Third order operator with periodic coefficients on the real line
aa r X i v : . [ m a t h - ph ] D ec Оператор третьего порядка с периодическимикоэффициентами на вещественной оси
Андрей Баданин ∗ Евгений Коротяев †
16 октября 2018 г.
УДК 517.984.5Ключевые слова: оператор третьего порядка с периодическими коэффициентами,спектр, асимптотики
Аннотация
Рассматривается оператор третьего порядка с периодическими коэффициентамина вещественной оси. Этот оператор связан с задачей интегрирования нелинейногоэволюционного уравнения Буссинеска. При минимальных условиях на гладкостькоэффициентов доказываются следующие результаты: 1) оператор самосопряжёни раскладывается в прямой интеграл, 2) спектр оператора абсолютно непрерывен,заполняет всю ось и имеет кратность один или три, 3) построена и исследова-на функция Ляпунова, аналитическая на трехлистной римановой поверхности, 4)спектр кратности три ограничен и выражен в терминах некоторой целой функции(дискриминанта).
Рассмотрим дифференциальный оператор третьего порядка H = i∂ + ip∂ + i∂p + q (1.1)действующий в L ( R ) , где вещественные 1-периодические коэффициенты p, q принад-лежат пространству L ( T ) , T = R / Z , с нормой k f k L ( T ) = R | f ( s ) | ds . В предложении1.1 мы докажем, что оператор H является самосопряженным на области определения D ( H ) = n f ∈ L ( R ) : i ( f ′′ + pf ) ′ + ipf ′ + qf ∈ L ( R ) , f ′′ , ( f ′′ + pf ) ′ ∈ L loc ( R ) o . (1.2) ∗ Северный (Арктический) федеральный университет, Архангельск, наб. Северной Двины, 17, e-mail:[email protected] † Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9,e-mail: [email protected] H применяется в методе обратной задачи интегрирования нелинейногоэволюционного уравнения Буссинеска на окружности (“bad Boussinesq” см. [McK]): ¨ p = ∂ (cid:16) p + 13 ∂ p (cid:17) , ˙ p = ∂q. (1.3)Именно, уравнениe Буссинеска (1.3) равносильно нелинейному уравнению Лакса ˙ H = HK − KH , где K = − ∂ + p . Здесь ˙ f и ∂f обозначает производную функции f повременной и, соответственно, пространственной переменной.Известно, что если p, q ∈ C ∞ ( T ) , то самосопряженный оператор H может быть опре-делен как замыкание соответствующего минимального оператора. Более того, спектр σ ( H ) оператора H абсолютно непрерывен (см., напр., [DS], гл. XIII) и заполняет всю ось(см.[McG]). Наша цель – определить самосопряженный оператор H для более широкогокласса коэффициентов p, q ∈ L ( T ) и описать спектр в терминах так называемой функ-ции Ляпунова. Такое описание удобно для анализа спектра (см., напр., [BK2], [CK1],[K1], [K2]).Огромное число статей посвящено прямым и обратным спектральным задачам дляоператора Шрёдингера с периодическим потенциалом: Дубровин [D], Гарнетт – Тру-бовиц [GT], Итс – Матвеев [IM], Каргаев – Коротяев [KK], Марченко – Островский[MO] и т.д. Заметим, что Коротяев [K3] распространил результаты [MO], [GT],[KK] дляслучая − y ′′ + qy на случай периодических распределений, т.е. − y ′′ + q ′ y на L ( R ) , гдепериодический q ∈ L loc ( R ) .Кратко опишем результаты для векторных дифференциальных уравнений. Обрат-ная задача (включая характеризацию) для векторнозначного оператора Штурма – Ли-увилля на конечном интервале с условиями Дирихле была решена недавно в работахКоротяева и Челкака [CK2], [CK3]. Периодический случай сложнее и многие работы по-священы только прямой спектральной задаче для периодических систем: Карлсон [Ca],Гельфанд – Лидский [GL], Гестези и соавторы [CL], Коротяев и Челкак [CK1], Крейн[Kr] и т.д. Опишем важные для нас в дальнейшем результаты из [BBK], [CK1], [K1],[K2] для операторов первого и второго порядка с периодическими матричнозначнымипотенциалами:1) построена и изучена функция Ляпунова, аналитическая на римановой поверхно-сти,2) построено конформное отображение с вещественной частью, заданной интегри-рованной плотностью состояний, и мнимой частью, заданной показателем Ляпунова, иизучены его основные свойства,3) получены формулы следов (аналогичные скалярному случаю),4) получены оценки длин лакун в терминах потенциала,5) получены асимптотики собственных значений периодической и антипериодиче-ской задач и точек ветвления функции Ляпунова,6) показано, что края лакун в спектре оператора являются периодическими илиантипериодическими собственными значениями или точками ветвления функции Ля-пунова. 2пектральный анализ операторов высокого ( > ) порядка с периодическими коэф-фициентами сильно усложняется тем обстоятельством, что матрица монодромии содер-жит как элементы, которые ограничены при больших вещественных значениях спек-трального параметра, так и растущие элементы. Напомним также, что функция Ляпу-нова для оператора второго порядка является целой, а для оператора p -го порядка – p -листной, см. [BK3]. Конформное отображение, важное в спектральном анализе опе-раторов с периодическими коэффициентами, для операторов высокого порядка до сихпор не построено. Операторы четного ( > ) порядка с периодическими коэффициента-ми рассматривались в работах: Баданин – Коротяев [BK1], [BK2], [BK3], Папаниколау[P1], [P2], Ткаченко [Tk], см. также ссылки в этих работах.Спектральные свойства периодического уравнения Эйлера-Бернулли ( ay ′′ ) ′′ = λby изучались Папаниколау в [P1], [P2]. Показано, что спектр лежит на положительной по-луоси и является объединением неперекрывающихся зон кратности 2, аналогично слу-чаю оператора Хилла. Начало спектра является одновременно простым периодическимсобственным значением и точкой ветвления функции Ляпунова. Все другие ветвлениялежат на отрицательной полуоси.В работе [BK3] получены следующие результаты об операторе p -го ( p > ) поряд-ка с периодическими коэффициентами (случай p = 2 см. в [BK1], [BK2]): построена иизучена функция Ляпунова, аналитическая на p -листной римановой поверхности, по-лучены асимптотики собственных значений периодической и антипериодической задачи точек ветвления функции Ляпунова. Края лакун в спектре такого оператора явля-ются периодическими или антипериодическими собственными значениями или точкамиветвления функции Ляпунова, а кратность спектра может быть равна любому четномучислу от 2 до p . При больших энергиях края лакун являются периодическими илиантипериодическими собственными значениями и спектр имеет кратность 2.Гораздо менее изучен оператор нечетного порядка с негладкими периодическими ко-эффициентами. В сущности, о спектре такого оператора до настоящего времени ничегоне известно.Прямая и обратная задача рассеяния для оператора третьего порядка с убывающи-ми коэффициентами рассмотрена в работе Дейфта–Томеи–Трубовица [DTT] (там же см.ссылки), где, в частности, достаточно хорошо развита спектральная теория. Дальней-шие исследования в этом направлении изложены в книге Билза–Дейфта–Томеи [BDT]и в работе Суханова [Su]. Отметим также работы Амура [A1], [A2], где рассматривалсяоператор третьего порядка на конечном интервале с краевыми условиями, представля-ющими из себя комбинацию квазипериодических условий и условий Дирихле. Несамо-сопряженный оператор третьего порядка с гладкими периодическими коэффициентамирассматривался в работе МакКина [McK] в связи с задачей интегрирования так назы-ваемого уравнения “good Boussinesq” на окружности.В данной работе мы начинаем систематическое исследование спектра самосопря-женного оператора H с периодическими коэффициентами из класса L ( T ) . Изучаемыйнами оператор связан с задачей интегрирования уравнения “bad Boussinesq” (1.3), см.[McK]. Следуя схеме [K2], мы вводим функцию Ляпунова ∆( λ ) , аналитическую на трех-листной римановой поверхности и удовлетворяющую обычному равенству ∆ = cos k ( λ ) ,3де k – квазиимпульс. Трехлистность функции Ляпунова существенно усложняет спек-тральный анализ оператора H . Далее, используя разложение оператора H в прямойинтеграл операторов, действующих на конечном интервале, мы доказываем, что спектроператора H абсолютно непрерывный, и описываем его в терминах функции Ляпунова.При этом мы показываем, что значения функции Ляпунова на вещественной оси опре-деляют спектр таким же образом, как и в случае оператора Хилла. Края спектральныхинтервалов со спектром кратности 3 являются точками ветвления функции Ляпунова.Подчеркнем, что для операторов третьего порядка (в отличие от операторов четногопорядка) периодические и антипериодические собственные значения никак не связаныс кратностью спектра.Полученные здесь результаты мы используем в работах [BK4], [BK5]. В работе [BK4]изучается случай малых p, q → . Мы доказываем, что в этом случае весь спектр опера-тора H имеет кратность 1, за возможным исключением одного маленького интервала соспектром кратности 3 в окрестности нуля. Получены явные условия на p, q , при которыхтакого интервала нет и условия, при которых он есть, при этом найдена его асимптоти-ка. В работе [BK5] мы исследуем риманову поверхность функции Ляпунова, находимасимптотики ее точек ветвления и асимптотики собственных значений периодическойи антипериодической задач для уравнения iy ′′′ + ipy ′ + i ( py ) ′ + qy = λy при высокихэнергиях. Показано, что в случае "общих"коэффициентов p, q риманова поверхностьфункции Ляпунова имеет бесконечный род.Для разложения оператора H в прямой интеграл введем гильбертовы пространства H ′ = L ([0 , , dt ) , H = Z ⊕ [0 , π ) H ′ dk π (1.4)и операторы H ( k ) = i∂ + i∂p + ip∂ + q, k ∈ [0 , π ) , действующие в H ′ = L (0 , и самосопряженные на области определения D ( H ( k )) = n f ∈ L (0 ,
1) : i ( f ′′ + pf ) ′ + ipf ′ + qf ∈ L (0 , , f ′′ , ( f ′′ + pf ) ′ ∈ L (0 , ,f j (1) = e ik f j (0) для всех j = 1 , , , где f = f, f = f ′ , f = f ′′ + pf o , (1.5)см. лемму 4.1. Введем унитарный оператор U : L ( R ) → H равенством ( U f ) k ( t ) = X n ∈ Z e − ink f ( t + n ) , ( k, t ) ∈ [0 , π ) × [0 , . (1.6)Приведем предварительный результат о разложении оператора H в прямой интеграл. Предложение 1.1.
