Overgroups of subsystem subgroups in exceptional groups: 2A1-proof
ННадгруппы subsystem subgroups в исключительных группах: 𝐴 -доказательство. П. Б. ГВОЗДЕВСКИЙ
Аннотация.
В настоящей работе мы докажем ослабленный вариант теоремы осэндвич-классификации для надгрупп подсистемной подгруппы 𝐸 (∆ , 𝑅 ) группы Ше-валле 𝐺 (Φ , 𝑅 ) , где Φ — система корней с простыми связями, а ∆ — ее достаточнобольшая подсистема. А именно, мы покажем, что для любой такой надгруппы 𝐻 существует единственная сеть идеалов 𝜎 кольца 𝑅 , такая, что 𝐸 (Φ , ∆ , 𝑅, 𝜎 ) (cid:54) 𝐻 (cid:54) Stab 𝐺 (Φ ,𝑅 ) ( 𝐿 ( 𝜎 )) , где 𝐸 (Φ , ∆ , 𝑅, 𝜎 ) — элементарная подгруппа, связанная с сетью, а 𝐿 ( 𝜎 ) — соответствующая подалгебра в алгебры Ли Шевалле. Введение
В работе [19], посвященной проекту классификации максимальных подгрупп, Май-кл Ашбахер определил восемь классов подгрупп 𝐶 - 𝐶 в конечных классических груп-пах. Эти подгруппы являются очевидными кандидатами на роль максимальных под-групп. А именно, каждая подгруппа из класса Ашбахера либо сама является макси-мальной, либо содержится в максимальной подгруппе, которая, в свою очередь, либоснова принадлежит классу Ашбахера, либо может быть построена посредством явноописанной процедуры.Николай Вавилов определил пять классов ”больших” подгрупп в группах Шевалле(в том числе исключительных) над произвольными кольцами (подробнее см., напри-мер, в [14]). Он предположил, что эти подгруппы хоть и не являются максимальными,но достаточно велики, чтобы можно было описать решетку их надгрупп. Одним изтаких классов являются подсистемные подгруппы (мы дадим определение в разделе2.1).В настоящей работе мы изучаем надгруппы подсистемных подгрупп в исключитель-ных группах. Принципиальным отличием от всех предыдущих работ является то, чтодля извлечения элементарных корневых элементов мы используем подсистемы типа 𝐴 . Во всех опубликованных работах для этого использовались неприводимые под-системы ранга не меньше 2.Чтобы поместить результаты настоящей работы в контекст, напомним основныеизвестные к настоящему моменту результаты. Date : 18 октября 2019 г.Исследования выполнены за счет гранта Российского научного фонда (проект № 17-11-01261). a r X i v : . [ m a t h . G R ] O c t .б.гвоздевский ∙ В работах [1], [11], а также ряде других работ, изучаются надгруппы (эле-ментарных) подсистемных подгрупп в полной линейной группе. В этом случаеподсистемные подгруппы — это группы блочно-диагональных матриц. ∙ В дальнейшем в диссертации Николая Вавилова (смотри, в частности, [4] и [3])эти результаты были обобщены на случай ортогональных и симплектическихгрупп в предположении ∈ 𝑅 * . Полные доказательства были опубликованныпозднее. Затем в диссертации Александра Щеголева [23] это предположениебыло снято, а также решена соответствующая задача для унитарных групп (см.также [16] и [17]), что практически полностью закрыло случай классическихгрупп. ∙ Случаи полной линейной и унитарной групп, допускают обобщения на некото-рые некоммутативные, но удовлетворяющие какому-то другому условию, коль-ца (например, квазиконечные или PI). Этому посвящены работы [10], [13] и [6]. ∙ Задача описания надгрупп подсистемных подгрупп в исключительных группахнад коммутативным кольцом (смотри, например, [7], проблема 7) оказаласьзначительно сложнее. Первым шагом в направлении ее решения этой задачислужит работа [8]. В ней перечислены пары (Φ , ∆) , для которых стандартноеописание гипотетически возможно, и для каждой из них найдены соотношениямежду идеалами, определяющими уровень. ∙ В работе [9] автор получил единообразное решение данной задачи для подси-стем 𝐴 𝑙 − (cid:54) 𝐷 𝑙 , 𝐷 (cid:54) 𝐸 и 𝐸 (cid:54) 𝐸 . Для систем с простыми связями это вточности случаи, когда подсистемная подгруппа является подгруппой Леви, исоответствующий унипотентный радикал абелев. ∙ Отметим также, что результат работы [12], описывающий надгруппы 𝐹 в 𝐸 ,хоть и не является частным случаем нашей задачи, но тесно с ней связан.Напомним, как обычно выглядел ответ в перечисленных выше случаях.Пусть L — решетка подгрупп абстрактной группы 𝐺 , обладающих некоторым свой-ством. Говорят, что L удовлетворяет сэндвич-классификации, если она разбивается вдизъюнктное объединение ”сэндвичей” L = ⨆︁ 𝑖 𝐿 ( 𝐹 𝑖 , 𝑁 𝑖 ) , 𝐿 ( 𝐹 𝑖 , 𝑁 𝑖 ) = { 𝐻 : 𝐹 𝑖 (cid:54) 𝐻 (cid:54) 𝑁 𝑖 } ,где 𝑖 пробегает некоторое множество индексов. Причем 𝐹 𝑖 нормально в 𝑁 𝑖 . Изуче-ние таких решеток сводится к изучению факторгрупп 𝑁 𝑖 /𝐹 𝑖 . Гипотезы, выдвинутыев работе [8], утверждают, что в группах Шевалле решетки подгрупп, содержащихэлементарную подсистемную подгруппу для достаточно большой подсистемы, удо-влетворяют сэндвич-классификации для определенных 𝐹 𝑖 и 𝑁 𝑖 . Теоремы такого типатакже называются стандартным описанием .Однако, (по крайней мере) для случаев, когда подсистема имеет неприводимуюкомпоненту типа 𝐴 , формулировки гипотез в работе [8] следует модифицировать. Этосвязанно с тем, что элементарная подгруппа не обязательно нормальна в SL(2 , 𝑅 ) . адгруппы subsystem subgroups Таким образом, основной результат настоящей работы похож на сэндвич-классификацию, но у нас в отличие от всех предыдущих работ подгруппа 𝐹 𝑖 , вообщеговоря, не будет нормальна в 𝑁 𝑖 .Работа [5] посвящена 𝐴 -доказательству структурных теорем, то есть доказатель-ству использующему элемент вида 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) 𝑥 𝛽 ( 𝜁 ) , где ∠ ( 𝛼, 𝛽 ) = 𝜋/ , для попадания впараболичекую подгруппу. Наш метод доказательства частично основан на замеча-нии после доказательства основной леммы работы [5], согласно которому, для попа-дания в параболическую подгруппу можно использовать элемент вида 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) 𝑥 𝛽 ( 𝜁 ) , где ∠ ( 𝛼, 𝛽 ) = 𝜋/ . Такой способ будет называться 𝐴 -доказательством, и он позволяетизучать надгруппы подсистемных подгрупп даже для подсистем типа 𝑛𝐴 .Я выражаю благодарность своему учителю Николаю Вавилову за постановку зада-чи и чрезвычайно полезные рекомендации.2. Основные обозначения
Системы корней и группы Шевалле.
Пусть Φ — неприводимая системакорней, P — решетка, промежуточная между решеткой корней Q (Φ) и решеткой ве-сов P (Φ) , и 𝑅 — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Обозначим через 𝐺 (Φ , 𝑅 ) = 𝐺 P (Φ , 𝑅 ) соответствующую группу Шевалле, через 𝑇 (Φ , 𝑅 ) = 𝑇 P (Φ , 𝑅 ) —ее расщепимый максимальный тор, и для каждого корня 𝛼 ∈ Φ обозначим через 𝑋 𝛼 = { 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) , : 𝜉 ∈ 𝑅 } соответствующую корневую унипотентную подгруппу, относи-тельно данного тора. Элементарную подгруппу, порожденную всеми 𝑋 𝛼 , 𝛼 ∈ Φ , мыбудем обозначать через 𝐸 (Φ , 𝑅 ) = 𝐸 P (Φ , 𝑅 ) .В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что Φ — система с простыми связями.Пусть ∆ — подсистема в Φ . Обозначим через 𝐸 (∆ , 𝑅 ) подгруппу в 𝐺 (Φ , 𝑅 ) , порож-денную всеми 𝑋 𝛼 , где 𝛼 ∈ ∆ . Можно показать, что она будет элементарной подгруппойгруппы Шевалле 𝐺 (∆ , 𝑅 ) , вложенной в 𝐺 (Φ , 𝑅 ) . Решетка между Q (∆) и P (∆) при этомбудет ортогональной проекцией решетки P на соответствующее подпространство.Группы Вейля систем Φ и ∆ будут обозначаться через 𝑊 (Φ) и 𝑊 (∆) , соответствен-но.Мы будем решать задачу описания подгрупп, промежуточных между 𝐸 (∆ , 𝑅 ) и 𝐺 (Φ , 𝑅 ) . На пару (Φ , ∆) накладывается дополнительное комбинаторное предположе-ние, которое сформулированно в пункте 2.5.2.2. Аффинные схемы.
Функтор 𝐺 (Φ , − ) из категории колец в категорию группявляется аффинной групповой схемой (групповая схема Шевалле—Демазюра). Этозначит, что его композиция с забывающим функтором в категорию множеств пред-ставима. То есть 𝐺 (Φ , 𝑅 ) = Hom( Z [ 𝐺 ] , 𝑅 ) .Кольцо Z [ 𝐺 ] , которое его представляет, называется кольцом регулярных функций насхеме 𝐺 (Φ , − ) .Элемент 𝑔 gen ∈ 𝐺 (Φ , Z [ 𝐺 ]) , соответствующий тождественному гомоморфизму колец,называется общим элементом схемы 𝐺 (Φ , − ) . Этот элемент обладает универсальным .б.гвоздевский свойством: для любого кольца 𝑅 и любого 𝑔 ∈ 𝐺 (Φ , 𝑅 ) существует единственныйгомоморфизм колец 𝑓 : Z [ 𝐺 ] → 𝑅 ,такой, что 𝑓 * ( 𝑔 gen ) = 𝑔 . По поводу метода общего элемента в задачах рассматриваемогонами типа смотри статью Алексея Степанова [24].2.3. Гомоморфизм редукции и конгруэнц подгруппы.
Если 𝑅 — кольцо, и 𝐼 (cid:69) 𝑅 — идеал, то проекцию на фактор-кольцо 𝑅 → 𝑅/𝐼 , а также индуцированный ейгомоморфизм редукции 𝐺 (Φ , 𝑅 ) → 𝐺 (Φ , 𝑅/𝐼 ) мы будем обозначать через 𝜌 𝐼 .Ядро этого гомоморфизма называется главной конгруэнц подгруппой уровня 𝐼 иобозначается через 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) .2.4. Параболические подгруппы.
Пусть 𝛼 , 𝛼 ∈ Φ и 𝛼 ⊥ 𝛼 . Введем обозначениедля следующего линейного функционала на линейной оболочке Φ . 𝜛 𝛼 ,𝛼 ( 𝛾 ) = ( 𝛼 + 𝛼 , 𝛾 ) .Так как Φ — система с простыми связями, несложно видеть, что для любого 𝛾 ∈ Φ мы имеем 𝜛 𝛼 ,𝛼 ( 𝛾 ) ∈ {− , − , , , } . Заметим, что значения ± не обязаны прини-маться. Множество корней, на которых значение функционала 𝜛 𝛼 ,𝛼 неотрицательно,является параболическим. Мы будем обозначать через 𝑃 𝛼 ,𝛼 соответствующую пара-болическую подгруппу.Введем еще два обозначения: Σ 𝛼 ,𝛼 = { 𝛾 ∈ Φ : 𝜛 𝛼 ,𝛼 ( 𝛾 ) = 2 } , 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 = ⟨ 𝑥 𝛾 ( 𝜉 ) : 𝛾 ∈ Σ 𝛼 ,𝛼 , 𝜉 ∈ 𝑅 ⟩ (cid:54) 𝑃 𝛼 ,𝛼 .Иными словами, группа 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 — это унипотентный радикал группы 𝑃 𝛼 ,𝛼 в случае,если функционал 𝜛 𝛼 ,𝛼 задает 3-градуировку на системе корней (то есть значения и − на корнях не принимаются). Если же функционал 𝜛 𝛼 ,𝛼 задает невырожденную5-градуировку, то группа 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 — это коммутант унипотентного радикала.2.5. Комбинаторное условие.
