Some reflections on why Lobachevsky geometry was recognized
aa r X i v : . [ m a t h . HO ] J a n РАЗМЫШЛЕНИЯ О ПРИЗНАНИИ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО В.В. Прасолов и А.Б. Скопенков Признание неевклидовой геометрии происходило непросто. Часто споры вокруг неепредставляют упрощенно, в черно-белом цвете: ‘невежи и консерваторы осмеивали гениеви новаторов’. И хотя в этом имеется доля истины, дело здесь обстоит сложнее, и до порыдо времени для неприятия этой новой теории были довольно веские основания. Мы попы-таемся преодолеть этот стереотип, в частности, объяснить, почему неевклидова геометриябыла принята не сразу , и показать, что для ее признания было важно не только открытиеее моделей (§1), но и появление ее приложений к другим областям математики (§2).Приводимые размышления о приложениях напрямую касаются современной математи-ки и связаны с важнейшими практическими вопросами, например: как математику вы-бирать направления исследования. Эти мысли знакомы некоторым профессиональнымматематикам. Но мы надеемся, что они будут новы и интересны и для тех, кто изучаетматематику (на разных уровнях), и для тех, кто интересуется математикой как частьюкультуры.Мы не рассматриваем предысторию геометрии Лобачевского (т.е. труды Аристотеля,Омара Хайяма, Швейкарта, Тауринуса, Ламберта, Саккери и других). Мы лишь короткопишем об истории открытия геометрии Лобачевского и ее моделей (§1; если вам знакомаэта история, то вы можете пропустить §1). Подробнее см. [Pa], [Gr] и [W]. Основы самойгеометрии Лобачевского можно изучить, например, по [Pr, Pe].1.
Проблема Пятого постулата и геометрия Лобачевского
Пятый постулат Евклида (аксиома параллельных) в более простой эквивалентной фор-ме гласит, что через точку вне данной прямой проходит не более одной прямой, не пересекающейданную прямую.
Эта аксиома формулируется сложнее, чем другие аксиомы (ибо она требует рассмот-рения бесконечной прямой). Поэтому еще Аристотель рассуждал о возможности вывестиее из остальных аксиом. (Точнее, Аристотель рассуждал об эквивалентном утверждениио сумме углов треугольника.) Чтобы сделать это, Карл-Фридрих Гаусс, Янош Бойяи иНиколай Иванович Лобачевский, как и их предшественники, рассуждали от противного.Они предположили, что через точку вне данной прямой проходит более, чем одна прямая,не пересекающая данную, и стремились отсюда получить противоречие. Но следствия изэтой гипотезы, вместо того, чтобы привести к противоречию, постепенно выстраивались вочень стройную и богатую, хотя и крайне необычную, теорию. Появилось подозрение, чтоэта теория так же логически безупречна, как и евклидова, а потом и уверенность в этом.Такая уверенность пришла к Гауссу, Бойяи и Лобачевскому в 1810х-1820х годах. Перваяпубликация принадлежит Лобачевскому.Однако в начале 19-го века не было ясно, как, развивая неевклидову геометрию, можнорешить двухтысячелетнюю проблему о доказуемости Пятого постулата Евклида.Проблема Пятого постулата была решена после появления моделей неевклидовой гео-метрии, придумать которые помогли труды Лобачевского. Поясним читателю важное по-нятие модели. Предположим, что дана аксиоматическая теория, непротиворечивость ко-торой мы хотим установить. (Например, неевклидова геометрия.) В этой теории, кроме Благодарим И. Изместьева, А. Петрунина и членов редколлегии журнала ‘Математическое Просве-щение’ за полезные обсуждения. Особо благодарим А. Сосинского за разрешение использовать частьнаписанного им текста. аксиом, должны быть неопределяемые понятия — это понятия, определения которых втеории не даются. Такие понятия в строгой аксиоматической теории необходимы, иначев определениях будет порочный круг (так же как необходимы недоказываемые аксиомы ,без которых в доказательствах будет порочный круг).