SSUR UN ARTICLE DE 1954 SIGN ´E N. CUESTA
UNE TRADUCTION
LABIB HADDAD
Preamble
Here is a translation from Spanish to French of a paper dating backto 1954, published by N. Cuesta.The paper deals mainly with partially, and totally, ordered sets. Twosubjects are specially dealt with : Construction of new ordered setsstarting from a family of those. Completion of ordered sets by toolsakin to Dedekind cuts. Curiously enough, the so-called surreal numbers(later defined by Conway, in 1974) are already there, thirty years before.
The translation is done for research purposes. It is not in-tended to obtain financial gains . I tried, with the precious helpof my grand niece, Aya Nay Haddad, to find the “copyright owner”,without success. The librarians at Columbia University gave her someadvice about the matter.So, to my knowledge there is no copyright owner. The author of thepaper, Norberto Cuesta, died in 1989 (last century).Just in case there still are copyright owners, I beg them to contactme on my email address.Tous mes remerciements `a Aya Nay, pour son aide, sans qui je n’au-rais jamais r´eussi `a d´emˆeler les probl`emes de droit d’auteur ni p´en´etrerles arcanes de ce domaine complexe ! a r X i v : . [ m a t h . L O ] J a n Introduction
Il s’agit d’une traduction en fran¸cais de l’une des premi`eres publi-cations de Norberto Cuesta Dutari. C’est un article, ´ecrit en espagnol,paru dans la Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Fisi-cas et Naturales de Madrid, intitul´e
Algebra Ordinal , publi´e en 1954et sign´e, simplement,
N. Cuesta [ 3 ]. Il est tir´e de la th`ese qu’avaitsoutenue le jeune math´ematicien en 1943.J’en ai eu connaissance en parcourant le livre tr`es document´e etpr´ecieux de
Alling [ 1 ] : comme son titre le pr´ecise, ce livre est untrait´e qui porte sur les nombres surr´eels. Mais le titre ne le dit pas,c’est ainsi que l’on appelait couramment les nombres introduits par
Conway dans les ann´es 1970.
Alling donne la r´ef´erence `a l’article de
Cuesta mais ne signalepoint o`u on peut le trouver.Aucune des biblioth`eques que j’ai contact´ees ne poss`edait ce num´eroparticulier de la Revista. Il faut rappeler qu’en ce temps-l`a l’Espagnevivait toujours quelque peu isol´ee du reste du monde. Trouver une copiede l’article s’est r´ev´el´e ˆetre une tˆache tr`es difficile. Cette traduction estquasiment une affaire de famille.En effet, n’arrivant pas `a obtenir une copie de l’article de Cuesta, jeme suis adress´e `a mon ami et excellent coll`egue, Charles Helou, Pro-fesseur de math´ematiques `a l’Universit´e d’ ´Etat de Pensyvalnie. Il estarriv´e, en sollicitant les biblioth`ecaires de son institution `a obtenir en-fin une copie du texte, si difficile `a d´enicher. Comme on peut le voir surla couverture de la revue, reproduite ci-dessous, l’exemplaire provenaitde la biblioth`eque du D´epartement de l’Agriculture des ´Etats-Unis, cu-rieusement. Comme on peut le remarquer ´egalement, en dessous, lacopie, avec les courbures de ses pages, n’est pas facile `a exploiter, surun ordinateur.
Aussi, est-ce ma ni`ece, Samar Haddad, qui a r´eussi `a l’aide d’outilsinformatiques sp´eciaux `a faire apparaˆıtre le texte aplani et bien plusmaniable, comme on peut le constater sur la reproduction ci-dessous.Cela ne r´esolvait pas, pour autant, tous les probl`emes soulev´es par latraduction. Il fallait encore retrouver un peu de la saveur particuli`erede la langue espagnole de Cuesta. C’est ma ch`ere ´epouse, Claude Bois-nard Haddad, qui m’a amplement aid´e `a tenter de la reproduire.On n’a pas corrig´e, dans les formules, les quelques coquilles et lesrares omissions. On a essay´e de les reproduire telles quelles, autantque faire se peut, afin de garder son authenticit´e au texte. Elles serontais´ement corrig´ees par le lecteur.J’ai essay´e de respecter le plus scrupuleusement possible les notationsde l’original et sa mise en page. Tous les d´efauts et les erreurs qui ypersistent sont de mon fait. Je ne m’en vante pas mais les revendique !
Remerciements.
Je remercie chaleureusement Charles Helou, pour sapers´ev´erance et sa perspicacit´e. Toute ma reconnaissance `a ma ni`ece,Samar Haddad, `a qui ma gratitude est enti`erement acquise, qui aconsacr´e beaucoup de son temps pr´ecieux et son savoir-faire pour arri-ver au r´esultat voulu. Elle m’a ´egalement donn´e de tr`es bons conseilsau sujet de l’usage du format pdf pour la reproduction des figures.Enfin, et c’est essentiel, `a mon ´epouse, si d´evou´ee, comp´etente etpatiente, j’adresse un immense merci !
Bibliographie [1]
Norman L. ALLING , Foundations of analysis over surreal numberfields, Mathematics Studies 141, xvi + 373 pp., North Holland, 1987.[2]
J. H. CONWAY , On numbers and games, ix + 230 pp., AcademicPress Inc. 1976, reprinted 1979.[3]
N. CUESTA , Algebra ordinal , Revista de la Real Academia DeCiencias Exactas, Fisicas y Naturales, n o lgebra Ordinal por N . C uesta (TRABAJO PRESENTA D O P
OR EL
ACADÉMICO SR. ALVAREZ UDE E N SESIÓN DE 1 DE DICIEMBRE DE 1954.)
PROLOGO
Intenta ser, este ensayo, una penetración profunda, y sin timideces, en la jungla de las ordenaciones parciales, tan inexplorada aún, a pesar de conducir a ella, las investigaciones matemáticas más diversas.
Una de las cuestiones que emprendemos, es la formación sistemá tica (N.° 8), que, para las totales, realizamos en nuestra tesis, publicada en 1943, Son esenciales, para ello, los conceptos de hueco, y su ocupa ción con nuevos elementos. La ocupación simultánea, que aquí intro ducimos, nos ha permitido explicar el orden natural de los huecos de una ordenación cualquiera (N.o 10), esto es, el que ellos tienen, respecto a la ordenación de la cual son huecos. La explicación de ese orden, la necesitábamos, para introducirnos con sistema en esa selva sin peligro de perdernos en minucias insignificantes. El criterio de ordenación, para los huecos, (al comienzo del N.° 10) nos sorprendió por sencillo.
Hemos formado (N.o 11), para cualquier cardinal, el universo de to is las ordenaciones-parciales y totales-realizables con un conjunto que tenga ese cardinal. Significa ésto, dar el contorno del país que ex da s ploramos. Las ordenaciones totales saturadas, constituyen las vías naturales una ordenación parcial, había, pues, que examinarlas, así como sus
UNE TRADUCTION
Alg`ebre ordinaleparN. Cuesta(Texte pr´esent´e par l’Acad´emicien M. ´ALVAREZ UDE `ala session du 1er d´ecembre 1954)Prologue
Cet essai se pr´esente comme une incursion profonde, et audacieuse,dans la jungle des ordres partiels, jusqu’`a pr´esent tellement inexplor´ee,bien que les recherches math´ematiques les plus diverses y conduisent.L’une des questions que nous abordons est la formation syst´ematique(n o
8) que, pour l’ensemble, nous avons r´ealis´ee dans notre th`ese, pu-bli´ee en 1943. Sont essentielles pour cela les notions de trou et de rem-plissage d’un trou par de nouveaux ´el´ements. Le remplissage simultan´eque nous introduisons ici, nous a permis d’expliquer l’ordre natureldes trous d’un ordre quelconque (n o o
10) nous a surpris par sasimplicit´e.Nous avons construit (n o o o
13) car, si ce sont des ensembles amorphes, au fond, ilsentretiennent des relations ordinales int´eressantes avec leur alentour.Pour notre ´etude, nous avons eu recours `a diverses figures que nousretenons pour leur grand pouvoir suggestif que nos lecteurs appr´ecieront bien que celles que l’on peut dessiner ne couvrent qu’une infime partiedes ordres possibles. Ces figures incitent `a ´etudier la gen`ese des ordrespartiels par fusion conjointe d’ordres totaux (n o CHAPITRE 1 LES STRUCTURES BINAIRES
Les structures binaires en g´en´eral
D´esignant par M × P l’ensemble des paires ordonn´ees mp form´eespar les ´el´ements g´en´eriques respectifs m et p de ces ensembles, M × M repr´esentera les paires ordonn´ees form´ees `a l’aide du seul ensemble M .Sur un ensemble M , la structure ( M &) consistera en la donn´ee, `al’aide du signe de relation &, lorsque, pour certaines paires ordonn´eesappartenant `a M × M , le signe de relation peut s’intercaler, en ´ecrivant a & b .Les ´el´ements r´eflexifs de ( M &) sont ceux pour lesquels on a r & r .Nous dirons que les autres sont irr´eflexifs .Lorsque deux ´el´ements a et b v´erifient simultan´ement a & b et b & a nous dirons que ces deux ´el´ements forment une paire sym´etrique de lastructure binaire ( M &). En particulier, on compte parmi eux les pairesform´ees d’´el´ements r´eflexifs.Si de ces deux relations une seule est satisfaite, on dira que la paireform´ee des deux ´el´ements a et b est asym´etrique .Si on ne pouvait ´ecrire aucune, nous dirions que les deux ´el´ements a et b sont incomparables . En particulier, un ´el´ement irr´eflexif est incom-parable `a lui-mˆeme. Dans les autres cas, nous dirons que les ´el´ements a et b sont comparables .Pour d´esigner diverses structures binaires, surtout lorsque l’ensemblestructur´e est le mˆeme, nous mettrons des accents, ou des indices, ausigne de la relation.Nous dirons que la structure binaire ( M & ) est plus faible que lastructure ( P & ) lorsque :1. ◦ ) M est un sous-ensemble de P .2. ◦ ) deux ´el´ements a et b de M qui v´erifient a & b v´erifient ´egalement a & b . Nous ´ecrirons ( M & ) (cid:54) ( P & ). Une paire de sous-ensembles A et B non vides, sans ´el´ements com-muns, sont dits non connect´es dans ( M &) lorsque, quels que soient a et b , respectivement de A et B , sont incomparables.On dira que la structure ( M &) est connexe lorsqu’il n’existe aucunsous-ensemble X de M non connect´e `a son compl´ementaire M − X . R´eunir les structure binaires ( M j &) j ∈ J c’est former la nouvelle struc-ture ( (cid:80) j ∈ J M j &) sur l’ensemble r´eunion o`u l’on aura a & b lorsque l’onavait a & b dans l’une au moins des structures ( M j &).Toute structure binaire ( M &) est r´eunion d’autres structures ( M j &)dont chacune est connexe et qui sont non connect´ees deux `a deux.En effet : d´esignons par aϕ l’ensemble obtenu en adjoignant `a l’´el´e-ment a tous ceux qui lui sont comparables. En r´eit´erant l’op´eration ϕ ,on obtient la suite a ⊆ aϕ ⊆ aϕ ⊆ aϕ ⊆ · · · ⊆ aϕ n ⊆ · · · o`u aϕ n ≡ ( aϕ n − ) ϕ ´etant sous-entendu que aϕ ≡ aϕ On ´ecrit M ≡ lim n → ω ( aϕ n ) M est connexe : en effet ; d´esignons, de deux sous-ensembles compl´e-mentaires, par X celui qui contient a ; par Y son compl´ementaire. Sices deux sous-ensembles ´etaient non connect´es, on aurait, ´etant entenduque