aa r X i v : . [ m a t h . G M ] A p r Polynomial over Associative D -Algebra Aleks Kleyn
Abstract.
In the paper I considered algebra of polynomials over associa-tive D -algebra with unit. Using the tensor notation allows to simplify therepresentation of polynomial. I considered questions related to divisibility ofpolynomial of any power over polynomial of power 1. Contents
1. Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. Zero Divisor of Associative D -Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. Polynomial over Associative D -Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. Operations over Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. Division of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178. Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199. Special Symbols and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201. Preface
The theory of polynomials over commutative ring (see the definition of poly-nomial, for instance, [1], pp. 97 - 98) has statements similar to statements fromnumber theory. Such statements like the theorem on the uniqueness of the decom-position of the polynomial into a product of irreducible polynomials (section [3]-48),the remainder theorem ([1], p. 173, the theorem 1.1) are among these statements.The theory of polynomials over non-commutative algebra is more difficult ([11],p. 48). In this paper, we attempted to advance a bit in this field.The possibility to represent a polynomial as p ( x ) = a + n X k =1 a k ◦ x k is an important statement from which a lot of statements of the paper follow. Thisstatement is based on the theorem 4.6 and its corollary 4.7. Aleks [email protected]. http://AleksKleyn.dyndns-home.com:4080/ http://arxiv.org/a/kleyn_a_1 . http://sites.google.com/site/AleksKleyn/ http://AleksKleyn.blogspot.com/ . Mathematics Subject Classification : Primary: 16-02;12-02;
Keywords : associative algebra; polynomial; zero divisor.
Initially, the concept of a tensor representation of map of free algebra was appliedto the notation of a linear map of free algebra over commutative ring. This styleof notation allowed make statements of non commutative calculus more clear.Opportunity to present a polynomial using tensor eliminates the complexity andallows see important properties of polynomial. Using theorems considered in [5], Iproved the theorem 6.9. I hope this is first step to study divisibility of polynomials.Alexandre Laugier was first reader of my paper. I appreciate his helpful com-ments. 2.
Conventions
Convention 2.1.
I assume sum over index s in expression like a s · xa s · (cid:3) Convention 2.2.
Let A be free algebra with finite or countable basis. Consideringexpansion of element of algebra A relative basis e we use the same root letter todenote this element and its coordinates. In expression a , it is not clear whether thisis component of expansion of element a relative basis, or this is operation a = aa .To make text clearer we use separate color for index of element of algebra. Forinstance, a = a i e i (cid:3) Convention 2.3.
It is very difficult to draw the line between the module and thealgebra. Especially since sometimes in the process of constructing, we must firstprove that the set A is a module, and then we prove that this set is an algebra.Therefore, to write the element of the module, we will also use the convention2.2. (cid:3) Convention 2.4.
Element of Ω -algebra A is called A -number . For instance,complex number is also called C -number, and quaternion is called H -number. (cid:3) Zero Divisor of Associative D -Algebra Let D be commutative ring and A be associative D -algebra with unit. Definition 3.1.
Let a , b ∈ A , a = 0, b = 0. If ab = 0, then a is called leftzero divisor and b is called right zero divisor . If left zero divisor a is right zerodivisor, then a is called zero divisor . (cid:3) Theorem 3.2.
Let a , b ∈ A , a = 0 , b = 0 . The equation ba = 0 does not followfrom the equation ab = 0 . Proof.
Let A be algebra of 3 × E = E = See, for instance, section [6]-1, [10]-1. See also the definition [2]-10.17. The proof of the theorem is based on the remark in [2] after the definition 10.17. olynomial over Associative D -Algebra 3 It is evident that E E = However E E = It is easy to see that both matrices ( E , E ) are zero divisors. (cid:3) Theorem 3.3.
Let a be right zero divisor of D -algebra A . Let b be left zero divisorof D -algebra A . Let ab = 0 . Then for any d ∈ A , adb is zero divisor of D -algebra A .Proof. Since a is right zero divisor of D -algebra A , then there exists c = 0 suchthat ca = 0. Then c ( adb ) = ( ca )( db ) = 0( db ) = 0Therefore, adb is right zero divisor of D -algebra A .Since b is left zero divisor of D -algebra A , then there exists c = 0 such that bc = 0. Then ( adb ) c = ( ad )( bc ) = ( ad )0 = 0Therefore, adb is left zero divisor of D -algebra A . (cid:3) Theorem 3.4.
There exists D -algebra where left zero divisor is not right zerodivisor. Proof.
Let A be free R -vector space which has Hamel basis e . Consider R -algebraof linear maps L ( R ; A ; A ) . Let map f ∈ L ( R ; A ; A ) be defined by the equation(3.1) (cid:26) f ◦ e i = e i − i > f ◦ e = 0Let map g ∈ L ( R ; A ; A ) be defined by the equation(3.2) g ◦ e i = e i +1 Let map p ∈ L ( R ; A ; A ) be defined by the equation(3.3) (cid:26) p ◦ e i = 0 i > p ◦ e = e See also example [2]-10.16. Hamel basis was considered in the definition [9]-2.3.1. Let f , g ∈ L ( R ; A ; A ). The sum of maps f and g is defined by the equation( f + g ) ◦ x = f ◦ x + g ◦ x The product of maps f and g is defined by the equation( f ◦ g ) ◦ x = f ◦ ( g ◦ x ) Aleks Kleyn
From equations (3.1), (3.2), it follows that (3.4) f ◦ g = 13.4.1: From equations (3.1), (3.3), it follows that( f ◦ p ) ◦ e = f ◦ ( p ◦ e ) = f ◦ e = 0( f ◦ p ) ◦ e i = f ◦ ( p ◦ e i ) = f ◦ i > Therefore, the map f is left zero divisor.3.4.2: Let h ∈ L ( R ; A ; A ) be such map that(3.5) h ◦ f = 0From equations (3.4), (3.5), it follows that0 = 0 ◦ g = ( h ◦ f ) ◦ g = h ◦ ( f ◦ g ) = h ◦ h Therefore, the map f is not right zero divisor.3.4.3: From equations (3.2), (3.3), it follows that( p ◦ g ) ◦ e i = p ◦ ( g ◦ e i ) = p ◦ e i +1 = 0Therefore, the map g is right zero divisor.3.4.4: Let h ∈ L ( R ; A ; A ) be such map that(3.6) g ◦ h = 0From equations (3.4), (3.6), it follows that0 = f ◦ f ◦ ( g ◦ h ) = ( f ◦ g ) ◦ h = 1 ◦ h = h Therefore, the map g is not left zero divisor. (cid:3) Theorem 3.5.
There exists D -algebra where left zero divisor is invertible fromright. In the equation (3.4) we see how properties of matrix change when we consider a matrix withcountable set of rows and columns instead of matrix with finite number of rows and columns.Relative to the basis e , the map f has matrix f = ... ... ...... ... ... ... ... First column of matrix f linearly depends from other columns of matrix. However, the matrix f is invertible from right.It is possible that this phenomenon is associated with the statement that a countable set hasproper countable subset. Let A be D -algebra and a ∈ A be left zero divisor. Then there exists b ∈ A , b = 0, suchthat ab = 0. Let there exists c ∈ A such that ca = 1. Therefore, b = 1 b = ( ca ) b = c ( ab ) = c a is not invertible from left. olynomial over Associative D -Algebra 5 Proof.
Let L ( R ; A ; A ) be R -algebra considered in the proof of the theorem 3.4.Let map f ∈ L ( R ; A ; A ) be defined by the equation (3.1). Let map g ∈ L ( R ; A ; A )be defined by the equation (3.2). According to the statement 3.4.1, the map f isleft zero divisor. According to the equation (3.4), the map f is invertible fromright. (cid:3) Theorem 3.6.
Let a be left zero divisor of D -algebra A . Non zero element of rightideal Aa is left zero divisor of D -algebra A .Proof. According to the definition 3.1, there exists b ∈ A , b = 0, such that ab = 0.Then for any c ∈ A ( ca ) b = c ( ab ) = c ca = 0, then ca is left zero divisor. (cid:3) Theorem 3.7.
If we can represent left zero divisor a of D -algebra A as product a = cd , then either c , or d is a left zero divisor.Proof. If d is left zero divisor, then, according to the theorem 3.6, a is left zerodivisor. So to prove the theorem, we consider the case when d is not left zerodivisor. According to the definition 3.1, there exists b ∈ A , b = 0, such that ab = 0. Then 0 = ab = ( cd ) b = c ( db )According to the definition 3.1, db = 0. Therefore, c is left zero divisor. (cid:3) Theorem 3.8.
Let neither a ∈ A , nor b ∈ A be left zero divisors of D -algebra A .Then their product ab is not left zero divisor of D -algebra A .Proof. If the product ab is a left zero divisor of D -algebra A , then, according tothe theorem 3.7, then either a , or b is a left zero divisor. This contradiction provesthe theorem. (cid:3) To see better the structure of the set of zero divisors of D -algebra A , we considerthe following theorem. Theorem 3.9.
Let A be finite dimensional D -algebra. Let e be a basis of D -algebra A . Let C ikl be structural constants of D -algebra A relative to the basis e . Thencoordinates a i of left zero divisor (3.7) a = a i e i satisfy to equation (3.8) det k C ikl a k k = 0 Proof.
Since A -number a = 0 is left zero divisor, then according to the definition3.1, a = 0 and there exists A -number b = 0 b = b i e i such that ab = 0. Therefore, coordinates of A -numbers a and b satisfy to the systemof equations(3.9) C ikl a k b l = 0If we assume that we know a , then we can consider the system of equations (3.9)as system of linear equations relative to coordinates b l . The equation (3.8) followsfrom the statement that number of equations in the system of linear equations Aleks Kleyn (3.9) equals to the number of unknown and the system of linear equations (3.9) hasnontrivial solution. (cid:3) Polynomial over Associative D -Algebra Let D be commutative ring and A be associative D -algebra with unit. Theorem 4.1.