Пусть пара (Φ , ∆) фиксирована. Пусть 𝛼 , 𝛼 ∈ ∆ и 𝛼 ⊥ 𝛼 . Будем говорить, что пара корней 𝛼 , 𝛼 подходящая , если для любых раз-личных корней 𝛾 , 𝛾 ∈ Σ 𝛼 ,𝛼 ∖ ∆ найдется корень 𝛽 ∈ ∆ , такой, что 𝜛 𝛼 ,𝛼 ( 𝛽 ) = 0 , и ( 𝛽, 𝛾 ) ̸ = ( 𝛽, 𝛾 ) .Теперь мы готовы сформулировать условие на пару (Φ , ∆) :Для любого корня 𝛾 ∈ Φ ∖ ∆ найдется подходящая параортогональных корней 𝛼 , 𝛼 ∈ ∆ , такая, что ( 𝛼 , 𝛾 ) = ( 𝛼 , 𝛾 ) = − . (*)С этого момента мы будем всегда предполагать, что это условие выполнено. адгруппы subsystem subgroups Теоретико-групповые обозначения. ∙ Напомним, что для абстрактных групп
𝐴, 𝐵 (cid:54) 𝐺 транспортером из 𝐴 в 𝐵 называется множество Tran 𝐺 ( 𝐴, 𝐵 ) = { 𝑔 ∈ 𝐺 : 𝑔𝐴𝑔 − (cid:54) 𝐵 } . ∙ Если группа 𝐺 действует на множестве 𝑋 , 𝑥 ∈ 𝑋 и 𝑌 ⊆ 𝑋 , то будем обо-значать через Stab 𝐺 ( 𝑥 ) и Stab 𝐺 ( 𝑌 ) стабилизатор элемента 𝑥 и стабилизаторподмножества 𝑌 (не поточечный, а как подмножества). ∙ Коммутаторы предполагаются левонормированными [ 𝑥, 𝑦 ] = 𝑥𝑦𝑥 − 𝑦 − . ∙ Верхний индекс означает левое или правое сопряжение 𝑔 ℎ = 𝑔ℎ𝑔 − , ℎ 𝑔 = 𝑔 − ℎ𝑔 . ∙ Если 𝑋 — подмножество в группе 𝐺 , то через ⟨ 𝑋 ⟩ мы будем обозначать под-группу, порожденную множеством 𝑋 .2.7. Сети идеалов.
Сетью идеалов мы будем называть набор идеалов 𝜎 = { 𝜎 𝛼 } 𝛼 ∈ Φ кольца 𝑅 , удовлетворяющий следующим условиям.(1) Если 𝛼 , 𝛽 и 𝛼 + 𝛽 ∈ Φ , то 𝜎 𝛼 𝜎 𝛽 ⊆ 𝜎 𝛼 + 𝛽 .(2) Если 𝛼 ∈ ∆ , то 𝜎 𝛼 = 𝑅 .Каждой надгруппе 𝐸 (∆ , 𝑅 ) (cid:54) 𝐻 (cid:54) 𝐺 (Φ , 𝑅 ) мы сопоставим сеть идеалов lev( 𝐻 ) ,которая называется уровнем надгруппы 𝐻 , и определяется следующим образом: lev( 𝐻 ) 𝛼 = { 𝜉 ∈ 𝑅 : 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) ∈ 𝐻 } .Из работы [8] следует, что этот набор множеств будет сетью идеалов. В этой же работесделано следующее наблюдение Лемма 1.
Если 𝜎 — сеть идеалов, то идеал 𝜎 𝛼 зависит только от орбиты корня 𝛼 поддействием группы Вейля 𝑊 (∆) . Алгебры Ли.
Будем обозначать через 𝐿 (Φ , Z ) целочисленную линейную оболоч-ку базиса Шевалле в комплексной алгебре Ли типа Φ (смотри [15]). Введем обозначе-ние для алгебры Ли Шевалле 𝐿 (Φ , 𝑅 ) = 𝐿 (Φ , Z ) ⊗ Z 𝑅 . Это алгебра Ли над кольцом 𝑅 ,на которой группа 𝐺 (Φ , 𝑅 ) действует посредством присоединенного представления.Для элементов 𝑔 ∈ 𝐺 (Φ , 𝑅 ) и 𝑣 ∈ 𝐿 (Φ , 𝑅 ) будем обозначать присоединенное действиечерез 𝑔 𝑣 .Стоит отметить, что Алгебра Шевалле 𝐿 (Φ , 𝑅 ) , вообще говоря, не изоморфна алгеб-ре Ли алгебраической группы 𝐺 (Φ , 𝑅 ) (смотри, например, [22]). Впрочем, для случаяодносвязных групп, эти алгебры канонически изоморфны.Будем обозначать через 𝑒 𝛼 , 𝛼 ∈ Φ и ℎ 𝑖 , 𝑖 = 1 , . . . , rk Φ — базис Шевалле алгебры Ли 𝐿 (Φ , 𝑅 ) . Ее торическую подалгебру, порожденную элементами ℎ 𝑖 будем обозначатьчерез 𝐷 .Для каждого элемента 𝑣 ∈ 𝐿 (Φ , 𝑅 ) будем обозначать через 𝑣 𝛼 и 𝑣 𝑖 его коэффици-енты в разложении по базису Шевалле. .б.гвоздевский Скобку Ли мы будем обозначать через [ · , · ] . Конфликта обозначений с групповымкоммутатором возникать не должно. Из контекста всегда будет видно, где происходятвычисления в группе, а где в алгебре.Для каждой сети идеалов 𝜎 положим 𝐿 ( 𝜎 ) = 𝐷 ⊕ ⨁︁ 𝛼 ∈ Φ 𝜎 𝛼 𝑒 𝛼 (cid:54) 𝐿 (Φ , 𝑅 ) ,Из определения сети немедленно следует Лемма 2.
Подмодуль 𝐿 ( 𝜎 ) является также подалгеброй Ли в 𝐿 (Φ , 𝑅 ) . Далее, положим 𝐿 ′ ( 𝜎 ) = ⟨{ 𝜉𝑒 𝛼 : 𝛼 ∈ Φ , 𝜉 ∈ 𝜎 𝛼 }⟩ (cid:54) 𝐿 ( 𝜎 ) ,где угловые скобки означают порождение как алгебры Ли. Сделаем два наблюдения. Лемма 3.
Пусть 𝜎 — сеть идеалов. Тогда (1) [ 𝐿 ( 𝜎 ) , 𝐿 ( 𝜎 )] (cid:54) 𝐿 ′ ( 𝜎 ) . (2) 𝐿 ( 𝜎 ) = { 𝑣 ∈ 𝐿 (Φ , 𝑅 ) : [ 𝑣, 𝐿 ′ ( 𝜎 )] (cid:54) 𝐿 ( 𝜎 ) } .Доказательство. Первое утверждение очевидно. Во втором утверждении включениелевой части в правую тоже очевидно, докажем обратное включение. Пусть элемент 𝑣 лежит в правой части, и пусть 𝛾 ∈ Φ . Нужно доказать, что 𝑣 𝛾 лежит в 𝜎 𝛾 . Если 𝛾 ∈ ∆ , то доказывать нечего, пусть 𝛾 / ∈ ∆ . Из условия ( * ) в частности следует, чтонайдется 𝛼 ∈ ∆ , такой, что ( 𝛼, 𝛾 ) = − , то есть 𝛼 + 𝛾 ∈ Φ . Тогда [ 𝑣, 𝑒 𝛼 ] ∈ [ 𝑣, 𝐿 ′ ( 𝜎 )] (cid:54) 𝐿 ( 𝜎 ) ,и следовательно 𝑣 𝛾 = ± [ 𝑣, 𝑒 𝛼 ] 𝛼 + 𝛾 ∈ 𝜎 𝛼 + 𝛾 . Но, согласно лемме 1, 𝜎 𝛼 + 𝛾 = 𝜎 𝛾 . (cid:3) Сетевые подгруппы.
Для каждой сети идеалов 𝜎 положим 𝐸 (Φ , ∆ , 𝑅, 𝜎 ) = ⟨ 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) : 𝛼 ∈ Φ , 𝜉 ∈ 𝜎 𝛼 ⟩ (cid:54) 𝐺 (Φ , 𝑅 ) , 𝑆 (Φ , ∆ , 𝑅, 𝜎 ) = Stab 𝐺 (Φ ,𝑅 ) ( 𝐿 ( 𝜎 )) .Для краткости, когда остальные параметры будут ясны из контекста, мы будемписать просто 𝐸 ( 𝜎 ) и 𝑆 ( 𝜎 ) .Эти две подгруппы будут играть роль наименьшей и наибольшей подгрупп в сэнд-виче. Таким образом, модификация гипотез, сформулированных в работе [8], состоитв замене нормализатора на подгруппу 𝑆 ( 𝜎 ) .Сделаем несложное наблюдение. Лемма 4.
Пусть 𝜎 — сеть идеалов. Тогда 𝑆 ( 𝜎 ) = { 𝑔 ∈ 𝐺 (Φ , 𝑅 ) : 𝑔 𝐿 ′ ( 𝜎 ) (cid:54) 𝐿 ( 𝜎 ) и 𝑔 − 𝐿 ′ ( 𝜎 ) (cid:54) 𝐿 ( 𝜎 ) } . адгруппы subsystem subgroups Доказательство.
Включение левой части в правую очевидно, докажем обратноевключение. Пусть элемент 𝑔 лежит в правой части. Согласно лемме 3, чтобы про-верить включение 𝑔 𝐿 ( 𝜎 ) (cid:54) 𝐿 ( 𝜎 ) , достаточно проверить включение [ 𝑔 𝐿 ( 𝜎 ) , 𝐿 ′ ( 𝜎 )] (cid:54) 𝐿 ( 𝜎 ) .Но [ 𝑔 𝐿 ( 𝜎 ) , 𝐿 ′ ( 𝜎 )] = 𝑔 [ 𝐿 ( 𝜎 ) , 𝑔 − 𝐿 ′ ( 𝜎 )] (cid:54) 𝑔 [ 𝐿 ( 𝜎 ) , 𝐿 ( 𝜎 )] (cid:54) 𝑔 𝐿 ′ ( 𝜎 ) (cid:54) 𝐿 ( 𝜎 ) .Аналогично 𝑔 − 𝐿 ( 𝜎 ) (cid:54) 𝐿 ( 𝜎 ) . Значит, 𝑔 ∈ 𝑆 ( 𝜎 ) . (cid:3) Формулировка основного результата
Пусть дана надгруппа 𝐸 (∆ , 𝑅 ) (cid:54) 𝐻 (cid:54) 𝐺 (Φ , 𝑅 ) . Будем говорить, что надгруппа 𝐻 псевдостандартна , если 𝐻 (cid:54) 𝑆 (lev( 𝐻 )) .Для данных Φ , ∆ и 𝑅 будем говорить, что имеет место псевдостандартное описание надгрупп, если любая надгруппа 𝐸 (∆ , 𝑅 ) (cid:54) 𝐻 (cid:54) 𝐺 (Φ , 𝑅 ) псевдостандартна.Позже будет доказано, что lev( 𝑆 ( 𝜎 )) = 𝜎 для любой сети идеалов 𝜎 , в частностилюбая сеть идеалов может быть уровнем надгруппы. Легко видеть, что отсюда следу-ет, что псевдостандартное описание можно переформулировать следующим образом:для любой надгруппы 𝐸 (∆ , 𝑅 ) (cid:54) 𝐻 (cid:54) 𝐺 (Φ , 𝑅 ) существует единственная сеть идеалов 𝜎 , такая, что 𝐸 ( 𝜎 ) (cid:54) 𝐻 (cid:54) 𝑆 ( 𝜎 ) .Приставку ”псевдо” мы добавляем в связи с тем, что подгруппа 𝐸 ( 𝜎 ) не обязанабыть нормальной в 𝑆 ( 𝜎 ) , то есть формально такой результат не является сэндвич-классификацией.Настоящая работа посвящена доказательству следующей теоремы. Теорема.
Пусть 𝑅 — коммутативное кольцо. Пусть Φ — неприводимая системакорней с простыми связями, ∆ — ее подсистема, удовлетворяющая условию ( * ) .Тогда (1) Если кольцо 𝑅 не имеет поля вычетов из двух элементов, то имеет местопсевдостандартное описание надгрупп. (2) Предположим, что при фиксированных Φ и ∆ для 𝑅 = F имеет место псев-достандартное описание надгрупп. Тогда оно имеет место для произвольногокольца 𝑅 . Пересечение с 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 Предложение 1.
Пусть 𝐻 — надгруппа 𝐸 (∆ , 𝑅 ) уровня 𝜎 , и пусть 𝛼 , 𝛼 ∈ ∆ —подходящая пара ортогональных корней. Тогда 𝐻 ∩ 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 (cid:54) 𝐸 ( 𝜎 ) . .б.гвоздевский Доказательство.