aϕ ≡ a pour tout entier i (cid:62) aϕ i ⊆ X , aϕ i +1 .Y ≡ O ∴ aϕ i +1 ⊆ X donc M ⊆ X et Y serait vide. M est relativement ferm´ee ; cela veut dire M ϕ ≡ M En effet : quel que soit l’´el´ement m de M , il apparaˆıtra `a une ´etape aϕ n ; de sorte que tous les mϕ figurent dans aϕ n +1 ; et puisque M ϕ ≡ (cid:88) m ∈ M mϕ ⊆ M ´etant ´evident que M ⊆ M ϕ des deux r´esulte l’identit´e annonc´ee.De cette identit´e s’ensuit clairement que si M − M (cid:54)≡ M et soncompl´ementaire seraient non connect´es.Prenant b dans M − M s’il n’est pas vide, on obtient de mani`ereanalogue ( M &) ´egalement connexe, et ainsi de suite.On voit ais´ement que cette d´ecomposition de ( M &), en structuresbinaires connexes, deux `a deux non connect´ees, est univoque.Nous ´ecrirons A & B ´etant donn´es A et B sous-ensembles de M ,lorsque, quels que soient a et b , ´el´ements respectivement de A et B , a & b est vrai. Soit M le syst`eme des sous-ensembles de M , la struc-ture ( M &) nous permet de d´efinir ( M &). `A cette op´eration g´en´eratricenous donnerons le nom de sousconjoindre dans ( M < ). ´Evidemment,on peut r´eit´erer et obtenir ( M &). Si M ω d´esignait l’ensemble qui com-prend tous les pr´ec´edents, ( M ω &) d´esignerait n´ecessairement d´efiniesur M ω , la relation & suivant les ´etapes pr´ec´edentes ; donc( M ω &) ≡ (cid:32) (cid:88) O (cid:54) n<ω M n & (cid:33) Cela pourrait ˆetre poursuivi encore, donnant un sens au symbole( M α &) pour n’importe quel ordinal α donn´e.Nous appellerons ligne compl`ete de ( M &) la sous-structure ( L &)induite sur un sous-ensemble L de M lorsqu’il n’existe pas dans L depaires d’´el´ements incomparables et que chaque ´el´ement de M − L estincomparable `a chacun des ´el´ements de L .Nous appellerons transversale compl`ete de ( M &) tout sous-ensemble T de M dont les paires d’´el´ements diff´erents sont incomparables, chaque´el´ement de M − T ´etant comparable `a certains ´el´ements de T .Les ´el´ements de M solutions de la relation x & a pour un a donn´e de M , forment un ensemble que nous d´esignerons a ∗ .De mani`ere analogue, `a droite, on aura le symbole ∗ a . Fermer `a gauche un ensemble A voudra dire lui adjoindre les ´el´ementsde a ∗ pour chacun de ses ´el´ements a . En le d´esignant par A , on aura A ≡ A + (cid:88) a ∈ A a ∗ De mˆeme, on d´efinira A et on aura A ≡ A + (cid:88) a ∈ A ∗ a Inverser la structure ( M &) c’est construire la nouvelle structure( M & (cid:48) ) o`u a & (cid:48) b ´equivaut `a b & a .Il convient d’observer que, en donnant le nom P au sous-ensemble de M × M form´e des paires li´ees par le symbole de relation &, et N ´etantl’ensemble des ´el´ements qui apparaˆıssent dans les paires de P , le seulr´eellement structur´e est l’ensemble N . En passant de ( N &) `a ( M &),les ´el´ements de M − N n’ont aucune relation entre eux, ni avec les´el´ements de N . On peut dire que ( N &) ´etait le noyau structur´e tandisque M − N ´etait un r´esidu amorphe .Par cons´equent, il sera plausible de consid´erer comme isomorphes ausens large deux structures ( M & ) et ( Q & ) lorsque les structures deleurs noyaux le sont au sens strict.2.– Les structures binaires transitives `A l’aide du symbole ( M → ) nous repr´esentons les structures binairestransitives, autrement dit, celles pour lesquelles a → b et b → c impliquent a → c Un exemple suggestif de ces structures est fourni par la figure jointe M est constitu´e des points qui appartiennent aux droites de la figure.Pour deux d’entre eux, nous poserons x → z , lorsque l’on peut allerdu premier au second, en faisant un parcours effectif, jamais `a contre-courant des fl`eches des lignes droites. Sur cette figure, ab constitueune paire incomparable, cd une paire comparable, donc c → d , maisasym´etrique, tandis que ef constitue une paire comparable sym´etriquedonc ils v´erifient e → f et f → e Les ´el´ements a, b, c, d, sont eux tous irr´eflexifs. Les ´el´ements e, f, sonttous deux r´eflexifs.En intercalant le symbole de la relation → dans les diverses pairesde M × M , on obtient des relations ou propositions .Nous dirons que l’une de ces propositions est vraie lorsque la relationcorrespondante est v´erifi´ee dans ( M → ) ; sinon, nous dirons qu’elle est fausse . Ainsi, la structure ( M → ) constitue le crit`ere de v´erit´e .La loi transitive fonctionne comme un m´ecanisme d´eductif pour lesyst`eme de toutes les propositions. Lorsqu’on l’applique `a des proposi-tions vraies, il nous en donne d’autres vraies.Quel que soit le sous-ensemble de M × M , en intercalant le symbolede la relation → dans ses paires, nous obtenons un sous-ensemble P de l’ensemble des propositions. En appliquant directement la loi detransitivit´e `a ses paires de propositions, `a l’aide d’un ´el´ement moyencommun, on obtient un nouvel ensemble P ϕ . En r´eit´erant le proc´ed´esur cet ensemble de propositions et ainsi, successivement, on aura P ⊆ P ϕ ⊆ P ϕ ⊆ P ϕ ⊆ · · · ⊆ P ϕ n ⊆ · · · o`u, pour pour chaque ordinal fini n , on interpr`ete P ϕ n ≡ ( P ϕ n − ) ϕ sous-entendu P ϕ ≡ P ϕ
S’il se v´erifie que
P ϕ n − ≡ P ϕ n dans toutes les ´etapes suivantes, on n’en obtiendra rien de nouveau ;mais, si cela ne se produit `a aucune des ´etapes finies, l’ensemble limite,que nous d´esignerons par P ϕ ω , est transitivement ferm´e. En effet : silui appartiennent a → b et b → c toutes deux apparaissant ensemble, pour la premi`ere fois, en P ϕ n ; alors a → c apparaˆıt, si ce n’est fait avant, assur´ement en P ϕ n +1 ; par cons´equent, a → c appartient `a P ω . Quelle que soit l’´etape de la fermeture, comme il a ´et´e dit (cid:54) ω ,nous d´esignerons par P ϕ l’ensemble, transitivement ferm´e, o`u s’arrˆetel’efficacit´e du m´ecanisme d´eductif. Nous appellerons cet ensemble
P ϕ la fermeture d´eductive de P . `A l’aide de cet ensemble P ϕ on peut d´efinir,sur M , une structure ( M → ) dont les paires li´ees sont pr´ecis´ementcelles donn´ees par P ϕ .La subordination entre P et P ϕ d´etermine la structure topologiqueferm´ee ( M × M ϕ ), int´eressante car ses sous-ensembles ferm´es, d´etermi-nent de mani`ere biunivoque les structures binaires transitives possiblessur l’ensemble M .Si la structure ( M → ) est donn´ee a priori, l’ensemble P ´etant inclusdans l’ensemble W des propositions vraies par rapport `a ( M → ), etsi ( M → ) est la structure d´etermin´ee par P ϕ , la structure ( M → )serait plus faible que ( M → ) ; en symboles( M → ) (cid:54) ( M → )Si elle ´etait strictement plus faible, ce serait parce que ( W − P ϕ )ne serait pas vide. Ses propositions vraies ne viendraient jamais pard´eduction en partant de celles de P . Nous dirions que les vraies, conte-nues dans ( W − P ϕ ) ´etaient transcendantes par rapport `a P .Lorsque P ϕ co¨ıncide avec W , la structure engendr´ee serait celle ini-tialement donn´ee ( M → ). Ayant ´et´e suffisant de donner la relation → uniquement entre les paires comprises dans P , nous dirons que c’estune base de ( M → ).En g´en´eral, les sous-ensembles X de M × M qui v´erifient Xϕ ≡ W sont divers. Le syst`eme de leur ensemble, structur´e par la relation bi-naire d’inclusion stricte ⊂ , ´egalement transitive, est d’un grand int´erˆet.On dira que la base P est r´eductible lorsque l’une des ses parties strictesest aussi une base : sinon, elle sera dite irr´eductible . Il n’est pas excluqu’il existe plusieurs bases irr´eductibles pour une structure binaire tran-sitive ( M → ), donn´ee a priori. Lorsque, parmi l’ensemble des bases, ily en a une contenue dans chacune des autres, on dira que c’est une base absolue de ( M → ). A priori, il n’est pas exclu que des structuresexistent non seulement sans base absolue, mais mˆeme sans aucune baseirr´eductible. A posteriori, on sait qu’il y en a : par exemple, il est facile-ment prouv´e que l’ordre arithm´etique des nombres rationnels manqued’une base irr´eductible. (*)—————–(*) Voir notre article (cid:28) Mod`eles d´eductifs ordinaux (cid:29) (Rev. Mat. Hisp.Am. (IV) (1953). ´Etant donn´e le syst`eme de structures ( M j → ), d´efini sur les en-sembles M j , d´etermin´es pour chacun des ´el´ements j d’un certain en-semble J , pouvant avoir – et c’est le cas le plus int´eressant – des en-sembles M j avec ´el´ements communs, la structure (cid:32)(cid:88) j ∈ J M j → (cid:33) qui, grˆace `a la loi transitive, n’est pas la simple r´eunion des ( M j → ),nous l’appellerons con-fusion – donnant `a ce mot sa valeur g´en´etique –des structures du syst`eme ( M j → ). Si M (cid:48) et M ” avaient des ´el´ementscommuns, au moyen de ceux-ci, et de la loi transitive, deux ´el´ementsnon communs de M (cid:48) et M ” pourraient ˆetre li´es.Dans la figure 1, on peut consid´erer la structure ( M → ), issue dela fusion conjointe de structures semblables, situ´ees sur chacune desdroites qui la composent. Dans la figure 2 jointe, la structure ( M → ) estobtenue par con-fusion des structures ( A → ) et ( B → ), situ´ees sur cha-cun des traits qui la compose. Les morceaux (1 , ,
1) et (3 , , , , , , a → b et b → a impliquent aussi bien a → a que b → b .Par cons´equent, les structures binaires transitives, sans ´el´ementsr´eflexifs, n’ont pas de paires sym´etriques. Bien sˆur une structure tran-sitive peut avoir des ´el´ements r´eflexifs, sans qu’il soit n´ecessaire qu’ellecontienne des paires sym´etriques d’´el´ements diff´erents. b) Si une structure binaire est transitive, des ´el´ements sym´etriques`a un troisi`eme sont sym´etriques entre eux. La preuve est triviale.c) Si a → c → b devait ˆetre vraie et que les ´el´ements a et b ´etaientsym´etriques, on aurait aussi b → c → a En effet : de b → a et a → c r´esulte b → c De mˆeme de c → b et b → a r´esulte c → a d) Toute ligne compl`ete de la structure ( M → ) contient, avec l’´el´e-ment m , tous ses sym´etriques.En effet : soit ( L → ) la ligne compl`ete. Les ´el´ements de L v´erifientou bien m → l (cid:48)(cid:48) ou l (cid:48) → m ou encore les deux. Soit p un ´el´ement sym´etrique de m de l (cid:48) → m et m → p s’ensuit l (cid:48) → p de p → m et m → l (cid:48)(cid:48) s’ensuit p → l (cid:48)(cid:48) Comme le voit, p est comparable aux ´el´ements de la ligne et dans lemˆeme sens que m .3.– La classification des structures binaires transitives
Dans le tableau suivant, par caract´eristiques tr`es visibles, nous clas-sons les structures binaires transitives.Structures binaires transitives Symbole ( M → ) . Symbole (
M < ) . ORDRES2 R´eflexifs(tous les ´el´ements sont r´eflexifs)Symbole ( M (cid:54) ) .
