Surfaces de stein associées aux surfaces de kato intermédiaires
SSURFACES DE STEIN ASSOCI ´EES AUX SURFACES DEKATO INTERM ´EDIAIRES
LAURENT BATTISTI
R´esum´e.
Let S be an intermediate Kato surface, D the divisor consis-ting of all rational curves of S , (cid:101) S the universal covering of S and ‹ D thepreimage of D in (cid:101) S . We prove two results about the surface (cid:101) S \ ‹ D : itis Stein (which was already known when S is either a Enoki or a Inoue-Hirzebruch surface) and we give a necessary and sufficient condition sothat its holomorphic tangent bundle is holomorphically trivialisable.—–Soient S une surface de Kato interm´ediaire, D le diviseur form´edes courbes rationnelles de S , (cid:101) S le revˆetement universel de S et ‹ D lapr´eimage de D dans (cid:101) S . On donne deux r´esultats concernant la surface (cid:101) S \ ‹ D , `a savoir qu’elle est de Stein (ce qui ´etait connu dans le cas o`u S est une surface d’Enoki ou d’Inoue-Hirzebruch) et on donne une condi-tion n´ecessaire et suffisante pour que son fibr´e tangent holomorphe soitholomorphiquement trivialisable. Introduction
Les surfaces de la classe VII de Kodaira sont les surfaces complexes com-pactes dont le premier nombre de Betti vaut 1 ; on appelle surface de laclasse VII une surface de la classe VII qui est minimale. Le cas de cessurfaces dont le second nombre de Betti b est nul est enti`erement compris,il s’agit n´ecessairement d’une surface de Hopf ou d’une surface d’Inoue etle cas b > S `a coquille sph´erique globale, D lediviseur maximal de S form´e des b ( S ) courbes rationnelles de S et (cid:36) : ‹ S → S le revˆetement universel de S , nous allons d´emontrer que ‹ S \ (cid:102) D (o`u (cid:102) D = (cid:36) − ( D )) est une vari´et´e de Stein. Ce r´esultat ´etait d´ej`a connu pour lessurfaces d’Enoki et d’Inoue-Hirzebruch ; nous allons le montrer dans le cas Le financement de cette recherche est assur´e par la R´egion Provence-Alpes-Cˆoted’Azur dans le cadre d’une bourse doctorale r´egionale. a r X i v : . [ m a t h . C V ] O c t LAURENT BATTISTI des surfaces interm´ediaires. Dans la derni`ere partie et toujours dans le casdes surfaces interm´ediaires, on donne une condition pour que le fibr´e tan-gent holomorphe de la vari´et´e ‹ S \ (cid:102) D soit holomorphiquement trivialisable,`a savoir que la surface S soit d’indice 1.2. Pr´eliminaires
On dit qu’une surface compacte S contient une coquille sph´erique globales’il existe une application qui envoie biholomorphiquement un voisinage dela sph`ere S ⊂ C \ { } dans S et telle que le compl´ementaire dans S del’image de la sph`ere par cette application soit connexe.Toute surface contenant une coquille sph´erique globale peut ˆetre obtenue dela fa¸con suivante : ´etant donn´ees une succession finie d’´eclatements π , ..., π n de la boule unit´e B de C au-dessus de 0 et π := π ◦ · · · ◦ π n : B π → B lacompos´ee de ces ´eclatements, ainsi qu’une application σ : B → B π biholo-morphe sur un voisinage de B , on recolle les deux bords de Ann( π, σ ) := B π \ σ ( B ) `a l’aide de l’application σ ◦ π :La surface obtenue poss`ede un groupe fondamental isomorphe `a Z et sonsecond nombre de Betti est ´egal `a n (voir [2]). Il s’agit d’une constructiondue `a Kato [11]. Dans la suite, on appellera surface de Kato une surfacecomplexe compacte minimale contenant une coquille sph´erique globale, dontle second nombre de Betti est non nul.Dans [2], Dloussky ´etudie le germe contractant d’application holomorphe ϕ = π ◦ σ : B → B associ´e `a la construction pr´ec´edente. Ce germe d´etermine`a isomorphisme pr`es la surface ´etudi´ee (proposition 3.16 loc. cit.).Soit S une surface de Kato ; on note D le diviseur maximal de S form´e des b ( S ) courbes de S , ‹ S le revˆetement universel de S et (cid:102) D la pr´eimage de D dans ‹ S . URFACES DE STEIN ASSOCI´EES AUX SURFACES DE KATO INTERM´EDIAIRES 3
Suivant les notations de [2], on obtient la surface ‹ S en recollant une infinit´ed’anneaux A i ( i ∈ Z ) isomorphes `a Ann( π, σ ), en identifiant le bord pseudo-concave de A i au bord pseudo-convexe de A i +1 via l’application σ ◦ π . Lasurface ‹ S poss`ede deux bouts, not´es 0 et ∞ , le bout 0 poss´edant une base devoisinages ouverts strictement pseudo-convexes (les (cid:83) i (cid:62) j A i pour j ∈ Z ) et lesecond une base de voisinages strictement pseudo-concaves (les (cid:83) i (cid:54) j A i pour j ∈ Z ). Enfin on d´efinit un automorphisme G de ‹ S en posant G ( z i ) := z i +1 o`u z i et z i +1 sont les images dans A i et A i +1 respectivement d’un mˆemepoint z ∈ Ann( π, σ ).Fixons une courbe compacte C de ‹ S avec C ⊂ A . On note ( “ S C , p C ) l’ef-fondrement de ‹ S sur la courbe C , c’est-`a-dire la donn´ee d’une surface “ S C n’ayant qu’un bout, d’une application holomorphe