Self-graviting Gas Spheres in Equilibrium State
aa r X i v : . [ phy s i c s . g e n - ph ] N ov Esferas de G´as em Estado de Equil´ıbrio sob A¸c˜aoda Gravita¸c˜ao Pr´opria
Andrei Smirnov , Ricardo Max Menezes Oliveira Universdade Federal de Sergipe
Resumo
Nesse pequeno trabalho discutimos estados de equil´ıbrio de estrealas, consideradas como um corpo deg´as sujeito a a¸c˜ao da for¸ca gravitacional pr´opria, utilizando um modelo anal´ıtico simplificado. Usamos umacondi¸c˜ao para o estado de equil´ıbrio de um corpo de g´as na forma de uma equa¸c˜ao diferencial que relacionadistribui¸c˜ao de press˜ao e densidade de massa no corpo. Foram discutidas as distribui¸c˜oes de densidade demassa da forma constante, potencial, exponencial e gaussiana. Foram obtidas as express˜oes exatas paradistribui¸c˜ao de massa e press˜ao na dire¸c˜ao radial e a press˜ao central.
Palavras-chave : modelo anal´ıtico estrelar, estado de equil´ıbrio, solu¸c˜oes exatas.
Self-graviting Gas Spheres in Equilibrium State
Abstract
In the paper we discuss equilibrium states of stars, using a simplified analytic model. A star is consideredas self-graviting body of gas. We use a condition for the equilibrium state of the body in the form of adifferential equation, which relates the pressure distribution and mass density in the body. The densitydistributions of constant, potential, gaussian, and exponential forms are discussed. Exact expressions forthe distribution of mass and pressure along the radial direction, and the central pressure were obtained.
Key-words : stellar analytic model, equilibrium state, exact solutions.
De acordo com uma vis˜ao moderna uma estrela ´e considerada como uma esfera massiva de g´as (oumais exato de plasma), mantida ´ıntegra pela for¸ca de gravita¸c˜ao pr´opria. A estrutura interna deestrelas ´e bastante complicada e depende de massa estrelar. Para estrelas de massa solar (0,5-1,5 demassa solar) da sequˆencia principal da diagrama de Hertzsprung-Russell a estrutura interna inclui:um n´ucleo, uma zona de radia¸c˜ao e uma zona de covec¸c˜ao. As estrelas massivas (com massa maiorde 1,5 de massa de Sol) possuem n´ucleo convectivo acima de qual ´e localizada a zona de radia¸c˜ao (ou [email protected]; [email protected] [email protected]
1m envelope de radia¸c˜ao). Nas estrelas de massa menor de 0,5 de massa de Sol a zona de radia¸c˜ao ´eausente (diz-se que estrelas possuem um envelope de convec¸c˜ao). Nas estrelas da sequˆencia principala energia est´a sendo gerada pela queima de hidrogˆenio em h´elio atrav´es de fus˜ao nuclear em seun´ucleo.Na classifica¸c˜ao de estrelas fora da sequˆencia principal s˜ao distinguidas estrelas de tipos: sub-gigantes, gigantes, gigantes luminosas, supergigantes, hipergigantes, sub-an˜as, estrelas retardat´ariasazuis. Nas estrelas destes tipos a energia ´e gerada principalmente pelo mecanismo de fus˜ao nuclear.Al´em disso s˜ao consideradas as estrelas pr´e-sequˆencia principal. A fonte de energia desses objetos ´ecausada somente pela contra¸c˜ao gravitacional em oposi¸c˜ao `a fus˜ao nuclear em estrelas de outros tipos.Estrelas de v´arios tipos possuem caracter´ısticas espec´ıficas de estrutura, mecanismos da produ¸c˜ao etransporte de energia. Para alguns tipos de estrelas s˜ao constru´ıdos os bons modelos que descrevemadequadamente as caracter´ısticas observadas das estrelas, para outros tipos os modelos est˜ao emprocesso de constru¸c˜ao e discuss˜ao.O modelo mais simples de estrutura estelar ´e a aproxima¸c˜ao quase-est´atica de simetria esf´erica.Uma discuss˜ao desse modelo ´e apresentada em Refs. [1], [2]. O