The method of the kernel of the evolution equation in the gravity theory
aa r X i v : . [ phy s i c s . g e n - ph ] A ug Ключевые слова : теория гравитации, оператор Дирака, эволюционное уравнение,эффективное действие, постоянная Хаббла, универсальный масштаб.
Keywords : gravity theory, Dirac operator, evolution equation, effective action, Hubbleconstant, universal scale.
PACS : 02.40.Ky, 04.02.Cv, 06.20.Jr, 12.10.-g, 98.80.Jk.
Метод ядра эволюционного уравнения в теории гравитацииThe method of the kernel of the evolution equation in the gravitytheory
Юрий Владимирович ГусевYuri Vladimirovich Gusev
Институт гравитационной физики им. А. Эйнштейна,Общество Макса Планка, Ам-Мюленберг 1,Гольм, Потсдам D-14476, Германия иЦентр физических исследований им. П.Н. Лебедева,Российская Академия Наук,Ленинский пр. 53, стр. 11 (38),Москва 119991, Россия
Email: [email protected] (Дата: 12 августа 2020 г.) ннотация Эволюционное уравнение является основным уравнением геометрического анализа. Метод’ковариантной теории возмущений’ с оператором Дирака позволяет вычислить нелокальноеядро эволюционного уравнения на спиновом римановом многообразии. Это ’эволюционноеядро’ порождает ковариантное эффективное действие через интеграл, определение которогодаётся аксиоматически. Предложенное определение обеспечивает в безразмерной физическойтеории универсальный масштабный параметр с размерностью квадрата расстояния. Ковари-антное эффективное действие представляет собой чисто геометрический результат, он имеетфизический смысл действия теории калибровочных поля и включает гравитацию. Два пер-вых члена суммы этого функционала не зависят от вида спиновой группы и локальны, онивоспроизводят действие общей теории относительности с ’космологической постоянной’. По-рожденный масштабный параметр входит во все уравнения теория поля. Современное значе-ние универсального масштаба расстояния определяется измеренной постоянной Хаббла, кото-рая могла бы служить физической константой, определяющей единицу времени в Новой СИ(2019).The evolution equation is the main equation of geometrical analysis. The method of ’covariantperturbation theory’ with the Dirac operator allowed for the computation of the nonlocal kernelof the evolution equation on a spin Riemannian manifold. This ’evolution kernel’ generates thecovariant effective action by the proper time integral, whose definition is given axiomatically. Theproposed definition introduces the universal scale parameter, with the length square dimensionality,into a dimensionless physical theory. The covariant effective action has a physical meaning of theaction of the gauge field theory and includes gravity. First two terms of the sum of this geometricalfunctional are independent of a spin group and local, they reproduce the action of general relativity,with the ’cosmological constant’. The gained scale parameter enters all equations of the field theory.The modern value of the universal scale is determined by the measured Hubble constant, whichcould serve as the defining constant for the unit of time in the New SI (2019). универсальный масштабный параметр. Такое действиепринимает геометрическую форму. Данный вывод достигается методом ’ковариантнойтеорией возмущений’ [10], которая связана исторически с операторным анализом, со-зданным О. Хэвисайдом [13].С введением двух новых физических постоянных М. Планком в 1900 г. [15] их чис-ло тогда стало равно числу физических единиц, породив возможность выбора значе-ний постоянных. Если одна из констант - гравитационная постоянная, а их значениямприсвоены единицы, то такую систему называют ’планковской’ [16]. В такой системезначения физических единиц, выраженные через традиционные единицы СИ, прини-мают непривычные значения. Считается, что эти значения обозначают пределы, гдеизвестные законы физики перестают иметь место, но это не так. Вместо 1 могут бытьвыбраны любые другие числа, которые породят произвольно другие ’планковские’ зна-чения. Таким образом, в физике не существует предельных (’планковских’) значенийрасстояния, энергии и пр., которые зачастую используются как масштабные параметрыв теории поля.