p C de ‹ S dans “ S C , biho-lomorphe sur un voisinage du bout ∞ dans ‹ S sur un voisinage du bout de “ S C , telles que “ C = p C ( C ) soit une courbe d’auto-intersection − p C pour toute courbe compacte C de ‹ S , et d’un point (cid:98) C ∈ “ C tel que p C soit´egalement biholomorphe entre ‹ S \ p − C ( (cid:98) C ) et “ S C \ { (cid:98) C } .De plus, la restriction de p C au compl´ementaire de (cid:102) D est un biholomor-phisme entre ‹ S \ (cid:102) D et “ S C \ p C ( (cid:102) D ). Enfin, il existe une application holo-morphe F C de “ S C \ { (cid:98) C } dans lui-mˆeme, contractante en (cid:98) C , conjugu´ee `a ϕ et biholomorphe sur “ S C \ p C ( (cid:102) D ).3. La vari´et´e ‹ S \ (cid:102) D est de Stein Les surfaces de Kato se divisent en trois classes : les surfaces d’Enoki,d’Inoue-Hirzebruch et enfin les surfaces interm´ediaires (voir [5]).Dans le cas des surfaces d’Inoue-Hirzebruch et celles d’Enoki, le fait que ‹ S \ (cid:102) D soit de Stein est d´ej`a connu : pour une surface d’Inoue-Hirzebruch, la vari´et´e ‹ S \ (cid:102) D est un domaine de Reinhardt holomorphiquement convexe (voir [13], LAURENT BATTISTI proposition 2.2) tandis que pour une surface d’Enoki, on a ‹ S \ (cid:102) D ∼ = C ∗ × C qui sont bien dans chaque cas des vari´et´es de Stein. Il reste donc `a ´etudierle cas des surfaces interm´ediaires.Favre a donn´e dans [7] des formes normales pour les germes contractantsd’applications holomorphes et on peut en particulier donner la forme dugerme associ´e `a une surface interm´ediaire, `a savoir qu’une telle surface estassoci´ee au germe ϕ de ( C , → ( C ,
0) donn´e par(1) ( z, ζ ) (cid:55)→ ( λζ s z + P ( ζ ) + c skk − ζ skk − , ζ k )o`u λ ∈ C ∗ , k, s ∈ N avec k > s >
0, et P ( ζ ) = c j ζ j + ... + c s ζ s avec lesconditions suivantes : 0 < j < k , j (cid:54) s , c j = 1, c skk − = 0 quand skk − (cid:54)∈ Z ou λ (cid:54) = 1 et enfin pgcd { k, m | c m (cid:54) = 0 } = 1. On trouve dans [12] une conditionpour que deux tels germes soient conjugu´es (et d´eterminent donc deux sur-faces isomorphes).L’objectif de cette section est de d´emontrer, dans le cas de surfaces in-term´ediaires, le Th´eor`eme 3.1.
La surface ‹ S \ (cid:102) D est de Stein. Dans un premier temps (section 3.1), on montre qu’il est suffisant de seramener `a la situation du th´eor`eme 3.2 ´enonc´e ci-dessous. Pour cela, nousallons ´ecrire notre surface comme r´eunion croissante d’ouverts et nous ver-rons que seule une hypoth`ese manque a priori pour pouvoir effectivementappliquer ce th´eor`eme, `a savoir que chaque paire constitu´ee de deux telsouverts cons´ecutifs est de Runge. C’est dans la section 3.2 qu’on prouve quecette hypoth`ese est bien v´erifi´ee.3.1.
R´eduction du probl`eme.
Reprenons les notations pr´ec´edentes etdonnons-nous un germe de la forme (1). On regarde la surface interm´ediaire S associ´ee et on choisit une courbe C de ‹ S donn´ee par la proposition 3.16 de[2] ; quitte `a renum´eroter les A i on suppose que C ⊂ A . Notre objectif estde prouver que la vari´et´e “ S C \ p C ( (cid:102) D ) est de Stein, en utilisant le th´eor`emesuivant (voir [10], th´eor`eme 10 p. 215) : Th´eor`eme 3.2.
Soient X un espace analytique complexe et ( X i ) i ∈ N unesuite croissante de sous-espaces de X qui soient de Stein. Supposons que X = (cid:83) X i et que chaque paire ( X i +1 , X i ) est de Runge, i.e. l’ensemble O ( X i ) | X i +1 des restrictions `a X i des applications holomorphes sur X i +1 estdense dans O ( X i ) . Alors X est de Stein. Notons :- “ A i := p C ( A i ) pour tout i ∈ Z et- A i := p C ( (cid:83) j (cid:62) i A j ) pour i (cid:54) URFACES DE STEIN ASSOCI´EES AUX SURFACES DE KATO INTERM´EDIAIRES 5 de sorte qu’on a A i ⊂ A i − et “ S C \ p C ( (cid:102) D ) = (cid:91) i (cid:54) A i \ p C ( (cid:102) D ).Chaque A i \ p C ( (cid:102) D ) est strictement pseudo-convexe, donc de Stein. De plus,on a F C ( “ A i ) = “ A i +1 pour i (cid:54) −
1, car le diagramme ‹ S G (cid:47) (cid:47) p C (cid:15) (cid:15) ‹ Sp C (cid:15) (cid:15) “ S C F C (cid:47) (cid:47) “ S C est commutatif (c.f. [2], proposition 3.9). Ainsi, on a(2) F C ( A i − \ p C ( (cid:102) D )) = A i \ p C ( (cid:102) D )Supposons ´etabli le fait que la paire ( A \ p C ( (cid:102) D ) , F C ( A \ p C ( (cid:102) D ))) est deRunge. Alors la paire ( A − \ p C ( (cid:102) D ) , A \ p C ( (cid:102) D )) est automatiquement deRunge par l’´egalit´e (2) ci-dessus, et par r´ecurrence chaque paire ( A i − \ p C ( (cid:102) D ) , A i \ p C ( (cid:102) D )) est de Runge. Nous sommes alors en mesure d’appliquerle th´eor`eme 3.2 qui nous dit que la r´eunion des A i \ p C ( (cid:102) D ) est de Stein.Le probl`eme est donc ramen´e `a montrer que le couple ( A \ p C ( (cid:102) D ) , F C ( A \ p C ( (cid:102) D ))) est de Runge. Remarque 3.3.
