The ℓ -modular Zelevinski involution
aa r X i v : . [ m a t h . R T ] M a r L’INVOLUTION DE ZELEVINSKI MODULO ℓ par Alberto M´ınguez & Vincent S´echerre
Abstract . —
Let F be a non-Archimedean locally compact field with residual characteristic p , letG be an inner form of GL n p F q , n ě p . When R has characteristic ℓ ą
0, the image of an irreducible smooth R-representation π of G by the Aubert involution need not be irreducible. We prove that this image (in the Grothen-dieck group of G) contains a unique irreducible term π ‹ with the same cuspidal support as π . Thisdefines an involution π ÞÑ π ‹ on the set of isomorphism classes of irreducible R-representations of G,that coincides with the Zelevinski involution when R is the field of complex numbers. The methodwe use also works for F a finite field of characteristic p , in which case we get a similar result. p -adic reductive groups, finite reductivegroups, Zelevinski involution, Alvis-Curtis duality, type theory Introduction1.
Soit F un corps localement compact non archim´edien, de caract´eristique r´esiduelle p . Zelevin-ski [ ] a d´efini une involution sur le groupe de Grothendieck des repr´esentations complexes delongueur finie de GL n p F q , pour n ě
1, et a conjectur´e que cette involution pr´eserve l’irr´eductibi-lit´e. Moeglin et Waldspurger [ ] ont prouv´e cette conjecture pour les repr´esentations irr´educti-bles de GL n p F q poss´edant un vecteur non nul invariant par un sous-groupe d’Iwahori. Pr´ecis´e-ment, ils ont montr´e que, si l’on applique le foncteur des invariants par un sous-groupe d’Iwahori,l’involution de Zelevinski se transforme, pour les modules sur l’alg`ebre de Hecke-Iwahori, en latorsion par une involution de cette alg`ebre. En s’inspirant de la dualit´e d’Alvis-Curtis [
2, 3, 13 ], S.-I. Kato [ ] a d´efini une involutionsur le groupe de Grothendieck des repr´esentations complexes de longueur finie (et engendr´ees parleurs vecteurs invariants sous un sous-groupe d’Iwahori) d’un groupe r´eductif p -adique d´eploy´e.Comme dans [ ], il utilise les propri´et´es du foncteur des invariants par un sous-groupe d’Iwahori[ ] pour prouver que cette involution pr´eserve l’irr´eductibilit´e `a un signe pr`es. Aubert [ ] a montr´e que la d´efinition de Kato permet d’obtenir une involution sur le groupe deGrothendieck des repr´esentations complexes de longueur finie de n’importe quel groupe r´eductif p -adique, et a prouv´e que cette involution pr´eserve l’irr´eductibilit´e `a un signe pr`es. Dans le casdu groupe GL n p F q , elle co¨ıncide avec l’involution de Zelevinski `a un signe pr`es, ce qui prouve laconjecture d’irr´eductibilit´e de Zelevinski pour toutes les repr´esentations irr´eductibles complexes ALBERTO M´INGUEZ & VINCENT S´ECHERRE de GL n p F q . Procter [ ] avait d´ej`a prouv´e cette conjecture peu de temps auparavant au moyende la th´eorie des types de Bushnell-Kutzko [ ], ce qu’on peut voir comme une g´en´eralisationde l’approche de Moeglin et Waldspurger `a n’importe quel bloc de Bernstein de GL n p F q . Au moyen de la th´eorie des syst`emes de coefficients sur l’immeuble de Bruhat-Tits, Schneideret Stuhler [ ] ont d´efini eux aussi une dualit´e pour les repr´esentations complexes de longueur fi-nie d’un groupe r´eductif p -adique. Ils prouvent qu’elle pr´eserve l’irr´eductibilit´e et qu’elle co¨ıncide`a un signe pr`es, au niveau des groupes de Grothendieck, avec l’involution d’Aubert. On trouveune autre approche dans Bezrukavnikov [ ], esquiss´ee dans Bernstein [ , IV.5.1]. Vign´eras [ ] ´etend la question aux repr´esentations des groupes r´eductifs p -adiques `a coeffi-cients dans un corps de caract´eristique ℓ diff´erente de p . Dans ce contexte, la d´efinition d’Auberta toujours un sens et, pourvu que le groupe ait des sous-groupes discrets cocompacts (auquelcas la conjecture d’irr´eductibilit´e g´en´erique est prouv´ee [ ]), elle d´efinit toujours une involution[ ]. En revanche, quand ℓ est un nombre premier non banal, il est facile de voir que cette invo-lution ne pr´eserve pas l’irr´eductibilit´e, mˆeme `a un signe pr`es. Quant `a la d´efinition de Zelevinskipour GL n p F q , elle a toujours un sens elle aussi [ ] mais ne d´efinit pas un automorphisme invo-lutif ni ne pr´eserve l’irr´eductibilit´e dans le cas non banal (remarque 4.6). Dans le cas banal parcontre, voir [ ] o`u l’on traite le cas de GL n p F q et de ses formes int´erieures. Reprenant l’approche de Schneider-Stuhler dans le contexte modulaire, Vign´eras [ ] prouve– au moins lorsque le groupe a des sous-groupes discrets cocompacts – que l’involution d’Aubertet celle de Schneider-Stuhler co¨ıncident `a un signe pr`es au niveau des groupes de Grothendieck etque, si π est une repr´esentation irr´eductible d’un groupe r´eductif p -adique, son image par cetteinvolution poss`ede un seul terme irr´eductible de mˆeme support cuspidal que π . En outre, ellemontre que ce terme irr´eductible est caract´eris´e comme ´etant l’unique quotient irr´eductible d’uncertain espace de cohomologie associ´e `a π (voir [ , Theorem 4.6]). Dans cet article, nous donnons une autre preuve du r´esultat de Vign´eras pour GL n p F q , n ě ]. Ce travail se situe dans la continuit´e de nos travaux sur les repr´esentationsmodulaires des formes int´erieures de GL n p F q dans lesquels la th´eorie des types [ ] jour l’un desrˆoles principaux. Il forme avec [
21, 22, 23 ] un ensemble homog`ene d´ecrivant de fa¸con coh´erentela th´eorie des repr´esentations modulo ℓ ‰ p des formes int´erieures de GL n p F q . Dans le cas desrepr´esentations complexes, les liens unissant la th´eorie des syst`emes de coefficients et la th´eoriedes types ont ´et´e explor´es dans [
10, 11 ]. Nous d´ecrivons notre strat´egie ci-dessous. Soit G une forme int´erieure de GL n p F q , c’est-`a-dire un groupe de la forme GL m p D q o`u m estun diviseur de n et D une F-alg`ebre `a division centrale de degr´e r´eduit d tels que md “ n , soitR un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique diff´erente de p et soit D l’involution d’Aubert(voir le paragraphe 2.1) sur le groupe de Grothendieck des repr´esentations de longueur finie deG `a coefficients dans R. Notre r´esultat principal est le suivant (th´eor`eme 2.5). Th´eor`eme . —
Soit π une R -repr´esentation irr´eductible de G , et soit r p π q le nombre de termesde son support cuspidal. Il y a une unique repr´esentation irr´eductible π ‹ de G , de mˆeme supportcuspidal que π , telle que la quantit´e : D p π q ´ p´ q r p π q ¨ π ‹ dans le groupe de Grothendieck de G ne contienne pas de terme irr´eductible de mˆeme supportcuspidal que π . ’INVOLUTION DE ZELEVINSKI MODULO ℓ La premi`ere ´etape de notre d´emonstration consiste `a se ramener – par des raisonnements surles supports cuspidal et supercuspidal – au cas d’une repr´esentation irr´eductible dont le supportcuspidal est de la forme σ ` ¨ ¨ ¨ ` σ r , o`u σ , . . . , σ r sont des repr´esentations irr´eductibles super-cuspidales inertiellement ´equivalentes `a une mˆeme repr´esentation irr´eductible supercuspidale σ de GL k p D q avec kr “ m . Dans cette situation, la th´eorie des types de Bushnell-Kutzko fournitun foncteur F de la cat´egorie des R-repr´esentations de G vers celle des modules `a droite sur unealg`ebre de Hecke H p σ, r q . Contrairement `a ce qui se passe en caract´eristique nulle (voir [
12, 29 ])ce foncteur n’est en g´en´eral pas exact quand R est de caract´eristique ℓ ą
0. Il est repr´esentablepar une repr´esentation de type fini Q de G qui n’est en g´en´eral pas projective dans la cat´egoriedes R-repr´esentations de G, mais qui est quasi-projective, ce qui entraˆıne les propri´et´es suivantes(voir [ ] et le paragraphe 1.4) :(1) F induit une bijection entre les classes de repr´esentations irr´eductibles de G dont le supportcuspidal est de la forme :(0.1) σ ` ¨ ¨ ¨ ` σ r , σ , . . . , σ r supercuspidales et inertiellement ´equivalentes `a σ et les H p σ, r q -modules `a droite simples ;(2) F est exact sur la sous-cat´egorie pleine E p σ, r q dont les objets sont les sous-quotients desommes directes arbitraires de copies de Q. Soit R σ,r le groupe de Grothendieck des repr´esentations de longueur finie de E p σ, r q , c’est-`a-dire le groupe ab´elien libre engendr´e par les classes de repr´esentations irr´eductibles de G dontle support supercuspidal est de la forme (0.1). Le foncteur F induit un morphisme de R σ,r versle groupe ab´elien libre M σ,r engendr´e par les H p σ, r q -modules `a droite simples. Notant R σ lasomme directe des R σ,r , r ě M σ de fa¸con analogue, on obtient un morphisme degroupes de R σ vers M σ , que l’on note encore F . Son noyau, not´e J σ , est engendr´e par les classesde repr´esentations irr´eductibles dans R σ dont le support supercuspidal est diff´erent du supportcuspidal. Ainsi, le th´eor`eme principal du paragraphe 7 ci-dessus peut ˆetre reformul´e comme suit(voir le paragraphe 2.3). Th´eor`eme . —
