Quantum Sine(h)-Gordon Model and Classical Integrable Equations
aa r X i v : . [ m a t h - ph ] M a r RU-NHETC-2010-10
Quantum Sine(h)-Gordon ModelandClassical Integrable Equations
S. L. Lukyanov and A. B. Zamolodchikov
NHETC, Department of Physics and AstronomyRutgers UniversityPiscataway, NJ 08855-0849, USAandL.D. Landau Institute for Theoretical PhysicsChernogolovka, 142432, Russia
Abstract
We study a family of classical solutions of modified sinh-Gordon equation, ∂ z ∂ ¯ z η − e η + p ( z ) p (¯ z ) e − η = 0 with p ( z ) = z α − s α . We show that certain connection coefficientsfor solutions of the associated linear problem coincide with the Q -function of the quantumsine-Gordon ( α >
0) or sinh-Gordon ( α < −
1) models.March 2010 ontents Q -function 8 θ asymptotic expansion and local IM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Local IM in quantum sine-Gordon model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 T -functions 17 Q ± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Fusion relations and Y -system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Basic properties of T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 α < − and quantum sinh-Gordon model 257 Discussion 29A Derivation of Eqs. (3.1) - (3.4) T and Q -operators in sine-Gordon model 32 B.1 T -operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32B.2 Q -operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 o the memory of Alyosha Zamolodchikov In over three decades of study of quantum integrable systems, a remarkable (and largely mysterious)relation to classical integrable equations was observed in a number of different contexts. The firstsuch relation was discovered long ago by Barouch, Tracy, and McCoy [1], who have derived the spin-spin correlation function in the Ising Field Theory in terms of special Painlev´e III transcendent,i.e. the solution of the differential equation,d f d τ + 1 τ d f d τ −
12 sinh(2 f ) = 0 (1.1)which decays at τ → ∞ and is singular as − log( − τ log τ ) at τ →
0. The derivation relies on thefree-field nature of the Ising Field Theory, and it is still unknown if this powerful result can begeneralized in any simple way to interacting integrable quantum field theories.However, relation to classical integrable equation has surfaced later in analysis of the diluteself-avoiding polymer problem [2, 3], which is related to quantum sine-Gordon model at specialvalue of the coupling parameter. It was found that the off-critical partition function of a self-avoiding polymer loop on an infinite cylinder is expressed exactly through another solution of thesame Painlev´e III equation (1.1), this time with the singularity − log t + O (1) at small t . Thiselegant result can be attributed to supersymmetry of the problem – it can be reformulated in termsof quantum sine-Gordon model at special value of its coupling constant ( β = in (1.2) below),where it exhibits N = 2 supersymmetry. Indeed, the derivation in [4] has its roots in deep analysisof 2D N = 2 supersymmetric field theories [5]. At the same time, the finite-size partition functionis generally much simpler object as compared to the correlation functions. In particular, TBAtechnique [7] can be employed to determine this quantity in any integrable quantum field theory(supersymmetric or not) as long as its S-matrix is known [8]. Therefore one may expect that somemore or less direct extension of the results of [2, 3] to generic integrable theories is possible.In this paper we propose such extension to the case of the quantum sine-Gordon model L = 116 π h ( ∂ t ϕ ) − ( ∂ x ϕ ) i + 2 µ cos ( βϕ ) (1.2)at generic values of the coupling parameter β <
1. Here µ sets the mass scale, µ ∼ [ mass ] − β .We will consider the theory in finite-size geometry, with the spatial coordinate x in ϕ = ϕ ( x, t )compactified on a circle of a circumference R , with the periodic boundary conditions ϕ ( x + R, t ) = ϕ ( x, t ) . (1.3)Due to the periodicity of the potential term 2 µ cos( βϕ ) in (1.2) in ϕ , the space of states H splitsinto orthogonal subspaces H k , characterized by the “quasi-momentum” k , ϕ → ϕ + 2 π/β : | Ψ k i → e π i k | Ψ k i (1.4)for | Ψ k i ∈ H k . We call k -vacuum the ground-state of the finite-size system (1.2) in the sector H k .The quantum field theory (1.2) is integrable, in particular it has infinite set of commuting localIntegrals of Motion (IM) I n − , ¯ I n − , 2 n = 2 , , , . . . being the Lorentz spins of the associatedlocal densities [6]. Of primary interest are the k -vacuum eigenvalues I n − ( k | R ) , ¯ I n − ( k | R ),especially the k -vacuum energy I + ¯ I . In principle, these quantities are accessible through the2hermodynamic Bethe Ansatz (TBA) technique, but the most efficient approach is the Destri-DeVega (DDV) equation [9, 10] (Similar equation was earlier derived in the lattice XXZ -model inRef. [11]). The later determines the so-called Q -function Q ( θ, k | R ), whose asymptotic expansionsat θ → + ∞ and θ → −∞ generate the eigenvalues I n − and ¯ I n − (along with the eigenvalues ofthe nonlocal integrals of motion of Ref. [12]), respectively. Remarkable observation of [2, 3] is thatat the special value β = these essentially quantum characteristics can be related to the solutionof the classical nonlinear differential equation (1.1).Equation (1.1) of course is the radial equation for rotationally symmetric solutions of 2D sinh-Gordon equation. We will argue that for generic β similar relation exists to the classical ModifiedSinh-Gordon equation (MShG) ∂ z ∂ ¯ z η − e η + p ( z ) p (¯ z ) e − η = 0 (1.5)with the functions p ( z ) of the form p ( z ) = z α − s α . (1.6)Here α and s are real, positive parameters , related to the parameters β , µ in (1.2) as follows α = β − − , s = (cid:16) Rπβ (cid:17) β (cid:20) µπ Γ(1 − β )Γ( β ) (cid:21) β − β , (1.7)but z, ¯ z are formal variables, not related to the space-time coordinates ( x, t ) in (1.2). Equation (1.5)with general p ( z ) is well known in differential geometry (see [13] for review). The same equationwith polynomial p ( z ) has emerged lately in different contexts in SUSY gauge theories [14–18], andthese later papers have inspired to large extent the work presented here.Obviously, MShG equation in general has no rotational symmetry. Instead, it has discretesymmetry z → e i πα z , ¯ z → e − i πα ¯ z . (1.8)We will consider solutions of MShG equation (1.5) which respect this symmetry, continuous at allfinite nonzero z, ¯ z , and grow slower then exponential at z, ¯ z → ∞ (precise conditions are listed inSection 2). There is one-parameter set of such solutions, characterized by the behavior η → l log( z ¯ z )at z, ¯ z →
0, with real l ∈ [ − , ] which will turn out to be related to the quasi-momentum as l = 2 | k | − . (1.9)As is well known, the MShG equation is integrable, and the associated linear problem has theform [19] D Ψ = 0 , ¯ D Ψ = 0 , (1.10)where D , ¯ D are components of sl (2) connection D = ∂ z + ∂ z η σ − e θ (cid:2) σ + e η + σ − p ( z ) e − η (cid:3) , (1.11)¯ D = ∂ ¯ z − ∂ ¯ z η σ − e − θ (cid:2) σ − e η + σ + p (¯ z ) e − η (cid:3) , In fact, for technical reasons in this work we limit our attention to the case α ≥
1, which corresponds to β ≤ in (1.2). However, our main results remain valid at any positive α . σ a are the usual Pauli matrices, i.e., σ = (cid:18) − (cid:19) , σ + = (cid:18) (cid:19) , σ − = (cid:18) (cid:19) . θ . The Q -function of the quantum sine-Gordon model (1.2) willbe related to connection coefficients for certain solution of the linear problem (1.10). Thereforeour result can be regarded as generalization to µ = 0 of the relation [20] between the integrablestructures of CFT [21–23] and spectral characteristics of linear ordinary differential equations [24,25]. Indeed, our derivation follows very closely the analysis in [26]. The novel feature of the massivecase is that the coefficients in the linear problem are not elementary functions but rather solutionsof integrable nonlinear partial differential equation (1.5).Similar relation exists between certain solution of the MShG equation (1.5), with p ( z ) of thesame form (1.6) but this time with α < − α = − b − − , s = (cid:16) Rπb (cid:17) − b (cid:20) − µπ Γ(1 + b )Γ( − b ) (cid:21) b b (1.12)and the vacuum Q -function of the quantum sinh-Gordon model L = 116 π h ( ∂ t ϕ ) − ( ∂ x ϕ ) i − µ cosh ( bϕ ) , (1.13)where again the spatial finite size geometry (1.3) is assumed. Of course, physical content of thequantum sinh-Gordon model is much different from the sine-Gordon model (1.2). In particular,(1.13) has unique vacuum. Correspondingly, the MShG equation (1.5) with α < − z, ¯ z . The vacuum Q -function of (1.13) [27–29] willbe related to the linear problem (1.10) associated with this unique solution.The paper is organized as follows. In Section 2 we discuss the MShG equation with α > Q + ( θ ) , Q − ( θ ) as certain connectioncoefficients. In Section 3 we describe how the function Q ( θ, k ) is constructed out of these coefficients,and list its basic properties. In particular, we show that it is determined by unique solutionof complex nonlinear integral equation identical to DDV equation, and thus coincides with thevacuum Q -function of the sine-Gordon model. We also establish relation between the classical localIM of MShG, and vacuum eigenvalues of the quantum IM of the sine-Gordon model. In Section 4we define the functions T j ( θ, k ) in terms of the monodromy of the linear problem (1.10), and showthat they coincide with the vacuum T -functions of the model (1.2). In particular, at integer valuesof 2 α these functions can be determined through the finite system of TBA equations, which werepreviously derived in similar context in [14–18]. The relation is similar to that described in Ref. [30]in the massless case. Section 5 is devoted to analysis of the inverse scattering problem in (1.10). Inparticular, we present explicit series-like representation of the solution η . MShG with α < −
1, andits relation to the quantum sinh-Gordon model (1.13), is discussed in Section 6.
