aa r X i v : . [ m a t h . C O ] F e b Repr´esentations lin´eaires des graphes finis
Lucas Vienne
Departement de math´ematiques. Universit´e d’Angers. France
R´esum´e
Let X be a non-empty finite set and α a symmetric bilinear form on a real finitedimensional vector space E . We say that a set G = { U i | i ∈ X } of linear lines in E is an isometric sheaf, if there exist generators u i of the lines U i , and real constants ω and c such that ∀ i, j ∈ X, α ( u i , u i ) = ω , and if i = j then α ( u i , u j ) = ε i,j .c, with ε i,j ∈ {− , +1 } Let Γ be the graph whose set of vertices is X , two of them, say i and j , beinglinked when ε i,j = −
1. In this article we explore the relationship between G andΓ ; we describe all sheaves associated with a given graph Γ and construct the groupof isometries stabilizing one of those as an extension group of Aut(Γ). We finallyillustrate our construction with some examples. Key words: groupe, graphe, automorphisme, transitif
Un entier n ≥ X = { , . . . , n } et on d´efinit un graphe(Γ , X ) par l’ensemble Γ de ses ar`etes qui sont des paires { x, y } de points dis-tincts pris dans l’ensemble X de ses sommets. On notera parfois plus simple-ment Γ le graphe (Γ , X ). Sa matrice E est donn´ee par son ( i, j )-`eme coefficient ε i,j qui vaut − i et j sont li´es (not´e i ∼ j ) et 1 dans le cas contraire.Donnons nous un espace quadratique ( E, α ) c’est-`a-dire un espace vectorielr´eel E de dimension finie muni d’une forme bilin´eaire sym´etrique α . D´efinition 1 (Repr´esentation d’un graphe)
Soient ω et c deux constantes r´eelles et ( E, α ) un espace quadratique. Uneapplication u de X dans ( E, α ) not´ee u : i → u i est une repr´esentation dugraphe (Γ , X ) de param`etres ( ω, c ) si Email address: [email protected] (Lucas Vienne).
Preprint submitted to Elsevier 21 novembre 2018 ∀ i, j ∈ X, α ( u i , u i ) = ω et si i = j , α ( u i , u j ) = ε i,j .c. La matrice S ( u ) de coefficient g´en´eral α ( u i , u j ) ( i, j ∈ X ) est dite matrice dela repr´esentation u . On appellera respectivement rang et degr´e de u le rang de S ( u ) et la dimension de E . On associe `a chaque repr´esentation u : X → E d’un graphe (Γ , X ) la gerbedes droites U i engendr´ees par les u i ( i ∈ X ) : D´efinition 2 (Gerbe isom´etrique)
Un ensemble G = { U i | i ∈ X } de droites vectorielles index´e par X est unegerbe isom´etrique, ou une α -gerbe dans l’espace quadratique ( E, α ) , s’il existeune repr´esentation u d’un graphe (Γ , X ) dans l’espace ( E, α ) telle que pourtout indice i ∈ X , U i = h u i i . On note alors G ( u ) la gerbe G que l’on ditassoci´ee `a la repr´esentation u de Γ . Dans cet article on d´ecrit toutes les gerbes associ´ees `a un graphe Γ donn´e.On montre aussi que le groupe H (Γ) des automorphismes d’un graphe (Γ , X )poss`ede une image naturelle H ( u ) dans le groupe d’automorphismes Aut( G ( u ))de chaque gerbe G ( u ) = {h u i , . . . , h u n i} qui lui est associ´ee. Le th´eor`eme 2prouve qu’en g´en´eral le groupe Aut( G ( u )) est beaucoup plus gros que H ( u )et que sa structure ne d´epend pas de la repr´esentation u , sauf lorsque lesparam`etres ω et c de u ont le mˆeme module ( | ω | = | c | ). Pour finir, quelquesexemples illustrent l’extension du groupe H ( u ) au groupe Aut( G ( u )) ; si Γest un carr´e, le groupe Aut( G ( u )) s’identifie au groupe d’isom´etries d’un cubetandis que si Γ est un pentagone, le groupe Aut( G ( u )) s’identifie au grouped’isom´etries d’un dod´eca`edre.Un deuxi`eme article, en pr´eparation, classe les graphes conduisant `a un groupeAut( G ( u )) op´erant doublement transitivement sur la gerbe G ( u ). (Γ , X ) Terminologie.
