Théorème ergodique pour cocycle harmonique, applications au milieu aléatoire. Ergodic theorem for harmonic cocycle, applications in random environment
aa r X i v : . [ m a t h . P R ] S e p Théorème ergodique pour cocycle harmonique,applications au milieu aléatoireErgodic theorem for harmonic cocycle,applications in random environment
Jérôme Depauw18 janvier 2013
Résumé
Dans ce travail est démontré le théorème ergodique ponctuel pour co-cycle harmonique de degré d’une action mesurable stationnaire de Z d sur un espace de probabilité. Ceci constitue un prolongement de l’articlede Boivin et Derriennic (1991), qui portait sur les cocycles non néces-sairement harmoniques. L’hypothèse d’harmonicité permet, dans le caselliptique, d’abaisser la condition d’intégrabilité à L , alors que Boivin etDerriennic ont montré que la condition optimale dans le cas non harmo-nique est la finitude de la norme de Lorentz L d, . Ils ont montré notam-ment que L d ne suffit pas. Le présent travail constitue aussi une suite àun article de Berger et Biskup (2007) qui portait sur le cas harmoniquenon elliptique, en dimension d = 2 . Enfin des applications de ce théorèmeau milieu aléatoire sont présentées. Abstract . In this work we prove the pointwise ergodic theorem forharmonic degree 1 cocycle of a measurable stationary action of Z d ona probability space. In a precedent paper Boivin and Derriennic (1991)studied this theorem for not necessarily harmonic cocycles. The harmonichypothesis allows, in the elliptic case, to change the integrability conditionto L , while Boivin and Derriennic showed that the optimum conditionin the non-harmonic case is the finiteness of Lorentz’s norm L d, . Theyshowed in particular that L d is not enough. Berger and Biskup publishedin 2007 a paper on the harmonic not elliptic case, but only in dimension d = 2 . Finally, applications of this theorem in random media are presented. L’objet de ce travail est le théorème ergodique ponctuel pour cocycleharmonique d’une action stationnaire de Z d (théorème 1 ci-dessous). Laprésentation du cadre dans lequel se place ce résultat fait l’objet de cetteintroduction. C’est aussi l’occasion de présenter deux applications de cethéorème. Cette introduction est divisée en trois paragraphes. Le pre-mier paragraphe propose quelques rappels sur le théorème ergodique endimension . Le second porte sur la notion de cocycle de degré en di-mension d et sur le théorème ergodique associé. Enfin dans le troisièmenous présentons la notion de cocycle harmonique, le théorème ergodique ui fait l’objet de cet article, et son rôle dans certaines questions issuesdu domaine du milieu aléatoire. d = 1 Soit un espace de probabilité (Ω , A , P ) , et T une transformation me-surable, inversible, telle que T et T − préservent la probabilité P . Lethéorème ergodique ponctuel de Birkhoff énonce que pour toute fonctionintégrable f sur Ω , les moyennes n P n − k =0 f ◦ T k convergent presque sû-rement, lorsque n tend vers l’infini. Si la transformation T est ergodique,c’est-à-dire n’admet pas d’ensemble invariant de probabilité non égale à ou , la limite est constante, égale à l’intégrale R Ω f dP de la fonction f .Ce résultat, ainsi que ses différentes démonstrations, sont devenues trèsclassiques. Il est cependant utile, afin de rendre plus naturel le passageà la dimension supérieure, de rappeler une de ces démonstrations. Celleprésentée ici pour T ergodique consiste en trois étapes.On constate d’abord que la convergence est aisée à vérifier sur lescobords, c’est-à-dire sur les fonctions f pouvant s’écrire f = g ◦ T − g ,avec g ∈ L . En effet dans ce cas, les termes de la somme S n ( ω ) = P n − k =0 f ◦ T k ( ω ) se simplifiant deux à deux, celle-ci s’écrit S n = g ◦ T n − g .La convergence ponctuelle des moyennes de Césaro n S n vers , qui serésume donc à celle du terme n g ◦ T n , est alors une application directedu théorème de Borel-Cantelli. En effet celui-ci assure qu’une conditionsuffisante à cette converge presque sûre est que la série + ∞ X n =1 P (cid:18)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) n g ◦ T n (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) > ε (cid:19) converge pour tout ε . Par invariance de P sous l’action de T , cela revientà la convergence de la série + ∞ X n =1 