On p -adic Hard Sphere model with three states on a Cayley tree
aa r X i v : . [ m a t h - ph ] M a r p -АДИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТВЕРДЫХ СФЕР С ТРЕМЯСОСТОЯНИЯМИ НА ДЕРЕВЕ КЭЛИ О. Н. ХАКИМОВ
Аннотация.
В этой работе мы изучим p -адическую модель (твердых сфер)ТС с тремя состояниями на дереве Кэли. При k = 2 изучим трансляционно-инвариантные и периодические p -адические меры Гиббса для модели ТС. До-кажем, что при p = 2 любая p -адическая мера Гиббса является ограниченной. Вчастности, будут показаны не существование сильного фазового перехода длямодели ТС на дереве Кэли порядка k . Ключевые слова: дерево Кэли, конфигурация, мера Гиббса, модель TC,трансляционно-инвариантная мера, p -адические числа.1. Определения и факты
В работе [13], [17] были изучены вещественные гиббсовские меры для моделиТС с тремя состояниями на дереве Кэли порядка k ≥ . В этой работе мы изучим p -адический аналог этой модели.Известно, что p -адические модели в физике не могут быть описаны, используяобычную теорию вероятностей [10, 12, 19]. В [10] абстрактная p -адическая теориявероятностей была развита посредством теории неархимедовых мер [15]. Вероят-ностные процессы на поле p -адических чисел были изучены многими авторами(см. [1–3, 16]). Не-архимедовый аналог теоремы Колмогорова был доказан в [7].Описание предельных мер Гиббса для данного гамильтониана является однимиз основных задач в теории гиббсовских мер. Полный анализ множества такихмер довольно трудоемкий. По этой причине большая часть работ по этой тема-тике посвящена изучению гиббсовских мер на дереве Кэли [4, 5, 8, 13, 14].В работе [9] был изучен p -адическая модель ТС с тремя состояниями на де-реве Кэли порядка k . Был доказан, что если k − p ) , то существуетединственная трансляционно-инвариантная p -адическая мера Гиббса для моделиТС. В данной работе мы исследуем случай k − ≡ p ) . В этом случае бу-дет показана не единственность p -адических мер Гиббса для модели ТС. Также,исследуем проблему ограниченности p -адических мер Гиббса при любом k .1.1. p -адические числа и меры. Каждое рациональное число x = 0 можетбыть представлено в виде x = p r nm , где r, n ∈ Z , m – положительное число, ( n, m ) = 1 , причем m и n не делятся на p и p – фиксированное простое чис-ло. p -Адическая норма | x | p определяется по формуле | x | p = (cid:26) p − r , если x = 0 , , если x = 0 . Эта норма удовлетворяет сильному неравенству треугольника: | x + y | p ≤ max {| x | p , | y | p } . Это свойство показывает неархимедовость нормы.Из этого свойства непосредственно следуют следующие (свойства p -адическойнормы):1) если | x | p = | y | p , то | x − y | p = max {| x | p , | y | p } ;2) если | x | p = | y | p , то | x − y | p ≤ | x | p ;Пополнение поля рациональных чисел Q по p -адической норме приводит кполю p -адических чисел Q p для каждого простого p [11].Начиная с поля рациональных чисел Q , мы можем получить либо поле веще-ственных чисел R , либо одно из полей p -адических чисел Q p (теорема Остров-ского).Каждое p -адическое число x = 0 имеет единственное каноническое разложение x = p γ ( x ) ( x + x p + x p + . . . ) , (1.1)где γ = γ ( x ) ∈ Z и x j целые числа, ≤ x j ≤ p − , x > , j = 0 , , , ... (см [11, 18, 19]). В этом случае | x | p = p − γ ( x ) . Теорема 1. [19] Уравнение x = a , = a = p γ ( a ) ( a + a p + ... ) , ≤ a j ≤ p − , a > имеет решение x ∈ Q p тогда и только тогда, когда выполняется слудующее:1) γ ( a ) четное;2) y ≡ a (mod p ) разрешимо, если p = 2 ; a = a = 0 , если p = 2 . Множество Z p = { x ∈ Q p : | x | p ≤ } называется множеством целых p -адических чисел. Z ∗ p = { x ∈ Q p : | x | p ≤ } – множество p -адических единиц.Следующая теорема известна как лемма Гензеля. Теорема 2. [11] Пусть F ( x ) = c + c x + · · · + c n x n − многочлен с целыми p -адическими коэффициентами, а F ′ ( x ) = c + 2 c x + 3 c x + · · · + nc n x n − − егопроизводная. Предположим, что a − целое p -адическое число, для которого F ( a ) ≡ p ) а F ′ ( a ) p ) . Тогда существует единственное целое p -адическое число a , такое, что F ( a ) = 0 и a ≡ a (mod p ) . Для a ∈ Q p и r > обозначим B ( a, r ) = { x ∈ Q p : | x − a | p < r } . -АДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ТС 3 p -адический логарифм определяется как ряд log p ( x ) = log p (1 + ( x − ∞ X n =1 ( − n +1 ( x − n n , который сходится для x ∈ B (1 , ; p -адическая экспонента определяется как exp p ( x ) = ∞ X n =0 x n n ! , которая сходится для x ∈ B (0 , p − / ( p − ) . Лемма 1.
Пусть x ∈ B (0 , p − / ( p − . Тогда | exp p ( x ) | p = 1 , | exp p ( x ) − | p = | x | p , | log p (1 + x ) | p = | x | p , log p (exp p ( x )) = x, exp p (log p (1 + x )) = 1 + x. Более подробно об основах p -адического анализа и p -адической математиче-ской физики можно найти в [11, 18, 19].Пусть ( X, B ) измеримое пространство, где B алгебра подмножеств в X . Функ-ция µ : B → Q p называется p -адической мерой, если для любого набора A , ..., A n ∈ B такого, что A i ∩ A j = ∅ , i = j имеет место µ (cid:18) n [ j =1 A j (cid:19) = n X j =1 µ ( A j ) .p -Адическая мера µ называется вероятностной, если µ ( X ) = 1 (см. [7]). p -Адическая мера µ называется ограниченной , если n | µ ( A ) | p : A ∈ B o < ∞ (см.[10]).1.2. Дерево Кэли.
Дерево Кэли Γ k = ( V, L ) порядка k ≥ есть бесконечное де-рево (граф без циклов), из каждой вершины которого выходит ровно k + 1 ребер, V − множество вершин и L − множество ребер. Две вершины x и y называются ближайшими соседями , если существует ребро l ∈ L соединяющее их и пишетсякак l = h x, y i . Расстояние d ( x, y ) − число ребер кратчайшей пути, соединяюшей x и y .Пусть x ∈ V фиксированная точка. Введем обозначения: W n = { x ∈ V : d ( x, x ) = n } , V n = n [ m =1 W m , и S ( x ) = { y ∈ W n +1 : d ( x, y ) = 1 } , x ∈ W n . О. Н. ХАКИМОВ модель ТС.
