Sur la multiplicité des valeurs propres du laplacien de Witten
aa r X i v : . [ m a t h . DG ] A p r Sur la multiplicité des valeurs propres du laplaciende Witten
Pierre Jammes
Résumé.—
Sur toute variété compacte de dimension supérieure ou égale à 4,on prescrit le volume et le début du spectre du laplacien de Witten agissant sur les p -formes différentielles pour < p < n . En particulier, on prescrit la multiplicitédes premières valeurs propres. Sur les variétés de dimension 3, on construit desexemples de première valeur propre multiple pour les 1-formes, dont la multiplicitédépend du genre maximal des surfaces immergées dont toute la 1-cohomologie estinduite par la cohomologie de la variété. En particulier, cette multiplicité est aumoins égale à 3.Mots-clefs : laplacien de Witten, formes différentielles, multiplicité de valeurspropres. Abstract.—
On any compact manifold of dimension greater than 4, we pres-cribe the volume and any finite part of the spectrum of the Witten Laplacian actingon p -form for < p < n . In particular, we prescribe the multiplicity of the firsteigenvalues. On 3-dimensional manifolds, we give examples of multiple first eigen-value for 1-forms, whose multiplicity depends on the maximal genus of embeddedsurfaces all of whose 1-cohomology is induced by the cohomology of the manifold.In particular, this multiplicity is at least 3.Keywords : Witten Laplacian, differential forms, multiplicity of eigenvalues.MSC2000 : 58J50
1. Introduction
Depuis que S. Y. Cheng a montré dans [Ch76] que la multiplicité de la k -ième valeur propre du laplacien sur une surface compacte est majorée enfonction de k et de la topologie, ce problème de multiplicité pour le laplacienagissant sur les fonctions a fait l’objet de nombreux travaux. En dimension 2,la majoration de Cheng, qui est aussi valable pour les opérateur de Schrödin-ger, a été améliorée (voir [Be80], [Na88], [HHN99]), la meilleure estimationpour la multiplicité de la 2 e valeur propre d’un opérateur de Schrödingerayant été obtenue par B. Sévennec ([Sé94], [Sé02]). On sait aussi que pourles opérateurs avec champ magnétique, la multiplicité des valeurs propres1eut être arbitrairement grande ([CdVT93], [BCC98], [Er02]). En dimensionsupérieure ou égale à 3, Y. Colin de Verdière a montré ([CdV86], [CdV87])que toute rigidité disparaît et qu’on peut arbitrairement prescrire le début duspectre avec multiplicité, et J. Lohkamp a amélioré ce résultat en montrantdans [Lo96] qu’on pouvait prescrire simultanément le début du spectre, levolume et certains invariants de courbure.Pour les opérateurs agissants sur les fibrés vectoriels naturels, ce pro-blème est longtemps resté ouvert. Dans [Gu04], P. Guérini a montré qu’onpeut prescrire toute partie finie du spectre du laplacien de Hodge-de Rham,qui agit sur les formes différentielles, mais en imposant aux valeurs propresprescrites d’être simples. Un résultat semblable a été obtenu par M. Dahlpour l’opérateur de Dirac ([Da05]).Un premier résultat de multiplicité est obtenu dans [Ja09], où on construitun nombre arbitraire de valeurs propres doubles pour le laplacien de Hodge-de Rham. Plus récemment, j’ai montré dans [Ja11] qu’on pouvait étendre lerésultat de Colin de Verdière en prescrivant le début du spectre du laplaciende Hodge-de Rham avec multiplicité sur les variétés de dimension supérieureou égale à 6, mais la technique échoue dans le cas des petites dimensions,des formes de degré [ n ] et de la première valeur propres des 1-formes.Le but de cet article est de montrer qu’en dimension supérieure ou égaleà 4, on peut prescrire le spectre du laplacien de Witten sans restriction sur ledegré. Cet opérateur, agissant sur les formes différentielles, a été popularisépar E. Witten dans [Wi82], où il l’utilise entre autres pour redémontrer lesinégalités de Morse (voir par exemple [He85]). Contrairement à ce qui sefait habituellement, nous n’étudierons pas ici la limite semi-classique de cetopérateur. On utilisera plutôt le fait que l’étude du spectre du laplaciende Witten revient à découpler la métrique et la mesure (cette notion seraprécisée dans la section 2). Cet opérateur peut être vu comme un analoguede l’opérateur de Schrödinger pour les formes différentielles : dans le cas desformes de degré 0, c’est-à-dire des fonctions, on retrouve tous les opérateursde Schrödinger dont la première valeur propre est nulle.Rappelons la définition de cet opérateur (voir la section 2 pour plus dedétails). Étant données une variété compacte M n et une fonction ϕ ∈ C ∞ ,on définit une différentielle tordue par ˜d ω = d ω + d ϕ ∧ ω et on note ˜ d sonadjoint. Le laplacien de Witten est alors défini par ˜∆ ϕ = ˜d˜ d +˜ d ˜d . On retrouvela laplacien de Hodge quand ϕ est constante. La théorie de Hodge s’appliqueau laplacien de Witten, en particulier on a une décomposition de Hodge Ω p ( M ) = ˜dΩ p − ( M ) ⊕ Ker ˜∆ ϕ ⊕ ˜ d Ω p +1 ( M ) , qui est stable par le laplacien.Si on note < ˜ µ p, ( M, g, ϕ ) ≤ ˜ µ p, ( M, g, ϕ ) ≤ . . . (1.1)2es valeurs propres du laplacien de Witten en restriction à ˜ d Ω p +1 ( M ) , alorsson spectre en restriction à ˜dΩ p − ( M ) est (˜ µ p − ,i ( M, g, ϕ )) . Le spectre nonnul du laplacien de Witten se déduit donc des ˜ µ p − ,i ( M, g, ϕ ) , ≤ p ≤ n − .Avec ces notations, le premier résultat de cet article peut s’énoncercomme suit : Théorème 1.2.
Soit M n une variété compacte connexe orientable (avec ousans bord) de dimension n ≥ et N ∈ N ∗ . Si on se donne un réel V > etet des suites < a p, ≤ a p, ≤ . . . ≤ a p,N pour ≤ p ≤ n − , alors il existeune métrique g et une fonction ϕ sur M telles que– ˜ µ p,k ( M, g, ϕ ) = a p,k pour ≤ k ≤ N et ≤ p ≤ n − ;– Vol(
M, g ) = V . On peut donc en particulier prescrire la multiplicité des premières valeurspropres pour tous les degrés non nuls simultanément.Comme dans [Ja11], certaines techniques échouent en dimension 3. Onpeut cependant construire une première valeur propre dont la multiplicitédépend de la topologie, étendant ainsi un résultat que Colin de Verdière avaitobtenu sur les surfaces. Étant donnée une surface compacte Σ , et en notant C (Σ) le nombre chromatique de Σ , c’est-à-dire le plus grand entier k tel quele graphe complet à k sommets se plonge dans Σ , il montre dans [CdV87]qu’il existe un opérateur de Schrödinger sur Σ dont la multiplicité de la 2 e valeur propre est C (Σ) − . Le résultat qu’on peut obtenir en dimension 3est le suivant : Théorème 1.3.
Soit ( M, g ) une variété riemannienne compacte de dimen-sion 3. Pour toute surface plongée Σ ֒ → M telle que l’application naturelle H ( M ) → H (Σ) en cohomologie de Rham soit surjective, il existe une mé-trique g et une fonction ϕ sur M telles que ˜ µ , ( M, g, ϕ ) soit de multiplicité C (Σ) − . Remarque 1.4.
La condition de surjectivité de H ( M ) → H (Σ) peuts’interpréter comme un analogue cohomologique de la notion de surface in-compressible.Le seul résultat de multiplicité en dimension 3 pour le laplacien de Hodge-de Rham était jusqu’à présent la construction de valeurs propres doublesdonnée dans [Ja09]. En appliquant le théorème 1.3 avec Σ = S , on obtientqu’on peut toujours faire mieux pour la première valeur propre du laplaciende Witten : 3 orollaire 1.5. Soit ( M, g ) une variété riemannienne compacte de di-mension 3. Il existe une métrique g et une fonction ϕ sur M telles que ˜ µ , ( M, g, ϕ ) soit de multiplicité 3. L’article est organisé comme suit : la section 2 est consacrée à des rap-pels sur la théorie du laplacien de Witten et à la démonstration de quelqueslemmes techniques. On verra en particulier qu’on peut définir son spectresans introduire la différentielle tordue en remplaçant la mesure riemannienne d v g par la mesure e − ϕ d v g (lemme 2.22). On montrera dans la section 3 unrésultat de rigidité conforme du spectre qui généralise celui obtenu dans[Ja07b] pour le laplacien de Hodge et qui sera utilisé dans la section sui-vante. Dans les sections 4 et 5 on donnera deux résultats de convergencespectrale pour le laplacien de Witten. Le premier traite de la convergencedu spectre d’une variété vers celui d’un de ses domaines, généralisant desrésultats obtenus pour le laplacien agissant sur les fonctions [CdV86] et lelaplacien de Hodge [Ja11]. Le second concerne les variétés privées d’une pe-tite boule et généralise un théorème de C. Anné et B. Colbois [AC93]. Enfin,on démontrera dans la dernière section les théorème 1.2 et 1.3 en utilisantles deux théorèmes de convergence spectrale.Ce travail a été mené avec le soutien du projet ANR Geodycos.