P ( | g | > nε ) . Ceci est bien une condition équivalente à la convergence de l’intégrale R Ω | g | dP .La deuxième étape de la démonstration du théorème ergodique consisteà vérifier que toute fonction intégrable de moyenne nulle peut être appro-chée dans L par des cobords. Cette propriété de densité peut être déduitedu théorème de Hann-Banach. En effet d’après ce théorème, s’il existaitune fonction f d’intégrale nulle qui ne soit pas dans l’adhérence de l’es-pace des cobords, alors il existerait une forme linéaire nulle sur l’espacedes cobords et non nulle sur f . Une forme linéaire de L s’identifiant àune fonction h ∈ L ∞ , on aurait donc Z ( g ◦ T − g ) h dP = 0 pour tout g ∈ L , et Z fh dP = 0 . De la première condition et de l’ergodicité de T on déduit que h estconstante, la deuxième condition contredit alors le fait que f est d’in-tégrale non nulle. Ceci prouve la densité cherchée.La démonstration du théorème ergodique ponctuelle s’achève en mon-trant que l’ensemble des fonctions f vérifiant le théorème ergodique ponc-tuel est fermé dans L . Ceci est une conséquence de l’inégalité maximale P (cid:18) sup n (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) n S n (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) > ε (cid:19) < R Ω | f | dPε ont nous ne détaillons pas la démonstration ici. Cette inégalité maximaleest le point délicat de la démonstration du théorème ergodique ponctuel. d ≥ Il y a plusieurs généralisations possibles du théorème ergodique au casmultidimensionnel. La plus connue est celle de Wiener, qui consiste à fairedes moyennes sur des cubes de dimension d dans Z d (voir [Wie39]).Une autre généralisation du théorème (et de la démonstration) exposéci-dessus à la dimension d ≥ est la suivante. Soient les transformations T , . . . , T d mesurables inversibles, préservant la probabilité P . Lorsque deplus elles commutent deux à deux, on obtient une action de Z d en consi-dérant pour ~n = ( n , . . . , n d ) ∈ Z d la transformation T ~n = T n ◦ · · · ◦ T n d d .Commençons, par analogie avec la démonstration en dimension , à nousintéresser à la convergence ponctuelle des quantités | ~n | S ~n ( ω ) vers , pour | ~n | tendant vers l’infini, où– S ~n = g ◦ T ~n − g ;– | ~n | = P di =1 | n i | .Celle-ci se résume, comme ci-dessus, à la convergence vers zéro du terme | ~n | g ◦ T ~n . Il découle à nouveau du théorème de Borel-Cantelli qu’unecondition suffisante à cette convergence est que la série + ∞ X n = −∞ · · · + ∞ X n d = −∞ P (cid:18)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) | ~n | g ◦ T ~n (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) > ε (cid:19) converge pour tout ε . Or pour tout entier n , le nombre de vecteurs ~n denorme | ~n | fixée, égale à n , est de l’ordre de n d − . Par invariance de T , laconvergence de la série ci dessus revient donc à la convergence de la série + ∞ X n =1 n d − P ( | g | > nε ) , ce qui est cette fois une condition équivalente à la convergence de l’in-tégrale R Ω | g | d dP . Ainsi on voit que la condition d’intégrabilité pour laconvergence ponctuelle étudiée dans ce paragraphe dépend de la dimen-sion de l’action : c’est g ∈ L d .Pour identifier l’adhérence de l’espace des sommes S ~n considérées ci-dessus, on remarque que celles-ci vérifient l’équation S ~n + ~m = S ~n + S ~m ◦ T ~n . (1)Nous introduisons donc la notion correspondante, par la définition sui-vante. Définition 1 (Cocycle de degré ) . Un cocycle de degré 1 d’une action T mesurable stationnaire de Z d est un processus ( S ~n ) ~n ∈ Z d vérifiant l’équa-tion (1) ci-dessus.Cette notion de cocycle de degré d’une action multidimensionnelle,introduite ici de manière qui peut sembler détournée, à l’occasion d’unedémonstration, apparait en fait dans de nombreuses questions de théorieergodique. Citons les principales, sans vouloir être exhaustif.1. Dans l’étude des systèmes dynamiques sous l’aspect de la cohomolo-gie des groupes, les cocycles de degré ≤ k ≤ d ont été notammentétudiés par Mackey [Mac66], Feldman et Moore [FM77a] et [FM77b],Katok et Katok [KK95], Depauw [Dep02]. . Les cocycles de degré 1 d’action stationnaire de Z d et à valeurs dans R d joue un rôle particulier, car ils représentent une déformation aléa-toire du réseau Z d , lorsque l’on considère ce dernier plongé