The singular points of self-similar functions with zero spectral degree. Stieltjes self-similar string
aa r X i v : . [ m a t h . F A ] A p r ÓÄÊ 517.518,517.984Îñîáûå òî÷êè ñàìîïîäîáíîé óíêöèè íóëåâîãî ñïåêòðàëüíîãîïîðÿäêà. Ñàìîïîäîáíàÿ ñòðóíà ÑòèëòüåñàÈ. À. ØåéïàêÀííîòàöèÿ.  ñòàòüå ââîäèòüñÿ ïîíÿòèå ñàìîïîäîáíîé óíêöèè íóëåâîãî ñïåêòðàëüíîãî ïîðÿä-êà è èçó÷àþòñÿ å¼ ñâîéñòâà. Ýòà óíêöèÿ èìååò íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà, ïðè÷¼ìâñå òî÷êè ðàçðûâà ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ðàçðûâà 1-ãî ðîäà, çà èñêëþ÷åíèåì áûòü ìîæåò îäíîé òî÷-êè, ÿâëÿþùåéñÿ îñîáîé. Ïîëó÷åíà îðìóëà, ïîçâîëÿþùàÿ ïî ïàðàìåòðàì ñàìîïîäîáèÿ óíêöèè,âû÷èñëèòü å¼ êîîðäèíàòû. Èññëåäóåòñÿ ïîâåäåíèå ñàìîïîäîáíîé óíêöèè â îêðåñòíîñòè îñîáîéòî÷êè.Íåóáûâàþùàÿ óíêöèÿ f íóëåâîãî ñïåêòðàëüíîãî ïîðÿäêà, ïðèíàäëåæàùàÿ ïðîñòðàíñòâó L [0 , , ïîðîæäàåò ñàìîïîäîáíóþ ñòðóíó Ñòèëòüåñà, ò.å. ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó âèäà − y ′′ − λρy = 0 ,y (0) = y (1) = 0 , ãäå ρ åñòü óíêöèÿ èç ïðîñòðàíñòâà ◦ W − [0 , è f ′ = ρ . Íåçíàêîîïðåäåë¼ííàÿ óíêöèÿ f ïðèâîäèòê ïîíÿòèþ ñàìîïîäîáíîé èíäåèíèòíîé ñòðóíû Ñòèëòüåñà.1. ÂâåäåíèåÑòðóíà íàçûâàåòñÿ ñòèëòüåñîâñêîé, åñëè îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåâåñîìóþ íèòü, êîòîðàÿíåñåò ëèøü ñîñðåäîòî÷åííûå ìàññû m , m , . . . â òî÷êàõ x < x < . . . , ñãóùàþùèõñÿ êïðàâîìó êîíöó, lim x n = L ( ∞ ) . Çàäà÷à î êîëåáàíèÿõ ñòèëòüåñîâñêîé ñòðóíû åäèíè÷íîé äëèíû çàêðåïëåííûìè êîíöàìè ïðèâîäèò ê ñïåêòðàëüíîé çàäà÷å − y ′′ − λρy = 0 , (1.1) y (0) = y (1) = 0 , (1.2)ãäå ρ = P ∞ k =1 m k δ ( x − x k ) . Îáîáù¼ííàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ f ( f ′ = ρ ) òàêîãî âåñà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéêóñî÷íî-ïîñòîÿííóþ óíêöèþ, òî÷êè ðàçðûâà êîòîðîé ñòðåìÿòñÿ ê ïðàâîìó êîíöó îòðåçêà, à f (1 −
0) = P nk =1 m k ( ∞ ) . C ýòîé òî÷êè çðåíèÿ, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êà x = 1 ÿâëÿåòñÿ îñîáîéòî÷êîé óíêöèè f .Áîëåå ïîäðîáíî î ñòèëòüåñîâñêîé ñòðóíå ñì. â [1℄.Óêàæåì íà áîëåå øèðîêèé êëàññ ñïåêòðàëüíûõ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñî ñòèëòüåñîâñêîé ñòðóíîé. ðàáîòå [2℄ èçó÷àëàñü çàäà÷à (1.1)(cid:21)(1.2) â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âåñ ρ ÿâëÿåòñÿ ñàìîïîäîáíîéìåðîé. Íî ñëó÷àé äèñêðåòíûõ, ò. å. êàê ðàç ñëó÷àé ñòèëòüåñîâñêîé ñòðóíû íå ðàññìàòðèâàåòñÿ.Äëÿ òàêèõ êëàññîâ âåñîâ áûëè ïîëó÷åíû àñèìïòîòè÷åñêèå îðìóëû ðàñïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõçíà÷åíèé, èìåþùèå ñòåïåííîé ïîðÿäîê.Ñàìîïîäîáíûå óíêöèè ïîëîæèòåëüíîãî ñïåêòðàëüíîãî ïîðÿäêà áûëè ââåäåíû â ðàáîòàõ [3℄(cid:21)[4℄. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñïåêòðàëüíûé ïîðÿäîê óíêöèè f íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàí ñ ïîðÿäêîìàñèìïòîòèêè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé çàäà÷è (1.1)(cid:21)(1.2), ãäå ρ = f ′ .  