Une forme bilin´eaire sym´etrique α ´etant donn´ee sur un es-pace vectoriel r´eel E , on appelle matrice de Gram d’un n -uplet de vecteurs( u , . . . , u n ) la matrice Gram α ( u , . . . , u n ) dont le coefficient de position ( i, j )est α ( u i , u j ). Le r´esultat suivant est obtenu par des arguments ´el´ementaires : Proposition 1
Soit S = ( S i,j ) ≤ i,j ≤ n une matrice sym´etrique de rang r dans M n ( R ) et E = R r . . Il existe une forme bilin´eaire sym´etrique α sur E et des vecteurs u , . . . , u n dans E tels que S = Gram α ( u , . . . , u n )2 . Si S est aussi la matrice de Gram d’un autre syst`eme de vecteurs v , . . . , v n de E pour une forme bilin´eaire β , il existe une isom´etrie f : ( E, α ) → ( E, β ) telle que pour tout indice i dans X = { , . . . , n } , f ( u i ) = v i .1.1 Notion d’isomorphisme. Op´erations sur les repr´esentations D´efinition 3
Deux repr´esentations u : X → ( U, α ) et v : X → ( V, β ) d’un graphe (Γ , X ) dans des espaces quadratiques ( U, α ) et ( V, β ) sont dites isomorphes s’il existeune isom´etrie f de ( U, α ) sur ( V, β ) telle que f ◦ u = v .Repr´esentation triviale, repr´esentation nulle Soit u : X → ( E, α ) une repr´esentation d’un graphe (Γ , X ) de param`etres( ω, c ). Dire que les vecteurs u i ( i ∈ X ) sont deux `a deux orthogonaux ´equivaut`a dire que le param`etre c est nul. Dans ce cas nous dirons que la repr´esentation u est triviale . Si maintenant la forme bilin´eaire α est nulle, les deux param`etres ω et c de u sont nuls, et nous dirons que la repr´esentation u est nulle . Somme
Soient u : X → ( U, α ) et v : X → ( V, β ) deux repr´esentations d’un graphe(Γ , X ) associ´ees aux param`etres ( ω u , c u ) et ( ω v , c v ), et U ⊕ V la somme directeorthogonale de U et V . L’application w : X → U ⊕ V donn´ee par w i = u i + v i pour tout i ∈ X est une repr´esentation de (Γ , X ) dans l’espace U ⊕ V dematrice S ( w ) = S ( u ) + S ( v ) et de param`etres ω w = ω u + ω v et c w = c u + c v .On dit que w est la somme de u et v , et on la note w = u + v . Remarque.
L’addition des repr´esentations d’un graphe Γ est associative, `aisomorphisme pr`es : si u, v et w sont trois repr´esentations de Γ alors( u + v ) + w ≃ u + ( v + w ). Repr´esentation r´eduite
Soit u : X → ( E, α ) une repr´esentation de rang r d’un graphe (Γ , X ), V unsuppl´ementaire dans E de l’espace U = h u , . . . , u n i , N = U ∩ U ⊥ et R unsuppl´ementaire de N dans U qui est donc de dimension r . Notant p et q lesprojections sur R et N ⊕ V associ´ees `a la d´ecomposition E = R ⊕ ( N ⊕ V ),on v´erifie simplement que ∗ p ◦ u : X → R est une repr´esentation de Γ de matrice S ( p ◦ u ) = S ( u ) etde rang r = dim R . ∗ q ◦ u : X → N ⊕ V est une repr´esentation nulle. ∗ u = p ◦ u + q ◦ u est donc u est la somme d’une repr´esentation de degr´e r et d’une repr´esentation nulle. De plus, pour toute autre d´ecomposition de U en somme R ′ ⊕ N les repr´esentations de Γ sur R et R ′ sont visiblementisomorphes. R´esumons : Proposition 2 (Repr´esentation r´eduite)
