Représentations de réflexion de groupes de Coxeter -- Quatrième partie: La représentation R est réductible. Généralités
aa r X i v : . [ m a t h . G R ] F e b Représentations de réflexion de groupes deCoxeterQuatrième partie: La représentation R estréductible. Généralités François ZARA
Résumé
Dans cette quatrième partie, (avec les notations des parties précédentes)on fait les hypothèses suivantes : ( W, S ) est un système de Coxeter irréduc-tible, -sphérique et S est fini. Soit R : W → GL ( M ) une représentation deréflexion réductible de W . On pose G := ImR . Chaque sous-espace de M ( = M ) fixé par G est contenu dans C M ( G ) . On pose M ′ := M/C M ( G ) et N ( G ) := { g | g ∈ G, g fixe M ′ } . On appelle N ( G ) le sous-groupe des transla-tions de G . Un des buts de cette partie est d’étudier M ′ et N ( G ) . Abstract
In this fourth part, (with the notations of the preceding parts) we makethe following hypothesis: ( W, S ) is a Coxeter system, irreducible, -sphericaland S is finite. Let R : W → GL ( M ) be a reducible reflection representa-tion of W . Let G := Im R . Each sub-space of M ( = M ) stabilize by G is contained in C M ( G ) . Let M ′ := M/C M ( G ) and N ( G ) := { g | g ∈ G, g acts trivially on M ′ . We call N ( G ) the translation sub-group of G . Oneof the goals of this part is to study M ′ and N ( G ) . Dans toute cette partie on fait les hypothèses suivantes : ( W, S ) est un systèmede Coxeter satisfaisant aux conditions H(Cox) et R : W → GL ( M ) est une re-présentation de réflexion réductible. On pose G := ImR . Le but est d’étudier lastructure de G . Mots clés et phrases : groupes de Coxeter, groupes de réflexion.Représentation de réflexionréductible.Mathematics Subject Classification. 20F55,22E40,51F15,33C45. .1 Le théorème fondamental Théorème 1.
Soit ( W, S ) un système de Coxeter satisfaisant aux hypothèsesH(Cox) et soit R : W → GL ( M ) une représentation de réflexion de W obtenuepar la construction fondamentale. On pose G := Im R . Alors :1. H := T s ∈ S H ( s ) est le plus grand sous-espace de M stable par G .2. La suite ( ∗ ) de KG -modules, où M ′ := M/ T s ∈ S H ( s ) est exacte et nonscindée : ( ∗ ) 0 → \ s ∈ S H ( s ) → M π M −−→ M ′ → où π M est la projection canonique.3. La représentation R est irréductible si et seulement si H = { } , si et seule-ment si ∆( G ) = { } .4. On suppose que R est réductible. Alors G opère sur M ′ et l’on a la suiteexacte ( ∗∗ ) : ( ∗∗ ) { } → N ( G ) → G π −→ G ′ → { } où N ( G ) := { g | ∈ G, g opère trivialement sur M ′ } = ker π , G ′ := G/N ( G ) et π , la projection canonique, est un bon morphisme.De plus M ′ est un KG -module simple et un KG ′ -module simple. G ′ opèrecomme un groupe de réflexion sur M ′ .5. N ( G ) est un groupe commutatif sans torsion et tous ses éléments non tri-viaux sont des applications unipotentes.Démonstration.
1) Soit V un sous-espace de M stable par G . Si V * T s ∈ S H ( s ) alors ∃ v ∈ V, ∃ s ∈ S tels que s ( v ) ∈ V et s ( v ) = v . Dans ces conditions s ( v ) − v = λa s ( λ ∈ K ∗ ) est dans V et a s ∈ V . Comme Γ( G ) est connexe, en appliquantles différents éléments de S à a s , nous voyons que ∀ t ∈ S , a t ∈ V . Il en résulteque V = M . Il est clair que H ⊂ C M ( G ) et que C M ( G ) est stable par G , donc H = C M ( G ) .Les 2), 3) sont clairs.4) Nous montrons que π est un bon morphisme. Soient s et t deux éléments de S .par hypothèse st est d’ordre fini n car W est -sphérique. Alors π ( st ) est d’ordre n ′ où n ′ est un diviseur de n et π ( st ) n ′ est d’ordre donc ( st ) n ′ ∈ N ( G ) , maistous les éléments non triviaux de N ( G ) sont d’ordre infini et ( st ) n ′ est d’ordre fini,donc ( st ) n ′ = 1 et n ′ = 1 , d’où le résultat.5) Comme les éléments de N ( G ) opèrent trivialement sur H et M/H , toutes leursvaleurs propres sont égales à , donc ce sont des applications unipotentes. On voitaussi que N ( G ) est commutatif et sans torsion.2 orollaire 1. Si G ′ est un groupe de Coxeter -sphérique alors la suite ( ⋆⋆ ) estscindée.Démonstration. Notation 1.