ýòèõ ðàáîòàõ èçó÷àëàñüçàäà÷à (1.1)(cid:21)(1.2) ñ áîëåå îáùèì êëàññîì âåñîâûõ óíêöèé. À èìåííî, â êà÷åñòâå âåñà ρ ðàññìàò-ðèâàëèñü ñàìîïîäîáíûå îáîáù¼ííûå óíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà ◦ W − [0 , . Ïåðâîîáðàçíûå òàêèõâåñîâ ÿâëÿþòñÿ ñàìîïîäîáíûìè óíêöèÿìè èç ïðîñòðàíñòâà L [0 , . Ïðè ýòîì óñëîâèÿ, íàêëàäû-âàåìûå íà ïàðàìåòðû ñàìîïîäîáèÿ èñêëþ÷àþò èç ðàññìîòðåíèÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå óíêöèè,àáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ãðàíòîâ ÔÔÈ (cid:157) 07-01-00283, ïîääåðæêè âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë (cid:157) ÍØ-2513.2008.1 è îíäîì INTAS, ãðàíò (cid:157) 05-1000008-7883 1ò. å. è â ýòèõ ðàáîòàõ ñòèëòüåñîâñêèå ñòðóíû íå ðàññìàòðèâàëèñü. Çàìåòèì, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà-÷åíèÿ çàäà÷è (1.1)(cid:21)(1.2) ñ âåñîì, ÿâëÿþùèìñÿ îáîáù¼ííîé ïðîèçâîäíîé óíêöèè ïîëîæèòåëüíîãîñïåêòðàëüíîãî ïîðÿäêà òàêæå ïîä÷èíÿþòñÿ ñòåïåííîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ.Ñ òî÷êè çðåíèÿ çàäà÷è (1.1)(cid:21)(1.2) ñëó÷àé, êîãäà âåñ ÿâëÿåòñÿ îáîáù¼ííîé ïðîèçâîäíîé ñàìî-ïîäîáíîé óíêöèè íóëåâîãî ñïåêòðàëüíîãî ïîðÿäêà çàíèìàåò îñîáîå ìåñòî. À èìåííî, ñîáñòâåí-íûå çíà÷åíèÿ èìåþò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (ñì.[5℄). Ïîýòîìó èçó÷åíèå òàêèõ óíêöèéïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñ òî÷êè çðåíèÿ ñïåêòðàëüíîé òåîðèè îïåðàòîðîâ.Îòìåòèì, ÷òî ñàìîïîäîáíûå óíêöèè (â òîì ÷èñëå è êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå) èìåþò âàæíîåçíà÷åíèå íå òîëüêî äëÿ ñïåêòðàëüíûõ çàäà÷. Íàïðèìåð, îäíèì èç ïîïóëÿðíûõ ïðèëîæåíèé ñàìî-ïîäîáíûõ íåïðåðûâíûõ óíêöèé ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ ñæàòèÿ êîìïüþòåðíûõ èçîáðàæåíèé (ñì. [6℄).àçëè÷íûå çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ èçó÷åíèåì òàêèõ ñâîéñòâ ñàìîïîäîáíûõ óíêöèé êàê îãðàíè÷åí-íîñòü âàðèàöèè, àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü è äðóãèõ ñâîéñòâ, åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðèâîäÿùèõê ïîíÿòèþ âåðîÿòíîñòíûõ ñàìîïîäîáíûõ ìåð, âîçíèêàþò â òåîðèè ðàêòàëüíûõ êðèâûõ, èçó÷å-íèå êîòîðûõ íà÷àëîñü ñ óæå ñòàâøèõ êëàññè÷åñêèìè ðàáîòû [7℄(cid:21)[9℄. Ñðåäè áîëåå ïîçäíèõ ðàáîò,ïîñâÿù¼ííûõ ðàçëè÷íûì ñâîéñòâàì ðàêòàëüíûõ êðèâûõ, îòìåòèì ðàáîòû [10℄ è [11℄. Êîíñòðóê-öèÿ àèííî-ñàìîïîäîáíûõ óíêöèé, ïðèíàäëåæàùèõ ïðîñòðàíñòâàì L p [0 , , ïðèâåäåíà â [12℄.Êðîìå òîãî, ñàìîïîäîáíûå ìåðû íàõîäÿò ïðèìåíåíèå è â òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ (ñì. íà-ïðèìåð, [13℄).