Une repr´esentation u : X → ( E, α ) est dite r´eduite si son degr´e d = dim E est ´egal au rang r de sa matrice S ( u ) . Toute repr´esentation u d’un graphe (Γ , X ) est la somme d’une repr´esentation nulle et d’une repr´esentation r´eduite,uniquement d´etermin´ee `a isomorphisme pr`es. .1.2 Classification Soit (Γ , X ) un graphe et u : X → ( E, α ) une repr´esentation r´eduite de Γ.Sa matrice S ( u ) ne d´ependant que des param`etres ω et c (d’apr`es (1)), on lanote aussi S ( u ) = S ( ω, c ). Donnons nous inversement un couple de r´eels ( ω, c )et la matrice S ( ω, c ) qui lui est associ´ee. La proposition 1 nous montre qu’`aisomorphisme pr`es, il existe une unique repr´esentation r´eduite u : X → ( E, α )dont la matrice est S ( u ) = S ( ω, c ). Ainsi, Th´eor`eme 1
Soit (Γ , X ) un graphe. . L’application qui associe `a toute repr´esentation u : X → E de Γ le couple ( ω, c ) de ses param`etres dans R est surjective. Deux repr´esentations r´eduitesde Γ sont isomorphes si et seulement si elles ont les mˆemes param`etres. . Le degr´e d’une repr´esentation r´eduite de matrice S (1 , c ) est le rang de cettematrice, c’est-`a-dire n − µ ( c ) o`u n = | X | et µ ( c ) est la multiplicit´e de c commeracine du polynˆome χ ( x ) = det( S (1 , x ) .1.2 Automorphismes d’un graphe et des gerbes associ´eesNotations usuelles. `A toute permutation σ ∈ S X associons sa matrice P σ quiest de type n × n et dont le ( j, i )-`eme terme vaut P σ,j,i = δ j,σ ( i ) (o`u δ est lafonction de Kronecker usuelle). Pour toute matrice M de type n × n posons σ M = P σ .M.P − σ , et notons enfin stab( M ) le stabilisateur de M dans S X ,c’est-`a-dire l’ensemble des permutations σ ∈ S X telles que σ M = M . (Γ , X )Soit E la matrice d’un graphe Γ et H (Γ) le groupe de ses automorphismes ,c’est-`a-dire le sous-groupe du groupe S X des permutations de X = { , . . . , n } qui pr´eservent l’ensemble Γ de ses ar`etes. On v´erifie que pour σ dans S X , lamatrice σ E est la matrice du graphe σ (Γ), donc le stabilisateur dans S X dugraphe Γ est aussi le stabilisateur de sa matrice E : H (Γ) = stab( E ), ou encore : ∀ σ ∈ S X , σ E = E ⇐⇒ σ (Γ) = Γ. Soit u : X → ( E, α ) une repr´esentation r´eduite non triviale d’un graphe (Γ , X )o`u, pour ´eviter des discussions sans grand int´erˆet, on suppose que | X | ≥ automorphisme de la gerbe G ( u ) = {h u i . . . , h u n i} associ´ee `a larepr´esentation u toute isom´etrie ϕ de ( E, α ) qui induit une permutation del’ensemble G ( u ) par ϕ ( h u i i ) = h ϕ ( u i ) i (pour tout i ∈ X ). On note Aut( G ( u ))le groupe de ces automorphismes. 4 n exemple. Choisissons une permutation σ dans le groupe H = H (Γ) des au-tomorphismes du graphe (Γ , X ). Les matrices E et σ E ´etant ´egales, les syst`emesde vecteurs ( u , . . . , u n ) et ( u σ (1) , . . . , u σ ( n ) ) ont mˆeme matrice de Gram etmˆeme rang, r = dim E . Il existe donc, d’apr`es la proposition 1, une isom´etrie f σ de ( E, α ) v´erifiant, pour tout i ∈ X , f σ ( u i ) = u σ ( i ) . Par suite f σ est unautomorphisme de la gerbe G ( u ), et on v´erifie simplement que l’application f : H → Aut( G ( u )) qui associe f σ `a chaque σ ∈ H est un homomorphisme degroupes. Une g´en´eralisation. ´Etudions les automorphismes ϕ de la gerbe G ( u ) tels que,pour une permutation convenablement choisie σ ∈ S X , on ait(3) ∀ i ∈ X , h ϕ ( u i ) i = h u σ ( i ) i .Il existe, dans ce cas, un