Avec les hypothèses du théorème précédent, si R est réductible, ondit que R est une représentation de réflexion affine de W , que G est un groupe deréflexion affine et que N ( G ) est son sous-groupe des translations . Le problème ici est que l’on ne sait pas si N ( G ) est non trivial ou non. Dans toute cette section ( W, S ) est un système de Coxeter qui satisfait auxconditions H(Cox). Soit R : W → GL ( M ) une représentation de réflexion ré-ductible de W . On garde les notations précédentes et on utilise la constructionfondamentale.Pour pouvoir faire des calculs explicites, on va choisir une base de H et uns basede M qui ont de bonnes propriétés. On suppose que n := dim H > et l’on pose n := n − n . Remarque . On a toujours n n . Démonstration.
En effet si l’on avait n < n , le groupe G ′ = π ( G ) n’opérerait pasirréductiblement sur M ′ (= M/H ) .Il en résulte qu’il existe S ⊂ S , | S | = n tel que ∆( < S > ) = 0 . Notation 2.
On pose S := S − S et G i := < S i > ( i = 0 , . On pose S := { s i , s i , · · · , s i n } et on suppose que i < i < · · · < i n . Il est clair que π ( G ) ≃ G .Soit M := < a i , a i , · · · , a i n > . On a M = H ⊕ M . Soit π : M → M/M laprojection canonique. On a π ( M ) = π ( H ) . On choisit pour i ∈ { , , · · · , n } −{ i , i , · · · , i n } , b i dans H de telle sorte que l’on ait π ( b i ) = π ( a i ) . Alors ( b j , b j , · · · , b j n ) est une base de H et B := ( b j , b j , · · · , b j n ; a i , a i , · · · , a i n ) estune base de M .On a n := { j , j , · · · , j n } et on suppose que j < j < · · · < j n . On pose n := { i , i , · · · , i n } et n = { , , · · · , n } . Si j ∈ n , on peut écrire : b j = a j + X k ∈ n ρ kj a k (1)Le théorème suivant donne la valeur des ρ kj en fonction des coefficients de Cartan c i,j et aussi les différentes relations existant entre eux.3 héorème 2. Avec les hypothèses et notations précédentes, on a :1)
Car ( G ) ρ i j ρ i j · · · ρ i n j ρ i j ρ i j · · · ρ i n j ... ... ... ρ i j n ρ i j n · · · ρ i n j n = − c i ,j c i ,j · · · c i ,j n c i ,j c i ,j · · · c i ,j n ... ... ... c i n ,j c i n ,j · · · c i n ,j n (2)
2) Une condition nécéssaire et suffisante pour que H soit de dimension n est : c j ,i c j ,i · · · c j ,i n c j ,i c j ,i · · · c j ,i n ... ... ... c j n ,i c j no ,i · · · c j n ,i n Car ( G ) − c i ,j c i ,j · · · c i ,j n c i ,j c i ,j · · · c i ,j n ... ... ... c i n ,j c i n ,j · · · c i n ,j n = Car ( G ) . (3) Démonstration.
Soient l ∈ n et j ∈ n . On a s l ( b j ) = b j = a j + X k ∈ n ρ kj a k = ( a j − c l,j a l ) + X k ∈ n ρ kj ( a k − c l,k a j ) . Donc on a les relations : ∀ l ∈ n, ∀ j ∈ n , c l,j + X k ∈ n ρ kj c l,k = 0 (4)qui sont nécessaires et suffisantes pour que H soit de dimension n . Les formulesde l’énoncé sont simplement les transcriptions matricielles des relations (4).Avec les hypothèses et notations précédentes, on voit que n est le rang de lamatrice Car ( G ) . Si l’on prend n’importe quelle sous-matrice carrée T de Car ( G ) de dimension n ′ avec n < n ′ , alors le rang de T est encore n . Ces remarquesdémontrent la proposition suivante : Proposition 1.
