Spectral and oscillation properties for a linear pencil of fourth-order differential operators
aa r X i v : . [ m a t h . SP ] D ec УДК 517.984
Спектральные и осцилляционные свойства одноголинейного пучка дифференциальных операторовчетвёртого порядка
Ж. Бен Амара, А. А. Владимиров, А. А. Шкаликов
Аннотация.
Статья посвящается изучению спектральных и осцилляционных свойств ли-нейного операторного пучка A − λB , где коэффициент A отвечает дифференциальномувыражению ( py ′′ ) ′′ , а коэффициент B — дифференциальному выражению − y ′′ + cry . Вчастности, устанавливается, что все отрицательные собственные значения пучка являют-ся простыми, а число нулей отвечающих им собственных функций при некоторых до-полнительных условиях связано с порядковым номером соответствующего собственногозначения.
1. Введение1.1.
Рассмотрим спектральную задачу, отвечающую дифференциальному уравнению ( py ′′ ) ′′ − λ ( − y ′′ + cry ) = 0 (1.1)и какому-либо из наборов граничных условий y (0) = y ′ (0) = y (1) = y ′ (1) = 0 (1.2)или y (0) = y ′ (0) = y ′ (1) = ( py ′′ ) ′ (1) + λαy (1) = 0 . (1.3)Коэффициенты p, r ∈ C [0 , предполагаются здесь равномерно положительными, а физи-ческие параметры c и α — вещественными. Решения y предполагаются удовлетворяющими,помимо сформулированных граничных условий, естественным ограничениям y ∈ C [0 , и py ′′ ∈ C [0 , .Граничные задачи указанного вида возникают, в частности, в теории упругости, опи-сывая движение частично закреплённого стержня с сосредоточенной на свободном концедополнительной массой. Случай c = 0 отвечает при этом наличию трения стержня о теку-щую жидкость — например, ” течению “ стекла или пластика по твёрдой подложке (см. [ ],[ ]). Другие примеры механических приложений могут быть найдены в монографии [ ].В качестве гидродинамической интерпретации уравнения (1.1) может быть рассмотренотакже хорошо известное одномерное уравнение Орра–Зоммерфельда без мнимого проме-жуточного члена (см., например, [ ], [ ], [ ], [ ]), возникающее в линеаризованной теорииустойчивости течения вязкой несжимаемой жидкости под действием силы тяжести. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 10-01-00423). Граничные задачи, допускающие в операторной форме запись Ay − λBy = 0 ,где A и B суть регулярные дифференциальные операторы порядков, соответственно, n и m (при n > m ), подвергались изучению, например, в работах [ ], [ ], [ ] и [ ]. Однаков перечисленных публикациях внимание было направлено на вопросы, связанные с пол-нотой систем собственных и присоединённых функций пучка A − λB . В отличие от них,основной целью нашего исследования является изучение вопросов, связанных с простотойсобственных значений рассматриваемой задачи, а также осцилляционными свойствамиеё собственных функций. В этом смысле настоящая статья примыкает к тематике работ[ ]–[ ]. Следует сразу отметить, что задача об изучении осцилляционных свойств соб-ственных функций пучков дифференциальных операторов четвёртого порядка являетсясущественно более сложной, чем аналогичная задача для операторов Штурма–Лиувилля.Методологическую основу проводимого исследования составляют общие вариационныепринципы для линейных пучков самосопряжённых операторов (см., например, [ ]) и тео-рия знакорегулярных операторов в пространствах непрерывных функций (см., например,[ ], [ ], [ ], [ ]). Основные результаты содержатся в пункте 3. Введём в рассмотрение гильбертово пространство H вида(1.4) H ⇋ ◦ W [0 , в случае граничных условий (1.2), и(1.5) H ⇋ { y ∈ W [0 ,
