On equicontinuity of generalized quasiisometries on Riemannian manifolds
aa r X i v : . [ m a t h . C V ] D ec Е.А.. Севостьянов, С.А. Скворцов (Житомирский государственный университетим. И. Франко)
E.A. Sevost’yanov, S.A. Skvortsov (Zhitomir State University of I. Franko)
О равностепенной непрерывности обобщённых квазиизометрий на рима-новых многообразияхOn equicontinuity of generalized quasiisometries on Riemannian manifolds
Настоящая работа посвящена изучению отображений с конечным искажением на ри-мановых многообразиях. Доказаны теоремы о локальном поведении обобщённых квази-изометрий с неограниченной характеристикой. В частности, нами доказано, что семей-ство отображений f : D → M n ∗ между римановыми многообразиями M n и M n ∗ являетсяравностепенно непрерывным, как только значения отображения f лежат в шаре B R ,f не принимает значения из фиксированного континуума K ⊂ B R , а характеристикаквазиконформности Q ( x ) имеет конечное среднее колебание в каждой точке.The present paper is devoted to the study of mappings with finite distortion on Riemannianmanifolds. Theorems on local behavior of generalized quasiisometries with unbounded cha-racteristic of quasiconformality are obtained. In particular, we have proved that a familyof mappings f : D → M n ∗ between Riemannian manifolds M n and M n ∗ is equicontinuouswhenever f lies in a ball B R , f does not take values from a fixed continuum K ⊂ B R , anda quasiconformality coefficient Q ( x ) has a finite mean oscillation at every point. В недавно вышедшей работе [1] был получен некоторый результат о равностепеннойнепрерывности одного класса отображений между римановыми многообразиями. Речьидёт о локальном поведении так называемых кольцевых Q -отображений (отображе-ний с неограниченной характеристикой квазиконформности Q, искажающих конформ-ный модуль семейств кривых в Q ( x ) раз, где Q – наперёд заданная положительнаяфункция). Основная цель настоящей заметки – показать справедливость аналогичногоутверждения не только для «конформного» модуля M, но и когда искажение семействкривых происходит относительно модуля порядка p ∈ [ n − , n ] , где n – размерностьриманова многообразия M n , а p – фиксированное число из указанного отрезка. Стоитзаметить, что согласно Герингу в пространстве R n такие отображения квазиизометрич-ны при ограниченных Q, другими словами, при некоторой постоянной C > и всех x ∈ D справедлива оценка lim sup x → x | f ( x ) − f ( x ) || x − x | C , см., напр., [2, теорема 2]. При p = n свойство квазиизометричности указанных отоб-ражений, к сожалению, утрачивается, как показывает простой пример отображения сограниченным искажением f ( x ) = x | x | α − , x ∈ R n \ { } , < α < , f (0) := 0 . Перейдём к определениям и формулировкам основных результатов. Следующие по-нятия могут быть найдены, напр., в [3] и [4]. Напомним, что n -мерным топологическиммногообразием M n называется хаусдорфово топологическое пространство со счётной ба-зой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную некоторому открытомумножеству в R n . Картой на многообразии M n будем называть пару ( U, ϕ ) , где U — от-крытое множество пространства M n и ϕ — соответствующий гомеоморфизм множества U на открытое множество в R n . Если p ∈ U и ϕ ( p ) = ( x , . . . , x n ) ∈ R n , то соответ-ствующие числа x , . . . , x n называются локальными координатами точки p. Гладкиммногообразием называется