Si l’on prend un sous-ensemble S ′ de S tel que | S ′ | > n et si G ′ = < S ′ > et R ′ est la restriction de R à G ′ opérant sur < a s | s ∈ S ′ > , alors R ′ est une représentation de réflexion réductible de G ′ .Démonstration. Car
Car ( G ′ ) est une sous-matrice de Car ( G ) .Nous généralisons légèrement le problème. Nous travaillons dans la base B . Soit G := { g | g ∈ GL ( M ) , g fixe H } . La matrice de g ∈ G est : (cid:18) I n A ( g )0 P ( g ) (cid:19) I n est la matrice identité d’ordre n , A ( g ) ∈ M ( n , n ) ( M ( n , n ) étant l’espacevectoriel des matrices à n lignes et n colonnes à coefficients dans K ) et P ( g ) estun élément de GL n ( K ) .On pose Z := { z ∈ G | z opère comme une opération scalaire sur M ′ } , (5) N := { n ∈ Z | n opère comme l’identité sur M ′ } , (6) Z ′ := { z ∈ Z | z opère comme − sur M ′ } . (7)Si g et g ′ sont dans G , alors gg ′ = (cid:18) I n A ( g ′ ) + A ( g ) P ( g )0 P ( g ) p ( g ′ ) (cid:19) donc P : G → GL n ( K ) est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est legroupe N . On a aussi la formule A ( gg ′ ) = A ( g ′ ) + A ( g ) P ( g ′ ) , de là on déduit que g − = (cid:18) I n − A ( g ) P ( g ) − P ( g ) − . (cid:19) Soient h et h ′ dans N . Alors hh ′ = (cid:18) I n A ( h ) + A ( h ′ )0 I n (cid:19) avec A ( h ) ∈ M ( n , n ) et A : N → M ( n , n ) : h A ( h ) est un isomorphisme degroupes.Notons le résultat suivant : Proposition 2.
Avec les hypothèses et notations du début, on a :1) G opère à droite sur M ( n , n ) et sous l’action de G chaque sous-espace M i de M ( n , n ) de la forme u u · · · u n − u n où les éléments non nuls sont sur la i-ième ligne, est stable par G . On obtient ainsiune décomposition en somme directe de K G -modules simples M i (1 i n ) de M ( n , n ) .2) Si N i = A − ( M i ) , alors chaque N i est un K G -module simple et N ≃ ⊕ n i =1 N i .Démonstration. Soient g ∈ G et h ∈ N . Alors ghg − = (cid:18) I n A ( h ) P ( g ) − I n (cid:19) donc G opère à droite sur M ( n , n ) et chaque M i est stable sous l’action de G .Tout le reste est clair. 5vec les notations précédentes, la formule A ( ghg − ) = A ( h ) P ( g ) − montre que A est G -équivariante.Nous donnons maintenant une condition suffisante qui assure que N ( G ) = { } . Proposition 3.
Avec les hypothèses et notations précédentes, si C G ( G ) = { } ,en particulier si Z ( G ) = { } , on a N ( G ) = { } .Démonstration. Si z ∈ C G ( G ) − { } , alors z opère comme une opération scalairesur M ′ , donc z ∈ Z ∩ G . Il en résulte que ∀ g ∈ G , [ z, g ] ∈ N ∩ G et comme z Z ( G ) (qui est trivial), il existe g ∈ G tel que [ z, g ] = 1 , donc N ( G ) = { } . Corollaire 2.
Avec les hypothèses et notations précédentes, on suppose en plusque n = 3 . Alors N ( G ) = { } si | pqr .Démonstration. Si n = 3 , on a n = 1 et n = 2 donc ou bien G est isomorpheà C × C auquel cas le résultat est vrai ou bien G est un groupe diédral et ceciquelque soit le choix de S . Comme | pqr , l’un de ces groupes diédraux est d’ordremultiple de , donc son centre est non trivial et nous appliquons la proposition 2pour avoir le résultat. Proposition 4.
Soient W un groupe de Coxeter satisfaisant aux conditions H ( Cox ) et R : → GL ( M ) une représentation de réflexion affine. On pose G := ImR et onsuppose que N ( G ) = 1 . Soient z ∈ Z ′ et Γ := < G, z > . Alors :1) N (Γ) = N ( G ) .2) | Γ /G | .Démonstration. Il est clair que N ( G ) ⊳ Γ car G normalise N ( G ) et z opère comme − sur N ( G ) . Soit π : Γ → Γ /N ( G ) la projection canonique. Supposons que N (Γ) = N ( G ) alors nous obtenons une contradiction. En effet π ( N (Γ)) est un sous-groupe normal de SL ( M ′ ) puisque π ( N (Γ)) est formé d’éléments de déterminants . Il est clair que N (Γ) = Γ . les seuls sous-groupes normaux non triviaux de SL ( M ′ ) sont contenus dans son centre et ils sont formés d’applications scalaires.Comme tous les éléments de π ( N (Γ)) n’ont que comme valeur propre, ils sonttriviaux et π ( N (Γ)) = : on a N (Γ) = N ( G ) . Comme ∀ g ∈ G , [ z, g ] ∈ N (Γ) = N ( G ) , nous voyons que z normalise G d’où le résultat | Γ /G | . Corollaire 3.
Avec les hypothèses et notations précédentes on a :1) N et Z ′ normalisent G .2) On a l’une des possibilités suivantes : Z ′ ⊂ G ou Z ′ ∩ G = ∅ .Démonstration.