Попробуем обратиться к другому разделу математики, в непротиворечивости которо-го мы не сомневаемся (например, к евклидовой геометрии). И построим в нем модель данной теории, т.е. переведем неопределяемые понятия данной теории в конкретные тер-мины выбранного раздела математики так, чтобы аксиомы теории (верней, их перевод)превратились в истинные высказывания этого раздела. Тогда, если имеется противоречиев теории (например, в геометрии Лобачевского), то соответствующее противоречие можнополучить и в том разделе математики, где реализована наша модель (например, в евкли-довой геометрии). Если же в модели противоречия нет, то его нет и в исходной теории.Установленную таким способом непротиворечивость называют относительной потому,что она может быть получена лишь в предположении, что тот раздел математики, внутрикоторого построена модель, сам является непротиворечивым. Так что из существованияуказанной модели следует, что если есть противоречие в геометрии Лобачевского, то оноесть и в геометрии Евклида. В своих работах Лобачевский писал, что у обитателей пространства с его геометриейне было бы проблем с евклидовой геометрией, поскольку геометрия на орисфере евкли-дова. (
Орисферой в геометрии Лобачевского называется ‘предельная фигура’, полученнаяиз сферы устремлением радиуса к бесконечности. При этом предполагается, что сферапроходит через некоторую фиксированную точку, а ее центр уходит в бесконечность пофиксированному лучу, выходящему из этой точки. В отличие от евклидовой геометрии, этафигура не совпадает с плоскостью.) Видимо, он интуитивно пришел к идее построениямодели, но не сформулировал этого явно. Главной трудностью в доказательстве непро-тиворечивости неевклидовой геометрии в те времена было отсутствие явно высказаннойидеи модели. А в наше время идея построения модели для доказательства (относительной)непротиворечивости общеизвестна и даже банальна.Первая модель неевклидовой геометрии была построена итальянским математиком Эуд-женио Бельтрами [K2]. Тем самым было доказано, что Пятый постулат невозможно вы-вести из остальных аксиом.Сначала, в 1868 г., Бельтрами построил модель малой части плоскости Лобачевского[B]. Приведем идею его построения. Трактриса (кривая погони) — плоская кривая, длякоторой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксиро-ванной прямой является постоянной величиной. Такую линию описывает предмет, воло-чащийся на веревке заданной длины за точкой, движущейся по оси абсцисс. Поверхностьвращения трактрисы называется поверхностью Бельтрами (хотя она была открыта доБельтрами). Геодезической на поверхности Бельтрами (и на произвольной поверхности)называется любая линия, достаточно малые дуги которой являются на этой поверхностикратчайшими путями между их концами. Бельтрами доказал, что геометрия на малойчасти поверхности Бельтрами такая же, как на малой части плоскости Лобачевского. Это не дает ответа на важнейший исходный вопрос: есть ли противоречие в геометрии Лобачевского?Но, с одной стороны, в непротиворечивости геометрии Евклида все уверены. С другой стороны, появлениемоделей и доказательство относительной непротиворечивости подняло вопрос о формальном доказатель-стве непротиворечивости геометрии Евклида (и других ‘классических’ теорий). Однако даже формали-зация этого вопроса нетривиальна, и останется проблема корректности самих методов доказательства.Мы благодарны Д. Мусатову за обсуждение этой важной темы и надеемся, что она будет освещена впопулярной литературе. Тригонометрические формулы для поверхности Бельтрами (и других поверхностей постоянной отри-цательной кривизны) были получены Фердинандом Миндингом (прибалтийским учеником Гаусса) [M] в1840 г. Они совершенно идентичны формулам геометрии Лобачевского, открытым Лобачевским!