Although generally z and ¯ z in (1.5) can be regarded as independent complex variables, in thepresent discussion we usually (but not always) assume them to be complex coordinates on 2D realspace. Thus, η in (1.5) is assumed to be a function of two real variables, η = η ( ρ, φ ), the polarcoordinates associated with ( z, ¯ z ), z = ρ e i φ , ¯ z = ρ e − i φ . (2.1)We consider special family of solutions of (1.5), parameterized by real l ∈ (cid:2) − , (cid:3) , defined by thefollowing properties: 4 ) Periodicity η (cid:0) ρ, φ + πα (cid:1) = η ( ρ, φ ) . (2.2)In other words, the solutions η ( ρ, φ ) are single-valued functions on a cone with the apex angle πα , C πα : φ ∼ φ + πα , ≤ ρ < ∞ . (2.3) ii ) η ( ρ, φ ) are real-valued and finite everywhere on the cone C πα , except for the apex ρ = 0. iii ) Large- ρ asymptotic form η ( ρ, φ ) = α log ρ + o (1) as ρ → ∞ . (2.4) iv ) ρ → η ( ρ, φ ) = ( l log ρ + O (1) for | l | < ± log ρ + O (cid:0) log( − log ρ ) (cid:1) for l = ± as ρ → . (2.5)Unless specified otherwise, we will describe the cone (2.3) by the chart, M (0) z : − π α ≤ φ ≤ π α , ≤ ρ < ∞ (2.6)with the rays φ = − π α and φ = π α identified. We assume that solution satisfying conditions i )- iv )is unique, and hence respects all symmetries of Eq.(1.5). In particular, η ( ρ, φ ) = η ( ρ, − φ ) . (2.7)Starting from the asymptotic form (2.5) one can develop z, ¯ z → η = l log( z ¯ z ) + η + ∞ X k =1 γ k (cid:0) z αk + ¯ z αk (cid:1) (2.8) − s α e − η (1 − l ) ( z ¯ z ) − l + e η (1 + 2 l ) ( z ¯ z ) l + . . . , where η and γ k are integration constants. It is easy to see that the coefficients in all omittedterms in this expansion are uniquely determined once these integration constants are given. Onthe other hand, η and γ k are not new parameters of the solution; they have to be determined fromconsistency of this expansion with the remaining conditions i )- iii ). We will give explicit form ofthe constant η in Section 3 below (see Eqs.(3.14), (3.40)).The expansion (2.8) remains valid if we regard z and ¯ z as independent complex variables. Forour analysis, the most important message from (2.8) is that in the “light-cone” limit ¯ z → z ) η → l log( z ¯ z ) + η + γ ( z ) , (2.9)where γ ( z ) = P ∞ k =1 γ k z αk decays as γ ( z ) ∼ z α (2.10)at small z . 5lthough the solution η ( ρ, φ ) is a single-valued functions on the cone (2.3), the connection(1.11) is not. Instead, the linear problem (1.10) is invariant with respect to the operationˆΩ : φ → φ + πα , θ → θ − i πα , (2.11)involving the shift of the spectral parameter θ . Another easily established symmetry of this linearproblem involves the operation ˆΠ : θ → θ − i π , (2.12)which transforms the connection (1.11) asˆΠ[ D ] = σ D σ , ˆΠ[ ¯ D ] = σ ¯ D σ . (2.13)Motivated by these mutually commuting symmetries, we define two solutions Ψ ± = Ψ ± ( ρ, φ | θ ) ofthe linear problem (1.10) uniquely specified by their asymptotic behavior Ψ + → p cos( πl ) (cid:18) (i φ + θ ) l (cid:19) , Ψ − → p cos( πl ) (cid:18) e − ( θ +i φ ) l (cid:19) as ρ → . (2.14)In writing (2.14) we have assumed that | l | < . In the analysis below we usually adopt thislimitation, and treat the case | l | = by continuity. Using Eqs.(2.11)-(2.14), and the fact that atreal θ ¯ D ( θ ) = σ D ∗ ( − θ ) σ , (2.15)where the star denotes complex conjugation and σ = σ + + σ − , it is straightforward to establishthe following properties of these solutions: • Ψ ± ( ρ, φ | θ ) are entire functions of θ for arbitrary real φ and ρ > • ˆΩ-invariance: Ψ ± (cid:0) ρ, φ + π α | θ − i π α (cid:1) = Ψ ± ( ρ, φ − π α | θ + i π α ) . (2.16) • ˆΠ-transformation Ψ + ( ρ, φ | θ ± i π ) = − e ± i πl σ Ψ + ( ρ, φ | θ ) , (2.17) Ψ − ( ρ, φ | θ ± i π ) = e ∓ i πl σ Ψ − ( ρ, φ | θ ) . • Normalization condition det( Ψ + , Ψ − ) = − πl ) . (2.18)Here and below ( Ψ + , Ψ − ) stands for the 2 × Ψ + and Ψ − . • For real θ Ψ ∗± ( ρ, φ | θ ) = σ Ψ ∓ ( ρ, φ | − θ ) , (2.19)and Ψ ∗± ( ρ, | θ ) = Ψ ± ( ρ, | θ ) . (2.20)6ote also that for l → ± : lim l →± (cid:2) cos( πl ) ( Ψ + − Ψ − ) (cid:3) = 0 . (2.21)The above solutions Ψ ± are specified by their ρ → ρ the WKB analysis applies. Assuming that θ is real, it is straightforward to show that whilegeneric solution of (1.10) grows exponentially at ρ → ∞ , there is a solution which decays in thewedge − π α +1) ≤ φ ≤ π α +1) . (2.22)We denote this decaying solution as Ξ = Ξ ( ρ, φ | θ ). It is uniquely specified by the asymptoticcondition Ξ ( ρ, φ | θ ) → E − ( ρ, φ | θ ) as ρ → + ∞ , (2.23)where E − is the shorthand for the decaying exponential E − = e − i αφ − e i αφ ! exp (cid:20) − ρ α +1 α + 1 cosh( θ + i( α + 1) φ (cid:1) (cid:21) . (2.24)Since Ψ ± form a basis in the space of solutions of linear problem (1.10), we have linear relation Ξ = Q − ( θ ) Ψ + + Q + ( θ ) Ψ − , (2.25)where the coefficients Q ± ( θ ) (of course independent of the variables ρ, φ ) are functions of thespectral parameter θ as well as the parameter l (the last argument is temporarily omitted in theabove notations). These coefficients are to be related to the Q -function of the quantum sine-Gordonmodel (1.2).As is well known, the matrix linear problem (1.10) can be reduced to second order lineardifferential equations. One can write general solution of (1.10) as Ψ = e θ e η ψ e − η e − θ ( ∂ z + ∂ z η ) ψ ! = e − η e θ ( ∂ ¯ z + ∂ ¯ z η ) ¯ ψ e η e − θ ¯ ψ ! , (2.26)where ψ and ¯ ψ solve the equations (cid:2) ∂ z − u ( z, ¯ z ) − e θ p ( z ) (cid:3) ψ = 0 , (2.27) (cid:2) ∂ z − ¯ u ( z, ¯ z ) − e − θ p (¯ z ) (cid:3) ¯ ψ = 0 , (2.28)with u ( z, ¯ z ) = ( ∂ z η ) − ∂ z η , ¯ u ( z, ¯ z ) = ( ∂ ¯ z η ) − ∂ z η . (2.29)This form is convenient for making connection to the analysis in Ref. [26] which emerges atsmall s and large θ . Concentrating attention on (2.27), consider first the light cone limit ¯ z → η assumes the form (2.9). After that, the limit z ∼ s → , θ → + ∞ can be taken, with thecombinations x = e θ α z , E = s α e θα α , (2.30)7ept finite. Then the term γ ( z ) in (2.9) can be dropped, and (2.27) reduces to the Schr¨odingerequation (cid:20) − ∂ x + l ( l + 1) x + x α (cid:21) ψ = E ψ . (2.31)In this double limit the solutions Ψ ± assume asymptotic form Ψ + → e αθ (2 l +1)2( α +1) (2 l + 1) p cos( πl ) ( z ¯ z ) l e θα α +1) ψ + ( x )( z ¯ z ) − l e − αθ α +1) ( ∂ x + lx ) ψ + ( x ) , Ψ − → e − αθ (2 l +1)2( α +1) p cos( πl ) ( z ¯ z ) l e θα α +1) ψ − ( x )( z ¯ z ) − l e − αθ α +1) ( ∂ x + lx ) ψ − ( x ) , (2.32)where ψ ± are unique solutions of the above Schr¨odinger equation (2.31) defined for | l | < by their x → ψ + → x l +1 , ψ − → x − l . The equation (2.25) then reduces to χ = Q (cft) − ( θ − θ s ) ψ + + Q (cft)+ ( θ − θ s ) ψ − , (2.33)where χ is the decaying solution of (2.31), defined by the asymptotic condition χ → x − α exp h − x α +1 α + 1 + O (cid:0) x − α (cid:1) i as x → + ∞ , (2.34)and θ s = − ( α + 1) log( s ). The coefficients Q (cft) ± ( θ ) coincide with the Q -functions (the vacuumeigenvalues of the operators Q ± ( θ ) defined in [22, 23]) of the left-moving chiral sector of the CFTemerging in the massless case µ = 0 in (1.2). The proof of this statement is given in Ref. [26].Eq.(2.25) generalizes (2.33) to the massive case µ = 0. Q -function The following properties are established by arguments nearly identical to those presented in Ref. [26](For completeness we sketch the derivations in Appendix A) • Q ± ( θ ) are entire, quasiperiodic functions of θ , Q ± (cid:0) θ + i π + i π α (cid:1) = e ± i π ( l + ) Q ± (cid:0) θ − i π − i π α (cid:1) . (3.1) • At real θ Q ∗± ( θ ) = Q ± ( θ ) , Q ± ( θ ) = Q ∓ ( − θ ) . (3.2) Of course the Q -functions of the right-moving sector show up in the opposite double limit z → z ∼ s ≫ z, θ → −∞ in (2.28). Q ± ( θ ) satisfy the Quantum Wronskian relation Q + ( θ + i π α ) Q − ( θ − i π α ) − Q + ( θ − i π α ) Q − ( θ + i π α ) = −
2i cos( πl ) . (3.3) • lim l →± Q + ( θ ) = lim l →± Q − ( θ ) . (3.4)We now define the function Q ( θ, k ) of complex θ and real k as follows. For k ∈ ( − , ) \ Q ( θ, k ) := Q + ( θ ) (cid:12)(cid:12) l =2 k − for 0 < k < Q − ( θ ) (cid:12)(cid:12) l = − k − for − < k < . (3.5)Due to the property (3.4) this definition extends to k = 0 , k = ± by continuity, and then admitscontinuous periodic extension to all real k by Q ( θ, k ) = Q ( θ, k + 1) . (3.6)Thus defined, Q ( θ, k ) is entire function of θ , satisfying Q (cid:0) θ + i π ( α +1) α , k (cid:1) = e π i k Q (cid:0) θ, k ) , (3.7) Q ∗ ( θ, k ) = Q ( θ ∗ , k ) , Q ( − θ, k ) = Q ( θ, − k ) , (3.8)and Q ( θ + i π α , k ) Q ( θ − i π α , − k ) − Q ( θ − i π α , k ) Q ( θ + i π α , − k ) = −
