Sur l'annulation de la valeur centrale de la fonction L de Hecke
aa r X i v : . [ m a t h . N T ] D ec SUR L’ANNULATION DE LA VALEURCENTRALE DE LA FONCTION L DE HECKE
Quentin Gazda ∗ École Normale Supérieure Paris-Saclay1 er octobre 2018 À la mémoire de Wendy
Résumé
Dans cette note, en se basant sur des résultats de Henri Cohen et WinfriedKohnen, nous démontrons que pour tout entier k supérieur ou égal à 12 et divi-sible par 4, il existe une forme parabolique propre de poids k pour SL ( Z ) telleque sa fonction L de Hecke ne s’annule pas en k/ k greater than 12 and divisible by 4, there exists acuspidal eigenform of weight k for the full modular group SL ( Z ) such that itsHecke L -function does not vanish on k/ I Introduction et énoncé du résultat
Soit f une forme parabolique de poids k entier (pair) pour le groupe modulaireΓ(1) := SL ( Z ), et soit L ( f, s ) (Re( s ) > k/ L de Hecke associée.Il est connu, depuis Hecke, que cette fonction L se prolonge holomorphiquement àl’ensemble du plan complexe en une fonction satisfaisant à l’équation fonctionnelle :(2 π ) − s Γ( s ) L ( f, s ) = ( − k/ (2 π ) − ( k − s ) Γ( k − s ) L ( f, k − s ) ( s ∈ C ) . (1)Il résulte de (1) que L ( f, k/
2) = ( − k/ L ( f, k/
2) (prendre s = k/
2) ; ainsi, lorsque k ≡ L ( f, k/
2) à être nulle. Seulement,rien ne semble indiquer un résultat similaire dans le cas où k ≡ k et que l’espace des formes cuspidales depoids k pour Γ(1), noté S k (Γ(1)), est non réduit à l’espace nul, il existe une formeparabolique f telle que L ( f, k/
2) soit non nulle.
Théorème 1.
Soit k un entier. Il existe une forme propre de Hecke de poids k (pour Γ(1) ) telle que L ( f, k/ = 0 si, et seulement si k est supérieur ou égal à et divisiblepar . Afin de démontrer ce résutat, nous allons étudier la forme parabolique duale de laforme linéaire sur S k (Γ(1)) qui à ϕ associe le nombre L ( ϕ, k/
2) (vis-à-vis du produitscalaire de Petersson). Cette forme fut introduite dans un cadre plus général parCohen (dans [3]) pour trouver des bases de l’espace des formes paraboliques, puispar Kohnen (dans [2]) afin d’obtenir une version faible de l’hypothèse de Riemanngénéralisée. La non nullité de son premier coefficient de Fourier nous indiquera la nonnullité de la forme linéaire et donc l’existence de la forme cuspidale propre recherchée. ∗ [email protected] L de Hecke Quentin Gazda II Preuve du Théorème 1
Commençons par montrer que lorsque l’entier k n’est pas de la forme indiquéeau Théorème 1 alors L ( f, k/
2) est nul. L’espace S k (Γ(1)) étant nul pour k impair ou k <
12, il suffit de se contenter des cas où k ≡ k ≥
12. Mais alors (etc’est essentiellement la remarque faite en introduction), la fonction L de Hecke de f ∈ S k (Γ(1)) satisfait à l’équation fonctionnelle (1) et ainsi L ( f, k/
2) = 0.Soient k un entier supérieur ou égal à 12 divisible par 4, H k l’ensemble des formespropres de Hecke de poids k pour Γ(1), ( · , · ) k le produit scalaire de Petersson depoids k et k · k k la norme associée. Il est connu que H k est une base orthonorgonale de S k (Γ(1)). Nous allons montrer que la fonction L de Hecke associée à la forme cuspidalesuivante : f k := X f ∈ H k f k f k k , ne s’annule pas en k/
2, ce qui impliquera en particulier qu’il existe f ∈ H k telle quesa fonction L ne s’annule pas en k/
2. Pour cela, définissons pour τ ∈ H (un élémentdu demi-plan de Poincaré) : R k ( τ ) := c k X γ ∈ Γ(1) ( aτ + b ) − k ( cτ + d ) − k (cid:18) avec γ = (cid:18) a bc d (cid:19)(cid:19) où c k := ( − k (8 π ) k − (cid:0) k − (cid:1) ! / ( k − τ associe R k ( τ ) fut étudiée(au coefficient c k près) indépendamment par Cohen et Kohnen : elle définit notammentun élément de S k (Γ(1)) (rappelons que k ≥ Lemme 1.