само множество M n вместе с соответствующим набором карт ( U α , ϕ α ) , так, что объединение всех U α по параметру α даёт всё M n и, кроме того, отоб-ражение, осуществляющее переход от одной системы локальных координат к другой,принадлежит классу C ∞ . Напомним, что римановой метрикой на гладком многообразии M n называется поло-жительно определённое гладкое симметричное тензорное поле типа (0 , . В частности,компоненты римановой метрики g kl в различных локальных координатах ( U, x ) и ( V, y ) взаимосвязаны посредством тензорного закона ′ g ij ( x ) = g kl ( y ( x )) ∂y k ∂x i ∂y l ∂x j . Римановым многообразием будем называть гладкое многообразие вместе с римановойметрикой на нём. Длину гладкой кривой γ = γ ( t ) , t ∈ [ t , t ] , соединяющей точки γ ( t ) = M ∈ M n , γ ( t ) = M ∈ M n и n -мерный объём ( меру объёма v ) множества A на римановом многообразии определим согласно соотношениям l ( γ ) := t Z t r g ij ( x ( t )) dx i dt dx j dt dt, v ( A ) = Z A p det g ij dx . . . dx n . (1)Ввиду положительной определённости тензора g = g ij ( x ) имеем: det g ij > . Геодезиче-ским расстоянием между точками p и p ∈ M n будем называть наименьшую длинувсех кусочно-гладких кривых в M n , соединяющих точки p и p . Геодезическое рас-стояние между точками p и p будем обозначать символом d ( p , p ) (всюду далее d обозначает геодезическое расстояние, если не оговорено противное). Так как римановомногообразие, вообще говоря, не предполагается связным, расстояние между любымиточками многообразия, вообще говоря, может быть не определено. Хорошо известно,что любая точка p риманова многообразия M n имеет окрестность U ∋ p (называемуюдалее нормальной окрестностью точки p ) и соответствующее координатное отобра-жение ϕ : U → R n , так, что геодезические сферы с центром в точке p и радиуса r, лежащие в окрестности U, переходят при отображении ϕ в евклидовы сферы того жерадиуса, а пучок геодезических кривых, исходящих из точки p, переходит в пучок ради-альных отрезков в R n (см. [3, леммы 5.9 и 6.11], см. также комментарии на стр. 77 здесьже). Локальные координаты ϕ ( p ) = ( x , . . . , x n ) в этом случае называются нормальны-ми координатами точки p. Стоит отметить, что в случае связного многообразия M n открытые множества метрического пространства ( M n , d ) порождают топологию исход-ного топологического пространства M n (см. [3, лемма 6.2]). Заметим, что в нормальныхкоординатах всегда тензорная матрица g ij ( x ) в точке p — единичная (а в силу непре-рывности g в точках, близких к p, эта матрица сколь угодно близка к единичной; см. [3,пункт (c) предложения 5.11]).Семейство F отображений f : X → X ′ называется равностепенно непрерывным вточке x ∈ X, если для любого ε > найдётся такое δ > , что d ′ ( f ( x ) , f ( x )) < ε для всех таких x, что d ( x, x ) < δ и для всех f ∈ F . Говорят, что F равностепен-но непрерывно , если F равностепенно непрерывно в каждой точке x ∈ X. Согласноодной из версий теоремы Арцела–Асколи (см., напр., [5, пункт 20.4]), если ( X, d ) —сепарабельное метрическое пространство, а ( X ′ , d ′ ) — компактное метрическое про-странство, то семейство F отображений f : X → X ′ нормально тогда и только тогда,когда F равностепенно непрерывно. Здесь и далее равностепенная непрерывность се-мейства отображений { f : M n → M n ∗ } понимается в смысле геодезических расстояний d и d ′ на римановых многообразиях M n и M n ∗ , соответственно.