2i sin(2 πk ) . (3.9)To fix the function Q ( θ, k ) uniquely, we will need two additional analytic properties. Oneconcerns with the asymptotic behavior at |ℜ e ( θ ) | → ∞ , another determines the general pattern ofzeros of this function in the complex θ -plane. Due to the quasi-periodicity (3.7) one can concentrateattention on the strip H : (cid:12)(cid:12) ℑ m ( θ ) (cid:12)(cid:12) ≤ π ( α +1)2 α . (3.10)Define also H + : 0 < ℑ m ( θ ) < π (1+ α ) α ; H − : − π (1+ α ) α < ℑ m θ < . (3.11)Then • For real k and α − = 1 , , . . . , Q → e ± i πk S exp (cid:20) r e θ ∓ i π (1+ α )2 α π α ) (cid:21) (cid:16) θ ∈ H ± , ℜ e ( θ ) → + ∞ (cid:17) (3.12) Q → e ± i πk S − exp (cid:20) r e − θ ± i π (1+ α )2 α π α ) (cid:21) (cid:16) θ ∈ H ± , ℜ e ( θ ) → −∞ (cid:17) . Our analysis in subsections 3.2, 3.3 suggests that Q ( θ, k ) is in fact analytic at all real k . r = B s α , B = 2 √ π Γ(1 + α )Γ( + α ) , (3.13)and S is related to the constant η in Eq. (2.8) as follows: S = Γ(2 k )Γ(1 − k ) 2 k − e η (0 ≤ k < ) . (3.14) S = S ( k ) is a real function of real variable k , such that S ( k ) S ( − k ) = 1 , S ( k + 1) = S ( k ) . (3.15) • For any real k , all the zeros of Q ( θ, k ) in the strip H are real, simple, and accumulate towards θ → ±∞ . Let ǫ ( θ ) = i log " Q (cid:0) θ + i πα , k (cid:1) Q (cid:0) θ − i πα , k (cid:1) , (3.16)where the branch of the log is fixed by the condition ǫ ( θ ) − r e θ π α ) → − π k for ℜ e ( θ ) → + ∞ and |ℑ m ( θ ) | < π . (3.17)Then the zeros θ n can be labeled by consecutive integers n = 0 , ± , ± , . . . , so that θ n <θ n +1 , and ǫ ( θ n ) = π (2 n + 1) . (3.18)The asymptotics (3.12) can be established through straightforward WKB analyses of the lineardifferential equations (1.10). The second property is derived in the next subsection. Consider first the limit of small s . Due to the relations (3.6) and (3.8) we can assume, withoutloose of generality, that 0 ≤ k ≤ . In this case the problem reduces to Schr¨odinger equation(2.31), and the limiting pattern of zeros of Q ( θ, k ) can be read out from the pattern of zeros of Q (cft) ± ( θ ), which is relatively well understood [22, 26]. Simple analysis shows that in this case thezeros { θ n } split into two widely separated groups, the “positive” zeros { θ n }| ∞ n =0 , and the “negative”zeros { θ − n − }| ∞ n =0 . The limiting behavior of the positive zeros follows from Eqs.(2.30)-(2.33), s α e αθnα +1 → E n ( l ) , (3.19)where (cid:8) E n ( l ) (cid:9)(cid:12)(cid:12) ∞ n =0 are eigenvalues of Schr¨odinger operator (2.31) associated with the spectral prob-lem ψ → x l +1 as x → ψ → x → + ∞ , l = 2 k − . If l > − the spectral problem (2.31), (3.20) corresponds to self-conjugatedSchr¨odinger operator, and the associated eigenvalues are non-degenerate and positive. In fact, it ispossible to show that (cid:8) E n ( l ) (cid:9) ∞ n =0 is a family of meromorphic functions of complex l . Furthermore,they are analytic in the strip ℜ e ( l ) ≥ − and E n ( l ) > l > − . At l = − we have E ( − ) = 0, while all higher E n ( l ) ( n = 1 , . . . ) remain positive. Therefore at s → k ∈ (cid:2) , (cid:3) , includingthe ends of the segment.The limiting behavior of the negative zeros is slightly more delicate, but still can be describedby equation similar to (3.19), s α e − αθ − n − α +1 → E n ( − − l ) . (3.21)Here the argument − − l belongs to the segment (cid:2) − , − (cid:3) , where E n ( − − l ) are understood asthe analytic continuations from the domain ℜ e ( l ) > . It is important that all E n ( − − l ) remainstrictly positive, except for E ( − − l ), which turns to zero at l = . Thus the limiting behavior ofthe negative zeros is similar to the positive ones, i.e. they are also real and simple. If s is smallbut finite, at k → the single zero θ − leaves the group of negative zeroes and travels towardthe positive ones. In the process, θ − remains real for any 0 ≤ k < , since Q ( θ, k ) is a realanalytic function. For k = and arbitrary s > θ − ∼
1, and hence it still formally obeysEq.(3.21).By continuity in s (which we assume) this pattern of well separated groups of positive andnegative zeros persists for sufficiently small values of this parameter. While exact locations of thezeros change with s , no additional zeros can be generated, since this would violate the asymptoticsform (3.12), which is valid for any s . One can define two positive and non-degenerate sets ofnumbers (cid:8) E n ( ± k ) (cid:9) | ∞ n =0 bye αθnα +1 = ( s − α E n ( k ) , n ≥ s α E − − n − ( − k ) , n < . (3.22)In the domain 0 ≤ k ≤ , at s → (cid:8) E n (+ k ) (cid:9) | ∞ n =0 and (cid:8) E n ( − k ) (cid:9) | ∞ n =0 converge to (cid:8) E n (cid:0) k − (cid:1)(cid:9) | ∞ n =0 and (cid:8) E n ( − k − (cid:1)(cid:9) | ∞ n =0 , respectively. But at any s we have E n ( ± k ) → (cid:0) πB (2 n ± k + 1) (cid:1) αα +1 (cid:0) o (1) (cid:1) as n → + ∞ , (3.23)where the constant B is given by (3.13). This follows from the asymptotic (3.12). The entirefunction Q ( θ, k ) can be represented as the product over its zeros. Thus, for α > Q ( θ, k ) = C ( k ) e kαθα +1 ∞ Y n =0 (cid:18) − s α e αθα +1 E n ( k ) (cid:19) (cid:18) − s α e − αθα +1 E n ( − k ) (cid:19) , (3.24)where C ( k ) is some θ -independent factor. For 0 < α ≤ E n ( k + 1) = E n +1 ( k ) , E ( − k − E ( k ) = s α (3.25)and C ( k ) = − s − α E ( k ) C ( k + 1) , C ( k ) = C ( − k ) . (3.26)11he overall normalization factor C in (3.24) and the “reflection S -matrix” (3.14), (3.15) also canbe represented as the convergent products C ( k ) = ( − [ k ] αα +1 ∞ Y n =0 p E n ( k ) E n ( − k ) (cid:0) πB (2 n + 1) (cid:1) − αα +1 (3.27)and S ( k ) = (cid:18) r e γ E π (cid:19) − kαα +1 ∞ Y n =0 E n ( − k ) E n ( k ) e k α ( α +1)( n +1) , (3.28)where [ k ] is an integer part of real number k , γ E is the Euler constant, and we use r from (3.13).The Quantum Wronskian relation (3.9) shows that at any real zero θ n e − i ǫ ( θ n ) = − , (3.29)where ǫ ( θ ) is defined in (3.16). Hence, ǫ ( θ n )i π is an odd integer number which, by continuity, cannotchange when one changes s . Therefore these numbers can be extracted from the limit s → s .Since τ ( θ ) = ǫ ( θ )2 π + k is real valued, monotonically increasing function of the real variable θ , onecan introduce the inverse function θ ( τ ), which has the properties θ ( τ ) = − θ ( − τ ) (cid:0) ℑ m ( τ ) = 0 (cid:1) (3.30) θ ( τ ) → log (cid:16) πτr (cid:17) as τ → + ∞ . Then, E ( k ) = s α exp h αα +1 θ (2 k + 1) i , (3.31)and E n ( k ) = E ( k + n ) , E n ( − k ) = s α E ( k − n −
1) ( n = 0 , . . . ) . The quasiperiodic entire function Q ( θ, k ) is completely determined by its zeros θ n in the strip (3.10),and the asymptotic condition (3.12). On the other hand, the positions of the zeros θ n are restrictedby the equation (3.18). Mathematically, the problem of reconstructing the function Q ( θ, k ) fromthis data has emerged long ago in the context of the analytic Bethe ansatz [32–35]. For the sine-Gordon model (1.2), the problem was solved by Destri and De Vega [9], who have reduced it to asingle complex integral equation, the DDV equation.Starting with the equations (3.24), (3.18), (3.12), and following the steps outlined in [9–11], onecan derive the equation Z ∞−∞ d θ ′ ℑ m h log (cid:16) − i ǫ ( θ ′ − i0) (cid:17) i G ( θ − θ ′ ) = r sinh( θ ) − πk − ǫ ( θ ) , (3.32) To be precise, the derivation in [9,10] goes through the analysis of discretized version of the sine-Gordon system,where the analytic properties of the counting function are somewhat different, with the continuous limit taken at theend. Only minor adjustment of the DDV arguments are needed in the present context, see [22]. G ( θ ) = Z ∞−∞ d ν π e i θν sinh (cid:0) πν (1 − α )2 α (cid:1) (cid:0) πν (cid:1) sinh (cid:0) πν α (cid:1) , (3.33)and r is given by (3.13).Equation (3.32) coincides exactly with the DDV equation for the sine-Gordon model (1.2) ifone sets α = β − − , r = M R , (3.34)where [36] M = 2 Γ (cid:0) β − β (cid:1) √ π Γ (cid:0) − β (cid:1) (cid:20) πµ Γ(1 − β )Γ( β ) (cid:21) − β (3.35)is the sine-Gordon soliton mass, and identifies k with the sine-Gordon quasi-momentum. Weconclude that the function Q ( θ, k ), defined in terms of the coefficients in (2.25) as in Eq.(3.5),coincides with the Q -function [32, 33, 37–39] of the quantum sine-Gordon model.Few remarks about the equation (3.32) are worth making. Note that at α = 1 the kernel G ( θ )vanishes at all θ . In this case the solution of the DDV equation takes simple form ǫ ( θ ) | α =1 = πs sinh( θ ) − πk . (3.36)One can use (3.36) to obtain explicit form for E ( k ) (3.31) in this case, E ( k ) | α =1 = 2 k + 1 + p (2 k + 1) + s . (3.37)For general α >
