avons montr´e plus haut que f p ´etait de Morse `a ξ (point critique nond´eg´en´er´e) si et seulement si la matrice h ∂ ∂ ui ∂ uj f p i est inversible `a ce point. Ainsi, f p n’estpas de Morse `a ξ si et seulement si la matrice h ∂ ∂ ui ∂ uj f p i est non-inversible `a ce point. Lelemme suivant nous garantit que si cette matrice n’est pas inversible, alors, p est un pointcritique de E (application lisse). Par le Th´eor`eme de Sard, Crit( E ) constitue un ensemblefini de points. De plus, comme p := ξ + ν , il existe clairement une bijection du point ξ `a p . Ainsi, il doit exister un nombre fini de ξ qui ne sont pas des points critiques non d´eg´en´er´esde f p – i.e. f p est de Morse presque partout. Lemme 10.
Le fibr´e normal N est une sous-vari´et´e de M × R n . Le point p := ξ + ν ∈ R n est une valeur critique de E si et seulement si, la matrice avec les ´el´ements donn´es par ∂ ∂ u i ∂ u j f p = 2 (cid:18) ∂∂ u i ∂ u i ξ · ∂∂ u i ∂ u j ξ − ν · ∂ ∂ u i ∂ u j ξ (cid:19) , (4.26) n’est pas inversible. Preuve du lemme.
Voir [1, p.10]. Q.E.D
De cette derni`ere proposition, soit p S , T et leur int´erieur. Alors, il est facile d’obtenirla fonction de Morse suivante d´efinie sur S × T (4.27) ( F p := f p + f p : S × T → R ) : k ξ − p k + k η − p k . Ainsi, prenons X := ∇∇ ( f p ) et X := ∇∇ ( f p ) au sens de [1], afin que ( X , X ) soit de Smalesur S × T .Nous devons maintenant construire le complexe de Morse pour S et T et ensuite utiliserla formule de K¨unneth pour calculer les groupes d’homologie du produit.Le complexe pour S s’´ecrit, comme cet espace n’est muni que d’un maximum α d’indice2 et un minimum β d’indice 0,(4.28) ... ∂ −→ M x ∈ Crit ( f p ) C x x ∂ −→ M x ∈ Crit ( f p ) C x x ∂ −→ M x ∈ Crit ( f p ) C x x ∂ −→ M x ∈ Crit ( f p ) C x x ∂ −→ , ou(4.29) ... ∂ −→ ∂ −→ C α α ∂ −→ ∂ −→ C β β ∂ −→ , ou, par isomorphisme,(4.30) ... ∂ −→ ∂ −→ Z ∂ −→ ∂ −→ Z ∂ −→ . Il est aussi `a noter que l’application de bord ∂ est telle que(4.31) ∂ α = X y ∈ Crit ( f p ) N X ( α, y ) y = 0 , puisque la somme est vide. Il en va de mˆeme pour ∂ β . Les groupes d’homologies sont donc,pour S ,(4.32) HM ⋆ ( S , f p , Z ) = ( Z ⋆ ∈ { , } , . De fa¸con similaire, il nous est possible de construire le complexe de Morse pour T , gardanten tˆete que cet espace admet avec notre choix de f p , un maximum a d’indice 2, deux pointsde scelle c et c d’indice 1 et finalement un minimum b d’indice 0. Ainsi,(4.33) ... ∂ −→ ∂ −→ Z ∂ −→ Z ⊕ Z ∂ −→ Z ∂ −→ . Ici, les applications de bord sont(4.34) ∂ a = X z ∈ Crit ( f p ) N X ( a, z ) z = X z ∈ Crit ( f p ) X u ∈ a M z n u z = ((+1)+( − c +((+1)+( − c = 0 . (4.35) ∂ c = X l ∈ Crit ( f p ) N X ( c , l ) l = X l ∈ Crit ( f p ) X v ∈ c M l n v z = ((+1) + ( − b = 0 = ∂ c . Ainsi, les groupes d’homologie sont (sans surprise), pour T ,(4.36) HM ⋆ ( T , f p , Z ) = Z ⋆ ∈ { , } , Z ⊕ Z ⋆ ∈ { } , . `A l’aide de la formule de K¨unneth, calculons les groupes d’homologie. Pour k ≥
