Nuclear spin squeezing by continuous quantum non-demolition measurement: a theoretical study
Alan Serafin, Yvan Castin, Matteo Fadel, Philipp Treutlein, Alice Sinatra
NNuclear spin squeezing by continuous quantum non-demolition measurement: atheoretical study
Alan Serafin a , Yvan Castin a , Matteo Fadel b , Philipp Treutlein b , Alice Sinatra a a Laboratoire Kastler Brossel, ENS-Université PSL, CNRS, Université de la Sorbonne and Collège de France, 24 rue Lhomond, 75231 Paris,France b Department of physics, University of Basel, Klingelbergstrasse 82, 4056 Basel, Switzerland
Abstract
We propose to take advantage of the very weak coupling of ground-helium 3 nuclear spin to its environment to producevery long-lived macroscopic quantum states, here nuclear spin squeezed states, in a vapor cell at room temperature.To perform a quantum non-destructive measurement of a transverse component of the previously polarized collectivenuclear spin, an oscillating discharge is temporarily switched on in the gas, which populates helium 3 metastable state.The collective spin corresponding to the F = / ff approximation,and for two measurement schemes, we calculate the moments of the collective nuclear spin squeezed component I z conditioned to the optical signal averaged over the observation time t . In the photon counting scheme, we find thatthe squeezed observable is I z rather than I z . In the homodyne detection scheme, we analytically solve the stochasticequation on the state of the system conditioned to the measurement; the conditional expectation value of I z dependslinearly on the signal and the conditional variance of I z does not depend on it. The conditional variance decreases as( Γ gensq t ) − , where the squeezing rate Γ gensq , which we calculate explicitly, depends linearly on the light intensity in thecavity at weak atom-field coupling and saturates at strong coupling to the ground state metastability exchange e ff ectiverate, proportional to the metastable atom density. Finally, we take into account the de-excitation of metastables atomson the walls, which induces nuclear spin decoherence with an e ff ective rate γ α . It imposes a limit ∝ ( γ α / Γ gensq ) / onthe conditional variance reached in a time ∝ ( γ α Γ gensq ) − / . Keywords: spin squeezing ; helium 3 ; nuclear spin ; quantum metrology
1. Introduction
Helium 3 in its ground state enjoys the remarkable property of having a purely nuclear spin I = /
2, perfectlyisolated from the outside world even in an environment as hostile to quantum coherences as a vapor of helium in acentimetric cell at room temperature and a pressure of the order of a millibar. By well-mastered nuclear polarizationtechniques, reaching a polarization of 90 %, we can then routinely prepare (for example for lung imaging by nuclearmagnetic resonance [1]) a giant collective nuclear spin with an extremely long lifetime. Recently, a coherence time T larger than 60 hours was measured in ultra-precise magnetometry devices [2], that seems limited only by thelongitudinal decay time T due to collisions with the cell walls. These numbers make the macroscopic nuclear spinin a room temperature vapor an ideal system for the production, the study and the use of entangled states, and thereforea competitor of cold atomic gases and Bose-Einstein condensates in metrology and quantum information processing[4]. Already in 2005, we suggested that the nuclear spins of helium 3 could give rise to quantum memories [5] or tonon-local quantum states [6] with very long lifetimes. Since then, experimental breakthroughs have been made in thefield of spin squeezing, notably by means of non-destructive quantum measurements (QND) in atomic alkali gases
1. Times T of several hundred hours can even be obtained [3]. Format Elsevier January 1, 2021 a r X i v : . [ phy s i c s . a t o m - ph ] D ec S xin > = n ph /2 pump = N/2 He Detection (a)
Helium 3 vapor cell inside an optical cavity -signal (c) homodyne detection λ /2signal z (b) photon counting Figure 1 – Overview of the set-up. (a) A centimetric glass cell is filled with a helium-3 vapor at room temperatureand placed in an optical cavity with axis z (horizontal axis in the figure). The Stokes spin of light and the atomic spins(nuclear and metastable) are linearly polarized along x (vertical axis in the figure). The cavity mode polarized along y , initially empty, is populated by the Faraday e ff ect due to the quantum fluctuations of the metastable spins along z .(b) The photons leaking out of the cavity polarized along y are separated from those polarized along x by a polarizingbeam-splitter and then detected in the photon counting regime. (c) Outside the cavity, a homodyne detection of onequadrature of the outgoing field polarized along y is carried out, using as local oscillator the outgoing field polarizedalong x (whose polarization has been previously rotated with a half-wave plate to bring it along y ).interacting with the electromagnetic field [4, 8], which recently made it possible to obtain a squeezed spin state witha lifetime of one second in the hyperfine ground state of rubidium under metrological conditions [9].Transposing to the nuclear spin of helium 3 the technique of squeezng by QND measurement used for the hyperfinespins of alkalis, represents a real challenge, however, due to the specificity of the nuclear spin: its weak coupling tothe environment. The singlet ground state of helium 3, separated in energy by about 20 eV from all excited states, isnot directly accessible by laser. However, by means of an oscillating discharge, a small fraction of the vapor atoms, onthe order of 10 − , can be brought into the metastable triplet state, an excellent starting point for near infrared opticaltransitions. The orientation of the nuclear spins is then obtained through an indirect process, optical pumping bymetastability exchange [3]. Initially, the angular momentum is transferred by laser-matter interaction from photons tometastable atoms, a priori to their electron spin (the only one to be strongly coupled to the field) but a posteriori also totheir nuclear spin thanks to hyperfine coupling. Secondly, we take advantage of the metastability exchange collisionsbetween metastable and ground state atoms to orient the nuclear spins in the ground state, with a time scale of the orderof a second, limited by the low density of the atoms in the metastable state. Even though the metastability exchangecollision can transfer quantum correlations (see references [5, 6] and our section 3.2), we cannot expect that a singlemeasurement on a small fraction of the atoms (10 − ) projects the whole system into a squeezed state. The solutionwe propose is to perform a continuous QND measurement amplified by a resonant optical cavity. Indeed, althoughthe metastable atoms individually have a relatively short lifetime (they lose their quantum correlations and fall backinto the ground state in each collision on the cell walls), a continuous destructive measurement of the light leaking outof the cavity after interaction with the metastable atoms amounts to performing a continuous QND measurement onthe collective nuclear spin in the ground state, which projects it into the desired squeezed state without a ff ecting itslifetime.This work gives a detailed theoretical description of the squeezing mechanism and its limits; a more detailedfeasibility study taking into account the experimentally accessible values of the parameters is carried out in reference[10]. Very recently, similar ideas have been put forward in a di ff erent physical system, the alkali-rare gas mixture[11, 12]. We are confident that quantum manipulation of long-lived nuclear spins is promised rapid development,opening up new perspectives for basic research and applications.
2. Overview and semi-classical description
The considered physical system is represented in figure 1. A cell filled with a partially polarized vapor of a fewmbar of pure helium 3 atoms is placed inside an optical cavity. While the majority of atoms remain in the singletground state 1 S of helium, a weak discharge brings a tiny fraction of the atoms, usually ’ − , in the metastabletriplet state 2 S . On the one hand, the cavity is injected by a laser beam propagating along the cavity axis z and linearly2 etastabilityexchangeground state(nuclear)metastable stateexcited state 2 P cavity mode addressing the C transition I JKS2 S S { Figure 2 – Relevant energy levels of the He atoms (the Zeeman sub-levels correspond to the choice of z as thequantization axis, the atoms being polarized along x ). The cavity mode polarized along x excites the transition C between the level F = / S and the highest energy level F = / P , with a negative frequency detuning much larger in absolute value than the Doppler half-width of the excitedstate (of the order of 1 GHz), so that the resonant velocity class with the laser is almost empty, but much weakerthan the 6.74 GHz hyperfine splitting in the metastable state (and a fortiori than the fine splitting 2 P − P of29.6 GHz in the excited state), so that the metastable level F = / ff ected by the laser. (Note: Thefrequency separation does not make it possible to largely satisfy these two constraints, and we cannot exclude that thecoupling of F = / ff ect on the squeezing dynamics; we neglect it here but we could takeit into account with a more complete than our minimal model Hamiltonian (2), like that of reference [15]). The sixsublevels of the 2 S metastable state are coupled to the two (purely nuclear) sub-levels of the 1 S ground state bymetastability exchange collisions.polarized in the direction x , which is also the direction of polarization of the atomic sample, to excite the 2 S − P transition with a large frequency detuning; on the other hand, atoms in the metastable state 2 S (of electronic andnuclear hyperfine spin) are coupled to atoms in the ground state (of purely nuclear spin) by metastability exchangecollisions [13, 14]. As the Faraday interaction with the metastable atoms causes the polarization of the light initiallydirected along x to rotate slightly around the z axis, in proportion to the component of the collective metastable spinsalong z as we will see, a continuous destructive measurement of the polarization component along y of the field leakingout of the cavity (i) by counting photons as indicated in figure 1b or (ii) by homodyne detection as in figure figure1c, ultimately performs a non-destructive continuous quantum measurement of the collective nuclear spin along z ofhelium-3 atoms in the ground state.In the rest of this section, by a semi-classical treatment of the spin fluctuations around the stationary state, wereduce our complex physical system to the simpler one of three coupled collective spins, of which section 3 will givea quantum description.The relevant atomic structure of the He atom and the transitions excited by the cavity field are shown in figure2. We call ~ I the collective nuclear spin in the ground state, ~ J and ~ K the collective spins associated with the hyperfinemultiplicities F = / F = / z , we introduce the Stokes spin[15] built from the creation and annihilation operators of a photon in the linearly polarized modes along x and y : S x = (cid:16) c † x c x − c † y c y (cid:17) ; S y = (cid:16) c † x c y + c † y c x (cid:17) ; S z = (cid:16) c † x c y − c † y c x (cid:17) . (1)We assume for simplicity that the cell is uniformly illuminated by the cavity mode. Within the limit of a large detuningand a weak saturation of the atomic transition by the field, the excited state 2 P can be eliminated adiabatically andthe interaction Hamiltonian between the metastable spin ~ K and the Stokes spin ~ S takes Faraday form [15]: H = ~ χ K z S z (2)
2. Equivalently, we can build the Stokes spin ~ S using annihilation operators in circularly polarized modes, c = √ ( c x − i c y ), c = √ ( c x + i c y )[16], in which case S z = (cid:16) c † c − c † c (cid:17) . S z in footnote 2. The coupled nonlinear equations describing the evolution of the mean spins aregiven in Appendix A, see equations (A.1)-(A.3). Besides the evolution due to the Faraday Hamiltonian (2) and to themetastability exchange collisions, they include the contribution of the usual Liouvillian terms in the quantum masterequation describing the injection of a polarized coherent field along x in the cavity and the losses due to the outputmirror, whose combined e ff ect leads to h S x i = n ph / n ph being theaverage number of photons in the polarized mode along x . These equations are then linearized around a partiallypolarized stationary solution (A.8)-(A.9), and the fluctuations of the spin ~ J and the collective alignment tensor in F = / to obtain coupled equations on the fluctuations of the three collective spins ~ I , ~ K and ~ S , whose stationary mean values are given by: h ~ I i s = N ~ u x ; h ~ K i s = n ~ u x ; h ~ S i s = n ph ~ u x (3)Here ~ u x is the unit vector along x , N and n are the e ff ective numbers of ground-state and metastable atoms participatingin the dynamics of collective spins. As we show in Appendix A, these e ff ective numbers are renormalized with respectto the total true numbers N cell and n cell in the cell, by polarization dependent factors: N = η N cell ; n = − η + η ! η n cell (4)where η ∈ [0 ,
1] is the nuclear polarization, and the semi-classical equations on the fluctuations of the three collectivespins are: dd t δ S z = − κ δ S z dd t δ S y = − κ δ S y + χ h S x i s δ K z (5)dd t δ I z = − γ f δ I z + γ m δ K z dd t δ I y = − γ f δ I y + γ m δ K y (6)dd t δ K z = − γ m δ K z + γ f δ I z dd t δ K y = − γ m δ K y + γ f δ I y + χ h K x i s δ S z (7)Here, κ is the cavity loss rate, γ m and γ f are the e ff ective metastability exchange rates in the metastable state and inthe ground state. The latter depend on the nuclear polarization as below and in figure 3a, and are in the same ratio asthe e ff ective atom numbers N and n (4) forming the collective spins: γ f = + η − η − η + η T ; γ m = + η − η τ ; γ m γ f = Nn (cid:29) / T and 1 /τ experienced by an atom in the ground state and inthe excited state being proportional to n cell and N cell . In figure 3b, we also show the nuclear polarization dependenceof the e ff ective Faraday coupling Ω α (25) between light and the nuclear spin hybridized by the metastable, whichcontrols the spin squeezing rate in (31).
3. Quantum description
In section 2, we have seen that we can model our complex physical system as three coupled collective spins (3):the nuclear spin ~ I in the ground state, the spin ~ K in the hyperfine level F = / ~ S of the cavity field. In this section, we present the full quantum treatment of this model. After having introducedthe Primako ff approximation, we move on to the quantum description of the metastability exchange which couplesthe nuclear and metastable spins.
3. We think that this non-mathematically controlled approximation is reasonable for the proposed experiment, because the spin ~ J is not directlycoupled to light so is not directly a ff ected by continuous field measurement. On the other hand, by eliminating in the same way the fluctuations ofthe spin ~ K , directly coupled to the field, one would commit a non-negligible error on the spin squeezing dynamics in the case of the detection byphoton counting (amounting to omitting the double jump C d in the quantum master equation (36) and the rate Γ in the average number of photonscounted (44)) therefore strongly underestimating the number of photodetections required to achieve a given squeezing level), but a negligible errorin the case of homodyne detection, as we have verified on the one-mode model in section 3.4.4. Note that n = η =
1. Indeed, the entire population of the metastable state is then in the extreme Zeeman sublevel m x = / F = / F = / η γ f T & γ m τ (a) η f( η ) (b) Figure 3 – (a) E ff ective metastability exchange rates γ f and γ m (8) as functions of nuclear polarization η , normalized bythe metastability exchange collision rates 1 / T and 1 /τ experienced by ground-state and metastable atoms in the vapor.(b) Nuclear polarization dependence of the Faraday frequency Ω α entering the spin squeezing rate (31), within the limit γ f (cid:28) γ m ; more precisely, we represent the factor f ( η ) = √ η − η + η such that Ω α ’ Ω ( γ f /γ m ) / = χ √ n ph n cell q n cell N cell f ( η ).When the polarization varies between 0.3 and 0.5 (vertical dashed lines), f ( η ) deviates by 4 % from its maximum ’ η = ff approximation Initially, the collective nuclear spin ~ I , the collective metastable spin ~ K and the Stokes spin ~ S of light are polarizedalong x , and will remain so throughout the experimental procedure. In the Holstein-Primako ff approximation, whichassimilates the macroscopic spin components along x to classical variables, the remaining y and z components, or-thogonal to the mean spins, behave like the quadrature operators (Hermitian and antihermitian parts of annihilationoperators therefore canonically conjugated, [ X , P ] = i /
2) of three bosonic modes a , b , c : I y √ N Primako ff ’ X a = a + a † K y √ n Primako ff ’ X b = b + b † S y √ n ph Primako ff ’ X c = c + c † I z √ N Primako ff ’ P a = a − a †
2i ; K z √ n Primako ff ’ P b = b − b †
2i ; S z √ n ph Primako ff ’ P c = c − c †
2i (10)Let us make the link with the exact bosonic representation (1) of the spins, writing: S y √ n ph − i S z √ n ph = √ n ph c † y c x Primako ff ’ c † y ; S y √ n ph + i S z √ n ph = √ n ph c † x c y Primako ff ’ c y (11)This shows that the creation operator c † in (9)-(10), identified with c † y in Primako ff ’s approximation, transfers a photonfrom the highly populated coherent state cavity mode polarized along x into the initially empty cavity mode polarizedalong y . In Primako ff ’s approximation, the atom-field Faraday coupling Hamiltonian (2) is written: H = ~ Ω P b P c with Ω = χ √ nn ph . (12)As χ does not depend on the field strength in the cavity, Ω is proportional to its intensity. Let us consider in this subsection the evolution of the system due to metastability exchange only ( χ = ff ’s approximation, this gives for the quadratures X in the metastable and fundamental state:d X a = − γ f X a d t + √ γ m γ f X b d t + d X stoch a ; d X b = − γ m X b d t + √ γ m γ f X a d t + d X stoch b (13)
5. If we consider a large spin ~ S fully polarized along x , we can approximate the spin component in this direction by a classical variable, bysetting ˆ S x ’ h ˆ S x i so that [ ˆ S y / p h ˆ S x i , ˆ S z / p h ˆ S x i ] ’ i / X stoch i , with i ∈ { a , b } , have zero mean, areindependent random variables at di ff erent times, and have variances and equal-time covariances calculated in reference[5]: h d X stoch i d X stoch j i = D ij d t with D = γ f − √ γ m γ f − √ γ m γ f γ m ! (14)We have equations of the same form as (13) for the quadratures P i , with other Langevin noises d P stoch i , with the samecovariance matrix as equation (14) between them but with a covariance matrix with the noises d X stoch i given by h d X stoch i d P stoch j i = D ij d t with D = i D (15)For calculating the mean values and variances of atomic observables, this stochastic formulation is equivalent to aquantum master equation on the atomic density operator ρ at of the two bosonic modes a and b :d ρ at d t = C ρ at C † − { C † C , ρ at } with C = q γ f a − p γ m b (16)Indeed, the Langevin stochastic representation of the quantum master equation (16) for any operator A is writtend A = d t n C † [ A , C ] − [ A , C † ] C o + d A stoch where d A stoch = [ C † , A ]d B + d B † [ A , C ] (17)and d B is a Markovian stochastic operator with zero mean, with an equal-time covariance matrix h d B d B † i = d t ; h d B d B i = h d B † d B † i = h d B † d B i = ffi ces to admit that theequations of evolution on the means h X i i and h P i i taken from (6)-(7) derive from a quantum master equation of theLindblad form (50). Since these equations are linear, the jump operators C m surrounding ρ at in the quantum masterequation are linear combinations of a and b , and we recover (16). The complete evolution, including the Hermitian Hamiltonian interaction (12), metastability exchange and cavitylosses, is described by the quantum master equation d ρ d t = ~ (cid:2) H , ρ (cid:3) + κ c ρ c † − { c † c , ρ } ! + C ρ C † − { C † C , ρ } (19)where C is the jump operator for metastability exchange (16), κ is the cavity loss rate, γ m and γ f are the metastabilityexchange rate for a metastable atom and in the ground state.Initially, the three modes are in vacuum state corresponding to a polarized state for the three spins. For this initialstate, the first moments of the quadratures remain zero, and one can obtain a closed system of equations on the secondmoments. We find that the quadratures P maintain constant variances and zero covariances in the three modes, h P a i ( t ) = h P b i ( t ) = h P c i ( t ) =
14 ; h P a P b i ( t ) = h P a P c i ( t ) = h P b P c i ( t ) = h X c i remains bounded and the covariances h X a X c i and h X b X c i remain zero, while the variances andcovariance of the quadratures X a and X b , and therefore the number of excitations in the atomic modes, diverge
6. We neglect here the internal evolution of the atomic modes (spin precession) by supposing that the Zeeman sublevels are degenerate in theground state and in the metastable state F = /
2, that is either the external magnetic field is zero, ~ B = ~
0, or we place ourselves in the rotating frameafter compensation for the di ff erence between the metastable and fundamental Larmor frequencies, for example by means of a fictitious magneticfield created by a lightshift.7. For the initial state considered, we have at all times h X a i = h X a i − = h a † a i , where h a † a i is the average number of excitations in thenuclear spin mode, so that Var X a = h a † a i + . The same relations hold for the other two modes. ff approximation is applicable. We give here explicitly only long-timebehaviors: h X a i ( t ) = t → + ∞ γ m γ f ( γ m + γ f ) Ω t κ + O (1) h X b i ( t ) = t → + ∞ γ f ( γ m + γ f ) Ω t κ + O (1) h X a X b i ( t ) = t → + ∞ γ / m γ / f ( γ m + γ f ) Ω t κ + O (1) h X c i ( t ) − → t → + ∞ Ω κ ! − γ m κ + γ m + γ f ) ! (21) In this subsection, we establish a one-mode quantum master equation describing the slow evolution of the nuclearspin within the limit Γ sq (cid:28) γ f < γ m and Γ sq (cid:28) κ (22)where the squeezing rate Γ sq is defined later (it su ffi ces to know here that Γ sq ∝ Ω so that (22) is a weak Faradaycoupling limit Ω → a and b : α = r γ m γ m + γ f a + r γ f γ m + γ f b ; β = r γ m γ m + γ f b − r γ f γ m + γ f a (23) α and β indeed correspond to the eigenmodes of the metastability exchange part of the three-mode quantum masterequation (19) (in practice, we have γ m (cid:29) γ f , see equation (8), so that the mode β corresponds to the metastable spinslightly hybridized with the spin of the ground state, and α to the nuclear spin slightly hybridized with the metastablespin). While the α mode undergoes a time divergence of its average number of excitations, the β mode is stronglydamped and tends towards a stationary value (see the results (20) and (21), which show that h X β i = O (1) where X β = ( β + β † ) / ρ d t = ~ (cid:2) H , ρ (cid:3) + κ c ρ c † − { c † c , ρ } ! + γ β βρβ † − { β † β, ρ } ! (24)where γ β ≡ γ m + γ f ) and, noting P α = ( α − α † ) /
2i and P β = ( β − β † ) /
2i the P quadratures of the new modes, H = ~ ( Ω α P α + Ω β P β ) P c with Ω α ≡ Ω r γ f γ m + γ f and Ω β = Ω r γ m γ m + γ f (25)Let’s carry out, as in reference [17], the adiabatic elimination in the weak Faraday coupling limit Ω → | ψ ( t ) i under the action of the e ff ective non-HermitianHamiltonian H e ff = H − i ~ (cid:16) κ c † c + γ β β † β (cid:17) (26)interrupted randomly by quantum jumps (discontinuous evolutions | ψ i → C | ψ i ) of jump operators C c = √ κ c and C β = √ γ β β . (27)In the absence of the coherent coupling Ω in (25) the hybridized metastable mode and the cavity mode remain in theinitial empty state. To first order in Ω , this state is coupled to states with an excitation in the cavity (by the action of P c ) and with zero or one excitation in the mode of the hybridized metastable (by the action of P α or P β ). We can thentruncate the Monte Carlo state vector | ψ i in the base of Fock {| n α i background | n β i meta | n c i cav } as follows | ψ i = | ψ α i| i| i + | ψ α i| i| i + | ψ α i| i| i (28)7ommitting an error of norm O ( Ω ). Under the e ff ect of the e ff ective Hamiltonian (26), the fast components | ψ α i and | ψ α i exponentially join an adiabatic following regime of the slow component | ψ α i with rates κ/ κ + γ β ) /
2. Hencetheir adiabatic elimination within the limit (22) | ψ α i adiab ’ i Ω β κ + γ β ) | ψ α i and | ψ α i adiab ’ Ω α κ P α | ψ α i (29)We put the expressions of | ψ α i adiab , | ψ α i adiab in the Hamiltonian evolution equation of | ψ α i to obtaini ~ dd t | ψ α i = − i ~ (cid:16) Γ sq P α + Γ (cid:17) | ψ α i ≡ H ff | ψ α i (30)where we have introduced the rates Γ sq = Ω α κ and Γ = Ω β κ + γ β ) (31)As we will see, Γ sq is the typical squeezing rate of the nuclear spin in the regime (22). By studying the e ff ect of thecavity jump operator C c and the metastability exchange jump operator C β on the state vector (28), we can interpretthe e ff ective Hamiltonian of equation (30). (i) Let us first consider the e ff ect of a cavity jump, which occurs at time t with a rate κ ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab / h ψ α | ψ α i . Just after the jump, the state vector, initially in adiabatic followingregime, becomes | ψ ( t + ) i = C c | ψ ( t − ) i adiab ∝ | ψ α ( t − ) i adiab | i| i + | ψ α ( t − ) i adiab | i| i (32)It is the superposition of an unstable component | i| i and of a stable component | i| i . With a probability h ψ α | ψ α i adiab / ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab the cavity jump is then followed by a metastability exchange jump before the system has time to reachits adiabatic value. In this case, we have a “double jump ”, which ultimately does not a ff ect the component | ψ α ( t − ) i since C β C c | ψ ( t − ) i adiab ∝ | ψ α ( t − ) i| i| i (33)This process contributes to the scalar term (proportional to the identity) in the e ff ective Hamiltonian of equation (30).With the complementary probability h ψ α | ψ α i adiab / ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab the system returns to its adiabatic valuebefore other jumps occur, and is slaved to P α | ψ α ( t − ) i , that is, the slow component | ψ α ( t − ) i has e ff ectively undergone asingle quantum jump with a jump operator proportional to P α . This process corresponds to the first term, proportionalto P α , in the e ff ective Hamiltonian of equation (30). (ii) Suppose next that the jump at time t is a metastabilityexchange jump, which occurs with a rate γ β h ψ α | ψ α i adiab / h ψ α | ψ α i . We verify in this case that the state vector afterthe jump, C β | ψ ( t − ) i , is entirely unstable and almost immediately undergoes a second jump, a cavity jump. The totale ff ect corresponds here again to a double jump and to the action of a scalar operator on the slow component. Wederive from this discussion the following single jump and double jump rates : Γ s = κ ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab h ψ α | ψ α i h ψ α | ψ α i adiab ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab = Γ sq h ψ α | P α | ψ α ih ψ α | ψ α i ≡ Γ sq h P α i (34) Γ d = κ ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab h ψ α | ψ α i h ψ α | ψ α i adiab ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab + γ β h ψ α | ψ α i adiab h ψ α | ψ α i = Γ (35)
8. In adiabatic monitoring, the occupation probabilities of the excited components are h ψ α | ψ α i adiab / h ψ | ψ i = [ Ω β / κ + γ β ) ] h ψ α | ψ α i / h ψ | ψ i and h ψ α | ψ α i adiab / h ψ | ψ i = ( Γ sq /κ ) h ψ α | P α | ψ α i / h ψ | ψ i where we used (31). Within the limit (22), we can easily verify that they are (cid:28)
1, so thatalmost all the population is in the component | ψ α i| i| i as it should be, which will allow us to replace h ψ | ψ i by h ψ α | ψ α i . We also verify thatanother condition for the validity of adiabatic elimination, namely the slowness of the evolution of the hybridized nuclear spin α with respect tothe fast variables, which reads here Γ sq , Γ (cid:28) κ, κ + γ β , is satisfied. However, these considerations do not allow us to show that the condition Γ sq (cid:28) γ f is necessary (unless κ (cid:28) γ β ). To see it in general terms, we push to the order Ω the computation of the e ff ective Hamiltonian H ff = PH e ff P + PHQ ( zQ − QH e ff Q ) − QHP in the subspace n β = n c = P projects (here Q = − P and z = O ( Ω )). Qualitatively,at this order, by action of H α then of H β on | ψ α i| i| i (with the obvious notation H = H α + H β ), we virtually create an excitation β alone,relaxing at the rate γ β /
2, hence the additional adiabaticity condition Γ (cid:28) γ β ; joined to Γ (cid:28) κ and γ f < γ m , it implies Γ sq (cid:28) γ f since Γ sq /γ f = ( Γ /κ + Γ /γ β )(4 γ β /γ m ) < Γ /κ + Γ /γ β ). Quantitatively, we find a correction to the coe ffi cient of P α in H ff of type H α G H β G H β G H α ( G isthe resolvent of H e ff for Ω =
0) of the form ~ Γ sq Ω β /γ β κ , which must be negligible, which imposes Ω β /γ β κ (cid:28)
1, i.e. Γ sq (cid:28) γ f taking into account γ f < γ m . The corrections to the scalar term are negligible as soon as Γ (cid:28) γ β , κ , and the new term in P α which appears is negligible compared to ~ Γ sq P α for P α = O (1) if Γ sq (cid:28) κ .
