On a hidden supersymmetry of cosmological billiards
aa r X i v : . [ m a t h - ph ] F e b ON A HIDDEN SUPERSYMMETRY OF COSMOLOGICAL BILLIARDS
DIMITRY LEITES
A,B ∗ , OLEKSANDR LOZHECHNYK C Abstract.
We list all 97 pairs (almost affine Lie superalgebra, its desuperization = a hyper-bolic Lie algebra). Several (18 of the total 66) hyperbolic Lie algebras have multiple superiza-tions. The tracks of cosmological billiards corresponding to these pairs are the same. Introduction
Cosmological billiards and hyperbolic Lie algebras. Superizations.
Studies ofcosmological models that took superstrings into account revealed a remarkable connection(see [DH, DHJN, DHN]) between hyperbolic Lie algebras with symmetrizable Cartan matricesand the cosmological models demonstrating an oscillatory approximation to singularity, calledBelinski-Khalatnikov-Lifshitz dynamics, see [BKhL, KhK1].Recently, a hidden supersymmetry of these models was observed, see [KKN, DSp].Here we demonstrate completely different hidden supersymmetries of 66 cosmological bil-liards of the total 142 corresponding to symmetrizable Cartan matrix. Namely, there are 97superizations, 18 matrices (billiards) have several superizations each, see list (1).1.2.
Hyperbolic Lie algebras and almost affine Lie superalgebras.
In what follows theground field is C ; all Cartan matrices A are supposed to be indecomposable and normalized sothat A ii = 0 or 1 or 2; moreover, A ij = 0 ⇐⇒ A ji = 0. For details, and the construction of theLie (super)algebras g ( A ) from its Chevalley generators, see [CCLL, GL, BGL, BLS].If the Lie (super)algebra g ( A ) grows polynomially in its Chevalley generators and is not finite-dimensional, it is called an affine Kac–Moody (super)algebra . For the results of classificationsof finite-dimensional and affine Kac-Moody Lie superalgebras with Cartan matrices, see [Se3]and [vdL] for symmetrizable matrices, and [HS] for non-symmetrizable matrices; a generalconjecture on the list of Z -graded Lie superalgebras of polynomial growth (see [LSS, BLS])analogous to Kac’s conjecture proved by O. Mathieu (see [M]) is still open.The affine Kac-Moody Lie algebra is either a double extension (for a succinct definition, see[BLS, BKLS]) of the loop algebra a ℓ (1) with values in a simple finite-dimensional Lie algebra a ,or the double extension of the “twisted” loop algebra a ℓ ( k ) ϕ corresponding to the fixed points ofthe degree k automorphism ϕ of the target Lie algebra a (this ϕ corresponding to a symmetry ofthe Dynkin graph of a ). Each of these affine Kac–Moody algebras has a symmetrizable Cartanmatrix, its Dynkin graph is the extended Dynkin diagram, see [K].In the super case, there are simple target superalgebras b without Cartan matrices, buta double extension of b ℓ ( k ) ϕ may have a Cartan matrix; and the other way round: even if b hasa Cartan matrix, some of the twisted loops b ℓ ( k ) ϕ or their double extensions have no Cartanmatrix, see [BLS]. • A given
Cartan matrix A with entries in the ground field is said to be almost affine if theLie (super)algebra determined by it is not finite-dimensional or affine Kac–Moody, but the Lie Mathematics Subject Classification.
Primary 17B50, 83E50; Secondary 17B20, 83F05.
Key words and phrases.
Hyperbolic Lie algebra, almost affine superalgebra, cosmological billiard.