Soit π une R -repr´esentation irr´eductible dont le support supercuspidal est de laforme (0.1) . Alors p´ q r ¨ F p D p π qq est un module simple dans M σ . La repr´esentation irr´eductible π ‹ correspondant bijectivement par F `a ce module simple estl’unique repr´esentation irr´eductible de mˆeme support cuspidal que π telle que D p π q ´ p´ q r ¨ π ‹ ne contienne pas de terme irr´eductible de mˆeme support cuspidal que π . Passant maintenant au quotient, F induit un isomorphisme de groupes f de A σ , le quotientde R σ par J σ , vers M σ . L’involution D , laissant stable R σ et J σ d’apr`es le corollaire 2.8, induitune involution d sur A σ . Pour prouver le th´eor`eme du paragraphe 10, il s’agit de calculer l’iso-morphisme f ˝ d et pour cela de d´eterminer le comportement du foncteur F vis-`a-vis de l’inductionet de la restriction paraboliques : c’est ce que nous faisons dans la section 3 (voir le corollaire3.4 et la remarque 3.5). Nous y montrons aussi que, pour sous-groupe parabolique P de G ettout facteur de Levi M de P, le foncteur i M , P ˝ r M , P compos´e de l’induction et de la restrictionparaboliques de M `a G le long de P laisse stable la sous-cat´egorie E p σ, r q sur laquelle le foncteur F est exact. L’involution D ´etant d´efinie comme une somme altern´ee de tels foncteurs (dans legroupe de Grothendieck), ceci nous permet d’obtenir une formule pour f ˝ d du cˆot´e de M σ , ned´ependant que d’un invariant q σ P R associ´e `a la repr´esentation supercuspidale σ (voir (1.3) et leparagraphe 3.4). Grˆace au principe du changement de groupe, cette formule permet de r´eduire ALBERTO M´INGUEZ & VINCENT S´ECHERRE le probl`eme au cas o`u σ est le caract`ere trivial de GL p F q pour une extension finie convenableF de F, ce que nous faisons au paragraphe 4.1. Il ne reste maintenant plus qu’`a prouver le th´eor`eme du paragraphe 10 dans le cas o`u σ estle caract`ere trivial de GL p F q pour un corps localement compact non archim´edien F quelconque,not´e simplement 1. L’induction parabolique d´efinit une multiplication sur A σ , ce qui en fait une Z -alg`ebre commutative ( § Z -alg`ebre commutative sur M σ ,et les r´esultats de la section 3 montrent que f est alors un isomorphisme d’alg`ebres. D’autre partl’alg`ebre de Hecke H p σ, r q est une alg`ebre de Hecke affine de type A naturellement munie d’unautomorphisme involutif d’alg`ebre τ (voir le paragraphe 1.3). La torsion des modules par cetteinvolution d´efinit une involution sur M σ , encore not´ee τ . Leclerc, Thibon et Vasserot [ ] ont´etabli un algorithme permettant de calculer l’image par τ d’un module simple en d´eterminantle multisegment ap´eriodique lui correspondant. Nous prouvons le r´esultat suivant, qui impliqueet pr´ecise le th´eor`eme du paragraphe 10. Th´eor`eme . —
Soit π une R -repr´esentation irr´eductible dont le support supercuspidal est de laforme (0.1) . Alors p´ q r ¨ F p D p π qq est ´egal au module simple τ p F p π qq . Pour tout H p σ, r q -module simple m , posons t p m q “ p´ q r ¨ τ p m q . Prolongeant par lin´earit´e,on obtient un automorphisme involutif d’alg`ebre sur M σ . Pour prouver que les isomorphismesd’alg`ebres f ˝ d et t ˝ f sont ´egaux, il suffit de prouver qu’ils co¨ıncident sur un syst`eme g´en´erateurde A σ . Un syst`eme g´en´erateur bien adapt´e au probl`eme est fourni par la base standard (voir leth´eor`eme 4.5 ou [ , Lemme 9.41]). Grˆace `a la propri´et´e de multiplicativit´e de la base standard,il suffit de comparer f ˝ d et t ˝ f sur les repr´esentations Z p σ, r q associ´ees `a des segments (voir leparagraphe 4.2). Le calcul de f ˝ d p Z p σ, r qq se fait d’abord quand σ est le caract`ere trivial de F ˆ – auquel casZ p , r q n’est autre que le caract`ere trivial de GL r p F q – grˆace `a un argument de rel`evement `a lacaract´eristique nulle (voir les paragraphes 4.3 et 4.4). Ceci implique le th´eor`eme du paragraphe12 pour σ trivial, lui-mˆeme impliquant (grˆace `a la m´ethode de changement de groupe) ce mˆemeth´eor`eme pour σ quelconque. Ceci enfin implique en retour le th´eor`eme du paragraphe 12 pour σ quelconque (voir le paragraphe 4.5). Terminons cette introduction par trois remarques. D’abord, notre m´ethode fonctionne aussibien pour un corps F localement compact non archim´edien de caract´eristique r´esiduelle p quepour un corps fini de caract´eristique p . De fait, l’article est r´edig´e de fa¸con uniforme en F, qu’ilsoit fini ou p -adique. Le seul passage o`u le cas fini n´ecessite d’ˆetre trait´e avant le cas p -adique estle d´ebut de la section 3 o`u nous ´etudions le comportement du foncteur F vis-`a-vis de l’inductionet de la restriction paraboliques. Dans le cas o`u F est fini, nos r´esultats g´en´eralisent un r´esultatde Ackermann et Schroll [ ] qui traitent le cas unipotent, c’est-`a-dire le cas o`u σ est trivial. La seconde remarque concerne la section 3 dont l’int´erˆet, du point de vue de la th´eorie destypes, d´epasse le cadre de cet article. Le calcul des coinvariants de Q relativement au radicalunipotent d’un sous-groupe parabolique effectu´e au paragraphe 3.2 ´eclaire certaines questionssoulev´ees ou partiellement r´esolues dans la section 4 de [ ]. Notamment, le corollaire 3.4 ´etendle domaine de validit´e de [ , Corollaire 4.31] et le corollaire 3.6 (qu’on pourrait raffiner en d´e-finissant une structure de big`ebre au moyen de la restriction parabolique) montre qu’un certainnombre de r´esultats impliquant induction et restriction paraboliques peuvent ˆetre transport´es – ’INVOLUTION DE ZELEVINSKI MODULO ℓ via la m´ethode de changement de groupe – d’un σ `a un autre de mˆeme invariant q σ . Ceci serautile dans des travaux ult´erieurs. Notre troisi`eme et derni`ere remarque porte sur le calcul des multiplicit´es des repr´esentationsirr´eductibles dans les repr´esentations standards (4.1). Si π est une R-repr´esentation irr´eductibledont le support cuspidal est de la forme (0.1), nous montrons que sa multiplicit´e dans une re-pr´esentation standard ne d´epend de σ que par le biais de q σ . Il s’ensuit grˆace `a [
15, 4 ] que cettemultiplicit´e ne d´epend de σ que par le biais de l’entier e p σ q d´efini par (1.4). Le fait ´etait bienconnu – au moins dans le cas complexe – mais n’´etait `a notre connaissance ´ecrit nulle part dansla litt´erature. Nous avons profit´e de l’appareil technique mis en place dans cet article pour lefaire. Nous remercions P. Boyer, E. Lapid, B. Leclerc et M. Tadi´c de nous y avoir incit´e. Notations et conventions1.
On note N l’ensemble des entiers naturels et Z l’anneau des entiers relatifs. Une composition d’un entier n ě ą n . Pour un ensemble X, on note Z p X q le groupe ab´elien libre de base X constitu´e des applicationsde X dans Z `a support fini et N p X q le sous-ensemble de Z p X q constitu´e des applications `a valeursdans N . Si f, g P Z p X q , on note f ď g si g ´ f P N p X q , ce qui d´efinit une relation d’ordre partielsur Z p X q . Dans tout cet article, p est un nombre premier et R un corps alg´ebriquement clos de caract´e-ristique diff´erente de p . Une R- repr´esentation lisse d’un groupe localement profini G est un morphisme de groupes deG dans GL p V q , o`u V est un espace vectoriel sur R, tel que tout vecteur de V ait un stabilisateurouvert dans G. Dans cet article, toutes les repr´esentations sont des R-repr´esentations lisses. UnR- caract`ere de G est un morphisme de G vers R ˆ de noyau ouvert. Si aucune confusion n’est `acraindre, on ´ecrira caract`ere et repr´esentation plutˆot que R-caract`ere et R-repr´esentation. Si π est une repr´esentation et si χ est un caract`ere de G, on note πχ la repr´esentation tordued´efinie par g ÞÑ χ p g q π p g q . On note Irr p G , R q l’ensemble des classes d’isomorphisme des repr´esentations irr´eductibles deG et R p G , R q le groupe de Grothendieck de ses repr´esentations de longueur finie, qui s’identifieau groupe ab´elien libre Z p Irr p G , R qq . Le plus souvent, on omettra R dans les notations. Si π est une repr´esentation de longueur finie de G, on d´esigne par r π s son image dans R p G q . Enparticulier, si π est irr´eductible, r π s d´esigne sa classe d’isomorphisme. Lorsqu’aucune confusionne sera possible, il nous arrivera d’identifier une repr´esentation avec sa classe d’isomorphisme. Dans cet article, F d´esigne :– ou bien un corps fini de caract´eristique p , de cardinal not´e q “ p r , r ě
1, (et on dira qu’onest dans le cas fini );– ou bien un corps localement compact non archim´edien de corps r´esiduel de cardinal q “ p r , r ě cas p -adique ). ALBERTO M´INGUEZ & VINCENT S´ECHERRE
On fixe une F-alg`ebre `a division centrale de dimension finie D, de degr´e r´eduit not´e d . Dansle cas fini, on a d “ m ě
1, on note M m p D q la F-alg`ebredes matrices carr´ees de taille m `a coefficients dans D, et on note G m le groupe GL m p D q de ses´el´ements inversibles. Il est commode de convenir que G est le groupe trivial. La topologie surF induit sur G m une topologie en faisant un groupe localement profini. (Dans le cas fini, c’estla topologie discr`ete.) On note | | F la valeur absolue normalis´ee sur F. Dans le cas p -adique, c’est la valeur absoluedonnant `a une uniformisante de F la valeur q ´ . Dans le cas fini, c’est la valeur absolue triviale.Comme l’image de q dans R est inversible, elle d´efinit un R-caract`ere de F ˆ not´e | | F , R . Si l’onnote N m la norme r´eduite de M m p D q sur F, l’application g ÞÑ | N m p g q| F , R est un R-caract`ere deG m , qu’on notera simplement ν . Dans le cas fini, ν est donc le caract`ere trivial de G m . On note Irr la r´eunion des Irr p G m q et R la somme directe des R p G m q , pour m ě
0. Celle-cis’identifie au groupe ab´elien Z p Irr q . Pour une repr´esentation de longueur finie π de G m , on posedeg p π q “ m , qu’on appelle le degr´e de π . L’application deg fait de R un Z -module gradu´e.