Оператор H , определенный в (1.1), (1.2), является самосопря-женным и удовлетворяет равенству U HU − = Z ⊕ [0 , π ) H ( k ) dk π . (1.7)4 амечания.
1) Аналогичный результат для оператора второго порядка хорошо изве-стен, см. [Ge], [RS]. Для оператора произвольного четного порядка с гладкими коэф-фициентами соответствующие результаты см. в статье Ткаченко [Tk].2) В нашем случае оператор имеет коэффициенты из L (0 , и поэтому его областьопределения более сложная, чем у оператора с гладкими коэффициентами. Кроме то-го, оператор имеет нечетный порядок и неполуограничен снизу. Этот случай требуетотдельного анализа.В случае когда коэффициенты p, p ′ , q ∈ L ( T ) , можно определить стандартную мат-рицу монодромии f M ( λ ) = { e ϕ ( k − j (1 , λ ) } k,j =1 , λ ∈ C , где e ϕ j – решения уравнения iy ′′′ + ipy ′ + i ( py ) ′ + qy = λy, ( t, λ ) ∈ R × C , (1.8)удовлетворяющие начальным условиям e ϕ ( k − j (0 , λ ) = δ jk , j, k = 1 , , (см., напр., [DS],гл. XIII.7). Если коэффициент p ∈ L ( T ) и p ′ / ∈ L ( T ) , то стандартная матрица мо-нодромии уже не определена, поскольку, вообще говоря, производная y ′′ не являетсянепрерывной. Здесь требуется существенная модификация. Мы введём модифициро-ванную матрицу монодромии M (1 , λ ) по формуле M ( t, λ ) = ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ϕ ′ ϕ ′ ϕ ′′ + pϕ ϕ ′′ + pϕ ϕ ′′ + pϕ ( t, λ ) , ( t, λ ) ∈ R × C . (1.9)Здесь ϕ , ϕ , ϕ есть фундаментальные решения уравнения (1.8), удовлетворяющие ус-ловиям M (0 , λ ) = 11 , λ ∈ C , (1.10)где N – единичная N × N матрица. Соответствующий характеристический полином D имеет вид D ( τ, λ ) = det( M (1 , λ ) − τ ) , ( τ, λ ) ∈ C . (1.11)Собственное значение матрицы M (1 , λ ) называется мультипликатором , оно являетсянулем алгебраического уравнения D ( · , λ ) = 0 . Каждая × -матрица M (1 , λ ) , λ ∈ C ,имеет ровно (с учетом кратности) мультипликатора τ j ( λ ) , j = 1 , , . В случае p = q =0 мультипликаторы имеют вид τ j ( λ ) = e iω j − z , λ ∈ C , j = 1 , , , где ω = e i π , здесь и далее мы считаем z = λ , arg λ ∈ (cid:16) − π , π i , arg z ∈ (cid:16) − π , π i . Введем функцию T ( λ ) = Tr M (1 , λ ) , λ ∈ C . еорема 1.2. i) Матричнозначная функция M (1 , · ) является целой и для всех τ, λ ∈ C верны равенства: M ∗ (1 , λ ) J M (1 , λ ) = J, где J = i − i i , (1.12) D ( τ, λ ) = det( M (1 , λ ) − τ ) = − τ + τ T ( λ ) − τ T ( λ ) + 1 , (1.13) det M (1 , λ ) = 1 . (1.14) ii) Пусть λ ∈ R . Если τ ( λ ) является мультипликатором, то ¯ τ − ( λ ) также явля-ется мультипликатором. Возможны только два случая:a) все три мультипликатора лежат на единичной окружности;b) ровно один (простой) мультипликатор лежит на единичной окружности.Более того, в случае b) мультипликаторы имеют вид e ik , e i ¯ k , e − i k для некоторого k ∈ C : Im k = 0 . (1.15) iii) Пусть p, p ′ , q ∈ L ( T ) . Тогда модифицированная матрица монодромии M истандартная матрица монодромии f M связаны равенством M (1 , · ) = S − f M ( · ) S , где S = − p (0) 0 1 . (1.16) Замечание
1) Равенство (1.16) показывает, что в случае гладких коэффициентов p, q собственные значения матриц M (1 , λ ) и f M ( λ ) совпадают, т.е. мультипликаторымогут определяться, как собственные значения любой из этих матриц.2) Мы считаем, что даже в случае гладких коэффициентов модифицированная мат-рица M более удобна для анализа оператора H , чем матрица f M . В частности, соотноше-ние симплектичности (1.12) для матрицы M имеет более простой вид, чем аналогичноеравенство для f M .Коэффициенты полинома D – целые функции переменной λ . Известно (см., напр.,[Fo], гл. 8), что его корни τ j ( λ ) , j = 1 , , , составляют одну или несколько ветвей однойили нескольких аналитических функций, имеющих только алгебраические особенностив C . В теореме 1.3 мы показываем, что τ j ( λ ) , j = 1 , , , все различны и составляют триветви одной функции τ ( λ ) , аналитической на некоторой связной трехлистной римано-вой поверхности R . Введем функции Ляпунова ∆ j = 12 ( τ j + τ − j ) , j = 1 , , . Эти функции являются ветвями функции ∆ , аналитической на поверхности R . Введем дискриминант ρ ( λ ) , λ ∈ C , полинома D ( · , λ ) (см. (1.13)) равенством ρ = ( τ − τ ) ( τ − τ ) ( τ − τ ) . (1.17)6сли p = q = 0 , то функция Ляпунова ∆ , ее ветви ∆ j и дискриминант ρ имеют вид ∆ = cos λ , ∆ j = cos zω j − , j = 1 , , ,ρ = 64 sinh √ z √ ωz √ ω z . (1.18)Мы доказываем следующие результаты. Теорема 1.3. i) Функции τ j , j = 1 , , , являются ветвями некоторой функции τ ,аналитической на связной трехлистной римановой поверхности, и удовлетворяютасимптотике τ j ( λ ) = e izω j − (1 + O ( z − )) при | λ | → ∞ , где ω = e i π . (1.19) ii) Функции ∆ j , j = 1 , , , являются ветвями некоторой функции ∆ , аналитическойна связной трехлистной римановой поверхности, и удовлетворяют асимптотике ∆ j ( λ ) = cos( zω j − ) + O (cid:18) e | Im( zω j − ) | | z | (cid:19) при | λ | → ∞ . (1.20) iii) Функция ρ - целая, вещественная на R , и при всех λ ∈ R удовлетворяет равенству ρ ( λ ) = | T ( λ ) | − T ( λ ) + 18 | T ( λ ) | − . (1.21) Замечания.