2. Théorie de Hodge et conditions de bord pour lelaplacien de Witten
On va rappeler dans ce paragraphe la définition et les propriétés élémen-taires du laplacien de Witten. On peut se référer à [Wi82] ou [HN06] pourune présentation plus complète.Étant donnée une fonction ϕ ∈ C ∞ ( M ) , on définit une différentielletordue ˜d : Ω p ( M ) → Ω p +1 ( M ) par ˜d ω = e − ϕ d( e ϕ ω ) = d ω + d ϕ ∧ ω (2.1)et une codifférentielle tordue ˜ d : Ω p ( M ) → Ω p − ( M ) par ˜ d ω = e ϕ d ( e − ϕ ω ) = d ω + i ∇ ϕ ω. (2.2)On peut vérifier que ces deux opérateurs sont adjoints l’un de l’autre. Lelaplacien de Witten associé à ϕ est alors défini par ˜∆ ϕ = ˜d˜ d + ˜ d ˜d : Ω p ( M ) → Ω p ( M ) . (2.3)4n peut réécrire le laplacien de Witten sous les formes suivantes : Théorème 2.4.
Pour toute fonction ϕ , on a ˜∆ ϕ = ∆ + | d ϕ | + L ∇ ϕ + L ∗∇ ϕ = ∆ + | d ϕ | + ∆ ϕ − ( L ∇ ϕ g p )= ∆ + | d ϕ | + ∆ ϕ + 2(Hess ϕ ) . Précisons les notations de cet énoncé : L ∇ ϕ désigne la dérivée de Lie par rap-port à ∇ ϕ , L ∗∇ ϕ son adjoint L et g p la métrique induite par g sur le fibré des p -formes. Par conséquent, L ∇ ϕ g p est ponctuellement une forme quadratiquesur Λ p T M qu’on identifie à l’endomorphisme symétrique de Λ p T M canoni-quement associé. Le hessien
Hess ϕ de ϕ est une forme bilinéaire symétriquesur les champs de vecteur, donc sur les -formes, qu’on identifie là encore àun endomorphisme de Λ T M . On l’étend à Λ p T M de la manière suivante :Si ( e , . . . , e n ) est une base orthonormée de Λ T M , alors (Hess ϕ )( e ∧ . . . ∧ e p ) = X i e ∧ . . . ∧ e i − ∧ Hess ϕ ( e i ) ∧ e i +1 ∧ . . . ∧ e p . (2.5)La première égalité du théorème 2.4 s’obtient en développant l’expression(2.3). La démonstration des autres équations est rarement détaillée dans lalittérature, nous la rappelons en appendice.En outre, le laplacien de Witten vérifie la relation de commutation sui-vante avec le dualité de Hodge : ˜∆ ϕ ∗ = ∗ ˜∆ − ϕ (2.6)Cette relation implique que ˜ µ p,i ( g, ϕ ) = ˜ µ n − p − ,i ( g, − ϕ ) .Le spectre du laplacien de Hodge-de Rham sur le produit riemannien dedeux variétés peut se calculer à l’aide de la formule de Künneth. On démontreci-dessous la généralisation de cette formule au laplacien de Witten, qui noussera utile pour la construction de valeurs propres multiples. Théorème 2.7 (Formule de Künneth).
Soit ( M , g ) et ( M , g ) deuxvariétés riemanniennes, ϕ i ∈ C ∞ ( M i ) deux fonctions et α i ∈ Ω( M i ) deuxformes différentielles sur les variétés M et M . Alors on a sur le produitriemannien ( M × M , g ⊕ g )˜∆ ϕ ( α ∧ α ) = ˜∆ ϕ α ∧ α + α ∧ ˜∆ ϕ α où ϕ ∈ C ∞ ( M × M ) est définie par ϕ = ϕ + ϕ , les formes α i et lesfonctions ϕ i étant identifiées à leur relevé sur M × M . émonstration : On va exploiter l’une des expressions du laplacien deWitten données par le théorème 2.4.On sait que pour le laplacien de Hodge-de Rham, on a ∆( α ∧ α ) = ∆ α ∧ α + α ∧ ∆ α . (2.8)Comme d ϕ et d ϕ sont orthogonaux pour la métrique g ⊕ g , on a aussi | d ϕ | = | d ϕ | + | d ϕ | . (2.9)Enfin, chaque fonction ϕ i ne varie que dans la direction de M i , donc le hessien Hess ϕ agissant sur Ω ( M × M ) prend la forme Hess ϕ = Hess ϕ ⊕ Id Λ T M + Id Λ T M ⊕ Hess ϕ . (2.10)Étendu au p -formes à l’aide de (2.5), s’écrit (Hess ϕ )( α ∧ α ) = (Hess ϕ ) α ∧ α + α ∧ (Hess ϕ ) α (2.11)On obtient la formule souhaitée en sommant (2.8), (2.9), et (2.11). La différentielle tordue vérifie ˜d = 0 et la théorie de Hodge s’appliqueà ˜d . Le noyau de ˜∆ ϕ en restriction aux p -formes est donc isomorphe à lacohomologie de ˜d . Il s’avère que la dimension de cette cohomologie ne dépendpas de ϕ , cela découle de la remarque suivante : Lemme 2.12.
Si on pose T ϕ ω = e ϕ ω alors T ϕ ˜d = d T ϕ . En particulier,l’application T ϕ est un isomorphisme du noyau (resp. l’image) de ˜d vers lenoyau (resp. l’image) de d . Ce lemme interviendra plusieurs fois par la suite, et on en déduit dès àprésent :
Corollaire 2.13.
Les cohomologies de ˜d et d sont isomorphes. Si h est une p -forme ˜∆ ϕ -harmonique, alors h minimise la norme L pour la mesure d v g dans sa classe de ˜d -cohomologie. De plus, T ϕ h est d -fermée et minimise lanorme L pour la mesure d v ϕ = e − ϕ d v g dans sa classe de d -cohomologie. Démonstration :
L’isomorphie entre les cohomologies découle immédiate-ment du lemme 2.12. 6e fait que h minimise la norme L pour la mesure d v g résulte du faitque ˜ d h = 0 et donc que h est orthogonale au forme ˜d -exacte.Enfin, T ϕ h est fermée d’après le lemme 2.12, et si α est une ( p − -forme,alors R M h T ϕ h, d α i d v ϕ = R h e − ϕ T ϕ h, e − ϕ d α i d v g = R h h, ˜d( e − ϕ α ) i d v g = 0 .Par conséquent, T ϕ h est orthogonale pour la mesure d v ϕ au formes d -exacte, donc minimise la norme L pour la mesure d v ϕ dans sa classe de d -cohomologie. Les énoncés des théorèmes de convergence spectrale et les démonstra-tions des résultats de multiplicité font intervenir des variétés à bord. Nousrappelons ou démontrons ici quelques propriétés du laplacien de Witten dansce cadre.Si U est un domaine à bord C d’une variété compacte M , on note j : ∂U → U l’injection canonique et N un champ de vecteur normal aubord. Les conditions de bord classiques du laplacien de Hodge-de Rham segénéralisent au laplacien de Witten. La condition absolue ( A ϕ ) s’écrit (A ϕ ) (cid:26) j ∗ ( i N ω ) = 0 j ∗ ( i N ˜d ω ) = 0 ou (cid:26) j ∗ ( ∗ ω ) = 0 j ∗ ( ∗ ˜d ω ) = 0 (2.14)et la condition relative ( R ϕ ) est définie par (R ϕ ) (cid:26) j ∗ ( ω ) = 0 j ∗ (˜ d ω ) = 0 (2.15)Quand ϕ = 0 , on retrouve les conditions absolues et relatives usuelles dulaplacien de Hodge.La dualité de Hodge transforme la condition ( A ϕ ) en la condition ( R − ϕ ),ce qui est cohérent avec la formule 2.6. B. Heffler et F. Nier montrent dans[HN06] que la condition ( R ϕ ) est admissible, c’est-à-dire que l’opérateurassocié est elliptique, il en va donc de même pour la condition ( A ϕ ). Enoutre, L’opérateur T : ω → e ϕ ω défini dans le lemme 2.12 transforme lacondition ( A ϕ ) en la condition ( A )Le corollaire 2.13 est valable dans ce contexte. En particulier, si h estune forme ˜∆ ϕ harmonique vérifiant la condition ( A ϕ ), alors T ϕ h est fermée,vérifie la condition ( A ) et minimise la norme L pour la mesure d v ϕ danssa classe de cohomologie. 7n utilisera aussi la condition suivante, qui généralise la condition deDirichlet pour les fonctions : ( D ) (cid:26) j ∗ ( ω ) = 0 j ∗ ( ∗ ω ) = 0 (2.16)Elle n’interviendra que pour le laplacien de Hodge, et on utilisera princi-palement le fait que pour cette condition, le noyau du laplacien est trivial(voir [An89]), et donc que son spectre est strictement positif.Pour finir ce paragraphe nous allons donner la généralisation suivanted’un résultat connu pour la différentielle standard. Cette propriété inter-viendra en particulier au paragraphe suivant pour donner une caractérisationvariationnelle du spectre sur les variétés à bord (propositions 2.20 à 2.22) : Théorème 2.17. Si ω est une forme exacte pour la différentielle tordue ˜d sur U , alors il existe une forme ψ vérifiant la condition ( A ϕ ) et telle que ω = ˜d˜ d ψ . En particulier, la forme θ = ˜ d ψ vérifie j ∗ ( i N θ ) = 0 , est orthogonaleaux formes α telles que ˜d α = 0 et minimise la norme L dans ˜d − ω .En outre, la forme ω est contenue dans l’adhérence L des formes exactesvérifiant la condition ( A ϕ ) . Remarque 2.18.
