Sur la fidélité de certaines représentations de GL_2(F) sous une algèbre d'Iwasawa
aa r X i v : . [ m a t h . N T ] M a y Sur la fidélité de certaines représentations de GL ( F ) sousune algèbre d’Iwasawa Yongquan Hu ∗ Stefano Morra † Benjamin Schraen ‡ Résumé
Soit F une extension finie de Q p , d’anneau des entiers O F et E une extensionfinie de F p . L’action naturelle de O × F sur O F se prolonge alors en une action continuesur l’algèbre d’Iwasawa E [[ O F ]] . Dans ce travail, on démontre que les idéaux nonnuls de E [[ O F ]] stables par O × F sont ouverts. En particulier, on en déduit la fidélitéde l’action de l’algèbre d’Iwasawa des matrices unipotentes supérieures de GL ( O F ) sur une représentation lisse irréductible admissible de GL ( F ) . Table des matières δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Le contrôleur d’un idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Quelques résultats sur les matrices de polynômes . . . . . . . . . . . . . . 5 Soient p un nombre premier, F une extension finie de Q p et E une extension de F p . Posons G = GL ( F ) . Lorsque F = Q p , les travaux de Barthel-Livné puis Breuil([5], [7]) aboutissent à une classification des E -représentations lisses irréductibles de G ayant un caractère central. Lorsque F = Q p , le même problème n’est pas résolu.Malgré des avancés de Breuil et Pašk¯unas ([8]) permettant de construire des familles dereprésentations irréductibles, on est encore loin de comprendre quels paramètres doiventintervenir dans la classification de ces représentations irréductibles à isomorphisme près(voir par exemple les travaux de l’un d’entre nous dans [10]). ∗ Université de Rennes 1 † Université de Versailles-Saint Quentin en Yvelines ‡ Université de Versailles-Saint Quentin en Yvelines/CNRS U lesous-groupe compact de G constitué des matrices unipotentes supérieures à coefficientsdans O F l’anneau des entiers de F . Si π est une représentation lisse de G sur un E -espace vectoriel, l’action de U sur π s’étend naturellement en une action de l’algèbre degroupe complétée, ou algèbre d’Iwasawa, E [[ U ]] . Tout élément de π est annulé par unidéal ouvert de E [[ U ]] , par lissité de π . Il est facile de voir qu’un tel idéal ne peut annulertoute la représentation π lorsque π est de dimension infinie. Cependant, il n’est pas clair a priori qu’il n’existe pas d’idéal non nul de E [[ U ]] annulant toute la représentation π .En d’autres termes, est-ce que π est un module fidèle sous l’action de E [[ U ]] ? Lorsque F = Q p , la question ne se pose pas car E [[ U ]] ≃ E [[ X ]] est un anneau complet devaluation discrète, ses idéaux non nuls sont donc tous ouverts. En revanche, E [[ U ]] est,dans le cas général, un anneau local régulier de dimension [ F : Q p ] . Nous prouvons dansce travail que si π est une représentation lisse irréductible de dimension infinie de G ,l’action de E [[ U ]] est toujours fidèle. Plus précisément nous prouvons le résultat suivant.Soit Γ = (cid:18) p O F
00 1 (cid:19) ⊂ G . Ce groupe agit continûment sur U par conjugaison, doncsur l’algèbre complétée E [[ U ]] . Théorème 1.1.
Soit I ⊂ E [[ U ]] un idéal stable sous l’action d’un sous-groupe ouvertde Γ . Alors I est de hauteur ou [ F : Q p ] . Autrement dit, I = 0 ou I est ouvert dans E [[ U ]] . Les techniques que nous employons pour démontrer ce résultat sont classiques pourl’étude des algèbres d’Iwasawa ([3], [4], [2]). Le cas où F est non ramifié sur Q p peutmême se traiter directement à partir du résultat principal de [2]. Néanmoins le cas totale-ment ramifié demande un traitement relativement différent. Nous avons donc dû dévisserdifféremment les arguments de [2] pour les intégrer à notre preuve et ainsi traiter de frontles différents cas. Remerciements :
Nous remercions Christophe Breuil pour avoir porté ce problème ànotre attention, ainsi que pour plusieurs remarques sur une première version de ce travail.