1] : y (0) = y ′ (0) = y ′ (1) = 0 } в случае граничных условий (1.3). Пространство H естественным образом вложено в L [0 , , что позволяет ввести в рассмотрение [ , Дополнение 1, § 2] оснащение H ֒ → L [0 , ֒ → H ∗ , где H ∗ — сопряжённое к H пространство полулинейных функционалов. Обозначим через I : H → L [0 , и I ∗ : L [0 , → H ∗ соответствующие операторы вложения, а через J : H ∗ → H — изометрию ( ∀ y ∈ H ∗ ) ( ∀ z ∈ H ) h J y, z i H = h y, z i , существование которой гарантируется теоремой Рисса [ , Гл. V, § 1] о представлениифункционала в гильбертовом пространстве. Введём также в рассмотрение линейный пучок T : C → B ( H , H ∗ ) , операторы которого действуют согласно правилу(1.6) h T ( λ ) y, z i ⇋ Z (cid:2) p y ′′ z ′′ − λ ( y ′ z ′ + cr yz ) (cid:3) dx − λα y (1) z (1) . Имеет место следующий простой факт (см., например, [ ] и [ ]): Утверждение . При любом выборе значения λ ∈ C ядро оператора T ( λ ) в точно-сти совпадает с множеством решений исходной граничной задачи (1.1) , (1.2) или (1.1) , (1.3) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Установление факта принадлежности всякого решения y исход-ной задачи пространству H и обращения при этом функционала T ( λ ) y в тождественный нуль не вызывает затруднений. Пусть теперь y ∈ H и T ( λ ) y = 0 . Введём в рассмотрениефункцию w ⇋ py ′′ + λy − λc x Z ry · ( x − t ) dt. Выводимое из (1.6) интегрированием по частям тождество ( ∀ z ∈ ◦ W [0 , Z wz ′′ dx = 0 означает, что функция w является линейной. Последнее, в свою очередь, немедленно вле-чёт справедливость соотношений y ∈ C [0 , , py ′′ ∈ C [0 , и равенства (1.1). Выполнениеравенства ( py ′′ ) ′ (1) + λαy (1) = 0 в случае (1.5) проверяется интегрированием определения (1.6) по частям для z ⇋ x − x . (cid:3) Утверждение 1.1 позволяет рассматривать пучок T в качестве адекватной операторноймодели исходной граничной задачи, что и будет делаться нами в дальнейшем. Утверждение . Спектр пучка T является вещественным, дискретным и полу-простым. Д о к а з а т е л ь с т в о. Независимо от выбора значения λ ∈ C ограниченная обрати-мость оператора T ( λ ) с очевидностью равносильна ограниченной обратимости оператора J T (0) + λ J ( dT /dλ ) : H → H . При этом, как следует из представления (1.6), оператор
J T (0) является равномерно поло-жительным, а оператор J ( dT /dλ ) — самосопряжённым и вполне непрерывным. Соответ-ственно, значение λ = 0 принадлежит резольвентному множеству пучка T , а произвольное λ = 0 попадает в его спектр в том и только том случае, когда λ − принадлежит спектрусамосопряжённого вполне непрерывного оператора R ⇋ − [ J T (0)] − / J ( dT /dλ )[ J T (0)] − / .Учёт того обстоятельства, что разрешимость уравнения T ( λ ) y = ( dT /dλ ) z для произвольно фиксированного вектора z ∈ ker T ( λ ) \{ } приводила бы к существованиюприсоединённых векторов у самосопряжённого оператора R , завершает доказательство. (cid:3) Укажем на некоторые понятия и постановки задач, в том или ином смысле при-мыкающие к задаче о спектральных свойствах пучка T .Во-первых, с пучком T могут быть связаны пучки замкнутых неограниченных опе-раторов T ( λ ) I − I ∗− : H ∗ → H ∗ и I ∗− T ( λ ) I − : L [0 , → L [0 , . Из утверждения 1.1легко выводится, что спектр этих пучков (понимаемый как множество значений парамет-ра λ ∈ C , при которых значение пучка не имеет ограниченного обратного), в точностисовпадает со спектром пучка T . Тем самым, указанные переформулировки не привносятв задачу дополнительного содержания. Во-вторых, сделанный нами выбор трактовки задачи позволяет легко распростра-нить получаемые результаты на ту существенно более общую ситуацию, когда коэффи-циент p представляет собой произвольную равномерно положительную функцию клас-са L ∞ [0 , , а коэффициент r — произвольную знакоопределённую обобщённую функциюкласса W − [0 , . В настоящей статье, однако, мы не станем заниматься этой проблемати-кой. Через ind L на всём протяжении статьи обозначается отрицательный индексинерции квадратичной формы оператора L , то есть точная верхняя грань размерностейподпространств M ⊆ H , удовлетворяющих условию ( ∃ ε >
0) ( ∀ y ∈ M ) h Ly, y i − ε k y k .