Le fait que θ minimise la norme L dans ˜d − ω est équi-valent au fait que T ϕ θ , qui vérifie la condition de bord ( A ), minimise lanorme L relative à la mesure e − ϕ d v g dans d − T ϕ ω .Grâce au lemme qui suit, la démonstration est exactement la même quepour la différentielle standard (voir [Ja11], proposition 2.4). Lemme 2.19 (intégration par partie). Si α ∈ Ω p ( U ) et β ∈ Ω p +1 ( U ) alors (˜d α, β ) = ( α, ˜ d β ) + Z ∂U j ∗ ( α ∧ ∗ β ) . Démonstration :
D’une part, on a la formule classique (d α, β ) = ( α, d β ) + R ∂U j ∗ ( α ∧ ∗ β ) qui découle de la formule de Stokes. D’autre part, le produitintérieur par un vecteur est l’adjoint du produit extérieur par la 1-formeduale, c’est-à-dire qu’en tout point x ∈ U , h d ϕ ∧ α, β i x = h α, i ∇ ϕ β i x . Commecette formule est ponctuelle, son intégrale sur U ne fait pas apparaître determe de bord. L’addition des deux équations donne le résultat souhaité.8 .4. Caractérisations du spectre du laplacien de Witten L’étude du spectre du laplacien de Hodge-de Rham est grandement fa-cilitée par le principe variationnel suivant qui remonte à J. Dodziuk et quireste valable pour le laplacien de Witten :
Proposition 2.20 ([Do82], [Mc93]).
Sur une variété compacte sans bordou avec condition de bord ( A ϕ ) , on a ˜ µ p,i = inf V i sup ω ∈ V i \{ } (cid:26) k ω k k θ k , ˜d θ = ω (cid:27) , où V i parcourt l’ensemble des sous-espaces de dimension i dans l’espace des p + 1 -formes exactes lisses. Ici encore, comme la théorie de Hodge fonctionne pour ˜d , la démonstrationest la même que dans le cas du laplacien de Hodge-de Rham. Dans le casà bord, le fait qu’on obtienne le spectre pour la condition ( A ϕ ) même si onexige aucune condition sur ω et θ découle du théorème 2.17 (en particulierdu fait que l’adhérence des formes exactes vérifiant ( A ϕ ) contient toutes lesformes exactes de U ).Comme remarqué dans [Ja11], on peut reformuler ce résultat de la ma-nière suivante : Proposition 2.21.
Le spectre et les espaces propres du laplacien de Wit-ten en restriction à
Im ˜d sont ceux de la forme quadratique Q ( ω ) = k ω k L relativement à la norme | ω | = inf ˜d θ = ω k θ k L . Enfin, grâce au lemme 2.12, on peut donner cette autre formulation qui faitappel à la différentielle d au lieu de ˜d , et qui montre qu’on peut interpréter lelaplacien de Witten par un découplage entre la métrique et la mesure. C’estsous cette forme qu’on utilisera cette caractérisation du spectre. Proposition 2.22.
Le spectre et les espaces propres, transportés par T ϕ , dulaplacien de Witten en restriction à Im ˜d sont ceux de la forme quadratique Q ( ω ) = R M | ω | d v ϕ définie sur les formes exactes, relativement à la norme | ω | = inf d θ = ω Z M | θ | d v ϕ , où d v ϕ désigne la mesure e − ϕ d v g . Démonstration :
Il suffit de remarquer que si on a ˜d˜ θ = ˜ ω , et qu’on pose ω = T ϕ ˜ ω et θ = T ϕ ˜ θ , alors T ϕ ˜d˜ θ = d T ϕ ˜ θ = T ϕ ˜ ω , donc d θ = ω . Par ailleurs,on a aussi R | ˜ ω | d v g = R | ω | e − ϕ d v g et R | ˜ ω | d v g = R | ω | e − ϕ d v g .9 emarque 2.23. Comme dans le cas du laplacien de Hodge-de Rham, onpeut déduire de la proposition 2.22 que le spectre du laplacien de Witten estcontinu pour la topologie C sur l’espace des métriques. On peut aussi endéduire la continuité C du spectre par rapport à ϕ , ce qui n’était pas dutout évident dans les expressions du théorème 2.4.
3. Minoration du spectre dans une classe conformepondérée et inégalités de Sobolev
Le but de cette section est de généraliser au laplacien de Witten uneminoration conforme du spectre du laplacien de Hodge-de Rham obtenuedans [Ja07b]. Plus précisément, étant donné une métrique g , une fonction ϕ et un réel α > , on définit la classe conforme pondérée de poids α de ( g, ϕ ) par [ g, ϕ ] α = (cid:8) ( e u g, ϕ − αu ) , u ∈ C ∞ ( M ) (cid:9) . (3.1)On va montrer que pour certains degrés p , dépendants de α , la valeur propre ˜ µ p, ( M, g, ϕ ) est uniformément minorée sur [ g, ϕ ] α , à volume fixé. Le castraité dans [Ja07b] correspond à ϕ = 0 , α = 0 et p ∈ [ n − , n ] . Théorème 3.2. Si ( M n , g ) est une variété riemannienne compacte de di-mension n , ϕ une fonction sur M , α > un réel et p ∈ [1 , n ] un entier. Si p ∈ [ n − α − , n − α ] . Alors il existe une constante c > ne dépendant quede la classe conforme pondérée [ g, ϕ ] α telle que ˜ µ p, ( M, g, ϕ ) Vol(
M, g ) n ≥ c. Ce théorème repose sur l’existence d’inégalités de Sobolev pour les formesdifférentielles. Ces inégalités sont apparues sous la plume de V. Gol’dshtein etM. Troyanov [GT06], et certaines des constantes qu’elles font intervenir sontdes invariants conformes. Nous allons ici en donner une version « à poids »qui permettra l’application au laplacien de Witten. On pourrait déduire cesinégalités des résultats de [GT06], mais par soucis d’exhaustivité ou va lesmontrer d’une manière plus directe en utilisant une méthode qui était déjàesquissée dans [Ja07a]. Avant de démontrer le théorème 3.2, nous allons doncdonner deux lemmes, l’un sur l’existence d’inégalités de Sobolev et l’autresur l’invariance conforme pondérée de certaines des constantes de Sobolevassociées. Par commodité, pour un réel r > , on notera k ω k r,ϕ la norme L p de ω pour la mesure e − rϕ d v g . 10 emme 3.3. Soit ( M n , g ) est une variété riemannienne compacte de di-mension n , ϕ une fonction sur M et p ∈ [1 , n ] un entier. Si r, s > sontdeux réels tels que s − r ≤ n il existe une constante K > dépendant de g , p , ϕ r et s telle que inf d θ =0 k ω − θ k r,ϕ ≤ K k d ω k s,ϕ . Démonstration :
L’opérateur ˜d + ˜ d est elliptique, donc il existe desconstantes A > et B > dépendant de g et ϕ telles que si ω ∈ Ω p ( M ) est orthogonale à son noyau, alors k∇ ω k s ≤ A k ˜d ω k s + B k ˜ d ω k s . De plus,toujours en supposant que ω est orthogonale au noyau de ˜d + ˜ d (donc auxformes parallèles), on a l’inégalité de Sobolev k ω k r ≤ A ′ k∇ ω k s pour uneconstante A ′ > ne dépendant que de g . Par théorie de Hodge, il existeune forme θ ∈ Ω p ( M ) telle que ˜d θ = 0 et ˜ d ( ω − θ ) = 0 . En appliquant lesinégalités précédentes à ω − θ on obtient k ω − θ k r ≤ A ′ A k ˜d ω k s . (3.4)Si on pose ω ′ = T ϕ ω et θ ′ = T ϕ θ , la condition ˜d θ = 0 devient d θ ′ = 0 et lesnormes précédentes s’écrivent k ω − θ k r = (cid:18)Z M e − rϕ | ω ′ − θ ′ | r d v g (cid:19) r = k ω ′ − θ ′ k r,ϕ (3.5)et k ˜d ω k r = (cid:18)Z M e − sϕ | d ω ′ | s d v g (cid:19) s = k d ω ′ k s,ϕ . (3.6)On a donc montré l’existence d’une constante K = A ′ A > telle quepour toute forme ω ′ , il existe une forme fermée θ ′ telle que k ω ′ − θ ′ k r,ϕ ≤ K k d ω ′ k s,ϕ . L’inégalité du lemme s’en déduit immédiatement. Lemme 3.7. Si ( M n , g ) est une variété riemannienne compacte de dimen-sion n , ϕ une fonction sur M et p ∈ [1 , n ] un entier, et α un réel. alors laconstante sup ω ∈ Ω p ( M ) inf d θ =0 k ω − θ k np − α ,ϕ k d ω k np +1 − α ,ϕ est strictement positive et est un invariant de la classe conforme pondérée [ g, ϕ ] α qu’on notera K p ( M, [ g, ϕ ] α ) . émonstration : Si on pose r = np − α et s = np +1 − α , on a s − r = n et onpeut donc appliquer l’inégalité de Sobolev du lemme 3.3, ce qui garantit quela constante définie par le lemme est strictement positive.Si on note ( g u , ϕ u ) = ( e u g, ϕ − αu ) un élément de la classe [ g, ϕ ] α , et si ω ∈ Ω p ( M ) , alors la norme k ω k r,ϕ u calculé pour la métrique g u vaut : Z M | ω | rg u e − rϕ u d v g u = Z M e − p np − α u | ω | rg e − rϕ − np − α αu e nu d v g = Z M | ω | rg e − rϕ d v g . (3.8)Cette norme est donc constante sur la classe conforme pondérée. Par consé-quent, il en va de même pour le deux normes k ω − θ k np − α ,ϕ et k d ω k np +1 − α ,ϕ qui définissent la constante de Sobolev et de cette constante elle-même. Démonstration du théorème 3.2 :
