Solitonic solutions and gravitational solitons: a brief introduction
SSoluzioni solitoniche e solitoni gravitazionali
Federico ManzoniDipartimento di Fisica università La [email protected]@gmail.com
Abstract : In questo lavoro si intende discutere delle soluzioni solitoniche delle equazionidi campo di Einstein nel vuoto costruendo la soluzione a N solitoni e andandone a stu-diare alcuni aspetti. In conclusione si mostrerà come il buco nero di Kerr possa essereinterpretato come soluzione solitonica nel caso di simmetria assiale. a r X i v : . [ n li n . S I] F e b ndice N solitoni con la trasformata spettrale per la KdV . . 102.2.2 Soluzioni solitoniche della KdV con la trasformata di Darboux . . . 11 N solitoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Alcune proprietà dei solitoni gravitazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Buco nero di Kerr come doppio solitone gravitazionale . . . . . . . . . . . 24 A Espansione multiscala per la KdV 31B Verifica soluzioni 3.42 33 apitolo 1Introduzione I solitoni furono per la prima volta osservati nel 1834 dall’ingegnere scozzese John ScottRussell nello Union Canal; successivamente, col passare del tempo, i solitoni furono os-servati in altri contesti come, ad esempio, in oceanografia. Per solitone si intende unaparticolare soluzione di tipo ondoso di equazioni differenziali non lineari in cui l’effettodi dispersione viene esattamente bilanciato dagli effetti di non linearità; come vedremo,un’importante caratteristica delle soluzioni solitoniche è che nella loro interazione esse rie-mergono invariate se non per uno sfasamento. Con l’intensificarsi della ricerca nel campodella fisica matematica non lineare e sulla teoria dei solitoni, si è scoperto che questa tipo-logia di soluzione è presente in molte equazioni di grande interesse fisico: dalla meccanicadei fluidi all’ottica non lineare, dalla fisica dei superconduttori alle difetti reticolari deicristalli, ed in tante altre aree della fisica e non solo . In meccanica dei fluidi, l’equazionedi Korteweg-de Vries (KdV) descrive le onde superficiali lunghe nell’approssimazione mo-nodimensionale ed essa ammette soluzioni solitoniche. Nell’ambito dell’ottica non linearel’equazione di Schroedinger non lineare (NLS) discende dall’equazione di Helmholtz unavolta assunto che la variazione dell’indice di rifrazione del materiale sia piccola rispettoall’indice di rifrazione stesso, che essa dipenda solo dall’intensità della luce e che si abbiaparassialità. La NLS ammette soluzioni di carattere solitonico. In fisica dei supercondut-tori e cristallografia l’equazione di sine-Gordon descrive la dinamica, rispettivamente, delflusso magnetico quantizzato in una giunzione Josephson e delle dislocazioni dei cristalli;anche l’equazione di sine-Gordon possiede soluzioni di tipo solitonico.Il metodo principe per la ricerca di soluzioni solitoniche, la trasformata spettrale, sarà di-scussa nel capitolo 2 assieme alla trasformata di Darboux, un altro importante strumentomatematico della teoria dei solitoni che consente di costruire soluzioni di carattere solito- Come, ad esempio, nello studio delle telecomunicazioni e del DNA. Per onda lunga si intende che hk ăă , in cui h è la profondità del fondale e k il numero d’ondadell’onda d’acqua; esempio di onde lunghe sono gli tsunami al largo. Se invece hk ąą allora si parla dionde corte. La giunzione Josephson è formata da due piastre superconduttrici intermezzate da una membranaisolante e si basa sull’effetto tunnel delle coppie di Cooper (stati legati di due elettroni o lacune). N solitoni e a studiarealcune proprietà dei solitoni gravitazionali, si mostrerà come il buco nero di Kerr possaessere interpretato come una soluzione a doppio solitone gravitazionale. In quest’ultimocapitolo seguiremo il [11]. Notazioni
Si adottano la convenzioni secondo cui• le derivate sono indicate con delle virgole, ad esempio f i,z,z “ B z f i “ B f i B z ;• la matrice identità sarà indicata come I ;• le tracce sono indicate con la lettera maiuscola, ad esempio R “ T r p ˆ R q “ T r p R αβ q ;• Il commutatore si indica come r¨ , ¨s ;• Gli indici i, j, h sono da intendersi sommati se ripetuti. 6 apitolo 2Equazioni non lineari e soluzionisolitoniche Come già anticipato nell’introduzione, molte equazioni non lineari di interesse fisico mo-strano soluzioni solitoniche. Per prima cosa concentriamoci, quindi, sulla risoluzione delleequazioni non lineari; i metodi che svilupperemo sono la trasformata spettrale e la tra-sformata di Darboux, i quali saranno discussi nei loro tratti generali e applicati al casospecifico della KdV. Nel primo paragrafo ci rifaremo prevalentemente al capitolo 1 del[11] ed al capitolo introduttivo del [4] mentre nel resto si seguirà il [7].
Il metodo della trasformata spettale (TS) fu introdotto nel 1967 da Gardner, Greene,Miura e Kruskal [2] per risolvere il problema ai valori iniziali della KdV ed esteso poi adaltre situazioni di interesse, ad esempio come fecero Zakharov e Shabat nel 1972 [8] con laNLS. Il metodo si basa sulla possibilità di scrivere l’equazione in esame come condizionedi integrabilità di un associato sistema matriciale di due equazioni differenziali lineari,detto coppia di Lax del problema, e avente la forma ψ ,z “ ˆ U ψ , ψ ,t “ ˆ V ψ , (2.1)in cui ψ , ˆ U e ˆ V dipendono da un parametro λ detto parametro spettrale e dalle variabili z e t . Il parametro spettrale soddisfa la condizione di isospettralità λ ,t “ . La condizionedi integrabilità si ottiene come ψ ,t,z “ ψ ,z,t ñ ˆ V ,z ψ ` ˆ V ψ ,z “ ˆ U ,t ψ ` ˆ U ψ ,t ñ ˆ V ,z ψ ` ˆ V ˆ U ψ “ ˆ U ,t ψ ` ˆ U ˆ V ψ , Questo si può mostrare in maniera semplice per il caso della KdV, come vedremo in seguito.
