Third Power of the Reversed Dickson Polynomial over Finite Fields
aa r X i v : . [ m a t h . C O ] A p r THIRD POWER OF THE REVERSED DICKSON POLYNOMIALOVER FINITE FIELDS
XIANG-DONG HOU
Abstract.
Let D n (1 , x ) be the n th reversed Dickson polynomial. The powersums P a ∈ F q D n (1 , a ) i , i = 1 ,
2, have been determined recently. In this paperwe give an evaluation of the sum P a ∈ F q D n (1 , a ) . This result implies newnecessary conditions for D n (1 , x ) to be a permutation polynomial over F q . Introduction
Let n ≥ F q denote the finite field with q elements. The n th reversed Dickson polynomial D n (1 , x ) ∈ Z [ x ] is defined by the functional equation D n (1 , x (1 − x )) = x n + (1 − x ) n . Naturally, D n (1 , x ) can be viewed as a polynomial over F q . The reversed Dicksonpolynomial is a descendant of the polynomial D n ( x, y ) ∈ Z [ x, y ] defined by thefunctional equation D n ( x + y, xy ) = x n + y n . The other descendant of D n ( x, y ) is the well known Dickson polynomial D n ( x, a ) ∈ F q [ x ] where a ∈ F q . While Dickson polynomials have been the focus of manyresearchers for over a century (cf. [5]), the significance of reversed Dickson polyno-mials over finite fields was not clear until some ten years ago. In [1], Dillon exploreda connection between reversed Dickson polynomials that are permutations of F m and almost perfect nonlinear (APN) functions over F m . A more comprehensiveapproach to reversed Dickson polynomials as permutation polynomials over finitefields appeared in a recent paper [4]. We are interested in the pairs ( q, n ) for which D n (1 , x ) is a permutation polynomial over F q and we call such pairs desirable [2].As explained in the introduction of [3], when searching for desirable pairs ( q, n ),we may assume 1 ≤ n ≤ q −
2. All known families (ten families) of desirable pairsare listed in Table 1 of [3]. Computer search has confirmed that there are no otherdesirable pairs for q ≤ f : F q → F q is bijective if and only if X a ∈ F q f ( a ) i ( = 0 if 1 ≤ i ≤ q − , = 0 if i = q − . Therefore, an explicit evaluation of the sum P a ∈ F q D n (1 , a ) i for any 1 ≤ i ≤ q − q, n ) to be desirable. The sums Key words and phrases. finite field, permutation polynomial, reversed Dickson polynomial. P a ∈ F q D n (1 , a ) i , i = 1 ,
2, have been determined in [3] for this purpose. In thepresent paper, we give an explicit evaluation of the sum P a ∈ F q D n (1 , a ) . Asexpected, this result implies new necessary conditions for ( q, n ) to be desirable.In Section 2 we recall certain results from [3] to be used in the present paper.The evaluation of the sum P a ∈ F q D n (1 , a ) requires separate treatments of theeven q case and the odd q case. These two cases are covered in Sections 3 and 4respectively. 2. Preliminaries
We first prove a lemma
Lemma 2.1.
Let q = p e , where p is a prime and e > . Let ≤ α, v ≤ q − .Then in F p , (cid:18) q − α − vα (cid:19) = ( − α (cid:18) vα (cid:19) . Proof.
