Saalschütz's theorem and summation formulae involving generalized harmonic numbers
aa r X i v : . [ m a t h . C O ] J un SAALSCH ¨UTZ’S THEOREM AND SUMMATION FORMULAEINVOLVING GENERALIZED HARMONIC NUMBERS
CHUANAN WEI
Department of MathematicsShanghai Normal University, Shanghai 200234, China
Abstract.
In terms of the derivative operator, integral operator and Saalsch¨utz’stheorem, two families of summation formulae involving generalized harmonic numbersare established. Introduction
For a complex variable x , define the shifted factorial to be( x ) = 0 and ( x ) n = x ( x + 1) · · · ( x + n −
1) with n ∈ N . Following Andrews, Askey and Roy [2, Chapter 2], define the hypergeometric series by r F s (cid:20) a , a , · · · , a r b , · · · , b s (cid:12)(cid:12)(cid:12) z (cid:21) = ∞ X k =0 ( a ) k ( a ) k · · · ( a r ) k (1) k ( b ) k · · · ( b s ) k z k , where { a i } i ≥ and { b j } j ≥ are complex parameters such that no zero factors appear inthe denominators of the summand on the right hand side. Then Saalsch¨utz’s theorem(cf. [2, p. 69]) can be stated as F (cid:20) a, b, − nc, a + b − c − n (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:21) = ( c − a ) n ( c − b ) n ( c ) n ( c − a − b ) n . (1)For a complex number x and a positive integer ℓ , define generalized harmonic numbersof ℓ -order to be H h ℓ i ( x ) = 0 and H h ℓ i n ( x ) = n X k =1 x + k ) ℓ with n ∈ N . When x = 0, they become harmonic numbers of ℓ -order H h ℓ i = 0 and H h ℓ i n = n X k =1 k ℓ with n ∈ N . Fixing ℓ = 1 in H h ℓ i ( x ) and H h ℓ i n ( x ), we obtain generalized harmonic numbers H ( x ) = 0 and H n ( x ) = n X k =1 x + k with n ∈ N . : Primary 05A10 and Secondary 33C20. Key words and phrases.
Hypergeometric series; Saalsch¨utz’s theorem; Derivative operator; Integraloperator; Harmonic numbers.
Email address : weichuanan78@ 163.com.
C. Wei
When x = 0, they reduce to classical harmonic numbers H = 0 and H n = n X k =1 k with n ∈ N . For a differentiable function f ( x ), define the derivative operator D x by D x f ( x ) = ddx f ( x ) . For an integrable function g ( x ), define the integral operator I x by I x g ( x ) = Z x g ( x ) dx. In order to explain the relation of the derivative operator and generalized harmonicnumbers, we introduce the following lemma.
Lemma 1.
Let x and { a j , b j , c j , d j } sj =1 be all complex numbers. Then D x s Y j =1 a j x + b j c j x + d j = s Y j =1 a j x + b j c j x + d j s X j =1 a j d j − b j c j ( a j x + b j )( c j x + d j ) . Proof.