dans R d .Ils interviennent dans la construction du flot spécial en dimension d (voir [Kat77]).3. Ils apparaissent aussi dans certaines démonstrations du théorème li-mite central multidimensionnel pour marche aléatoire en milieu aléa-toire. En effet la déformation du réseau associée permet de transfor-mer ce type de marche aléatoire en martingale. Or on sait que lacondition de martingale joue un rôle crucial dans le théorème limitecentral. La littérature sur ce sujet est très abondante. Sur le rôledu théorème ergodique ponctuel pour cocycle de degré dans cetteméthode de démonstration du théorème limite central on renvoie ausurvey [Bis11], et notamment au paragraphe intitulé « Sublinearityof the corrector ».4. Enfin l’équation de cocycle de degré 1 a une interprétation physiquequi fait qu’elle apparait dans le domaine du milieu aléatoire, et no-tamment des réseaux de conductances stationnaires. En effet elle estvérifiée par la différence de potentiel entre l’origine et le point ~n ,lorsque l’accroissement de ce potentiel le long des arêtes du réseau Z d est stationnaire. Ce potentiel est un moyen d’étudier la résistivitééquivalente du milieu infini. Citons notamment Golden et Papanico-laou [GP83].Les points 3 et 4 sont exposés de manière plus détaillée dans le paragraphesuivant.Ne considérant ici essentiellement que des cocycles de degré 1, la spé-cification du degré sera souvent sous entendue.Revenons au problème du théorème ergodique ponctuel. Ce théorèmeest énoncé ci-dessous (théorème de Boivin-Derriennic), mais commençonspar rappeler, sans entrer dans les détails, le principe de sa démonstration,qui suit le shéma vu dans le paragraphe précédent sur la dimension .Supposons que l’action T est ergodique, c’est-à-dire qu’il n’y a pas d’en-semble invariant par les d transformations T , . . . T d simultanément, saufde mesure ou . On peut vérifier que les cobords, c’est-à-dire les co-cycles s’écrivant sous la forme S ~n = g ◦ T ~n − g , sont denses dans l’espacedes cocycles d’intégrale nulle. Ensuite une inégalité maximale permet demontrer que les cocycles vérifiant le théorème ergodique forment un es-pace fermé pour la norme adéquate. Là encore, il y a une différence notableavec la dimension d = 1 . La norme majorante dans l’inégalité maximalen’est pas la norme L , ni même la norme L d . Boivin et Derriennic ontmontré dans [BD91] que la norme optimale est la norme de Lorentz L d, ,qui s’intercale entre les normes L d et L d + ε .Ces questions ne peuvent être détaillées ici. Pour fixer les idées, don-nons seulement un énoncé avec une condition d’intégrabilité plus forteque nécessaire, en terme d’espace L p . On aura besoin de considérer labase canonique de R d , notée ( ~e , . . . , ~e d ) . Théorème (Boivin & Derriennic) . Soit ( S ~n ) ~n ∈ Z d un cocycle d’une action T mesurable stationnaire ergodique de Z d . Si il existe ε > tel que lesfonctions f i = S ~e i soient de norme L d + ε finie pour i = 1 , . . . , d alors on ala convergence ponctuelle S ~n − P di =1 n i ( R Ω f i dP ) | ~n | −→ our | ~n | tendant vers l’infini. Remarque . Les mêmes auteurs ont aussi montré que dès que les fonctions f i sont intégrables, la convergence ci-dessus a lieu au sens de la norme L . Remarque . Le terme soustrait au numérateur est l’intégrale de la fonc-tion S ~n . En effet, de l’équation de cocycle (1) et de la stationnarité del’action T on déduit Z Ω S ~n + ~m dP = Z Ω S ~n dP + Z Ω S ~m dP. Il en découle immédiatement, en écrivant ~n = P di =1 n i ~e i , que Z Ω S ~n dP = d X i =1 n i Z Ω f i dP. Les cocycles évoqués dans les points 3 et 4 vérifient une propriété sup-plémentaire d’harmonicité. Détaillons cela en commençant par le point 3.Soient (Ω , A , P ) un espace de probabilité et T une action mesurable sta-tionnaire ergodique de Z d engendrée par d transformations commutantes T , . . . , T d . Soient c , . . . , c d des fonctions mesurables > . Pour chaque ω ∈ Ω , on considère la marche aléatoire sur Z d consistant à sauter d’unpoint ~n à ses d plus proches voisins ~n ± ~e i , avec des probabilités donnéespar les fonctions ( c i ) i par P ω ( X k +1 = ~n + ~e i / X k = ~n ) = c i ( T ~n ω )¯ c ( T ~n ω ) ; P ω ( X k +1 = ~n − ~e i / X k = ~n ) = c i ( T ~n − ~e i ω )¯ c ( T ~n ω ) , (2)où ¯ c est la normalisation appropriée : ¯ c = P di =1 ( c i + c i ◦ T − i ) .L’intérêt de définir une marche aléatoire à partir des fonctions c i estque cette marche est l’analogue, en temps et en espace discret, d’unediffusion dans un milieu aléatoire déterminé par ω . Cela se voit en écrivantle générateur L ω associé, défini sur les fonctions u de Z d par l’espéranceconditionnelle ( L ω u )( ~n ) = E ω (cid:16) u ( X k +1 ) − u ( X k ) /X k = ~n (cid:17) , où l’indice ω est là pour rappeler que les probabilités de sauts définissantla marche aléatoire ( X k ) k dépendent de l’environnement aléatoire ω . Pourfaire apparaitre ce lien avec les diffusions, il faut donner l’expression de L ω à l’aide des fonctions c i . Notons pour cela τ i la translation de Z d devecteur ~e i , et posons ∂ i = τ i − I et ∂ ∗ i = τ − i − I . Enfin, à toute fonction c définie sur Ω , et à tout ω ∈ Ω , associons la fonction c ω définie sur Z d par c ω ( ~n ) = c ( T ~n ω ) . Alors un calcul élémentaire permet de vérifier que, pourtoute fonction u définie sur Z d , on a L ω u = 1¯ c ω d X i =1 ∂ ∗ i (cid:16) ( c i ) ω ( ∂ i u ) (cid:17) . (3)On perçoit sans peine l’analogie avec l’opérateur de diffusion de la chaleurassocié à un milieu de conductivité thermique A , et de capacité thermique , usuellement écrit L : u λ div (cid:16) A ( grad u ) (cid:17) . La conductivité thermique de l’arête [ ~n, ~n + ~e i ] , à environnement ω fixé,est pour nous égale à ( c i ) ω ( ~n ) = c i ( T ~n ω ) , pour i = 1 , . . . , d , et la capacitéthermique du nœud ~n à ¯ c ω ( ~n ) = ¯ c ( T ~n ω ) .Dans l’idée d’aborder la question du théorème limite central pour lamarche aléatoire ( X k ) k , il est naturel d’étudier les fonctions u harmo-niques, c’est-à-dire vérifiant L ω u = 0 . En effet, dans ce cas la marchealéatoire Y définie sur R par Y k = u ( X k ) est une martingale, et est doncbien placée pour vérifier le théorème limite central. En fait, pour ne pasperdre la structure aléatoire stationnaire définissant les probabilités desaut de la marche, on cherche u sous la forme d’un cocycle. Plus pré-cisément on cherche les cocycles S ~n tels que pour tout ω , la fonction u ( ~n ) = S ~n ( ω ) annule l’opérateur L ω . En remplaçant dans (3) on obtientla notion suivante. Définition 2 (Cocycle harmonique) . Le cocycle ( S ~n ) de degré est har-monique s’il vérifie d X i =1 ( T − i − I )( c i f i ) = 0 , où on a noté f i = S ~e i .Dans l’optique de démontrer le théorème limite central pour ( X k ) k ,l’intérêt d’un théorème ergodique ponctuel pour ce type de cocycle peutêtre expliqué rapidement de la façon suivante. Admettons qu’un tel cocycleexiste, avec de plus les conditions d’intégrales R Ω f dP = 1 et R Ω f i dP =0 , pour ≤ i ≤ d . Supposons de plus que ce cocycle vérifie le théorèmeergodique énoncé ci-dessus (théorème de Boivin-Derriennic). Considéronsla martingale Y définie par Y k = S X k ( ω ) . Celle-ci vérifie Y k − X (1) k | X k | → pour | X k | tendant vers l’infini, où X (1) k désigne la première coordonnée de X k . Autrement dit, l’écart entre la martingale Y k et la coordonnée X (1) k estnégligeable devant | X k | . On peut en déduire que si Y k vérifie le théorèmelimite central, il en est de même de X (1) k . Pour démontrer que Y k vérifiele théorème limite central, on peut utiliser un théorème limite centralpour martingale, comme le théorème de Brown [Bro71]. Cette méthodede démonstration du théorème limite central pour ( X (1) k ) k , dite « méthodede la martingale » est détaillée dans [Koz85]).En fait l’existence d’un cocycle harmonique d’intégrales données estprouvée dans le cas elliptique, c’est-à-dire le cas où les conductances sontbornées inférieurement et supérieurement par des constantes strictementpositives. Enonçons ce résultat dû à Kunnemann (voir [Kün83]). Théorème (Kunnemann) . Supposons qu’il existe des constantes tel que le cocycle donné par le théorème de Kunnemann ci-dessus vérifie f i ∈ L p pour ≤ i ≤ d .Ce résultat de Boivin en dimension d = 2 rend opérationnelle laméthode de la martingale expliquée ci-dessus dans cette dimension. Eneffet c’est l’intégrabilité qui permet d’appliquer le théorème de Boivin-Derriennic (voir [Boi93]).L’objet de ce travail est de montrer que le cocycle de Kunnemannvérifie le théorème ergodique ponctuel en toute dimension. Théorème 1.