2. Модельная задача и допустимое множество2.1.
Имеют место следующие два факта, фигурирующие в работе [ ] как лемма 2.1и лемма 2.2, соответственно: Утверждение . Для любых равномерно положительных функций p, r ∈ C [0 , любое нетривиальное решение уравнения (2.1) ( py ′′ ) ′′ − ry = 0 , удовлетворяющее при некотором a ∈ [0 , условиям y ( a ) > , y ′ ( a ) > , y ′′ ( a ) > , ( py ′′ ) ′ ( a ) > , удовлетворяет также неравенствам y (1) > , y ′ (1) > , y ′′ (1) > , ( py ′′ ) ′ (1) > . Утверждение . Для любых равномерно положительных функций p, r ∈ C [0 , любое нетривиальное решение уравнения (2.1) , удовлетворяющее при некотором a ∈ (0 , условиям y ( a ) > , y ′ ( a ) , y ′′ ( a ) > , ( py ′′ ) ′ ( a ) , удовлетворяет также неравенствам y (0) > , y ′ (0) < , y ′′ (0) > , ( py ′′ ) ′ (0) < . Перед тем, как приступить непосредственно к исследованию свойств пучка T ,рассмотрим вспомогательный линейный пучок S : C → B ( H , H ∗ ) , отвечающий дифферен-циальному уравнению(2.2) ( py ′′ ) ′′ − λry = 0 и какому-либо из наборов граничных условий (1.2) или (1.3). Как и в случае с пучком T ,значения пучка S предполагаются заданными посредством правила(2.3) h S ( λ ) y, z i ⇋ Z (cid:2) p y ′′ z ′′ − λryz (cid:3) dx − λα y (1) z (1) . Коэффициенты p, r ∈ C [0 , по-прежнему считаются равномерно положительными. Ана-логично тому, как было сделано при доказательстве утверждения 1.1, может быть показа-но, что ядро оператора S ( λ ) совпадает с пространством классических решений исходнойграничной задачи для уравнения (2.2). Утверждение . Все положительные собственные значения пучка S и все рас-положенные на интервале (0 , нули его собственных функций, отвечающих положи-тельным собственным значениям, являются простыми. Д о к а з а т е л ь с т в о. Аналогично тому, как было сделано при доказательстве утвер-ждения 1.2, может быть установлен факт вещественности, дискретности и полупростотыспектра пучка S . Пусть теперь λ > — кратное собственное значение указанного пучка. Всилу вышесказанного, пространство классических решений соответствующей граничнойзадачи для уравнения (2.2) оказывается тогда не менее, чем двумерным. Соответственно,внутри него должна найтись нетривиальная функция, удовлетворяющая условиям y (0) = y ′ (0) = y ′′ (0) = y ′ (1) = 0 , что противоречит утверждению 2.1.Наконец, пусть a ∈ (0 , — кратный нуль собственной функции пучка S , отвечающейсобственному значению λ > . Без ограничения общности при этом можно считать вы-полненным неравенство y ′′ ( a ) > . Но тогда оказывается существующим нетривиальноерешение уравнения (2.2), удовлетворяющее какому-либо из наборов условий y ( a ) = y ′ ( a ) = y ′ (1) = 0 , y ′′ ( a ) > , ( py ′′ ) ′ ( a ) > ,y ( a ) = y ′ ( a ) = y ′ (0) = 0 , y ′′ ( a ) > , ( py ′′ ) ′ ( a ) , что также противоречит утверждениям 2.1 и 2.2. (cid:3) Утверждение . Пусть α > . Тогда оператор − [ S (0)] − ( dS/dλ ) : H → H не уве-личивает числа перемен знака никакой вещественнозначной функции f ∈ H . Д о к а з а т е л ь с т в о. Путём рассуждения, аналогичного проведённому при доказа-тельстве утверждения 1.1, легко устанавливается, что решение уравнения S (0) y = − ( dS/dλ ) f представляет собой классическое решение граничной задачи, отвечающей урав-нению ( py ′′ ) ′′ = rf, а также граничным условиям (1.2), если исходный пучок S отвечает тем же граничнымусловиям, и граничным условиям(2.4) y (0) = y ′ (0) = y ′ (1) = ( py ′′ ) ′ (1) + αf (1) = 