Some properties of non-positively curved lattices
aa r X i v : . [ m a t h . G R ] J un Some properties of non-positively urved latti esPierre-Emmanuel Capra e a , , Ni olas Monod b , a IHES, Fran e b EPFL, SwitzerlandAbstra tWe announ e results on the stru ture of CAT(0) groups, CAT(0) latti es and of the underlying spa es. Ourstatements rely notably on a general study of the full isometry groups of proper CAT(0) spa es. Classi al state-ments about Hadamard manifolds are established for singular spa es; new arithmeti ity and rigidity statementsare obtained.RésuméQuelques propriétés des groupes CAT(0). Nous présentons des résultats de stru ture sur les groupes CAT(0),les réseaux CAT(0) et sur les espa es sous-ja ents. Nos énon és reposent notamment sur une étude générale desgroupes d'isométries pleins des espa es CAT(0) propres. Nous démontrons des résultats qui généralisent desénon és lassiques sur les variétés de Hadamard et proposons de nouveaux théorèmes d'arithméti ité et rigidité.Version française abrégéeNous onviendrons qu'un groupe CAT(0) est un ouple (Γ , X ) où X est un espa e CAT(0) propre et Γ un groupe d'isométries de X dont l'a tion est proprement dis ontinue et o ompa te. Il s'agit d'étudierles relations entre la géométrie de X et les propriétés algébriques de Γ . Ce adre permet un traitementuni(cid:28)é de nombreuses situations lassiques (groupes fondamentaux de variétés ompa tes à ourbure né-gative, réseaux uniformes des groupes algébriques semisimples, en parti ulier groupes S -arithmétiquesanisotropes) et moins lassiques liées à la théorie géométrique des groupes (réseaux non linéaires asso- iés aux arbres, immeubles exotiques et non eu lidiens, nombreux groupes Gromov-hyperboliques). Cettenote annon e quelques résultats généraux qui relèvent de e ontexte. Nous onsidérons parfois le as plusEmail addresses: apra eihes.fr (Pierre-Emmanuel Capra e), ni olas.monodepfl. h (Ni olas Monod). Supported in part by IPDE and a Hodge fellowship. Supported in part by FNS.Preprint submitted to the A adémie des s ien esénéral des réseaux CAT(0) qui, à défaut de meilleure dé(cid:28)nition, onsistent des ouples (Γ , X ) formésd'un réseau Γ dans un groupe d'isométries o ompa t de X .Voi i un premier exemple des relations entre X et Γ : la dimension du fa teur eu lidien de X est égaleau rang maximal des sous-groupes abéliens libres normaux dans Γ (Cor. 1.2 ; es numéros renvoient à lapartie anglaise). Dans le as des variétés riemanniennes, 'est là un résultat d'Eberlein [3℄ qui peut êtrevu omme une ré iproque (partielle) au (cid:19) théorème du tore plat (cid:20) [5℄, [7℄, [2, ŸII.7℄.Pour obtenir des énon és de rigidité, il est utile (et bien souvent né essaire) de supposer que X soitgéodésiquement omplet, e qui n'ex lut au un des exemples lassiques (immeubles, variétés, . . .).Nous montrons alors que X possède une isométrie parabolique si et seulement si X admet une dé ompo-sition isométrique X = M × X ′ où X ′ est CAT(0) et M est un espa e symétrique de type non ompa t.(Cor. 2.3 ; et énon é est faux pour des espa es X sans réseau Γ ). Plus pré isément, soit (Γ , X ) ungroupe CAT(0) ave Γ irrédu tible et X géodésiquement omplet. Supposons que X admette une isomé-trie parabolique. Si Γ est résiduellement (cid:28)ni, alors X est isométrique à un produit d'espa es symétriqueset d'immeubles de Bruhat(cid:21)Tits. Sinon, l'interse tion Γ D de tous les sous-groupes d'indi e (cid:28)ni de Γ n'estpas de type (cid:28)ni et le quotient Γ / Γ D est un groupe arithmétique (Thm. 2.2).Notre travail s'appuie sur une analyse des groupes d'isométries des espa es CAT(0) propres indépen-dante de l'existen e de réseaux. On se pla e dans le adre où un groupe G <
