Two-loop splitting amplitudes and the single-real contribution to inclusive Higgs production at N3LO
aa r X i v : . [ h e p - ph ] N ov Preprint typeset in JHEP style - HYPER VERSION
CP3-14-72, ZU-TH 38/14
Two-loop splitting amplitudes and the single-realcontribution to inclusive Higgs production at N LO Claude Duhr
Center for Cosmology, Particle Physics and Phenomenology (CP3), Universit´eCatholique de Louvain, Chemin du Cyclotron 2, B-1348 Louvain-La-Neuve, Belgium
Thomas Gehrmann, Matthieu Jaquier
Physik-Institut, Universit¨at Z¨urich, Wintherturerstrasse 190,CH-8057 Z¨urich, Switzerland
Abstract:
The factorisation of QCD matrix elements in the limit of two external partonsbecoming collinear is described by process-independent splitting amplitudes, which canbe expanded systematically in perturbation theory. Working in conventional dimensionalregularisation, we compute the two-loop splitting amplitudes for all simple collinear split-ting processes, including subleading terms in the regularisation parameter. Our results arethen applied to derive an analytical expression for the two-loop single-real contribution toinclusive Higgs boson production in gluon fusion to fourth order (N LO) in perturbativeQCD.
Keywords:
QCD, N3LO, Higgs, LHC. . Introduction
Scattering amplitudes in massless QCD diverge if one or more of the external momentabecome soft or if two or more external momenta become collinear. In these infrared limits,one observes process-independent factorisation properties: the divergent behaviour of theamplitude is described by universal unresolved factors, multiplying a reduced amplitudewith lower partonic multiplicity. These unresolved factors are expanded in a two-foldmanner in perturbative QCD: in the number of unresolved partons and in the number ofvirtual loops correcting the factors at fixed multiplicity. The eikonal factors describing thesimple soft behaviour and the collinear splitting amplitudes were established already longago [1, 2]. They are sufficient to understand the infrared singular structure of real radiationcontributions at next-to-leading order (NLO) in QCD, and have been instrumental indevising systematic subtraction schemes for NLO calculations [3, 4, 5]. They also formthe starting point for a systematic expansion around unresolved limits to all orders inperturbation theory [6, 7].At next-to-next-to-leading order (NNLO), tree-level contributions with up to two un-resolved particles contribute, again displaying universal factorization properties in collinearand soft limits [8, 9]. At the same order, one-loop corrections to simple collinear [27] andsimple soft [10] emissions need to be accounted for. The behaviour in all these limits isunderstood in detail, and served as a construction principle for subtraction methods atNNLO [11, 12, 13]. In an actual calculation of higher order corrections to a collider observ-able, the universal soft and collinear factors need to be integrated over their appropriatephase spaces, including a regulator for the infrared divergences. Consequently, subleadingterms in the regulator will yield finite contributions to the final result: simple soft configu-rations demand two subleading orders, and simple collinear configurations one subleadingorder.With advances in multi-loop calculations, calculations of next-to-next-to-next-to-leadingorder (N LO) corrections to benchmark observables are now becoming feasible. Mul-tiple unresolved limits at zero and one loop order were understood already some timeago [14, 15, 16]. Two-loop corrections to simple soft and simple collinear limits werederived only to finite order in the regulator [17, 18] by taking the appropriate limits ofthe two-loop three-parton decay matrix elements [19, 20]. With the two-loop soft gluoncurrent recently derived to all orders in the regulator [21, 22], N LO calculations at thetwo-loop single real level are now missing only the two-loop corrections to simple collinearlimits, described by the two-loop splitting amplitudes. It is the aim of this paper to derivethese, based on a new derivation of the two-loop matrix elements for three-parton decays,expanded to higher orders in the regulator.The most important application of our newly derived results are the N LO correctionsto inclusive Higgs production in gluon fusion. Following the derivation of the three-loopvirtual corrections [23], of the required renormalization and factorization counterterm con-tributions [24], and of expansions of single and multiple real radiation contributions aroundthe soft limit [25, 21, 22], the threshold approximation of this coefficient function was com-puted earlier this year [26]. We use our results for the two-loop splitting amplitudes to– 1 –erive a closed analytic expression for the two-loop single-real contribution to the inclusiveN LO coefficient function for Higgs production. Depending on the availability of resultsfor the other channels (one-loop double-real and triple-real), our expression can be used toderive further terms in the threshold expansion, or to obtain an exact expression for thefull coefficient function.Our paper is structured as follows. In Section 2, we establish the notation and dis-cuss the behaviour of multi-loop amplitudes in single collinear limits. Section 3 describesthe extraction of the two-loop splitting amplitudes from the calculation of two-loop matrixelements in three-particle decay kinematics. The analytical expressions for the splitting am-plitudes are quite lengthy (especially in the term subleading in the dimensional regulator),and are collected in Appendix A. These results are then applied in Section 4 to computethe two-loop single-real contribution to Higgs production at N LO. The two-loop matrixelements relevant to this process were previously known only for external four-dimensionalhelicity, and are re-derived in conventional dimensional regularization in Appendix B, theircontribution to the inclusive coefficient function is documented in Appendix C. We con-clude with an outlook in Section 5.
2. Collinear limits of multi-loop QCD amplitudes
We consider an ℓ -loop QCD amplitude with a certain number of coloured partons in thefinal state. Our example will be the decay of a heavy colourless state X into n partonswith momenta p i , i = 1 , . . . , n , and all other cases can be obtained by crossing symmetry.In the limit where a pair of partons become collinear, say i and j , then the correspondingMandelstam invariant vanishes, s ij = 2 p i · p j →
0. The amplitude diverges in the limit,and the divergence is characterised by a simple pole at s ij = 0. The residue at the polecan be described by the factorisation formula hM (0) ( . . . , p i , p j , . . . ) |M ( ℓ ) ( . . . , p i , p j , . . . ) i≃ π α s ij ℓ X k =0 (cid:18) α S ǫ π (cid:19) k (cid:18) s ij µ (cid:19) − kǫ P ( k ) ij ( z ) hM (0) ( . . . , P, . . . ) |M ( ℓ − k ) ( . . . , P, . . . ) i , (2.1)where |M ( ℓ ) ( . . . , p i , p j , . . . ) i is the ℓ -loop amplitude and α the bare strong coupling con-stant and P = p i + p j the four-momentum of the parent parton. We work in dimensionalregularisation in D = 4 − ǫ dimensions, and c Γ = e γ E ǫ Γ(1 − ǫ ) Γ(1 + ǫ )Γ(1 − ǫ ) and S ǫ = (4 π ) ǫ e − γ E ǫ , (2.2)with γ E = − Γ ′ (1) the Euler-Mascheroni constant. The ‘ ≃ ’ sign denotes ‘equality up toterms that are power-suppressed in the limit’. The function P ( ℓ ) ij ( z ) is the ℓ -loop splittingamplitude, and depends on the colour and spin of the particles involved in the splitting, aswell as on the momentum fraction z carried by particle i , p i = z P . Note that, in contrastto the well-known Altarelli-Parisi splitting functions, the splitting amplitudes considered– 2 –n this paper only describe the collinear behaviour of a system of two real partons withmomenta p i and p j , i.e., they do not include purely virtual 1PI corrections and multiplereal radiation corrections. The (spin-averaged) tree-level splitting amplitudes are givenby [1, 9] P (0) gg ( z ) = 2 C A (1 − z + z ) z (1 − z ) ,P (0) gq ( z ) = C F (cid:20) − z ) z − ǫ z (cid:21) ,P (0) q ¯ q ( z ) = 12 (cid:20) − z (1 − z )1 − ǫ (cid:21) , (2.3)and P (0) qg ( z ) = P (0) gq (1 − z ). Here C A = N and C F = V / (2 N ) where N is the number of SU ( N ) colours and V = N − P ( ℓ ) gg (1 − z ) = P ( ℓ ) gg ( z ) and P ( ℓ ) q ¯ q (1 − z ) = P ( ℓ ) q ¯ q ( z ) . (2.4)The limits where z → z → g → q ¯ q does obviouslynot have any soft singularity, and so the residue of P ( ℓ ) q ¯ q ( z ) at z = 0 and z = 1 vanishes.The splitting amplitude P ( ℓ ) gq ( z ) only develops a soft singularity if the gluon becomes soft,i.e., z →
0, and the residue at the pole is given by the QCD soft current, known up to twoloops in perturbative QCD [2, 10, 18, 21, 22], P ( ℓ ) gq ( z ) = C F c ℓ Γ ℓ − z − − ℓǫ r ( ℓ ) S + O ( z ) , as z → , (2.5)where r ( ℓ ) S denotes the ℓ -loop QCD soft current (in the normalisation of ref. [21]). Similarly,the gluon splitting amplitude becomes singular if any of the two final-state gluons becomessoft, P ( ℓ ) gg ( z ) = C A c ℓ Γ ℓ − z − − ℓǫ r ( ℓ ) S + O ( z ) , as z → , = C A c ℓ Γ ℓ − (1 − z ) − − ℓǫ r ( ℓ ) S + O ((1 − z ) ) , as z → . (2.6)The pole structure of P ( ℓ ) ij ( z ) in dimensional regularisation is completely fixed up totwo loops. At one-loop order, we have P (1) ij ( z ) = I (1) C,ij ( z, ǫ ) P (0) ij ( z ) + O ( ǫ ) , (2.7)with I (1) C,gg ( z, ǫ ) = − e − γ E ǫ C A ǫ Γ(1 − ǫ ) [ z − ǫ + (1 − z ) − ǫ − , I (1) C,g ¯ q ( z, ǫ ) = − e − γ E ǫ ǫ Γ(1 − ǫ ) (cid:20) N z − ǫ − N ((1 − z ) − ǫ − (cid:21) , I (1) C,q ¯ q ( z, ǫ ) = − e − γ E ǫ − ǫ ) (cid:20) Nǫ ( z − ǫ + (1 − z ) − ǫ − − N ǫ + 3 C F − β ǫ (cid:21) , (2.8)– 3 –here β l is the l -loop QCD β function. At two-loop order we have [7, 18] P (2) ij ( z ) = I (2) C,ij ( z, ǫ ) P (0) ij ( z ) + I (1) C,ij ( z, ǫ ) P (1) ij ( z ) + O ( ǫ ) , (2.9)with I (2) C,ij ( z, ǫ ) = − h I (1) C,ij ( z, ǫ ) i − β ǫ I (1) C,ij ( z, ǫ ) + e − γ E ǫ Γ(1 − ǫ )Γ(1 − ǫ ) (cid:18) β ǫ + K (cid:19) I (1) C,ij ( z, ǫ )+ e γ E ǫ ǫ Γ(1 − ǫ ) (cid:16) H (2) i + H (2) j − H (2) i + j + β − β K (cid:17) , (2.10)where the H (2) l depend on the flavour of the parton, H (2) q = N − N N f (cid:18) ζ − (cid:19) − ζ − ζ + N (cid:18) − ζ + 74 ζ + 409864 (cid:19) + 1 N (cid:18) ζ − ζ − (cid:19) − ,H (2) g = N N f (cid:18) − ζ − (cid:19) + 527 N f − N f N + N (cid:18) ζ + 12 ζ + 512 (cid:19) , (2.11)and β = 11 C A − N f β = 17 C A − C A N f − C F N f K = (cid:18) − ζ (cid:19) C A − N f , with N f the number of flavours. We recall that the above expressions refer to the splittingamplitudes describing the collinear behaviour of the unrenormalized one-loop and two-loopmatrix elements, as in [18]. Formulae for the factorization of the pole structure can alsobe derived after renormalization [7].Splitting amplitudes have been computed in the literature up to two-loops. The tree-level and one-loop splitting amplitudes are known to all orders in the dimensional regulator ǫ (in a variety of schemes) [1, 27]. The two-loop splitting amplitudes have so far onlybeen computed up to finite terms [18, 17]. Our goal is to compute the two-loop splittingamplitudes to O ( ǫ ) in conventional dimensional regularisation (CDR). This result is neededin order to construct the collinear counterterms for the double-virtual-real contributionsto the inclusive N LO cross section for the production of a heavy colourless state.
3. Computation of the splitting amplitudes
In this section we describe the computation of the two-loop splitting amplitudes to O ( ǫ )in CDR. The splitting amplitudes can be extracted most conveniently from the two-loop– 4 –mplitude for a heavy colourless state decaying into three massless partons. In particular,we have hM (0) H → ggg |M ( ℓ ) H → ggg i ≃ π α s ℓ X k =0 (cid:18) α S ǫ π (cid:19) k (cid:18) s µ (cid:19) − kǫ P ( k ) gg ( z ) hM (0) H → gg |M ( ℓ − k ) H → gg i , hM (0) H → q ¯ qg |M ( ℓ ) H → q ¯ qg i ≃ π α s ℓ X k =0 (cid:18) α S ǫ π (cid:19) k (cid:18) s µ (cid:19) − kǫ P ( k ) q ¯ q ( z ) hM (0) H → gg |M ( ℓ − k ) H → gg i , hM (0) γ ∗ → q ¯ qg |M ( ℓ ) γ ∗ → q ¯ qg i ≃ π α s ℓ X k =0 (cid:18) α S ǫ π (cid:19) k (cid:18) s µ (cid:19) − kǫ P ( k ) gq ( z ) hM (0) γ ∗ → q ¯ q |M ( ℓ − k ) γ ∗ → q ¯ q i , (3.1)with z = s /Q , where Q is the virtuality off the initial state. The hard matrix elementsare given by hM (0) H → gg |M ( ℓ ) H → gg i = (cid:18) S ǫ α π (cid:19) ℓ λ ( N − ℓ +1 (1 − ǫ ) e iπℓǫ ( Q ) − − ℓǫ F ( ℓ ) g , hM (0) γ ∗ → q ¯ q |M ( ℓ ) γ ∗ → q ¯ q i = (cid:18) S ǫ α π (cid:19) ℓ e q N ℓ − (1 − ǫ ) e iπℓǫ ( Q ) − − ℓǫ F ( ℓ ) q , (3.2)where λ and e q denote the bare coupling of the Higgs boson to the gluons (in the largetop mass limit) and the bare electromagnetic coupling of the quarks, and F ( ℓ ) g and F ( ℓ ) q denote the ℓ -loop gluon and quark form factors, known up to three loops in QCD [23]. Asa consequence, if we know the the matrix elements in the left-hand side in CDR through O ( ǫ ) up to two loops, we can immediately extract the corresponding splitting amplitudesthrough O ( ǫ ). The two-loop matrix element for γ ∗ → q ¯ q g in CDR was presented toall orders in ǫ in terms of the master integrals in ref. [19]. In ref. [20] the two-loop D -dimensional tensor coefficients as well as the two-loop helicity coefficients (in the ’t HooftVeltman) scheme for H to three partons were presented. In Appendix B we show how toconstruct the matrix elements in CDR from the tensor coefficients of ref. [20].The two-loop matrix elements are given, to all orders in the dimensional regulator, interms of the master integrals of ref. [28, 29], where the complete set of master integralswas evaluated in terms of harmonic polylogarithms (HPLs) and two-dimensional harmonicpolylogarithms (2dHPLs) [30, 28] up to transcendental weight four. This is sufficient tocompute the corresponding matrix elements up to finite terms (some of the master integralsare known to all orders in ǫ , see, e.g., ref. [31]). Since our goal is to compute the splittingamplitudes to O ( ǫ ), we need to compute all the masters integrals to one order higher inthe ǫ expansion, i.e., up to terms of weight five. Moreover, it turns out to be convenientto have the master integrals in a form where all the divergent logarithms in the collinearlimit are resummed in ǫ , because the ℓ -loop splitting amplitude can then immediately beread off from the coefficient of s − ℓǫij in the residue of the matrix element at s ij = 0 (anddividing out the hard matrix element, cf. eq. (3.1)). We have therefore explicitly computedall the master integrals of ref. [28, 29] up to transcendental weight five using the methodof differential equations [31, 32]. We choose a canonical basis of master integrals where allthe master integrals are of uniform transcendental weight [33]. In this basis, every master– 5 –ntegral is a function of three variables x ij (after dividing out an overall scale), defined by x ij = s ij Q , (3.3)and constrained by x + x + x = 1. Every uniformly transcendental master integralthen admits a representation of the form U i ( x , x , x ; ǫ ) = X m,n =0 x − mǫ x − nǫ ∞ X k =0 ǫ k u i,m,n,k ( x , x ) , (3.4)with u i,m,n,k ( x , x ) a linear combination of 2dHPLs with rational coefficients that areanalytic in a neighbourhood of ( x , x ) = (0 , u i,m,n,k ( x , x ) up to weight k = 5, which is sufficient to compute the two-loopmatrix elements up to order ǫ . The initial conditions for the differential equations wereobtained from the leading term in the expansion of the master integrals around the softlimit [21]. We checked that our results agree with the first few subleading terms in the softexpansion of the master integrals.Once the master integrals are known up to terms of transcendental weight five, we canimmediately compute the residue at x = 0 by expanding in this variable (while keepingthe logarithmic divergencies resummed in the form x − nǫ ). The variable x only entersthe matrix elements through rational functions, as well as through 2dHPLs of the form G ( ~a ; x ), where ~a is independent of x , and the last entry in ~a is non zero. 2dHPLs ofthis type can easily be expanded into a power series close to x = 0 by using the seriesrepresentation of multiple polylogarithms, G ( ~ m − , a , . . . ,~ m k − , a k ; x )= ( − k ∞ X n =1 n m (cid:18) x a (cid:19) n Z m ,...,m k (cid:18) n − a a , . . . , a k − a k (cid:19) , (3.5)with ~ m = (0 , . . . , | {z } m times ) and the Z m ,...,m k denote Z sums [34]. The splitting amplitudes up totwo-loops and up to O ( ǫ ) can then immediately be read off by comparing the expressionto eq. (3.1). At one loop we find P (1) ij ( z ) = − C A Γ(1 + ǫ )Γ(1 − ǫ ) ǫ P (0) ij ( z ) z − ǫ (1 − z ) ǫ + 2 P (0) ij ( z ) h C i + j A (1) ( z, ǫ ) + ( C i + j − C A ) B (1) ( z, ǫ ) i + R (1) ij ( z, ǫ ) , (3.6)where C i + j is the Casimir of SU ( N ) in the representation of the parent parton, and A (1) ( z, ǫ ) and B (1) ( z, ǫ ) are functions that are analytic close to z = 0. They are inde-pendent of the identities of the partons involved in the splitting and can be written as a Note that a similar representation obviously exists where any other combination of two out of the threevariables x ij are singled out. – 6 –ombination of harmonic polylogarithms of uniform weight, A (1) ( z, ǫ ) = − ǫ H − ǫ ( H , + H , + H , , + H ) − ǫ ( H , + H , + H , , + H , + H , , + H , , + H , , , + H , + H , , + H , , + H , , , + H , , + H , , , + H , , , + H , , , , + H ) + O ( ǫ ) ,B (1) ( z, ǫ ) = − ǫ − ( H , + H ) − ǫ ( H , + H , + H , , + H , + H , , + H , , + H , , , + H ) + O ( ǫ ) , (3.7)where we used a shorthand for harmonic polylogarithms, H i,...,j ≡ H i,...,j ( z ). The function R (1) ij ( z, ǫ ) are rational functions of z order by order in the ǫ expansion and depend on theidentity of the partons involved in the splitting, R (1) gg ( z, ǫ ) = N − ǫ z (1 − z )] (cid:20) N − N f + ǫ N − N f ) + ǫ N − N f )+ ǫ
27 (575 N − N f ) + O ( ǫ ) (cid:21) ,R (1) gq ( z, ǫ ) = N − N (cid:18) − z − ǫ + z (cid:19) + O ( ǫ ) ,R (1) qq ( z, ǫ ) = P (0) qq ( z ) 12 ǫ (1 − ǫ ) (cid:18) N − ǫ − ǫ − N f − ǫ − ǫ + 3 + 2 ǫN (cid:19) + O ( ǫ ) . (3.8)We emphasise that the previous expressions are valid for a time-like splitting where thecollinear pair is in the final state. The analytic continuation to a space-like splitting caneasily be performed by the replacement z − kǫ → e − iπkǫ z − kǫ (3.9)in eq. (3.6). At two loops, we write P (2) ij ( z ) = X k =0 z − kǫ P (2 ,k ) ij ( z ) , (3.10)where P (2 ,k ) ij ( z ) are analytic in a neighbourhood of z = 0. Their analytical expressions aregiven in Appendix A.We checked that the tree-level and one-loop are correctly reproduced from our two-loopcomputation. Moreover, we checked that our results have the correct symmetry propertiesand soft limits, eq. (2.4 - 2.6), as well as the the correct pole structure in dimensionalregularisation, eq. (2.10).