modelo assume que a estrela possuisimetria esf´erica e est´a em estado de equil´ıbrio hidrost´atico. O modelo ´e baseado em um conjunto deequa¸c˜oes diferenciais ordin´arias. Duas equa¸c˜oes descrevem varia¸c˜ao de mat´eria e press˜ao na dire¸c˜aoradial. Outras equa¸c˜oes descrevem varia¸c˜ao da luminosidade e transporte de energia. Para deter-mina¸c˜ao da luminosidade, precisa da caracter´ıstica taxa de produ¸c˜ao de energia. Esta caracter´ıstica´e determinada atrav´es de um mecanismo principal de transporte de energia: radia¸c˜ao ou convec¸c˜ao.O conjunto das equa¸c˜oes do modelo comp˜oe um sistema das equa¸c˜oes n˜ao lineares, que pode serresolvido em geral por m´etodos num´ericos.De fato nesse modelo as duas equa¸c˜oes para mat´eria e press˜ao s˜ao desacopladas das outrasequa¸c˜oes, pois elas n˜ao cont´em parˆametros como temperatura, taxa de produ¸c˜ao de energia, lu-minosidade, portanto podem ser consideradas separadamente. Impondo uma fun¸c˜ao da distrubui¸c˜aode densidade da materia na estrela, ´e possivel obter a distribui¸c˜ao de press˜ao. Adicionando umaequa¸c˜ao de estado para parˆametros termodinˆamicos, como por exemplo a equa¸c˜ao de estado de umg´as perfeito, ´e poss´ıvel calcular a temperatura na estrela. Adicionando ainda uma rela¸c˜ao apropriadapara taxa de produ¸c˜ao de energia, ´e possivel estimar a luminosidade da estrela. De tal maneira podeser constru´ıdo um modelo anal´ıtico. Claro que esse modelo ´e simplificado, mas permite fazer es-tima¸c˜oes de algumas caracter´ısticas principais de estrela, tais como: densidade central, temperaturacentral, luminosidade em termos de raio e massa de estrela. Tal forma de constru¸c˜ao de modelo2nal´ıtico foi discutida em Ref. [3], onde foi usada a distribui¸c˜ao de densidade na forma linear, cha-mado modelo linear de estrela. Entretanto, o uso da densidade na forma linear n˜ao parece muitoreal´ıstico.Nesse pequeno trabalho usamos os modelos anal´ıticos com v´arias distribui¸c˜oes de densidade comaspectos mais real´ısticos. Uma peculiaridade dos modelos propostos no trabalho ´e a possibilidade deresolver as equa¸c˜oes diferenciais analiticamente. No trabalho focalizamos na obten¸c˜ao da distribui¸c˜aode press˜ao na dire¸c˜ao radial e press˜ao central, ignorando a determina¸c˜ao de outros parˆametros. Dis-cutimos os modelos com distribui¸c˜oes de densidade das formas potencial, exponencial e gaussiana. Noin´ıcio discutimos tamb´em um modelo com densidade constante para demonstrar transparentementeos passos realizados nos c´alculos, e para introduzir nota¸c˜oes usadas posteriormente. As distribui¸c˜oesde massa e de press˜ao obtemos na forma anal´ıtica. Para realizar os c´alculos foram usados v´ariosm´etodos de f´ısica matem´atica dispon´ıveis na literatura, por exemplo [4], [5], [6]. Para visualiza¸c˜ao ecompara¸c˜ao dos resultados apresentamos tamb´em os resultados graficamente. Na conclus˜ao discuti-mos os resultados obtidos e suas aplica¸c˜oes poss´ıveis.Um dos aspectos motivacionais deste trabalho ´e a sua aplica¸c˜ao pedag´ogica. No trabalho demos-tramos de forma concisa a constru¸c˜ao das equa¸c˜oes e da condi¸c˜ao de contorno, que descrevem ummodelo anal´ıtico e simplificado das estrelas. Isto ´e, a equa¸c˜ao de equil´ıbrio hidrost´atico e a equa¸c˜aode conserva¸c˜ao de massa. Supomos que os modelos discutidos neste trabalho podem ser utilizadosem salas de aula ou como exerc´ıcios em disciplinas introdut´orias de astrof´ısica, disciplinas dedicadasa modelagem de fenˆomenos f´ısicos, ou at´e mesmo em equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias.