Is( X ) agit minimalementet sans point (cid:28)xe à l'in(cid:28)ni (il onvient de montrer qu'il est possible de se restreindre à e as). Lorsque lebord à l'in(cid:28)ni de X , muni de la métrique de Tits, est de dimension (cid:28)nie, on montre que X possède unedé omposition anonique en un produit d'un fa teur eu lidien et d'un nombre (cid:28)ni de fa teurs irrédu tiblesnon eu lidiens ; 'est là une variante de la dé omposition de de Rham obtenue dans [4℄. En parti ulier legroupe d'isométries omplet de X se dé ompose virtuellement omme produit des groupes d'isométriesde haque fa teur de X . En outre, le groupe d'isométries de tout fa teur irrédu tible non eu lidien estsoit un groupe de Lie simple presque onnexe de entre trivial, soit un groupe totalement dis ontinu dontle radi al moyennable est trivial. Dans tous les as, e groupe est irrédu tible en e sens qu'au un sous-groupe fermé d'indi e (cid:28)ni ne se s inde en un produit dire t non trivial (Thm. 4.2). En fait, tout grouped'isométries d'un espa e CAT(0) irrédu tible non eu lidien dont le bord est de dimension (cid:28)nie transmet à ha un de ses sous-groupes normaux non triviaux la propriété d'agir minimalement et sans point (cid:28)xe aubord sur l'espa e en question (Thm. 4.3). De ette propriété de (cid:19) densité géométrique (cid:20) des sous-groupesnormaux, que l'on peut interpréter omme une forme faible de simpli ité, dé oulent des énon és purementalgébriques : un sous-groupe normal, et plus généralement un sous-groupe sous-normal, ne se s inde pas enproduit dire t non trivial, son radi al moyennable et son entralisateur sont tous deux triviaux. Lorsquenon seulement le groupe d'isométries Is( X ) , mais aussi ha un de ses sous-groupes ouverts, agit sans (cid:28)xerde point à l'in(cid:28)ni, es di(cid:27)érentes on lusions peuvent être onsidérablement renfor ées (Thm. 4.6).Le phénomène de (cid:19) densité géométrique (cid:20) qu'on vient de dé rire pour les sous-groupes normaux d'ungroupe d'isométries d'un espa e CAT(0) irrédutible se manifeste également pour les réseaux (Thm. 3.1).Le terme de (cid:19) densité (cid:20) est i i parti ulièrement approprié : de es onsidérations, on déduit en outreun preuve du résultat lassique, dû à Borel, de densité de Zariski dans le as parti ulier des réseaux degroupes semisimples.Mentionnons (cid:28)nalement que es di(cid:27)érents développements permettent d'appliquer le théorème de su-perrigidité de Margulis pour ertains groupes arithmétiques tels que SL n ( Z ) dans un ontexte purementCAT(0) (Thm. 4.5). Par ailleurs, on montre qu'au sein des espa es CAT(0) propres géodésiquement omplets, les espa es symétriques et immeubles eu lidiens fortement homogènes sont ara térisés par lefait que le (cid:28)xateur de tout point à l'in(cid:28)ni est o ompa t (Thm. 4.7).2. CAT(0) groups and latti esWe de(cid:28)ne a CAT(0) group as a pair (Γ , X ) where X is a proper CAT(0) spa e and Γ a properlydis ontinuous o ompa t group of isometries of X . The study of these obje ts enters around the followinggeneral question: ( ⋆ ) What is the interplay between the geometry of X and the algebrai properties of Γ ?The motivation for onsidering CAT(0) groups is that they provide a ommon framework for at leastfour lassi al topi s: losed manifolds of non-positive urvature; uniform latti es in semi-simple groupsover lo al (cid:28)elds, in parti ular anisotropi S -arithmeti groups; non-linear ousins su h as tree latti es,exoti and non-Eu lidean buildings; general geometri group theory. A tually, the lassi al situationsalluded