It is not difficult to verify the case s = 1 of Lemma 1. Suppose that D x m Y j =1 a j x + b j c j x + d j = m Y j =1 a j x + b j c j x + d j m X j =1 a j d j − b j c j ( a j x + b j )( c j x + d j )is true. We can proceed as follows: D x m +1 Y j =1 a j x + b j c j x + d j = D x (cid:26) m Y j =1 a j x + b j c j x + d j a m +1 x + b m +1 c m +1 x + d m +1 (cid:27) = a m +1 x + b m +1 c m +1 x + d m +1 D x m Y j =1 a j x + b j c j x + d j + m Y j =1 a j x + b j c j x + d j D x a m +1 x + b m +1 c m +1 x + d m +1 = a m +1 x + b m +1 c m +1 x + d m +1 m Y j =1 a j x + b j c j x + d j m X j =1 a j d j − b j c j ( a j x + b j )( c j x + d j )+ m Y j =1 a j x + b j c j x + d j a m +1 d m +1 − b m +1 c m +1 ( c m +1 x + d m +1 ) = m +1 Y j =1 a j x + b j c j x + d j (cid:26) m X j =1 a j d j − b j c j ( a j x + b j )( c j x + d j ) + a m +1 d m +1 − b m +1 c m +1 ( a m +1 x + b m +1 )( c m +1 x + d m +1 ) (cid:27) = m +1 Y j =1 a j x + b j c j x + d j m +1 X j =1 a j d j − b j c j ( a j x + b j )( c j x + d j ) . This proves Lemma 1 inductively. (cid:3)
Setting a j = 1 , b j = r − j + 1 , c j = 0 , d j = j in Lemma 1, it is easy to find that D x (cid:18) x + rs (cid:19) = (cid:18) x + rs (cid:19)(cid:8) H r ( x ) − H r − s ( x ) (cid:9) , where r, s ∈ N with s ≤ r . Besides, we have the following relation: D x H h ℓ i n ( x ) = − ℓH h ℓ +1 i n ( x ) . ummation formulae involving generalized harmonic numbers 3 As pointed out by Richard Askey (cf. [1]), expressing harmonic numbers in accordancewith differentiation of binomial coefficients can be traced back to Issac Newton. In 2003,Paule and Schneider [7] computed the family of series: W n ( α ) = n X k =0 (cid:18) nk (cid:19) α { α ( n − k ) H k } with α = 1 , , , , q -series transformation, Krattenthaler and Rivoal [4] deduced general Paule-Schneider type identities with α being a positive integer. More results from differentiationof binomial coefficients can be seen in the papers [9, 13, 14, 15]. For different ways and re-lated harmonic number identities, the reader may refer to [3, 5, 6, 8, 10, 12]. It should bementioned that Sun [11] showed recently some congruence relations concerning harmonicnumbers to us.Inspired by the work just mentioned, we shall explore, by means of the derivative op-erator, integral operator and (1), closed expressions for the following two families ofseries: n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) x − y + n + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) x + kk (cid:1) (cid:0) yt (cid:1)(cid:0) y + kt (cid:1) H h i k ( x ) , n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) (cid:0) yt (cid:1)(cid:0) y + kt (cid:1) H h ℓ i k ( x ) , where t ∈ N . In order to avoid appearance of complicated expressions, our explicitformulae are offered only for t = 1 , ℓ = 1 , , , The first family of summation formulae involvinggeneralized harmonic numbers
Theorem 2.
Let x and y be both complex numbers. Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) x − y + n + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) x + kk (cid:1) yy + k H h i k ( x )= (cid:0) x − y + nn (cid:1) (cid:0) x + nn (cid:1) n H h i n ( x ) − H h i n ( x − y ) o . Proof.
Perform the replacements a → z , b → y , c → x in (1) to get n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) z + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) x + kk (cid:1)(cid:0) y + z − x − n + kk (cid:1) yy + k = (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x − z − nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) x − y − z − nn (cid:1) . (2)Applying the derivative operator D x to both sides of (2), we gain n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) z + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) x + kk (cid:1)(cid:0) y + z − x − n + kk (cid:1) yy + k n H k ( y + z − x − n ) − H k ( x ) o = (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x − z − nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) x − y − z − nn (cid:1) n H n ( x − y ) + H n ( x − z − − H n ( x ) − H n ( x − y − z − o . C. Wei
The equivalent form of it reads as n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) z + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) x + kk (cid:1)(cid:0) y + z − x − n + kk (cid:1) yy + k k X i =1 x + i )( y + z − x − n + i )= (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x − z − nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) x − y − z − nn (cid:1) (cid:26) H n ( x − y )+ H n ( x − z − x − y − z + n − H n ( x )+ H n ( x − y − z − x − y − z + n (cid:27) . (3)By means of L’Hˆospital rule, we achieveLim z → x − y + n H n ( x − y ) + H n ( x − z − x − y − z + n = Lim z → x − y + n H h i n ( x − z − − − H h i n ( y − x − n − − H h i n ( x − y ) , (4)Lim z → x − y + n H n ( x ) + H n ( x − y − z − x − y − z + n = Lim z → x − y + n H h i n ( x − y − z − − − H h i n ( − x − n − − H h i n ( x ) . (5)Taking the limit z → x − y + n on both sides of (3) and using (4)-(5), we attain Theorem2 to complete the proof. (cid:3) Choosing x = p , y = q in Theorem 2 with p, q ∈ N and utilizing (2), we obtain thesummation formula involving harmonic numbers of 2-order. Corollary 3.