Notations :
Fixons p un nombre premier et E un corps de caractéristique p . Soient F une extension finie de Q p de degré n , O F son anneau des entiers et F q = F p f son corpsrésiduel. Notons e l’indice de ramification de F sur Q p de sorte que n = ef .On note G = GL ( F ) , et on définit deux sous-groupes de G par U = (cid:18) O F (cid:19) et Γ = (cid:18) p O F
00 1 (cid:19) . Le groupe U est uniforme, et Γ l’est si p ≥ . Si p = 2 , Γ est uniforme. Le groupe Γ est un sous-groupe du normalisateur de U dans G , il agit donc continûment sur U parconjugaison. Notons E [[ U ]] l’algèbre d’Iwasawa de U à coefficients dans E : E [[ U ]] := lim ←− U ′ E [ U/U ′ ] où U ′ parcourt les sous-groupes ouverts de U . Il s’agit d’un anneau local complet etnoethérien, dont l’idéal maximal est engendré par les éléments u − pour u ∈ U (cf. [9,§ . ]). 2omme U/U p ≃ F q [ X ] / ( X e ) , le choix d’une uniformisante ̟ ∈ O F et d’un élémentprimitif λ de F q sur F p nous donne un isomorphisme d’anneaux locaux complets E [[ X i,k ; 0 ≤ i ≤ e − , ≤ k ≤ f − ∼ −→ E [[ U ]] (1)au moyen de l’identification X i,k (cid:18) ̟ i [ λ k ]0 1 (cid:19) − pour tout ≤ i ≤ e − , ≤ k ≤ f − , où [ λ k ] ∈ O F désigne le représentant multiplicatifde λ k .Si a et b sont deux idéaux d’un anneau commutatif A , on note ( a : b ) l’idéal des x ∈ A tels que x b ⊂ a .Si V est un F p -espace vectoriel on désigne par P ( V ) le projectivisé de V , c’est-à-direl’ensemble des sous-espaces de dimension de V . Si S ⊂ P ( V ) , on note alors Q l ∈ S l leproduit Q l ∈ S w l ∈ Sym( V ) où w l est un générateur de la droite l pour tout l ∈ S . Ils’agit d’un élément bien défini de P (Sym( V )) .Dans toute la suite, lorsque W est un F p -espace vectoriel, on note W ∗ l’espace desformes F p -linéaires de W dans F p . Cette partie contient quelques préliminaires techniques à la preuve du théorème prin-cipal. δ Soient A = E [[ X , ..., X n ]] l’anneau des séries formelles en n variables à coefficientsdans E et m son idéal maximal. L’anneau A est complet pour la topologie m -adique.On note deg la fonction degré associée à la filtration m -adique. Plus précisément, pour x ∈ A , deg( x ) est le plus grand entier k tel que x ∈ m k . Par convention, on pose deg(0) = + ∞ . La fonction deg définit une valuation sur A , autrement dit, on a deg( x + y ) ≥ min { deg( x ) , deg( y ) } et deg( xy ) = deg( x ) + deg( y ) pour x, y ∈ A . Si r ∈ [0 , + ∞ [ ,on notera dans la suite m r l’ensemble des x ∈ A tels que deg( x ) ≥ r .Soit p un idéal premier de A . Pour x ∈ A , on note ν ( x ) le degré de l’image de x dans A/ p pour la topologie m -adique sur A/ p . Il s’agit du plus grand entier k tel que x ∈ p + m k avec la convention ν ( x ) = + ∞ si x ∈ T k ≥ ( p + m k ) . Comme A est noethérien et completpour la topologie m -adique, tout ses idéaux sont fermés dans A , donc p = T k ≥ ( p + m k ) .Ainsi ν ( x ) = + ∞ si et seulement si x ∈ p . On a toujours ν ( x ) ≥ deg( x ) , mais ν n’est pasnécessairement une valuation. On a seulement la propriété plus faible ν ( xy ) ≥ ν ( x )+ ν ( y ) si x, y ∈ A . Définition 2.1.
Pour x, P ∈ A , on définit : δ ( x, P ) := sup k ≥ (cid:8) ν ( x k P ) − deg( x k P ) (cid:9) ∈ N ∪ { + ∞} avec la convention δ ( x, P ) = + ∞ si x ∈ p ou P ∈ p . On écrira δ ( x ) au lieu de δ ( x, . ν ( x k +1 P ) − deg( x k +1 P ) ≥ ν ( x k P ) − deg( x k P ) + ν ( x ) − deg( x ) , la fonction k ν ( x k P ) − deg( x k P ) est croissante, et donc δ ( x, P ) = lim k →∞ ν ( x k P ) − deg( x k P ) pour tout x, P ∈ A .Soit gr( A ) = L k ≥ m k / m k +1 l’anneau gradué associé à A . Il est canoniquementisomorphe à l’anneau des polynômes E [ X , ..., X n ] . Pour x ∈ A non nul, on note gr( x ) := x mod m deg( x )+1 ∈ gr( A ) le symbole de x . On note gr( p ) l’idéal gradué associé à p , c’est-à-dire, gr( p ) = { gr( x ) , x ∈ p } . C’est un idéal gradué de gr( A ) et gr( p ) := M k ≥ ( p ∩ m k ) / ( p ∩ m k +1 ) ⊆ gr( A ) Le lemme suivant résume quelques propriétés de la fonction δ . Lemme 2.2.