syst`eme de scalaires ν = ( ν , . . . , ν n ) tels que(4) ∀ i ∈ X , ϕ ( u i ) = ν i .u σ ( i ) .Montrons qu’alors les ν i , pour i ∈ X , sont tous dans l’ensemble {− , } .D’apr`es la proposition 1, ϕ est une isom´etrie, donc un automorphisme de lagerbe G ( u ), si et seulement si les matrices de Gram des syst`emes de vecteurs( u , . . . , u n ) et ( ν .u σ (1) , . . . , ν n .u σ ( n ) ) sont ´egales, autrement dit si pour i = j , α ( u i , u j ) = α ( f ( u i ) , f ( u j )) = α ( ν i .u σ ( i ) , ν j .u σ ( j ) ) = ν i .ν j .ε σ ( i ) ,σ ( j ) .c = ε i,j .c ,soit encore puisque, la repr´esentation u ´etant non triviale, c est non nul :(5) ∀ i, j ∈ X , ν i .ν j .ε σ ( i ) ,σ ( j ) = ε i,j .Mais comme | X | ≥
3, pour trois indices i, j, k distincts dans X , il vient1 = | ν i .ν j | = | ν i .ν k | = | ν j .ν k | , d’o`u l’on tire 1 = | ν i | = | ν j | = | ν k | , doncle n -uplet ν = ( ν , . . . , ν n ) est `a valeurs dans {− , } . La condition (5) noussugg`ere la D´efinition 4
Deux matrices M et N de mˆeme type n × n sont dites associ´ees s’il existe unesuite ν , . . . , ν n de coefficients, tous pris dans {− , } tels que ∀ i, j, ≤ i, j ≤ n, M i,j = ν i .ν j N i,j On peut alors r´esumer la discussion qui pr´ec`ede par la
Proposition 3
Un automorphisme ϕ de la gerbe G ( u ) est associ´e `a une permutation σ dans S X par la relation (3) si et seulement si les matrices E et σ E sont associ´ees.Il existe, dans ce cas, un unique n -uplet ν = ( ν , . . . , ν n ) de coefficients touspris dans {− , } tels que ∀ i ∈ X , ϕ ( u i ) = ν i .u σ ( i ) .L’isom´etrie ϕ est dite associ´ee au couple ( σ, ν ) et not´ee ϕ = f σ,ν .
5n munit maintenant l’ensemble G des couples ( σ, ν ) ∈ S X × {− , } n satis-faisant `a la condition (5) d’une structure de groupe pour laquelle l’application f : G → Aut( G ( u )) donn´ee par f ( σ, ν ) = f σ,ν est un morphisme de groupes.Choisissant deux ´el´ements ( σ, ν ) et ( σ ′ , ν ′ ) dans G , les isom´etries f σ,ν et f σ ′ ,ν ′ de ( E, α ) qui leurs sont associ´ees v´erifient f σ,ν ◦ f σ ′ ,ν ′ = f σ ′′ ,ν ′′ avec σ ′′ = σ ◦ σ ′ et pour tout i ∈ X, ν ′′ i = ν σ ′ ( i ) .ν ′ i .Ceci nous conduit `a noter ν σ ′ le n -uplet donn´e par ∀ i ∈ X , ν σ ′ i = ν σ ′ ( i ) ,et `a d´efinir sur G la loi ∗ en posant, pour ( σ, ν ) et ( σ ′ , ν ′ ) dans G (6) ( σ, ν ) ∗ ( σ ′ , ν ′ ) = ( σ ◦ σ ′ , ν σ ′ .ν ′ ).On v´erifie alors simplement la Proposition 4
L’ensemble G des couples ( σ, ν ) ∈ S X ×{− , } n satisfaisant `a la condition (5) est mumi d’une structure de groupe par la relation (6) , pour laquelle l’applica-tion f : ( σ, ν ) → f σ,ν devient un morphisme de G dans le groupe Aut( G ( u )) .On note G ( u ) l’image de G dans Aut( G ( u )) par ce morphisme Nous pouvons maintenant compl´eter la description du groupe Aut( G ( u )) : Th´eor`eme 2