Т.е. что переводчасть плоскости Лобачевского → поверхность Бельтрамиточка → точка этой поверхностипрямая → геодезическая на этой поверхностидоставляет модель части плоскости Лобачевского в виде поверхности Бельтрами.Затем Бельтрами построил модель всей плоскости Лобачевского (весьма неожиданнуюи простую!) [K, Pr]. Важные свойства этой модели, на которых сейчас основаны ее при-ложения к другим областям математики, были обнаружены Феликсом Клейном в 1871(связь с проективной геометрией, а именно — с проективными преобразованиями, сохра-няющими круг). Клейн использовал важную идею Артура Кэли (1859) о связи расстоянийна сфере и двойных отношений из проективной геометрии . Поэтому модель, построеннаяБельтрами, называется моделью Кэли-Клейна или Бельтрами-Клейна.Некоторые другие модели (1883) называют именем Анри Пуанкаре. Хотя Бельтрамиписал о них, именно Пуанкаре указал на связь с другими областями математики (см.подробнее §2).Интересно, что когда велись споры вокруг геометрии Лобачевского, другая неевклидовагеометрия уже была давно общепризнана. Это геометрия звездного неба или поверхно-сти земного шара — сферическая геометрия. Ввиду реальности изучаемого объекта и егоогромного значения для астрономии и мореплавания никаких насмешек и борьбы за при-знание сферической геометрии просто не было. Однако сферическая геометрия до Клейна(может быть — до Римана) воспринималась не как отдельная геометрия, а как часть трех-мерной евклидовой геометрии. Поэтому не было необходимости в построении модели, какне было и самого понятия модели.2.
Признание геометрии Лобачевского и приложения
Почему Гаусс не публиковал свои работы по неевклидовой геометрии?
Гаусс первый осознал, что неевклидова геометрия имеет право на существование. Поче-му же он не продолжил свои занятия этой областью? Часто приходится читать, что Гауссне публиковал из ‘интеллектуальной трусости’ — он боялся, что его поднимут на смех .Это подтверждается его письмом 1829 года Бесселю, где Гаусс признает состоятельностьнеевклидовой геометрии, но подчеркивает, что не объявляет это публично во избежаниекриков ‘беотийцев’ (т. е. невежественных людей). В какой-то мере, возможно, это былои так. Но нам представляется, что более существенны незавершенность попытки решитьпроблему Пятого постулата, а также следующие весьма достойные причины.В начале своего научного пути Гаусс занимался ‘чистой’ математикой (в частности,теорией чисел, замечательные приложения которой были обнаружены лишь позднее). На-чиная с 1816 года, когда он обосновался в Геттингене, он занимался разделами математики(теорией вероятностей, векторным анализом, дифференциальной геометрией и др.), свя-занными с практическими приложениями (астрономией, геодезией, магнетизмом). Значит,Гаусс считал более важными для себя области математики, связанные с изучением реаль-ного мира. Это косвенно подтверждает и отрывок из его рецензии [Ga] (на неудачнуюпопытку доказательства пятого постулата; перевод авторов): Пятый постулат пытались вывести из остальных аксиом Евклида. На сфере не все они выполнены.Поэтому сферическая геометрия не воспринималась как неевклидова и как имеющая тесную связь сгеометрией Лобачевского. Кстати, именно это случилось с Лобачевским, о котором с насмешкой писал Чернышевский [Gi, с.376]. Да и в журнале ‘Сын отечества’ (известном еще травлей Пушкина) труды Лобачевского были грубоосмеяны.
Большая часть [рецензируемой] работы касается утверждения, что, вопреки Канту,достоверность геометрии базируется не на лицезрении, а на определениях и логическихправилах вывода. Кант вовсе не хотел отрицать, что эти логические вспомогательныесредства все более и более используются для описания геометрических истин и связеймежду ними. Однако любой человек, знакомый с сущностью геометрии, согласится,что логические средства сами по себе не позволяют ничего получить, а дают лишьпустоцвет, если всюду не властвует плодотворное живое лицезрение предметов.
