Résultat géométrique sur les représentations de groupes réductifs sur un corps ultramétrique
aa r X i v : . [ m a t h . N T ] J un RÉSULTAT GÉOMÉTRIQUE SUR LES REPRÉSENTATIONS DE GROUPESRÉDUCTIF SUR UN CORPS ULTRAMÉTRIQUE
RODOLPHE RICHARD T ABLE DES MATIÈRES
1. Hypothèses et Énoncé 32. Notations 53. Propositions 74. Démonstration 11Annexe A. Normes ultramétriques 12Annexe B. Espaces analytiques d’après Berkovich 13Annexe C. Immeubles euclidiens de Bruhat-Tits 17Annexe D. Convexité 18Références 22N
OTES D ’É DITION
Ce texte est une réédition d’un article publié au sein de la thèse de doctorat [Ric09c]de l’auteur, datant de 2009. Il s’agit de son Chapitre V. Hormis la présente section,cette édition est pour l’essentiel un verbatim , avec quelques corrections mineures, etune correction majeure, ne concernant que la caractéristique positive, que nous dis-cutons p. 19 ; espérons qu’en revanche cette édition n’introduit que le moins possiblede maladresses.Cette édition allège également l’annexe de deux sections, de rappels sur les varié-tés algébriques et groupes algébriques ; le lecteur, si besoin, saura les retrouver aisé-ment dans d’autres références, par ex. [Bor91] et [PR94], qui sont standard, exhaus-tives, et bien meilleures. On abrège enfin les rappels sur les normes ultramétriques etremarque que l’on peut probablement se passer de recourir à l’énoncé A.1. Leitfaden . À quelle fin ce texte, dans quel contexte s’inscrit-il ? C’est un analogue ul-tramétrique de [RS09]. Ce dernier traite du cas archimédien . Une version de [RS09]est contenue dans l’article publié [RS17], qui améliore ce résultat, en y développantde plus des « conséquences », plus importantes du point de vue dynamique. Ce dé-veloppement, postérieur à [Ric09c], une astuce en fait, y est écrit de telle sorte que,connaissant les résultats ultramétriques ici présents, on obtient par la preuve mot-à-not l’analogue ultramétrique des résultats de [RS17], ces « conséquences » y compris.Des applications dynamiques de [RS09] et du présent texte sont développées auChapitre VI de la thèse sus-citée.Les résultats de [RS17] dans leur intégralité (et pas seulement de [RS09]), qui sontarchimédiens, et leur analogue ultramétrique, qui repose sur le présent article, sont à la base du travail de [RZ] en dynamique homogène, qui dépasse de loin ceux de ceChapitre VI.Les travaux de [RZ] sont à leur tour la base du travail [RY17] établissant la conjectured’André-Pink, dans certains cas seulement, mais, en revanche, sous une forme amélio-rée : on y détaille l’équidistribution et l’adhérence topologique en plus de l’adhérencede Zariski.Pour résumer, le texte ici présent est un des socles sur lequel sont bâtis les travauxque nous venons de passer en revue, [RS17], [RZ], [RY17]. Ce texte n’était, jusqu’à pré-sent, pas diponible dans publication à revue par des pairs. Son usage dans dans [RY17]est l’occasion de le rééditer et d’effectuer cette publication.Nimish S
HAH est coauteur de [RS09] et [RS17] ; Tomasz Z
AMOJSKI l’est pour [RZ] ;Andreï Y
AFFAEV pour [RY17].
Mise en perspective.
À l’époque de ce résultat, en 2009, les outils utilisés, immeublesde Bruhat-Tits en relation avec les espaces analytiques de Berkovich, m’apparaissaientinvraisemblablement sophistiqués en mesure du résultat ambitionné. Les outils uti-lisés, dans leur forme aboutie, étaient même assez neufs, contemporains. Avec le re-cul, les résultats ici obtenus peuvent se voir comme une question de stabilité , au sensde la théorie géométrique des invariants de Mumford, mais dans un contexte (ul-tra)métrique plutôt que géométrique : plutôt que de se demander, dans une repré-sentation linéaire, si une orbite donnée est adhérente de Zariski en l’origine 0, il s’agitde savoir si elle s’approche beaucoup de 0, au sens métrique. Les questions de stabi-lité s’étudient naturellement dans espaces de drapeaux « flag varieties » chez Mum-ford, autrement connus comme immeubles sphériques de Tits. L’analogue pour lescorps ultramétriques est l’immeuble de Bruhat-Tits ; l’immeuble sphérique, ou plutôtsa forme vectorielle, est l’immeuble de Bruhat-Tits sur ce corps muni de la structureultramétrique discrète.Une forme métrique, mais archimédienne, de la stabilité était déjà étudiée par lathéorie de Mumford-Ness (voir édition récentes de [MFK94]). Une forme ultramétrique,puis arithmétique, l’était par [Bur92].Cela justifie a posteriori les outils utilisés ici, voire ceux de [RS09]. Pour conclure,mentionnons que c’est ce point de vue « stabilité » d’où provient l’astuce utilisée dansl’article [RS17]. I
NTRODUCTION ORIGINELLE
Cet article adapte les résultats de [RS09] au cas d’un groupe algébrique semisim-ple G sur un corps local k muni d’une valeur absolue ultramétrique |−| .Nous suivons, dans les grandes lignes, la méthode développée dans [RS09] pourle contexte archimédien (dont nos Propositions 3.1 et 3.4 reprennent certains argu-ments). Pour pallier l’absence du théorème de décomposition de Mostow ([Mos55])pour G( k ) ainsi que la propriété de convexité de l’application exponentielle, qui n’estplus partout définie, nous considérons le plongement Θ : I k (G) → G an de l’ immeublede Bruhat-Tits I k (G) de G sur k dans l’ espace analytique G an , au sens de Berkovich,associé à G.Notre démonstration repose en effet sur le Théorème D.2 de l’annexe, qui se basesur les travaux [RTW10] de Bertrand Rémy, Amaury Thuillier et Anette Werner. Ces
1. Dont l’article publié [RS17] est une version augmentée. Voir
Leifaden en page 1.
UR LES REPRÉSENTATIONS ULTRAMÉTRIQUES 3 auteurs généralisent une construction du chapitre 5 de [Ber90], où V. Berkovich se res-treint aux groupes de Chevalley (semi-simples déployés). Le Théorème D.2 met à profitles propriétés de convexité dans I k (G), et remplace la propriété de convexité de l’ap-plication exponentielle de [RS09] par la convexité de fonctions de la forme x ¯¯ f ( x ) ¯¯ (Proposition 3.6) lorsque f est dans k [G], une fonction régulière.La décomposition de Mostow est remplacée par la décomposition moins précise duThéorème D.1 et sa conséquence en la Proposition 2.1. Pour obtenir l’énoncé 2.1, notredémonstration utilise l’existence de points fixes pour l’action de groupes d’isométriescompacts sur les immeubles de Bruhat-Tits. Ces propriétés découlent de l’existencede métriques hyperboliques, et justifient le choix de la géométrie ultramétrique ausens de Berkovich, plutôt que rigide, qui permet de considérer des espaces métriquescomplets.Que Bertrand Remy, Amaury Thuillier et Georges Tomanov reçoivent ici mes remer-ciements pour leur accueil chaleureux et leur conversation enrichissante à l’occasionde mon déplacement à l’institut Camille Jordan de l’université Lyon 1 Claude Bernard.C’est en côtoyant, à l’IRMAR, Antoine Chambert-Loir, Antoine Ducros et JérômePoineau que j’ai pu me familiariser avec les espaces de Berkovich. Que cet article leurtémoigne de ma reconnaissance.C’est la relecture par Emmanuel Breuillard qui a conduit à l’erratum.1. H YPOTHÈSES ET É NONCÉ
Nous convenons qu’un groupe algébrique linéaire , et plus généralement un sous-groupe algébrique linéaire, est supposé affine de type fini , réduit et connexe . La néces-sité de ces hypothèse n’a pas été vérifiée : notons que, comme notre résultat principalne concerne que les groupes de points rationnels, il peut s’appliquer aux groupes nonréduits, quitte à passer au sous-groupe réduit associé. Remarquons aussi que, dans ungroupe algébrique linéaire, le centralisateur d’un sous-groupe algébrique linéaire n’estpas toujours réduit, ni toujours connexe. Par exemple, en caractéristique non nulle p ,le centre de SL( p ) est connexe, de dimension 0 mais a une algèbre de Lie non nulle.En caractéristique 0 le centre de SL(2) n’est pas connexe.Soit G un groupe algébrique linéaire sur un corps k . Étant donnée une représen-tation linéaire de degré fini ρ : G → GL(V), on notera Ad ρ : G → GL( gl (V)) l’action parconjugaison G sur gl (V).(1) Pour g dans G, et un endomorphisme e de V, on a Ad ρ ( g ) = ρ ( g ) e ρ ( g ) − .Pour tout sous-groupe algébrique linéaire H de G, on notera C H (Ad ρ ) l’espace vec-toriel sur k engendré par les coefficients matriciels de l’action de H sur gl (V). L’es-pace C H (Ad ρ ) est formé de fonctions régulières sur H. Étant donné un ensemble Ω depoints de H, nous considérons la propriété suivante.( ∗ ) Tout coefficient matriciel de Ad ρ qui s’annule sur Ω s’annule en fait sur H.Cette propriété est notamment vérifiée si Ω est Zariski dense dans H. Mettons enexergue deux autres conditions sur le H-module V.( ∗∗ ) L’action ρ de H sur V est telle que V H , le plus grand sous-module depoints fixes, a un unique supplémentaire H-stable. RODOLPHE RICHARD ( ∗∗ ′ ) En surcroît de ( ∗∗ ), ce supplémentaire de V H , comme représentationde H, n’a pas de quotient isomorphe à la représentation triviale.La condition ( ∗∗ ) revient à supposer que V ne contient pas d’extension non triviale de la représentation triviale, et la condition ( ∗∗ ′ ) que V ne contient pas non plus d’exten-sion non triviale par la représentation triviale. Les conditions ( ∗∗ ) et ( ∗∗ ′ ) sont auto-matiquement vérifiées si le H-module V est semi-simple. C’est le cas si H est réductifet le corps k de caractéristique nulle. Remarqes :i)
Lorsque la condition ( ∗∗ ) est vérifiée, le supplémentaire H-stable de V H est le noyaud’un unique projecteur H-équivariant de V sur V H (le projecteur de Reynolds , confer [Dem76]). Étant donné un morphisme H-équivariant Φ : V → W entre deux H-modu-les V et W satisfaisant ( ∗∗ ), ce morphisme commute aux projecteurs sur le lieu fixesi V satisfait la condition ( ∗∗ ′ ). ii) En revanche, en caractéristique non nulle p , l’action adjointe de GL( p ) sur gl ( p ) nevérifie pas la condition ( ∗∗ ). Le sous-espace fixe est la droite k · Id formée des homo-théties. Or cette droite n’a pas de supplémentaire stable : c’est déjà le cas pour l’actiondes matrices de permutation sur le sous-espace diagonal. Lorsque p est impair, l’ac-tion induite de GL( p ) sur gl ( p ) k · Id satisfait la condition ( ∗∗ ) car il n’y a pas d’élémentinvariant non nul (cf. [Bou60], §6, Exercice 24). Elle ne satisfait pas la condition ( ∗∗ ′ )car l’action quotient gl ( p ) k · Id . sl ( p ) k · Id est triviale.Il nous faut encore considérer la propriété suivante , de Richardson.( ∗ ∗ ∗ ) Le sous-groupe H de G est « fortement réductif dans » G.En caractéristique nulle elle est satisfaite si et seulement si H est réductif. Un propriétéaisément vérifiable qui implique ( ∗ ∗ ∗ ) est la suivante, dite H est « réductif dans » Gselon les termes de [RS17].( ∗ ∗ ∗ ′ ) L’action de H action sur g est semi-simple.Notre résultat principal est le suivant. Pour motiver cet énoncé nous renvoyonsà [RS09] et [Ric09a]. Théorème 1.1.