Supposons qu’il existe des constantes < a < b telles que a < c i < b pour i = 1 , . . . , d . Alors le cocycle ( S ~n ) ~n ∈ Z d donné par lethéorème de Kunnemann ci-dessus vérifie S ~n − P di =1 n i ( R Ω f i dP ) | ~n | −→ presque surement, pour | ~n | tendant vers l’infini. Ainsi la méthode de la martingale proposée par Kozlov pour démontrerle théorème limite central pour ce type de marche aléatoire fonctionne entoute dimension (notons que ce théorème limite central est déjà démontré,par Boivin et Depauw dans [BD03], mais avec une méthode spectrale pluscompliquée).Pour achever cette introduction, présentons rapidement l’autre appli-cation de ce théorème, évoquée point 4 page 4 ci-dessus. Considérons unréseau de conductances électriques aléatoires, tel que, à ω fixé, la conduc-tance de l’arête [ ~n, ~n + ~e i ] soit c i ( T ~n ω ) . Cherchons un cocycle ( S ~n ) ~n telque la fonction u définie sur le réseau Z d par u ( ~n ) = S ~n ( ω ) soit le poten-tiel électrique dans le réseau. Cela signifie que la quantité f i ( ω ) = S ~e i ( ω ) est l’accroissement de potentiel dans l’arête [0 , ~e i ] . Il s’ensuit par la loi deOhm que c i ( ω ) f i ( ω ) est l’intensité de courant dans cette arête. L’équa-tion d’harmonicité du cocycle S ~n de la définition 3 exprime alors la loides nœuds, selon laquelle la somme des intensités sur les d arêtes arri-vant à un nœud donné est nulle. Ainsi un cocycle harmonique défini unpotentiel électrique, à accroissement stationnaire. Le théorème 1 s’inter-prète donc comme montrant l’existence d’un potentiel à l’infini, dans unréseau stationnaire elliptique de conductance. Ce résultat complète un denos articles précédents sur l’existence d’un flux de courant à l’infini. Cedernier reposait sur le théorème ergodique ponctuel pour cocycle de degré d − . Ces deux résultats (existence du potentiel et du courant stationnaire,convergeant à l’infini dans presque tous les environnements) montre quela conductivité équivalente du milieu infini est visible dans presque toutesles réalisations de ce milieu. On renvoie à [Dep99], ainsi qu’à [Dep07] pourla version pour milieu continu. La démonstration du théorème 1 proposée ci-dessous ne suit pas unraisonnement par densité des cobords comme celles présentées dans l’intro-duction. On se base d’une part sur le théorème ergodique en dimension ,qui, dans le cadre de la dimension d , assure la convergence cherchée dans outes les directions rationnelles, et d’autre part sur la régularité de Höl-der des fonctions harmoniques sur les réseaux. Pour cette régularité, quiest une version discrète du célèbre résultat de de Giorgi (voir [DG57]),nous nous appuierons sur un l’article de Delmotte [Del97].Cette continuité höldérienne a pour conséquence la proposition sui-vant. Proposition 1.