Пусть 𝑔 ∈ 𝐻 ∩ 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 . Тогда 𝑔 = 𝑘 ∏︁ 𝑖 =1 𝑥 𝛾 𝑖 ( 𝜉 𝑖 ) ,где 𝛾 𝑖 — различные корни из Σ 𝛼 ,𝛼 , докажем, что 𝜉 𝑖 ∈ 𝜎 𝑖 для любого 𝑖 . Предположимпротивное. Из всех 𝑔 , для которых это не так, выберем тот, у которого число 𝑘 мини-мальное возможное. Тогда 𝜉 𝑖 / ∈ 𝜎 𝛾 𝑖 для каждого 𝑖 , поскольку иначе, в силу абелевости 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 , этот множитель можно было бы убрать, уменьшив 𝑘 . В частности 𝛾 𝑖 / ∈ ∆ .Если 𝑘 = 1 , то, с учетом вышесказанного, мы получаем противоречие с тем, что lev( 𝐻 ) = 𝜎 . Значит 𝑘 (cid:62) . По определению подходящей пары найдется корень 𝛽 ∈ ∆ ,такой, что 𝜛 𝛼 ,𝛼 ( 𝛽 ) = 0 , но ( 𝛽, 𝛾 ) ̸ = ( 𝛽, 𝛾 ) . Одно из чисел ( 𝛽, 𝛾 ) и ( 𝛽, 𝛾 ) не равнонулю, не умаляя общности — первое. Далее, заменив, если нужно, 𝛽 на − 𝛽 , можносчитать, что ( 𝛽, 𝛾 ) = − . Таким образом, 𝛾 + 𝛽 ∈ Φ , но 𝛾 + 𝛽 / ∈ Φ .Положим 𝑔 = [ 𝑥 𝛽 (1) , 𝑔 ] = [︃ 𝑥 𝛽 (1) , 𝑘 ∏︁ 𝑖 =1 𝑥 𝛾 𝑖 ( 𝜉 𝑖 ) ]︃ = 𝑘 ∏︁ 𝑖 =1 [ 𝑥 𝛽 (1) , 𝑥 𝛾 𝑖 ( 𝜉 𝑖 )] .Последнее равенство выполнено силу того, что 𝑥 𝛽 (1) ∈ 𝑃 𝛼 ,𝛼 и, значит, нормализует 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 , а также того, что группа 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 абелева.Каждый множитель в этом разложении равен либо единице, либо элементарномукорневому элементу с корнем из Σ 𝛼 ,𝛼 . Первый множитель равен 𝑥 𝛽 + 𝛾 ( ± 𝜉 ) , где 𝜉 / ∈ 𝜎 𝛾 , и тогда по лемме 1 𝜉 / ∈ 𝜎 𝛾 + 𝛽 . При этом, поскольку второй множитель равенединице, количество нетривиальных множителей меньше, чем 𝑘 , что противоречитпредположению о минимальности 𝑘 . (cid:3) Тандемы
Будем называть элемент множества 𝐺 (Φ , 𝑅 ) × 𝐿 (Φ , 𝑅 ) тандемом , если он имеет вид ( ℎ ( 𝑥 𝛼 ( 𝜉 )) , ℎ ( 𝜉𝑒 𝛼 )) , где 𝛼 ∈ Φ , 𝜉 ∈ 𝑅 и ℎ ∈ 𝐺 (Φ , 𝑅 ) .На самом деле, можно показать, что первая компонента тандема восстанавливаетсяпо второй, но для наших целей это несущественно. Замечание.
Для данного корня 𝛽 ∈ Φ любой тандем ( ℎ ( 𝑥 𝛼 ( 𝜉 )) , ℎ ( 𝜉𝑒 𝛼 )) можно запи-сать в виде ( ℎ ′ ( 𝑥 𝛽 ( 𝜉 ′ )) , ℎ ′ ( 𝜉 ′ 𝑒 𝛽 )) . При этом ℎ ′ получается из ℎ подкруткой на элементрасширенной группы Вейля, и 𝜉 ′ = ± 𝜉 . Лемма 5.
Первые компоненты тандемов действуют на элемент 𝑣 ∈ 𝐿 (Φ , 𝑅 ) следу-ющим образом. ( ℎ 𝑥 𝛼 ( 𝜉 )) 𝑣 = 𝑣 + [ ℎ ( 𝜉𝑒 𝛼 ) , 𝑣 ] − 𝜉 ( ℎ − 𝑣 ) − 𝛼 · ℎ ( 𝜉𝑒 𝛼 ) .Доказательство. Заметим, что Достаточно доказать равенство 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) 𝑣 = 𝑣 + [( 𝜉𝑒 𝛼 ) , 𝑣 ] − 𝑣 − 𝛼 · ( 𝜉 𝑒 𝛼 ) . ( адгруппы subsystem subgroups В самом деле, если подставить в это равенство ℎ − 𝑣 вместо 𝑣 и подейстоввать на обечасти элементом ℎ , то мы получим требуемое равенство.В свою очередь, равенство ( достаточно проверять в случае, когда 𝑅 — это кольцомногочленов над Z , а 𝜉 и все коэффициенты вектора 𝑣 — независимые переменные. Вэтом случае ∈ 𝑅 — не делитель нуля, и мы можем написать, что 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) 𝑣 = 𝑣 + [( 𝜉𝑒 𝛼 ) , 𝑣 ] + 12 [( 𝜉𝑒 𝛼 ) , [( 𝜉𝑒 𝛼 ) , 𝑣 ]] .Остается проверить, что [ 𝑒 𝛼 , [ 𝑒 𝛼 , 𝑣 ]] = − 𝑣 − 𝛼 · 𝑒 𝛼 ,а это следует из соотношений на базис Шевалле. (cid:3) Лемма 6.
Пусть ( 𝑔, 𝑙 ) — тандем и 𝛽 ∈ Φ . Тогда 𝑔 𝑒 𝛽 = 𝑒 𝛽 + [ 𝑙, 𝑒 𝛽 ] − 𝑙 − 𝛽 · 𝑙 .Доказательство. Согласно замечанию к определению тандема, можно считать, что ( 𝑔, 𝑙 ) = ( ℎ ( 𝑥 𝛽 ( 𝜉 )) , ℎ ( 𝜉𝑒 𝛽 )) . По предыдущей лемме, достаточно проверить, что 𝑙 − 𝛽 = 𝜉 ( ℎ − 𝑒 𝛽 ) − 𝛽 .В свою очередь, это достаточно проверять в случае, когда 𝑅 = Z [ 𝐺 ][ 𝜉 ] , и ℎ = 𝑔 gen —общий элемент. Пусть 𝜒 — форма Киллинга на 𝐿 (Φ , 𝑅 ) . Тогда 𝑙 − 𝛽 𝜒 ( 𝑒 − 𝛽 , 𝑒 𝛽 ) = 𝜒 ( 𝑙, 𝑒 𝛽 ) = 𝜒 ( ℎ ( 𝜉𝑒 𝛽 ) , 𝑒 𝛽 ) = 𝜉𝜒 ( 𝑒 𝛽 , ℎ − 𝑒 𝛽 ) = 𝜉 ( ℎ − 𝑒 𝛽 ) − 𝛽 𝜒 ( 𝑒 𝛽 , 𝑒 − 𝛽 ) == 𝜉 ( ℎ − 𝑒 𝛽 ) − 𝛽 𝜒 ( 𝑒 − 𝛽 , 𝑒 𝛽 ) .Так как в Z [ 𝐺 ][ 𝜉 ] нет делителей нуля, на 𝜒 ( 𝑒 − 𝛽 , 𝑒 𝛽 ) можно сократить. (cid:3) Предложение 2.
Пусть ( 𝑔, 𝑙 ) — тандем, и пусть 𝜎 — сеть идеалов. Тогда 𝑔 ∈ 𝑆 ( 𝜎 ) ⇐⇒ 𝑙 ∈ 𝐿 ( 𝜎 ) .Доказательство. Импликация 𝑙 ∈ 𝐿 ( 𝜎 ) = ⇒ 𝑔 ∈ 𝑆 ( 𝜎 ) следует из леммы 5.Обратно, пусть 𝑔 ∈ 𝑆 ( 𝜎 ) и 𝛾 ∈ Φ ∖ ∆ . Нужно показать, что 𝑙 𝛾 ∈ 𝜎 𝛾 . Возьмем 𝛼 ∈ ∆ ,такой, что 𝛼 + 𝛾 ∈ Φ (следствие условия ( * ) ). Тогда 𝑔 𝑒 𝛼 ∈ 𝐿 ( 𝜎 ) , откуда по леммам 6и 1 имеем 𝑙 − 𝛼 𝑙 𝛾 = − ( 𝑔 𝑒 𝛼 ) 𝛾 ∈ 𝜎 𝛾 , (1) 𝑙 − 𝛼 𝑙 𝛾 + 𝛼 ± 𝑙 𝛾 = − ( 𝑔 𝑒 𝛼 ) 𝛾 + 𝛼 ∈ 𝜎 𝛾 + 𝛼 = 𝜎 𝛾 . (2)Так как, кроме того, 𝑔 𝑒 − 𝛼 ∈ 𝐿 ( 𝜎 ) , то 𝑙 𝛼 𝑙 𝛾 ± 𝑙 𝛾 + 𝛼 = − ( 𝑔 𝑒 − 𝛼 ) 𝛾 ∈ 𝜎 𝛾 . (3)Умножая (3) на 𝑙 − 𝛼 , и прибавляя или вычитая (2) , мы получаем 𝑙 − 𝛼 𝑙 𝛼 𝑙 𝛾 ± 𝑙 𝛾 ∈ 𝜎 𝛾 . (4)Теперь сравнения (4) и (1) показывают, что 𝑙 𝛾 ∈ 𝜎 𝛾 . (cid:3) Следствие 1.
Если 𝜎 — сеть идеалов, то lev( 𝑆 ( 𝜎 )) = 𝜎 . В частности 𝐸 ( 𝜎 ) (cid:54) 𝑆 ( 𝜎 ) . .б.гвоздевский Доказательство.
Применим предложение 2 к тандемам ( 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) , 𝜉𝑒 𝛼 ) , 𝛼 ∈ Φ . (cid:3) Следствие 2.
Пусть 𝜎 — сеть идеалов. Тогда 𝑆 ( 𝜎 ) = Tran 𝐺 (Φ ,𝑅 ) ( 𝐸 ( 𝜎 ) , 𝑆 ( 𝜎 )) ∩ (︀ Tran 𝐺 (Φ ,𝑅 ) ( 𝐸 ( 𝜎 ) , 𝑆 ( 𝜎 )) )︀ − . Доказательство.
Включение левой части в правую очевидно, докажем обратноевключение. По лемме 4 достаточно проверить, что 𝑔 ( 𝜉𝑒 𝛼 ) ∈ 𝐿 ( 𝜎 ) для любого 𝛼 ∈ Φ , 𝜉 ∈ 𝜎 𝛼 и любого 𝑔 из правой части (так как правая часть за-мкнута относительно взятия обратного). А это так по предложению 2, поскольку ( 𝑔 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) , 𝑔 ( 𝜉𝑒 𝛼 )) — тандем, и, по предположению, его первая компонента лежит в 𝑆 ( 𝜎 ) . (cid:3) Следствие 3.
Пусть 𝐻 — надгруппа 𝐸 (∆ , 𝑅 ) . Тогда 𝐻 псевдостандартна тогда итолько тогда, когда для любого тандема ( 𝑔, 𝑙 ) выполняется следующее условие: если 𝑔 ∈ 𝐻 , то 𝑙 ∈ 𝐿 ( 𝜎 ) . Доказательство.
Первая часть следует из второй по предложению 2, докажем след-ствие в обратную сторону. Пусть 𝐻 удовлетворят второй части. По лемме 4 достаточнопроверить, что ℎ ( 𝜉𝑒 𝛼 ) ∈ 𝐿 ( 𝜎 ) для любого 𝛼 ∈ Φ , 𝜉 ∈ 𝜎 𝛼 и любого ℎ ∈ 𝐻 . А это так, поскольку ( ℎ 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) , ℎ ( 𝜉𝑒 𝛼 )) —тандем, и его первая компонента лежит в 𝐻 . (cid:3) Лемма 7.
Пусть 𝛼 , 𝛼 ∈ Φ , 𝛼 ⊥ 𝛼 , и пусть ( 𝑔, 𝑙 ) — тандем, такой, что 𝑙 лежитв алгебре Ли 𝐿 𝛼 ,𝛼 , где 𝐿 𝛼 ,𝛼 = 𝐷 ⊕ ⨁︁ 𝜛 𝛼 ,𝛼 ( 𝛼 ) (cid:62) 𝑅 · 𝑒 𝛼 (cid:54) 𝐿 (Φ , 𝑅 ) .Тогда 𝑔 ∈ 𝑃 𝛼 ,𝛼 .Предупреждение. Если мы рассматриваем не односвязную группу 𝐺 (Φ , 𝑅 ) , то алгебру 𝐿 𝛼 ,𝛼 не следует путать с алгеброй Ли Lie( 𝑃 𝛼 ,𝛼 ) подгруппы 𝑃 𝛼 ,𝛼 . Доказательство.