Öåëüþ ñòàòüè ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå óíêöèè íóëåâîãî ñïåêòðàëüíîãî ïîðÿäêà, èññëåäîâà-íèå å¼ ñòðóêòóðû, êëàññèèêàöèÿ å¼ îñîáûõ òî÷åê â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ ñàìîïîäîáèÿ èèññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ñàìîïîäîáíîé óíêöèè â îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè.Òàêæå ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ñàìîïîäîáíîé ñòðóíû Ñòèëòüåñà, èìåþùåé òåñíóþ ñâÿçü ñ óíê-öèÿìè íóëåâîãî ñïåêòðàëüíîãî ïîðÿäêà.  îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé ñòðóíû óíêöèè íóëåâîãîñïåêòðàëüíîãî ïîðÿäêà ïîðîæäàþò âîîáùå ãîâîðÿ èíäåèíèòíóþ ñòðóíó (ñð. [1℄, çàìå÷àíèå 2.2,òåîðåìà 2.4)Íàïîìíèì îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ñàìîïîäîáíûìè óíêöèÿìè.2. Ñàìîïîäîáíûå óíêöèè â ïðîñòðàíñòâå L p [0 , è èõ ñïåêòðàëüíûé ïîðÿäîê2.1. Îïåðàòîðû ïîäîáèÿ â ïðîñòðàíñòâå L p [0 , . Ïóñòü èêñèðîâàíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n > , è ïóñòü âåùåñòâåííûå ÷èñëà a k > , ãäå k = 1 , . . . , n , òàêîâû, ÷òî n X k =1 a k = 1 , à âåùåñòâåííûå ÷èñëà d k è β k ïîêà ïðîèçâîëüíû. Äîïîëíèòåëüíî îïðåäåëèì ÷èñëà α = 0 , α k = P k − l =1 a l , k = 2 , . . . , n + 1 . Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëà α < α < . . . < α n < α n +1 îáðàçóþò ðàçáèåíèå îòðåçêà [0 , .Îïðåäåëèì íåïðåðûâíûå îïåðàòîðû G k è ˜ G k , ñîïîñòàâëÿþùèå óíêöèè f ∈ L p [0 , óíêöèþèç L p [ α k , α k +1 ] , k = 1 , , . . . , n ïî ïðàâèëó: G k ( f )( x ) = f ( t ) , ãäå x = a k t + α k , x ∈ [ α k , α k +1 ] , t ∈ [0 , G k ( f )( x ) = f ( t ) , ãäå x = − a k t + α k +1 , x ∈ [ α k , α k +1 ] , t ∈ [0 , . Îêîí÷àòåëüíî ïîñòðîèì íåëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð G : L p [0 , → L p [0 , âèäà(2.1) G ( f ) = n X k =1 n β k · χ ( α k ,α k +1 ) + d k · ˆ G k ( f ) o , ãäå χ ( α k ,α k +1 ) (cid:22) õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ óíêöèÿ èíòåðâàëà ( α k , α k +1 ) , à ˆ G k = G k èëè ˆ G k = ˜ G k âçàâèñèìîñòè îò k . Ïðî îòîáðàæåíèÿ ˜ G k áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îíè ìåíÿþò îðèåíòàöèþ îòðåçêà [ α k , α k +1 ] .Îïåðàòîðû G âèäà (2.1) áóäóò íàçûâàòüñÿ îïåðàòîðàìè ïîäîáèÿ. ðàáîòå [12℄ ðàññìîòðåíû áîëåå îáùèå îïåðàòîðû ïîäîáèÿ.(2.2) G ( f ) = n X k =1 (cid:8) β k · χ ( α k ,α k +1 ) + c k · x + d k · G k ( f ) (cid:9) , íî íå ðàññìàòðèâàëèñü îïåðàòîðû, ìåíÿþùèå îðèåíòàöèþ îòðåçêîâ [ α k , α k +1 ] .Òàì æå äîêàçàíà ñëåäóþùàÿËåììà 2.1. Îïåðàòîð ïîäîáèÿ G ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì â L p [0 , â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå,êîãäà ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà n X k =1 a k | d k | p < p < + ∞ ) , (2.3) max k n | d k | < p = + ∞ ) . (2.4)Èç ëåììû 2.1 è ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé íåìåäëåííî âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòüñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.