0 , если исходный пучок S отвечает граничным условиям (1.3). Предположим, что функция y имеет на интервале (0 , не менее n перемен знака, то есть что найдутся n + 1 точек < x < . . . < x n +1 < , удовлетворяющих при каждом k ∈ [1 , n ] неравенству y ( x k ) y ( x k +1 ) < . Тогда будут спра-ведливы следующие утверждения, последовательно устанавливаемые на основе теоремыЛагранжа о среднем значении:(1) Функция y ′ имеет не менее n +1 перемен знака в случае (1.2), и не менее n перемензнака в случае (2.4). (2) Функции y ′′ и py ′′ имеют не менее n + 2 перемен знака в случае (1.2), и не менее n + 1 перемен знака в случае (2.4).(3) Функция ( py ′′ ) ′ имеет не менее n + 1 перемен знака в случае (1.2), и не менее n перемен знака в случае (2.4).В случае (1.2) функция f = ( py ′′ ) ′′ /r потому заведомо имеет не менее n перемен знака. Вслучае же (2.4) найдутся n + 1 точек < ξ < . . . < ξ n +1 < , удовлетворяющих при каждом k ∈ [1 , n ] неравенству ( py ′′ ) ′ ( ξ k ) · ( py ′′ ) ′ ( ξ k +1 ) < , атакже n точек ζ k ∈ ( ξ k , ξ k +1 ) , удовлетворяющих при каждом k ∈ [1 , n ] неравенству ( py ′′ ) ′ ( ξ k ) · f ( ζ k ) < . При этом, согласно (2.4), выполняется хотя бы одно из неравенств ( py ′′ ) ′ ( ξ n +1 ) · ( py ′′ ) ′ (1) или ( py ′′ ) ′ ( ξ n +1 ) · f (1) < , а потому найдётся точка ζ n +1 ∈ ( ξ n +1 , со свойством ( py ′′ ) ′ ( ξ n +1 ) · f ( ζ n +1 ) < . Тем самым, в случае (2.4) функция f также имеетне менее n перемен знака. (cid:3) Заметим, что в случае α > при любом λ заданная определением (2.3) квадра-тичная форма оператора S ( λ ) является равномерно положительной на пространстве H .Соответственно, все собственные значения пучка S являются тогда положительными иподпадают под действие утверждения 2.3. Расположим спектр пучка S в возрастающуюпоследовательность < λ < . . . < λ n < . . . простых положительных собственных значений. Зафиксируем также некоторую последо-вательность { y n } ∞ n =1 отвечающих собственным значениям λ n нормированных (в простран-стве H ) вещественнозначных собственных функций. Поскольку оператор [ S (0)] − ( dS/dλ ) подобен самосопряжённому оператору [ J S (0)] − / J ( dS/dλ )[ J S (0)] − / , функциональнаяпоследовательность { y n } ∞ n =1 образует базис Рисса в замыкании области значений операто-ра [ S (0)] − ( dS/dλ ) . Утверждение . Пусть α > . Тогда каждая собственная функция y n имеет вточности n − нулей на интервале (0 , . Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольную вещественнозначную функцию вида(2.5) f = n X k =1 c k y k . Функциональная последовательность { f m } ∞ m =1 вида f m ⇋ n X k =1 (cid:18) λ k λ n (cid:19) m c k y k сходится в пространстве C [0 , к функции c n y n . При этом из утверждения 2.1 вытекаетсправедливость неравенства y ′′ n (0) = 0 , а из утверждения 2.2 вытекает справедливостьнеравенства y ′′ n (1) = 0 в случае граничных условий (1.2), и неравенства y n (1) = 0 в случаеграничных условий (1.3). Из этих фактов и утверждения 2.3 следует, что при m ≫ функции f m имеют в случае c n = 0 в точности столько же перемен знака, сколько усобственной функции y n . С учётом тождества f = λ mn (cid:8) − [ S (0)] − ( dS/dλ ) (cid:9) m f m и утверждения 2.4 сказанное означает, что функция f вида (2.5) также имеет в указанномслучае не большее число перемен знака.