1) Comme z était quelconque dans la proposition on voit que Z ′ normalise G et comme N ⊂ < Z ′ > , N normalise G .2) Si ∃ z ∈ G T Z ′ , alors ∀ z ′ ∈ Z ′ , zz ′ ∈ N ( G ) , donc z ′ ∈ G et Z ′ ⊂ G .6 .3 Opérations du groupe G On garde les notations précédentes. Il est clair que G est un sous-groupe de G et que N ( G ) est un sous-groupe de N . Le groupe G opère sur N ( G ) (et sur N ) parconjugaison et sur M ( n , n ) par multiplication à droite. On note g. l’opération de g sur M ( n , n ) .L’application P : G → GL n ( K ) est un morphisme de groupes dont le noyau est N ( G ) et l’image est G ′ .Nous donnons maintenant les matrices des éléments de S dans la base B de M .– Si i ∈ n , on a s i = (cid:18) I n P ( s i ) (cid:19) Si k ∈ n , on sait que s i ( a k ) = a k − c ik a i donc P ( s i ) = I n + T ( s i ) où T ( s i ) = − c ii − c ii · · · − c ii n − − c ii n et les éléments non nuls de T ( s i ) sont situés sur la i-ième ligne.Si ζ ∈ M ( n , n ) on a s i .ζ = ζ P ( s i ) = ζ + ζ T ( s i ) d’où [ s i , ζ ] = s i .ζ − ζ = ζ T ( s i ) . – Si j ∈ n et si i ∈ n , on a s j ( a i ) = a i − c ji a j , mais b j = a j + P k ∈ n ρ kj a k et l’onobtient s j ( a i ) = a i − c ji b j + c ji P k ∈ n ρ kj a k . On en déduit que s j = (cid:18) I n A ( s j )0 P ( s j ) (cid:19) où A ( s j ) ∈ M ( n , n ) et toutes les lignes de A ( s j ) sont formées de à l’exceptionde la j-ième qui est ( − c ji , − c ji , · · · , − c ji n ) .En écrivant que s j = id M , on obtient s j = (cid:18) I n I n (cid:19) = (cid:18) I n A ( s j ) + A ( s j ) P ( s j )0 I n (cid:19) d’où la relation : (1) A ( s j ) + A ( s j ) P ( s j ) = 0 . On a P ( s j ) = I n + T ( s j ) où T ( s j ) = c ji ρ i j c ji ρ i j · · · c ji n ρ i j c ji ρ i j c ji ρ i j · · · c ji n ρ i j ... ... ... c ji ρ i n j c ji ρ i n j · · · c ji n ρ i n j . ζ ∈ M ( n , n ) , alors s j .ζ = (cid:18) I n A ( s j ) + ζ P ( s j ) + A ( s j ) P ( s j )0 I n (cid:19) d’où d’après la relation (1) s j .ζ = ζ P ( s j ) = ζ + ζ T ( s j ) et [ s j , ζ ] = ζ T ( s j ) . n = 1 Nous étudions en détail le cas n = 1 puis nous passerons au cas n > .Comme P ( G ) est un sous-groupe de GL n ( K ) , P ( G ) stabilise chacun des M j ( j ∈ n ) et pour voir comment P ( G ) opère sur M j , nous allons d’abord supposerque n = { } (donc n = { , , · · · , n } ).Par hypothèse H est de dimension engendré par b où, en posant pour simplifierles notations ρ i := ρ i (2 i n ) , b = a + n X i =2 ρ i a i et les ρ i sont donnés par (en utilisant la relation (2) du théorème 2) : Car ( G ) ρ ... ρ n = − c ... c n De plus on a les relations : (cid:0) c c · · · c n (cid:1) Car ( G ) − c c ... c n = (2) . – Si i ∈ n , T ( s i ) = − c i − c i · · · − c i ( n − − c in où les éléments non nuls sont sur la i-ième ligne.Si ζ := ( ζ ζ · · · ζ n ) ∈ M ( n , n ) alors [ s i , ζ ] = ζ T ( s i ) = ζ i ( − c i − c i · · · − c i ( n − − c in ) . T ( s ) = c ρ c ρ · · · c n ρ c ρ c ρ · · · c n ρ ... ... ... c ρ n c ρ n · · · c n ρ n . De plus : [ s , ζ ] = ω ( ζ )( − c − c · · · − c n − − c n ) où ω ( ζ ) = − P nk =2 ζ k ρ k et ω ( c i ) = − P nk =2 c ik ρ k = c i ( i ∈ n ) .Dans la suite , on pose c i := ( − c i − c i · · · − c i ( n − − c in ) (1 i n ) ; on obtientainsi les formules : [ s i , c k ] = − c ki c i ( i ∈ n, k ∈ n ) . Théorème 3.