Consideraremos um volume de g´as esfericamente sim´etrico de raio R em estado de equl´ıbrio. Acoordenada radial r dentro da esfera varia como 0 ≤ r ≤ R . Escolhemos um fragmento de volumedentro da esfera da forma de um paralelep´ıpedo retˆangulo infinitesimal dV = dr ∆ s com base ∆ s e dealtura dr (ver Fig. 1). No fragmento de volume atuam as seguintes for¸cas externas: a for¸ca superficialde press˜ao das camadas adjacentes de g´as e a for¸ca gravitacional volum´etrica. Para garantir equilibriodo fragmento dentro da esfera de g´as a for¸ca gravitacional ~F g deve ser equilibrada pelas for¸cas depress˜ao que atuam na face inferior do fragmento ~F p e na face superior do fragmento ~F p (for¸casde press˜ao perperndicular a dire¸c˜ao radial s˜ao equilibradas por causa de simetria esf´erica e n˜ao s˜aoindicadas na figura), portanto: ~F g + ~F p + ~F p = 0 , (1)3nde: F g = G M r dmr , F p = p ∆ s, F p = p ∆ s , (2) dm = ρdV = ρdr ∆ s ´e a massa do fragmento infinitesimal considerado, ρ ´e a densidade da substˆanciade g´as, p = p ( r ), p = p ( r + dr ) s˜ao press˜oes nos pontos indicados, M r ´e a massa dentro da esferade raio r M r = Z r πρ ( r ) r dr . (3)Levando em conta os sentidos das for¸cas, temos: − G M r ρdr ∆ sr + p ( r ) ∆ s − p ( r + dr ) ∆ s = 0 . (4)Apresentando a diferen¸ca das press˜oes nos pontos pr´oximos: p ( r ) − p ( r + dr ) = − dpdr dr, (5)chegamos `a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria dpdr = − G M r ρr , (6)que relaciona a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de densidade da substˆancia de g´as ρ ( r ) e press˜ao p ( r ). A Eq.(6) apresenta a equa¸c˜ao de Euler para um fluido em estado de equil´ıbrio para o modelo considerado.Na superf´ıcie da esfera a press˜ao ´e nula. Obtendo assim a condi¸c˜ao de contorno no ponto r = R : p ( R ) = 0 . (7)Mostraremos v´arias formas de distrubui¸c˜ao de densidade da substˆancia na esfera que faz com queobtenhamos solu¸c˜oes exatas para distribui¸c˜ao da press˜ao. Escolhemos que a densidade da substˆancia dentro da esfera seja constante ρ ( r ) = ρ = const . (8)Pela Eq. (3) temos para M r : M r = Z r πρ r dr = 4 π ρ r = 4 πρ R (cid:16) rR (cid:17) , (9)sendo que a massa total da esfera ´e: M R = M r ( R ) = 4 πρ R . (10)4igura 1: Esquema das for¸cas externas atuando no fragmento de volume infinitesimal.Para determina¸c˜ao de p ( r ) da Eq. (6) temos a equa¸c˜ao diferencial: dpdr = − G πρ R (cid:16) rR (cid:17) ρ r ou dpdr = − πGρ R rR , (11)com a condi¸c˜ao de contorno (7). Resolvendo a Eq. (11), temos: p ( r ) − p = − πGρ R Z r rR d (cid:16) rR (cid:17) = − πGρ R (cid:16) rR (cid:17) , .2 0.4 0.6 0.8 1 r €€€€€€ R0.20.40.60.81 Ρ (cid:144) Ρ , M r (cid:144) M R Ρ M r €€€€€€ R0.20.40.60.81p (cid:144) p Figura 2: Distribui¸c˜oes de ρ , M r , p para ρ = const .onde p = p (0) ´e press˜ao no ponto r = 0, que apresenta a press˜ao cetral na esfera de g´as. Aplicandoa condi¸c˜ao de contorno (7), obtemos: p = 12 4 πGρ R , (12)portanto: p ( r ) = 4 πGρ (cid:18) − r R (cid:19) . (13)As distribui¸c˜oes de ρ ( r ), M r ( r ), p ( r ) s˜ao mostrados na Fig. 2. Escolhemos a distribui¸c˜ao de densidade da substˆancia na forma potencial ρ ( r ) = ρ (cid:18) − r n R n (cid:19) . (14)6 .2 0.4 0.6 0.8 1 r €€€€€€ R0.20.40.60.81 Ρ (cid:144) Ρ n = = €€€€€€ R0.20.40.60.81M r (cid:144) M R n = = €€€€€€ R0.20.40.60.81p (cid:144) p n = = Figura 3: Distribui¸c˜oes de ρ , M r , p para ρ na forma potencial com n = 2 , ,