Ввиду линейной независимости системы собственных функций пучка S , при любом n > найдётся набор коэффициентов { c k } nk =1 , для которого соответствующая функция (2.5)будет иметь не менее n − перемен знака. При этом всегда можно добиться выполнениянеравенства c n = 0 . Тогда, с учётом вышесказанного, функция y n не может иметь менее n − перемен знака.Рассмотрим теперь произвольную вещественнозначную функцию вида(2.6) f = ∞ X k = n c k y k . Функциональная последовательность { f m } ∞ m =1 вида f m ⇋ λ mn (cid:8) − [ S (0)] − ( dS/dλ ) (cid:9) m f = ∞ X k = n (cid:18) λ n λ k (cid:19) m c k y k сходится в пространстве H к функции c n y n . Соответственно, в случае c n = 0 при m ≫ функции f m не могут иметь меньшее число перемен знака, чем у собственной функции y n . Согласно утверждению 2.4 это означает, что функция f вида (2.6) также имеет вуказанном случае не меньшее число перемен знака.Заметим теперь, что вложенная в пространство H линейная оболочка набора много-членов { x k +2 · (1 − x ) } n − k =0 имеет размерность n и не содержит функций с более чем n − знакопеременами. Соответственно, среди всевозможных результатов действия оператора [ S (0)] − ( dS/dλ ) на указанные многочлены найдётся нетривиальная функция вида (2.6) сне превосходящим n − числом перемен знака. С учётом вышесказанного это означаетсуществование номера N > n , отвечающая которому собственная функция y N имеет неболее n − перемен знака.Объединяя полученные результаты, устанавливаем, что при любом n > собственнаяфункция y n имеет в точности n − перемен знака на интервале (0 , . Ввиду гарантиро-ванной утверждением 2.3 простоты нулей этой функции, последнее равносильно доказы-ваемому утверждению. (cid:3) Утверждение . Пусть α > . Тогда для любой собственной пары { λ, y } пучка S функция y имеет в точности ind S ( λ ) нулей на интервале (0 , . Данное утверждение представляет собой тривиальное следствие предыдущего и из-вестных вариационных принципов (см., например, [ , Proposition 6]). Вернёмся теперь к рассмотрению исходного операторного пучка T . Назовём его допустимым множеством Let( p ) множество таких значений параметра λ ∈ R , для кото-рых квадратичная форма(2.7) Z [ p | y ′ | − λ | y | ] dx равномерно положительна на ◦ W [0 , . Это множество зависит только от выбора коэф-фициента p и представляет собой бесконечную влево открытую полупрямую, имеющую в качестве своей правой границы наименьшее собственное значение задачи − ( py ′ ) ′ − λy = 0 , (2.8) y (0) = y (1) = 0 . (2.9)Нашей ближайшей целью является установление того факта, что при всяком λ ∈ Let( p ) квадратичная форма оператора T ( λ ) может быть посредством замены переменной пре-вращена в квадратичную форму некоторого оператора рассмотренного выше модельноготипа.Как хорошо известно [ , Теорема 1.6.2], для каждого λ ∈ Let( p ) можно зафиксироватьравномерно положительное решение σ ∈ C [0 , дифференциального уравнения(2.10) − ( pσ ′ ) ′ − λσ = 0 . Замена параметра t ( x ) ⇋ ω x Z σ dξ, ω ⇋ Z σ dξ определяет при этом непрерывную биекцию V : H → H , сопоставляющую каждой функции y ∈ H функцию z ∈ H вида z ( x ) ≡ y ( t ( x )) ,z ′ ( x ) ≡ y ′ ( t ( x )) σ ( x ) ω ,z ′′ ( x ) ≡ y ′′ ( t ( x )) σ ( x ) ω + y ′ ( t ( x )) σ ′ ( x ) ω . Утверждение . Оператор ˆ T ⇋ V ∗ T ( λ ) V удовлетворяет тождеству h ˆ T y, z i ≡ Z (cid:2) ˆ py ′′ z ′′ − ˆ ryz (cid:3) dx − λα y (1) z (1) , где функции ˆ p и ˆ r имеют вид ˆ p ( t ( x )) ≡ p ( x ) σ ( x ) ω , (2.11) ˆ r ( t ( x )) ≡ λcr ( x ) ωσ ( x ) . (2.12)Д о к а з а т е л ь с т в о. Повторим почти дословно рассуждения