Avec les hypothèses et notations précédentes, on a :1) ( c , c , · · · , c n ) est une base de M ( n , n )(= M (1 , n − .2) On a c = P ni =2 λ i c i et les λ i sont donnés par (cid:0) c c · · · c n (cid:1) Car ( G ) − = (cid:0) λ λ · · · λ n (cid:1) . M ( n , n ) est un KG -module simple isomorphe au KG -module M ′ . De plus G opère comme un groupe de réflexion sur lui.Démonstration.
1) On a det( c , c , · · · , c n ) = det( Car ( G )) = ∆( G ) = 0 parhypothèse, donc ( c , c , · · · , c n ) est un système libre. Comme M ( n , n ) est dedimension n − , ( c , c , · · · , c n ) est une base de M ( n , n ) .2) Si c = P ni =2 λ i c i , alors les λ i sont donnés par les formules de l’énoncé.3) Soient M ′ = M/H et π M : M → M ′ la projection canonique. On pose a ′ i := π M ( a i ) ( i ∈ n ) . Alors ( a ′ i ) i ∈ n est une base de M ′ . On définit ϕ : M ′ → M ( n , n ) par ϕ ( a ′ i ) := c i ( i ∈ n ) .Si k ∈ n et si i ∈ n , on a s k . ( π M ( a i )) = a ′ i − c ki a ′ k = π M ( s k ( a i )) ; s k .ϕ ( a ′ i ) = s k .c i = c i − c ki c k = ϕ ( a ′ i − c ki a ′ k ) = ϕ ( s k .a ′ i ) , donc ϕ est G -équivariante.On a le diagramme de KG -modules : M M ( n , n ) M ′ ✲ ϕ ◦ π M ❄ π M (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)✒ ϕ Comme M ′ est un KG -module simple, on voit que M ( n , n ) est aussi un KG -module simple isomorphe à M ′ . dans ces conditions, il est clair que G opère commeun groupe de réflexions sur M ( n , n ) . 9ous étudions maintenant le cas général. Théorème 4.
On suppose que n > . Alors1) ∀ j ∈ n , M j est un KG -module de réflexion simple isomorphe à M ′ (en tantque KG -module).2) Si N ( G ) = { } on a1. A ( N ( G )) ∩ M j = { } et ( A ( N ( G )) ∩ M j ) ⊗ Z K = M j ;2. A ( N ( G )) ⊗ Z K = M ( n , n ) .Démonstration.
1) Comme P ( G ) est un sous-groupe de GL n ( K ) , P ( G ) stabilisechaque M j ( j ∈ n ) .Soit j ∈ n . On appelle c i ( j ) l’élément suivant de M , où i ∈ n : c i ( j ) = − c ii − c ii · · · − c ii ( n − − c ii n . Soit ζ := ζ i ζ i · · · ζ i ( n − ζ i n un élément de M j . Si i ∈ n , un calcul simple montre que [ s i , ζ ] = ζ T ( s i ) = ζ c i ( j ) .Nous avons les mêmes formules que dans le cas n = 1 , d’où le résultat.2) Le groupe G opère sur N ( G ) par conjugaison et sur M ( n , n ) par translations àdroite. De plus A | N ( G ) : N ( G ) → A ( N ( G )) est un isomorphisme de groupes, donc A ( N ( G )) se décompose en somme directe de sous-groupes sous l’action de G : A ( N ( G )) = ⊕ j ∈ n ( A ( N ( G )) ∩ M j ) . On pose A ( N ( G )) j := A ( N ( G )) ∩ M j et N ( G ) j := A − ( A ( N ( G )) j ) . Il en résulteque : N ( G ) = ⊕ j ∈ n N ( G ) j et chaque N ( G ) j est un sous-groupe normal de G qui n’est pas central car Z ( G ) = { } .Chaque M j ( j ∈ n ) est un espace vectoriel de dimension n et chaque s ∈ S opèrelinéairement sur lui ; son polynôme caractéristique est P s ( X ) = ( X + 1)( X − n − donc chaque s dans S opère comme une réflexion sur M j et [ s, M j ] est de dimension . Pour tout s dans S on donne un générateur de [ s, M j ] . Notation 3.