Let p and q be both nonnegative integers satisfying p ≥ q . Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) p − q + n + kk (cid:1)(cid:0) q + kk (cid:1)(cid:0) p + kk (cid:1) qq + k H h i p + k = (cid:0) p − q + nn (cid:1) (cid:0) p + nn (cid:1) n H h i p − q + H h i p + n − H h i p − q + n o . Theorem 4.
Let x and y be both complex numbers. Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) x − y + n + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) x + kk (cid:1) ( y − y ( y + k − y + k ) H h i k ( x )= n + n (1 + 2 x − y ) + (1 + x − y ) (1 + x − y ) (cid:0) x − y + nn (cid:1) (cid:0) x + nn (cid:1) n H h i n ( x ) − H h i n ( x − y ) o + n + n (1 + 2 x − y )(1 + x − y ) (cid:0) x − y + nn (cid:1) (cid:0) x + nn (cid:1) . Proof.
Replace c by 1 + c in (1) to get F (cid:20) a, b, − n c, a + b − c − n (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:21) = (1 + c − a ) n (1 + c − b ) n (1 + c ) n (1 + c − a − b ) n . ummation formulae involving generalized harmonic numbers 5 The combination of (1) and the last equation gives F (cid:20) a, b, − n c, a + b − c − n (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:21) = (cid:26) n ( c − a − b )( c − a )( c − b ) (cid:27) ( c − a ) n ( c − b ) n (1 + c ) n ( c − a − b ) n . (6)Employ the substitutions a → z , b → y − c → x in (6) to gain n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) z + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) x + kk (cid:1)(cid:0) y + z − x − n + kk (cid:1) ( y − y ( y + k − y + k )= ( x − y + 1)( x − z −
1) + n ( x − y − z )( x − y + 1)( x − z − n ) (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x − z − nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) x − y − z − nn (cid:1) . (7)Applying the derivative operator D x to both sides of (7), we achieve n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) z + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) x + kk (cid:1)(cid:0) y + z − x − n + kk (cid:1) ( y − y ( y + k − y + k ) n H k ( y + z − x − n ) − H k ( x ) o = ( x − y + 1)( x − z −
1) + n ( x − y − z )( x − y + 1)( x − z − n ) (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x − z − nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) x − y − z − nn (cid:1) × n H n ( x − y ) + H n ( x − z − − H n ( x ) − H n ( x − y − z − o + n ( z + 1)(2 x − y − z + n )( x − y + 1) ( x − z − n ) (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x − z − nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) x − y − z − nn (cid:1) . The equivalent form of it can be expressed as n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) z + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) x + kk (cid:1)(cid:0) y + z − x − n + kk (cid:1) ( y − y ( y + k − y + k ) k X i =1 x + i )( y + z − x − n + i )= ( x − y + 1)( x − z −
1) + n ( x − y − z )( x − y + 1)( x − z − n ) (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x − z − nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) x − y − z − nn (cid:1) × (cid:26) H n ( x − y )+ H n ( x − z − x − y − z + n − H n ( x )+ H n ( x − y − z − x − y − z + n (cid:27) + n ( z + 1)( x − y + 1) ( x − z − n ) (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x − z − nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) x − y − z − nn (cid:1) . Taking the limit z → x − y + n on both sides of the last equation and exploiting (4)-(5),we attain Theorem 4 to finish the proof. (cid:3) Selecting x = p , y = q in Theorem 4 with p, q ∈ N and availing (7), we obtain thesummation formula involving harmonic numbers of 2-order. Corollary 5.