из доказательства теоре-мы 2.1 работы [ ]. А именно, заметим, что для любой функции w ∈ ◦ W [0 , выполняетсяравенство Z [ pσ ′ w ′ − λσw ] dx = 0 . Полагая w ⇋ | z ′ | /σ , z ⇋ V y , получаем отсюда Z (cid:20) pσ ′ (cid:18) | z ′ | σ (cid:19) ′ − λ | z ′ | (cid:21) dx = 0 . С учётом непосредственно проверяемого тождества | z ′′ ( x ) | − | y ′′ ( t ( x )) | σ ( x ) ω ≡ σ ′ ( x ) (cid:18) | z ′ | σ (cid:19) ′ ( x ) устанавливаем теперь справедливость не зависящих от выбора функции y ∈ H равенств h ˆ T y, y i = h T ( λ ) z, z i = Z [ p | z ′′ | − λ ( | z ′ | + cr | z | )] dx − λα | z (1) | = Z ˆ p | y ′′ | dt + Z (cid:20) pσ ′ (cid:18) | z ′ | σ (cid:19) ′ − λ | z ′ | (cid:21) dx − Z ˆ r | y | dt − λα | y (1) | = Z [ˆ p | y ′′ | − ˆ r | y | ] dt − λα | y (1) | . Ввиду принципа поляризации [ , Гл. I, (6.11)], это означает справедливость доказывае-мого утверждения. (cid:3) Утверждение . Никакое число λ ∈ Let( p ) не может одновременно являться соб-ственным значением как пучка, отвечающего граничным условиям (1.2) , так и пучка,отвечающего граничным условиям (1.3) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что некоторая величина λ ∈ Let( p ) удовлетворяеттребованиям из формулировки доказываемого утверждения. Зафиксируем отвечающее ейравномерно положительное решение σ ∈ C [0 , уравнения (2.10), а также связанные сним функции ˆ p и ˆ r вида (2.11), (2.12). Утверждение 2.7 означает, что функция z ∈ C [0 , принадлежит ядру оператора T ( λ ) , отвечающего случаю граничных условий (1.2), в томи только том случае, когда функция y ∈ C [0 , со свойством z ( x ) ≡ y ( t ( x )) являетсяклассическим решением граничной задачи, отвечающей уравнению(2.13) (ˆ py ′′ ) ′′ − ˆ ry = 0 и граничным условиям (1.2). Аналогичным образом, функция z ∈ C [0 , принадлежитядру оператора T ( λ ) , отвечающего случаю граничных условий (1.3), в том и только томслучае, когда функция y ∈ C [0 , со свойством z ( x ) ≡ y ( t ( x )) является классическимрешением граничной задачи, отвечающей уравнению (2.13) и граничным условиям(2.14) y (0) = y ′ (0) = y ′ (1) = (ˆ py ′′ ) ′ (1) + λαy (1) = 0 . Предположение о нетривиальной разрешимости задачи (2.13), (1.2) означает равно-мерную положительность определённой соотношением (2.12) функции ˆ r . Соответственно,предположение о существовании нетривиальной функции y ∈ C [0 , , удовлетворяющейравенству (2.13) и каждому из наборов условий (1.2) и (2.14), противоречит утвержде-нию 2.2. Иначе говоря, гипотеза из формулировки доказываемого утверждения могла бывыполняться лишь тогда, когда множество решений граничной задачи, отвечающей урав-нению (2.13) и граничным условиям y (0) = y ′ (0) = y ′ (1) = 0 , было бы не менее чем двумерно. Однако в таком случае любое решение уравнения (2.13)с начальными условиями y (0) = y ′ (0) = 0 должно было бы удовлетворять равенству y ′ (1) = 0 , что противоречит утверждению 2.1. (cid:3) Утверждение . Любое собственное значение λ ∈ Let( p ) пучка T имеет геомет-рическую кратность . Это утверждение немедленно вытекает из утверждения 2.8.
Утверждение . Пусть λ ∈ Let( p ) — собственное значение пучка T , удовлетво-ряющее условиям λc > и λα > . Тогда отвечающая ему собственная функция имеетв точности ind T ( λ ) простых нулей на интервале (0 , . Это утверждение немедленно вытекает из утверждений 2.7, 2.6 и очевидного фактасохранения числа и простоты нулей функции при действии оператора V .
3. Основные результаты3.1.