1) Асимптотика матрицы монодромии для оператора второго порядка вы-ражается через cos √ λ и sin √ λ , ограниченные на вещественной оси. Асимптотика мат-рицы монодромии для оператора третьего порядка выражается через e iω j λ , j = 0 , , ,см. (2.12), неограниченные на вещественной оси. Это порождает определенные труд-ности при вычислении спектральных асимптотик. Эти трудности удается преодолеть,используя симплектичность матрицы монодромии, см. (1.12), и следующие из нее сим-метрии мультипликаторов, см. теорему 1.2 ii).2) Функция ρ определяет точки ветвления функции Ляпунова. Аналогичная функ-ция для уравнения “good Boussinesq” анализируется МакКином [McK]. В частности, имполучено равенство, аналогичное (1.21).В следующей теореме мы описываем спектр оператора H в терминах мультиплика-торов и функции Ляпунова. Теорема 1.4. i) Спектр σ ( H ) оператора H абсолютно непрерывен и равен σ ( H ) = { λ ∈ R : | τ j ( λ ) | = 1 для j = 1 , или } = { λ ∈ R : ∆ j ( λ ) ∈ [ − , для j = 1 , или } . (1.22) Более того, кратность спектра равна числу ветвей функции τ ( λ ) (или ∆( λ ) ), удовле-творяющих условию (1.22). i) Спектр σ ( H ) заполняет всю вещественную ось и имеет кратность 1 или 3:спектр кратности 3 совпадает с ограниченным множеством S = { λ ∈ R : ρ ( λ ) } , (1.23) и спектр имеет кратность 1 вне этого множества.iii) Если ∆ j ( λ ) ∈ ( − , для какого-либо ( j, λ ) ∈ { , , }× R и λ не является точкойветвления функции ∆ j , то ∆ ′ j ( λ ) = 0 . Замечания.
1) Спектр самосопряженного оператора любого нечетного порядка с глад-кими периодическими коэффициентами заполняет всю ось, см., напр., [McG].2) Доказательство абсолютной непрерывности спектра – стандартное (см., напр.,[RS]) и основывается на равенстве (1.7) и том факте, что собственные значения опера-тора H ( k ) – кусочно-аналитические и непостоянные функции переменной k ∈ [0 , π ) .3) Равенство (1.23) показывает, что кратность спектра оператора H полностью опре-деляется значениями целой функции ρ .4) Края спектральных интервалов кратности 3 являются точками ветвления функ-ции Ляпунова. Периодические и антипериодические собственные значения никак несвязаны с кратностью спектра.5) Асимптотика (1.20) и равенство (1.22) показывают, что при больших энергияхровно одна ветвь функции Ляпунова вносит вклад в спектр, две другие ветви прини-мают невещественные значения.Приведем краткое описание работы. В § § § H ( k ) .Мы доказываем, что этот оператор аналитически зависит от k на [0 , π ) и при каж-дом k является самосопряженным и имеет полный набор нормированных собственныхфункций. В § H и доказываем предложение 1.1 и теорему 1.4. В этом параграфе мы изучим матрицу монодромии. Мы перепишем уравнение (1.8) ввекторной форме Y ′ − P ( λ ) Y = Q ( t ) Y, ( t, λ ) ∈ R × C , (2.1)где вектор-функция Y и × -матричнозначные функции P, Q имеют вид Y = y y y = yy ′ y ′′ + py , P = − iλ , Q = − p iq − p . (2.2)При λ = 0 верно равенство P = ( Z U )( izB )( Z U ) − , (2.3)где U = 1 √ ω ω ω ω = ( U ∗ ) − , B = ω
00 0 ω , Z = iz
00 0 ( iz ) , (2.4)8 = e i π , z = x + iy = λ , arg λ ∈ (cid:16) − π , π i , arg z ∈ (cid:16) − π , π i . (2.5)Заметим, что × -матричнозначная функция M ( t, λ ) , заданная (1.9), является реше-нием начальной задачи M ′ − P ( λ ) M = Q ( t ) M, M (0 , λ ) = 11 . (2.6)В невозмущенном случае p = q = 0 решение M уравнения (2.6) имеет вид M = e tP ( λ ) . Функция M ( t, λ ) является целой по λ при каждом t ∈ R . Собственные значе-ния матрицы P равны izω j , j = 0 , , , и матрица M ( t, λ ) имеет собственные значения e izω j t , j = 0 , , . Из условия (2.5) получаем x > max { , − y √ } . Тогда из Re( iz ) = − y, Re( izω ) = y − √ x , Re( izω ) = y + √ x следует, что для всех λ ∈ C max { Re( iz ) , Re( izω ) } z = Re( izω ) . (2.7)Оценки | e izω j t | e z | t | дают | M ( t, λ ) | e z | t | для всех ( t, λ ) ∈ R × C . (2.8)Здесь и далее для матрицы A мы используем следующую норму | A | = max {√ h : h – собственное значение матрицы A ∗ A } . Применяя преобразование подобия (2.3) к обеим частям равенства (2.6), мы полу-чаем M ′ − izB M = Q ( t, λ ) M , M (0 , λ ) = 11 , (2.9)где M = ( Z U ) − M ( Z U ) , Q = ( Z U ) − Q ( Z U ) = 1 iz U − − p qz − p U. (2.10)Напомним, что T = Tr M (1 , · ) и пусть T = Tr M (1 , · ) в невозмущенном случае. Лемма 2.1.
Матричнозначная функция M (1 , · ) является целой. Верны неравенства | T ( λ ) | e z + κ для всех λ ∈ C , (2.11) |M (1 , λ ) − e izB | κ | z | e z + κ , (2.12) | T ( λ ) − T ( λ ) | κ | z | e z + κ (2.13) для всех | λ | > , где κ = R ( | p ( t ) | + | q ( t ) | ) dt и z = Re( izω ) . оказательство. Стандартные рассуждения, примененные к уравнению (2.6) показы-вают, что функция M ( t, λ ) удовлетворяет интегральному уравнению M ( t, λ ) = M ( t, λ ) + Z t M ( t − s, λ ) Q ( s ) M ( s, λ ) ds. (2.14)Итерации в уравнении (2.14) дают M ( t, λ ) = X n > M n ( t, λ ) , M n ( t, λ ) = Z t M ( t − s, λ ) Q ( s ) M n − ( s, λ ) ds. (2.15)Из равенств (2.15) следует M n ( t, λ ) = Z
J M ′ = V M , где V = J ( P + Q ) = i − − p − iλ + iq − p = λ − q − ip ip − i i . и J определена равенством (1.12). Тогда − ( M ∗ ) ′ J = M ∗ V для λ ∈ R и ( M ∗ J M ) ′ = ( M ∗ ) ′ J M + M ∗ J M ′ = − M ∗ V M + M ∗ V M = 0 , откуда следует ( M ∗ J M )( t, λ ) = ( M ∗ J M )(0 , λ ) = J для всех ( t, λ ) ∈ R × C , что дает(1.12). Равенство (1.9) и уравнение (1.8) дают (det M ) ′ = det ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ϕ ′ ϕ ′ ( ϕ ′′ + pϕ ) ′ ( ϕ ′′ + pϕ ) ′ ( ϕ ′′ + pϕ ) ′ = 0 . Тогда det M ( t, λ ) = det M (0 , λ ) = 1 для всех ( t, λ ) ∈ R × C , что дает (1.14). Прямыевычисления показывают D ( τ, λ ) = det( M (1 , λ ) − τ ) = − τ + τ Tr M (1 , λ ) + B ( λ ) τ − для всех ( τ, λ ) ∈ C , где B ( λ ) = ∂ τ D (0 , λ ) . Известная формула из теории матриц (см., напр., [GK], равенствоIV.1.3) дает ∂ τ D ( τ, λ ) = − D ( τ, λ ) Tr( M (1 , λ ) − τ ) − . Используя равенство D (0 , λ ) = 1 , мы получаем B ( λ ) = − Tr M − (1 , λ ) . Равенство (1.12)дает M − (1 , λ ) = − J M ∗ (1 , λ ) J , откуда следует Tr M − (1 , λ ) = Tr M ∗ (1 , λ ) для всех λ ∈ C . Тогда B ( λ ) = − Tr M ∗ (1 , λ ) , что дает (1.13).ii) Из равенства (1.13) следует D ( τ, λ ) = − τ D (¯ τ − , λ ) для всех ( τ, λ ) ∈ C × R , τ = 0 . (3.1)11аким образом если τ ( λ ) является корнем D ( τ, λ ) для некоторого λ ∈ R , то ¯ τ − ( λ ) такжеявляется корнем. Используя равенство τ τ τ = det M (1 , · ) = 1 , мы получаем нужныеутверждения.iii) Для уравнения (1.8) введем фундаментальную матрицу f M ( t, λ ) = ( e ϕ ( k − j ( t, λ )) k,j =1 , ( t, λ ) ∈ R × C . Тогда f M ( λ ) = f M (1 , λ ) . Поскольку e ϕ j – фундаментальные решения уравнения (1.8) и ϕ j также являются его решениями, ϕ j – линейные комбинации e ϕ j . Начальные условия(1.10) дают ϕ ( t, λ ) = e ϕ ( t, λ ) − p (0) e ϕ ( t, λ ) , ϕ ( t, λ ) = e ϕ ( t, λ ) , ϕ ( t, λ ) = e ϕ ( t, λ ) , для всех ( t, λ ) ∈ R × C , откуда следует, что ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ϕ ′ ϕ ′ ϕ ′′ ϕ ′′ ϕ ′′ ( t, λ ) = e ϕ − p (0) e ϕ e ϕ e ϕ e ϕ ′ − p (0) e ϕ ′ e ϕ ′ e ϕ ′ e ϕ ′′ − p (0) e ϕ ′ e ϕ ′′ e ϕ ′′ ( t, λ ) = f M ( t, λ ) S , ( t, λ ) ∈ R × C . (3.2)Поскольку S − = p (0) 0 1 , равенство (1.9) дает M ( t, λ ) = S − ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ϕ ′ ϕ ′ ϕ ′′ ϕ ′′ ϕ ′′ ( t, λ ) для всех ( t, λ ) ∈ R × C . (3.3)Из равенств (3.2), (3.3) следует (1.16). Доказательство теоремы 1.3. i) Обозначим через τ j = e iω j − z , j = 1 , , , собственныезначения матрицы e izB . По известной теореме теории матриц (см., напр., [HJ], следствие6.3.4) из (2.12) следует, что при каждом | λ | > матрица M (1 , λ ) , а значит и матри-ца M (1 , λ ) , имеет по крайней мере одно собственное значение τ j ( λ ) в каждом круге сцентром τ j ( λ ) , j = 1 , , , и радиусом κ | z | e z + κ . В частности, при j = 3 получаем | τ ( λ ) − e iω z | < κ | z | e z + κ для всех | λ | > , (3.4)откуда следует | τ ( λ ) e − iω z − | < κ | z | e κ для всех | λ | > , что дает асимптотику (1.19) для j = 3 . Используя равенства τ = ¯ τ − , τ = ( τ τ ) − , получаем (1.19) для j = 1 , .Кроме того, асимптотика (1.19) показывает, что все функции τ j ( λ ) , j = 1 , , , раз-личны. Предположим, что какая-либо из функций τ j ( λ ) является целой функцией пе-ременной λ . Асимптотика (1.19) показывает, что она является целой функцией порядка и, следовательно, имеет бесконечное число нулей (см., напр., [Le], гл. I.10). Это про-тиворечит равенству τ τ τ = 1 . Таким образом, ни одна из функций τ j не является12елой и тогда τ j – три ветви одной функции τ , аналитической на связной трехлистнойримановой поверхности.ii) Асимптотика (1.19) дает (1.20). Асимптотика (1.20) показывает, что все функции ∆ j ( λ ) , j = 1 , , , различны. Предположим, что какая-либо из функций ∆ j являетсяцелой функцией. Тогда τ j = ∆ j + q ∆ j − является аналитической функцией на дву-листной римановой поверхности, что противоречит утверждению ii). Следовательно,ни одна из функций ∆ j не является целой и тогда ∆ j – три ветви одной функции ∆ ,аналитической на связной трехлистной римановой поверхности.iii) Функция ρ является дискриминантом кубического полинома (1.14) с целыми ко-эффициентами, поэтому ρ - целая функция. Стандартная формула для дискриминанта d кубического полинома − τ + aτ − bτ + 1 дает d = ( ab ) − a + b ) + 18 ab − , откудаследует (1.21).Нам потребуются следующие свойства целых функций D ( e ik , · ) , k ∈ [0 , π ) . Лемма 3.1. i) Каждая из функций D ( e ik , λ ) , k ∈ [0 , π ) , удовлетворяет асимптотике D ( e ik , λ ) = D ( e ik , λ ) (cid:0) O ( | z | − ) (cid:1) при | λ | → ∞ , (3.5) если | z − k − πn | > π , | zω − k + 2 πn | > π для всех n ∈ N , где D ( τ, λ ) = − τ + τ T ( λ ) − τ T ( λ ) + 1 . (3.6) ii) Существует n > такое, что для каждого целого N > n иa) для всех k ∈ [0 , π ) ∪ ( π , π ) функция D ( e ik , · ) имеет ровно N + 1 нуль, с учетомкратности, в круге { λ : | λ | < ( π (2 N + 1)) } ;b) для всех k ∈ [ π , π ] , функция D ( e ik , · ) имеет ровно N нулей, с учетом кратности,в круге { λ : | λ | < (2 πN ) } .Более того, для каждого n > N и для всех k ∈ [0 , π ) функция D ( e ik , · ) имеет ровноодин простой нуль в каждом круге { λ : | z − k − πn | < π } , { λ : | zω − k + 2 πn | < π } .Других нулей эта функция не имеет. Proof. i) Пусть k ∈ [0 , π ) . Из равенств (1.13), (3.6) получаем | D ( e ik , λ ) − D ( e ik , λ ) | = | e ik ( T ( λ ) − T ( λ )) − T ( λ ) + T ( λ ) | для всех λ ∈ C . Оценки (2.13) дают | T ( λ ) − T ( λ ) | κ | z | e z + κ , и тогда | D ( e ik , λ ) − D ( e ik , λ ) | κ | z | e z + κ для всех | λ | > . (3.7)Предположим, что | D (1 , λ ) | > e z , n | λ | > R : (cid:12)(cid:12) z − k − πn (cid:12)(cid:12) > π , (cid:12)(cid:12) zω − k +2 πn (cid:12)(cid:12) > π для всех n ∈ N o (3.8)для некоторого достаточно большого R > . Оценки (3.7) и (3.8) дают (3.5).13окажем (3.8). Используя равенство D ( τ, λ ) = − ( τ − e iz )( τ − e iωz )( τ − e iω z ) , мыполучаем D ( e ik , λ ) = − ( e ik − e iz )( e ik − e iωz )( e ik − e iω z ) = − i e i k sin z − k zω − k zω − k для всех λ ∈ C . Используя стандартную оценку | sin z | > e | Im z | при | z − πn | > π длявсех n ∈ Z (см. [PT], лемма 2.1) в (3.6), мы получаем | D ( e ik , λ ) | > e ( | Im z | + | Im zω | + | Im zω | ) > e z для всех { λ ∈ C : | zω j − k − πn | > , j = 0 , , , n ∈ N } . Учитывая, что неравенства | zω − k ± πn | > , | z − k + 2 πn | > π , | zω − k − πn | > π , n ∈ N , выполнены для всехдостаточно больших | λ | , мы получаем (3.8).ii) Рассмотрим k ∈ [0 , π ) . Доказательство для других значений k аналогично. Пусть N > - достаточно большое и N ′ > N - любое целое число. Введем контуры C α ( r ) = { λ : | z − α | = r } , r > , α > . Пусть λ принадлежит контурам C ( π (2 N + 1)) , C ( π (2 N ′ + 1)) , C k +2 πn (cid:16) π (cid:17) , C ( k − πn ) ω (cid:16) π (cid:17) , n > N. Асимптотика (3.5) дает | D ( e ik , λ ) − D ( e ik , λ ) | = | D ( e ik , λ ) | (cid:12)(cid:12)(cid:12) D ( e ik , λ ) D ( e ik , λ ) − (cid:12)(cid:12)(cid:12) = | D ( e ik , λ ) | O ( | z | − ) < | D ( e ik , λ ) | на всех контурах. По теореме Руше D ( e ik , · ) имеет столько же нулей, сколько D ( e ik , · ) вкаждой из ограниченных областей и в оставшейся неограниченной области. Поскольку D ( e ik , · ) имеет ровно один простой нуль в каждой точке (2 πn + k ) , n ∈ Z , и N ′ > N может быть выбрано произвольно большим, мы получаем нужный результат. H ( k ) Если p = q = 0 , то каждый оператор H ( k ) = i∂ , k ∈ [0 , π ) , действующий в L (0 , ,самосопряжен на области определения D ( H ( k )) = (cid:26) f, f ′′′ ∈ L (0 ,