Soit ( k , |−| ) un corps local normé ultramétrique, soit G un groupe li-néaire algébrique semisimple connexe sur k , et soit H un sous-groupe algébrique linéairefortement réductif dans G . Notons Z le centralisateur de H dans G . Alors il existe unepartie Y de G( k ) , fermée pour la topologie ultramétrique, et telle que d’une part on ait G( k ) = Y · Z( k ) , d’autre part, étant donnés— une représentation linéaire ρ : G → GL(V) de degré fini et définie sur k , telleque les H -modules gl (V) et C H (Ad ρ ) satisfassent ( ∗∗ ) , et que gl (V) satis-fasse ( ∗∗ ′ ) ,— une partie non vide Ω de H( k ) ayant la propriété ( ∗ ) ,— une norme k−k sur V , supposée homogène relativement à |−| ,il existe une constante c > telle que (2) ∀ y ∈ Y, ∀ v ∈ V, sup ω ∈ Ω °° ρ ( y · ω )( v ) °° ≥ k v k / c .
2. N.d.É. Voir
Erratum p. 19.
UR LES REPRÉSENTATIONS ULTRAMÉTRIQUES 5
Fixons ρ . L’inégalité (2) est vérifiée pour toute constante c lorsque le vecteur v estnul. Le théorème est donc vérifié, avec Y = G( k ), si V est de dimension nulle. Doré-navant nous supposerons que la représentation ρ a un degré non nul . En particulier lesfonctions constantes sont des coefficients matriciels. En effet, tout coefficient diagonalde g Ad ρ ( g )Id V vaut la constante 1. Ainsi C G (Ad ρ ) et C H (Ad ρ ) seront non nuls. Dansce cas, la non vacuité de Ω découle de la condition ( ∗ ).Remarquons que pour établir la formule (2), on peut remplacer Ω par un sous-ensemble Ω b de Ω , car cela a pour effet de diminuer le membre de gauche de l’in-égalité, sans modifier le membre de droite. Montrons que, comme Ω satisfait ( ∗ ), ilexiste un sous-ensemble fini Ω b de Ω satisfaisant la propriété ( ∗ ). Démonstration.
La condition ( ∗ ) signifie que lorsque ω décrit Ω , les morphismes d’é-valuation f f ( ω ), définis sur C H (Ad ρ ), engendrent C H (Ad ρ ) ∨ , le dual algébrique del’epace C H (Ad ρ ). Comme V est de dimension finie, C H (Ad ρ ), qui est un quotient de gl (V) ⊗ gl (V) ∨ , est de dimension finie. Il suffit donc d’extraire de la famille génératrice pré-cédente une base, nécessairement finie, et de choisir pour Ω b un sous-ensemble finide Ω paramétrant cette base. (cid:3) Dorénavant Ω sera supposé borné dans H( k ) . Notre démonstration utilise les énoncés D.2 et D.1 de l’annexe, à laquelle nous ren-voyons pour les définitions et conventions utilisées, en particulier concernant la no-tion de convexité telle que définie dans la section D. Pour plus d’approfondissement,on pourra également consulter [RTW10], ainsi que [Ber90, chapitre 5] pour le cas desgroupes semisimples déployés (« de Chevalley »).Dans la section suivante, nous rappelons la situation et fixons les notations utili-sées jusque la fin de la démonstration, soit les sections 2, 3 et 4. Nous y explicitonsen particulier la partie Y. La première conclusion du Théorème 1.1 résulte de la Pro-position 2.1, que nous déduisons de l’énoncé D.1. Nous énonçons également, avec laProposition 2.2, une variante effective de la seconde conclusion du Théorème 1.1 pourla partie Y construite.Dans la section 3, nous réunissons quelques énoncés indépendants qui seront uti-lisés dans la démonstration de la Proposition 2.2. Les énoncés 3.1 à 3.4 reprennent desarguments de [RS09]. La démonstration de la Proposition 3.6 repose sur l’énoncé D.2.Le cœur de la démonstration de la Proposition 2.2 occupe la section 4.2. N
OTATIONS
Rappelons la situation. Nous désignons par k un corps local muni d’une valeur ab-solue ultramétrique |−| , par G un groupe algébrique linéaire semi-simple sur k , par Hun sous-groupe algébrique linéaire fortement réductif, et notons Z G (H) le centralisa-teur de H dans G, vu comme groupe algébrique affine non nécessairement réduit. No-tons que Z G (H) n’interviendra toutefois que via son groupe Z G (H)( k ) des points ration-nels.Nous nous sommes fixés ρ : G → GL(V), une représentation linéaire de G de de-gré fini non nul et définie sur k et k−k : V → R une norme ( k , |−| )-homogène sur V.Nous notons gl (V) l’algèbre de Lie des endomorphismes de V, et Ad ρ la représentationadjointe (1) de G sur gl (V). Le sous-G-module de la représentation régulière k [G] en-gendré par les coefficients matriciels de Ad ρ est noté C G (Ad ρ ), et le H-module forméde la restriction à H de ces fonctions régulières est noté C H (Ad ρ ). RODOLPHE RICHARD
Nous désignons par Ω une partie bornée non vide de H( k ) sur laquelle aucune fonc-tion régulière non nulle sur H issue de C H (Ad ρ ) ne s’annule identiquement.Notons z le centralisateur de H dans gl (V). D’après l’hypothèse ( ∗∗ ) pour Ad ρ , ilexiste un unique projecteur H-équivariant de gl (V) sur z (cf. Remarque i) en page 4).Comme V est de dimension non nulle, les coefficients diagonaux de h Ad ρ ( h )(Id V )forment un coefficient matriciel constant non nul de Ad ρ . En outre le sous-modulefixe de C H (Ad ρ ) est contenu dans celui de k [H], qui est aussi donné par les fonctionsconstantes. Donc le sous-module fixe de C H (Ad ρ ) est le sous-module formé des fonc-tions constantes, et s’identifie à k , muni de la représentation triviale. Utilisant l’hy-pothèse ( ∗∗ ) pour C H (Ad ρ ) nous obtenons un projecteur H-équivariant de C H (Ad ρ )sur k . En vertu de l’hypothèse ( ∗∗ ′ ) pour Ad ρ , tout morphisme H-équivariant gl (V) → C H (Ad ρ ) commute aux projecteurs π k et π z (cf. Remarque i) en page 4).Nous nous fixons un tore déployé maximal T de G sur k , notonsY(T) = Hom(T,GL(1))le groupe des cocaractères et Λ = Y(T) ⊗ R l’espace vectoriel associé. L’ immeuble deBruhat-Tits de G sur k est noté I k (G). C’est le quotient de G( k ) × Λ par la relationd’équivalence considérée dans [RTW10, (1.3.2)] (cf. [Tit79, 2.1]). Rappelons que G an dé-signe l’espace analytique associé à G, vu comme espace topologique des semi-normesmultiplicatives bornées sur l’algèbre k [G] des fonctions régulières sur G, pour la to-pologie de la convergence simple. Notons θ : I k (G) → G an une application telle quedans l’énoncé D.2, et notons G θ son stabilisateur à droite dans G( k ) qui est compact etouvert.Nous fixons un point o de I k (G), et notons G o son stabilisateur dans G θ . Le grou-pe G o est compact dans G( k ) ([Tit79, 3.2]) et Zariski dense dans G ,[RTW10, Lemma 1.4].Nous notons H o le groupe compact G o ∩ H( k ), et I k (G) H o le lieu fixe de l’action de H o sur I k (G). D’après le Théorème D.1, nous pouvons choisir un compact C de I k (G) telque I k (G) H o = Z G (H)( k ) · C.La notion de convexité utilisée est celle introduite dans la section D.