Из леммы 5 следует, что 𝑔 ∈ Stab 𝐺 (Φ ,𝑅 ) ( 𝐿 𝛼 ,𝛼 ) . Таким образом, тре-буемое утверждение вытекает из следующей леммы. (cid:3) Лемма 8.
Пусть 𝛼 , 𝛼 ∈ Φ , 𝛼 ⊥ 𝛼 . Тогда 𝑃 𝛼 ,𝛼 = Stab 𝐺 (Φ ,𝑅 ) ( 𝐿 𝛼 ,𝛼 ) .Доказательство. Для начала разберем случай, когда группа 𝐺 (Φ , 𝑅 ) односвязная. Вэтом случае 𝐿 𝛼 ,𝛼 = Lie( 𝑃 𝛼 ,𝛼 ) .Очевидно, что 𝑃 𝛼 ,𝛼 ⊆ Stab 𝐺 (Φ ,𝑅 ) (Lie( 𝑃 𝛼 ,𝛼 )) . Пусть 𝜙 : 𝑃 𝛼 ,𝛼 → Stab(Lie( 𝑃 𝛼 ,𝛼 )) адгруппы subsystem subgroups — вложение, рассматриваемое как морфизм групповых схем над Z (нужно заметить,что Stab(Lie( 𝑃 𝛼 ,𝛼 )) задан уравнениями над Z , а именно, некоторые матричные коэф-фициенты в присоединенном представлении должны быть равны нулю). Нам нужнопоказать, что это изоморфизм.Согласно теореме 1.6.1 работы [25], с учетом того, что параболическая подгруп-па гладкая (над Z ) и, в частности, плоская, достаточно проверить, что для любогоалгебраически замкнутого поля 𝐿 выполняются следующие утверждения:(1) dim(( 𝑃 𝛼 ,𝛼 ) 𝐿 ) (cid:62) dim 𝐿 Lie((Stab(Lie( 𝑃 𝛼 ,𝛼 ))) 𝐿 ) ,(2) отображения 𝜙 ( 𝐿 ) и 𝜙 ( 𝐿 [ 𝜀 ] / ( 𝜀 )) инъективны,(3) все элементы Stab(Lie( 𝑃 𝛼 ,𝛼 ))( 𝐿 ) , нормализующие связную компоненту едини-цы 𝑃 𝛼 ,𝛼 (то есть просто 𝑃 𝛼 ,𝛼 ), лежат в 𝑃 𝛼 ,𝛼 .Второй пункт выполнен. Третий следует из того, что параболические подгруппысамонормализуемы. Поскольку схема 𝑃 𝛼 ,𝛼 гладкая, чтобы доказать первый пункт,достаточно проверить, что Lie(( 𝑃 𝛼 ,𝛼 ) 𝐿 ) (cid:62) Lie((Stab(Lie( 𝑃 𝛼 ,𝛼 ))) 𝐿 ) .Присоединенное действие правой части стабилизирует Lie(( 𝑃 𝛼 ,𝛼 ) 𝐿 ) (если группа ста-билизирует подпространство, то ее алгебра Ли — тоже). Равенство, таким образом,следует из того, что Lie(( 𝑃 𝛼 ,𝛼 ) 𝐿 ) самонормализуема.Теперь рассмотрим произвольную изогению группы 𝐺 (Φ , 𝑅 ) . Пусть ℎ ∈ 𝐺 (Φ , 𝑅 ) ,тогда найдутся строго плоское расширение 𝑆 кольца 𝑅 и элемент односвязной группы ℎ ′ ∈ 𝐺 sc (Φ , 𝑆 ) , переходящий в ℎ при естественном гомоморфизме. Таким образом, ℎ ∈ 𝑃 𝛼 ,𝛼 ⇔ ℎ ′ ∈ ( 𝑃 𝛼 ,𝛼 ) sc ⇔ ℎ ′ ∈ Stab( 𝐿 𝛼 ,𝛼 ) ⇔ ℎ ∈ Stab( 𝐿 𝛼 ,𝛼 ) ,где ( 𝑃 𝛼 ,𝛼 ) — параболическая подгруппа 𝐺 sc (Φ , 𝑆 ) . Что и требовалось доказать. (cid:3) Битандемы
Будем называть элемент множества 𝐺 (Φ , 𝑅 ) × 𝐿 (Φ , 𝑅 ) битандемом , если он имеетвид ( ℎ ( 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) 𝑥 𝛼 ( 𝜁 )) , ℎ ( 𝜉𝑒 𝛼 + 𝜁𝑒 𝛼 )) , где 𝛼 , 𝛼 ∈ Φ , 𝛼 ⊥ 𝛼 , 𝜉 , 𝜁 ∈ 𝑅 и ℎ ∈ 𝐺 (Φ , 𝑅 ) .Аналогично, семейство ( 𝑔 ( 𝑡 ) , 𝑙 ( 𝑡 )) ∈ 𝐺 (Φ , 𝑅 ) × 𝐿 (Φ , 𝑅 ) , 𝑡 ∈ 𝑅 будем называть битан-демом с параметром , если 𝑔 ( 𝑡 ) = ℎ (( 𝑥 𝛼 ( 𝑡𝜉 )) 𝑥 𝛼 ( 𝑡𝜁 )) , 𝑙 ( 𝑡 ) = ℎ ( 𝑡𝜉𝑒 𝛼 + 𝑡𝜁𝑒 𝛼 ) .В этом случае мы для краткости введем обозначения 𝑔 = 𝑔 (1) , 𝑙 = 𝑙 (1) . Лемма 9.
Пусть ( 𝑔 ( 𝑡 ) , 𝑙 ( 𝑡 )) — битандем с параметром, и пусть 𝑣 ∈ 𝐿 (Φ , 𝑅 ) . Тогданайдется 𝑤 ∈ 𝐿 (Φ , 𝑅 ) , такой, что для любого 𝑡 ∈ 𝑅 𝑔 ( 𝑡 ) 𝑣 = 𝑣 + 𝑡 [ 𝑙, 𝑣 ] + 𝑡 𝑤 .При этом 𝑤 = [ 𝑙, [ 𝑙, 𝑣 ]] . .б.гвоздевский Доказательство.
Как и в лемме 5 достаточно доказывать эту формулу для ℎ = 1 и для кольца, в котором не делитель нуля ( 𝑡 можно считать еще одной свободнойпеременной). А в такой ситуации все тривиально. (cid:3) Пусть 𝛼 , 𝛼 ∈ Φ , 𝛼 ⊥ 𝛼 , и пусть ( 𝑔, 𝑙 ) — тандем. Положим ( 𝑔 ( 𝑡 ) , 𝑙 ( 𝑡 )) = ( 𝑔 ( 𝑥 𝛼 ( 𝑡𝑙 − 𝛼 ) 𝑥 𝛼 ( − 𝑡𝑙 − 𝛼 )) , 𝑔 ( 𝑡𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 − 𝑡𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 )) .Битандем с параметром, полученный таким образом, и соответствующий битандем ( 𝑔 , 𝑙 ) = ( 𝑔 (1) , 𝑙 (1)) будем называть специальными относительно пары 𝛼 , 𝛼 . Лемма 10.
Пусть ( 𝑔 ( 𝑡 ) , 𝑙 ( 𝑡 )) — специальный относительно пары 𝛼 , 𝛼 , битандемс параметром. Тогда 𝑔 ( 𝑡 ) ∈ 𝑃 𝛼 ,𝛼 для любого 𝑡 ∈ 𝑅 .Доказательство. Во-первых, достаточно разобрать случай, когда 𝑅 = Z [ 𝐺 ][ 𝜉, 𝑡 ] , 𝑔 = 𝑔 gen 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) , 𝑙 = 𝑔 gen ( 𝜉𝑒 𝛼 ) , и битандем с параметром ( 𝑔 ( 𝑡 ) , 𝑙 ( 𝑡 )) получен из тандема ( 𝑔, 𝑙 ) как выше.Во-вторых, заметим, что 𝑙 ∈ 𝐿 𝛼 ,𝛼 (смотри лемму 7). Действительно, по лемме 6 𝑙 = 𝑔 ( 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 − 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 ) = ( 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 − 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 ) + [ 𝑙, ( 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 − 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 )] −− 𝑙 − 𝛼 𝑙 − 𝛼 · 𝑙 + 𝑙 − 𝛼 𝑙 − 𝛼 · 𝑙 = ( 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 − 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 ) + [ 𝑙, ( 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 − 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 )] .Градуировка системы корней Φ функционалом 𝜛 𝛼 ,𝛼 порождает градуировку ал-гебры Ли 𝐿 (Φ , 𝑅 ) , элементы 𝑒 𝛼 и 𝑒 𝛼 имеют градуировку 2, поэтому однородныекомпоненты обоих слагаемых в последнем выражении имеют неотрицательную гра-дуировку, а это в точности означает, что 𝑙 ∈ 𝐿 𝛼 ,𝛼 .В-третьих, 𝑔 ( 𝑡 ) ∈ Stab( 𝐿 𝛼 ,𝛼 ) . Действительно, если 𝑣 ∈ 𝐿 𝛼 ,𝛼 , то по лемме 9 𝑔 ( 𝑡 ) 𝑣 = 𝑣 + 𝑡 [ 𝑙 , 𝑣 ] + 𝑡 𝑤 .Первые два слагаемых лежат в 𝐿 𝛼 ,𝛼 , а про 𝑤 мы знаем, что 𝑤 = [ 𝑙 , [ 𝑙 , 𝑣 ]] ∈ 𝐿 𝛼 ,𝛼 .Но так как не делитель нуля в Z [ 𝐺 ][ 𝜉, 𝑡 ] , мы можем заключить, что 𝑤 ∈ 𝐿 𝛼 ,𝛼 .Таким образом, 𝑔 ( 𝑡 ) 𝐿 𝛼 ,𝛼 (cid:54) 𝐿 𝛼 ,𝛼 .Заменяя 𝑡 на − 𝑡 получим обратное включение.Остается применить лемму 8. (cid:3) Случай поля
Предложение 3.
Пусть 𝑅 = 𝐾 — поле, отличное от F . Тогда имеет место псев-достандартное описание надгрупп 𝐸 (∆ , 𝐾 ) .Доказательство. Пусть 𝐻 — надгруппа 𝐸 (∆ , 𝐾 ) уровня 𝜎 . Согласно следствию 3,достаточно проверить, что для любого тандема ( 𝑔, 𝑙 ) , если 𝑔 ∈ 𝐻 , то 𝑙 ∈ 𝐿 ( 𝜎 ) .Итак, пусть ( 𝑔, 𝑙 ) — тандем, и пусть 𝑔 ∈ 𝐻 . Предположим, что 𝑙 / ∈ 𝐿 ( 𝜎 ) . Это значит,что найдется корень 𝛾 ∈ Φ ∖ ∆ , такой, что 𝜎 𝛾 = (0) , но 𝑙 𝛾 ̸ = 0 . Согласно ( * ) , найдетсяподходящая пара ортогональных корней 𝛼 , 𝛼 ∈ ∆ , такая, что ( 𝛾, 𝛼 ) = ( 𝛾, 𝛼 ) = − . адгруппы subsystem subgroups Случай 1 𝑙 − 𝛼 = 0 . Рассмотрим тандем ( 𝑔 , 𝑙 ) = ( 𝑔 𝑥 𝛼 (1) , 𝑔 𝑒 𝛼 ) . Заметим, что полемме 6 мы имеем 𝑙 = 𝑒 𝛼 + [ 𝑙, 𝑒 𝛼 ] ∈ Lie( 𝑃 𝛼 ,𝛼 ) . Таким образом, по построению илемме 7 мы имеем 𝑔 ∈ 𝐻 ∩ 𝑃 𝛼 ,𝛼 .Далее, рассмотрим тандем ( 𝑔 , 𝑙 ) = ( 𝑔 𝑥 𝛼 (1) , 𝑔 𝑒 𝛼 ) . Так как подгруппа 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 нор-мальна в 𝑃 𝛼 ,𝛼 , с учетом предложения 1, мы имеем 𝑔 ∈ 𝐻 ∩ 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 (cid:54) 𝐸 ( 𝜎 ) (cid:54) 𝑆 ( 𝜎 ) .Тогда по предложению 2 мы имеем 𝑙 ∈ 𝐿 ( 𝜎 ) .С другой стороны 𝛾 + 𝛼 и 𝛾 + 𝛼 + 𝛼 ∈ Φ , и по лемме 1 мы имеем 𝜎 𝛾 + 𝛼 + 𝛼 = 𝜎 𝛾 = 0 ,но 𝑙 𝛾 + 𝛼 + 𝛼 = ( 𝑒 𝛼 + [ 𝑙 , 𝑒 𝛼 ]) 𝛾 + 𝛼 + 𝛼 = ± 𝑙 𝛾 + 𝛼 = ± ( 𝑒 𝛼 + [ 𝑙, 𝑒 𝛼 ]) 𝛾 + 𝛼 = ± 𝑙 𝛾 ̸ = 0 (в первом равенстве мы воспользовались леммой 6 и тем, что 𝑙 ∈ Lie( 𝑃 𝛼 ,𝛼 ) , и поэтому 𝑙 − 𝛼 = 0 ). Противоречие. Случай 2 𝑙 − 𝛼 ̸ = 0 . Построим следующий битандем с параметром специальныйотносительно пары 𝛼 , 𝛼 ( 𝑔 ( 𝑡 ) , 𝑙 ( 𝑡 )) = ( 𝑔 ( 𝑥 𝛼 ( 𝑡𝑙 − 𝛼 ) 𝑥 𝛼 ( − 𝑡𝑙 − 𝛼 )) , 𝑔 ( 𝑡𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 − 𝑡𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 )) .Затем построим тандем ( 𝑔 , 𝑙 ) = ( 𝑔 ( 𝑡 ) 𝑥 𝛼 (1) , 𝑔 ( 𝑡 ) 𝑒 𝛼 ) , где 𝑡 — элемент поля 𝐾 , которыймы определим позже.Вне зависимости от 𝑡 , по лемме 10 мы имеем 𝑔 ( 𝑡 ) ∈ 𝑃 𝛼 ,𝛼 , и, как и в предыдущемслучае, 𝑔 ∈ 𝐻 ∩ 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 (cid:54) 𝑆 ( 𝜎 ) , и 𝑙 ∈ 𝐿 ( 𝜎 ) .С другой стороны, по лемме 9 𝑙 𝛾 + 𝛼 + 𝛼 = ( 𝑒 𝛼 + 𝑡 [ 𝑙 , 𝑒 𝛼 ] + 𝑡 𝑤 ) 𝛾 + 𝛼 + 𝛼 = ± 𝑙 𝛾 + 𝛼 𝑡 + 𝑤 𝛾 + 𝛼 + 𝛼 𝑡 .Это многочлен от 𝑡 степени не больше чем 2, и он не нулевой, так как из доказатель-ства леммы 10 мы имеем 𝑙 𝛾 + 𝛼 = (( 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 − 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 ) + [ 𝑙, ( 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 − 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 )]) 𝛾 + 𝛼 = ± 𝑙 − 𝛼 𝑙 𝛾 ̸ = 0 .Таким образом, так как, по предположению | 𝐾 | > , мы можем выбрать 𝑡 отличным откорней этого многочлена, и, как и в предыдущем случае, получить противоречие. (cid:3) Лемма о редукции
Следующая лемма позволит нам свести нашу задачу для кольца 𝑅 сначала к еголокальным факторкольцам, а затем, к полям вычетов. Лемма 11.