Пусть ( X, d, µ ) — произвольное метрическое пространство, наделённое локально ко-нечной борелевской мерой µ и B ( x , r ) = { x ∈ X : d ( x, x ) < r } . Следующее определение может быть найдено, напр., в [6, разд. 4]. Будем говорить, чтоинтегрируемая в B ( x , r ) функция ϕ : D → R имеет конечное среднее колебание в точке x ∈ D , пишем ϕ ∈ F M O ( x ) , если lim sup ε → µ ( B ( x , ε )) Z B ( x , ε ) | ϕ ( x ) − ϕ ε | dµ ( x ) < ∞ , где ϕ ε = µ ( B ( x , ε )) R B ( x , ε ) ϕ ( x ) dµ ( x ) . Всюду далее (если не оговорено противное) M n и M n ∗ – римановы многообразия с гео-дезическими расстояниями d и d ∗ , соответственно. Кривой γ мы называем непрерывноеотображение отрезка [ a, b ] (открытого интервала ( a, b ) , либо полуоткрытого интервалавида [ a, b ) или ( a, b ] ) в M n , γ : [ a, b ] → M n . Под семейством кривых Γ подразумевает-ся некоторый фиксированный набор кривых γ, а, если f : M n → M n ∗ — произвольноеотображение, то f (Γ) = { f ◦ γ | γ ∈ Γ } . Длину произвольной кривой γ : [ a, b ] → M n , лежащей на многообразии M n , можно определить как точную верхнюю грань сумм n − P i =1 d ( γ ( t i ) , γ ( t i +1 )) по всевозможным разбиениям a t . . . t n b. Следующиеопределения в случае пространства R n могут быть найдены, напр., в [5, разд. 1–6,гл. I], см. также [7, гл. I]. Борелева функция ρ : M n → [0 , ∞ ] называется допустимой для семейства Γ кривых γ в M n , если линейный интеграл по натуральному параметру s каждой (локально спрямляемой) кривой γ ∈ Γ от функции ρ удовлетворяет условию l ( γ ) R ρ ( γ ( s )) ds > . В этом случае мы пишем: ρ ∈ adm Γ . Зафиксируем p > , тогда p -модулем семейства кривых Γ называется величина M p (Γ) = inf ρ ∈ adm Γ Z D ρ p ( x ) dv ( x ) . (Здесь и далее v означает меру объёма, определённую в (1)). При этом, если adm Γ = ∅ , то полагаем: M p (Γ) = ∞ (см. [5, разд. 6 на с. 16] либо [7, с. 176]). Свойства модуля внекоторой мере аналогичны свойствам меры Лебега m в R n . Именно, модуль пустогосемейства кривых равен нулю, M p ( ∅ ) = 0 , обладает свойством монотонности относи-тельно семейств кривых, Γ ⊂ Γ ⇒ M p (Γ ) M p (Γ ) , а также свойством полуадди-тивности: M p (cid:18) ∞ S i =1 Γ i (cid:19) ∞ P i =1 M p (Γ i ) (см. [5, теорема 6.2, гл. I] в R n либо [7, теорема 1]в случае более общих пространств с мерами). Говорят, что семейство кривых Γ мино-рируется семейством Γ , пишем Γ > Γ , если для каждой кривой γ ∈ Γ существуетподкривая, которая принадлежит семейству Γ . В этом случае, Γ > Γ ⇒ M p (Γ ) M p (Γ ) (2)(см. [5, теорема 6.4, гл. I] либо [7, свойство (c)] в случае более общих пространств смерами).Следующее определение для случая R n может быть найдено, напр., в работе [8].Пусть D – область в M n , x ∈ D, Q : D → [0 , ∞ ] — измеримая относительно меры объёма v функция, и число r > таково, что замкнутый шар B ( x , r ) лежит в некоторойнормальной окрестности U точки x . Пусть также < r < r < r ,A = A ( x , r , r ) = { x ∈ M n : r < d ( x, x ) < r } ,S i = S ( x , r i ) = { x ∈ M n : d ( x, x ) = r i } , i = 1 , , — геодезические сферы с центром в точке x и радиусов r и r , соответственно, а Γ ( S , S , A ) обозначает семейство всех кривых, соединяющих S и S внутри области A. Отображение f : D → M n ∗ условимся называть кольцевым ( p, Q ) -отображением вточке x ∈ D, если соотношение M p ( f (Γ ( S , S , A ))) Z A Q ( x ) · η p ( d ( x, x )) dv ( x ) выполнено в кольце A для произвольных r , r , указанных выше, и для каждой измери-мой функции η : ( r , r ) → [0 , ∞ ] такой, что r R r η ( r ) dr > . Отображения типа кольцевых Q -отображений были предложены к изучению О. Мартио и изучались им совместно сВ. Рязановым, У. Сребро и Э. Якубовым, см. [9].