Définition.
Soit alors Y le lieu des points y de G( k ) tels que dans l’enveloppe convexede H o · y − · o , il se trouve un point de C.On notera que la construction de Y ne dépend que (de G, de H et) du choix de θ ,de o et de C. La partie Y ne dépend donc ni de ρ , ni de Ω . L’énoncé suivant démontreque la partie Y est fermée dans G( k ) et satisfait la première condition du Théorème 1.1. Proposition 2.1.
La partie Y de G( k ) est fermée ; l’intersection Y ∩ Z G (H)( k ) est compacte ;on a G( k ) = Y · Z G (H)( k ) .Démonstration. Montrons que la partie Y est fermée dans G( k ). Par construction, lapartie Y est invariante à gauche sous le stabilisateur de o . C’est donc une partie stablesous G o , qui est ouvert. Le complémentaire de Y est donc ouvert, car stable sous G o .Montrons que le saturé Y · Z G (H)( k ) de Y par Z G (H)( k ) vaut G( k ). Soit g dans G( k ),et formons l’enveloppe convexe 〈 H o g − o 〉 de H o g − o dans I k (G). L’action de H o surle convexe 〈 H o g − o 〉 a au moins un point fixe, d’après [Tit79, 2.3.1]. Choisissons-enun, disons p . Comme p est fixe sous H o , il s’écrit, d’après D.1, sous la forme z − γ avec γ dans un compact C et z dans Z G (H)( k ). Comme l’action de z commute à cellede H o , nous avons z H o g − o = H o zg − o . Comme l’action de z sur I k (G) échange lesappartements, et est affine sur chaque appartement, nous avons 〈 H o zg − o 〉 = 〈 z H o g − o 〉 = z 〈 H o g − o 〉 . UR LES REPRÉSENTATIONS ULTRAMÉTRIQUES 7
Par conséquent 〈 H o zg − o 〉 contient le point zp = z ( z − γ ) = γ , qui appartient à C. Au-trement dit g z − appartient à Y, ce qu’il fallait démontrer.Montrons que l’intersection Y ∩ Z G (H)( k ) est compacte. Tout d’abord c’est l’inter-section de deux fermés, donc c’est un fermé. Comme le stabilisateur G o de o est com-pact, et que l’action de G( k ) sur I k (G) est propre, il suffit de montrer que l’intersec-tion (Y − · o ) ∩ (Z G (H)( k ) · o ) est relativement compacte. Or o étant fixe sous G o , doncsous H o , l’ensemble Z G (H)( k ) · o est contenu dans le lieu fixe I k (G) H o . Mais, par dé-finition même de Y, l’intersection de Y − · o avec I k (G) H o est contenue dans le com-pact C. (cid:3) Ceci étant, il nous reste à démontrer la seconde condition du Théorème 1.1, au-trement dit à établir la formule (2). Quitte à changer la constante c , la validité de laformule (2) ne dépend de la norme k−k qu’à équivalence près. Or, V étant de dimen-sion finie, toutes les normes (homogènes) sont équivalentes. Soit B une boule du dualde V. Quitte à appliquer la section C.1, nous pouvons supposer que les hypothèses dela Proposition 2.2 concernant la norme k−k sont satisfaites. Proposition 2.2.
La situation est celle du Théorème 1.1. Nous utilisons les notationsprécédentes. En particulier ρ et V sont fixés, et nous avons choisi θ , o et C (de sorte, lapartie Y est bien définie).Supposons que Ω soit bornée, et que k−k soit G o -invariante, ultramétrique et neprenne que des valeurs prises par |−| : k → R . Alors la formule (2) est satisfaite avec laconstante c /( c c c ) , oùc = + sup f ∈ C G (Ad ρ ) π k ( f )sup ω ∈ Ω ¯¯ f ¯¯ ( ω ) , c = min ω ∈ Ω ¯¯¯¯¯¯ ρ ( ω ) ¯¯¯¯¯¯ − , c = sup f ∈ C G (Ad ρ ) ¯¯ f ¯¯ ( θ ( o ))sup k ∈ K ¯¯ f ¯¯ ( k ) et c sont obtenues en appliquant les Propositions 3.2, 3.1, 3.5, et 3.9 respectivement.
3. P
ROPOSITIONS
Dans cette section nous réunissons quelques arguments généraux qui serviront àla démonstration de la Proposition 2.2. On pourra passer directement à la section sui-vante et se reporter aux énoncés ci-dessous au besoin. Les notations sont celles intro-duites dans la section précédente.
Proposition 3.1.
Il existe une constante positive inversible c telle que pour tout élé-ment g de G( k ) et tout vecteur v de V , on ait (3) sup ω ∈ Ω °° ρ ( g · ω )( v ) °° ≥ c · sup ω ∈ Ω °° ρ ( ω − · g · ω )( v ) °° . Démonstration.
Par définition de la norme d’opérateur ¯¯¯¯¯¯ ρ ( ω ) ¯¯¯¯¯¯ , pour tous g , ω et v comme dans l’énoncé, nous avons l’inégalité(4) °° ρ ( ω − · g · ω ) °° ≥ ¯¯¯¯¯¯ ρ ( ω ) ¯¯¯¯¯¯ − · °° ρ ( g · ω )( v ) °° .Posons c = inf ω ∈ Ω °° ρ ( ω ) °° − . Comme Ω est une partie bornée et non vide, son imagepar ω ¯¯¯¯¯¯ ρ ( ω ) ¯¯¯¯¯¯ − est une partie bornée et non vide de R < . La constante c est doncpositive et inversible, et répond à l’énoncé. (cid:3)
3. N.d.É. : Cette hypothèse est vraisemblablement superfétatoire, si on considère la boule unité B du dualaprès être passé à une extension ultramétrique k ′ de k à groupe de valuation non discret (dense dans R > c .4. Voir la note de pied de page précédente. RODOLPHE RICHARD
Proposition 3.2.
Il existe une constante positive inversible c telle que pour tout coeffi-cient matriciel f dans C H (Ad ρ ) , on ait (5) sup ω ∈ Ω ¯¯ f ( ω ) ¯¯ ≥ c ¯¯ π k ( f ) ¯¯ . Démonstration.
Comme Ω est borné, l’application k−k Ω : f sup ω ∈ Ω ¯¯ f ¯¯ ( ω ) est biendéfinie sur C H (Ad ρ ). C’est manifestement une semi-norme. D’eprès la condition ( ∗ ),elle ne s’annule pas : c’est une norme. Comme C H (Ad ρ ) est de dimension finie, l’ap-plication linéaire π k , de C H (Ad ρ ) sur k , est un opérateur borné, relativement à k−k Ω et |−| . Si ||| π k ||| désigne sa norme en tant qu’opérateur (C H (Ad ρ ), k−k Ω ) → ( k , |−| ), alors(6) ||| π k ||| · sup ω ∈ Ω ¯¯ f ( ω ) ¯¯ ≥ ¯¯ π k ( f ) ¯¯ .Par conséquent c = ||| π k ||| convient si ||| π k ||| 6=
0. Si , en revanche ||| π k ||| =
0, alors c convient. Quoiqu’il en soit, c = + ||| π k ||| convient toujours. (cid:3) Proposition 3.3.
Pour tout vecteur v de V , pour toute forme linéaire φ dans V ∨ et toutélément g de G( k ) , (7) ω ( ρ ( ω − · y · ω )( v ) | φ ) définit une fonction sur H (resp. G ) appartenant à C H (Ad ρ ) (resp. C G (Ad ρ ) ).Démonstration. Comme e ( e ( v ) | φ ) est une forme linéaire sur gl (V), l’application (7)est un coefficient matriciel de l’action Ad ρ . (cid:3) Proposition 3.4.
Nous utilisons les hypothèses du Théorème 1.1 concernant la repré-sentation ρ . Pour toute forme k -linéaire φ dans V ∨ , la fonction constante sur H(8) π k µ ω µ ρ ³ ω − · y · ω ´ ( v ) ¯¯¯¯ φ ¶¶ vaut (9) µ π z ³ ρ ( y ) ´ ( v ) ¯¯¯¯ φ ¶ et, lorsque y varie dans G , définit une fonction régulière appartenant à C G (Ad ρ ) et in-variante sous l’action par conjugaison de H sur G .Démonstration. La fonction y ¡ π z ( ρ ( y ))( v ) ¯¯ π ¢ est manifestement régulière, et est in-variante pour l’action par conjugaison de H sur G, vu que, pour ω dans H,(10) ¡ π z ( ρ ( ω y ω − ) ¢ = ρ ( ω ) π z ( ρ ( y )) ρ ( ω − ) = π z ( ρ ( y ))car π z est H-équivariant et d’image dans z .Pour établir l’égalité de (8) et (9), considérons l’application Φ : gl (V) → C H (Ad ρ ) quienvoie e vers le coefficient matriciel ω ¡ ρ ( ω ) e ( ρ ( y )) ρ ( ω − ) ¯¯ φ ¢ . C’est une applica-tion H-équivariante, et, d’après la Remarque i) en page 4, elle commute aux projec-teurs π z et π k . Autrement dit π k ( ω ( ρ ( ω ) e ρ ( ω − )( v ) | φ ) = ω ( ρ ( ω ) π z ( e ) ρ ( ω − )( v ) | φ ).Prenons e = ρ ( y ). Alors le membre de gauche s’identifie à (8), et, d’après (10), le membrede droite s’identifie à (9). (cid:3)
5. En définitive le cas π k = H (Ad ρ ). UR LES REPRÉSENTATIONS ULTRAMÉTRIQUES 9
Proposition 3.5.