Мы рассмотрим модель ТС с тремя состояниями на дереваКэли. В этой модели каждой вершине x ∈ V ставится в соответствие одно иззначений σ ( x ) ∈ { , , } . Значения σ ( x ) ∈ { , } означают, что вершина x ∈ V "занята" и σ ( x ) = 0 означает, что вершина x ∈ V "вакантна". Конфигурация σ = { σ ( x ) , x ∈ V } на дереве Кэли есть функция из V в { , , } . Конфигурациив V n и W n определяются аналогично.Конфигурация σ называется допустимой на дереве Кэли, если σ ( x ) + σ ( y ) / ∈{ , } для любой пары ближайщих соседей x и y в V . Обозначим через Ω мно-жество всех допустимых конфигураций на дереве Кэли.Для фиксированной λ = ( λ , λ , λ ) ∈ Q p определим p -адический гамильтонианмодели ТС H λ ( σ ) = X x ∈ V log p λ σ ( x ) , σ ∈ Ω . (1.2)2. построение p -адической меры гиббса. Мы построим p -адическую меру Гиббса для модели (1.2). Так как в опреде-лении p -адической меры Гиббса используется exp p ( x ) , то все ниже следующиевеличины должны принадлежать множеству E p = { x ∈ Q p : | x | p = 1 , | x − | p < p − / ( p − } . Как и в классическом случае, мы рассмотрим специальный класс меры Гиббса.Для σ n ∈ Ω V n определим σ n = P x ∈ V n ( σ n ( x ) ≥ (т.е., σ n число занятыхвершин в σ n ).Пусть z : x → z x = ( z ,x , z ,x , z ,x ) ∈ E p векторнозначная функция на V . Рас-смотрим случай, когда λ = 1 , и λ = λ = λ . Для λ ∈ E p рассмотрим p -адическоевероятностное распределение µ ( n ) z на Ω V n , которое определяется как µ ( n ) z ( σ n ) = Z − z,n λ σ n Y x ∈ W n z σ n ( x ) ,x , n = 1 , , ... (2.1)где Z z,n нормируюшая константа Z z,n = X ω n ∈ Ω Vn λ ω n Y x ∈ W n z ω n ( x ) ,x . (2.2)Говорят, что p -адическое вероятностное распределение µ ( n ) согласовано, еслидля всех n ≥ и σ n − ∈ Ω V n − , X ω n ∈ Ω Wn µ ( n ) z ( σ n − ∨ ω n ) = µ ( n − z ( σ n − ) . (2.3)В этом случае по теореме Колмогорова [7] существует единственная мера µ z на Ω такая, что µ z ( { σ (cid:12)(cid:12) V n = σ n } ) = µ ( n ) z ( σ n ) для всех n и σ n ∈ Ω V n . -АДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ТС 5 Определение 1.
Мера µ ( n ) z , определенная как (2.1) удовлетворяющая (2.3) на-зывается p -адической мерой Гиббса для модели (1.2), соответствующей функ-ции z : x ∈ V \ { x } → z x . Если существуют две p -адические меры Гиббса µ z и µ t такие, что толькоодна из них является ограниченной, то говорят, что существует фазовый пере-ход . Более того, если существует последовательность множеств { A n } такая, что A n ∈ Ω V n и | µ z ( A n ) | p → , | µ t ( A n ) | p → ∞ при n → ∞ , то говорят, что существует сильний фазовый переход . Если существуют две ограниченные p -адические мерыГиббса, то говорят, что существует квази фазовый переход [14].Следующая теорема дает условие на z x , гарантирующее согласованность рас-пределения µ ( n ) z . Теорема 3. [9] Вероятностное распределение µ ( n ) z , n = 1 , , ... , заданное фор-мулой (2.1), согласованно тогда и только тогда, когда для любого x ∈ V имеютместо следующие равенства: z ′ i,x = λ Y y ∈ S ( x ) z ′ i,y z ′ ,y + z ′ ,y , i = 1 , (2.4) где z ′ i,x = λz i,x /z ,x ∈ E p , i = 1 , . Трансляционно-инвариантная мера Гиббса
Решение вида z x = ( z , z ) ∈ E p , x = x системы уравнений (2.4) называ-ется трансляционно-инвариантным . Соответствующая p -адическая мера Гибб-са трансляционно-инвариантного решения системы уравнений (2.4) называетсятрансляционно-инвариантной мерой Гиббса.Для того, чтобы найти трансляционно-инвариантные p -адические меры Гиббсадля модели ТС, рассмотрим следующие уравнения z i = λ (cid:18) z i z + z (cid:19) k , i = 1 , . (3.1) Теорема 4. [9] Пусть p = 2 . Если k делится на , то для модели (1.2) суще-ствует единственная трансляционно-инвариантная -адическая мера Гиббса. Пусть p = 2 . Если k − не делится на p , то для модели (1.2) существуетединственная трансляционно-инвариантная p -адическая мера Гиббса. Замечание 1.