4. Two-loop single-real emission contributions to Higgs production atN LO As an application of the splitting amplitudes up to two loops computed in the previoussection, we present in this section the integration over phase space of the matrix elements– 7 –or the scattering processes g g → H g , q ¯ q → H g , q g → H q . (4.1)These processes are important because they contribute to the inclusive Higgs productioncross section at N LO in perturbative QCD. Indeed, the final-state parton may becomecollinear to any of the two incoming partons, and the matrix elements develop singularitieswhich are described by the splitting amplitudes we have just computed. The knowledgeof the spitting amplitudes therefore enables us to write down explicit counterterms thatwe can subtract from the matrix element in order to render the phase-space integrationsfinite. Moreover, the counterterms will turn out to be trivial to integrate over the unresolvedphase space, giving rise to a pole in dimensional regularisation. This pole, in turn, is atthe origin of the appearance of the O ( ǫ ) part of the splitting amplitudes computed in theprevious section in the finite terms which enter the cross section. We start by giving somegeneric considerations about the phase-space parametrisation we will use in the followingto perform the integration, and we discuss the different channels separately in subsequentsubsections.We denote the momenta of the two incoming partons by q and q , and the momentumof the final-state parton is denoted by q . Furthermore, we define s = 2 q · q , t = 2 q · q , u = 2 q · q . (4.2)Note that s, t, u > s = m H + t + u . The phase space integrals we want to computeare N X s Z d Φ hM (0) X |M (2) X i , (4.3)where X denotes the channel under consideration, and N X denotes the averaging factorover the initial-state colours and spins, N g g → H g = 14 V (1 − ǫ ) , N q g → H q = 14 N (1 − ǫ ) , N q ¯ q → H g = 14
N V . (4.4)The D -dimensional phase-space measure is given by d Φ = (2 π ) D δ ( D ) ( q H + q − q − q ) d D q H (2 π ) D − δ + ( q H − m H ) d D q (2 π ) D − δ + ( q ) . (4.5)We parametrise the phase space by m H = (1 − ¯ z ) , t = s ¯ z λ , u = s ¯ z (1 − λ ) . (4.6)In this parametrization the phase-space measure becomes d Φ = S ǫ e γ E ǫ s − ǫ ¯ z − ǫ π Γ(1 − ǫ ) dλ [ λ (1 − λ )] − ǫ Θ( λ ) Θ(1 − λ ) , (4.7)where Θ denotes the step function. In the following we discuss the integration over phasespace of the three different processes in eq. (4.1), and we separately discuss the processeswith different initial states. – 8 – .1 The q ¯ q initial state The two-loop matrix element for q ¯ q → H g can be written as, with s = µ = 1 hM (0) q ¯ q → Hg |M (2) q ¯ q → Hg i = 8 π λ (cid:16) α π (cid:17) (cid:18) S ǫ c Γ (cid:19) C F C A e iπǫ (1 − ¯ z ) − ǫ × M (2) q ¯ qg (1 + x t + x u , − x t , − x u ; ǫ ) , (4.8)with x t = tm H = s ¯ z − ¯ z λ and x u = um H = s ¯ z − ¯ z (1 − λ ) , (4.9)and M (2) q ¯ qg is a Laurent series in ǫ whose coefficients are rational functions of the x ij multi-plied by 2dHPLs. The expression of M (2) q ¯ qg in terms of the tensor coefficients of ref. [20] canbe found in Appendix B. Note that M (2) q ¯ qg develops an imaginary part, because the masterintegrals have branch points at x t = 0 and x u = 0, U i (1+ x t + x u , − x t , − x u ; ǫ ) = X m,n =0 e − ( m + n ) iπǫ x − mǫt x − nǫu ∞ X k =0 ǫ k u i,m,n,k ( − x t , − x u ) . (4.10)The functions u i,m,n,k ( x t , x u ) are real, because they are analytic in a neighbourhood of( x t , x u ) = (0 , hM (0) q ¯ q → Hg |M (2) q ¯ q → Hg i is finite everywhereinside the phase space, and so we can simply expand in ǫ and perform the integral over λ order by order in ǫ . The integrand contains 2dHPLs of the form G ( ~a ( x u ); − x t ), where x t and x u are rational functions of λ and ¯ z (cf. eq. (4.6)). Interpreting the 2dHPLs as specialinstances of multiple polylogarithms [35], and using the techniques of ref. [36], we can easilyconvert all the 2dHPLs of the form G ( ~a ( x u ); − x t ) into multiple polylogarithms of the form G ( ~b (¯ z ); λ ) and multiple polylogarithms in ¯ z . As an example, the following relation holds G (cid:18) ( λ − z ¯ z − , , λ ¯ z ¯ z − (cid:19) = − G (cid:18) , , ¯ z − z ; λ (cid:19) − G (cid:18) , z − z , λ (cid:19) − G (cid:18) , z − z , ¯ z − z ; λ (cid:19) . (4.11)Similar identities can easily be derived in all other cases, and the phase-space integrationover λ can easily be performed using the the definition of the multiple polylogarithms, Z dλλ − b (¯ z ) G ( ~b (¯ z ); λ ) = G ( b (¯ z ) ,~b (¯ z ); 1) . (4.12)After a final massaging, we find that all the phase space integrals can be expressed in termsof HPLs in 1 − ¯ z , in agreement with the expectations. qg initial state The two-loop matrix element for q g → H q can be written as, with s = µ = 1, hM (0) qg → Hq |M (2) qg → Hq i = − π λ (cid:16) α π (cid:17) (cid:18) S ǫ c Γ (cid:19) C F C A e iπǫ (1 − ¯ z ) − ǫ × M (2) q ¯ qg ( − x t , x t + x u , − x u ; ǫ ) . (4.13)– 9 –he function M (2) q ¯ qg ( − x t , x t + x u , − x u ; ǫ ) is identical to the corresponding quantity in the q ¯ q → H g case, up to analytic continuation. Note that there is an additional minus sign,coming from the crossing of a single fermion to the initial state. The analytic continuationof the function M (2) q ¯ qg ( − x t , x t + x u , − x u ; ǫ ) can be performed in a similar way as in the q ¯ q → H g case.The integrand becomes singular when the initial and final-state quarks are collinear,and the singularity is controlled by the splitting amplitudes computed in Section 3. Moreprecisely, after inserting the parametrisation (4.2), the integrand has a simple pole as λ →
0, and from eq. (3.1), we have hM (0) qg → Hq |M (2) qg → Hq i = X k =0 λ − − kǫ C (2 ,k ) q ¯ q (¯ z ; ǫ ) + O ( λ ) , (4.14)with C (2 ,k ) q ¯ q (¯ z ; ǫ ) = 16 π (cid:16) α π (cid:17) k +1 S kǫ ¯ z − − kǫ e − kiπǫ P ( k ) q ¯ q (cid:18) ¯ z ¯ z − (cid:19) hM (0) gg → H |M (2 − k ) gg → H i . (4.15)Note that the splitting amplitude is evaluated at λ = 0, so that we only subtract the residueof the matrix element at λ = 0. The phase-space integral then becomes Z dλ [ λ (1 − λ )] − ǫ hM (0) qg → Hq |M (2) qg → Hq i = − ǫ X k =0 C (2 ,k ) q ¯ q (¯ z ; ǫ )( k + 2)+ Z dλ ( [ λ (1 − λ )] − ǫ hM (0) qg → Hq |M (2) qg → Hq i − X k =0 λ − − ( k +1) ǫ C (2 ,k ) q ¯ q (¯ z ; ǫ ) ) . (4.16)The integral in the second line is convergent, and so we can expand in ǫ under the inte-gration sign and integrate order by order in ǫ . At this point, however, we need to face atechnical difficulty: performing the integrations using eq. (4.12) requires the integrationsto be performed term by term. In general, these integrals will be divergent, because onlythe sum in the second line of eq. (4.16) is finite. We therefore introduce a cut-off δ forthe lower integration limit and perform all the integrations term by term. As a result, allthe integrals are convergent, but they explicitly depend on the cut-off. We observe thatall divergences cancel when we expand the result around δ = 0, in agreement with theexpectation that the integral in the second line of eq. (4.16) is convergent. gg initial state The two-loop matrix element for g g → H g can be written as hM (0) gg → Hg |M (2) gg → Hg i = 8 π s − ǫ | λ | (cid:16) α π (cid:17) (cid:18) S ǫ c Γ (cid:19) e iπǫ (1 − ¯ z ) − ǫ V C A × M (2) ggg (1 + x t + x u , − x t , − x u ; ǫ ) . (4.17) The integrand does not develop poles for λ →
1, and so no cut-off is required for the upper integrationlimit. – 10 –he expression of M (2) ggg in terms of the tensor coefficients of ref. [20] is given in Appendix B.Its analytic continuation can be performed in the same way as in the previous cases. Thephase-space integral diverges in the collinear limits where either t or u vanish. More-over, the gluon amplitude also develops a singularity when the final state gluon becomessoft, corresponding to a simultaneous vanishing of t and u . In terms of our phase spaceparametrisation (4.6) this corresponds to ¯ z →
0, and in this limit the matrix elementbehaves like hM (0) gg → Hg |M (2) gg → Hg i = X k =0 ¯ z − − kǫ [ λ (1 − λ )] − − kǫ S (2 ,k ) g ( ǫ ) + O (¯ z ) , (4.18)with S (2 ,k ) g ( ǫ ) = − π (cid:16) α π (cid:17) k +1 (cid:18) S ǫ (cid:19) k C A e − kπiǫ r ( k ) S ( ǫ ) hM (0) gg → H |M (2 − k ) gg → H i (cid:12)(cid:12) ¯ z =0 . (4.19)We define the soft-regularized amplitude, defined as the amplitude with the soft singularityat ¯ z = 0 subtracted, hM (0) gg → Hg |M (2) gg → Hg i reg ≡ hM (0) gg → Hg |M (2) gg → Hg i − X k =0 ¯ z − − kǫ [ λ (1 − λ )] − − kǫ S (2 ,k ) g ( ǫ ) . (4.20)The soft-regularised amplitude is free of soft singularities, but still contains non-overlappingcollinear divergences. The residues at the collinear poles at λ = 0 and λ = 1 can beobtained in a way similar to the q g → H q case considered in the previous section. ByBose symmetry, the residues at the two poles are identical. In particular, the residue at λ = 0 is given by hM (0) gg → Hg |M (2) gg → Hg i reg = X k =0 λ − − kǫ C (2 ,k ) , reg g ¯ g (¯ z ; ǫ ) + O ( λ ) , (4.21)with C (2 ,k ) , reg gg (¯ z ; ǫ ) = C (2 ,k ) gg (¯ z ; ǫ ) − ¯ z − − kǫ S (2 ,k ) g ( ǫ ) , (4.22)and C (2 ,k ) gg (¯ z ; ǫ ) = − π (cid:16) α π (cid:17) k +1 S kǫ ¯ z − − kǫ e − kiπǫ P ( k ) gg (cid:18) ¯ z ¯ z − (cid:19) hM (0) gg → H |M (2 − k ) gg → H i . (4.23)– 11 –he phase-space integral can now be written as¯ z − ǫ Z dλ [ λ (1 − λ )] − ǫ hM (0) gg → Hg |M (2) gg → Hg i = X k =0 ¯ z − − k +1) ǫ Γ( − ( k + 1) ǫ ) Γ( − k + 1) ǫ ) S (2 ,k ) g ( ǫ )+ ¯ z − ǫ Z dλ [ λ (1 − λ )] − ǫ hM (0) gg → Hg |M (2) gg → Hg i reg = X k =0 ( ¯ z − − k +1) ǫ Γ( − ( k + 1) ǫ ) Γ( − k + 1) ǫ ) S (2 ,k ) g ( ǫ ) − z − ǫ ǫ C (2 ,k ) , reg gg (¯ z ; ǫ )( k + 2) ) + ¯ z − ǫ Z dλ n [ λ (1 − λ )] − ǫ hM (0) g g → H g |M (2) g g → H g i reg − X k =0 h λ − − ( k +1) ǫ + (1 − λ ) − − ( k +1) ǫ i C (2 ,k ) , reg gg (¯ z ; ǫ ) o , (4.24)The remaining integral is convergent and can be performed order by order in ǫ usingeq. (4.12). Individual terms in the integrand can develop poles as λ approaches either 0 or1. We therefore introduce a cut-off for each integration limit, and we observe that all thesingularities cancel in the sum over all terms when the cut-offs are removed, confirmingthe expectation that the remaining integral in eq. (4.24) is convergent.
5. Conclusion
The single collinear factorization of scattering amplitudes in massless QCD is determinedby so-called splitting amplitudes, which can be expanded perturbatively in the number ofvirtual loops [6]. We derived the two-loop corrections to all splitting amplitudes, findingagreement with previously known results [17, 18] up to finite terms in the dimensionalregulator, and deriving the subleading terms for the first time. When integrated overthe unresolved single collinear phase space in actual N LO calculations, these subleadingterms produce finite contributions. We used our result to analytically compute the two-loop single-real contribution to the coefficient function of inclusive Higgs boson productionin gluon fusion, improving upon the previously available soft approximation [21, 22] of thisfunction.When combined with either expanded or full results for the other channels (one-loopdouble-real and triple-real), our expression will allow to derive further terms in the thresh-old expansion [26] or to complete an exact calculation of the full N LO coefficient functionfor Higgs production in gluon fusion.
Acknowledgements
We would like to thank Falko Dulat and Bernhard Mistlberger as well as Lance Dixon andHua-Xing Zhu for useful discussions and comparisons with closely related results prior to– 12 –ublication. This research was supported in part by the Swiss National Science Founda-tion (SNF) under contract 200020-149517 and by the Research Executive Agency (REA)of the European Union under the Grant Agreements PITN–GA—2010-264564 (
LHCPhe-noNet ), PITN–GA–2012–316704 (
HiggsTools ), and the ERC Advanced Grant
MC@NNLO (340983).