Pour tout point o de I k (G) , l’application f sup k ∈ G o ¯¯ f ¯¯ ( k ) et la res-triction de la semi-norme θ ( o ) définissent, sur C G (Ad ρ ) , deux normes comparables.En particulier, il existe une constante positive et inversible c telle que, pour toutefonction f dans C G (Ad ρ ) , on a sup k ∈ G o ¯¯ f ¯¯ ( k ) ≥ c ¯¯ f ¯¯ ( θ ( o )) .Démonstration. L’existence de c découle de la définition de la comparabilité des nor-mes de la section A. D’après cette section, il suffit de vérifier que l’on a bien deuxnormes ( k , |−| )-homogènes.L’application f sup k ∈ G o ¯¯ f ¯¯ ( k ) est bien définie car G o est compact. C’est manifes-tement une semi-norme ( k , |−| )-homogène. Comme G o est ouvert, donc Zariski densedans G, cette semi-norme ne s’annule en aucune fonction régulière. C’est donc unenorme.Quant à θ ( o ), comme il s’agit par définition d’une semi-norme (non nulle, [Ber90,1.1]) multiplicative ( k , |−| )-homogène sur k [G], il suffit de vérifier que c’est en fait unenorme. Comme θ ( o ) est multiplicative, son noyau définit un idéal de k [G]. Comme θ ( o )vaut 1 en 1, c’est idéal est strict. Or le stabilisateur de p dans G( k ) est Zariski dense.Cet idéal définit une sous-variété G( k )-invariante de G : cette sous-variété ou bien estvide ou bien vaut G lui-même. Or G est réduit, et l’idéal considéré ne contient pasl’unité. Par conséquent cet idéal est nul : θ ( p ) ne s’annule pas sur k [G] et a fortiori sur C G (Ad ρ ). (cid:3) L’énoncé suivant est un corollaire à l’énoncé D.2. La notion de convexité est préci-sée dans la section D correspondante, à laquelle nous renvoyons. Mentionnons justeque cette notion de convexité est naturellement induite par la structure affine par mor-ceaux standard sur l’immeuble I k (G). Proposition 3.6 (Convexité) . Pour toute fonction régulière f sur G , l’application p ¯¯ f ¯¯ ( θ ( p )) est convexe sur I k (G) . Il s’agit du Corollaire D.1 au Théorème D.2.
Proposition 3.7 (Hyperbolicité) . Pour tout point p de I k (G) , l’enveloppe convexe de H o · p contient un point fixe de H o .Démonstration. Notons que comme I k (G) est localement réunion finie d’apparte-ments, et que H o · p est compact (C’est l’image du groupe compact H o par une ap-plication continue vers un espace séparé), l’enveloppe convexe de H o · p est compacte.Il suffit alors d’appliquer [Tit79, 2.3.1] et [BT72, 3.2.3]. (cid:3) Proposition 3.8.
Soient Y et C comme en page 6. Soit f une fonction convexe sur I k (G) et H o -invariante à gauche sur Y · o, et un point p appartenant à Y · o . Alors (11) f ( p ) ≥ inf γ ∈ C f ( γ ). Démonstration.
Comme f est H o -invariante sur Y · o , on a f ( p ) = sup x ∈ H o · p f ( x ). No-tons 〈 H o · p 〉 l’enveloppe convexe de H o · p . Comme f est convexe, sup x ∈ H o · p f ( x ) = sup x ∈〈 H o · p 〉 f ( x ). Lorsque p appartient à Y · o , l’intersection C ∩ 〈 H o · p 〉 est non vide.D’où f ( p ) = sup x ∈〈 H o · p 〉 f ( x ) ≥ sup x ∈〈 H o · p 〉∩ C f ( x ) ≥ inf x ∈〈 H o · p 〉∩ C f ( x ) ≥ inf γ ∈ C f ( γ ). (cid:3) Dans la proposition suivante, C désigne le compact de I k (G) défini dans la sec-tion 2 précédente, et B la boule unité du dual de V (cf. la note de l’éd. au pied de lapage 7).Dans cette proposition, on étudie les coefficients matriciels qui sont de la forme g φ ( π z ( ρ ( g ))( v ) comme fonction sur G an , et en particulier sur l’image de C dans G an parl’application θ : I k (G) → G an . On notera donc ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( ρ ( θ ( γ )))( v ))a valeur obtenue en appliquant, pour γ dans C la norme θ ( γ ) au coefficient matri-ciel g φ ( π z ( ρ ( g ))( v )). Pour alléger les notations, on pourra omettre θ et ρ dans lesnotations, soit ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( γ )( v )) = ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( ρ ( θ ( γ )))( v )). Proposition 3.9.
Il existe une constante c telle que pour tout γ de C , et tout vecteur vdans V , on a (12) sup φ ∈ B π z ( ρ ( θ ( γ )))( v ) ≥ k v k / c . Démonstration.
Remarquons tout d’abord que, d’après la Proposition 3.5, la semi-nor-me θ ( γ ) est une norme, pour tout γ dans C.La restriction de la norme θ ( γ ) sur k [G] à C G (Ad ρ ) dépend continûment de γ , pourla topologie faible. Comme C G (Ad ρ ) est de dimension finie et C est compact, ces nor-mes sont « uniformément équivalentes » pour γ dans C : il existe une constante c ′ telleque pour tous γ et γ ′ dans C nous ayons ∀ f ∈ C G (Ad ρ ), ¯¯ f ¯¯ ( θ ( γ )) ≥ c ′ ¯¯ f ¯¯ ( θ ( γ ′ )).Il suffira de vérifier la formule (12) pour une constante c ′ et pour un seul γ de C : laconstante c = c ′ c ′ conviendra alors pour tout γ dans C.Fixons γ dans C. La formule est évidente pour v =
0. Nous pouvons donc supposerque v
0, et même, par homogénéité, que, pour une certaine constante c ′′ ne dépen-dant que de k−k , le vecteur v appartienne au compact V c ′′ où l’inégalité 1/ c ′′ ≤ k v k ≤ c ′′ est satisfaite.Tout revient ainsi à montrer queinf v ∈ V c ′′ sup φ ∈ B ( π z ( γ )( v )) > v n ) n ∈ Z ≥ de V c ′′ telle quelim n ∈ Z ≥ sup φ ∈ B ( π z ( γ )( v n )) > c ′′ est compact, et n’adhère pas à 0, la suite v n a une valeur d’adhérence nonnulle v ∞ . Nous allons montrer, ce qui sera une contradiction, que v ∞ est nécessaire-ment nul.Pour tout φ dans B, on conclut de l’encadrement0 ≤ ¯¯ φ ¯¯ ¡ π z ( γ )( v n ) ¢ ≤ sup φ ∈ B ¯¯ φ ¯¯ ¡ π z ( γ )( v n ) ¢ → n ∈ Z ≥ ¯¯ φ ¯¯¡ π z ( γ )( v n ) ¢ =
0. Par continuité de v ¯¯ φ ¯¯¡ π z ( γ )( v ) ¢ , il s’ensuit quel’on a ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( γ )( v ∞ ) = φ de B, on a ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( γ )( v ∞ )) =
0. Autrement dit, comme θ ( γ ) estune norme, chaque coefficient matriciel g π ( π z ( ρ ( g ))( v ∞ ) est identiquement nul. UR LES REPRÉSENTATIONS ULTRAMÉTRIQUES 11
Par conséquent, pour tout g dans G( k ), le vecteur π z ( ρ ( g ))( v ∞ ) est nul. Mais, lorsque g vaut l’élément neutre, π z ( ρ ( g ))( v ∞ ) = π z (Id V )( v ∞ ) = Id V ( v ∞ ) = v ∞ (cid:3)
4. D
ÉMONSTRATION
Démontrons la Proposition 2.2. Nous utilisons les notations de la section 2, et lesarguments de la section 3.
Démonstration.