1. Pr´eliminaires
Pour plus de d´etails sur les r´esultats de cette section nous renvoyons le lecteur `a [ ] dans lecas p -adique et `a [ ] dans le cas fini. Si α “ p m , . . . , m r q est une composition de m , il lui correspond le sous-groupe de Levi stan-dard M α de G m constitu´e des matrices diagonales par blocs de tailles m , . . . , m r respectivement,que l’on identifie naturellement au produit G m ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ G m r . On note P α le sous-groupe para-bolique de G m de facteur de Levi M α form´e des matrices triangulaires sup´erieures par blocs detailles m , . . . , m r respectivement, et on note U α son radical unipotent.On fixe une racine carr´ee de q dans R. On note i α le foncteur d’induction parabolique (norma-lis´e, dans le cas p -adique, relativement au choix de cette racine) de M α `a G m le long de P α , et onnote r α son adjoint `a gauche, c’est-`a-dire le foncteur de restriction parabolique lui correspondant.Ces foncteurs sont exacts, et pr´eservent l’admissibilit´e et le fait d’ˆetre de longueur finie.Si, pour chaque i P t , . . . , r u , on a une repr´esentation π i de G m i , on note :(1.1) π ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ π r “ i α p π b ¨ ¨ ¨ b π r q . Si les π i sont de longueur finie, la repr´esentation semi-simplifi´ee r π ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ π r s ne d´epend quede r π s , . . . , r π r s . L’application : pr π s , . . . , r π r sq ÞÑ r π ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ π r s induit par lin´earit´e une application lin´eaire de R p G m q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ R p G m r q dans R p G m q , faisant de R une Z -alg`ebre commutative (voir [ , Proposition 2.6] dans le cas p -adique) gradu´ee. Une repr´esentation irr´eductible de G m , m ě
1, est dite cuspidale si elle n’apparaˆıt comme sous-repr´esentation d’aucune induite de la forme (1.1) avec r ě
2, et elle est dite supercuspidale si ellen’apparaˆıt comme sous-quotient d’aucune induite de la forme (1.1) avec π , . . . , π r irr´eductibles ’INVOLUTION DE ZELEVINSKI MODULO ℓ et r ě
2. (Il n’est pas n´ecessaire de supposer que π , . . . , π r sont irr´eductibles dans la d´efinitionpr´ec´edente ; voir [ , Proposition 11.1].)On note C le sous-ensemble de Irr form´e des classes de repr´esentations irr´eductibles cuspidales,et S le sous-ensemble de C form´e des classes de repr´esentations supercuspidales.Pour le r´esultat suivant, on renvoie `a [ ] th´eor`emes 2.1 et 8.16 dans le cas p -adique, et `a [ ]th´eor`emes 2.2 et 2.5 dans le cas fini. Proposition 1.1 . —
Soit une repr´esentation irr´eductible π P Irr . (1) Il existe une unique somme cusp p π q “ σ ` ¨ ¨ ¨ ` σ r P N p C q , appel´ee support cuspidal de π , telle que π soit isomorphe `a un quotient de σ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ σ r . (2) Il existe une unique somme scusp p π q “ ω `¨ ¨ ¨` ω n P N p S q , appel´ee support supercuspidalde π , telle que π soit isomorphe `a un sous-quotient de ω ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ ω n . Soit σ une repr´esentation irr´eductible cuspidale, de degr´e m ě
1. Dans le cas p -adique, il luicorrespond (via la th´eorie des types) deux entiers f p σ q , s p σ q ě , 3.4]). On pose : ν σ “ " ν s p σ q dans le cas p -adique,le caract`ere trivial dans le cas fini,(1.2) q σ “ " q f p σ q dans le cas p -adique, q deg p σ q dans le cas fini.(1.3)Pour harmoniser les notations, on pose f p σ q “ deg p σ q dans le cas fini, de sorte qu’on a q σ “ q f p σ q dans tous les cas. Enfin on pose :(1.4) e p σ q “ " k ě ` q σ ` ¨ ¨ ¨ ` q k ´ σ “ n ě
2, l’induite : σ ˆ σν σ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ σν n ´ σ contient un sous-quotient irr´eductible cuspidal si et seulement si R est de caract´eristique ℓ ą r ě n “ e p σ q ℓ r (voir [ , Proposition 6.4] et [ , Paragraphe 1.4]). Dansce cas, le sous-quotient cuspidal est unique, et il apparaˆıt avec multiplicit´e 1 dans l’induite. Onle note : st r p σ q . Le th´eor`eme ci-dessous donne une classification des repr´esentations irr´eductibles cuspidales enfonction des supercuspidales (voir [ , Th´eor`eme 6.14] et [ , Th´eor`eme 1.4]). Th´eor`eme 1.2 . — (1)
L’application : p σ, r q ÞÑ st r p σ q est une surjection de S ˆ Z ě sur C r S . (2) Pour que deux couples p σ, r q , p σ , r q P S ˆ Z ě aient la mˆeme image par cette application,il faut et il suffit que r “ r et qu’il existe un entier i P Z tel que σ soit isomorphe `a σν iσ . Etant donn´ee une repr´esentation irr´eductible cuspidale σ , on pose :(1.5) Ω σ “ " tr σ su dans le cas fini, tr σχ s | χ caract`ere non ramifi´e de G deg p σ q u sinon. ALBERTO M´INGUEZ & VINCENT S´ECHERRE
Dans le cas p -adique, deux repr´esentations irr´eductibles cuspidales σ, σ telles que Ω σ “ Ω σ sontdites inertiellement ´equivalentes . Par commodit´e, nous ´etendrons cette d´efinition au cas fini. Th´eor`eme 1.3 ( [ , Th´eor`eme 4.18] , [ , Proposition 3.3] ) . — Soient σ , . . . , σ r des repr´e-sentations cuspidales deux `a deux non inertiellement ´equivalentes. Pour chaque i P t , . . . , r u ,on fixe un support cuspidal s i form´e de repr´esentations inertiellement ´equivalentes `a σ i . (1) Pour chaque entier i , soit π i une repr´esentation irr´eductible de support cuspidal s i . Alorsl’induite π ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ π r est irr´eductible. (2) Soit π une repr´esentation irr´eductible de support cuspidal s ` ¨ ¨ ¨ ` s r . Alors il existe desrepr´esentations π , . . . , π r , uniques `a isomorphisme pr`es, telles que π i soit de support cuspidal s i pour chaque i et telles que π ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ π r soit isomorphe `a π . On a aussi un variante supercuspidale de ce th´eor`eme.
Th´eor`eme 1.4 ( [ , Th´eor`eme 8.19] , [ , Proposition 1.8] ) . — On reprend les hypoth`eses duth´eor`eme 1.3, en supposant en outre que σ , . . . , σ r sont supercuspidales. (1) Pour chaque entier i , soit π i une repr´esentation irr´eductible de support supercuspidal s i .Alors l’induite π ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ π r est irr´eductible. (2) Soit π une repr´esentation irr´eductible de support supercuspidal s ` ¨ ¨ ¨ ` s r . Il existe desrepr´esentations π , . . . , π r , uniques `a isomorphisme pr`es, telles que π i soit de support supercus-pidal s i pour chaque i et telles que π ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ π r soit isomorphe `a π . Soient n ě u P R ˆ . On note H p n, u q la R-alg`ebre engendr´ee par les symboles S , . . . , S n ´ avec les relations : p S i ` qp S i ´ u q “ , i P t , . . . , n ´ u , (1.6) S i S j “ S j S i , | i ´ j | ě , (1.7) S i S i ` S i “ S i ` S i S i ` , i P t , . . . , n ´ u . (1.8)Il y a donc une involution τ de H p n, u q d´efinie par :(1.9) S i ÞÑ ´ S n ´ i ` u ´ i P t , . . . , n ´ u . Puis on note r H p n, u q la R-alg`ebre engendr´ee par les symboles S , . . . , S n ´ et X , . . . , X n et leursinverses avec les relations (1.6) `a (1.8) auxquelles s’ajoutent les relations :X i X j “ X j X i , i, j P t , . . . , n u , (1.10) X j S i “ S i X j , i R t j, j ´ u , (1.11) S i X i S i “ u X i ` , i P t , . . . , n ´ u . (1.12)La premi`ere s’identifie `a une sous-alg`ebre de la seconde ; on note τ l’involution de r H p n, u q d´efiniepar (1.9) et :(1.13) X j ÞÑ X n ` ´ j , j P t , . . . , n u . Soit σ une repr´esentation irr´eductible cuspidale de degr´e m ě
1, et soit G “ G m . Fixons unentier n ě p -adique, d’apr`es [ , Th´eor`eme 3.11], il existe un sous-groupe ouvert compact Jde G et une repr´esentation irr´eductible λ de J tels que les repr´esentations irr´eductibles de G dont ’INVOLUTION DE ZELEVINSKI MODULO ℓ la restriction `a J admette λ comme sous-repr´esentation sont exactement les σχ pour χ d´ecrivantles caract`eres non ramifi´es de G. Un tel couple p J , λ q est appel´e un type simple (maximal) pour σ . On note : Σ “ ind GJ p λ q l’induite compacte de λ `a G. Dans le cas fini, on pose simplement Σ “ σ .On note H p σ, n q l’alg`ebre des endomorphismes de l’induite Σ ˆ n “ Σ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Σ, le produit de n copies de Σ. D’apr`es [ , Proposition 4.18] dans le cas p -adique et [ , §
5] dans le cas fini, ily a un isomorphisme naturel :(1.14) Ψ σ,n : H p σ, n q Ñ " r H p n, q σ q dans le cas p -adique , H p n, q σ q dans le cas fini . Dans les deux cas, on a d´efini une repr´esentation Σ de G et, pour tout entier n ě
1, une alg`ebre H p σ, n q , isomorphe `a une alg`ebre de Hecke de param`etre q σ , et munie d’une involution τ .Si m est un H p σ, n q -module `a droite, on note τ p m q le R-espace vectoriel m muni d’une structurede H p σ, n q -module `a droite par : p x, h q ÞÑ x ˚ τ p h q pour tous x P m et h P H p σ, n q , o`u ˚ d´esigne l’action de H p σ, n q sur le module m .Notons M σ la somme directe, portant sur n ě
0, des groupes de Grothendieck des cat´egoriesdes H p σ, n q -modules `a droite de dimension finie.Pour toute composition α “ p n , . . . , n r q de n , on note H p σ, α q la sous-R-alg`ebre de H p σ, n q engendr´ee par les S i tels que i R t n ` n ` ¨ ¨ ¨ ` n k | ď k ď r ´ u — auxquels on ajoute tousles X j dans le cas p -adique. On note r α le foncteur de restriction de H p σ, n q `a H p σ, α q et i α sonadjoint `a droite. Ces deux foncteurs sont exacts.De fa¸con analogue au paragraphe 1.1, on munit M σ d’une structure de Z -alg`ebre commutativegradu´ee : si, pour chaque i P t , . . . , r u , on a un H p σ, n i q -module `a droite de dimension finie m i ,on pose : m ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ m r “ i α p m b ¨ ¨ ¨ b m r q“ Hom H p σ,α q p H p σ, n q , m b ¨ ¨ ¨ b m r q . La sous-alg`ebre H p σ, α q n’est en g´en´eral pas stable par τ : son image est H p σ, α q , o`u α est lacomposition p n r , . . . , n q . Par cons´equent, on a un isomorphisme fonctoriel de H p σ, n q -modulesentre τ p m ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ m r q et τ p m r q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ τ p m q qui, apr`es semi-simplification, donne l’´egalit´e : τ p m ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ m r q “ τ p m q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ τ p m r q dans M σ , faisant de τ une involution de Z -alg`ebre de M σ . On reprend les notations du paragraphe pr´ec´edent. Soit E p σ, n q la sous-cat´egorie pleine de lacat´egorie des repr´esentations de G mn dont les objets sont les sous-quotients de sommes arbitrairesde copies de Σ ˆ n . Pour le r´esultat suivant, on renvoie `a [ , § , § Th´eor`eme 1.5 . — (1)
La repr´esentation Σ ˆ n est quasi-projective [
35, 23 ] . (2) Le foncteur : (1.15) F : π ÞÑ Hom G p Σ ˆ n , π q est un foncteur exact de E p σ, n q dans la cat´egorie des H p σ, n q -modules `a droite. ALBERTO M´INGUEZ & VINCENT S´ECHERRE (3)
Ce foncteur induit une bijection entre les classes de repr´esentations irr´eductibles de G mn dont le support cuspidal appartient `a N p Ω σ q et les H p σ, n q -modules `a droite simples. On pose :Irr σ,n “ t π P Irr | π est un sous-quotient de σ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ σ n avec σ , . . . , σ n P Ω σ u , Irr ˚ σ,n “ t π P Irr | π est un quotient de σ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ σ n avec σ , . . . , σ n P Ω σ u . On note Irr σ la r´eunion des Irr σ,n pour n ě
0, et on d´efinit Irr ˚ σ de fa¸con analogue. On note R σ la sous- Z -alg`ebre de R engendr´ee par Irr σ , et on note J σ l’id´eal de R σ engendr´e par les π P Irr σ tels que π R Irr ˚ σ (c’est-`a-dire tels que cusp p π q R N p Ω σ q ).Les foncteurs d´efinis pour tout n ě F : R σ Ñ M σ (encore not´e F par abus de notation) de noyau J σ . Remarque 1.6 . — On verra plus loin (voir proposition 3.6) que F est un morphisme d’alg`ebres.Apr`es avoir d´efini dans la section 2 une involution D sur R σ , on verra dans la section 4 que c’estmˆeme — `a un signe pr`es — un morphisme d’alg`ebres `a involution lorsqu’on munit M σ de τ .