Write α = P e − i =0 α i p i , v = P e − i =0 v i p i , 0 ≤ α i , v i ≤ p −
1. If v i < α i for some i , then (cid:0) vα (cid:1) = 0 and (cid:0) q − α − vα (cid:1) = 0. (The second equation holds since the sum α + ( q − − v ) has carry in base p .) Now assume v i ≥ α i for all 0 ≤ i ≤ e −
1. Then (cid:18) q − α − vα (cid:19) = e − Y i =0 (cid:18) p − α i − v i α i (cid:19) = e − Y i =0 ( − α i (cid:18) v i α i (cid:19) = ( − α (cid:18) vα (cid:19) . (cid:3) Let d n = D n (1 , x ). Since d n ( x (1 − x )) = (cid:2) x n + (1 − x ) n (cid:3) = x n + (1 − x ) n + 3 (cid:2) x (1 − x ) (cid:3) n (cid:2) x n + (1 − x ) n (cid:3) = d n ( x (1 − x )) + 3 (cid:2) x (1 − x ) (cid:3) n d n ( x (1 − x )) , we have(2.1) d n = d n + 3 x n d n . Therefore(2.2) X a ∈ F q d n ( a ) = X a ∈ F q d n ( a ) + 3 X a ∈ F q a n d n ( a ) . In (2.2), the sum P a ∈ F q d n ( a ) has been determined in [3]; the goal of the presentpaper is to evaluate the sum P a ∈ F q a n d n ( a ).By (4.3) of [3],(2.3) q − X n =1 d n t n ≡ t ( t q − − t − h ( t ) q − X k =1 ( t − q − − k t k x k (mod x q − x ) , where(2.4) h ( t ) = ( t − t q − − t q − − t q − t q − − ∈ F p [ t ] ( p = char F q ) . HIRD POWER OF THE REVERSED DICKSON POLYNOMIAL 3
Summing both sides of (2.3) as x runs over F q , we get(2.5) q − X n =2( q − (cid:16) X a ∈ F q d n ( a ) (cid:17) t n = − t q − h ( t ) . Lemma 2.2 ([3, Proposition 4.1]) . Assume that q is even. Then (2.6) h ( t ) = X α,β ≥ α + β ≤ q − (cid:18) α + βα (cid:19) t ( q − − ( α + βq ) . Lemma 2.3.
Assume that q is odd. Then (2.7) h ( t ) = t ( q − + X α,β ≥ β ≤ q − <α + β ≤ q − h α + β (cid:18) q − − α − βq − (cid:19) − (cid:18) α + βα (cid:19)i t ( q − − ( α + βq ) . Proof.
Let f n ( x ) = P j ≥ (cid:0) n j (cid:1) x j . Let n = α + βq , where 0 ≤ α, β ≤ q −
1. When1 ≤ n ≤ q −
2, we have X a ∈ F q d n ( a )= (cid:16) (cid:17) n − X a ∈ F q f n ( a ) (by [3, Proposition 2.1])= (cid:16) (cid:17) n − (cid:16) − (cid:17)h(cid:18) α + βq − (cid:19) − α + β (cid:18) q − − α − βq − − α (cid:19)i (by [3, Theorem 3.1])= − − α − β (cid:18) α + βq − (cid:19) + (cid:18) q − − α − βq − − α (cid:19) . When n = q −
1, since d q − ( x ) ≡ x q − + 1 (mod x q − x ), we have X a ∈ F q d q − ( a ) = − . To sum up, we have(2.8) X a ∈ F q d n ( a ) = − − α − β (cid:18) α + βq − (cid:19) + (cid:18) q − − α − βq − − α (cid:19) if 1 ≤ n ≤ q − , − n = q − . XIANG-DONG HOU
Therefore, h ( t )= − q − X n =2( q − (cid:16) X a ∈ F q d n ( a ) (cid:17) t n − q − (by (2.5))= − ( q − X i =0 (cid:16) X a ∈ F q d q − − i ( a ) (cid:17) t ( q − − i ( n = q − − i )= t ( q − + X ≤ α,β ≤ q − <α + βq ≤ ( q − h α + β (cid:18) q − − α − βq − (cid:19) − (cid:18) α + βα (cid:19)i t ( q − − ( α + βq ) ( i = α + βq and by (2.8)) . In the above sum, if α + β ≥ q , then (cid:0) q − − α − βq − (cid:1) = 0 and (cid:0) α + βα (cid:1) = 0. (The secondequation holds since the sum α + β has carry in base p .) Therefore (2.7) follows. (cid:3) In (2.3) substitute t by xt . We then have q − X n =1 d n x n t n ≡ xt [( xt ) q − − xt − h ( xt ) q − X k =1 ( xt − q − − k ( xt ) k x k (mod x q − x ) ≡ xt (1 − t q − )1 − xt + h ( xt ) q − X k =1 ( xt − q − − k t k x k (mod x q − x ) . Since 11 − xt = X k ≥ x k t k = 1 + q − X k =1 X l ≥ x k + l ( q − t k + l ( q − ≡ q − X k =1 x k t k X l ≥ t l ( q − (mod x q − x )= 1 + 11 − t q − q − X k =1 x k t k , HIRD POWER OF THE REVERSED DICKSON POLYNOMIAL 5 we have q − X n =1 d n x n t n ≡ xt (1 − t q − ) h − t q − q − X k =1 x k t k i + h ( xt ) q − X k =1 ( xt − q − − k t k x k (mod x q − x )= ( t − t q ) x + t q − − t q − − q − X k =1 t k +1 x k +1 + h ( xt ) q − X k =1 ( xt − q − − k t k x k . (2.9)From here on, the even q case and the odd q case have to be considered separately.3. The Even q Case
Assume that q is even. By Lemma 2.2, h ( xt ) = X α,β ≥ α + β ≤ q − (cid:18) α + βα (cid:19) t ( q − − ( α + βq ) x ( q − − ( α + βq ) ≡ X α,β ≥ α + β ≤ q − (cid:18) α + βα (cid:19) t ( q − − ( α + βq ) x q − − ( α + β ) (mod x q − x ) . (3.1)By (2.9) and (3.1), q − X n =1 d n x n t n ≡ ( t − t q ) x + t q − − t q − − q − X k =1 t k +1 x k +1 + X α,β ≥ α + β ≤ q − q − X k =1 (cid:18) α + βα (cid:19) ( xt − q − − k t ( q − +2 k − ( α + βq ) x q − k − ( α + β ) (mod x q − x )= ( t − t q ) x + t q − − t q − − q − X k =1 t k +1 x k +1 + X α,β ≥ α + β ≤ q − q − X k =1 X j (cid:18) α + βα (cid:19)(cid:18) q − − kj (cid:19) ( xt ) q − − k − j t ( q − +2 k − ( α + βq ) x q − k − ( α + β ) = ( t − t q ) x + t q − − t q − − q − X k =1 t k +1 x k +1 + X α,β ≥ α + β ≤ q − q − X k =1 X j (cid:18) α + βα (cid:19)(cid:18) q − − kj (cid:19) t q ( q − k − j − ( α + βq ) x q − k − j − ( α + β ) . XIANG-DONG HOU
Let x vary over F q and sum both sides of the above equation. We get q − X n =1 (cid:16) X a ∈ F q a n d n ( a ) (cid:17) t n = t q − − t q − − t q − + X α,β,j ≥ k ≥ α + β ≤ q − j + k ≤ q − k − j − ( α + β ) ≡ q − (cid:18) α + βα (cid:19)(cid:18) q − − kj (cid:19) t q ( q − k − j − ( α + βq ) = q +1 X l =1 t l ( q − + X α,β,j ≥ k ≥ α + β ≤ q − j + k ≤ q − k − j − ( α + β ) ≡ q − (cid:18) α + βα (cid:19)(cid:18) q − − kj (cid:19) t q ( q − k − j − ( α + βq ) . Therefore, for 1 ≤ n ≤ q − X a ∈ F q a n d n ( a ) = δ n + X α,β,j ≥ k ≥ α + β ≤ q − j + k ≤ q − k − j − ( α + β ) ≡ q − q ( q − k − j − ( α + βq )= n (cid:18) α + βα (cid:19)(cid:18) q − − kj (cid:19) , where(3.3) δ n = ( n ≡ q − , n q − . Proposition 3.1.
Let q be a power of . Let ≤ n ≤ q − and write n = u + vq , ≤ u, v ≤ q − . Then in F , X a ∈ F q a n d n ( a )= δ n + X − ≤ s ≤ X max { s − u + vq − ,v − q +1 }≤ ǫ< min { s − u + vq − +1 ,v } (cid:18) u + v − ( s − ǫ )( q − s − ǫ + 1)( q − − u − v − ǫ (cid:19) . (3.4) Proof.