Пусть ( X, d, µ ) — метрическое пространство с метрикой d, наделённое локально ко-нечной борелевской мерой µ. Следуя [10, раздел 7.22] будем говорить, что борелевафункция ρ : X → [0 , ∞ ] является верхним градиентом функции u : X → R , если длявсех спрямляемых кривых γ, соединяющих точки x и y ∈ X, выполняется неравенство | u ( x ) − u ( y ) | R γ ρ ds, где, как обычно, R γ ρ ds обозначает линейный интеграл от функции ρ по кривой γ. Будем также говорить, что в указанном пространстве X выполняется (1; p ) -неравенство Пуанкаре, если найдутся постоянные C > и τ > так, что длякаждого шара B ⊂ X, произвольной ограниченной непрерывной функции u : B → R илюбого её верхнего градиента ρ выполняется следующее неравенство: µ ( B ) Z B | u − u B | dµ ( x ) C · (diam B ) µ ( τ B ) Z τB ρ p dµ ( x ) /p , где diam A — диаметр множества A ⊂ X, а u B := µ ( B ) R B udµ ( x ) . Метрическое про-странство ( X, d, µ ) назовём e Q -регулярным по Альфорсу при некотором e Q > , еслипри каждом x ∈ X, некоторой постоянной C > и произвольного R < diam X, C R e Q µ ( B ( x , R )) CR e Q . Заметим, что локально римановы многообразия являются n -регулярными по Альфорсу (см. [11, лемма 5.1]). Следует также заметить, что ес-ли риманово многообразие e Q -регулярно по Альфорсу, то e Q = n (см. рассуждения нас. 61 в [10] о совпадении e Q с хаусдорфовой размерностью пространства X, а также[11, лемма 5.1] о совпадении топологической и хаусдорфовых размерностей областейриманового многообразия). Справедлива следующая Теорема 1.
Пусть p ∈ [ n − , n ] и δ > , многообразие M n ∗ связно , является n -регулярным по Альфорсу , кроме того , в M n ∗ выполнено (1; p ) -неравенство Пуанкаре.Пусть B R ⊂ M n ∗ — некоторый фиксированный шар радиуса R, D — область в M n и Q : D → [0 , ∞ ] — функция , измеримая относительно меры объёма v. Обозначим через R x ,Q,B R ,δ,p ( D ) семейство открытых дискретных кольцевых ( p, Q ) -отображений f : D → B R в точке x ∈ D, для которых существует континуум K f ⊂ B R такой, что f ( x ) K f при всех x ∈ D и, кроме того, diam K f > δ. Тогда семейство отображений R x ,Q,B R ,δ,p ( D ) является равностепенно непрерывным в точке x ∈ D, если Q ∈ F M O ( x ) . Ввиду теоремы Арцела–Асколи имеем также следующее
Следствие 1.
Предположим, что в условиях теоремы 1 многообразие M n ∗ являетсякомпактным, тогда R x ,Q,B R ,δ,p ( D ) образует нормальное семейство отображений. Всюду далее граница ∂D области D ⊂ M n и замыкание D области D понимаются всмысле геодезического расстояния d. Перед тем, как мы приступим к изложению вспо-могательных результатов и основной части данного раздела, дадим ещё одно важноеопределение (см. [12, раздел 3, гл. II]). Пусть D — область риманового многообразия M n ,n > , f : D → M n ∗ — отображение, β : [ a, b ) → M n ∗ — некоторая кривая и x ∈ f − ( β ( a )) . Кривая α : [ a, c ) → D, a < c b, называется максимальным поднятием кривой β приотображении f с началом в точке x, если (1) α ( a ) = x ; (2) f ◦ α = β | [ a, c ) ; (3) если c < c ′ b, то не существует кривой α ′ : [ a, c ′ ) → D, такой что α = α ′ | [ a, c ) и f ◦ α = β | [ a, c ′ ) . Имеет место следующее
Предложение 1.