11 Sans paires incomparables. ( ordres totaux )12 Avec paires incomparables. ( ordres partiels )2 R´eflexifs
21 Sans paires asym´etriques. ( classifications )Symbole ( M =)22 Avec paires asym´etriques
221 Sans pairessym´etriques.222 Avec pairessym´etriques.Des exemples clairs [ perspicuos ] de la troisi`eme classe, les figuresfaites en donnent, avec des ´el´ements r´eflexifs et irr´eflexifs. Cependant,cette classe a beaucoup moins d’importance que les pr´ec´edentes cartoute structure de cette classe devient une autre de la seconde, rienqu’en ´ecrivant a (cid:54) b lorsque a → b ajoutant aussi a (cid:54) a pour chaque ´el´ement de l’ensemble de base.Concernant les structures de classification, nous devons en profi-ter pour rectifier notre affirmation de l’article (cid:28) Estructuras y pro-grama de Erlangen (cid:29) [ Structures et programme d’Erlangen ] que, de laloi sym´etrique et transitive, suit la loi r´eflexive car si a ´etait incompa-rable `a tous les autres, il faudrait n´ecessairement postuler a = a .4.– Ordre et classification engendr´es par une structure ( M (cid:54) ) . Si a et b ´etaient des ´el´ements, distincts ou identiques, d’une pairesym´etrique, nous ´ecririons a = b . Ainsi, on obtient une structure bi-naire ( M =) qui est une classification. En effet : elle b´en´eficie de la loitransitive, puisque les ´el´ements sym´etriques `a un tiers sont sym´etriques entre eux ; le caract`ere r´eflexif est une exigence ´evidente de la construc-tion ; que les paires asym´etriques manquent est clair car si nous ´ecrivons a = b c’est parce que les deux sont vrais a (cid:54) b et b (cid:54) a ce qui nous permet ´egalement d’´ecrire b = a .Si a = b et a (cid:54) x (cid:54) b sont vraies, alors a = x = b sera ´egalementvraie.En effet : la propri´et´e c) des structures transitives permet d’´ecrire b (cid:54) x (cid:54) a et, d’apr`es la construction de la structure ( M =), on peut ´ecrire a = x = b Par cons´equent, les classes d’´el´ements ´egaux sur chaque ligne com-pl`ete de ( M (cid:54) ) sont des intervalles, c’est-`a-dire des ensembles qui,contenant les ´el´ements a et b , contiennent tous les interm´ediaires, ceuxqui v´erifient a (cid:54) x (cid:54) b Si dans ( M (cid:54) ) les ´el´ements a et b constituaient une paire asym´etriqueet que a (cid:54) b ´etaient vraie, on ´ecrirait a < b .La structure binaire ( M < ) ainsi obtenue, `a partir de ( M (cid:54) ), est unordre.En effet : il est clair que la loi transitive est v´erifi´ee, puisque a < b et b < c impliquent pr´ecis´ement a (cid:54) b et b (cid:54) c ce qui permet d’´ecrire a (cid:54) c . `A pr´esent, on ne peut pas ´ecrire c (cid:54) a car avec le dernier des ant´epr´ec´edents on aurait b (cid:54) a , contraire `al’hypoth`ese que la paire ( a, b ) est asym´etrique ; alors nous pouvons´ecrire a < c . Il est clair qu’il n’y a pas d’´el´ements r´eflexifs car dans( M (cid:54) ) les paires ( a, a ) sont manifestement sym´etriques.Les structures ( M =) et ( M < ) d´eduites de ( M (cid:54) ) sont mutuelle-ment li´ees selon la loi suivante : a (cid:48) = a < b implique a (cid:48) < b et aussi a < b = b (cid:48) implique a < b (cid:48) . En effet : a (cid:48) = a n´ecessite a (cid:48) (cid:54) a , et a < b n´ecessite a (cid:54) b ; desdeuxi`eme et quatri`eme, on d´eduit a (cid:48) (cid:54) b . Si l’on avait b (cid:54) a (cid:48) , jointe `a a (cid:48) (cid:54) a , cela donnerait b (cid:54) a , contre a < b ; donc a (cid:48) < b . La deuxi`emeimplication se d´emontre de mani`ere analogue.De cette propri´et´e d´ecoule que, si a et b ´etaient deux classes de( M =) et entre deux ´el´ements a et b de celles-ci, a < b ´etait vaie, onaurait de mˆeme, pour toute autre paire, a (cid:48) < b (cid:48) : cela permet de d´efinirl’ordre ( C < ) entre les classes d´efinies par la classification ( M =), qui serait isomorphe `a celle subordonn´ee par ( M < ) sur l’ensemble P qui necontiendrait qu’un seul ´el´ement de chaque classe. La correspondancequi assigne `a chaque ´el´ement de M la classe `a laquelle il appartientserait un homomorphisme entre ( M < ) et (
C < ).Quand la structure binaire transitive, ´etant r´eflexive, manque depaires sym´etriques, dans la structure ( M =), d´eduite de ( M (cid:54) ), chaque´el´ement serait unique dans sa classe. La structure ( M < ) s’obtiendrait,`a partir de ( M (cid:54) ), en changeant le signe (cid:54) en < dans les paires a (cid:54) b d’´el´ements diff´erents, et en omettant de mettre le signe < entre lespaires a (cid:54) a . Dans ce sens, on peut consid´erer les ordres comme le cas221 des structures ( M (cid:54) ), selon ce que certains ont coutume de faire. CHAPITRE II. LES ORDRES
Notions pr´eliminaires.
L’ordre est la structure binaire transitive (
M < ) d´epourvue d’´el´e-ments r´eflexifs donc ´egalement de paires sym´etriques. Le signe < , ens’appuyant sur l’intuition, nous le lirons (cid:28) pr´ec`ede (cid:29) .Un exemple, assez significatif, est donn´e par la figure 3. M est l’en-semble des points du plan contenus dans les lignes de la figure. Larelation a < b signifie que l’on peut aller, du premier au second, ensuivant toujours le cours des fl`eches. La paire bc est incomparable. Parmi les structures d’ordre (
M < ), notons les ordres totaux dontl’´etude a ´et´e entam´ee par Cantor, dans lesquels les paires incomparablesmanquent. `A ceux qui ne sont pas totaux, leur inventeur Hausdorff lesa appel´ees partiels . En parlant d’ordre, sans pr´eciser davantage, nousnous r´ef´erons aux uns et aux autres indistinctement.Il conviendra d’adjoindre, `a la structure (
M < ), la structure ( M (cid:54) )r´esultant de l’´ecriture a (cid:54) b , aussi bien si a < b , que si a et b ´etaientidentiques.Dans un ordre, nous appellerons maximum un ´el´ement a lorsque ∗ a est vide ; c’est-`a-dire que la relation a < x n’a pas de solutions dans M .De la mˆeme mani`ere, un ´el´ement a est un minimum lorsque a ∗ est vide ;c’est-`a-dire que la relation x < a n’a pas de solution dans M . Dans lafigure 4, les ´el´ements a et b sont tous deux des maximums.Les maximums, quand il y en a plusieurs, constituent une transversale.Lorsqu’un ´el´ement a est apr`es tous les autres, c’est-`a-dire a ∗ ≡ M − a nous l’appellerons un supremum . De mˆeme si l’´el´ement a pr´ec`ede tousles autres, c’est-`a-dire, que ∗ a ≡ M − a nous l’appellerions infimum .Bien sˆur, s’il y a un supremum, c’est le seul maximum, bien qu’ilpuisse y avoir un maximum unique, sans que cela suffise `a en faire lesupremum.Dans la figure 5, l’´el´ement a est supremum. ´Etant donn´e les ordres( M < ) et (
N < ), nous appellerons ( M × N < ) l’ordre produit des deux, en disposant les ´el´ements de l’ensemble M × N , les paires ( m, n ),lexicographiquement par rapport aux deux.La con-fusion de structures binaires transitives est toujours possiblequel que soit le nombre de structures binaires transitives soumises `a lafusion conjointe ; donc, si tout ou partie de celles soumises `a l’op´eration´etaient des ordres, la structure r´esultant de leur fusion sera binairetransitive, mais ce ne sera pas toujours un ordre. Par exemple, si lestraits de la figure 1 ´etaient des ordres dans le sens des fl`eches, la struc-ture de con-fusion ne l’est pas en ayant des ´el´ements r´eflexifs. Nousnommerons ordinalement inconfusibles (in-con-fusibles) les ordres d’unsyst`eme, lorsque la structure binaire transitive, r´esultat de leur confu-sion, n’est pas un ordre.On appelle cycles d’une structure binaire transitive les syst`emesd’´el´ements qui, pour un certain a , v´erifient la relation a → x → a `a condition qu’il existe des solutions autres que a dans le syst`eme.C’est une condition n´ecessaire et suffisante pour que la structurebinaire transitive r´esultant de la con-fusion des ordres soit aussi unordre, que l’absence de cycles.En effet : si l’ordre, par d´efinition, n’a pas d’´el´ements r´eflexifs, celarend l’existence de cycles impossible ; alors la condition est n´ecessaire.`A son tour, si ce n’´etait pas un ordre, il y aurait des ´el´ements r´eflexifs ;supposons que a soit l’un d’entre eux, ainsi a → a serait vraie dansla structure r´esultant de la fusion conjointe ; mais, dans les ordres´el´ementaires, la relation a → a est impossible ; alors cela ne peutr´esulter qu’en appliquant, apr`es la fusion, la loi transitive sur l’ensemblefini des relations a → b , b → b , b → b , . . . , b n → a tir´ees des ordres soumis `a la fusion conjointes ; alors, on aura un cycle.On notera que la pr´esence de paires sym´etriques est `a l’origine decycles dans la structure ; ainsi, leur absence est une condition, n´ecessaireet suffisante, selon le th´eor`eme pr´ec´edent, `a la confusion des ordres.En appliquant `a ( M < ) l’op´eration que nous avons appel´ee sous-jonction, on aura, comme on le voit imm´ediatement, un ordre ( M < )dans le syst`eme des sous-ensembles. Parfois, seules des sous-structuresde ( M < ) seront int´eressantes, certains sous-ensembles, comme lesintervalles, les sections initiales, que nous d´efinirons par la suite. Majorant et minorant d’un ensemble.