8e finally obtain the one-mode quantum master equation describing the slow evolution of the density operator ρ α ofthe bosonic mode α (hybridized but almost purely nuclear spin):d ρ α d t = C s ρ α C † s − { C † s C s , ρ α } + C d ρ α C † d − { C † d C d , ρ α } (36)in terms of two quantum jumps, the single jump (cavity only) C s and the double jump (of cavity and metastabilityexchange in that order or in the other) C d : C s = q Γ sq P α ; C d = p Γ (37)By solving equation (36) for the empty initial state of α , we get: h X α i =
14 (1 + Γ sq t ) ; h P α i =
14 (38)Going back to the initial atomic basis (unrotated) and by limiting the state vector (28) to its first term, we recoverequation (20) and the first three results of equation (21) of the three-mode model. Finally, the average number ofphotons polarized along y leaking out of the cavity per unit of time, given in the one-mode model by Γ + Γ sq / κ h c † c i s where the mean stationary number of y -polarized photonsin the cavity h c † c i s = h X c i s − /
4. Non-destructive quantum measurement of continuous nuclear spin
The quantum averages calculated in section 3 correspond to the ensemble averages over an infinite number ofexperimental realizations. In this section we study the evolution of the system, in one or more realizations of theexperiment, conditioned on the results of a continuous measurement on the y -polarized light leaking out of the cavity.For this, we return to the formulation in terms of Monte Carlo wave functions, as in section 3, where stochastic trajec-tories | ψ ( t ) i corresponding to a particular sequence of quantum jumps reconstruct the density operator of the systemconditioned to measurement results [19]. The precise form of the Monte Carlo jump operators, which is not unique inthe stochastic reformulation of a quantum master equation, is then determined by the particular measurements made. Suppose that we continuously and directly count (by photodetection) the number of y -polarized photons leakingout of the cavity (see figure 1b), as proposed in reference [20]. The jump operator associated with this measurementis √ κ c , so the three-mode quantum master equation (19) is already in the right form to analyze the evolution of thestate vector | ψ ( t ) i conditioned to the measurement.The same is true within the limit of a weak Faraday coupling, Ω →
0, which leads to the one-mode model. Asthe jump operators C d and C s of the quantum master equation (36) both correspond to the cavity loss of a y -polarizedphoton (remember, C d results from a cavity jump immediately followed or preceded by a metastability exchange jump,and C s from a simple cavity jump), the measurement cannot distinguish between the two, and the density operatorconditioned to a given number n of detected photons is obtained by averaging over realizations having this same total number n of jumps. An unnormalized Monte Carlo state vector having undergone such n jumps during t is written | ψ ( t ) i = e − i ~ H ff ( t − t n ) C (cid:15) n e − i ~ H ff ( t n − t n − ) C (cid:15) n − . . . C (cid:15) e − i ~ H ff t | ψ (0) i (39)where (cid:15) k ∈ { s , d } and t k are the type and time of the k th jump, H ff is the e ff ective Hamiltonian (30). The quantumaverage of an observable O is obtained by averaging over all possible trajectories, therefore by summing over thenumber and type of jumps and by integrating over their times: h O i ( t ) = X n Z < t < t ...< t n < t d t d t . . . d t n X ( (cid:15) k ) ≤ k ≤ n ∈{ s , d } n h ψ ( t ) | O | ψ ( t ) i (40)
9. On the other hand, the value of h c † c i adiab in the adiabatic form (29) of the state vector does not represent this number. The solution of theparadox is due to the existence of the de-excitation path (ii), that of the annihilation in the first jump of the excitation n β = y -polarized photons is therefore κ h c † c i adiab + γ β h β † β i adiab . | ψ ( t ) i automatically gives its probability density [21]. Bytaking O = , we deduce the probability that n jumps occurred in the time interval [0 , t ] Π n ( t ) = Z < t < t ...< t n < t d t d t . . . d t n X ( (cid:15) k ) ≤ k ≤ n ∈{ s , d } n h ψ ( t ) | ψ ( t ) i (41)To evaluate (41), we take advantage of the fact that all the jump operators in (39) and their Hermitian conjugatescommute with each other and with H ff . By using the identities X (cid:15) n = s , d . . . X (cid:15) = s , d (cid:16) C † (cid:15) n C (cid:15) n . . . C † (cid:15) C (cid:15) (cid:17) = X (cid:15) n = s , d C † (cid:15) n C (cid:15) n . . . X (cid:15) n = s , d C † (cid:15) C (cid:15) = (cid:16) Γ sq P α + Γ (cid:17) n (42)and by injecting a closure relation in the eigenbasis of P α such as P α | p α i = p α | p α i , after having integrated over thetimes t k as allowed by the telescopic product of the evolution operators, we obtain Π n ( t ) = t n n ! Z + ∞−∞ d p α (cid:16) Γ sq p α + Γ (cid:17) n e − Γ sq p α t e − Γ t Π ( p α , = nn ! ( Γ sq t / n e − Γ t (1 + Γ sq t / n + / Φ − n , − n ; Γ t + Γ Γ sq ! (43)where Π ( p α ,
0) is the initial probability distribution of p α (a Gaussian with zero mean and variance 1 /
4) and Φ isKummer’s hypergeometric confluent function F . We notice that (43) is in fact a Gaussian average on p α of aPoisson distribution with parameter λ = ( Γ sq p α + Γ ) t . We deduce the mean and the variance of the number ofphotodetections during t : h n i = Γ + Γ sq ! t ; Var n = h n i + ( Γ sq t ) p α knowing that n photons were detected in thetime interval [0 , t ], an even function of p α : Π t ( p α | n ) = Π n ( t ) t n n ! (cid:16) Γ sq p α + Γ (cid:17) n e − Γ sq p α t e − Γ t Π ( p α ,
0) (45)From this result, we deduce the conditional mean and variance of P α knowing that n photons were detected during t : h P α i n = ( n + Γ sq t Π n + ( t ) Π n ( t ) − Γ Γ sq ; Var n ( P α ) ≡ h P α i n − h P α i n = ( n + ( Γ sq t ) ( n + Π n + ( t )( n + Π n ( t ) − Π n + ( t ) Π n ( t ) (46)For Γ sq t → + ∞ , the probability distribution of p α conditioned to number n of photodetections is peaked around thevalue p given by p − = n − h n i Γ sq t hence h P α i n ∼ Γ sq t → + ∞ p (47)with a conditional variance tending towards zeroVar n ( P α ) ∼ Γ sq t → + ∞ n ( Γ sq t ) → p α has two peaks at ± p as visible on the Wigner functionin figure 5b, obtained by numerical simulation of the conditional evolution of the system over long times in the one-mode model (36). To summarize, in a single realization of the experiment, the continuous measurement of the number
10. According to equation (44), the second member of (47) is asymptotically of the order of unity for a typical photodetection sequence. Equation(47) in fact only makes sense for p positive therefore n > Γ t ; then, the equivalents (47) and (48) apply when the gap between the two peaks in Π t ( p α | n ) is much larger than their width, which imposes 2 p (cid:29) n / / Γ sq t = ( Γ + Γ sq p ) / / Γ sq t / . n ( t )/ sq t n ( t ) / sq t P a n P a (a) P P r o b a b ili t y D e n s i t y numericalanalytical (b)Figure 4 – Squeezing of P a by photon counting at short times: Γ sq t =
15. (a) Conditional mean and standarddeviation of the squared nuclear spin quadrature P a knowing that n photons were detected in the time interval [0 , t ],as functions of this number n . The standard deviation is represented as a confidence interval. The unconditionalmean h P a i = / n centered on these points (in a given class, the trajectories have close photodetection numbers n but independenthistories for the metastability exchange jumps which the experimenter cannot access). 3-mode model parameters: Ω /κ = / γ m /κ = / γ f /κ = / Γ sq /κ = / n max a = , n max b = n max c =
8. This correspondsto Γ / Γ sq =
12 500 / ’ . n = h n ( t ) i , histogram ofthe conditional values of P α . Blue bars: numerical simulation of the three-mode model; orange bars: analyticalpredictions taken from equation (45) of the one-mode model.of y -polarized photons leaking out of the cavity makes more and more certain the value of P α , and therefore of I z , thesquare of the component along z of the collective nuclear spin. To be complete, we relate, within the limit Ω →
0, theconditional moments of P a , that is of I z to those of P α : h P a i n = γ m γ f + γ m h P α i n + γ f / γ f + γ m ; Var n ( P a ) = γ m ( γ f + γ m ) Var n ( P α ) + γ f γ m ( γ f + γ m ) h P α i n + γ f / γ f + γ m ) (49)Finally, we carry out a numerical verification of these analytical predictions in the three-mode model. In figure4, we represent the conditional mean of the square P a of the nuclear spin quadrature knowing that n photodetectionsoccurred in the time interval [0 , t ], with Γ sq t =
15 (black dots), depending on this number n . The ensemble ofrealizations is divided into 5 classes corresponding to a number of photodetections falling within a given interval, andthe black dots are obtained by averaging over the realizations in the same class. The numerical results are close to theanalytical predictions taken from (46) and (49) and represented in green, except in the extreme classes which includea too low number of realizations. On the other hand, the asymptotic analytical predictions (47) and (48), not shown,would be in disagreement with the simulations of the two models because the time Γ sq t =
15 is not long enough.In figure 5, we are precisely exploring long times in the one-mode model, with Γ sq t = h P α i n is then related to the number of photodetections n as in the analyticalprediction (47), i.e. according to the internal bisector in the units of the figure, with a conditional standard deviation(48) roughly constant ’ ( Γ t ) / / Γ sq t because Γ is here (cid:29) Γ sq . We now assume that the y -polarized photons leaking out of the cavity are continuously measured by homodynedetection [22], as in figure 1c. We must first find the stochastic equations giving the evolution of the system statevector conditioned on homodyne detection, since the jump operators appearing naturally in (24) or (36) of the three-mode or one-mode quantum master equation are unsuitable. We then present some analytical results obtained in theone-mode model and then in the three-mode model, before briefly discussing the e ff ect of the finite coherence time ofmetastable atoms. 11 .5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 n ( t )/ sq t n ( t )/ sq t P n P (a) (b) Figure 5 – Squeezing of P α by photon counting at long times, Γ sq t = ffi cult). (a) Conditional mean and standard deviation of P α knowingthat the number of photodetections n falls in a given class of values, similarly to figure 4a, for 2000 realizations. (b)Wigner distribution of the hybridized nuclear bosonic mode in the quadrature space ( X α , P α ) at Γ sq t = | ψ ( t ) ih ψ ( t ) | on the trajectories of the 3rd class of (a). It shows two lines of ridges separated byinterference fringes with negative values. A general quantum master equation of the Lindblad formd ρ d t = ~ (cid:2) H , ρ (cid:3) + X m C m ρ C † m − { C † m C m , ρ } (50)with H the Hermitian part of the Hamiltonian and C m the jump operators, can be rewritten in an equivalent way byadding an arbitrary constant to the jump operators and / or by mixing them by any linear unitary combination. In orderto take into account a homodyne detection on the outgoing field, we form, from a jump operator C m corresponding toa photodetection, the two “homodyne ” jump operators D m , ± [19] D m , + = µ + C m √ D m , − = µ − C m √ µ has the dimensions of a frequency. The measurement of the di ff erence in the jump rates D † + D + − D †− D − thengives access to a quadrature of C m . Thus, for µ real and C m corresponding to the cavity jump operator C c , see equation(27), the di ff erence between the numbers of photons N ± detected during the short time interval ∆ t in the two outputchannels of figure 1c, which by definition constitutes the homodyne signal, N + = ( D † c , + D c , + ) ∆ t ; N − = ( D † c , − D c , − ) ∆ t ; N + − N − µ = c + c † √ κ ∆ t (52)gives access to X c ; it is indeed this quadrature of the field, conjugated to P c therefore translated by a quantityproportional to P b and to the time under the action of the Hamiltonian H (12), which provides information on P a through metastability exchange collisions. In the case of the quantum master equation with 3 modes (24), one hasto apply the doubling procedure (51) a priori only to the jump operator of cavity. In practice, we will apply thisprocedure also to the jump operator C β , that is we will double by homodyning all the jump operators C m , in orderto avoid the discomfort of a hybrid representation mixing quantum jumps and continuous stochastic evolution, seeequation (53) to come. In the case of the one-mode quantum master equation (36), we need to “homodyne ” the twojump operators C s and C d anyway, since each of them comes with the loss of a photon in a cavity, as explained insection 3.4. 12ithin the limit of a large amplitude of the local oscillator µ , we can act as if ∆ t were infinitesimal and representthe evolution of the Monte Carlo wave function by a continuous nonlinear stochastic equation without quantum jumps[19, 23, 24] in Ito point of view:d | φ ( t ) i = − i ~ H | φ ( t ) i d t − X m C † m C m − h φ ( t ) | C m + C † m | φ ( t ) i C m + h φ ( t ) | C m + C † m | φ ( t ) i ! | φ ( t ) i d t + X m C m − h φ ( t ) | C m + C † m | φ ( t ) i ! | φ ( t ) i d ζ m ( t ) (53)where, to each jump operator C m in the initial quantum master equation, we associate a continuous-time stochasticprocess d ζ m ( t ), with real values, Gaussian, of zero mean, of variance d t , statistically independent of other processesand without memory. At the same level of approximation, the homodyne signal operator (52) is replaced by the sumof its average and a classical noise representing its fluctuations, which is none other than the corresponding d ζ m [19]: N + − N − µ = √ κ h φ | c + c † | φ i t +
12 d ζ c (54)In practice, more than the homodyning history, that is the detailed time dependence of the homodyne detection signal,it is its time average over an interval of time [0 , t ] which is easily accessible in an experiment. We thus introduce theintegrated signal having the dimension of the root of a frequency, σ ( t ) ≡ N tot + − N tot − µ t = t Z t d t " √ κ h φ ( t ) | X c | φ ( t ) i +
12 d ζ c ( t )d t (55)and we will calculate in the following the mean and the variance of the quadrature P a of the nuclear spin conditionedon σ . Let us explicitly write the stochastic equation (53) for the one-mode model (36):d | φ ( t ) i = − d t Γ sq [ P α − ¯ P α ( t )] | φ ( t ) i + q Γ sq d ζ s ( t )[ P α − ¯ P α ( t )] | φ ( t ) i (56)with ¯ P α ( t ) ≡ h φ ( t ) | P α | φ ( t ) i . The highlight is that the jump operator C d propotional to the identity, which addednoise in the photon counting detection scheme of section 4.1, gives no contribution and completeley disappears in thehomodyne case. Indeed, the photons emitted during these jumps come from the component | i| i of the state vector(28) containing one excitation β , which makes them optically incoherent with the light field injected into the cavity,i.e. with the component | i| i of (28), in the sense that | i| i contributes to h c † c i but not to h c + c † i . So only thestochastic process d ζ s associated with the jump operator C s remains. This process coincides with that d ζ c appearingin the homodyne detection signal (54), d ζ s ≡ d ζ c , a fact admitted here but which will be established in section 4.2.3.The stochastic equation (56) exhibits a linear noise term and a quadratic deterministic term in the operator P α ,real in Fourier space. For the initial state considered here, it is thus solved exactly by a Gaussian ansatz on the wavefunction in momentum representation, real and correctly normalized for the commutation relation [ X α , P α ] = i / h p α | φ ( t ) i = [2 π u ( t )] / exp {− u ( t )[ p α − ¯ P α ( t )] } (57)On the other hand, the Gaussianity is lost in the squeezing by photodetection protocol of section 4.1. Using the Itocalculation, we find that u follows a deterministic evolution equation, to be integrated with the initial condition u (0) =
1: d u ( t ) = Γ sq d t donc u ( t ) = + Γ sq t and Var φ P α ( t ) ≡ u ( t ) =
14 11 + Γ sq t (58)
11. This approximation is valid for a time resolution, or a time step ∆ t , such that µ − (cid:28) ∆ t (cid:28) κ − , where κ is in practice the fastest evolutionrate in the system in the experiment.12. We only keep the linear terms in d t or in noise, and we systematically replace the quadratic terms d ζ s by their mean d t .
