Sur une généralisation de l'opérateur fractionnaire
Thomas Michelitsch, Gérard Maugin, Shahram Derogar, Andrzeij Nowakowski, Nicolleau Franck
aa r X i v : . [ phy s i c s . c l a ss - ph ] N ov Sur une g´en´eralisation de l’op´erateur fractionnaire
Thomas M. Michelitsch ∗ , G´erard A. Maugin Shahram Derogar Andrzej F. Nowakowski , Franck C. G. A. Nicolleau Universit´e Pierre et Marie Curie, Paris 6Institut Jean le Rond d’AlembertCNRS UMR 7190France School of Mechanical, Aerospace and Civil EngineeringThe University of ManchesterRoyaume Uni Sheffield Fluid Mechanics Group, Department of Mechanical EngineeringUniversity of SheffieldRoyaume UniAugust 6, 2018 paru dans des actes de congr`es, CFM11,Besan¸con, le 20`eme CONGRES FRANCAIS DE MECANIQUE DU 28 AOUT AU 2 SEPTEMBRE 2011Communication no. 75.
R´esum´e
Cette communication a pour but de proposer une g´en´eralisation de la notion de d´eriv´ee tradition-nelle afin d’inclure les d´eriv´ees fractionnaires comme celles de Riemann-Liouville, Gruenwald-Letnikov, Weyl,Riesz, Caputo, Marchaud et d’autres variantes comme cas particuliers. Nous le d´emontrons de mani`ere ex-plicite pour la d´eriv´ee de Marchaud. Afin de d´efinir cette notion il convient d’employer le calcul d’op´erateurslin´eaires. La notion de d´eriv´ee g´en´eralis´ee est susceptible non seulement de reproduire les d´eriv´ees et int´egralestraditionelles et fractionnaires mais aussi de d´efinir de nouvelles esp`eces de “d´eriv´ees” qui peuvent ˆetre utilespour traiter certains probl`emes de m´ecanique en milieux sans echelles internes (fractals) [2]. mots cl´e:
D´eriv´ee g´en´eralis´ee, d´eriv´ee fractionnaire, int´egrale fractionnaire de Riemann-Liouville, diff´erencefractionnaire, calcul d’op´erateurs
Le but du calcul fractionnaire qui a environ 300 ans est d’appr´ehender le probl`eme des ordres non-entiers desd´eriv´ees traditionnelles. Comme il est bien connu, l’extension de la notion de d´eriv´ee aux ordres non-entiersne se fait pas de mani`ere unique. Du coup, il en existe plusieurs variantes. Nous nous r´ef´erons `a l’ouvrageclassique d’Oldham et Spanier [4] et `a d’autres auteurs dont nous ne citons que [1, 3, 5, 6].Cette communication a pour but d’introduire une g´en´eralisation des notions de “d´eriv´ee” et d’“int´egrale”afin de mettre en place un outil math´ematique permettant d’aborder quelques probl´emes nouveaux en m´ecanique ∗ Auteur correspondant, couriel : [email protected] T d´efini par T ( h ) f ( x ) = f ( x + h ) , ∀ x, h ∈ R (1)Pour ´eviter trop de complications nous nous restreignons ici `a des fonctions continues, soit plusieurs foisdiff´erentiables, soit non-diff´erentiables. On observe que T ( h ) T ( h ) = T ( h + h ) , h , h ∈ R avec T (0) = 1et T a ( h ) = T ( ah ) , a ∈ R . Si f ( x ) est sufisamment lisse (lipschitzienne) on peut identifier T ( h ) = e hD x (2)o`u D x = ddx d´enote la d´eriv´ee traditionnelle du premier ordre. Dans cette communication nous construisonsdes op´erateurs qui s’appliquent aux fonctions continues remplissant la condition de H¨older [1]: | f ( x + h ) − f ( x ) | ≤ C h δ , < δ ≤ x et x + h ´etant dans le domaine de f ( x ). C d´esigne une constante et δ l’exposant de H¨older. Si δ = 1 lafonction f ( x ) n’est pas diff´erentiable et par cons´equent (2) n’existe pas. Le cas δ = 1 correspond aux fonctionstraditionnelles dites liptschitziennes. Cet paragraphe est consacr´e `a une g´en´eralisation de la notion de d´eriv´ee incluant la notion de d´eriv´ee frac-tionnaire. Il en r´esulte un op´erateur qui s’applique aux fonctions h¨old´eriennes . Pour motiver notre propos,consid´erons la d´eriv´ee d’ordre n entier ( n ∈ N ) d´efinie par D nx f ( x ) = lim h → h − n ( T ( h ) − n f ( x ) = lim h → h − n n X k =0 ( − k (cid:18) nk (cid:19) f ( x − kh ) , n ∈ N (4)o`u lim h → T ( nh ) → (cid:18) nk (cid:19) = n ! k !( n − k )! avec la fonctionΓ d´efinie par β ! = Γ( β + 1) = Z ∞ τ β e − τ d τ , β ∈ R > − β ! pour les non-entiers verifiant β > − β = n = 1 , , .. ∈ N n ! = Π nk =1 k . Larestriction β > − n peut ˆetre r´e-´ecrite comme D n f ( x ) = lim h → g ( T ( h )) g (1 + h ) f ( x ) (6)avec une fonction g ( λ ) = ( λ − n = ∞ X k =0 a ( k ) λ k , a ( k ) = ( − n − k (cid:18) nk (cid:19) (7)o`u nous ne nous int´eressons qu’aux cas non-banals n ≥ ∈ N . Nous d´enommons par la suite la fonction g ( λ )“fonction constituante” ou en bref la “constituante”. On observe dans l’exemple ci-dessus que g ( λ = 1) = ∞ X k =0 a ( k ) = 0 (8)A partir de cette observation nous appelons le cas limite Il nous suffira ici de nous restreindre aux β ∈ R . Re ( β ) > − β ∈ C . g f ( x ) = lim h → g ( T ( h )) g (1 + h ) f ( x ) (9)“ d´eriv´ee g´eneralis´ee”, en bref “d´eriv´ee”, si sa constituante satisfait (8), c’est-`a-dire si g ( λ = 1) = 0 et parcons´equent la d´eriv´ee g´en´eralis´ee d’une constante est z´ero. L’exemple le plus banal de cette notion est biensˆur la d´eriv´ee traditionnelle du premier ordre ayant la constituante g ( λ ) = λ −
1. Inversement nous appelons(9) “ int´egrale g´en´eralis´ee” ou simplement “int´egrale” si g ( λ = 1) est singuli`ere au point λ = 1 `a savoir | lim λ → g ( λ ) = ∞ X k =0 a ( k ) | → ∞ (10)Il s’ensuit que si une constituante g ( λ ) r´ealise une d´eriv´ee, alors 1 /g ( λ ) r´ealise une int´egrale et vice versa.Pour tous les autres cas o`u 0 < | g (1) | < ∞ , (9) peut ˆetre d´etermin´ee sans probl`eme donnant le r´esultatbanal D g f ( x ) = f ( x ). Dans cette communication nous nous restreignons aux cas o`u la constituante a uncomportement au voisinage de λ = 1 comme une puissance : ( λ − c , c ∈ R . Dans ce cas on peut ´egalementremplacer (9) par D g f ( x ) = lim h → g (1 + [ T ( h ) − /h ).D’abord nous donnons une ´evaluation qui est valable pour les cas o`u d s dλ s g ( λ = 1) < ∞ , s ∈ N et au moinsd’ordre s avec d s dλ s g ( λ = 1) = 0. Pour cela nous posons g ( T ( h )) = g ( λ + T ( h ) − | λ =1 = e ( T ( h ) − ddλ g ( λ ) | λ =1 (11)ce qui peut ˆetre ´ecrit en ´evaluant l’op´erateur exponentiel comme g ( T ( h )) f ( x ) = X s =0 s ! ( T ( h ) − s d s dλ s g ( λ ) | λ =1 f ( x )= g (1) f ( x ) + ( T ( h ) − f ( x ) ddλ g ( λ = 1) + 12! ( T ( h ) − f ( x ) d dλ g ( λ = 1) + .. (12)Par la suite tous les d´ependances de h se comprennent dans le cas limite h → h > . Au cas o`u f ( x )serait infiniment diff´erentiable on peut remplacer ( T ( h ) − s f ( x ) = ( e hD x − s f ( x ) = h s D sx f ( x ). Le caslimite h → s de d´erivation de g le plus bas donnant uned´eriv´ee non-nulle, soit : d s dλ s g ( λ = 1) = 0 , ∀ ≤ s < s (13)c’est `a dire que 0 < | d s dλ s g ( λ = 1) | < ∞ . Il s’ensuit que l’ordre dominant dans (12) pour h → s g ( T ( h )) f ( x ) = 1 s ! ( T ( h ) − s f ( x ) d s dλ s g ( λ = 1) + .. (14)et g (1 + h ) = h s s ! d s dλ s g ( λ = 1) + .. (15)afin d’arriver `a D g f ( x ) = h − s ( T ( h ) − s f ( x ) = d s dx s f ( x ) (16)qui n’existe qu’au cas o`u f serait s fois differentiable de mani`ere continue. (16) est valable si | d s dλ s g ( λ = 1) | < ∞ , ∀ s ∈ N . On se rend compte que l’op´erateur D g de (16) est local, il agit seulement sur f ( x ) au point x . Sans que ” h →
0” soit toujours explicitement ´ecrit. D g n’est pas conserv´ee si la constituante g poss`ede des d´eriv´ees singuli`eresau point λ = 1, c’est-`a-dire s’il existe un ordre s tel que | d s dλ s g ( λ → | = ∞ , s ≥ s = 0 , , , .. ∈ N (17)et | d s dλ s g ( λ → | < ∞ si s < s . Dans ces cas (9) devient non-local. La bri´evet´e qui s’impose pour cettecommunication, nous oblige `a d´emontrer seulement que les d´eriv´ees fractionnaires sont ´egalement comprisesdans la notion de d´eriv´ee g´en´eralis´ee (9). Supposons la constituante g ( λ ) = ( λ − α , < α < α non-entier. Pour 0 < α < D g f ( x ) = h − α ( T ( h ) − α f ( x ) (19)par d´efinition d’une d´eriv´ee fractionnaire [4]. Nous supposons que la fonction f ( x ) est choisie telle que( T ( h ) − α produise une s´erie convergente soit D g f ( x ) = D αx f ( x ) = h − α ∞ X k =0 ( − k (cid:18) αk (cid:19) f ( x − kh ) (20)o`u nous avons utilis´e le fait que ( T ( h ) − α = T ( αh )(1 − T ( − kh )) α = (1 − T ( − kh )) α car T ( hα ) = 1 dans lecas limite h →
0. On tient compte de la d´ecomposition T ( − hk ) = ( T ( − h ) − k T ( − kh ) = ∞ X s =0 (cid:18) ks (cid:19) ( T ( − h ) − s (21)Or il convient d’abord d’´evaluer la s´erie d’op´erateurs S ( k , h ) = k X k =0 ( − k (cid:18) αk (cid:19) T ( − kh ) = ∞ X s =0 k X k =0 ( − k (cid:18) αk (cid:19) (cid:18) ks (cid:19) ( T ( − h ) − s (22)qui peut ˆetre r´e-´ecrite comme S ( k , h ) f ( x ) = ∞ X s =0 A s ( k )( T ( − h ) − s f ( x ) (23)et avec A s ( k ) = k X k =0 ( − k (cid:18) αk (cid:19) (cid:18) ks (cid:19) = ( − k (cid:18) α − ( s + 1) k − s (cid:19) (cid:18) αs (cid:19) = − αs − α ( − k (cid:18) α − k (cid:19) (cid:18) k s (cid:19) , s = 0 , , , .. ∈ N (24)Alors on trouve pour (23) S ( k , h ) f ( x ) = ( − k (cid:18) α − k (cid:19) f ( x ) + ∞ X s =1 A s ( k )( T ( − h ) − s f ( x ) (25)En vue de (20) nous sommes surtout int´eress´es par les repr´esentations asymptotiques pour k ≫ (cid:18) α − k (cid:19) ( − k = ( k − α )!