L’ensemble A \ p C ( (cid:102) D ) est biholomorphe `a une boule ou-verte centr´ee en 0 priv´ee d’une droite complexe. En effet, on peut ´ecrire ϕ = π ◦ σ o`u π est une succession d’´eclatements de la boule au-dessus de0 ∈ C , σ : B → π − ( B ) est une application d´efinie sur un voisinage de B et biholomorphe sur son image, et ϕ est de la forme normale (1). Par lechoix de la courbe C , la proposition 3.16 p. 33 de [2] nous donne l’isomor-phisme A \ p C ( (cid:102) D ) ∼ = B \ ϕ − (0) et en utilisant la forme de ϕ , on voit que ϕ − (0) = { ζ = 0 } .Finalement, d´emontrer que ( A \ p C ( (cid:102) D ) , F C ( A \ p C ( (cid:102) D ))) est de Rungerevient `a prouver que c’est le cas de la paire ( B \ { ζ = 0 } , ϕ ( B \ { ζ = 0 } ))pour une boule B ⊂ C centr´ee en 0 (en notant ( z, ζ ) les coordonn´ees de C ). C’est l’objet de la section suivante.3.2. La paire ( B \ { ζ = 0 } , ϕ ( B \ { ζ = 0 } )) est de Runge. Etant donn´eun germe ϕ de la forme (1), introduisons en premier lieu quelques notations :1. Remarquons tout d’abord que chaque point de C × ∆ ∗ poss`ede exactement k ant´ec´edents par ϕ , o`u ∆ ∗ est le disque unit´e ouvert de C priv´e de 0.Notons g l’automorphisme de C × ∆ ∗ suivant : g : ( z, ζ ) (cid:55)→ Ç ε − s z + P ( ζ ) − P ( εζ ) λε s ζ s , εζ å LAURENT BATTISTI o`u ε est une racine primitive k -i`eme de l’unit´e, de sorte que ϕ ◦ g = ϕ .Pour tout (cid:96) ∈ Z , on a g (cid:96) ( z, ζ ) = (cid:32) ( ε (cid:96) ) − s z + P ( ζ ) − P ( ε (cid:96) ζ ) λ ( ε (cid:96) ) s ζ s , ε (cid:96) ζ (cid:33) et g Z ∼ = Z /k Z . L’automorphisme g permute les ant´ec´edents d’un mˆemepoint de l’application ϕ .2. On notera ´egalement q ( z, ζ ) le polynˆome z k − (cid:89) (cid:96) =1 a (cid:96) ( z, ζ ) ζ n (cid:96) o`u a (cid:96) ( z, ζ ) estla premi`ere composante de g (cid:96) ( z, ζ ) et n (cid:96) = s − min { n | c n (1 − ( ε (cid:96) ) n ) (cid:54) = 0 } ,qui est bien d´efini et positif ou nul vu la derni`ere hypoth`ese sur les coeffi-cients de P , `a savoir pgcd { k, m | c m (cid:54) = 0 } = 1. Le polynˆome q ( z, ζ ) est enparticulier de la forme q ( z, ζ ) = z ( c + (cid:15) ( z, ζ )) o`u (cid:15) ( z, ζ ) −−−−→ ( z,ζ ) → (0 , c (cid:54) = 0.3. Pour η >
0, on note U η l’ouvert { ( z, ζ ) ∈ C | | q ( z, ζ ) | < η } . Soient a , b et c trois r´eels strictement positifs, on d´efinit les ensembles K a,b := { ( z, ζ ) ∈ C | | z | + | ζ | (cid:54) a , | ζ | (cid:62) b } = B (0 , a ) ∩ {| ζ | (cid:62) b } et L a,b,c := D (0 , a ) × A b,c (o`u A b,c est l’anneau ouvert centr´e en 0 de rayons b < c ). Enfin, on pose K a,b := k − (cid:91) (cid:96) =0 g (cid:96) ( K a,b )et L a,b,c := k − (cid:91) (cid:96) =0 g (cid:96) ( L a,b,c ) . Remarque 3.4.
Pour a, b et c assez petits, les compacts g (cid:96) ( L a,b,c ) (resp. g (cid:96) ( K a,b )) sont disjoints deux `a deux : ceci est une cons´equence du fait quela fonction ϕ est localement injective autour de l’origine de C , ce qui estd´emontr´e, par exemple, dans [5], section 5. En particulier, les ensembles L a,b,c et K a,b poss`edent chacun k composantes connexes.D’autre part, on a K a (cid:48) ,b (cid:48) ⊂ L a,b,c pour b (cid:48) (cid:62) b et a (cid:48) (cid:54) min { a, c } , ce quientraˆıne notamment K a (cid:48) ,b (cid:48) ⊂ L a,b,c .Enfin, pour η > A η > t et δ avec0 < t < δ < A η , on ait L δ,t,δ ⊂ U η : en calculant | q ( z, ζ ) | pour ( z, ζ ) ∈ L δ,t,δ on voit qu’il suffit de choisir δ assez petit pour avoir(3) | δ | k − (cid:89) (cid:96) =1 ( | δ n (cid:96) +1 | + 2( | c s − n (cid:96) | + | c s − n (cid:96) +1 | δ + ... + | c s | δ n (cid:96) ) /λ ) < η. On appelle V η,δ l’ensemble U η ∩ {| ζ | (cid:54) δ } . URFACES DE STEIN ASSOCI´EES AUX SURFACES DE KATO INTERM´EDIAIRES 7
Proposition 3.5.
