aa r X i v : . [ m a t h . K T ] J a n SUR LA CONJECTURE DE ZAGIER POUR n = 4 . II NICUSOR DAN
Abstract.
We express a general multiple polylogarithm of weight n as an explicit linear combination of multiple polylogarithms of weight n in n − , ,
1) as alinear combination of polylogarithms of weight 4.R´ESUM´E. On exprime un polylogarithme multiple de poids n g´en´eralcomme combinaison lin´eaire explicite de polylogarithmes multiples depoids n en n − , ,
1) comme combinaison lin´eaire despolylogarithmes de poids 4. Introduction
Soit n un entier positif. Si a et b sont deux points sur une vari´et´e complexe X et ω , · · · , ω n sont des formes holomorphes de d´egr´e 1 sur X , l’int´egraleit´er´ee se d´efinit par induction sur n par la formule Z ba ω ◦ · · · ◦ ω n = Z ba ( Z ta ω ◦ · · · ◦ ω n − ) ω n ( t ) . Les polylogarithmes multiples sont d´efinis comme les int´egrales it´er´ees H ( a | a , · · · , a n | a n +1 ) = Z a n +1 a dtt − a ◦ dtt − a ◦ · · · ◦ dtt − a n . C’est une fonction complexe multivalu´ee sur l’ensemble des ( n + 2) − ulpescomplexes ( a , · · · , a n +1 ) v´erifiant a = a , a n = a n +1 (pour que l’int´egraleconverge). Elle est invariante par la transform´ee affine ( a i ) i → ( αa i + β ) i ,pour des nombres complexes α = 0 et β .Le polylogarithme classique de poids n est la fonction complexe multi-valu´ee sur C \ { , } qui s’´ecrit Li n ( z ) = P ∞ k =1 z k k n sur le disque unit´e | z | ≤ Li n ( z ) = − H (0 | , , · · · , | z ), donc le polylogarithmeclassique est le polylogarithme multiple r´eduit `a une seule variable.Soit E un corps. On va d´efinir les polylogarithmes multiples ”a valeurson E ”. On note E n +2 × l’ensemble des ( n + 2) − uples ( a , · · · , a n +1 ) de E satisfaisant a = a et a n = a n +1 . On note E n +2 × / ( E × × E ) le quotient de Travail r´ealis´e avec le support du CNCSIS-UEFISCU, par le contrat de recherche PN-II-ID-2228/2008. E n +2 × par les transformations affines ( a i ) i → ( αa i + β ) i . On note A n ( E )l’espace vectoriel sur Q ayant comme base les symboles [ a | a , · · · , a n | a n +1 ]pour ( a , · · · , a n +1 ) ∈ E n +2 × / ( E × × E ). On d´efinit A ( E ) = Q . L’espacevectoriel gradu´e A ( E ) = ⊕ n ≥ A n ( E ) admet une structure de bialg`ebre. Lamultiplication est donn´ee par la formule(1)[ a | a , · · · , a k | a k + l +1 ] · [ a | a k +1 , · · · , a k + l | a k + l +1 ] = X σ [ a | a σ (1) , · · · , a σ ( k + l ) | a k + l +1 ] , o`u σ parcourt les permutations de l’ensemble { , · · · , k + l } qui pr´eserventl’ordre dans les sous-ensembles { , · · · , k } et { k + 1 , · · · , k + l } . La comul-tiplication est donn´ee par une formule plus compliqu´ee ([3]).On consid`ere la coalg`ebre de Lie B ( E ) = A ( E ) / A > ( E ) · A > ( E ) des´el´ements primitifs. On note δ = ⊕ n δ n : B ( E ) → B ( E ) ⊗B ( E ) la cod´erivation.Suivant Zagier, on d´efinit par induction l’espace vectoriel R n ( E ) ⊂ B n ( E )des ”r´elations entre polylogarithmes multiples on E ” et on pose H n ( E ) := B n ( E ) / R n ( E ). On note toujours [ a | a , · · · , a n | a n +1 ] la classe de l’´el´ement[ a | a , · · · , a n | a n +1 ] modulo R n ( E ). Le sous-espace vectoriel R ( E ) est pard´efinition engendr´e par [ a | z | b ] + [ b | z | c ] = [ a | z | c ] pour z, a, b, c ∈ E v´erifiant z = a, b, c . On calcule H ( E ) = E × ⊗ Z Q . On note K n ( E ) le noyau del’aplication ( pr ⊗ pr ) ◦ δ n : B n ( E ) → ( H ( E ) ⊗H ( E )) n , o`u pr : B k ( E ) → H k ( E )a ´et´e d´ej`a d´efini pour k < n . Soit t une variable. On d´efinit R n ( E ) commele sous-espace vectoriel engendr´e par α (1) − α (0) pour tous les ´el´ements α de K n ( E ( t )) pour lesquels α (1) et α (0) sont bien d´efinies. L’application( pr ⊗ pr ) ◦ δ n se factorise `a une application δ n : H n ( E ) → ( H ( E ) ⊗ H ( E )) n qui fait de H une coalg`ebre de Lie gradu´ee.La conjecture de Zagier ([4]) affirme que la valeur en s = n de la fonc-tion zˆeta de Dedekind d’un corps de nombre est le d´eterminant d’une ma-trice dont les termes sont des polylogarithmes de poids n ´evalu´ees dans