Ввиду вытекающей из представления (1.6) равномерной положительности квад-ратичной формы оператора T (0) , все положительные собственные значения пучка T име-ют отрицательный тип, а все отрицательные — положительный. Как следует из предло-жения [ , Proposition 6], это означает справедливость следующего утверждения: Утверждение . Пусть { λ n } ∞ n =1 — последовательность сосчитанных в порядкевозрастания с учётом кратности положительных собственных значений пучка T , а { λ − n } ∞ n =1 — последовательность (возможно, частичная) сосчитанных в порядке убыва-ния с учётом кратности отрицательных собственных значений того же пучка. Тогдапри λ ∈ [0 , λ n ] и λ ∈ [ λ − n , выполняются неравенства ind T ( λ ) n − , а при λ ∈ ( λ n , + ∞ ) и λ ∈ ( −∞ , λ − n ) — неравенства ind T ( λ ) > n . Имеет место следующий факт:
Теорема . При любом n > выполняется соотношение λ − n ∈ Let( p ) . В случаеграничных условий (1.3) и выполнения неравенств c > и α > выполняется такжесоотношение λ ∈ Let( p ) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Принадлежность всех отрицательных собственных значенийпучка T его допустимому множеству вытекает из тривиального факта положительно-сти наименьшего собственного значения задачи (2.8), (2.9). Из утверждения 3.1 вытекаеттакже факт неотрицательности квадратичной формы (1.6) при λ = λ . Поскольку в слу-чае граничных условий (1.3) множество всевозможных производных y ′ функций y ∈ H вточности совпадает с пространством ◦ W [0 , , сказанное означает положительность квад-ратичной формы (2.7) при c > , α > и λ = λ . (cid:3) С учётом утверждения 3.1 и результатов предыдущего параграфа, простыми следстви-ями этого факта являются следующие три теоремы:
Теорема . Все отрицательные собственные значения пучка T являются просты-ми. Теорема . Пусть c < и α . Тогда любая собственная функция пучка T ,отвечающая его n -му отрицательному собственному значению λ − n , имеет в точности n − простых нулей на интервале (0 , . Теорема . В случае граничных условий (1.3) и выполнения неравенств c > и α > первое положительное собственное значение λ пучка T является простым иимеет знакопостоянную на интервале (0 , собственную функцию. Имеет место следующий факт:
Теорема . Число отрицательных собственных значений пучка T совпадает с чис-лом отрицательных собственных значений граничной задачи − y ′′ + cry = λy,y (0) = y (1) = 0 в случае граничных условий (1.2) , и граничной задачи − y ′′ + cry = λy,y (0) = y ′ (1) + αy (1) = 0 в случае граничных условий (1.3) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Из утверждения 3.1 вытекает, что число отрицательных соб-ственных значений пучка T совпадает с величиной lim λ →−∞ ind T ( λ ) . Последняя же, какследует из представления (1.6), равна отрицательному индексу инерции заданной на про-странстве H квадратичной формы Z (cid:2) | y ′ | + cr | y | (cid:3) dx + α | y (1) | . Отсюда и из того факта, что пополнением пространства H по норме пространства W [0 , является пространство ◦ W [0 , в случае граничных условий (1.2) и пространство { y ∈ W [0 ,
1] : y (0) = 0 } в случае граничных условий (1.3), немедленно вытекает искомое. (cid:3) На протяжении оставшейся части статьи через λ n будут обозначаться собствен-ные значения пучка, отвечающего граничным условиям (1.2), а через λ ′ n — собственныезначения пучка, отвечающего граничным условиям (1.3). Теорема . При любом n ∈ N , для которого определены собственные значения λ − n и λ ′− n , выполняется неравенство λ − n < λ ′− n . При любом n ∈ N , для которого определенысобственные значения λ − n и λ ′− n − , выполняется неравенство λ ′− n − < λ − n . В случаевыполнения неравенств c > и α > выполняется также неравенство λ ′ < λ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно утверждению 3.1, для любой точки λ < λ − n квадратич-ная форма (1.6) отрицательна на некотором n -мерном подпространстве пространства (1.4).Тогда она отрицательна и на некотором n -мерном подпространстве более широкого про-странства (1.5), что означает выполнение неравенства λ < λ ′− n . Ввиду произвольностивыбора точки λ , сказанное означает выполнение неравенства λ − n λ ′− n . Аналогичнымобразом устанавливается справедливость неравенства λ ′ λ .Далее, для любой точки λ < λ ′− n − квадратичная форма (1.6) отрицательна на неко-тором ( n + 1) -мерном подпространстве пространства (1.5). Поскольку пространство (1.4) имеет в (1.5) коразмерность , то квадратичная форма (1.6) отрицательна на некото-ром n -мерном подпространстве пространства (1.5), что означает выполнение неравенства λ < λ − n . Ввиду произвольности выбора точки λ , сказанное означает выполнение неравен-ства λ ′− n − λ − n .Для завершения доказательства остаётся обратиться к теореме 3.1 и утверждению2.8. (cid:3) Список литературы [1] G. Heisecke.