Dimitry Leites , Oleksandr Lozhechnyk (super)algebra determined by any main submatrix of A , i.e., the submatrix obtained by strikingout any row and any column intersecting on the main diagonal, is a sum of finite-dimensionalor affine Lie (super)algebras. • A given
Lie (super)algebra g ( A ) is almost affine if all Cartan matrices of g ( A ) arealmost affine , see Subsection 1.2.1.The almost affine Lie algebras are usually called hyperbolic (for a reason, see [CCLL]), or“over extended”. The latter term is somewhat confusing since it is applied, actually, not tothe Lie algebra, which is not an extension of any Lie algebra, but to the analog of the Dynkingraph corresponding to the Cartan matrix of this Lie algebra. The Dynkin graph of an affineKac–Moody (super)algebra is called an extention of the Dynkin graph of a finite-dimensionalLie (super)algebra, the Dynkin graph of any hyperbolic Lie algebra is, obviously, an extensionof an extended Dynkin graph.Li Wang Lai was the first to classify all hyperbolic Lie algebras. He gave his answer in termsof analogs of Dynkin graphs, but did not explain either his graphs or the method of getting theanswer. Earlier, Kobayashi and Morita classified hyperbolic Lie algebras with symmetrizableCartan matrix, see [KM]. These results for symmetrizable matrices were double-checked in[BS], where an incomplete but very interesting paper [S] was corrected, and — for any matrices— in the arXiv version of [CCLL].In [CCLL], almost affine Lie superalgebras are classified; the answer is given in terms ofCartan matrices and clearly defined analogs of Dynkin graphs.1.2.1. Warning.
A given Lie superalgebra, though not almost affine, may have an almostaffine Cartan matrix which goes into a not almost affine matrix under an odd reflection. Weare interested in the properties of Lie superalgebra, not in those of one or several of its Car-tan matrices. Ignoring the difference between the two problems (classification of matrices vs.classification of Lie superalgebras) have twice lead to mistakes corrected in [CCLL].1.3.
Non-uniquness of the “superization” procedure.
In this note we intend to find outwhich of the hyperbolic Lie algebras allow a “superization” of the same type as sp (2 n ) does:it is the only simple finite-dimensional Lie algebra which serves as the even part of a Liesuperalgebra with Cartan matrix, namely osp (1 | n ).Observe that the properties of osp (1 | n ) resemble properties of the simple Lie algebras, see[DLZ]; for the same reasons we conjecture that the properties of almost affine Lie superalgebraswe consider here are also close to those of the properties of hyperbolic Lie algebras.The passage sp (2 n ) ←→ osp (1 | n ) is clear: the bottom lines of their Cartan matrices are,respectively, 0 . . . − ←→ . . . − ←→ “superization”,first described by J. van de Leur [vdL], are one–to–one in both directions.For hyperbolic Lie algebras, the correspondences “desuperization” ←→ “superization” arenot one–to–one: the following Lie algebras have at least 2 (in parentheses >
2) superizationseach:(1) H , H , H (3) , H (3) , H (3) , H (5) , H (3) , H (3) ,H (3) , H , H (3) , H (3) , H , H , H , H (3) , H (3) , H . Open question.