Comme la norme k−k est supposée G o -invariante, nous pouvons sub-stituer sup k ∈ G o °° ρ ( k · y · ω ) °° à ρ ( y · ω ) dans la formule (2), ce qui donne(13) ∀ y ∈ Y, ∀ v ∈ V,sup ω ∈ Ω sup k ∈ G o °° ρ ( k · y · ω ) °° ≥ k v k / c .D’après la Proposition 3.1, il suffit d’établir(14) ∀ y ∈ Y, ∀ v ∈ V,sup ω ∈ Ω sup k ∈ G o °° ρ ( ω − · k · y · ω ) °° ≥ c · c k v k .Soit V ∨ le dual algébrique de V, et notons B sa boule unité. D’après les hypothèsessur k−k nous avons k v k = sup φ ∈ B ¯¯ φ ( v ) ¯¯ . La formule qui précède équivaut donc à lasuivante.(15) ∀ y ∈ Y, ∀ v ∈ V,sup ω ∈ Ω sup φ ∈ B sup k ∈ G o ¯¯ φ ¯¯ ¡ ρ ( ω − · k · y · ω ) ¢ ≥ c · c k v k .D’après la Proposition 3.3, la fonction ω φ ¡ ρ ( ω − · k · y · ω ) ¢ appartient à C H (Ad ρ ).Appliquant la Proposition 3.2, il sort(16) sup ω ∈ Ω ¯¯ φ ¯¯ ¡ ρ ( ω − · k · y · ω ) ¢ ≥ c ¯¯ π k ¡ ω φ ¡ ρ ( ω − · k · y · ω ) ¢¢¯¯ .D’après la Proposition 3.4, le membre de droite de (16) vaut(17) 1 c ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( k · y )( v )).D’après la Proposition 3.5, il existe une constante positive et inversible c telle que(18) sup k ∈ G o ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( k · y )( v )) ≥ c ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( θ ( o ) · y )( v )).Par conséquent, nous avons établi, combinant (16), (17) et (18), ∀ y ∈ Y, ∀ v ∈ V,sup ω ∈ Ω sup k ∈ G o ¯¯ φ ¯¯ ¡ ρ ( ω − · k · y · ω ) ¢ ≥ c c sup φ ∈ B ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( θ ( o ) y )( v )),d’où, considérant la borne supérieure relative aux φ dans B,(19) ∀ y ∈ Y, ∀ v ∈ V,sup ω ∈ Ω sup φ ∈ B sup k ∈ G o ¯¯ φ ¯¯¡ ρ ( ω − · k · y · ω ) ¢ ≥ c c sup φ ∈ B ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( θ ( o ) y )( v )).Ainsi, pour démontrer (15), il suffit d’établir(20) 1 c c sup φ ∈ B ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( θ ( o ) y )( v )) ≥ k v k c · c . D’après la Proposition 3.4, la fonction g π ( π z ( g )( v )) est régulière sur G en la va-riable g , invariante sous l’action de H par conjugaison. Or, pour h dans H o , et y − · o dans Y − · o , nous avons h θ ( y − o ) h − = h θ ( y − o )car G θ contient h − , et h θ ( y − o ) = θ ( hy − o )car θ est équivariante. Sur Y − · o , la fonction y − o ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( θ ( y − o ))( v )) est donc in-variante à gauche sous H o .D’après la Proposition 3.6, la fonction p ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( θ ( p ))( v )) est convexe sur I k (G).Par conséquent la fonction g sup φ ∈ B ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( g )( v )) est convexe sur I k (G), et sa res-triction à Y − · o est invariante à gauche sous H o . D’après la Proposition 3.8, on a, pourtout y de Y, sup φ ∈ B ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( y − o )( v )) ≥ inf γ ∈ C sup φ ∈ B ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( γ )( v )).Or, d’après la Proposition 3.9, nous avons ∀ v ∈ V, ∀ γ ∈ C,sup φ ∈ B ¯¯ φ ¯¯ ( π z ( γ )( v )) ≥ k v k / c .Ce qui démontre bien la formule (20), avec la constante c = c c c c . (cid:3) Annexe
Dans cette annexe, nous faisons quelques rappels sur les espaces analytiques et lesimmeubles. Nous y démontrons notamment (Théorème D.1) un résultat de décompo-sition sur les immeubles et (Théorème D.2) un résultat sur la convexité logarithmiquedes fonctions régulières sur l’immeuble, une fois plongé dans l’espace analytique.A
NNEXE
A. N
ORMES ULTRAMÉTRIQUES
Soit V un espace vectoriel sur un corps ultramétrique k de valeur absolue notée |−| .La topologie de V, topologie produit relative à une base de V, est intrinsèque : les auto-morphismes de changement de base de k dim(V) sont des homéomorphismes. Nous ap-pelons norme sur V une application V → R telle que l’application ( x , y ) °° x − y °° dé-finisse une distance compatible à la topologie. Cette norme est dite ( k , |−| ) -homogène ,ou simplement homogène , lorsque toute homothétie de facteur λ agit sur les distancesd’un facteur | λ | :(22) pour tout λ dans k et v dans V, nous avons k λ · v k = | λ | · k v k .On dit que la norme k−k est ultramétrique si(23) ∀ x , y ∈ V, °° x + y °° ≤ max ©°° x °° ; °° y °°ª .Nous dirons que deux normes k−k et k−k ′ sont comparables , ou équivalentes , s’ilexiste une constante positive et inversible C telle que pour tout v dans V , nous ay-ons k v k ≤ C k v k ′ et k v k ′ ≤ C k v k .Remarquons que |−| et |−| sont deux normes sur k qui ne sont pas comparables,sauf si k est discret. A contrario deux normes homogènes sur V sont toujours compa-rables. Nous ne l’appliquerons qu’à des corps k localement compacts, auquel cas c’estimmédiat. Voir [Ric09b] pour le cas général. Dorénavant les normes seront supposées homogènes. Étant donné une norme sur V, son dual algébrique acquiert une norme duale : àtoute forme k -linéaire sur V on associe sa norme en tant qu’application linéaire de Vvers k . Autrement dit on pose °° φ °° = ¯¯¯¯¯¯ φ ¯¯¯¯¯¯ = sup k v k≤ °° φ ( v ) °° . Lemme A.1.
Soit V un espace vectoriel normé de dimension finie non nulle sur k , etdoit B la boule unité de son dual. Alors on a l’inégalité ∀ v ∈ V, k v k ≥ sup ¯¯ φ ¯¯ ( v ), et il n’y a égalité, simultanément pour tout v de V , que si et seulement si k−k est ultra-métrique et si les valeurs, dans R , prises par k−k sont celles prises par |−| .Démonstration. L’inégalité résulte de ce que pour tout φ dans B, nous avons °° φ °° ≤ °° φ ( v ) °° ≤ ¯¯¯¯¯¯ φ ¯¯¯¯¯¯ · k v k .Le sens direct de l’équivalence découle de [Wei74, II §1, Prop. 4 (p. 26)].Dans le sens réciproque, on vérifie directement que le membre de droite est unenorme ultramétrique et ne prend que des valeurs prises par |−| . (cid:3) A NNEXE
B. E
SPACES ANALYTIQUES D ’ APRÈS B ERKOVICH
Le but de cette section est tout d’abord de rappeler la construction des espaces ana-lytiques de Berkovich, et de l’espace analytifié d’une variété algébrique. La référenceexhaustive standard est [Ber90]. L’autre but est d’étendre la propriété de convexitédu polygone de Newton au fonctions analytiques sur restreinte à l’appartement d’untore T, une fois plongé dans l’espace analytique de T ou d’un groupe algébrique Gcontenant T.B.1.
Semi-normes multiplicatives homogènes.
Soit k un corps local muni d’une va-leur absolue ultramétrique |−| . Sur une k -algèbre commutative unifère A, on appelle semi-norme multiplicative une application non constante k−k : A −→ R ≥ qui soit multi-plicative, c.-à-d. telle que(24) ∀ f , g ∈ A, °° f g °° = °° f °° · °° g °° et vérifiant l’inégalité triangulaire(25) ∀ f , g ∈ A, °° f + g °° ≤ °° f °° + °° g °° .Une telle application envoie l’unité 1 A sur 1 et l’élément nul 0 A sur 0. Elle est dite ( k , |−| ) -homogène , ou simplement homogène lorsque(26) ∀ λ ∈ k , ∀ f ∈ A, °° λ · f °° ≤ ¯¯ f ¯¯ · °° f °° .Par multiplicativité, il revient au même d’imposer que k−k étende |−| , au sens où l’ona k λ · A k = | λ | .B.2. Analytification.
Soit V une variété algébrique affine sur k . Suivant V. Berkovich,[Ber90, 1.5.1], nous appellerons espace analytique associé à V l’espace topologique V an formé de l’ensemble des semi-normes multiplicatives homogènes sur l’algèbre k [V]des fonctions régulières sur V, pour la topologie de la convergence simple. Ce sontaussi les espaces topologiques sous-jacents à certains espaces analytiques que V. Ber-kovich définit en [Ber90, 3.1] (cf. [Ber90, 3.4.2]). Pour toute fonction régulière f sur V,nous notons ¯¯ f ¯¯ a fonction réelle x x ( f ) sur V an . Par définition, la topologie sur V an est la plus grossière pour laquelle, pour toute fonction régulière f , la fonction ¯¯ f ¯¯ :V an → R ≥ est continue. La construction de l’espace analytique associé est fonctorielle, et covariante, de lacatégorie
Aff k des variétés affines sur k dans celle des espaces topologiques. En ef-fet tout morphisme A → A ′ d’algèbres permet, par composition, de produire une se-minorme multiplicative A → R ≥ à partir d’une semi-norme multiplicative homogènesur A ′ → R ≥ . Cette opération est bien sûr compatible à la convergence simple. Pourtout morphisme Φ : V → V ′ entre variétés algébriques, nous notons Φ an l’applicationcontinue correspondante V an → V ′ an .B.3. Des tores déployés analytiques . . .
Soit T un tore déployé sur k et notons X(T) = Hom(T,GL(1)) son groupe des caractères. On identifie l’algèbre k [T] des fonctions ré-gulières sur T à l’algèbre de groupe k [X(T)]. Tout caractère χ : T → GL(1), définit, parcomposition une application additiveY(T) = Hom(GL(1),T) −→ Hom(GL(1),GL(1)) ≃ Z .Par linéarité, chaque caractère définit une forme linéaire sur l’espace vectoriel réel Λ = Y(T) ⊗ R que l’on notera λ
7→ 〈 χ , λ 〉 . Pour tout λ dans Λ , l’application qui envoie unefonction régulière f = P χ ∈ X(T) a χ · χ dans k [T] sur(27) max χ ∈ X(T) ¯¯ a χ ¯¯ · | ̟ | 〈 χ , λ 〉 ,(où | ̟ | est la valeur absolue d’une uniformisante ̟ de k ) définit clairement une normehomogène sur k [T] ; cette norme est multiplicative d’après [Ber90, 2.1, p. 21]. La for-mule (27) induit donc une application, que nous noterons λ θ T ( λ ), de Λ dans T an .Lorsque l’on fixe f = P χ ∈ X(T) a χ · χ dans k [T], et que l’on fait varier le paramètre λ , lelogarithme log ¡¯¯ f ¯¯ ( θ T ( λ )) ¢ = max χ ∈ X(T) ¡ log ¯¯ a χ ¯¯ + log | ̟ | · 〈 χ , λ 〉 ¢ est le maximum d’un nombre fini de fonctions affines en λ . C’est donc une fonctionconvexe sur Λ , et c’est en particulier une fonction continue. Pour toute fonction régu-lière f sur T, la composition de ¯¯ f ¯¯ avec θ T , qui est logarithmiquement convexe, estcontinue. Donc l’application θ T est continue par définition de la topologie sur T an .B.3.1. Le groupe T( k ) agit sur T par translation. Il agit par transport de structuresur k [T] puis sur T an . Concrètement, un élément µ de T( k ) agit sur k [T] en envoyantla fonction régulière x X χ ∈ X(T) a χ · χ ( x )sur la fonction régulière x X χ ∈ X(T) a χ · χ ( x µ − ) = X χ ∈ X(T) a χ · χ ( µ − ) χ ( x ).Soit λ ( µ ) l’élément de Λ tel que l’on ait 〈 χ , λ ( µ ) 〉 = log | ̟ | ( χ ( µ ))pour tout χ de X(T). Alors l’action de µ envoie la norme θ T ( λ ) sur θ T ( λ − λ ( µ )). B.4. . . . aux groupes algébriques affines.
