Raum, Zeit und Wechselwirkung in der Quantentheorie der Ur-Alternativen
aa r X i v : . [ qu a n t - ph ] A ug Raum, Zeit und Wechselwirkung in derQuantentheorie der Ur-Alternativen
Martin Immanuel Kober ∗ Kettenhofweg 121, 60325 Frankfurt am Main, Deutschland
Die Quantentheorie der Ur-Alternativen des Carl Friedrich von Weizsäcker versucht, die allgemeineQuantentheorie basierend auf dem Begriff logischer Alternativen in der Zeit als fundamentalster mögli-cher Objektivierung der Natur im menschlichen Geist zu begründen. Basierend auf dieser Interpretationder Quantentheorie soll dann die Einheit der Physik beschrieben und die Existenz freier Objekte imRaum, deren Symmetrieeigenschaften und deren Wechselwirkungen hergeleitet werden. Die Alterna-tiven werden durch eine Kombination binärer Alternativen dargestellt, welche aufgrund ihres logischfundamentalen Charakters als Ur-Alternativen bezeichnet werden. Durch Ur-Alternativen als elemen-taren quantentheoretischen Informationseinheiten wird die der Quantentheorie immanente Kopernika-nische Wende in Bezug auf die Raum-Frage in konsequenter Weise realisiert. Diese besteht darin, dasssich nicht die Objekte der Natur in einem vorgegebenen Raum mit lokalen Kausalitätsrelationen be-finden, sondern die Existenz des Raumes sich umgekehrt nur als eine indirekte Art der Darstellungder Beziehungsstruktur abstrakter quantentheoretischer Objekte ergibt. Denn die Ur-Alternativen exis-tieren nicht in einer vorgegebenen feldtheoretisch verstandenen physikalischen Realität. Vielmehr wirddie Existenz des Raumes aus den Ur-Alternativen überhaupt erst begründet. Ein solcher Realitätsbegriffsteckt implizit hinter der Unbestimmtheitsrelation und drückt sich in besonderer Weise im berühmtenEPR-Paradoxon aus. Es wird in dieser Arbeit mathematisch konsistent gezeigt, dass ein Zustand imTensorraum vieler Ur-Alternativen direkt in einen reellen dreidimensionalen Raum abgebildet werdenkann, sodass mit der Dynamik der Zustände eine Darstellung in einer (3+1)-dimensionalen Raum-Zeitmöglich wird. Über die G -Lie-Gruppe, die Automorphismengruppe der Oktonionen, kann ein Ansatzfür die Einbindung der inneren Symmetrien der Elementarteilchen vorgeschlagen werden. Desweiterenermöglichen die Ur-Alternativen die Konstituierung eines abstrakten Wechselwirkungsbegriffes, dernicht auf punktweisen Produkten von Feldern sondern auf quantentheoretischen Verschränkungen ab-strakter Objekte basiert. Mit Hilfe dessen wird über das Korrespondenzprinzip versucht, zu einer reinquantentheoretischen Beschreibung des Elektromagnetismus und der Gravitation zu gelangen. Dementspricht eine viel prinzipiellere und zudem radikal hintergrundunabhängige Art der Quantisierung. ∗ E-mail: [email protected]
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10 Zusammenfassung und Diskussion Literaturliste „Man kann die theoretische Physik unseres Jahrhunderts noch in die titani-sche Tradition deutschen Denkens einordnen. Sie ist zwar international gültig,aber in der Herkunft vor allem deutsch: Planck, Einstein, der philosophischdeutsch geprägte Bohr, Heisenberg. Sie wäre ohne die ihr immanenten philo-sophischen Fragestellungen nie entstanden und sie ist ohne noch entschiede-neres Philosophieren nicht zu vollenden.“ Carl Friedrich von Weizsäcker, Vortrag „Der deutsche Titanismus“ abgedruckt in „Wahrnehmungder Neuzeit“, Carl Hanser München/Wien 1983, Seite 30/31
Zunächst muss erwähnt werden, dass diese Arbeit gewissermaßen aus zwei Teilen besteht.Die Abschnitte zwei, drei, vier und fünf versuchen einerseits zu begründen, warum eine ein-heitliche Naturtheorie eine radikale Abkehr von klassischen und feldtheoretischen Begriffennotwendig macht und die Natur daher im Rahmen einer reinen Quantentheorie beschrie-ben werden muss. Das bedeutet, dass eine Wende im physikalischen Weltbild vollzogenwerden muss, die derjenigen des Kopernikus und derjenigen Einsteins und Heisenbergs innichts nachsteht, ja eigentlich die Heisenbergsche Entdeckung überhaupt erst zu ihrer ei-gentlichen Konsequenz führt. Diese besteht darin, dass nicht geometrisch definierte Objektein einem vorgegebenen physikalischen Raum existieren, sondern abstrakte logische Objekteumgekehrt die Existenz dieses Raumes überhaupt erst begründen. Die genannten Abschnit-te versuchen andererseits die Grundidee der Quantentheorie der Ur-Alternativen des CarlFriedrich von Weizsäcker darzustellen und zu zeigen, dass sie den konsequentesten Ansatzdarstellt, um genau diese Kopernikanische Wende bezüglich der Raum-Frage zu realisieren.Denn die Ur-Alternativen sind rein logischen Objekte, elementare quantentheoretische Infor-mationseinheiten, die keine vorgegebene physikalische Realität voraussetzen, deren Existenzaber umgekehrt zu begründen gestatten. Die Abschnitte sechs, sieben, acht und neun entwi-ckeln basierend auf der Grundidee der Quantentheorie der Ur-Alternativen neue eigene kon-krete mathematische Ansätze. Dies sind im Speziellen eine Abbildung der symmetrischenZustände im Tensorraum vieler Ur-Alternativen in die Raum-Zeit, was einer Begründung derExistenz von Quantenobjekten in der Raum-Zeit entspricht, desweiteren eine Integration derinneren Symmetrien der Elementarteilchen, zudem eine rein quantentheoretische Fassungdes Wechselwirkungsbegriffes in Bezug auf Ur-Alternativen im Gegensatz zu punktweisenProdukten von Feldern und basierend auf diesen neuen Konzepten ein Grundansatz zu einerrein quantentheoretischen schlechthin hintergrundunabhängigen Formulierung des Elektro-magnetismus und der Gravitation. In dieser Einleitung muss zunächst einmal die ganze Aus-gangsfragestellung deutlich gemacht werden und in der Zusammenfassung und Diskussionwird das Ergebnis dieser Arbeit in kondensierter Weise dargestellt.Die zeitgenössische fundamentale theoretische Physik basiert auf zwei grundlegendenTheorien, nämlich der Quantentheorie und der allgemeinen Relativitätstheorie. Die Quan-tentheorie repräsentiert in ihrer allgemeinen Formulierung als Theorie des Hilbert-Raumesein abstraktes mathematisches Schema zur Beschreibung der Dynamik beliebiger physika-lischer Objekte. Aber sie sagt in dieser allgemeinen Form zunächst noch nichts darüberaus, welche speziellen Objekte mit welchen Eigenschaften es in in der Natur überhaupt gibtund welchen Wechselwirkungen sie unterliegen. Insbesondere besteht sie in dieser abstrak-ten Formulierung vollkommen unabhängig von der Existenz eines physikalischen Ortsrau-mes. Lediglich ein Zeitparameter wird in ihr vorausgesetzt, was aufgrund des noch funda-mentaleren Charakters der Zeit auch unumgänglich ist. Die allgemeine Relativitätstheorie hingegen repräsentiert eine Beschreibung von Raum und Zeit, innerhalb derer zugleich dieGravitation als einer der fundamentalen Wechselwirkungen integriert ist. Die anderen funda-mentalen Wechselwirkungen, also der Elektromagnetismus und die schwache sowie starkeWechselwirkung, sind im Rahmen relativistischer Quantenfeldtheorien formuliert. Relativis-tische Quantenfeldtheorien sind eine Verbindung aus der Quantentheorie und der speziellenRelativitätstheorie. Das große Problem besteht nun einerseits darin, eine quantentheoreti-sche Beschreibung der allgemeinen Relativitätstheorie und damit der Gravitation zu findenund andererseits darin, die Gravitation mit den anderen Wechselwirkungen in einer einzigenTheorie zu vereinheitlichen. Eine solche einheitliche Theorie müsste zudem erklären, warumes all die konkreten Objekte gibt, die es tatsächlich gibt.Nun stellt sich allerdings die Frage, in welchem begrifflichen Rahmen sich eine solcheVereinheitlichung vollziehen soll. Denn die Unterschiedlichkeit der Begriffe, auf welchendie Quantentheorie, die allgemeine Relativitätstheorie und die verschiedenen Wechselwir-kungen basieren, sind ja gerade der Kern der eigentlichen Problematik. Die Quantentheoriein ihrer abstrakten Formulierung als allgemeiner Theorie des Hilbert-Raumes aber ist deut-lich abstrakter als die allgemeine Relativitätstheorie und überhaupt jede Feldtheorie. Dennsie basiert auf den Begriffen des Zustandes als abstraktem Vektor in einem Hilbert-Raum unddem Begriff der Observable als einem Operator, der auf Zustände im Hilbert-Raum wirktund enthält außer der Zeit, dem fundamentalsten aller physikalischen Begriffe, noch keiner-lei konkrete Annahmen über die Beschaffenheit der Natur. Vor allem enthält sie wie erwähntnicht den Begriff eines physikalischen Ortsraumes und damit auch keinerlei feldtheoretischeBegriffe. Der Ursprung der Quantentheorie bei Max Planck lag darin, dass ein Kontinuummöglicher Zustände durch ein diskretes Spektrum möglicher Zustände ersetzt wurde, umdamit das Auftreten von Divergenzen zu vermeiden. Durch das Raum-Zeit-Kontinuum imRahmen von Feldtheorien gerät man aber erneut in exakt diese Problematik hinein. Diesgeschieht vor allem basierend auf der Beschreibung der Wechselwirkungen durch konti-nuierliche punktweise Produkte von Feldern. Daher kann man in relativistischen Quanten-feldtheorien nur zu endlichen Ergebnissen kommen, indem man das Verfahren der Renor-mierung anwendet, durch welches die unendlichen Werte nachträglich sozusagen künstlichbeseitigt werden. Bei dem Versuch einer quantentheoretischen Beschreibung der allgemei-nen Relativitätstheorie in der Näherung einer relativistischen Quantenfeldtheorie ist eineRenormierung aber bekanntlich unmöglich. Ein Versuch, die Unendlichkeiten zu beseitigen,besteht darin, dass man in bestimmten Ansätzen entweder die Raum-Zeit diskretisiert odereine kleinste Länge einführt. Aber es ist zu erwarten, dass dieser Versuch noch nicht an dieeigentliche Wurzel der Problematik herangeht, weil er den physikalischen Raum mit sei-nen lokalen Kausalitätsbeziehungen noch als etwas Fundamentales ansieht, wohingegen diePhänomene der Quantentheorie deutlich zeigen, dass diese Vorstellung der Realität auf derfundamentalen Ebene überwunden werden muss.Der wirkliche begriffliche Kern der ganzen Problematik besteht also darin, dass die Quan-tentheorie keinerlei feldtheoretische Begriffe enthält. Die grundsätzliche nicht-Lokalität derQuantentheorie, also die Tatsache, dass sie unabhängig vom Begriff eines physikalischenOrtsraumes ist, zeigt sich in aller Deutlichkeit sowohl im mathematischen Apparat der Quan-tentheorie alsauch in den konkreten Phänomenen wie dem Doppelspaltexperiment und demEPR-Paradoxon. Die Grenzen der Gültigkeit einer lokalen Beschreibungsweise der Naturwerden exakt durch die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation definiert, welche in Wirk-lichkeit die Grenze der Anwendbarkeit der Begriffe Ort und Impuls ausdrückt. Wenn manaber diese fundamentale nicht-Lokalität der Quantentheorie mit dem Problem der Unend-lichkeiten im Rahmen einer Kontinuumsbeschreibung zusammen betrachtet, so drängt sich die Vermutung geradezu auf, dass der physikalische Raum gar keine fundamentale Realitätder Natur ist, sondern sich aus einer fundamentaleren Beschreibungsweise der Natur erstnachträglich ergibt. Diese Beschreibung müsste dann in rein quantentheoretischen Begrif-fen erfolgen. Relativistische Quantenfeldtheorien repräsentieren eine Art Hybrid aus einerklassischen feldtheoretischen und einer quantentheoretischen Beschreibungsweise der Natur.Einstein zeigte aber in seiner Arbeit von 1935 mit dem EPR-Paradoxon, dass eine quanten-theoretische Beschreibungsweise der Natur mit einer feldtheoretischen Beschreibungsweisenicht vereinbar ist. Entweder das Prinzip der lokalen Kausalität, auf dem alle Feldtheorienbasieren, ist wahr, oder die Quantentheorie ist wahr. Das in dieser Arbeit erdachte Gedanken-experiment Einsteins wurde allerdings seither in immer neuen Weisen realisiert und immerentschieden die Experimente eindeutig zu Gunsten der Quantentheorie. Daher besteht dieNotwendigkeit, zu einer rein quantentheoretische Beschreibungsweise der Natur zu gelan-gen, aus der sich die Existenz des physikalischen Raumes, der dann über die Dynamik mitder Zeit zumindest formal zu einer (3+1)-dimensionalen Raum-Zeit verbunden werden kann,die entsprechende Darstellung der Objekte und die allgemeine Relativitätstheorie sowie dieWechselwirkungen erst nachträglich als indirekte Konsequenz ergeben.Carl Friedrich von Weizsäcker versuchte seit den 1950er Jahren in seinem Programm derRekonstruktion der Quantentheorie, die allgemeine Quantentheorie aus grundsätzlichen er-kenntnistheoretischen Postulaten zu begründen. Die hieraus hervorgehende Quantentheorieder Ur-Alternativen versteht die Quantentheorie als eine Theorie abstrakter Information inder Zeit und versucht, die Existenz der konkret existierenden physikalischen Realitäten mitihrer spezifischen Struktur herzuleiten. Das Entscheidende hierbei ist, dass Ur-Alternativenkeine Objeke in einem bereits existierenden Raum oder überhaupt irgendeiner unabhängigexistierenden physikalische Realität sind. Vielmehr konstituiert sich die physikalische Reali-tät einschließlich des Ortsraumes überhaupt erst aus den Ur-Alternativen. Zudem bilden dieUr-Alternativen diskrete Zustandsräume und bieten daher die Aussicht, die Unendlichkeitenvon Beginn an zu vermeiden. Das auf dieser Grundbasis aufsetzende Programm dieser Ar-beit wurde oben bereits erwähnt. Zunächst soll auf verschiedenen Argumentationslinien dieThese begründet werden, dass auf fundamentaler Ebene eine Beschreibunsgweise der Naturnotwendig ist, bei welcher nicht Objekte in einem vorgegebenen Raum sind, sondern ab-strakte rein quantentheoretische Objekte hinter der Existenz des Raumes stehen. Dies liefertdie entscheidende Rechtfertigung für die Annahme, dass die Quantentheorie der Ur-Alter-nativen den bisher vielversprechendsten und begrifflich konsequentesten Ansatz zu einereinheitlichen Naturtheorie darstellt. Es soll dann weiter die grundlegende Idee der Rekon-struktion der Quantentheorie und der Quantentheorie der Ur-Alternativen entwickelt werden.Anschließend werden meine eigenen neuen Beiträge dargestellt, also insbesondere ein An-satz zur Abbildung des Zustandsraumes vieler Ur-Alternativen in die Raum-Zeit und damitzur Begründung der Existenz raum-zeitlicher Quantenobjekte, ein Ansatz zur Einbindungder inneren Symmetrien der Elementarteilchen und eine Möglichkeit, den Wechselwirkungs-begriff in einer abstrakten rein quantentheoretischen Weise zu fassen. Schließlich wird basie-rend auf diesen Konzepten und dem Korrespondenzprinzip ein Vorschlag zur Formulierungeines Modells des Elektromagnetismus und vor allem der Gravitation im Rahmen der Quan-tentheorie der Ur-Alternativen entwickelt. Dies ist der aus meiner Sicht bisher begrifflichkonsequenteste Ansatz zu einer quantentheoretischen Beschreibung der Gravitation, denn erist in einem radikalen Sinne hintergrundunabhängig, indem er keinerlei raum-zeitliche Be-griffe voraussetzt, sondern nur auf dem Begriff abstrakter quantentheoretischer Informationbasiert. Um die Grundvoraussetzungen für das Argumentationsgebäude zu liefern, müssenzunächst einige erkenntnistheoretische Grundeinsichten thematisiert werden.
Der Wissenschaftstheoretiker Thomas Samuel Kuhn unterscheidet zwischen normaler Wis-senschaft und wissenschaftlichen Revolutionen [1]. Während in der normalen Wissenschaftnach einem festen Paradigma, das auf einem bestimmten System grundlegender Begriffe undPostulate basiert, spezielle Probleme gelöst werden, wird während einer wissenschaftlichenRevolution das Paradigma an sich in Frage gestellt und nach einem neuen gesucht, da sichzunehmend zeigt, dass die Art von konkreten Problemstellungen, mit denen man es zu tunhat, im Rahmen des alten Paradigmas nicht mehr behandelt werden kann. In der Geschichteder fundamentalen theoretischen Physik sind die entscheidenden wissenschaftlichen Revo-lutionen die Entstehung der klassischen Mechanik, welche sowohl die Aristotelische Vor-stellung der Mechanik alsauch die Trennung der Sphäre des Himmels mit seinen mathemati-schen Gesetzen und der der irdischen Sphäre mit ihren mechanischen Gesetzen aufhebt, derÜbergang zur Elektrodynamik mit ihrem Feldbegriff und der Einsicht, dass auch die Kräf-te eine innere Dynamik aufweisen, vor allem aber die beiden Revolutionen zu Beginn deszwanzigsten Jahrhunderts, nämlich die Entstehung der speziellen und der allgemeinen Re-lativitätstheorie, in denen sogar die grundlegende Vorstellung der Beschaffenheit von Raumund Zeit verändert wird, in dem diese mit einer neuen Struktur belegt werden, welche zu-dem in das dynamische Geschehen miteinbezogen wird, und die Entstehung der Quanten-theorie, in welcher mechanistische Begriffe und die Vorstellung einer konkret definiertenBewegung von Objekten durch Raum und Zeit überwunden werden. Während bei norma-ler Wissenschaft keine begrifflichen und erkenntnistheoretischen Grundlagenfragen gestelltwerden müssen, da der Grundrahmen fest vorgegeben ist, innerhalb dessen die speziellenProbleme gelöst werden, stehen genau diese Fragen bei einer wissenschaftlichen Revolutionim Zentrum des eigentlichen geistigen Geschehens. Das menschliche Denken basiert auf be-stimmen Begriffen, die sich auf die wirklichen Realitäten in der Natur beziehen. Es ist aberkeineswegs selbstverständlich, dass die Phänomene des neuen Erfahrungsbereiches sich mitden natürlichen Begriffen in unserem Denken adäquat beschreiben lassen. Deshalb müssennicht nur die Begriffe in unserem Denken bezüglich ihrer Anwendbarkeit auf bestimmte Rea-litäten in der Natur, sondern auch die grundsätzliche Beziehung unseres Denkens zur Naturganz grundsätzlich analysiert werden. Genau dies ist der Grund, warum für die meisten ganzgroßen theoretischen Physiker des zwanzigsten Jahrhunderts, welche die Relativitätstheorieund die Quantentheorie entdeckten und formulierten, nämlich Max Planck, Albert Einstein,Niels Bohr, Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli und Erwin Schrödinger, die philosophischenFragen in Bezug auf diese neuen Theorien von alles entscheidender Bedeutung waren. Undgenau deshalb müssen diese Fragen natürlich auch bei dem Bestreben der Vereinheitlichungder Quantentheorie, der allgemeinen Relativitätstheorie und aller fundamentalen Wechsel-wirkungen nicht nur unbedingt miteinbezogen werden, sondern sogar im Zentrum stehen.Carl Friedrich von Weizsäcker geht sogar soweit, dass er die allgemeine Quantentheorie alseine fundamentale Naturtheorie vollständig aus rein erkenntnistheoretischen Postulaten be-gründen möchte. Dies alles sollte Grund genug sein, die Bedeutung philosophischer undinsbesondere erkenntnistheoretischer Grundfragen als zentralen Bestandteil der fundamen-talen theoretischen Physik in ihrem vollen Umfang zu würdigen. Deshalb soll sich nun zu-nächst sehr grundlegenden erkenntnistheoretischen Basisfragen zugewandt werden, die fürdie Rechtfertigung und das Verständnis des von Weizsäckerschen Ansatzes der Quanten-theorie der Ur-Alternativen von zentraler Bedeutung sind.
In der Naturwissenschaft vollzieht sich eine Wechselbeziehung zwischen der Natur als ansich selbst unabhängig vom Menschen existierender Realität einerseits und dem menschli-chen Geist andererseits. Dies aber bedeutet, dass zwar nicht die Natur selbst, aber die Na-turwissenschaft als menschliche Geistestätigkeit immer auch ein in spezifischer Weise aufden menschlichen Geist bezogener Vorgang ist. Aus eben diesem Grunde ist die Untersu-chung des menschlichen Geistes selbst eine unabdingbare Voraussetzung der Naturwissen-schaft, insbesondere der fundamentalen Naturwissenschaft, die sich mit der grundlegendenBeschaffenheit der Natur in ihrem Inneren beschäftigt. Denn Carl Friedrich von Weizsä-cker brachte die Grundgegebenheit, dass die Naturwissenschaft als Untersuchung einer vommenschlichen Geist unabhängigen Realität dennoch immer nur basierend auf den grundle-genden Erkenntnisstrukturen des menschlichen Geistes basiert, auf den folgenden Satz: „DieNatur ist vor dem Menschen, aber der Mensch ist vor der Naturwissenschaft.“ Die zentralegeistesgeschichtliche Bedeutung des Immanuel Kant besteht darin, dass er jene grundlegen-de Wende im menschlichen Denken in letzter Konsequenz vollzog, welche vor allem nachden im menschlichen Geist liegenden Bedingungen der Möglichkeit von Erkenntnis fragt,welche den grundlegenden Rahmen bilden, innerhalb dessen sich die Natur, das Ding ansich in der Sprache Kants, das für sich selbst vollkommen unabhängig von diesem Rah-men existiert, für den Menschen darstellt [2],[3]. Gemäß der Kantischen Erkenntnistheoriesind es vor allem zwei Grundgegebenheiten des menschlichen Geistes, welche die grund-legende Art und Weise der Erkenntnis über die Natur konstituieren. Dies sind zum einendie Grundformen der Anschauung, nämlich Raum und Zeit, innerhalb derer uns die Objekteder äußeren Realität erscheinen, und dies sind zum anderen die Kategorien, also grundle-gende Begriffe, auf denen das menschliche Denken basiert, und mit denen der menschlicheGeist diese Erscheinungen dann ordnet. Die vielleicht wichtigste unter den Kategorien istdie Kausalität. Raum, Zeit und Kausalität sind also gemäß Kant gar keine Eigenschaftender Realität an sich, sondern Realitäten, die nur im menschlichen Geist existieren, aber fürdie menschliche Erfahrung konstitutiv sind. Das hinter der Erscheinung der Natur innerhalbdes menschlichen Geistes im Rahmen von Raum, Zeit und Kausalität eigentlich existierendeDing an sich ist seiner eigentlichen Natur nach nicht erkennbar. Kant begründet die Tatsache,dass Raum, Zeit und Kausalität nicht durch spezielle Erfahrung in den menschlichen Geistgelangt sind, sondern ihm stattdessen a priori gegeben sind, mit dem Argument, dass mansich überhaupt gar nicht denken und vorstellen könnte, dass eine Erfahrung sich nicht imRahmen von Raum, Zeit und Kausalität vollzieht. Wenn man sich zum Beispiel einen Ge-genstand vorstellt und rein gedanklich alle Eigenschaften von ihm wegnimmt, seine Farbe,die Gravitationswirkung, der er unterliegt, und schließlich sogar das Material, aus dem er be-steht, so wird am Ende doch eine Sache übrig bleiben, die man sich nicht wegdenken kann,und das ist der Raum, den er ausgefüllt hat. Wenn es aber schlechthin unmöglich ist, vonder Räumlichkeit der Gegenstände in der Welt zu abstrahieren, so kann der Mensch grund-sätzlich überhaupt keine Erfahrung über eine Realität in der Natur machen, ohne dass diesean den Anschauungsraum gebunden ist, und er kann kein Objekt wahrnehmen, ohne dassdies im Raum erscheint. Daher muss der Raum eine a priori gegebene Realität sein, welchedas grundlegende Wesen unserer Erfahrung über die Welt bestimmt, und gerade keine inder Natur an sich existierende Eigenschaft. Dies ist der Grund, warum die entscheidendenrevolutionären Schritte in der Naturwissenschaft im Denken nur schwer vollzogen werdenkönnen. Unser Denken und vor allem unser Wahrnehmungs- und Vorstellungsvermögen ista priori an bestimmte Grundgegebenheiten gebunden, die aber gerade deshalb zumindest aufder fundamentalen Ebene der Realität gar nicht zwangsläufig Gültigkeit beanspruchen kön- nen. Diese Erkenntnis, dass der Raum eine a priori gegebene Grundform der Anschauungdarstellt, die konstitutiv für menschliche Erfahrung ist, ist der entscheidende Schlüssel zumVerständnis der Paradoxien in der Quantentheorie. Unser Geist interpretiert die Phänomenein der Natur im Rahmen der Raumanschauung, welche aber auf das Quantenobjekt selbst,das Ding an sich in der Sprache Kants, überhaupt gar nicht sinnvoll bezogen werden kann.
Bei Platon im Dialog Timaios [4] wird der Materiebegriff auf eine reine mathematischeStruktur zurückgeführt, die bei ihm allerdings mit den vier regulären Körpern Tetraeder,Würfel, Oktaeder und Ikosaeder identifiziert wird, die sich ihrerseits aus gleichseitigen Drei-ecken zusammensetzen. Die entscheidende Einsicht, die sich hierin ausdrückt, besteht aberganz sicher nicht in dieser speziellen geometrischen Vorstellung, die zwar durchaus inter-essant ist, aber vor dem Hintergrund der heutigen theoretischen Physik ganz sicher nichtaufrecht erhalten werden kann. Sie besteht jedoch in der grundlegenden philosophischen Er-kenntnis, dass die Natur in ihrem Inneren nicht durch etwas Stoffliches oder Mechanischescharakterisiert ist, sondern durch reine mathematische Form, durch reine Struktur, also letzt-endlich durch etwas rein Geistiges. Allerdings ist Platon diesbezüglich nicht konsequentgenug in seinem Denken, indem er die Struktur in einem geometrischen Sinne versteht, alsoauf die Raumanschauung bezieht. Damit bleibt diese Anschauung trotz ihres immerhin schonsehr grundlegend mathematischen Ansatzes des Verständnisses des Wesens der Natur immernoch einem geometrischen, also räumlichen, und damit letztendlich doch gegenständlichenRealitätsbegriff verhaftet. Denn gemäß Descartes ist das Materielle durch die Eigenschaftder räumlichen Ausdehnung charakterisiert. Noch wichtiger aber ist der Einwand gegen ei-ne geometrische Vorstellung bezüglich der fundamentalen Objekte der Natur, der im Rah-men der zweiten Kantischen Antinomie zum Ausdruck gebracht wird, dass es nämlich schonaus Gründen der reinen begrifflichen Konsistenz und Widerspruchsfreiheit überhaupt keinekleinsten räumlichen Objekte geben kann. Denn jedes Volumen lässt sich zumindest begriff-lich immer noch weiter in Teilvolumina zerlegen [2]. Dies steht aber in völligem Einklangmit dem grundsätzlich nicht-lokalen Charakter der Quantentheorie. Kant hatte also durchrein philosophische Argumentation bereits eine Intuition für diese grundsätzliche Proble-matik, obwohl er von der Quantentheorie überhaupt noch nichts wissen konnte. Im DialogParmenides wird der Begriff des Einen philosophisch erörtert, das keine Teile und keineräumliche Struktur in sich trägt [5], was seinerseits durch Carl Friedrich von Weizsäcker inBezug auf die Objekte der Quantentheorie interpretiert wird [6]. Wir sehen hier also, dasssich die großen Philosophen bezüglich ihrer begrifflichen Reflexionsebene bereits auf ei-nem Niveau befanden, dass ohne jede Kenntnis der konkreten empirischen Phänomene derQuantentheorie die Grenzen des feldtheoretischen Denkens deutlich erkennen lässt. Wennman aber die Quantentheorie kennt, besitzt man endgültig allen Grund, sich mit diesen be-grifflichen Grundfragen in aller Gründlichkeit auseinanderzusetzen, was schließlich zur voll-kommenen Abkehr von einem naiven räumlichen Realitätsbegriff führen muss.
Nun macht es aber die Entwicklung der modernen Naturwissenschaft andererseits auch not-wendig, die Kantische Erkenntnistheorie zumindest in gewissem Sinne zu relativieren undzu modifizieren. Die grundlegende Wahrheit der Kantischen Erkenntnistheorie kann in ih-rem Grundgehalt niemals angetastet werden, denn sie analysiert einfach die im menschlichen
Geist nun einmal a priori gegebenen Grundstrukturen des Denkens, aber sie muss doch unterEinbeziehung naturwissenschaftlicher Erkenntnisse, die Kant noch nicht zugänglich waren,in einem erweiterten Rahmen interpretiert werden. Eigentlich hätte Kant auch eine solcheNeuinterpretation seiner Erkenntnistheorie unter Einbeziehung naturwissenschaftlicher Er-kenntnisse für unmöglich gehalten. Denn die grundlegenden Strukturen im menschlichenGeist stellen ja gerade Bedingungen der Möglichkeit von Erfahrung da, welche das grundle-gende Wesen aller spezielle Erfahrungsinhalte konstituieren, und sollten deshalb eigentlichdurch spezielle Erfahrung nicht modifiziert werden können. Die dem menschlichen Geistinnewohnenden Anschauungsformen und Kategorien, innerhalb derer wir als Menschen Er-fahrung machen, und die Kant ja vollkommen richtig untersucht hat, sind für die Art undWeise des Zugangs des menschlichen Geistes zur Natur tatsächlich unumgänglich. Deshalbbleibt dieser entscheidende Kern der Kantischen Erkenntnistheorie nicht nur absolut unan-getastet, sondern ist, wie wir sehen werden, von alles entscheidender Bedeutung für einwirkliches Verständnis der Quantentheorie. Allerdings ist es durchaus möglich, und dieseMöglichkeit sah Kant noch nicht, dass sich innerhalb des a priori vorgegebenen Grundrah-mens menschlicher Erkenntnis eine Realität indirekt darstellt, die an sich selbst nicht nurallgemeinere Eigenschaften aufweist, die dem teilweise widersprechen, sondern in diesenEigenschaften sogar teilweise indirekt erkennbar ist. Denn diese Eigenschaften können sichinnerhalb der dem menschlichen Geist gegeben Grundbeschaffenheit dennoch in indirekterArt und Weise widerspiegeln. In der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie Al-bert Einsteins zeigte sich beispielsweise, dass Raum und Zeit in einer spezifischen Weisemiteinander verknüpft sind und dass der Raum allgemeinere geometrische Eigenschaftenaufweist [7],[8],[9],[10]. Wenn sich aber durch empirische Untersuchungen herausstellt, wiedas bei der Relativitätstheorie der Fall war, dass der reale physikalische Raum andere Ei-genschaften hat, als wir sie ihm gemäß der in unserem menschlichen Geist liegenden Raum-anschauung zuschreiben, so kann dies doch nur bedeuten, dass unsere Raumanschauungdoch auch eine in der Realität an sich existierende Entsprechung hat, es also einen außer-halb unseres Geistes wirklich existierenden Raum gibt. Dies gilt jedoch, und hierin liegtgenau die entscheidende Grunderkenntnis dieser Schrift, nur auf der Oberflächenebene derNatur. Wenn man geistig noch tiefer ins Innere der Natur vordringt, wie dies in der endgül-tigen Gestalt der Quantentheorie geschieht [11],[12],[13],[14], so verliert die Kategorie derRäumlichkeit ihre ontologische Bedeutung tatsächlich und eben an jener Stelle erhält dieKantische Philosophie ihre alles entscheidende Bedeutung für die Interpretation der Quan-tentheorie und damit zugleich für die Suche nach dem richtigen begrifflichen Rahmen zurVereinheitlichung der fundamentalen Physik. Die Beziehung der Kantischen Philosophie zurQuantentheorie und die Kopenhagener Deutung der Quantentheorie werden ausführlich be-handelt in [15],[16],[17],[18],[19],[20],[21]. Bevor dieser zentrale Gedanke aber im nächs-ten Abschnitt in aller Ausführlichkeit dargelegt wird, muss zunächst noch darauf hingewie-sen werden, dass auch die Evolutionstheorie Charles Darwins eine wichtige Ergänzung zurKantischen Erkenntnistheorie liefert, wie sie erstmals durch Konrad Lorenz in ihrem vollenGewicht erkannt wurde und beispielsweise auch seitens Hoimar von Ditfurth und GerhardVollmer vertreten wird. Im Rahmen der evolutionären Erkenntnistheorie [22],[23],[24] er-gibt sich nämlich eine Erklärung, warum die dem menschlichen Geist a priori gegebenenWahrnehmungs- und Denkstrukturen näherungsweise, nämlich auf einer Oberflächenebene,mit der wirklichen Natur in Übereinstimmung stehen, und dann zu versagen beginnen, wennman tiefer in die eigentliche Realität der Natur vordringt. Das menschliche Gehirn, das zwarnicht mit dem menschlichen Geist identisch ist, der weit darüber hinaus geht, aber doch im-merhin seine physische Basis darstellt, entwickelte sich nämlich wie alle anderen lebenden Strukturen in der Natur im Rahmen der Phylogenese nach dem Prinzip des Überlebensvor-teiles, das es dem Menschen gewährte. Demnach haben sich die dem Gehirn innewohnendenStrukturen zur Erkenntnis der Natur, die sich dann auch im menschlichen Geist widerspie-geln, in einer solchen Genauigkeit an die Natur angepasst, dass die dem Menschen dadurchzugängliche Information über die Natur ihm einen signifikanten Überlebensvorteil einbrach-te. Diesbezüglich war also eine gewisse Übereinstimmung mit der Natur vorteilhaft, abereine tiefere Erkenntnis des Inneren der Natur nicht notwendig. Auf die Tatsache, dass dieExistenz der menschlichen Seele und menschliche Erkenntnis nicht ausschließlich in einernaturalistischen Weise zu erklären sind, da sie ja überhaupt erst die Voraussetzung für dieWahrnehmung eines Objektes in der Natur wie des Gehirnes liefern, kann in diesem Zusam-menhang nicht näher eingegangen werden. Deshalb soll sich nun der Beziehung der Kan-tischen Philosophie zur Quantentheorie in Bezug auf die Frage nach der Interpretation derNatur des Raumes näher zugewandt werden, um die es in dieser Schrift zunächst eigentlichgeht, um eine adäquate begriffliche Basis für eine konkrete mathematische Formulierungeiner einheitlichen Naturtheorie zu erhalten. Diese geschieht dann anschließend basierendauf der Rekonstruktion der Quantentheorie und dem Begriff der Ur-Alternative, welcher derKopernikanischen Wende in Bezug auf die Raumfrage im vollen Sinne Rechnung trägt.