1, Eqs.(3.16) and (3.12) allow one to reconstruct the Q -function. In particular for ℑ m ( θ ) = π ( α +1)2 α (i.e. at the middle of the strip H + (3.11)) Q ( θ, k ) is expressed in terms of thesolution of DDV equation as follows:log Q (cid:0) θ + i π ( α +1)2 α , k (cid:1) = r cosh( θ )2 cos( π α ) + i πk + log( S ) (3.38)+2i Z ∞−∞ d θ ′ ℑ m (cid:20) log (cid:16) − i ǫ ( θ ′ − i0) (cid:17) F ( θ ′ − θ − i0) (cid:21) (cid:0) ℑ m ( θ ) = 0 (cid:1) . Here, F ( θ ) = Z ∞−∞ d ν π e i νθ (cid:0) πν (cid:1) sinh (cid:0) π ( ν − i0)2 α (cid:1) , (3.39)and log( S ) = α Z ∞−∞ d θπ ℑ m h log (cid:16) − i ǫ ( θ − i0) (cid:17) i . (3.40)Once ǫ ( θ ) is determined at real values of θ , Eq.(3.38) can be modified to yield the Q -function in thewhole strip H + , and then by (3.1) in the whole complex plane. For 0 < α ≤ .4 Large- θ asymptotic expansion and local IM Using (3.38) it is straightforward to obtain the large- θ asymptotic expansion of the Q -function. For (cid:12)(cid:12) ℑ m ( θ ) (cid:12)(cid:12) < π ( α +1)2 α we havelog Q (cid:0) θ + i π ( α +1)2 α (cid:12)(cid:12) k (cid:1) ∼ r e θ π α ) + i πk + log( S ) − (3.41) ∞ X n =1 I n − e − (2 n − θ + ∞ X n =1 G n e − αnθ as ℜ e ( θ ) → + ∞ , and log Q (cid:0) θ + i π ( α +1)2 α (cid:12)(cid:12) k (cid:1) ∼ r e θ π α ) + i πk − log( S ) − (3.42) ∞ X n =1 ¯ I n − e (2 n − θ + ∞ X n =1 ¯ G n e αnθ as ℜ e ( θ ) → −∞ . Here we use the notations, I n − = − r δ n, π α ) + ( − n +1 sin( π (2 n − α ) Z ∞−∞ d θπ ℑ m h e (2 n − θ − i0) log (cid:0) − i ǫ ( θ − i0) (cid:1) i G n = α ( − n cos( παn ) Z ∞−∞ d θπ ℑ m h e αn ( θ − i0) log (cid:0) − ǫ ( θ − i0) (cid:1) i , (3.43)and ¯ I n − = − r δ n, π α ) − ( − n +1 sin( π (2 n − α ) Z ∞−∞ d θπ ℑ m h e − (2 n − θ − i0) log (cid:0) − i ǫ ( θ − i0) (cid:1) i ¯ G n = − α ( − n cos( παn ) Z ∞−∞ d θπ ℑ m h e − αn ( θ − i0) log (cid:0) − ǫ ( θ − i0) (cid:1) i . (3.44)On the other hand, the asymptotic expansions (3.41) and (3.42) can be obtained directly fromthe WKB expansion for the linear differential equations (1.10). To simplify calculations, it isconvenient to trade the variable z to w = Z d z p p ( z ) , (3.45)and similarly for ¯ w . As is well known, this transformation brings MShG equation (1.5) to theconventional Sinh-Gordon (ShG) equation ∂ w ∂ ¯ w ˆ η − e η + e − η = 0 (3.46)for ˆ η = η − log ( p ¯ p ) , (3.47)with p = p ( z ) , ¯ p = p (¯ z ) . (3.48)14n what follows, we will assume that ¯ w = w ∗ , and choose the branch of p p ( z ) in (3.45) which ispositive at the upper edge of the branch cut in Fig.1.Using the standard technique [19] for the large- θ expansion, one can find explicit expressionsfor the coefficients I n +1 , G n and ¯ I n +1 , ¯ G n as the functionals of ˆ η . The coefficients I n +1 and¯ I n +1 appear as local functionals, i.e. the integrals of local densities, I n − = 12(2 n −
1) sin( π (2 n − α ) Z C w h d w ˆ P n + d ¯ w ˆ R n − i (3.49)and ¯ I n − = 12(2 n −
1) sin( π (2 n − α ) Z ¯ C w h d ¯ w ˆ¯ P n + d w ˆ¯ R n − i . (3.50)The integration contour C w here is a w -image of the contour C z in the z -plane shown on Fig.1,while ¯ C w = C ∗ w . The functions ( ˆ P n , ˆ R n − ) and ( ˆ¯ P n , ˆ¯ R n − ) = ( ˆ P ∗ n , ˆ R ∗ n − ) are conventional C z z Figure 1: The chart M (0) z , and the integration contour C z in Eq.(3.58).tensor densities of the local IM for the ShG equation (3.46), satisfying the continuity equations ∂ ¯ w ˆ P n = ∂ w ˆ R n − . (3.51)They can be obtained in explicit form as follows. Letˆ u = ( ∂ w ˆ η ) − ∂ w ˆ η , ˆ v = ( ∂ w ˆ η ) + ∂ w ˆ η . (3.52)Then ˆ P n = U n [ ˆ u ] , ˆ R n − = e − η U n − [ ˆ v ] − δ n, , where U n [ ˆ u ] are homogeneous (grade(ˆ u ) = 2 , grade( ∂ ) = 1 , grade( U n ) = 2 n ) differential polyno-mials in ˆ u of the degree n (known as the Gel’fand-Dikii polynomials [40]), U n [ ˆ u ] = ˆΛ n · . (3.53)Here ˆΛ = − ∂ + ˆ u − ∂ − ˆ u ′ , (3.54)15nd prime stands for the derivative. Thus, U [ ˆ u ] = 1 ,U [ ˆ u ] = ˆ u , (3.55) U [ ˆ u ] = ˆ u − ˆ u ′′ ,U [ ˆ u ] = ˆ u − (ˆ u ′ ) − ˆ u ′′ + ˆ u ′′′′ ,U n [ ˆ u ] = Γ( n + ) n ! √ π ˆ u n + . . . , where the last line shows overall normalization of the polynomials.Of course, it is straightforward to rewrite the integrals (3.49), (3.50) in terms of the originalvariables z, ¯ z , in which the integration contour is just C z in Fig.1. We haved w = p p ( z ) d z , ˆ u = p − (cid:20) u + 4 pp ′′ − p ′ p (cid:21) , (3.56)where p = p ( z ), u = ( ∂ z η ) − ∂ z η , so thatˆ P n [ ˆ u ] = p − n P n [ u ] + . . . . (3.57)For example I sin (cid:0) π α (cid:1) = − π (2 α − r ( α + 1) + 12 Z C z h d z u √ p + d¯ z √ ¯ p (cid:0) √ p ¯ p e − η − (cid:1) i . (3.58)Here r is given by (3.13), and first term in the r.h.s. is the evaluated form of the integral R C z d z × p − (4 pp ′′ − p ′ ). As was mentioned in Introduction, the quantum sine-Gordon model has infinitely many local inte-grals of motion, I n − = 2 − n Z R d x π h (cid:0) ∂ x ϕ − ∂ t ϕ (cid:1) n + . . . i , (3.59)¯ I n − = 2 − n Z R d x π h (cid:0) ∂ x ϕ + ∂ t ϕ (cid:1) n + . . . i , (3.60)where . . . stand for the terms involving higher derivatives of ϕ , as well as the terms proportionalto powers of µ . The displayed terms fix the normalization of these operators. We will denote I n − = I n − ( k ) and ¯ I n − = ¯ I n − ( k ) the k -vacuum eigenvalues of the operators (3.59) and(3.60), respectively. In the CFT limit M = 0 (i.e. at µ = 0 in (1.2)) these functions becomepolynomials in k of the degree n , and the normalization in (3.59) is such that at M = 0 we have I n − ( k ) (cid:12)(cid:12) M =0 = ¯ I n − ( k ) (cid:12)(cid:12) M =0 = (cid:0) πR (cid:1) n − (cid:2) ( kβ ) n + . . . (cid:3) . (3.61)The expansions (3.41), (3.42) are in agreement with the expected asymptotic behavior of the Q -function of the quantum sine-Gordon model [22, 28], with the coefficients I n − , ¯ I n − and G n , In this limit (1.2) acquires continuous symmetry with respect to any shifts of the field ϕ , and the analyticcontinuation in k is no longer periodic. G n being (up to normalization) the k -vacuum eigenvalues of the local and non-local [12] integralsof motion. In particular, we have I n − = C n I n − , ¯ I n − = C n ¯ I n − , (3.62)where C n are constants, independent of k and R . Their exact values can be found by comparingthe s → I n − to (3.61), C n = Γ (cid:0) − n − α (cid:1) Γ (cid:0) (2 n − α +1)2 α (cid:1) √ π n ! (cid:0) − α α +1 (cid:1) n − (cid:20) m √ π Γ (cid:0) α +12 α (cid:1) Γ (cid:0) − α (cid:1) (cid:21) − n . (3.63)Here m = 2 M sin (cid:0) π α (cid:1) . (3.64)At α >
1, this quantity coincides with the mass of the lowest soliton-antisoliton bound state of thesine-Gordon model. T -functions Q ± Let us consider the action of the symmetry transformation ˆΩ, Eq.(2.11), on the solution (2.23). Asfollows from (2.25) and analyticity of Ψ ± and Q ± , the solution Ξ is entire function of θ for anyreal ρ and φ . Therefore analytic continuation of Ξ in θ can be used to specify another solution ofthe linear problem (1.10), Ξ ( ρ, φ | θ ) = ˆΩ[ Ξ ]( ρ, φ | θ ) ≡ Ξ (cid:0) ρ, φ + πα | θ − i πα (cid:1) . (4.1)It is easy to see that for real θ and | φ | < π α +1) Ξ grows at large ρ as Ξ ( ρ, φ | θ ) → E + ( ρ, φ | θ ) , (4.2)where E + = − i e − i αφ e i αφ ! exp (cid:20) + 2 ρ α +1 α + 1 cosh( θ + i( α + 1) φ (cid:1) (cid:21) . (4.3)Since det (cid:0) Ξ , Ξ (cid:1) = det (cid:0) E − , E + (cid:1) = − , (4.4)the pair Ξ and Ξ forms a basis in the space of solution of the linear problem (1.10).Furthermore, applying the symmetry transformation ˆΩ n with n ∈ N , one can generate aninfinite series of solutions ˆΩ n (cid:2) Ξ (cid:3) ≡ Ξ (cid:0) ρ, φ + πnα | θ − i πnα (cid:1) . (4.5)Of course, each of these solutions is a linear combination of the basic solutions Ξ and Ξ = ˆΩ[ Ξ ].Using Eq.(2.25), it is straightforward to show thatˆΩ n (cid:2) Ξ (cid:3) = − T n − (cid:0) θ − i π ( n +1)2 α (cid:1) Ξ ( ρ, φ | θ ) + T n − (cid:0) θ − i πn α (cid:1) Ξ ( ρ, φ | θ ) , (4.6)17here T j ( θ ) = i2 cos( πl ) × (4.7) h Q + (cid:0) θ + i π (2 j +1)2 α (cid:1) Q − (cid:0) θ − i π (2 j +1)2 α (cid:1) − Q + (cid:0) θ − i π (2 j +1)2 α (cid:1) Q − (cid:0) θ + i π (2 j +1)2 α (cid:1) i . Note that T − ( θ ) = 0 , T ( θ ) = 1 , (4.8)where the second identity follows from the Quantum Wronskian relation (3.3). T j ( θ ) can be interpreted as Stokes coefficients defining the large ρ -behavior of the basic solution Ξ . Indeed, Eq.(4.6) shows that for real θ , and φ in the domain π (2 n − α +1) < φ < π (2 n − α +1) , n = 1 , , . . . (4.9)the asymptotic of Ξ can be described as follows, Ξ ( ρ, φ | θ ) → ( − [ n − ] T n − (cid:0) θ + i π ( n − α (cid:1) E − σ ( ρ, φ | θ ) + (4.10)( − [ n ] T n − (cid:0) θ + i πn α (cid:1) E σ ( ρ, φ | θ ) with σ = ( − n as ρ → ∞ . Here E ± are given by Eqs.(2.24) and (4.3). Of course, for given integer n only one term in (4.10)is relevant whereas another term should be ignored. Y -system The coefficients T j ( θ ) in (4.5) have useful interpretation in terms of the quantum sine-Gordonmodel. T j ( θ ) are the k -vacuum eigenvalues of the commuting “transfer-matrices” T j ( θ ), the traces(over the 2 j + 1 dimensional auxiliary spaces) of the quantum monodromy matrices [33, 34] (seealso Ref. [41], and Appendix B). The analytic properties of T j ( θ ), which follow from (4.7), arein agreement with expected analyticity of the T j ( θ )-operators in sine-Gordon model [41]. Theidentities T ( θ ) T j (cid:0) θ + i π (2 j +1)2 α (cid:1) = T j − (cid:0) θ + i π (2 j +2)2 α (cid:1) + T j + (cid:0) θ + jπ α (cid:1) (4.11)(another simple consequence of (4.7)) coincide with well known fusion relations for the sine-Gordontransfer-matrices.The fusion relations can be taken as the starting point in purely algebraic derivation of theTBA equations. In the sine-Gordon model with generic β the TBA leads to an infinite system ofcoupled integral equations, the Takahashi-Suzuki system [42], which is somewhat difficult to dealwith. However, at rational values of β it truncates to a finite system. Thus, at α = N − , , . . . or α = N − , , . . . (4.12)Eq.