Let p k ( x ) be monomial of power k over D -algebra A . Then
Monomial of power has form p ( x ) = a , a ∈ A . If k > , then p k ( x ) = p k − ( x ) xa k where a k ∈ A .Proof. We prove the theorem by induction over power n of monomial.Let n = 0. We get the statement 4.1.1 since monomial p ( x ) is constant.Let n = k . Last factor of monomial p k ( x ) is either a k ∈ A , or has form x l , l ≥ a k = 1. Factor preceding a k has form x l , l ≥
1. Wecan represent this factor as x l − x . Therefore, we proved the statement. (cid:3) Definition 4.2.
We denote A k [ x ] Abelian group generated by the set of mono-mials of power k . Element p k ( x ) of Abelian group A k [ x ] is called homogeneouspolynomial of power k . (cid:3) Remark . According to the definition 4.2, homogeneous polynomial p k ( x ) ofpower k is sum of monomials of power kp k ( x ) = X s p k · s ( x )Let q k ( x ) = X t q k · t ( x )be homogeneous polynomials of power k . Since sum in Abelian group A k [ x ] iscommutative and associative, then sum of homogeneous polynomials p and q issum of monomials of power k ( p + q )( x ) = p ( x ) + q ( x ) = X s p k · s ( x ) + X t q k · t ( x ) (cid:3) Theorem 4.4.
Abelian group A k [ x ] is A -module.Proof. Let p ( x ) = p xp ...p k − xp k be monomial. For any tensor a ⊗ b ∈ A ⊗ A , there exists transformation ofmonomial(4.1) ( a ⊗ b ) ◦ p ( x ) = ap ( x ) b = ap xp ...p k − xp k b The set of transformations (4.1) generates representation of D -algebra A ⊗ A inAbelian group A k [ x ]. Therefore, Abelian group A k [ x ] is A -module. (cid:3) You can see similar definition of monomial over division ring in the section [10]-16. You cansee similar definition of monomial over Banach algebra in the section [8]-5.2. olynomial over Associative D -Algebra 7 The set of monomials of power k is not a basis of A -module A k [ x ]. For instance, adxb = axdb d ∈ D For polynomial, we will use notation( a , a , ..., a k ) ◦ x k = a xa x...xa k Theorem 4.5.
The map f : A k +1 → A k [ x ] defined by the equation f ( a , a , ..., a k ) = ( a , a , ..., a k ) ◦ x k is polylinear map.Proof. Let d ∈ D . From equations f ( a , ..., da i , ..., a k ) = a x... ( da i ) ...xa k = d ( a x...a i ...xa k )= df ( a , ..., a i , ..., a k ) f ( a , ..., a i + b i , ..., a k ) = a x... ( a i + b i ) ...xa k = ( a x...a i ...xa k ) + ( a x...b i ...xa k )= f ( a , ..., a i , ..., a k ) + f ( a , ..., b i , ..., a k )it follows that the map f is linear with respect to a i . Therefore, the map f ispolylinear map. (cid:3) Theorem 4.6.
There exists linear map ( a ⊗ a ⊗ ... ⊗ a k ) ◦ x k = ( a , a , ..., a k ) ◦ x k Proof.
The theorem follows from theorems [7]-3.6.4, 4.5. (cid:3)
Corollary 4.7.
We can present homogeneous polynomial p ( x ) in the followingform p ( x ) = a k ◦ x k a k ∈ A ⊗ ( k +1) (cid:3) Definition 4.8.
We denote A [ x ] = ∞ M n =0 A n [ x ]direct sum of A -modules A n [ x ]. An element p ( x ) of A -module A [ x ] is called polynomial over D -algebra A . (cid:3) Therefore, we can present polynomial of power n in the following form p ( x ) = a + a ◦ x + ... + a n ◦ x n a i ∈ A ⊗ ( i +1) i = 0 , ..., n Definition 4.9.
Let p ( x ) = a + a ◦ x + ... + a n ◦ x n a i ∈ A ⊗ ( i +1) i = 0 , ..., n be polynomial of power n over D -algebra A . A ⊗ ( i +1) -number a i is called coeffi-cient of polynomial p ( x ). A ⊗ ( n +1) -number a n is called leading coefficient ofpolynomial p ( x ). (cid:3) See the definition of direct sum of modules in [1], page 128. On the same page, Lang provesthe existence of direct sum of modules.
Aleks Kleyn Operations over Polynomials
Definition 5.1.
Let p ( x ) = p + p ◦ x + ... + p n ◦ x n q ( x ) = q + q ◦ x + ... + q n ◦ x n be polynomials of power n . Sum of polynomials is defined by equation( p + q )( x ) = p + q + ( p + q ) ◦ x + ... + ( p n + q n ) ◦ x n (cid:3) Definition 5.2.
Bilinear map ⊗ : A ⊗ n × A ⊗ m → A ⊗ ( n + m − is defined by the equation( a ⊗ ... ⊗ a n ) ⊗ ( b ⊗ ... ⊗ b n ) = a ⊗ ... ⊗ a n − ⊗ a n b ⊗ b ⊗ ... ⊗ b n (cid:3) Theorem 5.3.
Homogeneous polynomial p ◦ x n , p ∈ A ⊗ ( n +1) , generates the linearmap A m [ x ] → A n + m [ x ] defined by the equation (5.1) ( p ◦ x n ) ◦ ( q ◦ x m ) = ( p ⊗ q ) ◦ x n + m Proof.
According to the corollary 4.7, p ∈ A ⊗ ( n +1) , q ∈ A ⊗ ( m +1) . According tothe definition 5.2,(5.2) p ⊗ q ∈ A ⊗ (( n +1)+( m +1) − = A ⊗ (( n + m )+1) According to the corollary 4.7 and the equation (5.2), the map (5.1) is definedproperly. According to the definition 5.2, from equations( p ◦ x n ) ◦ ( r ◦ x m + s ◦ x m ) = ( p ◦ x n ) ◦ (( r + s ) ◦ x m )= ( p ⊗ ( r + s )) ◦ x n + m = ( p ⊗ r ) ◦ x n + m + ( p ⊗ s ) ◦ x n + m = ( p ◦ x n ) ◦ ( r ◦ x m ) + ( p ◦ x n ) ◦ ( s ◦ x m )( p ◦ x n ) ◦ ( d ( r ◦ x m )) = ( p ◦ x n ) ◦ (( dr ) ◦ x m )= ( p ⊗ ( dr )) ◦ x n + m = d (( p ⊗ r ) ◦ x n + m )= d (( p ◦ x n ) ◦ ( r ◦ x m ))where d ∈ D , it is follows that the map (5.1) is linear map. (cid:3) Let q ( x ) be polynomial of power m , m < n , q ( x ) = q + q ◦ x + ... + q m ◦ x m If we assume q m +1 = 0, ..., q n = 0, then we can consider the polynomial q ( x ) as polynomial ofpower n . olynomial over Associative D -Algebra 9 Remark . Let p = p ⊗ p ⊗ ... ⊗ p n r = r ⊗ r ⊗ ... ⊗ r m Then we can write the equation (5.1) in following form( p x...xp n ) ◦ ( r x...xr m ) = (( p ⊗ ... ⊗ p n ) ◦ x n ) ◦ (( r ⊗ ... ⊗ r m ) ◦ x m )= (( p ⊗ ... ⊗ p n ) ⊗ ( r ⊗ ... ⊗ r m )) ◦ x n + m = ( p ⊗ ... ⊗ p n r ⊗ ... ⊗ r m ) ◦ x n + m = p x...xp n r x...xr m Therefore, the equation (5.1) is the definition of product of homogeneous polyno-mials. (cid:3)
Definition 5.5.
Product of homogeneous polynomials p ◦ x n , r ◦ x m is definedby the equation ( p ◦ x n )( r ◦ x m ) = ( p ⊗ r ) ◦ x n + m (cid:3) Theorem 5.6.
Let p ( x ) = a k ◦ x k a k ∈ A ⊗ ( k +1) be monomial of power k > . Then the polynomial p ( x ) can be represented usingone of the following forms (5.3) p ( x ) = ( a k · ◦ x k − )((1 ⊗ a k · ) ◦ x )(5.4) p ( x ) = (( a k · ◦ x k − ) ⊗ a k · ) ◦ x where (5.5) a k = a k · ⊗ (1 ⊗ a k · ) a k · ∈ A ⊗ k a k · ∈ A Proof.
Based on the statement 4.1.2 and the theorem 4.6, we can write the mono-mial p ( x ) as(5.6) p k ( x ) = ( a k · ◦ x k − ) xa k · The equation (5.5) follows from the definition 5.2 and the equation a k = a k · ⊗ a k · Since for given value of x , the expression a k · ◦ x k − is A -number, then theequation (5.4) follows from the equation (5.6) and the theorem 4.6. The equation(5.3) follows from equations (5.5), (5.6) and the definition 5.5. (cid:3) Theorem 5.7.
Let p ( x ) = a k ◦ x k a k ∈ A ⊗ ( k +1) be homogeneous polynomial of power k > . Then the polynomial p ( x ) can berepresented using one of the following forms (5.7) p ( x ) = ( a k · · s ◦ x k − )((1 ⊗ a k · · s ) ◦ x )(5.8) p ( x ) = (( a k · · s ◦ x k − ) ⊗ a k · · s ) ◦ x where (5.9) a k = a k · · s ⊗ (1 ⊗ a k · · s ) a k · · s ∈ A ⊗ k a k · · s ∈ A Proof.
According to the remark 4.3, homogeneous polynomial of power k is sum ofmonomials of power k . The theorem follows from the theorem 5.6, if we considerinduction over number of terms. (cid:3) Remark . In this section, it is unimportant for us whether a polynomial p ( x )is zero divisor. We consider in the section 6 the question about zero divisors of A -algebra A [ x ]. In the proof of the theorems in this section, we, without loss ofgenerality, assume that the considered polynomials are not zero divisors. (cid:3) Since product of homogeneous polynomials is bilinear map, then the definition5.5 can be extended to product of any polynomials.
Theorem 5.9.