Gemäß Hegel vollzieht sich in der Geistesgeschichte eine dialektische Bewegung hin zurWahrheit, innerhalb derer einander zunächst widersprechende Gegenpositionen, also Theseund Antithese, zu einer höheren Synthese geführt werden, die dann als These der Ausgangs-punkt des nächsten dialektischen Schrittes ist. Eine solche dialektische Bewegung hin zueiner immer tieferen und exakteren Erkenntnis vollzog sich zumindest tendenziell auch inBezug auf das Verständnis der eigentlichen Natur des Raumes. Hieran waren Philosophieund Physik in gleicher Weise beteiligt. Die höchste und für die Suche nach einer einheitli-chen Naturtheorie zentrale Ebene der Erkenntnis kann diesbezüglich in der Quantentheorie,insbesondere in der Quantentheorie der Ur-Alternativen, unter Einbeziehung der KantischenErkenntnistheorie erreicht werden. Aber um diese zu erreichen und wirklich zu verstehen,müssen zunächst die vorhergehenden Ebenen systematisch durchlaufen werden. Die Fragenach der Natur des Raumes bewegt sich durch die folgenden Thesen hindurch:
These A - Newtonsche klassische Mechanik:
Es gibt einen realen absoluten physikali-schen Raum als fundamentaler Realität und er hat in der Natur diejenigen Eigenschaften, diesich uns auch in unserer unmittelbaren Erfahrung darstellen. Der Raum ist von der ebenfallsin der Natur existierenden absoluten Zeit vollkommen unabhängig. Vor allem aber existierter unabhängig von den in ihm sich befindenden Objekten. Auch wenn man alle Objekte ausdem Raum entfernen würde, so würde der Raum weiterhin als in sich existierende unabhän-gige Entität bestehen. Dieser absolute Raum definiert aber umgekehrt einen absoluten Bewe-gungsbegriff für die in ihm sich befindenden Objekte. Diese Position bezüglich der Raum-Frage entspricht unserem natürlichen Urteil und wir unterstellen sie eigentlich gewöhnlichsolange als wahr, als wir sie keiner tieferen philosophischen Reflexion unterziehen.
These B - Leibnizscher Relationalismus:
Die Leibnizsche Anschauung bezüglich derRaum-Frage stellt gewissermaßen die dialektische Gegenposition, die Antithese, zur New- tonschen Auffassung im Rahmen der klassischen Mechanik dar. Gemäß Leibniz gibt es kei-nen absoluten Raum. Vielmehr stellt der Raum nur so etwas wie eine Beziehungsstrukturzwischen den Körpern dar. Wenn man also alle Körper aus dem Raum entfernen würde,so würde damit zugleich auch der Raum selbst verschwinden. Dem Raum kommt also ge-mäß Leibniz gar keine eigenständige für sich bestehende sondern lediglich eine durch dieExistenz der Objekte indirekt sich konstituierende Realität zu. These C - Kantische Transzendentalphilosophie:
In der Kantischen Erkenntnistheorieist der Raum eine in unserem Geist liegende Realität, eine Grundform der Anschauung. Die-se ist zwar für jegliche menschliche Erfahrung über die Natur konstitutiv. Insofern gehört derRaum notwendigerweise zur Natur, insofern sie sich im menschlichen Geist spiegelt. Aberder Realität der Natur selbst, dem Ding an sich, kommt die Räumlichkeit nicht zu. DieseAnschauung wurde im letzten Abschnitt bereits dargelegt und sie stellt die im Vergleichzur Leibnizschen noch deutlich grundsätzlichere Antithese zur Newtonschen dar, indem siedem Raum nicht nur eine lediglich indirekt über die Objekte verliehene Existenz zuschreibt,sondern ihm seine Existenz außerhalb des menschlichen Geistes überhaupt abspricht. DemRaum kommt zwar eine wirkliche Realität zu, aber diese liegt ausschließlich im menschli-chen Geist und seinem Bezug zur Wirklichkeit.
These D - Einsteinsche spezielle Relativitätstheorie:
Der Raum existiert doch als wirk-liche Realität in der Natur, aber er hat andere Eigenschaften als diejenigen, die unser Geistihm zunächst zuschreibt. Demnach muss eine Unterscheidung vorgenommen werden zwi-schen der in unserem Geist a priori gegebenen Anschauungsform des Raumes im Kanti-schen Sinne (These C) und dem physikalischen Raum in der Realität an sich. Hierbei istder Raum als Anschauungsform in unserem Geist dem realen Raum in der Natur nur in derNäherung der klassischen Mechanik isomorph. In der Natur selbst ist der Raum gemäß derspeziellen Relativitätstheorie mit der Zeit zur Raum-Zeit verbunden (zumindest ist eine sol-che Beschreibung formal möglich) und raum-zeitliche Beziehungen sind entgegen unserernatürlichen Anschauung vom Bezugssystem abhängig.
These E - Einsteinsche allgemeine Relativitätstheorie:
In der allgemeinen Relativitäts-theorie werden die Erkenntnisse bezüglich des Raumes gemäß der speziellen Relativitäts-theorie (These D) beibehalten aber zugleich um neue erweitert. Der Raum trägt hier einein sich gekrümmte metrische Struktur. Diese metrische Struktur ist selbst dynamisch undmuss deshalb selbst wie ein Objekt behandelt werden. Die Raumkoordinaten hingegen be-schreiben keine absolute Realität, sondern lediglich eine Beziehung zwischen dynamischenEntitäten, zu denen auch die metrische Struktur gehört, also das Gravitationsfeld. Real sindnur Koinzidenzen im Raum, was sich formal in der Diffeomorphismeninvarianz ausdrücktbeziehungsweise in der Tatsache, dass es in der allgemeinen Relativitätstheorie keine abso-luten räumlichen Größen gibt. Das Phänomen der Beschleunigung existiert zwar wirklich,aber in Bezug auf das Gravitationsfeld als einer dynamischen Größe. Damit bestätigt die all-gemeine Relativitätstheorie den Leibnizschen Raum-Relationslismus (These B). Dies wirdin sehr exakter Weise in [25] und [26] thematisiert.
These F - Heisenbergsche Quantentheorie und Kopenhagener Deutung:
Mit der Quan-tentheorie wird entdeckt, dass auf der fundamentalen Ebene räumliche Kausalstrukturen ih-re Gültigkeit vollkommen verlieren. Auf der fundamentalen Ebene gibt es überhaupt keinenRaum mehr und die Kategorie der Lokalität verliert ihren Sinn. Hier wird Kant (These C) al-so insofern vollkommen bestätigt, als ein Quantenobjekt als Ding an sich keinerlei räumlicheEigenschaften hat. Diese erhält es erst dadurch, dass es in unserer Raumanschauung darge-stellt wird. Und die Paradoxien, wie sie sich etwa im Doppelspalt-Experiment oder im EPR-Paradoxon zeigen, entstehen dadurch, dass die Raumanschauung auf eine Realität angewandt wird, auf die sie schlicht und einfach nicht passt. Die Grenzen, innerhalb derer klassischeräumliche Begriffe näherungsweise angewandt werden können, sind durch die Heisenberg-sche Unbestimmtheitsrelation mathematisch exakt definiert. Die spezielle Relativitätstheorie(These D) und die allgemeine Relativitätstheorie (These E) korrigieren die Kantische Er-kenntnistheorie (These C) also nur insofern, als der Raum auf der klassischen Oberflächene-bene doch auch in der Natur selbst existiert. Aber auf der tieferen durch die Quantentheoriebeschriebenen Ebene verlieren räumliche Kausalstrukturen in der Natur selbst letztendlichdoch ihre Gültigkeit. Dadurch wird Kant (These C) also nicht nur darin bestätigt, das demmenschlichen Geist a priori gegebene Denkstrukturen innewohnen, welche menschliche Er-fahrung überhaupt erst möglich machen, sondern auch darin, dass die Räumlichkeit demDing an sich, also in diesem Zusammenhang dem Quantenobjekt, auf der fundamentalenEbene tatsächlich nicht zukommt. Auf die entsprechenden Schriften, in denen dies behan-delt wird, wurde im letzten Abschnitt bereits verwiesen [15],[16],[17],[18],[19],[20],[21]. These G - Von Weizsäckersche Quantentheorie der Ur-Alternativen:
Die Quanten-theorie der Ur-Alternativen nimmt diese der Quantentheorie letztendlich innewohnende zen-trale Erkenntnis bezüglich der Natur des Raumes (These F) wirklich ernst, indem sie sich vonräumlich-feldtheoretischen und damit klassisch-mechanistischen Begriffen endgültig löst.Statt konkreten Objekten im Raum, welche ihren nicht-lokalen Charakter nur indirekt überdie Unbestimmtheitsrelation erhalten, der zudem in den Quantenfeldtheorien über die Defi-nition der Wechselwirkung über punktweise Produkte von Feldern doch wieder aufgehobenwird, postuliert sie mit Alternativen rein abstrakt-logische Objekte als fundamentalster Dar-stellung der Realität der Natur in unserem Geist. Diese Objekte existieren nicht in einemvorgegebenen Raum, sie gestatten aber umgekehrt die Begründung der Existenz eines sol-chen Raumes als einer möglichen indirekten Darstellung dieser Alternativen und ihrer Bezie-hungen. Damit wird nicht nur der in der allgemeinen Relativitätstheorie (These E) enthalte-nen Leibnizschen Erkenntnis (These B) in wirklich konsequenter Weise Rechnung getragen,dass der Raum eine sich nur indirekt aus der Existenz von Objekten konstituierende Realitätist, sondern auch der in der Quantentheorie (These F) enthaltenen Kantischen Erkenntnis(These C), dass der Raum keine fundamentale Realität der Natur ist, sondern auf der fun-damentalen Ebene der Natur überhaupt keine räumlichen Kausalstrukturen mehr existieren.Die Quantentheorie der Ur-Alternativen wird in [18],[19] und [20] in ihren physikalischenund philosophischen Grundlagen ausführlich dargestellt und entwickelt.
Es sollen nun die konkreten empirischen Gründe genannt werden, welche die These dernicht-Lokalität der Natur eindeutig stützen, also die These, dass der physikalische Ortsraummit den ihm innewohnenden Kausalstrukturen keine fundamentale Realität der Natur seinkann, sondern nur eine als Näherung sich ergebende Realität. Denn dies folgt in Wirklich-keit direkt aus unabweisbaren empirischen Tatsachen. Der Inhalt der folgenden Erörterungenist zwar eigentlich allgemein bekannt, aber bisher wurden in Bezug auf die Suche nach einereinheitlichen Naturtheorie nicht die entsprechenden und unumgänglichen Schlüsse gezogen.Deshalb werden hier das Doppelspaltexperiment einerseits und das EPR-Paradoxon ande-rerseits in ihrer Relevanz in Bezug auf die Raum-Frage zu Rate gezogen.
Doppelspaltexperiment:
Beim Doppelspaltexperiment wird eine Laser-Licht-Quelle vor ei-ne Blende mit zwei Schlitzen gestellt und dahinter befindet sich eine Photoplatte, die durchdie Einwirkung von Licht geschwärzt wird. Wenn das Experiment zunächst in der Weise durchgeführt wird, dass jeder der beiden Spalten einzeln für sich geöffnet wird, so ergibtsich jeweils ein spezifisches Interferenzmuster. Wenn man dann anschließend beide Spal-ten öffnet, so ergibt sich allerdings ein spezifisches Interferenzmuster auf der Photoplatte,dass nicht der Überlagerung der Interferenzmuster für die beiden einzeln geöffneten Spal-te entspricht. Man kann dieses Experiment auch mit einer solch schwachen Lichtintensitätdurchführen, dass das Eintreffen und Erzeugen von Schwärzungspunkten durch einzelnePhotonen beobachtet werden kann, also einzelne Photonen durch die Blende auf die Pho-toplatte gelangen. Nun kann man aber unter dieser Voraussetzung in der folgenden Weiseargumentieren: Wenn ein Photon sich nur durch einen der beiden Spalte bewegt, so ist dieserVorgang unabhängig davon, ob der andere Spalt geöffnet ist oder nicht. Demnach dürfte sichdas Interferenzmuster für die Durchführung des Experimentes bei Öffnung beider Spaltenaber nicht von demjenigen für die Durchführung des Experimentes unterscheiden, bei dernacheinander jeweils einer der beiden Spalte geöffnet wird und der jeweils andere geschlos-sen bleibt. Vielmehr müsste sich im Falle, dass beide Spalte gleichzeitig geöfffnet sind, alsInterferenzmuster eine direkte Überlagerung der beiden Interferenzmuster für die einzelngeöffneten Spalte ergeben. Tatsächlich aber unterscheidet sich das Interferenzmuster für denFall, dass beide Spalte gleichzeitig geöffnet sind, vom Fall, dass sie nacheinander einzelngeöffnet werden, denn es tritt ein zusätzlicher Interferenzterm auf. Dies aber kann ja nur be-deuten, dass die Annahme, dass sich ein einzelnes Photon entweder nur durch den einen odernur durch den anderen Spalt bewegt, an sich grundsätzlich nicht wahr ist. Dem Photon kannalso keine Teilchenbahn zugeordnet werden und es ist delokalisiert. Gleichzeitig aber han-delt es sich bei einem Photon um ein in sich zumindest räumlich unteilbares Quantenobjekt,dass keine innere Kausalstruktur in dem Sinne trägt, dass einzelne Teile der Welle, durch diedas Photon beschrieben wird, aufeinander einwirken könnten. Das Photon besteht also nichtaus verschiedenen Bereichen oder Teilen, in die es gedanklich zerlegt werden könnte, wiedies bei einer klassischen Welle der Fall ist, deren einzelne Bereiche in kontinuierlicher Wei-se kausal aufeinander einwirken. Vielmehr handelt es sich bei einem Photon um eine in sichim schlechthinnigen Sinne einheitliche Realität, die aber dennoch vollkommen delokalisiertist, zumindest im Rahmen dessen, was durch die Unbestimmtheitsrelationen definiert ist. Alsausgedehnte Welle im Raum müsste sich ein Quantenobjekt eigentlich in unterschiedlichekausal eigenständige Teile zerlegen lassen, aber dies ist in Wirklichkeit nicht der Fall, da esein Quantum der Wirkung ist und daher keine kausale Substruktur in sich trägt. Diese Ei-genschaft bezeichnet Niels Bohr mit dem Begriff der Individualität. Und hieraus ergibt sichzwingend, dass die Eigenschaft der Räumlichkeit nur eine indirekte Art der Darstellung ist,aber dem Quantenobjekt an sich definitiv nicht zukommt. EPR-Paradoxon:
Im Jahre 1935 erdachte Albert Einstein gemeinsam mit seinen beidenKollegen Boris Podolsky und Nathan Rosen ein Gedankenexperiment, das von zentraler Be-deutung für das Verständnis der eigentlichen Natur der Realität gemäß der Quantentheorieist, und dessen Gehalt als EPR-Paradoxon Berühmtheit erlangte [27]. Hierbei werden zweiQuantenobjekte betrachtet, die miteinander in Wechselwirkung treten und sich anschließendweit voneinander wegbewegen, zumindest auf der räumlichen Oberflächenebene unserer Be-trachtung. Einstein zeigte nun, dass wenn man eine Messung des Ortes des ersten Teilchensdurchführt, aus der Quantentheorie folgt, dass auch der Ort des zweiten Teilchens exaktbestimmt sein muss, und dass wenn man eine Messung des Impulses des ersten Teilchensvornimmt, zugleich auch der Impuls des zweiten Teilchens exakt bestimmt sein muss. Daaber gemäß dem Postulat der lokalen Kausalität, demgemäß sich Wirkungen mit maximalLichtgeschwindigkeit durch die Raum-Zeit ausbreiten, die Messung am ersten Teilchen das zweite Teilchen nicht instantan beeinflussen kann, so scheint hieraus zu folgen, dass derOrt und der Impuls des zweiten Teilchens gleichzeitig exakt bestimmt sein müssen. Diesaber wäre eine direkte Verletzung der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation zwischenOrt und Impuls, ∆ x ∆ p ≥ ¯ h , und damit wäre gezeigt, dass die Quantentheorie in sich selbstinkonsistent und damit als fundamentale Beschreibung der Natur ungeeignet ist. EinsteinsArgumentation ist unter der Voraussetzung vollkommen konsistent und unausweichlich, dassman das Prinzip der lokalen Kausalität als wahr unterstellt, also dass sich Wirkungen in ei-nem feldtheoretischen Sinne mit maximal Lichtgeschwindigkeit durch den Raum bewegen.Was Einstein aber in der ihm eigenen argumentativen Härte und Stringenz eigentlich zeig-te, das ist nicht die Inkonsistenz der Quantentheorie, sondern dass die Quantentheorie mitdem Prinzip der lokalen Kausalität nicht vereinbar ist. Und das bedeutet, dass es genau zweiMöglichkeiten gibt, die sich allerdings gegenseitig ausschließen, was bedeutet, dass wenndie eine wahr ist, die andere notwendig unwahr sein muss:
1) Das Prinzip der lokalen Kausalität ist gültig.2) Die Quantentheorie ist in sich konsistent und der ihr innewohnende nicht-lokaleCharakter beschreibt die Natur korrekt.
Niels Bohr antwortete bereits im gleichen Jahr mit einer Arbeit, in welcher er die Quan-tentheorie verteidigte [28]. Mittlerweile wurde das Einsteinsche Gedankenexperiment aberin anderer Weise vielfach realisiert, meistens in Bezug auf den Spin der Teilchen als Mess-größe. Hierbei spielen die Betrachtungen Bells eine wichtige Rolle [29]. Und diese Experi-mente entschieden bisher immer zu Gunsten der Quantentheorie. Es besteht also eine direkteKorrelation zwischen dem Messergebnis zweier aus einer räumlichen Perspektive betrach-tet weit voneinander entfernter Quantenobjekte, was bedeutet, dass der Zustand des einenObjektes durch den Vorgang der Messung am anderen Objekt instantan beeinflusst wird.Genaugenommen handelt es sich eigentlich gar nicht um zwei voneinander getrennte Ob-jekte, sondern um ein einziges Objekt, dass in der Wahrnehmung nur künstlich als in zweiObjekte aufgespalten erscheint. Dies aber bedeutet nichts anderes, als dass das Prinzip derlokalen Kausalität, auf dem alle Feldtheorien basieren, zu Gunsten einer nicht-lokalen quan-tentheoretischen Beschreibungsweise der Realität aufgegeben werden muss und die räum-liche Wirklichkeit nur einer indirekten äußeren Darstellung des Geschehens in der Naturentspricht. Dies gilt zumindest auf der fundamentalen Ebene. Zu einem Kulminationspunktgelangte diese Art des Experimentes schließlich bei Anton Zeilinger, dem es gelang, aufdiese Weise quantentheoretische Zustände zu teleportieren [30],[31].
Die allgemeinste und abstrakteste Formulierung der Quantentheorie im Sinne Paul AdrienMaurice Diracs und Johann von Neumanns [32],[33] als einer Theorie des Hilbert-Raum-es setzt keinerlei konkrete physikalische Begriffe voraus, weder einen Massenbegriff, nocheinen gewöhnlichen Wechselwirkungsbegriff, noch räumlich-feldtheoretisch definierte Ob-jekte oder überhaupt einen physikalischen Ortsraum. In dieser abstrakten Fassung basiertdie Quantentheorie lediglich auf den hoch abstrakten Begriffen des Zustandes als Vektorund der Observable als Operator in einem Hilbert-Raum. Alle anderen Begriffe werden inder gewöhnlichen Elementarteilchenphysik nur über das der Natur der Quantentheorie ei-gentlich vollkommen fremde feldtheoretische Denken in die Beschreibung der Natur ge- bracht, also über klassische Theorien, auf die man das abstrakte mathematische Schema derQuantentheorie erst nachträglich durch den Vorgang der Quantisierung überträgt. Aber dieQuantentheorie an sich selbst ist davon in keiner Weise abhängig. Einzig und alleine dieZeit als fundamentalstem Begriff der Natur und des menschlichen Denkens muss auch inder Quantentheorie erhalten bleiben. Denn auch in der Kantischen Philosophie kommt derZeit fundamentalerer Charakter zu als dem Raum, da die Zeit als Grundform der innerenAnschauung im Gegensatz zum Raum als Grundform der äußeren Anschauung sogar zurseelischen Welt der Empfindungen gehört. Die Zeit liegt sowohl allen seelischen Phänome-nen alsauch allen Phänomenen in der Natur zu Grunde und ihr muss daher ein Sonderstatusbeigemessen werden. Daran ändert auch die spezielle Relativitätstheorie nichts, welche denUnterschied zwischen Zeit und Raum nicht aufhebt, sondern diese beiden wesensfremdenRealitäten nur formal zu einer Raum-Zeit verbunden zu beschreiben gestattet. Aber auchhier läuft die Zeit nur in eine Richtung und die Raum- beziehungsweise Zeitartigkeit desAbstandes zweier Ereignisses ist eine Lorentz-invariante Größe. Zudem weist ein physikali-sches Objekt bezüglich der Raum-Zeit immer nur drei Freiheitsgrade auf, da der vierte überdie dynamische Grundgleichung weggenommen wird. Es gibt also faktisch immer eine zeit-liche Bewegung, die etwas anderes ist als eine räumliche Ausdehnung, nur dass diese zeit-liche Bewegung sich von unterschiedlichen Bezugssystemen aus anders darstellt. Aber alleanderen gewöhnlichen physikalischen Begriffe im klassischen Sinne außer der Zeit spielenin der abstrakten Quantentheorie überhaupt keine Rolle mehr. Werner Heisenberg formu-lierte die These, dass man einen bestimmten Bereich der Natur dann verstanden habe, wennman die richtigen Begriffe gefunden habe, mit denen man ihn beschreiben muss. Aber ermeinte, dass das Schwierigste bei diesem Prozess des Übergangs zu neuen Begriffen eigent-lich nicht das Auffinden der neuen Begriffe sei, sondern die gedankliche Loslösung von denalten Begriffen. In diesem Sinne scheint es mir nahe zu liegen, dass eine der zentralen Her-ausforderungen bei der Suche nach einer einheitlichen Beschreibung der Natur, in der dieQuantentheorie, die verschiedenen Objekte und deren Wechselwirkungen in der Elementar-teilchenphysik und die allgemeine Relativitätstheorie eine wirkliche Synthese eingehen, inder radikalen Überwindung klassischer Begriffe besteht und nur noch die Quantentheorie inihrer abstrakten Begrifflichkeit nicht aber irgendwelche klassischen Relikte feldtheoretisch-mechanistischen Denkens enthalten sind. Aber genau dies leistet die Quantentheorie der Ur-Alternativen. Denn sie versucht auch in ihrer physikalischen Begriffsbildung den rein ab-strakt-logischen Charakter als eigentlicher Essenz der Quantentheorie herauszuarbeiten wieer in der Dirac-von Neumannschen allgemeinen Formulierung der Quantentheorie deutlichzum Vorschein kommt. In diesem Zusammenhang sollte auch darauf hingewiesen werden,dass eine Quantenzahl, durch welche nicht nur der Spin sondern auch die sogenannten in-ternen Freiheitsgrade wie Isospin und Farbe beschrieben werden, ein sehr viel abstraktererrein quantentheoretischer Begriff ist und von jedem feldtheoretisch oder räumlich definiertenBegriff in grundsätzlicher Weise unterschieden ist. In der gewöhnlichen Elementarteilchen-physik herrscht also bereits eine Dualität aus einer rein quantentheoretischen Begrifflichkeit,wie sie mit den Quantenzahlen auftritt und einer primär feldtheoretischen Denkweise, in-dem man diese als Eigenschaften von räumlich definierten Objekten ansieht. Es ist alsoschon um der diesbezüglichen begrifflichen Einheit willen davon auszugehen, dass auch diekontinuierliche räumliche Realität letztendlich auf eine rein quantentheoretische Realität zu-rückgeführt werden muss. Umgekehrt kann es schon deshalb nicht gehen, weil Quantenzah-len abstrakter sind als konkrete räumliche Objekte und eine begriffliche Rückführung undEinordnung, die das eigentliche Wesen aller strukturellen Erkenntnis darstellt, immer nurin der Richtung einer Begründung des Konkreten aus dem Abstrakten geschehen kann, bei dem konkrete Begriffe unter abstrakten Begriffen zusammengefasst werden. Gemäß EugeneWigner werden zwar Elementarteilchen bereits rein mathematisch durch Symmetrien cha-rakterisiert [34],[35], als irreduzible Darstellungen der Poincare-Gruppe, also als etwas sehrAbstraktes. Aber diese sind wie die Dreiecke in Platons Timaios noch auf die Raum-Zeit be-zogen und damit zumindest indirekt geometrisch definiert. Die abstrakten Ur-Alternativenin der von Weizsäckerschen Theorie hingegen basieren nur auf reiner quantentheoretischerLogik als fundamentaler Realität, die der Natur letztendlich zu Grunde liegt. Die in den letzten beiden Unterabschnitten dargelegten Argumente führen also unausweich-lich zu der Einsicht, dass die physikalische Realität auf der basalen Ebene nicht-räumlichist. Unsere Vorstellung ist aber gemäß Immanuel Kant an die a priori in unserem Geist an-gelegte Anschauungsform des Raumes gebunden. Dies ist der Grund, warum es gemäß derKopenhagener Deutung der Quantentheorie notwendig ist, alle Experimente in klassischenBegriffen zu beschreiben, einfach weil unser Denken und unsere Wahrnehmung an sie ge-bunden ist. Die Grenze dieser klassischen, also räumlich-feldtheoretischen, Beschreibungs-weise in Bezug auf die Realität an sich ist aber durch die Unbestimmtheitsrelation exaktdefiniert. Wenn wir allerdings basierend auf der Räumlichkeit versuchen, quantentheoreti-sche Objekte und Vorgänge darzustellen und zu verstehen, so kommt es zu den bekanntenParadoxien. Die Auflösung dieser Paradoxien besteht also in der Erkenntnis, dass die Quan-tentheorie von einer Realitätsebene handelt, auf der räumlich-feldtheoretische Begriffe nochüberhaupt keine Gültigkeit besitzen. Dies aber bedeutet, dass auch die fundamentalen Ob-jekte noch nicht an diese Begrifflichkeit gebunden sein müssen und können. Da es aber aufder Oberflächenebene den Raum mit seinen lokalen Kausalbeziehungen wirklich gibt, musssich diese physikalische Struktur als Näherung indirekt im Sinne einer Konsequenz ergeben.Und ebendies führt zur zentralen und alles entscheidenden Kopernikanischen Wende in Be-zug auf die Raum-Frage, die in folgender Weise formuliert werden kann:
Nicht geometrisch definierte Objekte befinden sich in einem vorgegebenen Raum miteiner lokalen Kausalstruktur, sondern abstrakt-logische Objekte konstituieren um-gekehrt die Existenz des Raumes, der sich als eine bestimmte Art der Darstellungindirekt als Konsequenz ergibt, dem aber keine fundamentale Natur zukommt.
Diese Kopernikanische Wende als Konsequenz der nicht-Räumlichkeit der Natur auf ba-saler Ebene gemäß der Quantentheorie, wie sie in diesem Abschnitt eingehend thematisiertwurde, wird durch den Begriff der Ur-Alternative in konsequenter Weise ausgedrückt. Denndie Ur-Alternativen als fundamentalen Informationseinheiten setzen den Raumbegriff nochnicht voraus, sondern nur die reine Logik und befinden sich daher nicht im Raum. Sie er-möglichen aber umgekehrt, wie später in dieser Arbeit gezeigt werden wird, die Begründungder Existenz eines dreidimensionalen reellen Raumes, der über die Dynamik dann mit derZeit zu einer reellen (3+1)-dimensionalen Raum-Zeit als Darstellungsmedium der Zustän-de vieler Ur-Alternativen erweitert werden kann. Damit kann die Existenz von Objekten ineiner Raum-Zeit also aus den Ur-Alternativen und damit aus der abstrakten Quantentheorieaufgefasst als einer Theorie der Information in der Zeit mathematisch begründet werden.Dies ist der entscheidende Grund, warum die Quantentheorie der Ur-Alternativen rein be-grifflich der überzeugendste bisher existierende Ansatz zu einer einheitlichen Naturtheorieist. Denn hier ist die Kopernikanische Wende bezüglich der Raumfrage wirklich bezüglich der grundlegenden Begrifflichkeit enthalten. Deshalb soll sich im nächsten Abschnitt demProgramm Carl Friedrich von Weizsäckers zugewandt werden, die Quantentheorie als eineTheorie logischer Alternativen zu verstehen. In diesem Zusammenhang ist es aber wichtig,darauf hinzuweisen, dass das wirklich klassische und feldtheoretische Element, und damitwohl auch die Wurzel der Entstehung der unendlichen Werte, im Rahmen relativistischerQuantenfeldtheorien eigentlich erst mit der Definition der Wechselwirkung über punktweiseProdukte von Feldern zurück in die Beschreibung der Natur gelangt. Denn eine quantisiertefreie Feldtheorie entspricht bekanntlich der Quantenmechanik vieler Teilchen. Diese enthältaber die nicht-Lokalität zumindest implizit über die Unbestimmtheitsrelation, wenn auchvielleicht in begrifflich nicht ganz konsequenter Weise. Aus diesem Grunde wird es vor allementscheidend sein, gerade den Wechselwirkungsbegriff basierend auf den Ur-Alternativen ineiner abstrakten rein quantentheoretischen Weise zu fassen. Das Programm der Rekonstruktion der Quantentheorie als einer einheitlichen Naturtheoriedes Carl Friedrich von Weizsäcker basiert auf dem rein logischen Begriff der Alternative alsfundamentalster Darstellung der Realität der Natur in unserem Geist und besteht grundsätz-lich aus zwei Schritten, die man in der folgenden Weise charakterisieren kann:
1) Zunächst muss die allgemeine Quantentheorie in ihrer abstrakten Gestalt als Theo-rie des Hilbert-Raumes gemäß Paul Adrien Maurice Dirac und Johann von Neumann[32],[33] begründet werden. Dies geschieht über den Begriff der abstrakten logischenAlternative in der Zeit als fundamentalster möglicher Darstellung und Schematisie-rung physikalischer Realitäten in unserem Geist. Die in diesem abstrakten Sinne ver-standene Quantentheorie ohne zusätzliche spezielle Annahmen einer weiteren Theorieder Objekte oder des physikalischen Ortsraumes wird dann als der einheitliche Rah-men zur Beschreibung der Einheit der Natur postuliert.2) Aus der abstrakten Quantentheorie als Theorie logischer Einheiten in der Zeit, alsoletztendlich aus quantentheoretisch verstandener Information, muss dann die konkre-te Physik mit der Existenz ihrer speziellen Objekte und deren Dynamik und Wechsel-wirkungen einschließlich des Raumes begründet werden. Dies geschieht mit Hilfe derlogischen Möglichkeit der Aufspaltung jeder Alternative in eine Kombination binärerAlternativen, die in ihrer grundsätzlichen Rolle als den logisch fundamentalsten Ob-jekten der Naturbeschreibung als Ur-Alternativen bezeichnet werden.