1) : f ( j ) (1) = e ik f ( j ) (0) для всех j = 0 , , (cid:27) . Собственные значения оператора H ( k ) , k ∈ [0 , π ) , все простые и равны λ n ( k ) = (2 πn + k ) , n ∈ Z . Соответствующие собственные функции ψ n,k = e i (2 πn + k ) t образуют ортонор-мированный базис в L (0 , . Лемма 4.1. i) Каждый оператор H ( k ) , k ∈ [0 , π ) , – самосопряженный. i) Оператор H ( k ) , k ∈ [0 , π ) , имеет дискретный спектр σ ( H ( k )) = { λ ∈ R : e ik – собственное значение M (1 , λ ) } . (4.1) Его резольвента ( H ( k ) − λ ) − , λ ∈ C \ σ ( H ( k )) , является оператором Гильберта-Шмидта и имеет вид (cid:0) ( H ( k ) − λ ) − f (cid:1) ( t ) = i Z R k, ( t, s, λ ) f ( s ) ds, t ∈ [0 , , (4.2) где R k ( t, s, λ ) = (cid:0) R k,jk ( t, s, λ ) (cid:1) j,k =1 = M ( t, λ ) (cid:16) χ ( t − s )11 − (cid:0) M (1 , λ ) − e ik (cid:1) − M (1 , λ ) (cid:17) M − ( s, λ ) , (4.3) χ ( t ) = ( , t > , t < . Более того, при достаточно большом α > резольвента ( H ( k ) − iα ) − является аналитической операторнозначной функцией переменной k в некото-рой окрестности интервала [0 , π ] в C .iii) Собственные функции ψ n,k , n ∈ Z , оператора H ( k ) , k ∈ [0 , π ) , с собственнымизначениями λ n ( k ) образуют ортонормированный базис в L (0 , . Большие по модулюсобственные значения λ n ( k ) – простые. Занумеруем λ n ( k ) в порядке возрастания ... λ − ( k ) λ ( k ) λ ( k ) λ ( k ) ... с учетом кратности. Верна асимптотика λ n ( k ) = (cid:0) πn + k (cid:1) (cid:0) O ( n − ) (cid:1) при n → ±∞ (4.4) равномерно по k . Доказательство. i) Введем следующие операторы в L (0 , : H + = i∂ + i∂p + ip∂ + q, D ( H + ) = n y ∈ L (0 ,
1) : i ( y ′′ + py ) ′ + ipy ′ + qy ∈ L (0 , , y ′′ , ( y ′′ + py ) ′ ∈ L ([0 , o и H − , который является сужением H + на область D ( H − ) = n y ∈ D ( H + ) : y (0) = y (1) = y ′ (0) = y ′ (1) = ( y ′′ + py )(0) = ( y ′′ + py )(1) = 0 o . Оператор H − – плотно определенный симметрический оператор с индексом дефекта (3 , и H + = H ∗− , H − = H ∗ + , см. [GM]. Введем линейные отображения Γ , Γ : D ( H + ) → C равенствами Γ y = i ( y ′′ + py )(1) − i ( y ′′ + py )(0) y ′ (1) − iy ′ (0) , Γ y = y (1) y (0) i y ′ (1) − i y ′ (0) . (4.5)15алее мы используем следующий результат из [GM]:
1) Пусть A – унитарный оператор в C . Тогда сужение оператора H + на множе-ство функций y из D ( H + ) , удовлетворяющих условию ( A − )Γ y + i ( A + 11 )Γ y = 0 , (4.6) является самосопряженным расширением H A оператора H − .2) Для каждого самосопряженного расширения e H оператора H − существует уни-тарный оператор A в C такой, что e H = H A .3) Соотношение между множеством { A } унитарных операторов в C и множе-ством { h A } самосопряженных расширений H − является биекцией. Подберем унитарный оператор A так, чтобы условия (4.6) для оператора H A давалиусловия (1.5) для оператора H ( k ) . Пусть k ∈ [0 , π ) и пусть оператор A имеет вид A = − e ik − e − ik ia + bia − b , a = ie ik + 1 , b = 2 i − e ik + 2 − i . (4.7)Равенство ( ia + bia − b ) − = ( ia + bia − b ) показывает, что A – унитарный оператор. Подставляя (4.7)и (4.5) в равенство (4.6), мы получаем − − e ik − e − ik − bia − b i ( y ′′ + py )(1) − i ( y ′′ + py )(0) y ′ (1) − iy ′ (0) + − e ik − e − ik i aia − b iy (1) iy (0) i − y ′ (1) + − i y ′ (0) = 0 , что равносильно yy ′ y ′′ + py (1) = e ik yy ′ y ′′ + py (0) . (4.8)Сравнивая (4.8) с (1.5), заключаем, что H A = H ( k ) , где A определен равенством (4.7).Поскольку A – унитарный, H A и, следовательно, H ( k ) – самосопряженный.ii) Решения уравнения iy ′′′ + ( py ) ′ + py ′ + ( q − λ ) y = f удовлетворяют равенству Y ( t ) = M ( t, λ ) Y (0) + M ( t, λ ) Z t M − ( s, λ ) F ( s ) ds, Y = yy ′ y ′′ + py , F = if , (4.9)где ( t, λ ) ∈ R × C . Условия (4.8) дают M (1 , λ ) Y (0) + M (1 , λ ) Z M − ( s, λ ) F ( s ) ds = e ik Y (0) . (4.10)Пусть оператор ( M (1 , λ ) − e ik ) − ограничен для некоторого λ ∈ C . Тогда из равенства(4.10) имеем Y (0) = − (cid:0) M (1 , λ ) − e ik (cid:1) − M (1 , iα ) Z M − ( s, λ ) F ( s ) ds. Y ( t ) = Z R k ( t, s, λ ) F ( s ) ds для всех t ∈ R , (4.11)откуда следует (4.2).Матричнозначная функция M абсолютно непрерывна по t . Поскольку det M ( t, λ ) =1 , функция M − также абсолютно непрерывна. Тогда равенства (4.2), (4.3) показыва-ют, что резольвента оператора H ( k ) является оператором Гильберта-Шмидта. Следо-вательно, оператор H ( k ) имеет дискретный спектр.Пусть λ – собственное значение оператора H ( k ) . Тогда мы имеем e ik yy ′ y ′′ + py (0) = yy ′ y ′′ + py (1) = M (1 , λ ) yy ′ y ′′ + py (0) . Следовательно, λ является нулем функции D ( e ik , λ ) = det( M (1 , λ ) − e ik ) . Обратно,пусть λ – нуль функции D ( e ik , λ ) . Тогда матрица M (1 , λ ) имеет собственный вектор ( x , x , x ) ⊤ , соответствующий собственному значению e ik . Решение y уравнения (1.8),удовлетворяющее начальным условиям y ( j − (0) = x j , j = 1 , , , дает собственнуюфункцию оператора H ( k ) . Таким образом, λ – собственное значение H ( k ) , откуда сле-дует (4.1).Пусть λ = iα с некоторым достаточно большим α > . Тогда z = e i π α , α > ,откуда следует Re iz = Re iωz = − α , Re iω z = α . Асимптотики (1.19) показывают, что τ j ( λ ) = e − α (1 + O ( α − )) , j = 1 , , τ ( λ ) = e α (1 + O ( α − )) при α → + ∞ . Таким образом, при достаточно больших α > собственные значения τ j ( iα ) , j = 1 , , ,матрицы M (1 , iα ) лежат далеко от единичной окружности. Тогда оператор ( M (1 , iα ) − e ik ) − аналитически зависит от k в некоторой окрестности интервала [0 , π ] . Из ра-венства (4.2) следует, что резольвента ( H ( k ) − iα ) − является аналитической оператор-нозначной функцией переменной k в этой окрестности.iii) Резольвента оператора H ( k ) является компактным оператором. Как известно(см., напр., [R], гл. 12.5) в этом случае собственные функции образуют ортонормиро-ванный базис.Равенство T = τ + τ + τ и асимптотика (1.19) дают T ( λ ) = e iω z (cid:0) O ( z − ) (cid:1) при λ → ±∞ , T ( λ ) = (cid:0) O ( z − ) (cid:1) ( e − iωz при λ → + ∞ e − iz при λ → −∞ .