Soit x ∈ A non nul.(i) La fonction δ ne prend que les valeurs et + ∞ et δ ( x ) = + ∞ ⇔ gr( x ) ∈ p gr( p ) .(ii) On a δ ( x ) = 0 (resp. = + ∞ ) si et seulement si pour tout P / ∈ p , δ ( x, P ) < + ∞ (resp. = + ∞ ).(iii) Supposons x = 0 et δ ( x ) = + ∞ . Il existe ǫ > et k ≥ tels que pour k ≥ k , ν ( x k ) ≥ (1 + ǫ ) deg( x k ) . Démonstration. (i) La condition gr( x ) ∈ p gr( p ) est équivalente à l’existence de k ≥ tel que ν ( x k ) ≥ deg( x k ) + 1 . Par conséquent, si gr( x ) ∈ p gr( p ) , alors ν ( x mk ) ≥ mν ( x k ) ≥ m + deg( x mk ) , d’où δ ( x ) = + ∞ . D’autre part, si gr( x ) / ∈ p gr( p ) , alors ν ( x k ) = deg( x k ) pour tout k ≥ , donc ν ( x ) = 0 .(ii) Montrons tout d’abord que δ ( x ) = + ∞ si et seulement si δ ( x, P ) = + ∞ pourtout P ∈ A . En prenant P = 1 , on voit que la condition est suffisante. De plus, comme ν ( x k P ) ≥ ν ( x k ) + deg( P ) , on a bien δ ( x, P ) = + ∞ si δ ( x ) = + ∞ , d’où la nécessité.Supposons maintenant δ ( x ) = 0 . D’après [11, corollaire 3.14] (qui est une conséquencedu lemme d’Artin-Rees), pour P / ∈ p , il existe un entier k ≥ tel que : (( p + m k ) : P ) ⊆ ( p : P ) + m k − k = p + m k − k , ∀ k ≥ k
4ù l’égalité vient de l’hypothèse
P / ∈ p . On en déduit que pour k assez grand (tel que ν ( x k P ) ≥ k ) : ν ( x k ) ≥ ν ( x k P ) − k , puis ν ( x k P ) − deg( x k P ) ≤ ( ν ( x k ) − deg( x k )) + ( k − deg( P )) = k − deg( P ) . D’où le résultat. La suffisance s’obtient en considérant le cas où P = 1 .(iii) La preuve de (i) nous donne un entier k ≥ tel que ν ( x k ) ≥ x k ) .Notons que la condition δ ( x ) = + ∞ entraîne deg( x ) = 0 . Pour k ≥ k avec m = ⌊ k/k ⌋ la partie entière de k/k , on a ν ( x k ) ≥ m + deg( x k ) ≥ deg( x k ) (cid:0) mk deg( x ) (cid:1) ≥ deg( x k ) (cid:0) k deg( x ) (cid:1) . On prend donc ǫ = k deg( x ) . Rappelons que U = (cid:0) O F (cid:1) et E [[ U ]] est l’algèbre d’Iwasawa de U . Soient I un idéalde E [[ U ]] et V un sous-groupe fermé de U . On dit que I est contrôlé par V , ou que V contrôle I , si I est engendré topologiquement par un sous-ensemble de E [[ V ]] ou, demanière équivalente, si I = ( I ∩ E [[ V ]]) · E [[ U ]] . Rappelons un critère pour que I soit controlé par le sous-groupe ouvert ̟U . Lemme 2.3.
L’idéal I est contrôlé par ̟U si et seulement si I est stable par les déri-vations ∂∂X ,k pour ≤ k ≤ f − .Démonstration. C’est un cas particulier de [4, proposition 2.4(d)].