Let p ( x ) = p + p ◦ x + ... + p n ◦ x n q ( x ) = q + q ◦ x + ... + q m ◦ x m be polynomials. If polynomial r ( x ) = r + r ◦ x + ... + r k ◦ x k is product of polynomials (5.10) r ( x ) = p ( x ) q ( x ) then k = n + m (5.11) r h = X i + j = h p i ⊗ q j h = 0 , ..., k i ≤ n j ≤ m Proof.
We prove the theorem by induction over n , m . • Following lemma follows from the definition 5.5.
Lemma . The theorem 5.9 is true for product of homogeneous polyno-mials. • Let the theorem be true for homogeneous polynomial p ( x ) = p n ◦ x n ofpower n and polynomial q ( x ) of power m = l . Polynomial q ( x ) = q + q ◦ x + ... + q l ◦ x l + q l +1 ◦ x l +1 of power l + 1 can be written in the following form q ( x ) = q ′ ( x ) + q l +1 ◦ x l +1 where q ′ ( x ) = q + q ◦ x + ... + q l ◦ x l is polynomial of power l . Since product of polynomials is bilinear map,then r ( x ) = ( p n ◦ x n ) q ( x ) = ( p n ◦ x n )( q ′ ( x ) + q l +1 ◦ x l +1 )= ( p n ◦ x n ) q ′ ( x ) + ( p n ◦ x n )( q l +1 ◦ x l +1 )(5.12) olynomial over Associative D -Algebra 11 According to the induction assumption, the power of polynomial ( p n ◦ x n ) q ′ ( x ) equals n + l , as well(5.13) r h = X i + j = h p i ⊗ q j i = n h = 0 , ..., n + l According to the definition 5.5, the power of polynomial ( p n ◦ x n )( q l +1 ◦ x l +1 ) equals k = n + ( l + 1)as well(5.14) r h = X i + j = h p i ⊗ q j i = n h = n + l + 1Therefore, the theorem is true for homogeneous polynomial p ( x ) = p n ◦ x n of power n and polynomial q ( x ) of power m = l + 1. Therefore, we provedthe following lemma. Lemma . The theorem 5.9 is true for product of homogeneous polyno-mial p ( x ) and polynomial q ( x ).Let the theorem be true for polynomial p ( x ) of power n = l and polynomial q ( x ) of power m . Polynomial p ( x ) = p + p ◦ x + ... + p l ◦ x l + p l +1 ◦ x l +1 of power l + 1 can be written in the following form p ( x ) = p ′ ( x ) + p l +1 ◦ x l +1 where p ′ ( x ) = p + p ◦ x + ... + p l ◦ x l is polynomial of power l . Since product of polynomials is bilinear map, then r ( x ) = p ( x ) q ( x ) = ( p ′ ( x ) + p l +1 ◦ x l +1 ) q ( x )= p ′ ( x ) q ( x ) + ( p l +1 ◦ x l +1 ) q ( x )(5.15)According to the induction assumption, the power of polynomial r ′ ( x ) = p ′ ( x ) q ( x )equals l + m , as well(5.16) r ′ h = X i + j = h p i ⊗ q j i < l + 1 h = 0 , ..., l + m According to the lemma 5.11, the power of polynomial r ′′ ( x ) = ( p l +1 ◦ x l +1 ) q ( x )equals k = ( l + 1) + m as well(5.17) r ′′ h = X i + j = h p i ⊗ q j i = l + 1 h = 0 , ..., l + m + 1Since r ( x ) = r ′ ( x ) + r ′′ ( x ) then from the definition 5.1 and from equations (5.16), (5.17), it follows that(5.18) r h = X i + j = h p i ⊗ q j i ≤ l + 1 h = 0 , ..., l + m + 1Therefore, the theorem is true for polynomial p ( x ) of power n = l +1 and polynomial q ( x ) of power m . (cid:3) Theorem 5.12. A -module A [ x ] equipped by the product (5.10) is A -algebra whichis called A -algebra of polynomials over D -algebra A .Proof. The theorem follows from definitions [7]-3.2.1, 5.5 and the theorem 5.9. (cid:3) Division of Polynomials
In this section, we assume that the algebra A is defined over field F and thealgebra A is finite dimensional F -algebra. Let e be the basis of algebra A overfield F and C kij be structural constants of algebra A relative to the basis e .Consider the linear equation (6.1) a ◦ x = b where a = a s · ⊗ a s · ∈ A ⊗ . According to the theorem [4]-10.1.9, we can writethe equation (6.1) in standard form(6.2) a ij e i xe j = ba ij = a s · i a s · j a s · = a s · i e i a s · = a s · i e i According to the theorem [4]-10.1.10 equation (6.2) is equivalent to equation(6.3) a ji x i = b j a ji = a kr C pki C jpr x = x i e i b = b i e i According to the theory of linear equations over field, if determinant(6.4) det k a ji k 6 = 0then equation (6.1) has only one solution. Definition 6.1.
The tensor a ∈ A ⊗ is called nonsingular tensor if this tensorsatisfies to condition (6.4). (cid:3) Theorem 6.2.
Let F be a field. Let A be finite dimensional F -algebra. For thelinear equation (6.5) a ◦ x = 0 where a = a s · ⊗ a s · ∈ A ⊗ . , any x ∈ A is root iff (6.6) a s · k a s · r C pki C jpr = 0 From the proof of the theorem 3.4, we see that statements of linear algebra in a vectorspace with countable basis are different from similar statements in finite dimensional vector space.Additional research is required before we can state theorems of the section 6 for F -algebra withcountable basis. I consider the solving of the equation (6.1) the same way as I have done in the section [5]-4. olynomial over Associative D -Algebra 13 Proof.
According to the theorem [4]-10.1.9, we can write the equation (6.5) instandard form(6.7) a ij e i xe j = 0 a ij = a s · i a s · j a s · = a s · i e i a s · = a s · i e i According to the theorem [4]-10.1.10 equation (6.7) is equivalent to equation(6.8) a ji x i = 0 a ji = a kr C pki C jpr x = x i e i Any x ∈ A is root of the system of linear equations (6.8), iff(6.9) a ji = 0From equations (6.8), (6.9), it follows that(6.10) a kr C pki C jpr = 0The equation (6.6) follows from equations (6.7), (6.10). (cid:3) It is difficult to say whether the condition (6.6) to be true in some algebra.However we can study particular case of the theorem 6.2.
Theorem 6.3.
Let F be a field. Let A be finite dimensional F -algebra. In orderfor any x ∈ A to be the root of the equation axb = 0 it is necessary that a is left divisor of F -algebra A .Proof. Let in the equation (6.5) s = 1, a · = a , a · = b . Let e be the basis of F -algebra A . Then the equation (6.6) gets form(6.11) a k b r C pki C jpr = 0If we assume that we know a , then we can consider the system of equations (6.11)as system of linear equations relative to coordinates b r . Number of equations inthe system of linear equations (6.11) equals to the number of unknown. Since thesystem of linear equations (6.11) has nontrivial solution, then(6.12) det k a k C pki C jpr k = 0for any r . From the equation (6.12) it follows that(6.13) det k C jpr k det k a k C pki k = 0From the equation (6.13) it follows that either(6.14) det k C jpr k = 0or(6.15) det k a k C pki k = 0Let equation (6.14) be true. Let e ∈ e , e = 1. Then(6.16) e p = e p e = C jp e j From the equation (6.14) it follows that there exist c p , c = 0, such that(6.17) c p C jp = 0 From equations (6.16), (6.17), it follows that(6.18) c p e p = c p C jp e j = 0Therefore, vectors e k are linear dependent. From contradiction, it follows that theequation (6.14) is not true in F -algebra A with unit.From the equation (6.15) and the theorem 3.9, it follows that a is left zerodivisor. (cid:3) Example 6.4.
The requirement that, for any x be a root of the equation axb = 0 a must be a left zero divisor of F -algebra A , is necessary but not sufficient.For instance, consider R -algebra of matrices n × n . Consider matrices E ik = ( δ ij δ lk ) X = ( x ik )Then E ij XE kl = ( δ ib δ aj x bc δ kd δ cl ) = ( δ aj x il δ kd ) = x il E kj Therefore, the polynomial p ( X ) = E ij XE kl equals 0 iff x il = 0. (cid:3) Based on statements considered in this section we can assume that homogeneouspolynomial of degree does not vanish identically . However this statement requiresmore research.It is evident that the theorem 5.9 is important. I recall that to prove thistheorem we have assumed that the factors are not zero divisors. However, ifleading coefficient of polynomials are zero divisors, then conclusion of the theoremmay not be true.
Theorem 6.5.
Let A -number a be left zero divisor of D -algebra A . Let p ( x ) ∈ A [ x ] . Then the polynomial p ( x ) a is left zero divisor of A -algebra A [ x ] .Proof. Since p ( x ) ∈ A , then the theorem follows from the theorem 3.6. (cid:3) Theorem 6.6.
Let a be right zero divisor of D -algebra A . Let b be left zero divisorof D -algebra A . Let ab = 0 . Then the polynomial ap ( x ) b is left zero divisor of A -algebra A [ x ] .Proof. Since p ( x ) ∈ A , then the theorem follows from the theorem 3.3. (cid:3) Theorem 6.7.
Let a ∈ A ⊗ be nonsingular tensor. If we consider the equation (6.2) as transformation of algebra A , then we can write the inverse transformationin form (6.19) x = c pq e p be q where components c pq satisfy to equation (6.20) δ r δ s = a ij c pq C rip C sqj Proof.
The theorem follows from the theorem [5]-4.2. (cid:3) See the remark 5.8. olynomial over Associative D -Algebra 15 Definition 6.8.
Let a ∈ A ⊗ be nonsingular tensor. The tensor a − = c pq e p ⊗ e q is called tensor inverse to tensor a . (cid:3) Theorem 6.9.
Let p ( x ) = p ◦ x be homogeneous polynomial of power and p be nonsingular tensor. Let r ( x ) = r + r ◦ x + ... + r k ◦ x k be polynomial of power k . Then r ( x ) = r + q · p ( x ) q · + q · ( x ) p ( x ) q · + ... + q k · ( x ) p ( x ) q k · = r + ( q · ⊗ q · ) ◦ p ( x ) + ( q · ( x ) ⊗ q · ) ◦ p ( x )+ ... + ( q k · ( x ) ⊗ q k · ) ◦ p ( x )(6.21) Proof.