First note that in the sum on the right side of (3.2), the condition q ( q −
1) + k − j − ( α + βq ) = n is equivalent to k − j − α − u + ( q − − β − v ) q , which isfurther equivalent to ( k − j − α − u = ǫq,q − − β − v + ǫ = 0for some ǫ ∈ Z . Therefore, the conditions on α, β, j, k in that sum can be replaced by(3.5) β ≥ , ≤ k ≤ q − , ≤ α ≤ q − − β, k − j − ( α + β ) = s ( q − , − ≤ s ≤ ,k − j − α − u = ǫq, ǫ ∈ Z ,q − − β − v + ǫ = 0 . HIRD POWER OF THE REVERSED DICKSON POLYNOMIAL 7 (Note. We remind the reader that (3.5) is not equivalent to but weaker than theconditions in the sum in (3.2); the restriction on j is not present in (3.5). However,the relaxation only brings additional zero terms to the sum in (3.2).) We solve (3.5)for β, k, j in terms of α, s, ǫ . The result is(3.6) β = q − ǫ − v,k = ( s − ǫ + 1)( q − − u − v,j = ( s − ǫ + 1)( q − − u − v − α − ǫ, − ≤ s ≤ ,u + vq − − < s − ǫ ≤ u + vq − ,ǫ ≥ v − q + 1 , ≤ α ≤ v − − ǫ. Now (3.2) can be written as δ n + X a ∈ F − q a n d n ( a )= X s,ǫ − ≤ s ≤ u + vq − −
1) + v − ǫ ( s − ǫ + 1)( q − − u − v + v − ǫ (cid:19)(cid:21) (3.7) XIANG-DONG HOU = X s,ǫ − ≤ s ≤ u + vq − −
In (3.4), for each − ≤ s ≤
2, there is at most one ǫ in the specified range.Thus the sum in (3.4) contains at most four terms. More precisely, (3.4) can bestated as follows.When 0 < u + v < q − X a ∈ F q a n d n ( a ) = X − ≤ s ≤ min { ,v − } (cid:18) u + v ( − s + 1)( q − − u − v − s (cid:19) = X − ≤ s ≤ min { ,v − } (cid:18) u + v ( − s + 1)( q − − u − v − s (cid:19) = (cid:18) u q − − u + 1 (cid:19) if v = 0 , (cid:18) u + v q − − u − v + 1 (cid:19) + (cid:18) u + vq − − u − v (cid:19) if v > . (3.8)When q − ≤ u + v < q − X a ∈ F q a n d n ( a ) = δ n + X max {− ,v − q +2 }≤ s ≤ min { ,v } (cid:18) u + v − ( q − − s + 3)( q − − u − v − s + 1 (cid:19) = δ n + X max { ,v − q +2 }≤ s ≤ min { ,v } (cid:18) u + v − ( q − − s + 3)( q − − u − v − s + 1 (cid:19) = v = 0 ,δ n + (cid:18) u + v − ( q − q − − u − v +1 (cid:19) + (cid:18) u + v − ( q − q − − u − v (cid:19) if 1 ≤ v ≤ q − ,δ n + (cid:18) uq − − u (cid:19) if v = q − . (3.9) HIRD POWER OF THE REVERSED DICKSON POLYNOMIAL 9
Theorem 3.2.
Let q be a power of and let ≤ n ≤ q − Write n = u + vq , ≤ u, v ≤ q − , and write n ≡ u ′ + v ′ q (mod q − , ≤ u ′ , v ′ ≤ q − . Then X a ∈ F q d n ( a ) = δ n + X − ≤ s ≤ X max { s − u + vq − ,v − q +1 }≤ ǫ< min { s − u + vq − +1 ,v } (cid:18) u + v − ( s − ǫ )( q − s − ǫ + 1)( q − − u − v − ǫ (cid:19) + (cid:18) q − − u ′ − v ′ q − − u ′ (cid:19) if u ′ + v ′ ≥ q, if u ′ + v ′ < q. (3.10) Proof.
By (2.2), X a ∈ F q d n ( a ) = X a ∈ F q a n d n ( a ) + X a ∈ F q d n ( a ) . In the above, P a ∈ F q a n d n ( a ) is given by (3.4). By [3, Theorem 4.2],(3.11) X a ∈ F q d n ( a ) = (cid:18) q − − u ′ − v ′ q − − u ′ (cid:19) if u ′ + v ′ ≥ q, u ′ + v ′ < q. (cid:3) Corollary 3.3.