Rand-Eigenwertprobleme N ( y ) = λP ( y ) bei λ -abhangingen Randbedingungen // Mitt. Math.Sem. Giessen. — 1980. — V. 145. — P. 1–74.[2] C. Gheorgiu, I. S. Pop. A modified Chebyshev-tau method for a hydrodynamic stability problem //Proceedings of the International Conference on Approximization and Optimization, Romania-ICAOR. —1997. — V. 2. — P. 119–126.[3] L. Collatz.
Eigenwertprobleme und ihre numerische Behandlung . New-York, Chelsea, 1948.[4] R. G. Drazin, W. H. Reid.
Hydrodynamic Stability . Cambridge Univ. Press, 1981.[5] А. А. Шкаликов.
Как определить оператор Орра–Зоммерфельда? // Вестник МГУ, Серия 1: Матема-тика, механика. — 1998. — № 4, С. 36–43.[6] C. C. Lin.
The Theory of Hydrodynamic Stability . Cambridge Univ. Press, 1955.[7] A. A. Shkalikov, C. Tretter.
Kamke problems: Properties of the eigenfunctions // Math. Nachr. — 1994. —V. 170. — P. 251–275.[8] A. A. Shkalikov, C. Tretter.
Spectral analysis for linear pencils N − λP of ordinary differential operators //Math. Nachr. — 1996. — V. 179. — P. 275–305.[9] R. Mennicken, M. Moller. Nonselfadjoint Boundary Eigenvalue Problems . Amsterdam, Elsevier, North-Holland, 2003.[10] Ф. Р. Гантмахер, М. Г. Крейн.
Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механическихсистем . М: ГИТТЛ, 1950.[11] W. Leighton, Z. Nehari.
On the oscillation of solutions of self-adjoint linear differential equations of thefourth order // Trans. of AMS. — 1958. — V. 89. — P. 325-377.[12] А. Ю. Левин, Г. Д. Степанов.
Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими числаперемен знака // Сиб. мат. журнал. — 1976. — Т. 17, №№ 3–4. — С. 606–625; 813–830.[13] D. Banks, G. Kurowski.
A Pr¨ufer transformation for the equation of vibrating beam subject to axial forces //Jour. Diff. Eq. — 1977. — V. 24. — P. 57–74.[14] U. Elias.
Eigenvalue Problems for the Equation Ly = λρ ( x ) y = 0 // Jour. Diff. Eq. — 1978. — V. 29. —P. 28–57.[15] P. Lancaster, A. Shkalikov, Qiang Ye. Strongly definitizable linear pencils in Hilbert space // Integr. Equat.Oper. Th. — 1993. — V. 17. — P. 338–360.[16] А. В. Боровских, Ю. В. Покорный.
Системы Чебышёва–Хаара в теории разрывных ядер Келлога //Успехи матем. наук. — 1994. — Т. 49, № 3. — С. 3–42.[17] А. А. Владимиров.
К осцилляционной теории задачи Штурма–Лиувилля с сингулярными коэффи-циентами // Журнал выч. матем. и матем. физики. — 2009. — Т. 49, № 9. — С. 1609–1621.[18] Ф. А. Березин, М. А. Шубин.
Уравнение Шредингера . М: Изд-во МГУ, 1983.[19] Т. Като.
Теория возмущений линейных операторов . М: Мир, 1972.[20] М. И. Нейман-заде, А. А. Шкаликов.
Операторы Шрёдингера с сингулярными потенциалами из про-странств мультипликаторов // Матем. заметки. — 1999. — Т. 66, № 5. — С. 723–733.[21] А. А. Владимиров.
О сходимости последовательностей обыкновенных дифференциальных операто-ров // Матем. заметки. — 2004. — Т. 75, № 6. — С. 941–943.[22] Ю. В. Покорный, Ж. И. Бахтина, М. Б. Зверева, С. А. Шабров.
Осцилляционный метод Штурма вспектральных задачах . М: Физматлит, 2009.[23] Ж. Бен Амара, А. А. Владимиров.