Pour δ > assez petit et pour tout ε ∈ ]0 , δ [ , le compact K δ,ε est holomorphiquement convexe. Preuve :
En premier lieu, remarquons que l’enveloppe holomorphiquementconvexe de V η,δ est l’adh´erence V η,δ de cet ensemble. On note :- “ K δ,ε l’enveloppe holomorphiquement convexe de K δ,ε ,- “ K (cid:96)δ,ε (resp. V (cid:96)η,δ ) la composante connexe de “ K δ,ε (resp. V η,δ ) qui contient g (cid:96) ( K δ,ε ), pour (cid:96) ∈ { , ..., k − } . ´Etape 1 : Montrons tout d’abord que pour η et δ assez petits et pour tout ε < δ , on a V η,δ ∩ K δ,ε = K δ,ε , autrement dit que la composante connexede V η,δ qui contient K δ,ε ne rencontre aucune autre composante de K δ,ε .Soient δ > ε >
0. Pour (cid:96) ∈ { , ..., k − } , on a g (cid:96) ( K δ,ε ) ⊂ g (cid:96) ( L δ,ε ,δ ) = { ( z, ζ ) ∈ C | | a k − (cid:96) ( z, ζ ) | (cid:54) δ, | ζ | ∈ [ ε , δ ] } . En particulier, pour ( z, ζ ) ∈ g (cid:96) ( L δ,ε ,δ ), on a z = P ( ε k − (cid:96) ζ ) − P ( ζ ) λζ s + w o`u | w | (cid:54) δ . En d´eveloppant, cette ´egalit´e devient z = λ − ζ − n (cid:96) Ä c s − n (cid:96) (( ε − (cid:96) ) s − n (cid:96) − c s − n (cid:96) +1 (( ε − (cid:96) ) s − n (cid:96) +1 − ζ + ...... + c s (( ε − (cid:96) ) s − ζ n (cid:96) ä + w. Autrement dit, z est de la forme λ − ζ − n (cid:96) (( c s − n (cid:96) (( ε − (cid:96) ) s − n (cid:96) −
1) + ζR (cid:96) ( ζ, w ))o`u R (cid:96) est un polynˆome et par d´efinition de n (cid:96) , le terme c s − n (cid:96) (( ε − (cid:96) ) s − n (cid:96) − z , on voit que lorsque n (cid:96) >
0, pourn’importe quelle constante
C > δ est assez petit, tout ´el´ement( z, ζ ) ∈ g (cid:96) ( L δ,ε ,δ ) v´erifie | z | > C . LAURENT BATTISTI
Dans le cas o`u n (cid:96) = 0 (donc c s (cid:54) = 0), on a | z | = | λ − ( c s (( ε − (cid:96) ) s − w | estsup´erieur `a une constante non nulle pour δ assez petit.Posons alors α := min (cid:96) {| c s (( ε (cid:96) ) s − | | (cid:96)s (cid:54)≡ k ] } si c s (cid:54) = 0 et α := 1 sinon.Par ce qui pr´ec`ede, il existe une constante A > δ < A et ε < δ on ait, pour chaque (cid:96) ∈ { , ..., k − } et tout ´el´ement ( z, ζ ) de g (cid:96) ( L δ,ε ,δ ), l’in´egalit´e(4) | z | (cid:62) α. Fixons d´esormais η > η/ | c | < α (o`u c (cid:54) = 0 est le facteur de z dans le d´eveloppement limit´e de q en (0 , q ( z, ζ ) = z ( c + (cid:15) ( z, ζ ))), et2. | c + (cid:15) ( z, ζ ) | > | c | / z, ζ ) ∈ D (0 , η/ | c | ) × D (0 , η/ | c | ).Choisissons maintenant δ < min { A, A η , η/ | c |} et ε ∈ ]0 , δ [. Alors on a L δ,ε ,δ ⊂ U η (remarque 3.4) et l’in´egalit´e (4) ci-dessus est v´erifi´ee.Pour tout | z | (cid:54) δ et | ζ | ∈ [ ε , δ ] on a ( z, ζ ) ∈ K δ,ε ⊂ V η,δ . Soit maintenant (cid:96) ∈ { , ..., k − } et ( z, ζ ) un point de g (cid:96) ( K ), on a | z | (cid:62) α et ceci entraˆıneque ( z, ζ ) (cid:54)∈ V η,δ .En effet, supposons le contraire : la projection de V η,δ sur la premi`ere co-ordonn´ee ´etant connexe, et comme δ < η/ | c | < α , il devrait exister un´el´ement ( z (cid:48) , ζ (cid:48) ) ∈ V η,δ avec | z (cid:48) | = 2 η/ | c | , ce qui est impossible puisque dansce cas | q ( z (cid:48) , ζ (cid:48) ) | > η | c | ( | c | /
2) = η .Ainsi, la composante connexe V η,δ de V η,δ qui contient K δ,ε ne rencontreaucune autre composante de K δ,ε , ce qu’il fallait d´emontrer.`A partir de maintenant, on omet les indices δ , ε . ´Etape 2 : Montrons `a pr´esent que “ K = K . Par l’´etape 1, et comme “ K ⊂ V , on sait que “ K ne rencontre pas d’autre composante de K quel’ensemble K lui-mˆeme.Soit ( z , ζ ) ∈ “ K \ K . On suppose que | ζ | (cid:62) ε (sinon ( z , ζ ) (cid:54)∈ “ K ), doncn´ecessairement | z | + | ζ | > δ . Comme la boule ferm´ee B := B (0 , δ ) estholomorphiquement convexe dans C , il existe une fonction h holomorphesur C telle que | h ( z , ζ ) | > (cid:107) h (cid:107) B . Notons respectivement m et m B lesquantit´es | h ( z , ζ ) | et (cid:107) h (cid:107) B , ainsi que m (cid:98) K la quantit´e (cid:107) h (cid:107) (cid:98) K , qui est finiepuisque “ K est compact.Consid´erons la fonction χ (cid:98) K d´efinie sur “ K valant 1 sur “ K (en particuliersur K ) et 0 sur “ K \ “ K (en particulier sur g (cid:96) ( K ) pour (cid:96) (cid:54)≡ k ]). URFACES DE STEIN ASSOCI´EES AUX SURFACES DE KATO INTERM´EDIAIRES 9