5, c’estgroupes sont triviaux par les groupes d’homologie trouv´es pour S et T . Ainsi, pour k = 4, HM ( S × T , f p + f p , Z ) ∼ = M i + j =4 HM i ( S , f p , Z ) ⊗ HM j ( T , f p , Z )= HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z ) ⊕ HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z ) ⊕ HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z ) ⊕ HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z ) ⊕ HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z )= Z ⊗ Z . (4.37)Pour k = 3 HM ( S × T , f p + f p , Z ) ∼ = M i + j =3 HM i ( S , f p , Z ) ⊗ HM j ( T , f p , Z )= HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z ) ⊕ HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z ) ⊕ HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z ) ⊕ HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z )= Z ⊗ ( Z ⊕ Z ) . (4.38)Pour k = 2 HM ( S × T , f p + f p , Z ) ∼ = M i + j =2 HM i ( S , f p , Z ) ⊗ HM j ( T , f p , Z )= HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z ) ⊕ HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z ) ⊕ HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z )= ( Z ⊗ Z ) ⊕ ( Z ⊗ Z ) . (4.39) Pour k = 1 HM ( S × T , f p + f p , Z ) ∼ = M i + j =1 HM i ( S , f p , Z ) ⊗ HM j ( T , f p , Z )= HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z ) ⊕ HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z )= Z ⊗ ( Z ⊕ Z ) . (4.40)Pour k = 0 HM ( S × T , f p + f p , Z ) ∼ = M i + j =0 HM i ( S , f p , Z ) ⊗ HM j ( T , f p , Z )= HM ( S , f p , Z ) ⊗ HM ( T , f p , Z )= Z ⊗ Z . (4.41)En r´ecapitulatif, les groupes d’homologie sont(4.42) HM ⋆ ( S × T , f p + f p , Z ) ∼ = Z ⊗ Z ⋆ ∈ { , } , Z ⊗ ( Z ⊕ Z ) ⋆ ∈ { , } , ( Z ⊗ Z ) ⊕ ( Z ⊗ Z ) ⋆ ∈ { } , . Comme le produit tensoriel est distributif, nous pouvons r´e´ecrire(4.43) HM ⋆ ( S × T , f p + f p , Z ) ∼ = Z ⊗ Z ⋆ ∈ { , } , ( Z ⊗ Z ) ⊕ ( Z ⊗ Z ) ⋆ ∈ { , , } , . De plus, notons que pour un indice J d´enombrant des groupes ab´eliens A j , j ∈ J , nousavons sur les dimensions des groupes(4.44) dim M j ∈ J A j = X j ∈ J dim( A j ) , et(4.45) dim( A ⊗ A ) = dim( A ) dim( A ) . Comme Z est un groupe cyclique, il s’en suit que(4.46) dim( HM ⋆ ( S × T , f p + f p , Z )) = ⋆ ∈ { , } , ⋆ ∈ { , , } , . Comme ( ξ , ξ ) est un point critique de f p + f p si et seulement si ξ et ξ sont des pointscritiques de f p et f p respectivement, on voit directement que l’´egalit´e `a l’in´egalit´e de Morsenous donne le nombre de points critiques sur S × T pour chaque indice : 1 point critiqued’indice 0, z , et d’indice 4, Q , et 2 points critiques d’indice 1, u et u , d’indice 2, d et d ,et d’indice 3, T et T . Le polynˆome de Poincar´e(4.47) P S × T ( t ) = 1 + 2( t + t + t ) + t , ´evalu´e `a t = − S × T , soit χ ( S × T ) = 0.Ainsi, S × T est de genre 1. L’´eclatement des points critiques de S × T . Soit ( f, X ) un couple de Morse-Smalesur une vari´et´e compacte M . De [1], nous avons que Lemme 11. ´Etant donn´e une fonction de Morse h sur une vari´et´e compacte M , il existe uneseconde fonction de Morse ℓ telle que Crit k ( ℓ ) = Crit k ( h ) ∀ k et telle que ℓ ( p ) = | p | . Notons qu’une telle fonction de Morse est nomm´ee ordonn´ee . Lemme 12.