Par commodité, on supposeradans la démonstration que la variété M n est de volume 1.Selon la proposition 2.22 on doit minorer le quotient k d ω k ,ϕ / (inf d θ =0 k ω − θ k ,ϕ ) . Pour ce faire, on remarque la conditionsur α peut se réécrire np − α ≥ et np +1 − α ≤ . Donc, selon l’inégalitéde Hölder, il existe des constantes C , C > dépendant de g et ϕ mais pas des formes ω et θ telles que k ω − θ k ,ϕ ≤ C k ω − θ k np − α ,ϕ et k d ω k np +1 − α ,ϕ ≤ C k d ω k ,ϕ . On en déduit k ω − θ k ,ϕ ≤ C k ω − θ k np − α ,ϕ ≤ C K p ( M, [ g, ϕ ] α ) k d ω k np +1 − α ,ϕ ≤ C C K p ( M, [ g, ϕ ] α ) k d ω k ,ϕ (3.9)et donc k d ω k ,ϕ inf d θ =0 k ω − θ k ,ϕ ≥ C C K p ( M, [ g, ϕ ] α ) . (3.10)La constante c du théorème est donc le membre de droite de l’inégalitéprécédente.
4. Convergence du spectre vers celui d’un domaine
Nous allons maintenant montrer qu’on peut faire tendre le spectre dulaplacien de Witten sur une variété compacte vers celui d’un domaine. Cerésultat de convergence spectrale généralise à la fois les théorèmes obtenuspour les laplaciens agissant sur les fonctions ([CdV86]) et sur le formes dif-férentielles ([Ja11]), et un résultat analogue obtenu par Y. Colin de Verdièredans [CdV87] pour le laplacien de Witten resteint aux fonctions.12our appliquer ce résultat, nous aurons besoin d’une certaine uniformitéde la convergence, nous reprendrons pour cela les notations de [CdV86] :Soit E et E sont deux sous-espaces vectoriels de même dimension N d’un espace de Hilbert, munis respectivement des formes quadratiques q et q . Si E et E sont suffisamment proches, il existe une isométrie naturelle ψ entre les deux (voir la section I de [CdV86] pour les détails de la construc-tion), on définit alors l’écart entre q et q par k q ◦ ψ − q k . Pour deux formesquadratiques Q et Q sur l’espace de Hilbert, on appellera N -écart spectralentre Q et Q l’écart entre les deux formes quadratiques restreintes à lasomme des espaces propres associés aux N premières valeurs propres. Si cetécart est petit, alors les N premières valeurs propres de Q et leurs espacespropres sont proches de ceux de Q .On veut montrer que la convergence spectrale est uniforme pour une cer-taine famille de spectres limites. Comme dans [CdV86] on dira donc qu’uneforme quadratique vérifie l’hypothèse ( ∗ ) si ses valeurs propres vérifient λ ≤ . . . ≤ λ N < λ N + η ≤ λ N +1 ≤ M pour un entier N et des réels η, M > fixés une fois pour toute.Comme dans le cas du laplacien de Hodge-de Rham, le procédé de conver-gence fait apparaître un certain nombre de petites valeurs propres. Pour lescompter précisément, on introduit un espace de cohomologie qui traduit l’in-teraction entre la cohomologie du domaine U et celle de la variété M , et quiest défini comme le quotient des formes fermées de U par la restriction desformes fermées de M : H p ( U/M ) = { ω ∈ Ω p ( U ) , d ω = 0 } / { ω | U , ω ∈ Ω p ( M ) et d ω = 0 } (4.1)Comme on l’a remarqué dans [Ja11], cet espace est isomorphe au quotientde H p ( U ) par l’image de l’application naturelle H p ( M ) → H p ( U ) définiepar restriction des formes fermées et exactes. En particulier, H p ( U/M ) estde dimension finie.Le théorème que nous allons démontrer donne une convergence pour tousles degrés sauf un ou deux, en fixant la classe conforme pondérée : Théorème 4.2.
Soit ( M n , g ) une variété riemanienne compacte sans bordde dimension n et U un domaine de M à bord C dont le bord ne rencontrepas celui de M , ϕ une fonction sur M et α > un réel. Il existe une suitede métriques g i et une suite de fonctions ϕ i sur M et une constante c > telles que pour tout i , ( g i , ϕ i ) ∈ [ g, ϕ ] α et1. ˜ µ p,k ( M, g i , ϕ i ) → pour tout k ≤ d p et tout p < n + α − quand i → ∞ ; . ˜ µ p,k + d p ( M, g i , ϕ i ) → ˜ µ p,k ( U, g, ϕ ) pour tout k ≥ et tout p < n + α − quand i → ∞ ;3. ˜ µ p,k ( M, g i , ϕ i ) Vol( M, g ) n > c pour p ∈ [ n + α − , n + α ] ;4. ˜ µ p,k ( M, g i , ϕ i ) → pour tout k ≤ d n − p − et tout p ∈ ] n + α, n − quand i → ∞ ;5. ˜ µ p,k + d p ( M, g i , ϕ i ) → ˜ µ n − p − ,k ( U, g, − ϕ ) pour tout k ≥ et tout p ∈ ] n + α, n − quand i → ∞ ;où d p est la dimension de H p ( U/M ) .En outre, si les ˜ µ p,k ( U, g, ϕ ) vérifient l’hypothèse ( ∗ ) pour un p donné,alors pour tout ε > il existe i tel que le N -écart spectral entre les laplaciensde Witten sur ˜∆ ϕ sur U et ˜∆ ϕ i sur M soit inférieur à ε . Grâce à la proposition 2.22, la démonstration est très similaire à celle duthéorème 11 de [Ja11]. Cependant, les modifications et précisions à apporter,bien que mineures, sont assez nombreuses. Nous allons donc donner ici ladémonstration complète.Commençons par rappeler deux lemmes de [CdV86] sur lesquels nousnous appuieront. Les constantes N , M et η qui interviennent dans les énoncésfont référence à l’hypothèse ( ∗ ) définie plus haut. Lemme 4.3 ([CdV86], th. I.7).
Soit Q une forme quadratique positivesur un espace de Hilbert H dont le domaine admet la décomposition Q -orthogonale dom( Q ) = H ⊕ H ∞ . Pour tout ε > , il existe une constante C ( η, M, N, ε ) > (grande) telle que si Q = Q |H vérifie l’hypothèse ( ∗ ) etque ∀ x ∈ H ∞ , Q ( x ) ≥ C | x | , alors Q et Q ont un N -écart spectral inférieurà ε . Lemme 4.4 ([CdV86], th. I.8).
Soit ( H , | · | ) un espace de Hilbert munid’une forme quadratique positive Q . On se donne en outre une suite de mé-triques | · | n sur H et une suite de formes quadratiques Q n de même domaineque Q telles que :(i) il existe C , C > tels que ∀ x ∈ H , C | x | ≤ | x | n ≤ C | x | ;(ii) pour tout x ∈ dom( Q ) , | x | n → | x | ;(iii) pour tout x ∈ dom( Q ) , Q ( x ) ≤ Q n ( x ) ;(iv) pour tout x ∈ dom( Q ) , Q n ( x ) → Q ( x ) .Si Q vérifie l’hypothèse ( ∗ ), alors à partir d’un certain rang (dépendant de η , M et N ), Q et Q n ont un N -écart spectral inférieur à ε . Remarque 4.5.