2. Dualit´e
Dans cette section, on introduit un automorphisme involutif d’alg`ebre de R , not´e D et appel´einvolution d’Aubert. Il ne pr´eserve pas l’irr´eductibilit´e (mˆeme au signe pr`es) mais on montre auth´eor`eme 2.5 que, pour toute repr´esentation irr´eductible π , son image D p π q est une combinaisonlin´eaire de repr´esentations irr´eductibles dont une seule, not´ee π ‹ , a le mˆeme support cuspidalque π . D de R On d´efinit un endomorphisme de groupe de R en associant `a toute repr´esentation irr´eductible π P Irr la repr´esentation virtuelle dans R : D p π q “ ÿ α p´ q r p α q ¨ i α ˝ r α p π q o`u α d´ecrit l’ensemble des compositions de deg p π q et o`u r p α q est le nombre de termes de α . Proposition 2.1 . —
L’application D est un automorphisme involutif de Z -alg`ebre de R .D´emonstration . — La preuve donn´ee dans [ , §
8] dans le cas fini pour les repr´esentationscomplexes est encore valable pour les repr´esentations modulaires.Dans le cas p -adique, voir [ , Th´eor`eme 1.7] et [ , Proposition A.2]. D´efinition 2.2 . — Pour toute repr´esentation irr´eductible π P Irr, on note r p π q le nombre determes du support cuspidal de π . Remarque 2.3 . — Dans le cas fini, cette dualit´e a ´et´e introduite simultan´ement par Alvis etCurtis (voir [
2, 13 ] et [ , § π P Irr, on a : p´ q r p π q ¨ D p π q P Irr . ’INVOLUTION DE ZELEVINSKI MODULO ℓ La dualit´e a ´et´e ´etendue par Cabanes et Rickard [ ] `a des repr´esentations `a coefficients dansun anneau commutatif quelconque dans lequel p est inversible.Dans le cas p -adique, D a ´et´e introduite par Aubert [ ] pour les repr´esentations complexes degroupes r´eductifs p -adiques (voir aussi [
37, 32, 6 ] pour le cas du groupe GL m p D q ). Elle pr´eserveaussi l’irr´eductibilit´e `a un signe pr`es. Voir [ , Appendice A] dans le cas modulaire banal.Dans le cas modulaire, D ne pr´eserve plus l’irr´eductibilit´e, pas mˆeme `a un signe pr`es. Exemple 2.4 . — On suppose que la caract´eristique ℓ de R divise q `
1. On note 1 le caract`eretrivial de F ˆ (on a donc e p σ q “ σ est le caract`ere 1). On note 1 le caract`ere trivial deGL p F q et ν le caract`ere g ÞÑ | det p g q| F , R . Soit π la repr´esentation de GL p F q sur l’espace desfonctions localement constantes sur la droite projective sur F, `a valeurs dans R. On a : r π s “ ` st p q ` ν dans R , et st p q est cuspidale [ ] (voir aussi le th´eor`eme 1.2). On a ainsi : D p q “ ν ` st p q , D p st p qq “ ´ st p q . Le but de cet article est de montrer le th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme 2.5 . —
Soit π P Irr . Alors il y a une unique repr´esentation irr´eductible π ‹ de mˆemesupport cuspidal que π telle que : D p π q ´ p´ q r p π q ¨ π ‹ P R ne contienne pas de terme irr´eductible de mˆeme support cuspidal que π . Remarque 2.6 . — Il est clair que tous les sous-quotients irr´eductibles de D p π q ont mˆeme sup-port supercuspidal que π . Le probl`eme est de montrer qu’un seul parmi eux a le mˆeme supportcuspidal que π . Soit σ une repr´esentation irr´eductible cuspidale. On rappelle que R σ est la sous-alg`ebre de R engendr´ee par Irr σ , et que J σ est l’id´eal de R σ engendr´e par les π P Irr σ telles que π R Irr ˚ σ . Onnote aussi I σ l’id´eal de R σ engendr´e par l’ensemble Irr σ priv´e du caract`ere trivial de G .On renvoie au paragraphe 1.2 pour la d´efinition de la notation st r p σ q , r ě
0. Par commodit´e,on pose aussi st ´ p σ q “ σ . Lemme 2.7 . —
Soit π une repr´esentation irr´eductible telle que cusp p π q P N p Ω σ q . Si τ est unterme irr´eductible de D p π q , alors : cusp p τ q P N p Ω σ q ` N p Ω st p σ q q ` N p Ω st p σ q q ` N p Ω st p σ q q ` . . . D´emonstration . — Il suffit de d´emontrer que le support cuspidal d’un sous-quotient irr´eductibled’une repr´esentation de la forme i α ˝ r α p π q , o`u α est une composition de deg p π q , n’est compos´eque de repr´esentations dans :(2.1) Ω σ Y Ω st p σ q Y Ω st p σ q Y Ω st p σ q Y . . . Soient σ P S et u ě ´ σ “ st u p σ q . Comme le support supercuspidal de π est form´ede repr´esentations dans Ω σ , le support cuspidal de τ est compos´e de repr´esentations dans :Ω σ Y Ω st p σ q Y Ω st p σ q Y Ω st p σ q Y . . . ALBERTO M´INGUEZ & VINCENT S´ECHERRE
Supposons qu’il y ait dans cusp p τ q un terme inertiellement ´equivalent `a st i p σ q , i ě ´
1, tel quedeg p st i p σ qq ă deg p σ q . Fixons une paire β “ p β , β q avec β “ deg p st i p σ qq telle que r β p τ q soitnon nulle. Si l’on calcule la restriction parabolique r β p i α ˝ r α p π qq , on trouve, grˆace au LemmeG´eom´etrique [ , 1.1.2] dans le cas p -adique et `a la formule de Mackey [ , § γ “ p γ , . . . , γ r q plus fine que β telle que r γ p π q soit non nulle. En particulier,on a : γ ď β ă deg p σ q . Mais, par hypoth`ese sur le support cuspidal de π , la composition γ doit ˆetre form´ee de multiplesde l’entier deg p σ q , ce qui nous donne une contradiction.Le lemme 2.7 peut ˆetre reformul´e ainsi : si π P Irr σ et π R Irr ˚ σ , alors D p π q P I σ . Corollaire 2.8 . —
L’alg`ebre R σ et ses id´eaux I σ , J σ sont stables par l’automorphisme D .D´emonstration . — D’apr`es le th´eor`eme 1.3, toute repr´esentation irr´eductible π P Irr σ se d´ecom-pose sous la forme : π “ π ´ ˆ π ˆ π ˆ π ˆ . . . o`u, pour tout i ě ´
1, la repr´esentation π i est irr´eductible et de support cuspidal dans N p Ω st i p σ q q .Si l’on applique le lemme 2.7 `a st i p σ q et π i pour un i ě ´
1, on trouve que D p π i q appartient `al’id´eal I st i p σ q . Comme on a :(2.2) D p π q “ D p π ´ q ˆ D p π q ˆ D p π q ˆ D p π q ˆ . . . et comme la famille des I st i p σ q , i ě ´
1, est d´ecroissante, on en d´eduit que D p π q appartient `a I σ .Comme R σ est ´egal `a R ‘ I σ , on en d´eduit aussi que R σ est stable par D .Si maintenant π P Irr σ X J σ , cela signifie que π ‰ π ´ . Posons : π ` “ π ˆ π ˆ π ˆ ¨ ¨ ¨ P Irr st p σ q . On a donc π “ π ´ ˆ π ` avec D p π ´ q P I σ et D p π ` q P I st p σ q . Comme I st p σ q est inclus dans J σ ,on en d´eduit que D p π q P J σ . Corollaire 2.9 . —
Soit π P Irr σ une repr´esentation irr´eductible qu’on ´ecrit : π “ π ´ ˆ π ˆ π ˆ π ˆ . . . o`u, pour tout i ě ´ , la repr´esentation π i est irr´eductible et de support cuspidal dans N p Ω st i p σ q q .Si le th´eor`eme 2.5 est vrai pour chacun des π i avec i ě ´ , alors il est vrai pour π .D´emonstration . — Tout terme irr´eductible τ de (2.2) apparaˆıt comme sous-quotient d’un pro-duit τ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ τ r o`u τ i est un terme irr´eductible de D p π i q , pour chaque i .Supposons que τ i P J st i p σ q pour au moins un i . Comme J st i p σ q est inclus dans J σ et que celui-ciest un id´eal de R σ , on en d´eduit que τ P J σ .Inversement, supposons que τ i R J st i p σ q pour tout i . Par hypoth`ese, ceci ne se produit que si τ i “ π ‹ i pour tout i , c’est-`a-dire si et seulement si τ est ´egal `a : π ‹ “ π ‹ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ π ‹ r . Ceci prouve que le th´eor`eme est vrai pour π . Proposition 2.10 . —