Sur toute vari´et´e compacte et connexe M , il existe une fonction de Morse quine poss`ede qu’un seul minimum. Ainsi, supposons que la fonction f est ordonn´ee et poss`ede un unique minimum, not´e z .Soit maintenant p ∈ Crit( f ). Rappelons que dans [1], on ´etablie que p M z est la compac-tification de l’espace des modules de flots reliant p `a z par l’ajout (ou non) des trajectoiresbris´ees.Ainsi, pour v ∈ p M z , on peut ´ecrire v = ( v , ..., v j ) ∈ Q i ∈{ ,...,j } ,p = p,p j = z p i M p i +1 , telque p i ∈ Crit( f ).Il sera utile de param´etrer ces trajectoires de la fa¸con la plus naturelle. Pour v ∈ p M z ,choisissons la param´etrisation(4.48) ((Λ v : [0 , f ( p )] → M ) : Λ v ( τ ) = ζ ⇔ f ( ζ ) = f ( p ) − τ ) . Moralement, cette param´etrisation nous informe du niveau ζ sur lequel on se trouve apr`esun temps τ compris dans l’intervalle du domaine. Cette param´etrisation s’´etend donc bel etbien `a toutes les trajectoires de modules de flots (bris´ees ou non) dans ∂ p M z , ayant commelimites ´evidentes(4.49) Λ v ( τ ) τ → −−−→ p et Λ v ( τ ) τ → f ( p ) −−−−−→ . d´efinition 1. (´Eclatement d’une vari´et´e instable) L’´eclatement d’une vari´et´e instable est pard´efinition (4.50) E M ( p, τ ) : ( p M z × [0 , f ( p )]) / ∼ τ , o`u la relation d’´equivalence ∼ τ est telle que (( v , ..., v j ) , τ ) ∼ τ (( v ′ , ..., v ′ j ) , τ ) si, ∀ i : f ( p i − ) > τ , on a v i = v ′ i ∈ p i − M p i . Autrement dit, on identifie les points ( v, τ ) et ( v ′ , τ ) si les trajectoires de v et de v ′ co¨ıncident partout au-dessus du niveau τ .Avant de tenter de visualiser l’´eclatement des points critiques de S × T , voici quelquesr´esultats int´eressants sur l’espace E M ( p, t ). Lemme 13. E M ( p, t ) est Hausdorff. Preuve du lemme.