Òåîðåìà 2.1. Åñëè ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî (2.3)( (2.4)), òî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà óíê-öèÿ f ∈ L p [0 , , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ G ( f ) = f . äàëüíåéøåì âñåãäà áóäåò ïðåäïîëàãàòüñÿ, ÷òî ëèáî íåðàâåíñòâî (2.3) ëèáî íåðàâåíñòâî (2.4)âûïîëíåíî.Åñëè óíêöèÿ f ∈ L p [0 , óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ G ( f ) = f , ãäå G (cid:22) íåêîòîðûé îïåðà-òîð ïîäîáèÿ, òî òàêàÿ óíêöèÿ áóäåò íàçûâàòüñÿ ñàìîïîäîáíîé. Ïðè ýòîì âåëè÷èíû n , a k , d k è β k , ãäå k = 1 , , . . . , n , îïðåäåëÿþùèå ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð ïîäîáèÿ G , áóäóò íàçûâàòüñÿïàðàìåòðàìè ñàìîïîäîáèÿ óíêöèè f .2.2. Ñïåêòðàëüíûé ïîðÿäîê. Çàìåòèì, ÷òî åñëè äëÿ âñåõ k = 1 , , . . . , n âûïîëíåíî β k = 0 ,òî îïåðàòîð ïîäîáèÿ G èìååò òîëüêî òðèâèàëüíóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó f ≡ , ïîýòîìó â äàëü-íåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå( B ) ñðåäè ÷èñåë β k , ãäå k = 1 , . . . , n , ïî ìåíüøåé ìåðå îäíî îòëè÷íî îò íóëÿ.Ñðåäè ñàìîïîäîáíûõ óíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ B , âûäåëèì ñëåäóþùèå êëàññû,äëÿ êîòîðûõ ïàðàìåòðû ñàìîïîäîáèÿ ñîîòâåòñòâåííî îáëàäàþò ñâîéñòâàìè:( D ) d k = 0 äëÿ âñåõ k = 1 , . . . , n ;( D ) ñðåäè ÷èñåë d k , ãäå k = 1 , . . . , n , ðîâíî îäíî îòëè÷íî îò íóëÿ;( D ) ñðåäè ÷èñåë d k , ãäå k = 1 , . . . , n , íå ìåíåå äâóõ îòëè÷íû îò íóëÿ;Ñàìîïîäîáíûå óíêöèè, ïðèíàäëåæàùèå ïðîñòðàíñòâó L [0 , è óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ D , áûëè ââåäåíû â ðàáîòàõ [3℄,[4℄ è íàçûâàþòñÿ ñàìîïîäîáíûìè óíêöèÿìè ïîëîæèòåëüíîãîñïåêòðàëüíîãî ïîðÿäêà.  ýòîé æå ðàáîòå ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ïàðàìåòðîâ ñàìîïîäîáèÿ, îòâå÷àþ-ùèõ òàêîé óíêöèè, óðàâíåíèå(2.5) n X k =1 ( a k | d k | ) D = 1 èìååò ðåøåíèå < D < , à äëÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ n çàäà÷è (1.1)(cid:21)(1.2) ñïðàâåäëèâà àñèìï-òîòè÷åñêàÿ îðìóëà | λ n | ≍ n /D . Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ñàìîïîäîáíûå óíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ D , ñóòü ïðîñòûåóíêöèè, ïðèíèìàþùèå êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé, à èìåííî f = n X k =1 β k · χ ( α k ,α k +1 ) . Îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ òàêîé óíêöèè èìååò âèä(2.6) f ′ ( x ) = n X k =2 ( β k − β k − ) · δ ( x − α k ) . Ïîäñòàíîâêà (2.6) â êà÷åñòâå âåñà ρ â (1.1)(cid:21)(1.2) ñâîäèò çàäà÷ó ê êîíå÷íîìåðíîé. Íåïîñðåä-ñòâåííîå âû÷èñëåíèå ïîçâîëÿåò óáåäèòüñÿ, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿêîðíÿìè ìíîãî÷ëåíà − λ n X k =2 m k α k (1 − α k ) + λ X i