Pour pouvoir appliquer le lemme 2.3, il nous faut pouvoir écrire les dérivations ∂∂X ,k en fonctions des dérivations de E [[ U ]] induites par l’action de Γ . C’est l’objetde cette partie. Plus précisément considérons V un F p -espace vectoriel de dimension fi-nie. Les dérivations de l’algèbre Sym( V ) s’identifient aux morphismes Sym( V ) -linéaires Hom
Sym( V ) (Sym( V ) ⊗ F p V, Sym( V )) , c’est-à-dire aux applications F p -linéaires de V dans Sym( V ) . Nous allons désormais raisonner en termes d’applications F p -linéaires. Soit φ l’inclusion canonique de V dans Sym( V ) . On note φ p n l’application F p -linéaire de V dans Sym( V ) obtenue en posant φ p n ( v ) = φ ( v ) p n pour tout v ∈ V . La proposition . de [3]montre que si g est une forme linéaire de V , alors, quitte à multiplier g par un élémenthomogène bien choisi de Sym( V ) , on peut écrire g comme une combinaison Sym( V ) -linéaires des applications φ p n pour n ≤ n ≤ n + dim( V ) − . Dans cette partie, nousreprenons la preuve de [3, proposition 1.4] afin d’obtenir une borne inférieure pour lesdegrés des coefficients de cette combinaison linéaire.5 roposition 2.4. Fixons g ∈ V ∗ . Soit m = dim V . Alors pour s ≥ , on a l’égalitésuivante dans Hom F p ( V, Sym( V )) , où m V désigne l’idéal maximal de Sym( V ) engendrépar V , (cid:16) Y w ∈ P ( V ) \ P (ker g ) w (cid:17) p s · g ∈ m X j =1 m p s ( p m − − p j − ) V φ p s + j − . La preuve de la proposition 2.4 consiste essentiellement à combiner la règle de Cramerà des estimations du degré des mineurs d’une matrice de Vandermonde. Les notationssuivantes sont issues de [3, §1].Soit { w , ..., w m } une base de V sur F p . On note M ( w , ..., w m ) ∈ M m (Sym( V )) lamatrice de type Vandermonde : M ( w , ..., w m ) = w w · · · w m w p w p · · · w pm ... ... . . . ... w p m − w p m − · · · w p m − m (2)Soit Com( M ( w , ..., w m )) sa comatrice, dont le ( i, j ) -terme est égal à ( − i + j det C ji , C ij étant le bloc de M ( w , ..., w m ) obtenu en enlevant la i -ème ligne et la j -ème colonne. Larègle de Cramer s’écrit M ( w , ..., w m ) · Com( M ( w , ..., w m )) = det M ( w , .., w m ) · Id m . Pour j ∈ { , ..., m } , posons W j ⊂ V le sous- F p -espace vectoriel engendré par { w i : i = j } et définissons les matrices M ( w , ..., ˆ w j , ..., w m ) := M ( w , ..., w j − , w j +1 , ..., w m ) . Il est prouvé dans [3, proposition 1.2] que det M ( w , ..., ˆ w j , ..., w m ) divise tous les det C ij pour ≤ i ≤ m et que det( M ( w , . . . , w m )) est un polynôme homogène de degré | P ( F mp ) | ([3, Lemma . ]). Lemme 2.5.
Pour ≤ i ≤ m , on a det C ij det M ( w , ..., ˆ w j , ..., w m ) ∈ m p m − − p i − V . Démonstration.
Il suffit de remarquer que det C ij est un polynôme de degré supérieurou égal à (1 + p + · · · + p m − ) − p i − , et det M ( w , ..., ˆ w j , ..., w m ) est homogène de degré p + · · · + p m − . Démonstration de la proposition 2.4.
On peut supposer que g = 0 , car sinon l’énoncéest évident. Posons f := g et complétons { f } en une base { f , . . . , f m } de V ∗ . Soit { w , . . . , w m } ⊂ V la base duale, de telle sorte que φ = P mj =1 w j f j . Par construction ona alors φ p r = m X j =1 w p r j f j (3)6our tout entier r ≥ . Soient e , f ∈ Hom F p ( V, Sym( V )) m les vecteurs colonnes définispar e = φ p s ... φ p s + m − , f = f ... f m . Les équations (3) pour r = s, s + 1 , . . . , s + m − s’écrivent matriciellement M ( w p s , . . . , w p s m ) · f = e . (4)Posons maintenant ∆ j = Q w ∈ P ( V ) \ P (ker( f j )) w . Par [3, lemma 1.1(2)], on a ∆ p s j = λ j · det M ( w p s , . . . , w p s m )det M ( w p s , . . . , ˆ w p s j , . . . , w p s m ) avec λ j ∈ F × p . En désignant par H la matrice diagonale dont le ( j, j ) -ème terme est λ − j · det M ( w p s , . . . , ˆ w p s j , . . . , w p s m ) et par D la matrice diagonale dont le ( j, j ) -ème termeest ∆ j , on trouve : H − · Com( M ( w p s , ..., w p s m )) | {z } def = U · M ( w p s , ..., w p s m ) = D p s (5)et, d’après le lemme 2.5, U est une matrice dont le ( j, i ) -ème terme est un élément de m p s ( p m − − p i − ) V .La première ligne de l’égalité de matrices U · e = D p s · f , déduite de (4) et (5), nouspermet donc de conclure.Soit A la complétion de Sym( V ) pour la topologie définie par l’idéal maximal de Sym( V ) engendré par V . Soit m l’idéal maximal de A . Considérons également la situationplus générale où V est un F p -espace vectoriel de dimension finie et ϕ ∈ Hom F p ( V , V ) ,d’image V ⊂ V . On note encore par la lettre ϕ l’application F p -linéaire de V dans Sym( V ) obtenue par composition avec V ⊂ Sym( V ) . Il est plus agréable pour la suitede reformuler la proposition 2.4 sous la forme suivante. Proposition 2.6.
