Revêtements hyperelliptiques d-osculateurs et solitons elliptiques de la hiérarchie KdV
aa r X i v : . [ m a t h . AG ] D ec Revêtements hyperelliptiques d -os ulateurs et solitonselliptiques de la hiérar hie K dV
Armando Treibi hFa ulté J.Perrin, rue J.Souvraz, SP18, 62300 Lens, Fran eLaboratoire de Mathématique de Lens, Université d'Artoise-mail addresses : treibi heuler.univ-artois.fr ; treibi h mat.edu.uyRésumé - Soit d un entier positif, K un orps algébriquement los de ara téristique0 et X une ourbe elliptique dé(cid:28)nie sur K . On étudie les ourbes hyperelliptiquesmunies d'une proje tion sur X , telles que l'image naturelle de X dans la ja obiennede la ourbe, os ule à l'ordre d au plongement de elle- i, en un point de Weierstrass.On onstruit des familles ( d − )-dimensionnelles de telles ourbes, de genre g arbi-trairement grand, obtenant, en parti ulier, des familles ( g + d − -dimensionnellesde solutions de la hiérar hie KdV , doublement périodiques par rapport à la d -ièmevariable.Abstra t - Let d be a positive integer, K an algebrai ally losed (cid:28)eld of hara te-risti 0 and X an ellipti urve de(cid:28)ned over K . We study the hyperellipti urvesequipped with a proje tion over X , su h that the natural image of X in the Ja obianof the urve os ulates to order d to the embedding of the urve, at a Weierstrasspoint. We onstru t ( d − )-dimensional families of su h urves, of arbitrary biggenus g , obtaining, in parti ular, ( g + d − -dimensional families of solutions of the KdV hierar hy, doubly periodi with respe t to the d -th variable.Abridged english versionLet K be an algebrai ally losed (cid:28)eld of hara teristi 0 and let P denote theproje tive line over K . By a urve we will mean hereafter a omplete integral urveover K , of arithmeti genus g > . For any urve Γ , let Γ o and Ja Γ denote,respe tively, the open subset of smooth points of Γ and its generalized Ja obian.Re all that for any smooth point p ∈ Γ o , the Abel morphism, A p : Γ o → Ja Γ , p ′ O Γ ( p ′ − p ) , is an embedding and A p (Γ o ) generates the whole Ja obian. Moreover,the (cid:29)ag of hyperos ulating spa es to A p (Γ o ) at A p ( p ) = 0 an be onstru ted asfollows. For any marked urve (Γ , p ) as above, and any positive integer j , let us onsider the exa t sequen e of O Γ -modules → O Γ → O Γ ( jp ) → O jp ( jp ) → , aswell as the orresponding long exa t ohomology sequen e :1 → H o (Γ , O Γ ) → H o (Γ , O Γ ( jp )) → H o (Γ , O jp ( jp )) δ → H (Γ , O Γ ) → . . . , where δ : H o (Γ , O jp ( jp )) → H (Γ , O Γ ) is the anoni al obord morphism and H (Γ , O Γ ) is anoni ally identi(cid:28)ed to the tangent spa e to Ja Γ at . A ording tothe Weierstrass gap Theorem, for any d = 1 , . . . , g ( g being the arithmeti genus of Γ ), there exists < j < g su h that δ ( H o (Γ , O jp ( jp ))) is a d -dimensional subspa e,denoted hereafter by W d . For a generi point p of Γ we have W d = δ ( H o (Γ , O dp ( dp ))) (i.e. : j = d ) , but if Γ is hyperellipti and p is a Weierstrass point, then we must hoose j = 2 d − .In any ase, the (cid:28)ltration { } ( W . . . ( W g = H (Γ , O Γ ) is the (cid:29)ag of hyperos u-lating spa es to A p (Γ) at .De(cid:28)nition 1 ( f.