Soit j ∈ n , si i ∈ n , on pose c i ( j ) = − c ii − c ii · · · − c ii n − − c ii n es éléments non nuls étant sur la j-ième ligne. On montre maintenant que ∀ i ∈ n on a [ s i , M j ] = < c i ( j ) > .- Soit j ∈ n . Pour tout h ∈ N ( G ) j , il existe s dans S tel que [ s, h ] = { } ,donc s [ s, h ] s − = [ h, s ] = [ s, h ] − : ∀ s ∈ S, ∃ h ∈ N ( G ) j tel que shs − = h − car Z ( G ) = { } .Soit s k ∈ n . Comme on a la relation A ( s k ) + A ( s k ) P ( s k ) = 0 on voit que [ s k , M j ] = < A ( s k ) > car A ( s k ) = 0 sinon < G , s k > opérerait irréductiblementsur M contrairement au choix de G . De plus, on voit que A ( s k ) = c k ( j ) . On a lerésultat dans ce cas.- Soit i ∈ n . Alors T ( s i ) = c i ( j ) et si h ∈ N ( G ) j on a A ( h ) = h h · · · h n − h n où les éléments non nuls sont sur la j-ième ligne.On a A ( h ) T ( s i ) = h i c i ( j ) et comme on a la relation A ( h )( I n + P ( s i )) = 0 = A ( h )(2 I n + T ( s i )) , on obtient A ( h ) = − h i c i ( j ) et A ( h ) = − h i c i ( j ) . Il en résulteaussitôt que [ s i , M j ] = < c i ( j ) > .Le reste est clair car A est un isomorphisme G -équivariant de K -espaces vectoriels. Dans ce paragraphe nous donnons des exemples en dimension principalement .Le cas n = 3 sera étudié en détail dans la partie suivant. On garde les hypothèsesdu paragraphe 1. n = 4 On suppose n = 4 et G = < s , s , s , s > . Nous énumérons tous les graphesconnexes Γ de cardinal ; chaque arête est décorée d’un entier p > . On se donneun arbre couvrant T , s une racine de cet arbre (qui sera un cercle plein) et enfindes arêtes en gras que l’on ajoute à l’arbre pour obtenir le graphe Γ . Pour le groupede réflexion G ainsi obtenu nous donnons la base adaptée, la matrice de Cartanainsi que le discriminant de cette représentation. Enfin nous donnons les conditionsnécessaires et suffisantes pour qu’il existe des applications sesquilinéaires non nulles G -invariantes avec σ ∈ AutK tel que σ = id K et le sous corps des points fixes de σ contient K . Les applications obtenues sont σ -hermitiennes. Si σ est l’identité de K on obtient des applications bilinéaires symétriques. Pour chaque p i on choisit11 i une racine de v p i ( X ) .(I) Un chemin (I) ✇ ❣ ❣ ❣ s s s s p p p Car ( G ) = − α − − α − α − , ( ϕ ( a i , a j ) i,j ) = − α − α α − α α − α α α α − α α α − α α α α α α On a ∆( G ) = 16 − α − α − α + α α = (4 − α )(4 − α ) − α .(II) Une étoile (II) ❣ ✇ ❣❣ s s s s p p p Car ( G ) = − α − α − α − − − ( ϕ ( a i , a j ) i,j ) = − α − α − α − α α − α α − α α
12n a ∆( G ) = 4(4 − P α i ) .(III) Un seul circuit qui n’est pas un carré ❣ ✇ ✑✑✑✑ ❣ ◗◗◗◗ s s s s ❣ p p p p Car ( G ) = − α − α − α − − l − − m − avec lm = α .Si ϕ = 0 ∈ Φ , on a σ ( l ) α = mα et ( ϕ ( a i , a j ) i,j ) = − α − α − α − α α − mα − α − lα α − α α On a ∆( G ) = 4(4 − P α i ) + α α − α l + α m ) ;si ϕ est bilinéaire alors ∆( G ) = 4(4 − P α i ) + α α − α l (IV) Un carré ❣✇ ❣❣ s s s s p p p p Car ( G ) = − α − α − − l − m − − − α lm = α .Si ϕ = 0 ∈ Φ , on a σ ( l ) α = mα α et ( ϕ ( a i , a j ) i,j ) = − α − α − α α − mα α − lα α α − α α − α − α α α ∆( G ) = 4(4 − P α i ) + ( α α + α α ) − ( α l + α α m ) ;si ϕ est bilinéaire alors ∆( G ) = 4(4 − P α i ) + ( α α + α α ) − α l .