Supposons qu’il existe des constantes < a < b tellesque a < c i < b pour i = 1 , . . . , d . Alors il existe α > vérifiant : pourtout cocycle harmonique ( S ~n ) ~n tel que les fonctions f i = S ~e i soient dans L il existe, avec probabilité , une constante C telle que pour tout R ≥ et tout ~m , ~n ∈ Z d on asi | ~m | < R et | ~n | < R alors | S ~m ( ω ) − S ~n ( ω ) | ≤ RC (cid:18) | ~m − ~n | R (cid:19) α . Remarque . La constante C , explicitée ligne (4) ci-dessous, dépend de ω . Mais pour ne pas alourdir les notations, ce dernier est omis. Démonstration de la proposition 1. —
Commençons par le lemme suivant.On rappelle que ∂ i et ∂ ∗ i désignent les opérateurs aux différences finiesprésentés ci-dessus lors du calcul de l’opérateur L ω , et que | · | est lanorme introduite précédemment, égale à la somme des valeurs absoluesdes coordonnées. Remarquons que pour deux points ~m, ~n ∈ Z d , l’entier | ~m − ~n | est le nombre d’arêtes nécessaire pour relier ces deux points.Notamment ces points sont voisins ssi | ~m − ~n | = 1 . Enfin pour tout entier R ≥ , l’expression « boule de rayon R » désigne les points ~n vérifiant | ~n | ≤ R . Lemme 1 (Inégalité de Poincaré) . Pour toute fonction u définie sur leréseau Z d et tout entier R ≥ on a X | ~n |≤ R | u ( ~n ) − ¯ u R | ≤ R X | ~n |≤ R +1 d X i =1 (cid:16) | ∂ i u ( ~n ) | + | ∂ ∗ i u ( ~n ) | (cid:17) , où ¯ u R désigne la moyenne de u sur la boule de rayon R .Démonstration de lemme. — Ce résultat est des plus classiques. Rappe-lons en néanmoins la démonstration pour la clarté de l’exposé. La boule derayon R dans Z d sera notée B dans cette démonstration, et son cardinal | B | . La somme à majorer s’écrit X | ~n |≤ R (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) u ( ~n ) − | B | X | ~m |≤ R u ( ~m ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = X | ~n |≤ R (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) | B | X | ~m |≤ R (cid:16) u ( ~n ) − u ( ~m ) (cid:17)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) , ce qui, en posant le changement d’indice ~m → ~ℓ défini par ~m = ~n + ~ℓ , estencore égale à X | ~n |≤ R (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) | B | X ~ℓ | ~n + ~ℓ |≤ R (cid:16) u ( ~n ) − u ( ~n + ~ℓ ) (cid:17)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) . D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à la somme intérieure,cela est majoré par X | ~n |≤ R | B | X ~ℓ | ~n + ~ℓ |≤ R (cid:16) u ( ~n ) − u ( ~n + ~ℓ ) (cid:17) . r on a u ( ~n ) − u ( ~n + ~ℓ ) = X ~k ∈ γ ~ℓ ∂ ( ∗ )( i ) u ( ~n + ~k ) , où γ ~ℓ désigne un chemin de à ~ℓ , c’est à dire une suite de sommets voisinsdont le premier est et le dernier est un voisin de ~n ; l’indice i , ainsi quela présence ou non de l’étoile, varient en fonction de la direction de l’arêtejoignant les sommets voisins (c’est pourquoi ils sont notés entre paren-thèses). On peut de plus choisir ce chemin pour que le nombre d’arêtesqui le composent soit égale à | ~ℓ | , et pour que les chemins ~n + γ ~ℓ , avec ~n et ~n + ~ℓ ∈ B , soient inclus dans la boule de rayon R + 1 , ce que l’onsuppose fait dans la suite. On a donc, à nouveau d’après l’inégalité deCauchy-Schwarz, (cid:16) u ( ~n ) − u ( ~n + ~ℓ ) (cid:17) ≤ | ~ℓ | X ~k ∈ γ ~ℓ (cid:16) ∂ ( ∗ )( i ) u ( ~n + ~k ) (cid:17) , ce qui peut être encore majoré par | ~ℓ | X ~k ∈ γ ~ℓ d X i =1 (cid:18)(cid:16) ∂ ∗ i u ( ~n + ~k ) (cid:17) + (cid:16) ∂ i u ( ~n + ~k ) (cid:17) (cid:19) . En divisant par | B | , en sommant sur ~n , et en échangeant les sommes en ~k et ~n , on a X | ~n |≤ R | B | (cid:16) u ( ~n ) − u ( ~n + ~ℓ ) (cid:17) ≤ | ~ℓ | X ~k ∈ γ ~ℓ X | ~n |≤ R | B | d X i =1 (cid:18)(cid:16) ∂ ∗ i u ( ~n + ~k ) (cid:17) + (cid:16) ∂ i u ( ~n + ~k ) (cid:17) (cid:19) . Or dans la somme intérieure en ~n du membre de droite, l’argument ~n + ~k de ∂u varie sur un ensemble contenu dans la boule de rayon R + 1 . Lemembre de