[7℄)Let π : (Γ , p ) → ( X, q ) be a (cid:28)nite marked morphism ( π ( p ) = q ) and let ι π : X → Ja Γ denote the anoni al (group homo-)morphism q ′ A p ( π ∗ ( q ′ − q )) . We willsay that π is a d -os ulating over i(cid:27) the tangent to ι π ( X ) at is ontained in W d but not in W d − . If, moreover, Γ is a degree- over of P rami(cid:28)ed at p , we will all π a hyperellipti d -os ulating over.Remark 2Besides its intrinsi geometri interest, the above de(cid:28)nitions are motivated, when K = C , by the following result : any hyperellipti d -os ulating over of genus g givesrise to a g -dimensional family of exa t solutions of the Korteweg-de Vries equation,doubly periodi with respe t to the d -th KdV (cid:29)ow ( f.[3℄,[4℄,[6℄,[5℄).De(cid:28)nition 3 ( f.[8℄)1. Let E denote the unique inde omposable rank- , degree- ve tor bundle overX and S := P ( E ) the orresponding proje tive bundle. The natural proje tion π s : S → X is then a ruled surfa e over X, hara terized up to an isomorphism,by the existen e of a unique se tion, C o ⊂ S , of self-interse tion C o .C o = 0 .2. The anoni al symmetry of ( X, q ) , [ −
1] : X → X , (cid:28)xes its origin, ω o := q , aswell as the three other half-periods { ω j , j = 1 , , } , and lifts to an involution τ : S → S ( i.e. : π s ◦ τ = [ − ◦ π s ) having two (cid:28)xed points over ea h ω i ( i = 0 , . . . , : one in C o , denoted by s i , and the other one denoted by r i .3. Let e : S ⊥ → S denote the blow-up of S at { s i , r i , i = 0 , . . . , } , the eight (cid:28)xedpoints of τ , and τ ⊥ : S ⊥ → S ⊥ its lift to an involution (cid:28)xing the orresponding2x eptional divisors s ⊥ i , r ⊥ i , i = 0 , . . . , . Then, the quotient ˜ S := S ⊥ /τ ⊥ is asmooth rational surfa e and the anoni al degree- proje tion ψ : S ⊥ → ˜ S isrami(cid:28)ed along s ⊥ i , r ⊥ i , i = 0 , . . . , .- The following results, already known for d = 1 ( f.[8℄) and d = 2 ( f.[1℄), anbe proven within the same framework for any d > . Proposition 4 ( f.[7℄)Let π : (Γ , p ) → ( X, q ) be a hyperellipti d -os ulating over of degree n and let ρ denote its rami(cid:28) ation index at p . Then ρ is odd, bounded by d − , and there existsa unique morphism ι ⊥ : Γ → S ⊥ su h that :1. the surje tive morphism ι ⊥ : Γ → ι ⊥ (Γ) fa tors π = π s ◦ e ◦ ι ⊥ and its degreedivides d − ;2. the urve ι ⊥ (Γ) is τ ⊥ -invariant and proje ts into ˜ S , with degree over therational urve ˜Γ := ϕ ( ι ⊥ (Γ)) ;3. the dire t