des´el´ements du corps en question. Apr`es des travaux de Goncharov et Zagier, laconjecture se r´eduit `a une conjecture qui affirme que le r´egulateur de Beilin-son est combinaison lin´eaire des polylogarithmes. On peut prouver que ler´egulateur de Beilinson est combinaison lin´eaire des polylogarithmes multi-ples. Il reste `a trouver des formules exprimant les polylogarithmes multiples(en n variables) comme combinaisons lin´eaires de polylogarithmes (poly-logarithmes multiples en 1 variable). L’article [1] donne une pr´esentationsynthetique de ces reductions. Dans le pr´esent article on parcourt les pre-miers deux pas de la strategie: passer de n variables `a n − Le th´eor`eme pour n g´en´eral Soit n un entier positif. On introduit une g´en´eralisation l´eg`ere de la notionde polylogarithme multiple. Soient a , a , · · · , a n +1 , x des ´el´ements de P ( C )v´erifiant a = a , a = x, a n = a n +1 , x = a n +1 . On choisit ω ( a i , x ) l’uniqueforme diff´erentielle de d´egr´e 1 holomorphe sur P ( C ) − { a i , x } qui est nullesi a i = x et qui a un pˆole d’ordre 1 de r´esidu +1 en a i et un pˆole d’ordre 1de r´esidu − x si a i = x . On d´efinit H ( a | a , · · · , a n //x | a n +1 ) = Z a n +1 a ω ( a , x ) ◦ · · · ◦ ω ( a n , x ) UR LA CONJECTURE DE ZAGIER POUR n = 4. II 3 Est une fonction invariante pour l’action de
P GL (2 , C ) sur (( a i ) i , x ). Lepassage entre cette fonction et la fonction ant´erieure est clair:(2) H ( a | a , · · · , a n | a n +1 ) = H ( a | a , · · · , a n // ∞| a n +1 ) ,H ( a | a , · · · , a n //x | a n +1 ) = H (( a − x ) − | ( a − x ) − , · · · , ( a n − x ) − | ( a n +1 − x ) − )si x = ∞ . Soit y un autre ´el´ement de P ( C ). En ´ecrivant ω ( a i , x ) = ω ( a i , y ) − ω ( x, y ) pour tout 0 ≤ i ≤ n et en d´ev´elopant de mani`ere multilin´eaireon peut ´ecrire le polylogarithme multiple H ( a | a , · · · , a n //x | a n +1 ) commesomme altern´ee des polylogarithmes multiples H ( a | · · · //y | a n +1 ). On vaexploiter cette r´elation.Soit E un corps. On transpose les consid´erations ci-dessus aux ´el´ements de H ( E ). Soient a , a , · · · , a n +1 , x des ´el´ements distincts de P ( E ). En analo-gie avec (2), on d´efinit l’´el´ement [ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] dans H n ( E ) comme´etant [ a | a , · · · , a n | a n +1 ] si x = ∞ et [( a − x ) − | ( a − x ) − , · · · , ( a n − x ) − | ( a n +1 − x ) − ] si x = ∞ . Pour 1 ≤ i ≤ n et pour I un sous-ensemble del’ensemble { , · · · , n } cont´enant i , on d´efinit A ([ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] , i, I )comme le symbole [ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] dans lequel on remplace a j par a i dans toutes les positions j ∈ I . On d´efinit B ([ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] , i ) = X I ( − | I | A ([ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] , i, I ) , la somme ´etant prise sur toutes les sous-ensembles I de l’ensemble { , · · · , n } cont´enant i et ayant le cardinal | I | ≥
2. Les consid´erations du paragraphepr´ec´edent apliqu´ees `a y = a i sug´erent la r´elation dans H n ( E ):(3) [ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] + [ a | a , · · · , a i − , x, a i +1 , · · · , a n //a i | a n +1 ]= B ([ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] , i )C’est une r´elation dans H n ( E ) qu’on v´erifie facilement par induction sur n . On consid`ere un entier 0 ≤ s ≤ n . Par induction sur s , en utilisant desr´elations (1), on peut prouver facilement[ a | y, · · · , y, b s +1 , b s +2 , · · · , b n //x | a n +1 ] = ( − s X J C J , o`u J parcourt les sous-ensembles de cardinal s de l’ensemble { , · · · , n } et C J d´esigne le symbole [ a | b s +1 , · · · //x | a n +1 ] dans lequel les positions J sont ocup´ees par les y et les positions restantes par b s +2 , · · · , b n danscette ordre. On aplique cela `a A ([ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] , i, I ), `a y = a i et `a s le plus petit entier pour lequel { , · · · , s } ⊂ I . On obtient unepr´esentation de A ([ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] , i, I ) comme somme altern´ee ex-plicite de [ a | b , · · · , b n //x | a n +1 ] o`u les ( b j ) j sont parmi les ( a j ) j , il y a aumoins deux a i parmi les ( b j ) j et aucun d’entre eux sur la premi`ere position.Il est facile de prouver que, dans ces notations[ a | b , · · · , b n //x | a n +1 ] = [ a i | b , · · · , b n //x | a n +1 ] − [ a i | b , · · · , b n //x | a ] . On peut donc ´ecrire A ([ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] , i, I ) comme somme altern´eeexplicite des polylogarithmes multiples en ≤ n − a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] + [ a | a , · · · , a i − , x, a i +1 , · · · , a n //a i | a n +1 ] NICUSOR DAN = D ([ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] , i ) , o`u D ([ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] , i ) est une somme altern´ee explicite des poly-logarithmes multiples en ≤ n − ≤ i < j ≤ n deux entiers. En appliquant trois fois la r´elationpr´ec´edente pour les substitutions x → a i , a i → a j , a j → x , on obtient(4)[ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ]+[ a | a , · · · , a i − , a j , a i +1 , · · · , a j − , a i , a j +1 , · · · , a n //x | a n +1 ]= D ([ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] , i ) − D ([ a | a , · · · , a i − , x, a i +1 , · · · , a n //a i | a n +1 ] , j )+ D ([ a | a , · · · , a i − , x, a i +1 , · · · , a j − , a i , a j +1 , · · · , a n //a j | a n +1 ] , i ) . On d´eduit que, pour toute permutation σ de l’ensemble { , · · · , n } ,[ a | a σ (1) , · · · , a σ ( n ) //x | a n +1 ] − s ign ( σ )[ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ]est une somme altern´ee explicite des polylogarithmes multiples en ≤ n − n ≥
3. La r´elation (1) pour k = 2, l = n − H n ( E ) donne(5) X σ ∈ S [ a | a σ (1) , · · · , a σ ( n ) | a n +1 ] = 0 , o`u S est l’ensemble des permutations de l’ensemble { , · · · , n } qui pr´eserventl’ordre dans les sous-ensembles { , } et { , · · · , n } . Comme P σ ∈ S s ign ( σ ) =[ n/ = 0, o`u [ x ] d´enote la partie enti`ere du nombre r´eel x , on peut trouverune combinaison lin´eaire des r´elations (4) qui, adition´ee `a la r´elation (5),exprime [ n/ a | a , · · · , a n //x | a n +1 ] comme combinaison lin´eaire des poly-logarithmes multiples en ≤ n − ≤ i < j ≤ n , A i,j = [ a | a σ (1) , · · · , a σ ( n ) | a n +1 ] pourla permutation σ qui met 1 sur la position i et 2 sur la position j . On note R ( i − , j | i, j ) la r´elation (4) pour A i − ,j + A i,j et de mˆeme pour R ( i, j | i, j +1).On doit consid´erer la somme de la r´elation (5) avec la combinaison lin´eaire P
Soit n ≥ un entier. Soit E un corps. Soient a , a , · · · , a n +1 des ´el´ements distincts de E . Alors [ a | a , · · · , a n | a n +1 ] est combinaisonlin´eaire explicite des polylogarithmes multiples de poids n en ≤ n − vari-ables dans H n ( E ) . Remarques:
1) Francis Brown m’a comuniqu´e d’avoir prouv´e que[ a | a , · · · , a n | a n +1 ] peut s’´ecrire comme combinaison lin´eaire des polyloga-rithmes multiples de poids n en ≤ n − H n ( E ). Il n’est pasclair si sa m´ethode peut ˆetre rendue explicite.2) Si n est impair on peut obtenir une formule plus simple. On utilisela r´elation (1) pour k = 1, l = n − S l’ensemble des permutations de l’ensemble { , · · · , n } qui pr´eservent l’ordredans le sous-ensemble { , · · · , n } . On a P σ ∈ S s ign ( σ ) = 1. On note, pour1 < i < n , R i la r´elation (4) pour [ a | a , · · · , a i , a , a i +1 , · · · , a n | a n +1 ] +[ a | a , · · · , a i +1 , a , a i +2 , · · · , a n | a n +1 ]. On doit consid´erer la r´elation (5) − R − R − · · · − R n − . UR LA CONJECTURE DE ZAGIER POUR n = 4. II 5 Le cas n = 4Quand n = 4, les polylogarithmes multiples de poids 4 en 2 variables sont[ x, y ] , = [0 | x, , , y | x, y ] , = [0 | x, , y, | x, y ] , = [0 | x, y, , | x ] = [0 | x, , , | x, y ] , et [ x, y ] , comme combinaisons lin´eaires des fonctions[ x, y ] , et polylogarithmes. Si on remplace ces formules dans le Th´eor`eme1 on obtient: Th´eor`eme 2.