7a cui segue la relazione operatoriale ˆ V ,z ` ˆ V ˆ U ´ ˆ U ,t ´ ˆ U ˆ V “ ñ ˆ V ,z ´ ˆ U ,t ` r ˆ V , ˆ U s “ , (2.2)detta equazione di Lax e corrispondente all’equazione originale del nostro problema diCauchy.Immaginiamo che la nostra equazione differenziale non lineare determini la quantità u p z, t q e che sia data la condizione iniziale u p z, q . Una volta determinata la coppia diLax appropriata, il problema si divide in due parti: il problema diretto ed il problemainverso. Il problema diretto consiste nell’associare i parametri spettrali, come il coeffi-ciente di trasmissione T p λ q , di riflessione R p λ q e gli elementi discreti λ n dello spettro,che corrispondono al potenziale u p z, q ; questi parametri spettrali sono indicati, nel lorocomplesso, con S p λ, q . Il problema inverso consiste, invece, nel ricostruire il potenzialead un tempo generico, u p z, t q , dati i parametri spettrali al tempo t , ottenuti risolvendo ilproblema spettrale dato dalla coppia di Lax. I parametri spettrali evoluti sono indicaticon S p λ, t q . Ricapitolando, l’idea è quindi quella di non trovare la soluzione u p z, t q diret-tamente dall’equazione di partenza perchè questa evoluzione è spesso troppo complicata;è preferibile, invece, risolvere il problema spettrale associato, il quale ci fornisce l’evolu-zione nel tempo dei parametri spettrali e dai parametri spettrali evoluti si può ottenerela soluzione u p z, t q . Il fatto che sia preferibile deriva dalla linearità del problema quandolo si guarda dal punto di vista del problema spettrale; infatti l’evoluzione dei parametrispettrali è data, in definitiva, dalla coppia di Lax, che è un sistema differenziale matricialema lineare. Nello schema sottostante è mostrato il metodo della TS.Dalla Figura 2.1 che segue notiamo un certo grado di analogia con lo schema della tra-sformata di Fourier: in effetti il metodo della trasformata spettrale è considerabile comeuna generalizzazione alle equazioni non lineari del metodo di Fourier per le equazioni li-neari, e si riduce a questo nel limite di campo piccolo, | u p z, t q| ăă , e spettro puramentecontinuo.Figura 2.1: Schematizzazione del metodo della trasformata spettrale. Invece di risolvere ilproblema di Cauchy non lineare si studia l’evoluzione lineare dei parametri spettrali; perrisolvere il problema si deve passare per la ricerca di una coppia di Lax appropriata, peril problema diretto e per il problema inverso . 8 noi interessano le soluzioni di carattere solitonico, le quali emergono in presenzadi un potenziale u p z, q corrispondente a R p λ q “ ; in questo caso il problema inverso ènotevolmente semplificato dato che si passa dal dover risolvere un’equazione integrale adun sistema algebrico. Il metodo TS ci mostra come i solitoni siano intimamente legatiagli elementi discreti λ n dello spettro: per ognuno di essi emerge un solitone; inoltre ogni λ n è un polo del coefficiente di trasmissione e questo comporta che si hanno tanti solitoniquanti sono i poli di T p λ q .Introduciamo, ora, un altro strumento di particolare importanza: la trasformata diDarboux (TD). Per prima cosa è importante sottolineare che la TD è un metodo algebrico;esso consiste nel costruire soluzioni esatte per una equazione non lineare integrabile ,partendo dalla conoscenza di una semplice soluzione esatta detta di background, ossia ψ “ ˆ χ ψ b ; (2.3)la matrice ˆ χ è detta matrice di dressing. Ipotizzando una matrice di dressing della forma ˆ χ “ I ` N ÿ k “ ˆ O k λ ´ λ k (2.4)in cui l’operatore ˆ O non dipende dal parametro spettrale, si costruisce la soluzione ad N solitoni: una matrice di dressing ad N poli può generare la soluzione a N solitoni.La TD e la TS sono legate dal fatto che, come si vedrà esplicitamente nel caso della KdV,la TD aggiunge un polo al coefficiente di trasmissione e questo comporta l’aggiunta di unsolitone. Nel paragrafo precedente si sono delineate le linee generali del metodo della trasformataspettrale e della trasformata di Darboux; in questo paragrafo vogliamo discutere breve-mente un esempio importante: la KdV. Prima di tutto, è doveroso sottolineare che laKdV è un’equazione modello, assieme all’equazione di Hopf e all’equazione di Burgers ealla NLS, della fisica matematica non lineare; di fatto queste equazioni si ritrovano ap-plicando l’espansione multiscala a delle classi piuttosto generali di PDE non lineari; conriferimento al [4], in
Appendice A è riportato il caso della KdV. Si intende integrabile col metodo TS. Esiste quindi una coppia di Lax la cui condizione di compatibilitàè l’equazione di partenza. Nel caso della KdV, e non solo, questo porta ad un numero infinito di leggi diconservazione. Si veda il [2] o il [4]. .2.1 Soluzione ad N solitoni con la trasformata spettrale per laKdV Consideriamo il caso della KdV, che generalmente si scrive come u ,t ´ uu ,z ` u ,z,z,z “ (2.5)con u funzione di z e t , e applichiamo la TS per derivare la soluzione ad un solitone. Lacoppia di Lax per la KdV si può scrivere come ˆ Lψ “ p´B z ` u q ψ “ Eψ,ψ ,t “ ˆ M ψ “ p´ B z ` u B z ` u ,z ` c p E qq ψ, (2.6)in cui c p E q ,z “ ; la condizione di integrabilità per il problema 2.6 restituisce esattamentela 2.5 ed inoltre essa è verificata se e solo se si ha l’isospettralità del problema, ossia E ,t “ : p ˆ Lψ q ,t “ ˆ L ,t ψ ` ˆ Lψ ,t “ p ˆ L ,t ` ˆ L ˆ M q ψ “ p Eψ q ,t “ E ,t ψ ` Eψ ,t ““ E ,t ψ ` E ˆ M ψ “ p E ,t ` ˆ M ˆ L q ψ ñ E ,t ` ˆ M ˆ L “ ˆ L ,t ` ˆ L ˆ M ññ E ,t “ ô ˆ L ,t ` r ˆ L, ˆ M s “ . (2.7)Come si vede dalle 2.6 il problema spettrale è quello associato all’equazione di Schroe-dinger; il problema diretto consiste quindi nell’associare al potenziale u p z, q i parametrispettrali dati dall’equazione di Schroedinger. L’evoluzione dei dati spettrali si ottienesempre dal sistema 2.6: infatti prendendo la derivata rispetto a z della prima equazionesi ha ´B z ψ ` u ,z ψ ` uψ ,z “ Eψ ,z ñ ψ ,z,z,z “ u ,z ψ ` p u ´ E q ψ ,z , che sostituita nella seconda equazione restituisce ψ ,t “ ´ u ,z ψ ´ p u ´ E q ψ ,z ` uψ ,z ` u ,z ψ ` c p E q ψ ññ ψ ,t “ p´ u ,z ` c p E qq ψ ` p u ` E q ψ ,z . (2.8)Il problema inverso invece passa per le proprietà di analiticità delle autofunzioni. Defi-niamo E “ k ; per lo spettro discreto si deve avere E n ă e quindi k n “ ip n . Il problemainverso ci fornisce la soluzione ad N solitoni, che si ricava dal sistema algebrico di N equazioni p ` e ´ p n p z ´ p n t ´ γ n q q f n p z, t q ` N ÿ m “ , ‰ n p m e ´ p m p z ´ p m t ´ γ m q p m ` p n f m p x, t q “ , n “ , ..., N ; (2.9)in cui le f n p x, t q sono le incognite e le γ n delle costanti che dipendono dai parametrispettrali a t “ , assieme alla u p z, t q “ B z ˆ N ÿ n “ p n e ´ p n p z ´ p n ´ γ n q f n p x, t q ˙ . (2.10)10a soluzione del sistema 2.9 si può ricercare con il metodo di Cramer e la 2.10 ci fornisceil risultato finale nella forma u p z, t q “ ´ B z ln p det N q , (2.11)in cui det N è il determinante della matrice associata al sistema N ˆ N (sistema di equazioni2.9). Ad esempio la soluzione ad un solitone è data da u p z, t q “ ´ p cosh p p p z ´ p t ´ γ qq “ E sech p a | E |p z ` E t ´ γ qq ; (2.12)la soluzione è quindi esponenzialmente localizzata con ampiezza e velocità proporzionalia p e quindi all’autovalore E .Partendo dalla 2.11 è possibile mostrare che, nell’interazione tra N solitoni, l’ n -esimosolitone non cambia la propria forma ma sperimenta uno shift pari a δx n “ ´ p n " n ´ ź j “ ln ˆˇˇˇˇ p n ` p j p n ´ p j ˇˇˇˇ˙ ´ N ź j “ n ` ln ˆˇˇˇˇ p n ` p j p n ´ p j ˇˇˇˇ˙* . (2.13) In questa sezione mostreremo, nel caso specifico della KdV, che i poli del coefficientedi trasmissione sono gli elementi discreti dello spettro del problema spettrale associatoe che la TD agisce aggiungendo poli al coefficiente di trasmissione e quindi solitoni allasoluzione di background.Cerchiamo una TD della forma ψ “ ˆ χ ψ b , (2.14)con ψ “ ` ψψ ,z ˘ , ψ b “ ` ψ b ψ b,z ˘ e ˆ χ “ ˆ A BC D ˙ .Esplicitando la prima equazione del sistema 2.14, derivandola due volte rispetto a z , im-ponendo che A e B non dipendano da k , passando per l’equazione di Riccati ridotta al-l’equazione di Schroedinger dalla trasformazione A “ ´ φ ,z φ , si ottengono le trasformazionidi Darboux per la KdV u p z, t q “ u b p z, t q ´ ˆ φ ,z φ ˙ ,z , ψ p z, k, t q “ ψ b,z p z, k, t q ´ φ ,z φ ψ b p z, k, t q , (2.15)in cui φ è soluzione dell’equazione di Schroedinger φ ,z,z “ p u b ´ k q ψ . Si può mostrare chescegliendo la soluzione di background nulla e prendendo la soluzione φ “ c e p p z ´ p t q ` È interessante notare il fatto che la soluzione ad un solitone si può ricavare direttamente perquadrature dalla KdV. ´ p p z ´ p t q per k “ ip , con la giusta scelta delle costanti c e c si riottiene la soluzione2.12.Consideriamo una soluzione di background generica u b p z, t q e scegliamo come ψ b p z, t q l’autofunzione di Jost definita come J b p z, k, t q » e ´ ikz per z » ´8 J b p z, k, t q » a b p k q e ´ ikz ` b b p k q e ikz per z » `8 , (2.16)e sia φ la corrispondente soluzione della coppia di Lax per k “ ip con la proprietà che φ » α ˘ e ´ pz ` β ˘ e pz , per z » ˘8 , allora segue, sempre per z » ˘8 , φ ,z φ “ ´ pα ˘ e ´ pz ` pβ ˘ e pz α ˘ e ´ pz ` β ˘ e pz » ˘ p. (2.17)Usando la 2.16 e la 2.17 nella seconda delle 2.15 si ottiene a z » ´8 ψ p z, k, t q » ´ ike ´ ikz ´ pe ´ ikz “ ´ i p k ` ip q e ´ ikz . (2.18)Sia J p z, k, t q l’autofunzione di Jost corrispondente al potenziale u p z, t q , definita in manieraanaloga a J b p z, k, t q , ossia J p z, k, t q » e ´ ikz per z » ´8 J p z, k, t q » a p k q e ´ ikz ` b p k q e ikz per z » `8 ; (2.19)dalla 2.18, 2.19, dalla seconda delle 2.15 e dalle 2.16 si ha ψ p z, k, t q » ´ i p k ` ip q J p z, k, t q ñ J p z, k, t q “ ´ i p k ` ip q ˆ J b,z p z, k, t q ´ φ ,z φ J b p z, k, t q ˙ (2.20)e da questa, grazie alle 2.16 e alla 2.17, segue immediatamente che per z » 8 J p z, k, t q » ik ` ip ˆ ´ ik ` a b p k q e ´ ikz ´ b b p k q e ikz ˘ ´ p ` a b p k q e ´ ikz ` b b p k q e ikz ˘˙ ““ ik ` ip ˆ a b p k q e ´ ikz ` ´ ik ´ p ˘ ` b b p k q e ikz ` ik ´ p ˘˙ ““ k ´ ipk ` ip a b p k q e ´ ikz ` ´ k ´ ipk ` ip b b p k q e ikz “ k ´ ipk ` ip a b p k q e ´ ikz ´ b b p k q e ikz , (2.21)che però deve essere uguale alla 2.19, in definitiva a p k q “ k ´ ipk ` ip a b p k q , b p k q “ ´ b b p k q . (2.22)12oichè in generale, gli a p k q e i b p k q sono legati ai coefficienti di trasmissione e riflessionedalle T p k q “ a p k q , R p k q “ b p k q a p k q , (2.23)concludiamo che T p k q “ k ` ipk ´ ip T b p k q , R p k q “ ´ R b p k q ; (2.24)la trasformata di Darboux aggiunge un polo posto in k “ ip al coefficiente di trasmissionee quindi uno zero ad a p k q . Consideriamo quindi lo zero k “ ip : “ k ; poichè | a p k q| ´| b p k q| “ e a p k q è analitico nel semipiano superiore, si ha Im p k q ą e quindi p ą .Dalla definizione della funzione di Jost segue che J p z, k , t q » e ´ ik z “ e pz Ñ per z Ñ ´8 J p z, k , t q » a p k q e ´ ik z ` b p k q e ik z “ b p k q e ´ pz Ñ per z Ñ `8 ; (2.25)ossia funzioni normalizzabili che quindi corrispondono ad autovalori discreti: i poli delcoefficiente di trasmissione sono elementi discreti dello spettro.I due risultati ottenuti ci permettono di concludere che la TD aggiunge solitoni allasoluzione di background. Si veda, ad esempio, la 2.19. apitolo 3Solitoni gravitazionali
In questo capitolo volgiamo lo sguardo alle soluzioni solitoniche delle equazioni di Einsteinnel vuoto: i solitoni gravitazionali. L’applicazione e l’ampliamento della tecnica TS allarelatività generale inizia alla fine degli anni ’70 grazie ai lavori di Belinski, Zakharove Maison [3][9][10] e prosegue con l’estensione nel contesto delle equazioni di Maxwell-Einstein da parte di Alekseev [1] nei primi anni ’80.I solitoni gravitazionali possiedono delle proprietà interessanti, alcune di queste sarannodiscusse nel paragrafo 3.2 e seguiremo il capitolo 2 del [11]. Nell’ultima sezione, conriferimento al capitolo 8 del [11], si discuterà come il buco nero di Kerr possa interpretarsicome soluzione a due solitoni delle equazioni di campo in presenza di simmetria assiale. N solitoni Cominciamo con l’inquadrare il problema. Le equazioni di campo si scrivono E µν “ πGc T µν , (3.1)il tensore E µν è chiamato tensore di Einstein ed è definito come E µν : “ R µν ´ g µν R incui R µν è il tensore di Ricci e T µν è il tensore energia-impulso della sorgente di campogravitazionale.La traccia del tensore di Einstein restituisce E “ ´ R e, per la 3.1, si ha R “ ´ πGc T eutilizzando ancora la 3.1 E µν “ R µν ` g µν πGc T “ πGc T µν ñ R µν “ πGc ˆ T µν ´ g µν T ˙ ; (3.2)nel vuoto il tensore energia impulso è identicamente nullo e le equazioni di campo possonoesprimersi come R µν “ . (3.3)15sse sono un sistema di equazioni differenziali per le 10 componenti indipendenti dellametrica e rappresentano il nostro problema di partenza . Da qui in avanti si utilizzerannole unità geometriche in cui c “ G “ .Il metodo della TS, definito nelle sue linee generali nel capitolo 2, è applicabile soloquando la funzione incognita dipende da due variabili; in generale, però, la metrica dipen-de dalle tre coordinate spaziali e dalla coordinata temporale. Assumiamo quindi che lospazio-tempo ammetta due campi vettoriali di Killing di tipo spazio che