17з равенства (1.13) получаем D ( e ik , λ ) = e i k e iω z (cid:0) O ( z − ) (cid:1) − e ik e − iωz (cid:0) O ( z − ) (cid:1) = 2 ie i k + √ z (cid:16) sin k − z O ( z − ) (cid:17) (4.12)при λ → + ∞ и D ( e ik , λ ) = e i k e iω z (cid:0) O ( z − ) (cid:1) − e ik e − iz (cid:0) O ( z − ) (cid:1) = 2 ie i k + √ | z | (cid:16) sin k + | z | O ( z − ) (cid:17) (4.13)при λ → −∞ равномерно по k ∈ [0 , π ] . Множество собственных значений λ n ( k ) опера-тора H ( k ) вещественно и совпадает с множеством нулей функции D ( e ik , · ) . Из леммы 3.1ii) следует, что большие по модулю нули D ( e ik , · ) – простые. Кроме того, λ n ( k ) = (2 πn + k + δ n ) , | δ n | < π для всех достаточно больших | n | . Подставляя z = λ n ( k ) = 2 πn + k + δ n в (4.12), (4.13), мы получаем δ n = O ( n − ) при n → ±∞ , что дает асимптотику (4.4). Лемма 4.2. i) Операторнозначная функция H ( · ) вещественно аналитична в смыслеКато в некоторой окрестности интервала [0 , π ] в C . Кроме того, H ( k ) и H (2 π − k ) антиунитарно эквивалентны по отношению к обычному комплексному сопряжению.В частности, их собственные значения равны и соответствующие собственные функ-ции комплексно сопряжены.ii) Для k ∈ (0 , π ) собственные значения оператора H ( k ) имеют кратность или . Кроме того, для каждого n ∈ Z существует конечное число m n > значений k ℓ ∈ (0 , π ) , ℓ = 1 , ..., m n , таких, что λ n ( k ℓ ) есть собственное значение кратности оператора H ( k ℓ ) . Каждая функция λ n ( · ) , n ∈ Z , непрерывна на [0 , π ) , аналитична инепостоянна на каждом из интервалов (0 , k ) , ( k m n , π ) , ( k ℓ , k ℓ +1 ) , ℓ = 1 , ..., m n − .iii) Пусть n ∈ Z . Тогда L (0 , -значная функция ψ n,k непрерывна по k на [0 , π ) ивещественно аналитична по k на каждом из интервалов (0 , k ) , ( k m n , π ) , ( k ℓ , k ℓ +1 ) , ℓ =1 , ..., m n − . Замечание.
Утверждение ii) леммы о том, что функции λ n ( · ) , n ∈ Z , не могут бытьпостоянными, является ключевым для доказательства абсолютной непрерывности спек-тра оператора H . Доказательство. i) Резольвента ( H ( k ) − iα ) − при достаточно большом α > являет-ся аналитической операторнозначной функцией переменной k в некоторой окрестностиинтервала [0 , π ] в C . Следовательно, операторы H ( k ) образуют аналитическое семей-ство в смысле Като в этой окрестности, см. [RS], гл. XII.2. Определение (1.5) оператора H ( k ) показывает, что H ( k ) и H (2 π − k ) антиунитарно эквивалентны.ii) Напомним следующий известный результат, см. [Ka], теорема VII.1.8: Если семейство операторов A ( k ) аналитично (в смысле Като) в окрестности нуля,то любая конечная система собственных значений оператора A ( k ) представляетсяветвями одной или нескольких аналитических функций, имеющих самое большее ал-гебраические особенности в нуле. По лемме 3.1 ii) существует N > , не зависящее от k , такое, что все собственныезначения λ n ( k ) , k ∈ [0 , π ) , | n | > N , – простые. Отсюда следует, что каждая функция18 n ( · ) , | n | > N , аналитична на [0 , π ) . Применяя вышеприведенный результат к конеч-ной системе собственных значений λ n ( k ) , | n | N , собственных значений оператора H ( k ) , k ∈ [0 , π ) , получаем, что каждая функция λ n ( · ) , | n | N , непрерывна и кусочноаналитична на [0 , π ) .Покажем, что любое собственное значение λ n ( k ) , n ∈ N , – простое для всех k ∈ (0 , π ) , за исключением конечного числа значений k . Напомним, что число различныхсобственных значений M (1 , λ ) равно 3 независимо от λ , за исключением некоторых спе-циальных точек λ ∈ C . В каждом компактном подмножестве в C имеется лишь конеч-ное число таких исключительных точек. Если λ – вырожденное собственное значение H ( k ) , то e ik является кратным собственным значением матрицы M (1 , λ ) и λ – исключи-тельная точка. Предположим, что существует бесконечное число значений k ℓ ∈ (0 , π ) ,таких, что λ n ( k ℓ ) (с некоторым фиксированным n ∈ Z ) есть вырожденное собственноезначение. Тогда множество { k ℓ , ℓ ∈ N } имеет по крайней мере одну предельную точ-ку k = lim ℓ →∞ k ℓ ∈ [0 , π ] и мы имеем: либо a) lim ℓ →∞ λ n ( k ℓ ) = ∞ , либо b) множество { λ n ( k ℓ ) , ℓ ∈ N } имеет конечный предел. Асимптотика (4.4) показывает, что a) невозмож-но. Поскольку в каждом компактном подмножестве в C имеется лишь конечное числоисключительных значений, b) также невозможно. Таким образом, существует конечноечисло m n > значений k ℓ ∈ (0 , π ) таких, что λ n ( k ℓ ) есть вырожденное собственной зна-чение оператора H ( k ℓ ) . Функция λ n ( · ) непрерывна на [0 , π ) и аналитична на каждомиз интервалов (0 , k ) , ( k ℓ , k ℓ +1 ) , ( k m n , π ) .Если λ – собственное значение H ( k ) кратности 3, то мультипликатор τ = e ik имееткратность 3. Равенство (1.14) показывает, что в этом случае τ = 1 , откуда следует k = 0 .Предположим, что для некоторого n ∈ Z функция λ n ( k ) = c = const на некоторомнепустом интервале ( α, β ) ⊂ [0 , π ) , и пусть A = T ( c ) . Тогда из (1.13) следует равенство − e i k + e i k A − e ik A + 1 = 0 для всех k ∈ ( α, β ) . (4.14)Выражая отсюда e ik по формулам Кардано, мы получаем k = const , то есть равенство(4.14) не может выполняться для всех k ∈ ( α, β ) . Полученное противоречие доказываетутверждение.iii) Результат следует из i), ii) и теоремы Като-Реллиха, см. [RS], теорема XII.8. H Обозначим через C ∞ ( R ) (плотное в L ( R ) ) множество гладких функций на R с ограни-ченным носителем. Лемма 5.1. i) Продолжим ψ n,k , ( n, k ) ∈ Z × [0 , π ) , с [0 , на R равенством ψ n,k ( t +1) = e ik ψ n,k ( t ) . Для f ∈ C ∞ ( R ) введем e f n ( k ) = Z R f ( t ) ψ n,k ( t ) dt. (5.1)19 ерны равенства k f k = 12 π X n ∈ Z Z π | e f n ( k ) | dk, f ( t ) = 12 π X n ∈ Z Z π e f n ( k ) ψ n,k ( t ) dk, t ∈ R . (5.2) ii) Оператор H = U − R ⊕ [0 , π ) H ( k ) dk π U – самосопряженный на области D ( H ) = D ( H ) , где область D ( H ) определена в (1.2). Кроме того, оператор H удовлетворяетравенству ( g H f ) n ( k ) = λ n ( k ) e f n ( k ) для всех ( n, k ) ∈ Z × [0 , π ) , f ∈ D ( H ) , (5.3) где операция e считается продолженной на все L ( R ) по непрерывности. Доказательство.
