Trace et valeurs propres extrêmes d'un produit de matrices de Toeplitz. Le cas singulier
aa r X i v : . [ m a t h . F A ] J un Trace et valeurs propres extrˆemes d’un produit de matrices deToeplitz. Le cas singulier.
Philippe Rambour ∗ Abdellatif Seghier † R´esum´eTrace et valeurs propres extrˆemes d’un produit de matrices de Toeplitz.Le cas singulier.
Dans un premier th´eor`eme nous donnons un d´eveloppement asymptotique de la trace dela matrice T N ( f ) T − N ( f ) avec f ( θ ) = | − e iθ | α c ( e iθ ) et f ( θ ) = | − e iθ | α c ( e iθ ), c et c ´etant deux fonctions r´eguli`eres sur le tore avec − < α , α < . Ensuite nous´etudions le cas particulier α > α <
0. Nous obtenons alors l’asymptotique de latrace des puissances enti`eres de T N ( f ) T − N ( f ) et nous en d´eduisons la limite lorsque N tend vers l’infini des valeurs propres de cette matrice ce qui nous permet de donnerun principe de grandes d´eviations pour une famille de formes quadratiques de processusal´eaoires gaussiens stationnaires. AbstractTrace and extreme eigenvalues of a product of truncated Toeplitz matrices.The singular case.
In a first theorem we give an asymptotic expansion of Tr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) where f ( θ ) = | − e iθ | α c ( e iθ ) and f ( θ ) = | − e iθ | α c ( e iθ ), with c and c are two regular functionsof the torus and − < α , α < . In a second part of this work we study the particularcase where α > α <
0. Then we obtain the asymptotic of Tr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) s for s ∈ N ∗ that provides us the limits when N goes to the infinity of the extreme eigenvaluesof this matrix. This last result allows us to give a large deviation principle for a family ofquadratic forms of stationnary process. Si f ∈ L ( T ) on appelle matrice de Toeplitz d’ordre N et de symbole f , et on note T N ( f ),la matrice d´efinie par ( T N ( f )) k +1 ,l +1 = b f ( l − k ) pour 0 ≤ k ≤ N et 0 ≤ l ≤ N , o`u b h ( s ) d´esignele coefficient de Fourier d’ordre s de la fonction h . On dira que le symbole f est r´egulier si lafonction f est strictement positive sur le tore, et que le symbole f est singulier si la fonction f admet des z´eros ou des pˆoles sur le tore. Une bonne approche des matrices de Toeplitz peutse trouver dans [5].Un probl`eme de l’´etude des matrices de Toeplitz est d’´etablir la trace du produit de deuxmatrices de Toeplitz, ou mˆeme d’une puissance d’un produit de matrice de Toepliz. Cette ∗ Universit´e de Paris Sud, Bˆatiment 425; F-91405 Orsay Cedex; tel : 01 69 15 57 28 ; fax 01 69 15 60 19e-mail : [email protected] † Universit´e de Paris Sud, Bˆatiment 425; F-91405 Orsay Cedex; tel : 01 69 15 60 09 ; fax 01 69 15 72 34e-mail : [email protected] T N ( f ) T N ( g )) s est un grand classique de la litt´erature consacr´ee aux matrices deToeplitz et `a l’´etude des processus al´eatoires Gaussiens. Il a ´et´e en particulier ´etudi´e par Avram([1])dans le cas r´egulier ou pour une puissance deux, et par Fox et Taqqu ([13], [12]), dans uncadre plus g´en´eral. Il faut aussi citer Grenander et Szegˆo [21], Ibragimov [22], Rosenblatt [30],Taniguchi [34], Dalhaus [10], Giraitis et Surgalis [19], Ginovyan [14], Taniguchi and Kakizawa[35], Ginovyan et Sahakyan [17], [16] et [15], et Lieberman et Philips [26]. Un bon r´esum´e desprincipaux acquis peut se trouver dans [18].La question qui peut ´egalement se poser est de connaˆıtre la trace de (cid:0) T N ( f ) T − N ( g ) (cid:1) s . Unefa¸con de faire peut consister `a se ramener `a la trace de (cid:0) T N ( f ) T N ( g − ) (cid:1) s , mais cette m´ethoden’est pas toujours satisfaisante, surtout dans le cas singulier. Dans cet article nous proposonsun d´eveloppement asymptotique d’ordre 1 ou 2, suivant les cas, de Tr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) dansle cas o`u f ( θ ) = | − e iθ | α c ( θ ) et f ( θ ) = | − e iθ | α c ( θ ) avec − < α , α < eto`u c et c sont deux fonctions r´eguli`eres sur le tore. Les m´ethodes que nous utilisons sontdiff´erentes de celles de Fox et Taqqu, mais utilisent des travaux ant´erieurs (voir [28] et [29]).Nous mettons en ´evidence les diff´erents cas qui peuvent se pr´esenter, et la suite de notre travailest consacr´ee `a l’´etude du cas α ∈ ]0 , [ et α ∈ ] − ,
0[ (cas 1) ii)). Nous donnons dans ce casune expression asymptotique de Tr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) s et aussi de Tr (cid:0) T N ( f ) T N ( f − ) (cid:1) s (ce quirevient `a donner Tr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) s pour 0 < α , α < compl´etant ainsi des r´esultats deTaniguchi([34], [35] et de Lieberman et Phillips [26]. Nous ´etudions ensuite les cons´equencesde ces r´esultats pour les valeurs propres de T N ( f ) T N ( f − ) et nous en d´eduisons un r´esultatprobabiliste. Dans le cas d’une matrice de Toeplitz le comportement des valeurs propres ob´eit`a certains principes bien connus. On sait par exemple que si λ ( N ) i sont les valeurs propresd’une matrices de Toeplitz d’un symbole f avec inf θ ∈ T f ( θ ) = m et sup θ ∈ T f ( θ ) = M alorslim N → + ∞ (cid:18) inf ≤ i ≤ N λ ( N ) i (cid:19) = m et lim N → + ∞ sup ≤ i ≤ N λ ( N ) i ! = M . Cette propri´et´e n’est ´evidemmentplus vraie pour un produit de matrices de Toeplitz ni `a plus forte raison pour le produit d’unematrice de Toeplitz avec une matrice hermitienne. Si on ´etudie une forme quadratique W N d´efinie par W N = N X ( N ) ∗ M N X ( N ) avec ( X n ) un processus stationnaire centr´e gaussien etla matrice M N une matrice hermitienne (voir, entre autre, [31], [3] et [4])on ne peut doncpas alors appliquer le th´eor`eme de Gˆartner-Ellis ([11]) pour obtenir un principe de grandesd´eviations pour W N . Dans le cas o`u M N = T N ( f ) et o`u f, g ∈ L ∞ ( T ) ( g ´etant la densit´espectrale de X ( N ) ) [3] et [4] donnent des solutions `a ce probl`eme. Cela leur permet notammentde donner un principe de grandes d´eviations dans l’´etude du rapport de vraissemblance dedeux processus gaussiens stationnaires ([8], [7],[9],[6] [2]) dans le cas o`u les densit´es spectralessont r´eguli`eres. Supposons maintenant que X ( N ) admette pour densit´e spectrale une fonction f et que M N = T − N ( f ). Dans le cas α positif et α n´egatif en notant µ ( N ) i les valeurspropres de T N ( f ) T − N ( f ) nous obtenons, en ´etudiant la convergence de la mesure N X i =0 δ µ ( N ) i ,que lim N → + ∞ (cid:18) inf ≤ i ≤ N µ ( N ) i (cid:19) = 0 et lim N → + ∞ sup ≤ i ≤ N µ ( N ) i ! = k f f k ∞ . Nous pouvons alors obtenir2ur un intervalle maximal la limite de la suite de fonctions (voir [21]) L N ( t ) = 1 N ln E ( e NtW N )= − N ln det (cid:16) I N − tT / N ( f ) T − N ( f ) T / N ( f ) (cid:17) = − N N X i =1 ln(1 − tµ ( N ) i ) . Toujours dans le cas 1) ii) avec α > α < X ( N ) ∗ T N ( f ) − X ( N ) au lieu de X ( N ) ∗ T N ( f ) .X ( N ) .Dans un prochain travail nous nous attacherons `a d´evelopper les cas diff´erents du cas1) ii) qui interviennent dans le th´eor`eme 1. Nous aurons deux objectifs : d’abord ´etablirdes expressions asymptotiques pour les traces de (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) s puis utiliser ces expres-sions pour donner des th´eor`emes de limites centrales pour des formes quadratiques du type X ( N ) ∗ T N ( f ) − X ( N ) ou X N est un processus al´eatoire centr´e gaussien stationnaires de densit´espectrale f . Dans la suite nous noterons χ la fonction d´efinie par χ ( θ ) = e iθ . Pour tous les r´eels ν positifs nous consid´ererons aussi les ensembles A ( T , ν ) = { h ∈ L ( T ) / X k ∈ Z | k | ν ˆ h ( k ) < ∞} , o`uˆ h ( k ) d´esigne le coefficient d’ordre k de la fonction h . Th´eor`eme 1
On consid`ere deux fonctions f et f d´efinies sur le tore T par f = | − χ | α c et f = | − χ | α c o`u c et c sont deux fonctions r´eguli`eres dans A ( T , ) et − < α , α < .On a alors les r´esultats suivants :1. Si α ∈ ] − , i) dans le cas ou > α − α > (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) = Tr (cid:18) T N f f (cid:19) + O ( N α − α ) , ii) dans le cas ou > α − α > − (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) = Tr (cid:18) T N f f (cid:19) + b f (0) (cid:18) h ln f − , f i , / (cid:19) + C ( f , f ) + O ( N max(2 α − α , − ) . Si les fonctions f et f sont des fonctions paires on a C ( f , f ) = − α + 1) (cid:18) h ln f − , f f i , / − h ln f − , f i , / b f (0) − h ln f , f i , / (cid:19) .