ci consentono dieliminare la dipendenza da due variabili spaziali : x ed x . Con questa scelta la metricadipende solo da x “ t e x “ z . Per semplificare ulteriormente il problema ci rifacciamoalla simmetria di gauge della relatività generale: la simmetria sotto diffeomorfismi. Nellospazio tempo quadridimensionale questa simmetria ci permette di imporre 4 condizionisulla metrica senza perdita di generalità: noi imporremo che g “ ´ g , g “ , g i “ , (3.4)in cui i “ , .Sotto queste ipotesi l’intervallo spazio-temporale si scrive come ds “ g µν dx µ dx ν “ g p dt ´ dz q ` g ij dx i dx j ` g i dx i dz, (3.5)in cui, da qui fino alla fine del paragrafo 3.2, i, j “ , (più avanti sarà introdottol’indice h , anch’esso corre su 1 e 2). Non è ancora noto come applicare la TS alla metrica3.5: occorre un’ulteriore semplificazione. Poichè abbiamo esaurito la nostra libertà dimanipolare la metrica senza perdita di generalità, dobbiamo imporre come condizionefisica che g i “ ; questo ci consente di scrivere ds “ g p dt ´ dz q ` g ij dx i dx j . (3.6)Notiamo che se avessimo scelto i campi di Killing uno di tipo spazio ed uno di tipotempo avremmo ottenuto una metrica analoga alla 3.6 ma stazionaria, in cui le variabiliindipendenti sarebbero state entrambe di tipo spazio; questo caso sarà considerato nelparagrafo 3.3 per derivare la metrica di Kerr. Assumiamo di essere in uno spazio-tempo quadridimensionale. Dato un certo campo vettoriale, (cid:126)ξ p x µ q , esso identificherà una simmetria se e solo se soddisfal’equazione di Killing: g µν,ρ ξ ρ ` g βν ξ β,µ ` g µβ ξ β,ν “ . Consideriamo di avere un campo di Killing di tipo tempo, (cid:126)ξ , allora potremmo scegliere come sistemadi coordinate uno in cui il vettore di base di tipo tempo, (cid:126)e p q , sia in ogni punto allineato al campo (cid:126)ξ .In questo riferimento le componenti del campo vettoriale sono ξ α “ p ξ , , , q e se parametrizziamo lacurva a cui il campo vettoriale è associato in maniera tale che risulti ξ “ allora la metrica, grazieall’equazione di Killing, è indipendente dal tempo e quindi stazionaria (tutte le derivate di ξ α sono nullee la sua unica componente diversa da zero è quella temporale). Un ragionamento analogo si può fare nelcaso di campo di Killing di tipo spazio o di tipo luce. ˆ g il blocco ˆ della metrica con componenti g ij e poniamo det p ˆ g q “ α ;le equazioni 3.3 per la metrica 3.6 si dividono in due set che, passando alle coordinate delcono luce introdotte mediante ζ : “ p z ` t q e η : “ p z ´ t q , assumono la forma ` α ˆ g ,ζ ˆ g ´ ˘ ,η ` ` α ˆ g ,η ˆ g ´ ˘ ,ζ “ p ln p g qq ,ζ p ln p α qq ,ζ “ p ln p α qq ,ζ,ζ ` A α , p ln p g qq ,η p ln p α qq ,η “ p ln p α qq ,η,η ` B α , (3.7)in cui ˆ A : “ ´ α ˆ g ,ζ ˆ g ´ e ˆ B : “ α ˆ g ,η ˆ g ´ . La prima delle equazioni 3.7 ci fornisce il blocco ˆ e le seconde g , una volta data ˆ g . Notiamo anche che prendendo la traccia dellaprima equazione e facendo uso del fatto che det p ˆ g q “ α si ottiene α ,ζ,η “ (3.8)la radice del determinante soddisfa l’equazione delle onde .La prima delle 3.7 è un’equazione del secondo ordine ed è quindi equivalente ad un sistemadi due equazioni del primo ordine. Queste due equazioni sono ottenibili direttamente dalledefinizioni di ˆ A e ˆ B : per la prima è sufficiente sostituire le definizioni nella prima delle3.7; la seconda è invece la condizione di integrabilità tra ˆ A e ˆ B rispetto a ˆ g , ossia ˆ B ,ζ ´ ˆ A ,η “ A ,η ` ˆ B ,ζ ` α ´ r ˆ A, ˆ B s ´ α ,η α ´ ˆ A ´ α ,ζ α ´ ˆ B “ . (3.9)Le 3.9 sono solo una riscrittura delle equazioni di campo 3.3.Il prossimo passo è la ricerca di una coppia di Lax appropriata che definisca il problemaspettrale e che dipenda quindi da un parametro complesso: il parametro spettrale λ . Atale scopo definiamo gli operatori ˆ D ´ : “ B ζ ´ α ,ζ λλ ´ α B λ , ˆ D ` : “ B η ` α ,η λλ ` α B λ (3.10)e consideriamo il seguente sistema di equazioni ˆ D ´ ψ “ ˆ Aλ ´ α ψ , ˆ D ` ψ “ ˆ Bλ ` α ψ , (3.11)in cui ψ “ ψ p ζ, η, λ q è detta matrice generatrice; per λ “ il sistema si riduce a ψ ,ζ p ζ, η, q “ ´ ˆ Aα ψ p ζ, η, q ñ ˆ A “ ´ α ψ ,ζ p ζ, η, q ψ ´ p ζ, η, q ; ψ ,η p ζ, η, q “ ˆ Bα ψ p ζ, η, q ñ ˆ B “ α ψ ,η p ζ, η, q ψ ´ p ζ, η, q (3.12) Date le definizioni ζ : “ p z ` t q e η : “ p z ´ t q si ha α ,ζ,η “ rpB z ` B t qpB z ´ B t qs α “ pB z ´ B t q α “ ñ pB z ´ B t q α “ .
17, confrontato con le definizioni di ˆ A e ˆ B , ci permette di concludere che il blocco ˆ altro non è che la matrice generatrice valutata per λ “ : ˆ g p ζ, η q “ ψ p ζ, η, q . (3.13)Sappiamo che per la procedura di integrazione è necessaria la conoscenza di una solu-zione di backgound ˆ g b dalla quale, grazie alle definizioni di ˆ A e ˆ B si ottengono le matrici ˆ A b e ˆ B b che sostituite nel sistema 3.11 permettono di ottenere la matrice generatrice dibackground ψ b . Operiamo, quindi, una trasformata di Darboux della forma ψ “ ˆ χ ψ b (3.14)che sostituita nel sistema 3.11 restituisce un sistema di equazioni per la matrice di dressing ˆ D ´ ˆ χ “ p ˆ A ˆ χ ´ ˆ χ ˆ A b q λ ´ α ;ˆ D ` ˆ χ “ p ˆ B ˆ χ ´ ˆ χ ˆ B b q λ ` α . (3.15)Mettendo assieme la 3.13 e la 3.14 vediamo che ˆ g p ζ, η q “ ψ p ζ, η, q “ ˆ χ p ζ, η, q ψ b p ζ, η, q “ ˆ χ p ζ, η, q ˆ g b p ζ, η q ; (3.16)a questo punto è importante ricordare che la metrica è reale e simmetrica; questo implicail dover imporre delle condizioni per la matrice di dressing e la matrice generatrice alfine di rispettare le proprietà della metrica; queste condizioni si esplicitano come ˆ χ ˚ p ζ, η, λ ˚ q “ ˆ χ p ζ, η, λ q , ψ ˚ p ζ, η, λ ˚ q “ ψ p ζ, η, λ q , ˆ g “ ˆ χ p ζ, η, λ q ˆ g b ˆ χ T p ζ, η, α { λ q . (3.17)Sottolineamo che, per il momento, non si è imposta la condizione det p ˆ g q “ α ; in realtà èconveniente procedere non imponendo la suddetta condizione per poi ottenere la soluzioneche la soddisfa dalla relazione ˆ g p f q “ α ˆ g a det p ˆ g q , (3.18)in cui l’apice p f q sottolinea che questa è la soluzione che rispetta tutte le proprietà fisichedella metrica: la soluzione fisica. Ovviamente, la 3.18 comporta una trasformazione dellematrici ˆ A e ˆ B che si ripercuote in nuove equazioni per la componente g che restituirannola componente fisica, g p f q . Soluzione della prima delle equazioni 3.7. Per la matrice si sceglie la normalizzazione tale che ˆ χ p ζ, η, λ q “ I quando | λ | Ñ 8 . N solitoni. Tale solu-zione emerge imponendo una dipendenza razionale della matrice di dressing dal parametrospettrale con un numero finito di poli semplici ˆ χ “ I ` N ÿ k “ ˆ O k λ ´ λ k , (3.19)in cui ˆ O k non dipende dal parametro spettrale; dalla condizione di realtà della matrice ˆ g ,e quindi dalla