image divisor ( e ◦ ι ⊥ ) ∗ (Γ) is linearly equivalent to nC o + (2 d − S o and only interse ts C o at ( e ◦ ι ⊥ )( p ) = C o ∩ S o ;4. for any i = 0 , . . . , let γ i denote the interse tion multipli ity number betweenthe dire t image divisor ( ι ⊥ ) ∗ (Γ) and r ⊥ i . Then ( ι ⊥ ) ∗ (Γ) is linearly equivalentto e ∗ ( nC o + (2 d − S o ) − ρs ⊥ o − Σ i γ i r ⊥ i .De(cid:28)nition 5Let γ := ( γ i ) ∈ N , γ i := ( ι ⊥ ) ∗ (Γ) .r ⊥ i ( i = 0 , . . . , be the interse tion multipli- ity ve tor anoni ally asso iated to the hyperellipti d -os ulating over π : (Γ , p ) → ( X, q ) . We will all γ the type of π and denote hereafter by γ (1) and γ (2) the sums γ (1) := Σ i γ i and γ (2) := Σ i γ i , respe tively.Theorem 6Let π : (Γ , p ) → ( X, q ) be a hyperellipti d -os ulating over, of degree n , type γ ,rami(cid:28) ation index ρ at p and arithmeti genus g . Then :1. γ o + 1 ≡ γ ≡ γ ≡ γ ≡ n ( mod . ;2. g + 1 ≤ γ (1) and γ (2) ≤ (2 d − n −
2) + 4 − ρ .- Let us (cid:28)x hereafter k ∈ { , , , } and hoose ε = ( ε i ) ∈ Z su h that, either | ε i | = ( d − − δ i,k ) , for any i = 0 , . . . , , or | ε i | = [ d/ − ( − d δ i,k , for any i = 0 , . . . , . We prove the 3heorem 7For any µ ∈ N su h that µ o + 1 ≡ µ j ( mod. j = 1 , , and γ := (2 d − µ + 2 ε ∈ N , there exists a ( d − -dimensional family of smooth hyperellipti d -os ulating overs of genus g := 1 / { (2 d − µ (1) + 2 ε (1) − } , degree n := (cid:8) (2 d − µ (2) +4Σ i µ i ε i + 6 d − (cid:9) and type γ .Version française1.1 Soit K un orps algébriquement los de ara téristique 0, ( X, q ) une ourbe el-liptique dé(cid:28)nie sur K , pointée en son origine, et notons P la droite proje tive sur K . Sauf mention ontraire, toutes les ourbes onsidérées par la suite seront sup-posées dé(cid:28)nies sur K , omplètes, intègres et de genre arithmétique positif. Etantdonnée une telle ourbe Γ , munie du hoix d'un point lisse p ∈ Γ , on désignera par A p : Γ → Ja Γ l'appli ation (rationnelle) d'Abel.Proposition 1.2 ( f.[7℄Ÿ1.6)Soit Γ une ourbe hyperelliptique de genre positif g , p un point lisse de Weiers-trass de Γ et onsidérons, quel que soit le nombre impair j = 2 d − < g , la suiteexa te de O Γ -modules → O Γ → O Γ ( jp ) → O jp ( jp ) → , ainsi que sa suite exa telongue de ohomologie → H o (Γ , O Γ ) → H o (Γ , O Γ ( jp )) → H o (Γ , O jp ( jp )) δ → H (Γ , O Γ ) → . . . ,où δ est l'appli ation obord. Alors W d = δ ( H o ( O jp ( jp ))) est le d -ième sous-espa eos ulateur à A p (Γ) en . Dé(cid:28)nition 1.3Soit π : (Γ , p ) → ( X, q ) un revêtement rami(cid:28)é de la ourbe elliptique ( X, q ) , p unpoint lisse de Γ tel que π ( p ) = q et notons ι π : ( X, q ) → ( J ac Γ , l'homomorphismede groupes algébriques, q ′ A p ( π ∗ ( q ′ − q )) . Nous dirons que π est un revêtementhyperelliptique d -os ulateur ( d > si et seulement s'il satisfait les propriétés i-après :1. Γ est un revêtement double de P , rami(cid:28)é en p ;2. la tangente à ι π ( X ) en est ontenue dans W d mais pas dans W d − .Dé(cid:28)nition 1.4 ( f.[8℄)1. Soit π s : S → X l'unique surfa e réglée au dessus de X, ayant une seule se -tion, C o ⊂ S , d'auto-interse tion nulle. La symétrie anonique de ( X, q ) , [ −