20 40 60 80 100 Γ sq t -1.5-1-0.500.5 < P α > φ (a) θ -1.5-1-0.500.5 < P α > φ (b)Figure 6 – In the case of continuous homodyne detection squeezing, random walk (59) performed in the one-modemodel by the quantum average of the quadrature P α of the nuclear spin in a given realization of the experiment. (a)Quantum average as a function of true time t for three realizations of the experiment; it is a stretched Brownian motionconverging at long times towards a fixed but unpredictable value. (b) Idem as a function of the compact renormalizedtime θ (60); this time it is an ordinary Brownian motion but limited to θ ≤ / P α in the state | φ i . On the contrary, the equation for the mean value of P α in | φ i is purely stochastic, with a di ff usion coe ffi cient D ( t ) depending on time and the initial condition ¯ P α (0) = P α ( t ) = [2 D ( t )] / d ζ s ( t ) with D ( t ) = Γ sq u ( t ) = Γ sq + Γ sq t ) (59)As D ( t ) is of finite integral, ¯ P α ( t ) stabilizes asymptotically (at long times) at a fixed value on a single realization,as seen in figure 6, with a variance in the quantum state Var φ P α tending to 0. This phenomenon of “stochasticconvergence ” towards an eigenstate of the measured observable (in this case P α ) is expected in the description ofa quantum measurement by a di ff usion equation of the state vector [23, 24, 25]. To show it here, we introduce arenormalized time θ in terms of which ¯ P α performs an ordinary Brownian motion with a unity di ff usion coe ffi cient,and we notice that this time is bounded: θ = Z t d t D ( t ) = Γ sq t + Γ sq t ) → t → + ∞ θ ∞ =
18 (60)At the renormalized instant θ ∞ , ¯ P α follows a Gaussian law with zero mean and variance 1 /
4: ¯ P α has therefore thesame asymptotic probability distribution ( t → + ∞ ) as that of the observable P α in the initial quantum state of thenuclear spin.We now come to the mean and the variance of P α conditioned on the value S of the time-integrated homodyningsignal σ (55). Remarkably, we find that the conditional mean is always proportional to the signal, with a time-dependent proportionality coe ffi cient, and that the conditional variance depends on time but not on the signal: h P α i σ = S = m ( Γ sq t ) S p Γ sq where m ( τ ) = τ + τ ; Var σ = S ( P α ) = V ( Γ sq t ) where V ( τ ) = + τ ) (61)These expressions denote Γ sq as the nuclear spin squeezing rate in the one-mode model. In figure 7a, we represent m ( τ ) and V ( τ ) as functions of the reduced time τ = Γ sq t . Just as the quantum variance in a single realization Var φ P α ,with which it actually coincides, the conditional variance tends asymptotically towards zero as the inverse of time.In the conditional average, the coe ffi cient m ( τ ) tends towards 1 at long times. To understand this, let’s relate theintegrated signal (55) to ¯ P α using adiabatic expressions (29) in the truncated state vector (28): σ ( t ) = t Z t d t " q Γ sq ¯ P α ( t ) +
12 d ζ s ( t )d t (62)14s ¯ P α ( t ) stabilizes asymptotically on a single realization, and the time average of the noise d ζ s tends to zero like1 / t / , σ ( + ∞ ) directly gives the value of ¯ P α up to a constant factor p Γ sq .To establish the results (61), we first relate the conditional variance of the operator P α to that of its quantumaverage in a realization ¯ P α as follows:Var σ = S ( P α ) ≡ h h φ | P α | φ i i σ = S − h h φ | P α | φ i i σ = S = h h φ | P α | φ i − h φ | P α | φ i i σ = S + h ¯ P α i σ = S − h ¯ P α i σ = S = h Var φ P α i σ = S + Var σ = S ( ¯ P α ) =
14 11 + τ + Var σ = S ( ¯ P α ) (63)where we have used expression (58) for the quantum variance of P α in the state | φ i . It therefore remains to determinethe conditional probability distribution of ¯ P α knowing that σ = S , P ( ¯ P α = p α | σ = S ) ≡ P ( ¯ P α = p α , σ = S ) P ( σ = S ) (64)The random variable ¯ P α ( t ), resulting from Brownian motion (59), has a Gaussian probability distribution; the sameapplies to the temporal integral of ¯ P α and to the noise d ζ s , therefore to the signal σ (62) which is their sum. As thevariables ¯ P α and σ have zero means, their joint probability distribution is characterized by their covariance matrix, ormore directly by its inverse matrix, so that P ( ¯ P α = p α | σ = S ) = π √ h ¯ P α i stoch h σ i stoch −h σ ¯ P α i exp (cid:18) − p α h σ i stoch + S h ¯ P α i stoch − p α Sh σ ¯ P α i stoch h ¯ P α i stoch h σ i stoch −h σ ¯ P α i (cid:19) √ π h σ i stoch exp (cid:16) − S h σ i stoch (cid:17) = q π h h ¯ P α i stoch − h σ ¯ P α i / h σ i stoch i exp − (cid:16) p α − Sh σ ¯ P α i stoch / h σ i stoch (cid:17) h ¯ P α i stoch − h σ ¯ P α i / h σ i stoch (65)where h . . . i stoch at time t is the average taken over all the realizations of the stochastic process d ζ s ( t ) in the timeinterval [0 , t ]. We deduce that, in equations (61), m ( τ ) = q Γ sq h σ ( t ) ¯ P α ( t ) i stoch h σ ( t ) i stoch and V ( τ ) = + τ ) + h ¯ P α ( t ) i stoch − h σ ( t ) ¯ P α ( t ) i h σ ( t ) i stoch (66)In order to determine their variances and covariance, we write σ ( t ) and ¯ P α ( t ) as linear functionals of the stochasticprocess d ζ s and we use the fact that the Langevin forces d ζ s ( t ) / d t and d ζ s ( t ) / d t have a Dirac correlation function δ ( t − t ). Let us give the example of the first contribution to σ ( t ): Z t d t ¯ P α ( t ) = Z t d t Z t d t [2 D ( t )] / d ζ s ( t )d t = Z t d t Z tt d t [2 D ( t )] / d ζ s ( t )d t = Z t d t ( t − t )[2 D ( t )] / d ζ s ( t )d t (67)where we changed the order of integration on t and t then explicitly integrated on t . We end up with the expressionswe are looking for (61), the simplicity of which follows from the fact that, in one realization of the experiment, wealways have σ ( t ) = q Γ sq + ττ ¯ P α ( t ) (68)Finally, let us return to the quadrature P a of the unhybridized nuclear spin, which is truly usable in the experimentonce the discharge is switched-o ff in the cell. By inversion of transformation (23) and by limiting equation (28) to itsfirst term (to the dominant order in Ω ), it comes h P a i σ = S = γ m γ f + γ m ! / h P α i σ = S and Var σ = S ( P a ) = γ f γ f + γ m ) + γ m γ f + γ m Var σ = S ( P α ) (69)The conditional variance of P a at long times tends towards a non-zero value, although low in practice: this is theintrinsic limit of this nuclear spin squeezing scheme, which uses the metastable state of He as an intermediate state.15 Γ sq t < P α > σ = S / ( S / Γ s q1 / ) & V a r σ = S ( P α ) (a) ( N tot + N tot )/(2 t ) = P a C (b) γ f t < P a > σ = S / ( S / Γ s q1 / ) & V a r σ = S ( P a ) r=0r=1/10r=1/5r=1/2r=1r=2r=5r= ∞ (c) (c)Figure 7 – Spin squeezing by continuous homodyne measurement. (a) In the one-mode model, mean (in black) andvariance (multiplied by 4, in red) of the quadrature P α of the hybridized nuclear spin conditioned on the integratedhomodyne signal σ , as functions of the integration time t . Solid lines: analytical expressions (61). Dashed lines:expressions (99) and (100) in the presence of decoherence (long dashed line: (cid:15) = / (cid:15) = / (cid:15) = γ α / Γ sq and γ α the e ff ective decoherence rate (95)). (b) In the three-mode model, for Γ sq t =
5, mean andstandard deviation of the quadrature P a of the nuclear spin conditioned to the signal σ belonging to a class C , the rangeof values of σ/ p Γ sq having been divided into 10 classes of the same width. The standard deviation is represented asa confidence interval. In black: numerical simulation of the stochastic equation (53) with 1079 realizations. Dashedgreen and colored area: exact results taken from relations (82), (83) and the analytical expression of the conditionalprobability distribution of ¯ P a in terms of the variances and covariance (89) similarly to equation (65). The deviationbetween numerical and analytical results in the extreme classes is attributable to the low numbers of realizationsfalling in these classes. Parameter values: Ω /κ = / γ m /κ = / γ f /κ = / Γ sq /κ = / Γ sq → Γ sq / γ f fixed of the three-mode model, conditional mean and variance of P a (91) as functions of reducedtime γ f t , for di ff erent values of the ratio r = Γ sq /γ f (increasing curves: mean, decreasing curves: variance). The study of spin squeezing in the one-mode model is limited to the regime (22) where the squeezing rate Γ sq is the longest timescale in the system. However, it is crucial for applications to see how far we can speed up thesqueezing process by increasing Γ sq so, for example, the Faraday coupling Ω of metastable atoms to the cavity field.To this end, we obtain the analytical solution of the three-mode model by using the Gaussian character of the statevector which results, as for the one-mode model, from the initial state considered (the vacuum), from the linearityof the jump operators C m and the quadraticity of the Hamiltonian H in the quadratures of the modes. The stochasticequation (53) therefore admits as an exact solution the Gaussian ansatz generalizing that of equation (57), h p α , p β , x c | φ ( t ) i = φ ( q , t ) = [8 π det u ( t )] / exp (cid:26) − [ q − ¯ q ( t )] · u ( t ) [ q − ¯ q ( t )] (cid:27) ≡ e − S (70)where u is a real symmetric 3 × q is a real three-component vector, the coordinates q α = p α and q β = p β are in Fourier space (eigenbasis of the quadrature P ) and the coordinate q c = x c is in the position space (eigenbasisof the quadrature X ). The only trick here was to choose as the metastability exchange jump operator C β = √ γ β i β ;this choice of phase, which of course does not change the quantum master equation (24), remains legitimate for theevolution conditioned on the homodyne detection of the field because the metastability jumps are not measured. Inthe mixed representation of the wave function (70), the Hamiltonian H is then pure imaginary and the jump operatorsare real, hence the real ansatz (70). To get the equations of motion on u and ¯ q , we calculate in two di ff erent ways the relative variation d φ ( q , t ) /φ ( q , t )of the wave function, on the one hand by connecting it to the variation d S of the quantity S in (70), separated into adeterministic part d S d and a noisy part d S b , on the other hand by inserting ansatz (70) in the stochastic equation (53).
13. For example, i β = i( X β + i P β ) is represented in pulse by the real operator − ∂ p β / − p β , and β † β by − ∂ p β / + p β − /
16y identifying the deterministic parts and the noisy parts of the two resulting forms, we obtain − d S b = γ / β ∂ q β S − q β + ¯ q β ! d ζ β − κ / ∂ q c S − q c + ¯ q c ! d ζ c (71) − d S d +
12 (d S b ) = ( Ω α q α + Ω β q β ) d t ∂ q c S − γ β d t ( q β − + (cid:20) ∂ q β S − (cid:16) ∂ q β S (cid:17) (cid:21) + ¯ q β (cid:16) ∂ q β S − q β (cid:17) + ¯ q β ) − κ d t ( q c − + (cid:20) ∂ q c S − (cid:16) ∂ q c S (cid:17) (cid:21) + ¯ q c (cid:16) ∂ q c S − q c (cid:17) + ¯ q c ) (72)It remains to insert in (72) the expression of d S b taken from (71), by applying Ito’s rule of replacing the squares of thenoises by their mean, then identifying the terms of degree 2 in q − ¯ q to obtain the purely deterministic equation linearon u : d u αα = − Ω α d t u α c d u αβ = − d t γ β u αβ + Ω β u α c + Ω α u β c ) d u α c = − d t κ u α c + Ω α u cc )d u ββ = − Ω β d t u β c + γ β d t (1 − u ββ ) d u β c = − d t γ β + κ ) u β c + Ω β u cc ] d u cc = κ d t (1 − u cc ) (73)and the terms of degree 1 in q − ¯ q to obtain the stochastic linear equation on ¯ q :d ¯ q = − γ β Ω α Ω β − κ d t ¯ q +
12 [Id − c ( t )] γ / β d ζ β ( t ) − κ / d ζ c ( t ) (74)Needless to say, ¯ q is the vector of the quantum averages of the variables q in state vector (70); in addition, we haveintroduced the notation c for the inverse matrix of u , which is none other than the quantum covariance matrix of q upto a numerical factor. We therefore have: h φ ( t ) | q i | φ ( t ) i = ¯ q i ( t ) and h φ ( t ) | q i q j | φ ( t ) i = ¯ q i ( t ) ¯ q j ( t ) + c ij ( t ) ∀ i , j ∈ { α, β, c } with c ( t ) = [ u ( t )] − (75)The di ff erential system (73) is easily integrated for the initial condition u (0) = Id: u αα ( t ) = + Ω α t κ − Ω α κ (cid:16) − e − κ t / (cid:17) (76) u αβ ( t ) = Ω α Ω β γ β γ β + κ + κ ! (cid:16) − e − γ β t / (cid:17) + Ω α Ω β κ ( κ − γ β ) (cid:16) e − κ t / − e − γ β t / (cid:17) + Ω α Ω β κ ( γ β + κ ) (cid:16) e − ( γ β + κ ) t / − e − γ β t / (cid:17) (77) u α c ( t ) = − Ω α κ (cid:16) − e − κ t / (cid:17) (78) u ββ ( t ) = + Ω β γ β ( γ β + κ ) (cid:16) − e − γ β t (cid:17) − Ω β κ − γ β (cid:16) e − γ β t − e − ( γ β + κ ) t / (cid:17) (79) u β c ( t ) = − Ω β γ β + κ (cid:16) − e − ( γ β + κ ) t / (cid:17) (80) u cc ( t ) = q describes a Brownian motion (partially damped because the friction matrix in (74) has eigenvalues 0, γ β / κ/ , t ] σ is deduced by integration, these random
14. We notice that the quadratic terms in u in the right-hand side of (72) cancel with those of (d S b ) / O , d h O i = (d t / i ~ ) h [ O , H ] i + (d t / P m h C † m [ O , C m ] + h.c. i + P m [ h OC m + h.c. i − h C m + C † m ih O i ]d ζ m , by specializing it to the cases O = P α , O = P β and O = X c . P a of the nuclear spin knowing that σ = S : h P a i σ = S = h σ ( t ) ¯ P a ( t ) i stoch h σ ( t ) i stoch S (82)Var σ = S ( P a ) = Ω β Ω c αα ( t ) + Ω α Ω c ββ ( t ) − Ω α Ω β Ω c αβ ( t ) + h ¯ P a ( t ) i stoch − h σ ( t ) ¯ P a ( t ) i h σ ( t ) i stoch = − h σ ( t ) ¯ P a ( t ) i h σ ( t ) i stoch (83)The expression in brackets in equation (83) is the matrix element of c ( t ) in the coordinate vector ( Ω β / Ω , − Ω α / Ω , a in the rotated basis. The first term in the middle-hand side is therefore the quantum variance of P a inthe stochastic state φ ( t ), depending on time but, let us recall, independent of the particular realization of φ ( t ). Thesimplified expression in the right-hand side follows from the property (20) on the unconditional mean h P a i ( t ) = / h P a i ( t ) = h h φ ( t ) | P a | φ ( t ) i i stoch = h h φ ( t ) | P a | φ ( t ) i − h φ ( t ) | P a | φ ( t ) i + h φ ( t ) | P a | φ ( t ) i i stoch = h Var φ ( t ) P a i stoch + h ¯ P a ( t ) i stoch (84)To determine the variance and covariance of the random variables ¯ P a ( t ) and σ ( t ), it remains to calculate their ampli-tudes on the stochastic processes d ζ β ( t ) and d ζ c ( t ), formally integrating equation (74) by the method of variation ofconstants for ¯ P a and ¯ X c , and proceeding as in equation (67) for σ : p β ( t , t ) = − γ / β ( Ω β Ω c αβ ( t ) + Ω α Ω [1 − c ββ ( t )]e − γ β ( t − t ) / ) (85) p c ( t , t ) = κ / ( Ω β Ω c α c ( t ) − Ω α Ω c β c ( t )e − γ β ( t − t ) / ) (86) σ β ( t , t ) = ( γ β κ ) / t ( − c αβ ( t )[ t − t − f κ ( t − t )] Ω α κ + [1 − c ββ ( t )][ f γ β ( t − t ) − f κ ( t − t )] Ω β κ − γ β − c β c ( t ) f κ ( t − t ) ) (87) σ c ( t , t ) = t − κ t ( − c α c ( t )[ t − t − f κ ( t − t )] Ω α κ − c β c ( t )[ f γ β ( t − t ) − f κ ( t − t )] Ω β κ − γ β + [1 − c cc ( t )] f κ ( t − t ) ) (88)where f λ ( τ ) ≡ [1 − exp( − λτ/ / ( λ/ h σ ( t ) ¯ P a ( t ) i stoch = Z t d t [ p β ( t , t ) σ β ( t , t ) + p c ( t , t ) σ c ( t , t )] ; h σ ( t ) i stoch = Z t d t [ σ β ( t , t ) + σ c ( t , t )] ; h ¯ P a ( t ) i stoch = Z t d t [ p β ( t , t ) + p c ( t , t )] (89)We deduce from these results the long time limits h P a i σ = S → t → + ∞ γ m γ f + γ m ! / S Γ / ; Var σ = S ( P a ) → t → + ∞ γ f γ f + γ m (90)with which the predictions (69) of the one-mode model, however obtained within the weak coupling limit (22), are inperfect agreement.
16. Let us give some results and intermediate considerations. (i) While c ββ ( t ), c β c ( t ) and c cc ( t ) have a finite limit when t → + ∞ [we will need c ββ ( + ∞ ) = (1 + ρ ) − , c β c ( + ∞ ) = Ω β / (( γ β + κ )(1 + ρ )) with ρ = Ω β κ/ ( γ β ( γ β + κ ) ) ], c αα ( t ), c αβ ( t ) and c α c ( t ) tend to zero as 1 / t . (ii) In an integralover t containing the exponential factor exp[ − γ β ( t − t ) /
2] or its square, we can replace the function which multiplies it by its limit in t = + ∞ .(iii) For any uniformly bounded function w ( t , t ), we can show for ν ∈ { β, c } that R t d t [( t − t ) c αν ( t ) + w ( t , t )] / t → R + ∞ d t c αν ( t ). (iv) We thenobtain the asymptotic limits h P a ( t ) i stoch → ( Ω β / Ω ) I + ( Ω α / Ω ) ρ/ (1 + ρ ), h σ ( t ) i stoch → ( Ω α / κ ) I , h σ ( t ) ¯ P a ( t ) i stoch → ( Ω α Ω β / Ω κ / ) I where I ≡ R + ∞ d t [ γ β c αβ ( t ) + κ c α c ( t )]. We thus deduce (90) from (82) and from the first equality in (83), without needing to know the value of I . Wederive from the second equality in (83) the result I =
1, which we can also deduce from the equation of motion d c αα / d t = − γ β c αβ − κ c α c integratedbetween t = t = + ∞ .
18s an application of our analytical solution of the three-mode model, let the rate Γ sq tend to zero at fixed reducedtime τ = Γ sq t while maintaining (unlike the one-mode model) the ratio Γ sq /γ f to a non-infinitesimal constant value.The physical motivation is clear: in the planned experiments [10], γ f and Γ sq are of the same order of magnitude butare really much smaller than γ m and κ (by factors ≈ − and 10 − ). We find in this limit: h P a i σ = S ∼ Γ gensq t + Γ gensq t S Γ / and Var σ = S ( P a ) ∼
14 11 + Γ gensq t (91)where we have introduced the true or generalized squeezing rate Γ gensq ≡ Γ sq + γ f ! − (92)We find the natural scaling of the signal by Γ / already observed in the one-mode model and the same functionalforms in time, but we lose all relation of proportionality of type (68), the conditional variance of ¯ P a now being . We represent in figure 7c the variation with adimensional time γ f t of the conditional mean and variance (91) fordi ff erent values of the ratio r = Γ sq /γ f . We notice that the squeezing process is all the faster as r is larger, and that itsaturates to a limiting behavior. This was predictable, because Γ gensq is an increasing function of r with finite limit; at afixed time, the conditional mean (in units of S / Γ / ) is therefore an increasing function and the conditional variancea decreasing function of r , as seen in figure 7c. More precisely, in the weak coupling limit Ω →
0, where r →
0, thegeneralized squeezing rate is equivalent to the rate Γ sq , in agreement with the one-mode model, and within the limit r → + ∞ , it saturates to the value γ f /
2. We cannot therefore squeeze faster than at the rate γ f , which is not surprising:we cannot hope to reduce the fluctuations in nuclear spin before each atom in the ground state has undergone onaverage at least one metastability exchange collision. ff ect of decoherence To be complete, we take into account, in the homodyne squeezing scheme, the finite lifetime (2 γ ) − of themetastable atoms, which de-excite when they reach the cell walls after di ff usive motion in the vapor. To this end,we add a jump operator p γ b to the three-mode quantum master equation (19). As the part other than HermitianHamiltonian remains quadratic in the quadratures of the modes, it can be put in reduced form by an appropriaterotation of the atomic modes, as we had already done in section 3.4: one simply has to expand ( a , b ) in the orthonormaleigenbasis of the rate matrix Γ = γ f − √ γ f γ m − √ γ f γ m γ + γ m ) ! (93)with operator-valued coe ffi cients α and β . The direction β remains that of the maximum eigenvalue γ β of Γ , and α thatof the minimum eigenvalue γ α , now nonzero. This leads to the quantum master equationd ρ d t = ~ h ~ ( Ω α P α + Ω β P β ) P c , ρ i + κ c ρ c † − { c † c , ρ } ! + γ α αρα † − { α † α, ρ } ! + γ β βρβ † − { β † β, ρ } ! (94)The new expression for Faraday frequencies Ω α , Ω β and rates γ α , γ β can be found in Appendix B, which also givesthe analytical expression of the mean and of the variance of the quadrature P a of the nuclear spin conditioned on theintegrated homodyne signal, in all generality. We restrict ourselves here to the physically useful limit γ (cid:28) γ m (westill have γ f < γ m ). To lowest order in γ , the coe ffi cients Ω α , Ω β and γ β remain unchanged, and we have γ α ’ γ γ f γ m + γ f (95)
17. In practice, it su ffi ces to make Ω α tend to zero at τ = Γ sq t > Ω β , γ β and κ fixed. In particular, this makes all exponential transientsdisappear. To simplify the calculations, it is useful to introduce the quantity ρ = Ω κ/ [2 γ m ( κ + γ m ) ] so that ρ = ( Γ sq / γ f )(1 + γ m /κ ) − in thelimit γ f → σ = S ( ¯ P a ) ∼ Γ sq t / [4(1 + Γ sq t )] − Γ gensq t / [4(1 + Γ gensq t )]. γ α = O ( Γ sq ), which allows to evaluate the e ff ect of decoherence using the one-mode model, which isobtained in the same way as in section 3.4. The stochastic equation (56) is completed as follows,d | φ ( t ) i = − Γ sq d t P α − ¯ P α ) | φ ( t ) i + q Γ sq d ζ s ( t )( P α − ¯ P α ) | φ ( t ) i− γ α d t α † α +
2i ¯ P α α + ¯ P α ) | φ ( t ) i + √ γ α d ζ α ( t )(i α + ¯ P α ) | φ ( t ) i (96)We have taken care to choose γ / α i α as the jump operator of the e ff ective decoherence (the justification is the sameas in section 4.2.3, decoherence jumps are not measured), which allows the equation to be solved by the same realGaussian ansatz (57). This time we findd u = [ Γ sq + γ α (1 − u )]d t = ⇒ u ( τ ) = + − exp( − (cid:15)τ ) (cid:15) (97)d ¯ P α = − γ α ¯ P α d t + p Γ sq d ζ s + √ γ α ( u − ζ α u (98)where we have set τ = Γ sq t and (cid:15) = γ α / Γ sq . The same Gaussianity arguments as in 4.2.2 section lead to the samedependencies in the signal S of the conditional mean and variance, h P α i σ = S = m ( τ ) S p Γ sq with m ( τ ) = q Γ sq h σ ( t ) ¯ P α ( t ) i stoch h σ ( t ) i stoch (99)Var σ = S ( P α ) = V ( τ ) with V ( τ ) = − h σ ( t ) ¯ P α ( t ) i h σ ( t ) i stoch (100)and the variance and covariance taken over the stochastic processes d ζ s and d ζ α , h σ i stoch Γ sq = Z τ d τ τ " + − e (cid:15) ( τ − τ ) / (cid:15) u ( τ ) + [ u ( τ ) − u ( τ ) h − e (cid:15) ( τ − τ ) / i (cid:15) = (cid:15)τ − − e − (cid:15)τ/ ) (cid:15) τ + τ (101) h σ ¯ P α i stoch p Γ sq = Z τ d τ τ e (cid:15) ( τ − τ ) / u ( τ ) ( + − e (cid:15) ( τ − τ ) / (cid:15) u ( τ ) + [ u ( τ ) − u ( τ ) h − e (cid:15) ( τ − τ ) / i) = − e − (cid:15)τ/ (cid:15)τ (102)These expressions allow to easily evaluate the e ff ect of decoherence on spin squeezing, see the dashed lines in figure7a. For the practical case of a weak decoherence (cid:15) (cid:28) /γ α , they can be expanded tofirst order in (cid:15) : m ( τ ) = τ + τ − (cid:15) ( τ + τ τ + + O ( (cid:15) τ ) ; V ( τ ) = τ + + (cid:15) ( τ + / τ τ + + O ( (cid:15) τ ) (103)We then deduces that the optimal squeezing on P α is obtained at a time t opt ∼ (3 / Γ sq γ α ) / and corresponds to aconditional variance V opt ∼ ( γ α / Γ sq ) / . Note that in studies of spin squeezing of cavity alkaline gases, we oftenintroduce the cooperativity C of the coupled atom-field system, defined as the square of the coupling frequency dividedby the decay rates of the coupled states [26]. In this sense, the cooperativity of the hybridized nuclear spin-field systemis equal to C ≡ Ω α κγ α = Γ sq γ α ’ Ω γ κ (104)so that we recover the scaling law of power − /
2, usual in alkalis, relating the optimal spin variance to C [26]. Moregenerally, the decoherence has a weak e ff ect on the nuclear spin squeezing as long as we stay at short times in frontof t opt . The reader will find at the end of Appendix B an extension of these scaling laws beyond the one-mode model,i.e. for an arbitrary, not infinitesimal ratio Γ sq /γ f ; this was retained in the summary of the article. The link between V opt and cooperativity (104) is then broken.