Пусть 𝐻 — надгруппа 𝐸 (∆ , 𝑅 ) и пусть 𝐼 (cid:69) 𝑅 — идеал. Тогда 𝜌 𝐼 (lev( 𝐻 )) = lev( 𝜌 𝐼 ( 𝐻 )) ,где 𝜌 𝐼 ( 𝜎 ) 𝛼 = 𝜌 𝐼 ( 𝜎 𝛼 ) (cid:69) 𝑅/𝐼 .Доказательство.
Пусть lev( 𝐻 ) = 𝜎 . Для удобства будем писать 𝑋 = 𝜌 𝐼 ( 𝑋 ) вне зави-симости от природы 𝑋 . Фиксируем 𝛾 ∈ Φ ∖ ∆ . Нам нужно доказать, что 𝜎 𝛾 = lev( 𝐻 ) 𝛾 .Включение левой части в правую очевидно, докажем обратное включение. Пусть .б.гвоздевский 𝜉 ∈ lev( 𝐻 ) 𝛾 . Это значит, что существует ℎ ∈ 𝐻 , такой, что ℎ = 𝑥 𝛾 ( 𝜉 ) . Соглас-но ( * ) , найдется подходящая пара ортогональных корней − 𝛼 , 𝛼 ∈ ∆ , такая, что ( 𝛾, − 𝛼 ) = ( 𝛾, 𝛼 ) = − . Заметим,что в этом случае пара 𝛼 , 𝛼 также подходящая,поскольку получается из исходной отражением относительно 𝛼 ∈ ∆ .Построим тандем ( 𝑔, 𝑙 ) = ( ℎ 𝑥 − 𝛼 (1) , ℎ 𝑒 − 𝛼 ) . Затем построим битандем, специальныйотносительно пары 𝛼 , 𝛼 , ( 𝑔 , 𝑙 ) = ( 𝑔 ( 𝑥 𝛼 ( 𝑙 − 𝛼 ) 𝑥 𝛼 ( − 𝑙 − 𝛼 )) , 𝑔 ( 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 − 𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 )) .Наконец, положим 𝑔 = [ 𝑔 , 𝑥 𝛼 (1)] .Из леммы 10, нормальности подгруппы 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 в 𝑃 𝛼 ,𝛼 , а также предложения , мыимеем 𝑔 ∈ 𝐻 ∩ 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 (cid:54) 𝑆 ( 𝜎 ) . Откуда несложно видеть, что 𝑔 ∈ 𝑆 ( 𝜎 ) .С другой стороны, производя вычисления по модулю идеала 𝐼 , мы получаем 𝑔 = 𝑥 𝛾 ( 𝜉 ) 𝑥 − 𝛼 (1) = 𝑥 𝛾 − 𝛼 ( ± 𝜉 ) 𝑥 − 𝛼 (1) , 𝑙 = 𝑥 𝛾 ( 𝜉 ) 𝑒 − 𝛼 = 𝑒 − 𝛼 ± 𝜉𝑒 𝛾 − 𝛼 ,откуда, 𝑔 = 𝑥 𝛾 − 𝛼 ( ± 𝜉 ) 𝑥 − 𝛼 (1) ( 𝑥 𝛼 (0) 𝑥 𝛼 ( − 𝑥 𝛾 − 𝛼 ( ± 𝜉 ) 𝑥 − 𝛼 (1) 𝑥 𝛼 ( −
1) = 𝑥 𝛾 − 𝛼 ( ± 𝜉 ) 𝑥 𝛼 ( −
1) == 𝑥 𝛾 − 𝛼 + 𝛼 ( ± 𝜉 ) 𝑥 𝛼 ( − ,и, наконец, 𝑔 = [ 𝑥 𝛾 − 𝛼 + 𝛼 ( ± 𝜉 ) 𝑥 𝛼 ( − , 𝑥 𝛼 (1)] = [ 𝑥 𝛾 − 𝛼 + 𝛼 ( ± 𝜉 ) , 𝑥 𝛼 (1)] = 𝑥 𝛾 + 𝛼 ( ± 𝜉 ) .Таким образом, 𝑥 𝛾 + 𝛼 ( ± 𝜉 ) ∈ 𝑆 ( 𝜎 ) , то есть по следствию 1 и лемме 1 мы имеем 𝜉 ∈ 𝜎 𝛾 + 𝛼 = 𝜎 𝛾 , что и требовалось доказать. (cid:3) Сведение к локальным кольцам с нильпотентныммаксимальным идеалом
Для нетеровых колец лемма 11 сразу позволяет свести задачу к локальным коль-цам с нильпотентным максимальным идеалом. Необходимо лишь сделать следующеетеоретико-кольцевое наблюдение.Через
Max( 𝑅 ) мы обозначаем множество максимальных идеалов кольца 𝑅 . Предложение 4.
Пусть 𝑅 — нетерово кольцо 𝜎 — сеть идеалов. Тогда 𝑆 ( 𝜎 ) = ⋂︁ M ∈ Max( 𝑅 ) , 𝑘 ∈ N 𝜌 − M 𝑘 ( 𝑆 ( 𝜌 M 𝑘 ( 𝜎 ))) .Доказательство. Включение левой части в правую очевидно, докажем обратноевключение.Для любого нетерова кольца 𝑆 естественное отображение 𝑆 → ∏︁ M ∈ Max( 𝑆 ) , 𝑘 ∈ N 𝑆/ M 𝑘 адгруппы subsystem subgroups инъективно (это следует из инъективности отображения в произведения локализацийи теоремы Крулля о пересечении). Применив это к кольцам 𝑆 = 𝑅/𝜎 𝛼 , с учетом того,что M 𝑘 ⊆ 𝜌 − 𝜎 𝛼 ( 𝜌 𝜎 𝛼 ( M ) 𝑘 ) , мы получим, что 𝜎 𝛼 = ⋂︁ M ∈ Max( 𝑅 ) , 𝑘 ∈ N 𝜌 − M 𝑘 ( 𝜌 M 𝑘 ( 𝜎 𝛼 )) .Следовательно, 𝐿 ( 𝜎 ) = ⋂︁ M ∈ Max( 𝑅 ) , 𝑘 ∈ N 𝜌 − M 𝑘 ( 𝐿 ( 𝜌 M 𝑘 ( 𝜎 ))) .Правая часть равенства, которое мы хотим доказать, стабилизирует каждую по-далгебру 𝜌 − M 𝑘 ( 𝐿 ( 𝜌 M 𝑘 ( 𝜎 ))) , следовательно, она стабилизирует 𝐿 ( 𝜎 ) , то есть лежит в 𝑆 ( 𝜎 ) . (cid:3) Следствие 4.
Пусть 𝑅 — нетерово кольцо, и пусть 𝐻 — надгруппа 𝐸 (∆ , 𝑅 ) , и пусть 𝜌 M 𝑘 ( 𝐻 ) псевдостандартна для любого M ∈ Max( 𝑅 ) и любого 𝑘 ∈ N . Тогда 𝐻 псевдо-стандартна. Доказательство.
Предложение 4 + лемма 11. (cid:3) Сведение к полям
Чтобы свести задачу к случаю поля, нам понадобится несколько технических лемм.
Лемма 12.