(V) Un graphe avec deux circuits : ❣ ❣ ❣✇ ❅❅❅❅ (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) s s s s p p p p p Car ( G ) = − α − α − α − − l − − m − l − − m avec l m = α et l m = α .Si ϕ = 0 ∈ Φ , on a σ ( l ) α = α m et σ ( l ) α = α m et ( ϕ ( a i , a j ) i,j ) = − α − α α − α α − m α − α − α l α − α m − α − α l α ∆( G ) = 4(4 − X i =1 α i ) + ( α α + α α ) − (2 α l + 2 α l + 2 α m + 2 α m ) − ( α l l + α m m ) si ϕ est bilinéaire alors ∆( G ) = 4(4 − P α i )+( α α + α α ) − α l + α l ) − α l l .(VI) Le graphe complet. 14 ❅❅❅❅ s ❣ ❆❆❆❆❆❆❆❆ ✁✁✁✁✁✁✁✁ ❣✇❣ s s ❅❅❅❅ (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) p p p p p p Car ( G ) − α − α − α − − l − m − − m − l − − l − m avec l m = α , l m = α et l m = α .Si ϕ = 0 ∈ Φ , on a σ ( l ) α = m α , σ ( l ) α = m α et σ ( l ) α = m α et ( ϕ ( a i , a j ) i,j ) = − α − α α − α α − m α − l α − α − α l α − α m − α − m α − α l α ∆( G ) = 4(4 − X i =1 α i ) + ( α α + α α + α α ) − l l l + m m m ) − α (2 l +2 m + l l + m m ) − α (2 l +2 m + l l + m m ) − α (2 l +2 m + l l + m m ) Si ϕ = 0 est bilinéaire, ∆( G ) devient : ∆( G ) = 4(4 − X i =1 α i ) + ( α α + α α + α α ) − l l l − α l + α l + α l ) − α l l + α l l + α l l ) . Dans les propositions qui suivent on suppose toujours que ∆( G ) = 0 .Proposition 5. Avec les hypothèses et notations précédentes.1) Dans le cas (I) on a une seule possibilité : n = 1 et p = p = 4 , p = 3 , α = α = 2 , α = 1 . On a le graphe Γ( G ) ≃ Γ( ˜ C ) et G ≃ W ( ˜ C ) groupe de Weylaffine de type ˜ C . De plus b = a + a + a + a .2) Dans le cas (II) on a deux possibilités, n = 1 et(i) p = p = 3 , p = 4 , α = α = 1 , α = 2 . On a le graphe Γ( G ) ≃ Γ( ˜ B ) et G ≃ W ( ˜ B ) groupe de Weyl affine de type ˜ B . De plus b = a + ( a + a + a ) .(ii) p = p = 5 , p = 3 , α = τ , α = 3 − τ , α = 1 . On a G ≃ W ( ˜ H ) groupede réflexion affine de type H . De plus b = a + ( a + a + a ) . Ce groupe seraétudié plus loin. émonstration. (I) On a ∆( G ) = 16 − α − α − α + α α = (4 − α )(4 − α ) − α = 0 . D’après la proposition 13 de la partie 2, ceci n’est possible que si α = α = 2 et α = 1 , c’est à dire p = p = 4 et p = 3 . On a donc un uniqueexemple : G ≃ W ( ˜ C ) . En particulier on ne peut pas avoir n = 2 .(II) On a ∆( G ) = 4(4 − α − α − α ) = 0 . Toujours d’après la proposition 13 dela partie 2, ceci n’est possible que dans les deux cas suivants :(i) α = α = 1 , α = 2 (par exemple) d’où p = p = 3 et p = 4 . On a donc G ≃ W ( ˜ B ) .(ii) α = τ, α = 3 − τ et α = 1 , d’où p = p = 5 et p = 3 . On a le résultat del’énoncé.Dans les deux cas, on ne peut pas avoir n = 2 . Proposition 6.
Avec les hypothèses et notations précédentes, on a une seule pos-sibilité dans le cas (III) : n = 1 . Si G = < s , s , s > , ∆( G ) = α (4 − α ) =8 − α − α − α − ( α l + α m ) = 0 . α l et α m sont racines d’un polynôme Q ( X ) ∈ K [ X ] du second degré. On a : b = a + l +24 − α a + m +24 − α a + − α ) a .Démonstration. On a ∆( G ) = − α (4 − α )+2(8 − α − α − α − ( α l + α m )) = 0 .Comme α (4 − α ) = 0 par les hypothèses générales, si G = < s , s , s > , onobtient ∆( G ) = 0 donc n = 1 . On a ∆( G ) = α (4 − α ) = 8 − α − α − α − ( α l + α m ) et α l et α m sont racines d’un polynôme Q ( X ) ∈ K [ X ] dusecond degré. On a par un calcul facile : b = a + l + 24 − α a + m + 24 − α a + 12(4 − α ) a . Dans les cas (IV) et (V) soient i ∈ n , S i = S − { i } et R i la restriction de R à R i opérant sur < A − { a i } > . Si n = 1 on ne peut pas avoir R i réductible pourtout i , donc il existe i ∈ n tel que R i est irréductible.On s’intéresse d’abord au cas (IV). ∆( G ) = 16 − α − α − α − α + α α + α α − α l − α α m = 0 . Proposition 7.