Пусть D — область в M n , f : D → M n ∗ — открытое дискретноеотображение , β : [ a, b ) → M n ∗ — кривая и точка x ∈ f − ( β ( a )) . Тогда кривая β имеетмаксимальное поднятие при отображении f с началом в точке x, см. [1, предложе-ние 2.1].Пусть A — открытое подмножество многообразия M n , а C — компактное подмноже-ство A. Конденсатором будем называть пару множеств E = ( A, C ) . Пусть p > , тогда p -ёмкостью конденсатора E будем называть следующую величину: cap p E = M p (Γ E ) , где Γ E — семейство всех кривых вида γ : [ a, b ) → A, таких что γ ( a ) ∈ C и | γ | ∩ ( A \ F ) = ∅ для произвольного компакта F ⊂ A. Заметим, что в случае пространства R n ука-занная величина cap p E совпадает с классическим определением p -ёмкости (см. [12,предложение 10.2 и замечание 10.8, гл. II]).Следующая лемма может быть полезной при исследовании свойства равностепеннойнепрерывности открытых дискретных кольцевых ( p, Q ) -отображений в наиболее общейситуации. Её доказательство аналогично случаю R n (см. [8, лемма 4.1]), однако, дляполноты и строгости изложения мы приводим его полностью для случая произвольныхримановых многообразий. Лемма 1.
Пусть p > , D — область в M n , f : D → M n ∗ — открытое дискретноекольцевое ( p, Q ) -отображение в точке x ∈ D, r > таково , что шар B ( x , r ) лежитсо своим замыканием в некоторой нормальной окрестности U точки x . Предположим , что для некоторого числа < ε < r , некоторого ε ′ ∈ (0 , ε ) и семейства неотрицатель-ных измеримых по Лебегу функций { ψ ε ( t ) } , ψ ε : ( ε, ε ) → [0 , ∞ ] , ε ∈ (0 , ε ′ ) , выполненоусловие Z ε Рассмотрим конденсатор E = ( A, C ) , где A и C таковы, как ука-зано в условии леммы. Если cap p f ( E ) = 0 , доказывать нечего. Пусть cap p f ( E ) = 0 . Пусть Γ E — семейство всех кривых, соответствующее определению p -ёмкости. Дляконденсатора f ( E ) рассмотрим также семейство кривых Γ f ( E ) . Заметим также, что каж-дая кривая γ ∈ Γ f ( E ) имеет максимальное поднятие при отображении f, лежащее в A сначалом в C (см. предложение 1). Пусть Γ ∗ — семейство всех максимальных поднятийкривых Γ f ( E ) при отображении f с началом в C. Заметим, что Γ ∗ ⊂ Γ E (см. подробностив доказательстве [1, лемма 2.1]).Заметим, что Γ f ( E ) > f (Γ ∗ ) , и, следовательно, ввиду свойства (2) M p (cid:0) Γ f ( E ) (cid:1) M p ( f (Γ ∗ )) . (6)Рассмотрим S ε = S ( x , ε ) = { x ∈ M n : d ( x, x ) = ε } , S ε = S ( x , ε ) = { x ∈ M n : d ( x, x ) = ε } , где ε — из условия леммы и ε ∈ (0 , ε ′ ) . Заметим, что, поскольку Γ ∗ ⊂ Γ E , то при всех достаточно малых δ > будем иметь, что Γ ( S ε , S ε − δ , A ( x , ε, ε − δ )) < Γ ∗ и, следовательно, f (Γ ( S ε , S ε − δ , A ( x , ε, ε − δ ))) < f (Γ ∗ ) . Здесь мы положили S ε − δ := { x ∈ M n : d ( x, x ) < ε − δ } . Значит, M p ( f (Γ ∗ )) M p ( f (Γ ( S ε , S ε − δ , A ( x , ε, ε − δ )))) . (7)Из соотношений (6) и (7) следует, что M p (cid:0) Γ f ( E ) (cid:1) M p ( f (Γ ( S ε , S ε − δ , A ( x , ε, ε − δ )))) и, таким образом, по определению cap p f ( E ) M p ( f (Γ ( S ε , S ε − δ , A ( x , ε, ε − δ )))) . (8)Пусть η ( t ) произвольная неотрицательная измеримая функция, удовлетворяющая