Supposons que, pour toute repr´esentation irr´eductible supercuspidale σ ,le th´eor`eme 2.5 soit vrai pour toute repr´esentation π P Irr dont le support supercuspidal est dans N p Ω σ q . Alors le th´eor`eme 2.5 est vrai. ’INVOLUTION DE ZELEVINSKI MODULO ℓ D´emonstration . — Soit π P Irr. D’apr`es le th´eor`eme 1.4, il y a des repr´esentations irr´eductiblessupercuspidales σ , . . . , σ r non inertiellement ´equivalentes deux `a deux et des repr´esentationsirr´eductibles π , . . . , π r telles que : π “ π ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ π r et scusp p π i q P N p Ω σ i q pour tout i P t , . . . , r u . On a :(2.3) D p π q “ D p π q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ D p π r q donc tout terme irr´eductible τ de (2.3) apparaˆıt comme sous-quotient d’un produit τ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ τ r o`u τ i est un terme irr´eductible de D p π i q . Comme scusp p τ i q “ scusp p π i q , le th´eor`eme 1.4 impliqueque le produit τ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ τ r est irr´eductible, donc ´egal `a τ . Ainsi :cusp p τ q “ cusp p τ q ` ¨ ¨ ¨ ` cusp p τ r q , qui n’est ´egal `a cusp p π q que si cusp p τ i q “ cusp p π i q pour tout i P t , . . . , r u . Par hypoth`ese, cecine se produit que si τ i “ π ‹ i pour tout i , c’est-`a-dire si et seulement si τ est ´egal `a : π ‹ “ π ‹ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ π ‹ r . Ceci prouve que le th´eor`eme est vrai pour π . Proposition 2.11 . —
Supposons que, pour toute repr´esentation supercuspidale σ , le th´eor`eme2.5 soit vrai pour toute repr´esentation π P Irr telle que cusp p π q P N p Ω σ q . Alors le th´eor`eme 2.5est vrai.D´emonstration . — Par conjonction du corollaire 2.9 et de la proposition 2.10.Pour la d´efinition de la notation F dans l’´enonc´e suivant, on renvoie `a (1.16). Proposition 2.12 . —
Soit σ une repr´esentation cuspidale, et soit un entier n ě . Le th´eor`eme2.5 est vrai pour toute repr´esentation π P Irr ˚ σ,n si et seulement si : (2.4) p´ q n ¨ F p D p π qq P M σ est un H p σ, n q -module simple.D´emonstration . — Rappelons que le th´eor`eme 2.5 est vrai pour π si et seulement s’il existe unerepr´esentation irr´eductible π ‹ de mˆeme support cuspidal que π telle que : D p π q ´ p´ q r p π q ¨ π ‹ P J σ . Comme π P Irr ˚ σ,n , on a r p π q “ n . Comme J σ est le noyau de F , cette condition s’´ecrit : p´ q n ¨ F p D p π qq “ F p π ‹ q . Comme F induit une bijection entre Irr ˚ σ,n et les modules `a droite simples sur H p σ, n q (th´eor`eme1.5), il s’ensuit que le th´eor`eme 2.5 est vrai pour π si et seulement si (2.4) est un module `a droitesimple dont l’ant´ec´edent par F dans Irr ˚ σ,n a le mˆeme support cuspidal que π .Supposons simplement que (2.4) est un module `a droite simple, et notons π ‹ l’unique ´el´ementde Irr ˚ σ,n lui correspondant par F . Ecrivons cusp p π q “ σ ` ¨ ¨ ¨ ` σ n avec σ , . . . , σ n P Ω σ . Alors π ‹ est un sous-quotient irr´eductible de σ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ σ n dont le support cuspidal est form´e de termesinertiellement ´equivalents `a σ . On a donc cusp p π ‹ q “ σ ` ¨ ¨ ¨ ` σ n “ cusp p π q , ce qui met fin `ala d´emonstration. ALBERTO M´INGUEZ & VINCENT S´ECHERRE
Remarque 2.13 . — Dans le cas o`u F est fini et σ est le caract`ere trivial de F ˆ , la proposition2.11 et le lien avec l’alg`ebre de Hecke sont prouv´es par Ackermann et Schroll (voir [ ], notammentle th´eor`eme 4.1). Si l’on joint les propositions 2.11 et 2.12, on voit que, pour prouver le th´eor`eme 2.5, il suffit deprouver que, pour toute repr´esentation supercuspidale σ P S , tout n ě π P Irr ˚ σ,n , la quantit´e : p´ q n ¨ F p D p π qq dans M σ est un H p σ, n q -module simple.
3. Un calcul de coinvariants
On fixe une repr´esentation irr´eductible cuspidale σ de degr´e m et un entier n ě
1, et on poseQ “ Σ ˆ n et H “ H p σ, n q (voir le paragraphe 1.3 pour les notations).On fixe une composition p n , . . . , n r q de n , et on pose :M “ GL mn p D q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ GL mn r p D q Ď GL mn p D q “ G . On note P le sous-groupe parabolique de G engendr´e par M et les matrices triangulaires sup´e-rieures, et on note N son radical unipotent. On pose Q M “ Σ ˆ n b ¨ ¨ ¨ b Σ ˆ n r , et on note H M son alg`ebre d’endomorphismes.La repr´esentation Q s’identifie `a l’induite parabolique de Q M `a G le long de P. Par fonctoria-lit´e, on en d´eduit un morphisme (injectif) d’alg`ebres : j : H M Ñ H faisant de H un H M -module `a droite. Dans ce paragraphe, on suppose qu’on est dans le cas fini. Comme N est un p -groupe fini et que p est inversible dans R, les N-coinvariants Q N sont canoniquement isomorphes aux N-invariantsQ N . Proposition 3.1 . —
On a un isomorphisme : Q N » H b H M Q M de repr´esentations de M et de H -modules `a droite.D´emonstration . — On note i le plongement canonique de Q M dans Q, d´efini, pour tout f P Q M ,par : i p f q : g ÞÑ " f p m q si g “ mn avec m P M, n P N , g R P , C’est un morphisme injectif de repr´esentations de M, tel que i ˝ k “ j p k q ˝ i pour tout k P H M .Son image est le sous-espace des fonctions de support inclus dans P ; elle est invariante par N.On note ξ l’application : H b H M Q M Ñ Q h b f ÞÑ h p i p f qq . ’INVOLUTION DE ZELEVINSKI MODULO ℓ On note W le sous-groupe des matrices de permutation de GL n p F q (naturellement plong´e dansG) et S l’ensemble des matrices des transpositions i Ø i `
1. On note W M le sous-groupe de Wcorrespondant `a M.Soit D l’ensemble des repr´esentants distingu´es de W { W M dans W, c’est-`a-dire que, pour tout d P D , l’unique ´el´ement de longueur minimale dans d W M est d . Fixons pour tout ´el´ement d P D un ´el´ement t d P H de support P d P. Alors H est un H M -module `a droite libre de base p t d q d P D .Le morphisme t d ˝ i est injectif, et il a pour image le sous-espace de Q N form´e des fonctions desupport inclus dans P d N. Ainsi ξ est bijectif.Pour plus de d´etails, on pourra consulter [ ], paragraphes 4.2 et 4.3.Appliquant le foncteur d’induction parabolique de M `a G le long de P, on obtient un isomor-phisme :(3.1) Ind GP p Q N q » H b H M Qde repr´esentations de G.