(4.7) dictates additional relation T N ( θ ) = 2 cos(2 πk ) + T N − ( θ ) , (4.13)18hich closes the fusion relations (4.11) within a finite number of functions T j ( θ ), j = , , , . . . N − Y j ( θ ) = T j − ( θ ) T j + ( θ ) (cid:0) j = , . . . , N − (cid:1) ,Y ( θ ) = 0 , (4.14)¯ Y ( θ ) = T N − ( θ ) . As follows from the fusion relations and Eq.(4.13), Y j ( θ ) satisfy closed system of functional equations(the so-called Y -system) : Y j (cid:0) θ + i π α (cid:1) Y j (cid:0) θ − i π α (cid:1) = (cid:0) Y j − ( θ ) (cid:1) (cid:0) Y j + ( θ ) (cid:1) , j = , . . . , N − ,Y N − (cid:0) θ + i π α (cid:1) Y N − (cid:0) θ − i π α (cid:1) = (cid:0) Y N − ( θ ) (cid:1) (cid:0) π i k ¯ Y ( θ ) (cid:1)(cid:0) − π i k ¯ Y ( θ ) (cid:1) , ¯ Y (cid:0) θ + i π α (cid:1) ¯ Y (cid:0) θ − i π α (cid:1) = 1 + Y N − ( θ ) . (4.15)This truncated Y -system coincides with the functional form of the TBA equation of D N type [8] andcan be transformed to a set of the integral equations. This gives an alternative way to reconstructall the functions T j ( θ ) and Q ± ( θ ) in the case integer 2 α (4.12). T In what follows, the function T ( θ, k ) ≡ T ( θ ) plays special role. For future references, let us sum-marize here its general properties. All the statements listed below are straightforward consequencesof the definition the definition (4.7) and the properties of Q -function. • For real k , T ( θ, k ) is an entire function of θ , even and periodic in this variable, T ( − θ, k ) = T ( θ, k ) ,T (cid:0) θ + i π ( α +1) α , k (cid:1) = T ( θ, k ) . (4.16) • For real k , T ( θ, k ) is a real analytic function of θ , T ∗ ( θ, k ) = T ( θ ∗ , k ) . (4.17) • It is even periodic function of k , T ( θ, k ) = T ( θ, − k ) , T ( θ, k + 1) = T ( θ, k ) . (4.18) • It satisfies the Baxter’s T − Q equation T ( θ, k ) Q ( θ, k ) = Q (cid:0) θ + i πα , k (cid:1) + Q (cid:0) θ − i πα , k (cid:1) . (4.19) • For α > ℜ e ( θ ) → ±∞ T ( θ, k ) → exp (cid:20) r cos( π α ) cosh( θ ) (cid:21) for (cid:12)(cid:12) ℑ m ( θ ) (cid:12)(cid:12) < π ( α +1)2 α . (4.20) Note that the TBA equations (4.15) for l = 0, i.e. e π i k = i in (4.15), correspond to the solution of MShG whichremains finite at the apex of the cone C πα (2.3). This case is of special interest for the problem considered in [16,17]. r = − π α ( α + 1)Γ( − α )Γ( α +12 α ) s α = mR , (4.21)where m is the same as in (3.64). As follows from the asymptotic formula (2.23), the composition of symmetry transformations (2.11)and (2.12) ˆΠ ◦ ˆΩ, acts irreducibly on the solution Ξ ,ˆΠ ◦ ˆΩ (cid:2) Ξ (cid:3) := Ξ (cid:0) ρ, φ + i πα (cid:12)(cid:12) θ − i π ( α +1) α (cid:1) = − i σ Ξ ( ρ, φ | θ ) . (5.1)Combining this equation with (4.6) one obtains( − i σ ) n Ξ ( ρ, φ | θ + i πn ) = − T n − (cid:0) θ − i π ( n +1)2 α (cid:1) Ξ ( ρ, φ | θ ) − (5.2)i T n − (cid:0) θ − i πn α (cid:1) σ Ξ ( ρ, φ | θ + i π ) ( n = 1 , . . . ) . For n = 2, with T = 1 and the periodicity condition for T , Eq.(4.16), taken into account, Eq.(5.2)becomes a simple difference equation, Ξ ( ρ, φ | θ + i π ) − Ξ ( ρ, φ | θ − i π ) = i T ( θ ) σ Ξ ( ρ, φ | θ ) . (5.3)Our next goal is to transform (5.3) into an integral equation defining Ξ . Let us note that thecoordinates ( ρ, φ ) on C πα , (2.3), appear in (5.3) as parameters. For our analysis here, it will beconvenient to use slightly different coordinates on C πα . We redefine the angular coordinate φ byshifting it by half the period, φ → φ + π α , (5.4)and use, instead of M (0) z , the chart M (+) z defined by the same conditions as in (2.6) but in terms ofthe shifted angle φ . Correspondingly, z = ρ e i φ will now stand for the rotated complex coordinate, z → e i π α z . (5.5)After this rotation we have p ( z ) = − ( z α + s α ). The minus sign here does not affect the form of(1.5), and in this and subsequent sections we set p ( z ) = z α + s α . (5.6)In the rotated coordinate the zero of p ( z ) appears at the point ( ρ, φ ) = (cid:0) s, π α (cid:1) ∼ (cid:0) s, − π α (cid:1) , asshown in Fig.2a. Actually, we will need the coordinate w on C πα related to the new z as in (3.42)(it differs from w in (3.45) essentially by a phase factor). To be precise, we set w = w ( z ) = z α +1 α + 1 + Z ∞ z d ζ h p ζ α + s α − ζ α i . (5.7)20he image M (+) w of the chart M (+) z in the w -plane is shown in Fig.2b. In M (+) w the apex of thecone has the coordinates ( w , w ) with w = w (0) = − r sin( πα ) , (5.8)while w (cid:0) s e ± i π α (cid:1) = − ˆ r cot (cid:0) π α (cid:1) ± i ˆ r , (5.9)where notation (4.21) is used. In the remaining part of this paper we discuss in terms of theseredefined coordinates z (or w ), unless stated otherwise. (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) wz B B’ (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (b)(a)
B A’ B’III I’II’A Figure 2: (a) The chart M (+) z . Two boundary rays (solid lines) are identified. The dots indicateposition of the zero of p ( z ). (b) The image M (+) w of M (+) z under the map (5.7). The segment A ′ ˜ B ′ is identified with A ′ B ′ , and the boundary line from ˜ B ′ to infinity is identified with the line from B ′ to infinity. Specific regions in this chart are discussed in the text.In the new variables ( w, ¯ w ) the solution Ξ ( ρ, φ | θ ) of the linear problem (1.10) can be writtenas Ξ ( ρ, φ | θ ) = exp h σ (cid:0) i π + log (cid:0) ¯ pp (cid:1) (cid:1) i ˆ Ξ (cid:0) w, ¯ w | θ − i π ( α +1)2 α (cid:1) . (5.10)Here ˆ Ξ ( w, ¯ w | θ ) is the solution of the linear problem (cid:16) ∂ w + ∂ w ˆ η σ − e θ (cid:2) σ + e ˆ η + σ − e − ˆ η (cid:3) (cid:17) ˆ Ξ = 0 , (5.11) (cid:16) ∂ ¯ w − ∂ ¯ w ˆ η σ − e − θ (cid:2) σ − e ˆ η + σ + e − ˆ η (cid:3) (cid:17) ˆ Ξ = 0 , associated with ShG equation (3.46), satisfying (for real θ ) the asymptotic condition,ˆ Ξ → (cid:18) − (cid:19) exp (cid:0) − w e θ − ¯ w e − θ (cid:1) as w ∈ M (+) w → ∞ . (5.12)Note that ˆ Ξ ( w, ¯ w | θ ) is nothing but conventional Jost solution for (5.11) (see, e.g., [19] for details).The main advantage of the coordinates ( w, ¯ w ) is relatively simple form of the large- θ asymptoticbehavior of ˆ Ξ . Simple analysis of the linear problem (5.11) shows thatˆ Ξ ( w, ¯ w | θ ) exp (cid:0) w e θ + ¯ w e − θ (cid:1) → e ω ± e ± ˆ ησ (cid:18) − (cid:19) as θ → ±∞ , (5.13)21here ω ± = ω ± ( w, ¯ w ) are local solutions of the Laplace equation ∂ w ∂ ¯ w ω ± = 0 (in fact, ω ± are piecewise constants, see Eq.(5.22) below). Combining the difference equation (5.3) with theasymptotic behavior (5.13) and the analyticity condition for ˆ Ξ , it is straightforward to show thatˆ Ξ ( w, ¯ w | θ ) = (cid:18) κ + X + ( w, ¯ w | θ ) − κ − X − ( w, ¯ w | θ ) (cid:19) exp (cid:0) w e θ + ¯ w e − θ (cid:1) , (5.14)where κ ± = κ ± ( w, ¯ w ) do not depend on θ , while X ± are solutions of linear integral equations X ± ( w, ¯ w | θ ) = 1 ± Z + ∞−∞ d θ ′ π tanh (cid:0) θ − θ ′ (cid:1) D ( w, ¯ w | θ ′ ) X ± ( w, ¯ w | θ ′ ) (5.15)with the kernel D ( w, ¯ w | θ ) = T (cid:0) θ + i π ( α +1)2 α (cid:1) exp (cid:0) − w e θ − w e − θ (cid:1) . (5.16)With Eqs.(5.13), (5.14) anddet (cid:16) ˆ Ξ ( w, ¯ w | θ + i π (cid:1) , σ ˆ Ξ ( w, ¯ w | θ − i π (cid:1) (cid:17) = 2 (5.17)one obtains κ ± = d − (cid:20) − d − − d (cid:21) ± , (5.18)where d ± = Z + ∞−∞ d θ π D ( w, ¯ w | θ ) X ± ( w, ¯ w | θ ) (5.19)and d ≡ h X + (cid:0) θ + i π (cid:1) X − (cid:0) θ − i π (cid:1) + X + (cid:0) θ − i π (cid:1) X − (cid:0) θ + i π (cid:1) i = 1 − d + d − . (5.20)In these equations and below we omit the argument ( w, ¯ w ) in X ± and d ± , κ ± . Comparing the θ → ±∞ limits of (5.15) with (5.13), one can express the solution ˆ η of ShG equation (3.46) itself,as well as ω ± , in terms of d ± , e η = (1 + d + )(1 + d − )(1 − d + )(1 − d − ) (5.21)and e ω ± = 1 ± d + − d − d . (5.22)Note that the conjugation conditionˆ Ξ ∗ ( w, ¯ w | θ ) = − σ ˆ Ξ ( w, ¯ w | − θ ∗ ) (5.23)implies the relations X − ( w, ¯ w | θ ) = X ∗ + ( w, ¯ w | − θ ∗ ) , κ − = κ ∗ + , (5.24)22nd hence d − = d ∗ + , ω − = ω ∗ + . (5.25)Eq.(5.16) can be rewritten in the form D ( w, ¯ w | θ ) = T (reg) (cid:0) θ + i π ( α +1)2 α (cid:1) exp (cid:0) − w s e θ − w s e − θ (cid:1) , (5.26)where (see Eq.(5.9)) w s ( z ) = Z zs e − i π α d ζ p z α + s α = w ( z ) + ˆ r tan (cid:0) π α (cid:1) − i ˆ r , (5.27)and T (reg) ( θ ) = T ( θ ) exp (cid:20) − r cos( π α ) cosh( θ ) (cid:21) . (5.28)Advantage of using the function T (reg) ( θ ) is that it is well defined at any α >
