Opérateurs d'entrelacement et algèbres de Hecke avec paramètres d'un groupe réductif p -adique - le cas des groupes classiques
aa r X i v : . [ m a t h . R T ] S e p OP´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DEHECKE AVEC PARAM`ETRES D’UN GROUPE R´EDUCTIF p -ADIQUE - LE CAS DES GROUPES CLASSIQUES Volker Heiermann
Abstract.
For G a symplectic or orthogonal p -adic group (not necessarily split),or an inner form of a general linear p -adic group, we compute the endomorphismalgebras of some induced projective generators `a la Bernstein of the category ofsmooth representations of G and show that these algebras are isomorphic to the semi-direct product of a Hecke algebra with parameters by a finite group algebra. Ourstrategy and parts of our intermediate results apply to a general reductive connected p -adic group.R´ESUM´E: Pour G un groupe symplectique ou orthognal p -adique (d´eploy´e ou non)ou une forme int´erieure d’un groupe lin´eaire p -adique, nous calculons les alg`ebresd’endomorphismes de certains g´en´erateurs projectifs induits `a la Bernstein dans lacat´egorie des repr´esentations lisses de G , et nous montrons que ces alg`ebres sontisomorphes au produit semi-direct de l’alg`ebre d’un groupe fini avec une alg`ebrede Hecke avec param`etres. Notre strat´egie et une bonne partie des r´esultats in-term´ediaires s’appliquent `a un groupe r´eductif connexe p -adique arbitraire. Soient G (le groupe des points d’) un groupe r´eductif connexe d´efini sur F , P = M U un sous-groupe parabolique de G et ( σ, E ) une repr´esentation irr´eductiblecuspidale de M . Notons X nr ( M ) le groupe des caract`eres non ramifi´es de M , O l’ensemble des classes d’´equivalence de repr´esentations de la forme σ ⊗ χ , χ ∈ X nr ( M ), et W O l’orbite de O pour l’action par le groupe de Weyl W de G .D´esignons par i GP le foncteur de l’induction parabolique normalis´e, par r GP sonadjoint `a gauche et par Rep ( W O ) la sous-cat´egorie pleine de la cat´egorie Rep ( G )des repr´esentations lisses complexes de G dont les objets sont les repr´esentations π qui v´erifient la propri´et´e suivante: l’ensemble des classes d’´equivalence des sous-quotients irr´eductibles de r GP ′ π est contenu dans W O si P ′ est associ´e `a P , et il necontient aucun sous-quotient irr´eductible cuspidal sinon.Remarquons que Rep ( G ) est le produit direct des sous-cat´egories Rep ( W O ).Notons M l’intersection des noyaux des caract`eres non ramifi´es de M et ( σ , E )une composante irr´eductible de la restriction de σ `a M . D´esignons par ind MM lefoncteur de l’induction compacte. Il a ´et´e montr´e par Bernstein [Ro, 1.6] que la Typeset by
AMS -TEX VOLKER HEIERMANN cat´egorie
Rep ( W O ) est isomorphe `a la cat´egorie des End G ( i GP ind MM E )-modules`a droite. Remarquons que ind MM E ne d´epend pas du choix de ( σ , E ). Cetisomorphisme de cat´egories est par ailleurs compatible avec l’induction paraboliqueet le foncteur de Jacquet [Ro, 2.4].Nous nous proposons ici de d´eterminer l’alg`ebre End G ( i GP ind MM E ) plus ex-plicitement. Nous nous restreignons pour cela au cas o`u G est un groupe symplec-tique ou orthogonal (d´eploy´e ou non) ou encore o`u G est une forme int´erieure deGL n ( F ). Dans cette situation, nous donnons une base de cette alg`ebre en tant quemodule sur un anneau de fonctions r´eguli`eres sur O (cf. proposition ) pour end´eduire que cette alg`ebre est isomorphe au produit semi-direct d’une alg`ebre deHecke avec param`etres (au sens de Lusztig [L]) avec l’alg`ebre d’un groupe fini (cf.th´eor`eme ). Les param`etres possibles sont d’ailleurs bien connus dans le cas desgroupes consid´er´es ici (cf. ). Nous finissons notre article avec quelques remar-ques disant que l’isomorphisme de cat´egories qui est d´eduit de notre isomorphismed’alg`ebres est compatible avec l’induction parabolique et le foncteur de Jacquet (cf. ).En fait, les hypoth`eses dont nous avons besoin devraient ´egalement ˆetre v´erifi´eespour d’autres formes de ces groupes classiques. Par ailleurs, notre approche etune bonne partie des r´esultats interm´ediaires sont g´en´erales. Certaines preuves ontd’ailleurs ´et´e motiv´ees par l’obtention d’un r´esultat g´en´eral et pourraient bien ˆetresimplifi´ees sous les hypoth`eses impos´ees dans ce papier.Signalons que, dans le cas d’un groupe r´eductif p -adique arbitraire, il faudrait´eventuellement remplacer l’alg`ebre de groupe de R par l’alg`ebre de groupe torduepar un 2-cocycle.Rappelons que la th´eorie des repr´esentations des alg`ebres de Hecke avec para-m`etres a ´et´e largement ´etudi´ee par Lusztig et d’autres.Remarquons finalement qu’une autre approche pour obtenir les r´esultats de cepapier est une des motivations d’une th´eorie init´ee par C. Bushnell et Ph. Kutzko[BK], appel´ee ”th´eorie des types”. Cette th´eorie donne des r´esultats dans ce senspour les groupes consid´er´es ici, mais qui ne sont complets que dans le cas d’unealg`ebre de division (C. Bushnell et Ph. Kutzko dans le cas d´eploy´e et V. Secherredans le cas g´en´eral) et encore partiels pour les formes d´eploy´ees des groupes clas-siques consid´er´es ici (Sh. Stevens). Apr`es de longues consid´erations techniquesdifficiles et longues, cette th´eorie donne par contre en principe des r´esultats pluspr´ecis puisqu’elle permet de d´eterminer ´egalement les param`etres associ´es `a une or-bite inertielle O . Ces param`etres sont toutefois maintenant connus pour les groupesclassiques grˆace `a l’´etablissement de la correspondance de Arthur-Langlands pourles repr´esentations cuspidales de ces groupes par C. Moeglin [M], comme d´ej`e re-marqu´e ci-dessus. Son travail fait suite aux r´esultats de J. Arthur sur les s´eriesdiscr`etes de ces groupes qui sont une cons´equence de sa stabilisation de la formuledes traces.L’auteur remercie J.-L. Waldspurger pour lui avoir indiqu´e sur l’exemple de P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 3 SL la possibilit´e de retrouver des alg`ebres de Hecke avec param`etres `a partird’op´erateurs d’entrelacement. Il a ´egalement profit´e de discussions avec P. Schnei-der et E.-W. Zink sur diff´erents aspects de cet article, et il remercie G. Henniart etJ.-L. Waldspurger pour des remarques sur une version pr´eliminaire de ce papier. Nous gardons les hypoth`eses et notations de l’introduction. En outre, nousfixons un sous-groupe parabolique minimal P contenu dans P , un sous-groupe deLevi M de P contenu dans M , P = M U , et un tore A d´eploy´e maximal (sur F ) de M . Le tore d´eploy´e maximal contenu dans M sera d´esign´e par A M . Nousnoterons W = W G le groupe de Weyl de G d´efini relatif `a A , et nous d´esigneronspar K un sous-groupe compact maximal de G qui est en bonne position par rapport`a A . Par ailleurs, lorsque H est un groupe, nous ´ecrirons X ( H ) pour le groupeHom( H, C × ).L’ensemble des racines non triviales de A M dans l’alg`ebre de Lie de G serad´esign´e par Σ( A M ), le sous-ensemble des racines qui agissent dans l’alg`ebre de Liede U , par Σ( P ), et l’ensemble des racines r´eduites par Σ red ( P ). On a une bijection α M α entre Σ red ( P ) et l’ensemble des sous-groupes de Levi de G qui contiennent M et qui sont minimaux pour cette propri´et´e.Par ailleurs, on d´esignera pas a M l’alg`ebre de Lie r´eelle de A M , par a ∗ M sondual, par a ∗ M, C son complexifi´e, par | · | F le module de F , par q le cardinal du corpsr´esiduel de F et par H M l’application M → a M qui v´erifie q −h H M ( m ) ,α i = | α ( m ) | F pour tout caract`ere rationnel α de M et tout m ∈ M . Si s est un nombre complexe,on note χ α ⊗ s le caract`ere non ramifi´e m
7→ | α ( m ) | s de M . Cette application seprolonge en un homomorphisme de groupes a ∗ M, C → X nr ( M ) qui est surjectif. Nous noterons W ( M ) l’ensemble des repr´esentants dans W de longueur min-imale dans leur classe `a droite modulo W M du groupe quotient { w ∈ W | w − M w = M } /W M . Observons que W ( M ) est un sous-groupe de W . Nous d´esignons par W ( M, O ) le sous-groupe de W ( M ) form´e des ´el´ements qui stabilisent O .Pour w ∈ W ( M, O ), posons l M ( w ) := | Σ red ( P ) ∩ Σ red ( wP w − ) | . La longueurusuelle sur W sera d´esign´ee par l G ou simplement l . Proposition:
Pour que deux ´el´ements w et w ′ de W ( M ) v´erifient l M ( ww ′ ) = l M ( w ′ ) + l M ( w ) , il faut et il suffit que l ( ww ′ ) = l ( w ) + l ( w ′ ) .Preuve: Remarquons d’abord que, pour tout w ∈ W ( M ), w Σ red ( M ∩ P ) =Σ red ( M ∩ P ) et que l ( w ) = | Σ red ( P ) ∩ Σ red ( wP ) | . Il s’ensuit tout d’abord queΣ M ( A ) ∩ Σ red ( P ) ∩ Σ red ( wP ) = ∅ . Donc, un ´el´ement α de Σ( A ) est dansΣ red ( P ) ∩ Σ red ( wP ), si et seulement si α | A M ∈ Σ( P ) ∩ Σ( wP ). Par suite, pour w, w ′ ∈ W ( M ), l M ( ww ′ ) = l M ( w ) + l M ( w ′ ) ´equivaut `a | Σ red ( P ) ∩ Σ red ( ww ′ P ) | = | Σ red ( P ) ∩ Σ red ( wP ) | + | Σ red ( P ) ∩ Σ red ( w ′ P ) | , VOLKER HEIERMANN d’o`u la proposition par l’expression pour l ( w ) rappel´ee au d´ebut. ✷ Pour tout w ∈ W , notons P ( w ) = M ( w ) U ( w ) le sous-groupe parabolique stan-dard minimal tel que P, wP ⊆ P ( w ). (Si M α est un sous-groupe de Levi standardet w l’´el´ement non trivial de W M α ( M ), alors M ( w ) = M α .) On peut choisir desrepr´esentants w des ´el´ements de W dans G tels que w ∈ K ∩ M ( w ), ce que l’on ferad´esormais. On identifiera dans la suite les ´el´ements de W avec leurs repr´esentantsdans K . Il sera toujours clair d’apr`es le contexte, si w d´esigne un ´el´ement de W ou de G , en faisant les conventions suivantes: pour w, w ′ ∈ W , le symbole ww ′ ,consid´er´e comme ´el´ement de K , d´esigne le produit du repr´esentant de w dans K avec celui de w ′ et non pas le repr´esentant de ww ′ . Par ailleurs, le symbole w − correspondra `a l’inverse (du repr´esentant) de w dans le groupe G qui est bien un´el´ement de K ∩ M w .Remarquons que notre construction d’op´erateurs de End G ( i GP E B ) sera essen-tiellement ind´ependante du choix de l’ensemble des repr´esentants de W . On feratoutefois dans quelques restrictions suppl´ementaires sur ces repr´esentants.Lorsque P = M U est un sous-groupe parabolique semi-standard de G , ( π, V )une repr´esentation lisse de M et w ∈ W , on d´esignera par λ ( w ) l’isomorphisme i GP V → i GwP wV , v v ( w − · ). On peut ´egalement d´efinir λ ( g ) pour tout ´el´ement g de G . Si g ∈ M , alors λ ( g ) est un isomorphisme i GP V → i GP gV qui est induit parfonctorialit´e de l’isomorphisme π ( g − ) : V → gV . On ´ecrira ´egalement i GP ( π ( g − ))(`a ne pas confondre avec i GP π ( g − )). La fonction µ de Harish-Chandra est par exemple d´efinie dans [W, V.2].Nous ´ecrirons µ H , si elle est d´efinie sur O par rapport `a un sous-groupe r´eductif H de G qui contient M . Nous omettrons cet exposant, si G = H . Th´eor`eme: ([Si, 5.4.2.2 et 5.4.2.3]) (Harish-Chandra)
Soit α ∈ Σ( P ) et soit σ une repr´esentation irr´eductible cuspidale de M .a) Si µ M α ( σ ) = 0 , alors il existe un unique ´el´ement non trivial s α dans W M α ( M ) tel que s α ( P ∩ M α ) = P ∩ M α et s α σ ≃ σ .b) Supposons qu’il existe un unique ´el´ement non trivial s α dans W M α ( M ) telque s α ( P ∩ M α ) = P ∩ M α et s α σ ≃ σ . Alors, pour que µ M α ( σ ) = 0 , il faut etil suffit que la repr´esentation i M α P ∩ M α σ soit r´eductible. La repr´esentation i M α P ∩ M α σ est alors somme directe de deux repr´esentations irr´eductibles non isomorphes. L’ensemble Σ O ,µ := { α ∈ Σ red ( A M ) | µ M α a un z´ero } estun syst`eme de racines. Pour α ∈ Σ O ,µ , d´esignons par s α l’unique ´el´ement de W M α ( M, O ) qui conjugue P ∩ M α et P ∩ M α . Le groupe de Weyl W O de Σ O ,µ s’identifie au sous-groupe de W ( M, O ) engendr´e par les r´eflexions s α . Pour tout α ∈ Σ O ,µ , notons α ∨ l’unique ´el´ement de a M α M qui v´erifie h α, α ∨ i = 2 . Alors Σ ∨ O ,µ := { α ∨ | α ∈ Σ O ,µ } est l’ensemble des coracines de Σ O ,µ , la dualit´e ´etant celle P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 5 entre a M et a ∗ M .L’ensemble Σ( P ) ∩ Σ O ,µ est l’ensemble des racines positives pour un certain ordresur Σ O ,µ .Preuve: La preuve de la premi`ere partie de la proposition est analogue `a cellede la proposition dans [H2] (voir ´egalement [Si]), apr`es avoir v´erifi´e que Σ O est stable pour l’action de W ( M, O ). Ceci r´esulte de la W ( M, O )-invariance de lafonction µ de Harish-Chandra [W, V.2.1].Soit α ∈ Σ O ,µ . Le sous-espace vectoriel de a ∗ M engendr´e par α est a M α ∗ M . Celui-ciest l’orthogonal de a M α . Par suite, α ∨ doit appartenir `a a M α M . Comme h α, α ∨ i = 2,c’est donc bien la coracine.La derni`ere assertion vient du simple fait que Σ( P ) d´efinit un ordre sur Σ red ( A M ), donc sur Σ O ,µ . ✷ D´efinition:
On pose Σ O ,µ ( P ) = Σ( P ) ∩ Σ O ,µ , et on note ∆ O ,µ la base de Σ O ,µ d´etermin´ee par l’ordre pour lequel l’ensemble des racines positives est Σ O ,µ ( P ). Lalongueur sur W O sera d´esign´ee par l O .On fixe par ailleurs une repr´esentation unitaire σ dont la classe d’´equivalenceappartient `a O telle que µ M α ( σ ) = 0 pour tout α ∈ ∆ O ,µ . (Ceci est possible,puisque ∆ O ,µ est une base.) Pour α ∈ Σ O ,µ , fixons un ´el´ement h α de M ∩ M α tel que H M ( h α ) soit unmultiple de α ∨ par un nombre r´eel > χ ∈ X nr ( M ), χ ( h α ) = 1´equivaut `a χ ∈ X nr ( M α ) (cf. [H2, 1.2]). Notons t α le plus petit entier ≥ χ ( h t α α ) = 1 ´equivaut `a χ ∈ X nr ( M α ) Stab( O ). Notons b h α l’application X nr ( M ) → C , χ χ ( h α ), et posons Y α = b h α et X α = Y t α α . (La raison pour cette notationdouble deviendra claire dans la section 2.) Lemme:
Pour w ∈ W ( M ) , on a w Y α = Y wα . En particulier, s α Y α = Y − α .Preuve: La fonction Y α ne d´epend de h α que par son image dans a M α M . Posons H M ( h α ) = m α α ∨ avec m α >
0. Remarquons que Y α = b h α et donc w Y α = w b h α = b wh α w − . Comme H M ( wh α w − ) = m α ( wα ∨ ), il reste `a prouver que m α = m wα .Pour λ ∈ a ∗ M, C , la valeur de χ λ en h α est d´etermin´ee par la projection de λ sur a M α ∗ M . Il en est de mˆeme pour h wα . Comme, pour λ ∈ C , χ λ ( wα ) ( wh α w − ) = w χ λα ( wh α w − ) = χ λα ( h α ) , on a χ λ ( wα ) ( wh α w − ) = 1 si et seulement, si χ λα ∈ X nr ( M α ). Mais, ceci ´equivaut`a χ λ ( wα ) = w χ λα ∈ X nr ( M wα ). Donc, H M ( h wα ) = H M ( wh α w − ), et, par suite, m α = m wα . ✷ VOLKER HEIERMANN
Le r´esultat suivant a ´et´e montr´e par A. Silberger [Si, 1.6] (voir ´egalement laremarque dans la preuve de la proposition dans [H2]).