Corollaire 3.2 . — (1)
Pour toute repr´esentation ̺ de M , on a un isomorphisme : Hom G p Q , Ind GP p ̺ qq » Hom H M p H , Hom M p Q M , ̺ qq de H -modules `a droite. (2) Le foncteur exact π ÞÑ Ind GP p π N q pr´eserve la sous-cat´egorie E p σ, n q (voir le § ).D´emonstration . — On obtient (1) par adjonction, grˆace `a la proposition 3.1. Pour obtenir (2),il suffit prouver que l’image de Q par ce foncteur est dans E p σ, n q , ce qui suit de (3.1). p -adique Dans ce paragraphe, on suppose qu’on est dans le cas p -adique. On fixe, comme au paragraphe1.3, un type simple maximal p J , λ q contenu dans σ . Ce type simple maximal admet une d´ecompo-sition (non canonique) : λ “ κ b σ fin o`u κ est une β -extension au sens de [ , § σ fin une repr´esentation irr´eductible de J trivialesur un sous-groupe ouvert distingu´e J de J. Le quotient J { J s’identifie (non canoniquement) `aun groupe fini GL f p k q o`u k est un corps fini de caract´eristique p et f un entier, et σ fin s’identifie`a une repr´esentation irr´eductible cuspidale de GL f p k q .On note G le groupe GL fn p k q . L’induite parabolique σ fin ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ σ fin est une repr´esentationde G not´ee Q fin et son alg`ebre d’endomorphismes est not´ee H fin . Comme au d´ebut de la section3, on a aussi une repr´esentation Q finM du sous-groupe de Levi M “ GL fn p k q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ GL fn r p k q et une sous-alg`ebre H finM de H fin . D’apr`es le corollaire 3.2, on a un isomorphisme :Hom G p Q fin , Ind GP p ̺ qq » Hom H finM p H fin , Hom M p Q finM , ̺ qq de H fin -modules `a droite, pour toute repr´esentation ̺ de M .D’apr`es [ ], sections 2 et 5, il existe :(1) un sous-groupe ouvert compact J de G et un sous-groupe ouvert distingu´e J tels que lequotient J { J s’identifie au groupe G ; ALBERTO M´INGUEZ & VINCENT S´ECHERRE (2) une repr´esentation irr´eductible κ de J telle qu’on ait un isomorphisme de repr´esentations :(3.2) Q » ind G J p κ b Q fin q o`u Q fin est vue, par inflation, comme une repr´esentation de J triviale sur J .(Dans la section 5 de [ ], ces groupes et cette repr´esentation sont not´es J max , J et κ max .)L’isomorphisme (3.2) induit un morphisme fonctoriel d’alg`ebres de H fin dans H . Si l’on d´efinitle foncteur exact : K : π ÞÑ Hom J p κ , π q de la cat´egorie des repr´esentations de G vers celle des repr´esentations de G , on a un isomorphismede H fin -modules `a droite :(3.3) Hom G p Q , π q » Hom G p Q fin , K p π qq pour toute repr´esentation lisse π de G.De fa¸con analogue, il y a un foncteur K M de la cat´egorie des repr´esentations de M vers celledes repr´esentations de M poss´edant les propri´et´es suivantes :(1) on a un isomorphisme de H finM -modules `a droite :(3.4) Hom M p Q M , ̺ q » Hom M p Q finM , K M p ̺ qq pour toute repr´esentation lisse ̺ de M ;(2) si P est le sous-groupe parabolique standard de G correspondant au sous-groupe de Levi M , alors pour toute repr´esentation ̺ de M on a ([ , Proposition 5.6]) un isomorphisme :(3.5) K p Ind GP p ̺ qq » Ind GP p K M p ̺ qq de repr´esentations de G . Proposition 3.3 . —
On a un isomorphisme : Q N » H b H M Q M de H -modules `a gauche et de repr´esentations de M .D´emonstration . — Appliquons (3.3) `a la repr´esentation Ind GP p ̺ q o`u ̺ est une R-repr´esentationlisse de M. Compte tenu de (3.5), on a des isomorphismes de H fin -modules `a droite :Hom G p Q , Ind GP p ̺ qq » Hom G p Q fin , K p Ind GP p ̺ qqq » Hom G p Q fin , Ind GP p K M p ̺ qqq . D’apr`es le corollaire 3.2 et (3.4), on a des isomorphismes de H fin -modules `a droite :Hom G p Q fin , Ind GP p K M p ̺ qqq » Hom H finM p H fin , Hom M p Q finM , K M p ̺ qqq» Hom H finM p H fin , Hom M p Q M , ̺ qq et ce dernier est isomorphe `a Hom M p H fin b H finM Q M , ̺ q . Ceci ´etant valable pour toute repr´esen-tation lisse ̺ de M, on en d´eduit un isomorphisme :(3.6) Q N » H fin b H finM Q M de H fin -modules `a gauche et de repr´esentations de M. ’INVOLUTION DE ZELEVINSKI MODULO ℓ Avec les notations du paragraphe 1.3, et compte tenu de l’isomorphisme (1.14), le H finM -module`a gauche H M est libre de base p X α q α P Z n avec X α “ X α . . . X α n n pour α “ p α , . . . , α n q P Z n , etc’est aussi une base du H fin -module `a droite H . Ainsi l’application naturelle : H fin b H finM H M Ñ H p h, k q ÞÑ h ˚ k (o`u ˚ d´esigne la multiplication dans H ) est un isomorphisme de p H fin , H M q -bimodules. CommeQ M est un H M -module `a gauche, on obtient, grˆace `a (3.6), l’isomorphisme annonc´e.Comme dans le cas fini, on en d´eduit le corollaire suivant. Corollaire 3.4 . — (1)
Pour toute repr´esentation ̺ de M , on a un isomorphisme : Hom G p Q , Ind GP p ̺ qq » Hom H M p H , Hom M p Q M , ̺ qq de H -modules `a droite. (2) Le foncteur exact π ÞÑ Ind GP p π N q pr´eserve la sous-cat´egorie E p σ, n q (voir le § ). Remarque 3.5 . — D’apr`es [ ], la repr´esentation Q s’identifie `a l’induite compacte d’un typesemi-simple ( ibid. , § ibid. , § H M -modules `a droite :Hom G p Q , π q » Hom M p Q M , π N q pour toute repr´esentation π de G, o`u π N d´esigne la restriction parabolique (normalis´ee) de π . On suppose `a nouveau qu’on est, indistinctement, dans le cas fini ou p -adique. Des corollaires3.2 et 3.4 on d´eduit le r´esultat suivant. Corollaire 3.6 . —
Le morphisme de groupes F : R σ Ñ M σ d´efini en (1.16) est un morphismed’alg`ebres. Si l’on note A σ la Z -alg`ebre quotient de R σ par J σ , le morphisme F induit un isomorphisme :(3.7) f : A σ Ñ M σ de Z -alg`ebres. D’apr`es le corollaire 2.8, l’involution D induit une involution sur A σ , not´ee d . On ad´efini une involution τ sur M σ au paragraphe 1.3. Nous ´etudions maintenant le comportement de f vis-`a-vis de ces deux involutions. Plus pr´ecis´ement, nous avons deux isomorphismes d’alg`ebres f ˝ d et τ ˝ f de A σ dans M σ , que nous allons comparer. F ˝ D Lemme 3.7 . —
Soit α une composition de mn . (1) Si α n’est pas de la forme p mn , . . . , mn r q o`u p n , . . . , n r q est une composition de n , alorsle foncteur i α ˝ r α est nul sur la sous-cat´egorie E p σ, n q . (2) Dans tous les cas, le foncteur i α ˝ r α pr´eserve la sous-cat´egorie E p σ, n q .D´emonstration . — Si α est de la forme p mn , . . . , mn r q , c’est une cons´equence des corollaires 3.2et 3.4. Sinon, la restriction de i α ˝ r α `a E p σ, n q est le foncteur nul, car le support cuspidal d’unerepr´esentation irr´eductible dans E p σ, n q n’est compos´e que de repr´esentations dans (2.1). ALBERTO M´INGUEZ & VINCENT S´ECHERRE
Rappelons que, pour toute composition γ “ p n , . . . , n r q de n , on a d´efini des foncteurs r γ et i γ au paragraphe 1.3. Leur compos´e i γ ˝ r γ d´efinit donc un endomorphisme de groupe de M σ .Ecrivons m ¨ γ “ p mn , . . . , mn r q , qui est une composition de mn . Lemme 3.8 . — (1)
Pour toute composition γ de n et toute repr´esentation π P Irr σ,n , on a : F p i m ¨ γ ˝ r m ¨ γ p π qq » i γ ˝ r γ p F p π qq dans la cat´egorie des H p σ, n q -modules `a droite. (2) Pour toute repr´esentation π P Irr σ,n , on a : F p D p π qq “ ÿ γ p´ q r p γ q ¨ i γ ˝ r γ p F p π qq dans M σ , o`u γ d´ecrit les compositions de n .D´emonstration . — La partie (2) est une cons´equence du lemme 3.7 et de la partie (1).D’apr`es le corollaire 3.4, on a un isomorphisme de H -modules `a droite :Hom G p Q , i m ¨ γ p ̺ qq » i γ p Hom M p Q M , ̺ qq pour toute repr´esentation ̺ de M. D’apr`es la remarque 3.5, on a ´egalement un isomorphisme de H M -modules `a droite :(3.8) r γ p Hom G p Q , π qq » Hom M p Q M , r m ¨ γ p π qq pour toute repr´esentation π de G. En composant les deux, on obtient l’identit´e voulue.