to above naturally suggest to relax the o ompa tness ondition in order to over all latti es insemi-simple groups, as well as larger families of non-linear relatives, in luding non-uniform latti es arisingfrom Ka (cid:21)Moody theory. In the general CAT(0) setting, there is (as yet) no onsensus on a good de(cid:28)nitionfor dis rete groups of (cid:28)nite ovolume; we shall ontent ourselves with the following ad ho de(cid:28)nition:A CAT(0) latti e is a pair (Γ , X ) where X is a proper CAT(0) spa e whose isometry group Is( X ) a ts o ompa tly and Γ is a latti e in Is( X ) . We emphasise that a CAT(0) group is in parti ular a (cid:28)nitelygenerated (uniform) CAT(0) latti e.The goal of this note is to announ e a few general results on CAT(0) latti es, of relevan e to ea h ofthe above themes.A (cid:28)rst example towards question ( ⋆ ) regards the maximal Eu lidean fa tor. We re all that the FlatTorus theorem, originating in the work of Gromoll(cid:21)Wolf [5℄ and Lawson(cid:21)Yau [7℄, asso iates Eu lideansubspa es R n ⊆ X to subgroups Z n ⊆ Γ (see [2, ŸII.7℄). The onverse is a well-known open problem(Gromov [6, Ÿ . B ℄; for manifolds see Yau, problem 65 in [9℄). We propose the following.Theorem 1.1 Let (Γ , X ) be a (cid:28)nitely generated CAT(0) latti e and let X ∼ = R n × X ′ be the Eu lideande omposition. Then there is a (cid:28)nite index subgroup Γ whi h splits as a dire t produ t Γ ∼ = Z n × Γ ′ .In the spe ial ase of o ompa t Riemannian manifolds, the above was the main result of Eberlein'sarti le [3℄. A CAT(0) spa e X is alled minimal if Is( X ) a ts minimally, i.e. without stabilising anynon-empty losed onvex proper subset.Corollary 1.2 If X is minimal ( e.g. geodesi ally omplete ) , then the dimension of the Eu lidean fa torof X equals the maximal Q -rank of an Abelian normal subgroup of Γ .In the sequel, an abstra t group Γ is alled irredu ible if no (cid:28)nite index subgroup splits as a non-trivialdire t produ t. We generalise to all (cid:28)nitely generated CAT(0) latti es the Margulis irredu ibility riterionfor latti es in semi-simple groups.2. Geometri arithmeti ityA neutral paraboli isometry is a (cid:28)xed-point free isometry with zero translation length.Theorem 2.1 Let (Γ , X ) be an irredu ible CAT(0) group. If X admits any neutral paraboli isometry,then either:(i) Is( X ) is a rank one simple Lie group with trivial entre; or:(ii) Γ possesses a normal subgroup Γ D su h that Γ / Γ D is an arithmeti group. Moreover, Γ D is either(cid:28)nite or in(cid:28)nitely generated. 3ssuming in addition that every geodesi segment of X an be extended to a bi-in(cid:28)nite geodesi line(whi h need not be unique), we obtain geometri information on X and at the same time drop theneutrality assumption.Theorem 2.2 Let (Γ , X ) be an irredu ible CAT(0) group with X geodesi ally omplete. Assume that X possesses some paraboli isometry.If Γ is residually (cid:28)nite, then X is a produ t of symmetri spa es and Bruhat(cid:21)Tits buildings. In parti -ular, Γ is an arithmeti latti e unless X is a real or omplex hyperboli spa e.If Γ is not residually (cid:28)nite, then X still splits o(cid:27) a symmetri spa e fa tor. Moreover, the (cid:28)nite residual Γ D of Γ is in(cid:28)nitely generated and Γ / Γ D is an arithmeti group.Corollary 2.3 Let (Γ , X ) be a CAT(0) group with X geodesi ally omplete. Then X possesses a paraboli isometry if and only if X ∼ = M × X ′ , where M is a symmetri spa e of non- ompa t type.For latti es in produ ts of groups that are simple, or have few fa tors, an arithmeti ity/non-linearityalternative was proved in [8℄. In our geometri setting, we