According to definitions 6.1, 6.8 and the theorem 6.7, the following equationis true(6.22) p − ◦ p ( x ) = x Based on the theorem 5.7, we can write the polynomial r ( x ) as r ( x ) = r + r · · s ( xr · · s ) + ( r · · s ◦ x )( xr · · s )+ ... + ( r k · · s ◦ x k − )( xr k · · s )= r + r · · s ((1 ⊗ r · · s ) ◦ x ) + ( r · · s ◦ x )((1 ⊗ r · · s ) ◦ x )+ ... + ( r k · · s ◦ x k − )((1 ⊗ r k · · s ) ◦ x )(6.23)where r = r · · s ⊗ (1 ⊗ r · · s ) r · · s ∈ A r · · s ∈ Ar = r · · s ⊗ (1 ⊗ r · · s ) r · · s ∈ A ⊗ r · · s ∈ A... ...r k = r k · · s ⊗ (1 ⊗ r k · · s ) r k · · s ∈ A ⊗ k r k · · s ∈ A From the equations (6.22), (6.23), it follows that r ( x ) = r + r · · s ((1 ⊗ r · · s ) ◦ ( p − ◦ p ( x )))+ ( r · · s ◦ x )((1 ⊗ r · · s ) ◦ ( p − ◦ p ( x )))+ ... + ( r k · · s ◦ x k − )((1 ⊗ r k · · s ) ◦ ( p − ◦ p ( x )))= r + r · · s (((1 ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x ))+ ( r · · s ◦ x )(((1 ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x ))+ ... + ( r k · · s ◦ x k − )(((1 ⊗ r k · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x ))(6.24)Let(6.25) p − = p ′ · t ⊗ p ′ · t Then(6.26) (1 ⊗ r i · · s ) ◦ p − = (1 ⊗ r i · · s ) ◦ ( p ′ · t ⊗ p ′ · t ) = p ′ · t ⊗ p ′ · t r i · · s From the equations (6.24), (6.26), it follows that r ( x ) = r + r · · s (( p ′ · t ⊗ p ′ · t r · · s ) ◦ p ( x ))+ ( r · · s ◦ x )(( p ′ · t ⊗ p ′ · t r · · s ) ◦ p ( x ))+ ... + ( r k · · s ◦ x k − )(( p ′ · t ⊗ p ′ · t r k · · s ) ◦ p ( x ))= r + ( r · · s ⊗ p ′ · t )( p ( x ) p ′ · t r · · s )+ (( r · · s ⊗ p ′ · t ) ◦ x )( p ( x ) p ′ · t r · · s )+ ... + (( r k · · s ⊗ p ′ · t ) ◦ x k − )( p ( x ) p ′ · t r k · · s )(6.27)Let(6.28) q · = r · · s ⊗ p ′ · t q · = p ′ · t r · · s q · ( x ) = ( r · · s ⊗ p ′ · t ) ◦ x q · = p ′ · t r · · s ... ... ... ...q k · ( x ) = ( r k · · s ⊗ p ′ · t ) ◦ x k − q k · = p ′ · t r k · · s The equation (6.21) follows from equations (6.27), (6.28). (cid:3)
Theorem 6.10.
Let (6.29) p ( x ) = p + p ◦ x be polynomial of power and p be nonsingular tensor. Let r ( x ) = r + r ◦ x + ... + r k ◦ x k be polynomial of power k . Then r ( x ) = r − (( r · · s ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ p − ((( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ p − ... − ((( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ p − ) ◦ p + (( r · · s ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x )+ ((( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x )+ ... + ((( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x )= r − (( r · · s ⊗ r · · s + ( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s + ... + ( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ p − ) ◦ p + (( r · · s ⊗ r · · s + ( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s + ... + ( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x )(6.30) Proof.
From the equation (6.29) it follows that(6.31) p ◦ x = − p + p ( x )According to definitions 6.1, 6.8 and the theorem 6.7, from the equation (6.31) itis follows that(6.32) p − ◦ ( − p + p ( x )) = x The style of the equation (6.30) is different from the style of the equation (6.21). I just wantto show that we can use different styles to represent a polynomial. olynomial over Associative D -Algebra 17 Based on the theorem 5.7, we can write the polynomial r ( x ) as r ( x ) = r + r · · s ( xr · · s ) + ( r · · s ◦ x )( xr · · s )+ ... + ( r k · · s ◦ x k − )( xr k · · s )= r + ( r · · s ⊗ r · · s ) ◦ x + (( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s ) ◦ x + ... + (( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ x (6.33)where r = r · · s ⊗ (1 ⊗ r · · s ) r · · s ∈ A r · · s ∈ Ar = r · · s ⊗ (1 ⊗ r · · s ) r · · s ∈ A ⊗ r · · s ∈ A... ...r k = r k · · s ⊗ (1 ⊗ r k · · s ) r k · · s ∈ A ⊗ k r k · · s ∈ A From the equations (6.32), (6.33), it follows that r ( x ) = r + ( r · · s ⊗ r · · s ) ◦ ( p − ◦ ( − p + p ( x )))+ (( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s ) ◦ ( p − ◦ ( − p + p ( x )))+ ... + (( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ ( p − ◦ ( − p + p ( x )))= r + (( r · · s ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ ( − p + p ( x ))+ ((( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ ( − p + p ( x ))+ ... + ((( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ p − ) ◦ ( − p + p ( x ))(6.34)The equation (6.30) follows from the equation (6.34). (cid:3) The theorem 6.9 states that, for given homogeneus polynomial p ( x ) of power 1and given polynomial r ( x ) of power k , we can represent the polynomial r ( x ) as sumof products of the polynomial p ( x ) over polynomials of power less than k . There issimilar statement in the theorem 6.10 for given polynomial p ( x ) of power 1.Since the product in D -algebra A is non commutative, then we can tell that thepolynomial p ( x ) is either left divisor of the polynomial r ( x ), if r ( x ) = p ( x ) q ( x )or right divisor of the polynomial r ( x ), if r ( x ) = q ( x ) p ( x )However, we can generalize this definition. Definition 6.11.
The polynomial p ( x ) is called divisor of polynomial r ( x ), ifwe can represent the polynomial r ( x ) as(6.35) r ( x ) = q i · ( x ) p ( x ) q i · ( x ) = ( q i · ( x ) ⊗ q i · ( x )) ◦ p ( x ) (cid:3) References [1] Serge Lang, Algebra, Springer, 2002[2] Charles Lanski. Concepts In Abstract Algebra. American MathematicalSoc., 2005, ISBN 978-0534423230 [3] A. G. Kurosh, Higher Algebra,George Yankovsky translator,Mir Publishers, 1988, ISBN: 978-5030001319[4] Aleks Kleyn, Lectures on Linear Algebra over Division Ring,eprint arXiv:math.GM/0701238 (2010)[5] Aleks Kleyn, Linear Equation in Finite Dimensional Algebra,eprint arXiv:0912.4061 (2010)[6] Aleks Kleyn, The Matrix of Linear Maps,eprint arXiv:1001.4852 (2010)[7] Aleks Kleyn, Linear Maps of Free Algebra,eprint arXiv:1003.1544 (2010)[8] Aleks Kleyn, The Gˆateaux Derivative and Integral over Banach Algebra,eprint arXiv:1006.2597 (2010)[9] Aleks Kleyn, Free Algebra with Countable Basis,eprint arXiv:1211.6965 (2012)[10] Aleks Kleyn, Introduction into Calculus over Division Ring.Clifford Analysis, Clifford Algebras and their applications, Vol 1, Issue 4,pages 291 - 355, 2012[11] Paul M. Cohn, Skew Fields, Cambridge University Press, 1995.
Index A -algebra of polynomials over D -algebra A A -number 2coefficient of polynomial 7divisor of polynomial 17homogeneous polynomial of power k k . Special Symbols and Notations A [ x ] A -algebra of polynomials over D -algebra A
7, 12 a − tensor inverse to tensor a A k [ x ] A -module of homogeneouspolynomials over D -algebra A r X i v : . [ m a t h . G M ] A p r Многочлен над ассоциативной D -алгеброй Александр Клейн
Аннотация.
В статье рассмотрена алгебра полиномов над ассоциативной D -алгеброй с единицей. Использование тензорной записи позволяет упро-стить представление многочлена. Рассмотрены вопросы делимости много-члена произвольного порядка на многочлен первого порядка. Содержание
1. Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Соглашения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. Делитель нуля ассоциативной D -алгебры . . . . . . . . . . . . . . . 24. Многочлен над ассоциативной D -алгеброй . . . . . . . . . . . . . . . 65. Операции над многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. Деление многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127. Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188. Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209. Специальные символы и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211. Предисловие
Теория многочленов над коммутативным кольцом (смотри определение мно-гочлена, например, [1], с. 133) имеет утверждения, подобные утверждениям изтеории чисел. К этим утверждениям относятся теорема о единственности раз-ложения многочлена в произведение неприводимых многочленов ([3], с. 292),теорема о делении с остатком ([1], с. 141, теорема 2).Теория многочленов над некоммутативной алгеброй неизмеримо сложнее([11], p. 48). В этой статье мы сделали попытку немного продвинуться в этомнаправлении.Возможность представления многочлена в виде p ( x ) = a + n X k =1 a k ◦ x k является важным утверждением, из которого следуют многие утверждениястатьи. Это утверждение основано на теореме 4.6 и её следствии 4.7. [email protected]. http://AleksKleyn.dyndns-home.com:4080/ http://arxiv.org/a/kleyn_a_1 . http://sites.google.com/site/AleksKleyn/ http://AleksKleyn.blogspot.com/ . Mathematics Subject Classification : Primary: 16-02;12-02;
Keywords : ассоциативная алгебра; многочлен; делитель нуля.