droite est donc majoré par | ~ℓ | X ~k ∈ γ ~ℓ X | ~n |≤ R +1 | B | d X i =1 (cid:18)(cid:16) ∂ ∗ i u ( ~n ) (cid:17) + (cid:16) ∂ i u ( ~n ) (cid:17) (cid:19) . La somme en ~n ne dépend plus de ~k . Comme la somme en ~k porte sur | ~ℓ | termes, c’est encore majoré par | ~ℓ | X | ~n |≤ R +1 | B | d X i =1 | ∂ i u ( ~n ) | + | ∂ ∗ i u ( ~n ) | . Il reste à sommer en ~ℓ , qui est de norme ≤ R . Comme cette somme portesur | B | termes, cela démontre bien le lemme.Passons à la démonstration de la proposition 1. Rappelons la propo-sition 6.2 de [Del97]. Bien qu’il n’y ait rien d’aléatoire dans l’article deDelmotte, nous conserverons notre notation d’un milieu dépendant de ω ,pour ne pas introduire de nouvelles notations. Notamment une fonction u sera harmonique si elle vérifie L ω ( u ) = 0 , où L ω est l’opérateur introduitdans l’égalité (3). roposition (Delmotte) . Il existe des constantes α et C ne dépendantque de la dimension d , et des bornes d’ellipticité a et b , telles que pourtoute fonction u harmonique définie sur Z d on a :si | ~m | , | ~n | < R alors | u ( ~m ) − u ( ~n ) | ≤ C max | ~ℓ |≤ R | u ( ~ℓ ) | (cid:18) | ~m − ~n | R (cid:19) α . Appliquée à la fonction u définie sur Z d par u ( ~n ) = S ~n ( ω ) , ou plusprécisément à u − ¯ u R , cette proposition s’écritsi | ~m | , | ~n | < R alors | S ~m ( ω ) − S ~n ( ω ) | ≤ C ( R, ω ) (cid:18) | ~m − ~n | R (cid:19) α . avec C ( R, ω ) = C max | ~ℓ |≤ R (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) S ~ℓ ( ω ) − | B R | X ~n ∈ B R S ~n ( ω ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) . Rappelons enfin la proposition 5.3 du même article.
Proposition (Delmotte) . Il existe une constante C ne dépendant quede la dimension d , et des bornes d’ellipticité a et b , telle que si L ω u ≥ ,alors max B R u ≤ C (cid:18) | B R | X ~ℓ ∈ B R u ( ~ℓ ) (cid:19) . D’après cette proposition, appliquée à la fonction u − ¯ u R puis à sonopposée − u + ¯ u R , on a C ( R, ω ) ≤ C C (cid:18) | B R | X ~ℓ ∈ B R (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) S ~ℓ ( ω ) − | B R | X ~n ∈ B R S ~n ( ω ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:19) . Enfin l’inégalité de Poincaré (lemme 1) assure que ce majorant est lui-même majoré par C ′ ( R, ω ) = C C (cid:18) (4 R ) | B R | X | ~n |≤ R +1 d X i =1 | f i ( T ~n ω ) | + | f i ( T ~n − ~e i ω ) | (cid:19) . En divisant par R , on achève la démonstration de la proposition 1 avec C = sup R ≥ R C ′ ( R, ω ) , (4)qui est presque sûrement finie d’après le théorème ergodique ponctuelde Wiener sur les boules de Z d (voir [Wie39]), et l’intégrabilité L desfonctions f i .Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème 1. Soit ( S ~n ) ~n le cocycle donné par le théorème de Kunnemann. Soit ~n ∈ Z d .D’après l’équation (1) définissant les cocycles de degré , on a pour toutentier k ≥ S k~n = k − X j =0 S ~n ◦ T j~n . D’après le théorème ergodique en dimension appliqué la fonction S ~n etla transformation T ~n , la quantité S k~n − k P di =1 n i R Ω f i dPk | ~n | onverge donc presque sûrement, pour k tendant vers l’infini. La transfor-mation T ~n n’est pas nécessairement ergodique. Mais d’après la remarque 1qui suit l’énoncé du théorème ergodique de Boivin-Derriennic, et l’hypo-thèse d’ergodicité de l’action T , on a la convergence dans L vers . Doncla limite ponctuelle vaut aussi .Soit un entier n fixé. Le nombre de vecteur ~n à coordonnées entièresvérifiant | ~n | = n est fini. Donc d’après ce qui précède, avec probabilité ,pour tout ε , il existe un entier R ≥ tel quesi kn ≥ R et si | ~n | = n alors (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) S k~n ( ω ) − k P di =1 n i R Ω f i dPkn (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ ε. (5)Notons E n l’ensemble des multiples des points de Z d de norme n , soit E n = { k~n, k ∈ Z , | ~n | = n } . On a alors le lemme élémentaire suivant
Lemme 2.