Comme on l’a remarqué dans [Ja11], dans le lemme 4.4,on peut affaiblir l’hypothèse (i) en C | x | ≤ | x | n ≤ C | x | + ε n Q ( x ) avec ε n → , la démonstration restant exactement la même.14’après la proposition 2.22, on veut montrer la convergence de laforme quadratique Q ( ω ) = R M | ω | d v ϕ par rapport à la norme | ω | =inf d θ = ω R M | θ | d v ϕ , pour tout degré p .On passe par l’intermédiaire d’une famille de métriques et de fonctionssingulières ( g ε , ϕ ε ) , ε ∈ ]0 , définie par : (cid:26) ( g ε , ϕ ε ) = ( g, ϕ ) sur U, ( g ε , ϕ ε ) = ( ε g, ϕ − α ln ε ) sur M \ U. (4.6)Le couple ( g ε , ϕ ε ) est bien contenu dans la classe conforme (singulière) pon-dérée [ g, ϕ ] α . La forme quadratique Q ε et la norme | · | ε associées sont alorsdonnées, pour une forme ω ∈ Ω p +1 ( M ) , par Q ε ( ω ) = Z U | ω | e − ϕ d v g + ε n +2 α − p − Z M \ U | ω | e − ϕ d v g (4.7)et | ω | ε = inf d θ = ω Z U | θ | e − ϕ d v g + ε n +2 α − p Z M \ U | θ | e − ϕ d v g ! . (4.8)On voit que, sous la condition p < n + α − , le dernier terme de chacunedes deux expressions précédentes tend vers 0. Lemme 4.9.
Pour tout ε > , il existe une suite ( g j , ϕ j ) ∈ [ g, ϕ ] α forméede métriques et de fonctions lisses tendant vers ( g ε , ϕ ε ) et telle que le volumede ( M, g j ) tende vers celui de ( M, g ε ) et pour tout p < n + α − et que pourtout k ≥ , la valeur propre ˜ µ p,k ( M, g j , ϕ j ) tende vers ˜ µ p,k ( M, g ε , ϕ ε ) , avecconvergence des espaces propres. Démonstration :
Le principe de la démonstration consiste à chercher àappliquer le lemme 4.4.Pour un ε > fixé, on peut approcher la fonction χ U + εχ M \ U par unesuite de fonctions décroissantes ( f j ) vérifiant f j ≤ . On définit alors lasuite ( g j , ϕ j ) par g j = f j · g et ϕ j = ϕ − α ln f j et on note Q j et | · | j laforme quadratique et la norme hilbertienne associées. On a bien ( g j , ϕ j ) ∈ [ g, ϕ ] α , la convergence du volume est immédiate, et on peut écrire Q j ( ω ) = R M f n +2 α − p − j | ω | e − ϕ d v g et | ω | j = inf d θ = ω ( R M f n +2 α − pj | θ | e − ϕ d v g ) .Comme p < n + α − , on peut vérifier que la famille de forme quadra-tique Q j est décroissante et converge simplement vers Q ε , c’est-à-dire queles hypothèses (iii) et (iv) du lemme 4.4 sont satisfaites.15omme la suite ( f j ) vérifie χ U + εχ M \ U ≤ ( f j ) ≤ ε ( χ U + εχ M \ U ) ,on a | ω | ε ≤ | ω | j ≤ ε · | ω | ε pour toute forme exacte ω , ce qui constituel’hypothèse (i) du lemme 4.4.Il reste à vérifier l’hypothèse (ii), c’est-a-dire que |·| j converge simplementvers | · | ε . Soit η > . Par définition de | · | ε , il existe une forme θ telle que d θ = ω et k θ k g ε ,ϕ ≤ | ω | ε + η . Comme ( g j , ϕ j ) converge vers ( g ε , ϕ ε ) , pour j assez grand on a aussi k θ k g j ,ϕ j ≤ k θ k g ε ,ϕ ε + η et donc aussi | ω | ε ≤ | ω | j ≤k θ k g j ,ϕ ε ≤ | ω | ε + 2 η . Par conséquent on a bien | ω | j → | ω | ε pour tout ω .Selon le lemme 4.4, à ε fixé, on peut donc trouver un j ε tel que l’écartspectral entre Q j ε et Q ε soit arbitrairement petit. Démonstration du théorème 4.2 :
Remarquons d’abord que lepoint 3 du théorème, c’est-à-dire le cas n + α − ≤ p ≤ n + α , découlede la minoration conforme donnée par le théorème 3.2.Par ailleurs, le cas p > n + α se déduit du cas p < n + α − . En effet, larelation de commutation (2.6) avec la dualité de Hodge donne ˜ µ p,k ( g i , ϕ i ) =˜ µ n − p − ,k ( g i , − ϕ i ) .Il reste donc a traiter le cas p < n + α − . Grâce au lemme 4.9, onest ramené à montrer la convergence du spectre de Q ε . La démonstration sedéroule en deux étapes. La première consiste à décomposer l’espace H desformes exactes en une somme H ⊕ H ∞ à laquelle on applique le lemme 4.3.Dans la seconde, on montre la convergence du spectre de Q ε restreint à H vers le spectre du domaine à l’aide du lemme 4.4. Sauf mention contraire,les normes L seront considérées relativement à la mesure d v ϕ = e − ϕ d v g . Étape 1.
On commence par définir le sous-espace H ∞ de Im d p ⊂ L (Λ p +1 M ) comme l’adhérence des différentielles des formes lisses qui s’an-nulent sur U (les adhérences sont au sens de la norme L ). Une telle formeva nécessairement vérifier la condition de bord de Dirichlet sur M \ U : H ∞ = { d θ, θ ∈ Ω p ( M ) , θ | U = 0 , θ | M \ U vérifie ( D ) } . (4.10)L’espace H est défini comme la somme de deux espaces H et H construits séparément.Soit ω une ( p + 1) -forme exacte sur U et θ ∈ Ω p ( U ) la primitive de ω quiminimise la norme L ( U, d v ϕ ) . Cette forme θ est obtenue par application dulemme 2.17 et de la remarque 2.18. Si ˜ θ est un prolongement lisse de ϕ sur M , alors d˜ θ est définie à un élément de H ∞ près. On peut définir alors ˜ ω comme le d˜ θ de norme minimale pour g ε . Cet infimum est bien atteint dans L ( M, d v ϕ ) et on peut le construire par projection sur l’orthogonal L de H ∞ . On pose alors H = { ˜ ω, ω ∈ Ω p +1 ( U ) exacte } . (4.11)16’espace H est défini à partir de l’espace de cohomologie H p ( U/M ) .Comme H p ( U/M ) est isomorphe au quotient de H p ( U ) par le sous-espaceinduit par H p ( M ) , il est aussi isomorphe à un supplémentaire, dans l’espacedes formes harmoniques (pour le laplacien de Witten) de U avec conditionde bord ( A ϕ ), des représentants harmoniques des classes de cohomologieinduites par H p ( M ) . Grâce au corollaire 2.13, chaque classe [ c ] ∈ H p ( U/M ) possède un représentant T ϕ h où h est ˜∆ ϕ -harmonique et tel que T ϕ h soit L ( U, d v ϕ ) -orthogonale aux restrictions des formes fermées de M .On peut alors construire H sur le modèle de H . Chaque forme T ϕ h représentant une classe de H p ( U/M ) peut être étendue en une forme ˜ h sur M , la forme d˜ h étant alors définie à un élément de H ∞ près. On notant ˜ ω h la forme d˜ h qui est L ( M, d v ϕ ) -orthogonale à H ∞ , et on pose H = { ˜ ω h , [ h ] ∈ H p ( U/M ) } . (4.12)Si on pose H = H ⊕ H , alors H et H ∞ sont par construction ortho-gonaux pour la norme L ( U, d v ϕ ) , donc Q ε -orthogonaux. Avant d’appliquerle lemme 4.3 on doit encore vérifier que H ⊕ H ∞ contient bien toutes les ( p + 1) -formes exactes. Soit ω ∈ Ω p +1 une forme exacte. Par définition de H , on peut écrire ω = ω + ω ′ , avec ω ∈ H telle que ω | U = ω | U et ω ′| U = 0 . Comme ω et ω sont exacte, ω ′ l’est aussi. Si on pose ω ′ = d θ ,la forme θ est définie à une forme fermée près et vérifie d θ = 0 sur U , laclasse [ θ ] ∈ H p ( U/M ) est donc bien définie. Par définition de H on a alors ω ′ = ˜ ω h + ω , où ˜ ω h est l’élément de H associé au représentant harmonique h de [ θ ] ∈ H p ( U/M ) , et ω ∈ H ∞ . On a donc bien ω ∈ H ⊕ H ⊕ H ∞ , etdonc dom( Q ε ) = H ⊕ H ∞ .Si on note λ ( D ) la première valeur propre du laplacien de Hodge sur M \ U pour la métrique g et la condition de bord (D), on sait que pour touteforme ω ∈ H ∞ il existe, par définition, une forme θ ∈ Ω p ( M ) à support dans M \ U telle que d θ = ω et R M \ U | ω | / R M \ U | θ | ≥ λ ( D ) pour la métrique g . Ilexiste donc une constante C ϕ ne dépendant que de ϕ telle que k ω k / k θ k ≥ C ϕ λ ( D ) . Pour la métrique g ε , on a alors k ω k / k θ k ≥ ε − C ϕ λ ( D ) , et a fortiori Q ε ( ω ) / | ω | ε ≥ ε − C ϕ λ ( D ) . Si ε est suffisamment petit, on peut appliquer lelemme 4.3. Étape 2.
