Nonhyperbolicity of invariant measures on maximal attractor
aa r X i v : . [ m a t h . D S ] J u l Ìîñêîâñêèé îñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé àêóëüòåò ÓÄÊ 517.9Íàëüñêèé Ìàêñèì Áîðèñîâè÷Íåãèïåðáîëè÷íîñòü èíâàðèàíòíûõ ìåðíà ìàêñèìàëüíîì àòòðàêòîðå.Ìîñêâà, 2007îäåðæàíèå1 Îñíîâíîé ðåçóëüòàò 32 åäóêöèÿ ãëàäêîãî ñëó÷àÿ ê ãåëüäåðîâûì êîñûì ïðîèçâåäåíèÿì 43 åëüäåðîâû êîñûå ïðîèçâåäåíèÿ 53.1 Óïðàâëÿåìûå êîñûå ïðîèçâåäåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Ïîñòðîåíèå ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Ýðãîäè÷íîñòü è íóëåâûå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Îñíîâíîé ðåçóëüòàòÍàñòîÿùàÿ ðàáîòà ñâÿçàíà ñ ïîïûòêàìè îòâåòèòü â òîé èëè èíîé ìåðå íà âîïðîñ, íà-ñêîëüêî ïîâåäåíèå òèïè÷íîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ãèïåðáîëè÷íî. èïåðáîëè÷åñêèå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû èìåþò íåíóëåâûå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà, íîíå ÿâëÿþòñÿ òèïè÷íûìè â ïðîñòðàíñòâå âñåõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì [1℄. Íåðàâíîìåðíîãèïåðáîëè÷åñêèå ñèñòåìû, èçó÷àåìûå â òåîðèè Ïåñèíà [2℄, òàêæå èìåþò íåíóëåâûå ïî-êàçàòåëè Ëÿïóíîâà è òàê æå íåòèïè÷íû.Òåîðèÿ Ïåñèíà èçó÷àåò äèåîìîðèçìû, èìåþùèå íåíóëåâûå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíî-âà îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé èêñèðîâàííîé èíâàðèàíòíîé ìåðû, è îïèñûâàåò ïîâåäåíèåòðàåêòîðèé, òèïè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ýòîé ìåðû.  îáùåì ñëó÷àå, èíâàðèàíòíàÿ ìåðà ìî-æåò áûòü çàäàíà èçíà÷àëüíî è ñîãëàñîâàíà ñ ãëàäêîé ñòðóêòóðîé, à ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé. Ýòè äâà ñëó÷àÿ ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà.Äëÿ C -äèåîìîðèçìîâ äâóìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé, ñîõðàíÿþùèõ ïëîùàäü, Bo hi [4℄îáíàðóæèë, ÷òî òèïè÷íûå îòîáðàæåíèÿ ýòîãî êëàññà ÿâëÿþòñÿ ëèáî Àíîñîâñêèìè, ëèáîèìåþò íóëåâûå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà.Äëÿ á(cid:1)îëüøèõ ðàçìåðíîñòåé â ðàáîòå [6℄ óñòàíîâëåíî, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå óñòîé÷èâî-ýðãîäè÷åñêèõ C -äèåîìîðèçìîâ ñ C -òîïîëîãèåé, ñîõðàíÿþùèõ ãëàäêóþ îðìó îáú-åìà íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè ðàçìåðíîñòè 2 è âûøå, ñóùåñòâóåò îòêðûòîå è ïëîòíîåïîäìíîæåñòâî íåðàâíîìåðíî ãèïåðáîëè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé.Åñëè äèåîìîðèçì ÷àñòè÷íî ãèïåðáîëè÷åí, ñîõðàíÿåò îáúåì è ÿâëÿåòñÿ óñòîé-÷èâî ýðãîäè÷åñêèì, òî Baraviera è Bonatti [7℄ ïîêàçàëè, ÷òî ñêîëü óãîäíî ìàëûì C -âîçìóùåíèåì ìîæíî ñäåëàòü öåíòðàëüíûé ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà íåíóëåâûì.Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà îòíîñèòñÿ êî âòîðîìó èç óïîìÿíóòûõ íàïðàâëåíèé (cid:21) èññëåäîâàíèþñèñòåì, ÷üè èíâàðèàíòíûå ìåðû îïðåäåëÿþòñÿ äèíàìèêîé è ìîãóò áûòü íå ñîãëàñîâàíûñ ãëàäêîé ñòðóêòóðîé. Îêàçûâàåòñÿ, åñëè îòêàçàòüñÿ îò çàäàííîé apriori ãëàäêîé èíâà-ðèàíòíîé ìåðû, òî íóëåâûå Ëÿïóíîâñêèå ïîêàçàòåëè âñòðå÷àþòñÿ ãîðàçäî ÷àùå.Òåîðåìà 1 (Îñíîâíîé ðåçóëüòàò). Äëÿ çàìêíóòîãî ìíîãîîáðàçèÿ M , dim M ≥ , íàé-äåòñÿ òàêàÿ îáëàñòü U ⊂ Diff ( M ) , ÷òî ëþáîé äèåîìîðèçì f ∈ U èìååò ëîêàëüíîìàêñèìàëüíûé ÷àñòè÷íî ãèïåðáîëè÷åñêèé àòòðàêòîð Λ ⊂ M è íåàòîìàðíóþ ýðãîäè-÷åñêóþ èíâàðèàíòíóþ ìåðó µ ñ supp µ = Λ , îäèí èç ïîêàçàòåëåé Ëÿïóíîâà îòíîñè-òåëüíî êîòîðîé ðàâåí íóëþ. 3îêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé.  ïåðâîé ÷àñòè ïðîâîäèòñÿ ðåäóê-öèÿ îáùåãî âîïðîñà äëÿ ãëàäêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ê àíàëîãè÷íîìó ðåçóëüòàòó ïðîêîñûå ïðîèçâåäåíèÿ, ñëåäóÿ ðàáîòå [13℄. âòîðîé ÷àñòè, áîëåå òåõíè÷åñêîé è îðèãèíàëüíîé, ñîäåðæèòñÿ îáîñíîâàíèå óïîìÿ-íóòîãî ðåçóëüòàòà äëÿ êîñûõ ïðîèçâåäåíèé íàä ñîëåíîèäîì Ñìåéëà-Âèëüÿìñà.  óïðî-ùåííîì ñëó÷àå (ïîäêîâû Ñìåéëà âìåñòî ñîëåíîèäà) ýòè ðàññóæäåíèÿ ïðèâåäåíû â ðàáî-òàõ [14℄ è [15℄.Àâòîð ïðèçíàòåëåí À. Ñ. îðîäåöêîìó, Þ. Ñ. Èëüÿøåíêî è Â. À. Êëåïöûíó çà ïîëåç-íûå èäåè è îáñóæäåíèÿ.2 åäóêöèÿ ãëàäêîãî ñëó÷àÿ ê ãåëüäåðîâûì êîñûì ïðî-èçâåäåíèÿìÌû ðàññìàòðèâàåì äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, ÿâëÿþùèåñÿ êîñûìè ïðîèçâåäåíèÿìè íàäñîëåíîèäîì Ñìåéëà-Âèëüÿìñà: F : Λ × S → Λ × S , F ( s, x ) = ( T ( s ) , f s ( x )) . (1)Çäåñü Λ (cid:22) ñîëåíîèä, òî åñòü ìàêñèìàëüíûé àòòðàêòîð ñîîòâåòñòâóþùåãî îòîáðàæåíèÿ T ïîëíîòîðèÿ D â ñåáÿ (ñì. ðàçäåë 3); f s íåïðåðûâíî çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðà s ∈ Λ ñåìåéñòâî äèåîìîðèçìîâ îêðóæíîñòè.