2. Si α ∈ ]0 , [ 3 ) Dans le cas o`u < α − α < on a Tr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) = N α − α C ( f , f ) + o ( N α − α ) ii) Dans le cas o`u − < α − α < on aa) Si α < (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) = Tr (cid:18) T N f f (cid:19) + N α − α C ( f , f ) + o ( N α − α ) b) Si α > (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) = Tr (cid:18) T N f f (cid:19) + Z / ˜ G α ( x ) dx ! N α b f (0) c (1)Γ ( α ) + o ( N α ) avec ˜ G α ( x ) = Z x t α − (cid:0) (1 − t ) α − (cid:1) − t α (1 − t ) α − dtdx + x α − (2 α − , et x ∈ [1 / , . Remarque 1
Les constantes C i ( f , f ) 1 ≤ i ≤ , peuvent ˆetre obtenues `a partir de lad´emonstration du th´eor`eme. Dans l’´enonc´e suivant nous ´etudionsun cas particulier du th´eor`eme 1. et nous noterons f ,t la fonction f ,t ( θ ) = tf ( θ ) + f ( θ ) , Th´eor`eme 2 Si f et f sont deux fonctions paires d´efinies sur le tore et v´erifiant les hy-poth`eses du th´eor`eme 1 avec de plus α positif et α n´egatif on a, pour tout entier naturel s non nul Tr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) s − Tr (cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19) s (cid:19) = ( − s − Ψ ( s − (0)( s − o (1) . avec Ψ ( t ) = b f (0) (cid:18) h ln f − ,t , f ,t i , / (cid:19) − C ( f , f ,t ) . Corollaire 1
On consid`ere deux fonctions h et h paires d´efinies sur le tore T par h = | − e iθ | α d et h = | − e iθ | α d o`u d et d sont deux fonctions r´eguli`eres appartenant `a A ( T , ) . On suppose de plus que > α , α > . Nous pouvons alors ´ecrire, pour tout entier s ≥ T N h T N h ) s = N π Z π (( h h )( θ )) s dθ + o ( N ) . .2 Quelques applications aux grandes d´eviations et aux valeurs propres Dans tout ce paragraphe nous consid´erons encore f = | − χ | α c et f = | − χ | α c deux fonctions paires avec α positif et α n´egatif et c , c deux fonctions r´eguli`eres dans A ( T , ). Lemme 1 Si µ ( N ) i ≤ i ≤ N d´esignent les valeurs propres de T N ( f ) T − N ( f ) , class´ees dansl’ordre croissant, alors la suite de mesures N X i =1 δ µ ( N ) i converge au sens faible (ou en loi) vers P f f la mesure image de la mesure de Lebesgue sur le tore par f f . Ce lemme admet comme corollaire imm´ediat les deux th´eor`emes suivants
Th´eor`eme 3
Avec les hypoth`eses et notations pr´ec´edentes lim N → + ∞ µ ( N )1 = 0 , lim N → + ∞ µ ( N ) N = k f f k ∞ . On consid`ere maintenant pour tout entier N la forme quadratique W N d´efinie par W N = 12 N t X N (cid:0) T − N f (cid:1) X N o`u X N un processus de densit´e spectrale f = | − χ | α c et f = | − χ | α c , c et c ´etantdeux fonctions r´eguli`eres sur le tore. On consid`ere alors la suite de fonctions L N ( t ) = 12 N − N X i =1 ln(1 − µ Ni t ) ! o`u ( µ Ni ) i =1 ··· N sont les valeurs propres de A N = T / N f T − N f T / N f qui sont aussi celles de T N ( f ) T − N f . Alors nous pouvons ´ecrire, en posant ∆ =] − δ − , δ − [ avec δ = k f f k ∞ Th´eor`eme 4 Si f f ∈ L ∞ ( T ) avec α > et α < on a pour tout t tel que t ∈ ∆ L N ( t ) = − π Z π ln (cid:18) − t f f ( θ ) (cid:19) dθ + o (1) , et lim N → + ∞ (cid:18) N L N ( t ) + N π Z π ln (cid:18) − t f f ( θ ) (cid:19) dθ (cid:19) = Ψ(2 t )2 avec Ψ( t ) = P ∞ l =1 ( − l +1 l ( t ) l Ψ ( l )1 (0) l ! Remarque 2
Ce th´eor`eme revient `a dire que si f f ∈ L ∞ ( T ) et α α < alors ( W N ) satisfaitune SLDP ( Sharp Large Deviation Principle) pour une fonction L ∗ qui est le dual de Fenchel-Legendre est L ( t ) = π R π ln (cid:16) − t f f ( θ ) (cid:17) dθ . D’autre part en posant m N = E ( t X N (cid:0) T − N f (cid:1) X N ) nous pouvons ´enonc´er le th´eor`eme5 h´eor`eme 5 La variable al´eatoire : t X N (cid:0) T − N f (cid:1) X N − m N √ N converge en loi vers une variablle al´eatoire qui suit une loi normale centr´ee de variance π R π − π (cid:16) f ( θ ) f ( θ ) (cid:17) dθ. Remarque 3
La d´emonstration de ce th´eor`eme est bien sˆur parfaitement identique `a celle duth´eor`eme du mˆeme genre donn´e dans [13]
Pour d´emontrer le th´eor`eme 1 nous allons devoir, dans un premier temps, donner une expres-sion asymptotique simple pour N suffisamment grand, des coefficients du polynˆome pr´edicteurde degr´e N d’une fonction f admettant une singularit´e dordre α comprise entre − et . C’estce que nous faisons, apr`es un bref rappel, dans la partie suivante. D´efinition 1 Si h une fonction positive dans L ( T ) on appelle polynˆome pr´edicteur de degr´e N de h le polynˆome K N d´efinie par K N = N X k =0 ( T − N ) k +1 , q ( T − N ) , z k . Nous avons alors les r´esultats suivants (voir [25])
Th´eor`eme 6 Si h une fonction positive dans L ( T ) et K N son polynˆome pr´edicteur de degr´e N alors– ∀ s, − N ≤ s ≤ N \ | K N | − ( s ) = b h ( s ) . – K N ne s’annule pas sur le tore. Ce th´eor`eme admet la cons´equence imm´ediate suivante
Th´eor`eme 7
Avec les hypoth`eses du th´eor`eme pr´ec´edent nous avons T N (cid:0) | K N | − (cid:1) = T N ( h ) . Le calcul de T − N ( h ) s’en trouve alors facilit´e grˆace au lemme suivant qui a ´et´e ´etabli dans [27]et qui est une version alg´ebrique de la formule de Gohberg-Semencul [20]. Lemme 2 Si P = N X u =0 δ u z u un polynˆome de degr´e N sans z´eros sur le tore on a T − N (cid:0) | P | − (cid:1) = (¯ δ δ l − k + · · · + ¯ δ k δ l − ( δ N − k ¯ δ N − l + · · · δ N δ N + k − l ) . f d´efinie par f = | − χ | α c o`u c est unefonction r´eguli`ere sur le tore avec c = g ¯ g , g ∈ H et g = (1 − χ ) α g . On pose β ( α ) k = d g − ( k )et on note par β k,N le coefficient de χ k du polynˆome pr´edicteur de degr´e N de f . D’autre partnous nous pla¸cons dans le cas − < α < . Th´eor`eme 8
On consid`ere une fonction f comme ci-dessus Alors si n est entier fix´e, ind´ependammentde N , β k,N = β ( α ) k (1 − kN ) α (1 + o (1)) pour tout entier k ∈ [0 , N − n ] , uniform´ement par rapport `a N . Remarque 4
Dans la pratique n est choisi de mani`ere `a ce que pour tout entier u ≥ n onait β ( α ) u = g (1) u α − Γ( α ) avec la pr´ecision n´ecessaire. Remarque 5
Ce th´eor`eme peut se lire ∀ ǫ > ∃ N t . q . ∀ N ≥ N ∀ k, ≤ k ≤ N − n ∃ R k , | R k | ≤ ε tel que β k,N = β ( α ) k (1 − kN ) α (1 + R k ) Pour d´emontrer ce th´eor`eme nous allons d´ecouper l’intervalle [0 , N δ ] en deux, `a savoir[0 , δ ] et [ δ , δ ]. La d´emonstration du th´eor`eme sur [ δ , δ ] est assez rapide. Dans [29] nousavons d´emontr´e Th´eor`eme 9 Si − < α < , α = 0 nous avons pour < x < g (1) β [ Nx ] ,N = N α − α ) x α − (1 − x ) α + o ( N α − ) uniform´ement en x dans [ δ , δ ] , pour < δ < δ < . Ce th´eor`eme est ´equivalent `a g (1) β k,N = 1Γ( α ) k α − (1 − kN ) α + o ( N α − )pour tout entier naturel k dans [ N δ , N δ ], uniform´ement par rapport `a N . Cette remarque,jointe au r´esultat (voir [36]) β ( α ) k = g (1)Γ( α ) k α − (1 + o (1)), uniform´ement par rapport `a k pour k assez grand, permet d’obtenir le r´esultat sur [ N δ , N δ ].Pour d´emontrer le th´eor`eme dans l’intervalle [0 , N δ ], il nous faut revisiter les r´esultats de[29].Nous avons obtenu dans cet article le lemme Lemme 3
On suppose α ∈ ] − , [ . Alors, sous les hypoth`eses du th´eor`eme 9 nous pouvons´ecrire pour N suffisamment grand et pour ≤ k ≤ δN , < δ < β k,N = β ( α ) k − N k X u =0 β ( α ) k − u (cid:16) F α (cid:16) uN (cid:17)(cid:17) (1 + o (1)) . a fonction z → F α ( z ) est continue et d´erivable sur tout compact de [0 , et de plus pour toutr´eel dans [0 , δ ] on a | F α ( z ) | ≤ K (1 + | ln(1 − z ) | ) , o`u K est une constante ind´ependante de N . Remarque 6