В ноябре 2018 г. мировое метрологическое сообщество приняло резолюцию о рево-люционных изменениях в международной системе физических единиц СИ [14]. С мая2019 г. фундаментальные физические постоянные имеют фиксированные значения, аединицы физических величин определяются этими постоянными, а их точность задаёт-ся экспериментом. Так постоянная Планка стала константой, определяющей единицумассы. Новая СИ (2019) построена иерархически, в ней есть семь основных опреде-ляющих постоянных, которые зависят друг от друга [17]. Единственная постоянная,независящая ни от какой другой, это - частота излучения атома цезия
Cs, определя-ющая единицу времени - секунду, как величину обратную частоте, выраженной целымчислом. Таким образом, в основе всей физики лежат натуральные числа, и именнооперация измерения порождает дискретность в физической теории.Все физические теории обладают обобщенным оператором второго порядка, которыйможно привести к виду [10], ˆ F ( ∇ ) = ✷ ˆ1 + ˆ P − R ˆ1 , (1)где присутствие члена со скаляром кривизны Риччи R обусловлено историческими при-4инами, а сигнатура метрики - евклидова. Оператор Лапласа-Бельтрами в (1) построениз ковариантных производных, ✷ ≡ g µν ∇ µ ∇ ν , содержащих как гравитационную связ-ность, так и связность калибровочных полей, которые явно ниже не рассматриваются,но матричные обозначения, ˆ1 , сохраняются. Тензор напряженности калибровочных по-лей определяется коммутатором ковариантных производных. Вместе с тензором кри-визны Риччи, R µν , и потенциальным членом, ˆ P эти напряженности физических полейобозначаются как ℜ и называются условно ’кривизнами’.Фундаментальное уравнение геометрического анализа называется эволюционнымуравнением и имеет форму [10], dd s ˆ K ( s | x, x ′ ) = ˆ F ( ∇ x ) ˆ K ( s | x, x ′ ) . (2)Вместе с начальными условиями ˆ K ( s | x, x ′ ) = ˆ δ ( x, x ′ ) , σ ( x, x ′ ) /s ≫ , (3)уравнение (2) позволяет находить эволюционное ядро, ˆ K ( s | x, x ′ ) , где σ ( x, x ′ ) - мироваяфункция Руз-Синджа [5]. Как показано ниже, эволюционное ядро ˆ K ( s | x, x ′ ) порождаетдействие изучаемой теории поля. Фундаментальное решение для эволюционного ядразадаётся ковариантной дельта-функцией (3). Параметр собственного времени, s , с фи-зической размерностью [м ] является дополнительной переменной физической теории[18], построенной в пространстве-времени с переменными x и с размерностью D .Поскольку производная первого порядка берётся по собственному времени, эволю-ционное уравнение позволяет находит его ядро и соответствующее ему физическое дей-ствие в ковариантной форме. Подчеркнём, поскольку физическое время всегда остаетсячастью единого пространства-времени и никогда не фигурирует явно в вычислениях,эволюционное уравнение позволяет описывать явления, происходящие в четырехмер-ном мире, в чём и заключается подлинное значение релятивистской теории. В даннойработе предлагается рассматривать уравнение (2) как фундаментальное уравнение тео-ретической физики, построенной геометрическими методами.