Вначале концепция тензорного представления отображения свободной ал-гебры была применена к записи линейного отображения свободной алгебрынад коммутативным кольцом. Этот формат записи позволил сделать утвер-ждения некоммутативного математического анализа более простыми.Возможность представить многочлен с помощью тензоров позволяет изба-виться от сложности и увидеть важные свойства многочлена. Опираясь натеоремы, рассмотренные в [5], я доказал теорему 6.9. Я надеюсь, это первыйшаг к изучению делимости многочленов.Александр Ложье был первым читателем моей статьи. Я благодарен ему заего ценные комментарии. 2.
Соглашения
Соглашение 2.1.
В выражении вида a s · xa s · предполагается сумма по индексу s . (cid:3) Соглашение 2.2.
Пусть A - свободная алгебра с конечным или счётным ба-зисом. При разложении элемента алгебры A относительно базиса e мы поль-зуемся одной и той же корневой буквой для обозначения этого элемента и егокоординат. В выражении a не ясно - это компонента разложения элемента a относительно базиса или это операция возведения в степень. Для облег-чения чтения текста мы будем индекс элемента алгебры выделять цветом.Например, a = a i e i (cid:3) Соглашение 2.3.
Очень трудно провести границу между модулем и алгеб-рой. Тем более, иногда в процессе построения мы должны сперва доказать,что множество A является модулем, а потом мы доказываем, что это мно-жество является алгеброй. Поэтому для записи координат элемента модулямы также будем пользоваться соглашением 2.2. (cid:3) Соглашение 2.4.
Элемент Ω -алгебры A называется A -числом . Например,комплексное число также называется C -числом, а кватернион называется H -числом. (cid:3) Делитель нуля ассоциативной D -алгебры Пусть D - коммутативное кольцо и A - ассоциативная D -алгебра с единицей. Определение 3.1.
Пусть a , b ∈ A , a = 0 , b = 0 . Если ab = 0 , то a называется левым делителем нуля , а b называется правым делителем нуля . Еслилевый делитель нуля a ∈ A является правым делителем нуля, то a называется делителем нуля . (cid:3) Теорема 3.2.
Пусть a , b ∈ A , a = 0 , b = 0 . Из равенства ab = 0 не следуетравенство ba = 0 . Смотри, например, разделы [6]-1, [10]-1. Смотри также определение [2]-10.17. Доказательство теоремы основано на замечании в [2] после определения 10.17. ногочлен над ассоциативной D -алгеброй 3 Доказательство.
Пусть A является алгеброй × матриц. Пусть E = E = Очевидно, что E E = Тем не менее E E = Нетрудно убедиться, что обе матрицы ( E , E ) являются делителями нуля. (cid:3) Теорема 3.3.
Пусть a является правым делителем нуля D -алгебры A . Пусть b является левым делителем нуля D -алгебры A . Пусть ab = 0 . Тогда длялюбого d ∈ A , adb является делителем нуля D -алгебры A .Доказательство. Так как a является правым делителем нуля D -алгебры A ,то существует c = 0 такой, что ca = 0 . Тогда c ( adb ) = ( ca )( db ) = 0( db ) = 0 Следовательно, adb является правым делителем нуля D -алгебры A .Так как b является левым делителем нуля D -алгебры A , то существует c = 0 такой, что bc = 0 . Тогда ( adb ) c = ( ad )( bc ) = ( ad )0 = 0 Следовательно, adb является левым делителем нуля D -алгебры A . (cid:3) Теорема 3.4.
Существует D -алгебра, в которой левый делитель нуля неявляется правым делителем нуля. Доказательство.
Пусть A - свободное R -векторное пространство, имеющее ба-зис Гамеля e . Рассмотрим R -алгебру линейных отображений L ( R ; A ; A ) .Пусть отображение f ∈ L ( R ; A ; A ) определено равенством(3.1) (cid:26) f ◦ e i = e i − i > f ◦ e = 0 Смотри также пример [2]-10.16. Базис Гамеля был рассмотрен в определении [9]-2.3.1. Пусть f , g ∈ L ( R ; A ; A ) . Сумма отображений f и g определена равенством ( f + g ) ◦ x = f ◦ x + g ◦ x Произведение отображений f и g определено равенством ( f ◦ g ) ◦ x = f ◦ ( g ◦ x ) Александр Клейн
Пусть отображение g ∈ L ( R ; A ; A ) определено равенством(3.2) g ◦ e i = e i +1 Пусть отображение p ∈ L ( R ; A ; A ) определено равенством(3.3) (cid:26) p ◦ e i = 0 i > p ◦ e = e Из равенств (3.1), (3.2) следует, что (3.4) f ◦ g = 1 ( f ◦ p ) ◦ e = f ◦ ( p ◦ e ) = f ◦ e = 0( f ◦ p ) ◦ e i = f ◦ ( p ◦ e i ) = f ◦ i > Следовательно, отображение f является левым делителем нуля.3.4.2: Пусть h ∈ L ( R ; A ; A ) - такое отображение, что(3.5) h ◦ f = 0 Из равенств (3.4), (3.5) следует, что ◦ g = ( h ◦ f ) ◦ g = h ◦ ( f ◦ g ) = h ◦ h Следовательно, отображение f не является правым делителем нуля.3.4.3: Из равенств (3.2), (3.3) следует, что ( p ◦ g ) ◦ e i = p ◦ ( g ◦ e i ) = p ◦ e i +1 = 0 Следовательно, отображение g является правым делителем нуля.3.4.4: Пусть h ∈ L ( R ; A ; A ) - такое отображение, что(3.6) g ◦ h = 0 Из равенств (3.4), (3.6) следует, что f ◦ f ◦ ( g ◦ h ) = ( f ◦ g ) ◦ h = 1 ◦ h = h Следовательно, отображение g не является левым делителем нуля. (cid:3) В равенстве (3.4) мы видим, как меняются свойства матрицы, когда вместо матрицыс конечным числом строк и столбцов мы рассматриваем матрицу со счётным множествомстрок и столбцов. Относительно базиса e , отображение f имеет матрицу f = ... ... ...... ... ... ... ... Первый столбец матрицы f линейно зависит от остальных столбцов матрицы. Тем не менее,матрица f обратима справа.По-видимому, это явление связано с утверждением, что счётное множество имеет собствен-ное счётное подмножество. ногочлен над ассоциативной D -алгеброй 5 Теорема 3.5.
Существует D -алгебра, в которой левый делитель нуля явля-ется обратимым справа. Доказательство.
Пусть L ( R ; A ; A ) - R -алгебра, рассмотренная в доказатель-стве теоремы 3.4 Пусть отображение f ∈ L ( R ; A ; A ) определено равенством(3.1). Пусть отображение g ∈ L ( R ; A ; A ) определено равенством (3.2). Со-гласно утверждению 3.4.1, отображение f является левым делителем нуля.Согласно равенству (3.4), отображение f обратимо справа. (cid:3) Теорема 3.6.
Пусть a - левый делитель нуля D -алгебры A . Ненулевой эле-мент правого идеала Aa является левым делителем нуля D -алгебры A .Доказательство. Согласно определению 3.1, существует b ∈ A , b = 0 , такой,что ab = 0 . Тогда для любого c ∈ A ( ca ) b = c ( ab ) = c Следовательно, если ca = 0 , то ca является левым делителем нуля. (cid:3) Теорема 3.7.
Если мы можем представить левый делитель нуля a D -алгеб-ры A в виде произведения a = cd , то либо c , либо d является левым делителемнуля.Доказательство. Если d является левым делителем нуля, то, согласно теоре-ме 3.6, a является левым делителем нуля. Поэтому, чтобы доказать теорему,рассмотрим случай, когда d не является левым делителем нуля. Согласно опре-делению 3.1, существует b ∈ A , b = 0 , такой, что ab = 0 . Тогда ab = ( cd ) b = c ( db ) Согласно определению 3.1, db = 0 . Следовательно, c является левым делителемнуля. (cid:3) Теорема 3.8.
Пусть ни a ∈ A , ни b ∈ A не являются левыми делителяминуля D -алгебры A . Тогда их произведение ab не является левым делителемнуля D -алгебры A .Доказательство. Если произведение ab является левым делителем нуля D -алгебры A , то, согласно теореме 3.7, либо a , либо b является левым делителемнуля. Это противоречие доказывает теорему. (cid:3) Чтобы лучше представить структуру множества делителей нуля D -алгебры A , мы рассмотрим следующую теорему. Теорема 3.9.
Пусть A - конечно мерная D -алгебра. Пусть e - базис D -ал-гебры A . Пусть C ikl - структурные константы D -алгебры A относительнобазиса e . Тогда координаты a i левого делителя нуля (3.7) a = a i e i удовлетворяют уравнению (3.8) det k C ikl a k k = 0 Пусть A - D -алгебра и a ∈ A - левый делитель нуля. Тогда существует b ∈ A , b = 0 ,такой, что ab = 0 . Пусть существует c ∈ A такой, что ca = 1 . Следовательно, b = 1 b = ( ca ) b = c ( ab ) = c Из полученного противоречия следует, что a не является обратимым слева. Александр Клейн
Доказательство.
Если A -число a = 0 является левым делителем нуля, то со-гласно определению 3.1, a = 0 и существует A -число b = 0 b = b i e i такое, что ab = 0 . Следовательно, координаты A -чисел a и b удовлетворяютсистеме уравнений(3.9) C ikl a k b l = 0 Если мы предположим, что a известно, то мы можем рассматривать системууравнений (3.9) как систему линейных уравнений относительно координат b l .Уравнение (3.8) следует из утверждения, что число уравнений в системе линей-ных уравнений (3.9) равно числу неизвестных и система линейных уравнений(3.9) имеет нетривиальное решение. (cid:3) Многочлен над ассоциативной D -алгеброй Пусть D - коммутативное кольцо и A - ассоциативная D -алгебра с единицей. Теорема 4.1.
Пусть p k ( x ) - одночлен степени k над D -алгеброй A . Тогда
Одночлен степени имеет вид p ( x ) = a , a ∈ A . Если k > , то p k ( x ) = p k − ( x ) xa k где a k ∈ A .Доказательство. Мы докажем утверждение теоремы индукцией по степени n одночлена.Пусть n = 0 . Так как одночлен p ( x ) является константой, то мы получаемутверждение 4.1.1.Пусть n = k . Последний множитель одночлена p k ( x ) является либо a k ∈ A ,либо имеет вид x l , l ≥ . В последнем случае мы положим a k = 1 . Множи-тель, предшествующий a k , имеет вид x l , l ≥ . Мы можем представить этотмножитель в виде x l − x . Следовательно, утверждение доказано. (cid:3) Определение 4.2.