prima delle 3.17, segue che i poli o sono reali o appaiono come coppie dicomplessi coniugati. La soluzione finale è data dalla 3.16 per cui ˆ g p ζ, η q “ ˆ I ´ N ÿ k “ ˆ O k λ k ˙ ˆ g b p ζ, η q ; (3.20)resta quindi da determinare la matrice ˆ O k . Per tale scopo si sostituisce la scrittura 3.19nel sistema 3.15 e si impone che le equazioni siano soddisfatte al polo; queste equazionici forniscono due informazioni importanti.La prima si ottiene notando che gli operatori ˆ D ´ e ˆ D ` contengono derivazioni rispetto a ζ , η e λ e che, quando applicati alla parte non banale della matrice di dressing, produ-cono termini contenenti poli doppi, termini che al secondo membro non sono presenti: ènecessario che i coefficienti dei poli doppi si annullino. Infatti andando a studiare solo il k -esimo termine per linearità si ha ˆ B ζ ´ α ,ζ λλ ´ α B λ ˙ ˆ O k λ ´ λ k “ ˆ O k,ζ λ ´ λ k ` ˆ O k ˆ ´ λ ,ζ p λ ´ λ k q ˙ ´ α ,ζ λλ ´ α ˆ O k p λ ´ λ k q ; ˆ B η ` α ,η λλ ` α B λ ˙ ˆ O k λ ´ λ k “ ˆ O k,η λ ´ λ k ` ˆ O k ˆ ´ λ ,η p λ ´ λ k q ˙ ` α ,η λλ ` α ˆ O k p λ ´ λ k q ; (3.21)annullando i coefficienti dei poli doppi calcolati sui poli si ha ˆ ´ λ ,ζ ´ α ,ζ λλ ´ α ˙ˇˇˇˇ λ “ λ k “ ñ λ k,ζ “ α ,ζ λ k α ´ λ k ; ˆ ´ λ ,η ` α ,η λλ ` α ˙ˇˇˇˇ λ “ λ k “ ñ λ k,η “ α ,η λ k α ` λ k ; (3.22)le 3.22 determinano le traiettorie dei poli: i poli non sono fissi ma si muovono nellospazio-tempo.Per la seconda informazione è necessario lavorare un po’ di più. Notando che ˆ O k e ˆ χ ´ p λ k q sono matrici degeneri , allora possiamo scriverle come p ˆ O k q ij “ n p k q i m p k q j , p ˆ χ ´ k p λ k qq ij “ q p k q i p p k q j ; (3.23) Si ricordi che ˆ O k non dipende da λ . Questa conclusione si vede partendo dalla relazione ˆ χ ˆ χ ´ “ I . Infatti la matrice identità non possiedepoli mentre il lato sinistro dà luogo al termine ř Nk “ O k ˆ χ ´ λ ´ λ k che contiene dei poli semplici: il residuo deveessere nullo e quindi ˆ O k ˆ χ ´ p λ k q “ , da cui segue la degenerazione. ˆ χ ´ ˆ Aλ ´ α “ p ˆ D ´ ˆ χ q ˆ χ ´ ` ˆ χ ˆ A b λ ´ α ˆ χ ´ , ˆ Bλ ` α “ p ˆ D ` ˆ χ q ˆ χ ´ ` ˆ χ ˆ B b λ ` α ˆ χ ´ ; (3.24)poichè i lati sinistri delle equazioni 3.24 sono regolari ai poli λ “ λ k , segue che i residuidei poli nei secondi membri devono essere nulli, il che porta alle equazioni ˆ O k,ζ ˆ χ ´ p λ k q ` ˆ O k ˆ A b λ k ´ α ˆ χ ´ p λ k q “ , ˆ O k,η ˆ χ ´ p λ k q ` ˆ O k ˆ B b λ k ` α ˆ χ ´ p λ k q “ . (3.25)Inserendo le 3.23 nelle equazioni 3.25 si ottengono le equazioni che determinano i vettori m p k q i : ˆ m p k q i,ζ ` m p k q j p ˆ A b q ij λ k ´ α ˙ q p k q i “ , ˆ m p k q i,η ` m p k q j p ˆ B b q ij λ k ` α ˙ q p k q i “ , (3.26)la cui soluzione è data da m p k q i “ m p k q j p ψ ´ b p λ k , ζ, η qq ji (3.27)in cui gli m p k q j sono arbitrari vettori costanti complessi. Per determinare gli n p k q i si sfruttala terza condizione delle 3.17, che permette, in definitiva, di scrivere i vettori n p k q i come n p k q i “ N ÿ l “ λ l p ˆΠ q kl L p l q i , (3.28)in cui L p l q i : “ m p l q j p ˆ g b q ji e p ˆΠ q kl : “ p ˆΓ ´ q kl con p ˆΓ q kl : “ ´ m p k q i m p l q j p ˆ g b q ij p α ´ λ k λ l q ´ .Dalla 3.20, usando la prima delle 3.23 e la 3.28 si ha p ˆ g q ij “ p ˆ g b q ij ´ N ÿ k “ p ˆ O k q ih λ k p ˆ g b q hj “ p ˆ g b q ij ´ N ÿ k “ λ k n p k q i m p k q h p ˆ g b q hj ““ p ˆ g b q ij ´ N ÿ k “ N ÿ l “ λ k λ l p ˆΠ q kl L p l q i m p k q h p ˆ g b q hj loooomoooon “ L p k q j “ p ˆ g b q ij ´ N ÿ k “ N ÿ l “ λ k λ l p ˆΠ q kl L p l q i L p k q j ; (3.29) Si ricordi anche che la metrica è simmetrica.
20a sottolineato, tuttavia, che la soluzione 3.29 non è la soluzione fisica: in altri termininon è la soluzione soddisfacente la richiesta di det p ˆ g q “ α . Per ottenere la soluzionefisica ci rifacciamo alla 3.18; il calcolo del determinante di ˆ g può essere eseguito passopasso: lo si calcola prima per la soluzione ad un solitone, poi si usa la soluzione fisicaad un solitone come soluzione di background e si costruisce la soluzione a due solitoni, sicalcola il determinante e si usa la soluzione a due solitoni come soluzione di backgoundper aggiungere un altro solitone, si calcola il determinante e così via . Come già detto, ilcalcolo della soluzione ˆ g p f q comporta che anche il coefficiente g debba essere ricalcolatoper ottenere il coefficiente fisico g p f q . In conclusione si ottiene ˆ g p f q “ ˆ gα N N ź k “ λ k ; g p f q “ Cg b α ´ N ˆ N ź k “ λ k ˙ N ` ˆ N ź k ą l “ p λ k ´ λ l q ˙ det p ˆΓ q ; (3.30)in cui C è una costante arbitraria da scegliere con segno opportuno in modo da avereil segno corretto per g p f q ; g b è la soluzione g di background corrispondente a ˆ g b ; ˆ g èfornita dalla 3.29La soluzione ad N solitoni è quindi data sostituendo le 3.30 nell’intervallo spazio-temporale 3.6 e ricordando la 3.29: ds “ g p f q p dt ´ dz q ` g p f q ij dx i dx j ““ Cg b α ´ N ˆ N ź k “ λ k ˙ N ` ˆ N ź k ą l “ p λ k ´ λ l q ˙ det p ˆΓ qp dt ´ dz q`` ` p ˆ g b q ij ´ ř Nk,l “ λ ´ k λ ´ l p ˆΠ q kl L p k q i L p l q j ˘ α N ˆ N ź k “ λ k ˙ dx i dx j ; (3.31)in cui, si ricorda, L p l q i : “ m p l q j p ˆ g b q ji e p ˆΠ q kl : “ p ˆΓ ´ q kl con p ˆΓ q kl : “ ´ m p k q i m p l q j p ˆ g b q ij p α ´ λ k λ l q ´ . Costruita la soluzione ad N solitoni si vuole ora discutere alcune proprietà interessantidei solitoni gravitazionali.Riportiamo esplicitamente la soluzione a N “ solitoni; con riferimento alle 3.30 abbiamo, Il calcolo fornisce det p ˆ g q “ α N ` ś Nk “ λ k . Π e Γ non sono matrici: p ˆ g p f q q ij “ p ˆ g b q ij α λ ´ ˆ p α ´ λ q L i L j λ ´ αλ m i m j p ˆ g b q ij ˙ “ p ˆ g b q ij α λ ` ˆ p α ´ λ q L i L j αλ m i m j p ˆ g b q ij ˙ , ˆ g p f q “ ˜ Cg b α ´ λ m i m j p ˆ g b q ij p α ´ λ q ´ , (3.32)in cui l’apice p f q indica la soluzione fisica ad un solitone. La traiettoria del polo λ èdata dalle equazioni 3.22 con k “ ; la soluzione di queste equazioni è data dalle radicidell’equazione quadratica λ ` p β ´ w q λ ` α , (3.33)in cui w è una costante arbitraria e α e β sono due soluzioni indipendenti dell’equazione3.8. Le soluzioni della 3.33 sono λ p in q “ ´p β ´ w q ` a p β ´ w q ´ α “ p w ´ β q ˆ ´ d ´ α p β ´ w q ˙ λ p out q “ ´p β ´ w q ´ a p β ´ w q ´ α “ p w ´ β q ˆ ` d ´ α p β ´ w q ˙ , (3.34)gli apici p in q ed p out q sottolineano che le soluzioni sono dentro o fuori rispetto al cerchiogenerato da | λ | “ α ; nello specifico | λ p in q | ă α e | λ p out q | ą α . Nella figura sottostante èriportato il caso in cui λ p in q e λ p out q sono reali con w “ e α “ . Per semplicità sarà mostrato solo nel caso di metriche stazionarie assialsimmetriche nel paragrafo3.3. Il grafico è stato realizzato con GeoGebra.