4. Preuve du th´eor`eme 2.5
Les notations σ et m, n ont le mˆeme sens qu’au d´ebut de la section 3. On permet maintenant de changer le corps F fix´e dans l’introduction : fixons un corps F demˆeme nature que F, c’est-`a-dire fini de caract´eristique p dans le cas fini, et localement compactnon archim´edien de caract´eristique r´esiduelle p dans le cas p -adique. On fixe une repr´esentationirr´eductible cuspidale σ d’un groupe GL m p D q , o`u D est une F -alg`ebre `a division centrale et m ě
1, telle que q σ “ q σ dans R. Comme en (1.16), on associe `a σ un morphisme d’alg`ebres : F : R σ Ñ M σ . Cette derni`ere est ´egale `a M σ (que l’on note donc M ) puisque q σ “ q σ . Le morphisme F induitune bijection entre Irr ˚ σ et l’ensemble des objets simples de M . On note D l’involution sur R σ .D’apr`es [ ] (voir aussi [ , § n ě Φ n : Irr ˚ σ,n Ñ Irr ˚ σ ,n compatible au support cuspidal. En prenant la r´eunion sur n , on obtient une bijection Φ de Irr ˚ σ dans Irr ˚ σ . Pour toute repr´esentation irr´eductible π P Irr ˚ σ , on a l’identit´e F p Φ p π qq “ F p π q . Proposition 4.1 . —
Etant donn´ee π P Irr ˚ σ , notons π son image par Φ . On a l’identit´e : F p D p π qq “ F p D p π qq . ’INVOLUTION DE ZELEVINSKI MODULO ℓ D´emonstration . — D’apr`es le lemme 3.8, on a : F p D p π qq “ ÿ γ p´ q r p γ q ¨ i γ ˝ r γ p F p π qq“ ÿ γ p´ q r p γ q ¨ i γ ˝ r γ p F p π qq (o`u γ d´ecrit les compositions de n ) et cette derni`ere somme est ´egale `a F p D p π qq . Corollaire 4.2 . —
Si le th´eor`eme 2.5 est vrai pour toute repr´esentation π P Irr ˚ σ , alors il estvrai pour toute repr´esentation π P Irr ˚ σ .D´emonstration . — Soit π P Irr ˚ σ,n pour un n ě
1, et posons π “ Φ p π q , qui appartient `a Irr ˚ σ ,n .D’apr`es la proposition 4.1, on a : p´ q n ¨ F p D p π qq “ p´ q n ¨ F p D p π qq . Par hypoth`ese, le th´eor`eme 2.5 est vrai pour π , donc le membre de gauche est un module simpledans M d’apr`es la proposition 2.12. Le membre droite l’est donc aussi, et il s’ensuit (`a nouveaugrˆace `a la proposition 2.12) que le th´eor`eme 2.5 est vrai pour π . On rappelle maintenant la notion de segment introduite dans [ ]. Rappelons que nous avonsd´efini au paragraphe 1.2, pour toute repr´esentation cuspidale σ , un caract`ere ν σ (voir aussi [ , § D´efinition 4.3 . — Un segment est un couple r σ, n s form´e d’une classe de repr´esentation irr´e-ductible cuspidale σ P C et d’un entier n ě r σ, n s . On note Z p σ, n q le caract`ere de H p σ, n q d´efini par :S i ÞÑ q σ , i P t , . . . , n ´ u , X j ÞÑ q j ´ σ , j P t , . . . , n u , et on note L p σ, n q le caract`ere de H p σ, n q d´efini par :S i ÞÑ ´ , i P t , . . . , n ´ u , X j ÞÑ q n ´ jσ , j P t , . . . , n u . On remarque que ces deux caract`eres sont ´echang´es par l’involution τ d´efinie au paragraphe 1.3.On associe au segment r σ, n s deux repr´esentations irr´eductibles de G mn . D´efinition 4.4 ( [ , § , [ , § ) . — Soit un segment r σ, n s .(1) On note Z p σ, n q l’unique sous-repr´esentation irr´eductible de σ ˆ σν σ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ σν n ´ σ corres-pondant par (1.15) au caract`ere Z p σ, n q .(2) On note L p σ, n q l’unique quotient irr´eductible de σ ˆ σν σ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ σν n ´ σ correspondant par(1.15) au caract`ere L p σ, n q .Nous aurons besoin de la propri´et´e suivante. Th´eor`eme 4.5 ( [ , Lemme 9.41] , [ , Lemme 4.8] ) . — Supposons que σ est supercuspidale,et notons D σ l’ensemble des segments r σ , n s tels que σ P Ω σ et n ě . Les produits : (4.1) Z p σ , n q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z p σ r , n r q , lorsque r σ , n s ` ¨ ¨ ¨ ` r σ r , n r s d´ecrit N p D σ q , forment une base du Z -module libre R σ . ALBERTO M´INGUEZ & VINCENT S´ECHERRE
Pour comparer les morphismes d’alg`ebres f ˝ d et τ ˝ f il suffit de les comparer sur une base de A σ . D’apr`es le th´eor`eme 4.5, il suffit de le faire pour les repr´esentations Z p σ , n q avec r σ , n s P D σ et σ supercuspidale. Remarque 4.6 . — Grˆace au th´eor`eme 4.5 (voir aussi la remarque A.6 de [ ]), il y a un uniqueautomorphisme de Z -alg`ebre E de R σ tel que : E p Z p σ , n qq “ L p σ , n q pour tout r σ , n s P D σ . Dans le cas banal, E est involutif et co¨ıncide `a un signe pr`es avec l’involution d’Aubert (appen-dice de [ ]). Dans le cas non banal, E n’est pas toujours involutif, comme le montre l’exemplesuivant. Supposons que la caract´eristique ℓ de R divise q ` q ` σ est le caract`ere trivialde F ˆ , not´e 1. Alors on a : E p Z p , qq “ L p , q , E p L p , qq “ Z p , q ` st p q , E p st p qq “ ´ ¨ st p q , ce qui montre que E n’est pas involutif, ne pr´eserve pas l’irr´eductibilit´e `a un signe pr`es et n’estpas ´egal `a D . D p Z p σ, n qq Dans ce paragraphe et le suivant, R est une clˆoture alg´ebrique F ℓ d’un corps fini de caract´eris-tique ℓ ‰ p . On fixe une clˆoture alg´ebrique Q ℓ du corps des nombres ℓ -adiques. On note : r ℓ : r R ent Ñ R le morphisme de r´eduction modulo ℓ , o`u r R d´esigne le groupe ab´elien libre engendr´e par les classesde Q ℓ -repr´esentations irr´eductibles des G m , m ě r R ent le sous-groupe de r R engendr´e par lesclasses de repr´esentations irr´eductibles enti`eres (voir [ , § Lemme 4.7 . —
Soit σ une F ℓ -repr´esentation irr´eductible cuspidale. Supposons qu’il existe une Q ℓ -repr´esentation irr´eductible cuspidale enti`ere r σ dont la r´eduction mod ℓ est ´egale `a σ . Alors : D p Z p σ, n qq “ p´ q n ¨ r ℓ p L p r σ, n qq pour tout n ě .D´emonstration . — Notons r D l’involution sur r R . Comme r ℓ commute `a l’induction et `a la restric-tion paraboliques (voir [ , § D ˝ r ℓ “ r ℓ ˝ r D . D’apr`es [ , Th´eor`eme 9.39] dans le cas p -adique et [ , Lemme 5.9] dans le cas fini, la r´eductionmod ℓ de Z p r σ, n q est ´egale `a Z p σ, n q . En r´ealit´e, les preuves de ces deux r´esultats comportent uneomission, que nous allons corriger ici. Ces preuves montrent toutes les deux que la r´eduction mod ℓ de Z p r σ, n q est irr´eductible (notons-la π ) et que, pour toute composition α “ p mk, m p n ´ k qq avec m “ deg p σ q et k P t , . . . , n ´ u , on a r α p π q “ Z p σ, k q b Z p σν kσ , m ´ k q . Mais ceci ne suffitpas (lorsque q σ est congru `a 1 modulo ℓ ) pour en d´eduire que π est ´egale `a Z p σ, n q . Expliquons,dans le cas fini, pourquoi on a cette ´egalit´e ; l’argument est similaire dans le cas p -adique. ’INVOLUTION DE ZELEVINSKI MODULO ℓ Soit L un Z ℓ -r´eseau de Z p r σ, n q stable par G, et soit L r σ un Z ℓ -r´eseau de r σ stable par G m . Lar´eduction de L r σ ´etant isomorphe `a σ et celle de L ´etant isomorphe `a π , on obtient un morphismenaturel : Hom G p L ˆ n r σ , L q b F ℓ Ñ Hom G p σ ˆ n , π q de F ℓ -espaces vectoriels. C’est mˆeme un morphisme de H p σ, n q -modules, si le membre de gaucheest muni d’une structure de H p σ, n q -modules grˆace `a l’isomorphisme naturel d’alg`ebres :End G p L ˆ n r σ q b F ℓ Ñ H p σ, n q . On voit ainsi que F p π q contient la r´eduction mod ℓ du caract`ere Z p r σ, n q de H p r σ, n q , qui est ´egal`a Z p σ, n q . On en d´eduit que π contient (donc est isomorphe `a) Z p σ, n q .Reprenons la preuve du lemme 4.7. D’apr`es ce qu’on sait en caract´eristique nulle, r D p Z p r σ, n qq est ´egal `a p´ q n ¨ L p r σ, n q . On en d´eduit le r´esultat voulu en appliquant r ℓ . Dans ce paragraphe, on suppose que σ est un caract`ere non ramifi´e de F ˆ , not´e χ . Pour tout n ě
1, la repr´esentation Z p χ, n q est donc le F ℓ -caract`ere non ramifi´e χ ˝ det de GL n p F q . Lemme 4.8 . —
Pour tout n ě , on a F p D p Z p χ, n qqq “ p´ q n ¨ L p χ, n q .D´emonstration . — Quitte `a tordre par χ , on peut supposer que χ est le caract`ere trivial de F ˆ ,not´e 1. Soit V la Q ℓ -repr´esentation de Steinberg de G. D’apr`es le lemme 4.7, il suffit de montrerque F p r ℓ p V qq est ´egal `a L p , n q . Fixons un Z ℓ -r´eseau L de V stable par G. On a une suite exactede Z ℓ G-modules :(4.2) 0 Ñ p L Ñ L Ñ L “ L b F ℓ Ñ p d´esigne l’id´eal maximal de Z ℓ . Notons I le sous-groupe d’Iwahori standard de G, et notonsI son radical pro-unipotent, qui est un pro- p -sous-groupe distingu´e de I. Ainsi F est le foncteurdes vecteurs I-invariants. En l’appliquant `a (4.2), on trouve une suite exacte :0 Ñ p p L q I Ñ L I Ñ L I Ñ H p I , p L q o`u H p I , p L q d´esigne le premier groupe de cohomologie continue de I `a coefficients dans p L. Onva montrer qu’il est nul. Comme I est un pro- p -sous-groupe distingu´e de I, la suite d’inflation-restriction induit un isomorphisme :H p I , p L q » H p I { I , p p L q I q de Z ℓ -modules. Appliquant le foncteur exact des I -invariants `a (4.2), on trouve que p p L q I est´egal `a p L I , qui est un Z ℓ -r´eseau de V I . Mais V I est de dimension 1 sur Q ℓ et le groupe I agittrivialement dessus. Ainsi, on a :H p I { I , p p L q I q “ Hom p I { I , p L I q qui est trivial car le quotient I { I est un groupe ab´elien fini et p L I un Z ℓ -module libre. Finale-ment, comme on a aussi p p L q I “ p L I , on obtient un isomorphisme naturel :L I b F ℓ » L I de F ℓ -espaces vectoriels, et mˆeme de H p , n q -modules. Le membre de gauche ´etant la r´eductionmod ℓ du Q ℓ -caract`ere L p r , n q , o`u r Q ℓ -caract`ere trivial de F ˆ , le r´esultat s’ensuit. ALBERTO M´INGUEZ & VINCENT S´ECHERRE