A. Splitting amplitudes at two loops
The two-loop splitting amplitudes can be expanded according to the powers z − kǫ , withcoefficients that are analytic around z = 0, as defined in (3.10). We write these coefficientsas: P (2 , ij ( z ) = P (0) ij ( z ) U (2 , ij ( z, ǫ ) + V (2 , ij ( z, ǫ )+ (cid:18) N ǫ β − N ǫ K (cid:19) P (0) ij ( z ) (1 − z ) ǫ ,P (2 , ij ( z ) = P (0) ij ( z ) U (2 , ij ( z, ǫ ) + V (2 , ij ( z, ǫ ) − Nǫ Γ(1 − ǫ )Γ(1 + ǫ ) R (1) ij ( z, ǫ )(1 − z ) ǫ ,P (2 , ij ( z ) = P (0) ij ( z ) U (2 , ij ( z, ǫ ) + V (2 , ij ( z, ǫ ) − Nǫ β P (0) ij ( z ) H . (A.1)Note that these expressions are again valid for a time-like splitting, and the space-like casecan again be obtained by the replacement (3.9). The functions U (2 ,k ) ij ( z ) are of uniformweight, and are given by U (2 , gg ( z, ǫ ) = N " ǫ − ǫ H + 1 ǫ (cid:0) H , + ζ (cid:1) + 1 ǫ (cid:0) − H , , + 12 ζ − ζ H (cid:1) + 3 ζ H , + 2 H , + 3 H , + H , , + 2 H , + H , , + H , , + 294 ζ + 8 H , , , − ζ H + 2 ζ H + 4 H + ǫ (cid:0) − ζ H , − ζ H , , (A.2)+ 10 H , − H , , + 10 H , − H , , − H , , , + 8 H , − H , , − H , , − H , , , + 2 H , , − H , , , − H , , , − H , , , , + 4 ζ ζ − ζ − ζ H − ζ H − ζ H + 24 H − ζ H , (cid:1) + O ( ǫ ) , – 13 – (2 , gg ( z, ǫ ) = N " ǫ H − ǫ H , + 1 ǫ (cid:0) H , + 2 H , + 8 H , , + 2 ζ H + 2 H (cid:1) − ζ H , − H , − H , − H , , − H , − H , , − H , , (A.3) − H , , , − ζ H + ǫ (cid:0) ζ H , + 2 ζ H , + 8 ζ H , , + 24 ζ H , + 2 H , + 2 H , + 8 H , , + 2 H , + 6 H , , + 4 H , , + 14 H , , , + 2 H , + 6 H , , + 4 H , , + 14 H , , , + 4 H , , + 12 H , , , + 8 H , , , + 32 H , , , , + 2 ζ H − ζ H + 2 H (cid:1) + O ( ǫ ) ,U (2 , gg ( z, ǫ ) = N " ǫ H , + 2 ǫ ζ H + ζ H , + 6 H , + H , + 11 H , , + 2 H , + 11 H , , + 7 H , , + 16 H , , , + ζ H + 11 ζ H − H (A.4)+ ǫ (cid:0) − ζ H , − ζ H , , − ζ H , + 12 H , + 8 H , + 7 H , , + 8 H , + 8 H , , + 8 H , , + 3 H , , , + 6 H , + 6 H , , + 11 H , , + 4 H , , , + 6 H , , + 2 H , , , + 11 H , , , − ζ H + 114 ζ H + 8 H (cid:1) + O ( ǫ ) ,U (2 , gq ( z, ǫ ) = N " ǫ − ǫ H + 1 ǫ (cid:0) H , + ζ (cid:1) + 1 ǫ (cid:18) ζ − H , − H , − H , , − ζ H − H (cid:19) + 3 ζ H , + 2 H , − H , + 52 H , , − H , (A.5)+ 3 H , , + H , , + 192 H , , , + 29 ζ ζ H + 3 ζ H − H + ǫ (cid:0) − ζ H , − ζ H , − ζ H , , − ζ H , + 8 H , − H , − H , , − H , + 52 H , , + 12 H , , − H , , , − H , + 3 H , , − H , , − H , , , + H , , − H , , , − H , , , − H , , , , − ζ + 4 ζ ζ − ζ H + 72 ζ H + 178 ζ H − H (cid:1) + 1 ǫ (cid:18) − H , − H , − H , , + 12 ζ H − H (cid:19) − H , − H , − H , , − H , − H , , − H , , + 32 H , , , + ζ H + 2 ζ H − H + ǫ (cid:18) − ζ H , − ζ H , − ζ H , , − ζ H , − H , − H , − H , , − H , − H , , − H , , − H , , , − H , − H , , − H , , − H , , , − H , , + 72 H , , , − H , , , − H , , , , − ζ H + 72 ζ H + 1098 ζ H − H (cid:19) – 14 – 1 N " − ǫ (cid:0) H , + H , , ) − H , − H , − H , , − H , − H , , − H , , − ζ H + ζ H + ǫ (cid:0) − ζ H , − ζ H , − ζ H , , − ζ H , − H , − H , − H , , − H , − H , , − H , , − H , , , − H , − H , , − H , , − H , , , − H , , + 4 H , , , − H , , , − H , , , , − ζ H − ζ H + 114 ζ H (cid:1) + O ( ǫ ) ,U (2 , gq ( z, ǫ ) = N " ǫ H − ǫ (cid:0) − H , − H (cid:1) + 1 ǫ (cid:0) H , + 2 H , + 7 H , , + ζ H + H (cid:1) − ζ H , − H , − H , − H , , − H , − H , , − H , , (A.6) − H , , , − ζ H − ζ H − H + ǫ (cid:0) ζ H , + 2 ζ H , + 7 ζ H , , + 18 ζ H , + 3 H , + 2 H , + 7 H , , + 2 H , + 6 H , , + 4 H , , + 15 H , , , + 2 H , + 6 H , , + 4 H , , + 14 H , , , + 4 H , , + 12 H , , , + 8 H , , , + 31 H , , , , + ζ H + 6 ζ H − ζ H + H (cid:1) − ǫ H + 1 ǫ (cid:0) H , − H (cid:1) + 1 ǫ (cid:0) H , − H , , − ζ H − H (cid:1) + ζ H , + H , − H , , + H , , , − ζ H + 6 ζ H − H + ǫ (cid:0) ζ H , − ζ H , , − ζ H , + H , − H , , + H , , , − H , , , , − ζ H + 6 ζ H + 294 ζ H − H (cid:1) + O ( ǫ ) ,U (2 , gq ( z, ǫ ) = N " ǫ H , + 1 ǫ (cid:0) − H , + 12 H , − H , , + 12 ζ H + 2 H (cid:1) − H , − H , + 52 H , , − H , + H , , + H , , + 112 H , , , + 8 ζ H − H + ǫ (cid:0) − ζ H , − ζ H , − ζ H , + 8 H , + 13 H , + 72 H , , (A.7)+ 7 H , + 12 H , , + 52 H , , − H , , , + 11 H , + 2 H , , + 192 H , , − H , , , + 2 H , , − H , , , − H , , , − H , , , , − ζ H − ζ H + 758 ζ H + 16 H (cid:1) − ǫ H , + 1 ǫ (cid:0) H , + 32 H , + 32 H , , − ζ H + 2 H (cid:1) − ζ H , − H , + 4 H , − H , , − H , , + 3 H , , − H , , , − ζ H + ǫ (cid:0) − ζ H , + 72 ζ H , − ζ H , + 11 H , + 21 H , + 192 H , , + 13 H , + 52 H , , + 252 H , , + 192 H , , , + 2 H , + 10 H , , + 252 H , , + 152 H , , , + 11 H , , + 72 H , , , + 6 H , , , + 152 H , , , , + ζ H − ζ H − ζ H + 8 H (cid:1) – 15 – 1 N " ǫ H , + 1 ǫ (cid:0) H , + H , + 4 H , , (cid:1) + 7 H , + 6 H , + 7 H , , + 4 H , + 8 H , , + 9 H , , + 7 H , , , + ζ H − ζ H + ǫ (cid:0) ζ H , − ζ H , , + 6 ζ H , + 15 H , + 16 H , + 13 H , , + 14 H , + 10 H , , + 18 H , , + 18 H , , , − H , + 14 H , , + 14 H , , + 14 H , , , + 15 H , , + 11 H , , , + 18 H , , , + 19 H , , , , + 3 ζ H + 4 ζ H − ζ H (cid:1) + O ( ǫ ) ,U (2 , qq ( z, ǫ ) = N " ǫ − ǫ H + 1 ǫ (cid:0) H , + ζ (cid:1) + 1 ǫ (cid:18) H , + H , − H , , − ζ − ζ H + H (cid:19) + 52 ζ H , + H , + 112 H , + 12 H , , + 4 H , (A.8) − H , , + 32 H , , + 132 H , , , + 35 ζ − ζ H + 5 ζ H + 8 H + ǫ (cid:18) ζ H , + 2 ζ H , − ζ H , , − ζ H , − H , + 18 H , + H , , + 18 H , − H , , + 12 H , , − H , , , + 16 H , − H , , + 2 H , , + H , , , + 6 H , , − H , , , − H , , , − H , , , , − ζ − ζ ζ − ζ H − ζ H − ζ H + 40 H (cid:19) + 1 ǫ (cid:18) H , + H , + 12 H , , − ζ H (cid:19) − ζ H , − H , + 52 H , − H , , + 2 H , − H , , + 12 H , , − H , , , − ζ − ζ H + 3 ζ H + 4 H + ǫ (cid:18) ζ H , + 3 ζ H , + 52 ζ H , , − ζ H , − H , + 8 H , + 4 H , , + 8 H , − H , , + 12 H , , + 12 H , , , + 8 H , − H , , + 3 H , , + 5 H , , , + 4 H , , + 12 H , , , − H , , , + 72 H , , , , − ζ − ζ ζ + 2 ζ H + 12 ζ H + 234 ζ H + 16 H (cid:19) + O ( ǫ ) ,U (2 , qq ( z, ǫ ) = N " − ǫ + 3 ǫ H − ǫ (cid:0) H , + ζ (cid:1) + 1 ǫ (cid:0) H , + 2 H , + 9 H , , + 6 ζ + 3 ζ H + 2 H (cid:1) − ζ H , − H , − H , − H , , − H , (A.9) − H , , − H , , − H , , , + 29 ζ − ζ H + ǫ (cid:0) ζ H , + 2 ζ H , + 9 ζ H , , + 30 ζ H , + 2 H , + 2 H , + 8 H , , + 2 H , + 6 H , , + 4 H , , + 14 H , , , + 2 H , + 6 H , , + 4 H , , + 14 H , , , + 4 H , , + 12 H , , , + 8 H , , , + 33 H , , , , + 42 ζ + 6 ζ ζ + 2 ζ H − ζ H + 2 H (cid:1) – 16 – ǫ + 1 ǫ H − ǫ (cid:0) H , + ζ (cid:1) + 1 ǫ (cid:0) H , , + 6 ζ + ζ H (cid:1) − ζ H , − H , , , + 294 ζ − ζ H + ǫ (cid:0) ζ H , , + 6 ζ H , + H , , , , + 42 ζ + 6 ζ ζ − ζ H (cid:1) + O ( ǫ ) ,U (2 , qq ( z, ǫ ) = N " ǫ − ǫ H + 1 ǫ (cid:18) H , − ζ (cid:19) + 1 ǫ (cid:18) − H , − H , − H , , − ζ + 2 ζ H − H (cid:19) + 52 ζ H , + 9 H , − H , + 252 H , , (A.10)+ 3 H , + 14 H , , + 112 H , , + 352 H , , , + 43 ζ ζ H + 11 ζ H − H + ǫ (cid:0) ζ H , − ζ H , + 32 ζ H , , − ζ H , − H , − H , , − H , − H , , − H , , − H , , , − H , − H , , − H , , , − H , , − H , , , + 52 H , , , − H , , , , + 34 ζ + 12 ζ ζ + 2 ζ H − ζ H + 114 ζ H − H (cid:1) + 1 ǫ − ǫ H + 12 ǫ ζ + 1 ǫ (cid:18) − H , − H , − H , , − ζ − H (cid:19) + 32 ζ H , + 3 H , − H , + 32 H , , + H , + 3 H , , − H , , + 32 H , , , − ζ + 32 ζ H + H + ǫ (cid:18) ζ H , + 2 ζ H , + 92 ζ H , , − ζ H , − H , − H , − H , , − H , − H , , − H , , − H , , , − H , − H , , − H , , − H , , , − H , , − H , , , − H , , , − H , , , , + 31 ζ + 92 ζ ζ + 2 ζ H − ζ H − H (cid:19) + 1 N " ǫ − ǫ ζ − ζ + ǫ (cid:0) ζ ζ − ζ (cid:1) + O ( ǫ ) . The functions V (2 ,k ) ij ( z ) are not of maximal weight, and are given by V (2 , gg ( z, ǫ ) = N " ǫ (cid:18) z − z + 32 z − − z ) z H −
13 (1 − z ) H (A.11) − z − z + 99 z − z + 226(1 − z ) z ζ − z − z + 1185 z − z + 38654(1 − z ) z (cid:19) + ( z + 1) (cid:0) z − z + 11 (cid:1) z H , − z − z + 105 z − − z ) H , + 22 z − z + 35 z − z H , , + 5 − z H , + 72 z − z + 196 z − − z ) z H + 88 z − z + 231 z − z + 666(1 − z ) z ζ H – 17 – 404 z − z + 1224 z − z + 38627(1 − z ) z H − z − z + 99 z − z + 443(1 − z ) z H − z − z + 597 z − z + 13418(1 − z ) z ζ + 66 z − z + 231 z − z + 883(1 − z ) z ζ − z − z + 7041 z − z + 2284162(1 − z ) z + ǫ (cid:18) − z − z + 42027 z − z + 13640486(1 − z ) z + 2428 z − z + 7308 z − z + 233881(1 − z ) z H + 405 z − z + 1292 z − − z ) z H − z − z + 4941 z − z + 154454(1 − z ) z H , − z − z + 600 z − z + 2689(1 − z ) z H + 134 z + 16 z + 13 z + 13418 z H , − z − z + 546 z − − z ) H , + 134 z − z + 157 z − z H , , − z − z + 99 z − z + 443(1 − z ) z H + 22 z − z + 99 z − z + 443(1 − z ) z H , − z − z + 447 z − z + 1106(1 − z ) z H , + 22 z + 52 z − z + 122 z − − z ) z H , , − z − z + 108 z − z − − z ) z H , − z − z + 107 z − z H , , − z − z + 102 z − z + 336(1 − z ) z H , , − z − z + 35 z − z H , , , − z − z + 3453 z − z + 66454(1 − z ) z ζ + 22 z − z − z + 52 z − − z ) z ζ H + 536 z − z + 1446 z − z + 40218(1 − z ) z ζ H − z − z + 426 z − z + 1436(1 − z ) z ζ H , + 804 z − z + 2835 z − z + 107218(1 − z ) z ζ − z − z + 867 z − z + 2756(1 − z ) z ζ H − z + 128 z − z + 708 z − − z ) z ζ (cid:19) – 18 – N N f " ǫ (cid:18) − z − z + 5 z − − z ) z H + 13 (1 − z ) H + 8 z − z + 18 z − z + 46(1 − z ) z ζ + 56 z − z + 141 z − z + 3854(1 − z ) z (cid:19) − ( z + 1) (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , + 8 z − z + 24 z − − z ) H , − z − z + 8 z − z H , , + 6 z − H , − z − z + 11 z − − z ) z H − z − z + 42 z − z + 126(1 − z ) z ζ H − z − z + 99 z − z + 1927(1 − z ) z H + 4 z − z + 18 z − z + 83(1 − z ) z H + 20 z − z + 42 z − z + 109(1 − z ) z ζ − z − z + 42 z − z + 163(1 − z ) z ζ + 164 z − z + 330 z − z + 6581(1 − z ) z + ǫ (cid:18) z − z + 3183 z − z + 422486(1 − z ) z − z − z + 1098 z − z + 18481(1 − z ) z H − z − z + 224 z − − z ) z H + 4 28 z − z + 108 z − z + 1927(1 − z ) z H , + 20 z − z + 87 z − z + 409(1 − z ) z H − z + 22 z + 19 z + 2018 z H , + 40 z − z + 51 z − − z ) H , − ( z + 1) (cid:0) z + z − (cid:1) z H , , + 4 4 z − z + 18 z − z + 83(1 − z ) z H − z − z + 18 z − z + 83(1 − z ) z H , + (cid:0) z − z + 4 (cid:1) (cid:0) z − z + 5 (cid:1) − z ) z H , − z + 16 z − z + 23 z − − z ) z H , , + 8 z − z + 27 z − z − − z ) z H , + 16 z − z + 26 z − z H , , + 4 z − z + 21 z − z + 66(1 − z ) z H , , + 4 z − z + 8 z − z H , , , + 224 z − z + 303 z − z − − z ) z ζ − z − z + 249 z − z + 6018(1 − z ) z ζ H − z + z − z + 7 z − − z ) z ζ H + 28 z − z + 75 z − z + 266(1 − z ) z ζ H , − z − z + 441 z − z + 16018(1 − z ) z ζ + 48 z − z + 165 z − z + 506(1 − z ) z ζ H + 20 z + 47 z − z + 105 z − − z ) z ζ (cid:19) + O ( ǫ ) , – 19 – (2 , gg ( z, ǫ ) = 2 N ( N − N f ) ǫ ζ + O ( ǫ ) , (A.12) V (2 , gg ( z, ǫ ) = N " ǫ (cid:18) − z − z + 32 z − − z ) z H (A.13) − z − z + 402 z − z + 1349(1 − z ) z H + 22 z − z + 33 z − − z ) ζ + 6 z − z − z + 2218(1 − z ) (cid:19) − z − z + 139 z − z + 662(1 − z ) z H , − z − z + 264 z − z + 993(1 − z ) z H , − z − z + 459 z − z + 1656(1 − z ) z H , , − − z H , + 12 z + 7 z − z + 222(1 − z ) z ζ H − z − z + 208 z − − z ) z H − z − z + 231 z − z + 883(1 − z ) z H − (cid:0) z − z + 1167 z − z + 395 (cid:1) − z ) z H + 134 z − z + 195 z − − z ) ζ − z − z + 33 z − − z ) ζ − z − z + 715 z − − z )+ ǫ (cid:18) − z − z + 4884 z − − z ) − z − z − z + 2418(1 − z ) z H , + 22 z − z + 35 z − z H , , , − z − z + 33 z − − z H , − z − z + 1208 z − − z ) z H + 22 z − z + 125 z − z + 442(1 − z ) z H , − z − z + 10 z + 10 z − − z ) z H , , − z − z + 30 z − z + 113(1 − z ) z H , − z − z − z + 52 z − − z ) z H + 66 z − z + 240 z − z + 556(1 − z ) z H , , − z − z + 333 z − z + 776(1 − z ) z H , , − z − z + 890 z − z + 4026(1 − z ) z H , − z − z + 1407 z − z + 5369(1 − z ) z H − z − z + 3249 z − z + 120618(1 − z ) z H , − z − z + 2901 z − z + 100518(1 − z ) z H , , − z − z + 6870 z − z + 238381(1 − z ) z H − z − z + 59 z − − z ) ζ H + 76 z + 52 z − z + 1346(1 − z ) z ζ H – 20 – z − z + 252 z − z + 116(1 − z ) z ζ H , + 264 z − z + 775 z − z + 2312(1 − z ) z ζ H + 952 z − z + 1605 z − − z ) ζ − z − z + 417 z − − z ) ζ + 53 22 z − z + 33 z − − z ) ζ (cid:19) + N N f " ǫ (cid:18) z − z + 5 z − − z ) z H + 20 z − z + 60 z − z + 209(1 − z ) z H − z − z + 6 z − − z ) ζ − z − z − z + 2618(1 − z ) (cid:19) + (cid:0) z − z + 3 (cid:1) (cid:0) z − z + 6 (cid:1) − z ) z H , + 8 z − z + 22 z − z + 122(1 − z ) z H , + 28 z − z + 81 z − z + 306(1 − z ) z H , , + 5 − z H , − z − z + z + 42(1 − z ) z ζ H + 21 z − z + 17 z − − z ) z H + 12 z − z + 42 z − z + 163(1 − z ) z H + 76 z − z + 246 z − z + 9427(1 − z ) z H − z − z + 12 z − − z ) ζ + 4 z − z + 6 z − − z ) ζ + 90 z − z + 869 z − − z )+ ǫ (cid:18) z − z + 12421 z − − z ) − z − z + 8 z − z H , , , + 4 z − z + 6 z − − z H , + 2 9 z − z − z + 69(1 − z ) z H , + 273 z − z + 176 z − − z ) z H − z − z + 26 z − z + 82(1 − z ) z H , + 4 z − z + z + z − − z ) z H , , + 4 z − z + 3 z − z + 23(1 − z ) z H , + 4 z + z − z + 7 z − − z ) z H − z − z + 51 z − z + 106(1 − z ) z H , , + 24 z − z + 63 z − z + 146(1 − z ) z H , , + 2 (cid:0) z − z + 105 z − z + 40 (cid:1) − z ) z H + 40 z − z + 137 z − z + 606(1 − z ) z H , + 70 z − z + 249 z − z + 759(1 − z ) z H , , + 140 z − z + 513 z − z + 18018(1 − z ) z H , + 152 z − z + 870 z − z + 51281(1 − z ) z H + (cid:0) z − z + 14 z − (cid:1) ζ − z ) H − z − z + 5 z + 206(1 − z ) z ζ H + 12 z − z + 63 z − z + 26(1 − z ) z ζ H , − z − z + 145 z − z + 422(1 − z ) z ζ H − z − z + 597 z − − z ) ζ + 40 z − z + 111 z − − z ) ζ −
53 4 z − z + 6 z − − z ) ζ (cid:19) – 21 – N N f " ǫ + 227 (cid:0) z − z + 19 (cid:1) + ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 75 (cid:1) (cid:19) + N f " −
12 + ǫ (cid:18) ζ − ζ + 112 (cid:0) − z + 12 z − (cid:1) (cid:19) + O ( ǫ ) ,V (2 , gq ( z, ǫ ) = N " ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , + 13 z − z + 824 z H + z − z H (A.14) − z − z + 4424 z ζ − z − z + 386108 z (cid:19) + 4 z − z + 2612 z H , − z − z + 412 z H , − z − z + 298 z H , , + 32 z − z + 17872 z H , + 31 z − z + 5312 z ζ H + 16 z − z − z H + 17 z − z + 1612 z H + 101 z − z + 18427 z H − z − z + 13436 z ζ + 79 z − z + 17612 z ζ − z − z + 57181 z + ǫ (cid:18) − z − z + 16924 z ζ H , − z + 46 z − z H , + 10 z − z − z H , , − z − z + 1612 z H , − z − z + 3824 z H , + 22 z − z − z H , , + 34 z − z + 11312 z H , − z − z + 7924 z H , , − z − z + 19324 z H , , − z − z − z H , + 118 z − z + 20924 z H , , , − z − z + 50354 z H , + 35 z − z + 1624 z ζ H + 104 z − z + 30436 z ζ H − z − z + 64124 z ζ H + 17 z − z + 163 z H + 26 z − z − z H + 28 z − z − z H + 608 z − z + 2194162 z H + 3 89 z − z + 35232 z ζ − z − z + 33254 z ζ + 472 z − z + 214472 z ζ − z − z + 6820486 z (cid:19)(cid:21) + N N f " ǫ (cid:18) − z − z + 26 z H , − z − z + 26 z H + z − z + 26 z ζ + 28 z − z + 38108 z (cid:19) − z − z + 59 z H , + z − z + 26 z H , − z − z + 23 z H , + z − z + 22 z H , , − z − z + 23 z ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H − z − z + 2036 z H − z − z + 94108 z H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z ζ + 4 z − z + 2036 z ζ + 80 z − z + 130324 z + ǫ (cid:18) z − z + 23 z ζ H , + z − z + 53 z H , , − z − z + 26 z H , , − z − z + 23 z H , + z − z + 23 z H , , + z − z + 23 z H , , + 2 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , – 22 – (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , + 4 z − z + 2036 z H , − z − z + 4036 z H , + 77 z − z + 40108 z H , − z − z + 23 z ζ H + 8 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z ζ H − z − z + 4036 z ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H − z − z + 209 z H − z − z + 148108 z H − z − z + 458324 z H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z ζ + 17 z − z − z ζ − z − z + 16036 z ζ + 484 z − z + 422972 z (cid:19) + N " ǫ (cid:18) z − z + 512 z H , + z − z + 1412 z H + 14 z H + 14 z − z + 2212 z ζ + 485 z − z + 772216 z (cid:19) + 7 z − z + 118 z H , , + 11 z − z + 412 z H , + 31 z − z + 3824 z H , + 67 z − z + 15572 z H , − z − z + 8824 z ζ H + 8 z − z + 286 z H + 67 z − z + 30872 z H − z − z + 736108 z H − z − z + 17612 z ζ + 113 z − z + 26872 z ζ + 1337 z − z + 2284324 z + ǫ (cid:18) z − z + 31324 z ζ H , + 7 (cid:0) z − z + 7 (cid:1) z H , + 11 z − z + 10924 z H , , − z − z + 3812 z H , − z − z + 1124 z H , , , + 43 z − z + 14348 z H , , + 44 z − z + 15124 z H , , + 50 z − z + 12712 z H , − z − z + 6524 z H , , + 181 z − z + 50144 z H , + 251 z − z + 67072 z H , + 4679 z − z + 9424432 z H , + 17 z − z + 8212 z ζ H − z − z + 32972 z ζ H + 352 z − z + 71324 z ζ H + 2 (cid:0) z − z + 28 (cid:1) z H + 277 z − z + 123272 z H + 799 z − z + 3536432 z H − z − z + 2194162 z H − z − z + 52816 z ζ − z − z + 4288144 z ζ + 2207 z − z + 2656432 z ζ + 3463 z − z + 3410243 z (cid:19) + N f " ǫ (cid:18) z − z + 26 z H , + z − z + 26 z H − z − z + 26 z ζ − z − z + 38108 z (cid:19) + z − z + 59 z H , − z − z + 26 z H , + z − z + 23 z H , − z − z + 22 z H , , – 23 – z − z + 23 z ζ H + 2 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H + 4 z − z + 2036 z H + 56 z − z + 94108 z H + 4 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z ζ − z − z + 2036 z ζ − z − z + 130324 z + ǫ (cid:18) − z − z + 23 z ζ H , − z − z + 53 z H , , + z − z + 26 z H , , + z − z + 23 z H , − z − z + 23 z H , , − z − z + 23 z H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , + 7 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , , + 4 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , − z − z + 2036 z H , + 8 z − z + 4036 z H , − z − z + 40108 z H , + z − z + 23 z ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z ζ H + 8 z − z + 4036 z ζ H + 8 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H + 4 z − z + 209 z H + 35 z − z + 148108 z H + 160 z − z + 458324 z H + 3 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z ζ − z − z − z ζ + 32 z − z + 16036 z ζ − z − z + 422972 z (cid:19) + 1 N " ǫ (cid:18) − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , − z − z + 128 z H − z − z H + 2 − z ζ (cid:19) + 3 (cid:0) z − z + 5 (cid:1) z H , , − z − z + 32 z H , − z − z + 188 z H , − z − z H , + 3 z − z + 34 z ζ H − z − z + 124 z H − z − z + 244 z H − z − z H + 2 − z ζ + 3 − z ζ + ǫ (cid:18) − z − z + 278 z ζ H , + 3 z − z + 38 z H , , − (cid:0) z − z + 11 (cid:1) z H , , , − (cid:0) z − z + 14 (cid:1) z H , + 8 z − z + 458 z H , , − z − z + 114 z H , + 9 z − z + 244 z H , − z − z + 214 z H , + 18 z − z + 158 z H , , − z − z − z H , − z − z H , + 20 z − z H , , + 4 z − z + 104 z ζ H + 12 z − z + 218 z ζ H − z − z + 24 z H − z − z + 484 z H − z − z − z ζ H − z − z H − z − z − z H + 15 − z ζ − z − ζ − z − ζ (cid:19) – 24 – 1 N " ǫ (cid:18) (1 − z )( z − z H , + 2 − z H − z H + z ζ −