Carl Friedrich von Weizsäcker erdachte, entwickelte und formulierte dieses grundlegen-de Programm vor allem in [18],[19],[20],[36],[37],[38],[39],[40],[41]. Teilweise Darstellun-gen beziehungsweise Weiterentwicklungen des von Weizsäckerschen Programmes sind bei-spielsweise zu finden in [42],[43],[44],[45],[46],[47],[48],[49],[50],[51],[52],[53],[54],[55],[56],[57],[58],[59],[60].Die grundlegende Idee des ersten Schrittes des Programms des Carl Friedrich von Weiz-säcker basiert auf dem Kantischen Gedanken, dass die grundlegenden Naturgesetze sichaus den Bedingungen der Möglichkeit von Erfahrung ergeben. Die hierin enthaltene Argu-mentation besteht darin, dass man nur dann wirklich sicher sein kann, dass Naturgesetze grundsätzlich in der Erfahrung gelten, wenn sie eine notwendige Bedingungen der Möglich-keit von Erfahrung sind, Erfahrung ohne sie also gar nicht möglich wäre. Die universelleGültigkeit der allgemeinen Quantentheorie soll sich demnach also aus den Bedingungender Möglichkeit von Erfahrung ergeben. Dies geht insofern noch über Kant hinaus als Kantnur den grundlegenden begrifflichen Rahmen nicht aber die Einzelgesetze aus den Bedin-gungen der Möglichkeit von Erfahrung begründen wollte. Raum, Zeit und Kausalität lassensich also gemäß Kant als Bedingungen der Möglichkeit von Erfahrung deuten, da sie ganzgrundlegend und allgemein sind. Spezielle Gesetze wie das Gravitationsgesetz aber müs-sen zusätzlich durch spezielle Erfahrung in unseren Geist gelangen. Bei von Weizsäckerhingegen sollen sich auch alle Einzelheiten letztendlich aus der abstrakten Quantentheorieergeben, wenn sie ersteinmal aus den grundlegenden Bedingungen der Möglichkeit von Er-fahrung konstruiert ist. Dies ist natürlich aufgrund des extrem hohen Anspruches, den diesesProgramm in sich enthält, bisher noch nicht annähernd erreicht worden. Die Rekonstruktionder abstrakten Quantentheorie kann man basierend auf einer Reihe von Postulaten recht gutvollziehen, wenngleich zumindest nicht von allen diesen Postulaten zwingend argumentativgezeigt werden kann, dass es sich um Bedingungen der Möglichkeit von Erfahrung handelt.Aber die Begründung der konketen Physik aus der abstrakten Quantentheorie über die Ur-Alternativen ist eben doch ein ungeheures Programm, das bisher nur ansatzweise vollzogenwerden konnte. Was man aber immerhin schon herleiten kann, das ist die Existenz einesdreidimensionalen reellen Raumes, der über die in der abstrakten Form der Schrödinger-Gleichung enthaltene allgemeine Dynamik der Quantentheorie zudem mit der Zeit zu ei-ner (3+1)-dimensionalen Raum-Zeit verbunden werden kann. Dies soll in dieser Arbeit invielleicht konsequenterer Weise als bisher geschehen, indem nicht der Zustandsraum einzel-ner Ur-Alternativen als S , also als dreidimensionale Sphäre, mit dem Ortsraum identifiziertwird, sondern die Zustände im Tensorraum vieler Ur-Alternativen, in dem Erzeugungs- undVernichtungsoperatoren wirken, als Funktionen in einem dreidimensionalen reellen Orts-raum dargestellt werden, was über die Definition eines entsprechenden Hamilton-Operatorsdie formale Beschreibung in einer (3+1)-dimensionale Raum-Zeit gemäß der speziellen be-ziehungsweise der allgemeinen Relativitätstheorie zulässt. Damit ist gezeigt, dass Zuständeaus vielen Ur-Alternativen sich indirekt als Objekte in der Raum-Zeit darstellen. Dies er-möglicht grundsätzlich die Darstellung jedes beliebigen dynamischen Vorganges, der sichauf Objekte bezieht, die aus Ur-Alternativen aufgebaut sind, in einer (3+1)-dimensionalenRaum-Zeit, die sich damit also argumentativ zwingend als direkte Konsequenz der abstrak-ten Quantentheorie als einer Theorie der Information ergibt. Bei der weiteren Begründungder Existenz der speziellen Objekte, also Elementarteilchen mit zusätzlichen konkreten At-tributen wie Spin, Masse und inneren Symmetrien sowie deren Wechselwirkungen, sollteman zwar als endgültiges Ziel die von Weizsäckersche Ambition nicht vergessen. Man soll-te sich aber wohl zunächst auf den immer noch sehr grundsätzlichen aber nicht ganz soambitionierten Versuch beschränken, die real existierenden Objekte und Wechselwirkungendurch Ur-Alternativen auszudrücken, also Strukturen aus Ur-Alternativen zu konstruieren,die näherungsweise zu den konkreten Objekten und Wechselwirkungen in der Raum-Zeitführen ohne aber schon begründen zu können, dass ausschließlich diese Strukturen möglichsind. Und damit kann man dann in der Tat zu einer rein quantentheoretischen auf Ur-Alter-nativen basierenden Beschreibung der Dynamik freier Objekte, der inneren Symmetrien undauch zumindest eines ersten Modells des Elektromagnetismus und der Gravitation gelangen,was in den späteren Abschnitten entwickelt wird. Die Abbildung von Zuständen vieler Ur-Alternativen in die Raum-Zeit, der Versuch einer Bildung eines rein auf Ur-Alternativen sichgründenden abstrakt-quantentheoretischen Wechselwirkungsbegriffes, die Einbindung inne- rer Symmetrien über die Betrachtung von oktonionischen Strukturen im Rahmen der Ur-Alternativen und die Konstruktion eines ersten Modells zur Beschreibung der elektromagne-tischen sowie der gravitativen Wechselwirkung im begrifflichen Rahmen der Quantentheorieder Ur-Alternativen stellen meinen eigenen spezifischen neuen Beitrag zur von Weizsäcker-schen Theorie dar, der im Rahmen dieser Arbeit behandelt wird.Die Idee des Raum-Relationalismus im Sinne der Einsteinschen allgemeinen Relativitäts-theorie ist auch in der sehr vielversprechenden und mathematisch auf sehr hohem Niveauformulierten Schleifenquantengravitation bereits verwirklicht, die seitens Carlo Rovelli undLee Smolin entwickelt wurde [25],[61],[62],[63]. Aber hier geht man trotzdem noch von derallgemeinen Relativitätstheorie als einer Feldtheorie aus, wenn auch in einer anderen mathe-matischen Formulierung mit Spin-Konnektionen und Holonomien, und überträgt dann dieMathematik der Quantentheorie auf diese feldtheoretische Denkweise. Und auch die Spin-Netzwerke [25],[63] gehen von einem zwar abstrakten Netz von Punkten aus, das aber ansich selbst nun eine quantentheoretische Beschreibung der Raum-Zeit liefern soll, währendim Ansatz Carl Friedrich von Weizsäcker auf der fundamentalen Ebene überhaupt keineRaum-Zeit existiert, auch nicht in einem diskretisierten Sinne oder im Sinne eines Netzwer-kes. Vielmehr besteht die Natur, welche überhaupt nur in Bezug auf unseren menschlichenGeist beschrieben werden kann, nur aus abstrakter quantentheoretischer Information. DieIdee, die physikalische Realität basierend auf dem Begriff der Quanteninformation zu grün-den, wird in anderer Weise auch seitens Fotini Markopoulou und einiger ihrer Kollegen inden folgenden Arbeiten vertreten [64],[65],[66],[67],[68],[69],[70]. Allerdings werden dortdie philosophischen Grundlagen nicht analysiert. Zudem wird die Idee auch hier nicht in dergleichen begrifflichen Stringenz formuliert. Denn auch hier geht man zumindest noch voneinem Netz abstrakter Punkte aus, die Information enthalten und austauschen, während sichin der von Weizsäckerschen Theorie der physikalische Informationsbegriff nur noch aus denUr-Alternativen selbst konstituiert. Alle anderen Beziehungsstrukturen müssen sich in derQuantentheorie der Ur-Alternativen hieraus ergeben. In [71] wird die Idee, dass die Raum-Zeit sich aus einer fundamentaleren Realität konstituieren könnte, im Rahmen eines weiterenmathematisch sehr anspruchsvollen Ansatzes diskutiert.Die Twistor-Theorie, die von Roger Penrose stammt [72],[73],[74],[75], macht zwar wiedie Quantentheorie der Ur-Alternativen von der Tatsache Gebrauch, dass eine direkte mathe-matische Beziehung, eine Isomorphie zwischen Raum-Zeit-Vektoren und Spinoren besteht,sodass sie aufgrund der Mathematik zunächst sehr verwandt wirkt. In Wirklichkeit aber gehtes hier nur um eine mathematische Reformulierung der allgemeinen Relativitätstheorie alsklassischer Feldtheorie, indem man die Raum-Zeit-Vektoren in eine Schreibweise basierendauf Spinoren überführt. In der von Weizsäckerschen Theorie hingegen stellen die Spinoreneine mathematische Beschreibung quantentheoretischer Informationseinheiten dar, die über-haupt nicht auf eine Raum-Zeit bezogen sind und deren Zustände sich dann lediglich in einerRaum-Zeit darstellen lassen.Bezüglich der philosophischen Grundintention besteht eine gewisse Verwandschaft dervon Weizsäckerschen Theorie zur Philosophie Ludwig Wittgensteins [76], der ebenfalls da-von ausgeht, dass so etwas wie elementare Tatsachen fundamental sind. Es sollen nun die grundlegenden Postulate als die Bedingungen der Möglichkeit von Erfah-rung vorgestellt und erläutert werden, auf denen das ganze von Weizsäckersche Programmbasiert. Die Logik ist eine absolute Vorbedingung für die Möglichkeit von Erkenntnis. Um welche Art von Logik es sich handelt, ist dabei noch nicht definiert, aber es muss ein ab-straktes strukturiertes Schema geben, das als eine Art grundlegendes Medium einer formalenstrukturierten Argumentation und Erkenntnis fungiert und erlaubt, Aussagen in eine sinnvol-le Beziehung zueinander zu setzen. Zudem ist die Zeit fundamental, denn Erfahrung machenbedeutet aus der Vergangenheit für die Zukunft lernen. Überhaupt kann sich nur irgendet-was ereignen, etwas passieren, das man beobachten kann, wenn grundsätzlich Zeit ist. DieQuantentheorie setzt als fundamentale Entitäten daher letztlich nur die auf einem rein logi-schen Grundschema basierende Information sowie die Zeit voraus. Natürlich erhalten damitLogik und Information zugleich eine über eine rein epistemologische Rolle hinausgehen-de ontologische Bedeutung. Die grundlegendste und fundamentalste Art und Weise, übereine beliebige empirisch untersuchbare oder überhaupt rein logisch erfassbare Realität Wis-sen besitzen zu können, drückt sich in einer Alternative aus, welche die Information überdiese Realität enthält. Nun kann man aber noch weiter gehen und die Realität so abstraktund grundsätzlich auffassen, dass sie überhaupt nur eine Beziehungsstruktur aus abstrakterInformation darstellt. Dies aber ist gleichbedeutend mit dem Postulat der Identität des Ob-jektbegriffes mit dem Informationsbegriff. Um in einer solchen Informationsstruktur etwaserkennen zu können, muss man eine einzelne Alternative zumindest näherungsweise in demSinne isolieren können, dass man sie unabhängig von anderen Alternativen definieren undentscheiden kann. Der Preis für diese Näherung ist dann die Einführung der Wechselwirkungals Konsequenz der Brechung einer einheitlichen Wirklichkeit durch eine aus einem Vorgangder Separation hervorgehenden logischen Beschreibungsweise im Sinne der Darstellung undAufspaltung in Alternativen. Wenn man weiter davon ausgeht, dass die Welt endlich ist, soergibt sich, dass es grundsätzlich nur endliche Alternativen geben kann, also Alternativen mitendlich vielen Elementen, obwohl es zunächst keine konkret definierbare Obergrenze für dieZahl der Elemente einer Alternative gibt. Wenn man nun die Struktur der Zeit hineinbringt,so ist das tertium non datur nicht mehr erfüllt, das besagt, dass eine Aussage entweder wahroder falsch ist, denn Aussagen, die sich auf die Zukunft beziehen, müssen im Allgemei-nen nicht determiniert sein. Allerdings kann man das tertium non datur als ein Postulat derQuantenlogik auch unabhängig von der Zeit einführen. Von Weizsäcker selbst begründetedie Verletzung des tertium non datur explizit über die Struktur der Zeit mit Vergangenheit,Gegenwart und Zukunft. Allerdings erhält man dann eine begriffliche Schwierigkeit. Denndie Zeit taucht in der Quantentheorie ja zugleich als ein kontinuierlicher Parameter auf, überden auch die Dynamik gemäß der allgemeinen Schrödinger-Gleichung definiert ist, welcheeine deterministische Struktur der Zeit impliziert. Obwohl mir diese Begründung der Quan-tenlogik über die Zeit insofern als sehr feingeistig und tiefgründig erscheint, als man hierso viel wie möglich nur aus der Zeit selbst als der fundamentalsten Realität der Natur unddes menschlichen Geistes zu begründen versucht, glaube ich, dass es aufgrund der dannauftretenden Dualität des Zeitbegriffes zunächst besser ist, die Quantenlogik als von derZeit unabhängiges zusätzliches Postulat zu behandeln. Jedenfalls führt die Quantenlogik aufWahrheitswerte für die Elemente der Alternativen, die dann faktisch Wahrscheinlichkeitendafür darstellen, dass die einzelnen Elemente der Alternative, die sich kontinuierlich mit derZeit entwickeln, bei einer Messung aufgefunden werden. Basierend auf diesen Überlegun-gen kann man die Grundpostulate in der folgenden Weise kategorisieren: A) Postulat der Alternativen als basaler Realität:
Eine logische Alternative besteht aus N Möglichkeiten, bei denen alle anderen Möglichkeiten falsch sind, wenn eine wahr ist.Logische Alternativen sind die fundamentalste Schematisierung der Realität der Natur inunserem Geist und damit als deren Objekte zugleich die basale Entität der Natur. B) Postulat des Finitismus:
Die Alternativen enthalten nur endlich viele Elemente. DieZahl der Elemente ist zunächst nicht begrenzt, aber endlich.
C) Postulat der Trennbarkeit:
Die Alternativen können in einer gewissen Näherung von-einander getrennt entschieden werden, was bedeutet, dass die Entscheidung einer Alternativeunabhängig von der Entscheidung aller anderen Alternativen ist. Die Korrektur dieser Nä-herung definiert die Wechselwirkung zwischen den Alternativen. Eigentlich ist die Realitätholistisch aufzufassen, aber wenn man als Bedingung der Möglichkeit von Erfahrung einenbestimmten Teil der Realität als Objekt isoliert, dann ist dies eine Näherung, deren Begrenzt-heit sich indirekt als eine Wechselwirkung mit anderen Objekten darstellt.
D) Postulat der Symmetrie:
Die einzelnen Elemente der Alternative sind gleichberechtigt,innerhalb der Alternative ununterscheidbar und können daher innerhalb einer Alternativeaufeinander abgebildet werden. Eine Unterscheidung ist nur relativ zu anderen Alternativenmöglich. Dies konstituiert eine Symmetrie der Alternative und des Vektorraumes, der durchdie möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen definiert ist. Bei einer Alternative mit N Ele-menten ist dies die SO ( N ) -Gruppe. E) Postulat der Quantenlogik:
Die logischen Alternativen in der Natur folgen einer Quan-tenlogik, in welcher das tertium non datur verletzt ist, der Satz vom ausgeschlossenen Drit-ten neben wahr und unwahr, was bedeutet, dass einzelne Aussagen nicht entweder wahroder falsch sind. Deshalb müssen den einzelnen Elementen der Alternativen Wahrschein-lichkeiten zugeordnet werden, was einen Vektorraum aller Wahrscheinlichkeitsverteilungenals quantentheoretischen Zuständen über diesen Alternativen definiert. Carl Friedrich vonWeizsäcker interpretiert diese Quantenlogik wie oben bereits thematisiert als eine zeitlicheLogik, in welcher sich die Offenheit der Zukunft manifestiert. Allerdings entsteht dadurchdas Problem, dass dann aufgrund der dynamischen und kontinuierlichen Zeitentwicklungder Zustände in der Quantentheorie die Zeit in einer dualen Weise auftritt. Dies ist keinspezifisches Problem der von Weizsäckerschen Begründung der Quantentheorie, sondernist grundsätzlich in der Quantentheorie in Gestalt des berühmten Messproblems enthalten.Denn in der Quantentheorie kann sich ein Zustand auf zwei Weisen ändern: Kontinuierlichgemäß der Schrödinger-Gleichung, solange keine Messung durchgeführt wird, und sprung-haft, wenn eine Messung durchgeführt wird. Aber da Messung ja Wechselwirkung mit einemMessapparat bedeutet, muss sich eigentlich auch der Messvorgang deterministisch entwi-ckeln, und zwar auf Basis der Schrödinger-Gleichung des aus Messobjekt und Messapparatzusammengesetzten Objektes. Diese Inkonsistenz lässt sich wohl nur durch die Annahmeauflösen, dass sich auch der Übergang bei einem Messprozess in Wirklichkeit determinis-tisch entwickelt, man den Ausgang dieses Prozesses nur aufgrund der vielen unbekanntenmikroskopischen Freiheitsgrade des Messapparates nicht vorhersagen kann. Dies bedeutetdass die nicht-Determiniertheit in der Quantentheorie im Gegensatz zur in der Unbestimmt-heitsrelation sich eigentlich ausdrückenden nicht-Lokalität keinen ontologischen Charakterhat, da auch der Messprozess im Prinzip der Dynamik der Quantentheorie gehorchen muss,welche absolut deterministisch ist [77]. Dies scheint mir in Einklang mit der Behandlung desMessproblems in [78] zu stehen. Es wird hier offen gelassen, ob und in welcher Weise dieQuantenlogik als zeitliche Logik zu interpretieren ist. Daher wird die Zeit hier nur separat inBezug auf die Zeitentwicklung der Zustände eingeführt. F) Postulat der Zeitentwicklung:
Die Alternativen unterliegen der Zeit als neben der Struk-tur der Logik zweiter fundamentaler Realität im menschlichen Geist und in der Natur undund verändern ihren Zustand kontinuierlich mit der Zeit. Die Zeit wird demnach als konti-nuierlicher Parameter in die Quantentheorie der Information eingeführt, der mit einer ein-parametrigen Untergruppe der Symmetriegruppe der Alternativen in Zusammenhang steht.Dies führt als möglicher Darstellung zu einem komplexen Vektorraum mit einer durch eineSchrödinger-Gleichung definierten U ( ) -Gruppe, welche die Zeitentwicklung determiniert. G) Postulat der Aufspaltung in Ur-Alternativen:
Jede Alternative kann als das Cartesi-sche Produkt von Subalternativen und die entsprechenden Vektorräume der Wahrscheinlich-keiten können dementsprechend als das Tensorprodukt von Untervektorräumen dargestelltwerden. Dies führt in der Konsequenz zur Möglichkeit der Darstellung aller Alternativendurch eine Kombination zweidimensionaler Alternativen beziehungsweise aller komplexenWahrscheinlichkeitsvektoren durch zweidimensionale Spinoren. Diese prinzipielle Grenzeder logischen Teilbarkeit konstituiert die Ur-Alternativen als die fundamentalsten Objektein der Natur im Sinne schlechthinniger Unteilbarkeit und damit als die eigentlichen Atome.Damit wird auch das grundsätzliche schon bei Kant analysierte Problem umgangen, dasskleinste räumliche Objekte in sich nicht begrifflich konsistent formuliert werden können.
Erläuterung zu den Postulaten:
Diese Postulate setzen außer der Zeit und einem abstraktenInformationsbegriff, der sich aus einer abstrakten logischen Struktur begründet und in denAlternativen darstellt, keinerlei physikalische Entität oder darauf bezogene Begriffe voraus,also weder den Raumbegriff, noch einen von den Alternativen getrennten Objektbegriff,damit also auch keine räumlich definierten Objekte oder überhaupt irgendeinen feldtheoreti-schen oder mechanistischen Begriff. Die Realität der Natur ist damit rein abstrakt quanten-theoretisch logisch und demnach geistig definiert. Die Alternativen enthalten nicht Informa-tion über eine davon unabhängig existierende Realität der Natur, sie existieren auch nicht ineinem vorgegebenen Raum, sondern sie sind selbst die basalste Art der Darstellung der Rea-lität der Natur in unserem Geist. Alle gewöhnlichen physikalischen Begriffe und Realitätenaußer der Zeit müssen sich als Konsequenz der logischen Alternativen und der sich auf siebeziehenden obigen Postulate nachträglich erst ergeben.
Ausgehend von dem Begriff einer einfachen und zumindest näherungsweise für sich selbstentscheidbaren logischen Alternative und basierend auf der Quantenlogik und der Zeitent-wicklung als zentralen Postulaten, die vielleicht miteinander in Zusammenhang stehen, kannnun zunächst die allgemeine Quantentheorie konstruiert werden. Hierzu soll zunächst derBegriff einer empirisch entscheidbaren Alternative exakt definiert werden:
Definition einer Alternative: Eine N -fache empirisch entscheidbare Alternative ist einTupel aus N Möglichkeiten, bei der dann, wenn eine der Möglichkeiten wahr ist, alleanderen falsch sind und von denen sich bei einer empirischen Prüfung genau eine alswahr erweist.
Es sei also eine Alternative a als Tupel bestehend aus n Möglichkeiten definiert: a = ( a , ..., a n ) . (1) Wenn man nun postuliert, dass diese Alternative einer Quantenlogik unterliegt, in der dastertium non datur verletzt ist, so kann sie dann wenn noch keine empirische Entscheidungvorgenommen wurde, in einem Zustand sein, bei dem gar nicht entschieden ist, welche der n Möglichkeiten tatsächlich wahr ist. Das bedeutet, dass den verschiedenen Möglichkeiten re-elle Wahrheitswerte zugeordnet werden, die einen Zustand in einem n -dimensionalen reellenVektorraum definieren: ϕ ( a ) = ( ϕ ( a ) , ..., ϕ ( a n )) = ( ϕ , ..., ϕ n ) . (2)Natürlich muss der Vektor auf 1 normiert werden. Dies bedeutet: s n ∑ j = ϕ j = . (3)Wenn man nun diesen durch die Wahrheitswerte ϕ j = ϕ ( a j ) definierten Zustand in der Weiseinterpretiert, dass diese Wahrheitswerte die Tendenz angeben, dass die Alternative bei einerempirischen Überprüfung den entsprechenden Wert annimmt, so kann man die Quadrateder Wahrheitswerte als Wahrscheinlichkeiten w j in Bezug auf den Ausgang einer Messunginterpretieren, sodass gilt: w j = ϕ j . (4)Der Wahrscheinlichkeitsbegriff setzt eigentlich einen Zeitbegriff voraus wie ihn von Weiz-säcker als Basis einer zeitlichen Logik zu Grunde legt und der eine offene Zukunft im-pliziert. Dieser steht aber wie im letzten Unterabschnitt bereits angesprochen wurde in ei-nem Gegensatz zur Dynamik der Quantentheorie, die eine deterministische Entwicklung derZustände enthält. Und dies gilt bereits in der gewöhnlichen Quantentheorie, ist also keinspezifisches Problem der Quantentheorie der Ur-Alternativen. Die quantentheoretische Lo-gik mit der Verletzung des tertium non datur wurde hier deshalb nicht mit der Struktur derZeit verknüpft, die hier ausschließlich als ein mit der Dynamik unmittelbar verbundenerreeller Parameter eingeführt wird, sondern als ein eigenständiges Postulat behandelt. Alsomuss auch der Wahrscheinlichkeitsbegriff in einer solchen Weise gedeutet werden, dass erkeine offene Zukunft voraussetzt. Und dies soll gemäß dem letzten Unterabschnitt in derWeise geschehen, dass davon ausgegangen wird, dass zwar die Entwicklung aller Zuständeund ihrer Wechselwirkungen durch die Dynamik der Quantentheorie determiniert wird, aberbei einer Messung der Zustand in einer unvorhersehbaren Weise durch die Wechselwirkungmit dem Messapparat beeinflusst wird. Dies liegt einfach an der unglaublichen Komplexi-tät der mikroskopischen Freiheitsgrade eines Messapparates, der natürlich letztendlich auchaus näherungsweise separierbaren Alternativen besteht. Demnach hat man es ganz gemäßdem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik faktisch mit einem irreversiblen Prozess zu tun,der aber nicht von einem prinzipiellen Indeterminismus, sondern nur von der Komplexitätdes Systems herrührt. Die Tendenz der Alternative, einen bestimmten Wert anzunehmen,wird aber umso größer sein, je größer die Komponente des Zustandes in Bezug auf die-sen Wert ist, weil der Zustand seine Ausrichtung im Zustandsraum dann immer wenigerverändern muss. In diesem Sinne einer Übergangstendenz, die mit der Beeinflussung ei-nes Messapparates mit unbekanntem Ausgangszustand in Zusammenhang steht, können dieWahrscheinlichkeiten auch in einem deterministischen Grundrahmen interpretiert werden.Es sollte eigentlich aus den bisherigen Ausführungen deutlich geworden sein, dass eine sol-che deterministische Deutung der Quantentheorie die nicht-Lokalität der Quantentheorie inkeiner Weise antastet. Denn der Sinn der Unbestimmtheitsrelation besteht eben gerade nicht in einer Aufhebung des Prinzips der Kausalität, sondern in der Aufhebung des Prinzips derLokalität und damit feldtheoretischer Prinzipien. Man kann nun noch ein inneres Produktim Vektorraum der Wahrheitswerte der Möglichkeiten der Alternativen definieren. Wenn ϕ A und ϕ B zwei Vektoren im Vektorraum der Wahrheitswerte über den Alternativen sind, dannkann ein inneres Produkt in der folgenden Weise definiert werden: h ϕ A | ϕ B i = n ∑ j = ϕ Aj ϕ Bj , (5)wobei die Wahrscheinlichkeit w (cid:0) ϕ A , ϕ B (cid:1) , einen Zustand ϕ B nach einer Messung vorzufin-den, wenn ein Zustand ϕ A vorliegt, dem Betragsquadrat des inneren Produktes entspricht: w (cid:0) ϕ A , ϕ B (cid:1) = |h ϕ A | ϕ B i| . (6)Damit wird der Vektorraum zu einem Hilbert-Raum. Nun setzt aber nicht nur der Begriff der Wahrscheinlichkeit und die Möglichkeit einer Mes-sung den Begriff der Zeit voraus, sondern die Zeit und die mit ihr sich vollziehende Verände-rung der physikalischen Realität sind eine unabweisbare Erfahrungstatsache. Zudem ist einZeitfluss die Grundvoraussetzung dafür, dass überhaupt irgendetwas geschehen kann. Oh-ne Zeit ist die Welt nur ein toter existierender Zustand ohne Leben und Dynamik. Gemäßder Kantischen Erkenntnistheorie ist die Zeit als a priori gegebene Grundform der innerenAnschauung nicht nur eine Bedingung der Möglichkeit von Erfahrung, sondern sogar diefundamentalste Realität in unserem Geist und ist damit auch für die Beschreibung der Naturfundamental, obwohl sie zumindest gemäß Kant in der Natur selbst nicht vorkommt. BeiMartin Heidegger drückt sich schon im Titel seines Hauptwerkes „Sein und Zeit“ dieserfür das Sein fundamentale und konstitutive Charakter der Zeit aus. Von Weizsäcker folgtdieser Anschauung, der Zeit einen solch prinzipiellen Charakter zuzuschreiben, indem erdie Zeit ebenfalls an den Beginn der Begründung der Quantentheorie stellt und aus ihr dieQuantenlogik als einer Logik zeitlicher Aussagen begründet. Aber die Dynamik der Quan-tentheorie muss dennoch unabhängig über die Einführung eines Zeitparameters geschehen.Und in dieser Arbeit wird die Zeit ausschließlich auf diese Weise eingeführt, da ansonstendas in den letzten beiden Unterabschnitten bereits erwähnte Problem einer dualen Rolle derZeit entsteht. Die Transformation einer Alternative gemäß der zeitlichen Entwicklung musseiner Abbildung der Alternative auf sich selbst entsprechen, also einem Automorphismusdes Zustandsraumes, da die Alternative ja ihre Identität nicht verlieren, sondern lediglichihren Zustand ändern soll. Dies bedeutet, dass die zum Zeitparameter gehörige Transforma-tionsgruppe eine Untergruppe der SO ( n ) -Gruppe sein muss, welche natürlich einparametrigsein muss, da die Zeit in sich selbst nur einen einzigen Freiheitsgrad darstellt. Damit ergibtsich in natürlicher Weise die SO ( ) -Gruppe mit der Zeit als Drehparameter, welche im Raumder Wahrheitswerte einer Alternative durch die folgende Gleichung definiert wird: ∂ t ϕ j ( t ) = H jk ϕ k ( t ) , (7)wobei der Operator H im Hilbert-Raum der Wahrheitswerte wie folgt definiert werden muss: H kl = n / ∑ j = ω j κ jkl , (8) und der Tensor κ jkl wiederum definiert ist gemäß: κ jkl = + k = j − , l = j − k = j , l = j −
10 ansonsten (9)Über doppelt auftretende Indizes wird wie gewöhnlich von 1 bis n summiert, wenn sie nurauf einer Seite auftreten, ansonsten nicht. Wenn man den Operator H als Matrix darstellt, sonimmt er die folgende Gestalt an: H = ω ... − ω ... ω ... ... ... − ω ... ... ...... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ω j ... ... ... − ω j . (10)Um dies nun in kompakterer Weise auszudrücken, kann man die folgende komplexe Größedefinieren: ˜ ϕ j = ϕ j − + i ϕ j , j = , ..., n / . (11)Mit der Definition (11) kann die dynamische Gleichung (7) wie folgt ausgedrückt werden: i ∂ t ˜ ϕ j ( t ) = ω j ˜ ϕ j ( t ) . (12)Damit erscheint nun die SO ( ) -Gruppe als U ( ) -Gruppe. Mit der Definition:˜ H kl = ω k δ kl , (13)ergibt sich die Gleichung: i ∂ t ˜ ϕ j ( t ) = ˜ H jk ˜ ϕ k ( t ) ⇔ i ∂ t ˜ ϕ ( t ) = ˜ H ˜ ϕ ( t ) . (14)Diese hat nun die Gestalt der allgemeinen Schrödinger-Gleichung, wobei ˜ H natürlich als Ha-milton-Operator interpretiert werden muss. Damit ist die allgemeine Struktur der abstraktenQuantentheorie statuiert. Die zeitliche Entwicklung des auf die abstrakte Alternative bezo-genen Zustandes ˜ ϕ ( t ) ist dann gegeben durch den folgenden Ausdruck:˜ ϕ ( t ) = e − i ˜ Ht ˜ ϕ ( t ) . (15) Um nun zu der konkreten Physik zu gelangen, welche nicht nur die Existenz eines Ortsrau-mes als Darstellungsmedium der abstrakten Informationsbeziehungen und seine Verbindungmit der Zeit zur Raum-Zeit, sondern auch die Existenz der speziellen konkreten Objekte ein-schließlich ihrer verschiedenen Wechselwirkungen enthält, muss zunächst von der logischenMöglichkeit Gebrauch gemacht werden, eine beliebige logische Alternative, wie sie in (1)charakterisiert wurde, in ein Cartesisches Produkt binärer Alternativen aufzuspalten: a = O n u n , u n = ( u n , u n ) . (16)Die binären Alternativen werden aufgrund des prinzipiellen Charakters, der ihnen zukommt,als Ur-Alternativen bezeichnet. Wenn man den Alternativen nun gemäß (2) Wahrheitswer-te zuordnet, die man gemäß der zu einer zweckmäßigen Darstellung der Dynamik in (11)vorgenommenen Definition als komplexe Wahrheitswerte definieren muss, so erhält mannormierte zweidimensionale Spinoren: u = (cid:18) u u (cid:19) −→ ϕ = (cid:18) ϕ ( u ) ϕ ( u ) (cid:19) = (cid:18) ϕ a + i ϕ b ϕ c + i ϕ d (cid:19) , q ϕ a + ϕ b + ϕ c + ϕ d = , (17)wobei ϕ a , ϕ b , ϕ c und ϕ d reellwertig sind. Ein solcher Spinor weist gemäß dem Postulat derSymmetrie eine Symmetrie bezüglich der SU ( ) -Gruppe auf, die spezielle unitäre Gruppein einem zweidimensionalen komplexen Raum, welche isomorph zur SO ( ) -Gruppe ist, derDrehgruppe des dreidimensionalen reellen Raumes. Zu den Spinoren können nun hermiteschadjungierte Größen definiert werden: ϕ † = ( ϕ a − i ϕ b , ϕ c − i ϕ d ) , q ϕ a + ϕ b + ϕ c + ϕ d = . (18)Die Ur-Alternativen sind keine beliebig ausgewählten Objekte. Sie sind nicht willkürlichpostuliert, sondern sie repräsentieren die einfachsten in einer beliebigen quantentheoreti-schen Beschreibungsweise überhaupt denkbaren Objekte. Ur-Alternativen sind deshalb zu-dem fundamentale Objekte, Atome im eigentlichen Sinne schlechthinniger Unteilbarkeit,denn sie sind als elementare Informationseinheiten nicht in einem räumlichen oder nur phy-sikalischen, sondern in einem logischen Sinne unteilbar. Die Ur-Alternativen sind hier näm-lich gerade nicht als Objekte in einer bereits bestehenden physikalischen Realität zu verste-hen, so wie das Konzept der Quanteninformation in der Regel verwendet wird. Vielmehrkonstituieren sie die physikalische Realität überhaupt erst. Es gibt gemäß der Quantentheo-rie der Ur-Alternativen überhaupt keine physikalische Realität, die ohne diese fundamentaleontologische Basis überhaupt bestehen könnte, welche durch die Ur-Alternativen in unseremGeist dann indirekt als Quanteninformation dargestellt wird.Durch die Definition (17) ist zunächst natürlich nur die mathematische Struktur einer ein-zelnen Ur-Alternative als einem zweidimensionalen Spinor definiert. Um nun die in größe-ren Alternativen enthaltene Information durch Ur-Alternativen darstellen zu können, ist esnotwendig, einen Tensorraum vieler Ur-Alternativen zu definieren. Dessen Basiszuständesind durch die jeweilige Anzahl an Ur-Alternativen in den vier Basiszuständen einer einzel-nen Alternative definiert. Um in diesem Raum operieren zu können und zwischen den ver-schiedenen Zuständen zu vermitteln, ist es sinnvoll, Erzeugungs- und Vernichtungsoperato-ren für Ur-Alternativen in den Basiszuständen einer einzelnen Ur-Alternative zu definieren.Dies kann rein formal durch eine zweite Quantisierung gemäß der Bose-Statistik geschehen,durch welche die mit komplexen Wahrheitswerten belegte Ur-Alternative in einen Operatorüberführt wird. Dieser Übergang zu einem Operator: ϕ −→ ˆ ϕ , (19)geschieht durch Forderung der folgenden Vertauschungsrelationen für die beiden Kompo-nenten der Ur-Alternative: (cid:2) ˆ ϕ m , ˆ ϕ † n (cid:3) = δ mn , m , n = , . (20)Es wird hier mit einer Vertauschungsrelation Bose-Statistik und nicht mit einer Antivertau-schungsrelation Fermi-Statistik postuliert, weil es im Falle der Fermi-Statistik aufgrund derGültigkeit des Paulischen Ausschließungsprinzips für bezüglich Vertauschung antisymme-trische Zustände überhaupt nur vier Alternativen geben könnte, nämlich jeweils eine in denvier Basiszuständen einer Ur-Alternative. Die Bose-Statistik erlaubt beliebig viele Ur-Alter-nativen in einem Zustand. Natürlich sind die Ur-Alternativen ununterscheidbar voneinander,da man für eine Unterscheidung ja erneut Ur-Alternativen zu Grunde legen müsste, denndie Ur-Alternativen werden ja als die fundamentalste Realität in der Natur angesehen. Dahermuss in jedem Falle irgendeine Art der Symmetrie unter Vertauschung der Ur-Alternativenin einem Zustand zu Grunde gelegt werden. Um mehrere Objekte in einer Vielteilchentheorieund einer Theorie der Wechselwirkung zu beschreiben, muss aber eine allgemeinere Statistikeingeführt werden, nämlich die Parabose-Statistik, welche sich nicht auf nur symmetrischeoder nur antisymmetrische Zustände bezüglich der Vertauschung von Ur-Alternativen be-schränkt und in einem späteren Abschnitt eingeführt wird. Dies liegt natürlich daran, dassein Zustand mehrerer freier Objekte, wenn diese jeweils für sich unter Vertauschung der zuihnen gehörigen Ur-Alternativen symmetrisch sind, also ein symmetrisches Produkt sym-metrischer Zustände, seinerseits nicht mehr symmetrisch bezüglich aller Ur-Alternativenist. Vielmehr sind dann die Ur-Alternativen überhaupt nur durch die jeweilige Subsymme-trie in ihrer Zugehörigkeit zu den einzelnen Objekten bestimmt, wodurch sich die in einemGesamtzustand im Tensorraum vieler Ur-Alternativen enthaltenen Zustände den einzelnenvoneinander verschiedenenen Teilobjekten zuordnen lassen. Aber da in diesem Abschnittnur einzelne freie Objekte betrachtet werden sollen, genügt es zunächst, sich hier auf Bo-se-Statistik zu beschränken. Die Vertauschungsrelation (20) kann erfüllt werden, indem dieeinzelnen Komponenten der Ur-Alternative zu Operatoren werden:ˆ ϕ = (cid:18) ˆ ϕ a + i ˆ ϕ b ˆ ϕ c + i ˆ ϕ d (cid:19) . (21)Dies bedeutet für den Operator der hermitesch adjungierten Ur-Alternative:ˆ ϕ † = (cid:16) ˆ ϕ † a − i ˆ ϕ † b , ˆ ϕ † c − i ˆ ϕ † d (cid:17) . (22)Die zu den Komponenten der Ur-Alternative gehörenden Operatoren müssen folgende Ver-tauschungsrelationen erfüllen: (cid:2) ˆ ϕ a , ˆ ϕ † a (cid:3) = h ˆ ϕ b , ˆ ϕ † b i = (cid:2) ˆ ϕ c , ˆ ϕ † c (cid:3) = h ˆ ϕ d , ˆ ϕ † d i = , (23)wobei die nicht aufgeführten Kommutatoren einfach gleich null sind. Man kann diese Ope-ratoren nun in der folgenden Weise umbenennen: a ≡ ˆ ϕ a , b ≡ ˆ ϕ b , c ≡ ˆ ϕ c , d ≡ ˆ ϕ d . (24)Dann lauten die Vertauschungsrelationen wie folgt: (cid:2) a , a † (cid:3) = (cid:2) b , b † (cid:3) = (cid:2) c , c † (cid:3) = (cid:2) d , d † (cid:3) = . (25)Damit stellen die Operatoren a , b , c , d Vernichtungsoperatoren und die Operatoren a † , b † , c † , d † Erzeugungsoperatoren im Tensorraum vieler Ur-Alternativen dar. Ein Basiszustand im Tensorraum der Ur-Alternativen ist, wie erwähnt, durch die Anzahl der Ur-Alternativen injedem der vier Basiszustände einer einzelnen Ur-Alternative gegeben: | N a , N b , N c , N d i . DieErzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wirken auf die Basiszustände des Tensorraumesder Ur-Alternativen in der folgenden Art und Weise: a | N a , N b , N c , N d i = √ N a | N a − , N b , N c , N d i , a † | N a , N b , N c , N d i = p N a + | N a + , N b , N c , N d i , b | N a , N b , N c , N d i = p N b | N a , N b − , N c , N d i , b † | N a , N b , N c , N d i = p N b + | N a , N b + , N c , N d i , c | N a , N b , N c , N d i = √ N c | N a , N b , N c − , N d i , c † | N a , N b , N c , N d i = p N c + | N a , N b , N c + , N d i , d | N a , N b , N c , N d i = p N d | N a , N b , N c , N d − i , d † | N a , N b , N c , N d i = p N d + | N a , N b , N c , N d + i . (26)Dies bedeutet, dass a † a , b † b , c † c und d † d als Besetzungszahloperatoren die folgenden Ei-genwertgleichungen erfüllen: a † a | N a , N b , N c , N d i = N a | N a , N b , N c , N d i , b † b | N a , N b , N c , N d i = N b | N a , N b , N c , N d i , c † c | N a , N b , N c , N d i = N c | N a , N b , N c , N d i , d † d | N a , N b , N c , N d i = N d | N a , N b , N c , N d i . (27)Ein allgemeiner Zustand im Tensorraum der Ur-Alternativen kann dann als eine Superposi-tion der Basiszustände definiert werden: | Ψ i = ∑ N a ∑ N b ∑ N c ∑ N d ψ ( N a , N b , N c , N d ) | N a , N b , N c , N d i . (28)Es soll nun zur weiteren Konstruktion der auf den Ur-Alternativen basierenden Strukturenzunächst die Darstellung der Zustände geändert werden, indem basierend auf den Spino-ren aus (17), also ϕ , welche die mit komplexen Wahrheitswerten belegten Ur-Alternativenbeschreiben, ein dazu analoger Majorana-Spinor definiert wird: χ = √ (cid:18) ϕ i σ ϕ ∗ (cid:19) = √ ϕ a + ϕ b i ϕ c + ϕ d i ϕ c − ϕ d i − ϕ a + ϕ b i ≡ χ A χ B χ C χ D , (29)wobei σ die zweite Pauli-Matrix ist. Durch Ersetzung der Komponenten der Ur-Alternative ϕ durch die entsprechenden Operatoren, geht auch der Spinor χ in einen Operator über: χ −→ ˆ χ , (30)der die folgenden Vertauschungsrelationen erfüllt: (cid:2) ˆ χ m , ˆ χ † n (cid:3) = δ mn , m , n = A , B , C , D , (31)wobei der hermitesch adjungierte Operator χ † in der folgenden Weise definiert ist: χ † = (cid:16) χ † A , χ † B , χ † C , χ † D (cid:17) . (32)Wenn man nun in Analogie zu (24) die folgende Umbenennung vornimmt: A ≡ ˆ χ A , B ≡ ˆ χ B , C ≡ ˆ χ C , D ≡ ˆ χ D , (33)so gelten die folgenden Relationen: A = √ ( a + ib ) , B = √ ( c + id ) , C = √ ( c − id ) , D = √ ( − a + ib ) , (34) A † = √ (cid:0) a † − ib † (cid:1) , B † = √ (cid:0) c † − id † (cid:1) , C † = √ (cid:0) c † + id † (cid:1) , D † = √ (cid:0) − a † − ib † (cid:1) , und damit die folgenden Kommutatoren: (cid:2) A , A † (cid:3) = (cid:2) B , B † (cid:3) = (cid:2) C , C † (cid:3) = (cid:2) D , D † (cid:3) = . (35)In dieser neuen Darstellung sind in Analogie zu den Basiszuständen | N a , N b , N c , N d i die Ba-siszustände | N A , N B , N C , N D i definiert. Und die Operatoren A , B , C , D , A † , B † , C † , D † wirkenauf diese Basiszustände analog zu (26) in der folgenden Weise: A | N A , N B , N C , N D i = √ N A | N A − , N B , N C , N D i , A † | N A , N B , N C , N D i = p N A + | N A + , N B , N C , N D i , B | N A , N B , N C , N D i = √ N B | N A , N B − , N C , N D i , B † | N A , N B , N C , N D i = p N B + | N A , N B + , N C , N D i , C | N A , N B , N C , N D i = p N C | N A , N B , N C − , N D i , C † | N A , N B , N C , N D i = p N C + | N A , N B , N C + , N D i , D | N A , N B , N C , N D i = √ N D | N A , N B , N C , N D − i , D † | N A , N B , N C , N D i = p N D + | N A , N B , N C , N D + i . (36)In dieser neuen Darstellung bedeutet dies zudem, dass A † A , B † B , C † C und D † D als Beset-zungszahloperatoren analog zu (27) die folgenden Eigenwertgleichungen erfüllen: A † A | N A , N B , N C , N D i = N A | N A , N B , N C , N D i , B † B | N A , N B , N C , N D i = N B | N A , N B , N C , N D i , C † C | N A , N B , N C , N D i = N C | N A , N B , N C , N D i , D † D | N A , N B , N C , N D i = N D | N A , N B , N C , N D i . (37)In der auf diese Basis bezogenen Darstellung lässt sich ein allgemeiner Zustand im Tensor-raum dann in Analogie zu (28) natürlich erneut als Superposition darstellen: | Ψ i = ∑ N A ∑ N B ∑ N C ∑ N D ψ ( N A , N B , N C , N D ) | N A , N B , N C , N D i . (38)Um eine kompaktere Schreibweise zu erhalten, sei die folgende Definition vorgenommen: N ABCD ≡ ( N A , N B , N C , N D ) . (39) Damit kann dann ein Basiszustand wie folgt geschrieben werden: | N ABCD i ≡ | N A , N B , N C , N D i , (40)und ein allgemeiner Zustand im Tensorraum wie folgt geschrieben werden: | Ψ i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) | N ABCD i . (41)Zudem soll N die Gesamtzahl aller Ur-Alternativen in einem Zustand beschreiben, also dieGesamtmenge an Information: N = N A + N B + N C + N D . (42) Es sollen nun die zentralen Gründe kategorisiert werden, welche den Begriff der Ur-Alter-native als fundamentalen Begriff der Physik besonders plausibel erscheinen lassen.