0) = β , f (ˆ x + 0) = β .á) Åñëè β ˆ k = 0 è íå ñèòóàöèÿ, îïèñàííàÿ â 2 à), ˆ x ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà 2-ãî ðîäà (ñì.ðèñ.2).â) Åñëè β ˆ k = 0 , òî lim x → ˆ x f ( x ) = sign β ˆ k · (+ ∞ ); d ˆ k > . à) Åñëè âñå âûðàæåíèÿ β ˆ k d ˆ k − + β j , j = ˆ k èìåþò îäèí è òîò æå çíàê, òî ñóùåñòâóåò lim x → ˆ x f ( x ) = sign (cid:18) β ˆ k d ˆ k − β j (cid:19) · (+ ∞ ) . á) Åñëè âûðàæåíèÿ β ˆ k d ˆ k − + β j ïðè j = ˆ k èìåþò ðàçíûå çíàêè, òî ˆ x òî÷êà ðàçðûâà 2-ãî ðîäàóíêöèè f .Íóëåâîå çíà÷åíèå â ýòîì ñëó÷àå ñ÷èòàåòñÿ ðàçíûì è ñ ïîëîæèòåëüíûì è ñ îòðèöàòåëüíûìçíà÷åíèÿìè.Çàìåòèì, ÷òî åñëè ˆ k = 2 è d β + β = β , òî ñóùåñòâóåò f (ˆ x −
0) = β . Àíàëîãè÷íî, åñëè ˆ k = n − è d n − β n + β n − = β n , òî ñóùåñòâóåò f (ˆ x + 0) = β n .4. Åñëè d ˆ k − , òî ˆ x òî÷êà ðàçðûâà 2-ãî ðîäà. ✲✻ n = 2 , a = a = 0 , ; d = β = 0 , d = β = 0 , ; ˆ x = 1 .èñ. 1 (ïðèìåð 1) ✲✻ n = 3 , a = 0 , , a = a = 0 , ; d = β = 1 , β = β = 0 ; ˆ x = 1 .èñ. 2 (ïðèìåð 2á) ✲✻ n = 3 , a = a = a = 1 / ; β = β = 1 , d = 2 , β = 0 ; ˆ x = 0 , .èñ. 3 (ïðèìåð 3à)) ✲✻ n = 3 , a = a = a = 1 / ; β = β = β = 1 , d = 2 , β = − , ˆ x = 0 , .èñ. 4 (ïðèìåð 3á))Îïðåäåëåíèå 2.2. Ñàìîïîäîáíîé ñòðóíîé Ñòèëòüåñà áóäåì íàçûâàòü ñòðóíó, êîëåáàíèÿ êî-òîðîé îïèñûâàþòñÿ çàäà÷åé (1.1)(cid:21)(1.2), ãäå âåñ ρ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáîáùåííóþ ïðîèçâîäíóþñàìîïîäîáíîé óíêöèè êëàññà D .Çàìå÷àíèå 2.2. Èç ñîîòíîøåíèÿ (2.11) ñëåäóåò, ÷òî â îòëè÷èè îò êëàññè÷åñêîé ñòèëòüå-ñîâñêîé ñòðóíû, òî÷êà íàêîïëåíèÿ ìàññ íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ êîíöîì íèòè. Êðîìå òîãî,â ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à ìîæåò áûòü èíäåèíèòíîé, ò.å. ≪ ìàññû ≫ ìîãóò ïðèíèìàòü îòðèöà-òåëüíîå çíà÷åíèå. ñâÿçè ñ ýòèì ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ âîïðîñ î íàõîæäåíèè óñëîâèé íà ïàðàìåòðû ñàìîïî-äîáèÿ, ïðè êîòîðûõ îíè ïîðîæäàþò íåóáûâàþùóþ ñàìîïîäîáíóþ óíêöèþ. Äëÿ ïðîèçâîëüíîéñàìîïîäîáíîé óíêöèè, ÿâëÿþùåéñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îïåðàòîðà G , îïðåäåë¼ííîãî îðìó-ëîé (2.2), â ðàáîòå [12℄ ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íåóáûâàíèÿ óíêöèè f . Çàìåòèì, ÷òî âýòîé ðàáîòå â îðìóëèðîâêå òåîðåìû î äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ íåóáûâàíèÿ ñàìîïîäîáíîé óíê-öèè äîïóùåíà îøèáêà. Äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ïðàâèëüíîãî óòâåðæäåíèÿ è äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿïðèâåä¼ì îðìóëèðîâêó ýòîãî ðåçóëüòàòà (ñì. òåîðåìó 4.1 [12℄).Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü íåïðåðûâíàÿ ñëåâà óíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé ñæèìàþ-ùåãî îïåðàòîðà G , îïðåäåë¼ííîãî îðìóëîé (2.2), à ïàðàìåòðû ñàìîïîäîáèÿ { c k } , { d k } è { β k } âûáðàíû òàê, ÷òî f (0) = 1 è f (1) = 1 . Òîãäà äëÿ òîãî ÷òîáû óíêöèÿ f áûëà íåóáûâàþùåéíåîáõîäèìî, ÷òîáû ïðè âñåõ k = 1 , , . . . , n âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà(2.12) β k β k +1 , c k + d k + β k β k +1 , c k + d k > , è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïðè âñåõ k = 1 , , . . . , n âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà(2.13) β k β k +1 , c k + d k + β k β k +1 , c k > , d k > ,  îáùåé ñèòóàöèè ìåæäó íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè åñòü ≪ çàçîð ≫ .  