En utilisant le d´eterminant de T N ( | − χ | α f ) et la formule d’Hartwig-Fishernous obtenons facilement F α (0) = α + o (1) . Si k ∈ [0 , k ] et N suffisamment grand le lemme 3 permet d‘´ecrire β ( α ) k + 1 N k X u =0 F α ( uN ) β ( α ) k − u = β ( α ) k (1 − o (1))= β ( α ) k (cid:18) − kN (cid:19) α (1 + o (1)) . Si k < k < N δ nous pouvons consid´erer, toujours avec le lemme 3, les ´egalit´es β ( α ) k − N k X u =0 F α ( uN ) β ( α ) k − u = β ( α ) k − N k X u =0 (cid:16) F α ( uN ) − F α (0) (cid:17) β ( α ) k − u − F α (0) 1 N k X u =0 β ( α ) k − u = β ( α ) k − β ( α +1) k α N + 1 N k X u =0 uβ ( α ) k − u F ′ α ( c u )avec, pour tout u , 0 ≤ c u ≤ uN . Alors si k suffisamment grand pour que l’approximation de β ( α ) k et de β ( α +1) k soient pertinentes on a, en utilisant l’uniformit´e de ces mˆemes approximations, β ( α ) k − β ( α +1) k α N = β ( α ) k − α kN β ( α ) k (1 + o (1))= β ( α ) k (cid:18) − kN (cid:19) α (1 + o (1))uniform´ement par rapport `a k ∈ [ k , N δ ]. Si α positif on a N P ku =0 uβ ( α ) k − u F ′ α ( c u ) = O (cid:16) N P ku =0 uβ ( α ) k − u (cid:17) , et nous avons ´egalement (cid:12)(cid:12)(cid:12) N k X u =0 uβ ( α ) k − u (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ N k X u =0 ( k − u ) | β ( α ) k − u | + k X u =0 k | β ( α ) k − u | ! = O (cid:18) k α +1 N (cid:19) = O (cid:0) k α − δ (cid:1) = o ( β ( α ) k )D’autre part si α est n´egatif nous pouvons ´ecrire, toujours si k suffisamment grand pour quel’approximation des coefficients β ( α ) k soit pertinente k X u =0 uβ ( α ) k − u = k − k X u =0 uβ ( α ) k − u + k X u = k − k +1 uβ ( α ) k − u . N k − k X u =0 uβ ( α ) k − u = 1 N k − k X u =0 ( k − u ) β ( α ) k − u + k − k X u =0 kβ ( α ) k − u ! . On a ´evidemment 1 N k X u =0 ( k − u ) | β ( α ) k − u | = O ( k α +1 N )= O (cid:0) k α − δ (cid:1) = o ( β ( α ) k )et k − k X u =0 kβ ( α ) k − u = − k ∞ X u = k − k +1 β ( α ) k − u = O ( β ( α ) k ) . Enfin en utilisant la formule d’Euler et Mac-Laurin (en supposant k assez grand pour quecela ait un sens) il vient1 N k X u = k − k +1 | β ( α ) k − u | = 1 N O (cid:0) k α +1 − ( k − k ) α +1 (cid:1) = k α +1 N O (cid:18) − (1 − k k ) α +1 (cid:19) = O ( k α N ) = o ( k α − )ce qui ach`eve de d´emontrer le lemme, et l’uniformit´e, pour k ∈ [0 , δ ] . Reste `a obtenir la formule pour k ∈ [ N δ , N − n ].Pour ce faire nous allons utiliser les polynˆomes orthogonaux Q j , 0 ≤ j ≤ N associ´es au poids f et reli´es aux polynˆomes pr´edicteurs par Q N ( χ ) = P N ( χ ).Nous allons utiliser ´egalement la relation (voir [23],[24]) que β N +1 ,N +1 ∼ αN . (1)D’autre part la relation (voir, par exemple [33]) P m ( χ ) = P m − ( χ ) + χβ m,m Q m − permet, en identifiant les coefficients en N − mβ N − m = β N − m,N − + β N,N β m,N − et pour m ≤ k et k suffisamment petit nous obtenons β N − k,N − m = β N − m − ( k − m ) ,N − m = β N − k,N − m − + β N − m,N − m β k − m,N − m − ce qui donne, en ajoutant cette relation pour m de 0 `a k : β N − k,N = k X m =0 β N − m,N − m β k − m,N − m − .
9e qui se traduit, en utilisant le lemme (3) et l’´equation (1) β N − k,N = (1 − α N ) αN k X m =0 β k − m,N − m − + o ( 1 N )et avec les r´esultats ´etablis au d´ebut de la d´emonstration β N − k,N = (1 − α N ) αN k X m =0 (cid:18) β ( α ) k − m − α N β ( α +1) k − m (cid:19) + o ( 1 N )= (1 − α N ) αN (cid:18) β ( α +1) k − α N β ( α +2) k (cid:19) + o ( 1 N )Ce qui donne β N − k +1 ,N = αβ ( α +1) k N + o ( 1 N ) . (2)Ce qui s’´ecrit aussi si nous consid´erons un entier j ∈ [ N δ , N − n ] g (1) β j +1 ,N = α ( N − j ) α N Γ( α + 1) = 1Γ( α ) (1 − jN ) α N α − + o ( 1 N )= 1Γ( α ) (1 − jN ) α ( N − j + jj ) α − j α − + o ( 1 N )Soit β j +1 ,N = β ( α ) j (1 − jN ) α + o ( 1 N ) . L’uniformit´e du r´esultat est alors assur´ee par la fa¸con dont δ tend vers 1. On doit calculer la trace de (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) avec f = | − χ | α c et f = | − χ | α c o`u − < α , α < et o`u c et c sont des fonctions r´eguli`eres.On peut ´ecrireTr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) = ˆ f (0) N X k =0 (cid:0) T − N ( f ) (cid:1) k,k + 2 ℜ N X s =1 ˆ f ( s ) N − s X k =0 T − N ( f ) k,k + s ! , et aussi (avec s >
0) et en utilisant le lemme 2 N − s X k =0 T − N ( f ) k,k + s = ( N − − s ) A ( s ) + A ( s )avec ( A ( s ) = P N − sl =0 β l,N β l + s,N A ( s ) = − (cid:16)P N − sl =0 lβ l,N β l + s,N (cid:17) β l,N , 0 ≤ l ≤ N , sont les coefficients du polynˆome pr´edicteur de la fonction f . Nousavons ´etabli plus haut que si n est un entier tel que n N = o (1) nous pouvons ´ecrire β l,N = β ( α ) l (1 − lN ) α (1 + o (1)) (3)uniform´ement pour tout entier l dans [0 , N − n ]. Dans un premier temps nous allons d´emontrerle lemme suivant Lemme 4
Avec les hypoth`eses du th´eor`eme nous avons quel que soit s , ≤ s ≤ N − n ,uniform´ement par rapport `a s
1. Si α ∈ ] − , alors N − s X l =0 T − N ( f ) l,l + s = N (1 − sN ) α +1 c f ( − s ) + (1 − sN ) α τ (cid:16) sN (cid:17) X u ≥ uβ α u β α u ++ N α Γ ( α ) c (1) (1 − sN ) α F ( sN ) + o ( N α ) o`u F est une fonction continue sur [0 , , et τ ( t ) = − ( α + ((1 − t )( α + 2))) .
2. Si α ∈ ]0 , [ alors N − s X l =0 T − N ( f ) l,l + s = N (1 − sN ) α +1 c f ( − s ) + N α Γ ( α ) c (1) F ( sN ) + o ( N α ) o`u F est une fonction continue sur [0 , , Remarque 7
La d´emonstration de l’uniformit´e des restes, qui est un peu fastidieuse, a ´et´erepouss´e dans l’appendice. A En supposant que n est un entier tel que n N = o (1) et n ≤ n nous pouvons ´ecrire lad´ecomposition : A ( s ) = N − s − n X l =0 β l,N β l + s,N + N − s X l = N − s − n +1 β l,N β l + s,N . Compte tenu de la remarque 3 nous pouvons ´ecrire, en posant s ′ = s + n N − s ′ X l =0 β l,N β l + s,N = N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (1 − lN ) α (1 − l + sN ) α (1 + o (1)) . N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (1 − lN ) α (1 − l + sN ) α == N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18)(cid:18) (1 − lN ) α − (cid:19) + 1 (cid:19) (cid:18)(cid:18) (1 − l + sN ) α − (1 − sN ) α (cid:19) + (1 − sN ) α (cid:19) En d´eveloppant on a N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (1 − lN ) α (1 − l + sN ) α = A ′ + A ′ + A ′ + A ′ , avec A ′ = N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s ! (1 − sN ) α A ′ = N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − lN ) α − (cid:19)! (1 − sN ) α A ′ = N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − l + sN ) α − (1 − sN ) α (cid:19) A ′ = N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − lN ) α − (cid:19) (cid:18) (1 − l + sN ) α − (1 − sN ) α (cid:19) . Nous avons A ′ = (1 − sN ) α c f ( − s ) − + ∞ X N − s ′ +1 β ( α ) l β ( α ) l + s ! = (1 − sN ) α c f ( − s ) −− N α − c (1)Γ ( α ) Z + ∞ − s ′ /N t α − ( t + sN ) α − dt ! + o ( N α − ) . On peut remarquer que quand sN tend vers 1 et α n´egatif nous pouvons ´ecrire A ′ ∼ (1 − sN ) α c f ( − s ) − (1 − sN ) α N α α c (1)Γ ( α ) + o ( N α )Nous avons d’autre parti) Si α ∈ ] − , A ′ = N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − lN ) α − α lN (cid:19)! (1 − sN ) α −− α N N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s l ! (1 − sN ) α .