Условия Теоремы 4 не являются необходимыми для единствен-ности трансляционно-инвариантных p -адических мер Гиббса [9]. Возникаетестественный вопрос: существует ли фазовый переход для модели (1.2) на дере-ве Кэли порядка k . Очевидно, что при k = 2 условие Теоремы 4 не выпольняетсядля любого простого числа p . В работе [9] были показаны, что при k = 2 и p = 3 существуют три трансляционно-инвариантные p -адические меры Гиббса. О. Н. ХАКИМОВ
В этой работе мы исследуем трансляционно-инвариантные p -адические мерыГиббса для модели (1.2) на дереве Кэли порядка два. Утверждение 1.
Пусть k = 2 и p > . Тогда система уравнений (3.1) имеетединственное решение на инвариантном множестве (cid:8) z ∈ E p : z = z (cid:9) .Доказательство. Пусть z i = t, i = 1 , . Тогда из (3.1) получим t − λ ( t + 1) = 0 . Функция f ( t ) = 4 t − λ ( t + 1) является многочленом с целыми p -адическими ко-эффициентами. Учитывая λ ∈ E p и p > из f (1) = 4(1 − λ ) и f ′ (1) = 8 + 4(1 − λ ) имеем f (1) ≡ p ) и f (1) p ) . В силу леммы Гензеля существуетединственное число t ∗ ∈ E p такое, что f ( t ∗ ) = 0 . Это означает, что функцио-нальное уравнение (3.1) имеет единственное решение z ∗ = ( t ∗ , t ∗ ) на множестве (cid:8) z ∈ E p : z = z (cid:9) (cid:3) Обозначим M p = { a ∈ N : a квадратичный вычет по модулю p } . Утверждение 2.
Пусть k = 2 и p > . Если λ ∈ [ a ∈ M p [ n ∈ N n x ∈ E p : (cid:12)(cid:12) x − − ap n (cid:12)(cid:12) p < p − n o , то система уравнений (3.1) имеет два решения на инвариантном множестве { z ∈ E p : z = z } .Доказательство. Вычитая второе уравнение (3.1) из первого, получим ( z − z ) (cid:18) − λ (2 + z + z )( z + z ) (cid:19) = 0 Так как z = z , то имеем ( z + z ) − λ ( z + z ) − λ = 0 . (3.2)Решив квадратное уравнение (3.2), получим z + z = λ ± p λ ( λ + 8)2 . (3.3)Так как λ ∈ E p и p > , то имеем следующие λ = 1 + λ p + λ p + · · · и λ + 8 = 9 + λ p + λ p + · · · В силу Теоремы 1 существуют числа √ λ и √ λ + 8 в Q p . С другой стороны, z и z должны удовлетворять | z + z − | p < . Заметив p λ ( λ + 8) = 3 + λ ′ p + λ ′ p + · · · -АДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ТС 7 получим для z + z = λ + √ λ ( λ +8)2 , | z + z − | p = (cid:12)(cid:12)(cid:12) λ + p λ ( λ + 8) − (cid:12)(cid:12)(cid:12) p = | ( λ + λ ′ ) p + · · · | p < и для z + z = λ − √ λ ( λ +8)2 | z + z − | p = (cid:12)(cid:12)(cid:12) λ − p λ ( λ + 8) − (cid:12)(cid:12)(cid:12) p = |− λ ′ − λ ′ ) p + · · · | p = 1 . Подставляя z + z = λ + √ λ ( λ +8)2 в (3.1), мы получим z = (cid:18) z ) √ λ + √ λ + 8 (cid:19) . (3.4)Следовательно, получим решения квадратного уравнения (4.2) z ± = (cid:18) √ λ + √ λ + 8 (cid:19)(cid:18) √ λ ± q (cid:0) λ − p λ ( λ + 8) (cid:1)(cid:19) . (3.5)Мы должны проверить существование r (cid:16) λ − p λ ( λ + 8) (cid:17) в Q p и z ± ∈ E p .