0, including the points α − = 1 , , . . . , as opposed to both Q ± ( θ ) and T ( θ ), which at these points are defined only modulooverall factor exp( const θ ). Eq.(5.26) makes it explicit that the kernel of integral equations (5.15)is well defined at any α >
0, including the integer points. For example, in the case α = 1, it followsfrom Eqs.(3.36), (3.38), (4.19) and (5.28) that T (reg) ( θ ) = exp (cid:26) Z ∞−∞ d t π cosh( θ − t ) × (5.29)log h (cid:0) − πs cosh( t )+2 π i k (cid:1) (cid:0) − πs cosh( t ) − π i k (cid:1) i (cid:27) . For k = this function, interpreted as a Stokes coefficient, was found in Ref. [14]. This result wasalso used in Ref. [16] .Eqs.(5.26)-(5.28) and (4.20) imply that for ℜ e ( w ) > − ˆ r tan (cid:0) π α (cid:1) , (5.30)and real θ the kernel | D ( w, ¯ w | θ ) | is bounded by exp (cid:0) − C cosh( θ ) (cid:1) with positive constant C .In this domain of w the integral equations (5.15) have unique solutions obtainable by iterations.With appropriate deformation of the integration contours in (5.15) one can extend the domain ofapplicability of the iterative solution to the region I ′ ⊂ M (+) w shown in Fig.2b. The most efficientway to solve (5.15) at the boundary of I ′ , i.e. on the segment ℜ e ( w ) = − ˆ r tan (cid:0) π α (cid:1) , (cid:12)(cid:12) ℑ m ( w ) (cid:12)(cid:12) < ˆ r ,is based on the integral transformation in λ = e θ generated by the kernel exp (cid:0) i ξ ( λ − λ − ) (cid:1) . Thetransformation brings (5.15) into the form of Gel’fand-Levitan-Marchenko equation (see e.g. [19] fordetails). Important problem of reconstruction of the Jost solution ˆ Ξ ( w, ¯ w | θ ) in the whole domain M (+) w is beyond the scope of this paper. In the notations of Ref. [14, 16]: γ ( ζ ) = T (reg) ( θ ) with ζ e − i φ = e θ , m = s e i φ . .2 Solution of MShG equation Since ˆ η decays at | w | → ∞ , at large | w | it approaches certain solution ˆ η of the linearized equation ∂ w ∂ ¯ w ˆ η − η = 0. The form of this solution can be read out from Eq.(5.21),ˆ η = Z ∞−∞ d θ π T (cid:0) θ + i π ( α +1)2 α (cid:1) exp (cid:0) − w e θ − w e − θ (cid:1) . (5.31)Furthermore, iterations of (5.15) produce (through (5.19), (5.20), and (5.21)) systematic large- | w | expansion of ˆ η . In fact, one can guess the form of this expansion without explicit calculations. Asis known [43], [3], the seriesˆ η = ∞ X n =1 ˆ η n − , (5.32)ˆ η n − = 22 n − Z ∞−∞ n − Y j =1 (cid:20) d θ j π T ( θ j ) exp (cid:0) − w e θ − w e − θ (cid:1) cosh (cid:0) θ j − θ j +1 (cid:1) (cid:21) , with θ n ≡ θ , and arbitrary function T ( θ ), provides formal solution of the ShG equation (3.46).Since the asymptotic form (5.21) fixes the solution uniquely, we conclude that the solution ˆ η weare interested in is given (in certain domain of w specified below) by the series (5.32) with T ( θ ) = T (cid:0) θ + i π ( α +1)2 α (cid:1) . (5.33)This representation is very useful since at sufficiently large w the series (5.32) converges fast. Inview of Eq.(4.20), the multiple integrals in (5.32) converge only when w belongs to the domain(5.30). With deformation of the integration contours, the convergence domain can be extended to I ′ ⊂ M (+) w shown in Fig.2b. Thus, the solution of MShG (1.5) in the domain I ⊂ M (+) z (Fig.2a) canbe written in the form η = ˆ η + log( p ¯ p ), where ˆ η and p are given by (5.32) and (5.6), respectively.It would be interesting to find similarly explicit expression for ˆ η in the remaining part of M (+) z .As | w | → ∞ , the integral (5.31) can be evaluated by the saddle-point method. As the resultone derives the large- ρ asymptotic of the solution of MShG (1.5), (1.6), η ( ρ, φ ) → log (cid:0) s α − sρ ) α cos(2 αφ ) + ρ α (cid:1) (5.34)+ T (cid:0) i( α + 1) φ (cid:1) e − τ √ πτ (cid:16) O ( τ − ) (cid:17) as τ = ρ α +1 α +1 → + ∞ . In writing this equation we use the original polar coordinates ( ρ, φ ) on the chart M (0) z (2.6), andassume for simplicity that α >
1. Eq.(5.34) shows that the T -function T ( θ ) determines the angulardependence of the sub-leading large- ρ asymptotic of the MShG solution. At s = 0 and finite θ thefunction T ( θ ) becomes a constant, T ( θ ) (cid:12)(cid:12) s =0 = 2 cos (cid:0) π (2 l +1)2( α +1) (cid:1) , (5.35)and hence (5.34) generalizes the well known asymptotic formula for the Painlev´e III transcendent[43]. 24 MShG with α < − and quantum sinh-Gordon model So far we were concentrating attention on MShG with α >
0. In that case we had a freedom toadjust the asymptotic behavior of η at z → l . If α < − z → ∞ and z → z = 0 and z = ∞ can be interchanged by certain “duality” transformation.Conformal transformation ˜ z = (cid:20) − s α zα + 1 (cid:21) α +1 (6.1)(with suitable shift of the field η ) brings the MShG equation to the original form, but with theparameters α, s replaced by the “dual” values ˜ α, ˜ s related to the original ones as( α + 1) ( ˜ α + 1) = 1 , ˜ s ˜ α +1 = − s α +1 α + 1 . (6.2)Note that in terms of the parameters b and µ , Eq.(1.12), these relations faithfully reproduce the b → b − duality symmetry of the quantum sinh-Gordon model [44]. Below we argue that suchsolution (more precisely, certain connection coefficient for solutions of the linear problem (1.10)) isrelated to the Q -function of the sinh-Gordon model (1.13).In this discussion we will use the chart M (+) z on C πν , in which p ( z ) has the form (5.6), andassociated polar coordinates z = ρ exp( iφ ). We also use the notation ν = − α . (6.3)We assume that MShG equation has solution η ( ρ, φ ) which is real and continuous on C πν except forthe apex ρ = 0, and has the following properties (compare to the properties i ) − iv ) in Section 2) i ′ ) η (cid:0) ρ, φ + πν (cid:1) = η ( ρ, φ ) . (6.4) ii ′ ) η ( ρ, φ ) are real-valued and finite everywhere on the cone C πα , except for the apex ρ = 0. iii ′ ) η ( ρ, φ ) → ρ → ∞ . (6.5) iv ′ ) η ( ρ, φ ) → − ν log( ρ ) + O (1) as ρ → . (6.6)The relevant linear problem (1.10) now is somewhat simpler then that previously discussed. At ν > ρ → ∞ and ρ → Ξ + ( ρ, φ | θ ) → (cid:18) − (cid:19) exp h − s − ν ρ cosh( θ + i φ ) i as ρ → + ∞ , (6.7)25nd Ξ − ( ρ, φ | θ ) → e − i νφ e i νφ ! exp (cid:20) − ρ − ν ν − θ − i( ν − φ (cid:1) (cid:21) as ρ → . (6.8)We then define Q ( θ ) = det (cid:0) Ξ + , Ξ − (cid:1) . (6.9)By arguments parallel to the analysis in [44,45], it is possible to establish the following propertiesof this connection coefficient: • Q ( θ ) is an entire function of θ with the symmetries Q ( θ ) = Q ( − θ ) , Q ∗ ( θ ) = Q ( θ ∗ ) . (6.10) • Q ( θ ) satisfies the Quantum Wronskian relation: Q (cid:0) θ − i π (cid:1) Q (cid:0) θ + i π (cid:1) − Q (cid:0) θ + i π ( ν − ν (cid:1) Q (cid:0) θ − i π ( ν − ν (cid:1) = 1 . (6.11) • As the function of the complex θ , Q ( θ ) is free of zeroes in the strip (cid:12)(cid:12) ℑ m θ (cid:12)(cid:12) < π + ǫ for somefinite ǫ > • For (cid:12)(cid:12) ℑ m θ (cid:12)(cid:12) < π + ǫ and ℜ e θ → + ∞Q ( θ ) = exp (cid:20) − r sin( πν ) e θ + O (e − θ ) (cid:21) , (6.12)where ˆ r = π ν ( ν − ν )Γ( ν − ν ) s − ν . (6.13)Let us introduce the function ε ( θ ) through the relation Q (cid:0) θ + i π (cid:1) Q (cid:0) θ − i π (cid:1) = 1 + e − ε ( θ ) . (6.14)With the analytic properties listed above, it is straightforward to transform the difference equation(6.11) into integral equation for ε ( θ ) (see Ref. [27]), ε ( θ ) − r cosh( θ ) + Z ∞−∞ d θ ′ π Φ( θ − θ ′ ) log (cid:0) − ε ( θ ′ ) (cid:1) (6.15)with the kernel Φ( θ ) = 4 sin( πν ) cosh( θ )cosh(2 θ ) − cos( πν ) . (6.16)Then log Q ( θ ) = − r sin( πν ) cosh( θ ) + Z ∞−∞ d θ ′ π log (cid:0) − ε ( θ ′ ) (cid:1) cosh( θ − θ ′ ) . (6.17) Note the similarity in the definitions of ˆ r for ν = − α > ν = − α < | α | >
26s was argued in Ref. [28], Eq.(6.17) gives the Q -function for the quantum sinh-Gordon model inthe finite-size geometry (1.3), provided ˆ r = mR , with m interpreted as the mass of the sinh-Gordonparticle, and ν related to the sinh-Gordon coupling constant b as in (1.12), i.e. ν = b − + 1 . (6.18)It is instructive to review the above statements in terms of the coordinate w = w ( z ) = Z d z p z − ν + s − ν (6.19)which brings the MShG equation to the form of the conventional ShG equation (3.46) for ˆ η = η − log( p ¯ p ). We fix the integration constant in (6.19) in such a way that w (cid:0) s e ± i π ν (cid:1) = ± i ˆ r . (6.20)Explicitly, w ( z ) = − ˆ r cot (cid:0) π ν (cid:1) + z s − ν F (cid:0) − , − ν , − ν , − (cid:0) zs (cid:1) − ν (cid:1) . (6.21)The chart M (+) z and its w -image M (+) w are shown in Fig.3a and Fig.3b. The asymptotic conditions (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) z w π(ν−1)2ν r −i II II’I I’ (a) (b)