Soit A un sous-ensemble de M qui inclut les solutions de la relation A < x , nous l’appellerons le majorant de A , et nous le d´esigneronspar ∗ A . De la mˆeme mani`ere, le minorant de A est d´efini que nousd´esignerons par A ∗ .Il est clair que ∗ A ´etant l’ensemble des solutions communes au syst`emede relations a < x pour a ∈ A on aura ∗ A ≡ (cid:89) a ∈ A ∗ a et de mˆeme A ∗ ≡ (cid:89) a ∈ A a ∗ [1]De la mˆeme d´efinition, suivent imm´ediatement les relations A ∗ < A < ∗ A [2] A ⊆ B implique ∗ B ⊆ ∗ A et B ∗ ⊆ A ∗ [3]En effet : ∗ B ≡ (cid:89) b ∈ B ∗ b ≡ (cid:89) a ∈ A ∗ a . (cid:89) c ∈ B − A ∗ c ⊆ (cid:89) a ∈ A ∗ a ≡ ∗ A L’ensemble ∗ A est le plus grand parmi ceux qui v´erifient A < H i ,donc la r´eunion de tous.En effet : A < H i implique A < (cid:89) H i ⊆ ∗ A de plus, par d´efinition, A < ∗ A ; alors ∗ A est l’un des ensembles H i donc ∗ A ⊆ (cid:88) H i des deux r´esulte ∗ A ≡ (cid:88) H i [4]Sont ´egalement vraies ∗ A ) ∗∗ ) ≡ ∗ A et A ∗ ∗ )) ∗ ≡ A [5]En effet : ∗ A ) ∗ < ∗ A ∴ ∗ A ⊆ ∗ A ) ∗∗ ) [a] de plus A < ∗ A donne A ⊆ ∗ A ) ∗ ∴ ∗ A ) ∗∗ ) ⊆ ∗ A [b]De (a) et (b), tous deux, r´esulte le premier du groupe (5).Si B . ∗ A n’est pas vide, nous dirons que B est finalement sup´erieur `a A , en ´ecrivant A < B .Cette relation binaire entre les sous-ensembles de M donc manifes-tement transitive et irr´eflexive, ordonnera – partiellement en g´en´eral –le syst`eme M des sous-ensembles de M ; nous obtenons, ainsi, l’ordre( M < ).Pour deux sous-ensembles A et B de M , nous ´ecrirons A = B lorsque ∗ A ≡ ∗ B Il y a ainsi une classification ( M = ) pour le syst`eme de sous-ensembles de M car il est clair que cette relation binaire est transitive,sym´etrique et r´eflexive.L’ensemble r´eunion de tous ceux d’une classe de ( M = ) appartient`a la mˆeme classe.En effet : soient A i , pour i ∈ I , ceux d’une classe ; donc, quel quesoit i , on aura ∗ A i ≡ P . Posons (cid:88) i ∈ I A i ≡ S ∴ A i ⊆ S ∴ ∗ S ⊆ ∗ A i ≡ P [a]Comme l’´el´ement g´en´erique de P d´epasse le g´en´erique a i de A i , on aura P ⊆ ∗ S [b]De (a) et (b), tous deux, r´esulte ∗ S ≡ P qui stipule que l’ensemble (cid:88) i ∈ I A i est dans la mˆeme classe que ses som-mants.7 .– Fermetures initiale et finale d’un ensemble.
L’ordre (
M < ) ´etant donn´e, y fermer initialement l’ensemble A signi-fiera faire l’ensemble A qui, avec l’´el´ement a , contient tous les ´el´ementsqui lui sont ant´erieurs. La fermeture finale , dont la d´efinition est ana-logue, sera d´esign´ee par A . Comme on l’a d´ej`a vu au chapitre 1 . ◦ , nous aurons A ≡ A + (cid:88) a ∗ ≡ (cid:88) a A ≡ A + (cid:88) ∗ a ≡ (cid:88) aa ´etant l’´el´ement g´en´erique de A .Ces op´erations constituent, sur l’ensemble M , deux structures topo-logiques d´etermin´ees par la structure d’ordre ( M < ).Les ensembles ferm´es initialement, nous les appellerons sections ini-tiales de l’ordre (
M < ). Les ferm´es finalement, sections finales . Nousappellerons intervalle de (
M < ) les sous-ensembles S de M dans les-quels, ´etant donn´es a < b , tous ceux compris entre eux apparaissent´egalement dans S , c’est-`a-dire ceux qui v´erifient a < x < b Si S n’avait pas de paires d’´el´ements comparables, nous l’appellerions´egalement un intervalle.Evidemment A . A sera la fermeture segmentaire de l’ensemble A .De A ⊆ B d´ecoule A ⊆ B et A ⊆ B [7]En effet : B ≡ (cid:88) b ∈ B b ≡ (cid:88) a ∈ A a + (cid:88) c ∈ B − A c ∴ A ≡ (cid:88) a ∈ A a ⊆ (cid:88) b ∈ B b ≡ B qui est le premier du groupe (7).Une cons´equence imm´ediate de la d´efinition de la section initiale estque la r´eunion, et aussi l’intersection, d’un syst`eme de sections initiales,est encore une section initiale.En effet : soient A i pour i ∈ I les sections initiales du syst`emeconsid´er´e. (cid:88) i ∈ I A i contient, avec les ´el´ements a ∈ A i , tous ceux del’ensemble a ∗ ; c’est donc une section initiale. De mˆeme, si a ∈ (cid:89) i ∈ I A i ,c’est qu’il apparaˆıt dans tout A i , quel que soit i ∈ I ; alors il apparaˆıt´egalement dans tous les A i a ∗ , et donc (cid:89) i ∈ I A i est aussi section initiale.La fermeture initiale A d’un ensemble A , dans ( M < ), est l’intersec-tion des sections initiales contenant A .En effet : soit S la section initiale g´en´erique dans laquelle A estcontenu de A ⊆ S vient A ⊆ S = S Comme A est ´egalement l’une des sections initiales contenant A , ilen r´esultera ce qui pr´ec`ede, et que A est le minimum de celles quicontiennent A . On dit qu’un ordre (
M < ) est ramifi´e , (Kurepa) quand ( m < ) estun ordre total, pour tout m ∈ M . La figure 6 donne un exemple de cesordres tr`es int´eressants.Nous disons cofinaux dans ( M < ) les ensembles A et B et, pluspr´ecis´ement les ordres induits, lorsque leurs fermetures initiales co¨ın-cident ; c’est `a dire( A < ) et (
B < ) sont cofinaux si A ≡ B Corr´elativement, sont d´efinis les co¨ınitiaux .Chacune de ces relations d´efinit, sur M , une classification ; c’est-`a-dire, en nous r´ef´erant `a ce qui a ´et´e express´ement nomm´e, nous ´ecrirons A ≡ B lorsque A ≡ B C’est une condition n´ecessaire et suffisante pour la confinalit´e de A et B que, quelle que soient ses ´el´ements g´en´eriques, a et b respectivement,la relation a (cid:54) x ait une solution dans B, et b (cid:54) x ait une solution dans A. En effet : supposons qu’ils soient cofinaux. Ayant un a ∈ A ≡ B ,soit il est de B , soit il est d´epass´e, donc appartient `a B , par certainsde B . Identiquement pour le second. Ainsi, la condition est n´ecessaire.Supposons maintenant que ces relations aient les dites solutions ; parla premi`ere, A ⊆ B ; par la seconde, B ⊆ A . Des deux vient A ≡ B ,qui est la condition d´eterminante de la cofinalit´e. Nous dirons qu’un ensemble B enveloppe sup´erieurement un autre A , dans l’ordre ( M < ), lorsque, a.B (cid:54)≡
O pour tout a ∈ A c’est-`a-dire que B p´en`etre dans la fermeture finale de l’un quelconquedes ´el´ements de l’ensemble A . Nous ´ecrirons, alors A (cid:54) B parce que c’est une relation ´evidemment transitive et r´eflexive.Les op´erations de fermeture initiale (finale) et de majoration (mino-ration) sont li´ees par les propositions suivantes : ∗ A est une section finale de ( M < ) , c’est-`a-dire ∗ A − ≡ ∗ A [8]En effet : si p ∈ ∗ A , c’est parce que A < p < ∗ p ∴ ∗ p ⊆ ∗ A c’est-`a-dire que ∗ A contient, avec p , tous ceux qui le suivent.C’est la mˆeme chose que de majorer A ou sa fermeture initiale ; c’est-`a-dire ∗ A ≡ A ) ∗ [9]En effet : De A ⊆ A vient A ) ∗ ⊆ ∗ A [a]Quel que soit l’´el´ement q de A , il sera surpass´e, ou co¨ıncidera, aveccertains a de A . En tant qu’´el´ement g´en´erique x de ∗ A v´erifie a < x , quelque soit a ∈ A ; alors, dans les deux cas, q < x ; donc x appartiendra `al’ensemble A ) ∗ , et ainsi ∗ A ⊆ A ) ∗ [b]De (a) et (b), tous deux, resulte (9). A ≡ B implique ∗ A ≡ ∗ B [10]En effet : ∗ A ≡ A ) ∗ ≡ B ) ∗ ≡ ∗ B Extension syst´ematique des ordres.