On va maintenant chercher à appliquer le lemme 4.4 et laremarque 4.5 à l’espace H et aux familles de métriques et de formesquadratiques | · | ε et Q ε . On définit la forme quadratique Q sur H par Q ( ω ) = R U | ω | d v ϕ . Pour définir une norme | · | sur H , on procède de lamanière suivante : pour ω ∈ H , on note θ ω l’image par T ϕ de la primitivecoexacte de ω | U donnée par la proposition 2.17, et pour ω ∈ H , on note θ ω T ϕ du représentant harmonique de la classe de cohomologie défi-nie par ω . On étend linéairement l’application ω → θ ω et on pose | ω | = k θ ω k ,la norme k · k étant ici la norme L ( U, d v ϕ ) sur les p -formes de U . Les espaces H et H sont orthogonaux pour k · k , le noyau de la forme quadratique Q (relativement à k · k ) est H , et le spectre de Q sur H est le spectre dudomaine U pour les ( p + 1) -formes exactes.On doit maintenant vérifier que les quatre hypothèses du lemme 4.4 sontsatisfaites.Les hypothèses (iii) et (iv) sont les plus simples à vérifier : par définitionde Q ε , pour tout ω ∈ H , Q ε ( ω ) tend vers Q ( ω ) = R U | ω | d v ϕ et Q ε ≥ Q pour tout ε .Passons à l’hypothèse (ii). Par définition de H et H , il existe pour tout ω ∈ H un prolongement ˜ θ ω de θ ω tel que d˜ θ ω = ω . On a alors | ω | ε ≤ k ˜ θ ω k ε → Z U | ˜ θ ω | d v ϕ = | ω | . (4.13)En outre, si d θ = ω , alors θ et ˜ θ ω ne diffèrent que par une forme ferméede M , et donc leur restriction à U ne diffèrent aussi que par une formefermée. Par conséquent, la norme de θ ω minore la norme L ( U, d v ϕ ) de θ (cf.corollaire 2.13 et théorème 2.17), et | ω | = Z U | ˜ θ ω | d v g ≤ Z U | θ | d v g ≤ k θ k ε (4.14)On en déduit que | ω | ≤ | ω | ε , et donc que | ω | ε → | ω | pour tout ω .L’hypothèse (i), dans sa version faible (cf. remarque 4.5), est la plustechnique à vérifier. On doit contrôler | · | ε en fonction de | · | et Q . Pour cefaire, on fixe un élément ω ∈ H et on va construire une primitive particulièredont la norme L majorera | ω | ε .On note ¯ θ la p -forme définie par ¯ θ = θ ω sur U , et prolongée harmoni-quement (pour le laplacien de Hodge et la métrique g ) sur M .On a alors k ¯ θ k H ( M \ U ) ≤ C k θ | ∂U k H ( ∂U ) , la constante C dépendant de ϕ mais pas de θ (la démonstration dans le cas ϕ = 0 est similaire au cas des fonctions,cf. [Ta96], ch. 5, prop. 1.7. Le cas général découle du fait que ϕ est bornéedonc que les normes pour d v g et d v ϕ sont équivalentes).Par définition de H , la ( p + 1) -forme ¯ ω ∞ = d¯ θ − ω est un élément de H ∞ et elle est orthogonale à ω . Elle vérifie donc k ¯ ω ∞ k L ( M \ U ) ≤ k d¯ θ k L ( M \ U ) ≤k ¯ θ k H ( M \ U ) et elle admet une primitive ¯ θ ∞ nulle sur U dont la norme vérifie18 ¯ θ ∞ k ≤ k ¯ ω ∞ k / ( C ϕ λ ( D ) ) . Si on pose θ = ¯ θ − ¯ θ ∞ , on a alors d θ = ω et k θ k L ( M \ U ) ≤ k ¯ θ k L ( M \ U ) + k ¯ θ ∞ k L ( M \ U ) ≤ k ¯ θ k L ( M \ U ) + k ¯ θ k H ( M \ U ) / ( C ϕ λ ( D ) ) / , (4.15)Toutes les normes étant ici relative à la métrique g et la mesure d v ϕ .Comme k ¯ θ k H ( M \ U ) ≤ C k θ | ∂U k H ( ∂U ) et que la norme k θ | ∂U k H ( ∂U ) estelle-même contrôlée par la norme H de θ sur U , on a finalement Z M \ U | θ | d v g ≤ C ′ k θ k H ( U ) , (4.16)où C ′ est une constante dépendant de g et ϕ mais pas de ε .En utilisant le fait que θ est cofermée sur U (car égale à θ ω ) et tangentiellele long de ∂U , une inégalité elliptique à trace associée à l’opérateur d + d (voir [Ta96], section 5.9) donne, en utilisant encore une fois que les normesassociées à d v g et d v ϕ sont équivalentes, k θ k H ( U ) ≤ C ′′ ( k θ k L ( U ) + k d θ k L ( U ) ) = C ′′ ( | ω | + Q ( ω ) ) , (4.17)la métrique considérée étant ici encore g .Pour une métrique g ε , on a | ω | ε ≤ k θ k L ( U ) + ε n − p k θ k L ( M \ U ) . Comme k θ k L ( U ) = | ω | et que k θ k L ( M \ U ) peut être majoré à l’aide de (4.16) et (4.17),on obtient la majoration | ω | ε ≤ | ω | + ε n − p C ′ C ′′ ( | ω | + Q ( ω ) ) (4.18)qui permet d’appliquer la remarque 4.5 et le lemme 4.4.
5. Spectre d’une variété privée d’une boule
Cette section est consacrée au théorème qui suit sur la convergence duspectre sur une variété privée d’une boule :
Théorème 5.1.
Soit ( M, g ) une variété riemannienne compacte, ϕ unefonction lisse sur M et x ∈ M . Pour tout ε > , on note M ε = M \ B ( x, ε ) la variété M privée d’une boule de rayon ε . Alors il existe une famille defonction ϕ ε tendant vers ϕ pour la topologie C telle que ˜ µ p,k ( M ε , g, ϕ ε ) → ˜ µ p,k ( M, g, ϕ ) pour tout p ≤ n − et i > , avec convergence des espacespropres. ϕ ε = ϕ = 0 , cethéorème a été montré par C. Anné et B. Colbois dans [AC93] (théorème 1.1).La comparaisons des deux énoncés imposent deux précisions. D’une part,dans [AC93], la convergence du spectre des p -formes est montrée sans distin-guer formes exactes et coexactes, mais par théorie de Hodge cela impliquela convergence en restriction aux formes coexactes. D’autre part, le résultatde [AC93] fait apparaître une valeur propre tendant vers 0 pour les n − formes, mais la forme propre est nécessairement exacte et la petite valeurpropre correspond à celle qui apparaît pour les fonctions avec condition deDirichlet.La démonstration de [AC93] fonctionne correctement pour le laplaciende Witten si, sur une boule de rayon R fixé et centrée en x , la fonction ϕ estconstante. On a alors ˜∆ ϕ = ∆ , et en particulier le lemme suivant ([AC93],corollaire de la proposition 3.3), qui concentre l’essentiel des difficultés, s’ap-plique parfaitement sous cette hypothèse : Lemme 5.2 ([AC93]).
Il existe une constante
C > telle que pour touteforme ω ∈ H (Λ p ( B ( x, R ) − B ( x, ε ))) tangentielle le long de B ( x, ε ) et nullele long de B ( x, R ) , on a k P ω k q ≤ C k ω k q , où P ω désigne le prolongement harmonique de ω sur B ( x, R ) et k·k la normed’opérateur associé au laplacien de Hodge-de Rham. On va donc montrer qu’on peut se ramener à cette situation :
Lemme 5.3.
Soit ( M, g ) une variété riemannienne compacte, ϕ une fonc-tion lisse sur M et x ∈ M . Il existe une suite de fonction ϕ i telle que1. ϕ i est constante sur B ( x, i ) ;2. ϕ i → ϕ pour la topologie C ;3. ˜ µ p,k ( M, g, ϕ i ) → ˜ µ p,k ( M, g, ϕ i ) avec convergence des espaces propres. Pour approcher le spectre de ( M, g, ϕ ) , on commence donc par l’approcherpar celui de ( M, g, ϕ i ) à l’aide de ce lemme, puis on applique les résultats de[AC93]. Démonstration du lemme 5.3 :
On peut déformer la fonction ϕ enune suite ϕ i telle que ϕ i soit constante sur B ( x, i ) , et de manière à ce que ϕ i converge vers ϕ pour la topologie C . En notant Q et | · | (resp. Q i et | · | i )la forme quadratique et la norme associés à ( g, ϕ ) (resp. ( g, ϕ i ) ) comme dans20a proposition 2.22, on a alors une suite décroissante C i telle que C i → et C i | ω | ≤ | ω | i ≤ C i | ω | C i Q ( ω ) ≤ Q i ( ω ) ≤ C i Q ( ω ) (5.4)Pour tout forme exacte ω . En outre, on peut ajuster ϕ i de manière à avoirde plus Q ( ω ) ≤ Q i ( ω ) . On peut alors appliquer le lemme 4.4.