Le corps R est `a nouveau quelconque, de caract´eristique ℓ ‰ p . Le th´eor`eme suivant impliqueet pr´ecise le th´eor`eme 2.5. Th´eor`eme 4.9 . —
Soit σ une repr´esentation irr´eductible cuspidale de degr´e m ě . Soit n ě et soit π P Irr ˚ σ,n . Il y a une unique repr´esentation irr´eductible π ‹ de mˆeme support cuspidal que π telle que : D p π q ´ p´ q n ¨ π ‹ ne contienne pas de terme irr´eductible de mˆeme support cuspidal que π ; le module simple F p π ‹ q est ´egal `a τ p F p π qq .D´emonstration . — Pour n ě H p σ, n q -module simple m , posons t p m q “ p´ q n ¨ τ p m q .Prolongeant par lin´earit´e, on obtient un automorphisme involutif d’alg`ebre sur M σ , encore not´e t . Pour prouver que les isomorphismes d’alg`ebres f ˝ d et t ˝ f sont ´egaux, il suffit de prouverqu’ils co¨ıncident sur un syst`eme g´en´erateur de A σ .Supposons d’abord que σ est le F ℓ -caract`ere trivial de F ˆ . D’apr`es le lemme 4.8, le th´eor`eme4.5 et le fait que f ˝ d et t ˝ f sont des morphismes d’alg`ebres, on a : f ˝ d p π q “ t ˝ f p π q pour tout n ě π P Irr ˚ ,n . Par extension des scalaires de F ℓ `a R, on a le mˆeme r´esultatquand σ est le R-caract`ere trivial de F ˆ . Par cons´equent, le th´eor`eme 4.9 est vrai lorsque σ estle R-caract`ere trivial de F ˆ , et la repr´esentation Z p , n q ‹ est ´egale `a L p , n q pour tout n ě de F dont le cardinal (celuidu corps r´esiduel dans le cas p -adique) est ´egal `a q σ et notons σ le caract`ere trivial de F . On adonc q σ “ q σ , c’est-`a-dire qu’on est dans les conditions du paragraphe 4.1. D’apr`es le corollaire4.2 et ce qui pr´ec`ede, la premi`ere partie du th´eor`eme 4.9 est donc vraie. Soit maintenant π dansIrr ˚ σ,n et notons π son image par Φ (paragraphe 4.1). D’apr`es la proposition 4.1, on a : F p π ‹ q “ p´ q n ¨ F p D p π qq “ p´ q n ¨ F p D p π qq “ F p π q . Ce dernier est ´egal `a τ p F p π qq d’apr`es le th´eor`eme 4.9 appliqu´e `a σ , et le r´esultat suit du faitque F p π q est ´egal `a F p π q . Proposition 4.10 . —
Soit σ une repr´esentation irr´eductible cuspidale, et soit n ě . (1) On a Z p σ, n q ‹ “ L p σ, n q . (2) Supposons que R soit ´egal `a F ℓ et qu’il y ait une Q ℓ -repr´esentation irr´eductible cuspidaleenti`ere r σ dont la r´eduction mod ℓ soit ´egale `a σ . Alors r ℓ p L p r σ, n qq ´ L p σ, n q appartient `a J σ ,c’est-`a-dire qu’il ne contient aucun terme irr´eductible de support cuspidal σ ` σν σ ` ¨ ¨ ¨ ` σν n ´ σ .D´emonstration . — Le H p σ, n q -module τ p Z p σ, n qq ´etant ´egal `a L p σ, n q et compte tenu de la d´efi-nition de Z p σ, n q et L p σ, n q , le th´eor`eme 4.9 implique que Z p σ, n q ‹ est ´egal `a L p σ, n q . La secondepartie de la proposition suit de la conjonction du lemme 4.7 et du th´eor`eme 4.9. Remarque 4.11 . — D’apr`es [ , Remarque 2.10], toute F ℓ -repr´esentation irr´eductible cuspi-dale se rel`eve `a Q ℓ dans le cas fini, c’est-`a-dire que la condition de la proposition 4.10 est toujoursremplie dans ce cas. Dans le cas p -adique en revanche, il y a des F ℓ -repr´esentations irr´eductiblescuspidales qui ne se rel`event pas `a Q ℓ (voir [ , Exemple 3.31]). Cependant :(1) toute F ℓ -repr´esentation irr´eductible supercuspidale se rel`eve ([ , Th´eor`eme 6.11]) ;(2) toute F ℓ -repr´esentation irr´eductible cuspidale se rel`eve quand D “ F ([ , Section 3]). ’INVOLUTION DE ZELEVINSKI MODULO ℓ Dans un article ult´erieur [ ], on donnera une condition n´ecessaire et suffisante de rel`evementen termes d’invariants num´eriques attach´es `a σ .La proposition suivante est un cas particulier – le cas des alg`ebres de Hecke affines de type A – d’une formule de Kato [ , Theorem 2]. Proposition 4.12 . —
Soit σ une repr´esentation irr´eductible cuspidale et soit n ě . Pour tout H p σ, n q -module m de longueur finie, on a l’´egalit´e : ÿ γ p´ q n ´ r p γ q ¨ i γ ˝ r γ p m q “ τ p m q dans le groupe de Grothendieck M σ , o`u γ d´ecrit les compositions de n .D´emonstration . — C’est une cons´equence du lemme 3.8 et du th´eor`eme 4.9. Remarque 4.13 . — On reprend les notations de la section 3. Le foncteur τ ˝ F s’identifie `a : π ÞÑ Hom G p Q τ , π q o`u Q τ est ´egal `a Q en tant que repr´esentation de G, et au H -module `a gauche Q tordu par τ entant que H -module `a gauche. Peut-on d´eterminer explicitement la structure du bimodule Q τ ? Nous profitons de l’appareil technique mis en place dans cet article pour r´epondre `a une ques-tion de B. Leclerc concernant les multiplicit´es des repr´esentations irr´eductibles dans les repr´e-sentations standard du th´eor`eme 4.5.Supposons dans ce paragraphe qu’on est dans le cas p -adique. Un segment formel est une pai-re r a, b s form´ee de deux entiers a, b P Z tels que a ď b . L’entier b ´ a ` longueur de ce segment formel. Si r a, b s est un segment formel et si σ est une repr´esentation irr´eductiblecuspidale, on pose : r a, b s b σ “ r σν aσ , b ´ a ` s qui est un segment au sens de la d´efinition 4.3. Notant D l’ensemble des segments formels, onobtient par lin´earit´e une application µ ÞÑ µ b σ de N p D q dans N p D σ q . Etant donn´e :(4.3) µ “ r a , b s ` ¨ ¨ ¨ ` r a r , b r s P N p D q , le mutisegment µ b σ est dit ap´eriodique si R est de caract´eristique 0 ou si, pour tout n ě
1, ily a un k P Z tel que le segment r σν kσ , n s n’apparaˆıt pas dans µ b σ (voir [ , D´efinition 9.7]).Nous avons construit dans [ ] une application surjective Z de N p D σ q dans Irr σ , qui est bijec-tive quand σ est supercuspidale et qui co¨ıncide avec la classification de Zelevinski quand R estle corps des nombres complexes. Pour µ , ν P N p D q , notons m p µ , ν , σ q la multiplicit´e de Z p ν b σ q dans la repr´esentation standard :(4.4) Z pr a , b s b σ q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z pr a r , b r s b σ q o`u l’on ´ecrit µ comme en (4.3). D’apr`es [ , Th´eor`eme 9.36], on a Z p ν b σ q P Irr ˚ σ si et seulementsi ν b σ est ap´eriodique.Soient µ comme en (4.3) et ν “ r c , d s ` ¨ ¨ ¨ ` r c s , d s s P N p D q , dont les segments formels sontsuppos´es ˆetre rang´es par longueur d´ecroissante. On ´ecrit µ IJ ν lorsque : ÿ i ď k p b i ´ a i ` q ď ÿ i ď k p d i ´ c i ` q ALBERTO M´INGUEZ & VINCENT S´ECHERRE pour tout k ě
1. Ceci d´efinit une relation d’ordre sur l’ensemble N p D q . Proposition 4.14 . —
On a m p µ , µ , σ q “ et, si m p µ , ν , σ q ‰ alors µ IJ ν .D´emonstration . — C’est une cons´equence de [ , Proposition 9.19].Comme au paragraphe 4.1, on fixe un corps F localement compact non archim´edien de carac-t´eristique r´esiduelle p , une F -alg`ebre `a division centrale D et un entier m ě Proposition 4.15 . —
Soient σ et σ des repr´esentations irr´eductibles cuspidales de GL m p D q et GL m p D q respectivement, telles que q σ “ q σ dans R . Alors : m p µ , ν , σ q “ m p µ , ν , σ q pour tous µ , ν P N p D q tels que ν b σ – ou de fa¸con ´equivalente ν b σ – soit ap´eriodique.D´emonstration . — On v´erifie d’abord, grˆace `a [ , Lemme 4.45] et `a l’´egalit´e q σ “ q σ dans R,que ν b σ est ap´eriodique si et seulement si ν b σ l’est. Soit ν P N p D q , et supposons que ν b σ est ap´eriodique. Alors : L σ ν “ F p Z p ν b σ qq est un module simple. On pose :M µ “ F p Z pr a , b s b σ q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z pr a r , b r s b σ qq “ Z p σ, n q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z p σ, n r q avec n i “ b i ´ a i ` i P t , . . . , r u , qui ne d´epend que de µ (et de q σ ). On a donc :(4.5) m p µ , ν , σ q “ r M µ : L σ ν s o`u le membre de droite d´esigne la multiplicit´e de L σ ν dans M µ . Lemme 4.16 . —
Le module L σ ν est l’unique module simple v´erifiant les conditions suivantes : (1) Il apparaˆıt avec multiplicit´e dans M ν . (2) S’il apparaˆıt dans M µ , alors µ IJ ν .D´emonstration . — Appliquant F , la proposition 4.14 implique que L σ ν apparaˆıt avec multiplicit´e1 dans M ν . Ensuite, supposons que L σ ν apparaˆıt dans M µ avec multiplicit´e k ě
1. Alors Z p ν b σ q apparaˆıt dans (4.4) avec multiplicit´e k , c’est-`a-dire que m p µ , ν , σ q “ k . De la proposition 4.14,on d´eduit que µ IJ ν .Soit maintenant L un module simple v´erifiant les conditions en question. D’apr`es le th´eor`eme1.5, il existe une repr´esentation irr´eductible π P Irr ˚ σ telle que F p π q soit ´egal `a L. Ensuite, d’apr`es[ , Th´eor`eme 9.36], il existe un λ P N p D q tel que Z p λ b σ q soit ´egal `a π . Par cons´equent, on aL “ L σ λ . Les conditions 1 et 2 impliquent que ν IJ λ . Comme L apparaˆıt dans M λ , la condition2 implique que λ IJ ν . Par cons´equent, on a λ “ ν et le r´esultat s’ensuit.Il s’ensuit que L σ ν est ´egal `a L σ ν (qu’on note L ν ), ce qui met fin `a la preuve de la proposition. Remarque 4.17 . — La proposition 4.15 reste sans doute vraie sans l’hypoth`ese d’ap´eriodicit´e,mais ceci n´ecessite d’autres m´ethodes car F p Z p ν b σ qq est nul quand ν b σ n’est pas ap´eriodique. Remarque 4.18 . — Compte tenu de [ ] et de [ ], on en d´eduit que les multiplicit´es (4.5) ned´ependent que de µ , ν et de l’entier e p σ q d´efini par (1.4). En particulier, dans le cas complexe,les multiplicit´es ne d´ependent que de µ et ν . ’INVOLUTION DE ZELEVINSKI MODULO ℓ R´ef´erences [1]
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Vincent S´echerre , Universit´e de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines, Laboratoire de Math´ematiquesde Versailles, 45 avenue des Etats-Unis, 78035 Versailles cedex, France