Entre deux ordres (
M < ) et ( P < ) nous disons que celui-ci est une extension de celui-l`a et nous ´ecrivons( M < ) (cid:54) (cid:48) ( P < ) lorsque :1. ◦ ) P est un sur-ensemble de M .2. ◦ ) Les relations d’ordres, pour les ´el´ements de M , sont les mˆemesdans les deux ordres.Le signe (cid:54) (cid:48) , pour aider l’intuition, nous le lirons (cid:28) immerg´e dans (cid:29) De l’ordre (
M < ) nous dirons que c’est un sous-ordre de ( P < ) ;de celui-ci que c’est un sur-ordre de ( M < ).Nous devons noter que, ´etant donn´e ( P < ), en donnant simplementle sous-ensemble M de P , on d´etermine ( M < ) ; par cons´equent, dansce cas, on peut utiliser le mˆeme symbole du d´epart, dans le construit.Au contraire, se donner ( M < ) et le sur-ensemble strict P de M , nesuffisent pas pour d´eterminer ( P < ), extension de celle-l`a, mais, eng´en´eral, la relation ( M < ) (cid:54) (cid:48) ( P < x ) [11]poss`ede plusieurs solutions, en l’inconnue x . Pr´ecis´ement le probl`emede la construction syst´ematique des ordres inclut celui de l’obtentionde toutes les solutions de la relation (11).Une notion importante est celle d’ extension limite . Supposons que lesyst`eme des ordres ( M i < i ) pour i ∈ I s’´etende en suivant la variable i , d´eterminant le syst`eme, dans un senscroissant, l’ordre total, ouvert sup´erieurement, ( I < ) ; d´esignant M l’ensemble limite, nous appellerons extension limite , et nous ´ecrirons( M < ) ≡ −→ lim i ∈ ( I< ) ( M i < i )l’ordre ( M < ), lorsque c’est une extension de tout le syst`eme.Une structure que nous soup¸connons d’ˆetre importante dans l’´etudedes ordres est celle constitu´ee, `a travers la relation transitive et r´eflexive (cid:54) (cid:48) (cid:28) immerg´ee dans (cid:29) , entre tous les ordres( S i < i j ) i ∈ I i j ∈ J i du syst`eme S i de tous les sous-ensembles d’un M donn´e, homomorphe`a la structure d’inclusion ( M ⊂ ) d´efinie pour tous les sous-ensemblesde M .´Etant donn´ee une ligne compl`ete ( L ⊂ ) de ( M ⊂ ), l’ensemble desordres possibles, sur la totalit´e des sous-ensembles qui la constituent,articul´e par la relation stricte d’ (cid:28) immersion (cid:29) est manifestement unordre ramifi´e, puisque le sous-ordre de l’une donn´ee est d´etermin´e demani`ere unique. En vertu du th´eor`eme du bon ordre – ressource puissante, sans sonaide peu de choses seraient accomplies dans l’´etude g´en´erale des struc-tures – l’ensemble ( P − M ) peut ˆetre dispos´e, de plusieurs mani`eres,en une suite bien ordonn´ee p , p , p , . . . ( p α et, ´etant donn´e l’ordre ( P < ), on peut consid´erer les sous-ordresd´erermin´es par les ensembles M, M + p , M + p + p , M + p + p + p . . . donc on peut former l’ordre ( P < ) partant de ( M < ) en ajoutant lesnouveaux ´el´ements un `a un, de mani`ere convenable, et en passant `a lalimite lorsqu’une suite ouverte d’entre eux a ´et´e ajout´ee.L’extension limite n’impliquant pas de nouvelles relations ordinales,puisque seules celles obtenues aux ´etapes pr´ec´edentes sont adjointes, ilsuffit d’examiner les diff´erentes mani`eres possibles d’´etendre un ordredonn´e, par l’ajonction d’un seul ´el´ement.Adjoignant un ´el´ement p , non inclus dans l’ensemble M , et formantsur M + p un ordre ( M + p < ), qui laisse les relations ordinales quiliaient d´ej`a les ´el´ements de M invariants, dans l’ordre ( M < ), ondistingue, dans M , trois classes d’´el´ements : ceux d’un ensemble A , quien ( M + p < ) constituent l’ensemble p ∗ , ceux d’un autre ensemble B ,qui en ( M + p < ) constituent ∗ p , et le reste, ceux de M − ( A + B ),incomparables `a p , dans l’ordre ( M + p < ). On a montr´e que p ∗ est unesection initiale de ( M < ), et ∗ p une autre finale, les deux v´erifiant p ∗ < ∗ p Ainsi, ce proc´ed´e, conduit `a la notion importante suivante :
Trou d’un ordre (
M < ), nous appellerons la paire ( A, B ), constitu´eed’une section initiale A et une autre finale B , qui v´erifient A < B . (*)————–(*) Cette notion, g´en´eralisant celle du mˆeme nom, que, seule pourles ordres totaux, nous avons introduite dans notre th`ese : Rev. Mat.Hisp.-Am. (IV) (1943). D´esormais, elle vaut ´egalement pour les ordrespartiels.—————On dit que le nouvel ´el´ement p occupe le trou ( A, B ), dans l’extension( M + p < ) de ( M < ) quand les relations d’ordre de p avec les ´el´ements de M sont d´efinis par la double relation A < p < B ceux de M − ( A + B ) ´etant incomparables `a p ; donc A ∗ ≡ p et B ≡ ∗ p dans l’ordre construitOn a d´ej`a dit que, dans toute extension d’un ordre, avec un nouvel´el´ement, celui-ci occupe un trou. Il nous reste `a montrer que, quel quesoit le trou dans l’ordre ( M < ), il existe une extension ( M + p < ) danslaquelle le nouvel ´el´ement occupe ce trou.En effet : ´etant donn´e le trou ( A, B ) de (
M < ), adjoignons `a sesrelations binaires celles qui r´esultent en posant A < p < B
La structure binaire ainsi obtenue est manifestement transitive lorsque p n’intervient pas dans les paires du transit, ou lorsqu’il ne s’agit pasd’un moyen terme ; quand c’en est aussi, car A < B . Qu’il n’y aitpas d’´el´ements r´eflexifs est ´evident, car ceux de M ne le sont pas, parhypoth`ese, ni p par construction. Ainsi ( M + p < ) est un ordre, et enlui p a occup´e le trou ( A, B ).Par cons´equent, les trous, de l’ordre ( M < ) , indiquent toutes lesextensions possibles, par adjonction d’un nouvel ´el´ement. Afin de construire syst´ematiquement toutes les structures d’ordrepossibles sur un ensemble M , on formera une suite bien ordonn´ee avecses ´el´ements, et en commen¸cant par le premier, les ´el´ements sont ad-joints un `a un, en pla¸cant l’adjonction, de toutes les mani`eres possibles,dans l’ordre d´ej`a r´ealis´e, c’est-`a-dire en occupant successivement tousles trous de l’ordre mentionn´e. Nous avons d´ej`a utilis´e ce proc´ed´e, deformation syst´ematique, pour les totaux dans notre th`ese mentionn´ee.Le lecteur averti notera l’analogie de ce proc´ed´e – mutatis mutandis– avec celui suivi par Steinitz, dans son (cid:28) Algebraische Theorie derK¨orper (cid:29) , pour la construction exhaustive des corps.Si r et s appartiennent `a M − ( A + B ), lui appartiennent aussi lessolutions de la double relation r < x < s car x < A impliquerait l’inclusion de r dans A ; de mˆeme x < B impliquerait celle de s dans B . Par cons´equent, l’ensemble M − ( A + B )est un intervalle de l’ordre M < i ) : nous l’appellerons l’intervalle neutre du trou ( A, B ). Nous devons noter que, bien que (
M < ) ne soit pas connexe, onpourra ´etablir, au moyen de l’´el´ement joint p , la connexion entre lesdiff´erentes parties qui le composent.9.– Les diff´erents types de trous.
Nous appelons trou ext´erieur celui, (O , O), dont l’intervalle neutreest tout M .Nous appelons trous couverts ceux, (O , B ), dont la section initialeest vide. De mani`ere analogue, trous appuy´es ceux, ( A, O), dont lasection finale est vide.Trous internes appelons-nous les autres, pour lesquels ne sont pasvides, ni leur section initiale, ni leur section finale.Il est facile de voir qu’il y a des trous (
A, B ), pour lesquels il n’y apas de solution dans M `a la double relation A < x < B Par exemple, dans la figure 3 ; le trou ( d, b + c ).Plus int´eressants sont les trous ( A, B ), pour lesquels x < B n’a pasde solution dans M − A , qui sont les trous ( B ∗ , B ). Leur sont analoguesles trous ( A, ∗ A ). Il y a encore l’interf´erence des deux circonstances,c’est-`a-dire des trous ( A, B ) pour lesquelles A ≡ B ∗ et B ≡ ∗ A que nous appelons ´etroits . Selon les ´equations (5) du num´ero 6, cestrous sont ceux de la forme (cid:104) B ∗ , B ∗ ) ∗ (cid:105) et (cid:20) ∗ A ) ∗ , ∗ A (cid:21) La raison du nom est que son intervalle neutre est le plus petit possible,dans le sens que l’on ne peut pas passer de ses ´el´ements, adjoints `a lasection initiale ou finale, de mani`ere que forment toujours un trou lesnouveaux ensembles A (cid:48) , B (cid:48) .Un trou ´etroit ( A, B ) est disjonctif lorsque son intervalle neutre estvide, consommant ainsi, entre A et B tous les ´el´ements de M . Dansla figure 6, le trou ( a, ∗ a ) est disjonctif. Dans les ordres correspondantsaux figures 3, 4, 5, il n’y a pas de trous disjonctifs, bien qu’il y ait destrous ´etroits.Dans les ordre totaux, lorsque l’extension pr´evue est ´egalement to-tale, les seuls trous qui pr´esentent un int´erˆet sont les ´etroits, qui sont´egalement tous disjonctifs. Les trous disjonctifs, ´eventuels dans un ordre, ont la propri´et´e sui-vante :D´esignant par A i , pour i ∈ I , la partie initiale g´en´erique d’un syst`emede trous disjonctifs, de l’ordre( M < i ) , (cid:88) i ∈ I A i et (cid:89) i ∈ I A i sont aussi des sections initiales de trous disjonctifs.En effet : comme le montre le no. 7, l’un et l’autre, sont des sectionsinitiales de l’ordre ( M < ). Soit alors r un ´el´ement non inclus dans (cid:88) i ∈ I A i , de sorte que, n’apparaissant dans aucun des A i , il sera danschaque B i partie finale du trou disjonctif ( A i , B i ) alors A i < r pour i ∈ I avec lequel r appartiendra `a l’ensemble (cid:32)(cid:88) i ∈ I A i (cid:33) ∗ et, ainsi, de cettemani`ere, car r est l’´el´ement g´en´erique de M − (cid:88) i ∈ I A i , on aura (cid:88) i ∈ I A i < M − (cid:88) i ∈ I A i ce qui confirme la premi`ere partie de notre proposition. La seconde sed´emontre facilement partant de la relation (cid:89) i ∈ I A i ≡ M − (cid:88) i ∈ I B i et appliquant la partie d´emontr´ee `a l’ordre inverse.10.– Ordre naturel des trous. ´Etant donn´es (
A, B ) et ( A (cid:48) , B (cid:48) ) deux trous dans l’ordre ( M < ), occuper simultan´ement ces trous, respectivement avec les ´el´ements p et q c’est d´efinir une extension ( M + ( p, q ) < ) mettant, comme nouvellesrelations fondamentales, en plus de celles de ( M < ) celles implicitesdans A < p < B et A (cid:48) < q < B (cid:48) et appliquant la loi transitive, jusqu’`a ce que soit ferm´e le syst`eme derelations d’ordre que nous avons ainsi.De mani`ere analogue, l’occupation simultan´ee de tout syst`eme detrous dans un ordre est d´efinie. Nous d´efinirons un ordre naturel, pour les trous de (
M < ), en posant( A, B ) < ( A (cid:48) , B (cid:48) ) lorsque BA (cid:48) (cid:54)≡ M < ), chacun avec un nouvel ´el´ement, la relationd’ordre entre eux sera pr´ecis´ement celle attribu´ee aux trous qu’ils oc-cupent ; de plus les relations, entre les nouveaux ´el´ements, doivent sed´eduire `a l’aide de la loi transitive ; alors, si les ´el´ements p et p (cid:48) , ajout´esdans les trous ´ecrits ci-dessus, v´erifient p < p (cid:48) , c’est qu’il y avait un´el´ement interm´ediaire, qui serait n´ecessairement dans B.A (cid:48) .Cette relation binaire, entre les trous de (
M < ), est manifestementirr´eflexives car A . B ≡ A, B ) < ( C, D ) implique
B . C (cid:54)≡ C, D ) < ( E, F ) implique
D . E (cid:54)≡ p ∈ B.C et q ∈ D.E ∴ p < q ∴ p ∈ E par suite B.E (cid:54)≡ ∴ ( A, B ) < ( E, F )Ainsi, la relation ´etablie entre les trous est un ordre, deux trous ´etantincomparables lorsque
B . A (cid:48) ≡ ≡ B (cid:48) . A et comparable lorsqu’une seule de ces deux est v´erifi´e.Si un trou ( A, B ) pr´ec`ede un autre ( A (cid:48) , B (cid:48) ), la section initiale decelui-l`a est incluse dans celui-ci.En effet : par hypoth`ese B, A (cid:48) (cid:54)≡
Osoit p ∈ B . A (cid:48) ∴ p ∈ B ∴ A < p ∴ A ⊆ p ∗ ´egalement p ∈ A (cid:48) ∴ p ∗ ⊆ A (cid:48) donc A ⊆ p ∗ ⊆ A (cid:48) ∴ A ⊆ A (cid:48) La condition A ⊆ A (cid:48) ne suffit pas pour que deux trous soient com-parables car nous d´emontrerons :Si A ⊆ A (cid:48) et B ⊆ B (cid:48) les trous ( A, B ) et ( A (cid:48) , B (cid:48) ) sont incomparables. En effet : p ∈ B donne p ∈ B (cid:48) ∴ p / ∈ A (cid:48) ∴ BA (cid:48) ≡ q ∈ A donne q ∈ A (cid:48) ∴ q / ∈ B (cid:48) ∴ AB (cid:48) ≡ A.B (cid:48) ≡ A ⊂ A (cid:48) ∴ B.A (cid:48) (cid:54)≡
M < ), a des sauts.En effet : d´esignons par ( A < i , B i ) les trous disjonctifs, pour lesquelsun ´el´ement donn´e m , de M , appartient `a leur section finale ; de mˆeme( α j , β j ) d´esigne les trous disjonctifs aux sections initiales desquels ap-partient m . Comme on le montre, `a la fin du no. 9, sont aussi des trousdisjonctifs (cid:32)(cid:88) i ∈ I A i , (cid:89) i ∈ I B i (cid:33) et (cid:32)(cid:89) j ∈ J α j , (cid:88) j ∈ J β j (cid:33) et, par la d´efinition, donn´ee ci-dessus, on aura( A i , B i ) (cid:54) (cid:16)(cid:88) A i , (cid:89) B i (cid:17) < (cid:16)(cid:88) α j , (cid:89) β j (cid:17) (cid:54) ( α J , β j )les trous disjonctifs ´etant ´epuis´es avec les deux classes, les trous form´essont contigus.Soient ( A (cid:48) r , B (cid:48) r ) et ( α (cid:48) s , β (cid:48) s ) les syst`emes de trous disjonctifs, form´esde mani`ere analogue, pour un autre ´el´ement m (cid:48) ∈ M : si on avait, cartous sont comparables, ´etant des trous disjonctifs, (cid:16)(cid:88) A i , (cid:89) B i (cid:17) < (cid:16)(cid:89) α j , (cid:88) β j (cid:17) < (cid:16)(cid:88) A (cid:48) r , (cid:89) B (cid:48) r (cid:17) < < (cid:16)(cid:89) α (cid:48) s , (cid:88) β (cid:48) s (cid:17) on aurait (cid:89) B i . (cid:89) α j < (cid:88) β j . (cid:88) A (cid:48) r < (cid:89) B (cid:48) r . (cid:89) α (cid:48) s ∴∴ (cid:89) B i . (cid:89) α j < (cid:89) B (cid:48) r . (cid:89) α (cid:48) s Donc, les ´el´ements de M sont r´epartis dans les ensembles analogues `a (cid:81) B i . (cid:81) α j , deux `a deux comparables, dans l’ordre ( M < ), corres-pondant au syst`eme de sous-ensembles de M . Comme il est ´evident quel’ordre (cid:104)(cid:16)(cid:89) B i . (cid:89) α j (cid:17)(cid:105) n’a pas de trous disjonctifs, nous aurons :Tout ordre ( M < ) est d´ecompos´e, de mani`ere unique, en un syst`emetotalement ordonn´e, au moyen de la relation < , des ensembles, etl’ordre induit par ( M < ), sur chacun d’eux, n’a pas de tous disjonctifs.L’ordre, tir´e de la figure 7, donne un exemple d’ordre avec les trousdisjonctifs suivants :( a ∗ , ¯ a ) ( a, ∗ a ) ( b ∗ , ¯ b ) ( b, ∗ b ) ( c ∗ , ¯ c ) ( c, ∗ c ) ( d ∗ , ¯ d ) ( d, ∗ d ) ( e ∗ , ¯ e ) ( e, ∗ e )et sa d´ecomposition, selon la derni`ere proposition, donne les ordressur les ensembles, que nous ´ecrivons pr´ecis´ement dans l’ordre o`u ilsapparaissent a ∗ , a, ∗ a b ∗ , b, ∗ b c ∗ , c, ∗ c d ∗ , d, ∗ d e ∗ , e, ∗ e Matrice d’ordre pour un nombre cardinal.
Suivant une d´enomination tr`es suggestive de Denjoy (*), nous ap-pellerons ordre matrice , pour le nombre cardinal K , un ordre ( U < ),lorsque quel que soit l’ordre (
M < (cid:48) ), v´erifiant | M | = K , parmi lessous-ordres de ( U < ), il y en a un isomorphe `a (
M < (cid:48) ).—————–(*)
L’´enum´eration transfinie (Livre 1. ◦ - 1946 - page 146). En tantqu’ordres universels, nous les envisageons dans notre th`ese, mentionn´eeplus haut, pour les ordres totaux. Maintenant, il faut le noter, nous nousr´ef´erons aux ordres quelconques.—————— Il est facile de d´efinir des matrices d’ordre, `a laide du proc´ed´e sui-vant :´Etant donn´e un ordre quelconque (
Z < ), nous consid´ererons l’op´e-ration d’extension ϕ consistant `a remplir, simultan´ement, tous les trousdans ( Z < ), mais avec un seul objet chacun : on obtiendra ainsi l’ordre(
Zϕ < ). En r´ep´etant successivement, on obtiendra une suite bien or-donn´ee d’extensions, sur les ensembles Zϕ α ≡ ( Zϕ α − ) ϕ pour α ordinal non limite Zϕ α ≡ Lim i<α Zϕ i pour α ordinal limitesous-entendu, pour uniformiser la notation, Z ≡ Zϕ Consid´erant ordonn´e l’ensemble d’un objet, nous parlerons de l’ordre(
I < ). En lui appliquant l’op´eration d’extension ϕ , les ordres ( Iϕ i < )seront form´es qui, `a mesure que l’ordinal i croˆıt, sont ´etendus.D´esignant par γ le plus petit ordinal qui v´erifie | γ | = | M | je dis que l’ordre ( Iϕ γ < ) est une matrice des ordres de M .En effet : selon le th´eor`eme du bon ordre, il existera pour M un bonordre ( M < b. . ) de type ordinal γ . Soit m le premier ´el´ement de celui-ci.En passant de ( m < ) `a ( M < ), certains trous sont occup´es ; en prenantdans (
M < b.o. ) les plus bas qui les occupent, nous obtiendrons ( mψ < ). En occupant les autres trous de ( m < ) chacun avec un ´el´ementn’appartenant pas `a M , nous obtiendrons ( mϕ < ).Sont ´evidemment vraies( mψ < ) est immerg´e dans ( M < )( mψ < ) est immerg´e dans ( mϕ < )En passant de ( m, < ) `a ( M < ) certains trous (
A, B ) de celui-l`a serontoccup´es ; en prenant de M les plus bas dans ( M < b.o. ) qui les occupent,on aura ( mψ < ) est immerg´e dans ( M < )Fermetures initiale et finale, par rapport `a ( mϕ < ), A et B , on obtientle trou ( A, B ) qui, `a l’´etape ( mϕ , < ) est occup´e par le mˆeme ´el´ement de M qui occupait auparavant le trou ( A, B ) : on obtiendra, en remplissantles trous restants chacun avec un ´el´ement ext´erieur `a M ( mψ < ) est immerg´e dans ( mϕ < ) On r´eit`ere ce proc´ed´e, en le combinant avec l’extension limite. En ap-pliquant l’induction [la r´ecurrence], on d´emontre facilement( mψ α < ) est immerg´e dans ( mϕ α < )le premier ´etant ´evidemment immerg´e dans ( M < ). Comme l’ensemble M s’´epuise avec mψ σ pour σ (cid:54) γ , il en r´esulte( M < ) ≡ ( mψ σ < ) est immerg´e dans ( mϕ σ < ) est immerg´e dans ( mϕ γ < )comme nous voulions le d´emontrer (*)——————(*) Nous soup¸connont que le cardinal de mϕ γ est 2 | M | —————–12.– Lignes compl`etes
Pour les structures binaires ordinales, (
M < ), les lignes, aussi biencompl`etes qu’incompl`etes, semblent d’un int´erˆet exceptionnel. Le sous-ensemble L , avec l’ordre induit ( L < ), sera une ligne , si son ordreest total. La ligne sera compl`ete, lorsque, quel que soit l’´el´ement q de( M − L ) ajout´e, ( L + q < ) est d´ej`a un ordre partiel.La notion de ligne peut ˆetre relativis´ee car en d´esignant par R unsous-ensemble de M , l’ensemble LR sera aussi une ligne de ( R < ).La ligne compl`ete non ; ainsi, sur la figure 8, o`u L ´etant la ligne, `al’extr´emit´e terminale de laquelle le L apparaˆıt, et R ≡ c + dLR est une ligne incompl`ete de ( R < ). ( S < ) ´etant une ligne de (
M < ), il y a des lignes compl`etes quicontiennent S .Ce th´eor`eme a ´et´e d´emontr´e par Hausdorff. On compl`ete ( S < ) enoccupant ses trous disjonctifs (
I, F ) avec l’une des lignes compl`etes,soit ( L if < ), de ( ∗ IF ∗ < ) ; cela donne toutes les mani`eres possibles decompl´eter ( S < ).Parmi les lignes, il convient de signaler les demi-rayons initiaux , leslignes (
I < ) telles que, les ´el´ements comparables, `a tous ceux de I , ap-partiennent `a ∗ I ; donc, ( I < ) peut ˆetre compl´et´e seulement par son troufinal ( I, O) ; ainsi ils pourraient ˆetre d´efinis comme des lignes compl`etesde la structure ordinale ( M − ∗ I < ). Corr´elativement, on d´efinit le demi-rayon final .´Etant donn´ee la ligne compl`ete (
L < ) de (
M < ), et (
I, F ) ´etant l’undes trous disjonctifs de celui-l`a, on v´erifie ´evidemment que I est undemi-rayon initial, F un demi-rayon final de ( M < ).De mˆeme, l’ensemble ∗ I.F ∗ est un ensemble vide.En effet : si m en ´etait un ´el´ement, on aurait I < m < F et la ligne, contrairement `a l’hypoth`ese, ne serait pas compl`ete.Les demi-rayons
I, F engendrent les deux suites d’ensemblesle
I I, ∗ I, ∗ I ) ∗ ; le F F , F ∗ , F ∗ ∗ )qui v´erifient les inclusions suivantes : I ⊆ I ⊆ ∗ I ) ∗ ⊆ F ∗ et F ⊆ F ⊆ F ∗ ∗ ) ⊆ ∗ I En effet, et se r´ef´erant uniquement au premier groupe, puisque lesecond est ´etabli corr´elativement, en utilisant l’ordre inverse : le premier I ⊆ I est une cons´equence ´evidente de la d´efinition de la fermeture initiale.Tout ´el´ement de I est (cid:54) `a certain de I ;ayant I < ∗ I on aura I < ∗ I ∴ I ⊆ ∗ I ) ∗ de F ⊆ ∗ I vient ∗ I ) ∗ ⊆ F ∗ De ces relations r´esulte que les trous ´etroits (cid:20) ∗ I ) ∗ , ∗ I (cid:21) (cid:20) F ∗ , F ∗ ∗ ) (cid:21) sont, dans le syst`eme de trous de ( M < ), incomparables puisque ∗ I ) ∗ .F ∗ ∗ ) ⊆ ∗ I.F ∗ ≡ L < ) ´etait compl`ete. Quand ce ne serait pas le cas, et quel’un des ensembles L if dont on a d´ej`a parl´e pourrait ˆetre adjoint, lepremier de ces trous pr´ec´ederait le second.Chaque ligne compl`ete de ( M < ), commenc´ee en I , est prolong´eepar n’importe quelle autre de ( ∗ I < ).En effet : soit ( L (cid:48) < ) une ligne qui passe par I , il est ´evident que les´el´ements de L (cid:48) − I v´erifient I < L (cid:48) − I ∴ L (cid:48) − I ⊆ ∗ I Soit (
I < ) un demi-rayon initial de (
M < ), si (
F < ) ´etait une lignecompl`ete de ( ∗ I < ), ( I + F < ) le serait de (
M < ).En effet : que ( I + F < ) est une ligne, c’est ´evident. Qu’elle soitcompl`ete, parce qu’`a l’int´erieur, ou `a gauche de (
I < ) aucun ´el´ementde M − ( I + F ) ne rentre, ni `a l’int´erieur ni `a droite de ( F < ). Ni entre I et F non plus, car il serait de ( ∗ I < ), dans lequel la compl`ete (
F < )a ´et´e prise.De ces propositions, r´esulte que(
I < ) < ( ∗ I < ) pour faire court ( I, ∗ I )se pr´esente comme un croisement ascendant de ( I < ) dans (
M < )puisque le chemin, commenc´e en (
I < ), doit ˆetre poursuivi `a l’int´erieurde ( ∗ I < ) et peut ˆetre suivi par n’importe lequel des chemins de cetordre. Notez que ( I, ∗ I ) ne sera g´en´eralement pas un trou dans ( M < )parce que (
I < ) sera une section initiale seulement exceptionnellement.Nous dirons initialement identique de deux lignes compl`etes, lors-qu’elles ont un demi-rayon initial non vide commun. Dans le cas contrai-re, nous les appellerons initialement distinctes.