Soit Φ : T → G un morphisme de variétés al-gébriques affines du tore T dans un groupe algébrique affine G. Composant θ T : Λ → T an par Φ an : T an → G an , nous obtenons une application continue de Λ dans G an . Enoutre, pour toute fonction régulière f sur G, la fonction réelle ¯¯ f ¯¯ ◦ Φ an ◦ θ T sur Λ s’iden-tifie à ¯¯ f ◦ Φ ¯¯ ◦ θ T , et est par conséquent logarithmiquement convexe.Notons que l’action à droite du groupe G( k ) sur la variété G induit par une fonc-torialité une action de G( k ) sur G an . En particulier nous pouvons définir, pour tout g dans G( k ), l’application ( Φ an ◦ θ T ) · g translatée de Φ an ◦ θ T par g . Nous notons k s une extension algébrique séparablement close de k . B.4.1. Nous allons généraliser cette construction aux éléments de G( k s ). Pour touteextension séparable finie k ′ de k , on a un tore déployé T k ′ = T ⊗ k k ′ sur k ′ , d’algèbre k ′ [T k ′ ] = k [T] ⊗ k k ′ isomorphe à k ′ [X(T)]. Par restriction des normes de k ′ [T k ′ ] à k [T] on construitune application T k ′ an → T an . La formule (27) s’étend à k [T k ′ ] et définit encore unenorme multiplicative ([Ber90, 2.1 (p. 21)]) homogène. Nous obtenons ainsi une ap-plication θ T k ′ : Λ → T k ′ an dont la composée avec l’application T k ′ an → T an redonnel’application θ T . De surcroît cette extension est compatibles aux morphismes d’exten-sions k → k ′ → k ′′ .Nous en tirons une conséquence. Si g est un élément dans G( k ′ ), faisons agir g àdroite sur le foncteur des points de G restreint à la catégorie des k ′ -agèbres : pourune k ′ -algèbre A, l’élément g agit par translation à droite sur le groupe G(A), via sonimage par G( k ′ ) → G(A). Il correspond une action, disons a g , de g sur k ′ [G]. D’où,par composition, un morphisme k [G] → k ′ [G] a g −→ k ′ [G] Ψ k ′ −−→ k ′ [T], où Ψ k ′ est le mor-phisme de k ′ -algèbres déduit de Φ . Ainsi, pour chaque λ dans Λ , de la norme multi-plicative homogène correspondante k [T] → R ≥ , par (27), on déduit, par composition,une norme multiplicative homogène k [G] → R ≥ . Nous la noterons ( Φ an ◦ θ T ) g l’appli-cation de Λ dans G an ainsi obtenue.Cette construction est manifestement compatible aux extensions : si k ′ est une ex-tension finie de k ′ et g ′′ l’image de g dans G( k ′′ ), alors ( Φ an ◦ θ T ) g = ( Φ an ◦ θ T ) g ′′ . Ellene dépend donc que de l’image de g dans G( k s ), peu importe le morphisme k ′ → k s .Autrement dit cette construction ne dépend que de l’image de g par G( k s ) → G an .Pour f dans k ′ [T], la formule (27) définit encore une fonction convexe de λ . Il enrésulte que pour f dans k [G] et g dans G( k ′ ), la composée ¯¯ f ¯¯ ◦ (( Φ ◦ θ T ) g ) est unefonction convexe sur Λ . Ainsi l’application ( Φ ◦ θ T ) g est continue.B.4.2. Étendons maintenant cette construction aux éléments p de G an .Soit un point p de G an ; ce point est dans l’adhérence de l’image de G( k s ) dans G an .Nous allons alors construire l’application ( Φ an ◦ θ T ) · p comme limite simple de fonc-tions de la forme ( Φ an ◦ θ T ) · g , avec g dans G( k s ), lorsque l’image de g dans G an tendvers p .Montrons que cette limite simple existe et est unique. Démonstration.
Notons G k s le groupe groupe algébrique affine sur k s d’algèbre k [G] ⊗ k s ,notons T k s son tore sur k s déployé d’algèbre k [T] ⊗ k s , et Φ k s le morphisme G k s → T k s issu de Φ . Soit λ dans Λ , soit f dans k [G] et, pour tout g dans G( k s ), notons f ◦ ( Φ k s · g ) = P χ ∈ X(T) a χ ( g ) χ la fonction de k s [X(T)] qui s’obtient en translatant Φ k s : G k s → T k s par g puis en composant par f . Tout revient à montrer que lorsque l’image de g convergedans G an , le nombre réel max χ ∈ X(T) ¯¯ a χ ( g ) ¯¯ · | ̟ | 〈 χ , λ 〉 tend vers une valeur limite.Par définition, ¯¯ h ( g ) ¯¯ tend vers une valeur limite pour toute fonction régulière h sur G définie sur k . Il suffit donc de montrer que sauf pour un nombre fini de ca-ractères χ , les fonctions g a χ ( g ) sont nulles et que, pour tout caractère χ de T,la formule g a χ ( g ) définit une fonction régulière. Cela résulte de ce que l’actionde G( k s ) sur k s [G] est union de sous-espaces stables sous Aut( k s / k ) de dimension fi-nie, et que l’action de G( k s ) sur un tel sous-espce provient d’une représentation de Gdéfinie sur k , [Bor91, 1. §1 1.9]. (cid:3) Comme une limite simple de fonctions convexes est convexe, pour tout f dans k [G],la composée ¯¯ f ¯¯ ◦ (( Φ an ◦ θ T ) · p ) est une fonction convexe sur Λ . En particulier c’est unefonction continue. Par conséquent ( Φ an ◦ θ T ) · p est continueB.5. Un Critère.
Pour toute extension finie k ′ de k , notons G k ′ la variété algébriqueaffine sur k ′ associée à l’algèbre de type fini k [G] ⊗ k ′ , et G k ′ an l’espace analytique cor-respondant. Notons que G( k ′ ) est naturellement un groupe algébrique affine sur k ′ :son foncteur de points s’écrit G k ′ (A) = G(A) pour une k ′ -algèbre A.L’application k [G] → k [G] ⊗ k ′ induit, par restriction des semi-normes, une appli-cation continue G k ′ an → G an . Ces applications sont manifestement compatibles auxmorphismes d’extensions.Notons que le morphisme Φ : T → G induit un morphisme Φ k ′ : T k ′ → G k ′ , d’où uneapplication continue Φ k ′ an : T k ′ an → G k ′ an . Le relèvement Λ → T k ′ an de θ T : Λ → T an ,obtenu en étendant la formule (27), est lui aussi compatibles aux extensions. Proposition B.1.
Soit θ : Λ → G une application continue. Supposons que pour touteextension finie k ′ de k , il existe θ k ′ : Λ → G k ′ an telle quea. θ soit la composée de θ k ′ avec l’application G k ′ an → G an ci-dessus ;b. pour tout µ dans T( k ′ ) , l’action de T( k ′ ) par translation à gauche sur la fonc-tion θ k ′ commute correspond à son action sur Λ : (28) ∀ µ ∈ T( k ′ ), θ k ′ ( x ) · Φ ( µ ) = θ k ′ ( x − λ ( µ )) Alors θ est l’application ( Φ an ◦ θ T ) · p où p est le point θ (0) .Démonstration. Par limite simple on peut supposer que p est dans l’image de G( k s ),puis quitte à considérer une extension finie, que p appartient à G( k ), quitte à faireagir p à droite, que p est l’élément neutre.Par continuité de θ et θ T il suffit de montrer θ ( λ ) = ( Φ an ◦ θ T ( λ )) pour un ensembledense de λ dans Λ .Or l’orbite dans Λ de 0 sous l’action de T( k s ) est dense. Cela provient de la descrip-tion de cette action pour tout corps local contenu dans k s , grâce à la section B.3.1 et aufait que quitte à considérer des racines de l’uniformisante d’ordre premier à la carac-téristique, on peut approcher tout nombre réel positif par la valeur absolue d’élémentsde k s .Enfin θ et ( Φ an ◦ θ T ( λ )) concordent en 0 et vérifient la loi de transformation (cf. sec-tion B.3.1). (cid:3) Des sections B.3.1 et B.4 on déduit que cette Proposition B.1 a pour corollaire lesuivant.
Corollaire B.1.
Soit θ : Λ → G an une application telle que dans la Proposition B.1. Alorspour toute fonction régulière f sur G , la fonction réelle ¯¯ f ¯¯ ◦ θ est logarithmiquementconvexe. A NNEXE
C. I
MMEUBLES EUCLIDIENS DE B RUHAT -T ITS
C.1.
Avant-propos. L’ immeuble euclidien de Bruhat-Tits d’un groupe algébrique se-misimple G sur un corps local ultramétrique k est un analogue, dans le contexte ultra-métrique, de l’espace riemannien symétrique des sous-groupes compacts maximauxassocié à un groupe de Lie semi-simple réel L, qui s’écrit L/K, pour un sous-groupecompact maximal K de L. Dans le contexte ultramétrique, l’analogue naïf du théorèmede Cartan ne vaut plus : G( k ) ne contient en général pas, à conjugaison près, d’uniquesous-groupe compact maximal. Toutefois, du moins pour les groupe déployés, les énon-cés 5.3.1 et 5.3.3 de [Ber90] restituent a posteriori cette facette de l’analogie entre im-meubles et espaces symétriques.C.2. Propriétés.