Rappelons qu’un espace est Hausdorff s’il existe pour tous les points dis-tincts un voisinage pour chaque ne s’intersectant pas. Autrement dit, que n’importe quellesuite qui converge dans cet espace est unique. Ainsi, soient deux suites ( v n , τ n ) et ( v ′ n , τ ′ n ) dans p M z × [0 , f ( p )] telles que : (i) v n n →∞ −−−−→ v et τ n n →∞ −−−−→ τ , (ii) v ′ n n →∞ −−−−→ v ′ et τ ′ n n →∞ −−−−→ τ ′ et (iii) ( v n , τ n ) | ∼ = ( v ′ n , τ ′ n ) | ∼ ∀ n . On doit alors montrer que ces deux suites de trajectoires, donn´ee la relation d’´equivalence,sont ´egales dans la limite o`u n → ∞ .D’abord, comme ( v n , τ n ) ∼ ( v ′ n , τ ′ n ) ∀ n , par d´efinition de ∼ τ , on doit avoir que τ n = τ ′ n pour tout n . Ensuite, comme ( v n , τ ) ∼ ( v ′ n , τ ) ∀ n , nous avons que pass´e le temps limite τ (ou, au-dessus du niveau τ ), toutes les trajectoires v n et v ′ n co¨ıncident. Q.E.D La param´etrisation Λ v nous permet de d´efinir l’application continue(4.51) ((Λ ∗ : p M z × [0 , f ( p )] → M ) : ( v, τ ) Λ v ( f ( p ) − τ ) = ι ⇔ f ( ι ) = τ ) . Cette application permet d’identifier un point ι sur la vari´et´e `a l’intersection de v et duniveau f − ( τ ) – i.e. ι ∈ W u ( p ) ou sa fronti`ere. Comme le couple ( v, τ ) est unique, cetteidentification est injective.L’application Λ ∗ peut ˆetre red´efinie par(4.52) Λ ∗ ≡ E ◦ ∼ τ , o`u(4.53) (( E : E M ( p, τ ) → M ) : ( v, τ ) | ∼ Λ ∗ ( v, τ ) = Λ v ( f ( p ) − τ )) . Le lemme suivant sur l’espace engendr´e par l’image de E justifie pourquoi on appelle E M ( p, τ )l’´eclatement de W u ( p ). Lemme 14. E ( E M ( p, τ )) = W u ( p ) . Preuve du lemme.
Montrons d’abord que E ( E M ( p, τ )) ⊇ W u ( p ) . Prenons ξ ∈ W u ( p ) . Alors, ξ appartient au premier segment d’une trajectoire bris´ee (ou non) v = ( v , ..., v j ) entre p et z (ici, j ≤ est situ´e au-dessus d’un certain niveau f − ( τ ) ). Ainsi, par d´efinition de Λ ∗ et donc de E , il existe un couple ( v, τ ) tel que E (( v, τ ) | ∼ ) = Λ ∗ (( v, τ )) = ξ . Ainsi,pour tout ξ ∈ W u ( p ) , E ( E M ( p, τ )) ⊇ W u ( p ) . Pour montrer totalement l’inclusion d´esir´ee,nous devons prouver la mˆeme chose pour ξ ∈ ∂W u ( p ) . Soit alors ( ξ n ) ∞ n =1 ⊆ W u ( p ) unes´equence telle qu’elle converge `a ξ (une telle s´equence existe car W u ( p ) = W u ( p ) ∪ ∂W u ( p ) est ferm´e et donc contient tous ses points d’accumulation et que ξ en est trivialement un).Par l’argument d´evelopp´e plus haut, pour tout n , on trouve un ( v n , τ n ) : Λ ∗ (( v n , τ n )) = ξ n . Comme (( v n , τ n )) ∞ n =1 est une suite d´efinie sur un compact, par Bolzano-Weierstraßg´en´eralis´e, il existe une sous-suite (( v n k , τ n k )) ∞ k qui converge dans ce compact. Ainsi, ilexiste ( v, τ ) ∈ p M z tel que, par continuit´e, (4.54) Λ ∗ (( v n k , τ n k )) = ξ n k k →∞ −−−−→ Λ ∗ (( v, τ )) . Comme l’´eclatement est