19. We have simplified expression (100) using the identity [4 u ( τ )] − + h ¯ P α i stoch = /
4, which results as in equation (84) from the fact that theunconditional mean h P α i = /
4, even in the presence of decoherence. ppendix A. Semi-classical treatment and reduction to three coupled spins Here we give the nonlinear equations that describe the dynamics of the system in semi-classical theory, and welinearize them for small fluctuations around a partially polarized stationary solution.
Nonlinear semi-classical equations.
Starting from the considerations and notations of section 2, we take the averageof the Heisenberg equations of motion in the quantum state of the system and perform the decorrelation approximation(called semi-classical in quantum optics) h AB i ’ h A ih B i where A and B are two operators, to obtain the followingnonlinear evolution equations on the expectation values of ~ S the Stokes spin of the cavity field, ~ I the collective nuclearspin in the ground state, ~ J and ~ K the collective spins associated with the multiplicities F = / F = / ~~ Q the collective alignment tensor in F = /
2, of Cartesian components Q αβ :d h S x i d t = − κ (cid:18) h S x i − n ph (cid:19) − χ h K z ih S y i d h S y i d t = − κ h S y i + χ h K z ih S x i d h S z i d t = − κ h S z i (A.1)d h K x i d t = d h K x i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ME − χ h K y ih S z i d h K y i d t = d h K y i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ME + χ h K x ih S z i d h K z i d t = d h K z i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ME (A.2)d h ~ J i d t = d h ~ J i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ME d h Q αβ i d t = d h Q αβ i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ME d h ~ I i d t = d h ~ I i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ME (A.3)The terms proportional to the loss rate κ of the cavity mirrors make h S x i relax towards its stationary value h S x i s = n ph / x injected into the cavity, and the transverse means h S y i and h S z i towards zero. The terms proportional to the Faraday coupling χ between the cavity mode and the spin ~ K derive fromthe Hamiltonian (2). The contribution of metastability exchange collisions (ME) between ground-state and metastableatoms is deduced directly from the quantum master equation on the one-atom density operator of references [13, 14]by simple multiplication or division by the total number of ground-state atoms N cell or metastable atoms n cell in thecell: d h ~ K i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ME = − τ h ~ K i + τ h ~ J i − τ n cell N cell h ~ I i − τ N cell h ~~ Q i · h ~ I i (A.4)d h ~ J i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ME = − τ h ~ J i + τ h ~ K i + τ n cell N cell h ~ I i + τ N cell h ~~ Q i · h ~ I i (A.5)d h Q αβ i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ME = − τ h Q αβ i + τ N cell h I α ih Σ β i + h I β ih Σ α i − δ αβ h ~ I i · h ~ Σ i ! (A.6)d h ~ I i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ME = − T h ~ I i + T N cell n cell ( h ~ J i − h ~ K i ) (A.7)where h ~ Σ i = h h ~ J i + h ~ K i i is the expectation value of the electron spin in the metastable state. See equations (1.37b),(1.37a), (1.39) and (1.25) of reference [14] (taking into account a di ff erence of a factor 6 on the definition of thealignment tensor), or to equations (VIII.30), (VIII.29), (VIII.32) and (VIII.15) (by adding a Kronecker factor δ αβ omitted in (VIII.32)). Here 1 /τ and 1 / T , the individual metastability exchange collision rates for an atom in themetastable state and in the ground state, are in the ratio T /τ = N cell / n cell since, in one unit of time, an equal numberof ground-state and metastable atoms have undergone an exchange collision [13, 14]. Partially polarized stationary solution.
In a polarized stationary state of nuclear polarization η ∈ [0 , h I x i s = η N cell h I y i s = h I z i s = h S x i s = n ph h S y i s = h S z i s =
20. The collective expectation values are in fact related as follows to the one-atom expectation values h i at : h ~ I i = N cell h ~ I i at , h ~ J i = n cell h ~ J i at , h ~ K i = n cell h ~ K i at , h ~~ Q i = n cell h ~~ Q i at , h ~ Σ i = n cell h ~ Σ i at . x axis constrains the mean spins to be aligned along x , and the mean alignment tensor tobe diagonal in the Cartesian basis, with equal eigenvalues in y and z directions. The system (A.1)-(A.3) thus admits astationary solution where the only non-zero expectation values in the metastable state are: h K x i s = η − η + η n cell ; h J x i s = η + η + η n cell ; h Σ x i s = η + η n cell ; h Q yy i s = h Q zz i s = − h Q xx i s = − η h Σ x i s (A.9) Linearized semi-classical equations.
We now linearize equations (A.1)-(A.3) for classical fluctuations around thestationary solution (A.8)-(A.9) by performing the substitution h A i → h A i s + δ A and treating δ A to first order. Bylimiting ourselves to the subspace of transverse fluctuations, that is to say to the directions α = y , z orthogonal to themean spins, we obtain a closed system:dd t δ S α = − κ δ S α + χδ α y h S x i s δ K z (A.10)dd t δ K α = − τ δ K α + τ δ J α − η τ δ Q α x − T + n cell h Q αα i s ! δ I α + χδ α y h K x i s δ S z (A.11)dd t δ J α = − τ δ J α + τ δ K α + η τ δ Q α x + T + n cell h Q αα i ! δ I α (A.12)dd t δ Q α x = − τ δ Q α x + η τ δ Σ α + T n cell h Σ x i s δ I α (A.13)dd t δ I α = − T δ I α + τ ( δ J α − δ K α ) (A.14) Reduction to three coupled collective spins.
By setting dd t δ J α = dd t δ Q α x = ~ J and of the collective alignment tensorwhose evolutions are governed by the metastability exchange only: δ J adiab α = + η − η δ K α + τ T + η (3 + η )(8 − η ) δ I α ; δ Q adiab α x = η − η δ K α + τ T η (13 + η )(3 + η )(8 − η ) δ I α (A.15)The transfer of adiabatic expressions (A.15) in equations (A.11) and (A.14) on δ K α and δ I α leads in the body of thearticle to the reduced system (5)-(7) coupling the fluctuations of the three spins (3), where γ f and γ m , the e ff ectivemetastability exchange rates between the nuclear spin and the spin F = / Appendix B. Solution of the three-mode model with decoherence for homodyne detection
Here we give the analytical solution of the three-mode model in the presence of decoherence, see the quantummaster equation (94), for an evolution of the system conditioned on a continuous homodyne measurement of the fieldleaking out of the cavity. The value of the coe ffi cients γ α , γ β , Ω α and Ω β , as well as the annihilation operators α and β , are deduced from a diagonalization of the rate matrix (93). The rates γ α and γ β are the eigenvalues in ascendingorder: γ α,β = γ m + γ f + γ ∓ [( γ m + γ f + γ ) − γ f γ ] / (B.1)In terms of the Faraday frequencies Ω α and Ω β , the corresponding normalized eigenvectors are written as ( Ω β / Ω , Ω α / Ω )and ( − Ω α / Ω , Ω β / Ω ), so that α = ( Ω β a + Ω α b ) / Ω and β = ( Ω β b − Ω α a ) / Ω with Ω α = Ω ( γ f − γ α / γ m γ f + ( γ f − γ α / ] / ; Ω β = Ω √ γ m γ f [ γ m γ f + ( γ f − γ α / ] / (B.2)with a choice of sign ensuring that α → a and β → b when γ f → γ →
0. Since thejump operator C α ∝ α describes unmeasured processes, we can, as we did for C β , take it of the form √ γ α i α and22euse the real Gaussian ansatz (70) in order to solve the stochastic equation (53) on the state vector. In the evolutionequation for matrix u , the indices α and β now play symmetrical roles and we obtaind u αα = − Ω α d t u α c + γ α d t (1 − u αα ) d u αβ = − d t γ α + γ β ) u αβ + Ω β u α c + Ω α u β c ] d u α c = − d t γ α + κ ) u α c + Ω α u cc ]d u ββ = − Ω β d t u β c + γ β d t (1 − u ββ ) d u β c = − d t γ β + κ ) u β c + Ω β u cc ] d u cc = κ d t (1 − u cc ) (B.3)whose solution for the initial condition u (0) = Id is written u αα ( t ) = + Ω α γ α ( κ + γ α ) (cid:16) − e − γ α t (cid:17) − Ω α κ − γ α (cid:16) e − γ α t − e − ( κ + γ α ) t / (cid:17) (B.4) u αβ ( t ) = Ω α Ω β γ α + γ β κ + γ α + κ + γ β ! (cid:16) − e − ( γ α + γ β ) t / (cid:17) + Ω α Ω β ( κ − γ β )( κ + γ α ) (cid:16) e − ( κ + γ α ) t / − e − ( γ α + γ β ) t / (cid:17) + Ω α Ω β ( κ − γ α )( κ + γ β ) (cid:16) e − ( κ + γ β ) t / − e − ( γ α + γ β ) t / (cid:17) (B.5) u α c ( t ) = − Ω α κ + γ α (cid:16) − e − ( κ + γ α ) t / (cid:17) (B.6) u ββ ( t ) = + Ω β γ β ( κ + γ β ) (cid:16) − e − γ β t (cid:17) − Ω β κ − γ β (cid:16) e − γ β t − e − ( κ + γ β ) t / (cid:17) (B.7) u β c ( t ) = − Ω β κ + γ β (cid:16) − e − ( κ + γ β ) t / (cid:17) (B.8) u cc ( t ) = q obeys the stochastic equationd ¯ q = − γ α − γ β Ω α Ω β − κ d t ¯ q +
12 [Id − c ( t )] γ / α d ζ α ( t ) γ / β d ζ β ( t ) − κ / d ζ c ( t ) (B.10)The unconditional expectation value h P a i always being equal to 1 /
4, the mean and the variance of P a conditioned tothe integrated homodyne signal are still given by equations (82) and (83), by generalizing the expressions (89) of thevariances and covariance of the random variables ¯ P a ( t ) and σ ( t ) in the case of three independent stochastic processesd ζ α ( t ), d ζ β ( t ) and d ζ c ( t ) as follows: h σ ( t ) ¯ P a ( t ) i stoch = Z t d t X ν ∈{ α,β, c } p ν ( t , t ) σ ν ( t , t ) ; h σ ( t ) i stoch = Z t d t X ν ∈{ α,β, c } σ ν ( t , t ) ; h ¯ P a ( t ) i stoch = Z t d t X ν ∈{ α,β, c } p ν ( t , t ) (B.11)with the compact expressions of the corresponding amplitudes p ν ( t , t ) = ( − δ ν c √ γ ν Ω n Ω β e − γ α ( t − t ) / [ δ αν − c αν ( t )] − Ω α e − γ β ( t − t ) / [ δ βν − c βν ( t )] o (B.12) σ ν ( t , t ) = δ ν c t + ( − δ ν c √ κγ ν t [ δ c ν − c c ν ( t )] f κ ( t − t ) + X µ ∈{ α,β } Ω µ κ − γ µ [ δ µν − c µν ( t )][ f γ µ ( t − t ) − f κ ( t − t )] (B.13)The index ν runs on the three values α , β , c and we set γ c = κ . The δ function is that of Kronecker, and the f λ functionis the same as in equations (85)-(88). 23he general solution that we have just presented includes the five rates γ α , Γ sq = Ω α /κ, γ f on the one hand, γ β , κ on the other hand. The experimentally relevant regime is one where the last two are “infinitely ” larger than the firstthree and only contribute through unobservable transient regimes. Mathematically, we reach this limit by making γ f tend to zero with κ, γ m , γ and Ω fixed and with τ = Γ sq t > Γ sq /γ f → Ω γ m / [ κ ( γ + γ m ) ] and γ α /γ f → γ / ( γ + γ m ), the rate γ β reducesto γ ≡ γ + γ m ) and the Faraday coupling Ω β to Ω . All exponential transients disappear in the matrix elements(B.4)-(B.8) of u except those relaxing at the rate γ α . The amplitudes (B.12) and (B.13) on stochastic processes reduceto p α ( t , t ) p Γ sq = u ( τ ) − u ( τ ) √ (cid:15) e − (cid:15) ( τ − τ ) / σ α ( t , t ) Γ sq = u ( τ ) − τ u ( τ ) √ (cid:15) − e − (cid:15) ( τ − τ ) / (cid:15) (B.14) p β ( t , t ) p Γ sq = √ ρ (1 + ρ ) u ( τ ) e − (cid:15) ( τ − τ ) / σ β ( t , t ) Γ sq = √ ρ (1 + ρ ) τ " u ( τ ) 1 − e − (cid:15) ( τ − τ ) / (cid:15) + ρ + γκ ( ρ − (B.15) p c ( t , t ) p Γ sq = (1 − ρ )2(1 + ρ ) u ( τ ) e − (cid:15) ( τ − τ ) / σ c ( t , t ) Γ sq = τ " + − ρ + ρ u ( τ ) 1 − e − (cid:15) ( τ − τ ) / (cid:15) + ρ + ρ + γκ ! (B.16)where (cid:15) = γ α / Γ sq as in section 4.2.4, the function u ( τ ) is given by equation (97) and the notation ρ = Ω κ/ [ γ ( κ + γ ) ]generalizes the one of footnote 17. Relations (82) and (83) remain valid, with the new expressions for the varianceand covariance h σ i stoch Γ sq = (cid:15)τ − − e − (cid:15)τ/ ) (cid:15) τ + Γ sq τ Γ gensq and h σ ¯ P a i stoch p Γ sq = − e − (cid:15)τ/ (cid:15)τ (B.17)and the true or generalized squeezing rate Γ gensq = " Γ sq + γ + γ m ) γ f γ m − (B.18)which reproduce the variance and covariance (101) and (102) of the one-mode model with decoherence when Γ sq /γ f → γ →
0. The new re-sults can be simplified within the useful limit of weak e ff ective decoherence γ α / Γ sq → (cid:15) , which allows to generalize (103) as follows on the conditional mean and variance at a non-infinitesimal value of Γ sq /γ f : m ( t ) = Γ gensq t + Γ gensq t − γ α Γ gensq (3 + Γ gensq t )( Γ gensq t ) + Γ gensq t ) + O [( γ α t ) ] (B.19) V ( t ) = + Γ gensq t ) + γ α Γ gensq ( Γ gensq t + / Γ gensq t ) + Γ gensq t ) + O [( γ α t ) ] (B.20)This generalization simply amounts to replace τ by Γ gensq t and (cid:15) by γ α / Γ gensq in the right-hand sides of (103). Theoptimal squeezing on P a is then obtained at a time t opt ∼ (3 / Γ gensq γ α ) / and corresponds to a conditional varianceVar opt σ = S ( P a ) ∼ ( γ α / Γ gensq ) / . References [1] J. MacFall, H. Charles, R. Black, H. Middleton, J. Swartz, B. Saam, B. Driehuys, C. Erickson, W. Happer, G. Cates, G. Johnson, C. Ravin,“Human lung air spaces: potential for MR imaging with hyperpolarized He-3”,
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Résumé
Nous proposons de tirer parti du très faible couplage du spin nucléaire de l’hélium 3 fondamental à son environne-ment pour produire des états quantiques macroscopiques à très longue durée de vie, ici des états comprimés du spinnucléaire, dans une vapeur en cellule à température ordinaire. Pour e ff ectuer une mesure quantique non destructive surune composante transverse du spin nucléaire collectif préalablement polarisé, on allume temporairement une déchargeoscillante dans le gaz, ce qui peuple l’état métastable de l’hélium 3. Le spin collectif correspondant au niveau F = / ff , et pourdeux schémas de mesure, nous calculons les moments de la composante comprimée I z du spin nucléaire collectifconditionnés au signal optique moyenné sur le temps d’observation t . Dans le schéma de comptage de photons, nousretrouvons que l’observable comprimée est I z plutôt que I z . Dans le schéma de détection homodyne, nous résolvonsanalytiquement l’équation stochastique sur l’état du système conditionné à la mesure ; la moyenne conditionnelle de I z dépend linéairement du signal et la variance conditionnelle de I z n’en dépend pas. La variance conditionnelle dé-croît comme ( Γ gensq t ) − , où le taux de compression Γ gensq , que nous calculons explicitement, est linéaire en l’intensitélumineuse dans la cavité à faible couplage atome-champ et sature à fort couplage au taux e ff ectif d’échange de mé-tastabilité dans l’état fondamental, proportionnel à la densité d’atomes métastables. Enfin, nous tenons compte de ladésexcitation des métastables sur les parois, qui induit une décohérence du spin nucléaire avec un taux ramené γ α .Elle impose une limite ∝ ( γ α / Γ gensq ) / sur la variance conditionnelle atteinte en un temps ∝ ( γ α Γ gensq ) − / . Mots-clés : compression de spin ; hélium 3 ; spin nucléaire ; métrologie quantique
1. Introduction
L’hélium 3 dans son état fondamental jouit de la propriété remarquable d’avoir un spin I = / T supérieur à60 heures a été mesuré dans des dispositifs de magnétométrie ultra-précise [2], et semble limité seulement par le tempsde décroissance longitudinal T dû aux collisions avec les parois. Ces valeurs font du spin nucléaire macroscopiquedans une vapeur à l’ambiante un système idéal pour la production, l’étude et l’utilisation d’états intriqués, et doncun compétiteur des gaz d’atomes froids et des condensats de Bose-Einstein en métrologie et traitement quantiquede l’information [4]. Déjà en 2005, nous avions pressenti que les spins nucléaires de l’hélium 3 pourraient donnernaissance à des mémoires quantiques [5] ou à des états quantiques non locaux [6] de très longue durée de vie. Depuis,
1. Des temps T de plusieurs centaines d’heures peuvent même être obtenus [3]. Format Elsevier 1 er janvier 2021 a r X i v : . [ phy s i c s . a t o m - ph ] D ec es percées expérimentales ont été accomplies dans le domaine de la compression de spin, notamment au moyen demesures quantiques non destructives (QND) dans des gaz atomiques d’alcalins interagissant avec un mode du champélectromagnétique [4, 8], qui ont permis d’obtenir récemment un état comprimé de spin d’une durée de vie d’uneseconde dans l’état hyperfin fondamental du rubidium dans des conditions métrologiques [9].Transposer la technique de compression par mesure QND des spins hyperfins des alcalins au spin nucléaire del’hélium 3 représente cependant un réel défi, en raison même de la particularité dudit spin, son faible couplage àl’environnement. L’état fondamental singulet de l’hélium 3, séparé en énergie d’environ 20 eV de tous les états excités,n’est pas directement accessible par laser. Cependant, au moyen d’une décharge oscillante, une petite fraction desatomes de la vapeur, de l’ordre de 10 − , peut être portée dans l’état triplet métastable, un excellent point de départ pourdes transitions optiques dans le proche infrarouge. L’orientation des spins nucléaires s’obtient alors au travers d’unprocessus indirect, le pompage optique par échange de métastabilité [3]. Dans un premier temps, le moment cinétiqueest transféré par interaction laser-matière des photons aux atomes métastables, a priori à leur spin électronique (le seulà être fortement couplé au champ) mais a posteriori aussi à leur spin nucléaire grâce au couplage hyperfin. Dans undeuxième temps, on tire parti des collisions d’échange de métastabilité entre atomes métastables et atomes dans l’étatfondamental pour orienter les spins nucléaires dans l’état fondamental, avec une échelle de temps limitée par la faibledensité des atomes dans l’état métastable et de l’ordre de la seconde. Même si la collision d’échange de métastabilitépeut transférer des corrélations quantiques (voir les références [5, 6] et notre section 3.2), on ne peut s’attendre à cequ’une seule mesure sur une petite fraction des atomes (10 − ) projette l’ensemble du système dans un état comprimé.La solution que nous proposons est d’e ff ectuer une mesure QND en continu démultipliée par une cavité optiquerésonnante. En e ff et, bien que les atomes métastables aient individuellement une durée de vie relativement courte(ils perdent leurs corrélations quantiques et retombent dans l’état fondamental à chaque collision sur les parois de lacellule), faire une mesure destructive en continu de la lumière qui sort de la cavité après interaction avec les atomesmétastables revient à e ff ectuer une mesure QND en continu sur le spin nucléaire collectif dans l’état fondamental, cequi le projette sur l’état comprimé souhaité sans a ff ecter sa durée de vie.Ce travail donne une présentation théorique détaillée du mécanisme de compression et de ses limites ; une étude defaisabilité plus pointue prenant en compte les valeurs expérimentalement accessibles des paramètres est e ff ectuée dansla référence [10]. Très récemment, des idées similaires ont été mises en avant dans un système physique di ff érent, lemélange alcalin-gaz rare [11, 12]. Nous sommes confiants que la manipulation quantique des spins nucléaires à longuedurée de vie est promise à un développement rapide, ouvrant de nouvelles perspectives pour la recherche fondamentaleet les applications.