Пусть 𝐻 — надгруппа 𝐸 (∆ , 𝑅 ) уровня 𝜎 , и пусть 𝐼 (cid:69) 𝑅 — нильпотент-ный идеал. Тогда ( 𝐻𝑇 (Φ , 𝑅 )) ∩ 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) (cid:54) 𝑇 (Φ , 𝑅 ) 𝐸 ( 𝜎 ) .Доказательство. Будем действовать индукцией по 𝑘 , где 𝑘 — наименьшее, такое, что 𝐼 𝑘 = 0 .База 𝑘 = 2 . Пусть ℎ𝑔 ∈ 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) , где ℎ ∈ 𝐻 и 𝑔 ∈ 𝑇 (Φ , 𝑅 ) . Так как идеал 𝐼 нильпотентен, для произвольного выбора порядка на системе Φ 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) (cid:54) 𝑇 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) 𝑈 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) 𝑈 − (Φ , 𝑅, 𝐼 ) ,где 𝑇 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) = 𝑇 (Φ , 𝑅 ) ∩ 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) , 𝑈 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) = ⟨ 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) : 𝛼 ∈ Φ + , 𝜉 ∈ 𝐼 ⟩ , 𝑈 − (Φ , 𝑅, 𝐼 ) = ⟨ 𝑥 𝛼 ( 𝜉 ) : 𝛼 ∈ Φ + , 𝜉 ∈ 𝐼 ⟩ .Это хорошо известное утверждение можно найти, например, в работе [18] (предложе-ние 2.3). Таким образом, ℎ𝑔 = 𝑔 ′ ∏︁ 𝛽 ∈ Φ 𝑥 𝛽 ( 𝜉 𝛽 ) ,где 𝑔 ′ ∈ 𝑇 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) и 𝜉 𝛽 ∈ 𝐼 . Покажем, что 𝜉 𝛾 ∈ 𝜎 𝛾 для любого 𝛾 ∈ Φ ∖ ∆ . Согласно ( * ) , найдется подходящая пара ортогональных корней 𝛼 , 𝛼 ∈ ∆ , такая, что ( 𝛾, 𝛼 ) =( 𝛾, 𝛼 ) = − . Положим 𝑔 = [ 𝑥 𝛼 (1) , [ 𝑥 𝛼 (1) , ℎ𝑔 ]] . .б.гвоздевский Заметим, что 𝑔 ∈ 𝐻 , в самом деле, [ 𝑥 𝛼 (1) , ℎ𝑔 ] = [ 𝑥 𝛼 (1) , ℎ ] · ℎ [ 𝑥 𝛼 (1) , 𝑔 ] = [ 𝑥 𝛼 (1) , ℎ ] · ℎ 𝑥 𝛼 ( 𝜀 ) ∈ 𝐻 .С другой стороны, так как 𝐼 = 0 , группа 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) нормальна и абелева. Следо-вательно, 𝑔 = [ 𝑥 𝛼 (1) , [ 𝑥 𝛼 (1) , 𝑔 ′ ]] · ∏︁ 𝛽 ∈ Φ [ 𝑥 𝛼 (1) , [ 𝑥 𝛼 (1) , 𝑥 𝛽 ( 𝜉 𝛽 )]] == ∏︁ 𝛽 ∈ Φ [ 𝑥 𝛼 (1) , [ 𝑥 𝛼 (1) , 𝑥 𝛽 ( 𝜉 𝛽 )]] = 𝑥 𝛼 ( 𝜁 ) ∏︁ { 𝛽 ∈ Φ: ( 𝛽,𝛼 )=( 𝛽,𝛼 )= − } 𝑥 𝛽 + 𝛼 + 𝛼 ( ± 𝜉 𝛽 ) .Здесь первый множитель — это [ 𝑥 𝛼 (1) , [ 𝑥 𝛼 (1) , 𝑥 − 𝛼 ( 𝜉 − 𝛼 )]] , поскольку, с учетом то-го, что 𝜉 − 𝛼 = 0 , мы имеем [ 𝑥 𝛼 (1) , 𝑥 − 𝛼 ( 𝜉 − 𝛼 )] ∈ 𝑥 𝛼 ( ± 𝜉 − 𝛼 ) 𝑇 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) . Это проверяетсяпрямым вычислением в SL(2 , 𝑅 ) .Таким образом, мы имеем 𝑔 ∈ 𝐻 ∩ 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 , и из доказательства предложения 1следует, что 𝜉 𝛾 ∈ 𝜎 𝛾 + 𝛼 + 𝛼 = 𝜎 𝛾 (лемма 1).Переход от 𝑘 − к 𝑘 . По предположению индукции, с учетом леммы 11, мы имеем 𝜌 𝐼 𝑘 − ( 𝐻𝑇 (Φ , 𝑅 ) ∩ 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 )) (cid:54) ( 𝜌 𝐼 𝑘 − ( 𝐻 ) 𝑇 (Φ , 𝑅/𝐼 𝑘 − )) ∩ 𝐺 (Φ , 𝑅/𝐼 𝑘 − , 𝜌 𝐼 𝑘 − ( 𝐼 )) (cid:54)(cid:54) 𝑇 (Φ , 𝑅/𝐼 ) 𝐸 ( 𝜌 ( 𝜎 )) .Так как 𝐸 ( 𝜎 ) отображается на 𝐸 ( 𝜌 ( 𝜎 )) сюръективно, а также 𝑇 (Φ , 𝑅 ) отображаетсяна 𝑇 (Φ , 𝑅/𝐼 𝑘 − ) сюръективно (так как 𝐼 нильпотентен), то 𝐻𝑇 (Φ , 𝑅 ) ∩ 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) (cid:54) 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 𝑘 − ) 𝑇 (Φ , 𝑅 ) 𝐸 ( 𝜎 ) .Таким образом, 𝐻𝑇 (Φ , 𝑅 ) ∩ 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 ) (cid:54) 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 𝑘 − ) 𝑇 (Φ , 𝑅 ) 𝐸 ( 𝜎 ) ∩ 𝐻𝑇 (Φ , 𝑅 ) (cid:54)(cid:54) ( 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 𝑘 − ) ∩ 𝐻𝑇 (Φ , 𝑅 ) 𝐸 ( 𝜎 ) 𝑇 (Φ , 𝑅 )) 𝑇 (Φ , 𝑅 ) 𝐸 ( 𝜎 ) .C учетом того, что 𝑇 (Φ , 𝑅 ) нормализует 𝐸 ( 𝜎 ) , последнее выражение равно ( 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 𝑘 − ) ∩ 𝐻𝐸 ( 𝜎 ) 𝑇 (Φ , 𝑅 )) 𝑇 (Φ , 𝑅 ) 𝐸 ( 𝜎 ) = ( 𝐺 (Φ , 𝑅, 𝐼 𝑘 − ) ∩ 𝐻𝑇 (Φ , 𝑅 )) 𝑇 (Φ , 𝑅 ) 𝐸 ( 𝜎 ) .Так как ( 𝐼 𝑘 − ) = 0 , мы можем воспользоваться базой индукции, и заключить, чтопоследнее выражение содержится в 𝑇 (Φ , 𝑅 ) 𝐸 ( 𝜎 ) 𝑇 (Φ , 𝑅 ) 𝐸 ( 𝜎 ) = 𝑇 (Φ , 𝑅 ) 𝐸 ( 𝜎 ) . (cid:3) Пусть ∆ ′ (cid:54) Φ — замкнутое множество корней (то есть, если 𝛼 , 𝛽 ∈ ∆ ′ и 𝛼 + 𝛽 ∈ Φ ,то 𝛼 + 𝛽 ∈ ∆ ′ ), и пусть ∆ (cid:54) ∆ ′ . Для каждого кольца 𝑅 рассмотрим сеть идеалов 𝜎 Δ ′ ,положив ( 𝜎 Δ ′ ) 𝛾 = {︃ 𝑅 , 𝛾 ∈ ∆ ′ , (0) , 𝛾 / ∈ ∆ ′ . адгруппы subsystem subgroups Положим 𝐸 (∆ ′ , 𝑅 ) = 𝐸 ( 𝜎 Δ ′ ) . Тогда ассоциированный пучок (по Зарискому) к пред-пучку 𝑇 (Φ , − ) 𝐸 (∆ ′ , − ) — это параболическая подгруппа расширенной группы Шевал-ле, соответствующей подсистеме ∆ ′ ∪ ( − ∆ ′ ) . Будем обозначать эту подгруппу через 𝐺 (∆ ′ , 𝑅 ) . Также положим ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝑅 ) = 𝑆 ( 𝜎 Δ ′ ) . Ясно, что 𝐺 (∆ ′ , 𝑅 ) (cid:54) ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝑅 ) . Лемма 13.
Пусть 𝑅 = 𝐿 — алгебраически замкнутое поле. Тогда подгруппы 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) и ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) замкнуты в 𝐺 (Φ , 𝐿 ) , и подгруппа 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) является компонентой связно-сти единицы подгруппы ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) .Доказательство. Замкнутость в 𝐺 (Φ , 𝐿 ) очевидна. Также ясно, что 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) связна.Остается показать, что 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) открыта в ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) . Так как 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) гладкая, в силуследствия 5.6 книги [21], достаточно показать, что у этих групп совпадают алгебрыЛи.Заметим, что ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , − ) — это подсхема (даже над Z ) в 𝐺 (Φ , − ) . Поэтому ин-тересующую нас алгебру Ли можно отождествить с группой ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 [ 𝜀 ] / ( 𝜀 )) ∩ 𝐺 (Φ , 𝐿 [ 𝜀 ] / ( 𝜀 ) , ( 𝜀 )) . Согласно следствию 1, lev( ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 [ 𝜀 ] / ( 𝜀 ))) = 𝜎 Δ ′ , и тогда по лемме12 ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 [ 𝜀 ] / ( 𝜀 )) ∩ 𝐺 (Φ , 𝐿 [ 𝜀 ] / ( 𝜀 ) , ( 𝜀 )) (cid:54) ( 𝑇 (Φ , 𝐿 [ 𝜀 ] / ( 𝜀 )) 𝐸 (∆ ′ , 𝐿 [ 𝜀 ] / ( 𝜀 ))) ∩∩ 𝐺 (Φ , 𝐿 [ 𝜀 ] / ( 𝜀 ) , ( 𝜀 )) (cid:54) 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 [ 𝜀 ] / ( 𝜀 )) ∩ 𝐺 (Φ , 𝐿 [ 𝜀 ] / ( 𝜀 ) , ( 𝜀 )) ,что и требовалось доказать. (cid:3) Пусть 𝑊 (Φ) (cid:54) 𝐺 (Φ , 𝑅 ) — расширенная группа Вейля. И пусть 𝑊 (Φ , ∆ ′ ) (cid:54) 𝑊 (Φ) —прообраз подгруппы Stab 𝑊 (Φ) (∆ ′ ) (cid:54) 𝑊 (Φ) . Лемма 14.
Пусть 𝑅 = 𝐾 — поле. Тогда ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐾 ) = 𝐺 (∆ ′ , 𝐾 ) 𝑊 (Φ , ∆ ′ ) .Доказательство. Включение правой части в левую очевидно, докажем обратноевключение. Пусть, для начала, 𝐾 = 𝐿 — алгебраически замкнутое поле, и пусть 𝑔 ∈ ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) . Заметим, что 𝑇 (Φ , 𝐿 ) — это максимальный тор группы 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) . Соглас-но лемме 13, подгруппа 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) нормальна в ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) , следовательно, 𝑔 𝑇 (Φ , 𝐿 ) (cid:54) 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) — другой максимальный тор. Так как поле замкнуто, эти торы сопряженыв 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) , то есть для некоторого 𝑔 ∈ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) мы имеем 𝑇 (Φ , 𝑅 ) = 𝑔 𝑔 𝑇 (Φ , 𝐿 ) (cid:54) 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) ,то есть 𝑔 𝑔 ∈ 𝑁 𝐺 (Φ ,𝐿 ) ( 𝑇 (Φ , 𝐿 )) ∩ ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) = ( 𝑇 (Φ , 𝐿 ) 𝑊 (Φ)) ∩ ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) == 𝑇 (Φ , 𝐿 )( 𝑊 (Φ) ∩ ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 )) = 𝑇 (Φ , 𝐿 ) 𝑊 (Φ , ∆ ′ ) .Откуда 𝑔 ∈ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) 𝑇 (Φ , 𝐿 ) 𝑊 (Φ , ∆ ′ ) = 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) 𝑊 (Φ , ∆ ′ ) .Теперь пусть 𝐾 произвольное поле и 𝐿 — его алгебраическое замыкание. Тогда ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐾 ) = ̃︀ 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) ∩ 𝐺 (Φ , 𝐾 ) = ( 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) 𝑊 (Φ , ∆ ′ )) ∩ 𝐺 (Φ , 𝐾 ) == ( 𝐺 (∆ ′ , 𝐿 ) ∩ 𝐺 (Φ , 𝐾 )) 𝑊 (Φ , ∆ ′ ) = 𝐺 (∆ ′ , 𝐾 ) 𝑊 (Φ , ∆ ′ ) ,что и требовалось доказать. (cid:3) .б.гвоздевский Лемма 15.
Пусть 𝑅 = 𝐾 — поле, и пусть 𝜎 — сеть идеалов. Тогда подгруппа 𝐸 ( 𝜎 ) нормальна в группе 𝑆 ( 𝜎 ) .Доказательство. Любая сеть идеалов в поле имеет вид 𝜎 = 𝜎 Δ ′ для некоторого за-мкнутого множества корней ∆ ′ . Утверждение, таким образом, следует из леммы 14 итого факта, что 𝐺 (∆ ′ , 𝐾 ) = 𝐸 (∆ ′ , 𝐾 ) 𝑇 (Φ , 𝐾 ) . (cid:3) Предложение 5.
Пусть 𝑅 — локальное кольцо с нильпотентным максимальнымидеалом M , и пусть 𝐻 — надгруппа 𝐸 (∆ , 𝑅 ) . Тогда, если 𝜌 M ( 𝐻 ) псевдостандартна,то 𝐻 псевдостандартна.Доказательство. Для удобства будем писать 𝑋 = 𝜌 M ( 𝑋 ) вне зависимости от природы 𝑋 . Пусть lev( 𝐻 ) = 𝜎 . Тогда по лемме 11 мы имеем lev( 𝐻 ) = 𝜎 . Предположим, что 𝐻 псевдостандартна, тогда по лемме 15 мы имеем 𝐻 𝐸 ( 𝜎 ) (cid:54) 𝐸 ( 𝜎 ) . Так как 𝐸 ( 𝜎 ) отображается на 𝐸 ( 𝜎 ) сюръективно, с учетом леммы 12, мы имеем 𝐻 𝐸 ( 𝜎 ) (cid:54) ( 𝐸 ( 𝜎 ) 𝐺 (Φ , 𝑅, M )) ∩ 𝐻 = 𝐸 ( 𝜎 )( 𝐺 (Φ , 𝑅, M ) ∩ 𝐻 ) (cid:54) 𝐸 ( 𝜎 ) 𝑇 (Φ , 𝑅 ) (cid:54) 𝑆 ( 𝜎 ) .Тогда, так как 𝐻 замкнута относительно взятия обратного, по следствию 2, мы имеем 𝐻 (cid:54) 𝑆 ( 𝜎 ) , как и утверждалось. (cid:3) Следствие 5.
Пусть 𝑅 — нетерово кольцо, и пусть 𝐻 — надгруппа 𝐸 (∆ , 𝑅 ) , и пусть 𝜌 M ( 𝐻 ) псевдостандартна для любого M ∈ Max( 𝑅 ) . Тогда 𝐻 псевдостандартна. Доказательство.
Следствие 4 + предложение 5. (cid:3) Следствие 6.
Пусть 𝑅 — локальное кольцо с нильпотентным максимальным идеалом M . Пусть 𝐻 — надгруппа 𝐸 (∆ , 𝑅 ) уровня 𝜎 . Тогда, если 𝜌 M ( 𝑙 ) ∈ 𝐿 ( 𝜌 M ( 𝜎 )) для любоготандема ( 𝑔, 𝑙 ) , в котором 𝑔 ∈ 𝐻 , то 𝐻 псевдостандартна. Доказательство.