38 ( z − (cid:19) − z − z + 188 z H , − z − z + 198 z H , + 3(1 − z ) z H , , + 2 z − z H , − z − z + 128 z ζ H + 3 z − z − z H − z − z + 88 z H + 2 − z H + 3 z + 48 ζ + 5 z + 24 ζ −
94 ( z −
2) + ǫ (cid:18) − z − z + 218 z ζ H , + z + 6 z − z H , + 2 z − z + 218 z H , , − z − z + 334 z H , − z − z + 5816 z H , − z − z + 278 z H , , − z − z + 98 z H , , − z − z + 12816 z H , + 3(1 − z )( z − z H , − ( z + 3) z H , , − ( z − z − z H , + (1 − z )(17 z − z H , , , − (cid:0) z − z + 17 (cid:1) z ζ H − z − z + 458 z ζ H + 9 z − z − z H − z − z + 328 z H − z − z + 3216 z H + (1 − z )(5 z − z ζ H − z − H −
516 (5 z − ζ + (cid:18)
116 (13 z + 42) (cid:19) ζ + (cid:18)
116 (185 z + 22) (cid:19) ζ −
212 ( z − (cid:19) + O ( ǫ ) ,V (2 , gq ( z, ǫ ) = 3 ǫ N − N ζ + O ( ǫ ) , (A.15) V (2 , gq ( z, ǫ ) = N " ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , + 31 z − z + 8024 z H + 3 z − ζ (A.16) − z − z + 25072 z H + z + 1012 (cid:19) − z − z + 296 z H , − z − z + 8812 z H , − z − z + 8924 z H , , + 104 z − z + 35872 z H , − z − z + 8812 z H + 52 z − z + 26036 z H − z − z + 36854 z H − z − z ζ H + 4 − z ζ + 9 z − ζ − z − ǫ (cid:18) z − z − z ζ H , + 35 z − z + 12412 z H , + 44 z − z + 11512 z H , + 58 z − z + 19724 z H , , + 58 z − z + 14324 z H , , , + 70 z − z + 22124 z H , , − z − z + 47336 z H , + 115 z − z + 37424 z H , + 115 z − z + 25724 z H , , − z − z + 73672 z H , − z − z + 49372 z H , , + 275 z − z + 1006108 z H , + 80 z − z + 1218 z ζ H + 11 z − z + 403 z H – 25 – z − z + 1259 z H + 275 z − z + 1492108 z H − z − z + 2194162 z H + 3( z − z + 2)8 z ζ H − z − z ζ H + 17 − z ζ + 3332 (3 z − ζ + 24 z − ζ + 22583 − z (cid:19) + N N f " ǫ (cid:18) − z − z + 26 z H , − z − z + 26 z H + 5 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H − z (cid:19) − z − z + 59 z H , + z − z + 26 z H , + z − z + 26 z H , , + 2 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , − ζ + 2 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H − z − z + 2036 z H + 26 z − z + 94108 z H − z + 1918 + ǫ (cid:18) z − z + 59 z H , , − z − z + 26 z H , , − z − z + 26 z H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , + 4 z − z + 2036 z H , + 16 z − z + 8036 z H , − z − z + 40108 z H , − ζ + 112 ζ H − z − z + 2 z ζ H + 4 (cid:0) z − z + 5 (cid:1) z H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H − z − z + 40108 z H + 160 z − z + 458324 z H + (cid:18)
136 (13 − z ) (cid:19) ζ + 1216 (190 z − (cid:19) + N " ǫ (cid:18) − z − z + 512 z H , − z − z + 1412 z H + 134 z − z + 25936 z H + 3 − z ζ + 20 − z (cid:19) − z − z + 15572 z H , + 79 z − z + 18212 z H , + 143 z − z + 37024 z H , + 155 z − z + 31924 z H , , − z − z + 27272 z H + 73 z − z + 17612 z H + 379 z − z + 1382108 z H − ( z − z ζ H + 52 − z ζ + z − ζ + 1144 (635 − z ) + ǫ (cid:18) z − z + 158 z ζ H , + 8 z − z + 2512 z H , − z − z + 6512 z H , + 31 z − z + 1124 z H , , , + 31 z + 16 z − z H , , + 47 z − z + 3412 z H , − z − z + 8524 z H , , + 100 z − z + 20324 z H , , + 535 z − z + 221672 z H , – 26 – 959 z − z + 3859144 z H , , + 1175 z − z + 4858144 z H , − z − z + 4256432 z H , − z − z + 32724 z ζ H − z − z + 3658 z ζ H + z + 25 z − z H + 643 z − z + 207272 z H + 1135 z − z + 3164162 z H − z − z + 4256432 z H + 3(2 z − z − z ζ H + 1144 (1126 − z ) ζ −
516 (19 z − ζ + 148 (39 z − ζ + 1864 (16733 − z ) (cid:19) + N f " ǫ (cid:18) − z − z + 26 z H , − z − z + 26 z H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H + z − (cid:19) − z − z + 59 z H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , + 112 ζ − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H − z − z + 2036 z H − z − z + 206108 z H + 136 (8 z + 7) + ǫ (cid:18) − (cid:0) z − z + 5 (cid:1) z H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , , − z − z + 10036 z H , − z − z + 16036 z H , − z − z + 184108 z H , + 112 ζ − ζ H + 2 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z ζ H − (cid:0) z − z + 5 (cid:1) z H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H − z − z + 184108 z H − z − z + 1114324 z H + (cid:18)
136 (3 z − (cid:19) ζ + 151 − z (cid:19) + 1 N " ǫ (cid:18) − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , − z − z + 5224 z H − z − z + 28672 z H + 18 (3 z − ζ − (cid:19) − z − z + 10612 z H , − z − z + 12412 z H , − z − z + 37472 z H , − z − z + 22124 z H , , − z − z + 8812 z H − z − z + 14236 z H − z − z + 862108 z H − z − z ζ H + 14 (2 − z ) ζ + z − ζ + 1144 (132 z − ǫ (cid:18) − z − z + 38 z ζ H , − z − z + 14912 z H , – 27 – z − z + 19924 z H , , − z − z + 19024 z H , − z − z + 14012 z H , − z − z + 72536 z H , − z − z + 25324 z H , , , − z − z + 19924 z H , , − z − z + 37924 z H , , − z − z + 1130108 z H , − z − z + 161272 z H , − z − z + 147772 z H , , − (cid:0) z − z − (cid:1) z ζ H + 152 z − z + 2898 z ζ H − z − z + 526 z H − z − z + 28618 z H − z − z + 43054 z H − z − z + 2590162 z H − z − z ζ H + 18 (23 − z ) ζ + z − ζ + (cid:18)
332 (73 z − (cid:19) ζ + 1864 (4758 z − (cid:19) + N f N " ǫ (cid:18) z − z + 23 z H , + 5 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H + z − z + 23 z H + 16 (cid:19) + 2 (cid:0) z − z + 5 (cid:1) z H , + 2 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , + 2 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , + 2 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , + 2 (cid:0) z − z + 5 (cid:1) z H + 2 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H + 13 z − z + 5654 z H + 136 (31 − z ) + ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 5 (cid:1) z H , + 4 (cid:0) z − z + 5 (cid:1) z H , + 4 (cid:0) z − z + 5 (cid:1) z H , , + 4 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , + 4 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , + 4 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , + 4 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , + 4 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , + 4 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , + 4 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H , , , + 13 z − z + 5627 z H , − z − z + 2 z ζ H + 4 (cid:0) z − z + 5 (cid:1) z H + 4 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z H + 4 (cid:0) z − z + 41 (cid:1) z H + 13 z − z + 5627 z H + 1216 (727 − z ) (cid:19) + 1 N " ǫ (cid:18) − (1 − z )( z − z H , + z − H + 1 − z z H − z ζ + 3( z − (cid:19) − z − z − z H , + 7 z − z + 198 z H , + 2 − z H , − − z ) z H , , + z − z + 84 z H + 7 z − z + 48 z H + z − ζ H + 6 − z H – 28 –
18 ( z + 4) ζ + z ζ + 316 (12 z −
25) + ǫ (cid:18) − z + 98 z ζ H , + z + 2 z + 916 z H , , + 4 z − z + 98 z H , , + 5 z − z − z H , + 6 z − z + 34 z H , + 8 z − z H , , − z − z − z H , + 17 z − z + 158 z H , , − z − z + 1816 z H , + 85 z − z + 17616 z H , + 3( z − z + 1)4 z H , − (1 − z )(17 z − z H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) z ζ H − z − z + 458 z ζ H + z − z + 202 z H − z − z − z H − (1 − z )(12 z − z ζ H + (2( z − H + (5 z − z − z H + 14 (1 − z ) ζ + 116 (5 z − ζ + 116 (19 z + 58) ζ + 1932 (18 z − (cid:19) + O ( ǫ ) ,V (2 , qq ( z, ǫ ) = N " ǫ (cid:18) − z H + 18 (4 z − H + 124 (cid:0) − z + 76 z − (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) (cid:19) + 18 (cid:0) − z − z + 3 (cid:1) H , + 18 (3 z − H , + 14 (1 − z )(3 z − H , , −
18 (2 z − z − H , + 124 (cid:0) z − z + 79 (cid:1) ζ H + 12 (cid:0) − z + 5 z − (cid:1) H + 1216 (cid:0) z − z + 862 (cid:1) H + 18 (11 z − H + 172 (cid:0) − z + 701 z − (cid:1) ζ + 18 (cid:0) z − z + 37 (cid:1) ζ + 1162 (cid:0) − z + 1820 z − (cid:1) + ǫ (cid:18) (cid:0) − z + 310 z − (cid:1) ζ H , + 1216 (cid:0) − z + 3475 z − (cid:1) H , + 18 (cid:0) − z − z + 5 (cid:1) H , + 18 (cid:0) − z + 19 z − (cid:1) H , , + 12 (cid:0) − z + 10 z − (cid:1) H , + 18 (cid:0) − z + 14 z − (cid:1) H , , + 12 (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 5 (cid:1) H , + 18 (cid:0) z + 26 z − (cid:1) H , , + 18 (cid:0) z − z + 9 (cid:1) H , , −
34 (1 − z )(3 z − H , , , −
18 (4 z − z − H , + 18 (cid:0) − z + 144 z − (cid:1) ζ H + 34 (cid:0) z + z − (cid:1) ζ H + 172 (cid:0) z − z + 500 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H + 7648 (cid:0) z − z + 740 (cid:1) H + 12 (1 − z )(9 z − H + 18 (25 z − H + 1216 (cid:0) − z + 4957 z − (cid:1) ζ + 148 (cid:0) − z + 107 z + 77 (cid:1) ζ – 29 – 124 (cid:0) z − z + 239 (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 911 (cid:1) (cid:19) + N N f " ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + 727 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) (cid:19) − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) H + 12 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) ζ + 19 (cid:0) z − z + 5 (cid:1) ζ + 181 (cid:0) z − z + 41 (cid:1) + ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ H , + 2827 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) H , + (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 5 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 41 (cid:1) H + 16 (cid:0) − z + 16 z − (cid:1) ζ + 1912 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + 427 (cid:0) z − z + 7 (cid:1) ζ + 4243 (cid:0) z − z + 61 (cid:1) (cid:19) + 1 ǫ (cid:18)
18 (3 − z ) H + 1 − z H + 18 (2 z − ζ (cid:19) + 18 (cid:0) z − z − (cid:1) H , + 18 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) H , + 18 (3 z − H , −
14 (1 − z )(3 z − H , , + 12 (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H + 18 (3 − z ) ζ H + 18 (2 − z ) H + 9(1 − z )8 H + 18 (cid:0) − z + 22 z − (cid:1) ζ + 18 (9 z − ζ + ǫ (cid:18) (cid:0) − z + 10 z − (cid:1) ζ H , + 18 (cid:0) − z + 26 z − (cid:1) H , , + 18 (cid:0) − z − z + 9 (cid:1) H , , + 12 (cid:0) − z + 4 z − (cid:1) H , + 18 (cid:0) z − z + 5 (cid:1) H , , + 18 (cid:0) z − z + 16 (cid:1) H , , + 18 (cid:0) z − z − (cid:1) H , + 18 (cid:0) z − z + 18 (cid:1) H , + z (3 z − H , + 34 (1 − z )(3 z − H , , , −
34 (1 − z )(5 z − H , + 18 (9 z − H , + 18 (cid:0) z − z + 21 (cid:1) ζ H + 2 (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H + 12 (cid:0) z − z + 9 (cid:1) H + 18 (10 − z ) ζ H + 34 (1 − z ) ζ H + 18 (16 − z ) H + 18 (4 − z ) H + 18 (cid:0) − z + 87 z − (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 55 (cid:1) ζ + 18 (23 z − ζ (cid:19) + O ( ǫ ) ,V (2 , qq ( z, ǫ ) = N " (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + ǫ (cid:18) − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ H (A.17)+ 394 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + 13 (cid:0) z − z + 40 (cid:1) ζ (cid:19) + N N f " − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ H – 30 – (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 5 (cid:1) ζ (cid:19) + 92 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + ǫ (cid:18) − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ H + 274 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + 3 (cid:0) z − z + 4 (cid:1) ζ (cid:19) + O ( ǫ ) ,V (2 , qq ( z, ǫ ) = N " ǫ (cid:0) z − z + 1 (cid:1) + 1 ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 303 (cid:1) (A.18) − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) H (cid:19) + 1 ǫ (cid:18) (cid:0) − z + 499 z − (cid:1) H + 18 (3 − z ) H + 124 (cid:0) − z + 64 z − (cid:1) ζ + 1864 (cid:0) z − z + 18677 (cid:1) (cid:19) + 18 (cid:0) − z + 154 z − (cid:1) H , + 18 (cid:0) − z + 128 z − (cid:1) H , + 14 (cid:0) − z + 71 z − (cid:1) H , , + 18 (2 − z ) H , + 172 (cid:0) − z + 3883 z − (cid:1) H + 12 (cid:0) − z + 37 z − (cid:1) H + 18 (12 z − ζ H + 18 (7 − z ) H + 172 (cid:0) − z + 899 z − (cid:1) ζ + 124 (cid:0) − z + 526 z − (cid:1) ζ + 1016318 z − z + 3553815184+ ǫ (cid:18) (cid:0) − z + 50 z − (cid:1) ζ H , + 124 (cid:0) − z + 1327 z − (cid:1) H , , + 124 (cid:0) − z + 1405 z − (cid:1) H , + 124 (cid:0) − z + 1201 z − (cid:1) H , + 18 (cid:0) − z + 32 z − (cid:1) H , , + 18 (cid:0) − z − z + 7 (cid:1) H , , + 14 (cid:0) − z − z + 1 (cid:1) H , + 18 (cid:0) z − z + 15 (cid:1) H , , + 18 (5 − z ) H , + 34 (1 − z )(3 z − H , , , + 14 (3 z − z − H , − z (3 z − H , + 14 (cid:0) − z + 15 z − (cid:1) ζ H + 18 (cid:0) z − z + 263 (cid:1) ζ H + 1216 (cid:0) − z + 25997 z − (cid:1) H + 112 (cid:0) − z + 671 z − (cid:1) H − (cid:0) z + z − (cid:1) H + 18 (35 z − ζ H + 18 (18 − z ) H + 1432 (cid:0) − z + 19076 z − (cid:1) ζ + 172 (cid:0) − z + 9551 z − (cid:1) ζ + 116 (cid:0) z + 29 z − (cid:1) ζ + 6380090 z − z + 217372710368 (cid:19) N N f " − ǫ (cid:0) z − z + 1 (cid:1) + 1 ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 1 (cid:1) H + 118 (cid:0) − z + 101 z − (cid:1) (cid:19) + 1 ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 5 (cid:1) H – 31 – 13 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + 172 (cid:0) − z + 1622 z − (cid:1) (cid:19) + 2 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) H , + 2 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) H , + 2 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) H , , + 2 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) H + 149 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 56 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + 118 (cid:0) z − z + 19 (cid:1) ζ + − z + 97742 z − ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 5 (cid:1) H , + 23 (cid:0) z − z + 5 (cid:1) H , + 23 (cid:0) z − z + 5 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ H + 23 (cid:0) z − z + 5 (cid:1) H + 227 (cid:0) z − z + 82 (cid:1) H − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + 118 (cid:0) z − z + 217 (cid:1) ζ + 1108 (cid:0) z − z + 373 (cid:1) ζ + − z + 1816750 z − (cid:19) + N f " ǫ (cid:0) z − z + 1 (cid:1) + 427 ǫ (cid:0) z − z + 5 (cid:1) + 227 (cid:0) z − z + 27 (cid:1) + 32 ǫ (cid:0) z − z + 38 (cid:1) + 5524 ǫ (cid:0) z − z + 1 (cid:1) + 1 ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 587 (cid:1) − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) H (cid:19) + 1 ǫ (cid:18) (cid:0) − z + 89 z − (cid:1) H + 18 (2 z − H + 124 (cid:0) − z + 22 z − (cid:1) ζ + 47216 (cid:0) z − z + 119 (cid:1) (cid:19) + 18 (cid:0) − z + 42 z − (cid:1) H , + 18 (cid:0) − z + 26 z − (cid:1) H , + 14 (cid:0) − z + 16 z − (cid:1) H , , + 18 (2 − z ) H , + 12 (cid:0) − z + 8 z − (cid:1) H − (cid:0) z − z + 22 (cid:1) H −
18 (6 z + 7) ζ H + 18 (5 z − H + 124 (cid:0) − z + 550 z − (cid:1) ζ + 172 (cid:0) − z + 185 z − (cid:1) ζ + 292994 z − z + 994031296 + ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 5 (cid:1) ζ H , + 18 (cid:0) − z + 167 z − (cid:1) H , + 18 (cid:0) − z + 95 z − (cid:1) H , + 18 (cid:0) − z + 129 z − (cid:1) H , , + 18 (cid:0) − z + 26 z − (cid:1) H , , + 14 (cid:0) − z + 18 z − (cid:1) H , + 14 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) H , + 18 (cid:0) z − z − (cid:1) H , , + 18 (cid:0) z − z + 11 (cid:1) H , , + 18 (5 − z ) H , + 32 z (3 z − H , −
34 (1 − z )(3 z − H , , , + 14 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ H + 18 (cid:0) − z + 479 z − (cid:1) H + 14 (cid:0) − z + 57 z − (cid:1) H −
18 (25 z + 2) ζ H + 18 (6 z + 11) ζ H −