Fixons g ∈ V ∗ . Soit m = dim V . Alors pour s ≥ , on a, dans Hom F p ( V , A ) , (cid:16) Y w ∈ P ( V ) \ P (ker g ) w (cid:17) p s · ( g ◦ ϕ ) ∈ m X j =1 m p s ( p m − − p j − ) ϕ p s + j − . (6) Démonstration.
Il suffit de composer le résultat de la proposition 2.4, appliqué à V , àdroite avec ϕ , et à gauche avec l’inclusion Sym( V ) ⊂ Sym( V ) ⊂ A .7 Le résultat principal
Cette partie est consacrée à la démonstration du théorème principal.
Théorème 3.1.
Soient Γ ′ un sous-groupe ouvert de Γ et I un idéal non nul de E [[ U ]] stable par Γ ′ . Alors I est un idéal ouvert de E [[ U ]] . Commençons par nous ramener au cas où I est premier. Lemme 3.2.
Si l’idéal maximal m de E [[ U ]] est le seul idéal premier non nul de E [[ U ]] stable par un sous-groupe ouvert de Γ , alors le théorème 3.1 est vrai.Démonstration. L’anneau E [[ U ]] étant noethérien, l’ensemble Ass( E [[ U ]] /I ) des idéauxpremiers associés à I est fini, ses éléments sont les idéaux premiers de la forme ( I : s ) , s ∈ E [[ U ]] . On vérifie directement que si γ ∈ Γ ′ et si ( I : s ) est premier, alors ( I : γ ( s )) l’est aussi.Autrement dit, l’ensemble Ass( E [[ U ]] /I ) est stable par Γ ′ . Comme Ass( E [[ U ]] /I ) estfini, il existe un sous-groupe ouvert Γ ′′ de Γ ′ qui fixe tous les éléments de Ass( E [[ U ]] /I ) .On peut donc supposer que I est premier, car I est ouvert si et seulement si tous leséléments de Ass( E [[ U ]] /I ) le sont.Soit m l’idéal maximal de E [[ U ]] et définissons V := M ≤ i ≤ e − , ≤ k ≤ f − F p X i,k . D’après l’isomorphisme (1), on a V ⊗ F p E ≃ m / m . On peut ainsi identifier V à un F p -sous-espace de m / m , ce que nous ferons dorénavant sans aucun commentaire ultérieur.Posons enfin Y i = L f − k =0 F p X i,k de sorte que V = L e − i =0 Y i . Définition 3.3.
On définit un morphisme ρ : O F /p O F → End F p ( V ) comme suit : si x ∈ O F /p O F et si x ∈ O F est un relèvement de x , alors ρ ( x )( X i,k ) := (cid:18) x · ̟ i [ λ k ]0 1 (cid:19) − m . Remarque 3.4.
Si on pose g = O F /p O F , il s’agit de l’action de g sur V décrite dans [2, § . ] . Comme notre cas est très particulier, nous n’utilisons pas le formalisme de cetarticle. Puisque (cid:0) x + y (cid:1) − (cid:0) x (cid:1)(cid:0) y (cid:1) − ≡ (cid:0)(cid:0) x (cid:1) − (cid:1) + (cid:0)(cid:0) y (cid:1) − (cid:1) mod m , et que (cid:0) py (cid:1) − (cid:0)(cid:0) y (cid:1) − (cid:1) p ∈ m p pour tout x, y ∈ O F , on voit que la définition ci-dessus nedépend pas du choix de x et que ρ est bien un morphisme d’espaces vectoriels sur F p .On peut identifier O F /p O F avec F q [ ̟ ] / ( ̟ e ) = L e − i =0 F q ̟ i . Lemme 3.5.