Let p and q be both nonnegative integers provided that p ≥ q . Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) p − q + n + kk (cid:1)(cid:0) q + kk (cid:1)(cid:0) p + kk (cid:1) ( q − q ( q + k − q + k ) H h i p + k = n + n (1 + 2 p − q ) + (1 + p − q ) (1 + p − q ) (cid:0) p − q + nn (cid:1) (cid:0) p + nn (cid:1) n H h i p − q + H h i p + n − H h i p − q + n o + n + n (1 + 2 p − q )(1 + p − q ) (cid:0) p − q + nn (cid:1) (cid:0) p + nn (cid:1) . C. Wei
Similarly, closed expressions for the following series n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) x − y + n + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) x + kk (cid:1) (cid:0) yt (cid:1)(cid:0) y + kt (cid:1) H h i k ( x )with t ≥ The second family of summation formulae involvinggeneralized harmonic numbers
Theorem 6.
Let x and y be both complex numbers. Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) yy + k H h i k ( x )= ( − n n (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) n H n ( x − y ) − H n ( x ) o . Proof.
Perform the replacements a → x , b → y , c → z in (1) to get n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) x + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) z + kk (cid:1)(cid:0) x + y − z − n + kk (cid:1) yy + k = (cid:0) z − x − nn (cid:1)(cid:0) z − y + nn (cid:1)(cid:0) z − x − y − nn (cid:1)(cid:0) z + nn (cid:1) . (8)Applying the derivative operator D x to both sides of (8), we have n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) x + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) z + kk (cid:1)(cid:0) x + y − z − n + kk (cid:1) yy + k n H k ( x ) − H k ( x + y − z − n ) o = (cid:0) z − x − nn (cid:1)(cid:0) z − y + nn (cid:1)(cid:0) z − x − y − nn (cid:1)(cid:0) z + nn (cid:1) n H n ( z − x − y − − H n ( z − x − o . The equivalent form of it reads as n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) x + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) z + kk (cid:1)(cid:0) x + y − z − n + kk (cid:1) yy + k k X i =1 x + i )( x + y − z − n + i )= (cid:0) z − x − nn (cid:1)(cid:0) z − y − nn (cid:1)(cid:0) z − x − y − nn (cid:1)(cid:0) z + nn (cid:1) H n ( z − x − y − − H n ( z − x − y − z . Taking the limit z → y − n on both sides of the last equation, we gain Theorem 6 tocomplete the proof. (cid:3) Fixing x = p , y = q in Theorem 6 with p, q ∈ N and using (8), we achieve the summationformula involving harmonic numbers of 2-order. Corollary 7.
Let p and q be both nonnegative integers satisfying p ≥ q ≥ n . Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) q + kk (cid:1)(cid:0) q − n + kk (cid:1) qq + k H h i p + k = ( − n n (cid:0) p − q + nn (cid:1)(cid:0) p + nn (cid:1)(cid:0) qn (cid:1) n H p − q + n − H p + n − H p − q + H p o . Theorem 8.
Let x and y be both complex numbers. Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) yy + k H k ( x ) = ( − n n (cid:0) yn (cid:1) (cid:26) − (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1) (cid:27) . ummation formulae involving generalized harmonic numbers 7 Proof.
Applying the integral operator I x to both sides of Theorem 6, we attain n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) yy + k n H k − H k ( x ) o = ( − n n (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) x = ( − n n (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) − ( − n n (cid:0) − y + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) . (9)Take the limit x → ∞ on both sides of (9) to deduce n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) yy + k H k = ( − n n (cid:0) yn (cid:1) − ( − n n (cid:0) − y + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) . The difference of (9) and the last equation creates Theorem 8. (cid:3)
Setting x = p , y = q in Theorem 8 with p, q ∈ N and utilizing (8), we obtain thesummation formula involving harmonic numbers. Corollary 9.
Let p and q be both nonnegative integers provided that q ≥ n . Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) q + kk (cid:1)(cid:0) q − n + kk (cid:1) qq + k H p + k = ( − n n (cid:0) qn (cid:1) (cid:26) − (cid:0) p − q + nn (cid:1)(cid:0) p + nn (cid:1) (cid:27) . Applying the derivative operator D x to both sides of Theorem 8, we get the summationformula involving generalized harmonic numbers of 3-order. Theorem 10.