Soit u une repr´esentation r´eduite et non triviale d’un graphe (Γ , X ) dans unespace quadratique ( E, α ) . On suppose de plus | X | ≥ . . Lorsque les droites h u i i de la gerbe G ( u ) = {h u i . . . , h u n i} sont deux `a deuxdistinctes, le morphisme f : G → Aut( G ( u )) est un isomorphisme et on a G ≃ G ( u ) = Aut( G ( u )) . . Lorsque les modules des param`etres ω et c de u sont distincts ( | ω | 6 = | c | ) ,les droites de la gerbe G ( u ) sont deux `a deux distinctes.D´emonstration . Par d´efinition, tout automorphisme ϕ de la gerbe G ( u ) = {h u i . . . , h u n i} induit une permutation de l’ensemble G ( u ). Lorsque les n droites h u i . . . , h u n i sont deux `a deux distinctes il existe donc une permutation σ de X telle quepour tout indice i , ϕ ( h u i i ) = h u σ ( i ) i , ce qui n’est rien d’autre que la relation(3) ci-dessus. La proposition 3 nous montre qu’alors il existe un ´el´ement ( σ, ν )dans G tel que ϕ = f σ,ν , et ceci prouve la surjectivit´e du morphisme f .Un ´el´ement ( σ, ν ) du groupe G est dans le noyau du morphisme f si et seule-ment si pour tout indice i ∈ X , f σ,ν ( u i ) = ν i .u σ ( i ) = u i . Mais les n droites h u i i ´etant distinctes ces ´egalit´es impliquent σ ( i ) = i et ν i = 1 pour tout indice i dans X . D’o`u l’injectivit´e.2 . On montre maintenant, par contraposition, que si ( | ω | 6 = | c | ), les droites h u i . . . , h u n i sont deux `a deux distinctes. Si, pour deux indices i et j distincts,on a h u i i = h u j i , il existe un nombre ε non nul tel que u j = εu i et donc6 ( u i , u j ) = ε.α ( u i , u i ) = ε.ω = ε i,j .c , o`u ε i,j = ± α ( u i , u j ) = ε − .α ( u j , u j ) = ε − .ω .Mais la repr´esentation u ´etant non triviale, on a c = 0, donc ω = 0, d’o`u l’ond´eduit que ε = ε − puis | ε | = | ε i,j | = 1 et enfin | ω | = | c | . (cid:3) ´Etude du cas particulier | ω | = | c | On suppose encore que la repr´esentation u : X → ( E, α ) est r´eduite, que | ω | = | c | et que | X | ≥ G ( u ) associ´ee `a une repr´esentation u : X → ( E, α ) en multipliant u par un scalaire non nul ou en rempla¸cant α par − α . L’´etude du grouped’automorphismes de la gerbe G ( u ) se ram`ene donc toujours au cas o`u ω = 1,ce qu’on suppose dans la suite. Quitte `a r´eordonner les ´el´ements de X , on peut´ecrire G ( u ) = {h u i . . . , h u m i} o`u m ≤ n et les droites h u i i sont deux `a deuxdistinctes pour 1 ≤ i ≤ m . Notons Y = { , . . . , m } et (Γ Y , Y ) la restrictiondu graphe (Γ , X ) `a Y , c’est-`a-dire le graphe dont l’ensemble des sommets est Y et dont les ar`etes sont celles de (Γ , X ) qui sont contenues dans Y .Le th´eor`eme suivant ram`ene l’´etude de la repr´esentation u : X → ( E, α ) et dugroupe Aut( G ( u )) `a celle de sa restriction v `a Y , qui rel`eve du th´eor`eme 2 : Th´eor`eme 3
Soit v : Y → ( E, α ) la restriction au graphe (Γ Y , Y ) de la repr´esentation u : X → ( E, α ) . Alors, . on a G ( u ) = {h u i . . . , h u n i} = {h u i . . . , h u m i} = G ( v )2 . les groupes Aut( G ( u )) et Aut( G ( v )) sont ´egaux. . la repr´esentation v : Y → ( E, α ) du graphe Γ Y est r´eduite et non triviale.D´emonstration .Les points 1 et 2 sont imm´ediats.3. L’´egalit´e G ( u ) = G ( v ) prouve que les matrices Gram( u , . . . , u n ) et Gram( v , . . . , v m )ont le mˆeme rang r , aussi ´egal `a la dimension de E , donc v : Y → ( E, α ) estune repr´esentation r´eduite. Elle est non triviale car u l’est. (cid:3) Commentaires
En fait l’in´egalit´e stricte |G ( u ) | < | X | ne se produit que lorsque le graphe aune structure assez particuli`ere que l’on regarde maintenant. On introduit quelques notations.