Soit n ≥ . Pour tout ~m ∈ Z d il existe ~ℓ ∈ E n tel que | ~ℓ | ≤ | ~m | et | ~ℓ − ~m | ≤ n + | ~m | n d. Démonstration. —
Considérons la division euclidienne de | ~m | par n | ~m | = kn + r, avec ≤ r ≤ n − . Le vecteur ~x = ~m | ~m | n a pour norme n . Ses coordonnées ( x i ) ≤ i ≤ d ne sont pas nécessairement entières, mais il existe un vecteur ~n à coordonnées entières de norme n , à une distance ≤ d de ce dernier. Eneffet, en notant n ′ i la partie entière de x i , pour i = 1 , . . . , d , et en posant K = d X i =1 ( x i − n ′ i ) = n − d X i =1 n ′ i , on voit que K est un entier vérifiant ≤ K ≤ d − . Considérons alors n i = n ′ i + 1 si i ≤ K et n i = n ′ i si i ≥ K + 1 . Le point ~n ainsi défini vérifiebien | ~n | = n et | ~n − ~x | ≤ d .Posons ~ℓ = k~n . On a | ~m − ~ℓ | ≤ (cid:12)(cid:12)(cid:12) ~m − ~m | ~m | nk (cid:12)(cid:12)(cid:12) + (cid:12)(cid:12)(cid:12) ~m | ~m | nk − ~ℓ (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ r + kd, ce qui est bien majoré par n + | ~m | n d . Ceci démontre le lemme 2.Pour < ε < / fixé, choisissons n > d/ε , puis R > n/ε . Avec cechoix, le lemme précédent assure que pour tout ~m tel que | ~m | > R ilexiste ~ℓ ∈ E n tel que | ~ℓ | ≤ | ~m | et | ~ℓ − ~m | < ε | ~m | .On déduit alors de la proposition 1 appliquée à R = | ~m | que (cid:12)(cid:12)(cid:12) S ~m ( ω ) | ~m | − S ~ℓ ( ω ) | ~m | (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ C (2 ε ) α . De la majoration (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)P di =1 ( m i − ℓ i ) R Ω f i dP (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ | ~m − ~ℓ | max i | R Ω f i dP | ildécoule que (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) S ~m ( ω ) − P di =1 m i R Ω f i dP | ~m | − S ~ℓ ( ω ) − P di =1 ℓ i R Ω f i dP | ~m | (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) st majoré par C (2 ε ) α + 2 ε max i (cid:12)(cid:12)(cid:12)Z Ω f i dP (cid:12)(cid:12)(cid:12) . Enfin, on peut choisir R suffisamment grand pour que (5) soit vérifié. Or,pour tout ~m tel que | ~m | > R (cid:16) − dn (cid:17) − et ~ℓ donné par le lemme 2, ona R ≤ | ~ℓ | ≤ | ~m | . Donc d’après (5) et la ligne précédente (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) S ~m ( ω ) − P di =1 m i R Ω f i dP | ~m | (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ C (2 ε ) α + (cid:18) i (cid:12)(cid:12)(cid:12)Z Ω f i dP (cid:12)(cid:12)(cid:12) + 1 (cid:19) ε. Comme ε est arbitrairement petit, cela montre bien la convergence ponc-tuelle de (cid:12)(cid:12)(cid:12) S ~m ( ω ) − P di =1 m i R Ω f i dP | ~m | (cid:12)(cid:12)(cid:12) vers , pour | ~m | tendant vers l’infini, ce qui démontre le théorème 1. La question naturelle à la suite de ce travail est : dans quelles condi-tions peut-on étendre le théorème 1 au cas non elliptique. Dans le casoù les conductances c i ◦ T ~n , pour ~n ∈ Z d et i = 1 , . . . , d , sont indépen-dantes, ce probléme est notamment abordé dans [BP07]. Dans le cas où lesconductances sont simplement supposées de loi stationnaire, nous n’avonsqu’une référence : l’article de Berger-Biskup [BB07]. Cet article se placedans le cadre de la percolation, c’est-à-dire avec des fonctions c i prenantles valeurs ou . La convergence ponctuelle du cocyle (souvent appelé« correcteur » dans la méthode de la martingale évoquée ci-dessus) qui faitl’objet du théorème 5.1, est démontré pour la dimension . La méthodeproposée ne passe pas à des dimensions plus grandes. Références [BB07]
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