В силу Теоремы 1 число r (cid:16) λ − p λ ( λ + 8) (cid:17) существует тогда и только то-гда, когда существуют n ∈ N , a ∈ M и ε ∈ Z p такие, что (cid:16) λ − p λ ( λ + 8) (cid:17) = p n ( a + εp ) Отсюда найдем λ = 1 + 3 a p n + ǫp n +1 , где | ǫ | p ≤ , которая эквивалентно | λ − − ap n | p < p − n . Теперь проверим z ± ∈ E p . Пусть | λ − − ap n | p < p − n для некоторого натурального числа n и a ∈ M p . Тогдаимеем (cid:12)(cid:12) z ± − (cid:12)(cid:12) p = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:18) √ λ + √ λ + 8 (cid:19)(cid:18) √ λ ± q (cid:0) λ − p λ ( λ + 8) (cid:1)(cid:19) − (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) p = | (4 + αp ) (2 + βp ± γp n ) − | p < , где α, β, γ ∈ Z p . Это означает, что z ± ∈ E p . Таким образом, мы доказали, что функциональноеуравнение (3.1) имеет две решения z (1) = ( z + , z − ) и z (2) = ( z − , z + ) на множестве { z ∈ E p : z = z } , если | λ −
16 + 3 ap n | p < p − n . (cid:3) Из Утверждений 1 и 2 получим следующее
О. Н. ХАКИМОВ
Теорема 5.
Пусть k = 2 и p > . Тогда верны следующие утверждения: Если λ / ∈ [ a ∈ M p [ n ∈ N n x ∈ E p : (cid:12)(cid:12) x − − ap n (cid:12)(cid:12) p < p − n o , то существует единственная трансляционно-инвариантная p -адическая мераГиббса для модели (1.2); Если λ ∈ [ a ∈ M p [ n ∈ N n x ∈ E p : (cid:12)(cid:12) x − − ap n (cid:12)(cid:12) p < p − n o , то существуют три трансляционно-инвариантные p -адические меры Гиббсадля модели (1.2). периодическая мера гиббса В этом пункте мы исследуем периодические p -адические меры Гиббса для мо-дели (1.2) и используем групповую структуру дерева Кэли. Как известно (см. [6]),что существует вазимно однозначное соответствие между множеством вершин V дерева Кэли порядка k ≥ и группой G k , являющейся свободным произведением k + 1 циклических групп второго порядка с образующими a , a , . . . , a k +1 . Определение 2. [5] Пусть ˜ G нормальная подгруппа группы G k . Множество z = { z x : x ∈ G k } называется ˜ G - периодическим, если z yx = z x для любого x ∈ G k и x ∈ ˜ G . Соответсвующая p -адическая мера Гиббса µ z называется ˜ G - периоди-ческой. Очевидно, что G k -периодическая мера является трансляционно-инвариантной.Обозначим G (2) = { x ∈ G k : длина слова x четная } . Это множество является нормальной подгруппой индекса два [6].Следующая теорема характеризует множество всех периодических p -адических мер Гиббса для модели (1.2). Теорема 6.