Let x and y be both complex numbers. Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) yy + k H h i k ( x ) = ( − n n (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) × n(cid:2) H h i n ( x − y ) − H h i n ( x ) (cid:3) − (cid:2) H n ( x − y ) − H n ( x ) (cid:3) o . Choosing x = p , y = q in Theorem 10 with p, q ∈ N and exploiting (8), we gain thesummation formula involving harmonic numbers of 3-order. Corollary 11.
Let p and q be both nonnegative integers satisfying p ≥ q ≥ n . Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) q + kk (cid:1)(cid:0) q − n + kk (cid:1) qq + k H h i p + k = ( − n n (cid:0) p − q + nn (cid:1)(cid:0) p + nn (cid:1)(cid:0) qn (cid:1) × n(cid:2) H h i p − q + n − H h i p + n − H h i p − q + H h i p (cid:3) − (cid:2) H p − q + n − H p + n − H p − q + H p (cid:3) o . Applying the derivative operator D x to both sides of Theorem 10, we achieve the sum-mation formula involving generalized harmonic numbers of 4-order. Theorem 12.
Let x and y be both complex numbers. Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) yy + k H h i k ( x ) = ( − n n (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) × n(cid:2) H n ( x − y ) − H n ( x ) (cid:3) + 2 (cid:2) H h i n ( x − y ) − H h i n ( x ) (cid:3) − (cid:2) H n ( x − y ) − H n ( x ) (cid:3)(cid:2) H h i n ( x − y ) − H h i n ( x ) (cid:3) o . C. Wei
Selecting x = p , y = q in Theorem 12 with p, q ∈ N and availing (8), we attain thesummation formula involving harmonic numbers of 4-order. Corollary 13.
Let p and q be both nonnegative integers provided that p ≥ q ≥ n . Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) q + kk (cid:1)(cid:0) q − n + kk (cid:1) qq + k H h i p + k = ( − n n (cid:0) p − q + nn (cid:1)(cid:0) p + nn (cid:1)(cid:0) qn (cid:1) × n(cid:2) H p − q + n − H p + n − H p − q + H p (cid:3) + 2 (cid:2) H h i p − q + n − H h i p + n − H h i p − q + H h i p (cid:3) − (cid:2) H p − q + n − H p + n − H p − q + H p (cid:3)(cid:2) H h i p − q + n − H h i p + n − H h i p − q + H h i p (cid:3)o . Theorem 14.
Let x and y be both complex numbers. Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) ( y − y ( y + k − y + k ) H h i k ( x )= ( − n (1 + x − y + ny ) n ( n − x − y ) (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) × (cid:26) H n ( x ) − H n ( x − y ) + ny (1 + x − y )(1 + x − y + ny ) (cid:27) . Proof.
Employ the substitutions a → x , b → y − c → z in (6) to obtain n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) x + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) z + kk (cid:1)(cid:0) x + y − z − n + kk (cid:1) ( y − y ( y + k − y + k )= ( z − x − z − y + 1) + n ( z − x − y )( z − x − n )( z − y + 1) (cid:0) z − x − nn (cid:1)(cid:0) z − y + nn (cid:1)(cid:0) z − x − y − nn (cid:1)(cid:0) z + nn (cid:1) . (10)Applying the derivative operator D x to both sides of (10), we get n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) x + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) z + kk (cid:1)(cid:0) x + y − z − n + kk (cid:1) ( y − y ( y + k − y + k ) n H k ( x ) − H k ( x + y − z − n ) o = ( z − x − z − y + 1) + n ( z − x − y )( z − x − n )( z − y + 1) (cid:0) z − x − nn (cid:1)(cid:0) z − y + nn (cid:1)(cid:0) z − x − y − nn (cid:1)(cid:0) z + nn (cid:1) × n H n ( z − x − y − − H n ( z − x − o − n ( z + n )( z − x − n ) ( z − y + 1) (cid:0) z − x − nn (cid:1)(cid:0) z − y + nn (cid:1)(cid:0) z − x − y − nn (cid:1)(cid:0) z + nn (cid:1) . Its equivalent form can be written as n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) x + kk (cid:1)(cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) z + kk (cid:1)(cid:0) x + y − z − n + kk (cid:1) ( y − y ( y + k − y + k ) k X i =1 x + i )( x + y − z − n + i )= ( z − x − z − y + 1) + n ( z − x − y )( z − x − n )( z − y + 1)( y − z ) (cid:0) z − x − nn (cid:1)(cid:0) z − y − nn (cid:1)(cid:0) z − x − y − nn (cid:1)(cid:0) z + nn (cid:1) × n H n ( z − x − y − − H n ( z − x − o − n ( z + n )( z − x − n ) ( z − y + 1)( y − z ) (cid:0) z − x − nn (cid:1)(cid:0) z − y − nn (cid:1)(cid:0) z − x − y − nn (cid:1)(cid:0) z + nn (cid:1) . Taking the limit z → y − n on both sides of the last equation, we gain Theorem 14 tofinish the proof. (cid:3) ummation formulae involving generalized harmonic numbers 9 Fixing x = p , y = q in Theorem 14 with p, q ∈ N and using (10), we achieve thesummation formula involving harmonic numbers of 2-order. Corollary 15.