Ковариантное эффективное действие теории поля, включая гравитационнуютеорию, задаётся функциональным следом эволюционного ядра, Tr K ( s ) = R d D x tr ˆ K ( s | x, x ) , где tr обозначает матричный след по внутренним степеням свободы, ивыполнено интегрирование по пространству-времени R D . В отличие от эволюционного5дра, функциональный след Tr K ( s ) - безразмерный функционал. Ковариантная тео-рия возмущений [10] даёт эволюционное ядро в асимптотически плоском пространстве-времени виде суммы нелокальных тензорных инвариантов. При этом первые два членаэтой суммы локальны, как показано прямым вычислением [10] и очевидно из размер-ных соображений, Tr K ( s ) = 1 s D/ Z d D x g / ( x )tr n ˆ1 + s ˆ P + O[ ℜ ] o (4)а начиная со второго порядка слагаемые этой суммы нелокальны [10] и в данной рабо-те не рассматриваются. Вычисления начинаются с формального разбиения оператора(1) на два нековариантных слагаемых, но перевод найденного решения для Tr K ( s ) вковариантную форму выполняется с помощью нелокальных непертурбативных под-становок. Поэтому ковариантное выражение для Tr K ( s ) есть не ряд теории теориивозмущений, а сумма нелокальных тензорных инвариантов [19]. Полученные решения[9, 10, 20] справедливы при размерности пространства-времени D < , но ковариант-ное эффективное действие ниже вычислено в четырех измерениях, что соответствуетнаблюдаемому физическому миру.Мы определим эффективное действие аксиоматически , − W ( l ) ≡ Z ∞ l d ss Tr K ( s ) , (5)и будем считать, что функционал W задан с точностью до произвольного множителя,значение которого находится из эксперимента. Очевидно, что у интеграла по собствен-ному времени (5) обязан быть нижний предел, принимающий произвольное положи-тельное значение, поскольку подынтегральный функционал не существует при s = 0 .После подстановки решения (4) в определение (5) и интегрирования по s получаем без-размерный функционал W ( l ) , явно зависящий от значения собственного времени нанижнем пределе, l , − W ( l ) = ∞ X n =0 ( l ) ( n − W ( n ) ( l ) . (6)Параметр l имеет реальный смысл в терминах физических наблюдаемых. Ковари-антное эффективное действие (6) вычислено в [20], но здесь нас интересуют два егопростейших члена, которые были упущены в [10, 20] и последующих работах, − W ( l ) = Z d x g / ( x ) tr n l −
12 ˆ1 + l − ˆ P + O[ ℜ ] o . (7)6отя эффективное действие вычислено в евклидовом пространстве-времени, его ло-кальные члены (7) не зависят от сигнатуры метрики.Первый член в (7) универсален для любой теории с оператором вида (1), а второйзадается конкретной формой ˆ P . В современной физике фундаментальные поля описы-ваются безмассовыми спинорами [21], в геометрическом описании их можно рассматри-вать как свойства спинового многообразия [22, 23]. Ковариантный оператор Дирака вформе (1) содержит скаляр кривизны Риччи с коэффициентом ( − / [6, 23, 24]. Тогда,для того чтобы получить эффективное действие такой теории, в результате общего вида(7) нужно сделать подстановку, tr ˆ P = − R trˆ1 (в которой операция матричного следаобращает тензор калибровочных полей в ноль и делает зависимость от спиновой груп-пы тривиальной, trˆ1 ). Действие (7) можно привести к форме, принятой в общей теорииотносительности [12], умножением на l , что согласно основной гипотезе данной ра-боты не должно изменять физическое содержание действия (если не рассматриватькосмологические теории), ¯ W ( l ) = Z d x g / n trˆ1 (6 l − − R ) + l O[ ℜ ] o . (8)Первый член выражения (8) очевидным образом интерпретируется как ’космологи-ческая постоянная’. Подчеркнём, что это условное название, так как космологическуютеорию мы не строим, а масштабный параметр будет входить во все уравнения физиче-ской теории, потому что именно l задаёт физические размерности по иерархическомупринципу, применённому в Новой СИ (2019) физических единиц [17]. Второй член (8)имеет форму гравитационного действия Гильберта-Эйнштейна с правильным знаком.Можно найти значение универсального масштабного параметра, зная космологиче-скую постоянную, Λ = 6 /l . (9)’Стандартная космологическая модель’ [21] предполагает значение Λ ≈ − м − , но,поскольку Λ определяется постоянной Хаббла, H = 73 . ± .