( − α )! k ! → k − α ( − α )! , k ≫ Si α < g est du type (10) et dans ce cas (19) d´efinit une int´egrale fractionnaire. (cid:18) k s (cid:19) → k s s ! , k ≫ − α )! est d´efini par (5). Pour k ≫ A s ( k ) → − αs − α k s s ! k − α ( − α )! , s = 0 , , , .. ∞ (28)o`u il faut distinguer les cas s = 0 et s > A s ( k ) = − α ( s − α ) k s − α ( − α )! s ! = k − α ( − α )! s = 0 Z k k s s ! ( − α ) k − ( α +1) ( − α )! d k s ≥ S ( k , h ) = A ( k ) f ( x ) + ∞ X s =1 A s ( k )( T ( − h ) − s f ( x ) (30)La relation (30) est valable aussi pour les fonctions non-diff´erentiables (h¨old´eriennes), voire pour les fonctionsnon-continues. Ici, il nous faut rendre compte du caract`ere de la fonction f : si f ( x ) est infiniment diff´erentiable(lipschitzienne), on peut poser T ( − h ) = e − hD x et dans le cas limite h → T ( − h ) − s f ( x ) =( − s h s D sx f ( x ). En tenant compte de (29) on obtient, pour k ≫
1, en introduisant la variable continue0 ≤ τ = hk ≤ τ = hk : S ( k , h ) = h α ( τ − α ( − α )! f ( x ) + ∞ X s =1 ( − s D sx f ( x ) Z τ τ s s ! ( − α ) τ − ( α +1) ( − α )! d τ ) (31)On s’aper¸coit que la somme `a partir de s = 1 est une convolution de la s´erie de Taylor de f ( x − τ ) − f ( x ).On peut donc r´e-´ecrire (31) comme S ( k , h ) = h α ( τ − α ( − α )! f ( x ) + Z τ ( f ( x − τ ) − f ( x )) ( − α ) τ − ( α +1) ( − α )! d τ ) (32)(32) est valable pour k ≫ τ ( h ) = hk . Le cas limite h → τ ( h ) `a condition que k ≫
0. Il faut souligner que dans (31), (32) la s´equence des processus limitesjoue : lim h → (cid:18) lim k →∞ S ( k , h ) (cid:19) = (cid:18) lim h → S ( k ( h )) (cid:19) , avec lim h → k ( h ) → ∞ (33)Pour cette raison, il y a autant de d´efinitions diff´erentes de la d´eriv´ee fractionnaire dans la lit´erature (e.g.[4]).Consid´erons le cas du membre gauche de (33) `a savoir k → ∞ alors que h est infinitesimal et fixe. On adonc dans ce cas toujours comme limite sup´erieure d’int´egration τ = hk → ∞ dans (32) et on obtient D αx f ( x ) = h − α S ( k = ∞ , h ) = Z ∞ ( f ( x − τ ) − f ( x )) ( − α ) τ − ( α +1) ( − α )! d τ (34)qui peut ˆetre r´e-´ecrit comme D αx f ( x ) = ( − α )( − α )! Z x −∞ ( x − t ) − ( α +1) ( f ( t ) − f ( x )) d t (35) A remarquer A ( k → ∞ ) = 0 ´etant une cons´equence de (8) et et A s ( k → ∞ ) = ∞ pour s > d´eriv´ees fractionnaires de Marchaud (Eq. (12) dans [1]). Onse rend compte que (34) n’existe qu’aux cas o`u | f ( x − τ ) − f ( x ) | se comporte pour τ → Cτ δ avec δ > α , c’est-`a-dire si f ( x ) est h¨old´erienne, son exposant doit ˆetre tel que 0 < α < δ ≤ δ = 1correspond aux fonctions traditionnelles lipschitziennes. On a la propriet´e d´esir´ee que D αx ( const ) = 0. Acondition que f ( x ) soit une fois diff´erentiable, on arrive `a D αx f ( x ) = D α − x ( D x f ( x )) = D x ( D α − x f ( x )) = D x Z ∞ τ − α ( − α )! f ( x − τ )d τ (36)o`u l’int´egrale correspond tout `a fait `a ce qu’on d´eduit pour D α − x f ( x ) `a partir de (9) . Afin d’obtenir (34),(35), on a suppos´e que f ( x ) remplit les conditions suivanteslim τ → | f ( x ) − f ( x − τ ) | ≤ C ( x ) τ δ lim τ →∞ | f ( − τ ) | ≤ C ∞ τ β (37)avec β < α < δ ≤
1. Les relations (34), (35) sont donc plus g´en´erales que (36) qui exige que f soit une foisdiff´erentiable et par cons´equent δ = 1. Nous rappelons que nous avons toujours suppos´e que 0 < α <