In Theorem 3.2 assume q > and ( q, n ) is desirable. Then
By [3, Theorem 2.5], ( n, q −
1) = 3 < q −
1. Thus u + v q − < u + v < q − q − < u + v < q − P a ∈ F q a n d n ( a ) + P a ∈ F q d n ( a ) = P a ∈ F q d n ( a ) = 0, (3.8) and (3.11) yield (3.12); (3.9) and (3.11)yield (3.13). (cid:3) The Odd q Case
Assume that q is an odd prime power. The plan of this section is parallel to thatof Section 3. Starting from the end of Section 2, we proceed to determine the sum P a ∈ F q a n d n ( a ).By Lemma 2.3, h ( xt )= ( xt ) ( q − + X α,β ≥ β ≤ q − <α + β ≤ q − h α + β (cid:18) q − − α − βq − (cid:19) − (cid:18) α + βα (cid:19)i t ( q − − ( α + βq ) x ( q − − ( α + βq ) ≡ t ( q − x q − + X α,β ≥ β ≤ q − <α + β ≤ q − h α + β (cid:18) q − − α − βq − (cid:19) − (cid:18) α + βα (cid:19)i t ( q − − ( α + βq ) x q − − ( α + β ) (mod x q − x ) . (4.1)By (2.9) and (4.1), q − X n =1 d n x n t n ≡ ( t − t q ) x + t q − − t q − − q − X k =1 t k +1 x k +1 + t ( q − x q − + X α,β ≥ β ≤ q − <α + β ≤ q − (cid:20) α + β (cid:18) q − − α − βq − (cid:19) − (cid:18) α + βα (cid:19)(cid:21) t ( q − − ( α + βq ) x q − − ( α + β ) · X k ≥ j ≥ k + j ≤ q − (cid:18) q − − kj (cid:19) ( − j ( xt ) q − − k − j t k x k (mod x q − x ) ≡ ( t − t q ) x + t q − − t q − − q − X k =1 t k +1 x k +1 + X k ≥ j ≥ k + j ≤ q − (cid:18) q − − kj (cid:19) ( − j t q ( q − k − j x q − k − j + X α,β ≥ β ≤ q − <α + β ≤ q − X k ≥ j ≥ k + j ≤ q − (cid:20) α + β (cid:18) q − − α − βq − (cid:19) − (cid:18) α + βα (cid:19)(cid:21) · (cid:18) q − − kj (cid:19) ( − j t q ( q − k − j − ( α + βq ) x q − k − j − ( α + β ) (mod x q − x ) . HIRD POWER OF THE REVERSED DICKSON POLYNOMIAL 11
Let x vary over F q and sum both sides of the above equation. We have q − X n =1 (cid:16) X a ∈ F q a n d n ( a ) (cid:17) t n = − t q − − t q − − t q − − X k ≥ j ≥ k + j ≤ q − k − j ≡ q − (cid:18) q − − kj (cid:19) ( − j t q ( q − k − j − X α,β ≥ β ≤ q − <α + β ≤ q − X k ≥ j ≥ k + j ≤ q − k − j ≡ α + β (mod q − (cid:20) α + β (cid:18) q − − α − βq − (cid:19) − (cid:18) α + βα (cid:19)(cid:21) · (cid:18) q − − kj (cid:19) ( − j t q ( q − k − j − ( α + βq ) . Thus, for 1 ≤ n ≤ q − X a ∈ F q a n d n ( a ) = − δ n − I − II + III , where δ n is defined in (3.3) and(4.2) I = X k ≥ j ≥ k + j ≤ q − k − j ≡ q − q ( q − k − j = n (cid:18) q − − kj (cid:19) ( − j , (4.3)II = X α,β ≥ β ≤ q − <α + β ≤ q − X k ≥ j ≥ k + j ≤ q − k − j ≡ α + β (mod q − q ( q − k − j − ( α + βq )= n α + β (cid:18) q − − α − βq − (cid:19)(cid:18) q − − kj (cid:19) ( − j , (4.4) III = X α,β ≥ β ≤ q − <α + β ≤ q − X k ≥ j ≥ k + j ≤ q − k − j ≡ α + β (mod q − q ( q − k − j − ( α + βq )= n (cid:18) α + βα (cid:19)(cid:18) q − − kj (cid:19) ( − j . We now determine the sums I, II and III separately. Write n = u + vq , 0 ≤ u, v ≤ q − Lemma 4.1.