Proposition:
Soit α ∈ Σ red ( P ) et s = s α . Si µ M α n’est pas constante, alors α ∈ Σ O ,µ , et on peut trouver une constante c ′ s > et des nombres r´eels a s ≥ et b s ≥ tels que l’on ait l’identit´e de fonctions rationnelles µ M α ( σ ⊗ · )= c ′ s (1 − X α ( · ))(1 − X − α ( · ))(1 − X α ( · ) q − a s )(1 − X − α ( · ) q − a s ) (1 + X α ( · ))(1 + X − α ( · ))(1 + X α ( · ) q − b s )(1 + X − α ( · ) q − b s ) . Comme ∆ O ,µ est lin´eairement ind´ependant, on peut choisir σ tel que, pour tout α ∈ ∆ O ,µ , les nombres r´eels a s α et b s α de l’´enonc´e de laproposition ci-dessus v´erifient a s α ≥ b s α , ce que l’on supposera d´esormais. Enparticulier, a s α > Lorsque P ′ = M U ′ est un autre sous-groupe parabolique, notons J P | P ′ l’op´erateur d’entrelacement d´efini dans [W, IV]. C’est un op´erateur rationnel X nr ( M ) → Hom C ( i KP ′ ∩ K E, i KP ∩ K E ) , χ J P | P ′ ( σ ⊗ χ )qui induit en tout point r´egulier χ un homomorphisme entre les repr´esentations i GP ′ ( σ ⊗ χ ) et i GP ( σ ⊗ χ ). Lemme:
Soit α ∈ ∆ O ,µ , s = s α , et supposons que M α soit un sous-groupede Levi standard de G . L’op´erateur J P | sP est rationnel en Y α . Les pˆoles de J P | sP sont pr´ecis´ement les z´eros de µ M α . Tout pˆole est d’ordre et son r´esidu est bijectif.Par ailleurs, J P | sP J sP | P est ´egal `a ( µ M α ) − `a multiplication par une constante nonnulle pr`es.Preuve: La propri´et´e de rationnalit´e r´esulte de [W, IV.1.1], en remarquantque J P | sP est invariant par X nr ( M α ). Grˆace `a la propri´et´e de fonctorialit´e quel’op´erateur d’entrelacement v´erifie relative `a l’induction parabolique, on peut seramener au cas o`u P est un sous-groupe parabolique maximal. Alors, sP = P , et J P | sP J sP | P est ´egal `a µ − multipli´e par une constante non nulle.Soit σ un pˆole de J P | P . Alors, par [Si, 5.4.2.1], σ est une repr´esentationunitaire. Comme, d’apr`es [W, V.2.3], l’op´erateur µJ P | P est r´egulier en σ , on abien µ ( σ ) = 0.R´eciproquement, supposons µ ( σ ) = 0. Alors, comme µ − = J P | P J P | P , aumoins un des op´erateurs J P | P ou J P | P doit avoir un pˆole en σ . Or, un tel pˆole estau plus d’ordre 1 (cf. [W, IV.1.2]). Comme les pˆoles de µ − sont d’ordre 2, J P | P doit avoir un pˆole d’ordre 1. P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 7
Finalement, µ ( σ ) = 0 implique par le th´eor`eme de Harish-Chandra que sσ ≃ σ et que i GP σ et i GP σ sont irr´eductibles. Comme le r´esidu de J P | P en σ est unop´erateur d’entrelacement i GP σ → i GP σ , celui-ci doit ˆetre bijectif. ✷ Soient w, w ′ ∈ W et soient P ww ′ , P w ′ des sous-groupes paraboliques stan-dards de G de sous-groupes de Levi ww ′ M w ′− w − et w ′ M w ′− respectivement.´Ecrivons dans la suite µ P,w,w ′ ou plus simplement µ w,w ′ pour la fonction rationnellesur X nr ( M ) telle que µ w,w ′ ( χ ) = Q α µ M α ( σ ⊗ χ ), le produit portant sur Σ( P ) ∩ Σ( w ′− P w ′ ) ∩ Σ( w ′− w − P ww ′ ). (Remarquons que P w ′ = P ww ′ = P , si w, w ′ ∈ W ( M, O ).) Proposition:
Soient w, w ′ ∈ W . Alors, en tant que fonction rationnelle en χ ∈ X nr ( M ) , λ ( ww ′ ) J w ′− w − P ww ′ | P ( σ ⊗ χ )= µ w,w ′ ( χ ) λ ( w ) J w − P ww ′ | P w ′ ( w ′ σ ⊗ w ′ χ ) λ ( w ′ ) J w ′− P w ′ | P ( σ ⊗ χ ) . Preuve:
Ceci est une cons´equence imm´ediate des r`egles de composition pour lesop´erateurs d’entrelacement [W]. ✷ Soit P ′ = M U ′ un autre sous-groupe parabolique de Levi M . Si Σ( P ) ∩ Σ( P ′ ) a une intersection vide avec Σ O ,µ ( P ) , l’op´erateur J P ′ | P estbien d´efini et bijectif en tout point de O .Preuve: Comme J P ′ | P se d´ecompose en des op´erateurs d’entrelacement ´el´emen-taires qui proviennent d’op´erateurs d’entrelacement relatifs `a des M α , α Σ O ,µ ( P ),on est ramen´e au cas o`u P est un sous-groupe parabolique maximal de G et P ′ = P avec µ constante. D’apr`es [Si, 5.4.2.1], les pˆoles de J P | P sont des repr´esentationsunitaires. Comme µ est constante et que l’op´erateur µJ P | P est r´egulier en touterepr´esentation unitaire de O [W, V.2.3], J P | P doit lui-mˆeme ˆetre r´egulier sur O . Ilest bijectif en tout point de O , puisque µ ne s’annulle pas. ✷ D´efinition:
On pose R ( O ) = { w ∈ W ( M, O ) | wα ∈ Σ( P ) pour tout α ∈ Σ( P ) ∩ Σ O ,µ } . Le groupe R ( O ) est un sous-groupe de W ( M, O ) . On a W ( M, O ) = R ( O ) ⋉ W O .Preuve: Posons R = R ( O ). Comme Σ O ,µ est W ( M, O )-invariant (cf. preuve de ), R est par d´efinition un sous-groupe de W ( M, O ). Le groupe W O est engendr´epar les sym´etries s α , α ∈ ∆ O . Comme ws α w − = s wα et que wα ∈ Σ O ,µ , W O est VOLKER HEIERMANN un sous-groupe distingu´e de W ( M, O ). Comme W O permute les chambres de Weyldans Σ O ,µ , on a W O ∩ R = { } . Il reste `a montrer que W ( M, O ) = RW O .Or, soit w ∈ W ( M, O ). Alors, w (Σ( P ) ∩ Σ O ,µ ) = Σ( wP w − ) ∩ Σ O ,µ . Ceci estl’ensemble des racines positives dans Σ O ,µ pour un certain ordre sur Σ O ,µ . Comme W O permute transitivement les diff´erents ordres sur Σ O , il existe w ′ ∈ W O tel que w ′ w (Σ( P ) ∩ Σ O ,µ ) = Σ( P ) ∩ Σ O ,µ , i.e. w ′ w ∈ R . ✷ Supposons que G soit un groupe symplectique ou orthogonal,et notons d = rg F ( G ) .a) En rempla¸cant σ par un autre ´el´ement de O et en conjuguant ( M, σ ) par un´el´ement de G , on peut supposer M = M ( F ) avec M = GL k × · · · × GL k × GL k × · · · × GL k × · · · × GL k r × · · · × GL k r × H k , o`u H k d´esigne un groupe semi-simple de rang absolu k du mˆeme type que G , et σ = σ ⊗ · · · ⊗ σ ⊗ σ ⊗ · · · ⊗ σ ⊗ · · · ⊗ σ r ⊗ · · · ⊗ σ r ⊗ τ, les classes inertielles des σ i ´etant deux `a deux distinctes, ainsi que σ i ≃ σ ∨ i si σ i et σ ∨ i sont dans une mˆeme orbite inertielle.b) Notons d i le nombre de facteurs ´egaux `a σ i et identifions A M `a T = G d m × G d m × · · · × G d r m . Notons α i,j le caract`ere rationnel de A M (identifi´e `a T ) qui envoieun ´el´ement x = ( x , , . . . , x ,d , x , , . . . , x ,d , . . . , x r, , . . . , x r,d r ) sur x i,j x − i,j +1 ,si j < d i , et sur x i,d i , si j = d i . Le syst`eme de racines Σ O ,µ est la somme directede r composantes irr´eductibles ou vides Σ O ,µ,i , i = 1 , . . . , r , d´efinies de la mani`eresuivante:Supposons d’abord ou k = 0 ou G de syst`eme de racine de type B d .(i) Si la fonction s µ ( σ i | det k i | s ⊗ τ ) (d´efinie relativement `a GL k i × H k et H k i + k ) a un pˆole sur C , alors une base de Σ O ,µ,i est donn´ee par { α i, , . . . , α i,d i } ,et ce syst`eme est de type B d i .(ii) Si la fonction s µ ( σ i | det k i | s ⊗ τ ) (d´efinie relativement `a GL k i × H k et H k i + k ) est r´eguli`ere sur C et σ i ≃ σ ∨ i , alors une base de Σ O ,µ,i est donn´ee par { α i, , . . . , α i,d i − , α i,d i − + 2 α i,d i } , et ce syst`eme est de type D d i .(iii) Sinon, une base de Σ O ,µ,i est donn´ee par { α i, , . . . , α i,d i − } , et ce syst`emeest de type A d i − .Supposons maintenant k = 0 et ou G de syst`eme de racines de type C d ou G desyst`eme de racines de type D d et k i ≥ . Alors, dans le cas (i) ci-dessus, une basede Σ O ,µ,i est donn´ee par { α i, , . . . , α i,d i } , et le syst`eme est de type C d i . Dans lesautres cas, la situation reste inchang´ee.Supposons finalement k = 0 , G de syst`eme de racines de type D d et k i = 1 . Alors,si σ i ≃ σ ∨ i , une base de Σ O ,µ,i est donn´ee par { α i, , . . . , α i,d i − , α i,d i − + 2 α i,d i } et ce syst`eme est de type D d i . Sinon, le syst`eme est de type A d i − et une base estdonn´ee par { α i, , . . . , α i,d i − } . P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 9
Preuve:
Le fait que les sous-groupes de Levi de G ont la forme indiqu´ee est bienconnue. Par permutation des facteurs, on met σ dans la forme voulue. Supposonsqu’il existe un caract`ere non ramifi´e χ i de GL k i tel que σ ∨ i ≃ σ i ⊗ χ i . On peut´ecrire χ i = | det k i | s i F , o`u s i est un nombre complexe. Posons χ / i = | det k i | s i / .Alors ( σ i ⊗ χ / i ) ∨ ≃ σ ∨ i ⊗ χ − / i χ i = σ i ⊗ χ / i . Identifions A M au tore T , ´ecrivons x = ( x , , . . . , x ,d , x , , . . . , x ,d , . . . , x r, ,. . . , x r,d r ) pour l’´el´ement g´en´eral de T et examinons les diff´erents cas de figure.Supposons d’abord ou k = 0 ou G de syst`eme de racines de type B d . Les racinesr´eduites dans Σ( A M ) sont alors x x ± i,j x ± i ′ ,j ′ , ( i, j ) = ( i ′ , j ′ ), ainsi que x x ± i,j .(Comme k = 0, il existe bien dans le cas d’un syst`eme de racines de type C d ou D d des racines de restriction `a A M ´egale `a x x ± i,j .) Si α ∈ Σ( A M ) correspond `a uneracine x x i,j x − i ′ ,j ′ , ( i, j ) = ( i ′ , j ′ ), alors la fonction µ M α est ´egale `a celle d´efinie `apartir de la repr´esentation σ i ⊗ σ i ′ du sous-groupe de Levi GL k i × GL k i ′ de GL k i + k i ′ .Si α ∈ Σ( A M ) correspond `a une racine x x i,j x i ′ ,j ′ , ( i, j ) = ( i ′ , j ′ ), i ≤ i ′ , alorsla fonction µ M α est ´egale `a celle d´efinie `a partir de la repr´esentation σ i ⊗ σ ∨ i ′ dusous-groupe de Levi GL k i × GL k i ′ de GL k i + k i ′ . Dans les autres cas, la fonction µ M α est `celle d´efinie par la repr´esentation σ i ⊗ τ du sous-groupe de Levi GL k i × H m de H m + k i . Selon les diff´erents cas pr´esent´es dans (i), (ii) et (iii), on d´eduit alorsdu th´eor`eme de Harish-Chandra et des r´esultats de Bernstein-Zelevinsky [BZ]le r´esultat indiqu´e.Pour k = 0 et G de syst`eme de racines de type C d , les racines r´eduites dansΣ( A M ) sont x x ± i,j x ± i ′ ,j ′ , ( i, j ) = ( i ′ , j ′ ), ainsi que x x ± i,j . On conclut alorscomme ci-dessus.Pour k = 0 et G de syst`eme de racines de type D d finalement, les racines r´eduitesdans Σ( A M ) sont x x ± i,j x ± i ′ ,j ′ , ( i, j ) = ( i ′ , j ′ ), ainsi que, si k i ≥ x x ± i,j . Onconclut alors comme ci-dessus, en tenant compte du fait que la fonction µ est bienconnue pour les groupes d´eploy´es de rang 1. ✷ Supposons que G soit le groupe des points rationnels d’uneforme int´erieure de GL n , i.e. G = GL n ( D ) , o`u D est une alg`ebre `a division decentre F .En rempla¸cant σ par un autre ´el´ement de O et en conjuguant ( M, σ ) par un´el´ement de G , on peut supposer M ´egal `a GL k ( D ) ×· · ·× GL k ( D ) × GL k ( D ) ×· · ·× GL k ( D ) ×· · ·× GL k r ( D ) ×· · ·× GL k r ( D ) et σ = σ ⊗ · · · ⊗ σ ⊗ σ ⊗ · · · ⊗ σ ⊗ · · · ⊗ σ r ⊗ · · · ⊗ σ r , les classes inertielles des σ i ´etant deux `a deux distinctes.Notons d i le nombre de facteurs ´egaux `a σ i et identifions A M `a T = G d m × G d m ×· · · × G d r m . Notons α i,j le caract`ere rationnel de A M (identifi´e `a T ) qui envoie un ´el´ement x = ( x , , . . . , x ,d , x , , . . . , x ,d , . . . , x r, , . . . , x r,d r ) sur x i,j x − i,j +1 . Lesyst`eme des racines Σ O ,µ est la somme directe de r composantes irr´eductibles ouvides Σ O ,µ,i , i = 1 , . . . , r , de type A d i − et de base { α i, , . . . , α i,d i − } respective-ment.Preuve: Pour G d´eploy´e, ceci r´esulte des travaux de Bernstein-Zelevinsky [BZ]avec le th´eor`eme de Harish-Chandra . Dans le cas g´en´eral, on le d´eduit destravaux de Bernstein-Zelevinsky avec la formule des traces [DKV, T]. ✷ (i) Si G est un groupe lin´eaire ou le groupe multiplicatifd’une alg`ebre `a division, alors R ( O ) = 1 .(ii) Sinon, R ( O ) = 1 , si et seulement si les conclusions du (ii) de la proposition sont v´erifi´ees pour au moins un indice i avec, si G est de type D n , de plus k i pair ou bien H = 1 et τ invariant par l’automorphisme ext´erieur. Le groupe R ( O ) est alors le produit direct des groupes R ( O ) i index´es par les i pour lesquelsles conclusions ci-dessus sont v´erifi´ees avec R ( O ) i = { , s α i,di } ( s α i,di ´echangeant α i,d i − et α i,d i − + 2 α i,d i et v´erifiant s α i,di σ i ≃ σ ∨ i ).Preuve: Il est facile de voir que les conditions du th´eor`eme sont r´euniesexactement dans les cas d´ecrits dans l’´enonc´e, en prenant en compte [BJ, 3.4] pourles groupes de type D n . ✷ La proposition ainsi que la proposition nous conduisent `a ajouter lesdeux hypoth`eses suivantes sur le choix des repr´esentants des ´el´ements de W ( M, O ):concernant les repr´esentants des ´el´ements dans R ( O ), on suppose que, si r est unproduit d’´el´ement s α i dans R ( O ) i deux `a deux distincts dans R ( O ), alors il en estainsi pour les repr´esentants. Concernant un ´el´ement arbitraire w de W ( M, O ), onsuppose que, si w = w O r avec w O ∈ W O et r ∈ R ( O ), alors le repr´esentant de w est le produit de celui de w O avec celui de r . La proposition suivante est un cas particulier d’un r´esultat bien connupour les groupes finis [He, Lemme 7.5]. Remarquons qu’elle n’est probablementpas valable pour un groupe r´eductif arbitraire sur F . Proposition:
Soit ( σ , E ) une composante irr´eductible de σ | M . Alors σ seprolonge en une repr´esentation σ de M σ = { m ∈ M | m σ ≃ σ } telle que σ | M σ = L m ∈ M/M σ m σ . En particulier, σ = Ind MM σ σ et m σ σ si m M σ . Parailleurs, σ | M est somme directe de repr´esentations irr´eductibles deux `a deux nonisomorphes.Preuve: Nous allons d’abord supposer A M de rang 1. Remarquons d’abord que,si H est un sous-groupe ouvert ferm´e d’indice fini d’un groupe localement profini P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 11 G , alors ind GH = Ind GH et, comme dans le cas des groupes finis, une repr´esentation( σ, E ) est induite par une repr´esentation ( σ , E ), si et seulement si V = L g ∈ G/H σ ( g ) E .Observons maintenant que A M ⊆ M σ . Le quotient M/M σ est donc un groupecommutatif fini. Comme σ est cuspidale, on peut ´ecrire E = E σ ⊕ E ′ de sorteque E σ soit somme directe de repr´esentations isomorphes `a σ et qu’aucun sous-quotient de E ′ ne soit isomorphe `a σ [BZ, 2.44]. Le groupe M σ agit donc dans E σ , et on a E = L m ∈ M/M σ σ ( m ) E σ . Par suite, par la remarque ci-dessus,Ind MM σ E σ = E . Comme E est irr´eductible, la repr´esentation de M σ dans E σ doitˆetre irr´eductible. On va maintenant montrer qu’en fait E σ = E .Voyons d’abord que σ se prolonge en une repr´esentation irr´eductible σ de M σ . D’abord, σ se prolonge en une repr´esentation irr´eductible e σ de A M M ,donn´ee par am χ σ ( a ) σ ( m ), χ σ d´esignant le caract`ere central de σ . Comme lequotient M σ /A M M est par hypoth`ese un groupe cyclique fini, il est alors facile ded´efinir un prolongement `a M σ . (´Etant donn´e un ´el´ement m ′ de M σ dont l’imageengendre le groupe quotient cyclique M σ /A M M , on peut toujours trouver unisomorphisme A M M -´equivariant ϕ m ′ : E → m ′− E tel que m ′ i m ϕ im ′ e σ ( m )pour m ∈ A M M donne le prolongement voulu.)Montrons maintenant que Ind M σ A M M e σ = L χ ∈ X ( M σ /A M M ) σ ⊗ χ . Les repr´esen-tations σ ⊗ χ , χ ∈ X ( M σ /A M M ) sont deux `a deux non isomorphes, puisque toutisomorphisme σ ⊗ χ σ ⊗ χ ′ induit un automorphisme de e σ et, par le lemmede Schur, il serait donc scalaire, ce qui est impossible. Par la r´eciprocit´e de Frobe-nius, les sous-repr´esentations irr´eductibles de Ind M σ A M M e σ sont les repr´esentationsirr´eductibles de M σ de restriction `a A M M ´egale `a e σ et leur multiplicit´e est 1.Or, les arguments de la preuve de [BZ, 3.29] montrent que toute repr´esentationirr´eductible de M σ de restriction `a A M M ´egale `a e σ est isomorphe `a σ ⊗ χ pourun χ ∈ X ( M σ /A M M ). Comme Ind M σ A M M e σ est unitaire, puisque e σ l’est, on abien la d´ecomposition indiqu´ee.Il s’ensuit que E σ = E : la repr´esentation ρ de M σ dans E σ est irr´eductible,de restriction ´egale `a un multiple de σ . La r´eciprocit´e de Frobenius donne doncHom M ( ρ, Ind M σ A M M e σ ) = 0, ce qui implique que ρ est isomorphe `a σ ⊗ χ pour un χ ∈ X ( M σ /A M M ). Par suite, E σ = E et on peut supposer dans la suite que ρ = σ .Il en r´esulte, en remarquant que M σ est distingu´e dans M , que σ = Ind MM σ σ et σ | M σ = L m ∈ M/M σ m σ . Comme σ est irr´eductible, les m σ sont deux `a deux nonisomorphes. Comme par ailleurs ( m σ ) | M = m σ avec m parcourant un syst`emede repr´esentants de M/M σ , σ | M est somme directe de repr´esentations irr´eductiblesdeux `a deux non isomorphes.Supprimons maintenant l’hypoth`ese que A M est de rang 1. Comme G est ungroupe symplectique ou orthogonal, ou le groupe multiplicatif d’une alg`ebre simple, M est de la forme GL m ( D ) × · · · × GL m r ( D ) × H , o`u D est une alg`ebre `a division de centre F et o`u H est un groupe semi-simple du mˆeme type que G ou le groupetrivial. On en d´eduit que M est de la forme GL m ( D ) × · · · × GL m r ( D ) × H ,que σ est isomorphe `a un produit σ ⊗ · · · ⊗ σ r ⊗ τ avec σ i , τ des repr´esentationscuspidales, et que M σ est de la forme GL m ( D ) σ × · · · × GL m r ( D ) σ r × H . On estdonc ramen´e au cas o`u M = GL m ( D ). Mais, alors A M est de rang 1, et l’assertionest vraie par ce qui pr´ec´edait. ✷ Lorsque χ est un caract`ere non ramifi´e de M , notons E χ l’espace E munide la repr´esentation σ ⊗ χ . Corollaire: (avec les notations de la proposition ) On a
Stab( O ) = X ( M/M σ ) et, pour tout χ ∈ X ( M/M σ ) , l’application φ σ,χ : E → E χ qui envoie un´el´ement e ∈ σ ( m ) E sur χ ( m ) e est un isomorphisme.Preuve: Soit χ ∈ X nr ( M ) tel que σ ⊗ χ ≃ σ . Alors, il existe m ∈ M tel que σ ⊗ χ ≃ m σ . Par suite, σ ≃ ( σ ⊗ χ ) | M ≃ ( m σ ) | M = m σ , i.e. on a m ∈ M σ et donc σ ⊗ χ ≃ σ . Soit ϕ χ un automorphisme de E qui entrelace σ ⊗ χ et σ . Alors il entrelace σ avec lui-mˆeme, i.e. ϕ χ est la multiplication parun scalaire. Il s’ensuit que χ | M σ ≡
1. Donc
Stab ( O ) ⊆ X ( M/M σ ). Inversement,c’est une v´erification imm´ediate que pour tout χ ∈ X ( M/M σ ) les applications φ σ,χ d´efinissent des isomorphismes entre σ et σ ⊗ χ . ✷ Notons B = B M l’anneau des polynˆomes sur la vari´et´e affine complexe X nr ( M ). C’est un anneau int`egre, et on d´esignera par K ( B ) son corps des fractions.´Ecrivons E B (resp. E K ( B ) ) pour l’espace vectoriel complexe E ⊗ C B (resp. E B ⊗ B K ( B ) ≃ E ⊗ C K ( B )). Munissons-le de l’action de M donn´ee par σ B : M → Aut C ( E K ( B ) ), σ B ( m )( e ⊗ b ) := σ ( m ) e ⊗ bb m . Ici, b m : X nr ( M ) → C est d´efini par b m ( χ ) = χ ( m ).Par restriction `a K , l’espace i GP E B (resp. i GP E K ( B ) ) est isomorphe `a i KK ∩ P E ⊗ C B (resp. i KK ∩ P E ⊗ C K ( B )). On identifie ainsi i KK ∩ P E `a son image dans i GP E B (resp. i GP E K ( B ) ) par l’homomorphisme canonique v v ⊗ Remarquons d’abord que E B est canoniquement isomorphe `a ind MM E . Eneffet, notons R ( M/M ) un syst`eme de repr´esentants de M/M . On obtient unisomorphisme canonique entre B et ind MM C = C [ M/M ], en envoyant un ´el´ementde la forme b m , m ∈ R ( M/M ), sur l’application M → C qui vaut 1 sur m − M et 0en dehors de cet ensemble. Identifions ces deux espaces `a l’aide de cet isomorphisme.On a un isomorphisme canonique E ⊗ ind MM C → ind MM E | M , en envoyant e ⊗ b surl’application v e ⊗ b dans ind MM E | M qui envoie m sur b ( m ) σ ( m ) e . L’isomorphismer´eciproque est donn´e par ind MM E | M → E ⊗ ind MM C , v P m ∈ R ( M/M ) σ ( m − ) v ( m ) ⊗ b m − . (Ici, b m − est consid´er´e comme ´el´ement de ind MM C au moyen del’isomorphisme ci-dessus.) P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 13
Pour w ∈ W G , notons wE B (resp. wE K ( B ) ) l’espace E B (resp. E K ( B ) )muni de la repr´esentation wσ B de wM w − . (On a donc wσ B ( wmw − ) = σ B ( m ).)Notons τ w l’automorphisme de C -espace vectoriel de E ⊗ C K ( B ) qui envoie e ⊗ b sur e ⊗ w b , w b ( χ ) := b ( w − χ ). (On a donc w b m = b wmw − pour m ∈ M .) Il d´efinit unisomorphisme M -´equivariant entre wE K ( B ) et ( wE ) K ( B ) et l’on notera encore τ w l’isomorphisme G -´equivariant i GP w ( E K ( B ) ) → i GP ( wE ) K ( B ) qui en est d´eduit parfonctorialit´e. Pour b ∈ K ( B ), notons b χ l’´el´ement de K ( B ) donn´e par b χ ( χ ′ ) = b ( χχ ′ ).On a ( b m ) χ = χ ( m ) b m . Le r´esultat suivant est une v´erification directe: Lemme:
Soit χ ∈ X nr ( M ) et notons E χ l’espace E muni de la repr´esentation σ ⊗ χ de M . L’application ρ χ : E ⊗ C B → E χ ⊗ C B , e ⊗ b e ⊗ b χ , d´efinit unisomorphisme entre ces repr´esentations lisses de M . On a ρ − χ = ρ χ − et τ w ◦ ρ χ = ρ wχ τ w . Nous allons d´efinir pour tout w ∈ W O un isomorphisme ρ w : i GP wE → i GP E qui envoie i GP ( wE ) B sur i GP E B . Pour cela, posons ρ w = [(( Y α ∈ Σ O ,µ ( P ) ∩ w − Σ O ,µ ( P ) ( Y α ( χ ) − λ ( w ) J w − P | P ( σ ⊗ χ )) | χ =1 ] − , si cette expression est bien d´efinie. On ´ecrira ρ σ,w , si on veut souligner la d´epen-dance de σ . Il est par ailleurs clair que les op´erateurs ρ σ,w et τ w commutent. Proposition:
L’application ρ w provient d’un isomorphisme wE ≃ E , et ild´efinit pour tout w ∈ W O un isomorphisme i GP wE → i GP E . Il v´erifie les propri´et´esde compatibilit´e suivantes: pour tout w ′ ∈ W avec w ′ M w ′− ´egal au sous-groupe deLevi standard d’un sous-groupe parabolique standard P w ′ de G , ρ w induit un iso-morphisme i GP w ′ ( w ′ wE ) K ( B ) → i GP w ′ ( w ′ E ) K ( B ) , et on a la formule de commutation λ ( w ′ ) J w ′− P w ′ | P ( σ ⊗ · ) ρ w = ρ w λ ( w ′ ) J w ′− P w ′ | P ( wσ ⊗ · ) . Par ailleurs, pour w ′ ∈ W O , on a, avec w ′′ ´egal au repr´esentant de ww ′ dans K , ρ w ρ w ′ = ( µ w,w ′ Y α ( Y α − − ( Y − α − − ) | χ =1 λ ( w ′′ ( ww ′ ) − ) ρ ww ′ , le produit portant sur l’ensemble Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− w − Σ O ,µ ( P ) , ainsique, pour r ∈ R ( O ) et s α une r´eflexion simple dans W O , ρ rσ,s rα = λ ( rs α r − s − rα ) ρ σ,s α . Preuve:
Supposons d’abord w = s α avec α ∈ ∆ O ,µ . Alors, µ M α ( σ ) = 0, etil r´esulte du th´eor`eme de Harish-Chandra que i M α P ∩ M α σ est irr´eductible et que s α σ ≃ σ .Si M α est standard, on d´eduit de que l’op´erateur J s α P | P consid´er´e commefonction rationnelle en Y α a un pˆole d’ordre 1 en Y α = 1 et que l’op´erateur Res Y α =1 ( λ ( s α ) J s α P | P ( σ ⊗ ( · )) : i GP σ → i GP s α σ est bijectif. Par suite, ρ s α estbien d´efini et bijectif. Il est induit par fonctorialit´e par un isomorphisme en-tre les repr´esentations irr´eductibles i M α P ∩ M α s α σ et i M α P ∩ M α σ . Or, un tel isomor-phisme est, par le lemme de Schur, uniquement d´etermin´e `a une constante pr`es.En cons´equence, ρ s α est lui-mˆeme induit par fonctorialit´e par un isomorphisme s α σ → σ . Les deux propri´et´es de compatibilit´e en r´esultent par la propri´et´e defonctorialit´e pour les op´erateurs d’entrelacement.Si M α n’est pas standard, alors ou α est contenue dans une composante irr´educ-tible de type D d i de Σ O ,µ , et il existe par un ´el´ement r ∈ R ( O ) tel que α = rβ avec β ∈ ∆ O ,µ , M β standard et rσ ≃ σ , ou bien cette composante irr´eductible estde type B d i ou C d i et α est la racine courte (resp. longue).Dans le premier cas, suivant , on d´ecompose λ ( s α ) J s α P | P ( σ ⊗ χ ) ( µ r,s β r − ( χ ) µ s β ,r − ( χ ) λ ( s α rs − β r − ) λ ( r ) J r − P | P ( s β r − σ ⊗ s β r − χ ) ×× λ ( s β ) J s β P | P ( r − σ ⊗ r − χ ) λ ( r − ) J rP | P ( σ ⊗ χ ) . On a Σ( P ) ∩ Σ( rP ) ∩ Σ( rs β P ) = ∅ , puisque rβ ∈ Σ( P ) et Σ( P ) ∩ Σ( s β P ) = { β } . Lafonction µ s β ,r est donc constante. De mˆeme, l’ensemble Σ( P ) ∩ Σ( rs β P ) ∩ Σ( s α P ) aune intersection vide avec Σ O ,µ , ce qui montre que µ r,s β r − est constante. Comme rσ ≃ σ et que J rP | P ( σ ⊗ χ ) est d’apr`es bien d´efini et bijectif pour tout χ ,on voit, en appliquant ce qui pr´ec`ede `a ρ r − σ,s β et en utilisant l’´egalit´e r X β = X α (cf. ), que l’op´erateur ρ s α est bien d´efini et bijectif. Comme ρ s β est induit parfonctorialit´e d’un isomorphisme s β E → E , on en d´eduit de mˆeme pour ρ s α , apr`esavoir appliqu´e les propri´et´es de compatibilit´e de ρ s β `a la formule de d´ecompositionpour ρ − s α ci-dessus. Les propri´et´es de compatibilit´e pour ρ s α en r´esultent.Si M α n’est pas standard et α appartient `a une composante irr´eductible de type B d i ou C d i , alors notons w l’´el´ement de longueur minimale dans W qui envoie un´el´ement x dans A M sur l’´el´ement de A d´eduit de x , en ´echangeant les composantes( x i, , . . . , x i,d i ) et ( x r, , . . . , x r,d r ). Le groupe wM w − est alors un sous-groupede Levi standard de G et la racine β = wα de A wMw − est dans ∆ w O ,µ avec( wM w − ) β standard. Notons P w le sous-groupe parabolique standard de G desous-groupe de Levi wM w − . Les racines dans Σ red ( P ) ∩ Σ red ( w − P w ) sont dela forme x x i,j x − i ,j avec i < i ≤ r et x x i ,j x − r,j avec i ≤ i < r .L’intersection avec Σ O ,µ est donc vide. Il en est de mˆeme pour celle de w (Σ red ( P ) ∩ Σ red ( w − P w )) avec Σ s β w O ,µ . En cons´equence, les op´erateurs λ ( w ) J w − P w | P ( σ ) P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 15 et λ ( w − ) J wP | P w ( s β wσ ) sont d’apr`es bien d´efinis et bijectifs. Les fonctions µ w − ,s β w et µ s β ,w sont constantes. Par la formule de d´ecomposition , on trouvedonc, en tant que fonction rationnelle en χ , λ ( s α ) J s α P | P ( σ ⊗ χ )= µ w − ,s β w µ s β ,w λ ( s α w − s − β w ) ×× λ ( w − ) J wP | P w ( s β w ( σ ⊗ χ )) λ ( s β ) J s β P w | P w ( w ( σ ⊗ χ )) λ ( w ) J w − P w | P ( σ ⊗ χ ) . Comme Y β ( w χ ) = w − Y β ( χ ) = Y α ( χ ), il en r´esulte ρ σ,s α = µ w − ,s β w µ s β ,w λ ( w − ) J wP | P w ( s β wσ ) λ ( s β ) ρ wσ,s β λ ( w ) J w − P w | P ( σ ) , i.e., suite `a ce qui a ´et´e pr´ealablement ´etabli pour ρ wσ,s β , ρ − σ,s α est bien d´efini etbijectif. En fait, on d´eduit des propri´et´es de compatibilit´es pour ρ wσ,s β que ρ σ,s α est un produit de ρ wσ,s β par un scalaire non nul. Comme s α E = w − s β ( wE ), lespropri´et´es de compatibilit´e pour ρ σ,s α sont imm´ediates.La derni`ere assertion de la proposition r´esulte directement de la d´ecomposition( r ∈ R ( O ), apr`es l’avoir multipli´ee avec X α −