Le th´eor`eme 6’ p. 213 de [10] nous dit que la fonction χ (cid:98) K est limite uni-forme sur “ K de fonctions holomorphes sur C × ∆ ∗ . Soit donc f une fonctionholomorphe v´erifiant (cid:107) f − χ (cid:98) K (cid:107) (cid:98) K < ε (cid:48) avec ε (cid:48) < min (cid:40) m m (cid:98) K + m , m − m B m + m B (cid:41) et appelons F l’application ( z, ζ ) (cid:55)→ h ( z, ζ ) f ( z, ζ ).Pour ( z (cid:96) , ζ (cid:96) ) ∈ g (cid:96) ( K ) (avec (cid:96) ∈ { , ..., k − } ), on a l’in´egalit´e | F ( z (cid:96) , ζ (cid:96) ) | (cid:54) (cid:107) F − hχ (cid:98) K (cid:107) (cid:98) K + | h ( z (cid:96) , ζ (cid:96) ) χ (cid:98) K ( z (cid:96) , ζ (cid:96) ) | . Le second terme du membre de droite est nul ; quant au premier, il estmajor´e par m (cid:98) K ε (cid:48) . De plus, on a | F ( z , ζ ) | = m | f ( z , ζ ) | > m (1 − ε (cid:48) )d’une part, et pour tout ( z, ζ ) ∈ K on a | F ( z, ζ ) | (cid:54) | h ( z, ζ ) Ä f ( z, ζ ) − χ (cid:98) K ( z, ζ ) ä | + | h ( z, ζ ) χ (cid:98) K ( z, ζ ) | donc | F ( z, ζ ) | (cid:54) m B ε (cid:48) + m B d’autre part. Le choix de ε (cid:48) nous assure quemax { m (cid:98) K ε (cid:48) , m B ( ε (cid:48) + 1) } < m (1 − ε (cid:48) ). Autrement dit, nous avons montr´e que( z , ζ ) (cid:54)∈ “ K , d’o`u une contradiction. Ainsi, on a bien ´etabli que “ K = K . ´Etape 3 : Il nous reste `a conclure. Remarquons que l’enveloppe holomorpheconvexe “ K de K est ´egalement stable par g et supposons qu’il existe (cid:96) ∈{ , ..., k − } et un point ( z (cid:96) , ζ (cid:96) ) ∈ “ K (cid:96) \ g (cid:96) ( K ). Alors on a les inclusionssuivantes : K ⊂ g − (cid:96) ( “ K (cid:96) ) ⊂ “ K , la derni`ere inclusion provenant du fait que la continuit´e de g entraˆıne laconnexit´e de g − (cid:96) ( “ K (cid:96) ). On a donc g − (cid:96) ( z (cid:96) , ζ (cid:96) ) ∈ “ K = K , d’o`u une contra-diction.Finalement, on a ´etabli que k − (cid:91) (cid:96) =0 “ K (cid:96) = K . Comme K est une r´eunion de com-posantes connexes de “ K , c’est un sous-ensemble ouvert et ferm´e de “ K , doncholomorphiquement convexe par le corollaire 8 p. 214 de [10]. (cid:4) Notons O ( C × ∆ ∗ ) l’alg`ebre des fonctions holomorphes sur C × ∆ ∗ et ϕ ∗ ( O ( C × ∆ ∗ )) l’alg`ebre des ´el´ements de O ( C × ∆ ∗ ) invariants par le groupe g Z . Si A est une alg`ebre de fonctions holomorphes, on note “ K A l’enveloppede K par rapport `a l’alg`ebre A . On a montr´e que “ K O ( C × ∆ ∗ ) = K . Corollaire 3.6.
On a “ K ϕ ∗ ( O ( C × ∆ ∗ )) = K . Preuve :
En effet, pour x (cid:54)∈ K , on a :(5) ¤(cid:0) ( g Z .x ) ∪ K O ( C × ∆ ∗ ) = ( g Z .x ) ∪ K . Ceci d´ecoule du fait que si p (cid:54)∈ K , pour q (cid:54)∈ { p } ∪ K , il existe f ∈ O ( C × ∆ ∗ )telle que (cid:107) f (cid:107) K < f ( q ). Apr`es avoir ´eventuellement multipli´e f par uneconstante, on peut supposer que f ( q ) = 1. Comme p (cid:54) = q , il existe ´egalementune fonction f ∈ O ( C × ∆ ∗ ) qui v´erifie f ( p ) = 0, f ( q ) (cid:54) = 0 et (cid:107) f (cid:107) K (cid:54) / quitte `a remplacer f par des puissances d’elle-mˆeme, on peut supposer que (cid:107) f (cid:107) K (cid:54) | f ( q ) | et dans ce cas on a (cid:107) f f (cid:107) K∪{ p } < | f ( q ) f ( q ) | . Ainsi, ona Ÿ(cid:0) { p } ∪ K O ( C × ∆ ∗ ) = { p } ∪ K ; par cons´equent, en ajoutant un nombre finide points `a K l’ensemble obtenu reste holomorphiquement convexe, et on abien l’´egalit´e (5).On consid`ere alors la fonction f qui vaut 1 sur g Z .x et 0 sur K , qui estholomorphe sur ( g Z .x ) ∪ K . Alors (th´eor`eme 6’ p. 213 de [10]) il existe unefonction h ∈ O ( C × ∆ ∗ ) telle que (cid:107) f − h (cid:107) < / H := 1 k k − (cid:88) j =0 ( h ◦ g j ), il sort que l’on a | H ( x ) − | < / y ∈ K , on a | H ( y ) | < /
2, donc x (cid:54)∈ “ K ϕ ∗ ( O ( C × ∆ ∗ )) . (cid:4) Corollaire 3.7.
Soit δ un r´eel positif donn´e par la proposition 3.5. Alors,la paire ( B (0 , δ ) \ { ζ = 0 } , ϕ ( B (0 , δ ) \ { ζ = 0 } )) est de Runge. Preuve :
On se donne un compact A de ϕ ( B (0 , δ ) \ { ζ = 0 } ), il est inclusdans un certain ϕ ( K δ − /p, /q ) (pour p et q assez grands et avec δ > /p +1 /q ).L’enveloppe de A par rapport `a l’alg`ebre des fonctions holomorphes sur B (0 , δ ) \ { ζ = 0 } est incluse dans ϕ ( K δ − /p, /q ) par le corollaire 3.6, donccompacte. Ainsi ϕ ( B (0 , δ ) \ { ζ = 0 } ) est holomorphiquement convexe parrapport aux fonctions holomorphes de B (0 , δ ) \ { ζ = 0 } , ce qui nous donnela conclusion ([10], corollaire 9 p. 214). (cid:4) Une g´en´eralisation.