Si deux lignes compl`etessont initialement identiques, elles ont en commun un demi-rayon initialmaximum I , qui est compl´et´e par deux demi-rayons finaux initialementdistincts de ( ∗ I < ). En effet : soit (
L < ) et (
R < ) les deux lignes, et I j le demi-rayoninitial g´en´erique commun. (cid:88) I j ≡ I sera ´egalement un demi-rayon initial commun ; alors I est l’un des I j ,et par construction, le plus grand. Par cons´equent( L. ∗ I < ) et ( R. ∗ I < )seront initialement distincts dans ( ∗ I < ). Indice cardinal du croisement ascendant ( I, ∗ I ), nous le dirons dunombre de lignes compl`etes de ( ∗ I < ) initialement distincts deux `a deux.De fa¸con analogue, en consid´erant un ´el´ement a et en appelant ( a, ∗ a )son croisement ascendant, on d´efinit l’indice cardinal du croisementascendant de la mˆeme mani`ere, `a sa droite.Si ( S < ), totalement ordonn´e dans (
M < ), ´etait cofinal `a (
I < ),demi-rayon initial, son prolongement ascendant serait form´e des lignescompl`etes de ( ∗ I < ).Effectivement : en raison de la suppos´ee cofinalit´e S ≡ I ∴ ∗ S ≡ ∗ I ´Etant donn´es ( A, B ) un trou de (
M < ), et (
L < ) une ligne compl`ete,on v´erifie, en d´esignant par N l’intervalle neutre de ce trou L.A < L.N < L.B
En effet : d´esignant par I a l’´el´ement g´en´erique de L.A , chaque ´el´ement I de L qui v´erifie I < I a , sera de A ; donc ´egalement de L.A . L’´el´ement I n de L.N , ne pouvant d´epasser aucun de
L.A , v´erifiera
L.A < I n ∴ L.A < L.N
Avec une d´emonstration, logiquement identique, on peut ´etablir la se-conde affirmation.Avec les hypoth`eses de la proposition ant´ec´edente,(
L.A < ) est une ligne compl`ete de [(
L.N ) ∗ < ]( L.N < ) est une ligne compl`ete de [(
L.A ) ∗ . ( L.B ) ∗ < ]( L.B < ) est une ligne compl`ete de [(
L.N ) ∗ < ]Effectivement :de L.A < L.N r´esulte
L.A ∈ ( L.N ) ∗ et ainsi la premi`ere proposition est v´erifi´ee, en y omettant, pour l’ins-tant, le mot (cid:28) complet (cid:29) . Compl`ete `a l’int´erieur, et `a gauche, car ( L < ) est une ligne compl`ete. Ses extensions ´eventuelles, avec des ´el´ements de( L.N ) ∗ occuperaient son extrˆeme droite, et donc, d´esignant par x untel ´el´ement, L.A < x < L.N et (
L < ), contrairement `a l’hypoth`ese, ne serait pas complet ; alorsun tel x n’existe pas dans ( L.N ) ∗ . La troisi`eme proposition, inclusedans l’´enonc´e, est corr´elative. Nous d´emontrerons la proposition in-term´ediaire. De la proposition ant´ec´edente, il suit L.N ⊆ ( L.A ) ∗ . ( L.B ) ∗ et ´etant compl`ete `a l’int´erieur, si des ´el´ements de cet ensemble pou-vaient y ˆetre ajout´es, ce serait faisable dans ses extr´emit´es seulement,v. gr. [verbi gratia] x ∈ L.N ; maiss’il est vrai que x ∈ L.A c’est que
L.A < x < L.N et nous arriverions `a la mˆeme contradiction que dans le cas pr´ec´edent.L’exemple que nous avons donn´e, pour montrer que la notion deligne compl`ete ne peut pas ˆetre relativis´ee, prouve que (
L.A < ) n’estpas forc´ement compl`ete dans (
A < ).Nous dirons qu’une ligne compl`ete (
L < ) passe par un trou ( A, B ),lorsque
L.N est vide ; sinon qu’elle ne passe pas .´Evidemment, lorsqu’une ligne compl`ete passe par un trou (
A, B ),elle se compose de, et tarit avec, les deux sections, initiale et finale,
L.A et L.B ; il passera donc ´egalement par (
L.A, L.B ).Il est clair que chaque ligne compl`ete passe par chaque trou disjonctif.C’est une condition n´ecessaire et suffisante pour que la ligne compl`ete(
L < ) passe par le trou (
A, B ), que l’ensemble (
L.A ) ∗ . ( L.B ) ∗ soit vide.En effet : L.N ´etant vide, (
L.A, L.B ) sera un trou ´etroit de (
L < ) ;mais, si (
L.A ) ∗ . ( L.B ) ∗ contenait un ´el´ement m de l’ensemble M , onaurait L.A < m < L.B et la ligne, contrairement `a l’hypoth`ese, ne serait pas compl`ete ; donc,la condition est n´ecessaire. Supposons que l’ensemble (
L.N ) ne soitpas vide : en vertu de ce qui a d´ej`a ´et´e prouv´e, quelques lignes plushaut, le tout serait contenu dans (
L.A ) ∗ . ( L.B ) ∗ et ainsi la conditionest suffisante.13.– Transversales compl`etes.
Les sous-ensembles de M , dont les paires sont toutes incomparables,nous les appellerons transversales . La structure ( M < ), dans laquelleelles se trouvent, n’agit pas sur elles, les laisse dans un ´etat amorphe, en relation avec leur environnement. On dira que la transversale T est compl`ete lorsque tout ´el´ement de M − T est comparable `a l’unde T . L’ensemble t ∗ + ∗ t comprenant tous les ´el´ements comparables `a t ,l’´equation qui d´efinit la compl`etude de T sera T ≡ M − (cid:88) t ∈ T ( t ∗ + ∗ t )L’ensemble de tous les ´el´ements maximaux de ( M < ) constitue unetransversale.En effet : ∗ a et ∗ b ´etant vides, lorsque a et b sont deux maxima de( M < ), aucune des deux relations suivantes n’est vraie a < b ni b < a Cette transversale n’est pas n´ecessairement compl`ete, et ainsi, `a pro-prement parler, il se peut que l’on ait T ⊂ M et, dans ce cas, ( M − T < ) n’a pas de maximum (*). C’est ce qui sepasse dans l’ordre d´efini dans la figure 4.Soit T une transversale compl`ete et z l’un des ´el´ements de M − T ,l’un des ensembles ( T.z ∗ ) , ( T. ∗ z ) a des ´el´ements et l’autre pas.En effet : que les deux aient des ´el´ements est impossible car on aurait x < z < y ∴ x < y tous deux ´etant de T . Si les deux ´etaient vides, z serait incomparable`a tous ceux de T , et celle-ci ne serait pas compl`ete, contrairement `ahypoth`ese. (**)—————–(*) Prenant la transversale des minima, que M − T soit vide ounon, pour la structure, partiellement ordonn´ee par l’inclusion, des basesd’une science math´ematique, provenait la classification de la p.108,de notre article (cid:28) Estructuras deductivas (cid:29) [Les structures d´eductives](Rev. Mat. Hisp-Am. (IV) (1954) (104-117).(**) Le lecteur notera l’analogie avec les principes de contradictionet du t. exclu [le tiers exclu].——————-En vertu de la proposition pr´ec´edente, chaque transversale compl`ete T , permet de r´epartir les ´el´ements de M en trois classes : Classe T . Classe T − T , qui constituent une section initiale. Classe T − T , qui constituent une section finale.Il convient de noter qu’en g´en´eral,( T − T, T − T )ne constitue pas un trou de ( M < ) car il n’est en g´en´eral pas vrai que T − T < T − T ainsi, dans la figure 8, pour aucune transversale ces ensembles ne consti-tuent de trou, comme on peut le voir facilement.Dans ( T < ) les ´el´ements de T constituent la transversale compl`etede leurs maxima. Il ne faut pas en conclure que chaque ligne compl`etede ( T < ) se termine par un ´el´ement de T car ellle pourrait avoir lastructure ordinale de la figure 9, dont la transversale des maxima, icicompl`ete, est constitu´ee par les points a i , i parcourant les nombresentiers. L’horizontale de cette figure constitue une ligne compl`ete, quine se termine par aucune desdites transversales.Une transversale compl`ete r´epartit les ´el´ements d’une ligne compl`ete( L < ) en trois classes( T − T ) .L , T.L , ( T − T ) .L la premi`ere, avec l’ordre subordonn´e, constitue une section initiale,la derni`ere de mani`ere analogue une finale ; l’interm´ediaire a au plusun ´el´ement et pourrait ˆetre vide. Sur la ligne ( L < )[( T − T ) .L, ( T − T ) .L ]constitue un trou, qui est disjonctif lorsque T.L ≡ O En ce sens, on peut dire qu’une transversale traverse une ligne compl`etepassant par un point, celui de
T.L quand il y en a un, ou par le troudisjonctif, d´ecrit ci-dessus, si
T.L ´etait vide.Si la transversale compl`ete T croisait la ligne compl`ete ( L < ) parson ´etroit ( L (cid:48) , L (cid:48)(cid:48) ), l (cid:48) et l (cid:48)(cid:48) ´etant respectivement les ´el´ements g´en´eriquesde L (cid:48) et L (cid:48)(cid:48) , l (cid:48) < x et y < l (cid:48)(cid:48) ont des solutions en T , qui constituent les ensembles T. ∗ l (cid:48) et T.l ∗(cid:48)(cid:48)
En parcourant I (cid:48) , dans le sens croissant, ( L (cid:48) < ), il y aura certainesfois, d’autres non, l’ensemble limite d’´el´ements communs `a tous, ceuxde l’ensemble T. ∗ L (cid:48) ≡ (cid:89) T. ∗ l (cid:48) De mani`ere analogue, en parcourant I (cid:48)(cid:48) dans le sens d´ecroissant del’ordre ( L (cid:48)(cid:48) < ). Ces deux ensembles T. ∗ L (cid:48) et T.L (cid:48)(cid:48)∗ peuvent ˆetre vides ou poss´eder des ´el´ements. Ils n’ont sˆurement pasd’´el´ements communs car celui qui renfermerait x v´erifierait L (cid:48) < x < L (cid:48)(cid:48) et la ligne, contrairement `a l’hypoth`ese, ne serait pas compl`ete.Prenant dans ( ∗ T < ) une transversale compl`ete et l’´etendant jusqu’`ace que, `a l’int´erieur de (
M < ), elle soit aussi compl`ete, on obtiendraitune transversale compl`ete T (cid:48) . Serait vraie T < T (cid:48) puisque, t et t (cid:48) ´etant de leurs ´el´ements respectifs, s’il se trouvait parfois t (cid:48) (cid:54) t par la d´efinition de T (cid:48) , il y aurait des ´el´ements post´erieurs `a tous ceuxde T ; on verrait ainsi qu’il y avait des ´el´ements comparables dans T (cid:48) . Probl`eme . – Existe-t-il des ordres dans lesquels
L.T , quels que soient L et T , avec la signification pr´ec´edente, poss`ede un ´el´ement ?Bien sˆur, que L.T soit toujours vide est impossible car, t ´etant un´el´ement de T , il y a des lignes qui le traversent. Bases lin´eaires d’un ordre.