Пусть 𝐻 ′ (cid:54) 𝐻 — подгруппа, порожденная элементами 𝑔 ∈ 𝐻 , яв-ляющимися первыми компонентами тандемов. Ясно, что lev( 𝐻 ) = 𝜎 . Из условия,леммы 11 и предложения 2 следует, что подгруппа 𝜌 M ( 𝐻 ′ ) псевдостандартна, тогдапо предложению 5 подгруппа 𝐻 ′ псевдостандартна, и тогда по следствию 3 с учетомпредложения 2, мы получаем, что 𝐻 псевдостандартна. (cid:3) Окончание доказательства теоремы
Для нетеровых колец теорема следует из следствия 5 и предложения 3. Для про-извольных колец она получается переходом к индуктивному пределу по конечно по-рожденным подкольцам. Здесь нужно заметить, что, если кольцо 𝑅 не имеет полявычетов из двух элементов, то оно является индуктивным пределом своих конечнопорожденных подколец с тем же свойством. Действительно, в этом случае элементывида 𝑡 + 𝑡 порождают в 𝑅 единичный идеал (иначе мы бы погрузили идеал, порож-денный ими, в максимальный, и в соответствующем поле вычетов все элементы былибы корнями уравнения 𝑡 + 𝑡 = 0 ). Следовательно найдутся 𝑎 𝑖 , 𝑡 𝑖 ∈ 𝑅 , такие, что 𝑛 ∑︁ 𝑖 =1 𝑎 𝑖 ( 𝑡 𝑖 + 𝑡 𝑖 ) = 1 . адгруппы subsystem subgroups Тогда все конечно порожденные подкольца, содержащие все 𝑎 𝑖 и 𝑡 𝑖 не будут иметьполя вычетом из двух элементов, и 𝑅 будет их индуктивным пределом.12. Примеры достаточно больших подсистем
Лемма 16.
Пусть Φ — неприводимая система корней с простыми связями, и пусть rk Φ = 𝑛 . Пусть ∆ (cid:54) Φ — подсистема, содержащая подсистему типа 𝑛𝐴 . Тогдапара (Φ , ∆) удовлетворяет условию ( * ) .Доказательство. Во-первых, заметим, что любая пара ортогональных корней из вы-шеупомянутой подсистемы 𝑛𝐴 подходящая. Действительно, пусть 𝛼 , 𝛼 — такая па-ра, и пусть 𝛾 , 𝛾 ∈ Σ 𝛼 ,𝛼 ∖ ∆ различны. Тогда в качестве 𝛽 нам обязательно подойдетодин из корней подсистемы 𝑛𝐴 , ортогональных 𝛼 и 𝛼 . Действительно, если 𝛾 − 𝛾 ортогональна всем таким корням, то, с учетом того, что 𝛾 , 𝛾 ∈ Σ 𝛼 ,𝛼 (и следователь-но 𝛾 − 𝛾 ⊥ 𝛼 , 𝛼 ), получается, что 𝛾 − 𝛾 ортогонально всей подсистеме 𝑛𝐴 , то есть 𝛾 = 𝛾 .Теперь, пусть 𝛾 ∈ Φ ∖ ∆ . Так как 𝛾 не может быть ортогонален всей подсистеме 𝑛𝐴 , найдется 𝛼 ∈ 𝑛𝐴 , такой, что ( 𝛾, 𝛼 ) = − . Допустим, что мы не можем найтивторой такой корень 𝛼 ∈ 𝑛𝐴 , ортогональный 𝛼 . Это значит, что 𝛾 ортогоналенортогональному дополнению к корню 𝛼 . Но тогда 𝛾 = ± 𝛼 ∈ ∆ , что противоречитпредположению. (cid:3) Следующее предложение показывает, что теорема 3 решает большую часть проблем,сформулированных в работе [8].Мы будем обозначать 𝑖 -й простой корень через 𝜀 𝑖 , а максимальный корень — через 𝛿 . Нумерация простых корней следует [2]. Предложение 6.
Для следующих вложений систем корней выполнено условие ( * ) . ( в скобках указан набор простых корней системы ∆ , если это требуется в доказа-тельстве ) . (a) 𝐴 (cid:54) 𝐸 ( − 𝛿 , 𝜀 , 𝜀 , . . . , 𝜀 ). (b) 𝐴 + 𝐴 (cid:54) 𝐸 ( − 𝛿 , 𝜀 , 𝜀 , . . . , 𝜀 ). (c) 𝐴 (cid:54) 𝐸 ( 𝜀 , 𝜀 , . . . , 𝜀 , − 𝛿 ). (d) 𝐴 + 𝐴 (cid:54) 𝐸 ( − 𝛿 , 𝜀 , 𝜀 , 𝜀 , . . . , 𝜀 ). (e) 𝐴 + 𝐴 (cid:54) 𝐸 ( − 𝛿 , 𝜀 , 𝜀 , 𝜀 , 𝜀 , 𝜀 , 𝜀 ). (f) 𝐴 + 𝐴 (cid:54) 𝐸 ( − 𝛿 , 𝜀 , 𝜀 , 𝜀 , . . . , 𝜀 ). (g) 𝐷 + 𝐴 (cid:54) 𝐸 ( 𝜀 , . . . , 𝜀 , 𝜀 , 𝜀 , − 𝛿 ). (h) 𝐴 (cid:54) 𝐸 ( 𝜀 , . . . , 𝜀 , 𝜀 , 𝜀 , 𝜀 , − 𝛿 ). (i) 𝐴 (cid:54) 𝐸 . (j) 𝐴 (cid:54) 𝐸 . (k) 𝐸 + 𝐴 (cid:54) 𝐸 . (l) 𝐷 + 𝐴 (cid:54) 𝐸 . .б.гвоздевский (m) 𝐷 (cid:54) 𝐸 . (n) 𝐸 + 𝐴 (cid:54) 𝐸 . (o) 𝐷 + 3 𝐴 (cid:54) 𝐸 . (p) 𝐷 + 2 𝐴 (cid:54) 𝐸 . (q) 𝐷 (cid:54) 𝐸 . (r) 𝐴 (cid:54) 𝐸 . (s) 𝑚𝐴 (cid:54) 𝐷 𝑚 . (t) 𝐴 (cid:54) 𝐸 .Доказательство. (a) В этом случае группа 𝑊 (∆) действует на множество Φ ∖ ∆ транзитивно, поэтому можно считать,что 𝛾 = 𝜀 . Тогда мы можем положить 𝛼 = 𝜀 и 𝛼 = 𝜀 + 𝜀 + 𝜀 . Проверим, что эта пара подходящая.Представим 𝐸 как множество восьмимерных векторов, получающихся пе-рестановками координат в векторах (1 , − , , , , , , , ) и (︂ , , , , − , − , − , − )︂ .Первый тип векторов образует нашу подсистему 𝐴 . При этом 𝛼 = (0 , , , − , , , , , 𝛼 = (0 , , − , , , , , .Тогда элементы множества Σ 𝛼 ,𝛼 ∖ ∆ имеют вид (︂ · , · , − , − , , , · , · )︂ .Если два таких вектора 𝛾 , 𝛾 отличаются, то найдутся 𝑖 , 𝑗 ∈ { , , , } , такие,что 𝛾 имеем в этих позициях и − соответственно, а 𝛾 — наоборот. Тогда вкачестве 𝛽 можно взять вектор имеющий в позиции 𝑖 и − в позиции 𝑗 .(b) Аналогично.(c) Аналогично, только множество Φ ∖ ∆ имеет две 𝑊 (∆) -орбиты, но одна из нихсостоит из корней, противоположных корням другой, поэтому достаточно до-казать для одной из них. Перебор для проверки того, что пара подходящая,аналогичен, но чуть длиннее.(d) Несложно видеть, что для любого 𝛾 ∈ Φ ∖ ∆ найдутся 𝛼 ∈ 𝐴 и 𝛼 ∈ 𝐴 ,такие, что ( 𝛾, 𝛼 ) = ( 𝛾, 𝛼 ) = − . Проверим, что любая такая пара подходя-щая. Так как группа 𝑊 (∆) действует транзитивно на множестве таких пар,можно считать, что 𝛼 = 𝜀 и 𝛼 = 𝜀 . Вложим 𝐸 в R так, чтобы первыетри координаты соответствовали стандартной реализации 𝐴 , а оставшиеся 6— стандартной реализации 𝐴 . Тогда 𝛼 = (0 , − , , , , , , , , 𝛼 = (0 , , , − , , , , , . адгруппы subsystem subgroups Пусть 𝛾 , 𝛾 ∈ Σ 𝛼 ,𝛼 ∖ ∆ различны. Множество Φ ∖ ∆ имеет две 𝑊 (∆) -орбиты.В зависимости от орбиты, первые три координаты корня из Φ ∖ ∆ являютсяперестановкой либо ( , , − ) , либо ( − , − , ) , а оставшиеся шесть координат— либо ( , , − , − , − , − ) , либо либо ( − , − , , , , ) . Допустим, что у насне получается взять в качестве 𝛽 корень из подсистемы 𝐴 , сосредоточеннойв последних четырех координатах, то есть 𝛾 − 𝛾 ортогонально всем такимкорням. Несложно видеть,что это возможно, только если у 𝛾 и 𝛾 совпадаютпоследние четыре координаты (учесть, что ( 𝛾 , 𝛼 ) = − ). Это, в частности,значит, что 𝛾 и 𝛾 в одной 𝑊 (∆) -орбите. Для данной орбиты условие, что 𝛾 , 𝛾 ∈ Σ 𝛼 ,𝛼 однозначно определяют координаты со второй по четвертую.Тогда первая тоже оказывается определена, то есть 𝛾 = 𝛾 .(e) Аналогично, достаточно показать, что пара 𝛼 = 𝜀 , 𝛼 = 𝜀 подходящая. Этонесложный перебор с помощью соответствующего вложения в R .(f) Аналогично, рассмотрев соответствующее вложение в R , можно показать,что любая пара ортогональных корней из 𝐴 подходящая, и этого хватает.(g) Аналогично, рассмотрев соответствующее вложение в R , можно показать, чтолюбая пара 𝛼 ∈ 𝐷 , 𝛼 ∈ 𝐴 подходящая, и этого хватает.(h) Аналогично, рассмотрев соответствующее вложение в R , можно показать, чтоесли корни 𝛼 , 𝛼 ∈ ∆ лежат в разных компонентах, то такая пара подходящая,и этого хватает.(i) Достаточно показать, что, если 𝛼 и 𝛼 из разных компонент, то такая параподходящая. Пусть 𝛾 , 𝛾 ∈ Σ 𝛼 ,𝛼 ∖ ∆ различны. Допустим, что 𝛾 − 𝛾 орто-гональна всем оставшимся компонентам. Перебор возможных расположений 𝛾 𝑖 относительно наших компонент показывает, что квадрат длинны проекциивектора 𝛾 − 𝛾 на плоскость компоненты может быть равен либо , либо .Значит, квадрат длинны вектора 𝛾 − 𝛾 не превосходит , но квадрат разностиразличных корней всегда не меньше 2. Противоречие.(j) Аналогично.(k) Формально следует из случая 𝐴 (cid:54) 𝐸 , так как 𝐴 (cid:54) 𝐸 .Все остальное следует из леммы 16. (cid:3) Надгруппы 𝐴 в 𝐷 Как мы уже отмечали, надгруппы подсистемных подгрупп в ортогональных и сим-плектических группах были описаны в работах Вавилова и Щеголева (смотри ссылкив [4] и [23]). Однако, все эти работы не охватывали случай 𝑚𝐴 (cid:54) 𝐷 𝑚 , посколькуон требует 𝐴 -доказательства.Из леммы 16 следует, что условие ( * ) в этом случае выполнено. Таким образом,теорема 3 дает ответ на эту задачу при условии, что кольцо не имеет поля вычетовиз двух элементов.Теперь, пусть Φ = 𝐷 и ∆ = 4 𝐴 . Уже в этом случае над полем F псевдостандартноеописание не выполнено. Тем не менее для произвольных колец мы можем доказатьнекоторый еще более ослабленный вариант сэндвич-классификации. .б.гвоздевский Задача облегчается тем, что множество Φ ∖ ∆ имеет одну 𝑊 (∆) -орбиту. Поэтомупо лемме 1 сеть идеалов 𝜎 можно отождествить с идеалом, соответствующим этойорбите, что мы и будем делать. Предложение 7.