12e qui donne α N N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s l ! = α N X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s −− N α − α c (1)Γ ( α ) Z + ∞ − s ′ /N t α ( t + sN ) α − dt + o ( N α − ) , et d’autre part N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − lN ) α − α lN (cid:19)! = N α − c (1)Γ ( α ) Φ ( s ′ N ) + o ( N α − )avec Φ ( s ′ N ) = Z − s ′ /N t α − ( t + sN ) α − ((1 − t ) α − α t ) dt. En posant finalementΦ ( s ′ N ) = Φ ( s ′ N ) + α Z + ∞ − s ′ /N t α ( t + sN ) α − dt nous pouvons ´ecrire A ′ = − α N X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s ++ N α − c (1)Γ ( α ) Φ ( s ′ N ) (cid:19) (1 − sN ) α + o ( N α − ) , o`u Φ est une fonction continue sur [0 , α ∈ ]0 , [ nous avons A ′ = (1 − sN ) α N α − c (1)Γ ( α ) Z t α ( t + sN ) α − ((1 − t ) α − dt + o ( N α − )Calculons maintenant le terme A ′ .L`a aussi nous devons distinguer les cas α positif et α n´egatif.i) Si α ∈ ] − , A ′ = N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − l + sN ) α − (1 − sN ) α (cid:19) = N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − l + sN ) α − (1 − sN ) α + α lN (1 − sN ) α − (cid:19) −− α N N − s ′ X l =0 lβ ( α ) l β ( α ) l + s (1 − sN ) α − . α N N − s ′ X l =0 lβ ( α ) l β ( α ) l + s (1 − sN ) α − = (1 − sN ) α − α N ∞ X u =0 uβ ( α ) u β ( α ) u + s −− (1 − sN ) α − α N α − c (1)Γ ( α ) Z + ∞ − s ′ /N t α ( t + sN ) α − dt + o ( N α − )et de mˆeme N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − l + sN ) α − (1 − sN ) α + α lN (1 − sN ) α − (cid:19) == N α − c (1)Γ ( α ) Φ ( sN ) + o ( N α − ) , AvecΦ ( sN ) = Z − s ′ /N t α − ( t + sN ) α − (cid:16) (1 − t − sN ) α − (1 − sN ) α + α t (1 − sN ) α − (cid:17) dt. En ´ecrivant t α − ( t + sN ) α − (cid:16) (1 − t − sN ) α − (1 − sN ) α + α t (1 − sN ) α − (cid:17) = ( t + sN ) α − X n ≥ δ n t α + n − (1 − sN ) α − n o`u les coefficients δ n sont les coefficients du d´eveloppement enti`ere de la fonction t → (1 − t ) α nous pouvons conclure que Φ ( u ) ∼ O (cid:0) − u ) α (cid:1) au voisinage de 1. En posantΦ ( sN ) = α Z + ∞ − s ′ /N t α ( t + sN ) α − dt nous pouvons ´ecrire finalement A ′ = (1 − sN ) α − − α N X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s ++ N α − c (1)Γ ( α ) (cid:16) (1 − sN ) α − Φ ( sN ) + Φ (cid:16) sN (cid:17)(cid:17) + o ( N α − )o`u Φ est une fonction continue sur [0 ,
1[ et ´equivalente `a O (cid:0) (1 − t ) α (cid:1) en 1, et o`u Φ est une fonction continue sur [0 , α ∈ ]0 , [ nous pouvons ´ecrire de mˆeme α N N − s ′ X l =0 lβ ( α ) l β ( α ) l + s = α N α − c (1)Γ ( α ) Z t α ( t + sN ) α − dt + o ( N α − )14t, comme ci-dessus N − s ′ X l =0 lβ ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − l + sN ) α − (1 − sN ) α + α lN (1 − sN ) α − (cid:19) == N α − c (1)Γ ( α ) Φ ( s ′ N ) + o ( N α − ) . D’o`u A ′ = (cid:18) N α − c (1)Γ ( α ) (cid:18) (1 − sN ) α − ˜Φ ( s ′ N ) + Φ (cid:18) s ′ N (cid:19)(cid:19)(cid:19) + o ( N α − ) , avec ˜Φ ( sN ) = α Z t α ( t + sN ) α − dt Il est d’autre part facile de se convaincre que A ′ = N α − c (1)Γ ( α ) Z − s ′ N t α − (cid:16) ( t + sN ) α − (cid:17)(cid:16) (1 − t − sN ) α − (1 − sN ) α (cid:17) (cid:0) (1 − t ) α − (cid:1) + o ( N α − )= N α − c (1)Γ ( α ) Φ ( sN ) + o ( N α − )o`u Φ est une fonction continue sur [0 ,
1[ et o`u Φ ( u ) est ´equivalent `a O (cid:0) (1 − u ) α +1 (cid:1) en 1.Enfin en utilisant l’´equation 2 qui est apparue dans la d´emonstration du th´eor`eme 8 on obtientque, quel que soit le signe de α on a N − s X l = N − s − n β l,N β l + s,N = O ( N α − )ce qui implique ( N − s − N − s X l = N − s − n β l,N β l + s,N = o ( N α ) . En regroupant on peut donc ´ecrire • Si α ∈ ] − , N + 1 − s ) A ( s ) = N (1 − sN ) α +1 c f ( − s ) − α (2 − sN )(1 − sN ) α (cid:16) sN (cid:17) X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s ++ N α c (1)Γ ( α ) (1 − sN ) α ˜ F ( sN ) + o ( N α )avec ˜ F une fonction continue sur [0 , •• Si α ∈ ]0 , [( N + 1 − s ) A ( s ) = N (1 − sN ) α +1 c f ( − s ) + N α c (1)Γ ( α ) ˜ F ( sN ) + o ( N α ) , o`u ˜ F est une fonction continue sur [0 , .1.2 Calcul du coefficient A Toujours avec la mˆeme d´efinition de s ′ on a Nous avons A ( s ) = − P N − s ′ l =0 lβ l,N β l + s,N . i) Dans le cas o`u α ∈ ] − ,
0[ nous avons A ( s ) = − N − s ′ X l =0 lβ l,N β l + s,N = − N − s ′ X l =0 lβ ( α ) l β α l + s (1 − lN ) α (1 − l + sN ) α = − N − s ′ X l =0 lβ ( α ) l β α l + s (cid:18) (1 − lN ) α (1 − l + sN ) α − (1 − sN ) α (cid:19) −− − sN ) α N − s ′ X l =0 lβ ( α ) l β ( α ) l + s . Soit, finalement : A ( s ) = − − sN ) α X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s ++ 2(1 − sN ) α N α c (1)Γ ( α ) Z + ∞ − s ′ /N t α ( t + sN ) α − dt − N α c (1)Γ ( α ) Z − s ′ /N t α ( t + sN ) α − (cid:16) (1 − t ) α (1 − t − sN ) α − (1 − sN ) α (cid:17) dt + o ( N α ) . En posant H ( sN ) = − Z + ∞ − s ′ /N t α ( t + sN ) α dt + H ( sN ) = Z − s ′ /N t α ( t + sN ) α (cid:16) (1 − t ) α (1 − t − sN ) α − (1 − sN ) α (cid:17) dt, nous pouvons ´ecrire A ( s ) = − − sN ) α X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s + N α c (1)Γ ( α ) H ( sN ) −− N α c (1)Γ ( α ) H ( sN ) + o ( N α )o`u H et H sont des fonctions continues sur [0 ,
1] (on v´erifie ais´ement que H ( u ) = O (cid:0) (1 − u ) α +1 (cid:1) au voisinage de 1.ii) Le cas α ∈ ]0 , [ se traite plus rapidement. Il suffit de remarquer que :16 ( s ) = − N − s ′ X l =0 lβ ( α ) l β α l + s (1 − lN ) α (1 − l + sN ) α = − N α c (1)Γ ( α ) Z t α ( t + sN ) α − (1 − t ) α (1 − t − sN ) α dt + o ( N α ) . Pour r´esumer nous pouvons poser • Si α < A ( s ) = − − sN ) α (cid:16) sN (cid:17) X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s − N α c (1)Γ ( α ) (cid:16) − − sN ) α H ( sN ) + H ( sN ) (cid:17) + o ( N α ) . •• Si α > A ( s ) = − N α c (1)Γ ( α ) H ( sN ) + o ( N α ) . D’autre part quelque soit le signe de α , nous avons, comme pour le calcul de A nous avons − N − s X l = N − s − n lβ l,N β l + s,N = o ( N α ) . En r´eunissant les r´esultats des points abord´es nous obtenons l’´enonc´e du lemme 4 α ∈ ] − , Il s’agit de calculer la somme b f (0)Tr ( T N ( f )) − + 2 ℜ N X s =1 b f ( s ) N − s X l =0 ( T N ( f )) − l,l + s ! . Rappelons que dans le cas o`u l’exposant α est n´egatif il a ´et´e ´etabli queTr (cid:0) T − N ( f ) (cid:1) ) = ( N + 1) \ (cid:18) f (cid:19) (0) + h ln f | f i , / + o (1)o`u h |i , / d´esigne le produit scalaire dans A ( T , ) = { ρ ∈ L ( T ) / X m ∈ Z | m || ˆ ρ ( m ) | < ∞} (voir[28] ). En utilisant toujours la propri´et´e 2 extraite de la d´emonstration du th´eor`eme 8 il vient,avec | N − s | < n , avec n comme dans le pr´eambule de la d´emonstration, et si n assez petit : N − s X l =0 β l,N β l + s,N = O (cid:18) N (cid:19) N − s X l =0 lβ l,N β l + s,N = O (cid:18) N (cid:19) . Soit N X s = N − n b f ( s )( N − s ) N − s X l =0 β l,N β l + s,N = O ( N − α − )et N X s = N − n b f ( s ) N − s X l =0 lβ l,N β l + s,N = O ( N − α − ) . Nous allons donc ´etudier ne fait la somme b f (0)Tr ( T N ( f )) − + 2 ℜ N ′ X s =1 b f ( s ) N ′ − s X l =0 ( T N ( f )) − l,l + s ! avec N ′ = N − n . Nous v´erifierons ensuite que l’approximation trouv´ee est d’ordre sup´erieur`a O ( N − α − ).D’apr`es le lemme pr´ec´edent la somme pr´ec´edente se d´ecompose en quatre sommes que nousallons traiter s´epar´ement. ( N + 1) ˆ f (0) d(cid:16) f (cid:17) (0) + 2 N ′ X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α +1 d f − ( − s ) ! Il est connu que pour s suffisamment grand on a b f ( s ) = c (1)Γ( − α ) s − α − + o ( s − α − ) , d f − ( s ) = 1 c (1)Γ(2 α ) s α − + o ( s − α − ) . Trois cas sont `a distinguer pour calculer cette somme.a) > α − α > . Sous cette hypoth`ese nous pouvons ´ecrire, en posant C = c (1) c (1) 1Γ( − α )Γ(2 α ) ( N + 1) N X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α +1 c f ( − s ) = ( N + 1) N X s =1 b f ( s ) c f ( − s )++ ( N + 1) N X s =1 b f ( s ) c f ( − s ) (cid:16) (1 − sN ) α +1 − (cid:17) ce qui donne encore( N + 1) N X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α +1 c f ( − s ) = ( N + 1) + ∞ X s =1 b f ( s ) c f ( − s ) − ( N + 1) + ∞ X s = N b f ( s ) c f ( − s )+ ( N + 1) N X s =1 b f ( s ) c f (cid:16) (1 − sN ) α +1 − (cid:17) N + 1) ˆ f (0) \ (cid:18) f (cid:19) (0) + 2 N X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α +1 c f ( − s ) ! = Tr (cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19)(cid:19) + 2 N α − α C (cid:18)Z u α − α − (cid:0) (1 − u ) α +1 − (cid:1) du −− Z + ∞ u α − α − du (cid:19) + o ( N α − α )b) 0 > α − α > − . On ´ecrit alors :( N + 1) N ′ X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α +1 d f − ( − s ) = ( N + 1) N ′ X s =1 b f ( s ) d f − ( − s ) − ( α + 1) N ′ X s =1 s b f ( s ) d f − ( − s )+ ( N + 1) N ′ X s =1 b f ( s ) d f − ( − s ) (cid:16) (1 − sN ) α +1 − α + 1) sN (cid:17) = ( N + 1) + ∞ X s =1 b f ( s ) d f − ( − s ) − ( α + 1) + ∞ X s =1 s b f ( s ) d f − ( − s ) −− ( N + 1) + ∞ X s = N +1 b f ( s ) d f − ( − s ) + ( α + 1) + ∞ X s = N +1 s b f ( s ) d f − ( − s )++ ( N + 1) N ′ X s =1 b f ( s ) d f − (cid:16) (1 − sN ) α +1 − α + 1) sN (cid:17) D’o`u, ( N + 1) b f (0) \ (cid:0) f − (cid:1) (0) + 2 N ′ X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α +1 d f − ( − s ) ! == Tr (cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19)(cid:19) − ( α + 1) h f | f − i , / ++ 2 N α − α C (cid:18)Z u α − α − (cid:0) (1 − u ) α +1 − α + 1) u (cid:1) du − Z + ∞ u α − α − du + ( α + 1) Z + ∞ u α − α − du (cid:19) + o ( N α − α ) . − > α − α > − N + 1) N ′ X s =1 b f ( s ) d f − ( − s )(1 − sN ) α +1 =( N + 1) N ′ X s =1 b f ( s ) d f − ( − s ) − ( α + 1) N ′ X s =1 s b f ( s ) d f − ( − s ) + ( α + 1) α N N ′ X s =1 s b f ( s ) c f ( − s )+( N + 1) N ′ X s =1 b f ( s ) d f − ( − s ) (cid:18) (1 − sN ) α +1 − α + 1) sN − α ( α + 1) s N (cid:19) Ce qui nous permet finalement d’´ecrire,en utilisant les mˆem‘es calculs que ci-dessus( N + 1) ˆ f (0) \ (cid:0) f − (cid:1) (0) + 2 N ′ X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α +1 d f − ( − s ) ! == Tr (cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19)(cid:19) − ( α + 1) h f | f − i , / + O ( 1 N ) . ℜ N ′ X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α τ ( sN ) X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s Pour all´eger les calculs nous poserons dans la suite de cette d´emonstration X u ≥ uβ ( α ) u β α u + s = Σ( s ) . Rappelons le r´esultat, pour s suffisamment grandΣ( s ) = C s α , avec C = C α . L`a aussi nous allons devoir distinguer trois cas suivant les valeurs de α − α .a) > α − α > ℜ N ′ X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α τ ( sN ) X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s == 2 N α − α Z u α − α − (1 − u ) α τ ( u ) du + o ( N α − α )b) 0 > α − α > − N ′ X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α α (2 − sN )Σ( s ) == 2 α N ′ X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α Σ( s ) − α N N ′ X s =1 s b f ( s )(1 − sN ) α Σ( s )= 2 α N ′ X s =1 b f ( s )Σ( s ) (cid:16) (1 − sN ) α − (cid:17) + N X s =1 b f ( s )Σ( s ) ! − α N N ′ X s =1 s b f ( s )Σ( s )(1 − sN ) α . Ce qui donne, tous calculs faits ℜ N ′ X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α Σ( s ) α (2 − sN ) ! = 2 α ℜ + ∞ X s =1 b f ( s )Σ( s ) ! + C N α − α (cid:18) Z u α − α − ((1 − u ) α − du − Z u α − α (1 − u ) α du − Z + ∞ u α − α − du (cid:19) + o ( N α − α ) . On a de mˆeme ℜ N ′ X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α +1 s ) ! == 2 ℜ + ∞ X s =1 b f ( s )Σ( s ) ! ++ 4 C N α − α (cid:18)Z u α − α − (cid:0) (1 − u ) α +1 − (cid:1) du − Z + ∞ u α − α − du (cid:19) + o ( N α − α ) . Nous sommes donc ramen´es `a calculer4( α + 1) ℜ ( + ∞ X s =1 b f ( s )Σ( s )) . Pr´ecisons cette quantit´e quand les fonctions f et f sont paires. Nous avons X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s = − i X u ≥ u d g − ( u ) d g − ( u + s )= − i h (cid:0) g − (cid:1) ′ | (cid:0) χ − s g − (cid:1) i = − i h (cid:0) g − (cid:1) ′ g | (cid:0) χ − s f − (cid:1) i = X u ≥ u \ (cid:0) ln g − (cid:1) ( u ) \ χ − s f − ( u ) .
21t de mˆeme nous obtenons : X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s = X u ≥ u d g − ( u ) d g − ( u + s )= i X u ≥ \ ( g − ) ′ ( u ) \ g − ( u + s ) = i X u ≥ \ ( g − ) ′ ( − u ) (cid:18)d g − ( u + s ) (cid:19) = i X u ≥ \ ( g − ) ′ ( − u ) d ¯ g − ( − u − s ) = i h (cid:0) ¯ g − (cid:1) ′ | (cid:0) χ s ¯ g − (cid:1) i = i h (cid:0) ¯ g − (cid:1) ′ ¯ g | (cid:0) χ s f − (cid:1) i = − X u ≤ u \ (cid:0) ln ¯ g − (cid:1) ( u ) \ χ s f − ( u ) . En remarquant que l’on a π + \ ln( f − )( u ) = \ ln( g − )( u ) si u > π − \ ln( f − )( u ) = \ ln(¯ g − )( u )si u < ℜ X s ≥ b f ( s )Σ( s ) = X s ≥ b f ( s ) X u ≥ u \ ln f − ( u ) \ χ − s f − ( u ) − X s ≥ b f ( − s ) X u ≤ u \ ln f − ( u ) \ χ s f − ( u ) . Nous avons ensuite X s ≥ d ( f )( s ) X u ≥ u b ln f − ( u ) \ χ − s f − ( u ) = X u ≥ u \ ln f − ( u ) X s ≥ d ( f )( s ) \ χ − s f − ( u )= X u ≥ u \ ln f − ( u ) X s ≥ d ( f )( s ) d f − ( u + s )= X u ≥ u \ ln f − ( u ) X s ≥ d ( f )( s ) d f − ( − u − s )et en rempla¸cant u par − u , en utilisant la parit´e de f X s ≥ d ( f )( s ) X u ≥ u b ln f − ( u ) \ χ − s f − ( u ) = X u ≤ | u | \ ln f − ( u ) X s ≥ d ( f )( s ) d f − ( u − s ); (4)en proc´edant de mˆeme il vient − X s ≥ b ( f )( − s ) X u ≤ u \ ln f − ( u ) \ χ s f − ( u ) = X u ≤ | u | \ ln f − ( u ) X s ≥ d ( f )( − s ) \ χ − s f − ( u )= X u ≤ | u | \ ln f − ( u ) X s ≥ d ( f )( − s ) d f − ( u − s )= X u ≤ | u | \ ln f − ( u ) X s ≥ d ( f )( s ) d f − ( s − u )22e qui donne, toujours grˆace `a la parit´e de f : − X s ≥ b ( f )( − s ) X u ≤ u \ ln f − ( u ) \ χ s f − ( u ) = X u ≤ | u | \ ln f − ( u ) X s ≥ d ( f )( s ) d f − ( u − s ) . (5)Nous pouvons donc ´ecrire2 ℜ X s ≥ d ( f )( s )Σ( s ) = 2 X u ≤ | u | \ ln f − ( u ) X s ≥ d ( f )( s ) d f − ( u − s ) . (6)Consid´erons maintenant l’´egalit´e2 (cid:18) h ln f − | f f i , / − h ln f − | f i , / b f (0) (cid:19) = + S + S + S + S (7)avec S = 2 X u ≤ | u | \ ln f − ( u ) X s ≤− d ( f )( s ) d f − ( u − s ) S = 2 X u ≥ | u | \ ln f − ( u ) X s ≤− d ( f )( s ) d f − ( u − s ) S = 2 X u ≥ | u | \ ln f − ( u ) X s ≥ d ( f )( s ) d f − ( u − s ) ,S = 2 X u ≤ | u | \ ln f − ( u ) X s ≥ d ( f )( s ) d f − ( u − s ) . Nous avons clairement S = S = ℜ X s ≥ d ( f )( s )Σ( s ) et S = S . Nous avons d’autrepart S = X u ≤ | u | \ ln f − ( u ) X s ≤− d ( f )( s ) d f − ( u − s )= X u ≤ | u | \ ln f − ( u ) X s ≤− d ( f )( s ) d f − ( s − u )= X u ≤ | u | \ ln f − ( u ) X s ≥ d ( f )( s ) d f − ( s + u )= − X s ≥ d ( f )( s ) X u ≤ u \ ln f − ( u ) \ χ − s f − ( u ) . − X u ≤ u \ ln f − ( u ) \ χ − s f − ( u ) = − X u ≤ b u ln ¯ g − ( u ) \ χ − s f − ( u )= i X u ≤ \ (cid:0) ln ¯ g − (cid:1) ′ ( u ) \ χ − s f − ( u )= i h (cid:0) ln ¯ g − (cid:1) ′ | χ − s f − i = i h (cid:0) ¯ g − (cid:1) ′ ¯ g − | χ − s f − i = i h (cid:0) ¯ g − (cid:1) ′ | χ − s ¯ g − i = i X u ≤ \ (cid:0) ¯ g − (cid:1) ′ ( u ) \ χ − s ¯ g − ( u )= − X u ≤ u d ¯ g − ( u ) \ χ s g − ( − u ) = − X u ≤− s uβ ( α ) − u β ( α ) − u − s Il est maintenant facile de se rendre compte que − X u ≤− s uβ ( α ) − u β ( α ) − u − s = X v ≥ s vβ ( α ) v β ( α ) v − s = X w ≥ ( w + s ) β ( α ) w + s β ( α ) w et puisque s X w ≤ β ( α ) w + s β ( α ) w = s h g − | χ s g − i = s h | χ s f − i = s b f ( − s )nous pouvons finalement conclure2 (cid:18) h ln f − | f f i , / − h ln f − | f i , / b f (0) (cid:19) = 4 ℜ X s ≥ d ( f )( s )Σ( s ) + 2 h f | f − i , / . (8)Autrement dit ℜ X s ≥ d ( f )( s )Σ( s ) = 12 (cid:18) h ln f − | f f i , / b f (0) − h ln f − | f − i , / − h f | f − i , / (cid:19) (9)Nous pouvons donc conclure que2 ℜ N X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α τ ( sN ) X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s vaut − α + 1) (cid:18) h ln f − | f f i , / − h ln f − | f − i , / b f (0) − h f | f − i , / (cid:19) . − > α − α > − N ′ X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s α (2 − sN ) == 2 α N ′ X s =1 b f ( s ) X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s (cid:16) (1 − sN ) α − α sN (cid:17) + N X s =1 b f ( s ) X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s −− α N N ′ X s =1 s b f ( s ) X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s − α N N ′ X s =1 s b f ( s ) X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s + N X s =1 b f ( s ) X u ≥ uβ ( α ) u β ( α ) u + s (cid:16) (1 − sN ) α − (cid:17) et les r´esultats du points pr´ec´edent s’appliquent imm´ediatement. N α N ′ X s =0 (1 − sN ) α F ( sN ) b f ( s ) N α Ici seul le signe de α est d´eterminant. (rappelons que α est n´egatif)a) α < N α N ′ X s =0 (1 − sN ) α F ( sN ) b F ( s ) == N α − α c (1)Γ ( α ) Z (1 − t ) α F ( t ) t − α − dt b) α > N α N ′ X s =0 (1 − sN ) α F ( sN ) b f ( s ) == N α N ′ X s =0 (cid:16) F ( sN )(1 − sN ) α − F (0) (cid:17) b f ( s ) + N α F (0) N ′ X s =0 b f ( s )qui donne l’´egalit´e suivante, en se souvenant que + ∞ X −∞ b f ( s ) = 0 N α N X s =0 (1 − sN α F ( sN ) b f ( s ) == N α − α c (1)Γ ( α ) (cid:18)Z (cid:0) F ( t )(1 − t ) α − F (0) (cid:1) t − α − dt − F (0) K (cid:19) K = Z + ∞ t − α − dt + b f ( . α ∈ ]0 , [ N N X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α +1 c f ( − s )Rappelons que dans ce casTr (cid:0) T − N ( f ) (cid:1) ) = ( N + 1) \ (cid:18) f (cid:19) (0) + N α K α c (1)Γ ( α ) + o ( N α )avec K α = Z / Z x t α − (cid:0) (1 − t ) α − (cid:1) − t α (1 − t ) α − dtdx + 12 α (2 α − . Comme dans le cas n´egatif trois cas sont `a distinguer.a) < α − α < N N X s =1 (1 − sN ) α +1 b f ( s ) c f ( − s ) = N α − α C Z (1 − u ) α +1 u α − α − du + o ( N α − α ) . b) 0 < α − α < . Avec les mˆemes id´ees que dans le cas n´egatif il vient N N X s =1 (1 − sN ) α +1 b f ( s ) c f ( − s ) = N N X s =1 b f ( s ) c f ( − s ) (cid:16) (1 − sN ) α +1 − (cid:17) + N N X s =1 b f ( s ) c f ( − s ) == Tr (cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19)(cid:19) + N α − α C (cid:18)Z (cid:0) (1 − u ) α +1 − (cid:1) u α − α − du − Z + ∞ u α − α − du (cid:19) + o ( N α − α ) . c) − < α − α < α est n´egatif N N ′ X s =1 (1 − sN ) α +1 b f ( s ) c f ( − s ) = N N ′ X s =1 b f ( s ) c f ( − s ) (cid:16) (1 − sN ) α +1 − α + 1) sN (cid:17) ++ N N ′ X s =1 b f ( s ) c f ( − s ) − ( α + 1) N ′ X s =1 s b f ( s ) c f ( − s )26’o`u 2 ℜ N N ′ X s =1 b f ( s )(1 − sN ) α +1 c f ( − s ) ! + b f (0)Tr (cid:0) T − N ( f ) (cid:1) ) est ´egal `aTr (cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19)(cid:19) − ( α + 1) h f | f − i , / + N α K α c (1)Γ ( α ) ++ N α − α C (cid:18)Z ((1 − u ) α + 1 − u ( α + 1)) u α − α − du −− Z + ∞ u α − α − du + ( α + 1) Z + ∞ u α − α − du (cid:19) . N α N ′ X s =0 (1 − sN )2 α F ( sN ) b f ( s )Ce calcul se traite comme dans le cas pr´ec´edent. La d´emonstration n´ecessite deux lemmes.
Lemme 5
Avec les hypoth`eses du th´eor`eme (2) f il existe une constante strictement positivet K ind´ependante de s telle que pour tout entier s on ait (cid:12)(cid:12)(cid:12) Tr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) s − T N (cid:18)(cid:18) f f (cid:19) s (cid:19)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ K s (cid:0) k f k ∞ k f − k ∞ (cid:1) Lemme 6
Avec les hypoth`eses du th´eor`eme (2) n´egatif posons pour tout entier N et t ∈ ∆ R ,N ( t ) = Tr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) − T N (cid:18) f f (cid:19) − Ψ ( t ) . Alors pour tout N la fonction R ,N est analytique sur un voisinage de z´ero et pour tout entiernaturel non nul p on a lim N → + ∞ R ( p )1 ,N (0) = 0 . Remarque 8
Dans la suite de la d´emonstration nous noterons kk la norme k A k = (Tr( t AA ) / ) .Si kk d´esigne la norme classique des matrices, rappelons les propri´et´es bien connues Tr A | ≤ k A k , k AB k ≤ k A k k B k . Remarque 9
On rappelle ´egalement que si ρ est un endomorphisme sym´etrique r´eelle dans unespace de dimension n on a, si λ , λ , · · · , λ n sont les valeurs propres de ρ : k ρ k = max { λ i / ≤ i ≤ n } . Remarque 10
Enfin on utilisera que si f est une fonction positive sur ] − π, π ] qui ne s’annulequ’en un nombre fini de points l’op´erateur T N ( f − ) − T − N ( f ) est un op´erateur positif. Lemme 7 Si h et h sont dans A ( T , / on a k T N ( h h ) − T N ( h ) T N ( h ) k ≤ k h k , / k h k , / . et ´egalement Lemme 8
Il existe une constante
C > telle que si h et h sont dans A ( T , / on ait k h h k , / ≤ C ( k h k ∞ + k h k , / )( k h k ∞ + k h k , / ) . Ces deux r´esultats peuvent se trouver dans [32].EcrivonsTr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) s − T N (cid:18)(cid:18) f f (cid:19) s (cid:19) = Tr (cid:18)(cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) s − (cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19)(cid:19) s (cid:19) ++Tr (cid:18)(cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19)(cid:19) s − T N (cid:18)(cid:18) f f (cid:19) s (cid:19)(cid:19) . En utilisant Tr( A s − B s ) = Tr (cid:0) ( A − B )( A s − + A s − B + · · · + B s − (cid:1) nous pouvons ´ecrire (cid:12)(cid:12)(cid:12) Tr (cid:18)(cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) s − (cid:18) T N f f (cid:19) s (cid:19)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ S S En posant S = k T N ( f ) T − N ( f ) − T N f f k et S = k P s − k =1 (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) k (cid:16) T N f f (cid:17) s − − k k . Il vient alors, en utilisant [28], plus le fait que T N ( f − ) − T − N ( f ) est un op´erateur positif etaussi le lemme 7 S ≤ k T N ( f ) kk T − N ( f ) − T N ( f − ) k + k T N ( f ) T N ( f − ) − T N f f k ≤ O ( N α ) + k f k , / k f − k , / . D’autre part nous obtenons facilement S ≤ s X p =1 k f k p ∞ k ( T N ( f )) − k p k f f k s − − p ∞ ≤ s X p =1 (cid:0) k f k ∞ k f − k ∞ (cid:1) p k f f k s − − p ∞ ≤ s X p =1 (cid:0) k f k ∞ k f − k ∞ (cid:1) s − ≤ ( s − (cid:0) k f k ∞ k f − k ∞ (cid:1) s − Etudions maintenant Tr (cid:16)(cid:16) T N (cid:16) f f (cid:17)(cid:17) s − T N (cid:16)(cid:16) f f (cid:17) s (cid:17)(cid:17) . On aTr (cid:18)(cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19)(cid:19) s − T N (cid:18)(cid:18) f f (cid:19) s (cid:19)(cid:19) ≤ (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19)(cid:19) s − T N (cid:18)(cid:18) f f (cid:19) s (cid:19)(cid:13)(cid:13)(cid:13)
28t on pose G s = (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19)(cid:19) s − T N (cid:18)(cid:18) f f (cid:19) s (cid:19)(cid:13)(cid:13)(cid:13) On a G s ≤ (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:18) T N f f T N f f (cid:19) s − − T N f f T N (cid:18) f f (cid:19) s − !(cid:13)(cid:13)(cid:13) + (cid:13)(cid:13)(cid:13) T N f f T N (cid:18) f f (cid:19) s − ! − (cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19) s (cid:19)(cid:13)(cid:13)(cid:13) . Et en utilisant le lemme (7) nous obtenons (cid:13)(cid:13)(cid:13) T N f f T N (cid:18) f f (cid:19) s − ! − (cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19) s (cid:19)(cid:13)(cid:13)(cid:13) ≤ (cid:13)(cid:13)(cid:13) f f (cid:13)(cid:13)(cid:13) , / (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:18) f f (cid:19) s − (cid:13)(cid:13)(cid:13) , / ce qui d’apr`es le lemme 8 s’´ecrit aussi (cid:13)(cid:13)(cid:13) T N f f T N (cid:18) f f (cid:19) s − ! − (cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19) s (cid:19)(cid:13)(cid:13)(cid:13) ≤ C (cid:13)(cid:13)(cid:13) f f (cid:13)(cid:13)(cid:13) , / (cid:18)(cid:13)(cid:13)(cid:13) f f (cid:13)(cid:13)(cid:13) , / + (cid:13)(cid:13)(cid:13) f f (cid:13)(cid:13)(cid:13) ∞ (cid:19) s − . En posant M = (cid:13)(cid:13)(cid:13) f f (cid:13)(cid:13)(cid:13) , / + (cid:13)(cid:13)(cid:13) f f (cid:13)(cid:13)(cid:13) ∞ nous avons l’in´egalit´e G s ≤ M G s − + CM s . Ce qui donne finalement G s ≤ CsM s . D’o`u le lemme( 5).