Åñëè çàâèñèìîñòü f s îò s ãåëüäåðîâà, òî áóäåì ãîâîðèòü î ãåëüäåðîâîì êîñîì ïðîèç-âåäåíèè; íàêîíåö, åñëè ñåìåéñòâî f s ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèåì íà Λ ãëàäêî çàâèñÿùåãî îò s ∈ D ñåìåéñòâà, òî òàêîå ñåìåéñòâî áóäåì íàçûâàòü ãëàäêèì. åëüäåðîâû êîñûå ïðîèçâåäåíèÿ åñòåñòâåííî âîçíèêàþò ïðè (cid:16)âûïðÿìëåíèè(cid:17) äèíàìè-êè íà ÷àñòè÷íî-ãèïåðáîëè÷åñêèõ èíâàðèàíòíûõ ìíîæåñòâàõ. Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèåÿâëÿåòñÿ ñâÿçóþùèì çâåíîì ìåæäó èññëåäîâàíèåì òèïè÷íûõ äèåîìîðèçìîâ è òåî-ðèåé êîñûõ ïðîèçâåäåíèé.Òåîðåìà 2. Ïóñòü çàäàí ãëàäêèé äèåîìîðèçì F èç D × S â ñåáÿ, ÿâëÿþùèéñÿêîñûì ïðîèçâåäåíèåì íàä îòîáðàæåíèåì ñîëåíîèäà T , äîñòàòî÷íî áëèçêèé ê òîæäå-ñòâåííîìó âäîëü ñëîÿ. Òîãäà ó ëþáîãî äèåîìîðèçìà e F , äîñòàòî÷íî áëèçêîãî ê F ,ìàêñèìàëüíûé àòòðàêòîð e Λ ãîìåîìîðåí Λ × S , à îãðàíè÷åíèå e F | e Λ ïðè ýòîì ãîìåî-ìîðèçìå ïåðåõîäèò â ãåëüäåðîâî êîñîå ïðîèçâåäåíèå, áëèçêîå ê F | Λ × S .4òðîãàÿ îðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòàõ À. Ñ. îðîäåöêîãî [13℄è Hirsh, Pugh, Shub [10℄. Ïðèìåíåíèå ýòîé òåîðåìû, ïîçâîëÿåò ïåðåíåñòè íåêîòîðûå ñâîé-ñòâà êîñûõ ïðîèçâåäåíèé íà äèåîìîðèçìû. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò íàñòîÿùåé ñòàòüè âòåðìèíàõ êîñûõ ïðîèçâåäåíèé îðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Òåîðåìà 3. Ñóùåñòâóåò îòêðûòàÿ îáëàñòü U â ïðîñòðàíñòâå ã¼ëüäåðîâûõ êîñûõ ïðî-èçâåäåíèé íàä ñîëåíîèäîì Ñìåéëà-Âèëüÿìñà Λ , ñîäåðæàùàÿ ãëàäêèå êîñûå ïðîèçâåäå-íèÿ, ñêîëü óãîäíî áëèçêèå ê òîæäåñòâåííîìó ïî ñëîþ, òàêàÿ, ÷òî ëþáîå îòîáðàæåíèå f ∈ U èìååò ýðãîäè÷åñêóþ ìåðó ñ ïîëíûì íîñèòåëåì Λ è íóëåâûì ïîêàçàòåëåì Ëÿ-ïóíîâà âäîëü ñëîÿ.Îñíîâíîé ðåçóëüòàò âûâîäèòñÿ èç ýòèõ äâóõ óòâåðæäåíèé ñëåäóþùèì îáðàçîì: ðàñ-ñìàòðèâàåòñÿ ãëàäêîå îòîáðàæåíèå êîìïàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ, îáëàäàþùåå ÷àñòè÷íîãèïåðáîëè÷åñêèì èíâàðèàíòíûì ìíîæåñòâîì, ãîìåîìîðíûì ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ñî-ëåíîèäà íà îêðóæíîñòü Λ × S . Îòîáðàæåíèå ñòðîèòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äèíàìèêàíà èíâàðèàíòíîì ìíîæåñòâå ÿâëÿëàñü ãëàäêèì êîñûì ïðîèçâåäåíèåì èç îáëàñòè, îáåñ-ïå÷åííîé òåîðåìîé 3. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2, âñå äèåîìîðèçìû, äîñòàòî÷íî áëèçêèåê ïîñòðîåííîìó, ñîäåðæàò ïîäìíîæåñòâî, äèíàìèêà íà êîòîðîì ñîïðÿæåíà ã¼ëüäåðî-âîìó êîñîìó ïðîèçâåäåíèþ, áëèçêîìó ê èñõîäíîìó, à çíà÷èò, ïðèíàäëåæàùåìó òîé æåîáëàñòè. Òîãäà äëÿ ýòîãî êîñîãî ïðîèçâåäåíèÿ íàéä¼òñÿ èíâàðèàíòíàÿ ìåðà ñ íóëåâûìïîêàçàòåëåì Ëÿïóíîâà âäîëü ñëîÿ. Îòñþäà äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé èíâàðèàíòíîé ìåðûâîçìóù¼ííîãî äèåîìîðèçìà îäèí èç ïîêàçàòåëåé Ëÿïóíîâà ðàâåí íóëþ.3 åëüäåðîâû êîñûå ïðîèçâåäåíèÿàññìîòðèì ñîëåíîèä Ñìåéëà-Âèëüÿìñà, ðåàëèçîâàííûé êàê îòîáðàæåíèå ïîëíîòîðèÿ.À èìåííî, ïóñòü B (cid:22) åäèíè÷íûé äèñê íà ïëîñêîñòè ñ êîìïëåêñíîé êîîðäèíàòîé u , S (cid:22)îêðóæíîñòü, D = S × B . àññìîòðèì îòîáðàæåíèå T : D → D : T : ( ϕ, u ) → (6 ϕ mod 1 , e πiϕ + 1100 u ) Îòîáðàæåíèå T èìååò ëîêàëüíî ìàêñèìàëüíûé ãèïåðáîëè÷åñêèé àòòðàêòîð Λ , ãîìåî-ìîðíûé e Σ (cid:22) ïðîñòðàíñòâó äâóñòîðîííèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç ñèìâîëîâ { , . . . , } ,â êîòîðîì îòîæäåñòâëåíû òî÷êè { . . . w . . . w k . . . } è { . . . w . . . ( w k + 1)000 . . . } . Îãðà-íè÷åíèå T | Λ ñîïðÿæåíî ñäâèãó Áåðíóëëè σ : e Σ → e Σ , à îòîáðàæåíèe (1), òåì ñàìûì,5îïðÿæåíî îòîáðàæåíèþ: G : e Σ × S → e Σ × S , ( ω, x ) → ( σω, g ω ( x )) , (2)ãäå g ω (cid:22) ñåìåéñòâî äèåîìîðèçìîâ îêðóæíîñòè, íåïðåðûâíî â Diff -íîðìå çàâèñÿùèõîò ω (â ÷àñòíîñòè, ãëàäêîå âäîëü ñëî¼â).Òåîðåìà 2 âëå÷åò âûïîëíåíèå äëÿ îòîáðàæåíèÿ G óñëîâèé ( L, C, α ) -ãåëüäåðîâîñòè: ∀ ω, ω ′ ∈ e Σ d C ( g ω , g ω ′ ) < C · d e Σ ( ω, ω ′ ) α , ∀ ω ∈ e Σ max x ∈ S max( g ′ ω ( x ) , ( g − ω ) ′ ( x )) < L. äëÿ íåêîòîðûõ êîíñòàíò L > , C > , α ∈ (0 , .3.1 Óïðàâëÿåìûå êîñûå ïðîèçâåäåíèÿÂâåäåì îáîçíà÷åíèÿ: ¯ g m [ ω ] = g σ m − ω ◦ · · · ◦ g σω ◦ g ω , ¯ g − m [ ω ] = g − σ − m ω ◦ · · · ◦ g − σ − ω , ¯ g [ ω ] = id . Ïóñòü a (cid:22) ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå ñëîâî èç ñèìâîëîâ , . . . , . ×åðåç { . . . | a . . . } ìûîáîçíà÷àåì ïðîèçâîëüíóþ áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ω ∈ e Σ , ó êîòîðîé, íà÷è-íàÿ ñ íóëåâîãî ìåñòà, çàïèñàíî ñëîâî a . Àíàëîãè÷íî ââîäèì îáîçíà÷åíèÿ { . . . a | . . . } è { . . . a | b . . . } . Ëàòèíñêàÿ w è ãðå÷åñêàÿ ω îáîçíà÷àþò ñëîâà êîíå÷íîé è áåñêîíå÷íîé äëèíûñîîòâåòñòâåííî.Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü êîñîå ïðîèçâåäåíèå G ÿâëÿåòñÿ ( L, C, α ) -ãåëüäåðîâûì. Ñêàæåì,÷òî îíî îáëàäàåò ñâîéñòâîì • ðàñòÿæåíèÿ, åñëè ñóùåñòâóþò ν > , δ > , òàêèå, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî èíòåð-âàëà I ⊂ S , | I | < δ : ∃ j = 5 : ∀ ω = { . . . | j β . . . } , β = 5 , ∀ x ∈ I ( Dg ω )( x ) > ν (3) • îáðàòíîãî ðàñòÿæåíèÿ, åñëè ñóùåñòâóþò ν > , δ > , òàêèå, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëü-íîãî èíòåðâàëà I ⊂ S , | I | < δ : ∃ j = 5 : ∀ ω = { . . . j | β . . . } , β = 5 , ∀ x ∈ I ( Dg − σ − ω )( x ) > ν ; (4)6 íàëè÷èÿ δ -ïîâîðîòà, åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ω = { . . . | β . . . } , β = 5 ,âåðíî: d C ( g ω , H δ ) < δ
40 ; (5)çäåñü ÷åðåç H δ îáîçíà÷åí ïîâîðîò íà óãîë δ . • íàëè÷èÿ ñëàáîïðèòÿãèâàþùåé îðáèòû, åñëè ñóùåñòâóåò ïðèòÿãèâàþùàÿ ïåðèîäè-÷åñêàÿ îðáèòà X , äëÿ ïîêàçàòåëÿ Ëÿïóíîâà âäîëü ñëîÿ êîòîðîé, îáîçíà÷àåìîãî λ ( X ) < , âûïîëíåíî λ ( X ) + ln ν > (6) • γ -ïðåäñêàçóåìîñòè òðàåêòîðèé, γ > , åñëè äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ S , äëÿ ëþáîãîíàòóðàëüíîãî m , äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ñëîâà w ∗ = w − m . . . w − | w . . . w m − âûïîë-íÿåòñÿ diam { ¯ g ± m [ ω ]( x ) | ω = { . . . w ∗ . . . }} < γ (7)Îïðåäåëåíèå 2. ( L, C, α ) -ãåëüäåðîâî êîñîå ïðîèçâåäåíèå íàçûâàåòñÿ óïðàâëÿåìûì, åñ-ëè îíî îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè îïðåäåëåíèÿ 1, ïðè÷¼ì êîíñòàíòû ìîãóò áûòü âûáðàíûóäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ ñîãëàñîâàííîñòè êîíñòàíò. Ïîñëåäíåå ñîñòîèò â òîì, ÷òî γ < δ , δ > δ (8)è α > log L. Ëåììà 1. Äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ
L > , C > è α ∈ (0 , ìíîæåñòâî óïðàâëÿåìûõñèñòåì íåïóñòî, îòêðûòî è ñîäåðæèò îòîáðàæåíèÿ, ñêîëü óãîäíî áëèçêèå ê òîæäå-ñòâåííîìó âäîëü ñëîÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, â ïðîèçâîëüíîé îêðåñòíîñòè W ⊂ Diff ( S ) òîæäå-ñòâåííîãî îòîáðàæåíèÿ îêðóæíîñòè ìîæíî âûáðàòü òðè ãèïåðáîëè÷åñêèõ äèåîìîð-èçìà g , , ñ îäíèì àòòðàêòîðîì è îäíèì ðåïåëëåðîì, îáåñïå÷èâàþùèå ñâîéñòâà ðàñ-òÿæåíèÿ è îáðàòíîãî ðàñòÿæåíèÿ, ïîâîðîò íà ìàëûé óãîë g , äèåîìîðèçì Ìîðñà-Ñìåéëà g ñ ïðèòÿãèâàþùåé ïåðèîäè÷åñêîé îðáèòîé è òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå g := id . Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèÿ ñåìåéñòâà g ω := g i íà ñëîâàõ âèäà { . . . | iβ . . . } , ãäå β = 5 ,7 ïðîäîëæèì ñåìåéñòâî ãëàäêèì îáðàçîì íà îñòàâøèåñÿ ñëîâà áàçû. Îòîáðàæåíèÿ ïðî-äîëæåíèÿ ìîæíî âûáðàòü ïðèíàäëåæàùèìè îêðåñòíîñòè W . Íåïóñòîòà äîêàçàíà. îòíîøåíèè âñåõ ñâîéñòâ îïðåäåëåíèÿ 1, êðîìå ñâîéñòâà ïðåäñêàçóåìîñòè òðàåêòî-ðèé, ÿñíî, ÷òî îíè C -óñòîé÷èâû. Ñëåäóþùàÿ ëåììà, ïðèíàäëåæàùàÿ À. Ñ. îðîäåöêîìó,âûâîäèò ïðåäñêàçóåìîñòü òðàåêòîðèé èç óñëîâèÿ íà ïîêàçàòåëü ¼ëüäåðà è ñêîðîñòü ðàñ-òÿæåíèÿ.Ëåììà 2 ([12, Lemma 3.1℄). Ïóñòü çàäàíû L , C è α , òàêèå, ÷òî âûïîëíåíî α > log L (cid:22) âòîðîå èç óñëîâèé ñîãëàñîâàííîñòè êîíñòàíò. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå K = K ( L, C, α ) , ÷òî äëÿ ëþáîé ( L, C, α ) -ñèñòåìû, δ -áëèçêîé ê S -ñòóïåí÷àòîé, d C (¯ g ± m [ ω ] , ¯ g ± m [ ω ′ ]) ≤ γ := Kδ β , (9)ãäå β = 1 − ln L ln 2 α .Òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî Kδ β < δ íà ðàññòîÿíèå δ îò óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû äî å¼âîçìóùåíèÿ âëå÷åò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ ïðåäñêàçóåìîñòè òðàåêòîðèé äëÿ ïîñëåäíåãî. (cid:4) X îòîáðàæåíèÿ G , ïåðèîä X ðàâåí P , è ε > (cid:21) èêñèðîâàíî. Òî÷êà y íàçûâàåòñÿ ( ε, P ) -áëèçêîé ê îðáèòå X , åñëè íàéäåòñÿ x ∈ X òàêîå, ÷òî ∀ l = 0 , . . . P − d ( G l ( x ) , G l ( y )) < ε. Ëåììà 3 (Îñíîâíàÿ ëåììà). Ïóñòü êîñîå ïðîèçâåäåíèå G âèäà (2) îáëàäàåò ñâîéñòâîìóïðàâëÿåìîñòè è D = D ( G ) > (cid:22) íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Ïóñòü X (cid:22) ïðîèçâîëü-íàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà G ïåðèîäà P ñ ìóëüòèïëèêàòîðîì ïî ñëîþ < θ < , äëÿïîêàçàòåëÿ Ëÿïóíîâà âäîëü ñëîÿ λ := ln θP êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ: λ + ln ν > D. Ïóñòü U (cid:21) ïðîèçâîëüíàÿ îêðåñòíîñòü â e Σ × S Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > ñóùåñòâóåòïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà Y êîñîãî ïðîèçâåäåíèÿ G ñ ïåðèîäîì P ′ > P è ïîêàçàòåëåìËÿïóíîâà âäîëü ñëîÿ λ ′ < òàêàÿ, ÷òî:1. îðáèòà Y ïåðåñåêàåò îêðåñòíîñòü U ;8. | λ ′ | < C | λ | , ãäå C = C ( G ) (cid:22) ãëîáàëüíàÿ êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò êîñîãîïðîèçâåäåíèÿ G , < C < ;3. λ ′ + ln ν > D ;4. ñóùåñòâóåò e Y ⊂ Y è ïðîåêöèÿ π : e Y → X òàêèå, ÷òî:(a) âñå òî÷êè ìíîæåñòâà e Y ÿâëÿþòñÿ ( ε, P ) -áëèçêèìè ê îðáèòå X , ïðè÷åì âîïðåäåëåíèè 3 ìîæíî âçÿòü x = π ( y ) ;(b) äîëÿ κ := e Y Y òî÷åê, â êîòîðûõ îïðåäåëåíà ïðîåêöèÿ π , îöåíèâàåòñÿ êàê: κ ≥ − | λ | ln L ; ( ) êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ïðîîáðàçà π − ( x ) îäèíàêîâî äëÿ âñåõ x ∈ X .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà êîñîãî ïðîèçâåäåíèÿ çàäàåòñÿ ñâîåé íà÷àëü-íîé òî÷êîé ( ω, x ) , ω ∈ e Σ , x ∈ S , ω = ( w ) (cid:22) ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, w = ( w . . . w P − ) (cid:22) åå ïåðèîä è âåðíî: σ P ω = ω ¯ g P [ ω ]( x ) = x. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà óïðàâëÿåìîñòè è çàèêñèðîâàâ èíòåðâàë J íà öåíòðàëüíîì ñëîå,ìû ïîäáèðàåì ñåðèþ ñëîâ w ′ ( k ) â áàçå, äëèíà êîòîðûõ âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì íàòóðàëüíîãîïàðàìåòðà k . Ñîîòâåòñòâóþùèå îòîáðàæåíèÿ êîñîãî ïðîèçâåäåíèÿ áóäóò ñæèìàòü J âñåáÿ, ãàðàíòèðóÿ íàëè÷èå ïðèòÿãèâàþùåé âäîëü ñëîÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè, à èõ ïðîèç-âîäíàÿ íà J áóäåò ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà ïî k . Óâåëè÷èâàÿ k , ìîæíî äîáèòüñÿ ñêîëüóãîäíî áëèçêîãî ê íóëþ îòðèöàòåëüíîãî ïîêàçàòåëÿ Ëÿïóíîâà.Ïîïóòíî, ñòðîÿ íîâóþ îðáèòó Y , ìû îáåñïå÷èâàåì åå ïðîõîæäåíèå ÷åðåç îêðåñòíîñòü U è áëèçîñòü òî÷åê íîâîé è ñòàðîé îðáèò (ñâîéñòâà 4a(cid:21)4 ). Ýòî ïîçâîëèò íàì ïîëó÷èòüñâîéñòâà ïðåäåëüíîé ìåðû: âåñü àòòðàêòîð â êà÷åñòâå íîñèòåëÿ è áëèçîñòü âðåìåííûõ èïðîñòðàíñòâåííûõ ñðåäíèõ.Òåõíèêà äîêàçàòåëüñòâà ïîäðîáíî îïèñàíà â [15℄. (cid:4) U i òàêèõ, ÷òî êàæäàÿ òî÷êàïðîñòðàíñòâà ïîêðûòà îêðåñòíîñòüþ ñêîëü óãîäíî ìàëîãî äèàìåòðà.