ðàáî-òå [12℄ ïðèâåä¼í ïðèìåð ñàìîïîäîáíîé óíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì (2.12), íî íå ÿâëÿ-þùåéñÿ ìîíîòîííîé.Äëÿ ñàìîïîäîáíîé óíêöèè íóëåâîãî ñïåêòðàëüíîãî ïîðÿäêà ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü êðèòå-ðèé ìîíîòîííîñòè â òåðìèíàõ ïàðàìåòðîâ ñàìîïîäîáèÿ.Òåîðåìà 2.4. Ñàìîïîäîáíàÿ óíêöèÿ f ∈ D ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé òîãäà è òîëüêî òîãäàêîãäà å¼ ïàðàìåòðû ñàìîïîäîáèÿ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:1) d ˆ k > ;2) β . . . β ˆ k − d ˆ k β + β ˆ k d ˆ k β n + β ˆ k β ˆ k +1 . . . β n ïðè < ˆ k < n .Ïðè ˆ k = n óñëîâèå 2) ìåíÿåòñÿ íà íåðàâåíñòâà: β . . . β n − β n − d n β + β n .Ïðè ˆ k = 1 óñëîâèå 2) ìåíÿåòñÿ íà íåðàâåíñòâà: d β n + β β . . . β n .×òîáû óíêöèÿ f íå âîçðàñòàëà íåðàâåíñòâà 2) íàäî ïîìåíÿòü íà ïðîòèâîïîëîæíûå.Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì ñëó÷àé < ˆ k < n . Èç îðìóëû(2.7) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ íåóáû-âàíèÿ ñàìîïîäîáíîé óíêöèè íà îòðåçêàõ ïåðâîãî ïîðÿäêà íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âû-ïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà β i β j ∀ i < j , i, j = ˆ k . ×òîáû óíêöèÿ íå óáûâàëà íà îòðåçêàõ âòîðîãîïîðÿäêà íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà íå óáûâàëà ïðè ïåðåõîäå ñ îòðåçêà ïåðâîãî ïîðÿäêàñ íîìåðîì ˆ k − íà ïåðâûé îòðåçîê âòîðîãî ïîðÿäêà ñ íîìåðîì ˆ k, è ïðè ïåðåõîäå ñ ïîñëåäíåãîîòðåçêà âòîðîãî ïîðÿäêà ñ íîìåðîì ˆ k, n íà îòðåçîê ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ íîìåðîì ˆ k + 1 . Èç îðìóë(2.8) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ β ˆ k − d ˆ k β + β ˆ k , d ˆ k β n + β ˆ k β ˆ k +1 .  ñèëó ñàìîïîäîáèÿ óíêöèè f óñëîâèÿ íåóáûâàíèÿ áóäóò âûïîëíÿòüñÿ è íà îòðåçêàõ áîëååâûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷òî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâ(2.8)(cid:21)(2.10).Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèå d ˆ k > î÷åâèäíà.Ñëó÷àè ˆ k = 1 è ˆ k = n ðàññìàòðèâàþòñÿ àíàëîãè÷íî. (cid:3) Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ñàìîïîäîáíîé óíêöèè f íóëåâîãî ñïåêòðàëüíîãî ïîðÿäêà, óäîâëå-òâîðÿþùåé óñëîâèÿì f (0) = 0 , f (1) = 1 óñëîâèÿ (2.12), (2.13) ïðåâðàùàþòñÿ â íåîáõîäèìûå èäîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ìîíîòîííîñòè, îïèñàííûå â òåîðåìå 2.4.3. Ñàìîïîäîáíûå óíêöèè íóëåâîãî ñïåêòðàëüíîãî ïîðÿäêà, çàäàâàåìûåîïåðàòîðîì ïîäîáèÿ, ìåíÿþùåãî îðèåíòàöèþ îòðåçêàÊàê ñêàçàíî â çàìå÷àíèè 2.1 óíêöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îïåðàòîðà G , íåèçìåíèòñÿ, åñëè îïåðàòîðû G k ïîìåíÿòü íà îïåðàòîðû ˜ G k ïðè k = ˆ k . À èìåííî, íåïîäâèæíàÿóíêöèÿ îòîáðàæåíèÿ G ïðèíèìàåò íà ïîäîòðåçêàõ [ α k , α k +1 ] çíà÷åíèÿ, ðàâíûå β k ïðè k = ˆ k íåçàâèñèìî îò òîãî, îòîáðàæåíèÿ ˜ G k èëè G k îïðåäåëÿþò îïåðàòîð G . Ïîýòîìó èìååò ñìûñëðàññìàòðèâàòü îòîáðàæåíèå ˜ G k òîëüêî ïðè k = ˆ k .3.1. Ôîðìóëû äëÿ ïðèáëèæåíèé ñàìîïîäîáíîé óíêöèè. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî îïå-ðàòîðà ˜ G ˆ k ìåíÿòü îðèåíòàöèþ îòðåçêà [ α ˆ k , α ˆ k +1 ] , íåñëîæíî ïîëó÷èòü îðìóëû äëÿ m -ûõ ïðè-áëèæåíèé ñàìîïîäîáíîé óíêöèè, àíàëîãè÷íûå îðìóëû 2.7(cid:21)2.10. Íà÷àëüíàÿ óíêöèÿ òàêæåïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé òîæäåñòâåííî íóëþ. f ( x ) = β k ïðè x ∈ I k , k = 1 , , . . . , n, (3.1) f ( x ) = ( β k , x ∈ I k , k = ˆ k,d ˆ k β n − k +1 + β ˆ k , x ∈ I ˆ k,k , k = 1 , , . . . , n, (3.2) f ( x ) = β k , x ∈ I k , k = ˆ k,d ˆ k β n − k +1 + β ˆ k , x ∈ I ˆ k,k , k = ˆ k,d ˆ k ( d ˆ k β k + β ˆ k ) + β ˆ k , x ∈ I ˆ k, ˆ k,k , k = 1 , , . . . , n (3.3) . . .f m ( x ) = β k , x ∈ I k , k = ˆ k,d ˆ k β n − k +1 + β ˆ k , x ∈ I ˆ k,k , k = ˆ k,. . .d m − k β k m − + β ˆ k (1 + d ˆ k + . . . + d m − k ) , x ∈ I ˆ k, ˆ k, . . . , ˆ k | {z } m − ,k m − , k m − = ˆ kd m − k β n − k m +1 + β ˆ k (1 + d ˆ k + . . . + d m − k ) , x ∈ I ˆ k, ˆ k, . . . , ˆ k | {z } m − ,k m , k m = 1 , , . . . , n, (3.4)ïðè ÷¼òíîì m . Ïðè íå÷¼òíîì m îðìóëà 3.4 ïðèíèìàåò âèä f m ( x ) = β k , x ∈ I k , k = ˆ k,d ˆ k β n − k +1 + β ˆ k , x ∈ I ˆ k,k , k = ˆ k,. . .d m − k β n − k m − +1 + β ˆ k (1 + d ˆ k + . . . + d m − k ) , x ∈ I ˆ k, ˆ k, . . . , ˆ k | {z } m − ,k m − , k m − = ˆ kd m − k β k m + β ˆ k (1 + d ˆ k + . . . + d m − k ) , x ∈ I ˆ k, ˆ k, . . . , ˆ k | {z } m − ,k m , k m = 1 , , . . . , n. ˆ k ìåíÿåò îðèåíòàöèþ îòðåçêà [ α ˆ k , α ˆ k +1 ] .Êîîðäèíàòû ëåâîãî è ïðàâîãî êîíöîâ îòðåçêà I ˆ k, ˆ k, . . . , ˆ k | {z } m â ýòîì ñëó÷àå èìåþò âèä ˜ x l = α ˆ k + a ˆ k (1 − α ˆ k +1 ) + a k α ˆ k + a k (1 − α ˆ k +1 ) + . . . + a ⌈ m/ ⌉ ˆ k A, ˜ x r = 1 − (1 − α ˆ k +1 ) − a ˆ k α ˆ k − a k (1 − α ˆ k +1 ) − a k α ˆ k − . . . − a ⌈ m/ ⌉ ˆ k A, ãäå A = ( α ˆ k ïðè m = 2 l − − α ˆ k +1 ïðè m = 2 l , à ⌈ x ⌉ (cid:22) íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ìåíüøåå x ( ≪ ïîòîëîê ≫ ), l = 1 , , . . . .Íåñëîæíî âû÷èñëèòü, ÷òî îñîáàÿ òî÷êà ˆ x â ýòîì ñëó÷àå èìååò êîîðäèíàòó(3.5) ˆ x = α ˆ k +1 a ˆ k . ˆ k îñîáàÿ òî÷êà ˆ x íå ìîæåò ñîâïàñòü ñêîíöàìè îòðåçêà [0 , .3.3. Óñëîâèÿ íåóáûâàíèÿ óíêöèè â ñëó÷àå ˜ G ˆ k . Íà îñíîâàíèè îðìóë 3.1(cid:21)3.4 íåñëîæíîïîëó÷èòü àíàëîã òåîðåìû 2.4.