an establish it without any assumption on thefa tors, and moreover establish geometri superrigidity.Theorem 2.4 Let (Γ , X ) be an irredu ible CAT(0) group with X geodesi ally omplete. Assume that Γ possesses some faithful (cid:28)nite-dimensional linear representation ( in hara teristi = 2 , .If X is redu ible, then Γ is an arithmeti latti e and X is a produ t of symmetri spa es and Bruhat(cid:21)Titsbuildings.3. A geometri Borel density theoremA re urring theme of our work is that minimality (cid:22) a mu h weaker assumption, upon adjustments,than the familiar notions of o ompa tness or of full limit sets (cid:22) is a valuable geometri notion, similar toZariski density in algebrai groups. The following orresponds to Borel's lassi al result [1℄ (and ontainsit, indeed).Theorem 3.1 Let G be a lo ally ompa t group with a ontinuous isometri a tion on a proper CAT(0)spa e X without Eu lidean fa tor.If G a ts minimally and without global (cid:28)xed point in ∂X , then any losed subgroup with (cid:28)nite invariant ovolume in G still has these properties.One dedu es generalisations of some fa ts known in the ase of latti es in semi-simple groups.Corollary 3.2 Let X be a proper CAT(0) spa e without Eu lidean fa tor su h that G = Is( X ) a tsminimally without (cid:28)xed point at in(cid:28)nity, and let Γ < G be a losed subgroup with (cid:28)nite invariant ovolume.Then:(i) Γ has trivial amenable radi al.(ii) The entraliser Z G (Γ) is trivial.(iii) If Γ is (cid:28)nitely generated, then is has (cid:28)nite index in its normaliser N G (Γ) and the latter is a (cid:28)nitelygenerated latti e in G .As pointed out by P. de la Harpe, (ii) implies in parti ular that any latti e in G is ICC and hen e itsvon Neumann algebra is a fa tor. 4. Isometry groups and their normal subgroupsOur results on CAT(0) groups and latti es require some groundwork on the full isometry group of theunderlying CAT(0) spa es. A ommon (cid:28)rst step for many of our result is the following fa t.Theorem 4.1 Let X be a proper CAT(0) spa e with (cid:28)nite-dimensional boundary and no Eu lidean fa tor.Let G <
Is( X ) be a losed subgroup a ting minimally and without (cid:28)xed point at in(cid:28)nity. Then the amenableradi al of G is trivial.Next, we establish a group de omposition, supplemented by a de Rham de omposition of the spa ewhi h is a variant of [4℄.Theorem 4.2 Let X be a proper minimal CAT(0) spa e with (cid:28)nite-dimensional boundary. If G = Is( X ) has no global (cid:28)xed point at in(cid:28)nity, then there is a anoni al (cid:28)nite index open hara teristi subgroup G ∗ ✁ Is( X ) whi h admits a anoni al de omposition G ∗ ∼ = S × · · · × S p × (cid:0) R n ⋊ O ( n ) (cid:1) × D × · · · × D q ( p, q, n ≥ where S i are almost onne ted simple Lie groups with trivial entre and D j are totally dis onne tedirredu ible groups. Furthermore, there is a anoni al equivariant isometri splitting X ∼ = X × · · · × X p × R n × Y × · · · × Y q with omponentwise minimal a tion; all X i and Y j are irredu ible. Any other produ t de omposition of G ∗ or X is a regrouping of the above fa tors.The on lusion of Theorem 4.2 an be onsiderably strengthened by a further des ription of the fa tors D i . Indeed, they satisfy the following geometri form of simpli ity.Theorem 4.3 Let X = R be an irredu ible proper CAT(0) spa e with (cid:28)nite-dimensional Tits boundaryand G <