Soit k un corps local muni d’une valeur absolue ultramétrique |−| ,et soit G un groupe algébrique semi-simple sur k . L’ immeuble euclidien de Bruhat-Tits de G sur k , ou plus simplement « immeuble », désigne un certain espace mé-trique I k (G) muni d’une action fidèle proprement continue du groupe topologique G( k )(à gauche, par isométries). L’immeuble est uniquement défini à unique isométrie près.(cf [Tit79, 2.1]). Le stabilisateur de l’immeuble est réduit au centre de G. Les stabilisa-teurs des points de I k (G) sont des sous-groupes dits parahoriques de G( k ) ; ils sontcompacts et ouverts dans G( k ) : suivant [BT84, Introduction] (voir aussi [Tit79, 3.4.1]),ce sont des groupes de la forme G( O k ) pour certaines formes entières de G sur l’an-neau des entiers ultramétriques O k (« schémas en groupes plats prolongeant G »).L’immeuble I k (G) admet une famille distinguée de parties, appelées appartements ,réunissant les propriétés suivantes.a. L’ensemble des appartements est stable sous l’action de G( k ), et l’action de G( k )sur l’ensemble des appartements est transitive.b. Les appartements sont isométriques à un espace vectoriel euclidien. En par-ticulier, pour tout appartement A, et tout g dans G( k ), l’isométrie A −→ g A estune application affine.c. L’immeuble I k (G) est réunion de ses appartements, et tout point a un voisi-nage formé d’une réunion finie d’appartements.d. Le stabilisateur dans G( k ) d’un appartement donné agit via un réseau du grou-pe d’isométries de cet appartement.e. Deux points quelconques de I k (G) sont contenus dans un appartement com-mun [BT72, 7.14.18].f. L’immeuble I k (G) un espace de Hadamard : l’inégalité CAT(0) est satisfaite[BT72, 3.2].g. L’immeuble I k (G) admet une structure polysimpliciale G( k )-invariante, dontun polysimplexe est domaine fondamental et intersection d’appartements. Lestabilisateur d’un appartement donné préserve un pavage issu d’une struc-ture polysimpliciale qui s’étend en une structure polysimpliciale invariantesur I k (G).C.3. Avertissement.
Nous nous reposons sur [RTW10] pour la construction de l’im-meuble de Bruhat-Tits. Les hypothèses de travail de ces auteurs sont énoncées en [RTW10,1.3.4], numéro qui, par ailleurs, indique explicitement que ces hypothèse sont véri-fiées si le corps de base k est un corps local, ce qui est le cas considéré ici. Une autre référence dans le cas des corps locaux est [Tit79]. Cette dernière, reposant sur l’ex-posé axiomatique [BT72], indique, en [Tit79, 1.5], quelques réserves sur la satisfiabilitédes hypothèses de [BT72], qui sont ramenées, en ce qui concerne [Tit79], aux proprié-tés 1.4.1 et 1.4.2 de [Tit79]. La suite [BT84] de l’exposé [BT72], suite postérieure à laréférence [Tit79], démontre que les hypothèses de [BT72] sont satisfaites « pour toutgroupe réductif sur un corps de valuation discrète hensélien à corps résiduel parfait »(Introduction, page 9).Nous esquissons la construction de l’immeuble indiquée dans [RTW10]. Que cetteconstruction vérifie les propriétés indiquées plus haut résulte, pour certaines de cespropriétés, de la construction même, qui procède par analyse-synthèse. Pour les autrespropriétés cela résulte d’une part de la satisfiabilité des hypothèse de travail de [BT72]pour les corps locaux pour laquelle nous venons d’indiquer des références ; d’autrepart de certaines conclusions de [BT72] ; enfin, dans le cas des corps locaux notam-ment, de la référence [Tit79].C.4. Construction.
Comme tout appartement A de l’immeuble I k (G) est une partiegénératrice, on peut construire I k (G) comme quotient de G( k ) × A. Les relations parlesquelles on quotiente sont engendrées par celles qui définissent le stabilisateur dechaque point de A, et celles qui déterminent l’action sur A du stabilisateur de A. C’estl’approche utilisée dans [RTW10, 1.3].Ne discutons que du modèle de A muni de l’action de son stabilisateur. Fixons untore déployé maximal T de G, et posons A = Λ = Hom(GL(1),T) ⊗ R . Le normalisa-teur N(T)( k ) de T dans G( k ) agit par transport de structure sur Λ = Hom(GL(1),T) ⊗ R ,et le noyau de cette action est le centralisateur C(T)( k ) de T dans G( k ). Le groupe quo-tient N(T)( k )/C(T)( k ) est un groupe fini, le groupe de Weyl sphérique de G relatif à T.Alors le stabilisateur de l’appartement A dans G( k ) est N(T)( k ) et l’action de N(T)( k )est une action affine— dont la partie linéaire est l’action précédente,— et pour laquelle T( k ), qui est contenu dans N(T)( k ), agit par B.5.A NNEXE
D. C
ONVEXITÉ
D.1.
Notion de convexité.
Rappelons qu’un appartement de I k (G) est l’image d’unepartie de la forme { g } × Λ par l’application G( k ) × Λ → I k (G). Les appartements sontpermutés transitivements sous l’action de G( k ). En outre, le stabilisateur d’un appar-tement A agit sur A de manière affine et cette action contient l’action additive d’unréseau vectoriel de Λ (voir [Tit79, 1.2, 1.3]).D.1.1. En particulier, si F est un parallélotope fondamental de ce réseau, F est unepartie bornée qui rencontre tout orbite de G( k ) rencontrant cet appartement, ce quiest le cas de toute orbite de G( k ). L’immeuble I k (G) contient donc une partie généra-trice compacte.Rappelons que deux points quelconques x et y de I k (G) sont contenus dans un ap-partement commun ([BT72, 7.14.18]). on peut donc définir le segment [ x ; y ] joignant x à y dans A. Comme le stabilisateur d’un appartement A agit de manière affine sur A, nile segment [ x ; y ] ni la structure affine sur [ x ; y ] ne dépendent de l’appartement choisi(cf. [Tit79, 2.2.1]).Une fonction réelle continue sur I k (G) dont la restriction à tout segment est con-vexe (resp. affine ), sera dite convexe (resp. affine). Il revient au même de dire que la restriction à chaque appartement est convexe (resp. affine), relativement à la structureaffine de cet appartement.Bien évidemment, les fonctions affines et les fonctions dont le logarithme est affinesont convexes. En outre, toute fonction réelle qui s’écrit comme borne supérieure oulimite simple de fonctions convexes est convexe.Une partie de I k (G) sera dite convexe si elle contient tout segment dont elle contientles extrémités.D.2. Une décomposition de l’immeuble.
Soit k un sous-groupe compact de G( k ). Legroupe compact k agit par isométries sur l’immeuble I k (G). Notons I k (G) k le lieufixe de l’action de k , et Z G ( k ) le centralisateur de k dans G. Alors I k (G) k est stablesous l’action du centralisateur Z G ( k )( k ) de k dans G( k ). Nous allons montrer le premierénoncé suivant. Théorème D.1.
Soit k un sous-groupe compact de G( k ) dont l’adhérence de Zariskidans G est un sous-groupe fortement réductif, et soit Z G ( k ) le centralisateur de k dans G .Alors il existe une partie compacte non vide C de I k (G) k qui est génératrice pour l’ac-tion de ZG( k )( k ) : on a I k (G) k = Z G ( k )( k ) · C . Commençons par un lemme. Erratum . – La version initiale de ce Lemme, supposant que l’on a « dans G [...] unsous-groupe réductif » est erronée (comme pointé par E. Breuillard). Une confusiona eu lieu sur la terminologie « reduced » de [PR94, p. 101], qui n’est pas le sens usuelalgébrico-géométrique. Plutôt que la notion utilisée par [PR94, p. 101], la notion idoineest celle de sous-groupe « strongly reductive in G », basée sur le travail [Ric88, §16]de Richardson. Ce dernier travaille toutefois sur des corps algébriquement clos, d’a-près [Ric88, §1.1].– Cette correction affecte le Théorème D.1, la Proposition 2.1 et la première conclu-sion du Théorème 1.1.– En caractéristique 0 on retombe sur la notion usuelle de groupe réductif ; voir àce sujet [Ser04, Proposition 4.2]. Il n’y a pas contagion de l’erreur de ce côté là. C’est lecas des applications mentionnées en dynamique.– Cette dernière référence contient une revue détaillée de la notion de « strong re-ductivity in » rebaptisée (une fois généralisée à un corps k quelconque) « G-cr », pour« complète réductibilité ». Pointons [Ser04, §3.1.1, Th 3.5, Th. 3.7, § 4.1].– Rappelons que H est dit « réductif dans » G au sens de [RS17] si l’action de H sur g est semi-simple. Alors (HZ G ) ∩ G der est « reduced subgroup » de G au sens de [PR94]. Ilest donc strongly reductive in G d’après [PR94, Th. 2.16] et [Ric88, Th.16.4]. Commele notion strongly reductive s’écrit en termes des sous-groupes paraboliques conte-nant H, elle est insensible au passage de H à HZ G puis à HZ G ∩ G der , le sous-groupe Hlui-même est stronlgy reductive in G. Lemme D.1. Soit k un sous-groupe compact de G( k ) dont l’adhérence de Zariski dans G est un sous-groupe fortement réductif dans G , et soit Z G ( k ) le centralisateur de k dans G .