Hausdorff, la limite des suites dans cet espace est unique et comme ξ n n →∞ −−−−→ ξ , alors (4.55) E (( v n k , τ n k ) | ∼ ) k →∞ −−−−→ E (( v, τ ) | ∼ ) ≡ ( E ◦ ∼ )(( v, τ )) ≡ Λ ∗ (( v, τ )) = ξ. La premi`ere inclusion est ainsi montr´ee.Il faut maintenant montrer que E ( E M ( p, τ )) ⊆ W u ( p ) . Pour se faire, prenons γ ∈ E ( E M ( p, τ )) . Alors, γ est tel que (4.56) ( γ = ( v, τ ) | ∼ | ( v, τ ) ∈ p M z ) . Il faut montrer que E ( γ ) ∈ W u ( p ) . Si ( v, τ ) ∈ p M z × (0 , f ( p )] , la preuve est triviale car cepoint n’est pas un point limite – i.e. on s’y rend dans un temps non asymptotique. C’est-`a-dire qu’il existe un γ bien d´efini tel que E ( γ ) ∈ W u ( p ) ⊆ W u ( p ) . Si ( v, τ ) p M z × (0 , f ( p )] ,alors, choisissons une s´equence ( v n , τ n ) ∞ n =1 ⊂ p M z × (0 , f ( p )] : ( v n , t n ) n →∞ −−−−→ ( v, t ) . Parla continuit´e de Λ ∗ , alors Λ ∗ (( v n , τ n )) n →∞ −−−−→ Λ ∗ (( v, τ )) ≡ ( E ◦ ∼ )(( v, τ )) ≡ E ( γ ) . Alors, E ( γ ) = Λ ∗ (( v, τ )) ∈ W u ( p ) . Q.E.D Il est intuitif que l’´eclatement soit un espace contractible – i.e. l’application identit´e y estnulle-homotopique `a une application constante.
Lemme 15.
L’espace E M ( p, τ ) est contractible. Preuve du lemme.
Par d´efinition, les points de l’espace p M z × { f ( p ) } sont envoy´es surle mˆeme point dans l’espace de l’´eclat´e – par le quotient qui le d´efini. Notons ce point ̟ ∈ E M ( p, τ ) . Comme dit plus tˆot, nous d´esirons montrer que Id( E M ( p, τ )) est homotopique`a une application constante envoyant E M ( p, τ ) sur ̟ – i.e. application dont l’image est ̟ .Pour se faire, d´efinissons (4.57) ((Λ ′ v : [0 , f ( p )] → E M ( p, τ )) : τ ( v, f ( p ) − τ ) | ∼ ) . Alors, Λ ′ v (0) = ( v, f ( p )) | ∼ = ̟ et Λ v ≡ E ◦ Λ ′ v .Munis de cette notation, on note qu’il y a pour tout ζ ∈ E M ( p, τ ) une trajectoire ¯ ζ :[0 , τ ∗ ] → E M ( p, τ ) telle que ¯ ζ (0) = ̟ et ¯ ζ ( τ ∗ ) = ζ qui, de plus, co¨ıncide avec une trajectoire v ∈ p M z – i.e. (4.58) ¯ ζ ( τ ) = Λ ′ v ( τ ) ∀ τ ∈ [0 , τ ∗ ] . Pour une trajectoire ¯ ζ , τ ∗ se doit d’ˆetre unique. On note que l’association constante, ζ → ¯ ζ , (4.59) (( β : E M ( p, τ ) → { ¯ ζ : [0 , τ ∗ ] → E M ( p, τ ) | τ ∗ ≥ , ¯ ζ (0) = ̟ } | {z } Ensemble des trajectoires ̟ → ζ ) : ζ ¯ ζ ) . Alors, il nous est possible de d´efinir l’homotopie H α (4.60) (( H α : E M ( p, τ ) × [0 , → E M ( p, τ )) : ζ ( β ( ζ ))((1 − α ) τ ∗ ) ≡ ¯ ζ ((1 − α ) τ ∗ )) , telle que H ( ζ ) = ¯ ζ ( τ ∗ ) = Id( ζ ) , (4.61) H ( ζ ) = ¯ ζ (0) = ̟. (4.62) Il existe donc une homotopie entre l’identit´e et une application constante. Ainsi, l’identit´eest nulle-homotopique. Q.E.D
Lemme 16. E M ( p, τ ) est hom´eomorphique `a un disque ferm´e de dimension ´egale `a l’indicede p . De plus, (4.63) ∂ E M ( p, τ ) = [ Ind( q ) < Ind( p ) p M q × E M ( q, τ ) . Preuve du lemme.