Обозначим A k [ x ] абелевую группу, порождённую множе-ством одночленов степени k . Элемент p k ( x ) абелевой группы A k [ x ] называется однородным многочленом степени k . (cid:3) Замечание . Согласно определению 4.2, однородный многочлен p k ( x ) степе-ни k является суммой одночленов степени kp k ( x ) = X s p k · s ( x ) Пусть q k ( x ) = X t q k · t ( x ) однородный многочлен степени k . Так как сложение в абелевой группе A k [ x ] коммутативно и ассоциативно, то сумма однородных многочленов p и q явля-ется суммой одночленов степени k ( p + q )( x ) = p ( x ) + q ( x ) = X s p k · s ( x ) + X t q k · t ( x ) Аналогичное определение одночлена над телом рассмотрено в разделе [10]-16. Анало-гичное определение одночлена над банаховой алгеброй рассмотрено в разделе [8]-5.2. ногочлен над ассоциативной D -алгеброй 7 (cid:3) Теорема 4.4.
Абелевая группа A k [ x ] является A -модулем.Доказательство. Пусть p ( x ) = p xp ...p k − xp k одночлен. Для произвольного тензора a ⊗ b ∈ A ⊗ A , определено преобразо-вание одночлена(4.1) ( a ⊗ b ) ◦ p ( x ) = ap ( x ) b = ap xp ...p k − xp k b Множество преобразований (4.1) порождает представление D -алгебры A ⊗ A вабелевой группе A k [ x ] . Следовательно, абелева группе A k [ x ] является A -моду-лем. (cid:3) Множество одночленов степени k не является базисом A -модуля A k [ x ] . На-пример, adxb = axdb d ∈ D Для многочлена, мы будем пользоваться записью ( a , a , ..., a k ) ◦ x k = a xa x...xa k Теорема 4.5.
Отображение f : A k +1 → A k [ x ] определённое равенством f ( a , a , ..., a k ) = ( a , a , ..., a k ) ◦ x k является полилинейным отображением.Доказательство. Пусть d ∈ D . Из равенств f ( a , ..., da i , ..., a k ) = a x... ( da i ) ...xa k = d ( a x...a i ...xa k )= df ( a , ..., a i , ..., a k ) f ( a , ..., a i + b i , ..., a k ) = a x... ( a i + b i ) ...xa k = ( a x...a i ...xa k ) + ( a x...b i ...xa k )= f ( a , ..., a i , ..., a k ) + f ( a , ..., b i , ..., a k ) следует что отображение f линейно по a i . Следовательно, отображение f -полилинейное отображение. (cid:3) Теорема 4.6.
Определено линейное отображение ( a ⊗ a ⊗ ... ⊗ a k ) ◦ x k = ( a , a , ..., a k ) ◦ x k Доказательство.
Утверждение теоремы является следствием теорем [7]-3.6.4,4.5. (cid:3)
Следствие 4.7.
Однородный многочлен p ( x ) может быть записан в виде p ( x ) = a k ◦ x k a k ∈ A ⊗ ( k +1) (cid:3) Александр Клейн
Определение 4.8.
Обозначим A [ x ] = ∞ M n =0 A n [ x ] прямую сумму A -модулей A n [ x ] . Элемент p ( x ) A -модуля A [ x ] называется многочленом над D -алгеброй A . (cid:3) Следовательно, многочлен степени n может быть записан в виде p ( x ) = a + a ◦ x + ... + a n ◦ x n a i ∈ A ⊗ ( i +1) i = 0 , ..., n Определение 4.9.
Пусть p ( x ) = a + a ◦ x + ... + a n ◦ x n a i ∈ A ⊗ ( i +1) i = 0 , ..., n многочлен степени n над D -алгеброй A . A ⊗ ( i +1) -число a i называется коэф-фициентом многочлена p ( x ) . A ⊗ ( n +1) -число a n называется старшим ко-эффициентом многочлена p ( x ) . (cid:3) Операции над многочленами
Определение 5.1.
Пусть p ( x ) = p + p ◦ x + ... + p n ◦ x n q ( x ) = q + q ◦ x + ... + q n ◦ x n многочлены степени n . Сумма многочленов определена равенством ( p + q )( x ) = p + q + ( p + q ) ◦ x + ... + ( p n + q n ) ◦ x n (cid:3) Определение 5.2.
Билинейное отображение ⊗ : A ⊗ n × A ⊗ m → A ⊗ ( n + m − определено равенством ( a ⊗ ... ⊗ a n ) ⊗ ( b ⊗ ... ⊗ b n ) = a ⊗ ... ⊗ a n − ⊗ a n b ⊗ b ⊗ ... ⊗ b n (cid:3) Теорема 5.3.
Однородный многочлен p ◦ x n , p ∈ A ⊗ ( n +1) , порождает линей-ное отображение A m [ x ] → A n + m [ x ] определённое равенством (5.1) ( p ◦ x n ) ◦ ( q ◦ x m ) = ( p ⊗ q ) ◦ x n + m Смотри определение прямой суммы модулей в [1], страница 98. Согласно теореме 1 натой же странице, прямая сумма модулей существует. Пусть q ( x ) - многочлен степени m , m < n , q ( x ) = q + q ◦ x + ... + q m ◦ x m Если мы положим q m +1 = 0 , ..., q n = 0 , то мы можем рассматривать многочлен q ( x ) какмногочлен степени n . ногочлен над ассоциативной D -алгеброй 9 Доказательство.
Согласно следствию 4.7, p ∈ A ⊗ ( n +1) , q ∈ A ⊗ ( m +1) . Соглас-но определению 5.2,(5.2) p ⊗ q ∈ A ⊗ (( n +1)+( m +1) − = A ⊗ (( n + m )+1) Согласно следствию 4.7 и равенству (5.2), отображение (5.1) определено кор-ректно. Согласно определению 5.2, из равенств ( p ◦ x n ) ◦ ( r ◦ x m + s ◦ x m ) = ( p ◦ x n ) ◦ (( r + s ) ◦ x m )= ( p ⊗ ( r + s )) ◦ x n + m = ( p ⊗ r ) ◦ x n + m + ( p ⊗ s ) ◦ x n + m = ( p ◦ x n ) ◦ ( r ◦ x m ) + ( p ◦ x n ) ◦ ( s ◦ x m )( p ◦ x n ) ◦ ( d ( r ◦ x m )) = ( p ◦ x n ) ◦ (( dr ) ◦ x m )= ( p ⊗ ( dr )) ◦ x n + m = d (( p ⊗ r ) ◦ x n + m )= d (( p ◦ x n ) ◦ ( r ◦ x m )) где d ∈ D , следует, что отображение (5.1) линейно. (cid:3) Замечание . Пусть p = p ⊗ p ⊗ ... ⊗ p n r = r ⊗ r ⊗ ... ⊗ r m Тогда равенство (5.1) можно записать следующим образом ( p x...xp n ) ◦ ( r x...xr m ) = (( p ⊗ ... ⊗ p n ) ◦ x n ) ◦ (( r ⊗ ... ⊗ r m ) ◦ x m )= (( p ⊗ ... ⊗ p n ) ⊗ ( r ⊗ ... ⊗ r m )) ◦ x n + m = ( p ⊗ ... ⊗ p n r ⊗ ... ⊗ r m ) ◦ x n + m = p x...xp n r x...xr m Следовательно, равенство (5.1) является определением произведения однород-ных многочленов. (cid:3)
Определение 5.5.
Произведение однородных многочленов p ◦ x n , r ◦ x m опре-делено равенством ( p ◦ x n )( r ◦ x m ) = ( p ⊗ r ) ◦ x n + m (cid:3) Теорема 5.6.
Пусть p ( x ) = a k ◦ x k a k ∈ A ⊗ ( k +1) одночлен степени k > . Тогда многочлен p ( x ) может быть представлен водной из следующих форм (5.3) p ( x ) = ( a k · ◦ x k − )((1 ⊗ a k · ) ◦ x ) (5.4) p ( x ) = (( a k · ◦ x k − ) ⊗ a k · ) ◦ x где (5.5) a k = a k · ⊗ (1 ⊗ a k · ) a k · ∈ A ⊗ k a k · ∈ A Доказательство.
Опираясь на утверждение 4.1.2 и теорему 4.6, мы можемзаписать одночлен p ( x ) в виде(5.6) p k ( x ) = ( a k · ◦ x k − ) xa k · Равенство (5.5) следует из определения 5.2 и равенства a k = a k · ⊗ a k · Так как для заданного значения x , выражение a k · ◦ x k − является A -числом,то равенство (5.4) следует из равенства (5.6) и теоремы 4.6. Равенство (5.3)следует из равенств (5.5), (5.6) и определения 5.5. (cid:3) Теорема 5.7.
Пусть p ( x ) = a k ◦ x k a k ∈ A ⊗ ( k +1) однородный многочлен степени k > . Тогда многочлен p ( x ) может бытьпредставлен в одной из следующих форм (5.7) p ( x ) = ( a k · · s ◦ x k − )((1 ⊗ a k · · s ) ◦ x ) (5.8) p ( x ) = (( a k · · s ◦ x k − ) ⊗ a k · · s ) ◦ x где (5.9) a k = a k · · s ⊗ (1 ⊗ a k · · s ) a k · · s ∈ A ⊗ k a k · · s ∈ A Доказательство.
Согласно замечанию 4.3, однородный многочлен степени k является суммой одночленов степени k . Теорема следует из теоремы 5.6, еслирассмотреть индукцию по числу слагаемых. (cid:3) Замечание . В этом разделе для нас несущественно, является ли многочлен p ( x ) делителем нуля. Вопрос о делителях нуля A -алгебры A [ x ] мы рассмот-рим в разделе 6. При доказательстве теорем этого раздела, мы, не нарушаяобщности, будем предполагать, что рассматриваемые многочлены не являют-ся делителями нуля. (cid:3) Так как произведение однородных многочленов является билинейным отоб-ражением, то определение 5.5 может быть продолжено на произведение про-извольных многочленов.