A) Ur-Alternativen basieren nicht auf einer räumlich-feldtheoretischen Begrifflichkeit:
Ur-Alternativen setzen keinen physikalischen Raum und daher auch keinerlei feldtheore-tische Begriffe voraus. Denn Ur-Alternativen sind keine Objekte, die in einem Raum oderüberhaupt irgendeiner bereits bestehenden physikalischen Realität existieren würden. Um-gekehrt konstituiert sich aus ihnen und der durch sie begründeten abstrakten logischen Be-ziehungsstruktur überhaupt erst alle physikalische Realität einschließlich des Raumes undder darin sich befindlichen Objekte. In diesem Sinne unterscheiden sie sich auch grundle-gend von einem Begriff der Quanteninformation, wie er in den unterschiedlichsten Zusam-menhängen und anderen physikalischen Ansätzen immer wieder verwendet wird, nämlichvon einem solchen, bei dem Quanteninformation sich auf andere physikalische Realitätenbezieht, im Rahmen einer bestimmten bereits bestehenden physikalischen Realität ausge-tauscht wird oder in eine solche Beschreibung eingebunden wird. Die Ur-Alternativen hin-gegen sind auf der fundamentalen Ebene die einzige physikalische Realität, die überhauptexistiert. Außer ihnen und der Zeit darf nichts anderes vorausgesetzt werden.
B) Ur-Alternativen sind aus logischen Gründen im schlechthinnigen Sinne unteilbar:
Gemäß der zweiten Kantischen Antinomie kann es keine kleinsten räumlichen Objektegeben, da jedes Volumen zumindest im Prinzip weiter in Teilvolumina geteilt werden kann.Eine Ur-Alternative ist aber kein räumliches Objekt, sondern ein rein logisches Objekt, undzwar das fundamentalste logische Objekt, dass es im Rahmen einer Quantenlogik überhauptgeben kann. Es ist aus logischen Gründen nicht weiter teilbar und in diesem Sinne eineatomare Einheit im Sinne schlechthinniger Unteilbarkeit. Damit ist mit den Ur-Alternativenerstmals ein fundamentales Objekt postuliert, von dem sich logisch begründen lässt, warumes nicht nur fundamental sein kann, sondern in einer quantentheoretischen Beschreibungs-weise auch fundamental sein muss.
C) Ur-Alternativen sind die einfachsten denkbaren quantentheoretischen Objekte:
Eine Ur-Alternative ist kein willkürlich gewähltes Objekt, sondern es ist das fundamen-talste und einfachste Objekt, dass im Rahmen einer beliebigen Quantentheorie überhauptdenkbar ist. Denn es ist mathematisch durch den einfachsten in der Quantentheorie über-haupt denkbaren Zustandsraum definiert. Aufgrund der ungeheuren Abstraktheit der allge-meinen Quantentheorie basiert dieses Objekt aber eigentlich sogar auf dem einfachsten über-haupt denkbaren logischen Begriff, nämlich einer binären Alternative. Eine Ur-Alternative geht bezüglich ihres logischen Gehaltes nur insofern über eine gewöhnliche einfache binäreAlternative hinaus, als sie eine Quantenlogik voraussetzt, in der das tertium non datur verletztist, eine Aussage also nicht einfach nur wahr oder falsch sein kann, sondern Zwischenwertebesitzen kann, die nur eine bestimmte Tendenz bezüglich wahr und falsch definiert. Zudemlegt sie komplexe Wahrheitswerte zu Grunde, wobei dies letztendlich auch nur eine Frage derDarstellung ist, die durch die Einbindung einer Zeitentwicklung nahegelegt wird. Jedenfallsverleiht diese im Rahmen der Quantentheorie größtmögliche Abstraktheit und Einfachheitden Ur-Alternativen auch deshalb eine große Überzeugungskraft, weil Begriffe, die sehr vie-le unterschiedliche Realitäten und Strukturen in sich vereinheitlichen sollen, also sehr allge-mein sein sollen, naturgemäß sehr abstrakt und einfach sein müssen. Denn das grundlegendeWesen des Verstehens in der Naturwissenschaft besteht in der Einordnung möglichst vielerRealitäten unter einheitliche, grundlegende und daher möglichst allgemeingültige Begriffe.Allgemeingültigkeit und Einheitlichkeit bedeutet Abstraktheit und Einfachheit. Je abstrakterund einfacher und daher fundamentaler aber die Grundbegriffe werden, desto schwierigerwird natürlich zugleich ihr Verständnis und desto schwieriger wird die Herleitung der Kom-plexität, die weiter an der Oberfläche der Realität existiert. D) Ur-Alternativen enthalten implizit die Symmetriestruktur des realen Raumes:
Gerade weil eine Ur-Alternative kein willkürliches, sondern das grundlegendste quanten-theoretische Objekt darstellt, ist es umso erstaunlicher, dass gerade dieses einfachste Objektaufgrund der Isomorphie zwischen SU ( ) -Gruppe und SO ( ) -Gruppe implizit die Symme-triestruktur des empirisch gefundenen physikalischen Raumes in sich trägt. Die abstrakteStruktur der Quantentheorie und die Struktur des Raumes scheinen a priori überhaupt nichtsmiteinander zu tun zu haben. Der Raum ist aber dennoch eine für die gewöhnliche Physikganz grundlegende und allgemeine Realität, denn alle gewöhnlichen physikalischen Objektebefinden sich zumindest in der Oberflächenbetrachtung der klassischen Physik im physika-lischen Anschauungsraum. Deshalb erscheint die Tatsache, dass eine direkte mathematischeBeziehung zwischen der Symmetriestruktur des einfachsten möglichen Objektes einer sogrundlegenden und abstrakten Theorie wie der Quantentheorie und derjenigen des Raumesbesteht, mehr als nur ein Zufall zu sein. Sie stellt vielmehr ein großes Indiz dafür dar, dassmit den Ur-Alternativen eine zentrale Wahrheit über die Natur berührt ist. E) Ur-Alternativen konstituieren einen diskreten Zustandsraum:
Dadurch, dass die Ur-Alternativen in natürlicher Weise diskrete Zustandsräume konstitu-ieren, wird die Möglichkeit eröffnet, das Auftreten von Unendlichkeiten und Divergenzenvon vorneherein zu verhindern. Die Probleme des Kontinuums waren der Grund, warum dieQuantentheorie überhaupt entwickelt wurde. Eben jenes Kontinuum ist aber im Rahmen rela-tivistischer Quantenfeldtheorien wieder mit in die Beschreibung der Natur hineingekommen.Die Kontinuumsproblematik tritt im Rahmen relativistischer Quantenfeldtheorien spezielldurch die Wechselwirkungen auf, welche durch kontinuierliche punktweise Produkte vonFeldern beschrieben werden, denn eine freie Quantenfeldtheorie entspricht ja einer einfachnur einer Vielteilchentheorie. Die durch die Beschreibung der Wechselwirkung basierend aufeinem feldtheoretischen Kontinuum auftretenden Unendlichkeiten werden im Rahmen dergewöhnlichen Quantenfeldtheorien durch das Verfahren der Renormierung beseitigt, wel-ches im Falle der Gravitation bekanntlich nicht erfolgreich angewandt werden kann. Es istzu erwarten, dass sich dieses Problem nur dann an der Wurzel packen lässt, wenn man diePhysik von Grund auf diskret aufbaut. Aber dies geschieht in der Quantentheorie der Ur-Alternativen gerade nicht durch eine künstliche Diskretisierung der Raum-Zeit oder die blo-ße Einführung einer kleinsten Länge, sondern dadurch, dass man mit einer Realität beginnt,nämlich diskreten Alternativen, die überhaupt noch nicht in Bezug auf die Raum-Zeit defi- niert sind, sondern die Existenz der Raum-Zeit erst im Nachhinein konstituieren. Aber sie er-klären dann dennoch, warum durch diese Darstellungsmöglichkeit das Kontinuum überhauptin die Beschreibung der Natur hineingelangt. Dadurch kann auch die in der gewöhnlichenElementarteilchenphysik bestehende Dualität zwischen abstrakten Quantenzahlen einerseitsund räumlichen Objekten andererseits aufgehoben und überwunden werden. In den bisherigen Abschnitten wurden die Grundlagen der Quantentheorie der Ur-Alterna-tiven dargestellt und es wurde begründet, warum sie als einheitliche Naturtheorie so viel-versprechend ist. Die nun folgenden Abschnitte enthalten eigene neue spezielle Konzepteund mathematische Modelle, um in diesem begrifflichen Rahmen die konkrete Physik zukonstruieren. In diesem Abschnitt werden die symmetrischen Zustände im Tensorraum vie-ler Ur-Alternativen in einen dreidimensionalen reellen Raum abgebildet, der dann mit demrealen physikalischen Ortsraum identifiziert werden kann. In diesem Sinne können diese Zu-stände als räumlich darstellbare Quantenobjekte interpretiert werden, die wir gewöhnlich imSinne des Welle-Teilchen-Dualismus als Teilchen oder Wellen bezeichnen. Über die Defini-tion eines Hamilton-Operators wird dann durch die allgemeine Schrödinger-Gleichung eineZeitentwicklung induziert. Man kann die Zeitkoordinate wie in der Relativitätstheorie for-mal als vierte Dimension in einer Raum-Zeit auffassen und den dreidimensionalen Raum alsHyperfläche in einer Raum-Zeit. Aber wie in der Relativitätstheorie auch enthält die Zeit-dimension keinen unabhängigen dynamischen Freiheitsgrad, einfach aufgrund der Existenzeiner dynamischen Grundgleichung. Die Tatsache, dass die Zeitentwicklung in diesem Rah-men als Automorphismus des Zustandsraumes aufgefasst wird, dessen Zustände ihrerseits ineinem dreidimensionalen Raum dargestellt werden, ist also in Einklang mit der Relativitäts-theorie, solange der Hamilton-Operator basierend auf der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung definiert wird. In [47] wird bereits eine Beschreibung von Quantenfeldtheorienim Rahmen der Ur-Alternativen vorgeschlagen, aber hier wird keine Abbildung des Tensor-raumes der Ur-Alternativen in den physikalischen Ortsraum vollzogen. Dies wird in [57]versucht, aber hier wird die Zeit in falscher Weise eingeführt, nicht über einen Automor-phismus des Zustandsraumes, sondern als zusätzlicher Freiheitsgrad, was auch zur Folgehat, dass die Unitarität und damit die Wahrscheinlichkeitserhaltung der Zustände nicht ge-währleistet ist. In dem Ansatz dieses Abschnittes sind diese Konzeptionsschwächen in einemmodifizierten Ansatz behoben.
Man kann aus den in (34) definierten Operatoren, welche sich auf Ur-Alternativen beziehen,die folgenden neuen Operatoren konstruieren: A x = ( A + B − C − D ) , A † x = (cid:0) A † + B † − C † − D † (cid:1) , A y = ( A − B + C − D ) , A † y = (cid:0) A † − B † + C † − D † (cid:1) , A z = ( A − B − C + D ) , A † z = (cid:0) A † − B † − C † + D † (cid:1) . (43)Diese erfüllen die gleichen Vertauschungsrelationen: (cid:2) A x , A † x (cid:3) = (cid:2) A y , A † y (cid:3) = (cid:2) A z , A † z (cid:3) = . (44)Über diese neu konstruierten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren kann man nun wei-tere Operatoren erzeugen: X = √ (cid:0) A x + A † x (cid:1) , P x = − i √ (cid:0) A x − A † x (cid:1) , Y = √ (cid:0) A y + A † y (cid:1) , P y = − i √ (cid:0) A y − A † y (cid:1) , Z = √ (cid:0) A z + A † z (cid:1) , P z = − i √ (cid:0) A z − A † z (cid:1) , (45)welche hermitesch sind und zudem die Algebra von Orts- und Impulsoperatoren in dreiunabhängigen Dimensionen erfüllen, mit denen sie daher identifiziert werden sollen: [ X , P x ] = [ Y , P y ] = [ Z , P z ] = i . (46)Es sei aber noch einmal in aller Eindringlichkeit darauf hingewiesen, dass sich diese Opera-toren mit ihrer Algebra, da sie aus den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren im Tensor-raum konstruiert werden, in keiner Weise auf einen bereits bestehenden Ortsraum beziehen.Sie beziehen sich ausschließlich auf den abstrakten Informationsraum der Ur-Alternativenund sie gestatten lediglich, wie wir sehen werden, die nachträgliche Begründung der Exis-tenz des Ortsraumes, der im Einklang mit den Ausführungen in den früheren Abschnitten inder Quantentheorie der Ur-Alternativen keine fundamentale Realität darstellt. Diese nach-trägliche Begründung des Ortsraumes als bloße Art der Darstellung abstrakter Zustände istja die Intention dieses Abschnittes. Nun kann man aus den über die Erzeugungs- und Ver-nichtungsoperatoren definierten Impulsoperatoren in (45) desweiteren einen Energieoperatorkonstruieren, der dann zugleich der Hamilton-Operators ist. Dieser soll hier in einer solchenWeise definiert werden, dass er mit der speziellen Relativitätstheorie in Einklang steht: E = P x + P y + P z ⇔ E = ± q P x + P y + P z . (47)Ausgedrückt durch die ursprünglichen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in (34) ha-ben die Orts- und Impulsoperatoren die folgende Gestalt: X = √ (cid:0) A + B − C − D + A † + B † − C † − D † (cid:1) , Y = √ (cid:0) A − B + C − D + A † − B † + C † − D † (cid:1) , Z = √ (cid:0) A − B − C + D + A † − B † − C † + D † (cid:1) , P x = − i √ (cid:0) A + B − C − D − A † − B † + C † + D † (cid:1) , P y = − i √ (cid:0) A − B + C − D − A † + B † − C † + D † (cid:1) , P z = − i √ (cid:0) A − B − C + D − A † + B † + C † − D † (cid:1) . (48) Die Quadrate der Impulsoperatoren lauten dann wie folgt: P x = (cid:0) − A x A x + A x A † x + A † x A x − A † x A † x (cid:1) = (cid:0) − A x A x + A † x A x − A † x A † x + (cid:1) = [ − AA − BB − CC − DD − AB + AC + AD + BC + BD − CD − A † A † − B † B † − C † C † − D † D † − A † B † + A † C † + A † D † + B † C † + B † D † − C † D † + (cid:0) A † A + B † B + C † C + D † D + A † B − A † C − A † D + B † A − B † C − B † D − C † A − C † B + C † D − D † A − D † B + D † C (cid:1) + (cid:3) , (49) P y = (cid:0) − A y A y + A y A † y + A † y A y − A † y A † y (cid:1) = (cid:0) − A y A y + A † y A y − A † y A † y + (cid:1) = [ − AA − BB − CC − DD + AB − AC + AD + BC − BD + CD − A † A † − B † B † − C † C † − D † D † + A † B † − A † C † + A † D † + B † C † − B † D † + C † D † + (cid:0) A † A + B † B + C † C + D † D − A † B + A † C − A † D − B † A − B † C + B † D + C † A − C † B − C † D − D † A + D † B − D † C (cid:1) + (cid:3) , (50) P z = (cid:0) − A z A z + A z A † z + A † z A z − A † z A † z (cid:1) = (cid:0) − A z A z + A † z A z − A † z A † z + (cid:1) = [ − AA − BB − CC − DD + AB + AC − AD − BC + BD + CD − A † A † − B † B † − C † C † − D † D † + A † B † + A † C † − A † D † − B † C † + B † D † + C † D † + (cid:0) A † A + B † B + C † C + D † D − A † B − A † C + A † D − B † A + B † C − B † D − C † A + C † B − C † D + D † A − D † B − D † C (cid:1) + (cid:3) . (51)Das über (47) definierte Quadrat des Energieoperators erhält damit die folgende Gestalt: E = (cid:0) − A x A x + A x A † x + A † x A x − A † x A † x − A y A y + A y A † y + A † y A y − A † y A † y − A z A z + A z A † z + A † z A z − A † z A † z (cid:1) = (cid:0) − A x A x + A † x A x − A † x A † x − A y A y + A † y A y − A † y A † y − A z A z + A † z A z − A † z A † z + (cid:1) = (cid:2) − AA − BB − CC − DD − A † A † − B † B † − C † C † − D † D † + AB + AC + AD + BC + BD + CD + A † B † + A † C † + A † D † + B † C † + B † D † + C † D † + (cid:0) A † A + B † B + C † C + D † D − A † B − A † C − A † D − B † A − B † C − B † D − C † A − C † B − C † D − D † A − D † B − D † C (cid:1) + (cid:3) , (52)und die positive Komponente des Energieoperators lautet damit: E = √ (cid:0) − A x A x + A x A † x + A † x A x − A † x A † x − A y A y + A y A † y + A † y A y − A † y A † y − A z A z + A z A † z + A † z A z − A † z A † z + (cid:1) = √ (cid:0) − A x A x + A † x A x − A † x A † x − A y A y + A † y A y − A † y A † y − A z A z + A † z A z − A † z A † z + (cid:1) = √ (cid:2) − AA − BB − CC − DD − A † A † − B † B † − C † C † − D † D † + AB + AC + AD + BC + BD + CD + A † B † + A † C † + A † D † + B † C † + B † D † + C † D † + (cid:0) A † A + B † B + C † C + D † D − A † B − A † C − A † D − B † A − B † C − B † D − C † A − C † B − C † D − D † A − D † B − D † C (cid:1) + (cid:3) . (53)Mit Hilfe des Energieoperators (53) und der Impulsoperatoren aus (45) beziehungsweise(48) kann man nun einen Vierer-Impuls im Tensorraum der Ur-Alternativen definieren: P ABCD = ( E , P x , P y , P z ) . (54)Um basierend auf den in (43) definierten Operatoren eine neue Darstellung der Zustände imTensorraum zu erhalten, müssen die zu den Operatoren in (43) gehörigen Besetzungszahl-zustände betrachtet werden. Allerdings ist in diesen Operatoren (43) ein Freiheitsgrad nochnicht enthalten, da der Tensorraum ja insgesamt vier Besetzungszahl-Unterraüme enthält.Man kann nämlich einen weiteren Operator A n und dessen hermitesch adjungierten Opera-toren A † n wie folgt definieren: A n = ( A + B + C + D ) , A † n = (cid:0) A † + B † + C † + D † (cid:1) , (55)wobei A n mit A x , A y und A z kommutiert und analog zu (44) gilt: (cid:2) A n , A † n (cid:3) = . (56)Die entsprechenden Besetzungszahloperatoren haben ausgedrückt durch die Operatoren in(34) die folgende Gestalt: A † x A x = (cid:0) A † A + A † B − A † C − A † D + B † A + B † B − B † C − B † D − C † A − C † B + C † C + C † D − D † A − D † B + D † C + D † D (cid:1) , A † y A y = (cid:0) A † A − A † B + A † C − A † D − B † A + B † B − B † C + B † D + C † A − C † B + C † C − C † D − D † A + D † B − D † C + D † D (cid:1) , A † z A z = (cid:0) A † A − A † B − A † C + A † D − B † A + B † B + B † C − B † D − C † A + C † B + C † C − C † D + D † A − D † B − D † C + D † D (cid:1) , A † n A n = (cid:0) A † A + A † B + A † C + A † D + B † A + B † B + B † C + B † D + C † A + C † B + C † C + C † D + D † A + D † B + D † C + D † D (cid:1) . (57) Im Unterschied zu den anderen Besetzungszahloperatoren enthält A † n A n nur Terme mit po-sitivem Vorzeichen. Basierend auf den entsprechenden Besetzungszahlen können nun Be-setzungszahlzustände | N x , N y , N z , N n i definiert werden, auf welche die Operatoren (43) und(55) analog zu (26) und (36) in der folgenden Weise wirken: A x | N x , N y , N z , N n i = √ N x | N x − , N y , N z , N n i , A † x | N x , N y , N z , N n i = p N x + | N x + , N y , N z , N n i , A y | N x , N y , N z , N n i = p N y | N x , N y − , N z , N n i , A † y | N x , N y , N z , N n i = p N y + | N x , N y + , N z , N n i , A z | N x , N y , N z , N n i = p N z | N x , N y , N z − , N n i , A † z | N x , N y , N z , N n i = p N z + | N x , N y , N z + , N n i , A n | N x , N y , N u , N n i = √ N n | N x , N y , N z , N n − i , A † n | N x , N y , N z , N n i = p N n + | N x , N y , N z , N n + i . (58)Die Eigenwertgleichungen der Besetzungszahloperatoren (57) lauten analog zu (27) und(37) wie folgt: A † x A x | N x , N y , N z , N n i = N x | N x , N y , N z , N n i , A † y A y | N x , N y , N z , N n i = N y | N x , N y , N z , N n i , A † z A z | N x , N y , N z , N n i = N z | N x , N y , N z , N n i , A † n A n | N x , N y , N z , N n i = N n | N x , N y , N z , N n i . (59)Es gilt die folgende Relation: N = A † x A x + A † y A y + A † z A z + A † n A n = A † A + B † B + C † C + D † D . (60)Das bedeutet, dass die Gesamtbesetzungszahl in Bezug auf diese beiden Darstellungen ei-nes bestimmten Zustandes des Tensorraumes gleich ist. Man kann also einen Zustand imTensorraum auch durch die Besetzungszahlen N x , N y , N z und N n charakterisieren, womit dieBasiszustände aus (40) überführt werden: | N A , N B , N C , N D i ←→ | N x , N y , N z , N n i . (61)Wenn man in Analogie zu (39) zu der kompakten Schreibweise übergeht: | N xyzn i = | N x , N y , N z , N n i , (62)dann kann man damit einen allgemeinen Zustand im Tensorraum (41) basierend auf diesenneuen Basiszuständen in der folgenden Weise ausdrücken: | Ψ i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) | N ABCD i = ∑ N xyzn ψ ( N xyzn ) | N xyzn i . (63)Der vierte Freiheitsgrad, der durch den Besetzungszahloperator A † n A n repräsentiert wird, istaber, wenn die anderen drei Besetzungszahlen fest definiert sind, durch die Gesamtbeset-zungszahl mitbestimmt: N n = N − N x − N y − N z . (64)Im vierten Freiheitsgrad ist also implizit der Freiheitsgrad der Informationsmenge N enthal-ten und das bedeutet, dass bei konstanter Informationsmenge aufgrund der Gleichung: A † n A n = N − A † x A x − A † y A y − A † z A z , (65)die Besetzungzahl A † n A n keinen unabhängigen Freiheitsgrad mehr darstellt.Die Informationsmenge N wird hier als eine eigenständige Größe behandelt, die im Min-desten bei einem freien Objekt nicht in die Dynamik miteinbezogen ist und deshalb konstantbleibt. Überhaupt erscheint es mir zumindest zweifelhaft, dass die Information mit der Zeitsystematisch wächst, wie es von Weizsäcker postulierte, denn von Weizsäcker verknüpftediesen Gedanken mit der Entstehung von Fakten bei Messprozessen, obwohl bei Messpro-zessen doch eigentlich nur Zustände in Eigenzustände übergehen und bei Ur-Alternativenwürde das einen Übergang in Basiszustände aber nicht eine Vergrößerung der Zahl der Ur-Alternativen bedeuten. In diesem Zusammenhang erscheint es sinnvoll, zwischen zwei Ar-ten der Information zu unterscheiden, und zwar zwischen der Elementarinformation und dersemantischen Information. Die Elementarinformation entspricht den Informationseinheiten,die in etwas enthalten sind, und die semantische Information dem Bedeutungsgehalt. Beieiner Textdatei etwa entspricht die in Bits gemessene Größe der Menge an Informations-einheiten, die sie enthält, und der Inhalt des Textes dem Bedeutungsgehalt. Es können zweiTextdateien gleich lang sein und die gleiche Menge an Bits enthalten, aber die eine Dateikann trotzdem nur eine sinnlose Aneinanderreihung von Buchstaben enthalten und die an-dere eine sehr wichtige Botschaft, sodass sie sich bezüglich der Menge an semantischemInformationsgehalt erheblich voneinander unterscheiden, also auch bezüglich der Struktu-ren, die aus den elementaren Informationseinheiten gebildet werden. Die Ur-Alternativenstellen aber keine Information im Sinne eines semantischen Gehaltes dar, sondern sind ele-mentare Informationseinheiten analog zu den Bits im Computer. Bei einer Messung oder beibestimmten anderen physikalischen Prozessen wird allenfalls die semantische Informationerhöht, was bedeutet, dass die Ur-Alternativen sich in einer solchen Weise reorganisieren,dass sich dabei Strukturen bilden, die vom Menschen als Dokument für einen bestimmtenVorgang interpretiert werden können. Aber selbst wenn die Zahl der Ur-Alternativen mit derZeit systematisch zunähme, was natürlich auch aus anderen Gründen im Prinzip denkbarsein könnte, so wäre wahrscheinlich zumindest die Dynamik freier Objekte von dem Frei-heitsgrad der Informationsmenge unabhängig. Daher erscheint es als plausibel, den viertenTeilraum im Tensorraum der Ur-Alternativen, welcher also die Menge an Information in ei-nem Zustand enthält, nicht mit der indirekten Begründung einer weiteren Dimension im phy-sikalischen Ortsraum in Verbindung zu bringen, wie dies in Bezug auf die anderen Teilräumedurch die im nächsten Unterabschnitt vollzogene Abbildung der Besetungszahlzustände inden Ortsraum als Darstellungsmedium geschehen soll. Stattdessen ist davon auszugehen,dass der vierte Teilraum in diesem Modell eine davon unabhängige Größe beschreibt, diebei der gewöhnlichen Dynamik eines freien Objektes als absolute Informationsmenge, diein einem Tensorraumzustand vieler Ur-Alternativen enthalten ist, konstant bleibt. Die Zeitwird im übernächsten Unterabschnitt in die Beschreibung eingeführt. Dort wird dann auchdie spezifische Weise, in welcher sie im Rahmen dieser Beschreibung auftritt, und die invölligem Einklang mit der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie steht, in allerGründlichkeit diskutiert. Da die Besetzungszahl N n bei gegebenen Besetzungszahlen N x , N y , N z direkt über die Ge-samtinformationsmenge N definiert ist, stellt sie, wie erwähnt, keinen eigenständigen Frei-heitsgrad eines freien Objektes dar, sondern ergibt sich aus den anderen Freiheitsgraden.Daher werden in einem Basiszustand | N x , N y , N z , N n i nur die Teilräume, welche den Basis-zuständen | N x i , | N y i und | N z i entsprechen, in den Ortsraum abgebildet und entsprechen dannden drei Raumdimensionen. Dies verhält sich analog zu einer Normierung eines Vektors, beider die Gesamtlänge keine unabhängige Dimension des Vektorraumes darstellt. Deshalb er-gibt sich auch zunächst ein dreidimensionaler und kein vierdimensionaler reeller Ortsraumals Darstellungsraum der Zustände im Tensorraum vieler Ur-Alternativen. Über die Sonder-rolle der Zeitdimension, die in anderer Weise eingeführt werden muss, wird im nächstenUnterabschnitt noch zu sprechen sein. Man kann nun die Orts- und Impulsoperatoren in (45)in der folgenden Weise in Bezug auf einen dreidimensionalen reellen Ortsraum darstellen: X = √ (cid:0) A x + A † x (cid:1) = x , P x = − i √ (cid:0) A x − A † x (cid:1) = − i ∂ x , Y = √ (cid:0) A x + A † x (cid:1) = y , P y = − i √ (cid:0) A x − A † x (cid:1) = − i ∂ y , Z = √ (cid:0) A x + A † x (cid:1) = z , P z = − i √ (cid:0) A x − A † x (cid:1) = − i ∂ z , (66)wobei x , y und z einfach gewöhnliche reelle Koordinaten sind. Diese Darstellung der abstrak-ten Orts- und Impulsoperatoren als Operatoren in einem dreidimensionalen reellen Raum er-möglicht in vollkommener mathematischer Analogie zur Abbildung der Besetzungszahlzu-stände des mehrdimensionalen quantentheoretischen harmonischen Oszillators die folgenderäumliche Darstellung der Besetzungszahlzustände: | N x i ←→ w N x ( x ) = N x !2 N x π ( x − ∂ x ) N x exp (cid:18) − x (cid:19) , | N y i ←→ w N y ( y ) = N y !2 N y π ( y − ∂ y ) N y exp (cid:18) − y (cid:19) , | N z i ←→ w N z ( z ) = N z !2 N z π ( z − ∂ z ) N z exp (cid:18) − z (cid:19) . (67)Wenn aber der vierte Freiheitsgrad, wie oben ausgeführt, nur die Informationsmenge enthältund daher keine im eigentlichen Sinne als eigenständiger Freiheitsgrad in die Dynamik ein-bezogene Größe darstellt, so bedeutet dies, dass man einen Basiszustand des Tensorraumesin Bezug auf die bezüglich der Operatoren A x , A y , A z und A n bezogene Basis bei gegebenerInformationsmenge in der folgenden Weise in eine Darstellung als eine Wellenfunktion ineinem dreidimensionalen Ortsraum überführen kann: | N xyzn i ←→ (cid:2) w N x ( x ) w N y ( y ) w N z ( z ) (cid:3) N ≡ f N ( N x , N y , N z , x , y , z ) ≡ f N xyzn ( x ) , (68)wobei der Index N bezüglich f N ( N x , N y , N z , x , y , z ) natürlich die Gesamtinformationsmengein diesem Zustand als viertem Freiheitsgrad andeutet. Es sei darauf hingewiesen, dass diese Wellenfunktionen normiert sind. Dies ist also vollkommen anders als in der gewöhnlichenQuantenmechanik, in welcher die ebenen Wellen, die sich in einem Kontinuum möglicherZustände bewegen und mit Hilfe derer durch Überlagerung normierte Zustände von Teil-chen gebildet werden, an sich selbst gar nicht normiert sind. Im Rahmen der Quantentheorieder Ur-Alternativen sind die Basiszustände freier Objekte nicht nur diskret, sondern auchnormiert, was wie im Falle des Wasserstoffatoms miteinander in Zusammenhang zu stehenscheint. Dies ist ein weiteres überzeugendes Indiz für die Quantentheorie der Ur-Alternati-ven. Der Übergang (68) bedeutet für einen allgemeinen Zustand im Tensorraum, dass er inder folgenden Weise in eine Welle im Ortsraum überführt werden kann: | Ψ i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) | N ABCD i = ∑ N xyzn ψ ( N xyzn ) | N xyzn i (69) ←→ ∑ N x , N y , N z , N n ψ ( N x , N y , N z , N n ) f N ( N x , N y , N z , x , y , z ) = ∑ N xyzn ψ ( N xyzn ) f N xyzn ( x ) = Ψ ( x ) . Damit entspricht einem allgemeinen freien Zustand im Tensorraum vieler Ur-Alternativenmit einer konstanten Informationsmenge N eine Wellenfunktion in einem reellen dreidimen-sionalen Raum. Ein Zustand im Tensorraum ist also durch zwei Dinge charakterisiert: Durchdie Menge der in ihm enthaltenen Information N und durch die Darstellung als Wellenfunk-tion in einem reellen dreidimensionalen Raum. Wenn man Zustände dargestellt durch Wel-lenfunktionen mit unterschiedlicher Informationsmenge überlagert, was in (69) durch dieSummierung über N n natürlich implizit geschieht, so ist das Ergebnis wieder eine Wellen-funktion im Raum. Aufgrund dieser Isomorphie eines Zustandes im reinen abstrakten quan-tentheoretischen Informationsraum der Ur-Alternativen mit einer Wellenfunktion in einemreellen dreidimensionalen Raum ist damit die Existenz des physikalischen Raumes aus einerreinen abstrakten Quantentheorie der Information begründet. Dieser spielt die Rolle einesMediums, in dem sich die Zustände der Quantenobjekte indirekt darstellen, obwohl sie ei-gentlich einer abstrakteren Realität reiner quantentheoretischer Informationseinheiten ange-hören. Dies erklärt exakt die Situation, die wir in den Phänomenen wahrnehmen, die sich unsempirisch darstellen. Alle Objekte scheinen sich in einem dreidimensionalen reellen Raumzu befinden. Wenn wir aber bis auf die Ebene der Quantenobjekte vordringen, so stellen sichdiese Objekte zwar noch als Wellen in unserem Anschauungsraum dar, aber verhalten sich ineiner Weise als seien sie an die räumlichen Kausalstrukturen gar nicht mehr gebunden, wassich in Phänomenen wie dem Doppelspaltexperiment, dem EPR-Paradoxon und der Redukti-on der Wellenfunktionen zeigt. In der Auffassung der gewöhnlichen Quantenmechanik oderQuantenfeldtheorie tun wir so, als hätten wir es noch mit räumlichen Objekten wie Teilchenund Feldern zu tun, deren Gesetze wir dann durch den Vorgang der Quantisierung abändernund die dann die gewöhnlichen Paradoxien enthält. Die wirkliche Erklärung für diese para-doxe Situation liefert erst die Quantentheorie der Ur-Alternativen, indem sie erkennt, dassdie Objekte gar keine räumlichen Objekte sind, sondern Zustände abstrakter Informations-einheiten, die wie abstrakte Quantenzahlen behandelt werden müssen, die sich nur in dieserräumlichen Weise darstellen. Und deshalb sind sie natürlich auch nicht an die Kausalstruk-turen dieses Raumes gebunden. Um dies deutlicher zu machen, könnte man einen Computerals Gleichnis heranziehen. Die Ur-Alternativen als hinter der eigentlichen Erscheinung lie-gende Realität verhalten sich zur räumlichen Wirklichkeit, die auf der Oberflächenebene an-getroffen wird, in der gleichen Weise wie die abstrakte Struktur elektrischer Signale auf demBildschirm. Auf dem Bildschirm befinden sich konkrete anschauliche lokalisierte Objekte.Aber das ist nicht die eigentliche Realität im Computer, die einem abstrakten Muster elektri- scher Signale in einem Mikrochip entspricht. Wenn sich der Mauszeiger von der einen Seitedes Bildschirms auf die andere bewegt, so bedeutet dies nicht, dass sich der Mikrochip oderdie darin enthaltenen Signale räumlich bewegen, sondern sie ändern nur die Struktur. DieserVergleich ist natürlich begrenzt, da ja auch die abstrakten elektrischen Signale irgendwienoch räumlich lokalisiert sind, während die Ur-Alterativen der ganzen physikalischen Reali-tät zu Grunde liegen und sozusagen als reine Logik die physikalische Realität aus dem Nichtsheraus erst erzeugen. Aber immerhin kann dieses Gleichnis metaphorisch sehr deutlich undeindringlich klar machen, dass die konkrete räumliche Wirklichkeit nur eine Darstellung ei-ner fundamentaleren abstrakten Wirklichkeit ist, welche an die Gesetzmäßigkeiten dieserräumlichen Oberflächenebene ebenso wenig gebunden ist wie das Verhalten der elektrischenSignale an die Beziehungen auf dem Bildschirm. Der Mikrochip bestimmt die Gesetze undder Bildschirm stellt durch eine Überführung nur dar. Das Geschehen auf dem Bildschirmist abhängig vom der Signalstruktur im Mikrochip aber nicht umgekehrt. Und daher ver-wundert es, wenn man diesen Gedanken zurück auf die Quantentheorie der Ur-Alterativenüberträgt, überhaupt nicht mehr, dass in der Quantentheorie Geschehnisse und Effekte ein-treten, die in keiner Weise mehr in Übereinstimmung mit den lokalen Kausalstrukturen desphysikalischen Raumes stehen. Die Zeit kommt erst über die Dynamik mit in die Beschreibung hinein. Sie kann bei der Dar-stellung eines Zustandes in einem reellen Raum zunächst noch gar nicht enthalten sein, dennalleine aufgrund der Existenz einer Dynamik, die in der Quantentheorie mit der allgemei-nen Schrödinger-Gleichung immer vorausgesetzt werden muss, enthält das Wissen um dieZeitentwicklung keinerlei zusätzliche Information. Wenn der Zustand zu einem bestimmtenZeitpunkt bekannt ist, dann ist er aufgrund der Dynamik der Schrödinger-Gleichung im Prin-zip bis in alle Ewigkeit bekannt, solange keine unbekannte Wechselwirkung einwirkt undkeine Messung durchgeführt wird. Daher kann die Zeitdimension nicht einem unabhängigenFreiheitsgrad im Informationsraum entsprechen, sondern entspricht einem Automorphismusdesselben auf sich selbst. Dies steht in keinerlei Gegensatz zur speziellen Relativitätstheorie,denn deren veränderte Kinematik und Dynamik mit ihrer Abhängigkeitsbeziehung zwischenRaum und Zeit kann man zwar formal in einer (3+1)-dimensionalen Raum-Zeit darstellen,womit die Zeit formal wie eine weitere Raumdimension eingeführt wird. Aber das bedeu-tet in keiner Weise, dass damit der fundamentale Wesensunterschied zwischen Raum undZeit aufgehoben wäre. Dies zeigt sich auch formal indirekt darin, dass die Zeit in der Min-kowski-Metrik mit einem negativen Vorzeichen versehen und die Raum- beziehungsweiseZeitartigkeit eines Zustandes Lorentz-invariant ist. Viel wichtiger aber ist, dass die Zeit nurin eine Richtung läuft und einer lebendigen Bewegung entspricht. Dies steht auch mit derwichtigen Erkenntnis Einsteins in Zusammenhang, dass das „Jetzt“ rein formal in der Phy-sik nicht vorkommt, obwohl es natürlich zur tatsächlichen Wirklichkeit der Zeit gehört. DieZeit ist zudem, und das ist das Entscheidende in Bezug auf die Argumentation hier, ge-nerell nicht mit einem unabhängigen Freiheitsgrad in der Physik verbunden wie das beimRaum der Fall ist, auch nicht in der Relativitätstheorie, denn durch die Dynamik ist dieZeitentwicklung determiniert, was in der Relativitätstheorie der Tatsache entspricht, dass inder (3+1)-dimensionalen Raum-Zeit ein Freiheitsgrad weggenommen wird. Dem möglichenund zunächst vielleicht naheliegenden Einwand, dass durch eine unabhängige Einführungder Zeitkoordinate die Einheit der Raum-Zeit im Sinne der Transformation zwischen Raum-und Zeitkoordinaten nicht gewährleistet sei, kann man natürlich damit begegnen, dass so- bald mit der Schödinger-Gleichung eine Zeitentwicklung in die Beschreibung gebracht wird,über eine relativistische Definition des Hamilton-Operators implizit natürlich die relativis-tischen Relationen zwischen Energie und Impuls und damit auch zwischen Zeitkoordinateund Ortskoordinate mit in die Beschreibung hineinkommen. Genaugenommen entsprichtdem dreidimensionalen reellen Raum, welcher zur Darstellung der Zustände im Tensorraumdient, eine raumartige Hyperfläche im Raum-Zeit-Kontinuum, während der über die Schrö-dinger-Gleichung eingeführten Zeitentwicklung dann die vierte Dimension der Gesamtman-nigfaltigkeit entspricht, in welche diese Hyperfläche eingebettet ist. Man ist in der Definitiondieser Hyperfläche frei, welche durch die entsprechende Identifikation der Koordinaten derRaumdarstellung mit den Koordinaten dieser Hyperfläche entspricht. Raum und Zeit sindalso faktisch aufgrund der Interpretation der drei Raumkoordinaten als Hyperfläche in einerformalen Raum-Zeit, der Entstehung einer vollen Raum-Zeit durch die Dynamik gemäß derSchrödinger-Gleichung und der relativistischen Definition des Hamilton-Operators, der dieZeitentwicklung im relativistischen Sinne zu den Impulsoperatoren in Beziehung setzt unddamit auch zu den Ortsoperatoren, doch miteinander verbunden. Und es kommt wie gesagtnicht auf die formale Beschreibung an, sondern auf die faktische Gegenwart der kinemati-schen und dynamischen Beziehungen der speziellen Relativitätstheorie, welche durch einerelativistische Definition des Hamilton-Operators absolut gewährleistet ist.Um also die Zeit und die Dynamik in die Beschreibung der Quantentheorie der Ur-Alter-nativen zu integrieren, muss zunächst die Schrödinger-Gleichung in ihrer allgemeinen ab-strakten Form zu Grunde gelegt werden, wie sie in (14) mit Bezug auf einen allgemeinen aufden Begriff einer logischen Alternative bezogenen Zustand formuliert wurde. Diese lautet inBezug auf die Darstellung einer quantentheoretischen Alternative durch binäre Alternativen,also als Zustand im Tensorraum der Ur-Alternativen (41), wie folgt: i ∂ t | Ψ ( t ) i = H | Ψ ( t ) i , (70)wobei die Zustände | Ψ ( t ) i gemäß (41) beziehungsweise (63) definiert sind, nur dass siejetzt zeitabhängig werden. Selbstredend legt dies zunächst nur die allgemeine dynamischeGrundstruktur gemäß der abstrakten Quantentheorie fest. Die Zeitentwicklung ist damit inder folgenden Weise determiniert: | Ψ ( t ) i = e − iHt | Ψ ( t ) i . (71)Über die konkrete Gestalt des Hamilton-Operators H ist damit noch nichts ausgesagt. Wennman nun den konkreten durch Ur-Alternativen dargestellten freien Hamilton-Operator mitin die Betrachtung hineinnimmt, welcher auf der Beziehung des Energieoperators zu denImpulsoperatoren (47) basiert, so kann man zu einer konkreten Dynamik im Tensorraumder Ur-Alternativen gelangen. Wenn also | Ψ ( t ) i als ein allgemeiner zeitabhängiger Zustandim Tensorraum angesehen wird, und der Hamilton-Operator über die Energie-Impuls-Rela-tion (47) definiert wird, so bedeutet dies, dass die Schrödinger-Gleichung folgende konkreteGestalt annimmt: i ∂ t ∑ N ABCD ψ ( N ABCD , t ) | N ABCD i = q P x + P y + P z ∑ N ABCD ψ ( N ABCD , t ) | N ABCD i . (72)Als Lösung der Schrödinger-Gleichung ergibt sich damit die folgende Gestalt eines allge-meinen zeitabhängigen Zustandes im Tensorraum: | Ψ ( t ) i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD , t ) | N ABCD i = e − i ( √ P x + P y + P z ) t ∑ N ABCD ψ ( N ABCD , t ) | N ABCD i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD , t ) e − i ( √ P x + P y + P z ) t | N ABCD i . (73)Um nun die Komponenten zur Zeit t , ψ ( N ABCD , t ) , in Abhängigkeit der Komponenten zurZeit t , ψ ( N ABCD , t ) , zu bestimmen, muss zunächst einmal der in (47) definierte Energie-operator auf die Basiszustände des Tensorraumes angewandt werden: E | N ABCD i . Um denhieraus sich ergebenden Zustand zu bestimmen, muss zunächst die Anwendung des Quadra-tes des Energieoperators betrachtet werden: E | Ψ i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) E | N ABCD i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) (cid:0) P x + P y + P z (cid:1) | N ABCD i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) (cid:2) − AA − BB − CC − DD − A † A † − B † B † − C † C † − D † D † + AB + AC + AD + BC + BD + CD + A † B † + A † C † + A † D † + B † C † + B † D † + C † D † + (cid:0) A † A + B † B + C † C + D † D − A † B − A † C − A † D − B † A − B † C − B † D − C † A − C † B − C † D − D † A − D † B − D † C (cid:1) + (cid:3) | N ABCD i . (74)Dies kann weiter umgeformt werden zu: E | Ψ i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) h − √ N A p N A − | N A − , N B , N C , N D i (75) − √ N B p N B − | N A , N B − , N C , N D i− p N C p N C − | N A , N B , N C − , N D i − √ N D p N D − | N A , N B , N C , N D − i− p N A + p N A + | N A + , N B , N C , N D i − p N B + p N B + | N A , N B + , N C , N D i− p N C + p N C + | N A , N B , N C + , N D i − p N D + p N D + | N A , N B , N C , N D + i + √ N A √ N B | N A − , N B − , N C , N D i + √ N A p N C | N A − , N B , N C − , N D i + √ N A √ N D | N A − , N B , N C , N D − i + √ N B p N C | N A , N B − , N C − , N D i + √ N B √ N D | N A , N B − , N C , N D − i + p N C √ N D | N A , N B , N C − , N D − i + p N A + p N B + | N A + , N B + , N C , N D i + p N A + p N C + | N A + , N B , N C + , N D i + p N A + p N D + | N A + , N B , N C , N D + i + p N B + p N C + | N A , N B + , N C + , N D i + p N B + p N D + | N A , N B + , N C , N D + i + p N C + p N D + | N A , N B , N C + , N D + i + ( N A | N A , N B , N C , N D i + N B | N A , N B , N C , N D i + N C | N A , N B , N C , N D i + N D | N A , N B , N C , N D i− p N A + √ N B | N A + , N B − , N C , N D i − p N A + p N C | N A + , N B , N C − , N D i− p N A + √ N D | N A + , N B , N C , N D − i − √ N A p N B + | N A − , N B + , N C , N D i− p N B + p N C | N A , N B + , N C − , N D i − p N B + √ N D | N A , N B + , N C , N D − i−√ N A p N C + | N A − , N B , N C + , N D i − √ N B p N C + | N A , N B − , N C + , N D i− p N C + √ N D | N A , N B , N C + , N D − i − √ N A p N D + | N A − , N B , N C , N D + i−√ N B p N D + | N A , N B − , N C , N D + i − p N C p N D + | N A , N B , N C − , N D + i (cid:17) + | N A , N B , N C , N D i ] , und durch Verschiebung der Indizes weiter zu: E | Ψ i = ∑ N ABCD h − ψ ( N A + , N B , N C , N D ) p N A + p N A + − ψ ( N A , N B + , N C , N D ) p N B + p N B + − ψ ( N A , N B , N C + , N D ) p N C + p N C + − ψ ( N A , N B , N C , N D + ) p N D + p N D + − ψ ( N A − , N B , N C , N D ) √ N A p N A − − ψ ( N A , N B − , N C , N D ) √ N B p N B − − ψ ( N A , N B , N C − , N D ) p N C p N C − − ψ ( N A + , N B , N C , N D − ) √ N D p N D − + ψ ( N A + , N B + , N C , N D ) p N A + p N B + + ψ ( N A + , N B , N C + , N D ) p N A + p N C + + ψ ( N A + , N B , N C , N D + ) p N A + p N D + + ψ ( N A , N B + , N C + , N D ) p N B + p N C + + ψ ( N A , N B + , N C , N D + ) p N B + p N D + + ψ ( N A , N B , N C + , N D + ) p N C + p N D + + ψ ( N A − , N B − , N C , N D ) p N A − p N B − + ψ ( N A − , N B , N C − , N D ) p N A − p N C − + ψ ( N A − , N B , N C , N D − ) p N A − p N D − + ψ ( N A , N B − , N C − , N D ) p N B − p N C − + ψ ( N A , N B − , N C , N D − ) p N B − p N D − + ψ ( N A , N B , N C − , N D − ) p N C − p N D − + ( ψ ( N A , N B , N C , N D ) N A + ψ ( N A , N B , N C , N D ) N B + ψ ( N A , N B , N C , N D ) N C + ψ ( N A , N B , N C , N D ) N D − ψ ( N A + , N B − , N C , N D ) p N A + √ N B − ψ ( N A + , N B , N C − , N D ) p N A + p N C − ψ ( N A + , N B , N C , N D − ) p N A + √ N D − ψ ( N A − , N B + , N C , N D ) √ N A p N B + − ψ ( N A , N B + , N C − , N D ) p N B + p N C − ψ ( N A , N B + , N C , N D − ) p N B + √ N D − ψ ( N A − , N B , N C + , N D ) √ N A p N C + − ψ ( N A , N B − , N C + , N D ) √ N B p N C + − ψ ( N A , N B , N C + , N D − ) p N C + √ N D − ψ ( N A − , N B , N C , N D + ) √ N A p N D + − ψ ( N A , N B − , N C , N D + ) √ N B p N D + − ψ ( N A , N B , N C − , N D + ) p N C p N D + (cid:17) + ψ ( N A , N B , N C , N D )] | N ABCD i . Diese Umformung ist nur unter der Voraussetzung möglich, dass: ψ ( N A , N B , N C , N D ) = , wenn ( N A < ) ∨ ( N B < ) ∨ ( N C < ) ∨ ( N D < ) . (77)Dadurch kann man dann die Anwendung des Energieoperators auf einen beliebigen Basis-zustand des Tensorraumes bestimmen zu: E | Ψ i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) E | N ABCD i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) q P x + P y + P z | N ABCD i = √ nh − ψ ( N A + , N B , N C , N D ) p N A + p N A + − ψ ( N A , N B + , N C , N D ) p N B + p N B + − ψ ( N A , N B , N C + , N D ) p N C + p N C + − ψ ( N A , N B , N C , N D + ) p N D + p N D + − ψ ( N A − , N B , N C , N D ) √ N A p N A − − ψ ( N A , N B − , N C , N D ) √ N B p N B − − ψ ( N A , N B , N C − , N D ) p N C p N C − − ψ ( N A + , N B , N C , N D − ) √ N D p N D − + ψ ( N A + , N B + , N C , N D ) p N A + p N B + + ψ ( N A + , N B , N C + , N D ) p N A + p N C + + ψ ( N A + , N B , N C , N D + ) p N A + p N D + + ψ ( N A , N B + , N C + , N D ) p N B + p N C + + ψ ( N A , N B + , N C , N D + ) p N B + p N D + + ψ ( N A , N B , N C + , N D + ) p N C + p N D + + ψ ( N A − , N B − , N C , N D ) p N A − p N B − + ψ ( N A − , N B , N C − , N D ) p N A − p N C − + ψ ( N A − , N B , N C , N D − ) p N A − p N D − + ψ ( N A , N B − , N C − , N D ) p N B − p N C − + ψ ( N A , N B − , N C , N D − ) p N B − p N D − + ψ ( N A , N B , N C − , N D − ) p N C − p N D − + ( ψ ( N A , N B , N C , N D ) N A + ψ ( N A , N B , N C , N D ) N B + ψ ( N A , N B , N C , N D ) N C + ψ ( N A , N B , N C , N D ) N D − ψ ( N A + , N B − , N C , N D ) p N A + √ N B − ψ ( N A + , N B , N C − , N D ) p N A + p N C − ψ ( N A + , N B , N C , N D − ) p N A + √ N D − ψ ( N A − , N B + , N C , N D ) √ N A p N B + − ψ ( N A , N B + , N C − , N D ) p N B + p N C − ψ ( N A , N B + , N C , N D − ) p N B + √ N D − ψ ( N A − , N B , N C + , N D ) √ N A p N C + − ψ ( N A , N B − , N C + , N D ) √ N B p N C + − ψ ( N A , N B , N C + , N D − ) p N C + √ N D − ψ ( N A − , N B , N C , N D + ) √ N A p N D + − ψ ( N A , N B − , N C , N D + ) √ N B p N D + − ψ ( N A , N B , N C − , N D + ) p N C p N D + (cid:17) + ψ ( N A , N B , N C , N D )] × [ ψ ( N ABCD )] o | N ABCD i . (78)Wenn man definiert: E ψ ( N ABCD ) = √ h − ψ ( N A + , N B , N C , N D ) p N A + p N A + − ψ ( N A , N B + , N C , N D ) p N B + p N B + − ψ ( N A , N B , N C + , N D ) p N C + p N C + − ψ ( N A , N B , N C , N D + ) p N D + p N D + − ψ ( N A − , N B , N C , N D ) √ N A p N A − − ψ ( N A , N B − , N C , N D ) √ N B p N B − − ψ ( N A , N B , N C − , N D ) p N C p N C − − ψ ( N A + , N B , N C , N D − ) √ N D p N D − + ψ ( N A + , N B + , N C , N D ) p N A + p N B + + ψ ( N A + , N B , N C + , N D ) p N A + p N C + + ψ ( N A + , N B , N C , N D + ) p N A + p N D + + ψ ( N A , N B + , N C + , N D ) p N B + p N C + + ψ ( N A , N B + , N C , N D + ) p N B + p N D + + ψ ( N A , N B , N C + , N D + ) p N C + p N D + + ψ ( N A − , N B − , N C , N D ) p N A − p N B − + ψ ( N A − , N B , N C − , N D ) p N A − p N C − + ψ ( N A − , N B , N C , N D − ) p N A − p N D − + ψ ( N A , N B − , N C − , N D ) p N B − p N C − + ψ ( N A , N B − , N C , N D − ) p N B − p N D − + ψ ( N A , N B , N C − , N D − ) p N C − p N D − + ( ψ ( N A , N B , N C , N D ) N A + ψ ( N A , N B , N C , N D ) N B + ψ ( N A , N B , N C , N D ) N C + ψ ( N A , N B , N C , N D ) N D − ψ ( N A + , N B − , N C , N D ) p N A + √ N B − ψ ( N A + , N B , N C − , N D ) p N A + p N C − ψ ( N A + , N B , N C , N D − ) p N A + √ N D − ψ ( N A − , N B + , N C , N D ) √ N A p N B + − ψ ( N A , N B + , N C − , N D ) p N B + p N C − ψ ( N A , N B + , N C , N D − ) p N B + √ N D − ψ ( N A − , N B , N C + , N D ) √ N A p N C + − ψ ( N A , N B − , N C + , N D ) √ N B p N C + − ψ ( N A , N B , N C + , N D − ) p N C + √ N D − ψ ( N A − , N B , N C , N D + ) √ N A p N D + − ψ ( N A , N B − , N C , N D + ) √ N B p N D + − ψ ( N A , N B , N C − , N D + ) p N C p N D + (cid:17) + ψ ( N A , N B , N C , N D )] × [ ψ ( N ABCD )] , (79)so bedeutet dies: E | Ψ i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) E | N ABCD i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) q P x + P y + P z | N ABCD i = ∑ N ABCD E ψ ( N ABCD ) | N ABCD i = ∑ N ABCD P ψ ( N ABCD ) | N ABCD i = | P Ψ i . (80)Und mit (71) und (73) erhält man über (80) die Zeitentwicklung eines Zustandes im Tensor-raum der Ur-Alternativen. Denn durch eine Iteration der Anwendung des Energieoperators,also des Hamilton-Operators, auf den Zustand im Sinne von (80), kann man dann im Prin-zip alle Terme der Anwendung der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion mit demEnergieoperator berechnen und in der entsprechenden Näherung die zeitabhängigen Koef-fizienten ψ ( N ABCD , t ) erhalten. Um den Übergang in den Ortsraum zu vollziehen, muss dieAnwendung des Energieoperators in Bezug auf die alternative Darstellung der Basiszustän-de gemäß (62) durchgeführt werden. Die Anwendung des Quadrates des Energieoperators(53) liefert den folgenden Ausdruck: E | Ψ i = ∑ N xyzn ψ ( N xyzn ) E | N xyzn i = ∑ N xyzn ψ ( N xyzn ) (cid:0) P x + P y + P z (cid:1) | N xyzn i = (cid:0) − A x A x + A † x A x − A † x A † x − A y A y + A † y A y − A † y A † y − A z A z + A † z A z − A † z A † z + (cid:1) | N xyzn i = n − ψ ( N x + , N y , N z , N n ) p N x + p N x + − ψ ( N x , N y + , N z , N n ) p N y + p N y + − ψ ( N x , N y , N z + , N n ) p N z + p N z + − ψ ( N x − , N y , N z , N n ) √ N x p N x − − ψ ( N x , N y − , N z , N n ) p N y p N y − − ψ ( N x , N y , N z − , N n ) p N z p N z − + [ ψ ( N x , N y , N z , N n ) N x + ψ ( N x , N y , N z , N n ) N y + ψ ( N x , N y , N z , N n ) N z ] + ψ ( N x , N y , N z , N n ) (cid:9) | N xyzn i . (81)Dadurch kann man dann die Anwendung des Energieoperators auf einen beliebigen Basis-zustand des Tensorraumes bestimmen zu: E | Ψ i = ∑ N xyzn ψ ( N xyzn ) E | N xyzn i = ∑ N xyzn ψ ( N xyzn ) q P x + P y + P z | N xyzn i = √ n − ψ ( N x + , N y , N z , N n ) p N x + p N x + − ψ ( N x , N y + , N z , N n ) p N y + p N y + − ψ ( N x , N y , N z + , N n ) p N z + p N z + − ψ ( N x − , N y , N z , N n ) √ N x p N x − − ψ ( N x , N y − , N z , N n ) p N y p N y − − ψ ( N x , N y , N z − , N n ) p N z p N z − + [ ψ ( N x , N y , N z , N n ) N x + ψ ( N x , N y , N z , N n ) N y + ψ ( N x , N y , N z , N n ) N z ] + ψ ( N x , N y , N z , N n ) (cid:9) | N xyzn i . (82)Wenn man definiert: E ψ ( N xyzn ) = √ n − ψ ( N x + , N y , N z , N n ) p N x + p N x + − ψ ( N x , N y + , N z , N n ) p N y + p N y + − ψ ( N x , N y , N z + , N n ) p N z + p N z + − ψ ( N x − , N y , N z , N n ) √ N x p N x − − ψ ( N x , N y − , N z , N n ) p N y p N y − − ψ ( N x , N y , N z − , N n ) p N z p N z − + [ ψ ( N x , N y , N z , N n ) N x + ψ ( N x , N y , N z , N n ) N y + ψ ( N x , N y , N z , N n ) N z ] + ψ ( N x , N y , N z , N n ) (cid:9) , (83)so bedeutet dies: E | Ψ i = ∑ N xyzn ψ ( N xyzn ) E | N xyzn i = ∑ N xyzn ψ ( N xyzn ) q P x + P y + P z | N xyzn i = ∑ N xyzn E ψ ( N xyzn ) | N xyzn i . (84)Bei einem Übergang zur Darstellung im Ortsraum ergibt sich dann für die Zeitentwicklungeines allgemeinen symmetrischen Zustandes im Tensorraum der Ur-Alternativen mit (69),(71), (73) und (84) der folgende Ausdruck, der aufgrund der relativistischen Definition desEnergieoperators (47) formal auch als ein Zustand in der Raum-Zeit im Sinne der speziellenRelativitätstheorie angesehen werden kann: | Ψ ( t ) i = ∑ N xyzn ψ ( N xyzn ) e − iEt | N xyzn i = ∑ N xyzn ψ ( N xyzn , t ) | N xyzn i←→ ∑ N xyzn ψ ( N xyzn , t ) f N xyzn ( x ) = Ψ ( x , t ) . (85)Denn natürlich enthält diese auf der Schrödinger-Gleichung im Tensorraum (70) unter Vor-aussetzung der Definition eines über (47) definierten Energieoperators basierende Zeitent-wicklung (85) implizit die Dynamik einer Klein-Gordon-Gleichung. Dies ist aufgrund derRelation der Operatoren über die relativistischen Energie-Impuls-Relation (47) unmittelbarersichtlich. Da der Energieoperator und die Zeitentwicklung sich wechselseitig definieren,ist die Darstellung des Energieoperators immer gegeben durch: E = − i ∂ t . (86)Wenn man nun desweiteren die Darstellung der Impulsoperatoren gemäß (66) und zudemdie Definition der Energie über die Impulsoperatoren (47), die in Analogie zur gewöhnli-chen relativistischen Energie-Impuls-Relation gewählt wurde, zu Grunde legt, und auf einenZustand im Tensorraum anwendet, so bedeutet dies: (cid:0) E − P x − P y − P z (cid:1) | Ψ ( t ) i = ←→ (cid:0) ∂ t − ∂ x − ∂ y − ∂ z (cid:1) Ψ ( x , t ) = . (87)Und damit ist dann faktisch gezeigt, dass es durch Definition des Energieoperators gemäß(47) und damit über die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren im Tensorraum und durchdie Voraussetzung der allgemeinen Schrödinger-Gleichung der abstrakten Quantentheoriein Bezug auf den Tensorraum (70) möglich wird, die allgemeinen freien Zustände im Ten-sorraum der Ur-Alternativen mit bosonischer Permutationssymmetrie darzustellen als Wel-lenfunktionen in einer formalen Raum-Zeit, die der Klein-Gordon-Gleichung genügen. Diebisherigen Objekte enthalten noch keine Masse. Wenn man aber wie das Standardmodellder Elementarteilchenphysik mit dem Higgs-Teilchen und wie die Heisenbergsche nichtli-neare Spinorfeldtheorie davon ausgeht, dass Masse durch Wechselwirkung entsteht, so istes nicht verwunderlich, dass freie Objekte masselos sind. Die Masse muss also durch eineBeschreibung der Wechselwirkung induziert werden. Die Behandlung des Phänomens derWechselwirkung in der Quantentheorie der Ur-Alternativen wird im übernächsten Abschnittbehandelt. Es wird für die späteren Abschnitte noch bedeutsam werden, die Wirkung derImpulsoperatoren auf einen allgemeinen Zustand zu bestimmen: P x | Ψ i = − i √ ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) (cid:0) A + B − C − D − A † − B † + C † + D † (cid:1) | N ABCD i = − i √ ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) (cid:2) √ N A | N A − , N B , N C , N D i + √ N B | N A , N B − , N C , N D i− p N C | N A , N B , N C − , N D i − √ N D | N A , N B , N C , N D − i− p N A + | N A + , N B , N C , N D − i − p N B + | N A , N B + , N C , N D i + p N C + | N A , N B , N C + , N D i + p N D + | N A , N B , N C , N D + i i = − i √ ∑ N ABCD h ψ ( N A + , N B , N C , N D ) p N A + + ψ ( N A , N B + , N C , N D ) p N B + − ψ ( N A , N B , N C + , N D ) p N C + − ψ ( N A , N B , N C , N D + ) p N D + − ψ ( N A − , N B , N C , N D ) √ N A − ψ ( N A , N B − , N C , N D ) √ N B + ψ ( N A , N B , N C − , N D ) p N C + ψ ( N A , N B , N C , N D − ) √ N D i | N ABCD i≡ ∑ N ABCD P x ψ ( N ABCD ) | N ABCD i≡ | P x Ψ i , (88) P y | Ψ i = − i √ ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) (cid:0) A − B + C − D − A † + B † − C † + D † (cid:1) | N ABCD i = − i √ ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) (cid:2) √ N A | N A − , N B , N C , N D i − √ N B | N A , N B − , N C , N D i + p N C | N A , N B , N C − , N D i − √ N D | N A , N B , N C , N D − i− p N A + | N A + , N B , N C , N D − i + p N B + | N A , N B + , N C , N D i− p N C + | N A , N B , N C + , N D i + p N D + | N A , N B , N C , N D + i i = − i √ ∑ N ABCD h ψ ( N A + , N B , N C , N D ) p N A + − ψ ( N A , N B + , N C , N D ) p N B + + ψ ( N A , N B , N C + , N D ) p N C + − ψ ( N