Soit ϕ un germe de ( C ,
0) dans ( C ,
0) donn´epar(6) ( z, ζ, ξ ) (cid:55)→ ( λζ r ξ s z + P ( ζ, ξ ) , ζ k , ξ (cid:96) )o`u λ ∈ C ∗ , k, (cid:96), r, s ∈ N avec k, (cid:96) >
1, pgcd( k, (cid:96) ) = 1 et r, s >
0, et P ( ζ, ξ ) = r (cid:88) i = j s (cid:88) i = j c i ,i ζ i ξ i avec les conditions suivantes : 0 < j < k , 0 < j < (cid:96) , j (cid:54) r , j (cid:54) s et c j ,j (cid:54) = 0.Nous ajoutons une hypoth`ese suppl´ementaire, `a savoir que pour tout ε ∈ U k (racines k -i`emes de l’unit´e) et τ ∈ U (cid:96) avec ετ (cid:54) = 1 ∗ , il existe des entiers n ∗ . Comme k et (cid:96) sont premiers entre eux, ceci revient `a dire que ε et τ ne sont passimultan´ement ´egaux `a 1. URFACES DE STEIN ASSOCI´EES AUX SURFACES DE KATO INTERM´EDIAIRES11 et m et un polynˆome Q avec Q (0 , (cid:54) = 0, tels que l’on ait l’´egalit´e :(7) P ( ζ, ξ ) − P ( εζ, τ ξ ) = ζ n ξ m Q ( ζ, ξ ) . Donnons quelques classes d’exemples de polynˆomes v´erifiant cette derni`erecondition :1. P ( ζ, ξ ) = min( r,s ) (cid:88) p =1 a p ζ p ξ p avec ou bien pgcd { k, p | a p (cid:54) = 0 } = 1, ou bienpgcd { (cid:96), p | a p (cid:54) = 0 } = 1,2. P ( ζ, ξ ) = ζ s (cid:48) r (cid:88) p =1 a p ξ p avec pgcd { (cid:96), p | a p (cid:54) = 0 } = 1 et 1 (cid:54) s (cid:48) (cid:54) s ,3. P de la forme pr´ec´edente, mais en intervertissant les rˆoles de ζ et ξ .Etant donn´ees ε k et τ (cid:96) deux racines primitives k -i`eme et (cid:96) -i`eme de l’unit´erespectivement, notons g l’automorphisme de C × (∆ ∗ ) qui `a ( z, ζ, ξ ) associe( ε − rk τ − s(cid:96) z + P ( ζ, ξ ) − P ( ε k ζ, τ (cid:96) ξ ) λε rk τ s(cid:96) ζ r ξ s (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) a k,l ( z, ζ, ξ ) , ε k ζ, τ (cid:96) ξ ) , et X l’ensemble B (0 , \ { ζξ = 0 } . La condition (7) permet d’adapter leraisonnement de la preuve de la proposition 3.5 et de ses deux corollairesdans cette situation, en posant cette fois-ci q ( z, ζ, ξ ) = z k − (cid:89) i =1 (cid:96) − (cid:89) j =1 a k,(cid:96) ( z, ζ, ξ ) ζ n k ξ m (cid:96) . Ainsi la paire (
X, ϕ ( X )) est de Runge. On obtient alors une vari´et´e deStein en recollant une infinit´e d´enombrable de copies de X \ ϕ ( X ) grˆace`a l’application ϕ . Il est possible de g´en´eraliser cette derni`ere construc-tion en prenant un germe de ( C n +1 ,
0) dans lui-mˆeme, d´efini cette fois par( z, ζ , ..., ζ n ) (cid:55)→ ( λζ s ...ζ s n n z + P ( ζ , ..., ζ n ) , ζ k , ..., ζ k n n ) avec des conditionsdirectement analogues `a celles donn´ees ci-dessus.4. Invariants
Revenons `a pr´esent `a notre situation de d´epart. On note d´esormais X lavari´et´e ‹ S \ (cid:102) D . Etant donn´e un groupe G , on appelle espace K ( G,
1) toutespace topologique connexe dont le groupe fondamental est isomorphe `a G et qui poss`ede un revˆetement universel contractile. Exemple 4.1.
Le cercle unit´e S est un espace K ( Z , X est un espace K ( Z [ k ] , π ( X ) ∼ = Z [ k ] et son revˆetement universel C × H (c.f. [3] et [8]) estcontractile.Le th´eor`eme I de [6] (pp. 482-483) nous dit alors que les groupes de co-homologie de X sont isomorphes `a ceux du groupe Z [ k ], c’est-`a-dire quepour tout n ∈ N et pour tout groupe G , on a un isomorphisme entre H n ( X, G ) et H n ( Z [ k ] , G ). De plus, on sait (loc. cit. pp. 488-489) que legroupe H ( Z [ k ] , G ) est isomorphe au groupe des extensions centrales de Z [ k ] par G . Une extension centrale est la donn´ee d’une extension de groupe0 → G i → E p → Z [ k ] → E est un groupe avec i ( G ) ⊂ Z ( E ), le centre de E .Nous sommes maintenant en mesure de prouver la Proposition 4.2.
Le groupe H ( X, C ) est trivial. Preuve :
Par ce qui pr´ec`ede, il suffit de montrer qu’une extension centrale E de Z [ k ] par C est n´ecessairement triviale, i.e. isomorphe au produit cart´esien C × Z [ k ]. Soit donc E une telle extension :0 → C i → E p → Z [ k ] → . Montrons que E est ab´elien. Soient x, y ∈ E et a ∈ N tels que p ( x ) et p ( y )appartiennent tous deux `a k a Z := { nk a , n ∈ Z } qui est un sous-groupe de Z [ k ] isomorphe `a Z .L’extension E induit une extension F := p − ( k a Z ) de k a Z par C , donc uneextension de Z par C : 0 → C i (cid:48) → F p (cid:48) → Z → s : Z → F (on choisit s (1) ∈ p (cid:48)− (1) et on pose s ( n ) = ns (1) pour n ∈ Z ) donc F est produit semi-direct de Z par C , donn´epar σ ∈ Hom( Z , Aut( C )). L’extension F ´etant elle aussi centrale, σ ≡ F est ab´elien (il est isomorphe `a C × Z ) donc x et y commutent. Ainsi, E est ab´elien.Il existe des sections s : Z [ k ] (cid:55)→ E . Pour construire l’une d’elles, fixons x ∈ p − (1). Comme Z [ k ] ∼ = E/i ( C ), il existe x (cid:48) ∈ p − (1 /k ) tel que kx (cid:48) = x + i ( w ) avec w ∈ C . On pose alors x := x (cid:48) − i ( w/k ) et ona kx = x ; on d´efinit ainsi par r´ecurrence les x i ∈ p − (1 /k i ) v´erifiant kx i +1 = x i , et notre section est donn´ee par s ( n/k a ) = nx a pour n ∈ Z et a ∈ N . L’existence d’une telle section nous dit que E est isomorphe auproduit semi-direct C (cid:111) Z [ k ] donn´e par σ ∈ Hom( Z [ k ] , Aut( C )). Le groupe E ´etant ab´elien, on a n´ecessairement σ ≡
1, i.e. E est isomorphe au produit C × Z [ k ]. (cid:4) Remarque 4.3.