Les figures suggestives utilis´ees dans cet article indiquent l’impor-tance de la formation g´en´erale des ordres, non seulement en com-men¸cant par d’autres totaux `a deux ´el´ements, mais avec n’importequel nombre, en particulier avec ceux qui sont des lignes compl`etes dela structure.Si L i , lorsque i parcourt un ensemble convenable I , nous fournissait latotalit´e des lignes compl`etes de ( M < ), il est clair que, par la confusiondes ordres du syst`eme ( L i < ) pour i ∈ I nous obtiendrions ( M < ). Ce qui est int´eressant est que, puisque laloi transitive constitue un m´ecanisme permettant de d´eduire de nou-velles relations d’ordre, de la g´en´eration pr´ec´edente, toutes les lignescompl`etes ne sont g´en´eralement pas utilis´ees, mais seule une partied’entre elles suffit.Appelons J le sous-ensemble g´en´erique de I : les ordres (cid:32)(cid:88) j ∈ J L j < (cid:33) J ⊆ I seront en g´en´eral plus faibles que ( M < ) ; lorsqu’il co¨ıncide avec elle,nous dirons que le syst`eme de lignes compl`etes( L j < ) j ∈ J est une base lin´eaire de l’ordre ( M < ). Nous d´esignerons dans la suitede mani`ere g´en´erique l’ensemble J par B .En ordonnant le syst`eme I des sous-ensembles de I , par inclusionstricte, le syst`eme β des bases lin´eaires, constitue une section finalede ( I ⊂ ), et, lors du parcourt de la structure ( I ⊂ ), dans le senscroissant, qui finit par entrer dans β car le mˆeme ensemble I , qui estle plus grand de ( I ⊂ ), constitue une base lin´eaire. En particulier,en suivant les lignes compl`etes de ( I ⊂ ), elle finit par entrer dans lasection finale des bases lin´eaires.Il peut arriver que ( β ⊂ ) ait un ´el´ement infime ; l’ensemble qui leconstitue sera une base absolue de l’ordre ( M < ). Si cela ne se pro-duit pas, ( β ⊂ ) peut encore avoir des ´el´ements minimaux ; nous lesappellerons bases irreductibles de l’ordre ( M < ). Bien sˆur, a priori,celles-ci pourraient ´egalement manquer, et alors chaque base en contien-drait une autre de l’ordre (
M < ). Ayant des bases irr´eductibles, deuxcas peuvent ˆetre distingu´es : a ) les minima de ( β ⊂ ) constituent unetransversale compl`ete de ( β ⊂ ), et, par cons´equent, toute base lin´eaire de ( M < ) contient une base irr´eductible ; b ) la transversale des basesirr´eductibles est incompl`ete dans ( β ⊂ ), et par suite, en plus des baseslin´eaires qui contiennent des bases irr´eductibles, il en existe d’autresqui ne contiennent aucune des autres bases irr´eductibles, sinon elles-mˆemes, et toutes les autres qui y sont contenues, sont r´eductibles.Si tous ces cas sont effectivement r´ealisables, est une question probl´e-matique.Les exemples suivants clarifient les notions ant´erieures. Les figures3, 10, 11, nous montrent des ordres, tous engendr´es par quatre lignescompl`etes, dont le type ordinal est celui de l’ordre r´eel. Le nombre totalde lignes compl`etes est, cependant, diff´erent ; dix-neuf pour la figure 3,dix-huit pour la figure 10, seize pour la figure 11. C’est suffisant pourvoir l’anisomorphisme de ces ordres. Les transversales, dont le nombreest infini dans chacune d’elles, se compose au plus de quatre ´el´ements,mais il y en a avec trois et avec deux ; aucun dans la figure 3, undans la figure 10, deux dans la figure 11, ce qui prouverait ´egalementl’anisomorphisme desdits ordres. Les ordres d´efinis par les figures 12 et13, avec le premier a , et le dernier b , sont isomorphes pour l’ordre, mˆemesi topologiquement, et sans sortir du plan, on ne peut les superposer.Au lieu d’une fusion conjointe, qui suppose des ´el´ements communsdans les ordres qui se confondent, on pourrait partir d’un syst`emed’ordres ( B i < ) – totaux dans le cas int´eressant que nous examinonsmaintenant – dont les ensembles n’ont pas d’´el´ements communs, deux`a deux. Ceci serait r´ealis´e en d´efinissant, de toutes les mani`eres pos-sibles, une structure de classification, pour l’ensemble r´eunion (cid:80) B i , qui n’agit pas librement, car on doit ´eviter les cycles, ce qui n´ecessitede la limiter par les conditions suivantes :1. a ) L’intersection de chaque classe avec chacun des ensembles B i d´ej`a ordonn´es n’aura jamais deux ´el´ements ou plus.2. a ) Les classes P et Q , `a leur intersection avec B i fourniront deux´el´ements p i et q i , dont la relation d’ordre reste invariante en faisantvarier i de toutes les mani`eres possibles.Ce proc´ed´e nous donnerait tous les ordres possibles, dont la base estconstitu´ee des ordres ( B i < ) du syst`eme donn´e. FIN DE LA TRADUCTIONTable des mati`eres
Prologue 6CHAPITRE 1 LES STRUCTURES BINAIRES 7
Les structures binaires en g´en´eral
Les structures binaires transitives
La classification des structures binaires transitives
Ordre et classification engendr´es par une structure ( M (cid:54) ) . CHAPITRE II. LES ORDRES 17
Notions pr´eliminaires.
Majorant et minorant d’un ensemble.
207 .–
Fermetures initiale et finale d’un ensemble.
Extension syst´ematique des ordres.
Les diff´erents types de trous.
Ordre naturel des trous.
Matrice d’ordre pour un nombre cardinal.
Lignes compl`etes.
Transversales compl`etes.
Bases lin´eaires d’un ordre. VOCABULAIRE
Dans m p.x, le m renvoie `a la page de la traduction, le p.x `a la pagedu texte originalr´eflexif 7 p.104irr´eflexif 7 p.104sym´etrique 7 p.104asym´etrique 7 p.104incomparable 7 p.104comparable 7 p.105plus faible 7 p.105non connect´e 8 p.105connexe 8 p.105r´eunir 9 p.105sousconjoindre 9 p.106ligne compl`ete 9 p.107transversale compl`ete 9 p.107fermer `a gauche 9 p.107inverser 10 p.107noyau structur´e 10 p.107r´esidu amorphe 10 p.107isomorphe au sens large 10 p.107proposition 11 p.108vraies 11 p.108fausse 11 p.108crit`ere de v´erit´e 11 p.108m´ecanisme d´eductif 11 p.108 fermeture d´eductive 12 p.109base 12 p.110r´eductible 12 p.110irr´eductible 12 p.110base absolue 12 p.110con-fusion 13 p.111odre total 18 p.115ordre partiel 18 p.115maximum 18 p.116minimum 18 p.116supremum 18 p.116infimum 18 p.116inconfusible 19 p.117cycle 19 p.117finalement sup´erieur 21 p.119fermer initialement 21 p.120fermeture finale 21 p.120section initiale 22 p.120section finale 22 p.120intervalle 22 p.120ordre ramifi´e 23 p.121cofinaux 23 p.121co¨ınitiaux 23 p.121enveloppe sup´erieurement 23 p.122extension 24 p.123sous-ordre 25 p.123sur-ordre 25 p.123extension limite 25 p.124intervalle neutre 27 p.127trou ext´erieur 27 p.127trou couvert 27 p.127trou appuy´e 27 [estribado] p.127trou ´etroit 27 p.127trou disjonctif 27 p.128ligne 34 p.134demi-rayon initial 35 p.135demi-rayon final 35 p.135indice cardinal 37 p.137passe par un trou 38 p.138ne passe pas 38 p.138transversale 38 p.139base lin´eaire 42 p.143 base absolue 42 p.143base irr´eductible 42 p.144 Quelques pr´ecisions
Apr`es les deux points : on commence, en g´en´eral, par une minusculecomme la typographie du fran¸cais l’exige.On a essay´e de s’en tenir, autant que possible, aux traductions sui-vantes.pues : carpor tanto : donctendr´ase : on auraal pasar : en passantdesde luego : bien sˆurpor tener : en ayantluego : alorso sea : c’est-`a-diresiendo : ´etant ou soitas´ı : ainsirecorrere : parcouriracierto : convenable ( ?)agotar : tarirconstar con : se compose deLe style de
Cuesta nous a sembl´e particulier. Aux fins de com-paraison avec des math´ematiciens contemporains voici un extrait, lapage 77, du livre de
Fernando Hern´andez Hern´andez , [
Teor´ıade Conjuntos (una introducci´on) , Universidad Nacional Autonoma deMexico, 1998], suivies de deux pages, 104 et 105, de
Cuesta . .5. ´Ordenes 77 (a) Z ( r ) (cid:95) Z ( s ) = (cid:62) para cualesquiera n´umeros racionales r, s con r = s. (b) I = S r (cid:77) Q Z ( r ) .
17. Muestre que si M es una familia no vac´ ı a de relaciones de equivalenciaen A , entonces T M es una relaci´on de equivalencia en A .18. Preservando la notaci´on del Ejercicio 17 pruebe que existe una relaci´onde equivalencia E en A tal que(a) R (cid:53) M implica R (cid:21) E, (b) si E es una relaci´on de equivalencia en A y (cid:59) R (cid:53) M , R (cid:21) E ,entonces E (cid:21) E .
19. Si M = { E A , E B } , describa S M y la relaci´on E cuya existencia seasegura en el ejercicio anterior. Otro de los conceptos fundamentales en matem´aticas es el concepto de orden enun conjunto. Un orden puede ser de fi nido como una relaci´on con caracter´ ı sticasespeciales. De fi nici´on 4.91 Una relaci´on R en A es antisim´etrica si para todo a, b (cid:53) A , aRb y bRa implica a = b. De fi nici´on 4.92 Una relaci´on R en A , que es re fl exiva, antisim´etrica y tran-sitiva se llama orden (parcial) en A . El par (
A, R ) se le llama conjunto (par-cialmente) ordenado.Primero note que el dominio de un orden en A es A . A aRb se le puede leercomo: “ a es menor o igual que b ”, “ b es mayor o igual que a ”, “ a precede a b ” o “ b es sucesor de a ” (en el orden R ). As´ ı , todo elemento de A es menor(mayor) o igual a s´ ı mismo. Generalmente se usan los s´ ı mbolos (cid:23) , ¹ , ¿ , paradenotar ´ordenes. Ejemplo 4.93
La relaci´on vac´ ı a (cid:62) , en cualquier conjunto A no es un orden,salvo que A = (cid:62) . Ejemplo 4.94
Dado un conjunto A , la relaci´on identidad es un orden. Ejemplo 4.95 Si (cid:23) es el orden usual en el conjunto de los n´umeros reales,entonces (cid:23) es un orden seg´un la De fi nici´on 4.92.
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