Andamento di λ p in q (linea verde) e λ p out q (linea arancione) in funzione di β nel caso in cui siano reali, con w “ e α “ . Si nota che | λ p in q | è sempre minore di α “ mentre | λ p out q | è sempre maggiore di α “ ; in generale, λ p in q è sempre contenutonella regione | λ | “ α mentre λ p out q è sempre esterno a tale regione .Soffermiamoci sulla soluzione ad un solitone generata da un polo reale: guardandole 3.34 vediamo che le soluzioni, nel caso di polo reale, sono definite solo nella regione p β ´ w q ě α , tuttavia la soluzione può essere continuata analiticamente nella regione p β ´ w q ă α . Nel passaggio tra le due regioni la funzione λ diviene complessa: λ “ p w ´ β q ˆ ˘ i d α p β ´ w q ´ ˙ (3.35)e poichè i poli complessi della matrice di dressing possono comparire solo a coppie segueche, necessariamente, nella regione p β ´ w q ă α si ha una soluzione a N “ solitonigenerata da due poli complessi coniugati λ e λ ˚ . Il modulo di questi poli è però pari ad α , infatti | λ | “ | λ ˚ | “ p w ´ β q ` p w ´ β q ˆ α p β ´ w q ´ ˙ “ α , (3.36)e dalla 3.28, ricordando le definizioni di L p l q i , p ˆΠ q kl e p ˆΓ q kl , segue che gli n p k q i sono nullise | λ k | “ α e quindi la matrice di dressing si riduce all’identità se i poli giacciono sullacirconferenza generata da | λ | “ α . Questo vuol dire che la soluzione a due solitoni siriduce, in realtà, alla soluzione di background; notiamo anche che quando p β ´ w q “ α
23i ha | λ | “ α e ancora la soluzione si riduce alla soluzione di background. Dalle 3.32vediamo che il coefficiente g p f q è singolare quando | λ | “ α .Ricapitolando: nella regione p β ´ w q ą α abbiamo la soluzione ad un solitone mentrenella regione p β ´ w q ď α la soluzione è quella imperturbata di background; inoltre nellaregione definita dalla relazione p β ´ w q “ α la metrica sperimenta una discontinuitàdovuta al coefficiente g p f q ; in questo senso i solitoni gravitazionali possono considerarsicome onde di shock gravitazionali. Considerazioni analoghe sono possibili per il caso a N solitoni: ci sono regioni in cui abbiamo la soluzione a N solitoni, regioni in cui abbiamola soluzione a N ´ solitoni e via discorrendo; inoltre la metrica è discontinua in ogniinterfaccia tra le varie regioni. Va però sottolineato che questo è vero solo per soluzionigenerate da poli reali; se i poli fossero tutti complessi coniugati a coppie non ci sarebberoregioni di discontinuità e tutto lo spazio-tempo sarebbe perturbato rispetto alla metricadi background.Una seconda proprietà interessante è la cosidetta fusione dei poli. Consideriamo lasoluzione a N “ solitoni; supponiamo che le costanti m p q i e m p q i dipendano, rispetti-vamente, da w e w e che nel limite w Ñ w si abbia m p q i Ñ m p q i , conseguentementesi ha λ Ñ λ . È possibile mostrare dalla soluzione delle 3.32 con N “ che questa nonsi annulla sotto la procedura di limite appena esposta ma anzi si riduce ad una soluzionead un solitone corrispondente ad un polo doppio. Questa conclusione è interessante ed èun fenomeno non banale ed inaspettato: siamo partiti considerando solo poli semplici eci ritroviamo con la possibilità di poli doppi grazie alla fusione dei poli. La stessa analisisi può fare nel caso della soluzione ad N solitoni e della fusione degli N poli che portaalla soluzione ad un solitone corrispondente ad un polo di ordine N . La fusione dei polipuò avvenire in modi diversi, ad esempio se la soluzione ha N “ n solitoni e quindi n poli è possibile fondere separatamente i poli per formarne due di ordine n , e quindi duesoluzioni ad n solitoni. In questo paragrafo considereremo una metrica stazionaria assialsimmetrica, che ammettequindi due campi di Killing: uno di tipo spazio ed uno di tipo tempo. In questa sezionesi utilizzerà la notazione p x , x , x , x q “ p t, φ, ρ, z q per le coordinate. Con considerazionianaloghe a quelle fatte nel paragrafo 3.1 possiamo scrivere la metrica nella forma ds “ g p dρ ` dz q ` g ij dx i dx j , (3.37) Le onde di shock nascono dalla regolarizzazione della soluzione di un certo modello: ad una soluzionecontinua ma polidroma si preferisce una soluzione discontinua ma monodroma, questa è l’onda di shock. Abbiamo posto g “ g , g i “ g i “ g “ .
24n cui, da qui fino alla fine del paragrafo, i, j “ , ed in cui g e g ij dipendono soloda x “ ρ e x “ z che sono entrambe variabili di tipo spazio. Per metriche stazionariedel tipo 3.37 si può imporre, senza perdita di generalità, che il blocco ˆ p ˆ g q ij abbia det p ˆ g q “ ´ ρ . Questa è una scelta leggermente diversa rispetto al caso visto nel paragrafo3.1, perchè nel caso di metriche non stazionarie il determinante del blocco ˆ potevaessere di tipo spazio o di tipo tempo, mentre nel caso di metriche stazionarie può esseresolo di tipo tempo.Le equazioni di Einstein nel vuoto per la metrica 3.37 possono riscriversi come p ρ ˆ g ,ρ ˆ g ´ q ,ρ ` p ρ ˆ g ,z ˆ g ´ q ,z “ , p ln p g qq ,ρ “ ´ ρ ` ρ p U ´ V q , p ln p g qq ,z “ ρ U V ; (3.38)in cui ˆ U : “ ρ ˆ g ,ρ ˆ g ´ e ˆ V : “ ρ ˆ g ,z ˆ g ´ . Con passi analoghi a quelli esposti nel paragrafo 3.1si ottiene la soluzione ad N solitoni nel caso della metrica . ds “ g p f q p dρ ` dz q ` g p f q ij dx i dx j (3.39)con g p f q “ Cg b ρ ´ N ˆ N ź k “ λ k ˙ N ` ˆ N ź k ą l “ p λ k ´ λ l q ˙ det p ˆΓ q ; p ˆ g q p f q ij “ ˘ ˆ g ij ρ N ˆ N ź k “ λ k ˙ “ ˘ ` p ˆ g b q ij ´ ř Nk,l “ p ˆ D q kl λ ´ k λ ´ l L p k q i L p l q j ˘ ρ N ˆ N ź k “ λ k ˙ , (3.40)in cui p ˆ D q kl : “ p ˆΓ ´ q kl , p ˆΓ q kl : “ m p k q i p ˆ g b q ij m p l q j p ρ ` λ k λ l q ´ , L p k q i : “ m p k q j p ˆ g b q ji , m p k q i “ m p k q j p ψ ´ b p λ k , ρ, z qq ji . La matrice p ˆ g b q ij è la soluzione di background e g b è la soluzione g corrispondente a p ˆ g b q ij data dalle seconde delle 3.38 valutate con ˆ U b : “ ρ ˆ g b,ρ ˆ g ´ b e ˆ V b : “ ρ ˆ g b,z ˆ g ´ b ; inoltre ψ ´ p λ, ρ, z q è l’inverso della matrice generatrice soluzione del sistema ˆ B z ´ λ λ ` ρ B λ ˙ ψ “ ρ ˆ V ´ λ ˆ Uλ ` ρ ψ , ˆ B ρ ` λρλ ` ρ B λ ˙ ψ “ ρ ˆ V ` λ ˆ Uλ ` ρ ψ . (3.41)Inoltre, C è una costante arbitraria ma con segno tale che si abbia g p f q ě ; il segno ` o ´ davanti alla seconda delle 3.40 va scelto appropriatamente in modo da avere la giustasegnatura della metrica. Solitoni della forma 3.39 sono detti solitoni stazionari.Una prima differenza rispetto al caso generale trattato nel paragrafo 3.1 è da ricercarenelle equazioni che descrivono le traiettorie dei poli, che nel caso in esame si scrivono λ k,z “ ´ λ k λ k ` ρ ,λ k,ρ “ λ k ρλ k ` ρ ; (3.42) Per ottenere la matrice generatrice di background basta sostituire le matrici ˆ U e ˆ V di background,ossia ˆ U b : “ ρ ˆ g b,ρ ˆ g ´ b e ˆ V b : “ ρ ˆ g b,z ˆ g ´ b .