Напомним, что унитарный оператор U : L ( R ) → H действует поформуле u k ( t ) = ( U f ) k ( t ) = X ℓ ∈ Z e − iℓk f ( t + ℓ ) . (5.4)Здесь H = R ⊕ [0 , π ) H ′ dk π , H ′ = L ([0 , , dt ) и введем скалярное произведение ( · , · ) инорму k · k в гильбертовом пространстве H ′ .i) Для f ∈ C ∞ ( R ) сумма в (5.4) конечна и u k удовлетворяет равенству u k ( t + 1) = e − ik u k ( t ) , f ( t ) = 12 π Z π u k ( t ) dk для всех t ∈ R . (5.5)Кроме того, e f n ( k ) = Z X ℓ ∈ Z f ( t + ℓ ) ψ n,k ( t + ℓ ) dt = Z X ℓ ∈ Z e − ikℓ f ( t + ℓ ) ψ n,k ( t ) dt = Z u k ( t ) ψ n,k ( t ) dt. Поскольку ψ n,k образуют ортонормированный базис в L (0 , , мы имеем X n ∈ Z | e f n ( k ) | = Z | u k ( t ) | dt, u k ( t ) = X n ∈ Z e f n ( k ) ψ n,k ( t ) для всех t ∈ [0 , . (5.6)Унитарность U дает k f k = k u k H = π R π dk R | u k ( t ) | dt. Из этого равенства и первогоравенства в (5.6) следует первое равенство в (5.2). Подставляя второе равенство в (5.6)во второе равенство в (5.5), получаем второе равенство в (5.2).ii) Оператор A = R ⊕ [0 , π ) H ( k ) dk π на функциях из области определения D ( A ) = { u ∈ H : u k ∈ D ( H ( k )) для всех k ∈ [0 , π ) , Z π k H ( k ) u k k dk < ∞} – самосопряженный, см. [RS], теорема XIII.85. Тогда H = U − AU самосопряжен наобласти D ( H ) = U − D ( A ) . 20окажем, что D ( H ) = D ( H ) , где D ( H ) – область, заданная равенством (1.2).Пусть f ∈ D ( H ) . Из равенства (1.6) следует, что u k = ( U f )( k ) ∈ D ( H ( k )) для всех k ∈ [0 , π ) . Кроме того, мы имеем hu k = ( U ( hf ))( k ) , где h = i ( ∂ + p ) ∂ + i∂p + q .Тогда π R π k H ( k ) u k k dk = k hf k . Из hf ∈ L ( R ) следует R π k H ( k ) u k k dk < ∞ .Таким образом, u = U f ∈ D ( A ) и, следовательно, U D ( H ) ⊂ D ( A ) , откуда имеем D ( H ) ⊂ U − D ( A ) = D ( H ) . Обратно, пусть u ∈ D ( A ) . Тогда u k ∈ D ( H ( k )) длявсех k ∈ [0 , π ) и равенство f ( t ) = π R π u k ( t ) dk дает f ′ , f ′′ + pf ∈ AC ( R ) . Кро-ме того, R π k H ( k ) u k k dk < ∞ . Используя унитарность U , отсюда получаем k hf k = π R π k H ( k ) u k k dk < ∞ , что означает hf ∈ L ( R ) . Таким образом f = U − A ∈ D ( H ) имы имеем U − D ( A ) = D ( H ) ⊂ D ( H ) . Следовательно, D ( H ) = D ( H ) .Докажем (5.3). Пусть f ∈ D ( H ) ∩ C ∞ ( R ) . Известно, что множество D ( H ) ∩ C ∞ ( R ) плотно в L ( R ) (см., напр., [EM], Appendix A). Равенства (5.1), (1.6) дают ^ ( H f ) n ( k ) = Z R ( H f )( t ) ψ n,k ( t ) dt = X ℓ ∈ Z Z ( H f )( t + ℓ ) ψ n,k ( t ) e − iℓk dt = (( U H f )( k ) , ψ n,k ) (5.7)и это равенство по непрерывности может быть продолжено на все множество f ∈ D ( H ) .Из определения H следует ( U H f )( k ) = ( AU f )( k ) = H ( k ) u k . Подставляя это равенствов (5.7), мы получаем ^ ( H f ) n ( k ) = ( H ( k ) u k , ψ n,k ) = λ n ( k )( u k , ψ n,k ) , f ∈ D ( H ) . Из второго равенства (5.6) имеем ( u k , ψ n,k ) = e f n ( k ) , откуда следует (5.3). Замечания.
1) В предложении 1.1 мы доказываем, что H = H . Функции ψ n,k , ( n, k ) ∈ Z × [0 , π ) , продолженные на все t ∈ R равенством ψ n,k ( t + 1) = e ik ψ n,k ( t ) , являютсярешениями Флоке для оператора H . Равенства (5.2) дают разложение функции f винтеграл решений Флоке и равенство Парсеваля для этого разложения. Равенство (5.3)показывает существование разложения по собственным функциям для H .2) Результаты, аналогичные результатам леммы 5.1, хорошо известны для операторавторого порядка, см., напр., [RS], гл. XIII.16. Доказательство предложения 1.1.
Пусть f ∈ D ( H ) = D ( H ) . Интегрирование почастям дает ( g Hf ) n ( k ) = Z R ( Hf )( t ) ψ n,k ( t ) dt = Z R f ( t ) (cid:0) ( i∂ + ip∂ + i∂p + q ) ψ n,k (cid:1) ( t ) dt = λ n ( k ) e f n ( k ) (5.8)для всех ( n, k ) ∈ Z × [0 , π ) . Равенства (5.3), (5.8) дают ( ^ ( H − H ) f ) n ( k ) = 0 для всех ( n, k ) ∈ Z × [0 , π ) . Тогда из равенства (5.2) имеем ( H − H ) f = 0 для всех f ∈ D ( H ) ,следовательно, H = H . Из леммы 5.1 ii) следует самосопряженность H и равенство(1.7).В теореме 1.4 мы, наряду с (1.22), доказываем равенство σ ( H ) = ∪ n ∈ Z λ n ([0 , π )) . (5.9)21 оказательство теоремы 1.4. i) Мы используем следующие известные результаты,см. [RS], теоремы XIII.85,86. Пусть A = R [0 , π ) H ( k ) dk π и для каждого k ∈ [0 , π ) H ( k ) – самосопряженные опе-раторы в L (0 , . Предположим, что нам даны L (0 , -значные функции { ψ n ( · ) } n ∈ Z на [0 , π ] , непрерывные на [0 , π ) , кусочно вещественно аналитические на (0 , π ) , икомплекснозначные функции λ n ( · ) , непрерывные на [0 , π ) , кусочно аналитические на [0 , π ) , такие, что:a) каждая функция λ n ( · ) непостоянна на любом подинтервале в [0 , π ) ;b) H ( k ) ψ n ( k ) = λ n ( k ) ψ n ( k ) для всех ( n, k ) ∈ Z × [0 , π ) ;c) для каждого k ∈ [0 , π ) набор { ψ n ( k ) } n ∈ Z образует ортонормированный базис в L (0 , .Тогда A имеет чисто абсолютно непрерывный спектр и σ ( A ) = ∪ k ∈ [0 , π ) σ ( H ( k )) . Из этих результатов и лемм 4.1, 4.2 следует, что спектр оператора H чисто абсолютнонепрерывен и удовлетворяет (5.9) и первому равенству в (1.22). Равенства ∆ j = ( τ j + τ − j ) , j = 1 , , , дают второе равенство в (1.22).ii) Теорема 1.2 ii) показывает, что σ ( H ) = R и для любого λ ∈ σ ( H ) имеется толькодве возможности: a) ровно один мультипликатор τ ( λ ) лежит на единичной окружности;b) все три мультипликатора лежат на единичной окружности.Рассмотрим случай a): ровно один мультипликатор τ ( λ ) лежит на единичной окруж-ности для всех λ ∈ ( α, β ) с некоторыми α < β . Тогда ( α, β ) ∈ σ ( H ) и равенство (5.3)показывает, что спектральный проектор χ ( α,β ) ( H ) унитарно эквивалентен операторуумножения на λ ∈ ( α, β ) . Поэтому спектр H в интервале ( α, β ) имеет кратность 1.Рассмотрим случай b): все три мультипликатора лежат на единичной окружностидля всех λ ∈ ( α, β ) с некоторыми α < β . Тогда спектральный проектор χ ( α,β ) ( H ) уни-тарно эквивалентен оператору умножения на λ , λ ∈ ( α, β ) . Следовательно, спектр H в интервале ( α, β ) имеет кратность 3.Асимптотика (1.19) показывает, что ровно один мультипликатор удовлетворяет усло-вию (1.22) при λ ∈ R \ [ − R, R ] с достаточно большим R > , значит спектр имееткратность 1 при таких λ .Пусть τ j = e ik j для всех j = 1 , , . По теореме 1.3 i) все k j ( λ ) , j = 1 , , , раз-личны при всех λ ∈ C , кроме некоторых исключительных значений λ , и число та-ких исключительных значений конечно в каждой конечной области. Равенства (1.17) и e i ( k + k + k ) = 1 дают ρ = ( e ik − e ik ) ( e ik − e ik ) ( e ik − e ik ) = −