Пусть ˜ G нормальная подгруппа конечного индекса в G k . Тогда лю-бая ˜ G -периодическая p -адическая мера Гиббса для модели (1.2) являетсяс либотрансляционно-инвариантной, либо G (2) -периодической.Доказательство. Расмотрим функцию F : E p → E p , определенную как F ( z ) = ( F ( z ) , F ( z )) , где F i ( z ) = 1 + z i z + z , i = 1 , . Легко проверить, что F i ( z ) = F ( t ) , i = 1 , в том и только в том случае, если z = t . Следовательно, имеем F ( z ) = F ( t ) тогда и только тогда, когда z = t .Из этого свойства как в доказательстве Теоремы 2 в [13] следует, что любая -АДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ТС 9 ˜ G -периодическая мера Гиббса является либо трансляционно-инвариантной либо G (2) -периодической. (cid:3) Благодаря этой теоремы имеем, что для того, чтобы найти периодические (нетрансляционно-инвариантные) меры Гиббса для модели (1.2), достаточно иссле-довать следующую систему уравнений: z = λ (cid:16) t t + t (cid:17) k ,z = λ (cid:16) t t + t (cid:17) k ,t = λ (cid:16) z z + z (cid:17) k ,t = λ (cid:16) z z + z (cid:17) k ,z = t , z = t . (4.1)Мы рассмотрим (4.1) при k = 2 . Предположим, что z = z = z . Тогда из (4.1)получим z = f ( f ( z )) , где f ( z ) = λ (cid:18) z z (cid:19) . Заметим, что уравнение f ( f ( z )) − z = 0 содержит решение уравнения f ( z ) − z = 0 . Но нас интересует только периодические (не являющиеся трансляционно-инвариантными) решения. Поэтому рассмотрим уравнение f ( f ( z )) − zf ( z ) − z = 0 , которое эквивалентно λz − − λ ) z + λ = 0 . (4.2)Это уравнение имеет решения в Q p z ± = 2 − λ ± √ − λλ , если существует √ − λ в Q p .Для того, чтобы решении z ± уравнения (4.2) были искомымы, надо проверить z ± ∈ E p и f ( z ± ) − z ∗ = 0 . Сначало мы иследуем при каких λ ∈ E p число √ − λ существует в Q p . Затем, проверим z ± ∈ E p и f ( z ± ) − z ∗ = 0 . Лемма 2.
Пусть λ ∈ E p . Число √ − λ существует в Q p тогда и только тогда,когда λ ∈ [ a ∈ M p [ n ∈ N n x ∈ E p : (cid:12)(cid:12) x − ap n (cid:12)(cid:12) p < p − n o , если p > (4.3) и λ ∈ [ n ∈ N (cid:8) x ∈ E : (cid:12)(cid:12) x − n (cid:12)(cid:12) < − n − (cid:9) , если p = 2 . (4.4) Доказательство.
Пусть p = 2 . Тогда из λ ∈ E получим λ = 1 + λ + λ + · · · , где λ i ∈ { , } , i = 2 , , . . . . Отсюда, в силу Теоремы 1 имеем − λ = 2 n (cid:0) λ ′ n +3 + λ ′ n +4 + · · · (cid:1) , n ∈ N , которое эквивалентно | λ − n | < − n − .Пусть p > . Тогда из λ ∈ E p получим λ = 1 + λ p + λ p + · · · , где λ i ∈ { , , . . . , p − } , i = 1 , , . . . . Тогда в силу Теоремы 1 имеем − λ = p n (cid:0) a + λ ′ n +1 p + λ ′ n +2 p + · · · (cid:1) , n ∈ N , a ∈ M p . Следовательно, получим | λ − ap n | p < p − n . (cid:3) Теперь проверим z ± ∈ E p . Заметив | λ | p = 1 и | − λ | p = p − n и используясвойство p -адической нормы, получим (cid:12)(cid:12) z ± − (cid:12)(cid:12) p = (cid:12)(cid:12) (cid:0) − λ ± √ − λ (cid:1)(cid:12)(cid:12) p | λ | p = | p n | p < p − / ( p − . Это означает, что z ± ∈ E p .Покажем f ( z ± ) − z ± = 0 . f ( z ± ) − z ± = λ (cid:18) z ± z + (cid:19) − z ± = − √ − λ (cid:0) ± √ − λ (cid:1) λ . Так как < | − λ | p < , то имеем | f ( z ± ) − z ± | p = 0 . Следовательно, z =( z + , z − ) , t = ( z − , z + ) и z = ( z − , z + ) , t = ( z + , z − ) являются решениями (4.1) при k = 2 .Таким образом, мы доказали следующее Утверждение 3.