Avec les hypothèses et notations précédentes, on a deux possibilitésdans le cas (IV).1) On suppose que n = 1 et que n = { } . On a G = < s , s , s > (on peut fairece choix d’après la remarque précédente).La formule donnant ∆( G ) montre que α l et α α m sont racines du polynôme Q ( X ) ∈ K [ X ] : Q ( X ) = X − (16 − α − α − α − α + α α + α α ) X + α α α α . n voit ainsi que [ K : K ] et aussi que b = a + 1∆( G ) [(4 − α + l ) a + (2 m + 2) a + ( mα + 4 − α ) a ] .
2) On suppose maintenant que n = 2 : n = { , } , n = { , } . On a : G = < s , s >, Car ( G ) = (cid:18) (cid:19) G = < s , s >, Car ( G ) = (cid:18) (cid:19) On a b = a + ( a + a ) , b = a + ( la + α ) .On a p = p ′ = p et p = p = p ; α = α = 4 − α et α = α . De plus m = − et l = − α .Démonstration.
1) Il suffit de faire les calculs. 2) On utilise les résultats générauxpour trouver la valeur de b et de b . Enfin on a la relation : (cid:18) − α − α − m − (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) − − l − − α (cid:19) = (cid:18) (cid:19) d’où α + α = 4 , m + 1 = 0 , lα + α α = 0 , α + α = 4 . On en déduit : − α − α = 0 , − α − α = 0 , m = − , l = − α d’où α α = α α = α (4 − α ) = (4 − α )(4 − α ) donc − α − α = 0 et − α − α = 0 ; on voitaussi que − α − α = 0 . On a donc tous les résultats.On peut voir que le sous-groupe < s , s , s > est un groupe diédral affine (voirla partie 3) et la structure de G est maintenant immédiate.Dans le cas (V), on a ∆( G ) = 4(4 − X i =1 α i ) + ( α α + α α ) − (2 α l + 2 α l + 2 α m + 2 α m ) − ( α l l + α m m ) – Si n = 1 , alors ∆( G ) = 0 et si l’on se donne l quelconque (mais différent de ) alors m est déterminé et l et m sont racines d’un polynôme Q ( X ) du seconddegré à coefficients dans K ( l ) . Il y a ainsi une infinité de représentationsde réflexion réductibles non équivalentes .– On considère maintenant le cas n = 2 .17 roposition 8. On choisit n = { , } et n = { , } . On a b = a + ( a + a ) et b = a + ( l a + m a ) . On a p = p ′ , p = p ′ , α + α = 4 , α + α = 4 , α l + α m + 2 α = 0 et enfin m + l + 2 = 0 . Le R -sous-groupe < s , s , s > (resp. < s , s , s > ) est un groupe de réflexion affine quelconque et on l’a plongédans un groupe de réflexion affine de rang tel que H soit de dimension .Démonstration. On a
Car ( G ) = 2 (cid:18) (cid:19) , Car ( G ) = (cid:18) − α − (cid:19) et nous obtenons : (cid:18) ρ ρ ρ ρ (cid:19) = 12 (cid:18) l m (cid:19) d’où les valeurs de b et de b . De plus on a les relations de l’énoncé. Comme tousles mineurs de rang de Car ( G ) sont nuls, on a aussi : ∆( < s , s , s > ) = 0 et ∆( < s , s , s > ) = 0 et ceci démontre la proposition. n = 5 On ne s’intéresse ici uniquement au cas où Γ( G ) est un chemin : G = < s i | i > et Γ( G ) = ✇ ❣ ❣ ❣ ❣ s s s s s p p p p Pour i ∈ { , , , } soit α i une racine de v p i ( X ) . On a Car ( G ) = − α − − α − − α
00 0 − − α − et ∆( G ) = 2[(4 − α )(4 − α ) − α (4 − α ) − α (4 − α )] .
18e connais trois solutions à l’équation ∆( G ) = 0 et je ne sais pas s’il y en a d’autres.1) p = p = 4 , p = p = 3 alors α = α = 2 et α = α = 1 . Γ( G ) = ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ s s s s s On obtient le groupe de Weyl affine de type ˜ C : G ≃ W ( ˜ C ) .2) p = p = 3 , p = p = 5 alors α = α = 1 et α = τ et α = 3 − τ . Γ( G ) = ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ s s s s s Un calcul simple montre que ( s s s ) = 1 , donc d’après la proposition 16 2) de lasection 4, G = < s , s , s , s > ≃ W ( H ) et il existe z ∈ Z ( G ) − { } , d’où d’aprèsla proposition 3, ( zs ) ∈ N ( G ) . On a G ≃ N ( G ) ⋉ W ( H ) et N ( G ) est un groupecommutatif libre de rang .3) p = p = 5 , p = p = 3 alors α = τ , α = 3 − τ , α = α = 1 . Γ( G ) = ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ s s s s s Ici on voit que G = < s , s , s , s > ≃ W ( H ) et on a les mêmes résultats quedans le cas précédent. Références [1] N. Bourbaki
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