66 ( км / с ) / Мпк [25], фи-зическая размерность которой - частота , H ≈ . ± . · − с − , (10)то естественно использовать значение радиуса Хаббла, l ≈ c/H ≈ . · м , (11)7оторое задаётся наблюдаемой H . Как l , так и Λ − / по порядку величины равняютсяразмеру наблюдаемой Вселенной, как впервые предположил П.А.М. Дирак [12]. Зада-ние универсального масштаба самым большим расстоянием в Природе при отсутствиисамого маленького делает теорию наблюдаемых физических явлений замкнутой. По-стоянная Хаббла могла бы служить физической постоянной, определяющая единицувремени через частоту, которая в отличие от атомных часов [14] универсальна. Такоеопределение хотя и более фундаментально, но практически невозможно реализовать внастоящее время.Поскольку собственное время является параметром с физической размерностью, томасштаб l , очевидно, может считаться физической константой, только когда не при-нимается во внимание эволюция физического мира как целого (Вселенной). Действи-тельно, в существующих космологических теориях постоянная Хаббла, так же как иопределяемая ею космологическая постоянная рассматриваются как переменные вели-чины [21]. Переменность универсального масштабного параметра, который иерархиче-ски задает все остальные определяющие физические константы [14], делает их тоже переменными . Это с необходимостью означает, что гипотеза Дирака об изменении гра-витационной постоянной Ньютона верна [26].Если мы принимаем три положения, которые убедительно следуют из множества из-вестных математических и физических фактов: 1) эволюционное уравнение есть фун-даментальное уравнение физики, 2) современная метрологическая система физическихединиц SI (2019) самосогласованно описывает структуру наблюдаемых физического ми-ра, 3) космология, как наука об изучении эволюции физического мира, может быть по-строена на физических экспериментах, проведенных только в локальной части Вселен-ной, то все физические константы обязаны изменяться вместе с эволюцией Вселенной.Третий постулат, однако, не может быть экспериментально проверен, а потому любаякосмологическая теория является только научной гипотезой.’Вывода’ значения космологической постоянной в физической теории не может су-ществовать, эта величина может быть только измерена. Действие теории гравитациисодержит как хорошо известные члены низших порядков 8, так и более высокие поряд-ки в форме нелокальных тензорных инвариантов [9, 20, 27], которые являются членами,модифицирующими общую теорию относительности.После окончания представленного анализа (2016) мы нашли в литературе, что идея8остроения физической теории с переменным параметром типа космологической по-стоянной была предложена ещё в работе [28]. Дирак модифицировал теорию Г. Вейляи показал, что электромагнитное действие и космологическая постоянная возникают втеории поля из требования инвариантности действия по отношению к расширенномуклассу преобразований пространства-времени. Выше мы основывались на математиче-ском принципе ядра эволюционного уравнения (2) как основного уравнения физики,который ведет к более общей физической теории. Одна из задач, которые могут бытьрешены этим методом, состоит в аксиоматическом нахождении действия гравитацион-ной теории [27] с целью его экспериментальной проверки.