1, ´evalu´ee en 1 et apr`es avoirutilis´e l’´egalit´e r X β = X α .Supposons maintenant avoir montr´e l’´egalit´e( ∗ ) ρ − w ′ ρ − w = ( µ − w,w ′ Y α ( Y α − Y − α − | χ =1 λ ( ww ′ w ′′− ) ρ − ww ′ . avec w ′′ = ww ′ , lorsque w, w ′ sont des ´el´ements dans W O tels que ρ w et ρ w ′ soientbien d´efinis, bijectifs et tels que ρ w ′ v´erifie les deux propri´et´es de compatibilit´e, leproduit portant sur l’ensemble Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− w − Σ O ,µ ( P ).D´eduisons-en d’abord que ρ w est bien d´efini et bijectif, lorsque w ∈ W O , et que lespropri´et´es de compatibilit´e sont bien v´erifi´ees. Pour cela, effectuons une r´ecurrencesur la longueur de w . Le cas l O ( w ) = 1 a d´ej`a ´et´e ´etabli. Soit w ′′ = ws α ∈ W O avec α ∈ ∆ O ,µ , l O ( w ′′ ) = l O ( w ) −
1. Par hypoth`ese de r´ecurrence, les op´erateurs ρ w et ρ s α sont bien d´efinis, bijectifs, et ils v´erifient les propri´et´es de compatibilit´e.On peut donc appliquer ( ∗ ), et on trouve ρ − w ′′ = λ ( w ′′ s − α w − ) ρ − s α ρ − w , l’ensemble Σ O ,µ ( P ) ∩ s α Σ O ,µ ( P ) ∩ w − s − α Σ O ,µ ( P ) ´etant vide grˆace `a l’hypoth`ese l ( ws α ) = l ( w ) + l ( s α ). Comme w ′′ s − α w − ∈ M , il s’ensuit que ρ − w ′′ est bijectif, que ρ w ′′ est bien d´efini et qu’il v´erifie les propri´et´es de compatibilit´e. Il reste `a montrer l’´egalit´e ( ∗ ). Soient w, w ′ ∈ W O v´erifiant les hypoth`esesindiqu´ees. On a ρ − w ′ ρ − w = ρ − w ′ (( Y α ( Y α − λ ( w ) J w − P | P ( σ ⊗ χ )) | χ =1 =(( Y α ( Y α − λ ( w ) J w − P | P ( w ′ σ ⊗ χ )) | χ =1 ρ − w ′ =(( Y α ( w ′− Y α − Y β ( Y β − λ ( w ) J w − P | P ( w ′ σ ⊗ w ′ χ ) ×× λ ( w ′ ) J w ′− P | P ( σ ⊗ χ )) | χ =1 =(( Y α ( w ′− Y α − Y β ( Y β − µ − w,w ′ λ ( ww ′ ) J w ′− w − P | P ( σ ⊗ χ )) | χ =1 , le produit sur α portant sur l’ensemble Σ O ,µ ( P ) ∩ w − Σ O ,µ ( P ) et celui sur β surl’ensemble Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− Σ O ,µ ( P ). Remarquons l’´egalit´e ensembliste( w ′− Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− w − Σ O ,µ ( P )) ∪ (Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− Σ O ,µ ( P ))=(Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− w − Σ O ,µ ( P )) ∪ ± (Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− w − Σ O ,µ ( P )) , les r´eunions ´etant disjointes. Comme w ′− Y α = Y w ′− α par le lemme , on end´eduit bien l’´egalit´e ( ∗ ). ✷ On va maintenant fixer un isomorphisme ρ w : wE → E d’abord pour w ∈ R ( O ) et ensuite pour w ∈ W ( M, O ).Rappelons que R ( O ) est un produit de sous-groupes R ( O ) i d’ordre 2 (cf. (ii)). Notons s α i l’´el´ement non trivial de R ( O ) i . Choisissons pour tout i un iso-morphisme ρ s αi : s α i E → E tel que ρ s αi σ ( s − α i ) = id E . (Ceci est toujours possible,quitte `a multiplier ρ s αi par un nombre complexe non nul. L’isomorphisme ρ s αi estuniquement d´etermin´e au produit par ± s α i `a droite par un ´el´ement de m ∈ M revient alors`a composer ρ s αi `a droite avec σ ( m ), comme on le v´erifie facilement.Il est clair que les ρ s αi commutent entre eux, puisque les s α i agissent sur descomposantes diff´erentes de σ . Pour r ∈ R ( O ), r = s α i ··· s αil , on pose ρ r = ρ s αi · · · ρ s αil . Par ce qui pr´ec`ede, il est clair que ceci est ind´ependant de lad´ecomposition choisie pour r . Multiplier le repr´esentant de r `a droite par un ´el´ement m ∈ M revient `a composer ρ r `a droite avec σ ( m ). En effet, cela revient `a multiplierchaque ´el´ement s α i dans la d´ecomposition de r `a droite par un certain ´el´ement m i P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 17 de M s αi par notre convention dans sur le choix des repr´esentants des ´el´ementsdans R ( O ).Finalement, pour w ∈ W ( M, O ), w = rw O avec r ∈ R ( O ) et w O ∈ W O , on pose ρ w = ρ r ρ w O .L’isomorphisme i GP wE → i GP E d´eduit de ρ w par fonctorialit´e sera (par abus denotation) not´e encore ρ w . Multiplier le repr´esentant de w `a droite par un ´el´ement m de M revient `a composer ρ w `a droite par i GP ( σ ( m )). D´efinition:
Soit χ ∈ Stab( O ) et rappelons l’isomorphisme φ σ,χ : E → E χ d´efini dans . On notera φ χ l’automorphisme de E B qui envoie e ⊗ b sur ( φ σ,χ e ) ⊗ b χ − . On ´ecrira encore φ χ pour les automorphismes de i GP E B et de i GP E K ( B ) d´eduitsde φ χ par fonctorialit´e. Le lemme suivant sera utile dans la suite:
Lemme:
Soient α , α ′ ∈ ∆ O des racines simples, s = s α et s ′ = s α ′ . Soient m s ∈ M α ∩ M et m s ′ ∈ M α ′ ∩ M . Alors b m s s b m s ′ ss ′ b m s ss ′ s b m s ′ · · · = b m s ′ s ′ b m s s ′ s b m s ′ s ′ ss ′ b m s · · · , le nombre de facteurs de chaque cˆot´e ´etant ´egal `a l’ordre de ss ′ .Preuve: C’est un calcul simple, en consid´erant les diff´erents syst`emes de racinesde rang 2. ✷ Consid´erons End G ( i GP E B ) comme B -module `a gauche. On va construire pourtout w ∈ W ( M, O ) un op´erateur d’entrelacement A w ∈ Hom G ( i GP E B , i GP E K ( B ) ) quise prolonge de fa¸con canonique en un ´el´ement de End G ( i GP E K ( B ) ). Pour χ ∈ X nr ( M ), notons B χ l’id´eal des polynˆomes b ∈ B avec b ( χ ) = 0 et sp χ les applications de sp´ecialisation E ⊗ B → E et E ⊗ K ( B ) → E , e ⊗ b b ( χ ) e ,ainsi que les applications induites i GP E B → i GP E et i GP E K ( B ) → i GP E . (Dans lecas de E K ( B ) , l’application sp χ n’est d´efinie que sur le sous-espace des ´el´ementsqui sont r´eguliers en χ .) Soit w ∈ W ( M ). D’apr`es [W], il existe b w ∈ B et unhomomorphisme de G − B -modules J B,w : i GP E B → i GP ( wE B )tel que, pour tout χ ∈ X nr ( M ), v ∈ i GP E B , b w ( χ )( λ ( w ) J w − P | P ( σ ⊗ χ ) sp χ v ) = sp χ J B,w v. L’homomorphisme b − w J B,w d´efinit un ´el´ement de Hom G ( i GP E B , i GP ( wE K ( B ) )) quel’on notera J K ( B ) ,w . Soit maintenant w ∈ W ( M, O ). Alors on note A w l’´el´ementde Hom G ( i GP E B , i GP E K ( B ) ) obtenu, en composant J K ( B ) ,w `a gauche avec ρ w ◦ τ w . Ilse prolonge de fa¸con canonique en un ´el´ement de l’alg`ebre End G ( i GP E K ( B ) ). Proposition:
Soit w ∈ W ( M, O ) . Multiplier le repr´esentant de w `a droite parun ´el´ement m ∈ M revient `a multiplier l’op´erateur A w `a gauche par w b − m . Enparticulier, A w ne d´epend pas du choix d’un repr´esentant dans K de w .Preuve: Par la d´efinition ci-dessus, celle dans et la remarque dans , on a ρ wm = ρ w i GP ( σ ( m )) et J K ( B ) ,wm = i GP ( σ B ( m − )) J K ( B ) ,w , d’o`u le r´esultat. ✷ Soient w ∈ W ( M, O ) , v ∈ i GP E B et χ ∈ X nr ( M ) tels que σ ⊗ χ soit un point r´egulier pour J w − P | P .Alors sp χ A w v = ρ w λ ( w ) J w − P | P ( σ ⊗ w − χ ) sp w − χ v. Preuve:
On a sp χ A w v = sp χ ρ w τ w J K ( B ) ,w v = ρ w sp χ τ w J K ( B ) ,w v. Mais, l’application canonique B → B/B χ compos´ee `a droite avec τ w a commenoyau B w − χ . Cette application compos´ee est donc ´egale `a sp w − χ . L’expressionci-dessus est donc ´egale `a ρ w sp w − χ J K ( B ) ,w v . Ceci est bien ´egal `a l’expression del’´enonc´e. ✷ Soient w, w ′ ∈ W O . Alors, A w A w ′ = ww ′ µ − w,w ′ ( µ w,w ′ Y α ( Y α − − ( Y − α − − ) | χ =1 A ww ′ , le produit portant sur l’ensemble Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− w − Σ O ,µ ( P ) .Preuve: Il suffit de montrer que, pour tout χ ∈ X nr ( M ), les deux op´erateursont la mˆeme sp´ecialisation en χ . Posons w ′′ = ww ′ . D’apr`es le lemme etla propri´et´e de commutation de ρ w remarqu´ee en , la sp´ecialisation en χ de P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 19 l’op´erateur `a gauche est ´egale `a ρ w λ ( w ) J w − P | P ( σ ⊗ w − χ ) ρ w ′ λ ( w ′ ) J w ′− P | P ( σ ⊗ w ′− w − χ )) sp w ′− w − χ = ρ w ρ w ′ λ ( w ) J w − P | P ( w ′ σ ⊗ w − χ ) λ ( w ′ ) J w ′− P | P ( σ ⊗ w ′− w − χ ) sp w ′− w − χ = ρ w ρ w ′ λ ( w ) λ ( w ′ ) ww ′ µ − w,w ′ ( χ ) J w ′− w − P | P ( σ ⊗ w ′− w − χ ) sp w ′− w − χ = ρ w ρ w ′ sp w − χ τ w ′ λ ( ww ′ w ′′− ) ww ′ µ − w,w ′ ( χ ) J K ( B ) ,ww ′ = ρ w sp w − χ ρ w ′ τ w ′ λ ( ww ′ w ′′− ) ww ′ µ − w,w ′ ( χ ) J K ( B ) ,ww ′ = sp χ ρ w ρ w ′ τ ww ′ λ ( ww ′ w ′′− ) ww ′ µ − w,w ′ ( χ ) J K ( B ) ,ww ′ . Il reste alors `a remplacer ρ w ρ w ′ par l’expression donn´ee dans la proposition ,d’o`u la proposition. ✷ Soient w, w ′ ∈ W O tels que l O ( ww ′ ) = l O ( w ) + l O ( w ′ ) . Alors A w A w ′ = A ww ′ . Par ailleurs, si s = s α est une r´eflexion simple dans W O , alors ilexiste un nombre complexe c ′′ s = 0 tel que A s = c ′′ s ( µ M α ) − .Preuve: Si l O ( ww ′ ) = l O ( w ) + l O ( w ′ ), alors Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− Σ O ,µ ( P ) ∩ w ′− w − Σ O ,µ ( P ) est l’ensemble vide, et la fonction rationnelle µ w,w ′ est constante. Lapremi`ere assertion est donc une cons´equence imm´ediate de . La deuxi`eme as-sertion r´esulte de et du fait que µ s,s est ´egal `a µ M α multipli´e par une constanteet que A = id . ✷ (i) Pour w ∈ W O et r ∈ R ( O ) , on a A r A w = A rw = A rwr − A r . (ii) Pour tous r, r ′ ∈ R ( O ) , on a A r A r ′ = A rr ′ .(iii) Pour tout b ∈ B et tout w ∈ W ( M, O ) , A w b = w bA w .Preuve: (i) Comme r ∆ O ,µ = ∆ O ,µ pour r ∈ R ( O ), il suffit, suite au corollaire , de consid´erer le cas o`u w est un ´el´ement simple s α de W O . En appliquant lemˆeme raisonnement comme dans la preuve de la proposition , on trouve pour χ un ´el´ement g´en´erique de X nr ( M ) que sp χ ( A r A s α ) = ρ r ρ s α λ ( r ) λ ( s α ) J s − α r − P | P ( σ ⊗ s − α r − χ ) sp s − α r − χ = sp χ ( A rs α )et sp χ ( A rs α r − A r ) = ρ s rα ρ r λ ( s rα ) λ ( r ) J r − s − rα P | P ( σ ⊗ r − s − rα χ ) sp r − s − rα χ . Ces deux expressions sont ´egales, si et seulement si ρ r ρ s α λ ( r ) λ ( s α ) = ρ s rα ρ r λ ( s rα ) λ ( r ) , ce qui ´equivaut `a ρ − r ρ − s rα ρ r ρ s α = λ ( s rα rs − α r − ) . Or, comme le cˆot´e gauche de cette derni`ere ´egalit´e est ´egal `a ρ − rσ,s rα ρ σ,s α , cecir´esulte de la derni`ere assertion de la proposition (ii) Il suffit de consid´erer le cas o`u r = s α i est l’´el´ement non nul d’un R ( O ) i . Onva d’abord consid´ere le cas o`u la projection de r ′ sur R ( O ) i est nulle. Par le mˆemeraisonnement que dans la preuve de la proposition , on trouve pour χ g´en´erique sp χ ( A r A r ′ ) = ρ r ρ r ′ λ ( r ) λ ( r ′ ) J r ′− r − P | P ( σ ⊗ r ′− r − χ ) sp r ′− r − χ . Comme ρ r ρ r ′ = ρ rr ′ si la projection de r ′ sur R ( O ) i est nulle, cette expression est´egale `a sp χ ( A rr ′ ). On voit ´egalement que les op´erateurs A s αi et A r ′ commutent.Supposons maintenant la projection de A r ′ sur R ( O ) i non nulle. Il suffit alors,d’apr`es la commutativit´e, de consid´erer le cas r = r ′ . Pour χ g´en´erique dans X nr ( M ), on trouve, par un raisonnement analogue `a celui ci-dessus, sp χ ( A r ) = ρ r ρ r λ ( r ) J P | P ( σ ⊗ r χ ) sp r χ = sp χ , puisque r ∈ M ∩ K et que ρ r a ´et´e choisi tel que ρ r λ ( r ) = id.(iii) C’est imm´ediat. ✷ L’espace