Voir [3, Section 2.4.6]. Q.E.D Clairement, ( v, t ) est un point d’accumulation de p M z × (0 , f ( p )] donn´ees v n n →∞ −−−−→ v et τ n n →∞ −−−−→ τ . Effectuons maintenant l’´eclat´e du point T . Comme l’indice d´ecroˆıt le long des trajectoiresd’un pseudo-gradient satisfaisant la condition de Smale, lorsque nous utilisons la d´efinitiondes trajectoires bris´ees(4.64) ξ M γ = G σ ∈ Crit h ( f ) , Ind( ξ ) >h> Ind( γ ) ξ M σ × σ M γ , il ne faut imp´erativement pas consid´erer les trajectoires entre points du mˆeme indice. T M z par d´efinition, exprim´e en terme de fermeture de cellules e kT M z = G σ ∈ Crit h ( f ) , >h> ξ M σ × σ M γ = { T M d × d M u × u M z } ∪ { T M d × d M u × u M z }∪ { T M d × d M u × u M z } ∪ { T M d × d M u × u M z }∪ { T M u × u M z } ∪ { T M u × u M z }∪ { T M d × d M z } ∪ { T M z } = [ i =1 ( { ¯ e , ¯ e } i ∪ { ¯ e } i ) ∪ { ¯ e } . (4.65)Alors, l’´eclat´e de T est(4.66) E S × T ( T , τ ) = T M z × [0 , f ( T ) = 3] = [ i =1 ( { ¯ e , ¯ e } i ∪ { ¯ e } i ) ∪ { ¯ e } . Invitation `a une g´en´eralisation
Pour conclure, nous mentionnons que dans le futur, il serait int´eressant de transporterla discussion faite ici, mais dans le cas o`u la dimension est infinie. Elle est d´efinie sur unespace de dimension infini, comme par exemple celui des lacets d’une vari´et´e symplectique,avec la fonctionnelle d’action comme fonction de Morse. Bien que l’indice et le coindice entout point critique soient infinis, on peut donner un sens `a la notion d’indice relatif. Celadonne lieu `a la fameuse homologie de Floer [8–11].
Annexe A. Courte r´evision de l’homologie de Morse sur Z Le complexe de Morse associ´e `a la fonction de Morse f , avec coefficients entiers et indicesde Morse grad´ees, forme une chaˆıne de groupes ab´eliens libres g´en´er´es par les points critiquesdans Crit k ( f ) – i.e.(A.1) CM k ( M, f ) := M ξ ∈ Crit k ( f ) C ξ ξ, k, C ξ ∈ Z . Une somme sur ∅ est par d´efinition triviale.Suivant le mˆeme algorithme, nous choisissons d’abord une orientation pour chaque vari´et´einstable. L’ensemble de ces choix est d´enot´e : Or. De plus, dans ce travail, nous assumonsque Ind( ξ ) − Ind( γ ) = 1 et que u ∈ ξ M γ . Dans ce cas, l’espace des modules de flots ξ M γ estune vari´et´e orient´ee compacte de dimension 0 et donc correspond `a un nombre fini de points,chacun muni d’un signe ±
1. Particuli`erement, cet espace peut ˆetre associ´e `a l’intersectiondes 0-sections d’un fibr´e vectoriel de Banach [7, p.125]. L’orbite ξ M uγ est la composanteconnect´ee de ξ M γ passant par u , et est donc munie d’une orientation (par le truchementde la premi`ere proposition) O ( ξ M uγ ). L’orientation induite par le flot O ˙ φ t ( u ) et le signecaract´eristique η u := η u (Or) est d´efinie par la relation(A.2) O ( ξ M uγ ) = η u O ˙ φ t ( u ) . Il nous est alors possible de d´efinir l’op´erateur de bord(A.3) ( ∂ k := ∂ k ( M, f,
Or) : CM k ( M, f ) → CM k − ( M, f )) : ξ X γ ∈ Crit k − f N ( ξ, γ ) γ , o`u(A.4) N ( ξ, γ ) := X u ∈ ξ M γ η u , η u ∈ {± } d´efini plus haut . Comme cet op´erateur est integrable [17], ∂ k ≡
0, nous nous avons que le k -i`eme grouped’homologie correspond alors au co-noyau(A.5) HM k ( M, f,
Or) = ker( ∂ k )Im( ∂ k +1 ) . Annexe B. Discussion sur l’existence de la limite
Rappelons que ξ M γ repr´esente l’ensemble des orbites du flot du pseudo gradient φ η de ξ `a γ . Si nous avons u ∈ ξ M γ comme point de d´epart, pour η ∈ [ η , ∞ [, φ η ( u ) ∈ ξ M γ impliquant ˙ φ η ( u ) ∈ T ξ M γ . De [4, Lemme 8.5], il s’en suit que Lemme 17.