Un d´eveloppement en s´erie enti`ere permet d’´ecrire, pour tout t ∈ ∆, R ,N ( t ) = Tr (cid:18) T N ( f ) ( T N f ,t ) − − T N (cid:18) f f ,t (cid:19)(cid:19) − Ψ ( t )soit R ,N ( t ) = ∞ X s =0 t s ( − s Tr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) s +1 − Tr T N (cid:18) f f (cid:19) s +1 ! − ∞ X s =0 t s Ψ ( s )1 (0) s !Ce qui donne, pour tout entier naturel q (en d´erivant) (cid:12)(cid:12)(cid:12) R ( q )1 ,N ( t ) − R ( q )1 ,N (0) (cid:12)(cid:12)(cid:12) = X s ≥ q +1 ( − s s · · · ( s − q + 1) t s − q Tr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) s +1 − Tr T N (cid:18) f f (cid:19) s +1 ! − X s ≥ q +1 t s − q Ψ ( s )1 (0)( s − p )! . (cid:12)(cid:12)(cid:12) R ( q )1 ,N ( t ) − R ( q )1 ,N (0) (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ | t | X s ≥ p +1 | t s − p +1 | K s s · · · ( s − q + 1) + X s ≥ p +1 | t s − p +1 | | Ψ ( s )1 (0) | ( s − q )! et (cid:12)(cid:12)(cid:12) R ( q )1 ,N ( t ) − R ( q )1 ,N (0) (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ | t | K p +10 φ q ( t )o`u la fonction φ q est born´ee sur un voisinage de z´ero. Ce r´esultat peut encore s’´ecrire, si p estcomme dans l’´enonc´e du lemme ∀ ǫ > , ∀ q ∈ N ∗ ∃ δ ǫ,q t . q . ∀ N (cid:12)(cid:12)(cid:12) R ( q )1 ,N ( t ) − R ( q )1 ,N (0) (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ ǫ. (10)Soit maintenant t fix´e dans ] − δ ǫ, , δ ǫ, [. Pour tout entier N il existe t N compris entre 0 et t tel que R ,N ( t ) = R ,N (0) + tR ′ ,N ( t N ). C’est une cons´equence du th´eor`eme 1 que la limite dessuites R N (0) et R ,N ( t ) est nulle. On a donc lim N → + ∞ tR ′ ,N ( t N ) = 0 et lim N → + ∞ R ′ ,N ( t N ) = 0.Puisque t N ∈ ] − δ ǫ, , δ ǫ, [ l’in´egalit´e (10) permet de conclure lim N → + ∞ R ′ ,N ( t ) = 0.Supposons maintenant la propri´et´e obtenue pour tout entier q strictement inf´erieur `a p . Soitcette fois t dans ] − δ ǫ,p , δ ǫ,p [. Pour tout entier N la formule de Taylor-Lagrange nous donnel’existence d’au moins un r´eel t N tel que R ,N p − X j =0 t j j ! R ( s )1 ,N (0) + t p p ! R ( p )1 ,N ( t N ) . Le th´eor`eme 1 et l’hypoth`ese de r´ecurrence donnent de la mˆeme mani`ere que ci-dessus lim N → + ∞ R ( p )1 ,N ( t N ) =0 et, avec t N ∈ ] − δ ǫ,p , δ ǫ,p [ l’in´egalit´e (10) donne lim N → + ∞ R ( p )1 ,N (0) = 0. Le th´eor`eme s’obtient alors facilement pour α < (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ,t ) (cid:1) − Tr (cid:18) T N f f ,t (cid:19) = Ψ ( t ) + R ,N ( t ) . Posons ˜ h = h − . Posons T N h T − N ˜ h = A T N ( h ) T N h = B. Pour tout entier naturel s nous avonsTr( A s − B s ) = Tr ( A − B ) s − X j =0 A j B s − − j
30e qui permet d’´ecrire | Tr( A s − B s ) | ≤ k M − N k k s − X j =0 A j B s − − j k . Or puisque T N ( h ) − T − N ˜ h est un op´erateur positif nous avons k A − B k ≤ k T N ( h ) k Tr (cid:18) T − N ˜ h − T N ( 1˜ h ) (cid:19) = o ( N )d’apr`es [29]. D’autre part, toujours avec les mˆemes notations, k A j B s − − j k ≤ (cid:18) k h k ∞ k h k ∞ (cid:19) s D’o`u finalement Tr (cid:16) T N h T − N ˜ h (cid:17) s − Tr (cid:18) T N h T N ( 1˜ h (cid:19) s = o ( N )ce qui permet d’obtenir le r´esultat avec le th´eor`eme 2 et en rempla¸cant ˜ h par sa valeur. Dans la suite nous poserons ∆ =] − δ − , δ − [avec δ = 2 K (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) ∞ (cid:13)(cid:13)(cid:13) f − (cid:13)(cid:13)(cid:13) ∞ la constante K ´etant celle qui intervient dans l’´enonc´e du lemme 7. Dans la suite nous noterons λ ( N ) i , 1 ≤ i ≤ N les valeurs propres de T N ( f f ) et µ ( N ) i , 1 ≤ i ≤ N les valeurs propres de T N ( f ) T − N ( f ).Nous pouvons alors ´enoncer le lemme Lemme 9
Pour tout u ∈ ∆ α > et α < ∞ X l =1 ( − l l u l Tr (cid:0) T N f T − N f (cid:1) l = ∞ X l =1 ( − l l u l Tr T N ( f f ) l − ∞ X l =1 l u l Ψ ( l )1 (0) l ! + o (1) , D´emontrons ce lemme .Soit ǫ > δ , nous savons qu’il existe l tel que t ∈ ∆ et pour tout entier naturel N nous avons lesmajorations (cid:12)(cid:12)(cid:12) ∞ X l = l ( − l l u l (cid:18) Tr (cid:0) T N f T − N f (cid:1) l − Tr T N ( f f ) l (cid:19) ≤ ǫ et ∞ X l = l l u l Ψ ( l )1 (0) l ! ≤ ǫ. D’autre part apr`es le th´eor`eme 2 il existe un N tel que pour tout N ≥ N et s ≤ l on ait, (cid:12)(cid:12)(cid:12) Tr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) s − Tr (cid:18) T N (cid:18) f f (cid:19) s (cid:19) − ( − s +1 Ψ ( s )1 (0) s ! (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ ǫl . u ∈ ∆ nous pouvons ´ecrire ∞ X l =1 ( − l l u l Tr (cid:18) T N ( f f ) l (cid:19) = ∞ X l =1 − l lu l N X i =1 ( λ ( N ) i ) l = N X i =1 ∞ X l =0 − l l u l ( λ ( N ) i ) l = N X i =1 ln(1 + uλ ( N ) i ) . De mˆeme nous obtenons ∞ X l =1 − l l u l Tr (cid:0) T N ( f ) T − N ( f ) (cid:1) l = N X i =1 ln(1 + µ ( N ) i ) . Nous avons donc obtenu ∀ u ∈ ∆ lim N → + ∞ N X i =1 ln(1 + uλ ( N ) i ) ) − ln(1 + uµ ( N ) i ) N = 0 (11)En reprenant [21] pp 62-63 nous pouvons conclure que pour tout fonction continue F dans∆ = [ − δ , δ ] ∀ u ∈ ∆ lim N → + ∞ N X i =1 F ( uλ N ) ) − F ( µ ( N ) i ) N = 0 (12)Ce qui traduit la convergence faible (ou en loi) de la suite de mesure P Ni =1 δ λ ( N ) i vers la mesureimage de la mesure de Lebesgue sur le tore par la fonction f f (voir toujours [21] p65). Nouspouvons alors appliquer la Proposition 3 pp79 de [3] qui nous permet d’´ecrire le th´eor`eme 4 Pour tout entier N on suppose les valeurs propres ( µ ( N ) i ) ≤ i ≤ N class´ees par ordre croissante.L’´equation 12 peut encore s’´ecrire ∀ u ∈ ∆ lim N → + ∞ N X i =1 F ( uµ ( N ) i ) N = 12 π Z π − π F ( f ( x )) dx (13)Ce qui implique lim N →∞ µ ( N )1 = 0 , et lim N →∞ µ ( N ) N = k f f k ∞ . D´emontrons cette propri´et´e. Posons M = k f f k ∞ . On sait que les valeurs propres de T N ( f ) T − N ( f )sont dans [0 , M ] pour cela on peut voir [3] lemme 10 p 87 ou consid´erer l’op´erateur M T N ( f ) − T N ( f ) qui est positif. Il en est de mˆeme pour l’op´erateur M − T N ( f ) − / T N ( f ) T N ( f ) − / .Ses valeurs propres sont donc positives et on conclut en remarquant quesi T N ( f ) − / T N ( f ) T N ( f ) − / ( x ) = µx alors T N ( f ) T N ( f ) − ( y ) = µy avec x = T N ( f ) − / ( y ) . N →∞ µ ( N ) N = M . Cela signifie qu’il existe un r´eel ǫ > N tels qu’il existe une sous-suite φ v´erifiant ou ∀ N ≥ N µ φ ( N ) φ ( N ) − M < ǫ.