Fixons i ∈ { , ..., e − } .(i) Soit x ∈ F q ̟ i . Alors ρ ( x )( Y j ) = (cid:26) Y i + j si i + j ≤ e −
10 si i + j ≥ e. ii) Soient ≤ j ≤ e − − i et g ∈ Y ∗ i + j non nul. Alors l’application de F q ̟ i dans Y ∗ j donnée par x g ◦ ρ ( x ) est une bijection.Démonstration. L’application u ( u − m est un isomorphisme de groupes de U/U p sur V et l’action de ρ ( x ) sur V induit une action sur U/U p ≃ O F /p O F qui est donnéepar la multiplication par x . Les deux énoncés s’en déduisent. Lemme 3.6.
Soit p un idéal premier de E [[ U ]] . Pour que p soit l’idéal maximal de E [[ U ]] , il faut et il suffit que p gr( p ) = h X i,k ; 0 ≤ i ≤ e − , ≤ k ≤ f − i dans gr( E [[ U ]]) ∼ = E [ X i,k ] .Démonstration. La nécessité est immédiate. Prouvons la suffisance. Si gr( p ) contient unepuissance de gr( m ) , on a p + m n +1 = m n pour n assez grand. En utilisant le lemme deNakayama, on montre qu’alors p = m n puis p = m vu que p est premier.Considérons un idéal premier p non nul qui n’est pas maximal. Le lemme 3.6 impliqueque p gr( p ) ne contient pas tous les gr( X i,k ) . Il existe donc un indice i ∈ { , ..., e − } tel que(a) gr( X j,k ) ∈ p gr( p ) pour tout j > i et tout ≤ k ≤ f − ;(b) il existe k ′ ∈ { , ..., f − } tel que gr( X i ,k ′ ) / ∈ p gr( p ) . Proposition 3.7.
Soit p un idéal premier de E [[ U ]] stabilisé par un sous-groupe ouvert Γ ′ ⊂ Γ , vérifiant les conditions (a) et (b) ci-dessus. Soit F ∈ p . Il existe ǫ > tel quepour tout r suffisamment grand l’on ait ∀ x ∈ F q ̟ i , f − X k =0 ρ ( x )( X ,k ) p r · (1 + X ,k ) ∂F∂X ,k ∈ p + m p r (1+ ǫ ) . (7) Démonstration.
Soit x ∈ F q ̟ i . En choisissant x ∈ O F un relèvement de x , on a, pardéfinition, pour tout ≤ i ≤ e − , ≤ k ≤ f − : ρ ( x )( X i,k ) p r ≡ (cid:0) p r x · ̟ i [ λ k ]0 1 (cid:1) − m p r . Posons γ = (cid:0) p r x
00 1 (cid:1) avec r suffisamment grand pour que γ ∈ Γ ′ . Par définition del’action de γ sur U , on obtient γ ( X i,k ) = (cid:0) p r x ) ̟ i [ λ k ]0 1 (cid:1) − ≡ X i,k + (1 + X i,k ) · ρ ( x )( X i,k ) p r mod m p r . Soit maintenant F ∈ p . En écrivant le développement de Taylor à l’ordre 1 de γ ( F ) = F ( γ ( X i,k )) , on voit que γ ( F ) − F − X i,k ρ ( x )( X i,k ) p r · (1 + X i,k ) ∂F∂X i,k ∈ m p r . Comme p est stable par Γ ′ , on a γ ( F ) ∈ p et donc X i,k ρ ( x )( X i,k ) p r · (1 + X i,k ) ∂F∂X i,k ∈ p + m p r . x ∈ F q ̟ i , le lemme 3.5 implique que ρ ( x )( Y ) ⊆ Y i , . . . , ρ ( x )( Y e − − i ) ⊆ Y e − et ρ ( x )( Y i ) = 0 ∀ i ≥ e − i . (8)Par ailleurs, l’hypothèse sur i et le lemme 2.2 ( i ) montrent que δ ( X j,k ) = + ∞ pour j > i et ≤ k ≤ f − . Autrement dit, δ ( y ) = + ∞ pour y ∈ Y j , j > i . Combinéesà (8), ces égalités nous donnent δ ( ρ ( x )( X i,k )) = + ∞ pour tout ≤ i ≤ e − − i , ≤ k ≤ f − . Comme deg( ρ ( x )( X i,k ) p r ) ≥ p r on déduit du lemme 2.2 ( iii ) l’existencede ǫ > tel que ρ ( x )( X i,k ) p r · (1 + X i,k ) ∂F∂X i,k ∈ p + m (1+ ǫ ) p r pour tout ≤ i ≤ e − − i , ≤ k ≤ f − et r suffisamment grand. Ceci permet deconclure.Le corollaire qui suit est le résultat clé pour démontrer le théorème principal. Il utilisel’estimation établie dans la proposition 2.6. Corollaire 3.8.