2. Vue d’ensemble et description semi-classique
Le système physique considéré est représenté sur la figure 1. Une cellule remplie d’une vapeur partiellementpolarisée de quelques mbars d’atomes d’hélium 3 pur est placée à l’intérieur d’une cavité optique. Alors que lamajorité des atomes restent dans l’état singulet fondamental 1 S de l’hélium, une faible décharge porte une infimefraction des atomes, en général ’ − , dans l’état triplet métastable 2 S . D’une part, la cavité est injectée par unfaisceau laser se propageant selon l’axe de la cavité Oz et polarisé linéairement selon la direction Ox , qui est égalementla direction de polarisation de l’échantillon atomique, pour exciter la transition 2 S − P avec un grand désaccord enfréquence ; d’autre part, les atomes dans l’état métastable 2 S (de spin hyperfin électronique et nucléaire) sont couplésaux atomes dans l’état fondamental (de spin purement nucléaire) par des collisions d’échange de métastabilité [13, 14].Comme l’interaction de Faraday avec les atomes métastables fait légèrement tourner autour de l’axe Oz la polarisationde la lumière initialement dirigée selon Ox , proportionnellement à la composante du spin collectif des métastablesselon Oz comme nous le verrons, une mesure destructive en continu de la composante de polarisation selon Oy duchamp sortant de la cavité (i) par comptage de photons comme indiqué sur la figure 1b ou (ii) par détection homodynecomme sur la figure 1c, réalise in fine une mesure quantique non destructive en continu du spin nucléaire collectifselon Oz des atomes d’hélium 3 dans l’état fondamental.Dans le reste de cette section, par un traitement semi-classique des fluctuations des spins autour de l’état station-naire, nous réduisons notre système physique complexe à celui plus simple de trois spins collectifs couplés, dont lasection 3 donnera une description quantique.La structure atomique pertinente de l’atome He et les transitions excitées par le champ en cavité sont représentéessur la figure 2. On appelle ~ I le spin nucléaire collectif dans l’état fondamental, ~ J et ~ K les spins collectifs associés aux2 S xin > = n ph /2 pompe = N/2 He Détection (a) cellule de vapeur d'hélium 3 dans une cavité optique -signal (c) détection homodyne λ /2signal z (b) comptage de photons F igure Oz (axe horizontal sur la figure). Le spin de Stokes de lalumière et les spins atomiques (nucléaires et des métastables) sont polarisés linéairement selon Ox (axe vertical sur lafigure). Le mode du champ en cavité polarisé selon Oy , initialement vide, se peuple par e ff et Faraday sous l’action desfluctuations quantiques du spin des métastables selon Oz lors de sa propagation dans le gaz. (b) Les photons sortantde la cavité polarisés selon Oy sont séparés de ceux polarisés selon Ox par un cube polariseur puis détectés dans lerégime de comptage de photons. (c) À l’extérieur de la cavité, on e ff ectue une détection homodyne d’une quadraturedu champ sortant polarisé selon Oy , en utilisant comme oscillateur local le champ sortant polarisé selon Ox (dont ona fait tourner au préalable la polarisation avec une lame demi-onde pour l’amener selon Oy ).multiplicités hyperfines F = / F = / Oz , nousintroduisons le spin de Stokes [15] construit à partir des opérateurs de création et d’annihilation d’un photon dans lesmodes polarisés linéairement selon Ox et Oy : S x = (cid:16) c † x c x − c † y c y (cid:17) ; S y = (cid:16) c † x c y + c † y c x (cid:17) ; S z = (cid:16) c † x c y − c † y c x (cid:17) . (1)Nous supposons pour simplifier que la cellule est éclairée uniformément par le mode de cavité. Dans la limite d’ungrand désaccord et d’une faible saturation de la transition atomique par le champ, l’état excité 2 P peut être éliminéadiabatiquement et l’interaction hamiltonienne entre le spin du métastable ~ K et le spin de Stokes ~ S prend la forme deFaraday [15] : H = ~ χ K z S z (2)qui n’est autre que l’opérateur de déplacement lumineux des sous-niveaux Zeeman dans l’état métastable, commeon le voit bien sur la forme de S z dans la note 2. Les équations non linéaires couplées décrivant l’évolution desspins moyens sont données dans l’Annexe A, voir les équations (A.1)-(A.3). Outre l’évolution due à l’hamiltonien deFaraday (2) et aux collisions d’échange de métastabilité, elles incluent la contribution des termes liouvilliens habituelsdans l’équation pilote décrivant l’injection d’un champ cohérent polarisé selon Ox dans la cavité et les pertes dues aumiroir de sortie, dont l’e ff et combiné conduit à h S x i = n ph / n ph étant lenombre moyen de photons dans le mode polarisé selon Ox . Ces équations sont ensuite linéarisées autour d’une solutionstationnaire partiellement polarisée (A.8)-(A.9), et les fluctuations du spin ~ J et du tenseur d’alignement collectif dans F = / pour obtenir des équations couplées sur les fluctuations des trois spinscollectifs ~ I , ~ K et ~ S , dont les valeurs moyennes stationnaires sont données par : h ~ I i s = N ~ u x ; h ~ K i s = n ~ u x ; h ~ S i s = n ph ~ u x (3)
2. De manière équivalente, on peut construire le spin de Stokes ~ S en utilisant les opérateurs d’annihilation dans les modes polarisés circulaire-ment, c = √ ( c x − i c y ), c = √ ( c x + i c y ) [16], auquel cas S z = (cid:16) c † c − c † c (cid:17) .3. Nous pensons que cette approximation non mathématiquement contrôlée est raisonnable pour l’expérience proposée, car le spin ~ J n’est pasdirectement couplé à la lumière donc n’est pas directement a ff ecté par la mesure du champ en continu. En revanche, si l’on éliminait de même lesfluctuations du spin ~ K , directement couplé au champ, on commettrait une erreur non négligeable sur la dynamique de compression du spin dans lecas de la détection par comptage de photons (revenant à omettre le saut double C d dans l’équation pilote (36) et le taux Γ dans le nombre moyende photons comptés (44)) donc à sous-estimer fortement le nombre de photodétections requises pour atteindre un niveau de compression donné),mais une erreur négligeable dans le cas de la détection homodyne, comme nous l’avons vérifié sur le modèle à un mode de la section 3.4. igure He (les sous-niveaux Zeeman correspondent au choix de Oz commeaxe de quantification, les atomes étant polarisés selon Ox ). Le mode du champ en cavité polarisé selon Ox excite latransition C entre le niveau F = / S et le plus haut niveau d’énergie F = / P , avec un désaccord en fréquence négatif beaucoup plus grand en valeur absolueque la mi-largeur Doppler de l’état excité (de l’ordre de 1 GHz), afin que la classe de vitesse résonnante avec le lasersoit presque vide, mais beaucoup plus faible que le clivage hyperfin de 6,74 GHz dans l’état métastable (et a fortiorique le clivage fin 2 P − P de 29,6 GHz dans l’état excité), afin que le niveau métastable F = / ff ecté par le laser. (Note : l’espacement en fréquence ne permet pas de satisfaire largement à ces deux contraintes, etl’on ne peut exclure que le couplage de F = / ff et sur la dynamique de compression ; nousle négligeons ici mais on pourrait en tenir compte avec un hamiltonien plus complet que notre modèle minimal (2),comme celui de la référence [15]). Les six sous-niveaux de l’état métastable 2 S sont couplés aux deux sous-niveaux(purement nucléaires) de l’état fondamental 1 S par les collisions d’échange de métastabilité.Ici ~ u x est le vecteur unitaire selon Ox , N et n sont les nombres e ff ectifs d’atomes fondamentaux et métastables par-ticipant à la dynamique des spins collectifs. Comme nous le montrons dans l’Annexe A, ces nombres e ff ectifs sontrenormalisés par rapport aux nombres totaux vrais N cell et n cell dans la cellule, par des facteurs dépendant de la pola-risation : N = η N cell ; n = − η + η ! η n cell (4)où η ∈ [0 ,
1] est la polarisation nucléaire, et les équations semi-classiques sur les fluctuations des trois spins collectifss’écrivent : dd t δ S z = − κ δ S z dd t δ S y = − κ δ S y + χ h S x i s δ K z (5)dd t δ I z = − γ f δ I z + γ m δ K z dd t δ I y = − γ f δ I y + γ m δ K y (6)dd t δ K z = − γ m δ K z + γ f δ I z dd t δ K y = − γ m δ K y + γ f δ I y + χ h K x i s δ S z (7)Ici, κ est le taux de perte de la cavité, γ m et γ f sont les taux e ff ectifs d’échange de métastabilité dans l’état métastableet dans l’état fondamental. Ces derniers dépendent de la polarisation nucléaire comme ci-dessous et sur la figure 3a,et sont dans le même rapport que les nombres d’atomes e ff ectifs N et n (4) constituant les spins collectifs : γ f = + η − η − η + η T ; γ m = + η − η τ ; γ m γ f = Nn (cid:29) / T et 1 /τ subies par un atome dans l’état fondamentalet dans l’état excité étant proportionnels à n cell et N cell . Sur la figure 3b, nous montrons également la dépendance en
4. Notons que n = η =
1. En e ff et, toute la population de l’état métastable se trouve alors dans le sous-niveauZeeman extrême m x = / F = / F = / η γ f T e t γ m τ (a) η f( η ) (b) F igure ff ectifs d’échange de métastabilité γ f et γ m (8) en fonction de la polarisation nucléaire η , normali-sés par les taux des collisions d’échange de métastabilité 1 / T et 1 /τ subies par les atomes fondamentaux et métastablesdans la vapeur. (b) Dépendance en polarisation nucléaire de la pulsation de Faraday Ω α entrant dans le taux de com-pression de spin (31), dans la limite γ f (cid:28) γ m ; plus précisément, on représente le facteur f ( η ) = √ η − η + η tel que Ω α ’ Ω ( γ f /γ m ) / = χ √ n ph n cell q n cell N cell f ( η ). Lorsque la polarisation varie entre 0,3 et 0,5 (lignes tiretées verticales), f ( η ) s’écarte de 4 % de son maximum ’ ,
17 atteint en η = , ff ectif Ω α (25) entre la lumière et le spin nucléaire hybridé par lemétastable, qui contrôle le taux de compression de spin dans (31).
3. Description quantique
Dans la section 2, nous avons vu que l’on peut modéliser notre système physique complexe sous la forme de troisspins collectifs couplés (3) : le spin nucléaire ~ I dans l’état fondamental, le spin ~ K dans le niveau hyperfin F = / ~ S du champ lumineux en cavité. Dans cette section, nous présentons le traitementquantique complet de ce modèle. Après avoir introduit l’approximation de Primako ff , nous passons à la descriptionquantique de l’échange de métastabilité qui couple les spins nucléaire et métastable. ff Initialement, le spin nucléaire collectif ~ I , le spin collectif du métastable ~ K et le spin de Stokes ~ S de la lumièresont polarisés selon Ox , et le resteront pendant toute la procédure expérimentale. Dans l’approximation de Holstein-Primako ff , qui assimile les composantes de spin macroscopiques selon Ox à des variables classiques, les composantes Oy et Oz restantes, orthogonales aux spins moyens, se comportent comme les opérateurs de quadratures (partieshermitienne et antihermitienne d’opérateurs d’annihilation donc canoniquement conjuguées, [ X , P ] = i /
2) de troismodes bosoniques a , b , c : I y √ N Primako ff ’ X a = a + a † K y √ n Primako ff ’ X b = b + b † S y √ n ph Primako ff ’ X c = c + c † I z √ N Primako ff ’ P a = a − a †
2i ; K z √ n Primako ff ’ P b = b − b †
2i ; S z √ n ph Primako ff ’ P c = c − c †
2i (10)Faisons le lien avec la représentation bosonique exacte (1) des spins, en écrivant : S y √ n ph − i S z √ n ph = √ n ph c † y c x Primako ff ’ c † y ; S y √ n ph + i S z √ n ph = √ n ph c † x c y Primako ff ’ c y (11)
5. Si nous considérons un grand spin ~ S entièrement polarisé selon Ox , nous pouvons approximer la composante de spin dans cette directionpar une variable classique, en posant ˆ S x ’ h ˆ S x i si bien que [ ˆ S y / p h ˆ S x i , ˆ S z / p h ˆ S x i ] ’ i / c † dans (9)-(10), identifié avec c † y dans l’approximation de Primako ff , transfèreun photon du mode de cavité fortement peuplé par un état cohérent polarisé selon Ox dans le mode de cavité initiale-ment vide polarisé selon Oy . Dans l’approximation de Primako ff , l’hamiltonien du couplage de Faraday atome-champ(2) s’écrit : H = ~ Ω P b P c avec Ω = χ √ nn ph . (12)Comme χ ne dépend pas de l’intensité du champ dans la cavité, Ω est proportionnel à cette intensité. Considérons dans cette sous-section l’évolution du système due au seul échange de métastabilité ( χ = ff , cela donne pour les quadratures X dans l’état métastable etfondamental : d X a = − γ f X a d t + √ γ m γ f X b d t + d X stoch a ; d X b = − γ m X b d t + √ γ m γ f X a d t + d X stoch b (13)où l’on a utilisé la troisième égalité de l’équation (8). Les bruits de Langevin d X stoch i , avec i ∈ { a , b } , ont une moyennenulle, sont des variables aléatoires indépendantes à des temps di ff érents et ont des variances et des covariances à tempségaux calculées dans la référence [5] : h d X stoch i d X stoch j i = D ij d t avec D = γ f − √ γ m γ f − √ γ m γ f γ m ! (14)On a des équations de même forme que (13) pour les quadratures P i , avec d’autres bruits de Langevin d P stoch i , de mêmematrice de covariance que l’équation (14) entre eux mais de matrice de covariance avec les bruits d X stoch i donnée par h d X stoch i d P stoch j i = D ij d t avec D = i D (15)Pour le calcul des valeurs moyennes et des variances des observables atomiques, cette formulation stochastique équi-vaut à une équation pilote sur l’opérateur densité atomique ρ at des deux modes bosoniques a et b :d ρ at d t = C ρ at C † − { C † C , ρ at } avec C = q γ f a − p γ m b (16)En e ff et, la représentation stochastique de Langevin de l’équation pilote (16) pour un opérateur quelconque A s’écritd A = d t n C † [ A , C ] − [ A , C † ] C o + d A stoch où d A stoch = [ C † , A ]d B + d B † [ A , C ] (17)et d B est un opérateur stochastique markovien de moyenne nulle, de matrice de covariance à temps égaux h d B d B † i = d t ; h d B d B i = h d B † d B † i = h d B † d B i = ffi td’admettre que les équations d’évolution sur les moyennes h X i i et h P i i tirées de (6)-(7) dérivent d’une équation pilotede la forme de Lindblad (50). Comme ces équations sont linéaires, les opérateurs de saut C m encadrant ρ at dansl’équation pilote sont des combinaisons linéaires de a et b . Ceci redonne (16). L’évolution complète, comprenant l’interaction hamiltonienne hermitienne (12), l’échange de métastabilité et lespertes de la cavité, est décrite par l’équation pilote ~ B = ~
0, soit que nous nous placions dans le référentiel tournant
6. Nous négligeons ici l’évolution interne des modes atomiques (précession de spin) en supposant que les sous-niveaux Zeeman sont dégénérésdans l’état fondamental et dans l’état métastable F = /
2, soit que le champ magnétique extérieur soit nul, ρ d t = ~ (cid:2) H , ρ (cid:3) + κ c ρ c † − { c † c , ρ } ! + C ρ C † − { C † C , ρ } (19)où C est l’opérateur de saut pour l’échange de métastabilité (16), κ est le taux de perte de la cavité, γ m et γ f sont lestaux d’échange de métastabilité pour un atome métastable et dans l’état fondamental.Initialement, les trois modes sont dans l’état vide correspondant à un état polarisé pour les trois spins. Pour cetétat initial, les premiers moments des quadratures restent nuls, et l’on peut obtenir un système fermé d’équations surles seconds moments. On trouve que les quadratures P restent de variances constantes et de covariances nulles dansles trois modes, h P a i ( t ) = h P b i ( t ) = h P c i ( t ) =
14 ; h P a P b i ( t ) = h P a P c i ( t ) = h P b P c i ( t ) = h X c i reste bornée et que les covariances h X a X c i et h X b X c i restent nulles, tandis que les varianceset la covariance des quadratures X a et X b , et donc le nombre d’excitations dans les modes atomiques, divergentlinéairement en temps, du moins tant que l’approximation de Primako ff est applicable. Nous donnons ici explicitementseulement les comportements aux temps longs : h X a i ( t ) = t → + ∞ γ m γ f ( γ m + γ f ) Ω t κ + O (1) h X b i ( t ) = t → + ∞ γ f ( γ m + γ f ) Ω t κ + O (1) h X a X b i ( t ) = t → + ∞ γ / m γ / f ( γ m + γ f ) Ω t κ + O (1) h X c i ( t ) − → t → + ∞ Ω κ ! − γ m κ + γ m + γ f ) ! (21) Dans cette sous-section, nous établissons une équation pilote à un mode décrivant l’évolution lente du spin nu-cléaire dans la limite Γ sq (cid:28) γ f < γ m et Γ sq (cid:28) κ (22)où le taux de compression Γ sq est défini plus tard (il su ffi t de savoir ici que Γ sq ∝ Ω si bien que (22) est une limite decouplage de Faraday faible Ω → a et b : α = r γ m γ m + γ f a + r γ f γ m + γ f b ; β = r γ m γ m + γ f b − r γ f γ m + γ f a (23) α et β correspondent en e ff et aux modes propres de la partie d’échange de métastabilité de l’équation pilote à troismodes (19) (en pratique, on a γ m (cid:29) γ f , voir l’équation (8), si bien que le mode β correspond au spin du métastablelégèrement hybridé avec le spin de l’état fondamental, et α au spin nucléaire légèrement hybridé avec le spin dumétastable). Tandis que le mode α subit une divergence en temps de son nombre moyen d’excitations, le mode β estfortement amorti et tend vers une valeur stationnaire (voir les résultats (20) et (21), qui montrent que h X β i = O (1) où X β = ( β + β † ) / ρ d t = ~ (cid:2) H , ρ (cid:3) + κ c ρ c † − { c † c , ρ } ! + γ β βρβ † − { β † β, ρ } ! (24)
7. Pour l’état initial considéré, on a à tout temps h X a i = h X a i − = h a † a i , où h a † a i est le nombre moyen d’excitations dans le mode despin nucléaire, si bien que Var X a = h a † a i + . Les mêmes relations valent pour les deux autres modes. γ β ≡ γ m + γ f ) et, en notant P α = ( α − α † ) /
2i et P β = ( β − β † ) /
2i les quadratures P des nouveaux modes, H = ~ ( Ω α P α + Ω β P β ) P c avec Ω α ≡ Ω r γ f γ m + γ f et Ω β = Ω r γ m γ m + γ f (25)E ff ectuons, comme dans la référence [17], l’élimination adiabatique en couplage de Faraday faible Ω → | ψ ( t ) i sous l’action du hamiltonien e ff ectif non hermitien H e ff = H − i ~ (cid:16) κ c † c + γ β β † β (cid:17) (26)interrompue aléatoirement par des sauts quantiques (évolutions discontinues | ψ i → C | ψ i ) d’opérateurs de saut C c = √ κ c et C β = √ γ β β . (27)En l’absence du couplage cohérent Ω dans (25) le mode métastable hybridé et le mode de cavité restent dans l’étatvide initial. Au premier ordre en Ω , cet état est couplé à des états à une excitation dans la cavité (par l’action de P c )et à zéro ou une excitation dans le mode du métastable hybridé (par l’action de P α ou de P β ). Nous pouvons alorstronquer le vecteur d’état Monte-Carlo | ψ i dans la base de Fock {| n α i fond | n β i méta | n c i cav } comme suit, | ψ i = | ψ α i| i| i + | ψ α i| i| i + | ψ α i| i| i (28)en commettant une erreur de norme O ( Ω ). Sous l’e ff et du hamiltonien e ff ectif (26), les composantes rapides | ψ α i et | ψ α i rejoignent exponentiellement un régime de suivi adiabatique de la composante lente | ψ α i avec des taux κ/ κ + γ β ) /
2. D’où leur élimination adiabatique dans la limite (22) | ψ α i adiab ’ i Ω β κ + γ β ) | ψ α i et | ψ α i adiab ’ Ω α κ P α | ψ α i (29)On reporte les expressions de | ψ α i adiab , | ψ α i adiab dans l’équation d’évolution hamiltonienne de | ψ α i pour obteniri ~ dd t | ψ α i = − i ~ (cid:16) Γ sq P α + Γ (cid:17) | ψ α i ≡ H ff | ψ α i (30)où l’on a introduit les taux Γ sq = Ω α κ et Γ = Ω β κ + γ β ) (31)Comme nous le verrons, Γ sq est le taux de compression typique du spin nucléaire dans le régime (22). En étudiant l’ef-fet de l’opérateur de saut de cavité C c et de saut d’échange de métastabilité C β sur le vecteur d’état (28), nous pouvons
8. Dans le suivi adiabatique, les probabilités d’occupation des composantes excitées sont h ψ α | ψ α i adiab / h ψ | ψ i = [ Ω β / κ + γ β ) ] h ψ α | ψ α i / h ψ | ψ i et h ψ α | ψ α i adiab / h ψ | ψ i = ( Γ sq /κ ) h ψ α | P α | ψ α i / h ψ | ψ i où l’on a utilisé (31). Dans la limite (22), on vérifie aisément qu’elles sont (cid:28)
1, si bien quepresque toute la population est dans la composante | ψ α i| i| i comme il se doit, ce qui nous permettra dans la suite de remplacer h ψ | ψ i par h ψ α | ψ α i .On vérifie également qu’une autre condition de validité de l’élimination adiabatique, à savoir la lenteur de l’évolution du spin nucléaire hybridé α par rapport aux variables rapides, qui s’écrit ici Γ sq , Γ (cid:28) κ, κ + γ β , est satisfaite. Ces considérations ne permettent cependant pas de montrerque la condition Γ sq (cid:28) γ f est nécessaire (sauf si κ (cid:28) γ β ). Pour le voir en toute généralité, nous poussons à l’ordre Ω le calcul du hamiltoniene ff ectif H ff = PH e ff P + PHQ ( zQ − QH e ff Q ) − QHP dans le sous-espace n β = n c = P projette (ici Q = − P et z = O ( Ω )).Qualitativement, à cet ordre, par action de H α puis H β sur | ψ α i| i| i (avec la notation évidente H = H α + H β ), on crée virtuellement une excitation β seule, relaxant au taux γ β /