A , N B , N C , N D + ) p N D + − ψ ( N A − , N B , N C , N D ) √ N A + ψ ( N A , N B − , N C , N D ) √ N B − ψ ( N A , N B , N C − , N D ) p N C + ψ ( N A , N B , N C , N D − ) √ N D i | N ABCD i≡ ∑ N ABCD P y ψ ( N ABCD ) | N ABCD i≡ | P y Ψ i , (89) P z | Ψ i = − i √ ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) (cid:0) A − B − C + D − A † + B † + C † − D † (cid:1) | N ABCD i = − i √ ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) (cid:2) √ N A | N A − , N B , N C , N D i − √ N B | N A , N B − , N C , N D i− p N C | N A , N B , N C − , N D i + √ N D | N A , N B , N C , N D − i− p N A + | N A + , N B , N C , N D − i + p N B + | N A , N B + , N C , N D i + p N C + | N A , N B , N C + , N D i − p N D + | N A , N B , N C , N D + i i = − i √ ∑ N ABCD h ψ ( N A + , N B , N C , N D ) p N A + − ψ ( N A , N B + , N C , N D ) p N B + − ψ ( N A , N B , N C + , N D ) p N C + + ψ ( N A , N B , N C , N D + ) p N D + − ψ ( N A − , N B , N C , N D ) √ N A + ψ ( N A , N B − , N C , N D ) √ N B + ψ ( N A , N B , N C − , N D ) p N C − ψ ( N A , N B , N C , N D − ) √ N D i | N ABCD i≡ ∑ N ABCD P z ψ ( N ABCD ) | N ABCD i≡ | P z Ψ i . (90)Man kann (80), (88), (89) und (90) mit (54) in der folgenden Gleichung zusammenfassen: P µ ABCD | Ψ i = | P µ Ψ i . (91) Die in der Natur existierenden Objekte sind nicht nur Objekte, die sich in der Raum-Zeitdarstellen, sondern sie sind zugleich durch zusätzliche diskrete Quantenzahlen gekennzeich-net, welche mit den sogenannten inneren Symmetrien verbunden sind. Zudem gibt es denSpin, welcher obwohl er eine Quantenzahl darstellt, auch mit den Raum-Zeit-Symmetrien inZusammenhang steht, und damit gewissermaßen zwischen den räumlichen Freiheitsgradenund den Freiheitsgraden der inneren Symmetrien steht. Im Rahmen des Standardmodells derElementarteilchenphysik handelt es sich bei den Quantenzahlen außer dem Spin bekanntlichvor allem um den schwachen Isospin, der mit einer SU ( ) -Symmetrie verbunden ist, undden sogenannten Farb-Freiheitsgrad der Quarks, der mit einer SU ( ) -Symmetrie verbundenist. Es soll hier zunächst gezeigt werden, wie man diese zusätzlichen Symmetrien in eineBeschreibungsweise im Rahmen der Ur-Alternativen einbinden kann, ehe im nächsten Un-terabschnitt gezeigt wird, wie der Zusammenhang zu den Tensorraum-Zuständen hergestelltwerden kann, die man ja gemäß dem letzten Abschnitt in der Raum-Zeit darstellen kann.Das interessante ist diesbezüglich natürlich, dass sowohl die räumlichen Freiheitsgrade al-sauch die diskreten Freiheitsgrade der Quantenzahlen letztendlich beide auf die diskretenUr-Alternativen zurückgeführt werden.Um die inneren Symmetrien der Elementarteilchen in die Quantentheorie der Ur-Alterna-tiven einzubinden, soll hier anders als in [60], wo diese Frage auch behandelt wird, von dermathematischen Struktur der Oktonionen Gebrauch gemacht werden, die mit der G -Gruppein der Weise verbunden ist, dass die G -Gruppe die Automorphismengruppe der Oktonionenist, also die Menge aller Abbildungen des Raumes der Oktonionen auf sich selbst beschreibt.Im Hinblick auf eine algebraische Erweiterung der Quantentheorie wurden die Oktonionenseitens Pascual Jordan untersucht, beispielsweise in [79],[80],[81],[82]. Die Ergebnisse des-sen werden in [83] zusammenfassend dargestellt. Beziehungen zur SU ( ) -Symmetriestruk-tur der Quarks werden in [84],[85],[86] thematisiert. Ein allgemeines Element der Oktonio-nen hat die folgende Gestalt: O = r e + ∑ i = r i e i , (92)wobei r und die r i reelle Parameter darstellen, e einfach den Einheitsvektor der gewöhn-lichen reellen Dimension in Abgrenzung zu den imaginären Dimensionen andeutet und dieimaginären Größen e i die folgende algebraische Relation erfüllen: e i e j = − δ i j + ˜ ε i jk e k , (93)wobei der Tensor ˜ ε i jk total antisymmetrisch ist und für ihn gilt:˜ ε = ˜ ε = ˜ ε = ˜ ε = ˜ ε = ˜ ε = ˜ ε = . (94)Die verschiedenen imaginären Größen e i sind nicht-assoziativ und erfüllen den folgendenAssoziator: (cid:8) e i , e j , e k (cid:9) = ( e i e j ) e k − e i ( e j e k ) = − ε i jkl e l , (95) wobei der Tensor ¯ ε i jkl ebenfalls total antisymmetrisch ist und für ihn gilt:¯ ε = ¯ ε = ¯ ε = ¯ ε = ¯ ε = ¯ ε = ¯ ε = . (96)Die konjugierte Größe zu einem Element der Oktonionen ist gegeben durch: O ∗ = r e − ∑ i = r i e i . (97)Die Automorphismen-Gruppe der Oktonionen ist wie erwähnt die G -Gruppe, eine der ex-zeptionellen Lie-Gruppen, welche 14 Generatoren aufweist. Diese kann in einem vierdimen-sionalen komplexen Vektorraum dargestellt werden. Um einen komplexen vierdimensiona-len Vektor zu konstruieren, ist in der Quantentheorie der Ur-Alternativen die Kombinationzweier Ur-Alternativen notwendig, die hier als u und v bezeichnet seien: u = (cid:18) a + bic + di (cid:19) , v = (cid:18) e + f ig + hi (cid:19) , p a + b + c + d = p e + f + g + h = . (98)Mit Hilfe dieser kann man einen vierdimensionalen Spinor konstruieren, der aber hier natür-lich keinerlei Beziehung zur Raum-Zeit aufweist: Φ = (cid:18) ¯ u ¯ v (cid:19) = a + bic + die + f ig + hi , p a + b + c + d + e + f + g + h = , (99)wobei hier jetzt natürlich eine neue Normierungsbedingung definiert werden muss, da diebeiden Ur-Alternativen ja in eine Gesamtalternative eingebettet sind, wodurch faktisch einweiterer Freiheitsgrad entsteht und weshalb die beiden in die Gesamtalternative integriertenUr-Alternativen mit ¯ u und ¯ v bezeichnet werden. In Wirklichkeit enthalten die Ur-Alternati-ven ja bereits drei Alternativen oder logische Freiheitsgrade, nämlich denjenigen zwischenden beiden komplexen Dimensionen und die beiden in jeder der beiden komplexen Dimen-sionen jeweils für sich schon enthaltenen. Jede der beiden Ur-Alternativen enthält also ei-gentlich drei unabhängige Freiheitsgrade. Und mit der Alternative der beiden Ur-Alternati-ven in Bezug aufeinander ergibt sich dann der siebte Freiheitsgrad. Einen solchen aus zweiUr-Alternativen bestehenden vierdimensionalen komplexen Spinor kann man natürlich auchals einen achtdimensionalen reellen Vektor darstellen: Φ R = abcdefgh . (100)Bezogen auf diesen kann man die 14 Generatoren der G -Gruppe in der folgenden Wei-se als reelle 8 x 8-Matrizen darstellen, die als 4 x 4-Matrizen mit durch Pauli-Matrizendargestellten reellen 2 x 2-Matrizen als Einträgen geschrieben werden können, wobei auf-grund der nicht-Assoziativität der Oktonionen, welche gleichbedeutend mit der Tatsache ist, dass Rechtsmultiplikation etwas anderes ist als Linksmultiplikation, zu jeder der sieben ima-ginären Dimensionen der Oktonionen zwei Generatoren gehören. Die nicht-Assoziativitätstellt sich also in einer Verdopplung der Zahl der Generatoren von 7 auf 14 dar [87], wobeiin der folgenden Bezeichnung der Generatoren die mit R und L bezeichneten Generatorenjeweils ein Paar in Bezug auf Rechts- und Linksmultiplikation darstellen: L = − i σ − i σ − i σ
00 0 0 i σ , R = − i σ i σ i σ
00 0 0 − i σ , L = − σ σ − , R = − − , L = − σ σ − i σ − i σ , R = − i σ − i σ i σ i σ , L = − σ
00 0 0 σ − , R = −
00 0 0 − , L = − σ
00 0 0 i σ σ i σ , R = − i σ
00 0 0 − i σ − i σ − i σ , L = − − σ σ , R = − σ σ − σ σ , L = − i σ − σ σ − i σ , R = − σ σ − σ σ . (101)Hierbei beschreiben die σ µ die Pauli-Matrizen einschließlich der Einheitsmatrix in zweiDimensionen: σ = = (cid:18) (cid:19) , σ = (cid:18) (cid:19) , σ = (cid:18) − ii (cid:19) , σ = (cid:18) − (cid:19) . (102)Auf diese Weise ist also die G -Gruppe auf dem Raum einer doppelten Ur-Alternative dar-gestellt. Nun kann man aber die G -Symmetrie zerlegen in eine SU ( ) -Symmetrie und zwei SU ( ) -Symmetrien [88], was also bedeutet: G ⇔ SU ( ) ⊗ SU ( ) ⊗ SU ( ) . (103) Entsprechend den acht Generatoren der SU ( ) -Gruppe und den jeweils drei Generatoren derbeiden SU ( ) -Gruppen, ist dies gleichbedeutend mit der Relation: = + + . (104)Diese algebraische Substruktur der G -Gruppe kann dargestellt werden, indem man die Grö-ßen a k , b k und g kl einführt, wobei die Indizes jeweils von 1 bis 3 laufen. Diese algebraischenGrößen sind zugleich die Generatoren der G -Gruppe alsauch diejenigen der Untergruppen,wobei die a k und die b k jeweils eine SU ( ) -Gruppe konstituieren und die g kl eine SU ( ) -Gruppe [89]. Diese Generatoren erfüllen dementsprechend die folgende Lie-Algebra: h g lk , g nm i = δ lm g nk − δ nk g lm , h g lk , a m i = δ lm a k − δ lk a m , h g lk , b n i = − δ nk b l + δ lk b n , [ a m , b n ] = g nm , [ a m , a n ] = − √ ε mnl b l , [ b m , b n ] = √ ε mnl a l , (105)wobei ε i jk hier nun den gewöhnlichen total antisymmetrischen Tensor dritter Stufe bezeich-net. Die Forderung der Relationen: ∑ k g kk = , g l † k = g lk , a † m = b m , (106)schränkt die Zahl der Freiheitsgrade der g kl von neun auf acht ein, wie es den acht Genera-toren der SU ( ) -Gruppe entspricht.Da sich also die G -Gruppe im Raum einer doppelten binären quantentheoretischen Al-ternative darstellen lässt und diese sich in eine SU ( ) -Gruppe und zwei SU ( ) -Gruppen auf-spalten lässt, besteht die Möglichkeit, auf diese Weise die inneren Symmetrien des Standard-modells in die Quantentheorie der Ur-Alternativen zu integrieren. Man könnte die SU ( ) -Gruppe mit dem Farbfreiheitsgrad der Quarks identifizieren, eine der beiden SU ( ) -Gruppenmit dem Isospin und die andere der SU ( ) -Gruppen mit dem räumlichen Spin. Nun entstehtnatürlich die Schwierigkeit, den Bezug zum Tensorraum und seiner Darstellung in Bezug aufden physikalischen Ortsraum herzustellen. Hierbei ist entscheidend, dass der Spin sich auchauf den physikalischen Raum bezieht, während der Isospin und der Farbfreiheitsgrad rein in-nere Symmetrien ohne Bezug zum physikalischen Raum darstellen. Dies legt die Vermutungnahe, dass der mit der einen SU ( ) -Symmetrie verknüpfte Spin-Freiheitsgrad eine relativeAusrichtung der Ur-Alternativen des Raumes des zusätzlichen doppelten binären Freiheits-grades in Bezug auf den Tensorraum beschreibt, während die anderen Freiheitsgrade dannrelativ zu diesem zusätzlichen Freiheitsgrad als Basis definiert und damit vollkommen un-abhängig vom Tensorraum einschließlich dessen Darstellung im physikalischen Ortsraumsind. Dies würde dann eine Erklärung dafür liefern, warum der Freiheitsgrad des Spin durchRaum-Zeit-Transformationen beeinflusst wird, aber der Isospin und der Farbfreiheitsgradnicht. Das bedeutet, dass eine Transformation aller Ur-Alternativen des internen Raumeseiner Drehung des Spin entspricht, während eine Transformation der Ur-Alternativen desinternen Raumes relativ zueinander einer Transformation in Bezug auf die inneren Sym-metrien entspricht. Dies liefert in der Tat eine sehr plausible Rechtfertigung dafür, dass esneben den Raum-Zeit-Symmetrien und den internen Symmetrien den Spin mit seiner beidesverbindenden Natur überhaupt gibt. Diese Grundidee wurde in etwas anderer Weise bereitsin [90] thematisiert. Natürlich muss der Spin-Freiheitsgrad unter dieser Voraussetzung dynamisch in eine direkteBeziehung zum Tensorraum gesetzt werden und dies kann wie in der gewöhnlichen Be-schreibung geschehen, indem man die Klein-Gordon-Gleichung (87) linearisiert und in dieentsprechende Dirac-Gleichung überführt, wie Dirac dies in [91],[92] vollzog. Wenn mandie in der Klein-Gordon-Gleichung (87) enthaltene Energie-Impuls-Relation (47) und alsViererimpulsoperator die Definition in (54) zu Grunde legt, so lautet (47): ( P ABCD ) µ ( P ABCD ) µ = . (107)Um diese Relation umzuformulieren muss man die Dirac-Matrizen verwenden: γ = (cid:18) (cid:19) , γ i = (cid:18) − σ i σ i (cid:19) , i = ... , (108)wobei die σ i die in (102) definierten Pauli-Matrizen sind und die ebenfalls in (102) defi-nierte Einheitsmatrix in zwei Dimensionen ist. Mit der Relation: γ µ γ ν + γ ν γ µ = η µν , µ = ... , (109)wobei η µν die Minkowski-Metrik und hier nun die Einheitsmatrix in vier Dimensionensein soll, kann man (107) ausdrücken als: γ µ γ ν ( P ABCD ) µ ( P ABCD ) ν = , (110)und dies bedeutet: γ µ ( P ABCD ) µ = . (111)Um nun von dieser Relation zur masselosen Dirac-Gleichung als einer bestimmten Mani-festation der Schrödinger-Gleichung als dynamischer Grundgleichung der Quantentheorieüberzugehen, muss der darin enthaltene Operator auf einen Zustand angewandt werden. Unddieser muss zusätzlich zu einem Vektor im Tensorraum der Ur-Alternativen auch mindestensnoch einen zusätzlichen Dirac-Spinor enthalten. Es sollen aber zudem mit Hilfe der mathe-matischen Betrachtungen des letzten Unterabschnittes die inneren Symmetrien eingebundenwerden, also der schwache Isospin sowie die Quark-Freiheitsgrade. Zunächst sei deshalbder folgende zweidimensionale Spinor Ω als einzelne Ur-Alternative definiert, welche dieKomponente zu positiver und zu negativer Energie beschreibt: Ω = (cid:18) Ω Ω (cid:19) = (cid:18) u u (cid:19) . (112)Desweiteren sei der Vektor Γ als Tensorprodukt der Ur-Alternative Ω mit der doppelten Ur-Alternative Φ aus dem letzten Unterabschnitt (99) definiert, in Bezug auf welche die G -Gruppe mit der in ihr enthaltenen Substruktur der beiden SU ( ) -Gruppen und der SU ( ) -Gruppe dargestellt werden kann: Γ = Ω ⊗ Φ = (cid:18) Ω ΦΩ Φ (cid:19) . (113)Der Spinor Γ enthält also die Freiheitsgrade eines Dirac-Spinors, der die Komponenten zupositiver und negativer Energie sowie den Spin enthält, der mit einer der beiden SU ( ) - Gruppen identifiziert werden kann, die in der G -Gruppe enthalten sind, und darüber hin-aus einen schwachen Isospin, der mit der anderen der beiden SU ( ) -Gruppen identifiziertwerden kann, sowie einen Farbfreiheitsgrad, der mit der SU ( ) -Gruppe identifiziert werdenkann. Wenn man nun ein weiteres Tensorprodukt bildet, nämlich dasjenige zwischen demVektor Γ und einem allgemeinen Zustand im Tensorraum der Ur-Alternativen, formuliert in(41) beziehungsweise (63), so erhält man einen erweiterten Zustand | Ψ Γ i : | Ψ Γ i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) | N ABCD i ⊗ Γ . (114)Dieser Zustand stellt ein Element des Gesamt-Hilbert-Raumes H G dar, der sich aus demTensorprodukt des Tensorraumes der Ur-Alternativen H T und dem Hilbert-Raum der Mengeder Γ -Zustände H Γ ergibt: H G ⇔ H T ⊗ H Γ . (115)Wenn man den Operator aus (111) auf einen allgemeinen Zustand | Ψ Γ i anwendet, definiertin (114), den man zudem als zeitabhängig ansieht, so ergibt sich die folgende Gleichung: γ µ ( P ABCD ) µ | Ψ Γ ( t ) i = (cid:2) γ E − γ P x − γ P y − γ P z (cid:3) | Ψ Γ ( t ) i = , (116)wobei E gemäß (53) und P x , P y und P z gemäß (45) beziehungsweise (48) definiert sind. DieseGleichung (116) stellt ihrer Form nach eine Dirac-Gleichung mit inneren Symmetrien dar.Die Dirac-Matrizen wirken im Ω -Raum beziehungsweise die in den Dirac-Matrizen enthal-tenen Pauli-Matrizen auf den SU ( ) -Freiheitsgrad innerhalb des Zustandes Φ , der mit demSpin identifiziert werden soll. Der andere SU ( ) -Freiheitsgrad und der SU ( ) -Freiheitsgradbleiben durch die Dirac-Matrizen unbeeinflusst, weshalb sie auch von den Operatoren imTensorraum vollkommen entkoppelt sind, womit sie auch von der Raum-Zeit absolut unab-hängig sind und daher als wirkliche innere Freiheitsgrade im Sinne des schwachen Isospinund der Farbe interpretiert werden können. Allenfalls über eine Wechselwirkung könntenBeziehungen der inneren Symmetrien zum Tensorraum hergestellt werden. Wenn man diefolgende Definition vornimmt: Λ = γ µ ( P ABCD ) µ = (cid:2) γ E − γ P x − γ P y − γ P z (cid:3) , (117)so kann man die Gleichung umschreiben zu: Λ | Ψ Γ ( t ) i = . (118)Wenn man nun den Übergang in eine Raum-Zeit-Darstellung vornimmt, indem man dieräumliche Darstellung (69) von Zuständen im Tensorraum verwendet: | Ψ Γ ( t ) i ←→ Ψ ( x , t ) ⊗ Γ = Ψ Γ ( x , t ) , (119)und zudem die Darstellung der Orts- und Impulsoperatoren im reellen dreidimensionalenRaum (66) in (116) verwendet, dann ergibt sich die folgende Gestalt der Dirac-Gleichung inBezug auf eine Darstellung in der Raum-Zeit: i γ µ ∂ µ Ψ Γ ( x , t ) = . (120)In Gestalt der Schrödinger-Gleichung (70) geschrieben, bedeutet dies: i ∂ t Ψ Γ ( x , t ) = i γ (cid:0) γ ∂ x + γ ∂ y + γ ∂ z (cid:1) Ψ Γ ( x , t ) = H D Ψ Γ ( x , t ) = , (121) wenn man H D definiert als: H D = − γ (cid:0) γ P x + γ P y + γ P z (cid:1) ←→ i γ (cid:0) γ ∂ x + γ ∂ y + γ ∂ z (cid:1) . (122)Dass eine Masse erst über eine Theorie der Wechselwirkung in die Quantentheorie der Ur-Alternativen Einzug erhalten kann, wurde im letzten Abschnitt bereits erläutert. Man kann nun von einer Quantentheorie vieler Ur-Alternativen, deren symmetrischen Zu-ständen freie Quantenobjekte entsprechen, die in einer (3+1)-dimensionalen Raum-Zeit dar-gestellt werden können, zu einer Theorie vieler solcher Quantenobjekte übergehen, die ei-ner Vielteilchentheorie oder freien Quantenfeldtheorie analog ist, aber natürlich in Wirk-lichkeit nicht einer Quantenfeldtheorie entspricht, da sie basierend auf Ur-Alternativen un-abhängig von einem physikalischen Raum und damit von feldtheoretischen Prinzipien ist.In einer solchen hat man es nicht mit einem Hilbert-Raum zu tun, dessen BasiszuständenBesetzungszahlen für die verschiedenen Basiszustände einer einzelnen Ur-Alternative ent-sprechen, sondern mit einem Hilbert-Raum, dessen Basiszuständen Besetzungszahlen fürdie Basiszustände des symmetrischen Tensorraumes vieler Ur-Alternativen entsprechen, al-so Besetzungszahlen in Bezug auf Besetzungszahlen. Man hat es also mit drei Stufen derQuantisierung zu tun. Auf der ersten Stufe wird eine binäre Alternative durch Zuordnungvon komplexen Wahrheitswerten in eine quantentheoretische binäre Alternative überführt,die damit zu einer Ur-Alternative wird. Auf der zweiten Stufe werden die Komponenten derUr-Alternative zu Operatoren, die in einem Tensorraum vieler Ur-Alternativen wirken undUr-Alternativen in den verschiedenen Basiszuständen erzeugen beziehungsweise vernichten.Den Zuständen in diesem Tensorraum entsprechen einzelne freie Quantenobjekte, die mangewöhnlich als Teilchen bezeichnet und als Wellen im Raum darstellt. Auf der dritten Stufeerhält man Operatoren, die Quantenobjekte in den Basiszuständen des Tensorraumes der Ur-Alternativen erzeugen und vernichten. Die Zustände beschreiben ein Ensemble vieler Quan-tenobjekte. Den drei Stufen der Quantisierung entsprechen also die folgenden Übergänge: binäre Alternative
Quantisierung −−−−−−−−→
Zustand Ur-Alternative , (123) Zustand Ur-Alternative
Quantisierung −−−−−−−−→
Zustand vieler Ur-Alternativen , Zustand vieler Ur-Alternativen
Quantisierung −−−−−−−−→
Zustand vieler Quantenobjekte . Eine Konstruktion des Hilbert-Raumes der Besetzungszahlen in Bezug auf die Basiszustän-de im Tensorraum vieler Ur-Alternativen entspricht einer Zuordnung von Erzeugungs- undVernichtungsoperatoren zu den Basiszuständen des Tensorraumes vieler Ur-Alternativen,denen ja selbst Besetzungszahlen in den Basiszuständen einzelner Ur-Alternativen entspre-chen (40). Diese Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind, wenn man Bose-Statistikzu Grunde legt, gemäß der folgenden Vertauschungsrelation definiert: h ˆ ψ ( N ABCD ) , ˆ ψ † (cid:16) N ′ ABCD (cid:17)i = δ N A N ′ A δ N B N ′ B δ N C N ′ C δ N D N ′ D . (124)Man kann nun zu den Besetzungszahlen der Quantenobjekte in den Basiszuständen des Ten-sorraumes vieler Ur-Alternativen gehörige Zustände | N ( N ABCD ) i definieren, auf welche die in (124) definierten Operatoren wirken und über diese kann man einen allgemeinen Zustandvieler Quantenobjekte in folgender Weise ausdrücken: | Ψ i N = ∑ N ABCD ∑ N ( N ABCD ) ψ N [ N ( N ABCD )] | N ( N ABCD ) i = ∑ N xyzn ∑ N ( N xyzn ) ψ N [ N ( N xyzn )] | N ( N xyzn ) i . (125)Die zu den Feldoperatoren in gewöhnlichen Quantenfeldtheorien analogen Operatoren imRahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen, welche sich auf Zustände vieler Quanten-objekte beziehen, lauten dann in der Ortsdarstellung wie folgt:ˆ Ψ ( x ) = ∑ N yxzn ˆ ψ ( N xyzn ) f N xyzn ( x ) , ˆ Ψ † ( x ) = ∑ N xyzn ˆ ψ † ( N xyzn ) f N xyzn ( x ) , (126)wobei ψ ( N xyzn ) und ψ † ( N xyzn ) die zu (124) analogen Vertauschungsrelationen in Bezug auf N xyzn erfüllen und in dieser Ortsdarstellung die Funktionen f N xyzn ( x ) gemäß (68) definiertsind. Wenn man die Operatoren (126) in Abhängigkeit von der Zeit formulieren möchte, somuss man gemäß der Dynamik im Tensorraum der Ur-Alternativen (85) den Zeitentwick-lungsoperator e − iEt integrieren:ˆ Ψ N ( x , t ) = ∑ N yxzn ˆ ψ ( N xyzn ) e − iEt f N xyzn ( x ) , ˆ Ψ † N ( x , t ) = ∑ N xyzn ˆ ψ † ( N xyzn ) e iEt f N xyzn ( x ) , (127)wobei E natürlich gemäß (53) definiert ist. Ein aus vielen bezüglich der Vertauschung derUr-Alternativen symmetrischen Zuständen, welche einzelne Quantenobjekte repräsentieren,zusammengesetzter Zustand, also ein symmetrisches Produkt symmetrischer Zustände, wel-ches einen Zustand vieler Quantenobjekte repräsentiert, stellt an sich selbst nicht wiedereinen symmetrischen Zustand bezüglich der einzelnen Ur-Alternativen dar. Deshalb ist esnotwendig, eine verallgemeinerte Algebra einzuführen, welche Zustände mit allgemeine-rer Symmetrie zu beschreiben gestattet. Diese gegenüber den Vertauschungsrelationen vonOperatoren, die zu symmetrischen Zuständen gehören, und Anti-Vertauschungsrelationenvon Operatoren, die zu anti-symmetrischen Zuständen gehören, verallgemeinerte Algebrakonstituiert neben der Bose-Statistik mit symmetrischen Zuständen und der Fermi-Statistikmit antisymmetrischen Zuständen, die Parabose-Statistik mit Zuständen beliebiger Symme-trie. Wenn für die zu den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (34) im Falle der Bose-Statistik analogen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Parabose-Statistik folgendeDefinition vorgenommen wird: a = A , a = B , a = C , a = D , a †1 = A † , a †2 = B † , a †3 = C † , a †4 = D † , (128) so erfüllen die Ur-Alternativen Parabose-Statistik, wenn für die Erzeugungs- und Vernich-tungsoperatoren die folgenden algebraischen Relationen gelten: (cid:20) (cid:8) a r , a † s (cid:9) , a t (cid:21) = − δ st a r , [ { a r , a s } , a t ] = h(cid:8) a † r , a † s (cid:9) , a † t i = , r , s , t = ... , (129)wobei wie gewöhnlich eckige Klammern einen Kommutator beschreiben und geschweif-te Klammern einen Antikommutator. Diese algebraischen Relationen werden dann erfüllt,wenn man die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in der folgenden Weise definiert: a r = p ∑ α = b α r , a † r = p ∑ α = b α † r , r = ... , (130)wobei die folgende Algebra für die neu eingeführten Operatoren b α r und b α † r gilt: (cid:2) b α r , b α † s (cid:3) = δ rs , [ b α r , b α s ] = (cid:2) b α † r , b α † s (cid:3) = , r , s = ... n b α r , b β † s o = n b α r , b β s o = n b α † r , b β † s o = α = β . (131) p beschreibt die sogenannte Parabose-Ordnung. Wenn man diese Algebra (131) zu Grun-de legt, so beschreiben die b α † r -Operatoren beziehungsweise b α r -Operatoren für ein fest de-finiertes α die Erzeugungs- beziehungsweise Vernichtungsoperatoren für Ur-Alternativen,die zum Zustand eines bestimmen Quantenobjektes gehören. Die Parabose-Ordnung p be-schreibt dann die Zahl der Quantenobjekte, die in einem Zustand enthalten sind. Der Ge-samtzustand bleibt gleich, wenn man zwei Ur-Alternativen vertauscht, die zum gleichenQuantenobjekt gehören, für die also gilt: α = β , und er kehrt das Vorzeichen um, wenn manzwei Ur-Alternativen vertauscht, die nicht zum gleichen Quantenobjekt gehören, für die al-so gilt: α = β . Natürlich kann man dann die zu festem α gehörigen b α r -Operatoren gemäß(128) mit den jeweiligen Erzeugungs- beziehungsweise Vernichtungsoperatoren für die vierBasiszustände im Tensorraum dieses α -ten Objektes identifizieren: b α = A α , b α = B α , b α = C α , b α = D α , b α †1 = A α † , b α †2 = B α † , b α †3 = C α † , b α †4 = D α † . (132)Es soll nun der Propagator eines Quantenobjektes definiert werden. T { O ( t ) O ( t ) } be-schreibt das zeitgeordnete Produkt von Operatoren: T { O ( t ) O ( t ) } = θ ( t − t ) O ( t ) O ( t ) + θ ( t − t ) O ( t ) O ( t ) , (133)wobei gilt: θ ( t − t ) = ( t ≥ t t < t . (134)Wenn | i den Vakuumzustand beschreibt, dann kann damit nun der Propagator zwischenzwei Orten und zwei Zeitpunkten wie folgt bestimmt werden: ∆ (cid:16) x ′ , x , t ′ , t (cid:17) = h | T n ˆ Ψ (cid:16) x ′ , t ′ (cid:17) ˆ Ψ † ( x , t ) o | i = h | T ∑ N ′ xyzn ˆ ψ (cid:16) N ′ xyzn (cid:17) e − iE ′ t ′ f N ′ xyzn (cid:16) x ′ (cid:17) " ∑ N xyzn ˆ ψ † ( N xyzn ) e iEt f N xyzn ( x ) | i = ∑ N ′ xyzn ∑ N xyzn h θ (cid:16) t ′ − t (cid:17) f N ′ xyzn (cid:16) x ′ (cid:17) f N xyzn ( x ) h N ′ xyzn | e − iE ′ t ′ e iEt | N xyzn i i = ∑ N ′ xyzn ∑ N xyzn θ (cid:16) t ′ − t (cid:17) f N ′ xyzn (cid:16) x ′ (cid:17) f N xyzn ( x ) ∑ ¯ N ′ xyzn ∑ ¯ N xyzn h ¯ N ′ xyzn | ψ ¯ N ′ xyzn , N ′ xyzn (cid:16) t ′ (cid:17) ψ ¯ N xyzn , N xyzn ( t ) | ¯ N xyzn i = ∑ N ′ xyzn ∑ N xyzn θ (cid:16) t ′ − t (cid:17) f N ′ xyzn (cid:16) x ′ (cid:17) f N xyzn ( x ) ∑ ¯ N ′ xyzn ∑ ¯ N xyzn ψ ¯ N ′ xyzn , N ′ xyzn (cid:16) t ′ (cid:17) ψ ¯ N xyzn , N xyzn ( t ) h ¯ N ′ xyzn | ¯ N xyzn i = ∑ N ′ xyzn ∑ N xyzn θ (cid:16) t ′ − t (cid:17) f N ′ xyzn (cid:16) x ′ (cid:17) f N xyzn ( x ) ∑ ¯ N ′ xyzn ∑ ¯ N xyzn ψ ¯ N ′ xyzn , N ′ xyzn (cid:16) t ′ (cid:17) ψ ¯ N xyzn , N xyzn ( t ) δ ¯ N ′ xyzn , ¯ N xyzn = ∑ N ′ xyzn ∑ N xyzn θ (cid:16) t ′ − t (cid:17) f N ′ xyzn (cid:16) x ′ (cid:17) f N xyzn ( x ) ∑ ¯ N xyzn ψ ¯ N xyzn , N ′ xyzn (cid:16) t ′ (cid:17) ψ ¯ N xyzn , N xyzn ( t ) = ∑ N ′ xyzn ∑ N xyzn ∑ ¯ N xyzn h θ (cid:16) t ′ − t (cid:17) f N ′ xyzn (cid:16) x ′ (cid:17) f N xyzn ( x ) ψ ¯ N xyzn , N ′ xyzn (cid:16) t ′ (cid:17) ψ ¯ N xyzn , N xyzn ( t ) i . (135)Hierbei wurde natürlich einerseits die Definition (127) und andererseits die Tatsache ver-wendet, dass gilt: ˆ Ψ ( x , t ) | i = h | ˆ Ψ † ( x , t ) =