Conservons les notations de la proposition 3.7. Soient g ∈ Y ∗ i une formelinéaire non nulle et x un élément de F q ̟ i \{ } . Posons P = f − X k =0 ( g ◦ ρ ( x ))( X ,k ) · (1 + X ,k ) ∂F∂X ,k . Alors, en notant U g = Q w ∈ P ( Y i ) \ P (ker( g )) w , on a δ ( U g , P ) = + ∞ .Démonstration. D’après la définition de la fonction δ (cf. §2.1), on peut supposer que U g , P / ∈ p et il suffit de montrer que sup r ≥ (cid:8) ν ( U p r g P ) − deg( U p r g P ) (cid:9) = + ∞ . Notons d’abord que U g est un polynôme homogène de degré p f − , de telle sorte que deg( U p r g P ) = p r + f − + deg( P ) . De plus, la proposition 2.6 appliquée à ϕ = ρ ( x ) | Y , V = Y et V = Y i , ainsi que lemorphisme local canonique de changement de base A ֒ → E [[ U ]] , nous donnent U p r g · ( g ◦ ρ ( x ))( X ,k ) ∈ f X j =1 m p r ( p f − − p j − ) · ρ ( x )( X ,k ) p r + j − pour tout r ≥ , ce qui nous permet d’écrire, au moyen de l’inclusion (7) U p r g P ∈ f − X k =0 (cid:16) f X j =1 m p r ( p f − − p j − ) · ρ ( x )( X ,k ) p r + j − (cid:17) (1 + X ,k ) ∂F∂X ,k ⊂ f X j =1 m p r ( p f − − p j − ) · ( p + m p r + j − (1+ ǫ ) ) ⊂ p + m p r ( p f − + ǫ ) r suffisamment grand. Cela entraîne que ν ( U p r g P ) ≥ p r + f − + ǫp r et donc δ ( U g , P ) = + ∞ , dès que ǫ > . Démonstration du théorème 3.1.
Soit p ⊂ E [[ U ]] un idéal premier stable par un sous-groupe ouvert de Γ . Supposons par l’absurde que p n’est ni nul, ni maximal, et soit i l’indice satisfaisant les conditions (a) et (b) comme précédemment. Il existe g ∈ Y ∗ i nonnul tel que gr( U g ) / ∈ p gr( p ) . En effet, en appliquant le théorème des zéros de Hilbert,on voit que l’idéal gradué de E [ X i , , . . . , X i ,f − ] engendré par tous les U g est ouvertdans E [ X i , , . . . , X i ,f − ] . La condition (b) implique donc l’existence d’un tel g .D’après le lemme 2.2 ( i ) , on a alors δ ( U g ) = 0 . Le corollaire 3.8 et le lemme 2.2(ii)impliquent donc f − X k =0 ( g ◦ ρ ( x ))( X ,k ) · (1 + X ,k ) ∂F∂X ,k ∈ p , ∀ x ∈ F q ̟ i . Le lemme 3.5 assure l’existence de x k ∈ F q ̟ i tel que g ◦ ρ ( x k ) = X ∗ ,k , où { X ∗ ,k , ≤ k ≤ f − } désigne la base duale de Y . On en déduit que (1 + X ,k ) ∂F∂X ,k ∈ p , ∀ ≤ k ≤ f − , et, puisque X ,k est inversible dans E [[ U ]] , que ∂F∂X ,k ∈ p . Ceci étant vrai pour tout ≤ k ≤ f − , le lemme 2.3 implique que p est contrôlé par U = ̟U .Comme E [[ U ]] est une E [[ U ]] -algèbre finie, l’idéal p ∩ E [[ U ]] est un idéal premierde E [[ U ]] qui n’est ni nul ni maximal. La multiplication par ̟ induit un isomorphismede pro- p -groupes U ∼ = U qui est Γ -équivariant. En itérant l’argument précédent, on voitqu’en fait p est contrôlé par tous les sous-groupes ̟ n U pour n ∈ N . Comme T n ∈ N ̟ n U = { } , on obtient p = 0 . Corollaire 4.1.
Soit ( π, ρ ) une représentation lisse irréductible de G = GL ( F ) sur un E -espace vectoriel de dimension infinie. Alors l’action de E [[ U ]] sur π est fidèle.Démonstration. Soit I le noyau de E [[ U ]] → End E ( π ) . C’est un idéal de E [[ U ]] stablesous l’action de O × F . D’après le théorème 3.1, I est ouvert ou nul. Supposons qu’il soitouvert. Alors il existe un sous-groupe ouvert U ′ ⊂ U agissant trivialement sur π . Soit N ⊂ G le sous-groupe des matrices unipotentes supérieures. Ce groupe N est une unionde conjugués de U ′ . Ainsi le noyau de ρ : G → Aut( π ) contient U ′ , donc N . Or unsous-groupe distingué de G contenant N contient SL ( F ) . Il est alors bien connu que π ,étant irréductible, est de dimension finie. Corollaire 4.2.