2, d’où la condition d’adiabaticité supplémentaire Γ (cid:28) γ β ; jointe à Γ (cid:28) κ et γ f < γ m , elle implique Γ sq (cid:28) γ f puisque Γ sq /γ f = ( Γ /κ + Γ /γ β )(4 γ β /γ m ) < Γ /κ + Γ /γ β ). Quantitativement, nous trouvons une correction au coe ffi cient de P α dans H ff detype H α G H β G H β G H α ( G est la résolvante de H e ff pour Ω =
0) de la forme ~ Γ sq Ω β /γ β κ , qui doit être négligeable, ce qui impose Ω β /γ β κ (cid:28) Γ sq (cid:28) γ f compte tenu de γ f < γ m . Les corrections au terme scalaire sont négligeables dès que Γ (cid:28) γ β , κ , et le nouveau terme en P α qui apparaît est négligeable devant ~ Γ sq P α pour P α = O (1) si Γ sq (cid:28) κ . ff ectif de l’équation (30). (i) Considérons d’abord l’e ff et d’un saut de cavité, qui se produità l’instant t avec un taux κ ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab / h ψ α | ψ α i . Juste après le saut, le vecteur d’état, initialement enrégime de suivi adiabatique, devient | ψ ( t + ) i = C c | ψ ( t − ) i adiab ∝ | ψ α ( t − ) i adiab | i| i + | ψ α ( t − ) i adiab | i| i (32)C’est la superposition d’une composante instable | i| i et d’une composante stable | i| i . Avec une probabilité h ψ α | ψ α i adiab / ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab le saut de cavité est alors suivi d’un saut d’échange de métastabilité avantque le système n’ait le temps de rejoindre sa valeur adiabatique. On a dans ce cas un « saut double », qui en définitiven’a ff ecte pas la composante | ψ α ( t − ) i puisque C β C c | ψ ( t − ) i adiab ∝ | ψ α ( t − ) i| i| i (33)Ce processus contribue au terme scalaire (proportionnel à l’identité) dans l’hamiltonien e ff ectif de l’équation (30).Avec la probabilité complémentaire h ψ α | ψ α i adiab / ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab le système rejoint sa valeur adiabatiqueavant que d’autres sauts ne se produisent, et est asservi à P α | ψ α ( t − ) i , c’est-à-dire que la composante lente | ψ α ( t − ) i asubi de manière e ff ective un saut quantique simple avec un opérateur de saut proportionnel à P α . Ce processus corres-pond au premier terme, proportionnel à P α , dans l’hamiltonien e ff ectif de l’équation (30). (ii) Supposons ensuite quele saut à l’instant t est un saut d’échange de métastabilité, ce qui se produit avec un taux γ β h ψ α | ψ α i adiab / h ψ α | ψ α i . Onvérifie dans ce cas que le vecteur d’état après le saut, C β | ψ ( t − ) i , est entièrement instable et subit presque immédiate-ment un second saut, un saut de cavité. L’e ff et total correspond là encore à un saut double et à l’action d’un opérateurscalaire sur la composante lente. Nous tirons de cette discussion les taux de saut simple et de saut double suivants : Γ s = κ ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab h ψ α | ψ α i h ψ α | ψ α i adiab ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab = Γ sq h ψ α | P α | ψ α ih ψ α | ψ α i ≡ Γ sq h P α i (34) Γ d = κ ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab h ψ α | ψ α i h ψ α | ψ α i adiab ( h ψ α | ψ α i + h ψ α | ψ α i ) adiab + γ β h ψ α | ψ α i adiab h ψ α | ψ α i = Γ (35)On obtient finalement l’équation pilote à un mode décrivant l’évolution lente de l’opérateur densité ρ α du modebosonique α (hybridé mais presque purement de spin nucléaire) :d ρ α d t = C s ρ α C † s − { C † s C s , ρ α } + C d ρ α C † d − { C † d C d , ρ α } (36)en termes de deux sauts quantiques, le saut simple (uniquement de cavité) C s et le saut double (de cavité et d’échangede métastabilité dans cet ordre ou dans l’autre) C d : C s = q Γ sq P α ; C d = p Γ (37)De l’équation (36) intégrée pour l’état initial vide de α , on tire : h X α i =
14 (1 + Γ sq t ) ; h P α i =
14 (38)En revenant à la base atomique initiale (non tournée) et en limitant le vecteur d’état (28) à son premier terme, onretrouve l’équation (20) et les trois premiers résultats de l’équation (21) du modèle à trois modes. Enfin, le nombremoyen de photons polarisés selon Oy sortant de la cavité par unité de temps, donné dans le modèle à un mode par Γ + Γ sq / κ h c † c i s où le nombre moyenstationnaire de photons polarisés selon Oy dans la cavité h c † c i s = h X c i s − /
9. En revanche, la valeur de h c † c i adiab dans la forme adiabatique (29) du vecteur d’état ne représente pas ce nombre. La solution du paradoxetient à l’existence de la voie de désexcitation (ii), celle de l’annihilation en premier saut de l’excitation n β = Oy est donc κ h c † c i adiab + γ β h β † β i adiab . . Mesure quantique non destructive du spin nucléaire en continu Les moyennes quantiques calculées dans la section 3 correspondent seulement aux moyennes d’ensemble sur unnombre infini de réalisations expérimentales. Dans cette section, nous étudions ce qui nous intéresse vraiment, l’évo-lution du système dans une ou plusieurs réalisations données de l’expérience, conditionnée aux résultats d’une mesureen continu sur la lumière polarisée selon Oy sortant de la cavité. Pour cela, nous revenons à la formulation en termesde fonctions d’onde Monte-Carlo, comme dans la section 3, où des trajectoires stochastiques | ψ ( t ) i correspondant àune succession particulière de sauts quantiques reconstruisent l’opérateur densité du système conditionné à des résul-tats de mesure [19]. La forme précise des opérateurs de saut Monte-Carlo, qui n’est pas unique dans la reformulationstochastique d’une équation pilote, est alors déterminée par les mesures particulières e ff ectuées. Supposons que l’on compte continûment et directement (par photodétection) le nombre de photons polarisés selon Oy sortant de la cavité (voir figure 1b), comme l’a proposé la référence [20]. L’opérateur de saut associé à cette mesureest √ κ c , de sorte que l’équation pilote à trois modes (19) est déjà sous la bonne forme pour analyser l’évolution duvecteur d’état | ψ ( t ) i conditionnée à la mesure.Il en va de même dans la limite d’un faible couplage de Faraday, Ω →
0, qui conduit au modèle à un mode. Commeles opérateurs de saut C d et C s de son équation pilote (36) correspondent tous deux à la perte en cavité d’un photonpolarisé selon Oy (rappelons-le, C d résulte d’un saut de cavité immédiatement suivi ou précédé d’un saut d’échangede métastabilité, et C s d’un simple saut de cavité), la mesure ne peut faire la distinction entre les deux, et l’opérateurdensité conditionné à un nombre donné n de photons détectés est obtenu en moyennant sur des réalisations ayant cemême nombre total n de sauts. Un vecteur d’état Monte-Carlo non normalisé ayant subi ces n sauts pendant la durée t s’écrit | ψ ( t ) i = e − i ~ H ff ( t − t n ) C (cid:15) n e − i ~ H ff ( t n − t n − ) C (cid:15) n − . . . C (cid:15) e − i ~ H ff t | ψ (0) i (39)où (cid:15) k ∈ { s , d } et t k sont le type et l’instant du k ème saut, H ff est l’hamiltonien e ff ectif (30). La moyenne quantiqued’une observable O s’obtient en moyennant sur toutes les trajectoires possibles, donc en sommant sur le nombre et letype des sauts et en intégrant sur leurs instants : h O i ( t ) = X n Z < t < t ...< t n < t d t d t . . . d t n X ( (cid:15) k ) ≤ k ≤ n ∈{ s , d } n h ψ ( t ) | O | ψ ( t ) i (40)où la norme au carré de chaque vecteur d’état non normalisé | ψ ( t ) i donne automatiquement sa densité de probabilité[21]. En prenant O = , nous en déduisons la probabilité que n sauts se soient produits dans l’intervalle de temps [0 , t ] Π n ( t ) = Z < t < t ...< t n < t d t d t . . . d t n X ( (cid:15) k ) ≤ k ≤ n ∈{ s , d } n h ψ ( t ) | ψ ( t ) i (41)Pour évaluer (41), nous tirons parti du fait que tous les opérateurs de saut dans (39) et leurs conjugués hermitienscommutent entre eux et avec H ff . En utilisant les identités X (cid:15) n = s , d . . . X (cid:15) = s , d (cid:16) C † (cid:15) n C (cid:15) n . . . C † (cid:15) C (cid:15) (cid:17) = X (cid:15) n = s , d C † (cid:15) n C (cid:15) n . . . X (cid:15) n = s , d C † (cid:15) C (cid:15) = (cid:16) Γ sq P α + Γ (cid:17) n (42)et en injectant une relation de fermeture dans la base propre de P α telle que P α | p α i = p α | p α i , après avoir intégré surles temps t k comme le permet le produit télescopique des opérateurs d’évolution, nous obtenons Π n ( t ) = t n n ! Z + ∞−∞ d p α (cid:16) Γ sq p α + Γ (cid:17) n e − Γ sq p α t e − Γ t Π ( p α , = nn ! ( Γ sq t / n e − Γ t (1 + Γ sq t / n + / Φ − n , − n ; Γ t + Γ Γ sq ! (43)où Π ( p α ,
0) est la distribution de probabilité initiale de p α (une gaussienne de moyenne nulle et de variance 1 / Φ est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer F . On remarque que (43) est en fait une moyenne10aussienne sur p α d’une loi de Poisson de paramètre λ = ( Γ sq p α + Γ ) t . On en déduit la moyenne et la variance dunombre de photodétections pendant la durée t : h n i = Γ + Γ sq ! t ; Var n = h n i + ( Γ sq t ) p α sachant que n photons ontété détectés dans l’intervalle de temps [0 , t ], une fonction paire de p α : Π t ( p α | n ) = Π n ( t ) t n n ! (cid:16) Γ sq p α + Γ (cid:17) n e − Γ sq p α t e − Γ t Π ( p α ,
0) (45)Nous en déduisons la moyenne et la variance conditionnelles de P α sachant que n photons ont été détectés pendant t : h P α i n = ( n + Γ sq t Π n + ( t ) Π n ( t ) − Γ Γ sq ; Var n ( P α ) ≡ h P α i n − h P α i n = ( n + ( Γ sq t ) ( n + Π n + ( t )( n + Π n ( t ) − Π n + ( t ) Π n ( t ) (46)Enfin, au moyen de l’équation (45), nous trouvons que pour Γ sq t → + ∞ , la distribution de probabilité de p α condi-tionnée au nombre n de photodétections est piquée autour de la valeur p donnée par p − = n − h n i Γ sq t d’où h P α i n ∼ Γ sq t → + ∞ p (47)avec une variance conditionnelle tendant vers zéroVar n ( P α ) ∼ Γ sq t → + ∞ n ( Γ sq t ) → p α présente deux pics à ± p comme on peut le voir sur lafonction de Wigner de la figure 5b, obtenue par simulation numérique de l’évolution conditionnelle du système auxtemps longs dans le modèle à un mode (36). Pour résumer, lors d’une réalisation donnée de l’expérience, la mesure parphotodétection en continu du nombre de photons polarisés selon Oy sortant de la cavité rend de plus en plus certainela valeur de P α , et donc de I z , le carré de la composante selon Oz du spin nucléaire collectif. Pour être complets, nousrelions dans la limite Ω → P a , c’est-à-dire de I z , à ceux de P α : h P a i n = γ m γ f + γ m h P α i n + γ f / γ f + γ m ; Var n ( P a ) = γ m ( γ f + γ m ) Var n ( P α ) + γ f γ m ( γ f + γ m ) h P α i n + γ f / γ f + γ m ) (49)E ff ectuons pour terminer une vérification numérique de ces prédictions analytiques dans le modèle à trois modes.Sur la figure 4, nous représentons la moyenne conditionnelle du carré P a de la quadrature de spin nucléaire sachantque n photodétections se sont produites dans l’intervalle de temps [0 , t ], avec Γ sq t =
15 (points noirs), en fonctionde ce nombre n . L’ensemble des réalisations est divisé en 5 classes correspondant à un nombre de photodétectionstombant dans un intervalle donné, et les points noirs sont obtenus en moyennant sur les réalisations dans une mêmeclasse. Les résultats numériques sont proches des prédictions analytiques tirées de (46) et (49) et représentées envert, sauf dans les classes extrêmes qui comportent un nombre trop faible de réalisations. En revanche, les prédictionsanalytiques asymptotiques (47) et (48), non représentées, seraient en désaccord avec les simulations des deux modèlescar le temps Γ sq t =
15 n’est pas assez long. Sur la figure 5, nous explorons justement les temps longs dans le modèleà un mode, avec Γ sq t = h P α i n est alors relié aunombre de photodétections n comme dans la prédiction analytique (47), c’est-à-dire selon la première bissectrice dansles unités de la figure, avec un écart-type conditionnel (48) à peu près constant ’ ( Γ t ) / / Γ sq t car Γ est ici (cid:29) Γ sq .
10. D’après l’équation (44), le second membre de (47) est asymptotiquement de l’ordre de l’unité pour une séquence de photodétection typique.L’équation (47) n’a en fait de sens que pour p positif donc n > Γ t ; alors, les équivalents (47) et (48) s’appliquent lorsque l’écart entre les deuxpics dans Π t ( p α | n ) est beaucoup plus grand que leur largeur, ce qui impose 2 p (cid:29) n / / Γ sq t = ( Γ + Γ sq p ) / / Γ sq t / . n ( t )/ sq t n ( t ) / sq t -0,50,00,51,01,52,0 P a n P a (a) D e n s i t é d e p r o b a b ili t é numériqueanalytique (b)F igure P a par comptage de photons aux temps courts, Γ sq t =
15. (a) Moyenne et écart-typeconditionnels de la quadrature du spin nucléaire au carré P a sachant que n photodétections ont eu lieu dans l’intervallede temps [0 , t ], en fonction de ce nombre n . L’écart-type est représenté sous la forme d’un intervalle de confiance. Lamoyenne inconditionnelle h P a i = / n centrées sur ces points (dans une classe donnée, les trajectoires ont des nombresde photodétections proches mais des histoires indépendantes pour les sauts d’échange de métastabilité auxquellesl’expérimentateur n’a pas accès). Paramètres du modèle à 3 modes : Ω /κ = / γ m /κ = / γ f /κ = / Γ sq /κ = / n max a = , n max b = n max c =
8. Ceci correspond à Γ / Γ sq =
12 500 / ’ , n = h n ( t ) i , histogramme des valeurs conditionnelles de P α . Barres bleues :simulation numérique du modèle à trois modes ; barres orange : prédictions analytiques tirées de l’équation (45) dumodèle à un mode. Nous supposons maintenant que les photons sortant de la cavité polarisés selon Oy sont mesurés en continu pardétection homodyne [22], comme sur la figure 1c. Il nous faut d’abord trouver les bonnes équations stochastiquesdonnant l’évolution du vecteur d’état du système conditionnée à la détection homodyne, puisque les opérateurs desaut apparaissant naturellement dans l’écriture (24) ou (36) de l’équation pilote à trois modes ou à un mode sontinadaptés. Nous présentons ensuite quelques résultats analytiques obtenus dans le modèle à un mode puis dans lemodèle à trois modes, avant de discuter brièvement l’e ff et du temps de cohérence fini des atomes métastables. Une équation pilote générale de la forme de Lindbladd ρ d t = ~ (cid:2) H , ρ (cid:3) + X m C m ρ C † m − { C † m C m , ρ } (50)avec H la partie hermitienne du hamiltonien et C m les opérateurs de saut, peut être réécrite de manière équivalenteen ajoutant une constante arbitraire aux opérateurs de saut et / ou en les mélangeant par combinaison linéaire unitairequelconque. Afin de tenir compte d’une détection homodyne sur le champ sortant, on forme, à partir d’un opérateurde saut C m correspondant à une photodétection, les deux opérateurs de saut « homodynes » D m , ± [19] D m , + = µ + C m √ D m , − = µ − C m √ µ a les dimensions d’une pulsation. La mesure de la di ff érence des taux de saut D † + D + − D †− D − donne alors accèsà une quadrature de C m . Ainsi, pour µ réel et C m correspondant à l’opérateur saut de cavité C c , voir l’équation (27),la di ff érence entre les nombres de photons N ± détectés pendant le court intervalle de temps ∆ t dans les deux voies desortie de la figure 1c, qui constitue par définition le signal homodyne, N + = ( D † c , + D c , + ) ∆ t ; N − = ( D † c , − D c , − ) ∆ t ; N + − N − µ = c + c † √ κ ∆ t (52)12 n ( t )/ sq t n ( t )/ sq t P n P (a) (b) F igure P α par comptage de photons aux temps longs dans le modèle à un mode (36). (a) Moyenneet écart-type conditionnels de P α sachant que le nombre de photodétections n tombe dans une classe de valeurs donnée,de manière similaire à la figure 4a mais pour Γ sq t = ffi cile unesimulation dans le modèle à 3 modes). (b) Distribution de Wigner du mode bosonique nucléaire hybridé dans l’espacedes quadratures ( X α , P α ) à Γ sq t = | ψ ( t ) ih ψ ( t ) | sur les trajectoires de la 3èmeclasse de (a). Elle présente deux lignes de crêtes séparées par des franges d’interférence à valeurs négatives.donne accès à X c ; c’est bien la quadrature du champ conjuguée à P c donc translatée d’une quantité proportionnelleà P b et au temps sous l’action du hamiltonien H (12), ce qui renseigne sur P a au travers des collisions d’échange demétastabilité. Dans le cas de l’équation pilote à 3 modes (24), on est obligé d’appliquer la procédure de dédoublement(51) a priori seulement à l’opérateur de saut de cavité. En pratique, nous appliquerons cette procédure également àl’opérateur de saut C β , c’est-à-dire que nous dédoublerons par homodynage tous les opérateurs de saut C m , afin d’éviterl’inconfort d’une représentation mixte mêlant sauts quantiques et évolution stochastique continue, voir l’équation (53)à venir. Dans le cas de l’équation pilote à un mode (36), il faut de toute façon « homodyner » les deux opérateurs desaut C s et C d , puisque chacun s’accompagne de la perte d’un photon en cavité, comme l’explique la section 3.4.Dans la limite d’un oscillateur local de grande amplitude µ , on peut faire comme si ∆ t était infinitésimal etreprésenter l’évolution de la fonction d’onde Monte-Carlo par une équation stochastique non linéaire continue sanssauts quantiques [19, 23, 24] en point de vue d’Ito :d | φ ( t ) i = − i ~ H | φ ( t ) i d t − X m C † m C m − h φ ( t ) | C m + C † m | φ ( t ) i C m + h φ ( t ) | C m + C † m | φ ( t ) i ! | φ ( t ) i d t + X m C m − h φ ( t ) | C m + C † m | φ ( t ) i ! | φ ( t ) i d ζ m ( t ) (53)où, à chaque opérateur de saut C m dans l’écriture initiale de l’équation pilote, on associe un processus stochastiqueen temps continu d ζ m ( t ), à valeurs réelles, gaussien, de moyenne nulle, de variance d t , statistiquement indépendantdes autres processus et sans mémoire. Au même niveau d’approximation, l’opérateur de signal homodyne (52) estremplacé par la somme de sa moyenne et d’un bruit classique représentant ses fluctuations, qui n’est autre que le d ζ m correspondant [19] : N + − N − µ = √ κ h φ | c + c † | φ i t +
12 d ζ c (54)
11. Cette approximation est valable pour une résolution en temps, c’est-à-dire un pas temporel ∆ t , telle que µ − (cid:28) ∆ t (cid:28) κ − , où κ est en pratiquele taux d’évolution le plus rapide du système dans l’expérience.
20 40 60 80 100 Γ sq t -1,5-1-0,500,5 < P α > φ (a) θ -1,5-1-0,500,5 < P α > φ (b)F igure ff ectuée dans lemodèle à un mode par la valeur moyenne quantique de la quadrature P α du spin nucléaire dans une réalisation donnéede l’expérience. (a) Valeur moyenne en fonction du temps vrai t pour trois réalisations de l’expérience ; il s’agit d’unmouvement brownien étiré convergeant aux temps longs vers une valeur fixe mais imprédictible. (b) Idem en fonctiondu temps renormalisé compact θ (60) ; il s’agit cette fois d’un mouvement brownien ordinaire mais limité à θ ≤ / , t ] qui est facilement accessible dans uneexpérience. Nous introduisons donc le signal intégré ayant la dimension de la racine d’une pulsation, σ ( t ) ≡ N tot + − N tot − µ t = t Z t d t " √ κ h φ ( t ) | X c | φ ( t ) i +
12 d ζ c ( t )d t (55)et nous calculerons dans la suite la moyenne et la variance de la quadrature P a du spin nucléaire conditionnées à σ . Écrivons explicitement l’équation stochastique (53) pour le modèle à un mode (36) :d | φ ( t ) i = − d t Γ sq [ P α − ¯ P α ( t )] | φ ( t ) i + q Γ sq d ζ s ( t )[ P α − ¯ P α ( t )] | φ ( t ) i (56)avec ¯ P α ( t ) ≡ h φ ( t ) | P α | φ ( t ) i . Le fait marquant est que les sauts associés à l’opérateur C d proportionnel à l’identité,qui ajoutaient du bruit dans la détection par comptage de photons de la section 4.1, ne donnent pas de contribution,l’opérateur C d disparaissant de l’équation d’évolution conditionnelle dans le cas homodyne. En e ff et, les photons émislors de ces sauts proviennent de la composante | i| i du vecteur d’état (28) contenant une excitation β , ce qui les rendoptiquement incohérents avec le champ lumineux injecté en cavité, c’est-à-dire avec la composante | i| i de (28),au sens où | i| i contribue à h c † c i mais pas à h c + c † i . Il ne reste donc que le processus stochastique d ζ s associé àl’opérateur de saut C s . Ce processus se confond avec celui d ζ c apparaissant dans le signal de détection homodyne(54), d ζ s ≡ d ζ c , fait admis ici mais qui sera établi en revenant au modèle à trois modes dans la section 4.2.3.L’équation stochastique (56) présente un terme de bruit linéaire et un terme déterministe quadratique en l’opé-rateur P α , réels dans l’espace de Fourier. Pour l’état initial considéré ici, elle est donc résolue exactement par unansatz gaussien sur la fonction d’onde en représentation impulsion, réel et correctement normalisé pour la relation decommutation [ X α , P α ] = i / h p α | φ ( t ) i = [2 π u ( t )] / exp {− u ( t )[ p α − ¯ P α ( t )] } (57)En revanche, la gaussianité est perdue dans la compression par photodétection de la section 4.1. En utilisant le calculd’Ito, on trouve que u suit une équation d’évolution déterministe, à intégrer avec la condition initiale u (0) = u ( t ) = Γ sq d t donc u ( t ) = + Γ sq t et Var φ P α ( t ) ≡ u ( t ) =
14 11 + Γ sq t (58)
12. On ne garde que les termes linéaires en d t ou en le bruit, et on remplace systématiquement les termes quadratiques d ζ s par leur moyenne d t .