усло-вию ε R ε η ( t ) dt = 1 . Рассмотрим семейство измеримых функций η δ ( t ) = η ( t ) ε − δ R ε η ( t ) dt . (Так как ε R ε η ( t ) dt = 1 , то δ > можно выбрать так, что ε − δ R ε η ( t ) dt > ). Поскольку ε − δ R ε η δ ( t ) dt = 1 , то по определению кольцевого ( p, Q ) -отображения в точке x мы получим M p ( f (Γ ( S ε , S ε − δ , A ( x , ε, ε − δ )))) (cid:18) ε − δ R ε η ( t ) dt (cid:19) p Z ε Пусть X — e Q -регулярное по Альфорсу метрическое пространствос мерой , в котором выполняется (1; p ) -неравенство Пуанкаре так , что e Q − n e Q. То-гда для произвольных континуумов E и F, содержащихся в шаре B ( x , R ) , и некоторойпостоянной C > выполняется неравенство M p (Γ( E, F, X )) > C · min { diam E, diam F } R p − e Q . Следующая лемма является ключом к доказательству основных результатов работы. Лемма 2. Пусть p ∈ [ n − , n ] и δ > , многообразие M n ∗ связно , является n -регу-лярным по Альфорсу , кроме того , в M n ∗ выполнено (1; p ) -неравенство Пуанкаре. Пусть B R ⊂ M n ∗ — некоторый фиксированный шар радиуса R, D — область в M n и Q : D → [0 , ∞ ] — функция , измеримая относительно меры объёма v. Обозначим через R x ,Q,B R ,δ,p ( D ) семейство открытых дискретных кольцевых ( p, Q ) -отображений f : D → B R в точке x ∈ D, для которых существует континуум K f ⊂ B R такой, что f ( x ) K f при всех x ∈ D и, кроме того, diam K f > δ. Пусть ε < r , где шар B ( x , r ) лежит вместе со своим замыканием в некоторойнормальной окрестности U точки x . Предположим также , что для некоторого числа ε ′ ∈ (0 , ε ) и семейства неотрица-тельных измеримых по Лебегу функций { ψ ε ( t ) } , ψ ε : ( ε, ε ) → [0 , ∞ ] , ε ∈ (0 , ε ′ ) , вы-полнено условие (3) , где некоторая заданная функция F ( ε, ε ) удовлетворяет условию F ( ε, ε ) = o ( I n ( ε, ε )) , а I ( ε, ε ) определяется соотношением (4).Тогда семейство отображений R x ,Q,B R ,δ,p ( D ) является равностепенно непрерывнымв точке x ∈ D. Доказательство. Пусть f ∈ R x ,Q,B R ,δ,p ( D ) . Полагаем A := B ( x , r ) ⊂ D. Заметим,что при указанных условиях A является компактным подмножеством D. Тогда прикаждом < ε < r множество C := B ( x , ε ) является компактным подмножеством B ( x , r ) . Таким образом, E = ( A, C ) — конденсатор в M n . Рассмотрим семейство кривых Γ f ( E ) для конденсатора f ( E ) в терминах определения p -ёмкости. Заметим, что подсемейство неспрямляемых кривых семейства Γ f ( E ) имеетнулевой p -модуль.Действительно, f ( A ) является компактным множеством M n ∗ как непрерывный образкомпакта A и, значит, множество f ( A ) имеет конечный объём v ∗ ( f ( A )) < ∞ . Пусть Γ ∞ f ( E ) состоит из всех неспрямляемых кривых семейства Γ f ( E ) , тогда функция ρ ( x ) = ε при-надлежит adm Γ ∞ f ( E ) . Ввиду этого, по определению p -модуля, M p (Γ ∞ f ( E ) ) ε p · v ∗ ( f ( A )) . Устремляя здесь ε к нулю, получаем M p (Γ ∞ f ( E ) ) = 0 , что и требовалось установить.