Более важным следствием, однако, является окончательное построение ковариант-ной электродинамики с масштабным параметром типа ’космологической постоянной’,который является естественной и необходимой постоянной для теории электромагнит-ного поля, не содержащей патологических пределов и расходимостей. Аксиоматическиопределенное ковариантное эффективное действие (7) является функционалом физи-ческих полей. Оно находится исключительно средствами геометрического анализа ине имеет никакого отношения к квантовой теории поля. Поскольку эффективное дей-ствие выражается через тензоры наблюдаемых полей, при варьировании по метрикеоно порождает нелокальный тензор энергии-импульса [29], который позволяет решатьуравнения эволюционных задач с начальными условиями, в частности, задач об излу-чении - от теплового излучения до излучения сверхмощных лазеров. Напомним, чтопервоначально данный метод предназначался для решения задачи Швингера о рож-дении частиц электромагнитным полем и Gedanken проблемы об излучении Хокингав физике чёрных дыр. Однако, математика универсальна, и поэтому ядро эволюцион-ного уравнения приложимо и в космологии, и в физике конденсированного состоянияматерии [30]. Множество задач ещё ожидают своего решения. [1] Chow B., Chu S.-C., Glickenstein D., Guenther C., Isenberg J., Ivey T., Knopf D., Lu P., LuoF., Ni L. , The Ricci Flow: Techniques and Applications. Part I: Geometric aspects. Providence,RI: American Mathematical Society Press, 2007.[2]
Andrews B. and Hopper C. , The Ricci Flow in Riemannian Geometry. Berlin: Springer, 2011. Tao T. , Perelman’s Proof of the Poincar´e Conjecture: a Nonlinear PDE Perspective,arXiv:0610903[math].[4]
Ruse H.S. , Taylor’s Theorem in the Tensor Calculus // Proc. London Math. Soc. 1931. V. 32,P. 87 10.1112/plms/s2-32.1.87[5]
Синг Дж.Л. , Общая Теория Относительности. M.: Мир, 1963.
J.L. Synge J.L , Relativity.The General Theory. Amsterdam: North-Holland, 1960.[6]
Девитт Б.С. , Динамическая Теория Групп и Полей. М.: Наука, 1987.
DeWitt B.S. ,Dynamical Theory of Groups and Fields. New York, NY: Gordon and Breach, 1965.[7]
Bahder T.B. , Navigation in Curved Space-Time // Am. J. Phys. 2001. V. 69, P. 315,doi:10.1119/1.1326078, arXiv:010107[gr-qc][8]
Lee D.A. , Geometrical Relativity. Providence, RI: American Mathematical Society Press, 2019.[9]
Gusev Yu.V. , Heat Kernel Expansion in the Covariant Perturbation Theory // Nucl. Phys. B.2009. V. 807. P. 566, doi:10.1016/j.nuclphysb.2008.08.008, arXiv:0811.1063[10]
Barvinsky A.O. and Vilkovisky G.A. , Covariant Perturbation Theory. 2: Second Orderin the Curvature. General Algorithms // Nucl. Phys. B. 1990. V. 333. P. 471,doi:10.1016/0550-3213(90)90047-H[11]
Гильберт Д. , Основания Физики I // Альберт Эйнштейн и Теория Гравитации. Сбор-ник Статей к 100-летию со Дня Рождения. М.: Мир, 1979, C. 133 (русс. пер.).
Hilbert D. ,Die Grundlagen der Physik. (Erste Mitteilung.) Nachtrichten K. Gesselshaft Wiss. G¨ottingen,Math.-Phys. Klasse, Heft 3, S. 395, 1915. //
Sauer T., Majer U., (eds.) David Hilbert’sLectures on the Foundations of Physics 1915–1927. Berlin: Springer-Verlag, 2009, P. 28,46.doi:10.1007/b12915[12]
Дирак П.А.М. , Общая Теория Относительности // Собр. Научных Трудов, Т. 4, М.: Физ-матлит, 2005, С. 110,166.
Dirac P.A.M. , General Theory of Relativity. New York, NY: Wiley,1975.[13]
Heaviside O. , On Operators in Physical Mathematics. Part I // Proc. Royal Soc. London.1892. V. 52. P. 504, archive.org/details/philtrans07543961[14]
Stock M. , Davis R., de Mirand´es E. and Milton M.J.T. , The Revision of the SI — theResult of Three Decades of Progress in Metrology // Metrologia. 2019. V. 56. P. 022001,doi:10.1088/1681-7575/ab0013[15]
Планк М. , О Необратимых Процессах Излучения //
Планк М. , Избранные Труды. М.: аука, 1975, С. 191,233. Planck M., ¨Uber irreversible Strahlungsvorg¨ange // Ann. Phys.(Berlin) V. 306. P. 69, doi:10.1002/andp.19003060105[16] Planck M. and Masius M. , The Theory of Heat Radiation. Philadelphia, PA: P. Blakinston’s,1914. The Project Gutenberg EBook
Bureau International des Poids et Mesures (BIPM)
Фок В.А. , Собственное Время в Классической и Квантовой Механике // Известия АНСССР. 1937. Т. 4-5. С. 551. //
Работы по Квантовой Теории Поля , Ленинград: Из-воЛенинградского Ун-та, 1957, С. 141.