Теорема 5.9.
Пусть p ( x ) = p + p ◦ x + ... + p n ◦ x n q ( x ) = q + q ◦ x + ... + q m ◦ x m многочлены. Если многочлен r ( x ) = r + r ◦ x + ... + r k ◦ x k является произведением многочленов (5.10) r ( x ) = p ( x ) q ( x ) то k = n + m (5.11) r h = X i + j = h p i ⊗ q j h = 0 , ..., k i ≤ n j ≤ m ногочлен над ассоциативной D -алгеброй 11 Доказательство.
Мы докажем теорему индукцией по n , m . • Следующая лемма является следствием определения 5.5.
Лемма . Теорема 5.9 верна для произведения однородных много-членов. • Пусть теорема верна для однородного многочлена p ( x ) = p n ◦ x n степе-ни n и многочлена q ( x ) степени m = l . Мы можем записать многочлен q ( x ) = q + q ◦ x + ... + q l ◦ x l + q l +1 ◦ x l +1 степени l + 1 в виде q ( x ) = q ′ ( x ) + q l +1 ◦ x l +1 где q ′ ( x ) = q + q ◦ x + ... + q l ◦ x l многочлен степени l . Так как произведение многочленов является би-линейным отображением, то r ( x ) = ( p n ◦ x n ) q ( x ) = ( p n ◦ x n )( q ′ ( x ) + q l +1 ◦ x l +1 )= ( p n ◦ x n ) q ′ ( x ) + ( p n ◦ x n )( q l +1 ◦ x l +1 ) (5.12) Согласно предположению индукции, степень многочлена ( p n ◦ x n ) q ′ ( x ) равна n + l , а также(5.13) r h = X i + j = h p i ⊗ q j i = n h = 0 , ..., n + l Согласно определению 5.5, степень многочлена ( p n ◦ x n )( q l +1 ◦ x l +1 ) равна k = n + ( l + 1) а также(5.14) r h = X i + j = h p i ⊗ q j i = n h = n + l + 1 Следовательно, утверждение теоремы верно для однородного много-члена p ( x ) = p n ◦ x n степени n и многочлена q ( x ) степени m = l + 1 .Следовательно, мы доказали следующую лемму. Лемма . Теорема 5.9 верна для произведения однородного много-члена p ( x ) и многочлена q ( x ) .Пусть теорема верна для многочлена p ( x ) степени n = l и многочлена q ( x ) степени m . Мы можем записать многочлен p ( x ) = p + p ◦ x + ... + p l ◦ x l + p l +1 ◦ x l +1 степени l + 1 в виде p ( x ) = p ′ ( x ) + p l +1 ◦ x l +1 где p ′ ( x ) = p + p ◦ x + ... + p l ◦ x l многочлен степени l . Так как произведение многочленов является билинейнымотображением, то r ( x ) = p ( x ) q ( x ) = ( p ′ ( x ) + p l +1 ◦ x l +1 ) q ( x )= p ′ ( x ) q ( x ) + ( p l +1 ◦ x l +1 ) q ( x ) (5.15)Согласно предположению индукции, степень многочлена r ′ ( x ) = p ′ ( x ) q ( x ) равна l + m , а также(5.16) r ′ h = X i + j = h p i ⊗ q j i < l + 1 h = 0 , ..., l + m Согласно лемме 5.11, степень многочлена r ′′ ( x ) = ( p l +1 ◦ x l +1 ) q ( x ) равна k = ( l + 1) + m а также(5.17) r ′′ h = X i + j = h p i ⊗ q j i = l + 1 h = 0 , ..., l + m + 1 Так как r ( x ) = r ′ ( x ) + r ′′ ( x ) то из определения 5.1 и из равенств (5.16), (5.17) следует, что(5.18) r h = X i + j = h p i ⊗ q j i ≤ l + 1 h = 0 , ..., l + m + 1 Следовательно, утверждение теоремы верно для многочлена p ( x ) степени n = l + 1 и многочлена q ( x ) степени m . (cid:3) Теорема 5.12. A -модуль A [ x ] , оснащённый произведением (5.10) является A -алгеброй, называемой A -алгеброй многочленов над D -алгеброй A .Доказательство. Следствие определений [7]-3.2.1, 5.5 и теоремы 5.9. (cid:3) Деление многочленов
В этом разделе мы будем предполагать, что алгебра A определена над полем F и является конечно мерной F -алгеброй. Пусть e - базис алгебры A надполем F и C kij - структурные константы алгебры A относительно базиса e .Рассмотрим линейное уравнение (6.1) a ◦ x = b Из доказательства теоремы 3.4, мы видим, что утверждения линейной алгебры в вектор-ном пространстве со счётным базисом отличаются от аналогичных утверждений в конечномерном векторном пространстве. Поэтому необходимо дополнительное исследование, преждечем мы можем сформулировать теоремы раздела 6 для F -алгебры со счётным базисом. Я рассматриваю решение уравнения (6.1) аналогично тому как я это сделал в разделе[5]-4. ногочлен над ассоциативной D -алгеброй 13 где a = a s · ⊗ a s · ∈ A ⊗ . Согласно теореме [4]-10.1.9 мы можем записатьуравнение (6.1) в стандартной форме(6.2) a ij e i xe j = ba ij = a s · i a s · j a s · = a s · i e i a s · = a s · i e i Согласно теореме [4]-10.1.10 уравнение (6.2) эквивалентно уравнению(6.3) a ji x i = b j a ji = a kr C pki C jpr x = x i e i b = b i e i Согласно теории линейных уравнений над полем, если определитель(6.4) det k a ji k 6 = 0 то уравнение (6.1) имеет единственное решение. Определение 6.1.
Тензор a ∈ A ⊗ называется невырожденным тензо-ром , если этот тензор удовлетворяет условию (6.4). (cid:3) Теорема 6.2.
Пусть F - поле. Пусть A - конечно мерная F -алгебра. Линейноеуравнение (6.5) a ◦ x = 0 где a = a s · ⊗ a s · ∈ A ⊗ . имеет корнем любое x ∈ A тогда и только тогда,когда (6.6) a s · k a s · r C pki C jpr = 0 Доказательство.
Согласно теореме [4]-10.1.9 мы можем записать уравнение(6.5) в стандартной форме(6.7) a ij e i xe j = 0 a ij = a s · i a s · j a s · = a s · i e i a s · = a s · i e i Согласно теореме [4]-10.1.10 уравнение (6.7) эквивалентно уравнению(6.8) a ji x i = 0 a ji = a kr C pki C jpr x = x i e i Для того, чтобы любое x ∈ A было корнем системы линейных уравнений (6.8),необходимо и достаточно, чтобы(6.9) a ji = 0 Из равенств (6.8), (6.9) следует, что(6.10) a kr C pki C jpr = 0 Равенство (6.6) является следствием равенств (6.7), (6.10). (cid:3)
Очень трудно сказать, может ли условие (6.6) быть верным в какой-то ал-гебре. Однако мы можем проанализировать частный случай теоремы 6.2.
Теорема 6.3.
Пусть F - поле. Пусть A - конечно мерная F -алгебра. Длятого, чтобы любое x ∈ A было корнем уравнения axb = 0 необходимо, чтобы a являлся левым делителем нуля F -алгебры A .Доказательство. Пусть в уравнении (6.5) s = 1 , a · = a , a · = b . Пусть e -базис F -алгебры A . Тогда равенство (6.6) примет вид(6.11) a k b r C pki C jpr = 0 Если мы предположим, что a известно, то мы можем рассматривать системууравнений (6.11) как систему линейных уравнений относительно координат b r .Число уравнений в системе линейных уравнений (6.11) равно числу неизвест-ных. Так как система линейных уравнений (6.11) имеет нетривиальное реше-ние, то(6.12) det k a k C pki C jpr k = 0 для любого r . Из равенства (6.12) следует, что(6.13) det k C jpr k det k a k C pki k = 0 Из равенства (6.13) следует, что либо(6.14) det k C jpr k = 0 либо(6.15) det k a k C pki k = 0 Пусть равенство (6.14) верно. Пусть e ∈ e , e = 1 . Тогда(6.16) e p = e p e = C jp e j Из равенства (6.14) следует, что существуют c p , c = 0 , такие, что(6.17) c p C jp = 0 Из равенств (6.16), (6.17), следует, что(6.18) c p e p = c p C jp e j = 0 Следовательно, векторы e k линейно зависимы. Из противоречия следует, чтов F -алгебре A с единицей равенство (6.14) неверно.Из равенства (6.15) и теоремы 3.9 следует, что a является левым делителемнуля. (cid:3) Пример 6.4.
Требование, что a является левым делителем нуля F -алгебры A , для того, чтобы любой x был корнем уравнения axb = 0 необходимо, но не достаточно.Рассмотрим, например, R -алгебру матриц n × n . Рассмотрим матрицы E ik = ( δ ij δ lk ) X = ( x ik ) Тогда E ij XE kl = ( δ ib δ aj x bc δ kd δ cl ) = ( δ aj x il δ kd ) = x il E kj ногочлен над ассоциативной D -алгеброй 15 Следовательно, многочлен p ( X ) = E ij XE kl обращается в тогда и только тогда, когда x il = 0 . (cid:3) Опираясь на утверждения, рассмотренные в этом разделе, можно предполо-жить, что однородный многочлен степени не равен тождественно . Однакоэто утверждение требует более детальный анализ.Очевидно, что теорема 5.9 важна. Напомню, что при доказательстве этойтеоремы мы предположили, что сомножители не являются делителями нуля. Однако, если старшие коэффициенты многочлена являются делителями нуля,то заключение теоремы может оказаться неверным.
Теорема 6.5.
Пусть A -число a является левым делителем нуля D -алгебры A . Пусть p ( x ) ∈ A [ x ] . Тогда многочлен p ( x ) a является левым делителемнуля A -алгебры A [ x ] .Доказательство. Так как p ( x ) ∈ A , то теорема является следствием теоремы3.6. (cid:3) Теорема 6.6.