0, weshalb beim zeitgeordneten Produktder Term für den Fall t ′ < t natürlich einfach verschwindet. Die Komponenten ψ ¯ N xyzn , N xyzn ( t ) beschreiben die Komponenten des sich aus der Zeitentwicklung gemäß (71) beziehungswei-se (73) ergebenden Zustandes. Hierbei wird durch die Zeitentwicklung ein Übergang desBasiszustandes | N xyzn i eines einzelnen symmetrischen Zustandes von Ur-Alternativen, derdurch den Erzeugungsoperator im Vielteilchen-Hilbert-Raum erzeugt wurde, zu einer Line-arkombination solcher Basiszustände beschrieben. Es ist nun die Aufgabe zu bewältigen, das Phänomen der Wechselwirkung zwischen ver-schiedenen Objekten im Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen zu beschreiben.Wechselwirkung bedeutet, dass sich die Dynamik und damit die zeitliche Entwicklung zwei-er oder mehrerer Objekte nicht in einer voneinander unabhängigen Weise vollzieht. Dieswiederum bedeutet, dass eine Abhängigkeitsbeziehung zwischen den Zuständen der Objektebesteht, zwischen denen eine Wechselwirkung herrscht. Da im Rahmen der Quantentheorieder Ur-Alternativen keinerlei physikalische und insbesondere feldtheoretische Begriffe vor-ausgesetzt werden dürfen, kann die Wechselwirkung nicht wie etwa in der gewöhnlichenFormulierung relativistischer Quantenfeldtheorien durch ein punktweises Produkt von Fel-dern oder durch eine ähnliche Konzeption begründet werden. Vielmehr muss sie sich wie alles andere auch alleine in einer nur auf die abstrakte Realität der Alternativen oder speziellder Ur-Alternativen bezogenen Weise ergeben und damit zugleich in einer von vornehereinrein quantentheoretischen Weise definiert sein. In einer gewöhnlichen Beschreibungsweiseführt eine Wechselwirkung zwischen zwei Objekten zu einer anschließenden Verschränkungder Zustände. Da eine beliebige Verschränkung die allgemeinste und abstrakteste Weise ist,um eine Abhängigkeitsbeziehung zweier quantentheoretischer Zustände auszudrücken, liegtes nahe, den Wechselwirkungsbegriff auf der fundamentalen Ebene überhaupt über den Be-griff der Verschränkung zwischen quantentheoretischen Zuständen zu definieren. Dies be-deutet im Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen, dass die Beziehung zweier sichin einer Wechselwirkungsbeziehung befindlicher Objekte durch einen Zustand beschriebenwerden kann, welcher eine Verschränkung der diese beiden Objekte beschreibenden Zustän-de im Tensorraum der Ur-Alternativen enthält. Wenn die Besetzungszahlen zweier Objekte1 und 2 mit N ABCD und N ABCD bezeichnet seien, so kann ein allgemeiner die Wechselwir-kungsbeziehung der beiden Objekte enthaltender Gesamtzustand in der folgenden Weisezum Ausdruck gebracht werden: | Ψ i N N = ∑ N ABCD , N ABCD ψ (cid:0) N ABCD , N ABCD (cid:1) | N ABCD i ⊗ | N ABCD i , (136)wobei die Koeffizienten der Basiszustände des Tensorproduktes der zu den beiden Objektengehörigen Tensorräume vieler Ur-Alternativen, zu denen gemäß der Parabosedarstellung b α r -Operatoren mit unterschiedlichem α gehören, nicht einfach ein direktes Produkt von auf dieEinzelräume der beiden Objekte bezogenen Koeffizienten darstellen darf, was bedeutet: ψ (cid:0) N ABCD , N ABCD (cid:1) = ψ (cid:0) N ABCD (cid:1) ∗ ψ (cid:0) N ABCD (cid:1) . (137)Wenn man dies auf eine beliebige Zahl M von verschiedenen Objekten überträgt, welchergemäß der Parabose-Darstellung die Parabose-Ordnung p = M entspricht, so besitzt der ent-sprechende Zustand die folgende Gestalt: | Ψ i N ,..., N M = ∑ N ABCD ,..., N MABCD ψ (cid:0) N ABCD , ..., N MABCD (cid:1) (cid:0) | N ABCD i ⊗ ... ⊗ | N MABCD i (cid:1) , (138)wobei natürlich auch hier in entsprechend analoger Weise gilt: ψ (cid:0) N ABCD , ..., N MABCD (cid:1) = ψ (cid:0) N ABCD (cid:1) ∗ ... ∗ ψ M (cid:0) N MABCD (cid:1) . (139)Genaugenommen hat man es eigentlich gar nicht mehr mit voneinander getrennten Objektenzu tun, sondern mit einem Gesamtobjekt, dass nur in einer gewissen Näherung als aus un-terschiedlichen Objekten bestehend angesehen werden darf. Dies ist eine unmittelbare Ma-nifestation dessen, was unter dem Postulat der Trennbarkeit der Alternativen gesagt wurde,nämlich dass die Wechselwirkung eine Korrektur der Näherung der Trennbarkeit der Alter-nativen darstellt, die in Wirklichkeit das Ergebnis einer künstlichen Separierung aus einerphysikalischen oder kosmischen Gesamtrealität darstellen, die allerdings notwendig ist, umeine Beschreibung der Natur im Rahmen einer Erfahrungswissenschaft wie der theoretischenPhysik überhaupt zu ermöglichen.Wenn nun O m einen zum Tensorraum des m -ten Quantenobjektes gehörigen Operator be-zeichnet, so können die entsprechenden auf diesen Tensorraum bezogenen Operatoren derEnergie und der Impulse mit E m , P xm , P ym und P zm bezeichnet werden. Da in jedem der M symmetrischen Tensorräume vollkommen unabhängig von der Verschränkung die abstrakteGleichung (87) für sich gültig ist, so gilt: M ∑ m = (cid:0) E m − P xm − P ym − P zm (cid:1) | Ψ i N ,..., N M = . (140)Hierin ist natürlich noch nicht die Dynamik der Wechselwirkung zwischen den einzelnenObjekten enthalten. Hierzu muss ein zusätzlicher Term zum gewöhnlichen Hamilton-Ope-rator hinzukommen. Wenn man den Hamilton-Operator jedes einzelnen Quantenobjektesgemäß der Definition des Energieoperators (47) zu Grunde legt, die auch (87) und damit(140) zu Grunde liegt, so lautet der Gesamt-Hamilton-Operator eines Gesamt-Zustandes M freier Objekte H MF : H MF = √ M ∑ m = " − ∑ r = (cid:0) b Mr b Mr + b M † r b M † r (cid:1) + b M b M + b M b M + b M b M + b M b M + b M b M + b M b M + b M †1 b M †2 + b M †1 b M †3 + b M †1 b M †4 + b M †2 b M †3 + b M †2 b M †4 + b M †3 b M †4 + (cid:16) b M †1 b M + b M †2 b M + b M †3 b M + b M †4 b M − b M †1 b M − b M †1 b M − b M †1 b M − b M †2 b M − b M †2 b M − b M †2 b M − b M †3 b M − b M †3 b M − b M †3 b M − b M †4 b M − b M †4 b M − b M †4 b M (cid:17) + i . (141)Der Term des Hamilton-Operators, der die Wechselwirkung konstituiert und die Verschrän-kung erzeugt, muss ein Produkt zwischen den in den verschiedenen Teilräumen wirkenden b mr -Operatoren enthalten. Dies führt auf die folgende allgemeine Bedingung für die Formeines solchen Wechselwirkungs-Hamilton-Operators von M Objekten H MW : H MW (cid:0) b mr , b m † r (cid:1) = H (cid:0) b r , b r (cid:1) + ... + H M (cid:0) b Mr , b M † r (cid:1) , (142)wobei bei den b mr der Index r die Werte 1 bis 4 und der Index m die Werte 1 bis M annehmenkann. Damit lautet der Gesamt-Hamilton-Operator H MG mehrerer Quantenobjekte in seinerallgemeinen Gestalt: H MG = H MF (cid:0) b mr , b m † r (cid:1) + H MW (cid:0) b mr , b m † r (cid:1) , (143)Die entsprechende dynamische Entwicklung der Zustände ist gegeben durch die entspre-chende Schrödinger-Gleichung: i ∂ t | Ψ ( t ) i N ,..., N M = H MG | Ψ ( t ) i N ,..., N M , (144)was bedeutet: | Ψ ( t ) i N ,..., N M = e − iH MG t | Ψ ( t ) i N ,..., N M . (145)Wenn sich der Gesamt-Zustand der Objekte zu einem bestimmten Zeitpunkt t als ein Pro-dukt der einzelnen Zustände der Objekte ohne Verschränkung darstellen lässt: | Ψ ( t ) i N ,..., N M = ∑ N ABCD ψ (cid:0) N ABCD , t (cid:1) | N ABCD i ⊗ ... ⊗ ∑ N MABCD ψ M (cid:0) N MABCD , t (cid:1) | N MABCD i , (146) dann ergibt sich für die dynamische Entwicklung: | Ψ ( t ) i N ,..., N M = e − iH MG t | Ψ ( t ) i N ,..., N M = e − i h H MF (cid:16) b mr , b m † r (cid:17) + H MW (cid:16) b mr , b m † r (cid:17)i t ∑ N ABCD ψ (cid:0) N ABCD , t (cid:1) | N ABCD i ⊗ ... ⊗ ∑ N MABCD ψ M (cid:0) N MABCD , t (cid:1) | N MABCD i = e − iH MW (cid:16) b mr , b m † r (cid:17) t e − iE t ∑ N ABCD ψ (cid:0) N ABCD , t (cid:1) | N ABCD i ⊗ ... ⊗ e − iE M t ∑ N MABCD ψ M (cid:0) N MABCD , t (cid:1) | N MABCD i = ∑ N ABCD ,..., N MABCD f MW (cid:0) N ABCD , ..., N MABCD , t (cid:1) × h ψ (cid:0) N ABCD , t (cid:1) e − iE t | N ABCD i ⊗ ... ⊗ ψ M (cid:0) N MABCD , t (cid:1) e − iE M t | N MABCD i i . (147)Die zeitabhängige Funktion f MW (cid:0) N ABCD , ..., N MABCD , t (cid:1) beschreibt die durch den Wechselwir-kungsterm des Hamilton-Operators H MW (cid:0) b mr , b m † r (cid:1) induzierte Verschränkung der Zuständeder einzelnen Objekte. Natürlich kann man dies auch auf Zustände mit inneren Freiheitsgra-den übertragen und die zu (121) analoge entsprechende Dirac-Gleichung für ein System mitvielen Quantenobjekten lautet dann geschrieben als Schrödinger-Gleichung wie folgt: i ∂ t | Ψ Γ ( t ) i N ,..., N M = (cid:2) H MD (cid:0) b mr , b m † r (cid:1) + H MW (cid:0) b mr , b m † r (cid:1) (cid:3) | Ψ Γ ( t ) i N ,..., N M , (148)wobei | Ψ Γ ( t ) i N ,..., N M ein verschränkter Zustand gemäß (138) ist, der zudem die innerenFreiheitsgrade gemäß (114) enthält, und H MD die Summe der Hamilton-Operatoren gemäß(122) in den Hilbert-Räumen der einzelnen Quantenobjekte beschreibt: H MD = − γ M ∑ m = (cid:2) γ P xm (cid:0) b mr , b m † r (cid:1) + γ P ym (cid:0) b mr , b m † r (cid:1) + γ P zm (cid:0) b mr , b m † r (cid:1)(cid:3) . (149)Beim Übergang in die Darstellung im Ortsraum nimmt diese Dirac-Gleichung mit Wechsel-wirkungsterm in der Gestalt der Schrödinger-Gleichung dann folgende Form an: i ∂ t Ψ Γ ( x , ..., x M ) = " i γ M ∑ m = (cid:0) γ ∂ xm + γ ∂ ym + γ ∂ zm (cid:1) + H MW Ψ Γ ( x , ..., x M ) . (150)Hierin sind natürlich die inneren Symmetrien überhaupt noch nicht in die Wechselwirkungmiteinbezogen. Wenn man eine Wechselwirkung konstituieren möchte, die beim Übergangzur raum-zeitlichen Darstellung näherungsweise in ein punktweises Produkt zwischen denZuständen übergeht, wie es den gewöhnlichen Wechselwirkungen der Elementarteilchen-physik entspricht, so muss man einen Wechselwirkungsoperator der folgenden allgemeinenForm definieren: H MW = h MW (cid:0) b mr , b m † r (cid:1) δ N ,..., N M . (151)Wenn man diesen Operator auf den Produktzustand | Ψ i N ,..., N M anwendet, so ergibt sich: H MW | Ψ i N ,..., N M = h MW (cid:0) b mr , b m † r (cid:1) δ N ,..., N M | Ψ i N ,..., N M = δ N ,..., N M h MW (cid:0) b mr , b m † r (cid:1) ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) | N ABCD i ⊗ ... ⊗ ∑ N MABCD ψ M ( N MABCD ) | N MABCD i = δ N ,..., N M ∑ N ABCD ... N MABCD f h (cid:0) N ABCD , ..., N MABCD (cid:1) (cid:2) ψ ( N ABCD ) | N ABCD i ⊗ ... ⊗ ψ M ( N MABCD ) | N MABCD i (cid:3) = ∑ N ABCD f h ( N ABCD ) [ ψ ( N ABCD ) | N ABCD i ⊗ ... ⊗ ψ M ( N ABCD ) | N ABCD i ] . (152)Dieser Ausdruck enthält nur Produkte, bei dem die Besetzungszahlen N ABCD der verschie-denen in Wechselwirkung stehenden Objekte übereinstimmen. Hierbei tragen analog zumpunktweisen Produkt der Wellenfunktionen, bei denen nur das Produkt der Komponenten zuden gleichen Ortseigenzuständen beiträgt, nur die Komponenten zu gleichen Tensorraumba-siszuständen bei. Dies wird sich beim Übergang in die Raum-Zeit-Darstellung aber auch inein Produkt von Wellenfunktionen umwandeln: ∑ N ABCD f h ( N ABCD ) [ ψ ( N ABCD ) | N ABCD i ⊗ ... ⊗ ψ M ( N ABCD ) | N ABCD i ] ∑ N xyzn f h ( N xyzn ) [ ψ ( N xyzn ) | N xyzn i ⊗ ... ⊗ ψ M ( N xyzn ) | N xyzn i ] ←→ ∑ N xyzn f h ( N xyzn ) (cid:2) ψ ( N xyzn ) f N xyzn ( x ) ∗ ... ∗ ψ M ( N xyzn ) f N xyzn ( x ) (cid:3) . (153)Das Entscheidende bei diesem Produkt von Wellenfunktionen ist aber dennoch, dass es inWirklichkeit ein Produkt ist, dass die Komponenten bezüglich gleicher Basiszustände imdiskreten Raum der Ur-Alternativen miteinander multipliziert, das sich dann nur indirekträumlich darstellt, während gewöhnlich, also bei Feldtheorien, ein kontinuierliches punkt-weises Produkt zu Grunde gelegt wird. Und eben ein solcher diskreter rein quantentheore-tischer Wechselwirkungsbegriff könnte die Unendlichkeiten umgehen, die in gewöhnlichenQuantenfeldtheorien auftreten. Im letzten Unterabschnitt wurde ein allgemeiner Wechselwirkungsbegriff in der Quanten-theorie der Ur-Alternativen konstituiert, der das Phänomen der Wechselwirkung in diesemabstrakten begrifflichen Rahmen allgemein charakterisiert. Aber letztendlich geht es natür-lich darum, basierend darauf die konkreten wirklichen Wechselwirkungen in der Natur zuerhalten und zu beschreiben. Diesbezüglich erscheint es wohl als sinnvoll, sich zunächst ein-mal an die Art und Weise zu erinnern, in der die Wechselwirkungen gewöhnlich in die Physikeingeführt werden. Dies geschieht durch lokale Eichsymmetrien, was bedeutet, dass die For-derung der Invarianz unter lokalen Symmetrietransformationen an jedem Raum-Zeit Punktzur Einführung der Wechselwirkungsfelder und ihrer Kopplung an die sogenannten Materie-felder führt. Hierbei ist entscheidend, dass die Wechselwirkungen des Standardmodells derElementarteilchenphysik mit den inneren Symmetrien verbunden sind, die starke Wechsel-wirkung mit der SU ( ) -Gruppe im Farbraum, die schwache Wechselwirkung mit der SU ( ) - Gruppe des Isospin und der Elektromagnetismus mit der U ( ) -Gruppe der komplexen Phasein Bezug auf die elektrische Ladung. Die Gravitation hingegen kann als lokale Eichtheoriein Bezug auf Raum-Zeit-Translationen beschrieben werden, also in Bezug auf eine auf dieRaum-Zeit bezogene Symmetrie. Natürlich kann eine eichtheoretische Beschreibungsweisein der Quantentheorie der Ur-Alternativen nicht verwendet werden, da hier die Raum-Zeitnur ein Darstellungsmedium ist, und die Wechselwirkung ganz gemäß dem letzten Abschnittbegrifflich auf Verschränkungen zwischen den Zuständen der diskreten Ur-Alternativen ge-gründet ist. Aber vielleicht können hier die Eichtheorien als klassische Näherung einen Hin-weis in Bezug auf die rein quantentheoretische Formulierung im begrifflichen Rahmen derUr-Alternativen geben.Der eigentliche Anspruch der von Weizsäckerschen Rekonstruktion der Physik bestehteigentlich darin, die Gestalt der Naturgesetze bis in alle Einzelheiten zu begründen, alsowirklich die Existenz jedes Objektes, jeder Wechselwirkung und jedes darauf basierendenPhänomens exakt zu begründen. Dieser unglaubliche Anspruch kann im Rahmen dieser Ar-beit in Bezug auf die real existierenden Wechselwirkungen einstweilen noch nicht eingelöstwerden. Es muss eigentlich nicht erwähnt werden, dass auch keine andere Theorie in derGeschichte der theoretischen Physik bis auf den heutigen Tage auch nur in die Nähe des-sen gekommen wäre. Im Gegenteil, die Idee, dass dies basierend auf den Bedingungen derMöglichkeit von Erfahrung möglich sein könnte, ist seitens von Weizsäcker in dieser Weiseüberhaupt erst entwickelt worden, wenngleich Kant hier die gedankliche Vorarbeit geleis-tet hatte, indem er doch immerhin die gundlegenden Strukturen der Natur, nicht hingegendie genauen Naturgesetze, als Bedingungen der Möglichkeit von Erfahrung überhaupt pos-tulierte. Was aber immerhin in dieser Arbeit erreicht werden kann, das ist die empirischgefundenen Wechselwirkungen in einen durch Ur-Alternativen ausgedrückten Rahmen zuüberführen. Diese Art der Überführung oder Quantisierung in einem radikalen Sinne gehtzunächst von den Feldgleichungen aus, interpretiert sie als quantentheoretische Wellenfunk-tionen und überführt die Wellenfunktionen in Zustände im Tensorraum der Ur-Alternativenund die punktweisen Produkte zwischen ihnen in Beziehungen im Tensorraum der Ur-Al-ternativen. Dies bedeutet, dass man von der klassischen Theorie in die entsprechende rei-ne Quantentheorie der Ur-Alternativen gelangt, indem man den zur bisherigen Betrachtungumgekehrten Prozess durchläuft, also die Zustände im Tensorraum der Ur-Alternativen nichtauf eine raum-zeitliche Darstellung abbildet, sondern den bereits bekannten raum-zeitlichenAusdruck der Feldgleichungen als klassischen Grenzfall einer Darstellung von Zuständenim Tensorraum der Ur-Alternativen interpretiert und ihn entsprechend ersetzt. Diese Art derÜberführung kann man durchaus als eine Art der Quantisierung bezeichnen, nur als eineradikalere Quantisierung, die keine Feldquantisierung mehr ist, sondern alles in eine reinequantentheoretische Beziehungsstruktur umwandelt und nicht mehr auf Feldgrößen bezogenist, da die raum-zeitlichen Felder beziehungsweise Wellenfunktionen eben wirklich nur nochals Darstellungen zu interpretieren sind. Die Überführung müsste in diesem Ansatz mit denfolgenden Quantisierungsregeln geschehen: Ψ ( x ) −→ | Ψ i = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) | N ABCD i , ∂ µ −→ iP µ ABCD , ∂ µ Ψ ( x ) −→ iP µ ABCD | Ψ i = i ∑ N ABCD P µψ ( N ABCD ) | N ABCD i = i | P µ Ψ i , (154)wobei hier natürlich die Komponenten P µ ABCD gemäß (48), (53) und (54) definiert sind und (91) verwendet wurde. Die punktweisen Produkte, welche in einer gewöhnlichen feldtheore-tischen Beschreibungsweise die Wechselwirkung der Felder definieren, müssen bei diesemüber das Korrespondenzprinzip vollzogenen Übergang zu einer rein quantentheoretischenBeschreibungsweise im Tensorraum der Ur-Alternativen in folgender Weise unter Verwen-dung von (153) überführt werden: Ψ ( x ) ∗ ... ∗ Ψ ( x ) | {z } Mmal −→ ∑ N ABCD [ ψ ( N ABCD ) | N ABCD i ⊗ ... ⊗ ψ M ( N ABCD ) | N ABCD i ] , (155)was einem Wechselwirkungs-Hamilton-Operator der Form (151) mit h (cid:0) b mr , b m † r (cid:1) = c ent-spricht, wobei c eine Konstante ist. Wenn man nun (154) und (155) zu Grunde legt, so kannman desweiteren folgenden Übergang bestimmen: ∂ µ Ψ ( x ) ∗ ... ∗ ∂ ν Ψ ( x ) | {z } Mmal −→ ∑ N ABCD (cid:2) iP µ ABCD ψ ( N ABCD ) | N ABCD i ⊗ ... ⊗ iP ν ABCD ψ N ( N ABCD ) | N ABCD i (cid:3) = ∑ N ABCD h i P µψ ( N ABCD ) | N ABCD i ⊗ ... ⊗ i P νψ N ( N ABCD ) | N ABCD i i , (156)wobei hier erneut (91) verwendet wurde. Mit diesen Regeln, die man als in einem prinzipiel-leren Sinne verstandene Quantisierungsregeln bezeichnen könnte, kann man jede Feldtheorieeinschließlich aller ihrer Wechselwirkungen in eine rein quantentheoretische Beschreibungs-weise im Tensorraum der Ur-Alternativen überführen. Natürlich muss man an das entspre-chende Feld im jeweiligen Fall noch die entsprechenden inneren Freiheitsgrade tensorieren. Wenn nun die Methoden der Überführung einer feldtheoretischen Beschreibungsweise ineine reine Beziehungsstruktur abstrakter Quanteninformation, die man auch als eine prinzi-piellere Art der Quantisierung ansehen könnte, die im letzten Unterabschnitt vorgeschlagenwurde, in Bezug auf den Elektromagnetismus ganz konkret anwenden will, so muss man zu-nächst einmal ein freies elektromagnetisches Feld beziehungsweise den Zustand eines freienPhotons konstruieren. Einen solchen Zustand erhält man, indem man an einen allgemei-nen Zustand im Tensorraum, der ein einzelnes freies Teilchen oder allgemeiner gesprochenQuantenobjekt beschreibt, einen vektoriellen Freiheitsgrad tensoriert. Dieser muss natürlichwie im Falle eines Fermions mit den zusätzlichen Quantenzahlen aus einzelnen Ur-Alterna-tiven konstruiert werden. Wenn man also zwei Ur-Alternativen u und v zu Grunde legt, sokann man zunächst einen Dirac-Spinor konstruieren: χ = (cid:18) ui σ v ∗ (cid:19) , (157)und diesen kann man auf einen Vektor abbilden: A µχ = ¯ χγ µ χ , (158)wobei bezüglich eines beliebigen Dirac-Spinors ψ D wie gewöhnlich die folgende Definitionder Adjungierung gilt: ¯ ψ D = ψ † D γ . (159)Den Vektor (158) kann man als den Spin-Freiheitsgrad eines Photons mit einem Zustandim Tensorraum über ein weiteres Tensorprodukt verbinden, wodurch man dann den Zustandeines vektoriellen Teilchens erhält, welcher die folgende Gestalt aufweist: | Ψ A i = A µχ N = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) | N ABCD i ⊗ A µχ . (160)Dieser Zustand soll also ein Photon beschreiben. Wenn man die Energie-Impuls-Relation,die gegeben ist in (47) und die man auch gemäß (107) darstellen kann, auf den Zustandeines Photons anwendet, so ergibt sich die folgende Gleichung: ( P ABCD ) µ ( P ABCD ) µ | Ψ A i = . (161)Diese Gleichung wird natürlich in der Ortsdarstellung gemäß (87) zur einer gewöhnlichenWellengleichung: (cid:0) ∂ t − ∂ x − ∂ y − ∂ z (cid:1) A µχ N ( x , t ) = . (162)Bezüglich der Wechselwirkung muss man sich nun der Lagrangedichte als klassischemGrenzfall der Quantenelektrodynamik zuwenden: L QED = ¯ Ψ D ( x , t ) (cid:2) i γ µ (cid:0) ∂ µ + iA µ ( x , t ) (cid:1)(cid:3) Ψ D ( x , t ) − F µν ( x , t ) F µν ( x , t ) , (163)wobei F µν ( x , t ) = ∂ µ A ν ( x , t ) − ∂ ν A µ ( x , t ) . Das Dirac-Spinorfeld Ψ D ( x , t ) , welches nachder Quantisierung Elektronen beziehungsweise generell elektrisch geladene Fermionen be-schreibt, und das elektromagnetische Feld beschrieben durch das Potential A µ ( x , t ) , welchesnach der Quantisierung Photonen beschreibt, weisen keine Selbstwechselwirkung auf. DieDynamik eines fermionischen Teilchens, das mit einem Photon wechselwirkt, kann dann,wenn man einmal davon ausgeht, dass die internen Freiheitsgrade des fermionischen Teil-chens durch Γ beschrieben werden wie es in (113) definiert wurde, durch jene Gleichungbeschrieben werden, die sich aus dem Übergang der zum Lagrangian der Quantenelektro-dynamik gehörigen Wellengleichung in eine reine auf Ur-Alternativen basierende Beschrei-bung im Sinne der Regeln aus dem letzten Unterabschnitt (154), (155) und (156) ergibt: i γ µ (cid:2) ∂ µ + iA µ ( x , t ) (cid:3) Ψ D ( x , t ) = −→ i γ µ n i ( P ABCD ) µ Γψ D ( N ABCD , t ) | N ABCD i + i ∑ N ABCD h(cid:0) A χ N (cid:1) µ ψ A ( N ABCD , t ) | N ABCD i ⊗ Γψ D ( N ABCD , t ) | N ABCD i i) = = − γ µ n Γ (cid:2) P ψ D ( N ABCD , t ) (cid:3) µ | N ABCD i + ∑ N ABCD h(cid:0) A χ N (cid:1) µ ψ A ( N ABCD , t ) | N ABCD i ⊗ Γψ D ( N ABCD , t ) | N ABCD i i) = , wobei (91) verwendet wurde. Die Entstehung von Massen durch Wechselwirkung wird indieser Arbeit nicht thematisiert. Grundsätzlich wird in dieser Arbeit davon ausgegangen, dass die gewöhnliche Beschrei-bung der Gravitation im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie in klassischer Nähe-rung vollkommen korrekt ist, also auf der klassischen Ebene vor der Quantisierung keineVerallgemeinerung notwendig ist. Die Tatsache, dass die Gravitation klassisch am sinnvolls-ten als lokale Eichtheorie der Translationen aufgefasst werden kann [26], was zur Torsionals Feldgröße führt, kann hier außer acht gelassen werden, da diese Formulierung mit der ge-wöhnlichen Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie äquivalent ist. In [50] wird dieKonstruktion von Gravitonen im Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen in andererWeise bereits thematisiert, aber die Frage ihrer Wechselwirkung in keiner Weise behandelt.Natürlich müssen in der Quantentheorie der Ur-Alternativen konsequent alle existierendenRealitäten und Objekte aus Ur-Alternativen konstruiert werden. Demnach müssen auch diegravitative Wechselwirkung und die metrische Struktur der Raum-Zeit aus Ur-Alternativenbegründet werden. Dazu ist es zunächst einmal wichtig, ein freies Gravitationsfeld zu kon-struieren. Dieses kann natürlich wie alle anderen Objekte auch nicht als ein gewöhnlichesFeld angesehen werden, das dann anschließend einer Quantisierung unterworfen wird. Viel-mehr muss es sich auch aus abstrakten Quantenobjekten konstituieren, die dann anschließendin die Raum-Zeit abgebildet werden. Diese Objekte müssen in der Quantentheorie der Ur-Alternativen als Gravitonen auf Zuständen vieler Ur-Alternativen im Tensorraum basieren,nur dass sie anstatt der gewöhnlichen Quantenzahlen, also dem Spin, dem Isospin und demFarbfreiheitsgrad, die zusätzliche Struktur eines metrischen Tensors aufweisen.Man könnte, wenn der Terminus des Gravitons in die Beschreibung hineingebracht wird,zunächst einwenden, dass bei einer Beschreibung der Gravitation im Rahmen relativisti-scher Quantenfeldtheorien, in deren Zusammenhang der Begriff des Gravitons in der Regelgebraucht wird, die Hintergrundunabhängigkeit der allgemeinen Relativitätstheorie nicht ge-wahrt bleibt. Aber natürlich kann dieser Einwand im Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen in Wirklichkeit in keiner Weise sinnvoll erhoben werden, denn hier herrschtprinzipiell eine viel radikalere Realisierung der Hintergrundunabhängigkeit als in der all-gemeinen Relativitätstheorie, da hier nicht nur eine relationalistische Raumauffassung zuGrunde liegt, sondern Räumlichkeit und feldtheoretische Bezüge in keiner Weise mehr vor-ausgesetzt werden. Dies wurde ja weiter oben bereits in aller Ausführlichkeit diskutiert undverleiht dem ganzen Ansatz der Quantentheorie der Ur-Alternativen gerade seine besondereÜberzeugungskraft. Die hier konstruierten Gravitonen sind also wie alle anderen Objekteauch keine Objekte im Raum, sondern stellen abstrakte Zustände im Tensorraum der Ur-Alternativen dar, die erst auf indirektem Wege eine raum-zeitliche Darstellung erhalten. Zu-nächst muss der metrische Tensor aus Ur-Alternativen konstruiert werden, um dann in Ana-logie zu den Quantenzahlen der Objekte, welche Elementarteilchen repräsentieren sollen,das Tensorprodukt mit einem symmetrischen Zustand im Tensorraum zu bilden, welchesdann den Gesamtzustand des Gravitons darstellt. Zur Konstruktion des metrischen Tensorswerden vier Ur-Alternativen gebraucht, die als u g , u g , v g und v g bezeichnet seien: u g = (cid:18) a ug + ib ug c ug + id ug (cid:19) , u g = (cid:18) a ug + ib ug c ug + id ug (cid:19) , v g = (cid:18) a vg + ib vg c vg + id vg (cid:19) , v g = (cid:18) a vg + ib vg c vg + id vg (cid:19) . (165) Zunächst wird aus den beiden Ur-Alternativen u g und u g ein Dirac-Spinor konstruiert undaus den Ur-Alternativen v g und v g ein weiterer Dirac-Spinor: χ u = (cid:18) u g i σ u ∗ g (cid:19) , χ v = (cid:18) v g i σ v ∗ g (cid:19) . (166)Mit Hilfe der Relation, welche die Dirac-Matrizen in eine Beziehung zur Minkowski-Me-trik stellt (109), kann nun aus den beiden Dirac-Spinoren χ u und χ v ein metrischer Tensorkonstruiert werden, wobei die Definiton (159) zu Grunde gelegt wird: g µνχ = ( ¯ χ u γ µ χ u ¯ χ v γ ν χ v + ¯ χ u γ ν χ u ¯ χ v γ µ χ v ) . (167)Wenn man nun diesen Ausdruck für den metrischen Tensor konkret durch die Komponen-ten der vier Ur-Alternativen ausdrücken will, so muss man zunächst die Komponenten derVektoren bestimmen, aus denen er gebildet ist und die folgende Gestalt haben:¯ χ u γ χ u = a ug + b ug + c ug + d ug + a ug + b ug + c ug + d ug , ¯ χ u γ χ u = a ug c ug + b ug d ug + a ug c ug + b ug d ug , ¯ χ u γ χ u = a ug d ug − b ug c ug + a ug d ug − b ug c ug , ¯ χ u γ χ u = a ug + b ug − c ug − d ug + a ug + b ug − c ug − d ug , ¯ χ v γ χ v = a vg + b vg + c vg + d vg + a vg + b vg + c vg + d vg , ¯ χ v γ χ v = a vg c vg + b vg d vg + a vg c vg + b vg d vg , ¯ χ v γ χ v = a vg d vg − b vg c vg + a vg d vg − b vg c vg , ¯ χ v γ χ v = a vg + b vg − c vg − d vg + a vg + b vg − c vg − d vg . (168)Damit ergibt sich für die Komponenten des metrischen Tensors: g χ = a ug a vg + a ug b vg + a ug c vg + a ug d vg + a ug a vg + a ug b vg + a ug c vg + a ug d vg + b ug a vg + b ug b vg + b ug c vg + b ug d vg + b ug a vg + b ug b vg + b ug c vg + b ug d vg + c ug a vg + c ug b vg + c ug c vg + c ug d vg + c ug a vg + c ug b vg + c ug c vg + c ug d vg + d ug a vg + d ug b vg + d ug c vg + d ug d vg + d ug a vg + d ug b vg + d ug c vg + d ug d vg + a ug a vg + a ug b vg + a ug c vg + a ug d vg + a ug a vg + a ug b vg + a ug c vg + a ug d vg + b ug a vg + b ug b vg + b ug c vg + b ug d vg + b ug a vg + b ug b vg + b ug c vg + b ug d vg + c ug a vg + c ug b vg + c ug c vg + c ug d vg + c ug a