Òåîðåìà 3.1. Ñàìîïîäîáíàÿ óíêöèÿ f ∈ D , çàäàííàÿ òàêèì îïåðàòîðîì ïîäîáèÿ, ó êîòîðîãî ˜ G ˆ k ìåíÿåò îðèåíòàöèþ îòðåçêà [ α ˆ k , α ˆ k +1 ] , ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé òîãäà è òîëüêî òîãäà êîãäàå¼ ïàðàìåòðû ñàìîïîäîáèÿ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:1) d ˆ k < ;2) β β . . . β ˆ k − d ˆ k β n + β ˆ k d ˆ k β + β ˆ k β ˆ k +1 . . . β n ïðè < ˆ k < n .Ïðè ˆ k = n óñëîâèå 2) ïðèìåò âèä: β β . . . β n − β n è β n − d n β n + β n .Ïðè ˆ k = 1 óñëîâèå 2) ïðèìåò âèä: β β . . . β n − β n è d β + β β .Çàìå÷àíèå 3.1. Ôóíêöèþ íóëåâîãî ñïåêòðàëüíîãî ïîðÿäêà, ó êîòîðîé ïðåîáðàçîâàíèå ˜ G ˆ k ìå-íÿåò îðèåíòàöèþ îòðåçêà [ α ˆ k , α ˆ k +1 ] ìîæíî çàäàòü äðóãèì íàáîðîì ïàðàìåòðîâ ñàìîïîäîáèÿ,äëÿ êîòîðûõ âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ G i ñîõðàíÿþò îðèåíòàöèþ îòðåçêîâ.×òîáû íàéòè ýòè ïàðàìåòðû ñàìîïîäîáèÿ, äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ñæèìàþùåå îòîáðàæå-íèå G èìååò òó æå íåïîäâèæíóþ óíêöèþ f , ÷òî è ïðåîáðàçîâàíèå G . Ââåä¼ì ïðåîáðàçîâàíèå F := G . Ïóñòü N , α ( F ) k , β ( F ) k è d ( F ) k , k = 1 , , . . . , N (cid:22) åãî ïàðàìåòðû ñàìîïîäîáèÿ. ×åðåç m îáîçíà÷èì òîò åäèíñòâåííûé èíäåêñ, äëÿ êîòîðîãî d ( F ) m = 0 . Ýòè ÷èñëà ìîæíî âû÷èñëèòü÷åðåç ïàðàìåòðû ñàìîïîäîáèÿ èñõîäíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ G ñëåäóþùèì îáðàçîì: N = 2 n − , m = n, d ( F ) m = d k ,a ( F ) k = a k , k = 1 , , . . . , ˆ k − ,a ( F ) m + k = a ˆ k · a n − k , k = 0 , , . . . , n − ,a ( F ) m + n + k = a ˆ k + k +1 , k = 0 , , . . . , n − ˆ k,β ( F ) k = β k , k = 1 , , . . . , ˆ k − ,β ( F ) m + k = d ˆ k · β n − k , k = 0 , , . . . , n − ,β m + n + k = β ˆ k + k +1 , k = 0 , , . . . , n − ˆ k, Êàê è ïðåîáðàçîâàíèå G , gðåîáðàçîâàíèå F òàêæå ìîæíî çàäàòü ñ ïîìîùüþ îòîáðàæåíèé F k ,ñîïîñòàâëÿþùèõ óíêöèè f ∈ L p [0 , óíêöèè F k ( f ) ∈ L p [ α ( F ) k , α ( F ) k +1 ] , k = 1 , , . . . , N : ( F k f )( x ) = f ( t ) , x = a ( F ) k t + α ( F ) k , x ∈ [ α ( F ) k , α ( F ) k +1 ] , t ∈ [0 , . Ó ïðåîáðàçîâàíèÿ F âñå åãî ñîñòàâëÿþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ F k , k = 1 , , . . . , N ñîõðàíÿþòîðèåíòàöèþ îòðåçêîâ.Àâòîð ïðèçíàòåëåí À.È. Íàçàðîâó çà ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ è çàìå÷àíèÿ.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ È. Ñ. Êàö, Ì. . Êðåéí. Î ñïåêòðàëüíûõ óíêöèÿõ ñòðóíû.  êí.: Ô. Àòêèíñîí. Äèñêðåòíûå è íåïðåðûâíûåãðàíè÷íûå çàäà÷è, Ì., 1968, ñòð. 648(cid:21)733.[2℄ M. Solomyak, E. Verbitsky. On a spe tral problem related to self-similar measures//Bull. London Math. So .,27 (1995), pp. 242(cid:21)248.[3℄ À. À. Âëàäèìèðîâ, È. À. Øåéïàê, Ñàìîïîäîáíûå óíêöèè â ïðîñòðàíñòâå L [0 , L p [0 , //Ìàòåì. çàìåòêè, 81:6, (2007), ñ. 924-938.[13℄ À. È. Íàçàðîâ, Ëîãàðèìè÷åñêàÿ àñèìïòîòèêà ìàëûõ óêëîíåíèé äëÿ íåêîòîðûõ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ â L2