Лобачевский, в отличие от Гаусса, не имеет ярких результатов, связанных с приложени-ями. Однако его деятельность на посту ректора Казанского университета не менее важнадля реальной жизни, чем прикладные исследования. При этом вызывает уважение то,что с одной стороны, сам он продолжал заниматься неевклидовой геометрией, а с дру-гой стороны, не использовал своего высокого служебного положения для продвижениясвоих исследований. Будучи ректором Казанского университета, он мог бы основать на-учную школу по неевклидовой геометрии и издавать собственный журнал, не дожидаясьее международного признания. В этом проявилось отличие большого ученого и порядоч-ного человека от профана или карьериста, пытающегося любой ценой продвинуть своиидеи.
Астрономические наблюдения Лобачевского
Как указано в [V], Лобачевский производил астрономические наблюдения с целью про-верить, равна ли сумма углов треугольника ◦ (что эквивалентно пятому постулатуЕвклида) или меньше, как в ‘воображаемой геометрии’. Здесь мы подходим к одному из ключевых вопросов философии науки: что такое гео-метрия, о чем эта наука? Современники и предшественники Лобачевского (да и он сам допоры до времени) считали, что трехмерная геометрия Евклида — это учение о физиче-ском пространстве нашего мира. Но у Лобачевского в какой-то момент забрезжила мысль— а может быть, его геометрия вовсе не такая уж ‘воображаемая’, и именно она, а негеометрия Евклида, и определяет структуру нашего пространства?Астрономические измерения Лобачевского (мы их здесь не описываем, но заинтересо-ванный читатель может найти рассказ о них в книге [V]) не привели к ответу: сумма угловполучилась меньше ◦ , но отличие от ◦ не превысило ошибку (точность) измерений.Вопрос о том, какая из геометрий и есть геометрия нашей Вселенной, так и остался висетьв воздухе. Первые приложения геометрии Лобачевского
Важнейшую роль в признании геометрии Лобачевского сыграло открытие моделей (§1).Были также важны и логический анализ оснований геометрии (Паш, Гильберт и др.),вызванный появлением геометрии Лобачевского и ее моделей, и ‘эрлангенская программа’Клейна [K1] вместе с теорией Ли непрерывных групп .Большое значение имело также открытие приложений к другим областям математики.Сам Лобачевский вычислил множество определенных интегралов, интерпретируя ихкак объемы различных тел в неевклидовом пространстве. Однако эти применения бы-ли раскритикованы М.В. Остроградским. Он указывал, что один из двух интегралов,вычисленный Лобачевским, известен, а второй неверен [Pa, стр. 14 внизу]. Ввиду кри-тики Остроградского это приложение геометрии Лобачевского не сильно способствовалоее признанию. (Мы не обсуждаем здесь вопрос о том, в какой степени эта критика быласправедливой.) Как указано в [K2, с. 26-27], Гаусс производил аналогичные наблюдения на поверхности Земли. Гаусспроводил картографические исследования и, возможно, при этом измерял большие треугольники (обра-зованные вершинами гор) для соединения измерений, выполненных для различных участков карт. Воз-можно, это и привело к появлению легенды о том, что он проводил этот дорогостоящий эксперимент дляудовлетворения своего любопытства, связанного с геометрией Лобачевского.