6. Application à la multiplicité
Pour prescrire la multiplicité des valeurs propres du laplacien de Wittennous utilisons, selon la méthode introduite par Colin de Verdière, trois ingré-dients : les théorèmes de convergence spectrale démontrés dans les sectionsprécédentes, des modèles de valeurs propres multiples déjà connus et unepropriété de stabilité vérifiée par ces modèles. Nous allons commencer parrappeler cette dernière.On suppose qu’on a une famille d’opérateurs ( P a ) a ∈ B k , où B k est la bouleunité de R k (en pratique, P a est le laplacien de Witten associé à un couple ( g a , ϕ a ) ), tels que P possède une valeur propre λ d’espace propre E et demultiplicité N . Pour les petites valeurs de a , P a possède des valeurs propresproches de λ dont la somme des espaces propres est de dimension N . Commedans la définition de l’écart spectral, on identifie cette somme à E et on note q a la forme quadratique associée à P a transportée sur E . Définition 6.1 ([CdV88]).
On dit que λ vérifie l’hypothèse de transver-salité d’Arnol’d si l’application Ψ : a q a de B k dans Q ( E ) est essentielleen , c’est-à-dire qu’il existe ε > tel que si Φ : B k → Q ( E ) vérifie k Ψ − Φ k ∞ ≤ ε , alors il existe a ∈ B k tel que Φ( a ) = q . Une propriété cruciale est que si Φ provient d’une famille ( P ′ a ) d’opérateurs,alors λ est valeur propre de P ′ a de multiplicité N et vérifie la même propriétéde transversalité, ce qui justifie qu’on parle de stabilité de la multiplicité.Comme remarqué dans [CdV88], on peut généraliser cette définition à unesuite finie de valeurs propres.Cette propriété est aussi préservée par produit, grâce à la forme de Kün-neth (théorème 2.7) : Lemme 6.2.
On suppose que ˜ µ p ,k ( M , g , ϕ ) est une valeur propresimple, ˜ µ p ,k ( M , g , ϕ ) une valeur propre de multiplicité stable N t qu’il n’y a pas d’autres valeurs propres de M et M dont lasomme soit ˜ µ p ,k ( M , g , ϕ ) + ˜ µ p ,k ( M , g , ϕ ) . Alors ˜ µ p ,k ( M , g , ϕ ) +˜ µ p ,k ( M , g , ϕ ) est valeur propre de multiplicité stable N sur ( M × M , g ⊕ g , ϕ + ϕ ) . La démonstration est la même que dans le cas du laplacien de Hodge ([Ja11],lemme 3.3). On utilisera en particulier ce lemme dans le cas où ( M , g ) estun intervalle [ − ε, ε ] avec ϕ = 0 . En effet, le noyau du laplacien de Hodgesur l’intervalle pour la condition de bord (A) est de dimension 1 en degré 0 ettrivial en degré 1 (les fonctions harmoniques étant constantes), et toutes lesautres valeurs propres tendent vers l’infini quand ε → . Sur M × [ − ε, ε ] lespremières formes propres sont les relevés des formes propres de ( M , g , ϕ ) .Comme dans [Ja11], la démarche pour démontrer les théorèmes 1.2 et1.3 consiste à d’abord construire, pour tout p et n , un modèle de valeurpropre multiple pour les p -formes sur une variété de dimension n , puis àobtenir plusieurs valeurs propres multiples sur une même variété en plongeantplusieurs modèles et en appliquant le théorème de convergence 4.2.Commençons par rappeler un modèle de multiplicité qui servira de pointde départ pour la suite. On note µ p,i les valeurs propres du laplacien deHodge, c’est-à-dire que µ p,i ( M, g ) = ˜ µ p,i ( M, g, . Lemme 6.3 ([Ja11], lemme 3.4).
Pour tous entiers N ≥ , n ≥ , toutesuite finie < a ≤ a ≤ . . . ≤ a N et toute constante C > a N , il existe unemétrique g sur S n telle que µ ,i ( S n , g ) = a i pour i ≤ N , ces valeurs propresvérifiant l’hypothèse de stabilité, µ ,N +1 ( S n , g ) > C et µ p, ( S n , g ) > C pour ≤ p ≤ [ n − ] , le volume Vol( S n , g ) étant arbitrairement petit. Comme dans [Ja11], on en déduit des modèles de valeurs propres mul-tiples pour les autres degrés :
Lemme 6.4.
Pour tous entiers N ≥ , p ≥ et n ≥ p + 1 , toute suite finie < a ≤ a ≤ . . . ≤ a N et toute constante C > a N , il existe une métrique g et une fonction ϕ sur la variété S n telles que ˜ µ p,i ( S n , g, ϕ ) = a i pour i ≤ N ,ces valeurs propres vérifiant l’hypothèse de stabilité, ˜ µ p,N +1 ( S n , g, ϕ ) > C et ˜ µ q, ( S n , g, ϕ ) > C pour ≤ q ≤ n − , q = p , le volume Vol( S n , g ) étantarbitrairement petit. Démonstration :
On procède par récurrence sur n .Pour n = p + 1 , il suffit de prendre ϕ = 0 et de choisir pour g la métrique donnée par le lemme 6.3. En effet, pour ϕ = 0 , on a ˜ µ q,i ( S n , g, ϕ ) = µ q,i ( S n , g ) = µ n − q − ,i ( S n , g ) pour tout q . En particulier,22n a ˜ µ p,i ( S n , g, ϕ ) = µ n − ,i ( S n , g ) = µ ,i ( S n , g ) , et pour les autres degrés lespectre est minoré par la même constante C .Considérons maintenant un entier n > p + 1 et supposons le lemme vraipour la dimension n − . On a donc sur S n − une métrique ¯ g et une fonction ¯ ϕ satisfaisant la conclusion du lemme. On considère un domaine U ⊂ S n quiest le produit de ( S n − , ¯ g, ¯ ϕ ) avec un petit intervalle [ − ε, ε ] , on prolonge lamétrique et la fonction de manière quelconque sur S n . Pour ε suffisammentpetit, le début du spectre sur U est le même que celui de ( S n − , ¯ g, ¯ ϕ ) , avecla même propriété de stabilité d’après le lemme 6.2. On applique alors lethéorème 4.2 avec α = n − , de manière à avoir convergence du spectre pourles degrés ≤ q < n − (comme la cohomologie du domaine U est trivialesauf en degré et n − et que H ( S n /U ) est aussi trivial, il n’y a pas devaleurs propres qui tendent vers 0 pour ces degrés). L’argument de stabilitéfournit alors une métrique g et une fonction ϕ telles que ˜ µ p,i ( S n , g, ϕ ) = a i pour i ≤ N (avec stabilité), ˜ µ p,N +1 ( S n , g, ϕ ) > C et ˜ µ q, ( S n , g, ϕ ) > C pour ≤ q < n − , q = p . Comme le volume de U peut être choisit arbitrairementpetit, le résultat en degré q = n − découle du point 3 du théorème 4.2.Comme dans [Ja11], le cas des 1-formes est traité séparément : Lemme 6.5.
Pour tous entiers N ≥ , n ≥ , toute suite finie < a ≤ a ≤ . . . ≤ a N et toute constante C > a N , il existe une métrique g etune fonction ϕ sur la variété S n telles que ˜ µ ,i ( S n , g, ϕ ) = a i pour i ≤ N ,ces valeurs propres vérifiant l’hypothèse de stabilité, ˜ µ ,N +1 ( S n , g, ϕ ) > C et ˜ µ p, ( S n , g, ϕ ) > C pour p > , le volume Vol( S n , g ) étant arbitrairementpetit. Démonstration :
On applique le lemme précédent pour p = n − . Il suffitensuite de changer le signe de ϕ , la relation (2.6) permet de conclure.On déduit des lemmes précédents un modèle de multiplicité pour chaquedegré p sur des boules de dimension n : Lemme 6.6.