25a soluzione di queste equazioni è data dalle soluzioni dell’equazione quadratica (verificatoin
Appendice B ) λ k ` p z ´ w k qq λ k ´ ρ “ , (3.43)in cui le w k sono costanti arbitrarie complesse. Le soluzioni dell’equazione 3.43 sono λ k “ p w k ´ z q ˘ a p w k ´ z q ` ρ , (3.44)come si vede la radice è sempre positiva per poli reali ( w k reali) e quindi la soluzionesolitonica, in questo caso, non sperimenterà discontinuità ed essa sarà presente in tuttolo spazio-tempo, al contrario di quanto visto nel paragrafo 3.2.La seconda differenza deriva dalla richiesta che sia soddisfatta la condizione det p ˆ g q “ ´ ρ necessaria per avere una soluzione fisica. Come discusso nel pagarafo 3.1, per ottenere lasoluzione fisica, ˆ g p f q , bisogna calcolare il determinante della soluzione ˆ g ; il calcolo portaa det p ˆ g q “ p´ q N ρ N ˆ N ź k “ λ k ˙ det p ˆ g b q . (3.45)La 3.45 mostra che se la soluzione di background è tale che det p ˆ g b q “ ´ ρ allora la so-luzione deve essere necessariamente ad un numero pari di solitoni, N “ n , altrimenti ilsegno del determinante di ˆ g cambierebbe e questo porterebbe ad una metrica non fisica.Veniamo ora al buco nero di Kerr. Come detto poco fa, nel caso di metriche stazionarieassialsimmetriche la soluzione più semplice è quella a N “ solitoni. Scegliamo comemetrica di background la metrica piatta in coordinate cilindriche ds “ ´ dt ` ρ dφ ` dρ ` dz , (3.46)confrontando con la 3.37 vediamo che g b “ e che ˆ g b “ diag p´ , ρ q (che soddisfa inmaniera banale det p ˆ g b q “ ´ ρ ). Le matrici ˆ V b e ˆ U b sono date da ˆ V b : “ ρ ˆ g b,z ˆ g ´ b “ , ˆ U b : “ ρ ˆ g b,ρ ˆ g ´ b “ ρ ˆ ρ ˙ ˆ ´ ρ ˙ “ ˆ ˙ ; (3.47)che utilizzate nelle 3.41 ci permettono di calcolare la matrice generatrice di backgroundtramite le ˆ B z ´ λ λ ` ρ B λ ˙ ˆ A BC D ˙ “ ´ λλ ` ρ ˆ ˙ ˆ A BC D ˙ ; ˆ B ρ ` λρλ ` ρ B λ ˙ ˆ A BC D ˙ “ λλ ` ρ ˆ ˙ ˆ A BC D ˙ , (3.48)in cui si è posto ψ b “ ˆ A BC D ˙ . Esplicitando tutte le equazioni si ottiene la soluzione ψ b “ ˆ ´ ρ ´ zλ ´ λ ˙ ; (3.49)26alla matrice ψ b , ricordando le definizioni di m p k q i , di L p k q i e di p ˆΓ q kl e facendo uso della3.43, la quale ci fornisce λ ` zλ ´ ρ “ w k λ k , otteniamo m p k q “ m p k q j p ψ ´ b q j “ m p k q p ψ ´ b p λ k , ρ, z qq ` m p k q p ψ ´ b p λ k , ρ, z qq “ ´ m p k q : “ C p k q ; m p k q “ m p k q j p ψ ´ b q j “ m p k q p ψ ´ b p λ k , ρ, z qq ` m p k q p ψ ´ b p λ k , ρ, z qq ““ m p k q ρ ´ zλ k ´ λ k “ m p k q ´ w k λ k : “ C p k q λ ´ k ; L p k q : “ m p k q j p ˆ g b q j “ m p k q p ˆ g b q ` m p k q p ˆ g b q “ ´ m p k q “ ´ C p k q ; L p k q : “ m p k q j p ˆ g b q j “ m p k q p ˆ g b q ` m p k q p ˆ g b q “ m p k q ρ “ C p k q λ ´ k ρ ; p ˆΓ q kl : “ m p k q i p ˆ g b q ij m p l q j p ρ ` λ k λ l q ´ ““ m p k q p ˆ g b q m p l q p ρ ` λ k λ l q ´ ` m p k q p ˆ g b q m p l q p ρ ` λ k λ l q ´ ““ p ρ ` λ k λ l q ´ p´ C p k q C p l q ` C p k q λ ´ k C p l q λ ´ l ρ q . (3.50)Le 3.50 sono tutto ciò di cui necessitiamo assieme alla 3.43, per i valori dei poli, e alle3.40, per le quantità fisiche, per costruire la soluzione ad N “ n solitoni stazionari conmetrica di background piatta.Consideriamo il caso N “ e scriviamo le due costanti w e w dei due poli come w “ σ ` σ , w “ σ ´ σ ; (3.51) σ è presa sempre reale mentre σ può essere reale (i poli saranno reali) o immaginaria (ipoli saranno complessi coniugati). Introduciamo due nuove variabili θ e r definite dallerelazioni ρ “ sin p θ q b p r ´ m q ´ σ , z “ σ ` p r ´ m q cos p θ q , (3.52)in cui m è una costante arbitraria. Inserendo le 3.51 nella 3.43, utilizzando le 3.52,otteniamo λ “ p r ´ m ` σ q sin p θ { q ,λ “ p r ´ m ´ σ q sin p θ { q ; (3.53) Si ricordi anche che ˆ g b “ diag p´ , ρ q . La radice è definita in maniera tale che nel limite r Ñ 8 il termine dominante restituisca le consuetetrasformazioni tra coordinate sferiche e cilindriche.