1] : → X , (cid:28)xe l'origine ω o : = q ainsi que les trois autres demi-périodes { ω j , j =1 , , } , et se remonte en une involution de S , notée τ : S → S ( π s ◦ τ =[ − ◦ π s ) , ayant deux points (cid:28)xes au dessus de haque ω i ( i = 0 , . . . , : unsur C o , noté s i , et l'autre noté r i .2. Soit d'autre part e : S ⊥ → S l'é latement des huit points { s i , r i } ⊂ S etnotons { s ⊥ i , r ⊥ i } les diviseurs ex eptionnels orrespondants. Alors τ : S → S se remonte à son tour en une involution τ ⊥ : S ⊥ → S ⊥ ( e ◦ τ ⊥ = τ ◦ e ) .3. Il s'en suit que la surfa e quotient ˜ S : = S ⊥ /τ ⊥ est lisse et que le revêtementdouble asso ié, ϕ : S ⊥ → ˜ S , est rami(cid:28)é le long des ourbes { s ⊥ i , r ⊥ i } .- Les proje tions π ⊥ s := π s ◦ e : S ⊥ → X et ϕ : S ⊥ → ˜ S , donnent un adre uni-versel pour les revêtements hyperelliptiques d -os ulateurs ( d > ) et permettent dedémontrer la proposition 1.6 et le Théorème 1.9 i-dessous, de façon analogue aux as parti uliers d = 1 , d = 2 et K = C ( f.[8℄,[1℄).Proposition 1.5 ( f.[8℄,[1℄,[2℄)Soit π : (Γ , p ) → ( X, q ) un revêtement hyperelliptique d -os ulateur de degré n etnotons ρ son indi e de rami(cid:28) ation en p . Alors ρ est un nombre impair majoré par d − et il existe un unique morphisme ι ⊥ : Γ → S ⊥ tel que :1. la ourbe image ι ⊥ (Γ) ⊂ S ⊥ est ι ⊥ - invariante et sa proje tion, ˜Γ : = ϕ ( ι ⊥ (Γ)) ,est une ourbe rationnelle irrédu tible de ˜ S ;2. π se fa torise via ι ⊥ , π = π s ◦ e ◦ ι ⊥ , et deg ( ι ⊥ : Γ → Γ ⊥ ) divise d − ;3. le diviseur image dire te ( e ◦ ι ⊥ ) ∗ (Γ) est linéairement équivalent à nC o + (2 d − S o et n'interse te C o qu'au point ( e ◦ ι ⊥ )( p ) = C o ∩ S o ;4. Le diviseur ( ι ⊥ ) ∗ (Γ) est linéairement équivalent à e ∗ ( nC o + (2 d − S o ) − ρs ⊥ o − Σ i γ i r ⊥ i , où, pour tout i = 0 , . . . , , γ i := ι ⊥∗ (Γ) .r ⊥ i .Dé(cid:28)nition 1.6Le ve teur γ = ( γ i ) ∈ N , γ i : = ( ι ⊥ ) ∗ (Γ) .r ⊥ i , anoniquement asso ié au revêtementhyperelliptique d -os ulateur π , sera appelé le type de π . Nous désignerons doréna-vant, par γ (1) et γ (2) les sommes Σ i γ i et Σ i γ i , respe tivement.Theorème 1.7Soit π : (Γ , p ) → ( X, q ) un revêtement hyperelliptique d -os ulateur, de degré n , type γ , genre arithmétique g et notons ρ son indi e de rami(cid:28) ation en p. Alors :5. γ o + 1 ≡ γ ≡ γ ≡ γ ≡ n ( mod. ;2. g + 1 γ (1) et γ (2) (2 d − n −