Let p and q be both nonnegative integers satisfying p ≥ q ≥ n . Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) q + kk (cid:1)(cid:0) q − n + kk (cid:1) ( q − q ( q + k − q + k ) H h i p + k = ( − n (1 + p − q + nq ) n ( n − p − q ) (cid:0) p − q + nn (cid:1)(cid:0) p + nn (cid:1)(cid:0) qn (cid:1) × (cid:26) H p + n − H p − q + n − H p + H p − q + nq (1 + p − q )(1 + p − q + nq ) (cid:27) . Theorem 16.
Let x and y be both complex numbers. Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) ( y − y ( y + k − y + k ) H k ( x )= ( − n (1 + x − y + ny ) n ( n − x − y ) (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) − ( − n n ( n −
1) 1 (cid:0) yn (cid:1) . Proof.
Applying the integral operator I x to both sides of Theorem 14, we attain n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) ( y − y ( y + k − y + k ) n H k − H k ( x ) o = ( − n +1 (1 + x − y + ny ) n ( n − x − y ) (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) x = ( − n (1 − y + ny ) n ( n − − y ) (cid:0) − y + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) − ( − n (1 + x − y + ny ) n ( n − x − y ) (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) . (11)Take the limit x → ∞ on both sides of (11) to derive n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) ( y − y ( y + k − y + k ) H k = ( − n (1 − y + ny ) n ( n − − y ) (cid:0) − y + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) − ( − n n ( n −
1) 1 (cid:0) yn (cid:1) . The difference of (11) and the last equation produces Theorem 16. (cid:3)
Setting x = p , y = q in Theorem 16 with p, q ∈ N and utilizing (10), we obtain thesummation formula involving harmonic numbers. Corollary 17.
Let p and q be both nonnegative integers provided that q ≥ n . Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) q + kk (cid:1)(cid:0) q − n + kk (cid:1) ( q − q ( q + k − q + k ) H p + k = ( − n (1 + p − q + nq ) n ( n − p − q ) (cid:0) p − q + nn (cid:1)(cid:0) p + nn (cid:1)(cid:0) qn (cid:1) − ( − n n ( n −
1) 1 (cid:0) qn (cid:1) . Applying the derivative operator D x to both sides of Theorem 14, we get the summationformula involving generalized harmonic numbers of 3-order. Theorem 18.
Let x and y be both complex numbers. Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) ( y − y ( y + k − y + k ) H h i k ( x )= ( − n (1 + x − y + ny )2 n ( n − x − y ) (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) { A n ( x, y ) + B n ( x, y ) } , where the two symbols on the right hand side stand for A n ( x, y ) = (cid:2) H h i n ( x ) − H h i n ( x − y ) (cid:3) + 2 ny (1 + x − y ) (1 + x − y + ny ) ,B n ( x, y ) = (cid:2) H n ( x ) − H n ( x − y ) (cid:3)(cid:20) H n ( x ) − H n ( x − y ) + 2 ny (1 + x − y )(1 + x − y + ny ) (cid:21) . Choosing x = p , y = q in Theorem 18 with p, q ∈ N and exploiting (10), we gain thesummation formula involving harmonic numbers of 3-order. Corollary 19.