Пусть k = 2 . Тогда (4.1) имеет по крайней мере два решенияна E p , если имеет место (4.3) и (4.4). Из этого утверждения получим следующую теорему
Теорема 7.
Пусть имеет место (4.3) при p > (и (4.4) при p = 2 ). Тогда длямодели (1.2) существуют по крайней мере две периодические p -адические мерыГиббса на дереве Кэли порядка два. -АДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ТС 11 Ограниченность p -адических мер Гиббса В этом пункте мы будем исследовать ограниченности p -адических мер Гиббсадля модели (1.2). Напомним, что p -адическая вероятностная мера может бытьнеограниченной. Лемма 3.
Пусть µ z есть p -адическая мера Гиббса для модели (1.2). Тогда длянормирующей константы ( ) имеет место следующая рекуррентная форму-ла: Z z,n +1 = A z,n Z z,n , n = 1 , , . . . , где A z,n определяется по формуле ( ) .Доказательство. Пусть функция z ′ : x → z ′ x = ( z ′ ,x , z ′ ,x ) ∈ E p удовлетворяетфункционльному уравнению (2.4). Тогда для любого z ,x ∈ E p , x ∈ V существуетфункция a z ( x ) такая, что Q y ∈ S ( x ) ( λz ,y + λz ,y ) = a z ( x ) z ,x , Q y ∈ S ( x ) ( z ,y + λz i,y ) = a z ( x ) z i,x , i = 1 , (5.1)где z i,x = z ,x z ′ i,x /λ, i = 1 , . Тогда для любой конфигурации σ ∈ Ω V n имеет местоследующие Y x ∈ W n Y y ∈ S ( x ) σ ( x )=0 ( λz ,y + λz ,y ) Y y ∈ S ( x ) σ ( x )=1 ( z ,y + λz ,y ) Y y ∈ S ( x ) σ ( x )=2 ( z ,y + λz ,y ) = Y x ∈ W n a z ( x ) z σ ( x ) ,x = A z,n Y x ∈ W n z σ ( x ) ,x , где A z,n = Y x ∈ W n a z ( x ) . (5.2)Учитывая (2.1) и (2.2) из (5.2) получаем X σ ∈ Ω Vn X ω ∈ Ω Wn +1 µ ( n +1) z ( σ ∨ ω ) = X σ ∈ Ω Vn X ω ∈ Ω Wn +1 Z z,n +1 λ σ ∨ ω Y x ∈ W n +1 z ω ( x ) ,x = A z,n Z z,n +1 X σ ∈ Ω Vn λ σ Y x ∈ W n z σ ( x ) ,x = A z,n Z z,n +1 Z z,n . Отсюда, Z z,n +1 = A z,n Z z,n . (cid:3) Теорема 8. p -адическая мера Гиббса для модели (1.2) является ограниченнойтогда и только тогда, когда p = 2 .Доказательство. Пусть z ′ = ( z ′ ,x , z ′ ,x ) ∈ E p решение функционального урав-нения (2.4) и µ z p -адическая мера Гиббса соответсвующей функции z = (cid:16) z ,x , z ,x z ′ ,x λ , z ,x z ′ ,x λ (cid:17) , где z ,x ∈ E p . Тогда в силу Леммы 3 при всех n ≥ име-ем Z z,n = Y x ∈ V n − a z ( x ) , где a z ( x ) = z k − ,x ( z ′ ,x + z ′ ,x ) k . Так как z ,x , z ′ ,x , z ′ ,x ∈ E p , то имеем | a z ( x ) | p = (cid:26) , если p = 2 , − k , если p = 2 . Следовательно, | Z z,n | p = (cid:26) , если p = 2 , − k | V n − | , если p = 2 . Отсюда для любой конфигурации σ ∈ Ω получим (cid:12)(cid:12) µ ( n ) z ( σ ) (cid:12)(cid:12) p = (cid:12)(cid:12) λ σ Q x ∈ W n z σ ( x ) ,x (cid:12)(cid:12) p | Z z,n | p = (cid:26) , если p = 2 , k | V n − | , если p = 2 . Это означает, что мера µ z является ограниченной тогда и только тогда, когда p = 2 . (cid:3) Следствие 1.