Le groupe H ( X, Z ) n’est pas trivial ; il contient des ´el´ementsde torsion et des ´el´ements qui ne sont pas d’ordre fini. Le morphisme ρ de la preuve du lemme 4.8 ci-apr`es fournit un exemple d’´el´ement de tor-sion, puisqu’on peut voir que ρ k − admet un logarithme (voir d´efinition4.7 ci-dessous). Pour ce qui est des ´el´ements qui ne sont pas d’ordre fini,donnons-en un exemple. Consid´erons le groupe Z [ ]. On a un isomorphisme URFACES DE STEIN ASSOCI´EES AUX SURFACES DE KATO INTERM´EDIAIRES13 de groupes ϕ : Z [ ] / Z [ ] ∼ = Z [ ] / Z et une injection i de ce groupe (le 3-groupe de Pr¨ufer) dans S . Alors on peut voir que ρ := i ◦ ϕ n’est pas d’ordrefini dans H ( X, Z ). Ainsi, le groupe H ( X, Z ) poss`ede des ´el´ements d’ordreinfini dont l’image est nulle dans H ( X, Q ), ceci est cons´equence du fait quele groupe H ( X, Z ) ∼ = Z [ k ] n’est pas finiment engendr´e (voir [1], th´eor`eme4 p. 144).´Etant donn´ee une surface interm´ediaire S et son germe associ´e sous la formenormale (1), on d´efinit l’indice de S comme le plus petit entier m tel que k − ms (voir [12]).Il existe un feuilletage holomorphe F sur X d´efini par la 1-forme holomorphe ω = dζζ , qui ne s’annule nulle part (c.f. [4]). De fa¸con ´equivalente, les feuillesde ce feuilletage sont les ensembles { ζ = const. } . Dans le cas o`u S estd’indice 1, i.e. lorsque k − s , il existe un champ de vecteurs tangent`a ce feuilletage qui ne s’annule nulle part, autrement dit on a le Lemme 4.4.
Lorsque la surface S est d’indice , le fibr´e tangent au feuille-tage T F est holomorphiquement trivialisable. Preuve :
Pour prouver cela, nous montrons qu’il suffit de consid´erer lechamp de vecteurs V sur X induit par le champ de vecteurs ‹ V = ζ sk − ∂∂z sur C × ∆ ∗ , tangent au feuilletage de C × ∆ ∗ d´efini par ω .En effet, d’une part on remarque que X est le quotient de C × ∆ ∗ par G o`u G ∼ = Z [ k ] / Z est le groupe form´e des automorphismes de C × ∆ ∗ de la forme g (cid:96)k n ( z, ζ ) = ( zε − (cid:96)s kn − k − k n + n − (cid:88) i =0 λ n − i − ζ sk i +1 kn − i − − k − ( P ( ζ k i ) − ε − (cid:96)sk i +1 kn − i − − k − k n P (( ε (cid:96)k n ζ ) k i )) λ n ( ε (cid:96)k n ζ ) s kn − k − , ε (cid:96)k n ζ )pour n ∈ N , (cid:96) ∈ { , ..., k n − } et avec ε k n = e iπkn . Ceci provient du fait que X est le quotient de C × H g par le groupe { γ n γ (cid:96) γ − n | n, (cid:96) ∈ Z } ∼ = Z [ k ] o`u H g = { w ∈ C | (cid:60) ( w ) < } , γ ( z, w ) = ( λze sw + P ( e w ) , kw ) et γ ( z, w ) =( z, w + 2 iπ ) (voir [4], proposition 2.3 et section 4). On consid`ere alors lequotient par le sous-groupe { γ n γ k n (cid:96) γ − n | n, (cid:96) ∈ Z } ∼ = Z ce qui nous donnebien X = ( C × ∆ ∗ ) /G .D’autre part, un champ de vecteurs ‹ V d´efini sur C × ∆ ∗ induit un champ devecteurs tangent `a X lorsqu’il est invariant par le groupe G , i.e. s’il v´erifie :(8) D ( g (cid:96)k n ) z,ζ ( ‹ V ( z, ζ )) = ‹ V ( g (cid:96)k n ( z, ζ )) . Cette condition est bien v´erifi´ee par ‹ V puisque l’on a l’´egalit´e ε − (cid:96)s kn − k − k n ζ sk − =( ε (cid:96)k n ζ ) sk − . Comme ω ( ‹ V ) = 0, on a bien montr´e que V ∈ H ( X, T F ). (cid:4) Remarque 4.5.
On peut montrer qu’un champ de vecteurs sur X de laforme f ( z, ζ ) ∂∂z (o`u f est une holomorphe ne s’annulant nulle part) existebien si et seulement si la surface S est d’indice 1, autrement dit on a une´equivalence dans le lemme pr´ec´edent. C’est une cons´equence de la condition(8) et le raisonnement est analogue `a celui qui sera fait dans le lemme 4.8.La trivialit´e du fibr´e T F entraine celle du fibr´e tangent T X , ce que nousvoyons `a pr´esent.
Lemme 4.6.
Lorsque le fibr´e T F est holomorphiquement trivialisable, lefibr´e tangent holomorphe T X de X l’est aussi. Preuve : ´Etant donn´e que nous avons une section holomorphe globale V de T F , il nous suffit d’exhiber un deuxi`eme champ de vecteurs global,lin´eairement ind´ependant de V en chaque point. Par d´efinition, on peuttrouver un recouvrement de X par des ouverts U i et sur chacun d’eux unchamp de vecteurs W i qui soit lin´eairement ind´ependant de V sur U i . Quitte`a remplacer W i par W i /ω ( W i ) on peut supposer que ω ( W i ) ≡ U i , desorte que ω ( W i,j ) = 0 sur U i,j := U i ∩ U j , o`u l’on a pos´e W i,j := W i − W j .La famille ( W i,j ) forme donc un cocyle de H ( X, T F ) qui est aussi un co-bord par le th´eor`eme B de Cartan. Ainsi il existe un champ de vecteurs Z i sur chaque U i tel que Z i − Z j = W i,j . Posons ‹ Y i := W i − Z i , de sorte que ‹ Y i = ‹ Y j sur U i,j , i.e. les ‹ Y i se recollent en une section holomorphe globalede T X . Nous avons deux champs de vecteurs V et ‹ Y v´erifiant ω ( V ) ≡ ω ( ‹ Y ) ≡
1, ce qui nous assure qu’ils sont lin´eairement ind´ependants enchaque point de la vari´et´e ´etudi´ee. (cid:4)
Nous voulons `a pr´esent ´etablir un lien entre le fait que S soit d’indice 1 etla trivialit´e du fibr´e canonique de X .On consid`ere la suite exacte courte 0 → Z → C → C ∗ → · · · → H ( X, Z ) → H ( X, C ) → H ( X, C ∗ ) → H ( X, Z ) → H ( X, C ) → · · · . Toujours d’apr`esle th´eor`eme I de [6], on a les isomorphismes H ( X, Z ) ∼ = Hom( Z î k ó , Z ) = 0 ,H ( X, C ∗ ) ∼ = Hom( Z î k ó , C ∗ ) = C ∗ et H ( X, C ) ∼ = Hom( Z î k ó , C ) ∼ = C . D’autre part le groupe H ( X, C ) est trivial, d’o`u l’on tire finalement la suiteexacte courte 0 → H ( X, C ) e iπ · → H ( X, C ∗ ) c → H ( X, Z ) → . D´efinition 4.7.