Soit f un élément de S k (Γ(1)) . Alors, ( f, R k ) = L ( f, k/ . En particulier,nous avons l’égalité : R k = X f ∈ H k f k f k k L (cid:18) f, k (cid:19) . (2)Notons r k ( n ) les coefficients de Fourier de R k de sorte à ce que R k ( τ ) = ∞ X n =1 r k ( n ) q n ( q = e iπτ ) . Nous obtenons alors r k (1) = L ( f k , k/
2) en identifiant le premier coefficient de Fourierde chaque membre de l’égalité (2). Il suffit ainsi de montrer que r k (1) est non nul.Nous disposons d’un second lemme (voir le corollaire 3 . Lemme 2.
Pour n un entier strictement positif et k comme précédemment, nousavons r k ( n ) = (8 π ) k − k − n k − − k/ √ π ∞ X m =1 γ n ( m ) r nπm J k − (cid:16) nπm (cid:17)! où, pour tout entiers positifs m et n , γ n ( m ) est définit par la somme finie : γ n ( m ) = X ac = m ( a,c )=1 cos (cid:20) πn (cid:18) a ′ c − c ′ a (cid:19)(cid:21) (la somme porte sur les couples ( a, c ) d’entiers positifs tels que ac = m et a , c pre-miers entre eux) avec a ′ (resp. c ′ ) l’inverse de a (mod c ) (resp. c (mod a ) ) et J k − la fonction de Bessel d’ordre ( k − / . L de Hecke Quentin GazdaIl s’agit donc de montrer que l’expression (proportionnelle à r k (1))1 + ( − k/ √ π ∞ X m =1 γ ( m ) r πm J k − (cid:16) πm (cid:17) est non nulle. Nous avons | γ ( m ) | ≤ d ( m ) (où d ( m ) correspond au nombre de diviseurspositifs de m ) ainsi que l’inégalité classique pour les fonctions de Bessel (cid:12)(cid:12)(cid:12) J k − ( x ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ (cid:0) k +12 (cid:1) (cid:16) x (cid:17) k − = r π ( k/ k ! 2 k x k − (pour x ≥
0) (3)d’après les valeurs aux demi-entiers de la fonction Gamma. Il en résulte l’inégalitésuivante : (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) √ π ∞ X m =1 γ ( m ) r πm J k − (cid:16) πm (cid:17)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ π ) k ( k/ k ! ∞ X m =1 d ( m ) m k ! = 2(2 π ) k ( k/ k ! ζ (cid:18) k (cid:19) . Puisque k ≥
12, nous avons ζ ( k/ ≤ ζ (6) ainsi que(2 π ) k ( k/ k ! ≤ (cid:18) πk/ (cid:19) (cid:18) πk/ (cid:19) k − ≤ (cid:18) π (cid:19) (cid:18) π (cid:19) . Finalement, (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) − k/ √ π ∞ X m =1 γ ( m ) r πm J k − (cid:16) πm (cid:17)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≥ − (cid:18) π (cid:19) (cid:18) π (cid:19) ζ (6) > , et donc | r k (1) | > Remerciements
Cette note fut écrite lors de mon stage de Master 1 à l’ÉNS de Lyon encadré parFrançois Brunault et Gabriel Dospinescu. Je les remercie vivement pour m’avoir guidévers ce problème. Je souhaite également remercier l’ensemble de l’équipe de l’UMPApour son accueille si sympathique et pour m’avoir proposé d’aussi bonnes conditionsde travail.
Références [1] F. Diamond, J. Shurman,
A First Course in Modular Forms , Graduate Texts inMathematics, Volume 228, (2000) p. 126–133.[2] W. Kohnen,