Is( X ) any subgroup whose a tion is minimal and does not have a global (cid:28)xed point in ∂X .Then every non-trivial normal subgroup N ✁ G still a ts minimally and without (cid:28)xed point in ∂X .Moreover, the amenable radi al of N and its entraliser Z Is( G ) ( N ) are both trivial; N does not split as aprodu t.These on lusions hold more generally when N < G is any non-trivial subnormal or even as endingsubgroup.Noti e that Theorem 4.3 an be gainfully ombined with Theorem 3.1 and Corollary 3.2 in order toobtain for instan e information on normal subgroups of latti es, or latti es in normal subgroups.For the study of the totally dis onne ted fa tors of isometry groups, the following smoothness result isa basi link between the topology and the algebra.Theorem 4.4 Let X be a geodesi ally omplete proper CAT(0) spa e and G <
Is( X ) a totally dis on-ne ted losed subgroup a ting minimally. Then the pointwise stabiliser in G of every bounded set is open.(The on lusion an indeed fail when X is not geodesi ally omplete.)At this point, we noti e in passing that we have gathered enough information about general o ompa tCAT(0) spa es to apply Margulis' superrigidity at least for some latti es.Theorem 4.5 Let X be a proper CAT(0) spa e whose isometry group a ts o ompa tly and without global(cid:28)xed point at in(cid:28)nity. Let Γ = SL n ( Z ) with n ≥ and G = SL n ( R ) .For any isometri Γ -a tion on X there is a non-empty Γ -invariant losed onvex subset Y ⊆ X onwhi h the Γ -a tion extends uniquely to a ontinuous isometri a tion of G . ( The orresponding statement applies to all those latti es in semi-simple Lie groups that have virtuallybounded generation by unipotents. It also applies to S -arithmeti latti es su h as SL n ( Z [ m ]) , n ≥ . ) Γ (cid:28)xes points in ∂X , but its a tion on Y isalways minimal and without (cid:28)xed points at in(cid:28)nity.Re all that the quasi- entre QZ ( G ) of a group G is the union of the dis rete onjuga y lasses;it is always a (topologi ally) hara teristi subgroup. The following result establishes in parti ular theexisten e of a minimal non-trivial normal subgroup; to state it, we de(cid:28)ne the so le soc( · ) as the subgroupgenerated by the (possibly empty) olle tion of all minimal non-trivial losed normal subgroups.Theorem 4.6 Let X be a proper geodesi ally omplete CAT(0) spa e without Eu lidean fa tor and G <
Is( X ) a losed subgroup a ting o ompa tly. Suppose that no open subgroup of G (cid:28)xes a point at in(cid:28)nity.(i) X admits a anoni al equivariant splitting X ∼ = X × · · · × X p × Y × · · · × Y q where ea h X i is a symmetri spa e and ea h Y j possesses a G -invariant lo ally (cid:28)nite de ompositioninto ompa t onvex ells.(ii) Every ompa t subgroup of G is ontained in a maximal one; the maximal ompa t subgroups fallinto (cid:28)nitely many onjuga y lasses.(iii) QZ ( G ) = { } ; in parti ular G has no non-trivial dis rete normal subgroup.(iv) soc( G ∗ ) is a dire t produ t of p + q non-dis rete hara teristi ally simple groups.Finally, we present a result of a di(cid:27)erent vein. Symmetri spa es and Bruhat(cid:21)Tits buildings have in ommon the property that the stabilisers of points at in(cid:28)nity are o ompa t (being always paraboli ; the ase of Eu lidean type is obvious). This property is further shared by Bass(cid:21)Serre trees, i.e. edge-transitivetrees (whi h are in parti ular regular or bi-regular).Theorem 4.7 Let X be a geodesi ally omplete proper CAT(0) spa e. Suppose that the stabiliser of everypoint at in(cid:28)nity a ts o ompa tly on X .Then X is isometri to a produ t of symmetri spa es, Eu lidean buildings and Bass(cid:21)Serre trees.The Eu lidean buildings appearing in the pre eding statement admit an automorphism group that isstrongly transitive, i.e. a ts transitively on pairs ( c, A ) where c is a hamber and A an apartement ontain-ing cc