Pour tous entiers N ≥ , n ≥ et p ∈ [1 , n − , toute suite fi-nie < a ≤ a ≤ . . . ≤ a N et toute constante C > a N , il existe une métrique g et une fonction ϕ sur la boule B n telles que ˜ µ p,i ( B n , g, ϕ ) = a i pour i ≤ N ,ces valeurs propres vérifiant l’hypothèse de stabilité, ˜ µ p,N +1 ( B n , g, ϕ ) > C et ˜ µ q, ( B n , g, ϕ ) > C pour q = p , le volume Vol( S n , g ) étant arbitrairementpetit. Démonstration :
Il suffit d’appliquer le théorème 5.1 et l’argument destabilité aux modèles construits précédemment : on utilise le lemme 6.4 pourles degrés ≤ p ≤ n − et le lemme 6.5 pour le degré 1.23n va maintenant montrer les théorèmes 1.2 et 1.3 Démonstration du théorème 1.2 :
On commence par se donner, pourchaque degré p , un domaine U p de M (muni d’une métrique et d’une fonctionlisse) dont le début du spectre est celui qu’on veut prescrire. On appliquepour cela le lemme 6.6 avec C > sup p,i a p,i . On prolonge la métrique et lafonction à M .On applique ensuite le théorème 4.2 au domaine U = S U p avec α > n .Comme U n’a de cohomologie qu’en degré 0, on a convergence du spectrepour les autres degrés. L’argument de stabilité assure alors l’existence d’unemétrique g et d’une fonction ϕ sur M telle que ˜ µ p,i ( M, g, ϕ ) = a p,i pour tout p ≥ et tout ≤ i ≤ N Selon un argument classique (utilisé dans [Gu04], [Ja08] et [Ja11]), onpeut prescrire simultanément le volume en le traitant comme une valeurpropre simple : on ajoute à la famille U p une boule de volume V − P p Vol( U p ) (en ayant choisit les volumes des U p suffisamment petits) et dont les valeurspropres pour les p -formes sont arbitrairement grandes (c’est possible selon[GP95]). Le fait que le volume de cette boule vérifie l’hypothèse de transver-salité signifie simplement qu’on peut lui donner n’importe quelle valeur auvoisinage de V − P p Vol( U p ) , par exemple par homothétie. Démonstration du théorème 1.3 :
Soit Σ une surface compacte.Y. Colin de Verdière a montré dans [CdV86] (corollaire 7.2) que pourtoute métrique g sur Σ , il existe une fonction ϕ telle que la multiplicité de ˜ µ , (Σ , g, ϕ ) soit de multiplicité stable C (Σ) − . En appliquant la formule(2.6), on obtient que ˜ µ , (Σ , g, − ϕ ) a la même multiplicité.On peut plonger la surface Σ dans M et considérer le voisinage U =Σ × [ − ε, ε ] muni de la métrique produit qu’on notera encore g et en relevantla fonction ϕ à U . Pour ε suffisamment petit, ˜ µ , ( U, g, − ϕ ) est encore demultiplicité stable C (Σ) − d’après le lemme 6.2.Après avoir étendu g et ϕ à M de manière quelconque, on peut appliquerle théorème de convergence 4.2 à U avec α > . Si H ( M ) → H (Σ) estsurjective, on a alors H ( M/U ) = { } et l’argument de stabilité donne lerésultat. Appendice
Le but de cet appendice est de justifier l’équivalence des trois formulationssuivantes du laplacien de Witten : 24 héorème A.7.
Pour toute fonction ϕ , on a ˜∆ ϕ = ∆ + | d ϕ | + L ∇ ϕ + L ∗∇ ϕ = ∆ + | d ϕ | + ∆ ϕ − ( L X g p )= ∆ + | d ϕ | + ∆ ϕ + 2(Hess ϕ ) On va en fait montrer un résultat plus général. Si X est un champ de vecteur,on pose ˜d X ω = d ω + X ♭ ∧ ω et ˜ d X ω = d ω + i X ω. (A.8)On retrouve les définitions de ˜d ϕ et ˜ d ϕ en remplaçant X par ∇ ϕ . Le théo-rème A.7 est un cas particulier du résultat qui suit. Si α est une -forme, ∇ α la partie symétrique de la dérivée covariante ∇ α qu’on identifie à unendomorphisme de Λ T M : Théorème A.9.
Pour tout champ de vecteur X , on a ˜ d X ˜d X + ˜d X ˜ d X = ∆ + | X | + L X + L ∗ X = ∆ + | X | + div X − ( L X g p )= ∆ + | X | + div X + 2( ∇ X ♭ ) Comme dans le théorème A.7, l’action de ∇ X ♭ s’étend naturellement aux p -formes (cf. équation (2.5)), dans la suite on notera ( ∇ X ♭ ) p cette extensions’il est nécessaire de préciser le degré. Elle s’exprime en fait de manièretrès simple si on utilise le formalisme de l’algèbre de courbure. Comme ceformalisme va intervenir dans la démonstration, nous allons le rappeler.On note C p = S Λ p T M l’espace des formes quadratiques sur les p -formes. Ses éléments peuvent aussi s’interpréter comme endomorphismes de Λ p T M ou p -tenseurs antisymétriques par rapport aux p premières variableset symétriques par échanges des p premières et des p dernières. L’espace destenseurs de courbure est défini par C ∗ = ⊕ p ≥ C p . Il contient entre autres lestenseurs de riemann et de Weyl ( p = 2 ) la courbure de Ricci ( p = 1 ) et lacourbure scalaire, ce qui justifie son nom. Il est muni d’une structure d’al-gèbre commutative dont le produit ? est défini par ω ⊗ ω ? θ ⊗ θ = ω ∧ θ ⊗ ω ∧ θ .Avec ces notations, on a g p = p ! g p et ( ∇ X ♭ ) p = ( ∇ X ♭ ) ? g p − (voir parexemple [La05], [La06] et les références qui y sont données). Remarque A.10.
Pour un champ de vecteur X quelconque, on n’a pas ˜d X = 0 , et par conséquent (˜d X + ˜ d X ) est différent de ˜ d X ˜d X + ˜d X ˜ d X engénéral. 25a première égalité du théorème A.9 se calcule de manière immédiate,comme celle du théorème A.7 : à partir de (A.8), on obtient ˜ d X ˜d X + ˜d X ˜ d X = ∆ + | X | + i X d + d i X + X ♭ ∧ d + d ( X ♭ ∧ ) . (A.11)Or, i X d + d i X = L X (formule de Cartan), et i X d + d i X est l’adjoint de d ( X ♭ ∧ ) + X ♭ ∧ d . Les autres égalités découlent du Lemme A.12.
Pour tout un champ de vecteur X et toute p -forme ω sur M , on a l’identité L X ω + L ∗ X ω = (div X ) ω − ( L X g p ) ω = (div X ) ω + 2( ∇ X ♭ ) ω . Démonstration :
Dans toute la démonstration on supposera que lavariété est compacte sans bord, pour simplifier les intégrations par parties.Le cas à bord s’en déduit par restriction à un domaine.Soit ω et ω ′ deux p -formes sur M . En dérivant selon X leur produitscalaire, il vient X · h ω, ω ′ i = ( L X g p )( ω, ω ′ ) + hL X ω, ω ′ i + h ω, L X ω ′ i . (A.13)On intègre les différents termes de cette équation. Le membre de gauchedonne Z M X · h ω, ω ′ i = Z M h X, ∇h ω, ω ′ ii = Z M (div X ) h ω, ω ′ i (A.14)et le dernier terme devient Z M h ω, L X ω ′ i = Z M hL ∗ X ω, ω ′ i . (A.15)On obtient Z M (div X ) h ω, ω ′ i = ( L X g p )( ω, ω ′ ) + Z M hL X ω, ω ′ i + hL ∗ X ω, ω ′ i . (A.16)Comme cette égalité est vraie pour tout ω ′ , on en déduit l’égalité ponctuelle L X ω + L ∗ X ω = (div X ) ω − ( L X g p ) ω. (A.17)On doit réexprimer L X g p pour obtenir la deuxième expression du lemme.On va commencer par le cas p = 1 . On note U et V deux champs de vecteurs26uelconques et α , β leur 1-forme duale. En utilisant le fait que h U, V i = h α, β i = α ( V ) = β ( U ) et les relations de dérivations suivantes : X · h α, β i = ( L X g )( α, β ) + hL X α, β i + h α, L X β i = ( L X g )( α, β ) + L X α ( V ) + L X β ( U ) (A.18) X · α ( V ) = L X α ( V ) + α ([ X, V ]) (A.19) X · β ( U ) = L X β ( U ) + β ([ X, U ]) (A.20)et en utilisant le fait que la dérivée covariante est sans torsion : ∇ X h U, V i = h∇ X U, V i + h U, ∇ X V i = h∇ U X, V i + h [ X, U ] , V i + h U, ∇ V X i + h U, [ X, V ] i = h∇ U X, V i + β ([ X, U ]) + h U, ∇ V X i + α ([ X, U ]) , (A.21)on obtient, en simplifiant la combinaison ( A.
18) + ( A. − ( A. − ( A. : ( L X g )( α, β ) + h∇ U X, V i + h U, ∇ V X i = 0 , (A.22)soit ( L X g )( α, β ) = − ∇ X )( U, V ) . (A.23)Par dualité, on obtient bien que ( L X g ) ω = − ∇ X ♭ ) ω si ω est une 1-forme.Pour étendre se résultat aux p -formes il suffit d’utiliser le fait que g p = p ! g p et d’appliquer la formule de Leibniz ( L X g p ) = ( L X p ! g p ) = ( L X g ) ? p − g p − = − ∇ X ♭ ) ? g p − , (A.24)Ce qui achève la démonstration. Références [AC93]
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Pierre
Jammes
Université d’Avignon et des pays de VaucluseLaboratoire d’analyse non linéaire et géométrie (EA 2151)F-84018 Avignon