Пусть 𝑅 — произвольное коммутативное кольцо, и пусть 𝜎 (cid:69) 𝑅 — идеал. Тогда существует надгруппа 𝐸 (4 𝐴 , 𝑅 ) (cid:54) ̂︀ 𝐺 ( 𝐷 , 𝐴 , 𝑅, 𝜎 ) = ̂︀ 𝐺 ( 𝜎 ) (cid:54) 𝐺 ( 𝐷 , 𝑅 ) ,наибольшая среди надгрупп уровня 𝜎 .Доказательство. (1) Заметим, что достаточно доказать это предложение длянетеровых колец. Действительно, если для нетеровых колец предложение вер-но, то для произвольного кольца 𝑅 можно положить. ̂︀ 𝐺 (Φ , ∆ , 𝑅, 𝜎 ) = ⋃︁ 𝑆 ∈ FG( 𝑅 ) ⋂︁ 𝑆 ∈ FG( 𝑅 ) 𝑆 (cid:54) 𝑆 ̂︀ 𝐺 (Φ , ∆ , 𝑆, 𝜎 ∩ 𝑆 ) (cid:54) 𝐺 (Φ , 𝑅 ) ,где FG( 𝑆 ) — множество конечно порожденных подколец в 𝑅 .(2) Заметим, что достаточно доказать это предложение для локальных колец снильпотентным максимальным идеалом. Действительно, если для таких колецпредложение доказано, то для произвольного нетерова кольца можно поло-жить ̂︀ 𝐺 (Φ , ∆ , 𝑅, 𝜎 ) = ⋂︁ M ∈ Max 𝑅 , 𝑘 ∈ N 𝜌 − M 𝑘 ( ̂︀ 𝐺 (Φ , ∆ , 𝑅/ M 𝑘 , 𝜌 M 𝑘 ( 𝜎 ))) .Уровень правой части будет равен ⋂︁ M ∈ Max 𝑅 , 𝑘 ∈ N 𝜌 − M 𝑘 ( 𝜌 M 𝑘 ( 𝜎 )) = 𝜎 .Это обсуждалось в доказательстве предложения 4. Тогда по лемме 11 эта под-группа будет наибольшей среди подгрупп уровня 𝜎 .С этого момента считаем, что 𝑅 — локальное кольцо с нильпотентным мак-симальным идеалом M . Будем писать 𝑋 = 𝜌 M ( 𝑋 ) , независимо от природы 𝑋 .(3) Если 𝑅/ M отлично от F , то по теореме 3 можно положить ̂︀ 𝐺 ( 𝜎 ) = 𝑆 ( 𝜎 ) .(4) Если 𝜎 ̸ = M , то также можно положить ̂︀ 𝐺 ( 𝜎 ) = 𝑆 ( 𝜎 ) , то есть любая надгруппа 𝐸 (∆ , 𝑅 ) уровня 𝜎 псевдостандартна. Действительно, для 𝜎 = 𝑅 доказыватьнечего, осталось рассмотреть случай 𝜎 < M . Пусть 𝐻 — наша надгруппа,проверим, что выполнено условие следствия 6. Пусть ( 𝑔, 𝑙 ) — тандем, и пусть 𝑔 ∈ 𝐻 . Нужно проверить, что 𝑙 ∈ 𝐿 ( 𝜎 ) = 𝐿 (0) .Допустим, что найдется корень 𝛾 ∈ Φ ∖ ∆ , такой, что 𝑙 𝛾 ̸ = 0 . Как мы зна-ем, найдется подходящая пара ортогональных корней 𝛼 , 𝛼 ∈ ∆ , такая, что ( 𝛼 , 𝛾 ) = ( 𝛼 , 𝛾 ) = − . адгруппы subsystem subgroups По лемме 11 lev( 𝐻 ) = (0) . Поэтому, если 𝑙 − 𝛼 = 0 , то мы можем применитьдоказательство предложения 3, чтобы получить противоречие (случай 𝑙 − 𝛼 = 0 не использует предположения о том, что поле отлично от F ). Пусть 𝑙 − 𝛼 ̸ = 0 .Построим специальный относительно пары 𝛼 , 𝛼 битандем с параметром ( 𝑔 ( 𝑡 ) , 𝑙 ( 𝑡 )) = ( 𝑔 ( 𝑥 𝛼 ( 𝑡𝑙 − 𝛼 ) 𝑥 𝛼 ( − 𝑡𝑙 − 𝛼 )) , 𝑔 ( 𝑡𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 − 𝑡𝑙 − 𝛼 𝑒 𝛼 )) .Затем построим тандем, зависящий от 𝑡 ∈ 𝑅 , ( 𝑔 , 𝑙 ) = ( 𝑔 ( 𝑡 ) 𝑥 𝛼 (1) , 𝑔 ( 𝑡 ) 𝑒 𝛼 ) .Вне зависимости от 𝑡 , по лемме 10 мы имеем 𝑔 ( 𝑡 ) ∈ 𝑃 𝛼 ,𝛼 , и 𝑔 ∈ 𝐻 ∩ 𝑈 ′ 𝛼 ,𝛼 (cid:54) 𝑆 ( 𝜎 ) . Тогда 𝑙 ∈ 𝐿 ( 𝜎 ) . Таким образом, 𝑙 𝛾 + 𝛼 + 𝛼 ∈ 𝜎 . С другой стороны, как и вдоказательстве предложения 3, мы можем написать формулу вида 𝑙 𝛾 + 𝛼 + 𝛼 = 𝑎𝑡 + 𝑏𝑡 , где 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑅 не зависят от 𝑡 , и из этого доказательства следует, что 𝑎 ̸ = 0 , то есть 𝑎 ∈ 𝑅 * . Тогда по лемме Накаяма элементы вида 𝑎𝑡 + 𝑏𝑡 , где 𝑡 пробегает M , породят весь идеал M (так как их образы породят M / M ).Следовательно, 𝜎 = M , что противоречит предположению.(5) Чтобы разобрать оставшийся случай, достаточно рассмотреть случай 𝑅 = F и 𝜎 = (0) . Действительно, тогда, если 𝑅 — локальное кольцо с нильпотентнымидеалом M , 𝑅/ M = F и 𝜎 = M , то можно положить ̂︀ 𝐺 (Φ , ∆ , 𝑅, 𝜎 ) = 𝜌 − M ( ̂︀ 𝐺 (Φ , ∆ , 𝑅/ M , (0))) .(6) Итак, нам осталось показать, что в 𝐺 ( 𝐷 , F ) только одна максималь-ная подгруппа содержит 𝐸 (4 𝐴 , F ) = 𝐺 (4 𝐴 , F ) . Этой подгруппой будет 𝑁 𝐺 (D , F ) ([ 𝐺 (4 𝐴 , F ) , 𝐺 (4 𝐴 , F )]) .Пусть 𝑁 — максимальная подгруппа, содержащая 𝐺 (4 𝐴 , F ) . В книге [20]перечисленны все классы сопряженности максимальных подгрупп в 𝐺 ( 𝐷 , F ) .После того, как мы отбросим те группы, порядок которых не делится на ,а также те, которые имеют -силовскую подгруппу порядка , не изоморф-ную ( Z / Z ) , у нас останется один класс сопряженности, состоящий из нор-мализаторов подгрупп, изоморфных ( Z / Z ) . Нужно показать, что подгруппа ( Z / Z ) , которую нормализует 𝑁 , совпадает с [ 𝐺 (4 𝐴 , F ) , 𝐺 (4 𝐴 , F )] . Для это-го достаточно показать, что 𝑁 содержит только одну подгруппу, изоморфную ( Z / Z ) . Предположим противное, тогда другая такая подгруппа (та, котораяне обязательно нормальна) содержится в некоторой -силовской подгруппе 𝑆 группы 𝑁 , нормальная подгруппа вида ( Z / Z ) также содержится в 𝑆 , по-скольку она нормальна. Порядок 𝑆 равен , и она также является -силовскойподгруппой в 𝐺 ( 𝐷 , F ) . Согласно [20], группа 𝐺 ( 𝐷 , F ) содержит подгруппу,изоморфную знакопеременной группе 𝐴 . Следовательно 𝑆 содержит подгруп-пу, изоморфную -силовской подгруппе группы 𝐴 . Отсюда элементарнымисредствами выводится, что 𝑆 не может содержать двух различных подгрупп,изоморфных ( Z / Z ) . Противоречие. (cid:3) .б.гвоздевский В следующей работе автор планирует предложить способ увеличить подгруппу 𝐸 (∆ , 𝑅 ) так, чтобы псевдостандартное описание стало стандартным (то есть ниж-няя граница сэндвича была нормальной подгруппой в верхней), и показать, что в дляподсистем, не содержащих компоненты типа 𝐴 такого увеличения не требуется. адгруппы subsystem subgroupsСписок литературы [1] Боревич З. И., Вавилов Н. А.
Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммута-тивным кольцом //
Тр. МИАН . — 1984. — Т. 165. — С. 24–42.[2]
Бурбаки Н.
Группы и алгебры Ли. Главы 4-6. — Москва: Мир, 1972.[3]
Вавилов Н. А.
О подгруппах расщепимых ортогональных групп над кольцом //
Сибирскийматем. журн. — 1988. — Т. 29, № 4. — С. 537–547.[4]
Вавилов Н. А.
О подгруппах расщепимых классических групп //
Тр. МИАН . — 1990. — Т. 183. —С. 29–42.[5]
Вавилов Н. А., Гаврилович М. Р. 𝐴 -доказательство структурных теорем для групп Шеваллетипов 𝐸 и 𝐸 // Алгебра и анализ . — 2004. — Т. 16, № 4. — С. 54–87.[6]
Вавилов Н. А., Степанов А. В.
Подгруппы полной линейной группы над кольцом, удовлетво-ряющим условиям стабильности //
Изв. вузов. Матем. — 1989. — № 10. — С. 19–25.[7]
Вавилов Н. А., Степанов А. В.
Надгруппы полупростых групп //
Вестн. СамГУ. Естествен-нонаучн. сер. — 2008. — № 3. — С. 51–95.[8]
Вавилов Н. А., Щеголев А. В.
Надгруппы subsystem subgroups в исключительных группах: уров-ни //
Зап. научн. сем. ПОМИ . — 2012. — Т. 400. — С. 70–126.[9]
Гвоздевский П. Б.
Надгруппы подгрупп Леви I. Случай абелева унипотентного радикала //
Принята в журнал ”Алгебра и Анализ” . — 2019.[10]
Голубчик И. З.
О подгруппах полной линейной группы 𝐺𝐿 𝑛 ( 𝑅 ) над ассоциативным кольцом 𝑅 // УМН . — 1984. — Т. 39, № 1. — С. 125–126.[11]
Койбаев В. А.
О подгруппах полной линейной группы, содержащих группу элементарныхклеточно-диагональных матриц //
Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. : Мат., Мех., Астроном. —1982. — Т. 13. — С. 33–40.[12] Лузгарев А. Ю.
Описание надгрупп 𝐹 в 𝐸 над коммутативным кольцом // Алгебра и анализ . —2008. — Т. 20. — С. 148–185.[13]
Степанов А. В.
Описание подгрупп полной линейной группы над кольцом при помощи условийстабильности // Кольца и линейные группы. — Краснодар: Кубанский госудаственный универ-ситет, 1988. — С. 82–91.[14]
Степанов А. В.
Структурная теория и подгруппы групп шевалле над кольцами. — Докторскаядиссертация, Санкт-Петребург, 2014.[15]
Хамфрис Дж.
Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. — МЦНМО, 2003.[16]
Щеголев А. В.
Надгруппы блочно-диагональных подгрупп гиперболической унитарной группынад квази-конечным кольцом: Основные результаты //
Зап. научн. сем. ПОМИ . — 2016. — Т.443. — С. 222–233.[17]
Щеголев А. В.
Надгруппы элементарной блочно-диагональной подгруппы классической сим-плектической группы над произвольным коммутативным кольцом //
Алгебра и анализ . — 2018. —Т. 30. — С. 147–199.[18]
Abe E., Suzuki K.
On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings //
Tohoku Math.J. — 1976. — Vol. 28, no. 2. — p. 185–198.[19]
Aschbacher M.
On the maximal subgroups of the finite classical groups //
Invent. Math. — 1984. —Vol. 76. — p. 469–514.[20] Atlas of finite groups: maximal subgroups and ordinary characters for simple groups / L. H. Conway,R. T. Curtis, S. P. Norton et al. — Clarendon Press; Oxford University Press, 1985.[21]
Demazure M., Gabriel P . Introduction to algebraic geometry and algebraic groups. Math. Stud. . —Amsterdam: North-Holland, 1980.[22] Roozemond D. A.
Algorithms for Lie algebras of algebraic groups: Ph.D. thesis / Technische Univer-siteit Eindhoven. — 2010.[23]
Shchegolev A.
Overgroups of elementary block-diagonal subgroups in even unitary groups over quasi-finite rings: Ph.D. thesis / Fakultat fur Mathematik der Universitat Bielefeld. — 2015. .б.гвоздевский [24] Stepanov A. V.
Structure of Chevalley groups over rings via universal localization //
J. Algebra . —2016. — Vol. 450. — p. 522–548.[25]
Waterhouse W.C.
Automorphisms of det( 𝑥 𝑖𝑗 ) : the group scheme approach // Adv. Math. — 2003. —Vol. 179. — p. 99–116.