14ù nous avons donné aussi la variance de P α dans l’état | φ i . En revanche, l’équation sur la valeur moyenne de P α dans | φ i est purement stochastique, avec un coe ffi cient de di ff usion D ( t ) dépendant du temps et la condition initale¯ P α (0) = P α ( t ) = [2 D ( t )] / d ζ s ( t ) avec D ( t ) = Γ sq u ( t ) = Γ sq + Γ sq t ) (59)Comme D ( t ) est d’intégrale finie, ¯ P α ( t ) se stabilise asymptotiquement (aux temps longs) à une valeur fixe sur uneseule réalisation, comme on le voit sur la figure 6, avec une variance dans l’état quantique Var φ P α tendant vers 0.Ce phénomène de « convergence stochastique » vers un état propre de l’observable mesurée (en l’occurrence P α ) estattendu dans la description d’une mesure quantique par une équation de di ff usion du vecteur d’état [23, 24, 25]. Pourle montrer ici, on introduit un temps θ renormalisé en termes duquel ¯ P α e ff ectue un mouvement brownien ordinaireavec un coe ffi cient de di ff usion unité, et on remarque que ce temps est borné : θ = Z t d t D ( t ) = Γ sq t + Γ sq t ) → t → + ∞ θ ∞ =
18 (60)À l’instant renormalisé θ ∞ , ¯ P α suit une loi gaussienne de moyenne nulle et de variance 1 / P α a donc la mêmedistribution de probabilité asymptotique ( t → + ∞ ) que celle de l’observable P α dans l’état quantique initial du spinnucléaire.Venons-en maintenant à la moyenne et à la variance de P α conditionnées à la valeur S du signal d’homodynageintégré en temps σ (55). De façon remarquable, nous trouvons que la moyenne conditionnelle est toujours proportion-nelle au signal, avec un coe ffi cient de proportionnalité dépendant du temps, et que la variance conditionnelle dépenddu temps mais pas du signal : h P α i σ = S = m ( Γ sq t ) S p Γ sq où m ( τ ) = τ + τ ; Var σ = S ( P α ) = V ( Γ sq t ) où V ( τ ) = + τ ) (61)Ces expressions désignent Γ sq comme le taux de compression du spin nucléaire dans le modèle à un mode. Sur lafigure 7a, nous représentons m ( τ ) et V ( τ ) en fonction du temps réduit τ = Γ sq t . De même que la variance quantiquesur une réalisation Var φ P α , avec laquelle elle coïncide en fait, la variance conditionnelle tend asymptotiquement verszéro comme l’inverse du temps. Dans la moyenne conditionnelle, le coe ffi cient m ( τ ) tend vers 1 aux temps longs. Pourle comprendre, relions le signal intégré (55) à ¯ P α en utilisant les expressions adiabatiques (29) dans le vecteur d’étattronqué (28) : σ ( t ) = t Z t d t " q Γ sq ¯ P α ( t ) +
12 d ζ s ( t )d t (62)Comme ¯ P α ( t ) se stabilise asymptotiquement sur une seule réalisation, et que la moyenne temporelle du bruit d ζ s tendvers zéro comme 1 / t / presque sûrement, σ ( + ∞ ) donne directement la valeur de ¯ P α à un facteur constant p Γ sq près.Pour établir les résultats (61), relions d’abord la variance conditionnelle de l’opérateur P α à celle de sa moyennequantique sur une réalisation ¯ P α comme suit :Var σ = S ( P α ) ≡ h h φ | P α | φ i i σ = S − h h φ | P α | φ i i σ = S = h h φ | P α | φ i − h φ | P α | φ i i σ = S + h ¯ P α i σ = S − h ¯ P α i σ = S = h Var φ P α i σ = S + Var σ = S ( ¯ P α ) =
14 11 + τ + Var σ = S ( ¯ P α ) (63)où nous avons utilisé l’expression (58) de la variance quantique de P α dans l’état | φ i . Il reste donc à déterminer ladistribution de probabilité conditionnelle de ¯ P α sachant que σ = S , P ( ¯ P α = p α | σ = S ) ≡ P ( ¯ P α = p α , σ = S ) P ( σ = S ) (64)Or, la variable aléatoire ¯ P α ( t ), résultant d’un mouvement brownien (59), a une distribution de probabilité gaussienne ;il en va de même pour l’intégrale temporelle de ¯ P α et du bruit d ζ s , donc du signal σ (62) qui en est la somme.15omme les variables ¯ P α et σ sont de moyennes nulles, leur distribution de probabilité conjointe est caractérisée parleur matrice de covariance, ou plus directement par sa matrice inverse, si bien que P ( ¯ P α = p α | σ = S ) = π √ h ¯ P α i stoch h σ i stoch −h σ ¯ P α i exp (cid:18) − p α h σ i stoch + S h ¯ P α i stoch − p α Sh σ ¯ P α i stoch h ¯ P α i stoch h σ i stoch −h σ ¯ P α i (cid:19) √ π h σ i stoch exp (cid:16) − S h σ i stoch (cid:17) = q π h h ¯ P α i stoch − h σ ¯ P α i / h σ i stoch i exp − (cid:16) p α − Sh σ ¯ P α i stoch / h σ i stoch (cid:17) h ¯ P α i stoch − h σ ¯ P α i / h σ i stoch (65)où h . . . i stoch à l’instant t est la moyenne prise sur toutes les réalisations du processus stochastique d ζ s ( t ) sur l’intervallede temps [0 , t ]. On en déduit que, dans les équations (61), m ( τ ) = q Γ sq h σ ( t ) ¯ P α ( t ) i stoch h σ ( t ) i stoch et V ( τ ) = + τ ) + h ¯ P α ( t ) i stoch − h σ ( t ) ¯ P α ( t ) i h σ ( t ) i stoch (66)Afin de déterminer leurs variances et covariance, on écrit σ ( t ) et ¯ P α ( t ) comme des fonctionnelles linéaires du processusstochastique d ζ s et on utilise le fait que les forces de Langevin d ζ s ( t ) / d t et d ζ s ( t ) / d t ont une fonction de corrélationde Dirac δ ( t − t ). Donnons l’exemple de la première contribution à σ ( t ) : Z t d t ¯ P α ( t ) = Z t d t Z t d t [2 D ( t )] / d ζ s ( t )d t = Z t d t Z tt d t [2 D ( t )] / d ζ s ( t )d t = Z t d t ( t − t )[2 D ( t )] / d ζ s ( t )d t (67)où l’on a changé l’ordre d’intégration sur t et t puis intégré explicitement sur t . On aboutit aux expressions cher-chées (61), dont la simplicité découle du fait que, sur une réalisation de l’expérience, on a toujours σ ( t ) = q Γ sq + ττ ¯ P α ( t ) (68)Pour terminer, revenons à la quadrature P a du spin nucléaire non hybridé, qui est celle véritablement utilisable dansl’expérience une fois la décharge éteinte dans la cellule. En quittant la base tournée par inversion de la transformation(23) et en limitant l’équation (28) à son premier terme (à l’ordre dominant en Ω ), il vient h P a i σ = S = γ m γ f + γ m ! / h P α i σ = S et Var σ = S ( P a ) = γ f γ f + γ m ) + γ m γ f + γ m Var σ = S ( P α ) (69)La variance conditionnelle de P a aux temps longs tend vers une valeur non nulle, bien que faible en pratique : c’estla limite intrinsèque de ce schéma de compression de spin nucléaire, qui utilise l’état métastable de He commeintermédiaire.
L’étude de la compression de spin dans le cadre du modèle à un mode est limitée au régime (22) où le tauxde compression Γ sq correspond à l’échelle de temps la plus longue du système. Il est cependant crucial pour lesapplications de voir jusqu’où on peut accélerer le processus de compression en augmentant Γ sq donc, par exemple, lecouplage de Faraday Ω des atomes métastables au champ en cavité. À cette fin, nous obtenons la solution analytiquedu modèle à trois modes en utilisant le caractère gaussien du vecteur d’état qui résulte, comme pour le modèle à unmode, de l’état initial considéré (le vide), de la linéarité des opérateurs de saut C m et de la quadraticité du hamiltonien H en les quadratures des modes. L’équation stochastique (53) admet donc comme solution exacte l’ansatz gaussiengénéralisant celui de l’équation (57), h p α , p β , x c | φ ( t ) i = φ ( q , t ) = [8 π det u ( t )] / exp (cid:26) − [ q − ¯ q ( t )] · u ( t ) [ q − ¯ q ( t )] (cid:27) ≡ e − S (70)16 Γ sq t < P α > σ = S / ( S / Γ s q1 / ) & V a r σ = S ( P α ) (a) ( N tot + N tot )/(2 t ) = P a C (b) γ f t < P a > σ = S / ( S / Γ s q1 / ) & V a r σ = S ( P a ) r=0r=1/10r=1/5r=1/2r=1r=2r=5r= ∞ (c) (c)F igure P α du spin nucléaire hybridé conditionnées au signald’homodynage intégré σ , en fonction du temps d’intégration t . Traits pleins : expressions analytiques (61). Tiretés :expressions (99) et (100) en présence de décohérence (tireté long : (cid:15) = / (cid:15) = /
10, avec (cid:15) = γ α / Γ sq et γ α le taux de décohérence ramené (95)). (b) Dans le modèle à trois modes, pour Γ sq t =
5, moyenne et écart-type de la quadrature P a du spin nucléaire conditionnées à l’appartenance du signal σ à une classe C , l’intervalle devaleurs de σ/ p Γ sq ayant été partagé en 10 classes de même largeur. L’écart-type est représenté sous la forme d’unintervalle de confiance. En noir : simulation numérique de l’équation stochastique (53) avec 1079 réalisations. Tiretévert et zone colorée : résultats exacts tirés des relations (82) et (83), et de l’expression analytique de la distributionde probabilité conditionnelle de ¯ P a en termes des variances et covariance (89) sur le modèle de l’équation (65).L’écart entre numérique et analytique dans les classes extrêmes est imputable aux faibles nombres de réalisationstombant dans ces classes. Valeurs des paramètres : Ω /κ = / γ m /κ = / γ f /κ = / Γ sq /κ = / Γ sq → Γ sq / γ f fixé du modèle à trois modes, moyenne et variance conditionnelles de P a (91) enfonction du temps réduit γ f t , pour di ff érentes valeurs du rapport r = Γ sq /γ f (courbes croissantes : moyenne, courbesdécroissantes : variance).où u est une matrice 3 × q est un vecteur à trois composantes réelles, les coordonnées q α = p α et q β = p β sont dans l’espace de Fourier (base propre de la quadrature P ) et la coordonnée q c = x c est dans l’espace despositions (base propre de la quadrature X ). La seule astuce ici était de choisir comme opérateur de saut d’échange demétastabilité C β = √ γ β i β ; ce choix de phase, qui ne change bien entendu pas l’équation pilote (24), reste légitimepour l’évolution conditionnée à la détection homodyne du champ car les sauts de métastabilité ne sont pas mesurés.Dans la représentation mixte de la fonction d’onde (70), le hamiltonien H est alors imaginaire pur et les opérateurs desaut sont réels, d’où l’ansatz réel (70). Pour obtenir les équations du mouvement sur u et ¯ q , nous calculons de deux manières di ff érentes la variationrelative d φ ( q , t ) /φ ( q , t ) de la fonction d’onde, d’une part en la reliant à la variation d S de la quantité S dans (70),séparée en une partie déterministe d S d et une partie de bruit d S b , d’autre part en reportant l’ansatz (70) dans l’équationstochastique (53). En identifiant les parties déterministes et les parties bruitées des deux formes qui en résultent, nousobtenons − d S b = γ / β ∂ q β S − q β + ¯ q β ! d ζ β − κ / ∂ q c S − q c + ¯ q c ! d ζ c (71) − d S d +
12 (d S b ) = ( Ω α q α + Ω β q β ) d t ∂ q c S − γ β d t ( q β − + (cid:20) ∂ q β S − (cid:16) ∂ q β S (cid:17) (cid:21) + ¯ q β (cid:16) ∂ q β S − q β (cid:17) + ¯ q β ) − κ d t ( q c − + (cid:20) ∂ q c S − (cid:16) ∂ q c S (cid:17) (cid:21) + ¯ q c (cid:16) ∂ q c S − q c (cid:17) + ¯ q c ) (72)Il reste à reporter dans (72) l’expression de d S b tirée de (71), en appliquant la règle d’Ito de remplacement des carrésdes bruits par leur moyenne, puis à identifier les termes de degré 2 en q − ¯ q pour obtenir l’équation linéaire purement
13. Par exemple, i β = i( X β + i P β ) est représenté en impulsion par l’opérateur réel − ∂ p β / − p β , et β † β par − ∂ p β / + p β − / u : d u αα = − Ω α d t u α c d u αβ = − d t γ β u αβ + Ω β u α c + Ω α u β c ) d u α c = − d t κ u α c + Ω α u cc )d u ββ = − Ω β d t u β c + γ β d t (1 − u ββ ) d u β c = − d t γ β + κ ) u β c + Ω β u cc ] d u cc = κ d t (1 − u cc ) (73)et les termes de degré 1 en q − ¯ q pour obtenir l’équation linéaire stochastique sur ¯ q :d ¯ q = − γ β Ω α Ω β − κ d t ¯ q +
12 [Id − c ( t )] γ / β d ζ β ( t ) − κ / d ζ c ( t ) (74)Faut-il le préciser, ¯ q est le vecteur des moyennes quantiques des variables q dans le vecteur d’état (70) ; par ailleurs,on a introduit la notation c pour la matrice inverse de u , qui n’est autre que la matrice de covariance quantique des q àun facteur numérique près. On a donc : h φ ( t ) | q i | φ ( t ) i = ¯ q i ( t ) et h φ ( t ) | q i q j | φ ( t ) i = ¯ q i ( t ) ¯ q j ( t ) + c ij ( t ) ∀ i , j ∈ { α, β, c } avec c ( t ) = [ u ( t )] − (75)Le système di ff érentiel (73) s’intègre aisément pour la condition initale u (0) = Id : u αα ( t ) = + Ω α t κ − Ω α κ (cid:16) − e − κ t / (cid:17) (76) u αβ ( t ) = Ω α Ω β γ β γ β + κ + κ ! (cid:16) − e − γ β t / (cid:17) + Ω α Ω β κ ( κ − γ β ) (cid:16) e − κ t / − e − γ β t / (cid:17) + Ω α Ω β κ ( γ β + κ ) (cid:16) e − ( γ β + κ ) t / − e − γ β t / (cid:17) (77) u α c ( t ) = − Ω α κ (cid:16) − e − κ t / (cid:17) (78) u ββ ( t ) = + Ω β γ β ( γ β + κ ) (cid:16) − e − γ β t (cid:17) − Ω β κ − γ β (cid:16) e − γ β t − e − ( γ β + κ ) t / (cid:17) (79) u β c ( t ) = − Ω β γ β + κ (cid:16) − e − ( γ β + κ ) t / (cid:17) (80) u cc ( t ) = q décrit un mouvement brownien (partiellement amorti car la matrice de frottement dans (74) est de valeurspropres 0, γ β / κ/ , t ] σ s’en déduit parintégration, ces variables aléatoires ont une statistique gaussienne et nous pouvons reproduire le raisonnement de lasection 4.2.2. Nous trouvons pour la moyenne et la variance conditionnelles de la quadrature P a du spin nucléairesachant que σ = S : h P a i σ = S = h σ ( t ) ¯ P a ( t ) i stoch h σ ( t ) i stoch S (82)Var σ = S ( P a ) = Ω β Ω c αα ( t ) + Ω α Ω c ββ ( t ) − Ω α Ω β Ω c αβ ( t ) + h ¯ P a ( t ) i stoch − h σ ( t ) ¯ P a ( t ) i h σ ( t ) i stoch = − h σ ( t ) ¯ P a ( t ) i h σ ( t ) i stoch (83)L’expression entre crochets dans l’équation (83) est l’élément de matrice de c ( t ) dans le vecteur ( Ω β / Ω , − Ω α / Ω , a dans la base tournée. Le premier terme au second membre est donc la variance
14. On remarque que les termes quadratiques en u au second membre de (72) se compensent avec ceux de (d S b ) / O , d h O i = (d t / i ~ ) h [ O , H ] i + (d t / P m h C † m [ O , C m ] + h.c. i + P m [ h OC m + h.c. i − h C m + C † m ih O i ]d ζ m , en la spécialisant aux cas O = P α , O = P β et O = X c . P a dans l’état stochastique φ ( t ), dépendant du temps mais, rappelons-le, indépendante de la réalisationparticulière de φ ( t ). L’expression simplifiée au troisième membre découle de la propriété (20) sur la moyenne nonconditionnelle h P a i ( t ) = / h P a i ( t ) = h h φ ( t ) | P a | φ ( t ) i i stoch = h h φ ( t ) | P a | φ ( t ) i − h φ ( t ) | P a | φ ( t ) i + h φ ( t ) | P a | φ ( t ) i i stoch = h Var φ ( t ) P a i stoch + h ¯ P a ( t ) i stoch (84)Il reste, pour déterminer les variance et covariance des variables aléatoires ¯ P a ( t ) et σ ( t ), à calculer leurs amplitudessur les processus stochastiques d ζ β ( t ) et d ζ c ( t ), en intégrant formellement l’équation (74) par la méthode de variationde la constante pour ¯ P a et ¯ X c , et en procédant comme dans l’équation (67) pour σ : p β ( t , t ) = − γ / β ( Ω β Ω c αβ ( t ) + Ω α Ω [1 − c ββ ( t )]e − γ β ( t − t ) / ) (85) p c ( t , t ) = κ / ( Ω β Ω c α c ( t ) − Ω α Ω c β c ( t )e − γ β ( t − t ) / ) (86) σ β ( t , t ) = ( γ β κ ) / t ( − c αβ ( t )[ t − t − f κ ( t − t )] Ω α κ + [1 − c ββ ( t )][ f γ β ( t − t ) − f κ ( t − t )] Ω β κ − γ β − c β c ( t ) f κ ( t − t ) ) (87) σ c ( t , t ) = t − κ t ( − c α c ( t )[ t − t − f κ ( t − t )] Ω α κ − c β c ( t )[ f γ β ( t − t ) − f κ ( t − t )] Ω β κ − γ β + [1 − c cc ( t )] f κ ( t − t ) ) (88)où f λ ( τ ) ≡ [1 − exp( − λτ/ / ( λ/ h σ ( t ) ¯ P a ( t ) i stoch = Z t d t [ p β ( t , t ) σ β ( t , t ) + p c ( t , t ) σ c ( t , t )] ; h σ ( t ) i stoch = Z t d t [ σ β ( t , t ) + σ c ( t , t )] ; h ¯ P a ( t ) i stoch = Z t d t [ p β ( t , t ) + p c ( t , t )] (89)On déduit de ces résultats les limites aux temps longs h P a i σ = S → t → + ∞ γ m γ f + γ m ! / S Γ / ; Var σ = S ( P a ) → t → + ∞ γ f γ f + γ m (90)avec lesquelles les prédictions (69) du modèle à un mode, pourtant obtenues dans la limite de couplage faible (22),sont en accord parfait.En application de notre solution analytique du modèle à trois modes, faisons tendre le taux Γ sq vers zéro à tempsréduit τ = Γ sq t fixé en maintenant (contrairement au modèle à un mode) le rapport Γ sq /γ f à une valeur constante noninfinitésimale. La motivation physique est claire : dans les expériences projetées [10], γ f et Γ sq sont du même ordre degrandeur mais sont vraiment beaucoup plus petits que γ m et κ (par des facteurs ≈ − et 10 − ). Nous trouvons danscette limite : h P a i σ = S ∼ Γ gensq t + Γ gensq t S Γ / et Var σ = S ( P a ) ∼
14 11 + Γ gensq t (91)
16. Donnons quelques résultats et considérations intermédiaires. (i) Alors que c ββ ( t ), c β c ( t ) et c cc ( t ) ont une limite finie lorsque t → + ∞ [onaura besoin de c ββ ( + ∞ ) = (1 + ρ ) − , c β c ( + ∞ ) = Ω β / (( γ β + κ )(1 + ρ )) avec ρ = Ω β κ/ ( γ β ( γ β + κ ) ) ], c αα ( t ), c αβ ( t ) et c α c ( t ) tendent vers zérocomme 1 / t . (ii) Dans une intégrale sur t contenant le facteur exponentiel exp[ − γ β ( t − t ) /
2] ou son carré, on peut remplacer la fonction qui lemultiplie par sa limite en t = + ∞ . (iii) Pour toute fonction uniformément bornée w ( t , t ), on peut montrer pour ν ∈ { β, c } que R t d t [( t − t ) c αν ( t ) + w ( t , t )] / t → R + ∞ d t c αν ( t ). (iv) On obtient alors les limites asymptotiques h P a ( t ) i stoch → ( Ω β / Ω ) I + ( Ω α / Ω ) ρ/ (1 + ρ ), h σ ( t ) i stoch → ( Ω α / κ ) I , h σ ( t ) ¯ P a ( t ) i stoch → ( Ω α Ω β / Ω κ / ) I où I ≡ R + ∞ d t [ γ β c αβ ( t ) + κ c α c ( t )]. Nous déduisons ainsi (90) de (82) et de la première égalitédans (83), sans avoir besoin de connaître la valeur de I . On tire de la seconde égalité dans (83) le résultat I =
1, que l’on peut déduire aussi del’équation du mouvement d c αα / d t = − γ β c αβ − κ c α c intégrée entre t = t = + ∞ .17. En pratique, il su ffi t de faire tendre Ω α vers zéro à τ = Γ sq t > Ω β , γ β et κ fixés. En particulier, ceci fait disparaître tous les transitoiresexponentiels. Pour simplifier les calculs, il est utile d’introduire la quantité ρ = Ω κ/ [2 γ m ( κ + γ m ) ] si bien que ρ = ( Γ sq / γ f )(1 + γ m /κ ) − dansla limite γ f →
19ù l’on a introduit le taux de compression vrai ou généralisé Γ gensq ≡ Γ sq + γ f ! − (92)On retrouve l’adimensionnement naturel du signal par Γ / déjà constaté dans le modèle à un mode et les mêmesformes fonctionnelles en temps, mais on perd toute relation de proportionnalité de type (68), la variance conditionnellede ¯ P a étant désormais . Nous représentons sur la figure 7c la dépendance en le temps adimensionné γ f t de lamoyenne et de la variance conditionnelles (91) pour di ff érentes valeurs du rapport r = Γ sq /γ f . On remarque quele processus de compression est d’autant plus rapide que r est plus grand, et qu’il sature à un comportement limite.C’était prévisible, car Γ gensq est une fonction croissante de r de limite finie ; à temps fixé, la moyenne conditionnelle(en unités de S / Γ / ) est donc une fonction croissante et la variance conditionnelle une fonction décroissante de r ,comme on le voit sur la figure 7c. Plus précisément, dans la limite de couplage faible Ω →
0, où r →
0, le taux decompression généralisé est équivalent au taux Γ sq , en accord avec le modèle à un mode, et dans la limite r → + ∞ , ilsature à la valeur γ f /