Figure 3: The chart M (+) z (a), and its image M (+) w under the map (6.21) (b) in the case ν = − α > iii ′ ) and iv ′ ) above simply mean that ˆ η decays at | w | → ∞ in both regions I ′ and II ′ in Fig.3b.Eq.(6.9) can be equivalently written as Q ( θ ) = 12 exp (cid:20) − r sin( πν ) cosh( θ ) (cid:21) det (cid:0) ˆ Ξ + , ˆ Ξ − (cid:1) , (6.22)where ˆ Ξ ± are conventional Jost solutions [19] for the linear problem (5.11) satisfying the asymptoticconditions ˆ Ξ + ( w, ¯ w | θ ) → exp (cid:0) − w e θ − ¯ w e − θ (cid:1) (cid:18) − (cid:19) as ℜ e ( w ) → + ∞ , (6.23)27nd ˆ Ξ − ( w, ¯ w | θ ) → exp (cid:0) w e θ + ¯ w e − θ (cid:1) (cid:18) (cid:19) as ℜ e ( w ) → −∞ . (6.24)In this picture the duality (6.1) is quite evident. The rotation w → − w interchanges domains I ′ and II ′ in Fig.3b , which is equivalent to the change of the parameters ν − → − ν − , ˆ r → ˆ r (6.25)identical to (6.2) (Note that (6.13) is invariant under the transformation (6.2)). It is easy to checkthat under this duality ˆ Ξ ± ( w, ¯ w | θ ) ↔ σ ˆ Ξ ∓ ( − w, − ¯ w | θ ) , (6.26)and hence the function Q ( θ ) does not change when its parameters are transformed as in (6.25).Thus, it is invariant with respect to the b → b − duality, as the sinh-Gordon Q -function should be.The asymptotic expansions at θ → + ∞ and θ → −∞ of Q ( θ ) generate the vacuum eigenvaluesof the local integral of motions in the quantum sinh-Gordon model. Namely [28],log Q ∼ − C e θ − ∞ X n =1 C n I n − e − (2 n − θ as θ → + ∞ , (6.27)log Q ∼ − C e − θ − ∞ X n =1 C n ¯ I n − e (2 n − θ as θ → −∞ , where I n − and ¯ I n − are the vacuum eigenvalues of the local integral of motions I n − and ¯ I n − ( n = 1 , , . . . ) normalized as in (3.59). The constant C n are given by (3.63) with α = − ν , where m is interpreted as the mass of the sinh-Gordon particle. From Eq.(6.17) we have C n I n − = C δ n, + ( − n Z ∞−∞ d θπ e (2 n − θ log (cid:16) − ε ( θ ) (cid:17) , (6.28) C n ¯ I n − = C δ n, + ( − n Z ∞−∞ d θπ e − (2 n − θ log (cid:16) − ε ( θ ) (cid:17) . On the other hand, straightforward WKB analysis allows one to express (6.28) in terms of theclassical conserved charges for MShG equation, C n I n − = ( − n n − Z ∞−∞ h d w ˆ P n + d ¯ w ˆ R n − i , (6.29) C n ¯ I n − = ( − n n − Z ∞−∞ h d ¯ w ˆ¯ P n + d w ˆ¯ R n − i . Further analysis is similar to the one presented in Section 5 for α >
0. The novel property isexistence of two Jost solutions. For this reason one has to introduce two T -functions T ± , T + ( θ ) Q ( θ ) = Q (cid:0) θ + i πν (cid:1) + Q (cid:0) θ − i πν (cid:1) , (6.30) T − ( θ ) Q ( θ ) = Q (cid:0) θ + i( ν − πν (cid:1) + Q (cid:0) θ − i π ( ν − ν (cid:1) . Note that the duality transformation (6.25) interchanges the T -functions, T ± ( θ ) ↔ T ∓ ( θ ) . (6.31)28he ShG solution ˆ η still can be written as the series (5.32), but the choice of the function T ( θ ) isdifferent for the two parts I ′ and II ′ of the chart M (+) w in Fig.3b. Thus, for w ∈ I ′ we haveˆ η = ∞ X n =1 n − Z ∞−∞ n − Y j =1 (cid:20) d θ j π T + ( θ j ) exp (cid:0) − w + e θ − w + e − θ (cid:1) cosh (cid:0) θ j − θ j +1 (cid:1) (cid:21) , (6.32)where w + = ˆ r cot (cid:0) π ν (cid:1) + w . (6.33)For w ∈ II ′ one has to replace T + ( θ ) by T − ( θ ), and w + by w − = − ˆ r tan (cid:0) π ν (cid:1) − w . (6.34)Since the union I ′ ∪ II ′ covers the whole chart M (+) w , combination of these two representationsprovide the solution η on the whole cone C πν . In this paper we have described relation between the classical MShG equation and its linear problem,on one hand, and quantum sine- and sinh-Gordon models on the other. This relation generalizesthe relation [20, 26] between ordinary differential equations [24, 25] and integrable structures ofConformal Field Theories [21–23] to the massive case. We believe it also brings useful insight intothe emergence of TBA equations in recent analysis of the MShG equation [14–18].The discussion in this paper is in terms of the Q - and T -functions of the quantum models (1.2)and (1.13), which are defined through the Bethe Ansatz for the vacuum states. More generally, thesefunctions have to be understood as the vacuum eigenvalues one-parameter families of commutingoperators Q ( θ ) and T ( θ ). In integrable lattice models (e.g. XXZ and XYZ chains) these operatorswere discovered in pioneering works of Baxter [32, 33]. When an integrable quantum field theoryemerges as continuous (scaling) limit of such lattice systems, it inherits these operators. However,for many reasons (including subtleties of the continuous limit) it is desirable to have constructionsof these operators directly in field theoretic terms. There was some progress in this direction. Thus,in Ref. [21] the operators T j ( θ ) , j = , , , . . . were constructed explicitly for massless (conformal)field theory, as traces of quantum monodromy matrices over 2 j + 1 dimensional auxiliary spaces.This construction of T j ( θ ) admits more or less direct extension to the massive sine-Gordon modeland its reductions [41]. In both massless and massive cases it allows one to establish directly basicproperties of these operators, which we summarize in Appendix B. In particular, one can arguethat all T j ( θ ) are entire functions of θ , in the sense that all their simultaneous eigenvalues are entirefunctions. Furthermore, in the massless case similar construction (with auxiliary space supportingrepresentation of q -oscillator algebra) exists for the Q -operator [22, 23]. It is plausible that it alsoadmits generalization to the massive case, but the details were never elaborated. However, boththe massless construction and the lattice theory suggest certain properties of the sine-Gordon Q -operator. Thus, one expects that Q ( θ ) is entire function of θ as well. This operator commutes withall T j ( θ ′ ), and satisfies the famous T − Q equation of Baxter, T ( θ ) Q ( θ ) = Q (cid:0) θ + i πα (cid:1) + Q (cid:0) θ + i πα (cid:1) , (7.1)familiar from the lattice theory [32, 33]. This equation is finite difference analog of a second orderdifferential equation. Since in the sine-Gordon model T ( θ ) is periodic function of θ (see Eq.(B.7)),29ne expects to have two “Bloch wave” solutions Q ± ( θ ), Q + (cid:0) θ + i π ( α +1) α (cid:1) = U Q + ( θ ) , (7.2) Q − (cid:0) θ + i π ( α +1) α (cid:1) = U − Q − ( θ ) , with some unitary operator U commuting with Q ± ( θ ). Again, by comparison to the masslesslimit [22, 23, 41], it is natural to identify U with the Flouquet-Bloch operator associated with thediscrete symmetry of the sine-Gordon theory, U ϕ ( x, t ) U − = ϕ ( x, t ) + 2 π/β . (7.3)Since T ( θ ) is invariant with respect to the charge conjugation (B.1), the operators Q + ( θ ) and Q − ( θ ) are related to each other by this symmetry transformation, Eq.(B.13) (this symmetry wasalready taken into account in writing (7.2)), so one can deal with one independent operator, say Q ≡ Q + . Additional piece of analytic information – the asymptotic behaviorlog Q ( θ ) ∼ const e ± θ + O (1) (7.4)as ℜ e ( θ ) → ±∞ in the strips H ± (3.10) – can be inferred from the massless Q -operators [22, 23].These assumptions and some of their simple consequences (in particular, precise form of (7.4)) aresummarized in Appendix B.Once the sine-Gordon Q -function Q ( θ, k ) is understood as the k -vacuum eigenvalue of the Q -operator, the question arises about its eigenvalues associated with the excited states. Basicproperties of such eigenvalues can be inferred from (B.10)-(B.15). Can the excited-state eigenvaluesbe also related to integrable classical equations? In the massless case it is known how to modify theSchr¨odinger equation (2.31) to accommodate for the excited states [31]. In the massive theory thisis interesting open question. Of course, generalization of the DDV equation (3.32) to the excitedstates is well known [10, 46]. Acknowledgments
The authors are grateful to Volodya Bazhanov, Alyosha Litvinov and Fedya Smirnov for discussions.Our special thanks to Greg Moore, who encouraged us to look for interpretation of the results ofRefs. [14, 15] in terms of 2D quantum integrability.This research was supported in part by DOE grant