Hom M ( E B , E K ( B ) ) est isomorphe `a ⊕ χ ∈ Stab ( O ) K ( B ) φ χ en tant que K ( B ) -espace vectoriel.Preuve: On a E B = ind MM E | M . Il faut donc d´eterminer Hom M (ind MM E,E K ( B ) ). Observons que ( E | M ) ∨ = ( E ∨ ) | M , puisque M est un sous-groupe ou-vert de M . Comme M et M sont unimodulaires, la r´eciprocit´e de Frobenius rel-ative `a l’induction compacte [BZ, 2.29] donne donc Hom M (ind MM E | M , E K ( B ) ) ≃ Hom M ( E | M , ( E K ( B ) ) | M ). On d´efinit un isomorphisme β : Hom M (ind MM E | M ,E K ( B ) ) → Hom M ( E | M , ( E K ( B ) ) | M ), ϕ β ( ϕ ), en posant β ( ϕ )( e ) = ϕ ( v e ),o`u v e d´esigne l’´el´ement de ind MM E de valeur 0 pour m ∈ M − M et de valeur e en 1. Notons E m , m ∈ M/M σ , les diff´erentes composantes irr´eductibles de E | M . Elles sont deux `a deux non isomorphes d’apr`es la proposition . Il enr´esulte que Hom M ( E | M , ( E K ( B ) ) | M ) = L m ∈ M/M σ Hom M ( E m , E m ⊗ K ( B )).Choisissons une C -base f i , i ∈ I , de K ( B ). Alors, en tant que M -module, E m ⊗ K ( B ) = L i ∈ I E m ⊗ f i . On d´eduit alors du lemme de Schur que les ´el´ementsde Hom M ( E m , E m ⊗ K ( B )) sont de la forme e e ⊗ f avec f ∈ K ( B ). Par suite,Hom M ( E | M , ( E K ( B ) ) | M ) est un K ( B )-module isomorphe `a K ( B ) M/M σ . P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 21
Pour prouver la proposition, il suffit donc grˆace `a la K ( B )-lin´earit´e de β de mon-trer que les β ( φ χ ) forment une base du K ( B )-module Hom M ( E | M , ( E K ( B ) ) | M ).Identifions ind MM E | M et E ⊗ B . On a β ( φ χ )( e ) = φ χ ( e ⊗
1) = φ σ,χ ( e ) ⊗
1. La pro-jection de β ( φ χ ) sur Hom M ( E m , E m ⊗ K ( B )) est donc la multiplication par χ ( m ).On d´eduit alors de la dualit´e des groupes Stab( O ) et M/M σ et de l’ind´ependancelin´eaire des caract`eres que les β ( φ χ ) forment en effet une base du K ( B )-moduleHom M ( E | M , ( E K ( B ) ) | M ). ✷ Les op´erateurs d’entrelacement φ χ A w , o`u χ ∈ Stab( O ) et w ∈ W ( M, O ) , sont K ( B ) -lin´eairement ind´ependants dans Hom G ( i GP E B , i GP E K ( B ) ) muni de la structure de K ( B ) -espace vectoriel induite par celle de i GP E K ( B ) .Preuve: Supposons par absurde les op´erateurs φ χ A w K ( B )-lin´eairement d´epen-dants. Il existe alors des ´el´ements b w,χ de B tels que P w ∈ W ( M, O ) ,χ ∈ Stab ( O ) b w,χ φ χ A w = 0, et on peut supposer le nombre l d’´el´ements b w,χ = 0 minimal. Commeaucun des φ χ A w n’est nul, il existe au moins deux indices ( w , χ ) et ( w , χ ) avec b w ,χ = 0 = b w ,χ . On peut trouver b ∈ B avec ( w b ) χ − = b et ( w b ) χ − = b .On a P w ∈ W ( M, O ) bb w,χ φ χ A w = 0 et 0 = P w ∈ W ( M, O ) b w,χ φ χ A w b = P w ∈ W ( M, O ) b w,χ ( w b ) χ − φ χ A w , o`u on a appliqu´e la r`egle de commutation facile A w b = w bA w .Soustrayant ces deux ´equations, on obtient une combinaison lin´eaire des φ χ A w quiest nulle et dont moins de l coefficients sont non nuls. Ceci donne une contradiction. ✷ En tant que K ( B ) -espaces vectoriels, on a Hom G ( i GP E B , i GP E K ( B ) ) = M w ∈ W ( M, O ) ,χ ∈ Stab ( O ) K ( B ) φ χ A w . Preuve:
Par la r´eciprocit´e de Frob´enius, on aHom G ( i GP E B , i GP E K ( B ) ) = Hom M ( r GP i GP E B , E K ( B ) ) . Par le lemme g´eom´etrique [BZ, I.5], r GP i GP E B admet une filtration par des sous-espaces F w , w ∈ W M \ W G /W M , dont les sous-quotients sont isomorphes `a wE B .On en d´eduit une filtration du K ( B )-module Hom M ( r GP i GP E B , E K ( B ) ) dont les sous-quotients sont, en tenant compte de , isomorphes `a Hom M ( wE B , E K ( B ) ).Comme Hom M ( wE B , E K ( B ) ) = 0, si et seulement si w ∈ W ( M, O ) et alors, parla proposition , Hom M ( wE B , E K ( B ) ) est de dimension | Stab( O ) | , on en d´eduitque la dimension de Hom G ( i GP E B , i GP E K ( B ) ) est ´egale `a | W ( M, O ) | | Stab( O ) | .Comme les op´erateurs d’entrelacement φ χ A w , w ∈ W ( M, O ), χ ∈ Stab( O ) sontlin´eairement ind´ependants par la proposition , le th´eor`eme en r´esulte. ✷ Maintenant, on fixe une composante irr´eductible E de E | M , et on note σ larepr´esentation de M dans cet espace. On va s’int´eresser `a l’alg`ebre End G ( i GP (ind MM E )). Remarquons que ni cette alg`ebre ni la repr´esentation ind MM E ne d´ependentdu choix de ( σ , E ). Notons B O la sous-alg`ebre de B form´ee des polynˆomes qui sontinvariants par translation par des ´el´ements de Stab( O ). D’apr`es le corollaire ,c’est l’anneau des fonctions r´eguli`eres de la vari´et´e affine quotient X ( M/M ) /X ( M/M σ ). Elle s’identifie donc `a C [ M σ /M ]. En particulier, c’est un anneau factoriel,puisque M σ /M est un Z -module libre de type fini et de mˆeme rang que M/M .Rappelons que l’on a not´e R ( M/M ) un syst`eme de repr´esentants de M/M . L’isomorphisme canonique ind MM E | M → E ⊗ B de envoie ind MM E sur l’ensemble P m ∈ R ( M/M ) σ ( m ) E ⊗ b m . En particulier, cet espace estun B O -sous-module de E ⊗ B .Preuve: C’est imm´ediat. ✷ On identifiera dans la suite ind MM E et P m ∈ R ( M/M ) σ ( m ) E ⊗ b m au moyende l’isomorphisme dans . On ´ecrira E B O pour ind MM E , bien que cet espace nesoit pas isomorphe `a E ⊗ B O . Notons K ( B O ) le corps des fractions de B O et posons ( E B O ) K ( B O ) = E B O ⊗ B O K ( B O ). Lemme:
On a
Hom M ( E B O , E K ( B O ) ) ≃ K ( B O ) . Preuve:
Comme dans la preuve de la proposition , on d´eduit de la r´eciprocit´ede Frob´enius queHom M ( ind MM E , ( ind MM E ) K ( B O ) )= Hom M ( E , (ind MM E ⊗ B O K ( B O )) | M )= Hom M ( E , ( M m ∈ R ( M/M σ ) σ ( m ) E ⊗ b m ) ⊗ B O K ( B O ))= Hom M ( E , E ⊗ K ( B O ))= K ( B O ) . ✷ On a \ η ∈ Stab ( O ) ker( φ η − id) = ( E B O ) K ( B O ) . P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 23
En particulier, les automorphismes φ η sont triviaux sur E B O .Preuve: Fixons des syst`emes de repr´esentants R = R ( M/M ) de M/M et R ′ = R ( M/M σ ) de M/M σ respectivement. Tout ´el´ement de ( E B O ) K ( B O ) s’´ecritsous la forme b − P m ∈ R σ ( m ) e m ⊗ b m avec e m ∈ E et b ∈ B O . On v´erifie tout desuite qu’un tel ´el´ement est dans le noyau de φ η − id pour tout η .Inversement, soit v ∈ E K ( B ) . Il peut s’´ecrire sous la forme b − P ( m,m ′ ) ∈ R × R ′ σ ( m ′ ) e m,m ′ ⊗ b m avec e m,m ′ ∈ E et b ∈ B . Soit η ∈ Stab( O ). Alors, φ η ( v ) = b − η − X ( m,m ′ ) ∈ R × R ′ σ ( m ′ ) η ( m ′ ) η ( m ) − e m,m ′ ⊗ b m . Donc, φ η ( v ) = v implique que b η − X ( m,m ′ ) ∈ R × R ′ σ ( m ′ ) e m,m ′ ⊗ b m = b X ( m,m ′ ) ∈ R × R ′ σ ( m ′ ) η ( m ′ m − ) e m,m ′ ⊗ b m . Par suite, pour tout m ′ ∈ R ′ , b η − X m ∈ R e m,m ′ ⊗ b m = b X m ∈ R η ( m ′ m − ) e m,m ′ ⊗ b m . (*)On va d’abord montrer que toute composante primaire de b divise b η − . Comme b et b η − sont des monˆomes de Laurent de mˆeme degr´e, il s’ensuivra qu’ils ne diff`erentque par une constante, et il sera alors clair que b − b η − = η ( m ′ m − ) si e m,m ′ = 0.Soit b un facteur irr´eductible de b . On peut supposer que b ne divise pas P ( m,m ′ ) ∈ R × R ′ σ ( m ′ ) e m,m ′ ⊗ b m dans E B . Il existe donc m ′ ∈ R ′ tel que b nedivise pas P m ∈ R e m,m ′ ⊗ b m . Fixons une base ( e i ) i ∈ I de E et ´ecrivons e m,m ′ = P i c i ( m, m ′ ) e i avec c i ( m, m ′ ) ∈ C . Alors l’´egalit´e (*) implique que b η − X m ∈ R X i ∈ I c i ( m, m ′ ) e i ⊗ b m = b X m ∈ R X i ∈ I c i ( m, m ′ ) η ( m ′ m − ) e i ⊗ b m . On en d´eduit b η − P m ∈ R c i ( m, m ′ ) b m = b P m ∈ R c i ( m, m ′ ) η ( m ′ m − ) b m pour tout i . Par ailleurs, il existe au moins un i tel que b ne divise pas P m ∈ R c i ( m, m ′ ) b m dans B . Par suite, la composante b -primaire de b divise b η − .On a donc bien b − b η − = η ( m ′ m − ), si e m,m ′ = 0. Supposons qu’il existe( m , m ′ ) ∈ R × R ′ tel que e m ,m ′ = 0. Posons h = m ′ m − . Alors, b ( χη − ) b ( χ ) estconstant en χ de valeur η ( h ).´Ecrivons b = P m ∈ M/M c m b m avec c m ∈ C . Alors b η − = P m ∈ M/M c m η ( m ) − b m . Comme b η − = η ( h ) b , on trouve X m ∈ M/M c m η ( m ) − b m = X m ∈ M/M η ( h ) c m b m . Consid´erant
M/M comme groupe de caract`eres de X nr ( M ), on d´eduit de l’ind´e-pendance lin´eaire des caract`eres que η ( h ) c m = η − ( m ) c m pour tout m et tout η ∈ Stab( O ). Donc, c m = 0 implique m ∈ h − M σ , d’o`u b = P m ∈ M σ /M c m b h − m = b h − b ′ avec b ′ := P m ∈ M σ /M c m b m ∈ B O .Comme e m,m ′ = 0 implique par ce qui pr´ec´edait η ( m ′ m − ) = η ( h ) pour tout η ∈ Stab( O ), on a alors m ′ m − ∈ hM σ . On en d´eduit v = b ′− b h P m ∈ R σ ( mh ) e m ⊗ b m avec e m ∈ E . Or, ceci vaut b ′− P m ∈ R σ ( mh ) e m ⊗ b mh , et, par suite, v a la formeindiqu´ee. ✷ Supposons M Levi maximal de G et W O = 1 . Soit s l’unique´el´ement = 1 de W O et ( σ , E ) une composante irr´eductible de σ | M ∩ G . Alors sσ ≃ σ .Preuve: Comme K et U sont contenus dans G , l’espace i KP ∩ K E est bien d´efinicomme sous-espace G -invariant de i KP ∩ K E . Posons Σ O = {± α } . Comme U ⊆ G , il r´esulte directement de la d´efinition des op´erateurs d’entrelacement que lesop´erateurs J P | P ( σ ⊗ χ λα ), λ ∈ C , envoient l’espace i KP ∩ K E dans l’espace i KP ∩ K E , si λ est r´egulier. L’op´erateur J P | P poss`ede la propri´et´e analogue. Comme le compos´e J P | P ( σ ⊗ χ λα ) J P | P ( σ ⊗ χ λα ) est scalaire, qu’il poss`ede un pˆole d’ordre 2 en λ = 0,et que les op´erateurs J P | P ( σ ⊗ χ λα ) et J P | P ( σ ⊗ χ λα ) poss`edent au plus des pˆolesd’ordre 1, il en r´esulte que la restriction de J P | P ( σ ⊗ χ λα ) `a i KP ∩ K E admet unpˆole d’ordre 1 en λ = 0. On va en d´eduire que sσ ≃ σ . Plus pr´ecis´ement, on vamontrer que J P | P ( σ ⊗ χ λα ) est r´egulier en λ = 0, si sσ σ . Si G est un grouper´eductif, ceci est prouv´e dans [W, IV.2.2]. Comme G n’est en g´en´eral pas ungroupe r´eductif, mais seulement localement profini, il faut g´en´eraliser cette preuve,ce qui demande quelques pr´eparations pr´eliminaires.Pour simplifier, posons P = ( G ∩ M ) U . Remarquons d’abord que dansla th´eorie des repr´esentations lisses des groupes localement profinis [BZ, 2.], larepr´esentation de G dans i KP ∩ K E est la repr´esentation induite par la repr´esenta-tion ( δ P ) / | G ∩ M σ prolong´ee trivialement `a ( G ∩ M ) U . On la notera i G P σ . Posons V = i KP ∩ K E . Comme U ⊆ G , l’espace vectoriel V ( U ) engendr´e par les ´el´ementsde la forme v − ( i G ( G ∩ M ) U σ )( u ) v , v ∈ V , u ∈ U , est contenu dans V . Parailleurs, il est G ∩ M -invariant. Il s’ensuit que le foncteur de Jacquet r GP envoie V sur un sous-espace G ∩ M -invariant de r GP i KP ∩ K E que l’on munira de l’actionde G ∩ M donn´ee par la repr´esentation r GP i GP σ . On ´ecrira r G P V et r G P i G P σ . Onv´erifie la r´eciprocit´e de FrobeniusHom G ( i G P σ , i G P σ ) = Hom G ∩ M ( r G P i G P σ , σ ) , Φ r G P Φ , o`u ( r G P Φ)( r G P v ) := (Φ( v ))(1). L’anneau B = C [ M ∩ G /M ] s’identifie `al’anneau des fonctions r´eguli`eres sur X nr ( M ∩ G ) := X nr ( M ) | M ∩ G . Posons E B = P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 25 E ⊗ B et notons σ B la repr´esentation de M ∩ G dans E B donn´ee par σ B ( m )( e ⊗ b ) = σ ( m ) e ⊗ b b m . Les r´esultats ci-dessus s’appliquent ´egalement `a larepr´esentation V B := i G P E B , consid´er´ee comme sous-espace G -invariant de i GP E B . Notons V et V B les sous-espaces vectoriels de V (resp. V B ) form´es des´el´ements `a support dans P P . L’application p : V → E , v R U v ( u ) du ,induit un isomorphisme r G P V → E de repr´esentations de M ∩ G . L’application p s : V → sE , v v ( s ), d´efinit un isomorphisme r G P V /r G P V → sE . On ala situation analogue pour V B et V B .On va maintenant proc´eder `a la preuve que J P | P ( σ ⊗ χ λα ) est r´egulier en λ = 0,si sσ σ : soit n le plus petit entier tel que λ n J P | P ( σ ⊗ χ λα ) soit r´egulieren λ = 0. Notons cet op´erateur J ( λ ) et consid´erons l’op´erateur r G P J (0) dansHom M ∩ G ( r G P i G P σ , σ ), obtenu par r´eciprocit´e de Frobenius. Comme le quotient r G P V /r G P V est isomorphe `a sσ et que cette repr´esentation n’est par hypoth`esepas isomorphe `a σ , la restriction de r G P J (0) `a r G P V est non triviale. Il existedonc v ∈ V B tel que0 = ( r G P J (0))( r G P sp v ) = ( J (0) sp v )(1) . Mais, l’application ( J P | P ( σ ⊗ χ λα ) v )(1) est r´egulier en tout λ ∈ C [W, p. 283],puisque v est `a support dans P P . Par cons´equent, n = 0. ✷ Pour tout w ∈ W ( M, O ) , il existe m w dans M tel que b m w A w laisse invariant l’espace ( i GP E B O ) K ( B O ) . Si w = s α avec α ∈ ∆ O ,µ ou w ∈ R ( O ) i ,on peut choisir m w dans M ∩ M α .Preuve: Par d´efinition, A w = ρ w τ w b − w J B,w avec b w ∈ B × . En fait, on peutchoisir b w ∈ B × O , puisque la valeur de J w − P | P en une repr´esentation σ ′ ne d´ependen un certain sens que de la classe d’isomorphie de σ ′ [W, IV]. L’op´erateur λ ( w ) − J B,w commute avec les op´erateurs φ η , η ∈ Stab( O ), [W, IV.1]. On d´eduit donc dela proposition que J B,w envoie l’espace i GP E B O dans l’espace ( i GP wE B O ) K ( B O ) .Consid´erons la restriction de l’isomorphisme ρ w τ w : i GP wE B → i GP E B `a i GP wE B O .L’application τ w envoie un ´el´ement v := P m ∈ R ( M/M ) σ ( m ) e m ⊗ b m de E B O ( e m ∈ E ), sur P m ∈ R ( M/M ) σ ( m ) e m ⊗ b wmw − = P m ∈ R ( M/M ) ( wσ )( m ) e w − mw ⊗ b m . L’isomorphisme ρ w envoie ( wσ )( m ) e w − mw sur un ´el´ement dans σ ( m ) ρ σ,w E ,d’o`u ρ w τ w v ∈ P m ∈ R ( M/M ) σ ( m ) ρ σ,w E ⊗ b m . L’espace ρ σ,w E est le sous-espacede E | M muni de la repr´esentation w − σ . Par , il existe m w ∈ M tel que σ ( m w ) ρ σ,w E soit ´egal `a E . Il en r´esulte que l’op´erateur A w laisse invariant i GP E K ( B O ) , si on multiplie le repr´esentant de w dans G `a droite par w − m w w .Or, ceci revient par `a multiplier A w par b − m w . Soit maintenant α ∈ ∆ O ,µ et s = s α ∈ W O . Notons σ la composante irr´eductiblede σ | M ∩ M α dont la restriction `a M contient σ . Comme sσ ≃ σ par le lemme , il existe m s ∈ M ∩ M α tel que sσ ≃ m s σ . L’op´erateur b m s A s laisse l’espace i GP E K ( B O ) invariant, par ce qui pr´ec`ede.Si w ∈ R ( O ) i , alors l’effet de w sur σ porte sur la seule composante σ i de σ avec wσ i ≃ σ i . On peut donc choisir m w dans le groupe GL k i sur lequel σ i estd´efinie. Il appartient donc `a une composante de M α qui est dans les notations dela proposition ´egale `a H k i + k . Comme cette composante est semi-simple, m w appartient bien `a M α . ✷ D´efinition: Si s est une sym´etrie simple dans W O , fixons un ´el´ement m s de M ∩ M α tel que les conclusions du lemme soient v´erifi´ees et posons J s = b m s A s .C’est un ´el´ement de Hom G ( i GP E B O , i GP E K ( B O ) ). Pour r ∈ R ( O ) i , fixons m r ∈ R ( O )tel que les conclusions du lemme relatives `a A r soient v´erifi´ees et posons J r = b m r A r . Pour w ∈ W O , w = s · · · s l , d´efinissons J w = J s · · · J s l . (Il r´esultera dulemme ci-apr`es que cette d´efinition est bonne.) Pour r ∈ R ( O ), on fait de mˆeme `apartir des J s αi , α i ∈ R ( O ) i . Si finalement w ∈ W ( M, O ), w = rw O , avec r ∈ R ( O )et w O ∈ W O , on ´ecrira J w = J r J w O . (i) Soit w ∈ W O et soit w = s · · · s l une d´ecomposition de w en sym´etries simples. L’op´erateur J s · · · J s l ne d´epend que de w et non pas de lad´ecomposition de w .(ii) Si s = s α est une r´eflexion simple dans W O , alors J s = c ′′ s ( µ M α ) − , o`u c ′′ s est le nombre complexe d´efini dans .(iii) Pour tous r, r ′ ∈ R ( O ) , on a J r J r ′ = J rr ′ .Preuve: Pour (i), d’apr`es [Sp, 8.3.3], il suffit de montrer l’assertion suivante: si s et s ′ sont des sym´etries simples dans W O et si m ( s, s ′ ) d´esigne l’ordre de ss ′ , alors J s J s ′ J s · · · = J s ′ J s J s ′ · · · , le nombre de facteurs de chaque cˆot´e ´etant ´egal `a m ( s, s ′ ). Vu le r´esultat de com-position ´etabli pour les op´erateurs A s dans et la d´efinition de J s et de J s ′ , cecirevient `a prouver que b m s s b m s ′ ss ′ b m s ss ′ s b m s ′ · · · = b m s ′ s ′ b m s s ′ s b m s ′ s ′ ss ′ b m s · · · . Or, ceci r´esulte du lemme .Pour (ii), la preuve de reste valable, puisque J s est la restriction de A s .Par it´eration, il suffit de v´erifier l’´egalit´e (iii) lorsque r = s α i est l’´el´ement nontrivial d’un R ( O ) i . Si la projection de r ′ sur R ( O ) i est triviale, alors l’assertionr´esulte directement de la d´efinition . Sinon, il suffit de montrer que J r = 1. Par , on a J r = b m r A r b m r A r = b m r r b m r . P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 27
Comme r b m r = b − m r , on a bien b m r r b m r = 1. ✷ Les op´erateurs J w , w ∈ W ( M, O ) , sont K ( B O ) -lin´eairementind´ependants dans Hom G ( i GP E B O , i GP E K ( B O ) ) .Preuve: La preuve de se g´en´eralise, apr`es avoir remarqu´e que les op´erateurs J w sont non nuls. Or, ceci r´esulte du fait que sp χ envoie l’espace E B O , consid´er´ecomme sous-espace de E B , sur l’espace E muni de la repr´esentation σ ⊗ χ . Comme sp χ ◦ J w,K ( B ) = λ ( w ) J w − P | P ( σ ⊗ χ ) sp χ et que J w − P | P ( σ ⊗ χ ) = 0 pour χ r´egulier,l’op´erateur J w est bien non nul. ✷ En tant que K ( B O ) -modules, Hom G ( i GP E B O , i GP E K ( B O ) ) = M w ∈ W ( M, O ) K ( B O ) J w . Preuve:
Par la r´eciprocit´e de Frob´enius, on aHom G ( i GP E B O , i GP E K ( B O ) ) = Hom M ( r GP i GP E B O , E K ( B O ) )Par le lemme g´eom´etrique [BZ, I.5], r GP i GP E B O admet une filtration par des sous-espaces F w , w ∈ W M \ W G /W M , dont les sous-quotients sont isomorphes `a wE B O .On en d´eduit une filtration du K ( B O )-module Hom M ( r GP i GP E B O , E K ( B O ) ) dont lessous-quotients sont isomorphes `a Hom M ( wE B O , E K ( B O ) ).Compte tenu de l’ind´ependance K ( B O )-lin´eaire des op´erateurs J w , w ∈ W ( M, O ), il reste `a prouver queHom G ( wE B O , ( E B O ) K ( B O ) ) ≃ (cid:26) , si w W ( M, O ); K ( B O ) , sinon . Comme wE B O est un quotient de wE B et que ( E B O ) K ( B O ) est un sous-module de E K ( B ) , la nullit´e de Hom M ( wE B , E K ( B ) ) pour w W ( M, O ) implique celle deHom M ( wE B O , ( E B O ) K ( B O ) ).Supposons maintenant w ∈ W ( M, O ). On a wE B O = ind MM wE . Comme W ( M, O ) permute les composantes irr´eductibles de E | M , on trouve que ind MM wE = E B O , d’o`u, d’apr`es , Hom M ( wE B O , E K ( B O ) ) = K ( B O ). ✷ Dans cette section, on va d´efinir pour tout w ∈ W O un op´erateur T w ∈ End G ( i GP E B O ) et montrer que les op´erateurs J r T w , r ∈ R ( O ) et w ∈ W O , formentune base du B O -module End G ( i GP E B O ). Soit α ∈ ∆ O , s = s α . Posons c s = c ′ s − c ′′ s (o`u c ′ s et c ′′ s sont lesnombres complexes d´efinis respectivement en et en ). (i) L’op´erateur sp ( X α − J s est scalaire sur i KP ∩ K E et ( sp ( X α − J s ) = c s (1 − q − a s ) (1 + q − b s ) . Par ailleurs, si χ ∈ X nr ( M ) v´erifie X α ( χ ) = 1 , alors, pour v ∈ i KP ∩ K E B O , sp χ ( X α − J s v = ( sp ( X α − J s ) sp χ v. (ii) Supposons que µ M α s’annule en X α = − . Fixons χ − ∈ X nr ( M ) tel que X α ( χ − ) = − . L’op´erateur sp χ − ( X α + 1) J s est scalaire sur i KP ∩ K E et ( sp χ − ( X α + 1) J s ) = c s (1 + q − a s ) (1 − q − b s ) . Par ailleurs, si χ ∈ X nr ( M ) v´erifie X α ( χ ) = − , alors, pour v ∈ i KP ∩ K E B O , sp χ ( X α + 1) J s v = ( sp χ − ( X α − J s ) sp χ v. Preuve: (i) D’apr`es le lemme et nos choix, la repr´esentation i M α P ∩ M α σ estirr´eductible, et la restriction de J s `a i KP ∩ K E a un pˆole simple en Y α = 1. L’op´erateur sp ( X α − J s est d´efini `a partir d’un entrelacement de cette repr´esentation avecelle-mˆeme. Cela doit donc ˆetre un scalaire. On a( sp ( X α − J s ) = sp (( X α − J s ( X α − J s ) = sp (( X α − X − α − J s ) . Comme ( J s ) = c ′′ s ( µ M α ) − , on trouve bien l’expression dans l’´enonc´e, apr`es avoirremplac´e µ M α par l’expression donn´ee dans la proposition .Soit maintenant χ ∈ X nr ( M ) tel que X α ( χ ) = 1. Ils existent alors η ∈ Stab( O )et χ ∈ X nr ( M α ) tels que χ = ηχ . On a s χ = χ et χ ( m s ) = 1. Remarquons parailleurs qu’en tant qu’espace vectoriel, i KP ∩ K E B O = L m ∈ M/M σ i KP ∩ K σ ( m ) E ⊗ b m .Soit m ∈ M et v m ∈ i KP ∩ K σ ( m ) E . On a, en tant que fonction rationnelle en χ ′ ∈ X nr ( M ), sp χ ′ χ ( X α − J s v m ⊗ b m =( X α ( χχ ′ ) − χχ ′ )( m s ) ρ σ,s λ ( s ) J sP | P ( σ ⊗ s ( χ ′ χ )) s ( χ ′ χ )( m ) v m = χ ( m )( X α ( χ ′ ) − ηχ ′ )( m s ) ρ σ,s λ ( s ) J sP | P ( σ ⊗ s ( χ ′ η )) s χ ′ ( m ) s η ( m ) v m = χ ( m )( X α ( χ ′ ) − ηχ ′ )( m s ) ρ σ,s λ ( s ) J sP | P ( σ ⊗ s ( χ ′ η )) s χ ′ ( m ) φ σ,sη v m = χ ( m )( X α ( χ ′ ) − ηχ ′ )( m s ) ρ σ,s φ σ,sη λ ( s ) J sP | P ( σ ⊗ s χ ′ ) s χ ′ ( m ) v m . Sp´ecialisant en χ ′ = 1, on trouve sp χ ( X α − J s v m ⊗ b m = χ ( m ) η ( m s ) ρ σ,s φ σ,sη ρ − σ,s sp ( X α − J s v m ⊗ b m . P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 29
On vient de voir que sp ( X α − J s v m ⊗ b m est un ´el´ement de i KP ∩ K σ ( m ) E . Soit e ∈ E . Remarquons que ρ − σ,s e est un ´el´ement de ( sσ )( m − s ) E . Alors ρ σ,s φ σ,sη ρ − σ,s σ ( m ) e = ρ σ,s φ σ,sη ( sσ )( m ) ρ − σ,s e = ρ σ,s η ( m − s ) η ( m )( sσ )( m ) ρ − σ,s e = η ( m − s ) η ( m ) σ ( m ) e , i.e. ( ρ σ,s φ σ,sη ρ − σ,s ) | i KP ∩ K σ ( m ) E = η ( m − s ) η ( m ) . La derni`ere assertion du (i) dulemme en r´esulte.(ii) Observons d’abord que s χ − χ − − ∈ Stab( O ): comme µ M α s’annule en X α = −
1, on trouve par les r´esultats de Harish-Chandra que σ ⊗ χ − ≃ s ( σ ⊗ χ − ) ≃ sσ ⊗ s χ − ≃ σ ⊗ s χ − , d’o`u σ ≃ σ ⊗ s χ − χ − − . Posons η − = s χ − χ − − . Soit v m ∈ i KP ∩ K σ ( m ) E . On a alors, en tant que fonction rationnelle en χ ′ ∈ X nr ( M ), sp χ ′ χ − ( X α + 1) J s v m ⊗ b m =( X α ( χ ′ χ − ) + 1)( χ ′ χ − )( m s ) ρ σ,s λ ( s ) J sP | P ( σ ⊗ s ( χ − χ ′ )) s ( χ − χ ′ )( m ) v m =( X α ( χ ′ χ − ) + 1)( χ ′ χ − )( m s ) ρ σ,s λ ( s ) J sP | P ( σ ⊗ η − χ − s χ ′ )( χ − s χ ′ )( m ) ×× φ σ,η − v m =( X α ( χ ′ χ − ) + 1)( χ ′ χ − )( m s ) ρ σ,s φ σ,η − λ ( s ) J sP | P ( σ ⊗ χ − s χ ′ )( χ − s χ ′ )( m ) v m = χ − ( m ) χ − ( m s ) ρ σ,s φ σ,η − ρ − σ ⊗ χ − ,s ( − X α ( χ ′ ) + 1) χ ′ ( m s ) ρ σ ⊗ χ − ,s λ ( s ) ×× J sP | P ( σ ⊗ χ − s χ ′ ) χ ′ ( m ) v m Notons J s,χ − l’op´erateur dans End G (( E χ − ) B O ) K ( B O ) d´efini comme J s , en rem-pla¸cant σ par σ ⊗ χ − . Alors, d’apr`es (i), on a pour χ ∈ X nr ( M ) avec X α ( χ ) = 1, sp χ − χ (( X α + 1) J s ) v m ⊗ b m = χ − ( m ) χ − ( m s ) ρ σ,s φ σ,η − ρ − σ ⊗ χ − ,s sp χ ( − X α + 1) J s,χ − v m ⊗ b m = χ − ( m s ) ρ σ,s φ σ,η − ρ − σ ⊗ χ − ,s ( sp ( − X α + 1) J s,χ − ) sp χ − χ v m ⊗ b m . L’op´erateur ρ σ,s φ σ,η − ρ − σ ⊗ χ − ,s vient par fonctorialit´e d’un automorphisme d’unerepr´esentation irr´eductible dans E , puisque s ( σ ⊗ χ − ) η − = sσ ⊗ χ − . C’estdonc un scalaire. En posant ci-dessus χ = 1 et en utilisant la partie (i) du lemmerelative `a l’op´erateur J s,χ − , on trouve que l’op´erateur sp χ − ( X α + 1) J s est scalairesur i KP ∩ K E . L’´egalit´e ci-dessus implique alors ´egalement la derni`ere assertion de lapartie (ii) du lemme.Concernant la deuxi`eme assertion, il suffit de remarquer que( sp χ − ( X α + 1) J s ) = sp χ − ( X α + 1)( X − α + 1) J s , et on conclut comme pour (i). ✷ D´efinition:
Soit α ∈ ∆ O , s = s α . Fixons une racine carr´ee c / s de c s .D’apr`es le lemme , il existe ǫ , ǫ − ∈ {± } tels que sp ( X α − J s = ǫ c / s (1 − q − a s )(1 + q − b s )2 sp et sp χ − ( X α + 1) J s = ǫ − c / s (1 + q − a s )(1 − q − b s )2 sp χ − . Posons R s = ( − ǫ q a s + b s c − / s J s , si ǫ b s = ǫ − b s ; − ǫ q a s + b s c − / s X α J s , si ǫ b s = ǫ − b s .et T s = R s + ( q a s + b s − X α ( X α − q bs − q as q as + bs − ) X α − . Un ´el´ement A ∈ Hom G ( i GP E B O , i GP E K ( B O ) ) est dans End G ( i GP E B O ) ,si et seulement si, pour tout v ∈ i GP E B O et pour tout v ∨ ∈ i KP ∩ K E ∨ , l’application X nr ( M ) → C , χ
7→ h sp χ Av, v ∨ i , est r´eguli`ere.Preuve: La condition est n´ecessaire, puisque, si A ( v ) ∈ i GP E B O , alors sp χ ( A ( v )) ∈ i GP E χ pour tout χ ∈ X nr ( M ).La condition est suffisante: Soit v ∈ i GP E B O . Par l’inclusion i GP E B O ⊆ i KP ∩ K E ⊗ K ( B ), on peut ´ecrire Av = P i ∈ I v i ⊗ b i avec b i ∈ K ( B ) et les v i C -lin´eairementind´ependants dans i KP ∩ K E .Soient v ∨ i ∈ i KP ∩ K E ∨ , i ∈ I , des ´el´ements duaux aux v i . Alors h sp χ ( A ( v )) , v ∨ i i = b i . Il en r´esulte donc que b i ∈ B pour tout i ∈ I , i.e. Av ∈ i GP E B ∩ ( i GP E B O ) K ( B O ) = i GP E B O . ✷ Les op´erateurs T s α , α ∈ ∆ O , d´efinis dans , appartiennent`a End G ( i GP E B O ) .Preuve: Posons s = s α . Il faut montrer que T s est r´egulier en tout χ ∈ X nr ( M ).´Ecrivons T s = p s J s + r s avec p s ∈ B × et r s ∈ K ( B O ). Soient v ∈ i KP ∩ K E O et v ∨ ∈ E ∨ . L’application χ
7→ h sp χ T s v, v ∨ i est r´eguli`ere en χ , sauf peut-ˆetre si X α ( χ ) = 1 ou si X α ( χ ) = − b s = 0.Remarquons d’abord que Res X α = ± r s = ±
12 ( q a s + b s − − ( ± q b s − q a s )) . P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 31