Пусть a является правым делителем нуля D -алгебры A . Пусть b является левым делителем нуля D -алгебры A . Пусть ab = 0 . Тогда мно-гочлен ap ( x ) b является левым делителем нуля A -алгебры A [ x ] .Доказательство. Так как p ( x ) ∈ A , то теорема является следствием теоремы3.3. (cid:3) Теорема 6.7.
Пусть a ∈ A ⊗ - невырожденный тензор. Если равенство (6.2) рассматривать как преобразование алгебры A , то обратное преобразова-ние можно записать в виде (6.19) x = c pq e p be q где компоненты c pq удовлетворяют уравнению (6.20) δ r δ s = a ij c pq C rip C sqj Доказательство.
Теорема является следствием теоремы [5]-4.2. (cid:3)
Определение 6.8.
Пусть a ∈ A ⊗ - невырожденный тензор. Тензор a − = c pq e p ⊗ e q называется тензор, обратный тензору a . (cid:3) Теорема 6.9.
Пусть p ( x ) = p ◦ x - однородный многочлен степени и p -невырожденный тензор. Пусть r ( x ) = r + r ◦ x + ... + r k ◦ x k многочлен степени k . Тогда r ( x ) = r + q · p ( x ) q · + q · ( x ) p ( x ) q · + ... + q k · ( x ) p ( x ) q k · = r + ( q · ⊗ q · ) ◦ p ( x ) + ( q · ( x ) ⊗ q · ) ◦ p ( x )+ ... + ( q k · ( x ) ⊗ q k · ) ◦ p ( x ) (6.21) Смотри замечание 5.8.
Доказательство.
Согласно определениям 6.1, 6.8 и теореме 6.7, следующееравенство верно(6.22) p − ◦ p ( x ) = x Опираясь на теорему 5.7, мы можем записать многочлен r ( x ) в виде r ( x ) = r + r · · s ( xr · · s ) + ( r · · s ◦ x )( xr · · s )+ ... + ( r k · · s ◦ x k − )( xr k · · s )= r + r · · s ((1 ⊗ r · · s ) ◦ x ) + ( r · · s ◦ x )((1 ⊗ r · · s ) ◦ x )+ ... + ( r k · · s ◦ x k − )((1 ⊗ r k · · s ) ◦ x ) (6.23)где r = r · · s ⊗ (1 ⊗ r · · s ) r · · s ∈ A r · · s ∈ Ar = r · · s ⊗ (1 ⊗ r · · s ) r · · s ∈ A ⊗ r · · s ∈ A... ...r k = r k · · s ⊗ (1 ⊗ r k · · s ) r k · · s ∈ A ⊗ k r k · · s ∈ A Из равенств (6.22), (6.23) следует, что r ( x ) = r + r · · s ((1 ⊗ r · · s ) ◦ ( p − ◦ p ( x )))+ ( r · · s ◦ x )((1 ⊗ r · · s ) ◦ ( p − ◦ p ( x )))+ ... + ( r k · · s ◦ x k − )((1 ⊗ r k · · s ) ◦ ( p − ◦ p ( x )))= r + r · · s (((1 ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x ))+ ( r · · s ◦ x )(((1 ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x ))+ ... + ( r k · · s ◦ x k − )(((1 ⊗ r k · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x )) (6.24)Пусть(6.25) p − = p ′ · t ⊗ p ′ · t Тогда(6.26) (1 ⊗ r i · · s ) ◦ p − = (1 ⊗ r i · · s ) ◦ ( p ′ · t ⊗ p ′ · t ) = p ′ · t ⊗ p ′ · t r i · · s Из равенств (6.24), (6.26) следует, что r ( x ) = r + r · · s (( p ′ · t ⊗ p ′ · t r · · s ) ◦ p ( x ))+ ( r · · s ◦ x )(( p ′ · t ⊗ p ′ · t r · · s ) ◦ p ( x ))+ ... + ( r k · · s ◦ x k − )(( p ′ · t ⊗ p ′ · t r k · · s ) ◦ p ( x ))= r + ( r · · s ⊗ p ′ · t )( p ( x ) p ′ · t r · · s )+ (( r · · s ⊗ p ′ · t ) ◦ x )( p ( x ) p ′ · t r · · s )+ ... + (( r k · · s ⊗ p ′ · t ) ◦ x k − )( p ( x ) p ′ · t r k · · s ) (6.27) ногочлен над ассоциативной D -алгеброй 17 Положим(6.28) q · = r · · s ⊗ p ′ · t q · = p ′ · t r · · s q · ( x ) = ( r · · s ⊗ p ′ · t ) ◦ x q · = p ′ · t r · · s ... ... ... ...q k · ( x ) = ( r k · · s ⊗ p ′ · t ) ◦ x k − q k · = p ′ · t r k · · s Равенство (6.21) следует из равенств (6.27), (6.28). (cid:3)
Теорема 6.10.
Пусть (6.29) p ( x ) = p + p ◦ x - многочлен степени и p - невырожденный тензор. Пусть r ( x ) = r + r ◦ x + ... + r k ◦ x k многочлен степени k . Тогда r ( x ) = r − (( r · · s ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ p − ((( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ p − ... − ((( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ p − ) ◦ p + (( r · · s ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x )+ ((( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x )+ ... + ((( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x )= r − (( r · · s ⊗ r · · s + ( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s + ... + ( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ p − ) ◦ p + (( r · · s ⊗ r · · s + ( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s + ... + ( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ p − ) ◦ p ( x ) (6.30) Доказательство.
Из равенства (6.29) следует, что(6.31) p ◦ x = − p + p ( x ) Согласно определениям 6.1, 6.8 и теореме 6.7, из равенства (6.31) следует(6.32) p − ◦ ( − p + p ( x )) = x Опираясь на теорему 5.7, мы можем записать многочлен r ( x ) в виде r ( x ) = r + r · · s ( xr · · s ) + ( r · · s ◦ x )( xr · · s )+ ... + ( r k · · s ◦ x k − )( xr k · · s )= r + ( r · · s ⊗ r · · s ) ◦ x + (( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s ) ◦ x + ... + (( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ x (6.33) Формат равенства (6.30) отличается от формата равенства (6.21). Я просто хочу пока-зать, что мы можем использовать разные форматы для представления многочлена. где r = r · · s ⊗ (1 ⊗ r · · s ) r · · s ∈ A r · · s ∈ Ar = r · · s ⊗ (1 ⊗ r · · s ) r · · s ∈ A ⊗ r · · s ∈ A... ...r k = r k · · s ⊗ (1 ⊗ r k · · s ) r k · · s ∈ A ⊗ k r k · · s ∈ A Из равенств (6.32), (6.33) следует, что r ( x ) = r + ( r · · s ⊗ r · · s ) ◦ ( p − ◦ ( − p + p ( x )))+ (( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s ) ◦ ( p − ◦ ( − p + p ( x )))+ ... + (( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ ( p − ◦ ( − p + p ( x )))= r + (( r · · s ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ ( − p + p ( x ))+ ((( r · · s ◦ x ) ⊗ r · · s ) ◦ p − ) ◦ ( − p + p ( x ))+ ... + ((( r k · · s ◦ x k − ) ⊗ r k · · s ) ◦ p − ) ◦ ( − p + p ( x )) (6.34)Равенство (6.30) следует из равенства (6.34). (cid:3) Теорема 6.9 утверждает, что, для заданного однородного многочлена p ( x ) степени и заданного многочлена r ( x ) степени k , я могу представить мно-гочлен r ( x ) как сумму произведений многочлена p ( x ) на многочлены степенименьше чем k . Аналогичное утверждение в теореме 6.10 для заданного много-члена p ( x ) степени .Поскольку произведение в D -алгебре A некоммутативно, мы можем гово-рить, что многочлен p ( x ) является либо левым делителем многочлена r ( x ) ,если r ( x ) = p ( x ) q ( x ) либо правым делителем многочлена r ( x ) , если r ( x ) = q ( x ) p ( x ) Однако мы можем обобщить это определение.
Определение 6.11.
Многочлен p ( x ) называется делителем многочлена r ( x ) , если мы можем представить многочлен r ( x ) в виде(6.35) r ( x ) = q i · ( x ) p ( x ) q i · ( x ) = ( q i · ( x ) ⊗ q i · ( x )) ◦ p ( x ) (cid:3) Список литературы [1] Серж Ленг, Алгебра, М. Мир, 1968[2] Charles Lanski. Concepts In Abstract Algebra. American MathematicalSoc., 2005, ISBN 978-0534423230[3] А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, М., Наука, 1968[4] Александр Клейн, Лекции по линейной алгебре над телом,eprint arXiv:math.GM/0701238 (2010)[5] Александр Клейн, Линейное уравнение в конечномерной алгебре,eprint arXiv:0912.4061 (2010) ногочлен над ассоциативной D -алгеброй 19 [6] Александр Клейн, Матрица линейных отображений,eprint arXiv:1001.4852 (2010)[7] Александр Клейн, Линейные отображения свободной алгебры,eprint arXiv:1003.1544 (2010)[8] Александр Клейн, Производная Гато и интеграл над банаховой алгеб-рой,eprint arXiv:1006.2597 (2010)[9] Александр Клейн, Свободная алгебра со счётным базисом,eprint arXiv:1211.6965 (2012)[10] Aleks Kleyn, Introduction into Calculus over Division Ring.Clifford Analysis, Clifford Algebras and their applications, Vol 1, Issue 4,pages 291 - 355, 2012[11] Paul M. Cohn, Skew Fields, Cambridge University Press, 1995. Предметный указатель A -алгебра многочленов над D -алгеброй A A -число 2делитель многочлена 18делитель нуля 2коэффициент многочлена 8левый делитель нуля 2многочлен 8невырожденный тензор 13однородный многочлен степени n k . Специальные символы и обозначения A [ x ] A -алгебра многочленов над D -алгеброй A
8, 12 a − тензор, обратный тензору a A k [ x ] A -модуль однородныхмногочленов над D -алгеброй A6