Soit M un E [[ U ]] -module de type fini muni d’une action semi-linéaire de Γ et soit Ass( M ) l’ensemble des idéaux premiers associés à M ([6, §1]). Alors Ass( M ) ⊂{{ } , m } . Si de plus M est de torsion, alors Ass( M ) ⊂ { m } et M est de longueur finie. émonstration. Comme dans la preuve du lemme 3.2, on voit que
Ass( M ) est fini et seséléments sont tous stables par un certain sous-groupe ouvert de Γ . Le premier énoncés’en déduit. Pour le deuxième, il suffit de remarquer que { } / ∈ Ass( M ) lorsque M estde torsion. Corollaire 4.3.
Soit M un E [[ U ]] -module de type fini muni d’une action semi-linéaire de Γ . Si on note T( M ) le sous- E [[ U ]] -module de torsion de M , T( M ) est de longueur finiesur E [[ U ]] . De plus il existe alors un E [[ U ]] -module de type fini réflexif M contenant M/ T( M ) tel que le quotient de M par M/ T( M ) soit de longueur finie. De plus, si [ F : Q p ] ≤ , on peut supposer que M est un E [[ U ]] -module libre.Démonstration. On note M ∗ = Hom E [[ U ]] ( M, E [[ U ]]) le dual de M . On le munit d’uneaction de Γ de la façon suivante. Si γ ∈ Γ , f ∈ M ∗ et x ∈ M , on pose ( γ · f )( x ) = γf ( γ − x ) . L’application canonique de i : M → M ∗∗ est alors Γ -équivariante. De plus, si K désigne le corps des fractions de A , i ⊗ A K est un isomorphisme de K -espaces vectorielsde dimension finie. On en conclut que Ker( i ) et Coker( i ) sont des E [[ U ]] -modules de typefini, de torsion et stables par Γ . Ils sont donc de longueur finie d’après le corollaire 4.2.Comme M ∗∗ est sans torsion, on a en fait Ker( i ) = T( M ) , ceci permet de conclure enprenant M = M ∗∗ .Si dim( E [[ U ]]) = 1 , E [[ U ]] est un anneau de valuation discrète, tout E [[ U ]] -module detype fini sans torsion est donc libre. D’après la proposition de [12], tout module réflexifde type fini sur un anneau local noethérien régulier de dimension est libre, donc M ∗∗ est libre si dim( E [[ U ]]) = 2 .On peut se demander à quel point, lorsque [ F : Q p ] > , un E [[ U ]] -module réflexifde type fini muni d’une action semi-linéaire de Γ est éloigné d’un E [[ U ]] -module libre.Nous ne connaissons pas d’exemple de tel module qui ne soit pas libre. Le mieux quel’on puisse dire sur un tel module est contenu dans la proposition suivante. Proposition 4.4.
Soit M un E [[ U ]] -module réflexif de type fini muni d’une action semi-linéaire de Γ . Pour tout idéal premier p = m de E [[ U ]] , le E [[ U ]] p -module M p est libre.Démonstration. Posons A = E [[ U ]] . Pour i ≥ , notons ⊗ iA M := M ⊗ A · · · ⊗ A M le A -module produit tensoriel de i copies de M . Ce sont des A -modules de type finimunis naturellement d’une action semi-linéaire de Γ . Soit T( ⊗ iA M ) le sous-module detorsion de ⊗ iA M ; il est clairement stable par Γ . D’après le corollaire 4.2, on voit que Ass (cid:0) T( ⊗ iA M ) (cid:1) ⊂ { m } , d’où (cid:0) T( ⊗ iA M ) (cid:1) p = 0 pour tout idéal premier p = m par [6, §3,corollaire 1]. On déduit alors des isomorphismes naturels (avec les notations évidentes) (cid:0) T( ⊗ iA M ) (cid:1) p ∼ = T (cid:0) ( ⊗ iA M (cid:1) p ) ∼ = T( ⊗ iA p M p ) que ⊗ iA p M p est un A p -module sans torsion pour tout i ≥ . Comme A p est un anneaulocal régulier non ramifié puisque A l’est (car de caractéristique p , voir [1, p.634]), lethéorème 3.2 de [1] nous permet de conclure. Références [1] M. Auslander,
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