The Weyl chamber of the almost affine Lie superalgebra with sym-metrizable Cartan matrix is the same as the Weyl chamber of any of the “desuperizations”.The Weyl chambers of superizations are a bit more spacious than the Weyl chambers of Lie n a hidden supersymmetry of cosmological billiards algebras since, together with some roots α , the Lie superalgebra has roots 2 α . How does this“superization” of the conventional billiard affect the model, cf. [BS, KKN, DSp]?2. The pairs “almost affine Lie superalgebra = ⇒ hyperbolic Lie algebra”forsymmetrizable Cartan matrices In this section we list all pairs “almost affine Lie superalgebra = ⇒ hyperbolic Lie algebra”.In the list below, the first column contains the name of an almost affine Lie superalgebra g ,the second one contains its Cartan matrix, the third one contains the name of the hyperbolicLie algebra, see [CCLL], equal to g ¯0 . The penultimate column contains the Cartan matrix ofa hyperbolic Lie algebra. The last column contains the permutation of rows/columns of thegiven S -matrix after its rows with 1 on the main diagonal are multiplied by 2. In the processwe spotted a typo in [CCLL]: the matrix S is non-symmetrizable, should be denoted N S .We mark the Lie superalgebras with several desuperizations by a !!! . S (cid:18) − − − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } S (cid:18) − − − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } S (cid:18) − − − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } S (cid:18) − − − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } S (cid:18) − − − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − − − (cid:19) S (cid:18) − − − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − − − (cid:19) !!! S (cid:18) − − − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − − − (cid:19) S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) Dimitry Leites , Oleksandr Lozhechnyk S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) { , , } !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) !!! S (cid:18) − − − − (cid:19) H (cid:18) − − − − (cid:19) S − − − − −
10 0 − ! H − − − − −
20 0 − ! { , , , } S − − − − −
20 0 − ! H − − − − −
20 0 − ! { , , , } !!! S − − − − −
10 0 − ! H − − − − −
20 0 − ! { , , , } S − − − − −
10 0 − ! H − − − − −
30 0 − ! { , , , } S − − − − −
10 0 − ! H − − − − −
10 0 − ! S − − − − −
10 0 − ! H − − − − −
20 0 − ! { , , , } S − − − − −
10 0 − ! H − − − − −
10 0 − ! { , , , } !!! S − − − − −
10 0 − ! H − − − − −
10 0 − ! { , , , } !!! S − − − − −
10 0 − ! H − − − − −
20 0 − ! { , , , } n a hidden supersymmetry of cosmological billiards S − − − − −
10 0 − ! H − − − − −
10 0 − ! { , , , } !!! S − − − − −
10 0 − ! H − − − − −
10 0 − ! !!! S − − − − −
10 0 − ! H − − − − −
10 0 − ! { , , , } !!! S − − − − −
10 0 − ! H − − − − −
20 0 − ! { , , , } S − − − − − − − − ! H − − − − − − − − ! { , , , } S − − − − − − − − ! H − − − − − − − − ! { , , , } !!! S − − − − − − − − ! H − − − − − − − − ! { , , , } !!! S − − − − − − − − ! H − − − − − − − − ! { , , , } S − − − − − − ! H − − − − − − ! S − − − − − − ! H − − − − − − ! { , , , } !!! S − − − − − − ! H − − − − − − ! { , , , } S − − − − − − ! H − − − − − − ! { , , , } !!! S − − − − − − ! H − − − − − − ! { , , , } !!! S − − − − − − ! H − − − − − − ! !!! S − − − − − − ! H − − − − − − ! { , , , } !!! S − − − − − − ! H − − − − − − ! { , , , } !!! S − − − − − − ! H − − − − − − ! !!! S − − − − − − ! H − − − − − − ! S − − − − − − − − ! H − − − − − − − − ! S − − − − − − −
10 0 0 − H − − − − − − −
10 0 0 − S − − − − − − −
10 0 0 − H − − − − − − −
10 0 0 − S − − − − − − − − H − − − − − − − − { , , , , } S − − − − − − −