64 sin k − k k − k k − k . (5.10)Если спектр в точке λ имеет кратность 3, то, по теореме 1.2 iii), k j ( λ ) ∈ R для всех j = 1 , , , и (5.10) дает ρ ( λ ) . Если спектр в точке λ имеет кратность 1, то ровноодно значение k j , скажем, k , вещественно и k = k - невещественны. Из равенства(5.10) следует ρ ( λ ) > , откуда получаем (1.23).iii) Доказательство утверждения стандартное, приводим его для полноты. Пусть λ ∈ R удовлетворяет условиям: ∆ j ( λ ) ∈ ( − , для некоторого j = 1 , , , λ не явля-ется точкой ветвления функции ∆ j и ∆ ′ j ( λ ) = 0 . Тогда ∆ j ( λ ) = ∆ j ( λ ) + ∆ ′′ j ( λ )( λ − ) + O (( λ − λ ) ) при λ − λ → . Рассмотрим отображение λ → ∆ j ( λ ) в некоторойокрестности точки λ . Любой угол, образованный линиями, начинающимися в точке λ , переводится этим отображением в угол, в или более раз больший. Тогда отрезок [∆ j ( λ ) − δ, ∆ j ( λ ) + δ ] ⊂ [ − , для некоторого достаточно малого δ > имеет про-образ, который не может целиком лежать на вещественной оси. Из равенства (1.22)следует, что H имеет невещественный спектр, что противоречит самосопряженности.Таким образом, ∆ ′ j ( λ ) = 0 , что и доказывает утверждение.Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и наукиРоссийской Федерации, ГК № 14.740.11.0581. Список литературы [A1] Amour, L. Determination of a third-order operator from two of its spectra, SIAM J. Math. Anal.,30 (1999), 1010–1028.[A2] Amour, L. Isospectral flows of third order operators. SIAM J. Math. Anal., 32 (2001), no. 6,1375–1389.[BBK] Badanin, A.; Br¨uning, J.; Korotyaev, E. The Lyapunov function for Schr¨odinger operators with aperiodic × matrix potential. J. Funct. Anal., 234 (2006), no. 1, 106–126.[BK1] Badanin, A.; Korotyaev, E. Spectral asymptotics for periodic fourth-order operators, Int. Math. Res.Not. , 45, 2005, 2775-2814.[BK2] Badanin, A.; Korotyaev, E. Spectral estimates for periodic fourth order operators. Algebra i Analiz,22:5 (2010), 1-48.[BK3] Badanin, A.; Korotyaev, E. Even order periodic operator on the real line. Int. Math. Res. Not., 2011,53 pages.[BK4] Badanin, A.; Korotyaev, E. Third order operator with small periodic coefficients. Preprint,arXiv:1105.3545, 2011.[BK5] Badanin, A.; Korotyaev, E. Spectral asymptotics for the third order operator with periodiccoefficients. Preprint, 2011.[BDT] Beals, R., Deift, P., Tomei, C. Direct and inverse scattering on the line, Nathematical survays andmonograph series, No. 28, AMS, Providence, 1988.[Ca] Carlson, R. Eigenvalue estimates and trace formulas for the matrix Hill’s equation. J. DifferentialEquations, 167 (2000), no. 1, 211–244.[CL] Clark, S.; Gesztesy, F.; Holden H.; Levitan, B. Borg-type theorem for matrix-valued Schr¨odingerand Dirac operators, J. Diff. Eqs., 167 (2000), 181-210.[CK1] Chelkak, D.; Korotyaev, E. Spectral estimates for Schr¨odinger operator with periodic matrixpotentials on the real line, Int. Math. Res. Not., (2006), Art. ID 60314, 41 pp.[CK2] Chelkak, D.; Korotyaev, E. Weyl-Titchmarsh functions of vector-valued Sturm-Liouville operatorson the unit interval, J. Funct. Anal., 257 (2009), 1546—1588.[CK3] Chelkak, D.; Korotyaev, E. Parametrization of the isospectral set for the vector-valued Sturm-Liouville problem, J. Funct. Anal., 241(2006), 359-373.[DTT] Deift, P., Tomei, C., Trubowitz, E. Inverse scattering and the Boussinesq equation, Comm. on Pureand Appl. Math., 35 (1982), 567-628.[D] Дубровин, Б.А. Обратная задача теории рассеяния для периодических конечнозонных потен-циалов Функц. анализ и его прил., 9:1 (1975), 65–66.[DS] Данфорд, Н., Шварц, Дж. Т. Линейные операторы. II. Спектральная теория. Самосопряжен-ные операторы в гильбертовом пространстве. М., Мир, 1966, 1063 с.[EM] Everitt, W., Markus, L. Boundary Value Problems and Symplectic Algebra for Ordinary Differentialand Quasi-Differential Operators. AMS, 1999. Fo] Forster, O. Lectures on Riemann surfaces. Graduate Texts in Mathematics, 81, Springer -Verlag,New York, 1991.[Ge] Гельфанд, И.М. Разложение по характеристическим функциям уравнения с периодическимикоэффициентами. ДАН СССР, 73 (1950), 1117–1120.[GL] Gel’fand, I.M.; Lidskii, V.B. On the structure of the regions of stability of linear canonical systemsof differential equations with periodic coefficients. (Russian) Uspehi Mat. Nauk (N.S.), 10 (1955),no. 1(63), 3–40.[GM] Горюнов А.С., Михайлец В.А. О расширениях симметрических квазидифференциальных опе-раторов нечетного порядка. Доклады Национальной академии наук Украины, 2009, № 9, 27-31.[GK] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гиль-бертовом пространстве. Наука, Москва, 1965.[GT] Garnett, J., Trubowitz, E. Gaps and bands of one dimensional periodic Schrodinger operators,Comment. Math. Helv., 59, no.2, 258-312, 1984.[HJ] Хорн, Р., Джонсон, Ч. Матричный анализ. М., Мир, 1989, 666 с.[IM] Итс, А. Р., Матвеев, В. Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-солитонныерешения уравнения Кортевега–де Фриса. ТМФ, 23:1 (1975), 51–68.[KK] Kargaev, P., Korotyaev, E. The inverse problem for the Hill operator, a direct approach, Invent.Math., 129, no.3, 567-593, 1997.[Ka] Като, Т. Теория возмущений линейных операторов. Мир, Москва, 1972.[K1] Korotyaev, E. Spectral estimates for matrix-valued periodic Dirac operators, Asymptot. Anal., 59(2008), no. 3-4, 195–225.[K2] Korotyaev, E. Conformal spectral theory for the monodromy matrix, Trans. Amer. Math. Soc., 362(2010), 3435–3462.[K3] Korotyaev, E. Characterization of the spectrum of Schr¨odinger operators with periodic distributions.Int. Math. Res. Not. 37 (2003) 2019-2031.[Kr] Крейн, М. Г. Основные положении теории λ -зон устойчивости канонической системы линейныхдифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Памяти А. А. Андронова,Изд. АН СССР, 1955, 413–498.[Le] Левин, Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956, 632 с.[MO] Марченко, В. А., Островский, И. В. Характеристика спектра оператора Хилла. Матем. сб.,97(139):4(8) (1975), 540–606.[McK] McKean, H. Boussinesq’s equation on the circle, Com. Pure and Appl. Math., 34(1981), 599-691[McG] McGarvey, D. C. Differential operators with periodic coefficients in L p ( −∞ , ∞ ) , J. Math. Anal.Appl. 11 (1965), 564–596.[P1] Papanicolaou V. The Spectral Theory of the Vibrating Periodic Beam, Commun. Math. Phys. 170,359 – 373, 1995.[P2] Papanicolaou, V. The Periodic Euler-Bernoulli Equation, Transactions of the AmericanMathematical Society 355, No. 9, 3727–3759, 2003.[PT] P¨oschel J.; Trubowitz E. Inverse spectral theory. Boston, Academic Press, 1987.[RS] Reed, M.; Simon, B. Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators, AcademicPress, New York-London, 1978.[R] Рихтмайер, Р. Принципы современной математической физики. М., Мир, 1982.[Su] Суханов, В. В. Обратная задача для самосопряженного дифференциального оператора на оси.Математический сборник, 137(179) (1988), № 2, 242–259.[Tk] Ткаченко, В. А. Разложения по собственным функциям связанные с одномерными периодиче-скими дифференциальными операторами порядка 2n. Функц. анализ и его прил., 41:1 (2007),66–89., J. Math. Anal.Appl. 11 (1965), 564–596.[P1] Papanicolaou V. The Spectral Theory of the Vibrating Periodic Beam, Commun. Math. Phys. 170,359 – 373, 1995.[P2] Papanicolaou, V. The Periodic Euler-Bernoulli Equation, Transactions of the AmericanMathematical Society 355, No. 9, 3727–3759, 2003.[PT] P¨oschel J.; Trubowitz E. Inverse spectral theory. Boston, Academic Press, 1987.[RS] Reed, M.; Simon, B. Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators, AcademicPress, New York-London, 1978.[R] Рихтмайер, Р. Принципы современной математической физики. М., Мир, 1982.[Su] Суханов, В. В. Обратная задача для самосопряженного дифференциального оператора на оси.Математический сборник, 137(179) (1988), № 2, 242–259.[Tk] Ткаченко, В. А. Разложения по собственным функциям связанные с одномерными периодиче-скими дифференциальными операторами порядка 2n. Функц. анализ и его прил., 41:1 (2007),66–89.