vg + c ug b vg + c ug c vg + c ug d vg + d ug a vg + d ug b vg + d ug c vg + d ug d vg + d ug a vg + d ug b vg + d ug c vg + d ug d vg , (169) g χ = a ug c ug a vg c vg + a ug c ug b vg d vg + a ug c ug a vg c vg + a ug c ug b vg d vg + b ug d ug a vg c vg + b ug d ug b vg d vg + b ug d ug a vg c vg + b ug d ug b vg d vg + a ug c ug a vg c vg + a ug c ug b vg d vg + a ug c ug a vg c vg + a ug c ug b vg d vg + b ug d ug a vg c vg + b ug d ug b vg d vg + b ug d ug a vg c vg + b ug d ug b vg d vg , (170) g χ = a ug d ug a vg d vg − a ug d ug b vg c vg + a ug d ug a vg d vg − a ug d ug b vg c vg − b ug c ug a vg d vg + b ug c ug b vg c vg − b ug c ug a vg d vg + b ug c ug b vg c vg + a ug d ug a vg d vg − a ug d ug b vg c vg + a ug d ug a vg d vg − a ug d ug b vg c vg − b ug c ug a vg d vg + b ug c ug b vg c vg − b ug c ug a vg d vg + b ug c ug b vg c vg , (171) g χ = a ug a vg + a ug b vg − a ug c vg − a ug d vg + a ug a vg + a ug b vg − a ug c vg − a ug d vg + b ug a vg + b ug b vg − b ug c vg − b ug d vg + b ug a vg + b ug b vg − b ug c vg − b ug d vg − c ug a vg − c ug b vg + c ug c vg + c ug d vg − c ug a vg − c ug b vg + c ug c vg + c ug d vg − d ug a vg − d ug b vg + d ug c vg + d ug d vg − d ug a vg − d ug b vg + d ug c vg + d ug d vg + a ug a vg + a ug b vg − a ug c vg − a ug d vg + a ug a vg + a ug b vg − a ug c vg − a ug d vg + b ug a vg + b ug b vg − b ug c vg − b ug d vg + b ug a vg + b ug b vg − b ug c vg − b ug d vg − c ug a vg − c ug b vg + c ug c vg + c ug d vg − c ug a vg − c ug b vg + c ug c vg + c ug d vg − d ug a vg − d ug b vg + d ug c vg + d ug d vg − d ug a vg − d ug b vg + d ug c vg + d ug d vg , (172) g χ = g χ = a ug a vg c vg + a ug b vg d vg + a ug a vg c vg + a ug b vg d vg + b ug a vg c vg + b ug b vg d vg + b ug a vg c vg + b ug b vg d vg + c ug a vg c vg + c ug b vg d vg + c ug a vg c vg + c ug b vg d vg + d ug a vg c vg + d ug b vg d vg + d ug a vg c vg + d ug b vg d vg + a ug a vg c vg + a ug b vg d vg + a ug a vg c vg + a ug b vg d vg + b ug a vg c vg + b ug b vg d vg + b ug a vg c vg + b ug b vg d vg + c ug a vg c vg + c ug b vg d vg + c ug a vg c vg + c ug b vg d vg + d ug a vg c vg + d ug b vg d vg + d ug a vg c vg + d ug b vg d vg + a vg a ug c ug + a vg b ug d ug + a vg a ug c ug + a vg b ug d ug + b vg a ug c ug + b vg b ug d ug + b vg a ug c ug + b vg b ug d ug + c vg a ug c ug + c vg b ug d ug + c vg a ug c ug + c vg b ug d ug + d vg a ug c ug + d vg b ug d ug + d vg a ug c ug + d vg b ug d ug + a vg a ug c ug + a vg b ug d ug + a vg a ug c ug + a vg b ug d ug + b vg a ug c ug + b vg b ug d ug + b vg a ug c ug + b vg b ug d ug + c vg a ug c ug + c vg b ug d ug + c vg a ug c ug + c vg b ug d ug + d vg a ug c ug + d vg b ug d ug + d vg a ug c ug + d vg b ug d ug , (173) g χ = g χ = a ug a vg d vg − a ug b vg c vg + a ug a vg d vg − a ug b vg c vg + b ug a vg d vg − b ug b vg c vg + b ug a vg d vg − b ug b vg c vg + c ug a vg d vg − c ug b vg c vg + c ug a vg d vg − c ug b vg c vg + d ug a vg d vg − d ug b vg c vg + d ug a vg d vg − d ug b vg c vg + a ug a vg d vg − a ug b vg c vg + a ug a vg d vg − a ug b vg c vg + b ug a vg d vg − b ug b vg c vg + b ug a vg d vg − b ug b vg c vg + c ug a vg d vg − c ug b vg c vg + c ug a vg d vg − c ug b vg c vg + d ug a vg d vg − d ug b vg c vg + d ug a vg d vg − d ug b vg c vg + a vg a ug d ug − a vg b ug c ug + a vg a ug d ug − a vg b ug c ug + b vg a ug d ug − b vg b ug c ug + b vg a ug d ug − b vg b ug c ug + c vg a ug d ug − c vg b ug c ug + c vg a ug d ug − c vg b ug c ug + d vg a ug d ug − d vg b ug c ug + d vg a ug d ug − d vg b ug c ug + a vg a ug d ug − a vg b ug c ug + a vg a ug d ug − a vg b ug c ug + b vg a ug d ug − b vg b ug c ug + b vg a ug d ug − b vg b ug c ug + c vg a ug d ug − c vg b ug c ug + c vg a ug d ug − c vg b ug c ug + d vg a ug d ug − d vg b ug c ug + d vg a ug d ug − d vg b ug c ug , (174) g χ = g χ = a ug a vg + a ug b vg + b ug a vg + b ug b vg − c ug c vg − c ug d vg − d ug c vg − d ug d vg + a ug a vg + a ug b vg + b ug a vg + b ug b vg − c ug c vg − c ug d vg − d ug c vg − d ug d vg + a ug a vg + a ug b vg + b ug a vg + b ug b vg − c ug c vg − c ug d vg − d ug c vg − d ug d vg + a ug a vg + a ug b vg + b ug a vg + b ug b vg − c ug c vg − c ug d vg − d ug c vg − d ug d vg , (175) g χ = g χ = a ug c ug a vg d vg − a ug c ug b vg c vg + a ug c ug a vg d vg − a ug c ug b vg c vg + b ug d ug a vg d vg − b ug d ug b vg c vg + b ug d ug a vg d vg − b ug d ug b vg c vg + a ug c ug a vg d vg − a ug c ug b vg c vg + a ug c ug a vg d vg − a ug c ug b vg c vg + b ug d ug a vg d vg − b ug d ug b vg c vg + b ug d ug a vg d vg − b ug d ug b vg c vg + a vg c vg a ug d ug − a vg c vg b ug c ug + a vg c vg a ug d ug − a vg c vg b ug c ug + b vg d vg a ug d ug − b vg d vg b ug c ug + b vg d vg a ug d ug − b vg d vg b ug c ug + a vg c vg a ug d ug − a vg c vg b ug c ug + a vg c vg a ug d ug − a vg c vg b ug c ug + b vg d vg a ug d ug − b vg d vg b ug c ug + b vg d vg a ug d ug − b vg d vg b ug c ug , (176) g χ = g χ = a ug a vg c vg + a ug b vg d vg + a ug a vg c vg + a ug b vg d vg + b ug a vg c vg + b ug b vg d vg + b ug a vg c vg + b ug b vg d vg − c ug a vg c vg − c ug b vg d vg − c ug a vg c vg − c ug b vg d vg − d ug a vg c vg − d ug b vg d vg − d ug a vg c vg − d ug b vg d vg + a ug a vg c vg + a ug b vg d vg + a ug a vg c vg + a ug b vg d vg + b ug a vg c vg + b ug b vg d vg + b ug a vg c vg + b ug b vg d vg − c ug a vg c vg − c ug b vg d vg − c ug a vg c vg − c ug b vg d vg − d ug a vg c vg − d ug b vg d vg − d ug a vg c vg − d ug b vg d vg + a vg a ug c ug + a vg b ug d ug + a vg a ug c ug + a vg b ug d ug + b vg a ug c ug + b vg b ug d ug + b vg a ug c ug + b vg b ug d ug − c vg a ug c ug − c vg b ug d ug − c vg a ug c ug − c vg b ug d ug − d vg a ug c ug − d vg b ug d ug − d vg a ug c ug − d vg b ug d ug + a vg a ug c ug + a vg b ug d ug + a vg a ug c ug + a vg b ug d ug + b vg a ug c ug + b vg b ug d ug + b vg a ug c ug + b vg b ug d ug − c vg a ug c ug − c vg b ug d ug − c vg a ug c ug − c vg b ug d ug − d vg a ug c ug − d vg b ug d ug − d vg a ug c ug − d vg b ug d ug , (177) g χ = g χ = a ug a vg d vg − a ug b vg c vg + a ug a vg d vg − a ug b vg c vg + b ug a vg d vg − b ug b vg c vg + b ug a vg d vg − b ug b vg c vg − c ug a vg d vg + c ug b vg c vg − c ug a vg d vg + c ug b vg c vg − d ug a vg d vg + d ug b vg c vg − d ug a vg d vg + d ug b vg c vg + a ug a vg d vg − a ug b vg c vg + a ug a vg d vg − a ug b vg c vg + b ug a vg d vg − b ug b vg c vg + b ug a vg d vg − b ug b vg c vg − c ug a vg d vg + c ug b vg c vg − c ug a vg d vg + c ug b vg c vg − d ug a vg d vg + d ug b vg c vg − d ug a vg d vg + d ug b vg c vg + a vg a ug d ug − a vg b ug c ug + a vg a ug d ug − a vg b ug c ug + b vg a ug d ug − b vg b ug c ug + b vg a ug d ug − b vg b ug c ug − c vg a ug d ug + c vg b ug c ug − c vg a ug d ug + c vg b ug c ug − d vg a ug d ug + d vg b ug c ug − d vg a ug d ug + d vg b ug c ug + a vg a ug d ug − a vg b ug c ug + a vg a ug d ug − a vg b ug c ug + b vg a ug d ug − b vg b ug c ug + b vg a ug d ug − b vg b ug c ug − c vg a ug d ug + c vg b ug c ug − c vg a ug d ug + c vg b ug c ug − d vg a ug d ug + d vg b ug c ug − d vg a ug d ug + d vg b ug c ug . (178) Wenn man nun das Tensorprodukt mit einem allgemeinen Zustand vieler Ur-Alternativen(41) bildet, so ergibt sich der Zustand für ein aus Ur-Alternativen konstruiertes Graviton: | Ψ g i = g µν N χ = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD ) | N ABCD i ⊗ g µνχ . (179)Unter Verwendung von (69) kann dieser Zustand in der Raum-Zeit dargestellt werden als: | Ψ g i = g µν N χ −→ g µν N χ ( x ) = ∑ N xyzn ψ ( N xyzn ) f N xyzn ( x ) g µνχ . (180)Ein Zustand, welcher viele Gravitonen enthält, entspricht dann der Konstruktion des reinquantentheoretischen Analogons zum quantisierten Gravitationsfeld im begrifflichen Rah-men der Ur-Alternativen. Die Basiszustände eines allgemeinen solchen Zustandes sind durchdie Zahl der Gravitonen in den Basiszuständen des Tensorraumes der Ur-Alternativen kom-biniert mit den Basiszuständen der vier Ur-Alternativen der Metrik definiert: | Ψ g i N = ∑ N ABCD ⊗ g µνχ ∑ N ( N ABCD ⊗ g µνχ ) ψ N (cid:2) N (cid:0) N ABCD ⊗ g µνχ (cid:1)(cid:3) | N (cid:0) N ABCD ⊗ g µνχ (cid:1) i . (181)Natürlich gehorcht der Zustand des freien Gravitationsfeldes der Gleichung (87), welcheeine freie Wellengleichung ist: (cid:0) E − P x − P y − P z (cid:1) | Ψ g ( t ) i = ←→ (cid:0) ∂ t − ∂ x − ∂ y − ∂ z (cid:1) g µν N χ ( x , t ) = . (182)Die Einsteinsche Feldgleichung geht in linearer Näherung in eine solche freie Wellenglei-chung über und deshalb wundert es überhaupt nicht, dass auch der Zustand eines aus Ur-Alternativen konstruierten Gravitons, solange noch keine Wechselwirkung definiert ist, imRahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen ebenfalls zunächst dieser freien Wellen-gleichung genügt. Um im Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen zum quanten-theoretischen Analogon der vollständigen Dynamik der allgemeinen Relativitätstheorie zugelangen, welche ja eine Selbstwechselwirkung des Gravitationsfeldes enthält, muss der all-gemeine rein quantentheoretische Wechselwirkungsbegriff zu Grunde gelegt werden, der imletzten Abschnitt konstituiert wurde. Auf der Basis dieses Wechselwirkungsprozesses mussnatürlich auch die Wechselwirkung der Gravitonen, die in diesem Unterabschnitt zunächstnur isoliert betrachtet werden konnten, mit anderen Objekten beschrieben werden, was aberhier nicht behandelt wird, obwohl dies im Prinzip dem gleichen Schema folgt. In diesem Unterabschnitt soll nun die Wechselwirkung der im letzten Unterabschnitt aus Ur-Alternativen konstruierten Gravitonenzustände (179) betrachtet werden. Um zur Dynamikder selbstwechselwirkenden Gravitation in der Quantentheorie der Ur-Alternativen zu gelan-gen, kann man geleitet durch das Korrespondenzprinzip von der klassischen EinsteinschenFeldgleichung ausgehen, die dann basierend auf den Quantisierungsregeln (154), (155) und(156) in eine rein quantentheoretische auf Ur-Alternativen basierende Beschreibung umge-wandelt wird. Die Einsteinsche Feldgleichung hat bekanntlich folgende Gestalt: R µν − Rg µν = − κ T µν , (183) wobei κ die Gravitationskonstante G enthält und T µν den Energie-Impuls-Tensor beschreibt.Da die Wechselwirkung des Gravitationsfeldes mit anderen Quantenobjekten hier nicht be-trachtet werden soll, gilt T µν = R µν − Rg µν = ←→ R µν = , (184)wobei der Ricci-Tensor R µν über den Riemann-Tensor: R σµνρ = ∂ µ Γ σνρ − ∂ ν Γ σµρ + Γ λµρ Γ σνλ − Γ λνρ Γ σµλ (185)in der folgenden Weise definiert ist: R µν = R ρµρν = ∂ µ Γ ρρν − ∂ ρ Γ ρµν + Γ λµν Γ ρρλ − Γ λρν Γ ρµλ , (186)der Ricci-Skalar R über den Ricci-Tensor R µν in der folgenden Weise definiert ist: R = g µν R µν , (187)und die Christoffelsymbole die folgende Gestalt haben: Γ ρµν = g ρλ (cid:0) ∂ µ g νλ + ∂ ν g µλ − ∂ λ g µν (cid:1) . (188)Wenn man (188) in (186) einsetzt, so ergibt sich für die Einsteinsche Feldgleichung (184)ausgedrückt direkt durch den metrischen Tensor g µν die folgende Gestalt: R µν = ∂ µ h g ρλ (cid:0) ∂ ρ g νλ + ∂ ν g ρλ − ∂ λ g ρν (cid:1)i − ∂ ρ h g ρλ (cid:0) ∂ µ g νλ + ∂ ν g µλ − ∂ λ g µν (cid:1)i + g κλ (cid:0) ∂ µ g νλ + ∂ ν g µλ − ∂ λ g µν (cid:1) g ρσ (cid:0) ∂ ρ g κσ + ∂ κ g ρσ − ∂ σ g ρκ (cid:1) − g κλ (cid:0) ∂ ρ g νλ + ∂ ν g ρλ − ∂ λ g ρν (cid:1) g ρσ (cid:0) ∂ µ g κσ + ∂ κ g µσ − ∂ σ g µκ (cid:1) = h ∂ µ g ρλ ∂ ρ g νλ + ∂ µ g ρλ ∂ ν g ρλ − ∂ µ g ρλ ∂ λ g ρν + g ρλ ∂ µ ∂ ρ g νλ + g ρλ ∂ µ ∂ ν g ρλ − g ρλ ∂ µ ∂ λ g ρν − ∂ ρ g ρλ ∂ µ g νλ − ∂ ρ g ρλ ∂ ν g µλ + ∂ ρ g ρλ ∂ λ g µν − g ρλ ∂ ρ ∂ µ g νλ − g ρλ ∂ ρ ∂ ν g µλ + g ρλ ∂ ρ ∂ λ g µν + (cid:16) g κλ g ρσ ∂ µ g νλ ∂ ρ g κσ + g κλ g ρσ ∂ ν g µλ ∂ ρ g κσ − g κλ g ρσ ∂ λ g µν ∂ ρ g κσ + g κλ g ρσ ∂ µ g νλ ∂ κ g ρσ + g κλ g ρσ ∂ ν g µλ ∂ κ g ρσ − g κλ g ρσ ∂ λ g µν ∂ κ g ρσ − g κλ g ρσ ∂ µ g νλ ∂ σ g ρκ − g κλ g ρσ ∂ ν g µλ ∂ σ g ρκ + g κλ g ρσ ∂ λ g µν ∂ σ g ρκ − g κλ g ρσ ∂ ρ g νλ ∂ µ g κσ + g κλ g ρσ ∂ ν g ρλ ∂ µ g κσ − g κλ g ρσ ∂ λ g ρν ∂ µ g κσ + g κλ g ρσ ∂ ρ g νλ ∂ κ g µσ + g κλ g ρσ ∂ ν g ρλ ∂ κ g µσ − g κλ g ρσ ∂ λ g ρν ∂ κ g µσ − g κλ g ρσ ∂ ρ g νλ ∂ σ g µκ − g κλ g ρσ ∂ ν g ρλ ∂ σ g µκ + g κλ g ρσ ∂ λ g ρν ∂ σ g µκ (cid:17)i = h ∂ µ g ρλ ∂ ρ g νλ + ∂ µ g ρλ ∂ ν g ρλ − ∂ µ g ρλ ∂ λ g ρν + g ρλ ∂ µ ∂ ν g ρλ − g ρλ ∂ µ ∂ λ g ρν − ∂ ρ g ρλ ∂ µ g νλ − ∂ ρ g ρλ ∂ ν g µλ + ∂ ρ g ρλ ∂ λ g µν − g ρλ ∂ ρ ∂ ν g µλ + g ρλ ∂ ρ ∂ λ g µν + g κλ g ρσ ∂ ρ g νλ ∂ κ g µσ − g κλ g ρσ ∂ ρ g νλ ∂ µ g κσ − g κλ g ρσ ∂ λ g ρν ∂ κ g µσ + (cid:16) g κλ g ρσ ∂ µ g νλ ∂ κ g ρσ + g κλ g ρσ ∂ ν g µλ ∂ κ g ρσ − g κλ g ρσ ∂ λ g µν ∂ κ g ρσ + g κλ g ρσ ∂ ν g ρλ ∂ µ g κσ (cid:17)i = . (189) Diese klassische dynamische Grundgleichung für das Gravitationsfeld muss in einer Weisequantisiert werden, dass sie in eine Beschreibungsweise im Sinne der Ur-Alternativen über-führt wird. Im Rahmen dieser Beschreibung ist auch das Gravitationsfeld lediglich eine Dar-stellung eines dahinter stehenden Zustandes im Tensorraum der Ur-Alternativen und das Pro-dukt des Gravitationsfeldes mit sich selbst entspricht einer Verschränkung solcher Zustände.Diese Art der Quantisierung ist deutlich radikaler als die gewöhnliche Quantisierung, beider Vertauschungsrelationen zwischen dem Gravitationsfeld und der kanonisch konjugiertenFeldgröße gefordert werden, welche also kontinuierliche Feldgrößen zu Grunde legt. Auchim Rahmen der Schleifenquantengravitation mit den Spin-Netzwerken bleibt der Raum ei-ne unabhängige Realität und werden mit Holonomien weiterhin Größen zu Grunde gelegt,die sich auf Beziehungen in einer eigenständigen Raum-Zeit beziehen. Bei den Wechselwir-kungen geht man gewöhnlich weiterhin im klassischen Sinne von punktweisen Produkten inder Raum-Zeit aus. Die Frage der Wechselwirkung ist nämlich die entscheidende. In demhier versuchten Modell der Ur-Alternativen gibt es überhaupt kein Gravitationsfeld mehr,sondern nur Kombinationen von Ur-Alternativen als diskreten Einheiten und Verschränkun-gen zwischen diesen, die sich lediglich raum-zeitlich darstellen und in dieser Darstellungnäherungsweise zu der Einsteinschen Feldgleichung führen. Es muss also zunächst in demSinne eine Quantisierung der Gravitation vorgenommen werden, dass das Gravitationsfeldin einen Zustand von Gravitonen überführt wird, die durch Zustände im Tensorraum der Ur-Alternativen beschrieben werden, beziehungsweise zunächst in den Zustand eines einzelnenGravitons. Dies geschieht durch eine Kombination von (154) und (179): g µν ( x , t ) −→ | Ψ g ( t ) i = g µνχ N ( t ) = ∑ N ABCD ψ ( N ABCD , t ) | N ABCD i ⊗ g µνχ ←→ g µνχ N ( x , t ) = ∑ N xyzn ψ ( N xyzn , t ) f N xyzn ( x ) g µνχ . (190)Die Ableitungen müssen dementsprechend zu Impulsoperatoren im Tensorraum werden, in-dem man die Definition (54) und den Übergang (154) zu Grunde legt, was bedeutet: ∂ ρ g µν ( x , t ) −→ iP ρ ABCD | Ψ g ( t ) i = iP ρ ABCD ∑ N ABCD ψ ( N ABCD , t ) | N ABCD i ⊗ g µνχ = i | P ρ Ψ i = i ∑ N ABCD P ρψ ( N ABCD , t ) | N ABCD i ⊗ g µνχ ≡ i P ρ g µν N χ ( t ) ←→ i ∑ N xyzn P ρψ ( N xyzn , t ) f N xyzn ( x ) g µνχ ≡ i P ρ g µνχ N ( x , t ) . (191)Um nun zu einer vollständigen quantentheoretischen Beschreibung der Gravitation zu ge-langen, muss die Wechselwirkung integriert werden. Es müssen also Zustände mehrererGravitonen gemäß (181) betrachtet werden, welche jedoch gemäß (138) in Zustände mitVerschränkung überführt werden. Und um diese zu definieren, müssen die punktweisen Pro-dukte des Gravitationsfeldes in ein Produkt im Tensorraum gemäß (155) umgewandelt wer-den, das einen verschränkten Zustand gemäß (138) definiert. Dies bedeutet konkret, dass einProdukt des metrischen Tensors mit sich selbst in der folgenden Weise umgewandelt wird: g µν ( x , t ) g ρσ ( x , t ) −→ δ N , N ∑ N ABCD (cid:16) ψ (cid:0) N ABCD , t (cid:1) | N ABCD i ⊗ g µνχ (cid:17) ⊗ ∑ N ABCD (cid:16) ψ (cid:0) N ABCD , t (cid:1) | N ABCD i ⊗ g ρσχ (cid:17) = ∑ N ABCD h(cid:16) ψ ( N ABCD , t ) | N ABCD i ⊗ g µνχ (cid:17) ⊗ (cid:16) ψ ( N ABCD , t ) | N ABCD i ⊗ g ρσχ (cid:17)i ≡ ∑ N g µν χ N ( t ) g ρσ χ N ( t ) ←→ ∑ N xyzn h ψ ( N xyzn , t ) f N xyzn ( x ) g µνχ ψ ( N xyzn , t ) f N xyzn ( x ) g ρσχ i ≡ ∑ N g µν χ N ( x , t ) g ρσ χ N ( x , t ) . (192)Und ein Produkt von Ableitungen des metrischen Tensors mit sich selbst wird gemäß (156)in der folgenden Weise umgewandelt: ∂ κ g µν ( x , t ) ∂ λ g ρσ ( x , t ) −→ δ N , N iP κ ABCD ∑ N ABCD (cid:16) ψ (cid:0) N ABCD , t (cid:1) | N ABCD i ⊗ g µνχ (cid:17) ⊗ iP λ ABCD ∑ N ABCD (cid:16) ψ (cid:0) N ABCD , t (cid:1) | N ABCD i ⊗ g ρσχ (cid:17) = − δ N , N ∑ N ABCD (cid:16) P κψ (cid:0) N ABCD , t (cid:1) | N ABCD i ⊗ g µνχ (cid:17) ⊗ ∑ N ABCD (cid:16) P λψ (cid:0) N ABCD , t (cid:1) | N ABCD i ⊗ g ρσχ (cid:17) = − ∑ N ABCD h(cid:16) P κψ ( N ABCD , t ) | N ABCD i ⊗ g µνχ (cid:17) ⊗ (cid:16) P λψ ( N ABCD , t ) | N ABCD i ⊗ g ρσχ (cid:17)i ≡ − ∑ N P κ g µν χ N ( t ) P λ g ρσ χ N ( t ) ←→ − ∑ N xyzn h P κψ ( N xyzn , t ) f N xyzn ( x ) g µνχ P λψ ( N xyzn , t ) f N xyzn ( x ) g ρσχ i ≡ − ∑ N P κ g µν χ N ( x , t ) P λ g ρσ χ N ( x , t ) . (193)Wenn man nun in der freien Einsteingleichung (189) den metrischen Tensor gemäß (190) ineinen Zustand im Tensorraum der Ur-Alternativen umwandelt und die auftretenden Produktegemäß (192) und (193) in das quantentheoretische Analogon überführt, so ergibt sich eineGleichung, welche die dynamische Grundgleichung der selbstwechselwirkenden Gravitati-on ohne Kopplung an andere Objekte im Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativendarstellt. Diese Gleichung stellt eine reine Beziehungsstruktur von Ur-Alternativen dar oh-ne direkten Bezug zum Begriff eines Feldes. Lediglich durch einen indirekten Übergang indie raum-zeitliche Darstellung, wie sie durch die Darstellung der Tensorraumzustände alsFunktionen im physikalischen Raum in zum obigen Prozess der Quantisierung umgekehrterRichtung vollzogen werden kann, erscheint sie näherungsweise wie eine quantentheoretischeWellengleichung, also eine quantisierte Einsteingleichung. Aber die Gleichung selbst be-schreibt die Natur rein quantentheoretisch, also nur basierend auf einer Beziehungsstrukturabstrakter Informationseinheiten. Wenn die verschiedenen in den Wechselwirkungsprozesseinbezogenen aus Ur-Alternativen konstruierten Gravitonen durch eine von 1 bis 4 laufendeNummerierung bezeichnet werden, so erhält die dynamische Grundgleichung der Gravitati-on unter Verwendung von (190), (191), (192) und (193) die folgende Gestalt: R ψµν ( t ) = " ∑ N P µ g ρλ χ N ( t ) P ρ g χ N νλ ( t ) + ∑ N P µ g ρλ χ N ( t ) P ν g χ N ρλ ( t ) − ∑ N P µ g ρλ χ N ( t ) P λ g χ N ρν ( t )+ ∑ N g ρλ χ N ( t ) P µ P ν g χ N ρλ ( t ) − ∑ N g ρλ χ N ( t ) P µ P λ g χ N ρν ( t ) − ∑ N P ρ g ρλ χ N ( t ) P µ g χ N νλ ( t ) − ∑ N P ρ g ρλ χ N ( t ) P ν g χ N µλ ( t ) + ∑ N P ρ g ρλ χ N ( t ) P λ g χ N µν ( t ) − ∑ N g ρλ χ N ( t ) P ρ P ν g χ N µλ ( t )+ ∑ N g ρλ χ N ( t ) P ρ P λ g χ N µν ( t ) + ∑ N g κλ χ N ( t ) g ρσ χ N P ρ ( t ) g χ N νλ P κ g χ N µσ − ∑ N g κλ χ N ( t ) g ρσ χ N P ρ ( t ) g χ N νλ ( t ) P µ g χ N κσ ( t ) − ∑ N g κλ χ N ( t ) g ρσ χ N P λ ( t ) g χ N ρν ( t ) P κ g χ N µσ ( t )+ ∑ N g κλ χ N ( t ) g ρσ χ N P µ ( t ) g χ N νλ ( t ) P κ g χ N ρσ ( t ) + ∑ N g κλ χ N ( t ) g ρσ χ N P ν ( t ) g χ N µλ ( t ) P κ g χ N ρσ ( t ) − ∑ N g κλ χ N ( t ) g ρσ χ N ( t ) P λ g χ N µν ( t ) P κ g χ N ρσ ( t ) + ∑ N g κλ χ N ( t ) g ρσ χ N ( t ) P ν g χ N ρλ ( t ) P µ g χ N κσ ( t ) ! = . (194)
10 Zusammenfassung und Diskussion
In dieser Arbeit wurde zunächst deutlich gemacht, dass eine einheitliche Beschreibung derNatur eine Kopernikanische Wende bezüglich der Interpretation der Natur des Raumes un-umgänglich macht. Dies bedeutet, dass die physikalische Realität gemäß der Quantentheo-rie nicht in der Weise zu verstehen ist, dass gegenständliche und geometrisch beschriebeneObjekte in einem vorgegebenen physikalischen Raum existieren, sondern rein logische ab-strakte Objekte, die noch keinerlei feldtheoretische Begriffe voraussetzen, umgekehrt dieExistenz des physikalischen Raumes, der formal mit der Zeit zur Raum-Zeit verbunden wer-den kann, mit der bekannten Struktur begründen. Basierend auf dieser zentralen Erkenntnisdes inneren Wesens der Natur gemäß der Quantentheorie wurde dann die Quantentheorie derUr-Alternativen des Carl Friedrich von Weizsäcker als die konsequente Realisierung einessolchen rein quantentheoretischen Realitätsbegriffes dargestellt, der von feldtheoretischenBegriffen vollkommen unabhängig ist. Die Ur-Alternativen sind elementare quantentheore-tische Informationseinheiten. Allerdings werden diese im Gegensatz zu ihrer gewöhnlichenVerwendung in der Physik im Rahmen der Quantentheorie der Ur-Alternativen in einemsehr viel grundsätzlicheren Sinne interpretiert. Die Ur-Alternativen sind nicht Information,die sich im Raum befinden oder in einem Netzwerk ausgetauscht würde, die einen Trägerbräuchte oder sich auf bereits vorhandene physikalische Objekte beziehen würde. Vielmehrkommt dieser Information absolute Bedeutung zu. Es gibt daher in der Quantentheorie derUr-Alternativen überhaupt nichts anderes als die Information. Umgekehrt kann die Existenzaller anderen Realitäten wie der physikalischen Objekte, deren Wechselwirkungen und derphysikalische Raum überhaupt nur aus dieser im schlechthinnigen Sinne abstrakten Informa-tion begründet werden. Insofern führt die Quantentheorie der Ur-Alternativen die Verände-rung des Realitätsbegriffes in der Quantentheorie zu ihrer letzten Konsequenz. Nachdem diegrundlegende begriffliche und philosophische Basis der Quantentheorie der Ur-Alternativendargestellt wurde, wie sie seitens Carl Friedrich von Weizsäcker entwickelt wurde, wurden eigene weiterführende Ansätze in Bezug auf eine Beschreibung der realen Physik basierendauf diesem begrifflichen Grundrahmen entwickelt. Hierzu gehörte ein bestimmter Ansatzzu einer Abbildung der Zustände im Tensorraum der Ur-Alternativen in die Raum-Zeit, einAnsatz zur Integration der inneren Symmetrien der Elementarteilchenphysik, ein rein quan-tentheoretischer Begriff der Wechselwirkung und schließlich ein Versuch, basierend auf die-sen neuen Entwicklungen zu einer rein quantentheoretischen und im schlechthinnigen Sinnehintergrundunabhängigen Beschreibungsweise der Gravitation zu gelangen. Hierbei wurdedas Korrespondenzprinzip zu Grunde gelegt, also eine solche Dynamik basierend auf Ur-Alternativen konstruiert, sodass sich nach Abbildung der Wechselwirkungsbeziehung derverschiedenen aus Ur-Alternativen gebildeten Gravitonen in die Raum-Zeit in einer klassi-schen Näherung die gewöhnliche Einsteinsche Feldgleichung ergibt.Natürlich ist in dieser Arbeit nur ein begrifflicher und mathematischer Grundansatz zurBeschreibung der konkreten Physik im begrifflichen Rahmen der Ur-Alternativen entwickeltworden. Dass die Quantentheorie der Ur-Alternativen bezüglich ihrer begrifflichen Grundba-sis mit ihrem rein quantentheoretischen Realitätsbegriff im Prinzip von ihrer grundlegendenIdee her ganz sicher nicht nur vielversprechend ist, sondern dass hier die richtige Richtungmit Sicherheit eingeschlagen wurde, daran kann angesichts der überwältigenden argumen-tativen Substanz keinerlei Zweifel bestehen. Ob die konkrete mathematische Ausgestaltungund die meinerseits entwickelten weiterführenden Konzepte in exakt dieser Weise zur Wahr-heit führen können, das kann zumindest nicht mit Sicherheit gesagt werden, aber auch diesscheint wenigstens vielversprechend zu sein. Dies gilt auch dann, wenn die mathematischenKonzepte ganz sicher noch auf eine bessere formale Basis gestellt werden müssen. Zudemwäre es von entscheidender Bedeutung zu zeigen, dass sich basierend auf der Auflösungder Zustände quantentheoretischer Objekte in die rein logischen Objekte der Ur-Alternati-ven und entsprechender diskreter Zustandsräume und dem auf abstrakten Beziehungen vonUr-Alternativen sich gründenden Wechselwirkungsbegriff bei konkreten Berechnungen vonphysikalischen Vorgängen keine Divergenzen ergeben und das Verfahren der Renormierungauf diese Weise umgangen werden kann. Die Begründung der Existenz aller Wechselwirkun-gen sowie aller fundamentalen Objekte der Elementarteilchenphysik wäre das ideale End-ziel. Zudem müsste noch eine Beziehung der Abbildung der Zustände des Tensorraumesder Ur-Alternativen zur globalen Topologie des Kosmos hinzukommen, die in der Quan-tentheorie der Ur-Alternativen gewöhnlich eigentlich über den Zustandsraum einer einzigenUr-Alternative erfolgt, der aufgrund der Normierungsbedingung aus (17) die Toplogie einer S aufweist, die man dann als globale räumliche Struktur des Kosmos interpretiert. Auchmüsste man natürlich irgendwann versuchen, genaue Vorhersagen für konkrete Phänomenenzu machen, für welche die Quantentheorie der Ur-Alternativen ganz spezifische Ergebnisseliefert. Phänomene wie das EPR-Paradoxon zeigen nur, dass eine Beschreibung der Naturjenseits feldtheoretischer Begriffe unumgänglich ist, aber noch nicht, dass die Realisierungdessen in genau der Weise vollzogen werden muss wie dies im Rahmen der Quantentheorieder Ur-Alternativen geschieht. In jedem Falle aber wurde mit dieser Arbeit gezeigt, dass esprinzipiell durchaus möglich sein könnte, die konktrete Physik im Rahmen der Quantentheo-rie der Ur-Alternativen zu beschreiben und daher eine einheitliche Beschreibung der Physikin einem rein quantentheoretischen Rahmen zu erhalten, in dem der neue Realitätsbegriff,den die Quantentheorie eröffnet hat, in konsequenter Weise realisiert ist. Und dieser Reali-tätsbegriff basiert nur auf abstrakter Information und damit letztendlich auf reiner Logik inder Zeit, wobei die Logik ähnlich wie bei Hegel eine ontologische Bedeutung erhält. Danksagung:
Ich danke Bernd Henschenmacher für anregende Diskussionen und Gedan-ken über Grundfragen der Quantentheorie und insbesondere bezüglich der Oktonionen. Literatur [1] T. S. Kuhn, Die Struktur wissenschaftlicher Revolutionen, 1962.[2] I. Kant, Kritik der reinen Vernunft, Johann Friedrich Hartknoch Verlag, Riga 1783.[3] I. Kant, Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wirdauftreten können, Johann Friedrich Hartknoch Verlag, Riga 1783.[4] Platon, Dialog Timaios.[5] Platon, Dialog Parmenides.[6] C. F. von Weizsäcker, Ein Blick auf Platon, Reclam Verlag, Stuttgart 1981.[7] A. Einstein, “Über die Elektrodynamik bewegter Körper,” Annalen der Physik,IV.Folge Band 17
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