Для модели (1.2) не существует фазового перехода. В частно-сти, не существует сильного фазового перехода.
Следствие 2.
Пусть k = 2 и p > . Если λ ∈ [ a ∈ M p [ n ∈ N n x ∈ E p : (cid:12)(cid:12) x − − ap n (cid:12)(cid:12) p < p − n o , то для модели (1.2) существует квази фазовый переход. Список литературы [1] Albeverio S., Karwowski W.,
A random walk on p -adics, the generator and its spectrum ,Stochastic Processes Appl. (1994), 1–22.[2] Albeverio S., Zhao X., Measure-valued branching processes associated with random walks on p -adics , Ann. Probab. (2000), 1680–1710.[3] Yasuda K., Extension of measures to infinite-dimensional spaces over p -adic field , Osaka J.Math. , (2000), 967–985.[4] Bleher P.M., Ruiz J., Zagrebnov V.A. On the purity of the limiting Gibbs state for the Isingmodel on the Bethe lattice , Journ. Statist. Phys. (1995), 473–482.[5] Gandolfo D., Rozikov U.A., Ruiz J., On p -adic Gibbs Measures for Hard Core Model on a CayleyTree . Markov Processes Relat. Fields, (2012), 701–720[6] Ganikhodjaev N.N., Rozikov U.A., Description of periodic extreme Gibbs measures of somelattice model on the Cayley tree , Theor. Math. Phys. , (1997), 480–486.[7] Ganikhodjaev N.N., Mukhamedov F.M., Rozikov U.A.,
Phase transitions of the Ising model on Z in the p -adic number field , Uzbek. Math. J. , (1998), 23–29.[8] Georgii H.-O., Gibbs Measures and Phase Transitions (W. de Gruyter, Berlin, 1988).[9] Khakimov O.N., p -Adic Gibbs measures for the model of Hard Spheres with three states on theCayley tree . Theor. Math. Phys., (1), (2013), 1339–1351.[10] Khrennikov A. Yu., Non-Archimedean Analysis: Quantum Paradoxes, Dynamical Systems andBiological Models (Kluwer, Dordrecht, 1997).[11] Koblitz N., p -Adic Numbers, p -adic Analysis, and Zeta-Functions (Springer, Berlin, 1977).[12] Marinari E., Parisi G., On the p -adic five point function , Phys. Lett. B , (1988) 52–54. -АДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ТС 13 [13] Martin J.B, Rozikov U.A., Suhov Yu.M. A three state Hard-Core model on a Cayley tree , Jour.Nonlinear Math. Phys. (3) (2005), 432–448.[14] Mukhamedov F.M., On p -adic quasi Gibbs measures for q + 1 -state Potts model on the Cayleytree , p -adic Numb., Ultram. Anal. Appl., (2010), 241–251.[15] van Rooij A. C. M., Non-Archimedean Functional Analysis , (M. Dekker, New York, 1978).[16] Rozikov U.A., Khakimov O.N., p -Adic Gibbs Measures and Markov Random Fields on countablegraphs . Theor. Math. Phys. :1 (2013), 518–525.[17] Rozikov U.A., Shoyusupov Sh.A., Fertile HC models with three states on a Cayley tree . Theor.Math. Phys. :3 (2008), 1319–1330.[18] Schikhof W.H., Ultrametric Calculus (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1984).[19] Vladimirov V.S., Volovich I. V., Zelenov E. V., p -Adic Analysis and Mathematical Physics(World Sci., Singapore, 1994). O. N. Khakimov, Институт математики, ул. Дурмон йули, 29, Ташкент, 100125,Узбекистан.
E-mail address ::