Notons ” ≃ ” la relation ´equivalence sur X donn´ee par i ≃ k si h u i i = h u k i . Notant Y = { , . . . , m } , chaque point i de X est donc ´equivalent `a un unique point j de Y que l’on note j = π ( i ). Notonsaussi X j = X π ( i ) la classe de l’´el´ement i ∈ X , et pour j ∈ Y , X + j (resp. X − j )d´esigne l’ensemble des indices i de X j tels que u i = u j (resp. u i = − u j ). Enfinon applique aux exposants la r`egle des signes usuelle, par exemple X + − j = X − j .7 roposition 5 Soit u une repr´esentation du graphe (Γ , X ) de param`etres (1 , c ) , o`u c = ± . . L’ensemble des ar`etes qui lient deux ´el´ements A et B parmi X +1 , X − , . . . , X + m , X − m est soit vide, soit l’ensemble de toutes les ar`etes { a, b } ( pour ( a, b ) ∈ A × B ) .On note A B le premier cas A ∼ B le second. . Pour deux indices i et j distincts dans Y on a X + i ∼ X + j ⇐⇒ X + i X − j ⇐⇒ X − i X + j ⇐⇒ X − i ∼ X − j . Pour tout indice i dans Y on a , a . si c = 1 , X + i X + i , X − i X − i et X + i ∼ X − i , b. si c = − , X + i ∼ X + i , X − i ∼ X − i et X + i X − i .D´emonstration (la figure symbolique ci-dessous pr´esente un schema possibledu graphe dans les cas c = 1 et c = − A et B symbolise le graphe form´e de toutes les paires { a, b } (pour( a, b ) ∈ A × B )).cas c = 1 cas c = − A et B deux ensembles parmi X +1 , X − , . . . , X + m , X − m , i, i ′ deux indicespris dans A et j, j ′ deux indices pris dans B , donc u i ′ = u i et u j ′ = u j .Si A = B on a ε i,j .c = α ( u i , u j ) = α ( u i ′ , u j ′ ) = ε i ′ ,j ′ .c ,donc { i ′ , j ′ } est une ar`ete si et seulement si { i, j } en est une. De plus si j ′′ estdans B − alors u j ′′ = − u j et donc ε i,j ′′ .c = α ( u j ′′ , u i ) = − α ( u j , u i ) = − ε i,j .c ,donc { i, j ′′ } est une ar`ete si et seulement si { i, j } n’en est pas une, ce quiprouve 1 et 2 lorsque A et B sont distincts.Si A = B et i = j comme u i = u j , il vient ε i,j .c = α ( u i , u j ) = α ( u i , u i ) = 1,donc le coefficient ε i,j = c ne d´epend que de c , et deux points de A sont li´essi c = −
1, et non li´es si c = 1. Ceci prouve 3 et termine la d´emonstration. (cid:3) Conclusion
Les th´eor`emes 2 et 3 nous donnent une description compl`ete du groupe desautomorphismes d’une gerbe G ( u ) en fonction du graphe (Γ , X ) dont elle pro-vient. Dans les exemples ´el´ementaires qui suivent, on montre que souvent legroupe G ( u ) des automorphismes de la gerbe est plus gros que le groupe H (Γ)8es automorphismes du graphe (Γ , X ). Dans un travail en cours nous utili-sons ces r´esultats pour d´eterminer toutes les gerbes isom´etriques G ( u ) dont legroupe d’automorphismes agit deux fois transitivement sur G ( u ). Dans chacun des exemples qui suivent on donne :Le graphe (Γ , X ) par sa matrice E = S (1 , S (1 , c ) et son d´eterminant χ ( c ) = det( S (1 , c )) dont les racines fournissent les repr´esentations de rang r < n du graphe. Si c est une racine de χ ( c ) de multiplicit´e µ ( c ), la matrice S (1 , c ) est de rang r = n − µ ( c ), donc associ´ee `a une repr´esentation du graphe(Γ , X ) dans un espace de dimension r . On repr´esente dans chaque cas unsyst`eme de vecteurs u , . . . , u n qui r´ealisent la repr´esentation correspondante.Pour des raisons purement graphique on a limit´e les exemples aux cas o`u laforme quadratique donn´ee par la matrice S (1 , c ) est positive. E = − − − − − − . S (1 , c ) = − c − c − c − c − c − c , X = − (2 c −
1) ( c + 1) c = − − < c < / c = 1 / c = −
1, la matrice S (1 , c ) est de rang 1 et le triangle est repr´esent´e dansla droite R . Les trois sommets du triangle sont envoy´es sur un mˆeme point,par exemple 1. Ce type de repr´esentation (sur un point) ne peut avoir lieu quepour les graphes complets.Pour c = 1 /