27n cui è stato scelto lo stesso segno per i due poli. Senza perdita di generalità si può porre C p q C p q ´ C p q C p q “ σ , C p q C p q ` C p q C p q “ ´ m, (3.54)e definire le nuove costanti arbitrarie ´ b : “ C p q C p q ´ C p q C p q , a : “ C p q C p q ` C p q C p q ; (3.55)in cui C p q , C p q , C p q e C p q sono le costanti che appaiono nelle prime due equazioni delle3.50; mettendo assieme le 3.54 e le 3.55 si ottiene σ “ m ´ a ` b . (3.56)Dalle 3.40 grazie alle 3.50 possiamo calcolare le quantità fisiche p ˆ g q p f q ij e g p f q che, sostituitenell’elemento di linea 3.37 espresso nelle coordinate p t, φ, θ, r q , permettono di ottenere ds “ ´ Cω ∆ ´ dr ´ Cωdθ ´ ω ´ r ∆ ´ a sin p θ qsr dt ` adφ s `` ω ´ r bcos p θ q ´ asin p θ qr mr ` b ssr dt ` adφ s dφ `´ ω ´ r ∆ r asin p θ q ` bcos p θ qs ´ sin p θ qr r ` b ` a s s dφ , (3.57)in cui si sono definite le quantità ω : “ r ` r b ´ acos p θ qs e ∆ : “ r ´ mr ` a ´ b .Ponendo b “ , ridefinendo la coordinata temporale come t : “ t ` aφ e ponendo C “ ´ si ha ds “ ω ∆ ´ dr ` ωdθ ´ ω ´ r ∆ ´ a sin p θ qs dt ´ mraω ´ sin p θ q dtdφ `´ ω ´ r ∆ a sin p θ q ´ sin p θ qr r ` a s s dφ , (3.58)in cui, ora, ω “ r ` a cos p θ q e ∆ “ r ´ mr ` a . Per convenienza riscriviamo la 3.58come ds “ ´ dt ` ω ˆ dr ` dθ ˙ ` p r ` a q sin p θ q dφ ` mrω r asin p θ q dφ ´ dt s ; (3.59)si nota immediatamente la presenza di due possibili singolarità poste in ∆ “ e ω “ . Lasingolarità in ω “ è una singolarità gravitazionale e si dimostra essere una singolaritàad anello, mentre la singolarità in ∆ “ esiste solo se m ě a ; in questo caso si puòmostrare che, passando alle coordinate di Kerr, la singolarità scompare e si tratta quindidi una singolarità di coordinate che corrisponde ad un orizzonte . Per il principio dicensura cosmica di R. Penrose una singolarità gravitazionale deve essere nascosta da unorizzonte degli eventi e questo ci spinge a scegliere m ě a e quindi, con riferimento alla La singolarità è posta in r “ , θ “ π . Questo perchè l’equazione ∆ “ ammette soluzioni reali solo se il discriminante è non negativo, ossiasolo se m ´ a ě ñ m ě a . In realtà poichè l’equazione è quadratica ci sono due orizzonti degli eventi, uno interno ed uno esterno. b “ , si deve avere σ reale; la conseguenza è che, dalle 3.51, i due poli dellamatrice di dressing devono essere reali. Con questa scelta dei poli la 3.59 è la metrica diKerr nelle coordinate di Boyer-Lindquist che descrive un buco nero rotante scarico conrapporto tra massa e momento angolare pari ad a . Se questo rapporto fosse nullo vorrebbedire che il buco nero non ruota, infatti per a “ si ottiene la metrica di Schwarzschild.I buchi neri di Schwarzschild e Kerr sono solitoni stazionari a due poli reali con metricadi background piatta; al momento, però, non è del tutto chiaro il significato profondo diquesta conclusione. Sono una generalizzazione delle coordinate sferiche. Il passaggio da una terna cartesiana ( x , x , x )ad una di Boyer-Lindquist ( r, θ, φ ) è dato da x “ ? r ` a sin p θ q cos p φ q , x “ ? r ` a sin p θ q sin p φ q , x “ rcos p θ q . ppendice AEspansione multiscala per la KdV L’espanzione multiscala generalizza la ricerca di una soluzione tramite espansione in seriedi potenze andando a considerare delle variabili lente, ad esempio t n “ (cid:15) n t con (cid:15) ăă .Il motivo risiede nel fatto che la semplice espansione in serie di potenze cessa di essereasintotica, per via degli effetti di non linearità che generano dei termini di risonanza, adun tempo dell’ordine t “ O p (cid:15) ´ q . Il vantaggio di aver definito delle variabili lente è che ciconsentono di cancellare i termini risonanti che comunque emergono. La scelta e defini-zione delle corrette variabili lente ci viene consigliata dalla teoria linearizzata assieme alleipotesi fisiche fatte sul sistema. In questa appendice applicheremo l’espansiome multiscalaper derivare la KdV.Consideriamo la classe di PDE non lineari u ,t ` c p u q u ,z ` A p u q u ,z,z,z ` B p u q u ,z u ,z,z ` C p u q u ,z “ , (A.1)con l’ipotesi di piccole ampiezze possiamo cercare una soluzione come serie di potenze, u “ ř n (cid:15) n u n con (cid:15) ăă , ottenendo al primo ordine in (cid:15) l’equazione lineare u ,t ` c p u q u ,z ` F p u q u ,z,z,z “ (A.2)che appartiene alla classe delle equazioni dispersive con relazione di dispersione pari a ω p k q “ c p u q k ´ F p u q k . Facendo l’ulteriore ipotesi fisica di onde lunghe si ha ω p k q » c p u q k e ci troviamo nel regime debolmente dispersivo; poniamo quindi k “ (cid:15) α q , allora θ “ kz ´ ω p k q t “ (cid:15) α q p z ´ c p u q t q ` F p u q (cid:15) α q t (A.3)che suggerisce la definizione delle seguenti variabili lente z “ (cid:15) α z , t “ (cid:15) α t e t “ (cid:15) α t ; ilche implica B z Ñ (cid:15) α B z e B t Ñ (cid:15) α B t ` (cid:15) α B t . All’ordine O p (cid:15) ` α q abbiamo p (cid:15) α B t ` (cid:15) α B t qp u ` (cid:15)u ` .. `q ` c p u q (cid:15) α B z p u ` (cid:15)u ` .. `q`` F p u q e α B z B z B z p u ` (cid:15)u ` ... q ñ u ,t ` c p u q u ,z , (A.4) Sono quelle equazioni differenziali che ammettono soluzioni della forma Ae iθ “ Ae i p k ¨ z ´ ω p k q t q con ω p k q P R se k P R e tale che ∇ ω p k q ‰ . La funzione ω p k q è detta relazione di dispersione. c p u q e la soluzioneè data da u p z ´ c p u q t , t q . Ad ordini superiori abbiamo contributi da ordini, in principio,diversi: O p (cid:15) ` α q e O p (cid:15) ` α q ; tuttavia la natura favorisce le situazioni in cui ad un certoordine il numero di termini massimo è bilanciato . Seguendo questo principio abbiamo ` α “ ` α ñ α “ e quindi il prossimo ordine è O p (cid:15) q , ottenendo u ,t ` c p u q u ,z ` u ,t ` c p u q u u ,z ` F p u q u ,z ,z ,z looooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooon “ h p z ´ c p u q t ,t q “ (A.5)ma poichè l’addendo h p z ´ c p u q t , t q è un termine risonante dobbiamo imporre che u ,t ` c p u q u u ,z ` F p u q u ,z ,z ,z “ (A.6)la A.6 è l’equazione KdV e fissa la dipendenza dalla variabile t , il che ci è permessosolo perchè abbiamo definito delle variabili lente ed usato l’espansione multiscala; se nonavessimo fatto questo, il termine risonante avrebbe distrutto la serie di potenze asintotica.In conclusione la KdV è l’equazione modello nella descrizione di sistemi debolmente nonlineari e debolmente dispersivi nel limite di onde lunghe. Questo principio è detto del massimo bilancio. ppendice BVerifica soluzioni 3.42 Consideriamo la seconda delle 3.42 e, sostituendo la soluzione 3.44, si dovrebbe avere ρ ˘ a p w k ´ z q ` ρ “ rp w k ´ z q ˘ a p w k ´ z q ` ρ s ρ ´ p z ´ w k qrp w k ´ z q ˘ a p w k ´ z q ` ρ s ` ρ ññ p w k ´ z qrp w k ´ z q ˘ a p w k ´ z q ` ρ s ` ρ ““ rp w k ´ z q ˘ a p w k ´ z q ` ρ sr˘ a p w k ´ z q ` ρ s ññ p w k ´ z q ˘ p w k ´ z q a p w k ´ z q ` ρ ` ρ ““ ˘p w k ´ z q a p w k ´ z q ` ρ ` p w k ´ z q ` ρ ñ “ (B.1)e la verifica è conclusa. Per la seconda delle 3.42 il procedimento è analogo.334 ibliografiaibliografia