Une fonction F continue, strictement positive, de support contenu dans [ M − ǫ, M ] nous donnealors une contradiction. On d´emontre de mˆeme que lim N →∞ µ ( N )1 = 0. Nous consid´erons donc la fonction
N L N ( t ) = − P Ni =1 ln(1 − µ Ni t ) o`u les ( µ Ni ) , ≤ N sont les valeurs propres de A N = (cid:16) T / N f T − N f T / N f (cid:17) qui sont aussi celles de T N f T − N f .On ´ecrit, pour | t | < | µ Ni | = δ N L N ( t ) = − N X i =1 ln(1 − µ Ni t ) = 12 N X i =1 ∞ X p =1 (2 t ) p ( µ Ni ) p p = 12 ∞ X p =1 (2 t ) p p Tr (cid:0) T N f T − N f (cid:1) p En utilisant de nouveau le lemme 9 il vient que pour tout t ∈ ∆ nous obtenons finalement N L N ( t ) = −
12 Tr T N ln (cid:18) − t f f (cid:19) − Ψ(2 t ) + o (1) . Soit par analycit´e pout tout t ∈ ∆ L ( t ) = − π Z π ln (cid:18) (1 − t ) − t f f ( θ ) (cid:19) dθ, et lim N → + ∞ (cid:18) N L N ( t ) + N π Z π ln (cid:18) − t f f ( θ ) (cid:19) dθ (cid:19) = Ψ(2 t )2 L’outil principal est l’´evaluation du reste de la formule d’Euler et Mac-Laurin que nousrappelons ici, pour deux entiers naturels m et n et une fonction ff ( m ) + f ( m + 1) + · · · + f ( n ) = Z nm f ( t ) dt + 12 ( f ( m ) + f ( n ))+ r X h =1 ( − h − B h (2 h )! (cid:16) f (2 h − ( n ) − f (2 h − ( m ) (cid:17) + R r avec | R r | ≤ π ) Z nm | f ( r +1) ( t ) | dt et o`u les B h sont les nombres de Bernouilli. 33 .1.1 Calcul de A ′ De part la nature des termes `a consid´erer le reste de la somme A ′ est rapidement trait´eegrˆace `a la formule d’Euler et Mac-Laurin. Nous remarquons que pour avoir un reste en o ( N α − nous avons besoin de la condition δ > α α − . (14) A ′ Pour appliquer la formule d’Euler Mac-Laurin au reste de la quantit´e A ′ on ´ecrit N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − lN ) α − α lN (cid:19) = N α − Γ ( α ) c (1) Z m /N t α − ( t + s ) α − ((1 − t ) α − α t ) dt − m X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − lN ) α − α lN (cid:19) + N α − Γ ( α ) c (1) Z − s ′ N t α − ( t + sN ) α − ((1 − t ) α − α t ) dt + m α − ( m + s ) α − (cid:16) (1 − m N ) α − α m N (cid:17) + ( N − s ′ ) α − (( N − s ′ ) + s ) α − (cid:18) (1 − N − s ′ N ) α − α N − s ′ N (cid:19) + R o`u R est le reste d’Euler et Mac-Laurin, d´efini comme ci-dessus. Pour rendre les encadrementsdes diff´erentes quantit´es plus ais´es on divise l’ensemble des indices s en deux intervalles [0 , N δ ]et [ N δ , N − N δ ] avec 0 < δ < < δ <
1. La quantit´e N δ correspond `a l’entier n dela d´emonstration. Nous ferons ´egalement intervenir le r´eel m = N δ (0 < δ <
1) qui soittel que pour m ≥ m l’usage de l’asymptotique de β ( α ) m soit pertinent. Nous avons bien sˆur0 < δ <
1, 0 < δ < N δ < N δ < N − N δ . La quantit´e δ est commune aux quatre calculsdes restes relatifs aux termes A ′ , A ′ , A ′ . Par contre les quantit´es δ et δ peuventˆetre choisies ind´ependamment dans chacun des quatre calculs. Les majorations des diff´erentstermes intervenants dans la somme sont classiques et on obtient l’approximation annonc´e´eavec un reste d’ordre o ( N α − ) uniform´ement par rapport `a s . Pour terminer l’´etude du restecoefficient A ′ il nous faut encore consid´erer pour s ∈ [0 , N − N δ ] le reste de l’´egalit´e1 N + ∞ X N − s ′ +1 β ( α ) l β ( α ) l + s l = 1 N Z + ∞ N + s ′ +1 t α ( t + s ) α − Γ ( α ) c (1) dt + 12 N ( N − s ′ ) α ( N + s − s ′ ) α − Γ ( α ) c (1) + R . Nous avons imm´ediatement12 N ( N − s ′ ) α ( N + s − s ′ ) α − Γ ( α ) c (1) = O (cid:16) N δ α N α − (cid:17) = o ( N α − ) si α < O ( N α − ) = o ( N α − ) si α > . et d’autre part | R | ≤ N Z + ∞ N − s ′ +1 ( α ) c (1) (cid:16) α t α − ( t + sN ) α − + ( α − t α ( t + s ) α − (cid:17) dt. (15)34a d´eriv´ee intervenant dans l’´equation 15 ´etant de signe constant nous avons | R | ≤ N ( N − s ′ ) α ( N + s − s ′ ) α − Γ α c (1)= O (cid:16) N δ α N α − (cid:17) = o ( N α − ) si α < O ( N α − ) = o ( N α − ) si α > . A ′ Ici aussi pour faciliter nos calculs nous sommes oblig´e de diviser l’intervalle auquel appar-tient le param`etre s en [0 , N δ ], et en [ N δ , N − N δ ]. Nous cherchons tout d’abord `a majoreruniform´ement le reste Q dans la formule N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − l + sN ) α − (1 − sN ) α + α lN (1 − sN ) α − (cid:19) == N α − c (1)Γ ( α ) Z − s ′ N t α − ( t + sN ) α − (cid:16) (1 − t − sN ) α − (1 − sN ) α ++ α t (1 − sN ) α − (cid:17) dt + Q. Pour ce faire nous utilisons le mˆeme type de d´ecomposition que dans le cas du reste de A ′ avec m = N δ un entier fix´e comme ci-dessus. Comme pr´ec´edemment nous sommes conduits`a utiliser la formule d’Euler et Mac-Laurin et nous ´ecrivons Q = m α − c (1)Γ ( α ) ( m + s ) α − (cid:18) (1 − m + sN ) α − (1 − sN ) α + αm N (1 − sN ) α − (cid:19) + ( N − s ′ ) α − c (1)Γ ( α ) ( N − s ′ + s ) α − (cid:18) (1 − N − s ′ + sN ) α − (1 − sN ) α + αN − s ′ N (1 − sN ) α − (cid:19) + n X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − l + sN ) α − (1 − sN ) α + α lN (1 − sN ) α − (cid:19) ds − N α − c (1)Γ ( α ) Z n /N t α − ( t + sN ) α − (cid:16) (1 − t − sN ) α − (1 − sN ) α + α t (1 − sN ) α − (cid:17) dt + R ′ avec R ′ qui correspond au reste de la formule d’Euler et Mac-Laurin. R ′ ≤ N α − c (1)Γ ( α ) Z − s ′ /Nm /N (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:16) ( α − t α − ( t + sN ) α − (2 t + sN ) (cid:17)(cid:16) (1 − t − sN ) α − (1 − sN ) α + α t (1 − sN ) α − (cid:17) dt (cid:12)(cid:12)(cid:12) + Z − s ′ /Nm /N (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:16) α t α − ( t + sN ) α − (cid:17)(cid:16) − α (1 − t − sN ) α − + α (1 − sN ) α − (cid:17) (cid:12)(cid:12)(cid:12) dt
35a majoration de la quantit´e | R ′ − Q et classique et nous donne les conditions δ > α α − δ > α ( α −
1) (16)qui sont compatibles entre elles et avec la condition 14. Toutes ces conditions nous donneune valeur plus pr´ecise de N δ la d´efinition de N δ . Pour majorer uniform´ement le reste de laformule d’Euler et Mac-Laurin pour s ∈ [ N δ , N δ ] on ´ecrit R ′ ≤ N α − c (1)Γ ( α ) ( | I + I ) . avec I = Z − s ′ /Nm /N (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:16) ( α − t α − ( t + sN ) α − (2 t + sN ) (cid:17) (cid:16) (1 − t − sN ) α − (1 − sN ) α + α t (1 − sN ) α − (cid:17) (cid:12)(cid:12)(cid:12) dt et I = Z − s ′ /Nm /N (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:16) α t α − ( t + sN ) α − (cid:17) (cid:16) − α (1 − t − sN ) α − + α (1 − sN ) α − (cid:17) (cid:12)(cid:12)(cid:12) dt Si δ u d´esigne le coefficient d’indice u du d´eveloppement en s´erie enti`ere de (1 − v ) α nouspouvons ´ecrire(1 − t − sN ) α − (1 − sN ) α + α t (1 − sN ) α − = X n ≥ δ n +2 t n +2 (1 − sN ) α − n et d’autre part si t ∈ [ m N , − s ′ N ] nous avons la majoration I ≤ O Z − s ′ /Nm /N X n ≥ δ n t α + n (1 − sN ) α − n dt ou encore I = O (cid:16) (1 − sN ) α +1 (cid:17) + O X n ≥ ( m N ) α + n +1 ( N δ N ) α − n = o (1)si l’on choisit δ tel que N δ > m . Nous avons de mˆeme − α (1 − t − sN ) α − + α (1 − sN ) α − = − X n ≥ δ n +1 t n +1 (1 − sN ) α − n − ce qui donne I = O Z − s ′ /Nm /N X n ≥ δ n t α + n (1 − sN ) α − n − dt = o (1)comme pour I . 36 .1.4 Calcul de A ′ Nous devons utiliser la d´ecomposition N − s ′ X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − l + sN ) α − (1 − sN ) α (cid:19) == m X l =0 β ( α ) l β ( α ) l + s (cid:18) (1 − l + sN ) α − (1 − sN ) α (cid:19) (cid:18) (1 − lN ) α − (cid:19) − Z m l α − ( l + s ) α − (cid:18) (1 − ( l + sN ) α − (1 − sN ) α (cid:19) (cid:18) (1 − lN ) α − (cid:19) dl + m α ( m + s ) α (cid:18) (1 − m + sN ) α − (1 − sN ) α (cid:19) (cid:16) (1 − m N ) α − (cid:17) + ( N − s ′ ) ( α ( N − s ′ + s ) α (cid:18) (1 − N − s ′ + sN ) α − (1 − sN ) α (cid:19) (cid:18) (1 − N − s ′ N ) α − (cid:19) + R o`u R est le reste d’Euler et Mac-Laurin.Comme d’habitude nous distinguons le cas s ∈ [0 , N δ ] et s ∈ [ N δ , N − N δ ]. Nous obtenonsla condition δ > α α − . (17) R´ef´erences [1] F. Avram. On biliner forms in Gaussian random variables and Toeplitz matrices.
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