La r´egularit´e en χ ∈ X nr ( M ) tel que X α ( χ ) = 1 r´esulte alors de l’´egalit´e sp χ ( X α − p s J s = − q a s + b s (1 − q − as )(1+ q − bs )2 sp χ , et celle en χ ∈ X nr ( M ) tel que X α ( χ ) = − sp χ ( X α + 1) p s J s = q a s + b s (1+ q − as )(1 − q − bs )2 sp χ , si b s = 0. ✷ Soit α ∈ ∆ O , s = s α . Alors ( T s + 1)( T s − q a s + b s ) = 0 .Preuve: Soit T s un op´erateur de la forme p s J s + r s avec p s ∈ C × et r s ∈ K ( B ).Alors ( T s + 1)( T s − q a s + b s ) = T s + (1 − q a s + b s ) T s − q a s + b s =( r s + s r s + 1 − q a s + b s ) p s J s + p s J s + r s + (1 − q a s + b s ) r s − q a s + b s . Comme 1 et J s sont K ( B )-lin´eairement ind´ependants, l’´equation ( T s + 1)( T s − q a s + b s ) = 0 ´equivaut `a r s + s r s + 1 − q a s + b s = 0 et p s J s + r s + (1 − q a s + b s ) r s − q a s + b s = 0 . Pour T s d´efini comme ci-dessus dans le cas ǫ b s = ǫ − b s , la v´erification de cesidentit´es se fait par un calcul ´el´ementaire. Le cas ǫ b s = ǫ − b s en r´esulte, puisque( X α J s ) ( X α J s ) = J s . ✷ Fixons pour tout w ∈ W O une d´ecomposition r´eduite ensym´etries simples w = s · . . . · s l et d´efinissons T w = T s · . . . · T s l . (En partic-ulier, T = id .) Soient w, w ′ ∈ W O .(i) Si l O ( ww ′ ) = l O ( w ) + l O ( w ′ ) , alors T w T w ′ est de la forme b w,w ′ J ww ′ + P w ′′ f w,w ′ ,w ′′ J w ′′ , avec b w,w ′ ∈ B × O et f w,w ′ ,w ′′ ∈ K ( B O ) , f w,w ′ ,w ′′ = 0 lorsque l O ( w ′′ ) ≥ l O ( ww ′ ) .(ii) Si l O ( ww ′ ) < l O ( w ) + l O ( w ′ ) , alors T w T w ′ est de la forme P w ′′ f w,w ′ ,w ′′ J w ′′ avec f w,w ′ ,w ′′ ∈ K ( B O ) , f w,w ′ ,w ′′ = 0 lorsque l O ( w ′′ ) ≥ l O ( w ) + l O ( w ′ ) .Preuve: Ceci r´esulte directement de la d´efinition de T w et de (i), (ii). ✷ Soit w ′ ∈ W O et notons w l’´el´ement le plus long dans W O .Supposons pour tout w ∈ W O donn´e un op´erateur T w,w ′ dans End G ( i GP E B O ) de laforme P w ′′ f w,w ′′ J w ′′ , avec f w,w ′′ ∈ K ( B O ) , f w,w = 0 si w = w ′ et f w ′ ,w ∈ B × O .Soit χ ∈ X nr ( M ) et soient c r,w , r ∈ R ( O ) , w ∈ W O , des nombres complexes telsque P r,w c r,w sp χ J r T w,w ′ = 0 . Alors c ,w ′ = 0 . Preuve:
Fixons un sous-groupe H de G v´erifiant les propri´et´es indiqu´ees dans[H, 5.] relatives `a P et O . Fixons un ´el´ement v = 0 de ( i KP ∩ K E ) H de supportcontenu dans ( P ∩ K ) H et `a valeurs dans E . Il s’identifie donc `a l’´el´ement de i GP E B O d´efini pour m ∈ M , u ∈ U et k ∈ K par muk δ / P σ B ( m ) v ( k ). Soit v ∨ un ´el´ement de ( i KP ∩ K E ∨ ) H de support contenu dans ( P ∩ K ) H . On suppose que v ∨ a ´et´e choisi tel que h ( v (1) , v ∨ (1) i 6 = 0. L’op´erateur rationnel J P | w P λ ( w ) estr´egulier sur O ∨ par (o`u w d´esigne l’´el´ement de longueur maximale de W O ).Posons A = J P | w P ( σ ⊗ · ) λ ( w ).On d´eduit de [H, 5.3] (o`u il faut inverser les rˆoles de v et v ∨ ) que, pour w ∈ W ( M, O ), h J P | wP ( σ ⊗ χ ′ ) λ ( w ) ρ w v, A ( χ ′ ) ρ ∨ w v ∨ i est une fonction constante en χ ′ qui ne peut ˆetre = 0 que si w = w . Si w = w , alors sa valeur est de la forme c w h v (1) , v ∨ (1) i , o`u c w est un nombre complexe = 0 qui ne d´epend pas de v et v ∨ .Supposons P r,w c r,w sp χ J r T w,w ′ = 0. Alors, h X r,w c r,w J r T w,w ′ v, Aρ ∨ w v ∨ i = X r,w X w ′′ h c r,w J r f w,w ′′ J w ′′ v, Aρ ∨ w v ∨ i = X r,w X w ′′ c r,w f w,w ′′ h J r J w ′′ v, Aρ ∨ w v ∨ i Observons maintenant que, d’apr`es le lemme et la preuve de , pour w ∈ W O , r ∈ R ( O ) et χ ′ ∈ X nr ( M ) un point r´egulier, et compte tenu de la d´efinitionde J r J w , sp χ ′ J r J w v est le produit d’un nombre complexe non nul avec ρ σ,rw λ ( rw ) J w − r − P | P ( σ ⊗ ( w − r − χ ′ )) sp w − r − χ ′ v = ρ σ,rw J P | rwP ( rwσ ⊗ χ ′ ) λ ( rw ) v = J P | rwP ( σ ⊗ χ ′ ) λ ( rw ) ρ σ,rw v, les propri´et´es de commutations pour ρ σ,rw par rapport `a J P | rwP ( · ) λ ( rw ) r´esultantdu fait que celui-ci est d´efini par fonctorialit´e `a partir d’un isomorphisme entre desrepr´esentations dans E (cf. ).D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on voit que le produit h J P | rwP ( σ ⊗ χ ′ ) λ ( rw ) ρ σ,rw v, A ( χ ′ ) ρ ∨ w v ∨ i est nul, sauf si r = 1 et w = w , et alors sa valeur est par choix de v ∨ nonnulle ´egale `a c w h ( v (1) , v ∨ (1) i =: c . Il s’ensuit que0 = h X r,w sp χ c r,w J r T w,w ′ v, A ( χ ) ρ ∨ w v ∨ i = c ,w ′ f w ′ ,w ( χ ) c. Comme f w ′ ,w ∈ B × , on a f w ′ ,w ( χ ) = 0, et il en r´esulte que c ,w ′ c = 0, d’o`u c ,w ′ = 0. ✷ P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 33
Pour tout χ ∈ X nr ( M ) , les op´erateurs sp χ J r T w , r ∈ R ( O ) , w ∈ W O , sont lin´eairement ind´ependants.Preuve: Soit χ ∈ X nr ( M ). On va d’abord prouver par r´ecurrence d´ecroissantesur l , 0 ≤ l ≤ l O ( w ), que, lorsque c r,w , r ∈ R ( O ), w ∈ W O , sont des nombrescomplexes tels que P r,w c r,w sp χ J r T w = 0, alors c ,w = 0 pour tout w de longueursup´erieure ou ´egale `a l .Il r´esulte du lemme pr´ec´edent et de (en posant w ′ = 1) que cette affirmationest vraie pour l = l ( w ). Soit donc 0 ≤ l < l ( w ) et supposons-la vraie pour l + 1.Soient c r,w des nombres complexes tels que P r,w c r,w sp χ J r T w = 0. On a donc c ,w = 0 lorsque l ( w ) > l . Soit w ∈ W O tel que l ( w ) = l . Posons w ′ = w − w et A := P r,w c r,w J r T w . Par hypoth`ese, sp χ A = 0 et donc sp χ AT w ′ = 0.D’autre part, AT w ′ = X r,w c r,w J r ( T w T w ′ ) . On va d´eduire du lemme que c ,w = 0. Si l ( w ) > l , alors c ,w = 0 par hypoth`esede r´ecurrence. Si l ( w ) = l , alors l ( ww ′ ) ≤ l ( w ) + l ( w ′ ) = l ( w ), puisque par [B, VI,paragraphe 1, Cor. 3], l ( w ′ ) = l ( w ) − l . Par la proposition , T w T w ′ est, pour l ( w ) ≤ l et w = w , combinaison K ( B O )-lin´eaire d’op´erateurs J w ′′ , l ( w ′′ ) < l ( w ),alors que T w T w ′ est de la forme f w ,w J w + P w ′′ = w f w ,w ′′ J w ′′ avec f w ,w ∈ B × O et f w ,w ′′ ∈ K ( B O ). Les hypoth`eses du lemme sont donc bien v´erifi´ees, et, parsuite, c ,w = 0.D´eduisons-en maintenant que c r ′ ,w = 0 pour tout r ′ ∈ R ( O ) et w ∈ W O . Soit r ′ ∈ R . Remarquons que T w J r ′− = J r ′− T r ′ wr ′− par .Comme 0 = sp χ AJ r ′− et, d’autre part, AJ r ′− = X r,w c r,w J r J r ′− T r ′ wr ′− , on trouve, en utilisant (iii),0 = sp χ AJ r ′− = X r,w c r,r ′− wr ′ sp χ J rr ′− T w . Par ce qui a ´et´e montr´e dans la premi`ere partie, il en r´esulte bien que c r ′ ,w = 0pour tout w ∈ W O . ✷ End G ( i GP E B O ) = M r ∈ R ( O ) ,w ∈ W O B O J r T w . Preuve:
Il est clair par d´efinition et que l’espace de droite est inclus dansl’espace de gauche.D’autre part, par le th´eor`eme et , l’espace de gauche est inclus dans L r,w K ( B O ) J r T w . Il suffit donc de prouver qu’une combinaison lin´eaire de laforme A := P r,w b − b r,w J r T w avec b r,w et b dans B O est dans End G ( i GP E B O ), si etseulement si b divise tous les b r,w dans B O .On se ram`ene au cas o`u b et b r,w sont premiers entre eux dans B O . Il faut alorsprouver que b est une unit´e. Supposons par l’absurde que b n’est pas une unit´e.L’anneau B O ´etant factoriel, il suffit de consid´erer le cas o`u b est irr´eductible. Alorsil existe au moins un ´el´ement χ ∈ X nr ( M ) tel que b ( χ ) = 0, alors que b r,w ( χ ) = 0pour au moins un couple ( r, w ). Comme 0 = sp χ bA = P r,w b r,w ( χ ) sp χ J r T w , cecicontredit la proposition qui dit que les op´erateurs sp χ J r T w sont C -lin´eairementind´ependants pour tout χ ∈ X nr ( M ). ✷ Le centre Z O de End G ( i GP E B O ) est form´e des ´el´ements W ( M, O ) -invariants dans B O .Preuve: En effet, supposons P r,w b r,w J r J w dans le centre. Alors, pour tout r ∈ R ( O ), w ∈ W O , b ∈ B O , bb r,w = rw bb r,w . Par suite, b r,w = 0 si rw = 1. Lecentre de End G ( i GP E B O ) est donc contenu dans B O , et il est alors clair que c’est B W ( M, O ) O . ✷ Notons K ( Z O ) le corps de fractions de Z O et posons End G ( i GP E B O ) K ( Z O ) =End G ( i GP E B O ) ⊗ Z O K ( Z O ). Corollaire:
L’alg`ebre
End G ( i GP E B O ) K ( Z O ) est un K ( B O ) -module qui est canon-iquement isomorphe `a Hom G ( i GP E B O , i GP E K ( B O ) ) .Preuve: Remarquons tout d’abord que B O ⊗ ZO K ( Z O ) est canoniquement iso-morphe `a K ( B O ) (cf. [L]). Il en r´esulte par que End G ( i GP E B O ) K ( Z O ) est iso-morphe `a L r,w K ( B O ) J r T w , d’o`u le corollaire par et . ✷ Rappelons que l’on a d´efini en pour tout α ∈ ∆ σ,µ un ´el´ement h α dans M ∩ M α et un nombre r´eel t α . Posons e α := H M ( h αt α ). D´esignons par Λ O le Z -module libre dans a M ´egal `a l’image de M σ /M par H M , par Λ ∨ O le Z -module libreinclus dans a ∗ M qui est par h· , ·i en dualit´e parfaite avec Λ O , par Σ O l’ensemble des e α , α ∈ Σ O ,µ , et, finalement, par Σ ∨ O l’ensemble des multiples α ∗ de α , α ∈ Σ O ,µ ,tels que h α ∗ , e α i = 2. Le quadruplet (Λ O , Σ O , Λ ∨ O , Σ ∨ O ) est une donn´ee radicielle. Le P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 35 syst`eme de racines sous-jacent est r´eduit. Le groupe de Weyl de Σ O est canonique-ment isomorphe `a W O , et l’ensemble ∆ O = { H M ( h t α α ) , α ∈ ∆ O ,µ } forme une basede Σ O .Par ailleurs, si Σ ′ µ est une composante irr´eductible de Σ O ,µ , et si Σ ′ µ n’est pasde type C n , alors l’ensemble des e α , α ∈ Σ ′ µ , est une composante irr´eductible de Σ O qui est du mˆeme type que Σ ′ . Dans le cas contraire, la composante irr´eductiblecorrespondante de Σ O est de type B n . D’abord un lemme:
Soit α ∈ Σ O ,µ . Notons m α le plus grand nombre > , tel que χ πimα log q α ∈ X nr ( M α ) . Alors H M ( h α ) = m α α ∨ .Preuve: ´Ecrivons H M ( h α ) = m α ∨ avec m >
0. Alors1 = χ πimα log q α ( h α ) = q −h πimα log q α,H M ( h α ) i = q − πi log q mmα . Il s’ensuit que m ∈ m α Z . Mais, alors, grˆace `a la maximalit´e de m α , il faut que m α = m . ✷ Preuve: (de la proposition) Fixons une composante Σ O ,µ,i de Σ O ,µ , et notons { α , . . . , α d } sa base. Rappelons que d = d i , sauf si Σ O ,µ,i est de type A d . Alors d = d i −
1. Un ´el´ement de X nr ( M ) est de la forme | det m | s , ⊗ · · · ⊗ | det m | s ,d ⊗| det m | s , ⊗ · · · ⊗ | det m | s ,d ⊗ · · · ⊗ | det m r | s r, ⊗ · · · ⊗ | det m r | s r,dr ⊗
1, o`u les s i,j sont des nombres complexes. Pour j = 1 , . . . , d i − χ α j est donn´ee par s i,j = 1 /m i , s i,j +1 = − /m i , les autres exposants s i ′ ,j ′ ´etant nuls. Si d = d i , alors χ α d est donn´epar s i,d = 1 /m i et s i,d − = 0 (resp. s i,d − = 1 /m i ), si Σ O ,µ,i est de type B d (resp. D d ), et par s i,d = 2 /m i si Σ O ,µ,i est de type C d , les autres exposants ´etant nuls.Fixons une uniformisante e ω de F . On peut choisir h α j = diag(1 , , . . . , , e ω, e ω − , , . . . ,
1) pour j = 1 , . . . , d i −
1, et, si d = d i , h α d = diag(1 , . . . , , e ω, , . . . , O ,µ,i est de type B d ou C d , et h α d = diag(1 , , . . . , , e ω, e ω, , . . . ,
1) si Σ O ,µ,i estde type D d , e ω se trouvant chaque fois `a la derni`ere place sur la diagonale de la j `eme (ou d `eme ) copie de GL m i .Posons ǫ = 2, si Σ O ,µ,i est de type B d , ǫ = 1 sinon. Alors, on en d´eduit m α j = 2 m − i pour j = 1 , . . . , d i −
1, et, si d = d i , m α d = ǫ m − i . Si t i d´esignel’ordre du stabilisateur de σ i , on a par ailleurs t α j = t i pour j = 1 , . . . , d . Par suite,grˆace au lemme , ∆ O ,i = { t i m i α ∨ , . . . , t i m i α ∨ d i − , t i ǫm i α ∨ d } . Ce sont des ´el´ements de Λ O = H M ( M σ /M ), puisque par construction ces ´el´ementssont de la forme H M ( h t α α ), α ∈ ∆ O ,µ , alors que h t α α ∈ M σ d’apr`es , en remar-quant que le groupe Stab( O ) op`ere d’apr`es la d´efinition trivialement sur les h t α α . On pose ∆ ∨ O ,i = { m i t i α , . . . , m i t i α d i − , ǫm i t i α d i } . On a ∆ ∨ O ,i ⊆ Λ ∨ O : observonsd’abord que les groupes GL m i / ( GL m i ) sont cycliques. Le groupe (GL m i ) σ i / (GL m i ) en est un sous-groupe d’indice t i (car (GL m i / (GL m i ) ) t i = (GL m i ) σ / (GL m i ) )), et le groupe M σ /M est un produit de tels groupes. Il est clair queles caract`eres rationnels m i α j , consid´er´es comme ´el´ements de a ∗ M , envoient l’imagede M par H M dans Z . Comme les ´el´ements de ∆ ∨ O ,i sont triviaux sur les facteursGL m j , j = i , il en r´esulte suit que les m i t i α j envoient M σ /M dans Z , i.e. ce sontdes ´el´ements de Λ ∨ O .On voit que le syst`eme des racines obtenu est du mˆeme type que Σ O ,µ,i saufdans le cas o`u celui-ci est de type C d . Alors, on trouve un syst`eme ´equivalent ausyst`eme dual de Σ O ,µ,i . Il est donc de type B d . ✷ On va maintenant faire le lien avec les alg`ebres de Hecke avec param`etres.