6. N.d.É. : Ce lemme gagne à être mieux connu. Il permet par exemple de simplifier l’argumentationfinale de [ ? , ] en coupant court à leur introduction de mesures.
7. Plutôt que “«strict reductivity»” que l’on lit en [Ser04, page 932-13].8. N.d.É. : Bien que l’on se réfère à [PR94], ce lemme est basé sur le travail [Ric88] de Richardson, algé-brique, dont c’est une variante, et conséquence, ultramétrique. Pour tout compact C de G( k ) , il existe un compact C ′ de G( k ) tel que le transporteur (29) T( k ,C) = © g ∈ G( k ) ¯¯ g kg − ⊆ C ª de k dans C s’écrive C ′ · Z G ( k )( k ) .Démonstration. Tout d’abord ce transporteur est fermé. Pour chaque x dans k l’ap-plication g g xg − est continue, l’image inverse de C est fermée ; ce transporteur estl’intersection de ces images inverses, des fermés. Tout revient donc à montrer que T( k ,C)est le saturé par Z G ( k )( k ) d’une partie relativement compacte. Comme T( k ,C) est ma-nifestement invariant par Z G ( k )( k ), il suffit de montrer qu’il est contenu dans le saturéd’une partie compacte.Remarquons que, pour la topologie de Zariski, k est noethérien. Par con- séquent,pour cette topologie, il est topologiquement de type fini. En particulier, il existe unepartie finie { x ;... ; x n } topologiquement génératrice de k pour la topologie de Zariski.Le centralisateur de cette partie est le centralisateur de k , c’est-à-dire Z G ( k ).Appliquant [Ric88, Theorem 16.4], on montre que l’application g ( g x g − ;... ; g x n g − )induit une immersion fermée de G/Z G ( k ) dans G n . Par conséquent l’application cor-respondante φ : (G/Z G ( k ))( k ) → G( k ) n est propre . En particulier l’image inverse de C n dans (G/Z G ( k ))( k ) est compacte. Orcette image inverse de C n contient l’image de T( k ,C) par G( k ) → (G/Z G ( k ))( k ).Il suffit donc de montrer que tout compact de (G/Z G ( k ))( k ) rencontre l’image par φ de G( k ) en l’image d’un compact. D’après [PR94], l’application φ est ouverte, et les or-bites de G( k ) dans (G/Z G ( k ))( k ) sont toutes ouvertes ; elles sont donc aussi fermées.En particulier l’image φ (G( k )) est fermée, et intersecte donc tout compact en un com-pact. Il suffit de montrer que tout compact de G( k )/Z( k ) est l’image d’un compact.D’après la propriété de Borel-Lebesgue, il suffit de travailler localement (c.à.d. montrerque tout ouvert assez petit est contenu dans l’image d’un compact). Or φ est ouverteet G( k ) est localement compact. (cid:3) Avant de démontrer le Théorème D.1, rappelons quelques faits, dont certains sontbien connus.a. Il existe un compact F de I k (G) rencontrant toute orbite de G( k ) (cf. D.1.1).b. Pour toute partie bornée non vide P de I k (G), le stabilisateur de P dans G( k )est un sous-groupe compact et ouvert (cf.[Tit79, 3.2], [BT72, Introduction]). Enparticulier, pour tout point p de I k (G), le fixateur de p dans G( k ) est un sous-groupe compact et ouvert.c. Le fixateur commun à tous les éléments d’une partie bornée non vide est com-pact et ouvert (cf. supra ).d. Pour tout sous-groupe ouvert U de G( k ), le lieu fixe de U dans G est une partiecompacte de I k (G).e. Tout sous-groupe compact de G( k ) est contenu dans un sous-groupe compactmaximal.f. Les sous-groupes compacts maximaux de G( k ) sont ouverts.g. Ils forment un nombre fini de classes de conjugaison ([BT72, 3.3.3]). h. Tout sous-groupe compact ouvert de G( k ) est contenu dans un nombre fini desous-groupe compact maximaux. Démonstration du Théorème D.1.
D’après le point a., il existe un compact F de I k (G)rencontrant toute orbite de G( k ). D’après le point b., le stabilisateur commun à tousles points de F est un sous-groupe compact et ouvert de G( k ). Notons-le K F .Pour tout point f de F le stabilisateur de f , disons K f , est également un sous-groupe compact et ouvert de G( k ) (point b. ci-dessus). Par construction ces groupescontiennent K F . Appliquant le point h., il s’ensuit que l’ensemble E F = {K f | f ∈ F} desous-groupes compacts et ouverts de G( k ) est un ensemble fini .Pour K dans E F , notons F K = { f ∈ F | K f = K}. Par construction de E F , le compact Fs’écrit comme l’union finie F = S {F K | K ∈ EF}. Notons que chaque F K , étant contenudans F, est borné.Soit k le groupe compact mentionné dans l’énoncé du théorème. Pour g dans G( k )et f dans F K , le point g · f de I k (G) est fixé par k si et seulement si g − kg est contenudans le stabilisateur de f , c’est-à-dire dans K. Autrement dit g − est dans le transpor-teur T( k ,K) de k dans K. D’après le Lemme D.1, il existe un compact C K de G( k ) telque T( k ,K) s’écrive C K · Z G ( k ). Par conséquent, l’élément g · f ci-dessus appartient à lapartie Z G ( k )( k ) · C K − · F K du lieu fixe I k (G) k de k agissant sur l’immeuble I k (G).On a montré que tout point de la forme g · f , avec g dans G( k ) et f dans F K appar-tient en fait à Z G ( k )( k ) · C K − · F K .Comme F rencontre toute orbite de G( k ) dans I k (G), tout point p de I k (G) s’écrit f · g avec f dans F et g dans G( k ). Ainsi tout point fixe de k appartient à Z G ( k )( k ) · C K − · F K pour un certain K dans F. Par conséquent, I k (G) k est contenu dans S K ∈ E F Z G ( k )( k ) · C K − · F K .Comme E F est fini et que les F K et C K sont bornés, la partie S K ∈ E F Z G ( k )( k ) · C K − · F K est bornée, donc son adhérence est compacte. Remarquons que I k (G) est fermé etinvariant sous l’action de Z G ( k )( k ). Par conséquentC = [ K ∈ E F C K − · F K ∩ I k (G) k est un compact de I k (G) tel que I k (G) k = CZ ( G)( k )( k ). (cid:3) D.3.
Plongement analytique et Convexité des fonctions régulières sur l’immeuble.
Nous basant sur [RTW10], démontrons l’énoncé suivant.
Théorème D.2.
Soit k un corps local muni d’une valeur absolue ultramétrique, soit G un groupe algébrique semi-simple sur k et fixons un tore algébrique déployé maximal T dans G . Notons Φ : T → G le morphisme d’inclusion, θ T : Λ → T an l’application (23) , φ an :T an → G an l’application correspondante, et I k (G) l’immeuble de Bruhat-Tits de G sur k .Pour tout point p de G an , on note (( Φ an ◦ θ T ) · p ) : Λ → G an l’application définie dansla section B.4, et pour tout g dans G( k ) , on note g (( Φ an ◦ θ T ) · p ) l’application translatée.Alors il existe un point p de G an tel que l’application de G( k ) × Λ donnée par (30) ( g , λ ) g · (( Φ an ◦ θ T ) · p )( λ ) passe au quotient en une application équivariante à gauche θ : I k (G) → G an . En outre on peut supposer que le stabilisateur à droite G p de p dans G( k ) est compactet ouvert. Dans le cas déployé, cet énoncé résulte de la construction explicite de V. Berkovich,dans [Ber90, 5.3] et du Théorème 5.4.2 qui s’ensuit.Dans le cas général, notre référence est [RTW10], dont l’approche est différente, etrepose sur les propriétés de fonctorialité des immeubles par des extensions, non né-cessairement algébriques, de corps ultramétriques. Pour pouvoir démontrer l’énon-cé D.2, nous allons utiliser le critère B.1.
Démonstration.
Soit Θ : I k (G) × I k (G) → G an l’application de [RTW10, 2.3]. Il suitde [RTW10, Proposition 2.12] que l’application Θ est continue et vérifie ∀ x , y ∈ I k (G), ∀ g , h ∈ G( k ), Θ ( g x , hy ) = h Θ ( x , y ) g − .Soit o dans I k (G) et notons Θ o l’application x θ ( o , x ). Alors Θ o est une applicationcontinue et équivariante de I k (G) dans G an . Montrons que Θ o répond à l’énoncé.Par équivariance, il suffit donc de montrer qu’elle s’écrit sous la forme (30) sur unseul appartement, par exemple Λ , de I k (G).Il suffit donc de montrer que la restriction de Θ o à Λ vérifie le critère B.1. L’applica-tion Θ o est bien continue. Soit k ′ une une extension finie de k , et soit Θ k ′ l’applicationcomposée issue du coin supérieur gauche du carré commutatif de [RTW10, Proposi-tion 2.12 (ii).]. Par commutativité, l’application ( Θ k ′ ) o : x Θ k ′ ( o , x ) de Λ dans G an k ′ ré-pond à la condition a. de B.1. Appliquant la proposition 2.12 de [RTW10] au corps k ′ ,nous obtenons que l’application ( Θ k ′ ) o est équivariante à gauche sur Λ . La secondecondition de la Proposition B.1 découle ainsi de la description de l’identité de l’ac-tion de T( k ′ ) sur Λ , pris comme appartement (cf. section C.4), avec l’action donnée ensection B.3.1. (cid:3) En appliquant le Corollaire B.1, on en déduit ceci.
Corollaire D.1.
Soit Θ une application I k (G) → G an telle que dans le Théorème D.2.Alors pour toute fonction régulière f sur G , la fonction réelle ¯¯ f ¯¯ ◦ Θ est logarithmi-quement convexe sur I k (G) . R ÉFÉRENCES[Ber90] Vladimir G. Berkovich.
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