On dira qu’un ´el´ement ρ de H ( X, C ∗ ) admet un loga-rithme lorsqu’il existe un morphisme ρ (cid:48) de Z [ k ] dans C tel que e iπρ (cid:48) = ρ . URFACES DE STEIN ASSOCI´EES AUX SURFACES DE KATO INTERM´EDIAIRES15
Ainsi, l’image par c d’un ´el´ement ρ ∈ H ( X, C ∗ ) est triviale dans H ( X, Z )si et seulement si ρ admet un logarithme ρ (cid:48) . Lemme 4.8.
Si le fibr´e canonique de X est holomorphiquement triviali-sable, alors la surface S est d’indice . Preuve :
Le fibr´e canonique de X est le fibr´e des 2-formes holomorphessur X ; raisonnons par l’absurde et supposons qu’il est holomorphiquementtrivialisable et que la surface S n’est pas d’indice 1. Alors il existe une 2-forme holomorphe globale sur X qui ne s’annule nulle part. Une telle formeprovient d’une 2-forme holomorphe sur le revˆetement C × ∆ ∗ de X donn´eepar f ( z, ζ ) dz ∧ dζ (o`u f est une fonction holomorphe sur C × ∆ ∗ qui nes’annule nulle part) qui soit stable par le groupe G = { g αk n | n ∈ N , α ∈{ , ..., k n − }} , i.e. v´erifie l’´equation( g αk n ) ∗ ( f ( z, ζ ) dz ∧ dζ ) = f ( z, ζ ) dz ∧ dζ (pour tout n ∈ N et α ∈ { , ..., k n − } ). Ceci donne la condition suivantesur la fonction f :(9) e iπ αkn ( s kn − k − − f ( z, ζ ) = f ( g αk n ( z, ζ )) . Consid´erons l’homomorphisme de groupes ρ : Z [ k ] −→ S . αk n (cid:55)−→ e iπ αkn ( s kn − k − − Il induit un fibr´e plat L ρ au-dessus de X , qui est holomorphiquement tri-vialisable si et seulement si ρ admet un logarithme, puisque H ( X, O ∗ ) ∼ = H ( X, Z ) car X est de Stein. ´Etant donn´e que la fonction f v´erifie la condi-tion (9) ci-dessus, elle d´efinit une section holomorphe du fibr´e plat L ρ au-dessus de X .Ainsi pour pouvoir aboutir `a une contradiction, il nous reste `a voir que ρ n’admet pas de logarithme (et donc qu’une telle fonction f n’existe pas).Remarquons tout d’abord que l’application σ : αk n (cid:55)→ e iπ − αkn ( sk − +1) est unhomomorphisme de Z [ k ] dans S qui admet un logarithme. Ainsi, ρ admetun logarithme si et seulement si l’homomorphisme ϕ := ρ/σ : αk n (cid:55)→ e iπ αsk − admet un logarithme.Soit m l’indice de la surface S . Comme k − s ,le noyau de ϕ est pr´ecis´ement m Z [ k ] et cet homomorphisme n’admet doncpas de logarithme. En effet, si un tel morphisme ρ (cid:48) existait, sa restriction `a m Z [ k ] serait un homomorphisme `a valeurs dans Z , n´ecessairement trivial.On aurait alors m.ρ Ä k n ä = 0, i.e. ρ Ä k n ä = 0 pour tout n ∈ N . (cid:4) Remarque 4.9.
On a en fait une ´equivalence dans le lemme pr´ec´edent.Lorsque la surface S est d’indice 1, on consid`ere la forme ζ − ( sk − +1) dz ∧ dζ ,qui trivialise le fibr´e canonique.Les trois lemmes pr´ec´edents ont en particulier comme cons´equence la Proposition 4.10.
Soient S une surface interm´ediaire et X = ‹ S \ (cid:102) D . Lestrois assertions suivantes sont ´equivalentes :1. La surface S est d’indice ,2. Le fibr´e tangent au feuilletage T F de X est holomorphiquement triviali-sable,3. Le fibr´e tangent holomorphe T X de X est holomorphiquement triviali-sable. Preuve :
Vu les lemmes 4.4 et 4.6, il suffit de montrer que la troisi`emeassertion entraine la premi`ere. C’est une cons´equence du lemme 4.8, car si S n’est pas d’indice 1, le fibr´e canonique de X n’est pas holomorphiquementtrivialisable. Dans ce cas, le fibr´e cotangent de X et donc le fibr´e tangent T X ne le sont pas non plus. (cid:4)
Remarque 4.11.
Le probl`eme suivant demeure non r´esolu actuellement(voir [9]) : une vari´et´e de Stein de dimension n dont le fibr´e tangent holo-morphe est holomorphiquement trivialisable est-elle n´ecessairement un do-maine de Riemann au-dessus de C n ? Nous ne connaissons pas la r´eponsepour les surfaces de Stein que l’on vient de consid´erer. R´ef´erences
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Laurent BATTISTI : LATP-UMR(CNRS) 6632, CMI-Universit´e d’Aix-MarseilleI, 39, rue Joliot-Curie, F-13453 Marseille Cedex 13, France.
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