Rappelons d’abord la notion d’alg`ebre de Hecke avec param`etres d´efinie dans[L].Soit (Λ , Λ ∨ , Σ , Σ ∨ , ∆) un quintuplet, o`u Λ et Λ ∨ sont des groupes ab´eliens libresde type fini en dualit´e par une application Z -bilin´eaire h· , ·i : Λ × Λ ∨ → Z , Σ ⊆ Λun syst`eme de racines, ∆ une base de Σ et Σ ∨ ⊆ Λ ∨ le syst`eme de racines dual deΣ, la dualit´e ´etant donn´e par h· , ·i .D´esignons par W (Σ) le groupe de Weyl de Σ. Notons Σ , . . . , Σ r les composantesirr´eductibles de Σ et ∆ i := ∆ ∩ Σ i . Pour tout i ∈ { , . . . , r } , supposons donn´e unensemble { q α , α ∈ ∆ i } de nombres r´eels > q α = q β , si α et β sontconjugu´es par un ´el´ement du groupe de Weyl de Σ i . Si Σ i est de type B n , on sedonne en outre un nombre r´eel q i > α est dans Σ, d´esignons par s α la sym´etrie ´el´ementaire de Λ associ´ee `a α , et, pour α, β ∈ Σ, par m ( α, β ) l’ordre de s α s β .Consid´erons le groupe B (Σ) de g´en´erateurs U s α , α ∈ ∆, avec les relationsde tresse U s α U s β U s α · · · = U s β U s α U s β · · · ( m ( α, β ) facteurs) pour tous α, β ∈ ∆.Remarquons qu’alors U s α · · · U s αr = U s β · · · U s βr , lorsque s α · · · s α r et s β · · · s β r sont des d´ecompositions r´eduites d’un mˆeme ´el´ement w de W (Σ) [Sp, 8.3.3]. Onpeut donc poser U w := U s α · · · U s αr . Notons H (Σ) le quotient de l’alg`ebre degroupe de B (Σ) par l’id´eal bilat`ere engendr´e par les ´el´ements ( U s α + 1)( U s α − q α ), α ∈ ∆.Notons C = C [Λ] l’alg`ebre de groupe de Λ et Z λ l’´el´ement de C associ´e `a λ ∈ Λ.On appellera alg`ebre de Hecke avec param`etres { q α } et { q i } , et on notera H := H (Σ , { q α } , { q i } ) la C -alg`ebre qui, en tant que C -espace vectoriel est engendr´eepar U w Z λ , w et λ parcourant respectivement W (Σ) et Λ. La multiplication dans H (Σ , { q α } , { q i } ) est d´eduite de celle dans H (Σ) et de celle dans C avec la r`egle de P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 37 commutation Z λ U s α − U s α Z s α λ = ( q α − Z λ − Z sα ( λ ) − Z − α , si α ∨ ∨ , ( q α − Z − α (( q α q i ) / − ( q α q − i ) / )) Z λ − Z sα ( λ ) − Z − α , sinon;pour α ∈ ∆ et λ ∈ Λ.Ceci est bien d´efini parce que α ∨ ∈ ∨ est ´equivalent `a dire que la composanteirr´eductible Σ i de Σ `a laquelle α appartient est de type B n et que α est la racinecourte dans ∆ ∩ Σ i .Notons Z le centre de H , K ( Z ) son corps des fractions, et posons H K ( Z ) = H ⊗ Z K ( Z ). Suivant [L, 3.12], on a H K ( Z ) = L w ∈ W (Σ) K ( C ) U w , o`u K ( C ) d´esignele corps des fractions de C . Soient α, α ′ ∈ ∆ O , s = s α , s ′ = s α ′ , et m ∈ Z tels que ( ss ′ ) m = 1 .Supposons ou que b s = b s ′ = 0 , ou que s et s ′ commutent, ou bien que α et α ′ engendrent un syst`eme de racines de type B , que α ′ soit la racine courte et que b s = 0 . Alors T s T s ′ T s · · · = T s ′ T s T s ′ · · · , le nombre de facteurs de chaque cˆot´e ´etant m .Remarque: Il semblerait que les conclusions du lemme ci-dessus deviennentfausses, si on omet une des hypoth`eses.
Preuve:
Le syst`eme de racines Σ engendr´e par α et α ′ est r´eduit de rang 2. S’ilest r´eductible, il est de type A × A , et J s et J s ′ commutent. Mais, alors T s et T s ′ commutent ´egalement, et l’assertion est triviale.Sinon, Σ est de type A , B ou G . Sans perte de g´en´eralit´e, on peut sup-poser que la racine α ′ est au plus aussi longue que α . Notons m l’ordre de s α s α ′ .On pose q α = q a s , q α ′ = q a s ′ + b s ′ et q = q a s ′ − b s ′ . Consid´erons le quintuplet(Λ O , Λ ∨ O , Σ , Σ ∨ , { α, α ′ } ) et l’alg`ebre de Hecke `a param`etres H = H (Σ , { q α , q α ′ } , { q } ) associ´ee. Remarquons que C [Λ O ] s’identifie `a B O . Notons Z le centre de H .L’alg`ebre H K ( Z ) est donc un K ( B O )-module.Avec les notations de , posons j α = q α − Z α − Z α et j α ′ = ( q / α ′ q / − Z α ′ )( Z α ′ + q / α ′ q − / )1 − Z α ′ . Pour P ∈ C , β ∈ { α, α ′ } et t = s β , les r`egles de commutation impliquent que P ( U β − q β ) − ( U β − q β ) t P = ( t P − P ) j β . (*)Si β ∈ Σ est conjugu´e `a α (resp. α ′ ), posons j β = j α ( Y β ) (resp. j β = j α ′ ( Y β )).Dans H K ( Z ) , posons S s = U s − q α + j α , S s ′ = U s ′ − q α ′ + j α ′ , et, lorsque w ∈ W (Σ )et que w = s α · · · s α r est une d´ecomposition r´eduite de w , S w = S α · · · S α r . Ceci ne d´epend pas de la d´ecomposition r´eduite choisie [R, 4.3]. Alors, pour tout w, w ′ ∈ W (Σ ), S w S w ′ = ( Y β j β j − β ) S ww ′ , le produit portant sur l’ensemble des β ∈ Σ +1 tels que w − β < w ′− w − β > H K ( Z ) → End G ( i GP E B O ) K ( Z O ) qui envoie S s sur R s , S s ′ sur R s ′ et qui induit l’identit´e sur K ( B O ). Il en suivra la relation T s T s ′ T s · · · = T s ′ T s T s ′ · · · , le nombre de facteurs dechaque cˆot´e ´etant ´egal `a l’ordre ss ′ , puisque U s T s et que U s ′ T s ′ .Comme les op´erateurs S s et S s ′ engendrent ensemble avec K ( B O ) l’alg`ebre H K ( Z ) , l’unicit´e est ´evidente. Il reste `a prouver l’existence, i.e. que R s , R s ′ v´erifientles mˆemes relations que S s , S s ′ .La v´erification des relations de commutation (*) est un calcul ´el´ementaire. Il enest de mˆeme des identit´es R s = j α j − α et R s ′ = j α ′ j − α ′ . Il reste `a v´erifier que,lorsque w ∈ W (Σ ) et que w = s α · · · s α r est une d´ecomposition en sym´etriessimples de w , alors R s α · · · R s αr est ind´ependant du choix de cette d´ecomposition.Pour cela, on va ´etudier les diff´erents cas. En fait, si m ( s, s ′ ) d´esigne l’ordre de ss ′ , il suffit de montrer que R s R s ′ R s · · · = R s ′ R s R s ′ · · · , le nombre de facteurs dechaque cˆot´e ´etant m ( s, s ′ ) [Sp, 8.3.3].Si Σ est de type A ou G , alors b s ′ = 0 par hypoth`ese et c s ′ = c s , puisque s et s ′ sont conjugu´es. Les relations ci-dessus sont alors une cons´equence directe ducorollaire .Supposons maintenant Σ de type B . Il faut montrer que R s R s R s R s = R s R s R s R s . Comme chaque facteur R s i apparaˆıt avec la mˆeme multiplicit´e,les facteurs scalaires sont ´egaux. On est donc ramen´e `a l’´egalit´e X α J s α X α ′ J s α ′ X α J s α X α ′ J s α ′ = X α ′ J s α ′ X α J s α X α ′ J s α ′ X α J s α qui r´esulte du lemme . ✷ Lorsque Σ i est une composante irr´eductible de Σ O et que α ∈ ∆ ∩ Σ i , alors b s α = 0 implique que Σ i est de type B n et que α correspond `a laracine courte de B n .Preuve: Il r´esulte des travaux de Bernstein-Zelevinsky [BZ] et, dans le cas d’unealg`ebre simple, de [T] que b s α = 0 si la fonction µ M α est ´egale `a celle pour ungroupe lin´eaire g´en´eral ou le groupe multiplicatif d’une alg`ebre simple. Ceci est´egalement vrai pour SL ( F ) et PGL ( F ). Or, dans les autres cas, Σ i est, d’apr`es et , de type B n et α est la racine courte. ✷ Lorsque Σ i est une composante irr´edictible de Σ O , d´esignons par α i l’uniqueracine dans ∆ ∩ Σ i telle que α ∨ i ∈ ∨ O , si une telle racine existe. P´ERATEURS D’ENTRELACEMENT ET ALG`EBRES DE HECKE 39
Proposition:
L’alg`ebre L w ∈ W O B O T w est une alg`ebre de Hecke avec param`e-tres { q a sα + b sα } et { q a i − b i } , o`u i correspond aux diff´erentes composantes irr´educti-bles de Σ O et o`u a i (resp. b i ) est ´egal `a a s αi (resp. b s αi ).Preuve: La seule propri´et´e qui reste `a v´erifier est la r`egle de commutation. C’estun calcul ´el´ementaire. ✷ Remarquons que les valeurs possibles pour les param`etres a s et b s sontbien connues pour les groupes consid´er´es ici: l’ordre du groupe des caract`eres nonramifi´es qui stabilisent la classe d’isomorphie d’une repr´esentation irr´eductible cus-pidale de GL n ( F ) est un diviseur de n . (Ceci r´esulte de la correspondance localede Langlands [HT].) On a un r´esultat similaire dans le cas des alg`ebres simples parla correspondance de Jacquet-Langlands [DKV].Dans le cas o`u G est ´egal `a GL n ( F ) ou le groupe multiplicatif d’une alg`ebresimple, on en d´eduit les valeurs de a s et b s directement des travaux cit´es dansla preuve de . Pour H k un groupe symplectique ou orthogonal et σ ⊗ τ unerepr´esentation irr´eductible cuspidale de GL n ( F ) × H k telle que µ ( σ ⊗ τ ) = 0, C.Moeglin [M] a r´ecemment d´eduit des travaux de J. Arthur que le nombre a > σ | det n | aF ⊗ τ soit un pˆole de µ est un demi-entier. Par ailleurs, si χ est uncaract`ere unitaire non ramifi´e tel que la fonction µ s’annulle ´egalement en σχ ⊗ τ ,alors le nombre r´eel b > σχ ) | det | bF ⊗ τ soit un pˆole de µ multipli´e parl’ordre du stabilisateur t de σ est un entier si et seulement si ta l’est. A partcela, `a moins que σ et σχ soient isomorphes, la valeur de b n’est en g´en´eral pasconditionn´ee par celle de a . Soit w ∈ W O et r ∈ R ( O ) . Alors r − wr ∈ W O et T w J r = J r T r − wr .Preuve: Il suffit de consid´erer le cas o`u w est une sym´etrie simple s α et demontrer que r − s α r est ´egalement une sym´etrie simple. Or, comme par d´efinition r laisse Σ O ∩ Σ( P ) invariant, il en est de mˆeme pour ∆ O , et, par suite, r − s α r = s rα est une sym´etrie simple. ✷ L’alg`ebre
End G ( i GP E B O ) est isomorphe au produit semi-direct C [ R ( O )] ⋉ H (Σ O , { q a sα + b sα } , { q a i − b i } ) de l’alg`ebre de groupe de R ( O ) avec l’alg`e-bre de Hecke avec param`etres { q a sα + b sα } et { q a i − b i } .Preuve: C’est une cons´equence imm´ediate de , et de . ✷ La cat´egorie
Rep ( W O ) est isomorphe `a la cat´egorie des modules`a droite sur l’alg`ebre C [ R ( O )] ⋉ H (Σ O , { q a sα + b sα } , { q a i − b i } ) . Preuve:
C’est une cons´equence imm´ediate de combin´e avec le th´eor`eme deBernstein [Ro, 1.6] mentionn´e dans l’introduction. ✷ Remarque:
L’isomorphisme de cat´egories de est compatible avec l’induc-tion parabolique dans le sens suivant: remarquons d’abord que le th´eor`eme etle corollaire se g´en´eralisent facilement aux sous-groupes de Levi des groupesconsid´er´es ici. En effet, un tel sous-groupe de Levi est un produit direct de groupesde ce type, et les alg`ebres consid´er´ees sont donc des produits des alg`ebres associ´eesaux facteurs.Soit alors P ′ = M ′ U ′ un sous-groupe parabolique de G tel que P ′ ⊇ P et M ′ ⊇ M . Pour α ∈ ∆ M ′ O et r ∈ R M ′ ( O ), notons T M ′ s α et J M ′ r les op´erateurs T s α et J r d´efinis relatifs `a M ′ . On a une injection canonique de End M ′ ( i M ′ P ∩ M ′ E B O ) dansEnd G ( i GP E B O ) d´efini par le foncteur d’induction parabolique i GP ′ . On observe alorsque cette inclusion correspond `a l’inclusion naturelle des alg`ebres de Hecke avecparam`etres respectives (ainsi que des alg`ebres de groupe fini). En effet, cette inclu-sion de End M ′ ( i M ′ P ∩ M ′ E B O ) dans End G ( i GP E B O ) envoie un op´erateur T M ′ s α , α ∈ ∆ M ′ O ,sur T s α et un op´erateur J M ′ r , r ∈ R M ′ ( O ), sur J r , la construction de ces op´erateurs´etant compatible avec l’induction parabolique (pour les op´erateurs d’entrelacementvoir [W]) et se faisant par rapport `a un sous-groupe de Levi contenu dans M ′ .Rappelons, comme d´ej`a remarqu´e dans l’introduction, que l’isomorphisme decat´egorie entre Rep ( W O ) et la cat´egorie des End G ( i GP E B O )-modules `a droite estlui-aussi compatible avec l’induction parabolique [Ro, 2.4]. L’isomorphisme decat´egorie est donc compatible avec l’induction parabolique. On voit de mˆemequ’il est compatible avec le foncteur de Jacquet. References [BD] J.N. Bernstein (r´edig´e par P. Deligne),
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