Let p and q be both nonnegative integers satisfying p ≥ q ≥ n . Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) q + kk (cid:1)(cid:0) q − n + kk (cid:1) ( q − q ( q + k − q + k ) H h i p + k = ( − n (1 + p − q + nq )2 n ( n − p − q ) (cid:0) p − q + nn (cid:1)(cid:0) p + nn (cid:1)(cid:0) qn (cid:1) { C n ( x, y ) + D n ( x, y ) } , where the corresponding expressions are C n ( p, q ) = (cid:2) H h i p + n − H h i p − q + n − H h i p + H h i p − q (cid:3) + 2 nq (1 + p − q ) (1 + p − q + nq ) ,D n ( p, q ) = (cid:2) H p + n − H p − q + n − H p + H p − q (cid:3) × (cid:20) H p + n − H p − q + n − H p + H p − q + 2 nq (1 + p − q )(1 + p − q + nq ) (cid:21) . Applying the derivative operator D x to both sides of Theorem 18, we achieve the sum-mation formula involving generalized harmonic numbers of 4-order. Theorem 20.
Let x and y be both complex numbers. Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) ( y − y ( y + k − y + k ) H h i k ( x )= ( − n n ( n − x − y ) (cid:0) x − y + nn (cid:1)(cid:0) x + nn (cid:1)(cid:0) yn (cid:1) × (cid:26) (1 + x − y + ny ) E n ( x, y ) + 3 ny x − y F n ( x, y ) + G n ( x, y ) (cid:27) , where the three symbols on the right hand side stand for E n ( x, y ) = (cid:2) H n ( x ) − H n ( x − y ) (cid:3) + 2 (cid:2) H h i n ( x ) − H h i n ( x − y ) (cid:3) + 3 (cid:2) H n ( x ) − H n ( x − y ) (cid:3)(cid:2) H h i n ( x ) − H h i n ( x − y ) (cid:3) ,F n ( x, y ) = (cid:2) H n ( x ) − H n ( x − y ) (cid:3) + (cid:2) H h i n ( x ) − H h i n ( x − y ) (cid:3) ,G n ( x, y ) = 6 ny (1 + x − y ) (cid:2) H n ( x ) − H n ( x − y ) (cid:3) + 6 ny (1 + x − y ) . Selecting x = p , y = q in Theorem 20 with p, q ∈ N and availing (10), we attain thesummation formula involving harmonic numbers of 4-order. ummation formulae involving generalized harmonic numbers 11 Corollary 21.
Let p and q be both nonnegative integers provided that p ≥ q ≥ n . Then n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) q + kk (cid:1)(cid:0) q − n + kk (cid:1) ( q − q ( q + k − q + k ) H h i p + k = ( − n n ( n − p − q ) (cid:0) p − q + nn (cid:1)(cid:0) p + nn (cid:1)(cid:0) qn (cid:1) × (cid:26) (1 + p − q + nq ) U n ( p, q ) + 3 nq p − q V n ( p, q ) + W n ( p, q ) (cid:27) , where the corresponding expressions are U n ( p, q ) = (cid:2) H p + n − H p − q + n − H p + H p − q (cid:3) + 2 (cid:2) H h i p + n − H h i p − q + n − H h i p + H h i p − q (cid:3) + 3 (cid:2) H p + n − H p − q + n − H p + H p − q (cid:3)(cid:2) H h i p + n − H h i p − q + n − H h i p + H h i p − q (cid:3) ,V n ( p, q ) = (cid:2) H p + n − H p − q + n − H p + H p − q (cid:3) + (cid:2) H h i p + n − H h i p − q + n − H h i p + H h i p − q (cid:3) ,W n ( p, q ) = 6 nq (1 + p − q ) (cid:2) H p + n − H p − q + n − H p + H p − q (cid:3) + 6 nq (1 + p − q ) . Closed expressions for the following series n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) (cid:0) y + kk (cid:1)(cid:0) y − n + kk (cid:1) (cid:0) yt (cid:1)(cid:0) y + kt (cid:1) H h ℓ i k ( x )with t ≥ ℓ ≥ Acknowledgments
The work is supported by the National Natural Science Foundation of China (No.11301120).