1. Onobserve que f ( x ) = e λx ( λ >
0, pour la convergence ) est une fonction propre de l’op´erateur D αx `a savoir D αx e λx = h − α (1 − T ( − h )) α e λx = h − α (1 − e − hλ ) α e λx = λ α e λx D αx e λx = λ α e λx Z ∞ t − α ( − α )! e − t d t = λ α e λx (38)Le fait que e λx , qui est fonction propre de l’op´erateur de translation T ( − h ) e λx = e λ ( x − h ) = e − hλ e λx , resteaussi une fonction propre de D αx de (35), (36) r´eside dans le fait que ces deux op´erateurs agissent dans lemˆeme espace de fonctions d´efini sur le domaine −∞ < x < ∞ . Nous avons introduit le concept d’une d´eriv´ee (et int´egrale) g´en´eralis´ee qui est susceptible de reproduire lesd´eriv´ees fractionnaires, ce que nous avons d´emontr´e `a l’aide de la d´eriv´ee fractionnaire de Marchaud (eqs.(34)-(36)). De telles d´eriv´ees peuvent ˆetre d´efinies par des cas limites `a partir de la relation (9) ou pardes relations semblables l´eg`erement modifi´ees. Dans certains cas on d´eduit des convolutions permettant decapturer des effets non-locaux dans l’espace ou dans le temps. Par exemple, ce concept permet d’abordercertains syst`emes m´ecaniques comportant des interactions inter-particulaires `a longue distance comme il s’enproduit dans les milieux ayant une microstructure sans ´echelle (auto-similaires) [2].
References [1] B. Ross, S.G. Samko, E. Russel Love, Functions that have no First Order Derivative might have Fractional Derivatives ofall Orders Less than One, Real Analysis Exchange 20(2) (1994/5), 140-157.[2] T. M. Michelitsch, G. A. Maugin, F. C. G. A. Nicolleau, A. F. Nowakowski, and S. Derogar, Dispersion relations and waveoperators in self-similar quasicontinuous linear chains, Phys. Rev. E 80, 011135 (2009).[3] Miller, K. S. and Ross, B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. New York:Wiley, 1993. Malheuresement il existe une certaine confusion sur cette d´enomination dans la lit´erature. Nous avons adopt´e celle de [1],mais on devrait y trouver des d´enominations diff´erentes. Dans notre classification D α − x f ( x ) est une int´egrale car α − < α − Re ( λ ) > λ ∈ C . Ce fait se traduit par la commutativit´e des deux op´erateurs T ( h ) et D αx .
4] Oldham, K. B. and Spanier, J. The Fractional Calculus: Integrations and Differentiations of Arbitrary Order. New York:Academic Press, 1974.[5] Riesz, Marcel (1949), L’int´egrale de Riemann-Liouville et le probl`eme de Cauchy, Acta Mathematica 81: 1223,doi:10.1007/BF02395016, MR0030102, ISSN 0001-5962.[6] S. Samko, A. Kilbas and O. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach,London (1993).4] Oldham, K. B. and Spanier, J. The Fractional Calculus: Integrations and Differentiations of Arbitrary Order. New York:Academic Press, 1974.[5] Riesz, Marcel (1949), L’int´egrale de Riemann-Liouville et le probl`eme de Cauchy, Acta Mathematica 81: 1223,doi:10.1007/BF02395016, MR0030102, ISSN 0001-5962.[6] S. Samko, A. Kilbas and O. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach,London (1993).