Fock V.A. , Proper Time in Classical and QuantumMechanics //
Selected Works. Quantum Mechanics and Quantum Field Theory . Boca Raton,FL: Chapman & Hall/CRC, 2004, P. 421,439.[19]
Barvinsky A.O., Gusev Yu.V., Vilkovisky G.A. and Zhytnikov V.V. , The Basis of NonlocalCurvature Invariants in Quantum Gravity Theory. (Third Order) // J. Math. Phys. 1994. V.35. P. 3525, doi:10.1063/1.530427, arXiv:9404061[gr-qc][20]
Barvinsky A.O., Gusev Yu.V., Zhytnikov V.V. and Vilkovisky G.A. , Covariant PerturbationTheory (IV). Third Order in the Curvature , preprint SPIRES-HEP: PRINT-93-0274(MANITOBA), arXiv:0911.1168[21]
Tanabashi M. et al (Particle Data Group) , The Review of Particle Physics (2018) // Phys.Rev. D. 2018. V. 98. P. 030001(1898pp) pdg.lbl.gov.[22]
Пенроуз Р., Риндлер В. , Спиноры и Пространство-Время. М.: Мир, 1987.
Penrose R.,Rindler W. , Spinors and Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press, 1984,1986.[23]
Friedrich T. , Dirac Operators in Riemannian Geometry. Providence, RI: AmericanMathematical Society Press, 2000.[24]
Schr¨odinger E. , Dirac Electron in the Gravitational Field I // Gen. Relativ. Gravit. 2020. V.52. P. 4 (25pp), doi:10.1007/s10714-019-2626-y, (reprint of the 1932 work)[25]
Riess A.G. et al , New Parallaxes of Galactic Cepheids from Spatially Scanning the HubbleSpace Telescope: Implications for the Hubble constant // Astrophys. J. 2018. V. 855. P.136(18pp), doi:10.3847/1538-4357/aaadb7, arXiv:1801.01120[astro-ph][26]
Дирак П.А.М , Пути Физики. М.: Энергоатомиздат, 1983.
Dirac P.A.M. , Directions inPhysics. New York, NY: John Wiley and Sons, 1978. Mirzabekian A.G., Vilkovisky G.A., Zhytnikov V.V. , Partial Summation of the NonlocalExpansion for the Gravitational Effective Action in Four-Dimension // Phys. Lett. B. 1996.V.369. P. 215, doi:10.1016/0370-2693(95)01527-2[28]
Dirac P.A.M. , Long-Range Forces and Broken Symmetries // Proc. R. Soc. A. 1973. V. 333.P. 403, doi:10.1098/rspa.1973.0070[29]
Mirzabekian A.G. and Vilkovisky G.A. , Particle Creation in the Effective Action Method //Ann. Phys. (N.Y.). 1998. V. 270. P. 391, doi:10.1006/aphy.1998.5860, arXiv:9803006[gr-qc][30]
Gusev Yu.V. , The field theory of specific heat // Russ. J. Math. Phys. 2016. V. 23. P. 56,doi:10.1134/S1061920816010040, arxiv.1904.04652[cond-mat], The field theory of specific heat // Russ. J. Math. Phys. 2016. V. 23. P. 56,doi:10.1134/S1061920816010040, arxiv.1904.04652[cond-mat]