2. On ne peut donc comprimer plus rapidement qu’au taux γ f , ce qui n’est pas surprenant : on nepeut espérer réduire les fluctuations du spin nucléaire avant que chaque atome dans l’état fondamental n’ait subi enmoyenne au moins une collision d’échange de métastabilité. ff et de la décohérence Pour être complets, nous tenons compte, dans le schéma de compression homodyne, de la durée de vie finie (2 γ ) − des atomes métastables, qui se désexcitent lorsqu’ils atteignent les parois de la cellule après un mouvement di ff usifdans la vapeur. À cette fin, nous ajoutons un opérateur de saut p γ b à l’équation pilote à trois modes (19). Commela partie autre que hamiltonienne hermitienne reste quadratique en les quadratures des modes, elle peut être mise sousforme réduite par une rotation appropriée des modes atomiques, comme nous l’avions fait déjà dans la section 3.4 : ilfaut décomposer ( a , b ) dans la base propre orthonormale de la matrice des taux Γ = γ f − √ γ f γ m − √ γ f γ m γ + γ m ) ! (93)avec des coe ffi cients à valeur opérateur α et β . La direction β reste celle de la valeur propre maximale γ β de Γ , et α celle de la valeur propre minimale γ α , désormais non nulle. Ceci conduit à l’équation piloted ρ d t = ~ h ~ ( Ω α P α + Ω β P β ) P c , ρ i + κ c ρ c † − { c † c , ρ } ! + γ α αρα † − { α † α, ρ } ! + γ β βρβ † − { β † β, ρ } ! (94)La nouvelle expression des pulsations de Faraday Ω α , Ω β et des taux γ α , γ β se trouve dans l’Annexe B, qui donneaussi l’expression analytique de la moyenne et de la variance de la quadrature P a du spin nucléaire conditionnées ausignal homodyne intégré, en toute généralité. Nous nous restreignons ici à la limite physiquement utile γ (cid:28) γ m (ona toujours γ f < γ m ). À l’ordre le plus bas en γ , les coe ffi cients Ω α , Ω β et γ β restent inchangés, et l’on a γ α ’ γ γ f γ m + γ f (95)ce qui n’est autre que le taux de décohérence ramené dans le spin nucléaire hybridé. De plus, nous nous plaçons dansla limite (22), avec γ α = O ( Γ sq ), ce qui permet d’évaluer l’e ff et de la décohérence en utilisant le modèle à un mode,dont l’obtention reste la même que dans la section 3.4. L’équation stochastique (56) est complétée comme suit,d | φ ( t ) i = − Γ sq d t P α − ¯ P α ) | φ ( t ) i + q Γ sq d ζ s ( t )( P α − ¯ P α ) | φ ( t ) i− γ α d t α † α +
2i ¯ P α α + ¯ P α ) | φ ( t ) i + √ γ α d ζ α ( t )(i α + ¯ P α ) | φ ( t ) i (96)
18. On a en e ff et Var σ = S ( ¯ P a ) ∼ Γ sq t / [4(1 + Γ sq t )] − Γ gensq t / [4(1 + Γ gensq t )]. γ / α i α comme opérateur de saut de la décohérence ramenée (la justification est lamême que dans la section 4.2.3, les sauts de décohérence n’étant pas mesurés), ce qui permet de résoudre l’équationpar le même ansatz gaussien réel (57). Nous trouvons cette foisd u = [ Γ sq + γ α (1 − u )]d t = ⇒ u ( τ ) = + − exp( − (cid:15)τ ) (cid:15) (97)d ¯ P α = − γ α ¯ P α d t + p Γ sq d ζ s + √ γ α ( u − ζ α u (98)où nous avons posé τ = Γ sq t et (cid:15) = γ α / Γ sq . Les mêmes arguments de gaussianité que dans la section 4.2.2 conduisentaux mêmes dépendances en le signal S de la moyenne et de la variance conditionnelles, h P α i σ = S = m ( τ ) S p Γ sq avec m ( τ ) = q Γ sq h σ ( t ) ¯ P α ( t ) i stoch h σ ( t ) i stoch (99)Var σ = S ( P α ) = V ( τ ) avec V ( τ ) = − h σ ( t ) ¯ P α ( t ) i h σ ( t ) i stoch (100)et les variance et covariance prises sur les processus stochastiques d ζ s et d ζ α , h σ i stoch Γ sq = Z τ d τ τ " + − e (cid:15) ( τ − τ ) / (cid:15) u ( τ ) + [ u ( τ ) − u ( τ ) h − e (cid:15) ( τ − τ ) / i (cid:15) = (cid:15)τ − − e − (cid:15)τ/ ) (cid:15) τ + τ (101) h σ ¯ P α i stoch p Γ sq = Z τ d τ τ e (cid:15) ( τ − τ ) / u ( τ ) ( + − e (cid:15) ( τ − τ ) / (cid:15) u ( τ ) + [ u ( τ ) − u ( τ ) h − e (cid:15) ( τ − τ ) / i) = − e − (cid:15)τ/ (cid:15)τ (102)Ces expressions permettent d’évaluer facilement l’e ff et de la décohérence sur la compression de spin, voir les tiretéssur la figure 7a. Pour le cas utile en pratique d’une faible décohérence (cid:15) (cid:28) /γ α , ellespeuvent être développées au premier ordre en (cid:15) : m ( τ ) = τ + τ − (cid:15) ( τ + τ τ + + O ( (cid:15) τ ) ; V ( τ ) = τ + + (cid:15) ( τ + / τ τ + + O ( (cid:15) τ ) (103)On en déduit que la compression optimale sur P α est obtenue à un temps t opt ∼ (3 / Γ sq γ α ) / et correspond à unevariance conditionnelle V opt ∼ ( γ α / Γ sq ) / . Remarquons qu’on introduit souvent, dans les études de compressionde spin dans les gaz d’atomes alcalins en cavité, la coopérativité C du système couplé atome-champ, définie comme lecarré de la pulsation de couplage divisé par les taux de décroissance des états couplés [26]. En ce sens, la coopérativitédu système spin nucléaire hybridé-champ vaut C ≡ Ω α κγ α = Γ sq γ α ’ Ω γ κ (104)si bien que nous retrouvons la loi d’échelle d’exposant − /
2, habituelle dans les alcalins, reliant la variance de spinoptimale à C [26]. Plus généralement, la décohérence a un e ff et faible sur la compression du spin nucléaire tant qu’onreste à des temps courts devant t opt . Le lecteur trouvera en fin d’Annexe B une extension de ces lois d’échelle au-delàdu modèle à un mode, c’est-à-dire pour un rapport Γ sq /γ f quelconque, non infinitésimal ; c’est elle qui a été retenuedans le résumé de l’article. Le lien entre V opt et la coopérativité (104) est alors rompu. Annexe A. Traitement semi-classique et réduction à trois spins couplés
Nous donnons ici les équations non linéaires qui décrivent la dynamique du système dans la théorie semi-classique,et nous les linéarisons pour de faibles fluctuations autour d’une solution stationnaire partiellement polarisée.
19. Nous avons simplifié l’expression (100) à l’aide de l’identité [4 u ( τ )] − + h ¯ P α i stoch = /
4, qui résulte comme dans l’équation (84) du fait quela moyenne inconditionnelle h P α i = /
4, même en présence de décohérence. quations semi-classiques non linéaires. En partant des considérations et des notations de la section 2, nous prenonsla moyenne des équations du mouvement de Heisenberg dans l’état quantique du système et e ff ectuons l’approxima-tion de décorrélation (dite semi-classique en optique quantique) h AB i ’ h A ih B i où A et B sont deux opérateurs, pourobtenir les équations d’évolution non linéaires suivantes sur les moyennes de ~ S spin de Stokes du champ lumineux encavité, ~ I spin nucléaire collectif dans l’état fondamental, ~ J et ~ K spins collectifs associés aux multiplicités F = / F = / ~~ Q tenseur d’alignement collectif dans F = /
2, de composantes cartésiennes Q αβ :d h S x i d t = − κ (cid:18) h S x i − n ph (cid:19) − χ h K z ih S y i d h S y i d t = − κ h S y i + χ h K z ih S x i d h S z i d t = − κ h S z i (A.1)d h K x i d t = d h K x i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ECH − χ h K y ih S z i d h K y i d t = d h K y i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ECH + χ h K x ih S z i d h K z i d t = d h K z i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ECH (A.2)d h ~ J i d t = d h ~ J i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ECH d h Q αβ i d t = d h Q αβ i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ECH d h ~ I i d t = d h ~ I i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ECH (A.3)Les termes proportionnels au taux de perte κ des miroirs de la cavité font relaxer h S x i vers sa valeur stationnaire h S x i s = n ph / Ox injecté dans la cavité, et les moyennes transverses h S y i et h S z i vers zéro. Les termes proportionnels au couplage de Faraday χ entre le mode de cavité et le spin ~ K dériventde l’hamiltonien (2). La contribution des collisions d’échange de métastabilité (ECH) entre atomes fondamentaux etmétastables se déduit directement de l’équation pilote sur l’opérateur densité à un atome des références [13, 14] parsimple multiplication ou division par le nombre total de fondamentaux N cell ou métastables n cell dans la cellule : d h ~ K i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ECH = − τ h ~ K i + τ h ~ J i − τ n cell N cell h ~ I i − τ N cell h ~~ Q i · h ~ I i (A.4)d h ~ J i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ECH = − τ h ~ J i + τ h ~ K i + τ n cell N cell h ~ I i + τ N cell h ~~ Q i · h ~ I i (A.5)d h Q αβ i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ECH = − τ h Q αβ i + τ N cell h I α ih Σ β i + h I β ih Σ α i − δ αβ h ~ I i · h ~ Σ i ! (A.6)d h ~ I i d t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ECH = − T h ~ I i + T N cell n cell ( h ~ J i − h ~ K i ) (A.7)où h ~ Σ i = h h ~ J i + h ~ K i i est la valeur moyenne du spin électronique dans l’état métastable. On se reportera aux équa-tions (1.37b), (1.37a), (1.39) et (1.25) de la référence [14] (en tenant compte d’un écart d’un facteur 6 sur la définitiondu tenseur d’alignement), ou aux équations (VIII.30), (VIII.29), (VIII.32) et (VIII.15) (en ajoutant un facteur de Kro-necker δ αβ omis dans (VIII.32)). Ici 1 /τ et 1 / T , les taux individuels des collisions d’échange de métastabilité subiespar un atome dans l’état métastable et dans l’état fondamental, sont dans le rapport T /τ = N cell / n cell puisque, dansl’unité de temps, un nombre égal d’atomes fondamentaux et d’atomes métastables ont subi une collision d’échange[13, 14]. Solution stationnaire partiellement polarisée.
Dans un état stationnaire polarisé de polarisation nucléaire η ∈ [0 , h I x i s = η N cell h I y i s = h I z i s = h S x i s = n ph h S y i s = h S z i s = Ox contraint les spins moyens à être alignés selon Ox , et le tenseur d’alignement moyenà être diagonal dans la base cartésienne, avec des valeurs propres égales selon les directions Oy et Oz . Le système(A.1)-(A.3) admet ainsi une solution stationnaire avec comme seules moyennes non nulles dans l’état métastable : h K x i s = η − η + η n cell ; h J x i s = η + η + η n cell ; h Σ x i s = η + η n cell ; h Q yy i s = h Q zz i s = − h Q xx i s = − η h Σ x i s (A.9)
20. Les moyennes collectives sont en e ff et reliées comme suit aux moyennes à un atome h i at : h ~ I i = N cell h ~ I i at , h ~ J i = n cell h ~ J i at , h ~ K i = n cell h ~ K i at , h ~~ Q i = n cell h ~~ Q i at , h ~ Σ i = n cell h ~ Σ i at . quations semi-classiques linéarisées. On linéarise maintenant les équations (A.1)-(A.3) en les fluctuations clas-siques autour de la solution stationnaire (A.8)-(A.9) en e ff ectuant la substitution h A i → h A i s + δ A et en traitant δ A au premier ordre. En nous limitant au sous-espace des fluctuations transverses, c’est-à-dire aux directions α = y , z orthogonales aux spins moyens, nous obtenons un système fermé :dd t δ S α = − κ δ S α + χδ α y h S x i s δ K z (A.10)dd t δ K α = − τ δ K α + τ δ J α − η τ δ Q α x − T + n cell h Q αα i s ! δ I α + χδ α y h K x i s δ S z (A.11)dd t δ J α = − τ δ J α + τ δ K α + η τ δ Q α x + T + n cell h Q αα i ! δ I α (A.12)dd t δ Q α x = − τ δ Q α x + η τ δ Σ α + T n cell h Σ x i s δ I α (A.13)dd t δ I α = − T δ I α + τ ( δ J α − δ K α ) (A.14) Réduction à trois spins collectifs couplés.
En posant dd t δ J α = dd t δ Q α x = ~ J et du tenseur d’alignement collectif dontles évolutions sont régies par l’échange de métastabilité uniquement : δ J adiab α = + η − η δ K α + τ T + η (3 + η )(8 − η ) δ I α ; δ Q adiab α x = η − η δ K α + τ T η (13 + η )(3 + η )(8 − η ) δ I α (A.15)Le report des expressions adiabatiques (A.15) dans les équations (A.11) et (A.14) sur δ K α et δ I α conduit dans lecorps de l’article au système réduit (5)-(7) couplant les fluctuations des trois spins (3), où γ f et γ m , les taux e ff ectifsd’échange de métastabilité entre le spin nucléaire et le spin F = / Annexe B. Solution du modèle à trois modes avec décohérence pour la détection homodyne
Nous donnons ici la solution analytique du modèle à trois modes en présence de décohérence, voir l’équationpilote (94), pour une évolution du système conditionnée à une mesure homodyne en continu du champ sortant de lacavité. La valeur des coe ffi cients γ α , γ β , Ω α et Ω β , ainsi que des opérateurs d’annihilation α et β , se déduit d’unediagonalisation de la matrice des taux (93). Les taux γ α et γ β en sont les valeurs propres rangées par ordre croissant : γ α,β = γ m + γ f + γ ∓ [( γ m + γ f + γ ) − γ f γ ] / (B.1)En termes des pulsations de Faraday Ω α et Ω β , les vecteurs propres normalisés correspondants s’écrivent ( Ω β / Ω , Ω α / Ω )et ( − Ω α / Ω , Ω β / Ω ), si bien que α = ( Ω β a + Ω α b ) / Ω et β = ( Ω β b − Ω α a ) / Ω avec Ω α = Ω ( γ f − γ α / γ m γ f + ( γ f − γ α / ] / ; Ω β = Ω √ γ m γ f [ γ m γ f + ( γ f − γ α / ] / (B.2)dans un choix de signe assurant que α → a et β → b lorsque γ f → γ →
0. Puisquel’opérateur de saut C α ∝ α décrit des processus non mesurés, nous pouvons, comme nous l’avons fait pour C β , leprendre de la forme √ γ α i α et réutiliser l’ansatz gaussien réel (70) afin de résoudre l’équation stochastique (53) sur levecteur d’état. Dans l’équation d’évolution sur la matrice u , les indices α et β jouent désormais des rôles symétriqueset l’on obtientd u αα = − Ω α d t u α c + γ α d t (1 − u αα ) d u αβ = − d t γ α + γ β ) u αβ + Ω β u α c + Ω α u β c ] d u α c = − d t γ α + κ ) u α c + Ω α u cc ]d u ββ = − Ω β d t u β c + γ β d t (1 − u ββ ) d u β c = − d t γ β + κ ) u β c + Ω β u cc ] d u cc = κ d t (1 − u cc ) (B.3)23ont la solution pour la condition initiale u (0) = Id s’écrit u αα ( t ) = + Ω α γ α ( κ + γ α ) (cid:16) − e − γ α t (cid:17) − Ω α κ − γ α (cid:16) e − γ α t − e − ( κ + γ α ) t / (cid:17) (B.4) u αβ ( t ) = Ω α Ω β γ α + γ β κ + γ α + κ + γ β ! (cid:16) − e − ( γ α + γ β ) t / (cid:17) + Ω α Ω β ( κ − γ β )( κ + γ α ) (cid:16) e − ( κ + γ α ) t / − e − ( γ α + γ β ) t / (cid:17) + Ω α Ω β ( κ − γ α )( κ + γ β ) (cid:16) e − ( κ + γ β ) t / − e − ( γ α + γ β ) t / (cid:17) (B.5) u α c ( t ) = − Ω α κ + γ α (cid:16) − e − ( κ + γ α ) t / (cid:17) (B.6) u ββ ( t ) = + Ω β γ β ( κ + γ β ) (cid:16) − e − γ β t (cid:17) − Ω β κ − γ β (cid:16) e − γ β t − e − ( κ + γ β ) t / (cid:17) (B.7) u β c ( t ) = − Ω β κ + γ β (cid:16) − e − ( κ + γ β ) t / (cid:17) (B.8) u cc ( t ) = q obéit à l’équation stochastiqued ¯ q = − γ α − γ β Ω α Ω β − κ d t ¯ q +
12 [Id − c ( t )] γ / α d ζ α ( t ) γ / β d ζ β ( t ) − κ / d ζ c ( t ) (B.10)La moyenne non conditionnelle h P a i valant toujours 1 /
4, la moyenne et la variance de P a conditionnées au signalhomodyne intégré restent données par les équations (82) et (83), en généralisant les expressions (89) des variances etcovariance des variables aléatoires ¯ P a ( t ) et σ ( t ) au cas de trois processus stochastiques indépendants d ζ α ( t ), d ζ β ( t ) etd ζ c ( t ) comme suit : h σ ( t ) ¯ P a ( t ) i stoch = Z t d t X ν ∈{ α,β, c } p ν ( t , t ) σ ν ( t , t ) ; h σ ( t ) i stoch = Z t d t X ν ∈{ α,β, c } σ ν ( t , t ) ; h ¯ P a ( t ) i stoch = Z t d t X ν ∈{ α,β, c } p ν ( t , t ) (B.11)avec les expressions compactes des amplitudes correspondantes p ν ( t , t ) = ( − δ ν c √ γ ν Ω n Ω β e − γ α ( t − t ) / [ δ αν − c αν ( t )] − Ω α e − γ β ( t − t ) / [ δ βν − c βν ( t )] o (B.12) σ ν ( t , t ) = δ ν c t + ( − δ ν c √ κγ ν t [ δ c ν − c c ν ( t )] f κ ( t − t ) + X µ ∈{ α,β } Ω µ κ − γ µ [ δ µν − c µν ( t )][ f γ µ ( t − t ) − f κ ( t − t )] (B.13)L’indice ν court sur les trois valeurs α , β , c et l’on a posé γ c = κ . La fonction δ est celle de Kronecker, et la fonction f λ est la même que dans les équations (85)-(88).La solution générale que nous venons d’exposer comporte les cinq taux γ α , Γ sq = Ω α /κ, γ f d’une part, γ β , κ d’autrepart. Le régime pertinent expérimentalement est celui où les deux derniers sont « infiniment » plus grands que les troispremiers et ne contribuent qu’au travers de régimes transitoires inobservables. Mathématiquement, on accède à cettelimite en faisant tendre γ f vers zéro à κ, γ m , γ et Ω fixés et à τ = Γ sq t > Γ sq /γ f → Ω γ m / [ κ ( γ + γ m ) ] et γ α /γ f → γ / ( γ + γ m ), le taux γ β se réduit à γ ≡ γ + γ m ) et le couplage de Faraday Ω β à Ω . Tous les transitoiresexponentiels disparaissent dans les éléments de matrice (B.4)-(B.8) de u sauf ceux relaxant au taux γ α . Les amplitudes24B.12) et (B.13) sur les processus stochastiques se réduisent à p α ( t , t ) p Γ sq = u ( τ ) − u ( τ ) √ (cid:15) e − (cid:15) ( τ − τ ) / σ α ( t , t ) Γ sq = u ( τ ) − τ u ( τ ) √ (cid:15) − e − (cid:15) ( τ − τ ) / (cid:15) (B.14) p β ( t , t ) p Γ sq = √ ρ (1 + ρ ) u ( τ ) e − (cid:15) ( τ − τ ) / σ β ( t , t ) Γ sq = √ ρ (1 + ρ ) τ " u ( τ ) 1 − e − (cid:15) ( τ − τ ) / (cid:15) + ρ + γκ ( ρ − (B.15) p c ( t , t ) p Γ sq = (1 − ρ )2(1 + ρ ) u ( τ ) e − (cid:15) ( τ − τ ) / σ c ( t , t ) Γ sq = τ " + − ρ + ρ u ( τ ) 1 − e − (cid:15) ( τ − τ ) / (cid:15) + ρ + ρ + γκ ! (B.16)où (cid:15) = γ α / Γ sq comme dans la section 4.2.4, la fonction u ( τ ) est donnée par l’équation (97) et la notation ρ = Ω κ/ [ γ ( κ + γ ) ] généralise celle de la note 17. Les relations (82) et (83) restent valables, avec les nouvelles expressions desvariance et covariance h σ i stoch Γ sq = (cid:15)τ − − e − (cid:15)τ/ ) (cid:15) τ + Γ sq τ Γ gensq et h σ ¯ P a i stoch p Γ sq = − e − (cid:15)τ/ (cid:15)τ (B.17)et du taux de compression vrai ou généralisé Γ gensq = " Γ sq + γ + γ m ) γ f γ m − (B.18)qui reproduisent les variance et covariance (101) et (102) du modèle à un mode avec décohérence lorsque Γ sq /γ f → γ →
0. Les nouveauxrésultats peuvent être simplifiés dans la limite utile de faible décohérence ramenée γ α / Γ sq → (cid:15) , ce qui permet de généraliser comme suit les résultats (103) sur la moyenne et la varianceconditionnelles à une valeur de Γ sq /γ f non infinitésimale : m ( t ) = Γ gensq t + Γ gensq t − γ α Γ gensq (3 + Γ gensq t )( Γ gensq t ) + Γ gensq t ) + O [( γ α t ) ] (B.19) V ( t ) = + Γ gensq t ) + γ α Γ gensq ( Γ gensq t + / Γ gensq t ) + Γ gensq t ) + O [( γ α t ) ] (B.20)Cette généralisation revient simplement à remplacer τ par Γ gensq t et (cid:15) par γ α / Γ gensq dans les seconds membres de (103). La compression optimale sur P a est alors obtenue au bout d’un temps t opt ∼ (3 / Γ gensq γ α ) / et correspond à une varianceconditionnelle Var opt σ = S ( P a ) ∼ ( γ α / Γ gensq ) / . Références [1] J. MacFall, H. Charles, R. Black, H. Middleton, J. Swartz, B. Saam, B. Driehuys, C. Erickson, W. Happer, G. Cates, G. Johnson, C. Ravin,« Human lung air spaces: potential for MR imaging with hyperpolarized He-3 »,
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6] G. Reinaudi, A. Sinatra, A. Dantan, M. Pinard, « Squeezing and entangling nuclear spins in helium 3 »,
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