10 0 0 − H − − − − − − −
10 0 0 − { , , , , } !!! S − − − − − − −
10 0 0 − H − − − − − − −
10 0 0 − { , , , , } S − − − − − − −
10 0 0 − H − − − − − − −
10 0 0 − S − − − − − − −
20 0 0 − H − − − − − − −
20 0 0 − !!! S − − − − − − −
10 0 0 − H − − − − − − −
10 0 0 − !!! S − − − − − − −
10 0 0 − H − − − − − − −
10 0 0 − Dimitry Leites , Oleksandr Lozhechnyk S − − − − − − − − − − H − − − − − − − − − − S − − − − − − − − −
10 0 0 0 − H − − − − − − − − −
10 0 0 0 − S − − − − − − − − −
10 0 0 0 − H − − − − − − − − −
10 0 0 0 − { , , , , , } S − − − − − − − − −
10 0 0 0 − H − − − − − − − − −
10 0 0 0 − !!! S − − − − − − − − −
10 0 0 0 − H − − − − − − − − −
10 0 0 0 − !!! S − − − − − − − − −
10 0 0 0 − H − − − − − − − − −
10 0 0 0 − S − − − − − − − − −
10 0 0 0 − H − − − − − − − − −
10 0 0 0 − S − − − − − − − − −
10 0 0 0 − H − − − − − − − − −
10 0 0 0 − S − − − − − − − − − − −
10 0 0 0 0 − H − − − − − − − − − − −
10 0 0 0 0 − S − − − − − − − − − − − − −
10 0 0 0 0 0 − H − − − − − − − − − − − − −
10 0 0 0 0 0 − S − − − − − − − − − − − − − − −
10 0 0 0 0 0 0 − H − − − − − − − − − − − − − − −
10 0 0 0 0 0 0 − S − − − − − − − − − − − − − − − − −
10 0 0 0 0 0 0 0 − H − − − − − − − − − − − − − − − − −
10 0 0 0 0 0 0 0 − The pairs “almost affine Lie superalgebra = ⇒ hyperbolic Lie algebra”fornon-symmetrizable Cartan matrices This section is added for completeness; we do not know of any of its possible applications.In this section, we desuperize non-symmetrizable Cartan matrices of almost affine Lie super-algebras. The matrices with multiple superizations:(2)
N H (3) , N H (3) , N H (3)Total NS matrices: 36, total NH matrices admitting superization: 30 of 96. n a hidden supersymmetry of cosmological billiards NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } !!! NS (cid:18) − − − − − − (cid:19) NH (cid:18) − − − − − − (cid:19) { , , } Dimitry Leites , Oleksandr Lozhechnyk NS − − − − − − − − ! NH − − − − − − − − ! { , , , } NS − − − − − − − − ! NH − − − − − − − − ! { , , , } NS − − − − − − − − ! NH − − − − − − − − ! { , , , } Remark.
For completeness, observe that there are 2 series of simple finite-dimensionalLie superalgebras g without Cartan matrix, such that g ¯0 is a simple Lie algebra.To describe these superizations, recall (see, e.g., [CCLL]) that q ( n ), called the queer Liesuperalgebra, is a purely super analog of gl ( n ). It can be interpreted as preserving a complexstructure given by an odd operator J in an n | n -dimensional superspace V . Having selecteda basis in V so that J = (cid:18) n − n (cid:19) we can realize the supermatrices of q ( n ) in the form( A, B ) := (cid:18)
A BB A (cid:19) , where
A, B ∈ gl ( n ). The queer trace qtr : ( A, B ) tr B singles outa queertraceless subalgebra sq ( n ); set psq ( n ) := sq ( n ) / C n .The Lie superalgebra pe ( n ) preserving a non-degenerate odd symmetric bilinear form in an n | n -dimensional superspace is called periplectic . Set spe ( n ) := { X ∈ pe ( n ) | str X = 0 } , wherestr denotes the supertrace.The 2 series spoken above are for n ≥ psq ( n ) with psq ( n ) ¯0 ≃ sl ( n ) and psq ( n ) ¯1 ≃ Π( sl ( n )); spe ( n ) with spe ( n ) ¯0 ≃ sl ( n ) = sl ( V ) and spe ( n ) ¯1 ≃ Π(Λ ( V ) ⊕ S ( V ∗ )) orΠ(Λ ( V ∗ ) ⊕ S ( V )) . Acknowledgements
D.L. was supported by the grant AD 065 NYUAD.On behalf of all authors, the corresponding author states that there is no conflict of interest.
References [BKhL] Belinsky, V.; Khalatnikov, I.; Lifshitz, E., Oscillatory Approach to a Singular Point in the RelativisticCosmology, Adv. in Phys., 19, (1970) 525–573[BGL] Bouarroudj S., Grozman P., Leites D., Defining relations for almost affine (hyperbolic) Lie superal-gebras. J. Nonlin. Math. Phys. 17 (2010), suppl. 1, Special issue in memory of F. Berezin, 163–168; arXiv:1012.0176 [BKLS] Bouarroudj S., Krutov A., Leites D., Shchepochkina I., Non-degenerate invariant (su-per)symmetric bilinear forms on simple Lie (super)algebras. Algebras and Repr. Theory. https://doi.org/10.1007/s10468-018-9802-8 ; arXiv:1806.05505 [BLS] Bouarroudj S., Leites D., Shang J., Computer-aided study of double extensions of restricted Liesuperalgebras preserving the non-degenerate closed 2-forms in characteristic 2. Experimental Math. https://doi.org/10.1080/10586458.2019.1683102 ; arXiv:1904.09579 [BS] de Buyl S., Schomblond C., Hyperbolic Kac–Moody Algebras and Einstein Billiards. J.Math.Phys. 45(2004) 4464–4492; arXiv:hep-th/0403285 [CCLL] Chapovalov D., Chapovalov M., Lebedev A., Leites D., The classification of almost affine (hyperbolic)Lie superalgebras. J. Nonlinear Math. Phys., v. 17 (2010), Special issue 1, 103–161; arXiv:0906.1860 [DH] Damour Th, Henneaux M., Chaos in superstring cosmology. Phys. Rev. Lett. 85 (2000), no. 5, 920–923[DHJN] Damour Th., Henneaux, M., Julia, B., Nicolai, H., Hyperbolic Kac-Moody algebras and chaos inKaluza-Klein models. Phys. Lett. B 509 (2001), no. 3-4, 323–330 et al. Phys. Lett. 509 323 (2001);[DHN] Damour Th., Henneaux M., Nicolai H., Cosmological billiards. Classical Quantum Gravity 20 (2003),no. 9, R145–R200[DSp] Damour Th., Spindel Ph., Quantum Supersymmetric Cosmological Billiards and their Hidden Kac-Moody Structure. Phys. Rev. D 95, 126011 (2017); arXiv:1704.08116 n a hidden supersymmetry of cosmological billiards [DLZ] Deligne P., Lehrer G. I., Zhang R. B., The first fundamental theorem of invariant theory for the or-thosymplectic super group. Adv. Math. 327 (2018), 4–24.[GL] Grozman P., Leites D., Defining relations for classical Lie superalgebras with Cartan matrix. Czech.J. Phys., Vol. 51, 2001, no. 1, 1–22; arXiv:hep-th/9702073 [HS] Hoyt, C.; Serganova, V. Classification of finite-growth general Kac-Moody superalgebras. Comm. Alge-bra, v. 35 (2007), no. 3, 851–874[K] Kac V. Infinite-dimensional Lie algebras . Third edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1990.xxii+400 pp.[KhK1] Khalatnikov I.M., Kamenshchik A.Yu., Lev Landau and singularity problem in cosmology. Physics–Uspekhi, 51:6 (2008) 609–616[KKN] Kleinschmidt A., Koehn M., Nicolai H., Supersymmetric quantum cosmological billiards. Phys. Rev. D80 (2009), no. 6, 061701, 5 pp.[KM] Kobayashi, Z.; Morita, J.; Automorphisms of certain root lattices. Tsukuba J. Math. 7 (1983), no. 2,323–336.[LSS] Leites D., Saveliev M. V., Serganova V.V., Embeddings of osp ( N |
2) and completely integrable systems,In: V. Dodonov and V. Man’ko (Eds.)
Proceedings of International Seminar Group-Theoretical Methodsin Physics (Yurmala, May 1985), Nauka, Moscow, 1986, 377–394 (an enlarged version in English ispublished by VNU Sci Press, 1986, 255–297).[Li] Li Wang Lai, Classification of generalized Cartan matrices of hyperbolic type, Chin. Ann. Math. 9B(1988) 68–77[M] Mathieu O., Class of simple graded Lie algebras of finite growth, Inv. Math., 108, 1992, 455–519[S] Sa¸clioˇglu C., Dynkin diagrams for hyperbolic Kac–Moody Algebras, J. Phys. A: Math. Gen. 22 (1989)3753–3769.[Se3] Serganova V., Automorphisms of simple Lie superalgebras. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., v. 48 (1984),no. 3, 585–598; (Russian) English translation: Math. USSR-Izv., v. 24 (1985), no. 3, 539–551[vdL] van de Leur J., A classification of contragredient Lie superalgebras of finite growth. Comm. Algebra,v. 17 (1989), no. 8, 1815–1841 a New York University Abu Dhabi, Division of Science and Mathematics, P.O. Box 129188,United Arab Emirates; [email protected], b Department of Mathematics, Stockholm University,SE-106 91 Stockholm, Sweden; [email protected], c ∗∗