Заметим также, что оставшееся подсемейство, состоящее из всех спрямляемых кри-вых семейства Γ f ( E ) , состоит из кривых β : [ a, b ) → f ( D ) , имеющих предел при t → b. Заметим, что указанный предел принадлежит множеству ∂f ( A ) . Из сказанного следует,что M p (Γ f ( E ) ) = M p (Γ( f ( C ) , ∂f ( A ) , f ( A ))) . (11)Пусть K f – тот континуум, который выпускает отображение f. Заметим, что Γ( K f , f ( C ) , M n ∗ ) > Γ( f ( C ) , ∂f ( A ) , f ( A )) (см. [14, теорема 1, § , п. I]), так что ввиду (2) M p (Γ( f ( C ) , ∂f ( A ) , f ( A ))) > M p (Γ( K f , f ( C ) , M n ∗ )) . (12)Ввиду предложения 2 получим: M p (Γ( K f , f ( C ) , M n ∗ )) > C · min { diam f ( C ) , diam K f } R p − n . (13)По лемме 1 M p (Γ f ( E ) ) → при ε → , так что ввиду (11) и (12) получаем, что min { diam f ( C ) , diam K f } = diam f ( C ) при ε → . Из соотношений (5) и (13) также вытекает, что для любого σ > найдётся ε = ε ( σ ) так, что при ε ∈ (0 , ε ) diam f ( C ) σ, что и означает равностепенную непрерывность семейства R x ,Q,B R ,δ,p ( D ) в точке x . Доказательство теоремы . Выберем в этой лемме < ψ ( t ) = ( t log t ) n/p . На основании [15, предложение 3] для указанной функции будем иметь, что Z ε Теорема 2. Пусть p ∈ [ n − , n ] и δ > , многообразие M n ∗ связно , является n -регулярным по Альфорсу , кроме того , в M n ∗ выполнено (1; p ) -неравенство Пуанкаре.Пусть B R ⊂ M n ∗ — некоторый фиксированный шар радиуса R, D — область в M n и Q : D → [1 , ∞ ] — функция , измеримая относительно меры объёма v. Обозначим через R x ,Q,B R ,δ,p ( D ) семейство открытых дискретных кольцевых ( p, Q ) -отображений f : D → B R в точке x ∈ D, для которых существует континуум K f ⊂ B R такой, что f ( x ) K f при всех x ∈ D и, кроме того, diam K f > δ. Тогда семейство отображений R x ,Q,B R ,δ,p ( D ) x ∈ D, если при некотором δ ( x ) > выполняется равенство δ ( x ) Z drr n − p − q p − x ( r ) = ∞ , (15)где q x ( r ) := r n − R S ( x ,r ) Q ( x ) d A . Доказательство. Достаточно показать, что условие (15) влечёт выполнение соотно-шения (3) леммы 2. Можно считать, что B ( x , δ ( x )) лежит в нормальной окрестноститочки x . Рассмотрим функцию ψ ( t ) = ( / [ t n − p − q p − x ( t )] , t ∈ ( r , r ) , , t / ∈ ( r , r ) . (16)Заметим теперь, что требование вида (4) выполняется при ε = δ ( x ) и всех достаточномалых ε. Далее установим неравенство Z ε Предположим , что в условиях теоремы многообразие M n ∗ являетсякомпактным. Тогда класс R x ,Q,B R ,δ,p ( D ) образует нормальное семейство отображений.При p ∈ [ n − , n ) полученные выше результаты можно несколько усилить. Теорема 3. Пусть p ∈ [ n − , n ) и δ > , многообразие M n ∗ связно , является n -регулярным по Альфорсу , кроме того , в M n ∗ выполнено (1; p ) -неравенство Пуанкаре.Пусть B R ⊂ M n ∗ — некоторый фиксированный шар радиуса R, D — область в M n и Q : D → [0 , ∞ ] — функция , измеримая относительно меры объёма v. Обозначим через R x ,Q,B R ,δ,p ( D ) семейство открытых дискретных кольцевых ( p, Q ) -отображений f : D → B R в точке x ∈ D, для которых существует континуум K f ⊂ B R такой, что f ( x ) K f при всех x ∈ D и, кроме того, diam K f > δ. Тогда семейство отображений R x ,Q,B R ,δ,p ( D ) является равностепенно непрерывным в точке x ∈ D, если Q ∈ L sloc ( R n ) при некотором s > nn − p . Доказательство. Зафиксируем произвольным образом < ε < ∞ , так, чтобы шар G := B ( x , ε ) лежал вместе со своим замыканием в некоторой нормальной окрестно-сти точки x , и положим ψ ( t ) := 1 /t. Заметим, что указанная функция ψ удовлетворяетнеравенствам < I ( ε, ε ) := ε R ε ψ ( t ) dt < ∞ . Покажем также, что в этом случае выпол-нено соотношение Z A ( x ,ε,ε ) Q ( x ) · ψ p ( d ( x, x )) dv ( x ) = o ( I p ( ε, ε )) . (20)2Применяя неравенство Гёльдера, будем иметь Z ε О локальных свойствах одного класса отображений на римано-вых многообразиях , Укр. матем. вестник (2015), no. 2, 210–221.D.P. Ilyutko, E.A. Sevost’yanov, On local properties of one class of mappings on Riemannian manifolds ,Ukr. Mat. Visnyk (2015), № 2, 210–221. [2] F. Gehring, Lipschitz mappings and p -capacity of rings in n -space , Ann. of Math. Stud. (1971),175–193.[3] J.M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer, New York, 1997.[4] Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин, Дифференциальная геометрия: первое знакомство, Изд-во МГУ, Москва,1990.E.G. Poznyak, E.V. Shikin, Differential Geometry: First Introduction, Moscow State University, Moscow,1990.[5] J. V¨ais¨al¨a, Lectures on n –Dimensional Quasiconformal Mappings , Lecture Notes in Math. , Springer–Verlag, Berlin etc., 1971.[6] В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Слабо плоские пространства и границы в теории отображений , Укр.матем. вестник (2007), no. 2, 199–234.V. Ryazanov, R. Salimov, Weakly flat spaces and bondaries in the mapping theory , Ukr. Math. Bull. (2007), no. 2, 199–233.[7] B. Fuglede, Extremal length and functional completion , Acta Math (1957), 171–219.[8] Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов, Теория кольцевых Q -отображений в геометрической теориифункций , Матем. сборник (2010), № 6, 131–158.R.R. Salimov, E.A. Sevost’yanov, The theory of shell-based Q -mappings in geometric function theory ,Sb. Math. (2010), no. 5-6, 909–934.[9] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro and E. Yakubov, Moduli in Modern Mapping Theory, SpringerMonographs in Mathematics, Springer, New York etc., 2009.[10] J. Heinonen, Lectures on Analysis on metric spaces, Springer Science+Business Media, New York, 2001.[11] Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Об отображениях в классах Орлича-–Соболева наримановых многообразиях , Укр. мат. вестник, (2011), no. 3, 319–342.E.S. Afanas’eva, V.I. Ryazanov, R.R. Salimov, On mappings in Orlicz-Sobolev classes on Riemannianmanifolds , J. Math. Sci. (2012), no. 1, 1—17.[12] S. Rickman, Quasiregular mappings, Results in Mathematic and Related Areas (3), 26, Springer-Verlag,Berlin, 1993.[13] T. Adamowicz and N. Shanmugalingam, Non-conformal Loewner type estimates for modulus of curvefamilies , Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. (2010), 609—626.[14] К. Куратовский, Топология, т. 2, Мир, М., 1969.K. Kuratowski, Topology, v. 2, Academic Press, New York–London, 1968.[15] Е. С. Смоловая, Граничное поведение кольцевых Q -гомеоморфизмов в метрических простран-ствах , Укр. мат. журн. (2010), №5, 682–689.E.S. Smolovaya, Boundary behavior of ring Q -homeomorphisms in metric spaces , Ukrainian Math. J.62