Assume ≤ n ≤ q − . We have (4.5) I = X max {− ,v − q + u + vq − }
In the sum in (4.2), the conditions on k and j can be replaced by(4.6) < k ≤ q − , k − j = s ( q − , ≤ s ≤ ,q ( q −
1) + k − j = u + vq. (Note. In (4.6) we dropped the restriction on j . However, this relaxation has noeffect on the sum in (4.2) since only additional zero terms are brought in.) Solving(4.6) for k and j in terms of s , we get k = ( s − v + q )( q − − u − v,j = ( s − v + 2 q )( q − − u + v ) , max {− , v − q + u + vq − } < s ≤ v − q + u + vq − . Thus I = X max {− ,v − q + u + vq − }
The sum in (4.5) has at most one term. More precisely, when 0 < u + v We have (4.9)II = X ≤ s ≤ { ,v − s + u + vq − } <α ≤ min { q − ,v − s + u + vq − +1 } (cid:18) u + v − ( s + α − v − q − s + 2 α − v )( q − − u + v ) (cid:19) . Proof. First note that if 0 < α + β < q − 1, then (cid:0) q − − α − βq − (cid:1) = 0 since the sum( q − 1) + ( q − − α − β ) has carry in base p . ThusII = X α,β ≥ β ≤ q − α + β = q − X k ≥ j ≥ k + j ≤ q − k − j ≡ α + β (mod q − q ( q − k − j − ( α + βq )= n ( − j (cid:18) q − − kj (cid:19) = X ≤ α ≤ q − X k ≥ j ≥ k + j ≤ q − k − j ≡ q − k − j + α ( q − n ( − j (cid:18) q − − kj (cid:19) . (4.10)In (4.10), the conditions on α, k, j can be replaced by(4.11) < α ≤ q − , < k ≤ q − , k − j = s ( q − , ≤ s ≤ ,k − j + α ( q − 1) = u + vq. HIRD POWER OF THE REVERSED DICKSON POLYNOMIAL 13 Solving (4.11) for k and j in terms of s and α , we have k = ( s + α − v )( q − − u − v,j = ( s + 2 α − v )( q − − u + v ) , ≤ s ≤ , max { , v − s + u + vq − } < α ≤ min { q − , v − s + u + vq − } . ThusII = X ≤ s ≤ { ,v − s + u + vq − } <α ≤ min { q − ,v − s + u + vq − +1 } (cid:18) u + v − ( s + α − v − q − s + 2 α − v )( q − − u + v ) (cid:19) . (cid:3) Note. In (4.9), for each 0 ≤ s ≤ 2, there is at most one α in the specified range.Hence the sum contains at most three terms. More precisely, when 0 < u + v < q − X ≤ s ≤ min { ,v } (cid:18) u + v ( − s + 2)( q − − u + v ) (cid:19) = X ≤ s ≤ min { ,v } (cid:18) u + v ( − s + 2)( q − − u + v ) (cid:19) = (cid:18) u q − − u (cid:19) if v = 0 , (cid:18) u + v q − − u + v ) (cid:19) + (cid:18) u + vq − − u + v ) (cid:19) if 1 ≤ v ≤ q − . (4.12)When u + v = q − X max { ,v +3 − q }≤ s ≤ min { ,v +1 } (cid:18) − s + 2)( q − (cid:19) = ( v = 0 , ≤ v ≤ q − . (4.13)When q − < u + v < q − X max { ,v +3 − q }≤ s ≤ min { ,v +1 } (cid:18) u + v − ( q − − s + 4)( q − − u + v ) (cid:19) = X max { ,v +3 − q }≤ s ≤ (cid:18) u + v − ( q − − s + 4)( q − − u + v ) (cid:19) = (cid:18) u + v − ( q − q − − u + v ) (cid:19) + (cid:18) u + v − ( q − q − − u + v ) (cid:19) if 1 ≤ v ≤ q − , (cid:18) u − q + 1 − u (cid:19) if v = q − , v = q − . (4.14) Lemma 4.3. We have III = X − ≤ s ≤ { s − u + vq − ,v − q +1 }≤ ǫ< min { s − u + vq − +1 ,v } ( − v + ǫ (cid:18) u + 2 v − ( s − ǫ )( q − − ǫ ( s − ǫ + 1)( q − − u − v − ǫ (cid:19) − X max {− ,v − q + u + vq − } In (4.4), the conditions on α, β, k, j can be replaced by(4.16) ≤ β ≤ q − , < α + β ≤ q − , < k ≤ q − , k − j − ( α + β ) = s ( q − , − ≤ s ≤ ,k − j − α − u = ǫq, ǫ ∈ Z ,q − − β − v + ǫ = 0 . Solving (4.16) for k, j, β in terms of α, s, ǫ , we have β = q − − v + ǫ,k = ( s − ǫ + 1)( q − − u − v,j = ( s − ǫ + 1)( q − − u − v − ǫ − α, − ≤ s ≤ , max { s − u + vq − , v − q + 1 } ≤ ǫ < min { s − u + vq − , v } ,v − ǫ − q + 1 < α ≤ v − ǫ. HIRD POWER OF THE REVERSED DICKSON POLYNOMIAL 15 Therefore,III = X − ≤ s ≤ { s − u + vq − ,v − q +1 }≤ ǫ< min { s − u + vq − +1 ,v } X v − ǫ − q +1 <α ≤ v − ǫ ( − v + ǫ + α (cid:18) α + q − − v + ǫα (cid:19)(cid:18) u + v − ( s − ǫ )( q − s − ǫ + 1)( q − − u − v − ǫ − α (cid:19) = X − ≤ s ≤ { s − u + vq − ,v − q +1 }≤ ǫ< min { s − u + vq − +1 ,v } X v − ǫ − q +1 <α ≤ v − ǫ ( − v + ǫ (cid:18) v − ǫα (cid:19)(cid:18) u + v − ( s − ǫ )( q − s − ǫ + 1)( q − − u − v − ǫ − α (cid:19) (by Lemma 2.1)= X − ≤ s ≤ { s − u + vq − ,v − q +1 }≤ ǫ< min { s − u + vq − +1 ,v } ( − v + ǫ (cid:20)(cid:18) u + 2 v − ( s − ǫ )( q − − ǫ ( s − ǫ + 1)( q − − u − v − ǫ (cid:19) − X ≤ α ≤ v − ǫ − q +1 (cid:18) v − ǫα (cid:19) (cid:18) u + v − ( s − ǫ )( q − s − ǫ + 1)( q − − u − v − ǫ − α (cid:19)(cid:21) = X − ≤ s ≤ { s − u + vq − ,v − q +1 }≤ ǫ< min { s − u + vq − +1 ,v } ( − v + ǫ (cid:18) u + 2 v − ( s − ǫ )( q − − ǫ ( s − ǫ + 1)( q − − u − v − ǫ (cid:19) − A, (4.17)where A = X − ≤ s ≤ { s − u + vq − ,v − q +1 }≤ ǫ< min { s − u + vq − +1 ,v } ( − v + ǫ · X ≤ α ≤ v − ǫ − q +1 (cid:18) v − ǫα (cid:19)(cid:18) u + v − ( s − ǫ )( q − s − ǫ + 1)( q − − u − v − ǫ − α (cid:19) . (4.18)Note that in (4.18), v − q + 1 ≤ ǫ in the outer sum; thus the inner sum is emptyunless ǫ = v − q + 1. Therefore(4.19) A = X max {− ,v − q + u + vq − } Note. In (4.15), the first sum has at most three terms and the second sum has atmost one term. The formula for III can be made more explicit as we saw earlier in similar situations. We assume that q > 3. When 0 < u + v < q − X − ≤ s ≤ min { ,v − } ( − v + s (cid:18) u + 2 v − s ( − s + 1)( q − − u − v − s (cid:19) = − (cid:18) u + 12( q − − u + 1 (cid:19) if v = 0 , ( − v +1 (cid:18) u + 2 v + 12( q − − u − v + 1 (cid:19) + ( − v (cid:18) u + 2 vq − − u − v (cid:19) if 1 ≤ v ≤ q − . (4.20)When q − ≤ u + v < q − X max {− ,v − q +2 }≤ s ≤ min { ,v } ( − v + s +1 (cid:18) u + 2 v − q − s + 2( − s + 3)( q − − u − v − s + 1 (cid:19) − X max {− ,v − q +2 }≤ s ≤ v − q +2 (cid:18) u + v − ( s − v + q − q − s − v + 2 q )( q − − u + v ) (cid:19) = v = 0 , ( − v (cid:18) u + 2 v − q + 34( q − − u − v +2 (cid:19) + ( − v +1 (cid:18) u + 2 v − q + 23( q − − u − v +1 (cid:19) +( − v (cid:18) u + 2 v − q + 12( q − − u − v (cid:19) if 1 ≤ v ≤ q − , (cid:18) u + q − q − u (cid:19) − (cid:18) u + q − q − u (cid:19) − (cid:18) u − q − u (cid:19) if v = q − , (cid:18) u + q − q − u − (cid:19) − (cid:18) uq − u − (cid:19) if v = q − . (4.21)To recap, we have the following proposition. Proposition 4.4. Let q be an odd prime power and let ≤ n ≤ q − . Then (4.22) X a ∈ F q a n d n ( a ) = − δ n − I − II + III , where δ n defined in (3.3) ; I, II, III are given by (4.5) , (4.9) and (4.15) respectively. Theorem 4.5. Let q be an odd prime power and let ≤ n ≤ q − . Write n = u + vq , ≤ u, v ≤ q − , and write n ≡ u ′ + v ′ q > q − , ≤ u ′ v ′ ≤ q − .Then X a ∈ F q d n ( a ) = 3( − δ n − I − II + III)+ − − u ′ − v ′ (cid:18) u ′ + v ′ q − (cid:19) + (cid:18) q − − u ′ − v ′ q − − u ′ (cid:19) if ≤ u ′ + v ′ q ≤ q − , − if u ′ + v ′ q = q − . (4.23) HIRD POWER OF THE REVERSED DICKSON POLYNOMIAL 17 Proof. This follows from (2.2), (4.22) and (2.8). (cid:3) Corollary 4.6. In Theorem 4.5 assume q > and ( q, n ) is desirable. Then u + v = q − and in F p , (4.24)3(I+II − III) = − − u ′ − v ′ (cid:18) u ′ + v ′ q − (cid:19) + (cid:18) q − − u ′ − v ′ q − − u ′ (cid:19) if ≤ u ′ + v ′ q ≤ q − , − if u ′ + v ′ q = q − . Proof. By Theorems 2.3 and 2.4 of [3], ( n, q − ≤ < q − 1. Thus u + v = q − (cid:3) References [1] J. F. Dillon, Geometry, codes and difference sets: exceptional connections , Codes and Designs(Columbus, OH, 2000), 73 – 85, Ohio State Univ. Math. Res. Inst. Publ., 10, de Gruyter,Berlin, 2002.[2] X. Hou, Two classes of permutation polynomials over finite fields , J. Combin. Theory Ser.A, (2011), 448 – 454.[3] X. Hou and T. Ly, Necessary conditions for reversed Dickson polynomials to be permutational ,Finite Fields Appl., (2010), 436 – 448.[4] X. Hou, G. L. Mullen, J. A. Sellers, J. Yucas, Reversed Dickson polynomials over finite fields ,Finite Fields Appl. (2009) 748 – 773.[5] R. Lidl, G. L. Mullen, and G. Turnwald, Dickson Polynomials , Longman Scientific andTechnical, Essex, United Kingdom, 1993. Department of Mathematics and Statistics, University of South Florida, Tampa, FL33620 E-mail address ::