AppendixA Derivation of Eqs. (3.1) - (3.4) Here we sketch derivation of the properties (3.1)-(3.4) of Q ± .Eqs.(3.2) follow from (2.19), (2.20) and easily established relation σ Ξ ∗ ( ρ, φ | − θ ) = − Ξ ( ρ, φ | θ ) at ℑ m ( θ ) = 0 . (A.1)30o prove the quasiperiodicity (3.1) we use the evident relation Q − ( θ ) = W det h Ξ ( ρ, φ | θ ) , Ψ − ( ρ, φ | θ ) i , (A.2)where W = − cos( πl ). Then Q − (cid:0) θ − i π ( α +1)2 α (cid:1) = W × (A.3)det h Ξ (cid:0) ρ, φ + π α | θ − i π ( α +1)2 α (cid:1) , Ψ − (cid:0) ρ, φ + π α | θ − i π ( α +1)2 α (cid:1) i . The following formula is immediate consequence of Eqs.(2.16), (2.17), Ψ − (cid:0) ρ, φ + πα | θ − i π ( α +1) α (cid:1) = e i πl σ Ψ − ( ρ, φ | θ ) . (A.4)It is also straightforward to prove similar relation for the solution Ξ , Ξ (cid:0) ρ, φ + πα | θ − i π ( α +1) α (cid:1) = − i σ Ξ ( ρ, φ | θ ) . (A.5)Using (A.4) and (A.5) one has Q − (cid:0) θ − i π ( α +1)2 α (cid:1) = − i e i πl W × (A.6)det h σ Ξ (cid:0) ρ, φ + π α | θ − i π ( α +1)2 α (cid:1) , σ Ψ − (cid:0) ρ, φ − π α | θ + i π ( α +1)2 α (cid:1) i = i e i πl Q − (cid:0) θ + i( α +1) π α (cid:1) . For given values of ρ and φ , the solution Ξ (2.23), considered as the function of complex θ ,is analytic in the strip − π − ( α + 1) φ ≤ ℑ m ( θ ) ≤ π − ( α + 1) φ . Since Ψ − is entire functionof θ , one concludes that Q + ( θ ) is analytic in the strip |ℑ m ( θ ) | < π + π α , and hence due to thequasiperiodicity (3.1) it is entire function of θ . Since Q ± and Ψ ± are entire functions of θ , Ξ (2.25) is an entire function as well.To prove the Quantum Wronskian relation (3.3) we use (2.25) to obtain Ξ ( ρ, φ ∓ π α | θ ± i π α ) = Q − ( θ ± i π α ) Ψ + ( ρ, φ ∓ π α | θ ± i π α )+ Q + ( θ ± π α ) Ψ − ( ρ, φ ∓ π α | θ ± i π α ) . (A.7)From (2.16) we have Ξ (cid:0) ρ, φ ∓ π α | θ ± i π α (cid:1) = h Q − ( θ ± i π α ) Ψ + ( ρ, φ | θ ) + Q + ( θ ± π α ) Ψ − ( ρ, φ | θ ) i , (A.8)and hence det h Ξ ( ρ, φ − π α | θ + i π α ) , Ξ ( ρ, φ + π α | θ − i π α ) i = det (cid:2) Ψ + , Ψ − (cid:3) × (cid:0) Q − ( θ + i π α ) Q + ( θ − i π α ) − Q − ( θ − i π α ) Q + ( θ + i π α ) (cid:1) . (A.9)Using normalization condition (2.18) and easily established relationdet h Ξ ( ρ, φ − π α | θ + i π α ) , Ξ ( ρ, φ + π α | θ − i π α ) i = − , (A.10)one arrives at (3.3).Finally, Eqs.(3.4) are immediate consequences of (2.21).31 T and Q -operators in sine-Gordon model B.1 T -operators Let C and P be unitary operators of charge conjugation and parity transformation in the sine-Gordon model (1.2), C ϕ ( x, t ) C = − ϕ ( x, t ) , (B.1) P ϕ ( x, t ) P = ϕ ( − x, t ) . (B.2)Integrability of the quantum sine-Gordon model can be expressed in terms of family of operators(“transfer-matrices”) T j ( θ ) , θ ∈ C , j = , , , . . . , having the following properties ( α = β − − • Mutual commutativity [ T j ( θ ) , T j ′ ( θ ′ ) ] = 0 . (B.3) • U and C invariance [ T j ( θ ) , U ] = [ T j ( θ ) , C ] = 0 . (B.4) • Parity transformation
P T j ( θ ) P = T j ( − θ ) . (B.5) • Hermiticity T † j ( θ ) = T j ( θ ∗ ) . (B.6) • Periodicity T j (cid:0) θ + i π ( α +1) α (cid:1) = T j ( θ ) . (B.7) • Fusion relation T ( θ ) T j (cid:0) θ + i π (2 j +1)2 α (cid:1) = T j − (cid:0) θ + i π (2 j +2)2 α (cid:1) + T j + (cid:0) θ + jπ α (cid:1) . (B.8) • Asymptotic at real θ :log T ( θ ) ∼ ∞ X n =0 − n sin (cid:0) π (2 n − α (cid:1) C n × ( I n − e − (2 n − θ as θ → + ∞ ¯ I n − e (2 n − θ as θ → −∞ . (B.9)Here I − = ¯ I − = R π is a c -number, while I n − ( n = 1 , . . . ) are local IM (3.59), and theconstants C n are given by (3.63).The operators T j ( θ ) can be thought of as the continuous limits of the Baxter’s commuting transfer-matrices [33], or traces of monodromy matrices of the quantum inverse scattering method [34].Construction of these operators directly in continuous quantum field theory is outlined in Refs.[21–23, 41]. 32 .2 Q -operators Here we summarize expected properties of the operators Q ± ( θ ). Eqs.(B.10), (B.11) just recapitulatewhat was already suggested in Section 7. The rest follows from the T − Q equation (7.1), the definingrelations (7.2), and the asymptotic (7.4). • Commutativity[ Q ± ( θ ) , T j ( θ ′ ) ] = [ Q ± ( θ ) , Q ± ( θ ′ ) ] = [ Q + ( θ ) , Q − ( θ ′ ) ] = 0 . (B.10) • U invariance [ Q ± ( θ ) , U ] = 0 . (B.11) • Quantum Wronskian relation Q + (cid:0) θ + i π α (cid:1) Q − (cid:0) θ − i π α (cid:1) − Q + (cid:0) θ − i π α (cid:1) Q − (cid:0) θ + i π α (cid:1) = U − − U , (B.12)where U is the field translation (7.3). • Charge and parity conjugations
C Q ± ( θ ) C = Q ∓ ( θ ) , P Q ± ( θ ) P = Q ∓ ( − θ ) . (B.13) • Hermiticity Q †± ( θ ) = Q ± ( θ ∗ ) . (B.14) • Leading asymptotic in the strips H ± (3.11) (we assume α = 1 , , . . . ) Q + ( θ ) → U ± S exp (cid:20) M R e θ ∓ i π (1+ α )2 α π α ) (cid:21) as ℜ e ( θ ) → + ∞ , (B.15) Q + ( θ ) → U ± S − exp (cid:20) M R e − θ ± i π (1+ α )2 α π α ) (cid:21) as ℜ e ( θ ) → −∞ . Here S is some operator which is invariant with respect to the P and U symmetries,[ S , P ] = [ S , U ] = 0 , (B.16)and satisfies the relations S − = C S C , S † = S . (B.17)At the moment we do not know physical interpretation of the operator S , but regard it asvery interesting open question. In the massless case it is similar to the Liouville “reflection S-matrix” [47] . We note in this connection that in the massless case the full spectrum of S can be extracted from recent remarkablepaper [48]. eferences [1] T. T. Wu, B. M. McCoy, C. A. Tracy and E. Barouch, Phys. Rev. B , 316 (1976).[2] P. Fendley and H. Saleur, Nucl. Phys. B , 609 (1992) [arXiv:hep-th/9204094].[3] Al. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B , 427 (1994) [arXiv:hep-th/9409108].[4] S. Cecotti, P. Fendley, K. A. Intriligator and C. Vafa, Nucl. Phys. B , 405 (1992)[arXiv:hep-th/9204102].[5] S. Cecotti and C. Vafa, Nucl. Phys. B , 359 (1991).[6] P. P. Kulish, Theor. Math. Phys. , 132 (1976) [Teor. Mat. Fiz. , 198 (1976)].[7] C. N. Yang and C. P. Yang, J. Math. Phys. , 1115 (1969).[8] Al. B. Zamolodchikov, Phys. Lett. B , 391 (1991).[9] C. Destri and H. J. de Vega, Phys. Rev. Lett. , 2313 (1992).[10] C. Destri and H. J. de Vega, Nucl. Phys. B , 621 (1997) [arXiv:hep-th/9701107].[11] A. Kl¨umper, M. Bathcelor and P. A. Pearce, J. Phys. A , 3111 (1991).[12] D. Bernard and A. Leclair, Commun. Math. Phys. , 99 (1991).[13] A. I. Babenko, Math.Ann. , 209 (1991).[14] D. Gaiotto, G. W. Moore and A. Neitzke, “Four-dimensional wall-crossing via three-dimensional field theory,” arXiv:hep-th/0807.4723.[15] D. Gaiotto, G. W. Moore and A. Neitzke, “Wall-crossing, Hitchin Systems, and the WKBApproximation,” arXiv:hep-th/0907.3987.[16] L. F. Alday and J. Maldacena, JHEP , 082 (2009) [arXiv:hep-th/0904.0663].[17] L. F. Alday, D. Gaiotto and J. Maldacena, “Thermodynamic Bubble Ansatz,” arXiv:hep-th/0911.4708.[18] L. F. Alday, J. Maldacena, A. Sever and P. Vieira, “Y-system for Scattering Amplitudes,”arXiv:hep-th/1002.2459.[19] L. D. Faddeev and L. A. Takhtajan, “Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons,” Berlin,Germany: Springer (1987) 592 pp. (Springer Series in Soviet Mathematics).[20] P. Dorey and R. Tateo, J. Phys. A , L419 (1999) [arXiv:hep-th/9812211].[21] V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov and A. B. Zamolodchikov, Commun. Math. Phys. , 381(1996) [arXiv:hep-th/9412229].[22] V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov and A. B. Zamolodchikov, Commun. Math. Phys. , 247(1997) [arXiv:hep-th/9604044].[23] V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov and A. B. Zamolodchikov, Commun. Math. Phys. , 297(1999) [arXiv:hep-th/9805008]. 3424] A. Voros, Adv. Stud. Pure Math. , 327 (1992).[25] A. Voros, J. Phys. A , 5993 (1999) [arXiv:math-ph/9902016].[26] V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov and A. B. Zamolodchikov, J. Statist. Phys. , 567 (2001)[arXiv:hep-th/9812247].[27] Al. B. Zamolodchikov, J. Phys. A , 12863 (2006) [arXiv:hep-th/0005181].[28] S. L. Lukyanov, Nucl. Phys. B , 391 (2001) [arXiv:hep-th/0005027].[29] J. Teschner, Nucl. Phys. B , 403 (2008) [arXiv:hep-th/0702214].[30] P. Dorey and R. Tateo, Nucl. Phys. B , 573 (1999) [Erratum-ibid. B , 581 (2001)][arXiv:hep-th/9906219].[31] V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov and A. B. Zamolodchikov, Adv. Theor. Math. Phys. , 711(2004) [arXiv:hep-th/0307108].[32] R. J. Baxter, Stud. in Appl. Math. , 51 (1971).[33] R. J. Baxter, “Exactly solved models in statistical mechanics,” London: Academic Press Inc.(1982) 502 pp.[34] E. K. Sklyanin, L. Takhtajan and L. D. Faddeev, Theor. Math. Phys. , 194 (1979).[35] N. Yu. Reshetikhin, Lett. Math. Phys. , 205 (1983).[36] Al. B. Zamolodchikov, Int. J. Mod. Phys. A , 1125 (1995).[37] E. K. Sklyanin, Lecture Notes in Physics , 196 (1985).[38] E. K. Sklyanin, “Quantum inverse scattering method. Selected topics,” In: Quantum groupsand quantum integrable systems (World Scientific, 1992), 63-97 [arXiv:hep-th/9211111].[39] F. A. Smirnov, “Quasi-classical study of form factors in finite volume,” arXiv:hep-th/9802132.[40] I. M. Gel’fand and L. A. Dikii, Russ. Math. Surveys , 77-113 (1975).[41] V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov and A. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B , 487 (1997)[arXiv:hep-th/9607099].[42] M. Takahashi and M. Suzuki, Prog. Theor. Phys. , 2187 (1972).[43] B. M. McCoy, C. A. Tracy and T. T. Wu, J. Math. Phys. , 1058 (1977).[44] Al. B. Zamolodchikiv, unpublished notes (2001).[45] V. A. Fateev and S. L. Lukyanov, J. Phys. A , 12889 (2006) [arXiv:hep-th/0510271].[46] G. Feverati, F. Ravanini and G. Takacs, Nucl. Phys. B , 543 (1999) [arXiv:hep-th/9805117].[47] A. B. Zamolodchikov and A. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B477