32 (1 − z ) H + 18 (11 z − H – 32 – 172 (cid:0) − z + 10619 z − (cid:1) ζ + 1216 (cid:0) − z + 181 z + 430 (cid:1) ζ + 116 (cid:0) − z + 352 z − (cid:1) ζ + 5179370 z − z + 17107037776 (cid:19) + N f N " − ǫ (cid:0) z − z + 1 (cid:1) + 118 ǫ (cid:0) − z + 67 z − (cid:1) + 1 ǫ (cid:18) (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) ζ + 1216 (cid:0) − z + 2786 z − (cid:1) (cid:19) + 19 (cid:0) − z + 17 z − (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 2221 (cid:1) ǫ (cid:18) (cid:0) − z + 910 z − (cid:1) ζ + 19 (cid:0) − z + 116 z − (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + − z + 728594 z − (cid:19) + 1 N " ǫ (cid:0) z − z + 1 (cid:1) + 116 ǫ (cid:0) z − z + 41 (cid:1) + 1 ǫ (cid:18) (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + 132 (cid:0) z − z + 221 (cid:1) (cid:19) − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + 18 (cid:0) z − z + 29 (cid:1) ζ + 164 (cid:0) z − z + 1151 (cid:1) + ǫ (cid:18) (cid:0) − z + 107 z − (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) ζ + 716 (cid:0) z − z + 31 (cid:1) ζ + 1128 (cid:0) z − z + 5741 (cid:1) (cid:19) + O ( ǫ ) . B. The CDR matrix elements for H to three partons B.1 The matrix element for H → ggg In this section we show how to obtain the two-loop matrix element in CDR from the D -dimensional tensor coefficients of ref. [20]. The amplitude for H → ggg can be writtenas |M H → ggg i = S µνρ ǫ µ ǫ ν ǫ ρ , (B.1)where the gluon tensor is given by, S µνρ = λ √ πα f a a a ∞ X ℓ =0 (cid:16) α π (cid:17) ℓ (cid:18) S ǫ c Γ (cid:19) ℓ e iπℓǫ ( m H ) − ℓǫ S ( ℓ ) µνρ , (B.2)where λ and α denote the bare coupling constants, and S ǫ = (4 π ) ǫ e − γ E ǫ and c Γ = e γ E ǫ Γ(1 − ǫ ) Γ(1 + ǫ )Γ(1 − ǫ ) , (B.3)– 33 –here γ E = − Γ ′ (1) denotes the Euler-Mascheroni constant. After tensor decomposition,we get S ( ℓ ) µνρ ǫ µ ǫ ν ǫ ρ = 1 m H h T A ( ℓ )232 + T A ( ℓ )211 + T A ( ℓ )311 + T A ( ℓ )312 i , (B.4)where T ijk are the tensors given in eq. (3.7) of ref. [20], and the A ( ℓ ) ijk are scalars .Our goal is to compute the interference hM (0) H → ggg |M ( ℓ ) H → ggg i in CDR, summed overcolours and spins. The colour sum is trivial, and gives f a a a f a a a = V C A . (B.5)The polarisation sum read, X pol. ǫ ∗ iµ ǫ iν = − η µν + gauge dependent terms. (B.6)The gauge dependent terms are proportional to the gluon momentum. The tensors T ijk ≡ T µνρijk ǫ µ ǫ ν ǫ ρ of ref. [20] are transverse, i.e., they vanish whenever they are contracted withan external gluon momentum, T µνρijk p µ = T µνρijk p ν = T µνρijk p ρ = 0 . (B.7)As a consequence, the gauge dependent terms will always drop out, and we can use the‘naive’ polarisation sum X pol. ǫ ∗ iµ ǫ iν → − η µν . (B.8)We get hM (0) H → ggg |M ( ℓ ) H → ggg i = 8 π | λ | (cid:16) α π (cid:17) ℓ +1 (cid:18) S ǫ c Γ (cid:19) ℓ e iπℓǫ ( m H ) − ℓǫ V C A × M ( ℓ ) ggg ( x , x , x ; ǫ ) , (B.9)with M ( ℓ ) ggg ( x , x , x ; ǫ )= A ( ℓ )211 x x h ( D − x + x x + x x + x x ) + x + x i − A ( ℓ )311 x x h ( D − x + x x + x x + x x ) + x + x i + A ( ℓ )232 x x h ( D − x + x x + x x + x x ) + x + x i − A ( ℓ )312 h ( D − x + x + x ) + (3 D − x x + x x + x x ) i , (B.10)where x ij = s ij /m H and x + x + x = 1, and where we have used the fact that A (0)211 = 2 x , A (0)311 = − x ,A (0)232 = 2 x , A (0)312 = − x − x − x . (B.11) We slightly changed the normalisation of the A ( ℓ ) ijk compared to ref. [20], in order to have the colourtensor and the overall coupling constant explicit. – 34 – .2 The matrix element for H → q ¯ qg The amplitude for H → q ¯ qg can be written as |M H → q ¯ qg i = λ √ πα T aij ∞ X ℓ =0 (cid:16) α π (cid:17) ℓ (cid:18) S ǫ c Γ (cid:19) ℓ e iπℓǫ ( m H ) − ℓǫ T ( ℓ ) ρ ǫ ρ = λ √ πα T aij [ T A + T A ] , (B.12)where as in the gluon case we have factored out explicitly the overall coupling and colourstructure. We have T i = ¯ u γ µ v [ p µ ǫ · p i − ǫ µ p · p i ] . (B.13)The colour sum is trivial and the quake spin sum give X spins [¯ u γ µ v ] † ¯ u γ ν v = Tr (cid:2) /p γ ν /p γ µ (cid:3) = 4 (cid:18) p µ p ν + p ν p µ − s η µν (cid:19) . (B.14)The tensors T i ≡ T iρ ǫ ρ are transverse, T iρ p ρ = 0, and so we can again use the ‘naive’polarisation sum for the gluons. We get, hM (0) H → q ¯ qg |M ( ℓ ) H → q ¯ qg i = 8 π | λ | (cid:16) α π (cid:17) ℓ +1 (cid:18) S ǫ c Γ (cid:19) ℓ C F C A e iπℓǫ ( m H ) − ℓǫ × M ( ℓ ) q ¯ qg ( x , x , x ; ǫ ) , (B.15)where we used the fact that A (0) i = 1 /x and where we defined M ( ℓ ) q ¯ qg ( x , x , x ; ǫ ) = 12 A ( ℓ )1 x [( D − x + ( D − x ]+ 12 A ( ℓ )2 x [( D − x + ( D − x ] . (B.16) C. Two-loop single-real contributions to Higgs production at N LO In this appendix we present the result for the contributions of the two-loop amplitude for H + 3 partons to the inclusive gluon-fusion cross section at N LO computed in Section 4.The results are expressed in terms of harmonic polylogarithms up to weight five, and weuse the shorthand H i,...,j ≡ H i,...,j ( z ), where z = m H /s . The results for the three differentinitial states are given in the subsequent sections. In all cases we have factored out theleading-order inclusive cross section, σ = πλ V v , (C.1)where v ≃
246 GeV is the vacuum expectation value of the Higgs field.– 35 – .1 The gg initial state The contribution of the two-loop amplitude for gg → Hg to the inclusive Higgs crosssection at N LO can be written asˆ σ (3) gg → Hg = 2 (cid:16) α π (cid:17) s − − ǫ σ (cid:16) ˆ σ (3) ,singgg → Hg + ˆ σ (3) ,reggg → Hg (cid:17) . (C.2)The first term represents the soft-virtual term, which is entirely determined by the QCDsoft current, ˆ σ (3) ,singgg → Hg = X k =0 ¯ z − − k +1) ǫ Γ( − ( k + 1) ǫ ) Γ( − k + 1) ǫ ) S (2 ,k ) g ( ǫ ) , (C.3)where S (2 ,k ) g ( ǫ ) is defined in eq. (4.19). The second term is regular as z →
1, and can bewritten as ˆ σ (3) ,reggg → Hg = X k = − ǫ k h N A ( k ) gg + N N f B ( k ) gg + N N f C ( k ) gg + N f D ( k ) gg i , (C.4)with A ( − gg = 196 z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) , (C.5) B ( − gg = 0 , (C.6) C ( − gg = 0 , (C.7) D ( − gg = 0 , (C.8) A ( − gg = 7 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H + 9 z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H (C.9)+ 172 (cid:0) z − z + 1039 z − (cid:1) ,B ( − gg = 718 z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) , (C.10) C ( − gg = 0 , (C.11) D ( − gg = 0 , (C.12)– 36 – ( − gg = 8 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , + 30 z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , (C.13) − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H + 8 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H + 14 (cid:0) z − z + 193 z − (cid:1) H − z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 1432 (cid:0) z − z + 15361 z − (cid:1) ,B ( − gg = 4 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H + z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H (C.14)+ 1216 (cid:0) z − z + 745 z − (cid:1) ,C ( − gg = 0 , (C.15) D ( − gg = 0 , (C.16) A ( − gg = − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , (C.17) − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , + 17 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , + 116 z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 16 (cid:0) z − z + 1097 z − (cid:1) H , − z − z + 30 z − z − − z H , − z − z + 582 z − z + 9518(1 − z ) H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) ζ H − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H + 172 (cid:0) z − z + 8361 z − (cid:1) H − z − z + 291 z − z − − z ) H + 545 z − z + 1635 z − z − − z ) ζ H − z − z + 1035 z − z + 27454(1 − z ) H + 57601 z − z + 147119 z − (cid:0) − z + 19051 z − z + 5379 (cid:1) ζ + 121 z − z + 363 z − z − − z ) ζ ,B ( − gg = 4 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , + 103 z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , (C.18)+ 4 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H + 136 (cid:0) z − z + 357 z − (cid:1) H + 64 z − z + 189 z − z + 6454(1 − z ) H + 1648 (cid:0) z − z + 4541 z − (cid:1) − z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ , – 37 – ( − gg = z , (C.19) D ( − gg = 12 z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) , (C.20) A ( − gg = 324799 z − z + 781709 z − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , (C.21) − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , + 18 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , + 20 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , + 34 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , + 40 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , , + 504 z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 1864 (cid:0) − z + 339529 z − z + 133107 (cid:1) ζ − z (cid:0) z − z + 195 z − (cid:1) − z ) H + 13 (cid:0) z − z + 2291 z − (cid:1) H , , + 136 (cid:0) z − z + 15857 z − (cid:1) H , + 1216 (cid:0) z − z + 71343 z − (cid:1) H − z − z + 915 z − z + 14118(1 − z ) H , , + 179 z − z + 560 z − z − − z ) H , , − z − z + 2058 z − z + 3239(1 − z ) H , , − z − z + 956 z − z − − z ) H , − z − z + 3045 z − z + 48818(1 − z ) H , − z − z + 1545 z − z − − z ) H , + 541 z + 1513 z − z − z + 1630162(1 − z ) H − z − z + 1821 z − z − − z ) H , − z − z + 8427 z − z + 159754(1 − z ) H , – 38 – z − z + 6978 z − z + 25654(1 − z ) H + 3443 z − z + 17931 z − z + 249836(1 − z ) ζ − z − z + 50349 z − z − − z ) ζ − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ζ H − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) ζ H − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) ζ H , + 265 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) ζ H , + 7 (cid:0) z − z + 363 z − z − (cid:1) − z ) ζ H , + 2 (cid:0) z − z + 699 z − z − (cid:1) − z ) ζ H − z − z + 960 z − z − − z ) ζ H + 9059 z − z + 54600 z − z + 938972(1 − z ) ζ H ,B ( − gg = − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , + 443 z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 118 (cid:0) z − z + 683 z − (cid:1) H , − z − z + 195 z − z + 254(1 − z ) H , − z − z + 51 z − z + 1618(1 − z ) H , + 26 z − z + 73 z − z + 246(1 − z ) H , , − z − z + 138 z − z + 4818(1 − z ) H , − z − z + 147 z − z + 4818(1 − z ) H , , − z − z + 319 z − z + 6418(1 − z ) H , + 136 (cid:0) z − z + 889 z − (cid:1) H − z − z + 198 z − z + 686(1 − z ) ζ H + 301 z − z + 903 z − z − − z ) ζ H − z − z + 75 z − z + 2418(1 − z ) H − z − z + 213 z − z − − z ) H − (cid:0) z − z + 342 z − z + 103 (cid:1) − z ) H + 1432 (cid:0) − z + 18121 z − z + 3003 (cid:1) ζ + − z − z − z − z − z + 453 z − z − − z ) ζ ,C ( − gg = 4 z H + 1162 (cid:0) − z + 44 z − z + 12 (cid:1) , (C.22) D ( − gg = (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H + z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H − z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ (C.23)+ 124 (cid:0) z − z + 325 z − (cid:1) , – 39 – (0) gg = 6917536 z − z + 16560434 z − − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , + 94 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , + 32 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , , + 104 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , , + 110 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , + 40 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H + 80 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , + 82 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , + 88 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , + 278 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , , , + 114 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , , , + 117 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z H , , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , , , + 2384 z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , + 23 (cid:0) z − z + 5153 z − (cid:1) H , , , + 19 (cid:0) z − z + 16690 z − (cid:1) H , , + 94 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , , − z − z + 224 z − z − − z H , , , − (cid:0) z − z + 84 z − z + 62 (cid:1) − z ) H , + 1216 (cid:0) z + 88650 z − z + 221368 z − (cid:1) H + 115 z − z + 213 z + 228 z − − z ) H , , + 170 z − z + 2751 z − z + 19218(1 − z ) H , , , − z − z + 889 z − z + 343(1 − z ) H , + 515 z − z + 1617 z − z − − z ) H , + 569 z − z + 1671 z − z − − z ) H − (cid:0) z − z + 3756 z − z + 626 (cid:1) − z ) H , , – 40 – z − z + 3693 z − z + 67518(1 − z ) H , , , − z − z + 4011 z − z + 77518(1 − z ) H , , + 889 z − z + 1911 z − z − − z ) H , , + 1415 z − z + 4209 z − z − − z ) H , + 1586 z − z + 4758 z − z − − z ) ζ − z − z + 5919 z − z + 6018(1 − z ) H , , − z − z + 27480 z − z + 5169108(1 − z ) H , , − z − z + 18894 z − z + 303518(1 − z ) H , , − z − z + 9597 z − z − − z ) H , , − z − z + 8103 z − z − − z ) H − z − z + 24003 z − z + 364618(1 − z ) H , , , − z − z + 23490 z − z + 400627(1 − z ) H , , − z − z + 12237 z − z − − z ) H , − z − z + 35517 z − z − − z ) H , − z − z + 86754 z − z + 16541108(1 − z ) H , + 117637 z − z + 574362 z − z + 90169432(1 − z ) ζ + 148347 z − z + 138972 z + 57432 z − − z ) ζ + 1108 (cid:0) − z − z + 48370 z − z + 126868 z − (cid:1) H , − z − z + 88189 z − z + 84694 z − − z ) H + 48 z + 447 z − z + 25186 z − z + 17101 z − − z ) H , + 144 z + 1341 z − z + 88754 z − z + 47015 z + 4340324(1 − z ) H + 144 z + 1341 z − z + 95600 z − z + 86531 z − − z ) H , – 41 – z + 32184 z − z + 4685548 z − z + 4498564 z − − z ) ζ + 70 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) ζ H , + 89 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) ζ H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) ζ H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) ζ H , + 154 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) ζ H − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) ζ H , , + 7463 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) ζ H + 168 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ζ H , + 169 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ζ H + 318 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ζ H , , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) ζ H , , + 4 (cid:0) z − z + 513 z − z − (cid:1) − z ζ H , + 583 z − z + 1098 z + 388 z − − z ) ζ H + 667 z − z + 2847 z − z + 81018(1 − z ) ζ H + 1037 z − z + 1536 z − z + 138936(1 − z ) ζ H , + 1433 z − z + 4328 z − z − − z ) ζ H , − z − z + 4647 z − z + 1413(1 − z ) ζ ζ + 2 (cid:0) z − z + 4971 z − z − (cid:1) − z ) ζ H , , − z − z + 4033 z + 1762 z − − z ) ζ H + 6008 z − z + 35421 z − z + 574518(1 − z ) ζ H − z − z + 34077 z − z − − z ) ζ H + 17457 z − z + 106434 z − z + 1924936(1 − z ) ζ H , + 128729 z − z + 899310 z − z + 226457432(1 − z ) ζ H ,B (0) gg = − z + 6173047 z − z − − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ) H , , + 2323 z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 19 (cid:0) z − z + 1661 z − (cid:1) H , , + − z − z − z + 373833 z − H + 2 (cid:0) z − z + 21 z − z + 8 (cid:1) − z ) H , − z − z + 37 z − z + 121 − z H , , , – 42 – 2 (cid:0) z − z + 33 z − z + 12 (cid:1) − z ) H , − z − z + 73 z − z + 246(1 − z ) H , − (cid:0) z − z + 105 z − z + 34 (cid:1) − z ) H , , − z − z + 165 z − z + 6218(1 − z ) H , , − z − z + 231 z − z + 7818(1 − z ) H , , , − z − z + 255 z − z + 9618(1 − z ) H , , + 70 z − z + 219 z − z + 7218(1 − z ) H − z − z + 300 z − z + 1019(1 − z ) H , , + 110 z − z + 354 z − z + 12018(1 − z ) H , , + 121 z − z + 222 z + 120 z − − z ) H + 142 z − z + 435 z − z + 14418(1 − z ) H , + 238 z − z + 723 z − z + 23418(1 − z ) H , , , − z − z − z + 1896 z − − z ) H , , − z − z − z + 1358 z − − z ) H , − z − z + 1071 z − z + 35618(1 − z ) H , , , − z − z + 1926 z − z + 39227(1 − z ) H , , − z − z + 2643 z − z + 12854(1 − z ) H , − z − z + 3147 z − z + 768108(1 − z ) H , + 1010 z − z + 2829 z − z + 38436(1 − z ) H , , − z − z + 18219 z − z − − z ) ζ + 9409 z − z + 43110 z − z + 6973216(1 − z ) ζ + 1540 (cid:0) z + 900 z + 23560 z − z + 68650 z − (cid:1) H , + 9504 z − z + 2107411 z − z + 1899229 z − − z ) H − z + 1272 z + 11805 z − z + 3475 z + 15820 z − − z ) H , − z + 3816 z + 48155 z − z + 275505 z − z + 548243240(1 − z ) H , − z + 3816 z + 63740 z − z + 122820 z − z + 82403240(1 − z ) H + 9504 z + 22896 z + 363505 z − z + 1999530 z − z + 2723616480(1 − z ) ζ – 43 – z − z + 72 z − z + 209(1 − z ) ζ H + 202 z − z + 595 z − z + 2046(1 − z ) ζ H , − z − z + 975 z − z + 34818(1 − z ) ζ H + 308 z − z + 924 z − z − − z ) ζ H − z − z + 1353 z − z + 46218(1 − z ) ζ H , − z − z + 1421 z − z + 2729(1 − z ) ζ H + 954 z − z + 2781 z − z − − z ) ζ H , + 5 (cid:0) z − z + 9834 z − z + 25 (cid:1) − z ) ζ H ,C (0) gg = 16 z H , + 181 (cid:0) − z + 79 z + 3 z + 15 (cid:1) H − z ζ (C.26)+ 1162 (cid:0) − z + 230 z − z + 112 (cid:1) ,D (0) gg = 145 (cid:0) z − z + 165 z − z + 210 z − (cid:1) H , (C.27) − z − z + 15 z + 55 z − z + 123 z − − z ) H , − z − z + 390 z − z + 720 z − z + 27090(1 − z ) H , − z (4 z − H , , − z (4 z − H , − (cid:0) z − z + 1 (cid:1) − z ζ H − z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 1180 (cid:0) − z + 2201 z − z + 5028 z − (cid:1) H + 8 z + 2501 z − z + 6921 z − z + 2370180(1 − z ) H − z − z + 30 z + 195 z − z + 180 z − − z ) H + 13 z (4 z − ζ H − z (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 13 (cid:0) − z + 86 z − z + 11 (cid:1) ζ + 1720 (cid:0) z − z + 64213 z − (cid:1) + 24 z − z + 2685 z − z + 5305 z − z + 396180(1 − z ) ζ . C.2 The gq initial state The contribution of the two-loop amplitude for gq → Hq to the inclusive Higgs cross sectionat N LO can be written asˆ σ (3) gq → Hq = 2 (cid:16) α π (cid:17) s − − ǫ σ ˆ σ (3) gq → Hq . (C.28)– 44 –ote that, unlike for the pure-gluon initial state, the result is regular in the limit z → σ (3) gq → Hq can be written asˆ σ (3) gq → Hq = X k = − ǫ k " N A ( k ) gq + N N f B ( k ) gq + N N f C ( k ) gq + N f D ( k ) gq + N E ( k ) gq + N f N F ( k ) gq + 1 N G ( k ) gq + N f N H ( k ) gq + 1 N I ( k ) gq , (C.29)with A ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) , (C.30) B ( − gq = 0 , (C.31) C ( − gq = 0 , (C.32) D ( − gq = 0 , (C.33) E ( − gq = 38 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) , (C.34) F ( − gq = 0 , (C.35) G ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) , (C.36) H ( − gq = 0 , (C.37) I ( − gq = 148 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) , (C.38) A ( − gq = 14 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 18 ( z + 1) , (C.39) B ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) , (C.40) C ( − gq = 0 , (C.41) D ( − gq = 23144 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) , (C.42) E ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 2524 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H (C.43)+ 1288 (cid:0) z − z + 178 (cid:1) ,F ( − gq = 0 , (C.44) G ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 124 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H (C.45)+ 1288 (cid:0) − z + 424 z − (cid:1) ,H ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) , (C.46) I ( − gq = 112 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 196 (cid:0) z − z + 25 (cid:1) , (C.47)– 45 – ( − gq = 724 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , (C.48)+ 148 (cid:0) − z + 14 z − (cid:1) H + 724 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 116 (cid:0) z + 10 z + 8 (cid:1) H + 278 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 1471 z − z + 27801728 ,B ( − gq = 112 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H (C.49)+ 1432 (cid:0) − z + 436 z − (cid:1) ,C ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) , (C.50) D ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 3772 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H (C.51)+ 1288 (cid:0) z − z + 335 (cid:1) ,E ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 1924 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 4112 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , (C.52) − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 112 (cid:0) z − z + 1 (cid:1) H + 1144 (cid:0) z − z + 269 (cid:1) H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 802 z − z + 9711728 ,F ( − gq = 154 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) , (C.53) G ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 124 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , (C.54)+ 1144 (cid:0) − z + 734 z − (cid:1) H + 124 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 148 (cid:0) z − z + 10 (cid:1) H + 3532 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + − z + 9664 z − ,H ( − gq = 1864 (cid:0) − z + 538 z − (cid:1) − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , (C.55) I ( − gq = 13 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 124 (cid:0) z − z + 25 (cid:1) H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ (C.56)+ 1192 (cid:0) z − z + 270 (cid:1) ,A ( − gq = − (cid:0) z − z + 46 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , (C.57)+ 18 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 74 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) z + 10 z + 50 (cid:1) H , + 1144 (cid:0) z + 374 z + 247 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 34748 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 148 (cid:0) − z + 70 z − (cid:1) H + 172 (cid:0) − z + 146 z − (cid:1) H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 1864 (cid:0) z − z + 4201 (cid:1) H + 116 (cid:0) − z − z − (cid:1) ζ – 46 – 238 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 18356 z − z + 2965910368 ,B ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 112 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , (C.58)+ 1432 (cid:0) − z + 1294 z − (cid:1) H + 112 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 136 (cid:0) z − z + 16 (cid:1) H + 2316 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + − z + 4346 z − ,C ( − gq = 1324 (cid:0) − z + 106 z − (cid:1) − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , (C.59) D ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 14 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 6736 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , (C.60)+ 136 (cid:0) − z + 16 z − (cid:1) H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 1144 (cid:0) z − z + 547 (cid:1) H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 5123 z − z + 80232592 ,E ( − gq = 524 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 13 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 23 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , (C.61)+ 3724 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 53 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 796 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 124 (cid:0) z − z + 27 (cid:1) H , + 148 (cid:0) z − z − (cid:1) H , + 172 (cid:0) z − z + 485 (cid:1) H , + 28748 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 1112 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 1144 (cid:0) z − z + 196 (cid:1) H + 1432 (cid:0) z − z + 467 (cid:1) H + 148 z (115 z − H + 1576 (cid:0) − z + 8206 z − (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 1778 z − z + 44813456 ,F ( − gq = 227 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 1324 (cid:0) z − z + 79 (cid:1) , (C.62) G ( − gq = 1144 (cid:0) − z + 2762 z − (cid:1) H , + 116 (cid:0) − z + 26 z − (cid:1) H , (C.63) − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 38 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , −
148 (3 z − z − H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 338 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 1432 (cid:0) − z + 7684 z − (cid:1) H + 148 (cid:0) − z + 38 z + 10 (cid:1) H + 18 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) H + 124 (cid:0) z − z + 13 (cid:1) H + 136 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 1576 (cid:0) z − z + 4471 (cid:1) ζ + − z + 179128 z − , – 47 – ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 1216 (cid:0) − z + 538 z − (cid:1) H (C.64)+ 41288 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + − z + 9320 z − ,I ( − gq = 18 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 18 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 43 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , (C.65)+ 16 (cid:0) z − z + 25 (cid:1) H , + 116 z (3 z − H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 196 (cid:0) z − z + 525 (cid:1) H + 116 (1 − z ) z H + 116 z (3 z − H + 164 (cid:0) − z + 102 z − (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 1384 (cid:0) z − z + 2473 (cid:1) ,A ( − gq = − z − z − (cid:0) − z + 6334 z − (cid:1) ζ (C.66)+ 1144 (cid:0) − z + 751 z − (cid:1) H + 148 (cid:0) − z + 312 z − (cid:1) H , + 148 (cid:0) − z + 362 z − (cid:1) H , , + 172 (cid:0) − z + 353 z − (cid:1) H , + 116 (cid:0) − z + 90 z + 30 (cid:1) H , + 1144 (cid:0) − z − z − (cid:1) ζ + 1432 (cid:0) − z + 161 z + 154 (cid:1) H + 148 (cid:0) − z + 24 z + 130 (cid:1) H , + 124 (cid:0) − z − z − (cid:1) H , , + 124 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 158 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 178 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 3 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 258 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 124 (cid:0) z − z + 19 (cid:1) H + 148 (cid:0) z + 622 z + 323 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) z + 20 z + 30 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) z − z + 282 (cid:1) H , + 1432 (cid:0) z − z + 6943 (cid:1) H , + 15026 z − z + 279672592 H + 196 (cid:0) − z − z − (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 23524 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 292 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 20 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 196 (cid:0) z + 62 z + 766 (cid:1) ζ H , – 48 – ( − gq = 136 (cid:0) − z + 394 z − (cid:1) H , + 136 (cid:0) − z + 20 z − (cid:1) H , (C.67)+ 16 (cid:0) − z + 13 z − (cid:1) H , + 112 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) H , + 14 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 34 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 19348 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 1648 (cid:0) − z + 2654 z − (cid:1) H + 1216 (cid:0) − z + 80 z − (cid:1) H + 118 (cid:0) − z + 7 z + 8 (cid:1) H + 14 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) H + 8936 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 196 (cid:0) z − z + 903 (cid:1) ζ + 15476 z − z + 275255184 ,C ( − gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 181 (cid:0) − z + 106 z − (cid:1) H (C.68)+ 112 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 1324 (cid:0) − z + 610 z − (cid:1) ,D ( − gq = 14 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 14 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 512 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , (C.69)+ 712 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 712 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 689 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 136 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 112 (cid:0) z − z + 16 (cid:1) H , + 1108 (cid:0) z − z + 1529 (cid:1) H , + 158 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 14 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 136 (cid:0) z − z − (cid:1) H + 1108 (cid:0) z − z + 58 (cid:1) H + 1648 (cid:0) z − z + 7033 (cid:1) H + − z + 27682 z − ζ − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 30122 z − z + 354977776 , (C.70) E ( − gq = − z + 44972 z + 19076562208 + − z + 103120 z − ζ (C.71)+ − z + 9530 z − H + 1288 (cid:0) − z + 6980 z − (cid:1) ζ + 116 (cid:0) − z + 86 z + 28 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) − z − z + 11 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) − z − z − (cid:1) H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 3124 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 298 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 8924 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 4912 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 256 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 10324 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 316 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 458 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 14324 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 263 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 2681128 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 1733 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , – 49 – 148 (cid:0) z − z − (cid:1) H , + 112 (cid:0) z − z + 81 (cid:1) H , , + 1432 (cid:0) z + 379 z − (cid:1) H + 148 (cid:0) z − z − (cid:1) H , + 148 (cid:0) z − z + 209 (cid:1) H , + 1288 (cid:0) z − z + 1117 (cid:1) H , + 1144 (cid:0) z − z + 922 (cid:1) H , + 1144 (cid:0) z − z + 184 (cid:1) H + 148 (cid:0) z − z − (cid:1) H , + 136 (cid:0) z − z + 1007 (cid:1) H , , + 1288 (cid:0) − z + 11360 z − (cid:1) ζ H + 118 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 233 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 24124 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 148 (cid:0) z − z − (cid:1) ζ H ,F ( − gq = 827 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 181 (cid:0) z − z + 79 (cid:1) H (C.72)+ 112 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) ζ + 1324 (cid:0) z − z + 403 (cid:1) ,G ( − gq = − z + 2724232 z − − z + 130744 z − H (C.73)+ 1216 (cid:0) − z + 13928 z − (cid:1) H , + 1144 (cid:0) − z + 11366 z − (cid:1) H , , + 148 (cid:0) − z + 374 z − (cid:1) H , + 148 (cid:0) − z + 355 z − (cid:1) H , + 148 (cid:0) − z + 230 z − (cid:1) H , + 148 (cid:0) − z + 358 z − (cid:1) H , , + 148 (cid:0) − z + 231 z + 26 (cid:1) H + 148 (cid:0) − z + 218 z − (cid:1) H , + 124 (cid:0) − z + 105 z − (cid:1) H , + 148 (cid:0) − z + 114 z − (cid:1) H , , + 124 (cid:0) − z + 20 z − (cid:1) H + 13 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) H , + 38 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 38 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 58 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 98 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 2 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 148 (cid:0) z − z + 94 (cid:1) H + 124 (cid:0) z − z + 45 (cid:1) H , , + 1288 (cid:0) z − z + 5056 (cid:1) ζ + 83390 z − z + 1096093456 ζ + 132 (cid:0) − z + 278 z − (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H – 50 – (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 3316 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 778 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 36724 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 1288 (cid:0) z − z + 7973 (cid:1) ζ H ,H ( − gq = 154 (cid:0) − z + 538 z − (cid:1) H , + 16 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) H , , (C.74)+ 16 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − z (3 z − H , + 5372 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 1324 (cid:0) − z + 4579 z − (cid:1) H + 124 (cid:0) − z + 4 z − (cid:1) H − z (3 z − H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 2363 z − z + 32471728 ζ + − z + 255548 z − ,I ( − gq = 38 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , (C.75) − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 38 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 38 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 38 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 78 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 163 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 116 (cid:0) z − z + 13 (cid:1) H , , + 116 (cid:0) z − z + 13 (cid:1) H , + 23 (cid:0) z − z + 25 (cid:1) H , , + 196 (cid:0) z − z + 2055 (cid:1) H , + 18 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 316 (1 − z ) z H , − z (3 z − H , , + 316 z (3 z − H , + 716 z (3 z − H , + 116 z (14 z − H , + 116 (cid:0) − z + 110 z − (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 1192 (cid:0) z − z + 4679 (cid:1) H + 316 z (3 z − ζ H + 516 (1 − z ) z H + 116 z (3 z − H + 116 z (10 z − H + 1384 (cid:0) − z + 3554 z − (cid:1) ζ + 196 (cid:0) − z + 698 z − (cid:1) ζ + 697768 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 1768 (cid:0) z − z + 20835 (cid:1) ,A (0) gq = − z + 30450460 z − (cid:0) − z + 10102 z − (cid:1) ζ + 1288 (cid:0) − z + 4288 z − (cid:1) H , + 148 (cid:0) − z + 1174 z + 686 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) − z + 833 z − (cid:1) H , , + 148 (cid:0) − z + 1398 z − (cid:1) H , , + 148 (cid:0) − z + 1478 z − (cid:1) H , , + 148 (cid:0) − z + 1642 z − (cid:1) H , , , + 148 (cid:0) − z + 276 z + 302 (cid:1) H , , – 51 – 1144 (cid:0) − z + 9638 z + 4753 (cid:1) H , , , + 148 (cid:0) − z + 244 z − (cid:1) H , , + 148 (cid:0) − z − z − (cid:1) H , , , + 124 (cid:0) − z + 128 z + 103 (cid:1) H , + 148 (cid:0) − z − z − (cid:1) H + 124 (cid:0) − z + 20 z + 135 (cid:1) H + 148 (cid:0) − z + 88 z − (cid:1) H , + 148 (cid:0) − z + 276 z − (cid:1) H , , + 124 (cid:0) − z + 145 z − (cid:1) H , , , + 1324 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 118 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 198 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 6124 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 6724 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 238 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 7724 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 13724 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 13924 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 538 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 558 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , + 496 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , + 425 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 454 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , + 124 (cid:0) z + 269 z + 149 (cid:1) H , + 18 (cid:0) z − z + 99 (cid:1) H , , , + 148 (cid:0) z + 20 z − (cid:1) H , + 1288 (cid:0) z + 98 z + 673 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) z + 54 z − (cid:1) H , + 1288 (cid:0) z + 1358 z − (cid:1) H , , + 172 (cid:0) z − z + 971 (cid:1) H , + 32851 z + 8134 z − ζ + 1864 (cid:0) z − z + 57709 (cid:1) H , , + − z − z − z − H + − z + 47581 z − z + 975685184 H + − z − z − z + 147900 z − ζ + 1288 (cid:0) z + 66 z + 2498 z − z + 172 (cid:1) H , + 1864 (cid:0) z + 198 z + 7672 z − z + 1028 (cid:1) H + 90 z + 396 z + 7973 z − z + 89591728 H , – 52 – 90 z + 396 z + 42239 z − z + 755571728 H , + 1576 (cid:0) − z + 43270 z − (cid:1) ζ H + 1288 (cid:0) − z − z − (cid:1) ζ H , + 1144 (cid:0) − z − z − (cid:1) ζ H + 18 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 3712 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , + 398 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 29316 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 29716 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 43516 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , + 5539192 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ ζ + 1774 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 6118 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , + 316 (cid:0) z + 10 z − (cid:1) ζ H + 196 (cid:0) z − z − (cid:1) ζ H , + 148 (cid:0) z − z + 2195 (cid:1) ζ H + 196 (cid:0) z − z + 1794 (cid:1) ζ H , + 196 (cid:0) z − z + 1650 (cid:1) ζ H ,B (0) gq = 7 (cid:0) z − z + 637397 (cid:1) (cid:0) − z + 10718 z − (cid:1) H , , + 172 (cid:0) − z + 362 z − (cid:1) H , + 172 (cid:0) − z + 338 z − (cid:1) H , + 136 (cid:0) − z + 368 z − (cid:1) H , , + 124 (cid:0) − z + 158 z − (cid:1) H , + 172 (cid:0) − z + 178 z − (cid:1) H , , + 112 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) H , + 34 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H + 34 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 1312 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 1912 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 74 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 16 (cid:0) z + 3 z − (cid:1) H + 16 (cid:0) z − z + 24 (cid:1) H , , + 1432 (cid:0) z − z + 6310 (cid:1) ζ + 27 z − z + 12065 z − H + 54 z + 31507 z − z + 529292592 H + − z − z + 22910 z − H , + 1432 (cid:0) − z − z + 2938 z − (cid:1) H + 1432 (cid:0) − z − z + 3994 z − (cid:1) H , + 1144 (cid:0) − z − z + 766 z + 124 (cid:1) H , + 1576 (cid:0) z + 9511 z − z + 10514 (cid:1) ζ – 53 – 112 (cid:0) − z + 197 z − (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 458 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 69172 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 100772 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 1288 (cid:0) z − z + 7757 (cid:1) ζ H ,C (0) gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 79 (cid:1) H , (C.78)+ 13 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 181 (cid:0) − z + 610 z − (cid:1) H + 1754 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 172 (cid:0) z − z + 79 (cid:1) ζ + − z + 26714 z − ,D (0) gq = − z − z − (cid:0) − z + 6834 z − (cid:1) ζ (C.79)+ 14 (cid:0) − z + 36 z − (cid:1) H , , + 112 (cid:0) − z − z + 16 (cid:1) H + 112 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 1312 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 54 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 54 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 1712 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 2512 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 94 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 2912 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 3512 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 5312 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 19127 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 3049 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 124 (cid:0) z − z + 83 (cid:1) H , + 112 (cid:0) z − z + 16 (cid:1) H , + 172 (cid:0) z − z + 233 (cid:1) H , , + 136 (cid:0) z − z + 112 (cid:1) H , + 136 (cid:0) z − z + 224 (cid:1) H , , + 172 (cid:0) z − z + 4309 (cid:1) H , , + − z + 114881 z − z + 1613657776 H + − z + 7660 z − z + 150441296 H + − z − z + 288266 z − ζ + 1144 (cid:0) z + 763 z − z − (cid:1) H , + 1432 (cid:0) z + 2156 z − z + 2707 (cid:1) H , + 1432 (cid:0) z + 3137 z − z + 232 (cid:1) H + 1432 (cid:0) z + 12467 z − z + 19098 (cid:1) H , + 1864 (cid:0) − z + 42818 z − (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 7324 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 11324 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 124 (cid:0) z − z + 240 (cid:1) ζ H , – 54 – (0) gq = − z + 5813728 z + 1746191373248 + 148 (31 z − z + 6) H , , (C.80)+ − z + 164798 z − ζ + − z + 63484 z − ζ + 148 (cid:0) − z + 530 z + 160 (cid:1) H , + 116 (cid:0) − z + 208 z + 64 (cid:1) H , + 18 (cid:0) − z + 39 z + 8 (cid:1) H + 148 (cid:0) − z − z + 147 (cid:1) H , + 148 (cid:0) z − z + 248 (cid:1) H , , + 12 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 1312 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 92 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 6 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 274 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 212 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 858 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 656 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 13312 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 938 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 14312 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 736 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 514 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , + 776 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 64724 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 973 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 2056 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 1754 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 1763 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , + 8303 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , + 116 (cid:0) z − z + 64 (cid:1) H , , , + 38 (cid:0) z − z − (cid:1) H , , , + 124 (cid:0) z − z + 150 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) z + 188 z + 166 (cid:1) H , , , + 148 (cid:0) z − z − (cid:1) H + 196 (cid:0) z + 426 z + 1272 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) z − z + 64 (cid:1) H , + 148 (cid:0) z − z − (cid:1) H , , + 124 (cid:0) z − z + 858 (cid:1) H , , , + 148 (cid:0) z − z − (cid:1) H , + 1288 (cid:0) z − z + 823 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) z − z + 1019 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) z − z + 1360 (cid:1) H , , + 196 (cid:0) z − z + 2466 (cid:1) H , + 118 (cid:0) z − z + 2309 (cid:1) H , , , + 1288 (cid:0) z − z − (cid:1) H , + 1144 (cid:0) z − z + 4351 (cid:1) H , , + 1432 (cid:0) z − z + 10241 (cid:1) H , , + 243 z − z + 105344 z − H – 55 – 729 z − z + 815777 z − H + − z − z − z + 169756 z − H , + − z − z + 8155 z − z − H + − z − z + 16075 z − z + 177261728 H , + 1576 (cid:0) − z − z + 2075 z − z + 3040 (cid:1) H , + 2916 z + 22032 z − z + 2354032 z − ζ + 1864 (cid:0) − z + 61927 z − (cid:1) ζ H + 1144 (cid:0) − z + 22316 z − (cid:1) ζ H , + 1144 (cid:0) − z + 13054 z − (cid:1) ζ H + 196 (cid:0) − z + 1254 z − (cid:1) ζ H + 132 (cid:0) − z + 1374 z + 524 (cid:1) ζ H , + 148 (cid:0) − z + 772 z − (cid:1) ζ H , + 196 (cid:0) − z − z − (cid:1) ζ H + 112 (cid:0) − z + 4 z + 125 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 296 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 30748 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 26524 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 10901384 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , + 72916 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , + 205732 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ ζ − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , ,F (0) gq = 3227 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 481 (cid:0) z − z + 79 (cid:1) H , (C.81)+ 13 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) ζ H + 181 (cid:0) z − z + 403 (cid:1) H + 172 (cid:0) − z + 106 z − (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 11287 z − z + 166432916 ,G (0) gq = − z + 29314708 z − (cid:0) − z + 232766 z − (cid:1) H , , + 1144 (cid:0) − z + 50618 z − (cid:1) H , , , + 1288 (cid:0) − z + 8192 z − (cid:1) H , + 148 (cid:0) − z + 2174 z − (cid:1) H , , + 196 (cid:0) − z + 4134 z − (cid:1) H , , + 148 (cid:0) − z + 2444 z − (cid:1) H , , , + 1288 (cid:0) − z + 3062 z − (cid:1) H , , + 148 (cid:0) − z + 1766 z − (cid:1) H , , + 148 (cid:0) − z + 730 z − (cid:1) H , , – 56 – 124 (cid:0) − z + 969 z − (cid:1) H , + 148 (cid:0) − z + 1202 z − (cid:1) H , , + 124 (cid:0) − z + 537 z − (cid:1) H , + 124 (cid:0) − z + 336 z − (cid:1) H , + 148 (cid:0) − z + 198 z − (cid:1) H + 148 (cid:0) − z + 426 z − (cid:1) H , , + 18 (cid:0) − z + 130 z − (cid:1) H , , , + 112 (cid:0) − z + 76 z − (cid:1) H , , , + 148 (cid:0) − z + 52 z − (cid:1) H , + 724 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 98 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 98 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 98 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 3724 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 5924 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 278 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 278 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , + 278 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 9724 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , + 28960 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 12524 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 478 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 7312 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , + 148 (cid:0) z − z + 157 (cid:1) H , , , + 148 (cid:0) z − z + 90 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) z − z + 90 (cid:1) H + 148 (cid:0) z − z + 150 (cid:1) H , + 148 (cid:0) z − z + 234 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) z − z + 270 (cid:1) H , + 65720 z − z + 1021691728 ζ + 81918 z − z + 66891536 ζ + 1576 (cid:0) z − z − z + 3840 (cid:1) H + 972 z − z + 3374378 z − H + − z + 108 z − z + 934550 z − H , + 1288 (cid:0) − z + 6 z − z + 7231 z + 564 (cid:1) H + 1288 (cid:0) − z + 6 z − z + 8815 z − (cid:1) H , + 1192 (cid:0) − z + 4 z − z + 4854 z − (cid:1) H , + 1944 z − z + 1847882 z − z + 245178120736 ζ – 57 – 148 (cid:0) − z + 1906 z − (cid:1) ζ H + 196 (cid:0) − z + 566 z − (cid:1) ζ H + 196 (cid:0) − z + 990 z − (cid:1) ζ H , + 58 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 12196 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 3724 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 3916 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 6724 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 4516 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 20116 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ ζ + 1654 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 148124 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , + 148 (cid:0) z − z − (cid:1) ζ H + 136 (cid:0) z − z + 2597 (cid:1) ζ H + 196 (cid:0) z − z + 990 (cid:1) ζ H , + 1288 (cid:0) z − z + 31295 (cid:1) ζ H , + 1864 (cid:0) z − z + 96547 (cid:1) ζ H ,H (0) gq = − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 9736 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , (C.83)+ − z + 72940 z − H , + 1144 (cid:0) − z + 76 z + 108 (cid:1) H , + 172 (cid:0) − z + 82 z − (cid:1) H , , + 172 (cid:0) − z + 82 z − (cid:1) H , + 124 (cid:0) − z + 19 z − (cid:1) H , + 14 (cid:0) − z + 2 z − (cid:1) H , , + 16 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 56 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , − (cid:0) z − z + 403 (cid:1) H , , − z (3 z − H , + 512 z (3 z − H , , − z (3 z − H , + 2336 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H + 1432 (cid:0) z − z + 3739 (cid:1) ζ H + − z + 254657 z − H + 1144 (cid:0) − z + 172 z − (cid:1) H + 1144 (cid:0) − z + 412 z − (cid:1) H − z (3 z − ζ H + 112 z (3 z − H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 1864 (cid:0) z − z − (cid:1) ζ + 42256 z − z + 452215184 ζ + − z + 6335144 z − , – 58 – (0) gq = 110338 z − z + 1652751536 + 132 (27 − z ) H , , + 116 (7 − z ) H , (C.84) − z (3 z − H , + 38 z (3 z − H , , , − z (3 z − H − z (3 z − H , + 1116 z (3 z − H , + 4316 z (3 z − H , , + 116 z (3 z + 2) H , , + 18 z (6 z − H + 316 z (17 z − H , , + 116 (1 − z )(38 z − H , , + 132 z (61 z − H , + 116 z (67 z − H , − z (81 z − H , , + − z − z + 50411536 ζ + 1192 (cid:0) − z + 8122 z − (cid:1) ζ + 132 (cid:0) − z − z + 28 (cid:1) H , + 14 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 34 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , + 98 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 54 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , + 54 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 118 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , + 2 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 52 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 11740 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ + 438 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , + 643 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) H , , , , + 38 (cid:0) z − z + 5 (cid:1) H , , − z (cid:0) z + 213 z − (cid:1) H − (cid:0) z − z + 14 (cid:1) H , , , + 316 (cid:0) z − z + 14 (cid:1) H , , , + 316 (cid:0) z − z + 14 (cid:1) H , , + 83 (cid:0) z − z + 25 (cid:1) H , , , + 116 (cid:0) z − z + 79 (cid:1) H , , + 148 (cid:0) z − z + 3975 (cid:1) H , , + 1192 (cid:0) − z + 12437 z − z + 19248 (cid:1) H + 1192 z (cid:0) z + 20 z + 237 z − (cid:1) H + 1192 z (cid:0) z + 20 z + 399 z − (cid:1) H , − − z ) (cid:0) z + 25 z − z + 446 (cid:1) H , + 1768 (cid:0) − z − z − z + 29916 z − (cid:1) ζ + 1192 (cid:0) z + 20 z + 10840 z − z + 17523 (cid:1) H , − z (3 z − ζ H , − z (6 z − ζ H − z (63 z − ζ H + 132 z (164 z − ζ H + 1192 (cid:0) − z + 5680 z − (cid:1) ζ H + 124 (cid:0) − z + 728 z − (cid:1) ζ H + 2596 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ ζ − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , + 229192 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , + 158 (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 2 (cid:1) ζ H , , + 34 (cid:0) z − z + 6 (cid:1) ζ H , − (cid:0) z − z + 62 (cid:1) ζ H , . – 59 – .3 The q ¯ q initial state The contribution of the two-loop amplitude for q ¯ q → Hg to the inclusive Higgs cross sectionat N LO can be written asˆ σ (3) q ¯ q → Hg = 2 (cid:16) α π (cid:17) s − − ǫ σ ˆ σ (3) q ¯ q → Hg . (C.85)The result is regular in the limit z →
1, and so we do not need to separate off the contri-bution from the soft limit. The coefficient ˆ σ (3) q ¯ q → Hg can be written asˆ σ (3) q ¯ q → Hg = X k = − ǫ k VN " N A ( k ) q ¯ q + N N f B ( k ) q ¯ q + N N f C ( k ) q ¯ q + N f D ( k ) q ¯ q + N E ( k ) q ¯ q + N f N F ( k ) q ¯ q + 1 N G ( k ) q ¯ q + N f N H ( k ) q ¯ q + 1 N I ( k ) q ¯ q , (C.86)with A ( − q ¯ q = 16 (1 − z ) , (C.87) B ( − q ¯ q = 0 , (C.88) C ( − q ¯ q = 0 , (C.89) D ( − q ¯ q = 0 , (C.90) E ( − q ¯ q = −
13 (1 − z ) , (C.91) F ( − q ¯ q = 0 , (C.92) G ( − q ¯ q = 524 (1 − z ) , (C.93) H ( − q ¯ q = 0 , (C.94) I ( − q ¯ q = −
124 (1 − z ) , (C.95) A ( − q ¯ q = 23 (1 − z ) H −
124 (1 − z ) , (C.96) B ( − q ¯ q = 536 (1 − z ) , (C.97) C ( − q ¯ q = 0 , (C.98) D ( − q ¯ q = −
524 (1 − z ) , (C.99) E ( − q ¯ q = −
76 (1 − z ) H − − z ) , (C.100) F ( − q ¯ q = 0 , (C.101) G ( − q ¯ q = 712 (1 − z ) H + 716 (1 − z ) , (C.102)– 60 – ( − q ¯ q = 572 (1 − z ) , (C.103) I ( − q ¯ q = −
112 (1 − z ) H − − z ) , (C.104) A ( − q ¯ q = − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 83 (1 − z ) H , −
16 (1 − z ) (cid:0) z + 1 (cid:1) H (C.105) − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H −
13 (1 − z ) z H + 1288 (1 − z ) (cid:0) z − z − (cid:1) + 112 (cid:0) z − z + 33 z − (cid:1) ζ ,B ( − q ¯ q = 49 (1 − z ) H + 29 (1 − z ) , (C.106) C ( − q ¯ q = 127 (1 − z ) , (C.107) D ( − q ¯ q = −
712 (1 − z ) H − − z ) , (C.108) E ( − q ¯ q = 512 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , −
13 (1 − z ) H , −
92 (1 − z ) H , (C.109)+ 512 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H −
572 (1 − z ) (cid:0) z − z + 11 (cid:1) H + 56 (1 − z ) z H − − z ) (cid:0) z − z + 143 (cid:1) + 124 (cid:0) − z + 207 z − z + 59 (cid:1) ζ ,F ( − q ¯ q = −
127 (1 − z ) , (C.110) G ( − q ¯ q = − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 12 (1 − z ) H , + 136 (1 − z ) H , (C.111) − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H + 172 (1 − z ) (cid:0) z − z + 89 (cid:1) H −
23 (1 − z ) z H + 148 (cid:0) z − z + 429 z − (cid:1) ζ + 1864 (1 − z )(23 z − z − ,H ( − q ¯ q = 536 (1 − z ) H + 31108 (1 − z ) , (C.112) I ( − q ¯ q = 112 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , −
16 (1 − z ) H , −
13 (1 − z ) H , (C.113)+ 112 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H −
136 (1 − z ) (cid:0) z − z + 11 (cid:1) H + 16 (1 − z ) z H − − z ) (cid:0) z − z + 511 (cid:1) + 148 (cid:0) − z + 147 z − z + 45 (cid:1) ζ ,A ( − q ¯ q = − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 712 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , (C.114) − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , −
13 (1 − z ) (cid:0) z + 3 z + 2 (cid:1) H , + 172 z (cid:0) z − z + 27 (cid:1) H , + 16 (1 − z ) H , , + 16 (1 − z ) H , + 323 (1 − z ) H , , − ((1 − z ) z ) H , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H + 172 z (cid:0) z + 15 z − (cid:1) H – 61 – 1432 (1 − z ) (cid:0) z − z − (cid:1) H −
196 (1 − z ) ζ H + 136 (1 − z ) z (6 z − H + (1 − z ) (cid:0) z − z + 4747 (cid:1) (cid:0) − z + 399 z − z + 71 (cid:1) ζ + 112 (cid:0) z − z + 105 z − (cid:1) ζ ,B ( − q ¯ q = − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 139 (1 − z ) H , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H (C.115) −