2) + 4 − ρ .- Au moyen des ritères d'existen e et d'irrédu tibilité i-après, nous onstruisons(cid:28)nalement, pour tout n et pour g arbitrairement grand, une famille de dimension d − de tels revêtements, de degré n et genre g .Proposition 1.8 ( f.[8℄Ÿ6.2)Soit k ∈ { , , , } et α = ( α i ) ∈ N tel que α k + 1 ≡ α j (mod. ), quel que soit j = k .Alors, il existe une unique ourbe irrédu tible tra ée dans S ⊥ , notée i-après Z ⊥ α , quisoit τ ⊥ -invariante et linéairement équivalente à e ∗ ( nC o + S k ) − s ⊥ k − Σ i α i r ⊥ i , où n := 1 / − i α i ) .Proposition 1.9 ( f.[7℄Ÿ3.4)Soit Γ un diviseur e(cid:27)e tif de la surfa e S , lisse en s o et tel que Γ ∩ C o = s o . Alors Γ est une ourbe irrédu tible.Proposition 1.10Soit C ⊥ o le transformé stri t de C o dans S ⊥ et Γ ⊥ un diviseur e(cid:27)e tif de S ⊥ satis-faisant les propriétés suivantes :1. la ourbe Γ ⊥ interse te C ⊥ o uniquement au point p ⊥ o : = C ⊥ o ∩ s ⊥ o et son supportne ontient au une des ourbes dans { C ⊥ o , s ⊥ i , r ⊥ i , i = 0 , . . . , } ;2. quel que soit i = 0 , . . . , , deg (Γ ⊥ .s ⊥ i ) = δ i, .Alors Γ ⊥ est une ourbe irrédu tible .PreuveLa propriété 1.10.1. nous assure que Γ ⊥ est le transformé stri t de Γ : = e ∗ (Γ ⊥ ) ,son image dire te par e : S ⊥ → S , et que elle- i ne ontient pas C o . On véri(cid:28)e éga-lement, grâ e aux autres propriétés, que Γ est lisse en s o et que Γ ∩ C o = s o . Ils'en suit, d'après [7℄Ÿ3.4, que Γ est une ourbe irrédu tible, de même que Γ ⊥ , sontransformé stri t. (cid:4) Theorème 1.11Fixons d ∈ N , µ = ( µ i ) ∈ N tel que µ o + 1 ≡ µ ≡ µ ≡ µ (mod. ) et hoisissons ε ∈ Z égal, à moins d'une permutation ou d'un hangement des signes des oe(cid:30)- ients, soit à ε = (0 , d − , d − , d − , soit à ε = ( d − , d, d, d ) si d est pairou à ε = ( d + 1 , d − , d − , d − si d est impair. Notons γ : = (2 d − µ + ε et6oit n ∈ N ∗ l'unique naturel positif tel que γ (2) := Σ i γ i = (2 d − n −
2) + 3 .Alors, le système linéaire | e ∗ ( nC o + (2 d − S o ) − s ⊥ o − Σ i γ i r ⊥ i | ontient un sous-espa e de dimension ( d − , dont l'élément générique est une ourbe irrédu tible, τ ⊥ -invariante et lisse au point p ⊥ o : = C ⊥ o ∩ s ⊥ o , telle que sa proje tion dans ˜ S estisomorphe à P .Corollaire 1.12Soient γ ∈ N et n ∈ N (où γ (2) = (2 d − n −
2) + 3)) omme i-dessus. Ilexiste alors une famille ( d − -dimensionnelle de revêtements hyperelliptiques d -os ulateurs, de degré n , type γ et non-singuliers de genre g := 1 / − γ (1) ) . Preuve du Théorème.Pour des raisons d'espa e nous allons onstruire uniquement la famille asso iée à γ = (2 d - µ + (0 , d - , d - , d - , auquel as le degré n orrespondant est tel que n = (2 d - µ (2) + 4( d - µ + µ + µ ) + 6 d − .Soient µ (1) : = µ + (0 , , , , µ (2) : = µ + (0 , , , , µ (3) : = µ + (0 , , , , etnotons, d'après 1.11 i-dessus, Z ⊥ ( k ) ( k = 1 , , l'unique ourbe τ ⊥ -invariante de S ⊥ ,telle que Z ⊥ ( k ) ∼ e ∗ ( m ( k ) C o + S k ) − s ⊥ k − Σ i µ ( k ) i r ⊥ i , où m ( k ) + 1 = Σ i µ ( k ) i .Soient d'autre part µ + := µ + (1 , , , , µ ′ := µ + (0 , , , , et notons Z ⊥ + , Z ′⊥ , lesuniques ourbes τ ⊥ -invariantes de S ⊥ , linéairement équivalentes à :1. Z ⊥ + ∼ e ∗ ( m + C o + S o ) − s ⊥ o − Σ i µ + i r ⊥ i , où m + + 1 = µ +(2) ;2. Z ′⊥ ∼ e ∗ ( m ′ C o + S o ) − s ⊥ − Σ i µ ′ i r ⊥ i , où m ′ + 1 = µ ′ (2) .De même, si µ o = 0 on note µ − := µ + ( − , , , et Z ⊥− l'unique ourbe τ ⊥ -invariante de S ⊥ , telle que Z ⊥− ∼ e ∗ ( m − C o + S o ) − s ⊥ o − Σ i µ − i r ⊥ i , où m − + 1 = µ − (2) .Par ontre, si µ o = 0 on notera Z ⊥− : = Z ⊥ + + 2 r ⊥ o , de telle sorte que dans les deux as de (cid:28)gure, les diviseurs D ⊥ o := Z ⊥ + + Z ⊥− + 2 s ⊥ o et D ⊥ := Z ′⊥ + Z ⊥ (1) + 2 s ⊥ soientlinéairement équivalents.Considérons (cid:28)nalement la ourbe Z ⊥ ∼ e ∗ ( mC o + S o ) − s ⊥ o − Σ i µ i r ⊥ i où m +1 = Σ i µ i et remarquons les faits suivants :1. tout élément τ ⊥ -invariant de Λ est l'image ré iproque par ϕ : S ⊥ → ˜ S , d'undiviseur de genre arithmétique nul de ˜ S ;2. le diviseur F ⊥ j := C ⊥ o + Σ k =0 ( Z ⊥ ( k ) + s ⊥ k ) + jD ⊥ o + ( d − − j ) D ⊥ , pour tout j = 0 , . . . , d − , ainsi que G ⊥ := Z ⊥ + ( d − D ⊥ o , appartiennent à Λ ;3. les diviseurs { F ⊥ j , j = 0 , . . . , d − } ont C ⊥ o omme unique omposante irré-du tible ommune, mais F ⊥ o est le seul à être lisse au point p ⊥ o := C ⊥ o ∩ s ⊥ o .7n parti ulier ils engendrent un sous-espa e ( d − -dimensionnel de Λ , dontl'élément générique est transverse à s ⊥ o en p ⊥ o ;4. le diviseur G ⊥ interse te C ⊥ o uniquement au point p ⊥ o .Il en résulte que { G ⊥ , F ⊥ j , j = 0 , . . . , d − } engendre un sous-espa e ( d − -dimensionnel et τ ⊥ -invariant de Λ , dont l'élément générique satisfait le ritère d'ir-rédu tibilité 1.10 et se projette dans ˜ S sur une ourbe isomorphe à P . (cid:4) Preuve du Corollaire :Soit Γ ⊥ l'élément générique du sous-espa e de Λ onstruit i-haut. On sait, d'aprèsle Théorème 1.11, que ϕ : Γ ⊥ → ˜Γ est un revêtement de degré 2, rami(cid:28)é en p ⊥ o , dontl'image est isomorphe à P . Don Γ ⊥ est une ourbe hyperelliptique et p ⊥ o ∈ Γ ⊥ estun point de Weierstrass de Γ ⊥ . Il s'en suit que la proje tion naturelle de (Γ ⊥ , p ⊥ o ) sur ( X, q ) (restri tion de π ⊥ s : S ⊥ → X à Γ ⊥ ) , est un revêtement hyperelliptique d -os ulateur de type γ , degré n et genre g , tel que (2 n − d −
1) + 3 = γ (2) et g + 1 = γ (1) . (cid:4) Référen es[1℄ Flédri h P., Paires 3-tangentielles hyperelliptiques et solutions doublement pé-riodiques en t de l'équation de K-deV, Thèse Univ. d'Artois (12/2003).[2℄ Flédri h P. & Treibi h A., Hyperellipti os ulating overs and KdV solutionsperiodi in t , I.M.R.N., 2006, N o o KdV type, Publ. Math.IHES, 61 (1985), 5-65.[6℄ Smirnov A.O., Solutions of the KdV equation, ellipti in t, Teor. Mat.Fiz. 100,N o oo