8. Nos gr´aficos a curvaque corresponde a n = 5 ´e intermei´aria entre as curvas de n = 2 e n = 8.Pela Eq. (3) temos para M r : M r = Z r πρ (cid:18) − r n R n (cid:19) r dr = 4 πρ R r R (cid:20) − n + 3 r n R n (cid:21) , (15)sendo que a massa total da esfera ´e: M R = M r ( R ) = 4 πρ R nn + 3 . (16)Para determina¸c˜ao de p ( r ) da Eq. (6) temos a equa¸c˜ao diferencial: dpdr = − πGρ R rR (cid:18) − n + 6 n + 3 r n R n + 3 n + 3 r n R n (cid:19) . (17)Resolvendo a Eq. (17), temos: p ( r ) − p = − πGρ R r R (cid:20) − n + 6)( n + 3) ( n + 2) r n R n + 3( n + 3) ( n + 1) r n R n (cid:21) . (18)Aplicando a condi¸c˜ao de contorno (7), obtemos: p = 4 πGρ R (cid:20) − n + 6)( n + 3) ( n + 2) + 3( n + 3) ( n + 1) (cid:21) , (19)7ortanto p ( r ) = 4 πGρ R (cid:26)(cid:18) − n + 6)( n + 3) ( n + 2) + 3( n + 3) ( n + 1) (cid:19) − r R (cid:18) − n + 6)( n + 3) ( n + 2) r n R n + 3( n + 3) ( n + 1) r n R n (cid:19)(cid:27) . (20)As distribui¸c˜oes de ρ ( r ), M r ( r ), p ( r ) s˜ao mostradas na Fig. 3 para n = 2 , ,
8. No gr´afico asdistribui¸c˜oes de M r ( r ) s˜ao fun¸c˜oes crescentes. Observamos tamb´em que na fun¸c˜ao de distribui¸c˜aode densidade (14) a potˆencia n n˜ao ´e necessariamente um n´umero inteiro e pode ser qualquer real n > €€€€€€ R0.20.40.60.81 Ρ (cid:144) Ρ , M r (cid:144) M R Ρ M r €€€€€€ R0.20.40.60.81p (cid:144) p Figura 4: Distribui¸c˜oes de ρ , M r , p para ρ na forma exponencial.8scolhemos a distrubui¸c˜ao de densidade da substˆancia na forma: ρ ( r ) = ρ h − r R i e − rR , (21)sendo que ρ ( R ) = ρ (cid:20) − (cid:21) e = 23 e ρ . (22)Pela Eq. (3) temos para M r : M r = 4 πρ Z r h − r R i e − rR r dr = 4 πρ R Z r h − r R i e − rR (cid:16) rR (cid:17) d (cid:16) rR (cid:17) = 4 πρ R (cid:20)Z r e − rR (cid:16) rR (cid:17) d (cid:16) rR (cid:17) − Z r e − rR (cid:16) rR (cid:17) d (cid:16) rR (cid:17)(cid:21) . (23)Na Eq. (23), usando a t´ecnica de integra¸c˜ao por partes: Z r e − rR (cid:16) rR (cid:17) d (cid:16) rR (cid:17) = − (cid:16) rR (cid:17) e − rR + 3 Z r e − rR (cid:16) rR (cid:17) d (cid:16) rR (cid:17) , (24)portanto: M r = 4 πρ R (cid:16) rR (cid:17) e − rR , (25)sendo que a massa total da esfera ´e: M R = M r ( R ) = 4 πρ e R , (26)que permite tamb´em escrever M r como: M r = M R (cid:16) rR (cid:17) e − rR . (27)Para determina¸c˜ao de p ( r ) da Eq. (6) temos a equa¸c˜ao diferencial: dpdr = − πGρ R rR (cid:18) − rR (cid:19) e − rR . (28)Resolvendo a Eq. (28), temos: p ( r ) − p = − πGρ R Z r rR (cid:18) − rR (cid:19) e − rR d (cid:16) rR (cid:17) = − πGρ R (cid:20)Z r (cid:16) rR (cid:17) e − rR d (cid:16) rR (cid:17) − Z r (cid:16) rR (cid:17) e − rR d (cid:16) rR (cid:17)(cid:21) . (29)Na Eq. (29): Z r (cid:16) rR (cid:17) e − rR d (cid:16) rR (cid:17) = − (cid:16) rR (cid:17) e − rR + Z r (cid:16) rR (cid:17) e − rR d (cid:16) rR (cid:17) , (30)portanto: p ( r ) − p = − πGρ R (cid:20) Z r (cid:16) rR (cid:17) e − rR d (cid:16) rR (cid:17) + 16 (cid:16) rR (cid:17) e − rR (cid:21) . (31)9 integral Z r (cid:16) rR (cid:17) e − rR d (cid:16) rR (cid:17) = − e − rR (cid:18) rR + 12 (cid:19) + 14 , (32)portanto p ( r ) − p = − πGρ R (cid:20)
16 + (cid:18) − − rR + 16 (cid:16) rR (cid:17) (cid:19) e − rR (cid:21) . (33)Aplicando a condi¸c˜ao de contorno (7), obtemos: p = G πρ R (cid:18) − e (cid:19) , (34)portanto p ( r ) = 4 πGρ R (cid:20)(cid:18) − e (cid:19) − (cid:18)
16 + (cid:18) − − rR + 16 (cid:16) rR (cid:17) (cid:19) e − rR (cid:19)(cid:21) = 4 πGρ R e (cid:20)(cid:18)