Одним из первых приложений геометрии Лобачевского к другим областям математи-ки была теория автоморфных функций , разработанная Пуанкаре в 1881-84 годы [K2]. Впростейшем случае это функции комплексного переменного, определҷнные в верхней по-луплоскости и инвариантные относительно некоторого множества дробно-линейных пре-образований вида z az + bcz + d с вещественными коэффициентами a , b , c и d . Пуанкаресначала выясняет, как устроены фундаментальные области таких преобразований, азатем строит сами функции с помощью рядов. Пуанкаре обнаруживает, что фундамен-тальные области заполняют верхнюю полуплоскость, причeм их размеры уменьшаютсяпри приближении к границе — вещественной прямой. Это напомнило ему геометрию Ло-бачевского, и неожиданно пришла идея, что эти преобразования совпадают с движенияминеевклидовой геометрии. Правильность этой идеи Пуанкаре вскоре легко проверил.Пуанкаре отмечал, что геометрия Лобачевского служила ему в его исследованиях руко-водящей нитью, но он избегал использовать ее в своем изложении, потому что она была вто время мало знакома математикам. Этому знакомству весьма поспособствовали иссле-дования Пуанкаре, показавшие, что геометрия Лобачевского может иметь приложения иво вполне классических областях математики.Некоторую роль в признании геометрии Лобачевского могло сыграть также открытие вначале 20 века ее приложений к физике, точнее, к теории относительности [DSS]. Оказа-лось, что пространство скоростей в этой теории имеет геометрию Лобачевского (инымисловами, ‘совпадает’ с моделью Бельтрами-Клейна). Заключение: ‘естественнонаучный’ и ‘философский’ аспекты математики
Лобачевский, Гаусс и Бойяи высказали две важные идеи. Во-первых, логически мыс-лима не только евклидова геометрия, но и другие геометрии. Во-вторых, эти другие гео-метрии в принципе могут отражать строение реального пространства. К сожалению, в товремя эти две разные идеи не были четко отделены друг от друга. Споры вокруг неевкли-довой геометрии помогли математикам четко выделить два разных аспекта своей науки.Первый — изучение систем аксиом и, вообще, формальных конструкций; он ближе к фи-лософии. Второй — математическое изучение реального мира; он ближе к естественнымнаукам (в первую очередь, к физике). Эти аспекты взаимосвязаны: математическое изуче-ние реального мира порождает математические реальности, уже не так непосредственносвязанные с реальным миром. Нам близки естественнонаучные позиции Гаусса, Пуанкаре,Колмогорова и Арнольда: математическое изучение реального мира — важнейший аспектматематики, но изучение формальных конструкций также необходимо.Конечно, эти идеи важны и достойны более детального обсуждения. Однако оно невходит в нашу цель, мы хотели лишь еще раз обозначить их. Будем рады, если это приведетк последующим обсуждениям и публикациям.
Дополнение: о публикациях
Почему Гаусс не опубликовал свои размышления, написано в начале §2. В отличие от Гаусса, Я.Бойяи был готов публиковать свою работу сразу. Но это оказалось непросто: где найти издателя,готового опубликовать столь необычный труд? На выручку пришел его отец, включив эту работув свою книгу по геометрии в виде приложения. В 1832 году двухтомная книга Фаркаша Бойяи,
Tentamen , содержащая знаменитый сегодня
Аппендикс
Яноша, выходит в свет.Лобачевскому тоже непросто было публиковать свои работы в изданиях, читаемых большимколичеством математиков. Но, в отличие от Гаусса и Бойяи, он сумел это сделать достаточ-но полным образом. Проблема была в другом: на публикации Лобачевского по-русски никто изсерьезных ученых не обратил внимания (например, даже выдающийся русский математик Буня-ковский в своей работе о теории параллельных вовсе не упомянул Лобачевского), да и никто из Читатель, не знающий, что это такое, может пропустить этот абзац без ущерба для пониманиядальнейшего. французских математиков не обратил внимание на его последний труд (
Pang´eometrie ). Не былои немецких читателей у его
Geometrische Untersuchungen . Кроме одного, но зато какого — этунебольшую книгу прочитал Гаусс и был потрясен. Известно, что он стал учить русский язык,возможно, чтобы прочитать более ранние публикации Лобачевского в Казанском журнале. Гауссдобился избрания Лобачевского членом-корреспондентом Г¨eттингенского королевского научногообщества.