Soit H ( t ) un op´erateur ´egalant la Hessienne de f dans la limite t → ±∞ .L’´equation (B.1) dd t ˙ φ t ( u ) + H ( t ) ˙ φ t ( u ) = 0 , admet une solution pour | t | > T telle que, ˙ φ t ( u ) t →±∞ −−−−→ – i.e. on atteint les points critiquesdans cette limite et les tangentes au flot y sont nulles. Si nous d´efinissons l’op´erateur diff´erentiel d := dd t + H ( t ), alors par [25, Lemme B.5],comme(B.2) ˙ φ t ( u ) ∈ ker( d ) , alors, gardant en tˆete que dans la limite H ( t ) est non d´eg´en´er´ee comme f est une fonctionde Morse,(B.3) lim t →±∞ ˙ φ t ( u ) k ˙ φ t ( u ) k Euc. := E ± ∃ ! : H ( ±∞ ) E ± = E ± E ± , E + > ∧ E − < ! , o`u il est naturel de d´efinir E + := ⋆ ˙ φ t → + ∞ ( u ) et E − := ⋆ ˙ φ t →−∞ ( u ) tels que(B.4) O ( E + ) := O ˙ φ t → + ∞ ( u ) et O ( E − ) := O ˙ φ t →−∞ ( v ) . Annexe C. Preuve compl´ementaire
Lemme 18.
Soient S et S deux sous-vari´et´es de la n -vari´et´e M . Si S ⋔ S , alors ∀ z ∈ S ∩ S (C.1) T z ( S ∩ S ) = T z S ∩ T z S . Preuve du lemme.
Comme S ∩ S ⊆ S et S ∩ S ⊆ S , on a pour tout z ∈ S ∩ S (C.2) T z ( S ∩ S ) ⊆ T z S et T z ( S ∩ S ) ⊆ T z S ⇒ T z ( S ∩ S ) ⊆ T z S ∩ T z S . Nonobstant cela, la condition de transversalit´e sur l’intersection implique que (C.3) codim( S ∩ S ) = codim( S ) + codim( S ) , qui se traduit par (C.4)dim( S ∩ S ) = dim( S ) + dim( S ) − n ⇒ dim( T z ( S ∩ S )) = dim( T z S ) + dim( T z S ) − n. La transversalit´e implique aussi que (C.5) dim( T z M ) = dim( T z S + T z S ) = n. Nous r´e´ecrivons alors (C.6) dim( T z ( S ∩ S )) = dim( T z S ) + dim( T z S ) − dim( T z S + T z S ) . du th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre lin´eaire, (C.7) dim( T z S ∩ T z S ) = dim( T z S ) + dim( T z S ) − dim( T z S + T z S ) . Ainsi dim( T z S ∩ T z S ) = dim( T z ( S ∩ S )) et T z ( S ∩ S ) ⊆ T z S ∩ T z S implique le r´esultatd´esir´e. R´ef´erences [1]
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