Soit E un corps. Soient a, b, c, d, e, f des ´el´ements distinctsde E . On note pour simplifier [ · , · ] = [ · , · ] , , abc = a − cb − c , abcd = ( a − c )( b − d )( a − d )( b − c ) etde mˆeme pour les autres combinaisons. Alors on a dans H ( E ) : [ a | b, c, d, e | f ] = φ ( a, b, c, d, e ) − φ ( f, b, c, d, e ) , o`u φ ( a, b, c, d, e ) = [ aed, ced ] − [ ecd, acd ] − cad, ead ]+2[ acd, bcd ] − [ bad, cad ] − [ cbd, abd ] − [ cab, eab ]+[ aeb, ceb ] − [ dab, cab ]+[ acb, dcb ] − [ dab, eab ]+[ aeb, deb ] − [ ace, dce ]+[ dae, cae ] − [ cbe, abe ] − [ bae, cae ]+[ bde, ade ]+[ abe, dbe ] − [ dca, dcae ] − [ dcbe, dcba ] − [ dcab, dca ]+[ dcb, dcba ]+[ cda, cdb ]+[ ecd, ecda ] − [ cea, ced ] − [ ecad, eca ]+[ ecab, eca ] − [ ecb, ecba ] − [ cea, ceb ]+[ ecda, ecdb ]+[ dbac, dbae ]+[ dbea, dbe ] − [ dba, dbae ] − [ bde, bda ]+[ bdc, bda ] − [ dba, dbac ] − [ dbca, dbc ]+[ ebca, ebc ] − [ bec, bea ] − [ eba, ebac ]+[ ebdc, ebda ]+[ bea, bed ]+ γ ( a, b, c, d, e ) , et γ ( a, b, c, d, e ) est une combinaison lin´eaire explicite des polylogarithmes [ x ] , o`u chaque x est fraction rationelle en a, b, c, d, e . Remarques:
1) Dans l’article [1], on a obtenu une autre pr´esentationde [ a | b, c, d, e | f ] comme combinaison lin´eaire explicite de fonctions [ x, y ] , et [ z ] . La comparaison des deux formules donne une ´equation fonctionelle`a 4 param`etres qui exprime une certaine combinaison lin´eaire des fonctionsde type [ x, y ] , comme combinaison lin´eaire des polylogarithmes [ z ] .2) Dans l’article [1], on a montre comment la conjecture de Zagier pour n = 4 se r´eduit `a une conjecture de Goncharov ([2]), qui pr´edit qu’unecertaine combinaison lin´eaire des fonctions de type [ x, y ] , `a 3 param`etrespeut ˆetre ´ecrite comme combinaison lin´eaire des polylogarithmes [ z ] . Ilserait int´eressant de comparer la combinaison lin´eaire des fonctions de type[ x, y ] , de la remarque pr´ec´edente avec celle de la conjecture de Goncharov.Si la deuxi`emme peut ˆetre d´eduite de la premi`ere, on aurait prouv´e la con-jecture de Zagier pour n = 4.3) Dans la formule de [1], on a ´ecrit [ a | b, c, d, e | f ] = F ( a, b, c, d, e ) − F ( f, b, c, d, e ). En plus, la fonction F ( a, b, c, d, e ) est invariante `a la permuta-tion cyclique a → b → c → d → e → a . Il n’est pas clair si F ( a, b, c, d, e ) est´egal `a φ ( a, b, c, d, e ). Si cela est vrai, l’´equation fonctionelle de la remarque1) est somme de deux ´equations fonctionelles `a 3 param`etres. Bibliographie: [1]: N. Dan: Sur la conjecture de Zagier pour n = 4, arXiv:0809.3984[math.KT] (2008) NICUSOR DAN [2]: A. B. Goncharov: Polylogarithms and motivic Galois group, Proc.Sympos. Pure Math., vol. 55, Part 2, AMS, Providence, RI (1994), p.43-96[3]: A. B. Goncharov: Multiple polylogarithms and mixed Tate motives,arXiv:math/0103059 [math.AG] (2001)[4]: D. Zagier: Polylogarithms, Dedekind zeta functions and the algebraicK-theory of fields, Progr. Math, vol. 89(1991), p. 391-430
Institutul de Matematica al Academiei Romane, Calea Grivitei 21, Bu-curesti 010702, Romania
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