2, la matrice S (1 , c ) positive, est de rang 2 et le triangle estrepr´esent´e dans le plan euclidien R . C’est sa repr´esentation usuelle comme9riangle ´equilat´eral, centr´e `a l’origine.Pour − < c < /
2, la matrice S (1 , c ) est d´efinie positive de rang 3. Letriangle est repr´esent´e par les trois vecteurs issus d’un mˆeme sommet dansun t´etra`edre droit de base un triangle ´equilat´eral. Une telle repr´esentation estune combinaison lin´eaire `a coefficients positifs des deux pr´ec´edentes.Lorsque c [ − , /
2] la repr´esentation est de degr´e trois, dans un espacequadratique donn´e par une forme non positive. E = − − − − − − − − , S (1 , c ) = − c c − c − c − c cc − c − c − c c − c , X = − (3 c + 1) ( c − c = 1 c = − / c = − /
3, la matrice S (1 , c ) est positive de rang 3. Le carr´e est repr´esent´epar la gerbe des quatre grandes diagonales d’un cube, qui font deux `a deux unangle dont le cosinus vaut − / D alors que le groupe de la gerbe associ´ee estle groupe du cube, d’ordre 48.Pour c = 1, la matrice S (1 , c ) est positive de rang 1. Le carr´e est repr´esent´esur la droite R . Il s’envoie donc sur {− , +1 } . Deux sommets du carr´e ontmˆeme image lorsqu’ils sont diagonalement oppos´es.Pour − / < c <
1, la matrice S (1 , c ) est d´efinie positive de rang 4. Onvisualise plus difficilement les gerbes associ´ees toutefois ce sont toujours descombinaisons lin´eaires `a coefficients positifs des deux pr´ec´edentes.Lorsque c [ − / ,
1] la repr´esentation est de degr´e trois, dans un espacequadratique donn´e par une forme non positive.10 .3.3 Pentagone E = − − − − − − − − − − , S (1 , c ) = − c c c − c − c − c c cc − c − c cc c − c − c − c c c − c , X = ( − c ) Pour c = ±√ /
5, la matrice S (1 , c ) est positive de rang 3. On obtient cesrepr´esentations en consid´erant cinq des six droites passant par les centres desfaces oppos´ees d’un dod´eca`edre. Elles forment deux `a deux un angle dontle cosinus est ±√ /
5. Si c = √ /
5, pour j = i + 1 mod (5), les points i et j de X = { , , , , } sont li´es, donc ( u i | u j ) = −√ /
5. On obtient larepr´esentation crois´ee du pentagone, tandis que pour c = −√ /
5, les mˆemespoints i et j sont li´es, donc ( u i | u j ) = √ / U = h u i , . . . , U = h u i est le stabilisateur de U dans le groupe des isom´etries de l’icosa`edre. Il estdonc isomorphe au groupe D . c = √ / c = −√ / J’appelle hexagone point´e le graphe form´e sur six points par un pentagone etun point isol´e. Ce cas est int´eressant parce qu’il sera fortement g´en´eralis´e parla suite. 11 = − − − − − − − − − − , S (1 , c ) = − c c c − c c − c − c c c cc − c − c c cc c − c − c c − c c c − c cc c c c c , X = − ( − c ) Comme on le voit le polynˆome χ ( c ) est un multiple du pr´ec´edent, ce quin’est gu`ere ´etonnant puisque le pentagone apparait comme un sous-graphe del’hexagone point´e.Les deux repr´esentations, associ´ees aux cas c = √ / c = −√ / u . Mais comme le point 6 n’est li´e `a aucun des points 1 , , , ,
5, l’angle( u i , u ) (pour 1 ≤ i ≤
5) est le compl´ementaire des angles ( u i , u i +1 ) ( i , entiermodulo 5), autrement dit si l’angle ( u i , u i +1 ) est aigu alors ( u i , u ) est obtus etvice versa. Dans les deux cas le groupe H d’automorphismes du graphe est legroupe di´edral D tandis que le groupe d’automorphismes de la gerbe imageest le groupe d’isom´etries du dod´eca`edre, agissant deux fois transitivement surl’ensemble G ( u ) = { U , . . . , U } des six droites vectorielles. Livres [1] Dembowski, P.
Finite geometries.
Springer-Verlag (1968)[2] Norman Biggs.
Finite groups of automorphisms.
London Mathematical Society. (1970)[3] Norman Biggs.
Algebraic Graph Theory.
Cambridge University Press, (1993)[4] P. J. Cameron and J.H.Van Lint.