Âîñïîëüçîâàâøèñü ëåììîé 3, ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèòÿãèâàþ-ùèõ âäîëü ñëîÿ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò X i , íà÷èíàþùóþñÿ ñî ñëàáîïðèòÿãèâàþùåé îðáè-òû (ñì. (6)), êàæäàÿ îðáèòà X i ïåðåñåêàåòñÿ ñ îêðåñòíîñòüþ U i . Ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâàäëÿ ýòèõ îðáèò ýêñïîíåíöèàëüíî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, ïðè÷¼ì êàæäàÿ ñëåäóþùàÿ îðáèòàá(cid:1)îëüøóþ ÷àñòü âðåìåíè ïðîâîäèò îêîëî ïðåäûäóùåé.àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àòîìàðíûõ ìåð, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¼ííûõ íà ýòèõîðáèòàõ. Èç óñëîâèÿ íà (cid:16)ïîõîæåñòü(cid:17) îðáèò (ñì. çàêëþ÷åíèå 4 ëåììû 3) ñ ïîìîùüþ ýð-ãîäè÷åñêîé òåîðåìû Áèðêãîà-Õèí÷èíà âûâîäèòñÿ, ÷òî ëþáàÿ ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ïîñ-òðîåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäåò ýðãîäè÷åñêîé èíâàðèàíòíîé ìåðîé; òàêæå íåñëîæíîïðîâåðÿåòñÿ íåàòîìàðíîñòü ïðåäåëüíîé ìåðû. Ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâî ìåð íà e Σ × S ∗ -ñëàáî êîìïàêòíî, ìû ìîæåì âûäåëèòü èç ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõîäÿùóþñÿ (cid:22) âñèëó âûøåñêàçàííîãî ê ýðãîäè÷åñêîé èíâàðèàíòíîé ìåðå (cid:22) ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ýòàïðåäåëüíàÿ ìåðà è áóäåò èñêîìîé.Äåéñòâèòåëüíî, ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà äëÿ ýðãîäè÷åñêîé èíâàðèàíòíîé ìåðû âûðàæà-åòñÿ êàê èíòåãðàë ïî ýòîé ìåðå îò íåïðåðûâíîé óíêöèè (cid:22) ïðîèçâîäíîé îòîáðàæåíèÿâäîëü ñëîÿ. Ïîýòîìó ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà äëÿ ïðåäåëüíîé ìåðû ðàâåí ïðåäåëó ïîêàçà-òåëåé Ëÿïóíîâà, òî åñòü íóëþ.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè îðáèòà X i ïåðåñêàåò U i , òî ïåðåñå÷åíèå åñòü è ó âñåõ îðáèò X j , j > i , ïðè÷åì äîëÿ îáùèõ òî÷åê íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Òåì ñàìûì, ïðåäåëüíàÿ ìåðà U i íå ðàâíà íóëþ, ÷òî îáåñïå÷èâàåò ñîâïàäåíèå íîñèòåëÿ ìåðû ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì.Ýòè ðàññóæäåíèÿ ñòðîãî ïðîâåäåíû â ðàáîòå [14℄ (ñì. ëåììû 1 è 2) äëÿ ÷àñòíîãîñëó÷àÿ ñòóïåí÷àòûõ êîñûõ ïðîèçâåäåíèé íàä ïîäêîâîé Ñìåéëà è äîñëîâíî ïåðåíîñÿòñÿíà îáùèé ñëó÷àé. (cid:4)(cid:4)