29 (1 − z ) z H + 118 (1 − z )(3 z − z − H + 1432 (1 − z ) (cid:0) z − z − (cid:1) + 172 (cid:0) z − z + 207 z − (cid:1) ζ ,C ( − q ¯ q = 227 (1 − z ) H + 427 (1 − z ) , (C.116) D ( − q ¯ q = 29 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , −
29 (1 − z ) H , − − z ) H , (C.117)+ 29 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H −
227 (1 − z ) (cid:0) z − z + 19 (cid:1) H + 49 (1 − z ) z H (C.118) −
136 (1 − z ) (cid:0) z − z + 33 (cid:1) + 1144 (cid:0) − z + 1077 z − z + 327 (cid:1) ζ ,E ( − q ¯ q = −
13 (1 − z ) (cid:0) z − z + 1 (cid:1) H , + 76 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , (C.119) − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , + 114 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 172 z (cid:0) z + 27 z + 45 (cid:1) H , −
118 (1 − z ) (cid:0) z − z + 47 (cid:1) H , −
23 (1 − z ) H , , − − z ) H , −
83 (1 − z ) H , , − − z ) H , , + 136 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H + 16 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H + 172 z (cid:0) z − z + 273 (cid:1) H − − z ) (cid:0) z − z + 592 (cid:1) H + 10(1 − z ) ζ H −
136 (1 − z ) z (9 z − H − (1 − z ) (cid:0) z − z + 4709 (cid:1) (cid:0) − z + 573 z − z + 371 (cid:1) ζ + 124 (cid:0) − z + 423 z − z + 127 (cid:1) ζ ,F ( − q ¯ q = −
227 (1 − z ) H −
427 (1 − z ) , (C.120) G ( − q ¯ q = − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 1312 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , (C.121) − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 118 (1 − z ) (cid:0) z − z + 19 (cid:1) H , − z (cid:0) z − z + 49 (cid:1) H , + 118 (1 − z ) (cid:0) z − z + 83 (cid:1) H , + 23 (1 − z ) H , , + 52 (1 − z ) H , + 113 (1 − z ) H , , + 313 (1 − z ) H , , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H − z (cid:0) z − z + 105 (cid:1) H + 1144 (1 − z ) (cid:0) z − z + 503 (cid:1) H −
678 (1 − z ) ζ H – 62 – 112 (1 − z )( z − z H + (1 − z ) (cid:0) z − z + 8693 (cid:1) (cid:0) z − z + 141 z − (cid:1) ζ + 1288 (cid:0) z − z + 4461 z − (cid:1) ζ ,H ( − q ¯ q = − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 29 (1 − z ) H , + 12 (1 − z ) H , (C.122) − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H + 154 (1 − z ) (cid:0) z − z + 31 (cid:1) H −
29 (1 − z ) z H + 1432 (1 − z ) (cid:0) z − z + 437 (cid:1) + 1144 (cid:0) z − z + 663 z − (cid:1) ζ ,I ( − q ¯ q = 16 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , (C.123)+ 512 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , −
16 (1 − z ) (cid:0) z − z + 8 (cid:1) H , −
118 (1 − z ) (cid:0) z − z + 13 (cid:1) H , + 172 z (cid:0) z − z + 75 (cid:1) H , −
16 (1 − z ) H , , −
23 (1 − z ) H , − (1 − z ) H , , −
116 (1 − z ) H , , + 56 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H + 172 z (cid:0) z − z + 111 (cid:1) H − − z ) (cid:0) z − z + 520 (cid:1) H + 3724 (1 − z ) ζ H + 1918 (1 − z ) z H − (1 − z ) (cid:0) z − z + 8731 (cid:1) (cid:0) − z + 1509 z − z + 509 (cid:1) ζ + 124 (cid:0) − z + 69 z − z + 21 (cid:1) ζ ,A (0) q ¯ q = (1 − z ) (cid:0) z − z + 36581 (cid:1) −
16 (1 − z ) H , (C.124)+ 16 (1 − z ) H , , , + 13 (1 − z ) H , , + 13 (1 − z ) H , , −
12 (1 − z ) H , , , −
23 (1 − z ) H , , , + 2536 (1 − z ) H , , , −
118 (1 − z ) (13 z − H , − − z ) z (765 z − H + 18 z (cid:0) z − z − (cid:1) H , + 512 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , + 34 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 1912 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , , + 74 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , −
112 (1 − z ) (cid:0) z + 16 z + 11 (cid:1) H , , + 118 (1 − z ) (cid:0) z − z + 94 (cid:1) H , , − z (cid:0) z − z + 17 (cid:1) H −
112 (1 − z ) (cid:0) z + 62 z + 43 (cid:1) H , , + 124 z (cid:0) z − z − (cid:1) H , − − z ) (cid:0) z + 1507 z + 394 (cid:1) H , − z (cid:0) z − z + 86 (cid:1) H , , − − z ) (cid:0) z + 2027 z + 1196 (cid:1) H , + 1432 z (cid:0) z + 2694 z − (cid:1) H + 1432 z (cid:0) z − z + 78 (cid:1) H , – 63 – (1 − z ) (cid:0) z − z − (cid:1) H + − z − z − z + 27171728 ζ + 172 (cid:0) − z + 378 z − z + 449 (cid:1) ζ + 196 (cid:0) z − z + 1929 z + 161 (cid:1) ζ + 3(1 − z ) ζ H , −
656 (1 − z ) ζ H −
716 (1 − z ) ζ H , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H + 23 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H + 136 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H , + 118 (1 − z ) (cid:0) z − z − (cid:1) ζ H + 124 z (cid:0) z − z + 153 (cid:1) ζ H ,B (0) q ¯ q = − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 59 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , (C.125) − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , −
118 (1 − z ) (cid:0) z − z + 31 (cid:1) H , , −
118 (1 − z ) (cid:0) z − z + 31 (cid:1) H , + 127 (1 − z ) (cid:0) z − z + 80 (cid:1) H , − z (cid:0) z + 177 z − (cid:1) H , + 439 (1 − z ) H , , −
13 (1 − z ) z H , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H −
118 (1 − z ) (cid:0) z − z + 19 (cid:1) ζ H + 19 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H − z (cid:0) z − z + 96 (cid:1) H + 1432 (1 − z ) (cid:0) z − z + 1133 (cid:1) H + 1216 (1 − z ) z (126 z − H − (1 − z ) (cid:0) z − z + 11236 (cid:1) (cid:0) z − z + 117 z − (cid:1) ζ + 1216 (cid:0) z + 75 z + 6 z − (cid:1) ζ ,C (0) q ¯ q = 427 (1 − z ) H , + 827 (1 − z ) H − − z ) ζ + 3881 (1 − z ) , (C.126) D (0) q ¯ q = 13 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , (C.127)+ 119 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 118 (1 − z ) (cid:0) z − z + 31 (cid:1) H , , −
16 (1 − z ) (cid:0) z − z − (cid:1) H , −
227 (1 − z ) (cid:0) z − z + 19 (cid:1) H , −
127 (1 − z ) (cid:0) z − z + 149 (cid:1) H , + 1216 z (cid:0) z − z + 276 (cid:1) H , −
139 (1 − z ) H , , −
233 (1 − z ) H , , + 179 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H + 124 (1 − z ) (cid:0) z − z + 107 (cid:1) ζ H − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H + 1216 z (cid:0) z − z + 660 (cid:1) H − − z ) (cid:0) z − z + 2031 (cid:1) H − − z ) z (144 z − H − (1 − z ) (cid:0) z − z + 3119 (cid:1) (cid:0) − z + 4572 z − z + 1565 (cid:1) ζ + 172 (cid:0) − z + 723 z − z + 313 (cid:1) ζ , – 64 – (0) q ¯ q = − (1 − z ) (cid:0) z − z − (cid:1) − z ) H , (C.128) −
136 (1 − z ) H , , , −
73 (1 − z ) H , , + 3(1 − z ) H , , , −
212 (1 − z ) H , , −
272 (1 − z ) H , , − − z ) H , , , − − z ) H , , , + 31288 (1 − z ) z (5 z + 31) H − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 236 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 4 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , , + 17912 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , − z (cid:0) z − z + 33 (cid:1) H , , −
112 (1 − z ) (cid:0) z − z + 43 (cid:1) H , , + 124 z (cid:0) z − z + 46 (cid:1) H , , + 124 z (cid:0) z − z + 88 (cid:1) H + 112 z (cid:0) z − z + 147 (cid:1) H , , −
172 (1 − z ) (cid:0) z − z + 562 (cid:1) H , , −
118 (1 − z ) (cid:0) z − z + 205 (cid:1) H , , + 172 z (cid:0) z − z + 351 (cid:1) H , + 172 z (cid:0) z − z + 1353 (cid:1) H , −
172 (1 − z ) (cid:0) z − z + 658 (cid:1) H , − (1 − z ) (cid:0) z − z − (cid:1) H + 196 (cid:0) − z − z + 465 z − (cid:1) ζ + 1144 (cid:0) − z + 1269 z − z − (cid:1) ζ + 1144 z (cid:0) z − z − z + 10 (cid:1) H , + 1144 z (cid:0) z + 58 z − z + 2041 (cid:1) H − − z ) (cid:0) z − z − z + 232 (cid:1) H , − − z ) (cid:0) z + 3431 z − z + 1613 (cid:1) H , + 1576 (cid:0) − z − z + 6669 z − z + 579 (cid:1) ζ + 16 (1 − z ) ζ H , + 1034 (1 − z ) ζ H + 1834 (1 − z ) ζ H , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H , − z (cid:0) z − z + 14 (cid:1) ζ H − z (cid:0) z − z + 55 (cid:1) ζ H − z (cid:0) z − z + 813 (cid:1) ζ H + 1144 (1 − z ) (cid:0) z − z + 2281 (cid:1) ζ H ,F (0) q ¯ q = −
427 (1 − z ) H , −
827 (1 − z ) H + 2954 (1 − z ) ζ − − z ) , (C.129) G (0) q ¯ q = (1 − z ) (cid:0) z − z + 22933 (cid:1) −
12 (1 − z ) H , (C.130)+ 52 (1 − z ) H , , , + 83 (1 − z ) H , , −
103 (1 − z ) H , , , + 373 (1 − z ) H , , + 16(1 − z ) H , , + 683 (1 − z ) H , , , + 3436 (1 − z ) H , , , + 34 (1 − z )(2 z − z − H , + 1144 (1 − z ) z (41 z − H + 712 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , + 34 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H + 1912 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 94 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , , – 65 – z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , − z (cid:0) z − z + 9 (cid:1) H + 136 z (cid:0) z − z + 189 (cid:1) H , , + 136 (1 − z ) (cid:0) z − z + 13 (cid:1) H , , + 29 (1 − z ) (cid:0) z − z + 98 (cid:1) H , , − z (cid:0) z − z + 511 (cid:1) H , + 136 (1 − z ) (cid:0) z − z + 289 (cid:1) H , , − z (cid:0) z − z + 429 (cid:1) H , + (1 − z ) (cid:0) z − z + 21043 (cid:1) H + 1384 (cid:0) − z + 12531 z − z + 8065 (cid:1) ζ − z (cid:0) z + 442 z − z + 106 (cid:1) H , − z (cid:0) z + 496 z − z + 1800 (cid:1) H + 1216 (1 − z ) (cid:0) z + 494 z − z + 872 (cid:1) H , + 1216 (1 − z ) (cid:0) z + 2816 z − z + 3095 (cid:1) H , + 1144 (cid:0) z − z + 4539 z − (cid:1) ζ + 648 z + 26537 z − z + 68139 z − ζ −
54 (1 − z ) ζ H , −
372 (1 − z ) ζ H − − z ) ζ H , + 56 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H + 2 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H + 13312 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H , − z (cid:0) z − z + 423 (cid:1) ζ H − − z ) (cid:0) z − z + 2125 (cid:1) ζ H ,H (0) q ¯ q = − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 59 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , (C.131) − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 19 (1 − z ) (cid:0) z − z + 23 (cid:1) H , + 127 (1 − z ) (cid:0) z − z + 38 (cid:1) H , − z (cid:0) z − z + 186 (cid:1) H , + 89 (1 − z ) H , + 139 (1 − z ) H , , + 269 (1 − z ) H , , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H + 19 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H − z (cid:0) z − z + 282 (cid:1) H + 1216 (1 − z ) (cid:0) z − z + 449 (cid:1) H − − z ) ζ H + 1108 (1 − z ) z (9 z − H + (1 − z ) (cid:0) z − z + 20593 (cid:1) (cid:0) z − z + 129 z − (cid:1) ζ + 1216 (cid:0) z − z + 4629 z − (cid:1) ζ ,I (0) q ¯ q = − (1 − z ) (cid:0) z − z + 217885 (cid:1) −
13 (1 − z ) H , , (C.132)+ 12 (1 − z ) H , −
12 (1 − z ) H , , , + 56 (1 − z ) H , , , −
136 (1 − z ) H , , −
176 (1 − z ) H , , −
296 (1 − z ) H , , , −
283 (1 − z ) H , , , + 1432 (1 − z ) z (27 z + 2177) H − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H + 16 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , – 66 – z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , + 12 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , , + 1912 z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , + 14 z (cid:0) z − z + 7 (cid:1) H , , − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) H , , − z (cid:0) z − z + 36 (cid:1) H −
172 (1 − z ) (cid:0) z + 29 z − (cid:1) H , , −
124 (1 − z ) (cid:0) z − z − (cid:1) H , + 172 z (cid:0) z − z + 105 (cid:1) H , −
136 (1 − z ) (cid:0) z − z + 127 (cid:1) H , , − z (cid:0) z − z + 258 (cid:1) H , , + 172 z (cid:0) z − z + 435 (cid:1) H , −
136 (1 − z ) (cid:0) z − z + 245 (cid:1) H , , − (1 − z ) (cid:0) z − z + 16300 (cid:1) H + 1384 (cid:0) − z − z + 2955 z − (cid:1) ζ + 172 (cid:0) − z + 915 z − z + 436 (cid:1) ζ + 1432 z (cid:0) z + 974 z − z + 1494 (cid:1) H + 1432 z (cid:0) z + 974 z − z + 210 (cid:1) H , − − z ) (cid:0) z + 1001 z − z + 1118 (cid:1) H , − − z ) (cid:0) z + 1987 z − z + 2185 (cid:1) H , + − z − z + 54681 z − z + 220351728 ζ −
56 (1 − z ) ζ H , − − z ) ζ H , + 4312 (1 − z ) ζ H − z (cid:0) z − z + 3 (cid:1) ζ H , − z (cid:0) z − z + 6 (cid:1) ζ H + 18 z (cid:0) z − z + 37 (cid:1) ζ H + 172 (1 − z ) (cid:0) z − z + 46 (cid:1) ζ H + 124 z (cid:0) z − z + 259 (cid:1) ζ H . References [1] G. Altarelli and G. Parisi, “Asymptotic Freedom in Parton Language,” Nucl. Phys. B ,298 (1977).[2] A. Bassetto, M. Ciafaloni and G. Marchesini, Phys. Rep. (1983) 201;Yu. L. Dokshitser, V. A. Khoze, A. H. Mueller and S. I. Troian, Basics of Perturbative QCD(Editions Fronti`eres, Gif-sur-Yvette, 1991) and references therein.[3] S. Frixione, Z. Kunszt and A. Signer, “Three jet cross-sections to next-to-leading order,”Nucl. Phys. B (1996) 399 [hep-ph/9512328].[4] S. Catani and M. H. Seymour, “A General algorithm for calculating jet cross-sections inNLO QCD,” Nucl. Phys. B (1997) 291 [Erratum-ibid. B (1998) 503][hep-ph/9605323].[5] D. A. Kosower, “Antenna factorization of gauge theory amplitudes,” Phys. Rev. D (1998) 5410 [hep-ph/9710213].[6] D. A. Kosower, “All order collinear behavior in gauge theories,” Nucl. Phys. B (1999)319 [hep-ph/9901201]. – 67 –
7] S. Catani, “The Singular behavior of QCD amplitudes at two loop order,” Phys. Lett. B (1998) 161 [hep-ph/9802439];G. F. Sterman and M. E. Tejeda-Yeomans, “Multiloop amplitudes and resummation,” Phys.Lett. B (2003) 48 [hep-ph/0210130];T. Becher and M. Neubert, “Infrared singularities of scattering amplitudes in perturbativeQCD,” Phys. Rev. Lett. (2009) 162001 [Erratum-ibid. (2013) 19, 199905][arXiv:0901.0722 [hep-ph]];E. Gardi and L. Magnea, “Factorization constraints for soft anomalous dimensions in QCDscattering amplitudes,” JHEP (2009) 079 [arXiv:0901.1091 [hep-ph]].[8] J. M. Campbell and E. W. N. Glover, “Double unresolved approximations to multipartonscattering amplitudes,” Nucl. Phys. B (1998) 264 [hep-ph/9710255].[9] S. Catani and M. Grazzini, “Collinear factorization and splitting functions fornext-to-next-to-leading order QCD calculations,” Phys. Lett. B (1999) 143[hep-ph/9810389].[10] S. Catani and M. Grazzini, “The soft gluon current at one loop order,” Nucl. Phys. B ,435 (2000) [hep-ph/0007142].[11] A. Gehrmann-De Ridder, T. Gehrmann and E. W. N. Glover, “Antenna subtraction atNNLO,” JHEP (2005) 056 [hep-ph/0505111].[12] S. Catani and M. Grazzini, “An NNLO subtraction formalism in hadron collisions and itsapplication to Higgs boson production at the LHC,” Phys. Rev. Lett. (2007) 222002[hep-ph/0703012].[13] M. Czakon, “Double-real radiation in hadronic top quark pair production as a proof of acertain concept,” Nucl. Phys. B (2011) 250 [arXiv:1101.0642 [hep-ph]].[14] T. G. Birthwright, E. W. N. Glover, V. V. Khoze and P. Marquard, “Multi-gluon collinearlimits from MHV diagrams,” JHEP (2005) 013 [hep-ph/0503063].[15] S. Catani, D. de Florian and G. Rodrigo, “The Triple collinear limit of one loop QCDamplitudes,” Phys. Lett. B (2004) 323 [hep-ph/0312067].[16] S. Buchta, G. Chachamis, P. Draggiotis, I. Malamos and G. Rodrigo, “On the singularbehaviour of scattering amplitudes in quantum field theory,” JHEP (2014) 014[arXiv:1405.7850 [hep-ph]].[17] Z. Bern, L. J. Dixon and D. A. Kosower, “Two-loop g → g g splitting amplitudes in QCD,”JHEP (2004) 012 [hep-ph/0404293].[18] S. D. Badger and E. W. N. Glover, “Two loop splitting functions in QCD,” JHEP ,040 (2004) [hep-ph/0405236].[19] L. W. Garland, T. Gehrmann, E. W. N. Glover, A. Koukoutsakis and E. Remiddi, “TheTwo loop QCD matrix element for e + e − → (2002) 107[hep-ph/0112081].[20] T. Gehrmann, M. Jaquier, E. W. N. Glover and A. Koukoutsakis, “Two-Loop QCDCorrections to the Helicity Amplitudes for H → (2012) 056[arXiv:1112.3554 [hep-ph]].[21] C. Duhr and T. Gehrmann, “The two-loop soft current in dimensional regularization,”Phys. Lett. B , 452 (2013) [arXiv:1309.4393 [hep-ph]]. – 68 –
22] Y. Li and H. X. Zhu, “Single soft gluon emission at two loops,” JHEP , 080 (2013)[arXiv:1309.4391 [hep-ph]].[23] R. J. Gonsalves, “Dimensionally Regularized Two Loop On-shell Quark Form-factor,” Phys.Rev. D (1983) 1542;G. Kramer and B. Lampe, “Integrals For Two Loop Calculations In Massless QCD,” J.Math. Phys. (1987) 945;T. Gehrmann, T. Huber and D. Maitre, “Two-loop quark and gluon form-factors indimensional regularization,” Phys. Lett. B (2005) 295 [hep-ph/0507061];P. A. Baikov, K. G. Chetyrkin, A. V. Smirnov, V. A. Smirnov and M. Steinhauser, “Quarkand gluon form factors to three loops,” Phys. Rev. Lett. (2009) 212002[arXiv:0902.3519 [hep-ph]];T. Gehrmann, E. W. N. Glover, T. Huber, N. Ikizlerli and C. Studerus, “Calculation of thequark and gluon form factors to three loops in QCD,” JHEP (2010) 094[arXiv:1004.3653 [hep-ph]].[24] M. H¨oschele, J. Hoff, A. Pak, M. Steinhauser and T. Ueda, “Higgs boson production at theLHC: NNLO partonic cross sections through order ǫ and convolutions with splittingfunctions to N LO,” Phys. Lett. B (2013) 244 [arXiv:1211.6559 [hep-ph]];S. Buehler and A. Lazopoulos, “Scale dependence and collinear subtraction terms for Higgsproduction in gluon fusion at N3LO,” JHEP (2013) 096 [arXiv:1306.2223 [hep-ph]].[25] C. Anastasiou, C. Duhr, F. Dulat and B. Mistlberger, “Soft triple-real radiation for Higgsproduction at N LO,” JHEP (2013) 003 [arXiv:1302.4379 [hep-ph]];C. Anastasiou, C. Duhr, F. Dulat, F. Herzog and B. Mistlberger, “Real-virtualcontributions to the inclusive Higgs cross-section at N LO,” JHEP (2013) 088[arXiv:1311.1425 [hep-ph]];Y. Li, A. von Manteuffel, R. M. Schabinger and H. X. Zhu, “N LO Higgs and Drell-Yanproduction at threshold: the one-loop two-emission contribution,” Phys. Rev. D (2014)053006 [arXiv:1404.5839 [hep-ph]].[26] C. Anastasiou, C. Duhr, F. Dulat, E. Furlan, T. Gehrmann, F. Herzog and B. Mistlberger,“Higgs boson gluon-fusion production at threshold in N LO QCD,” Phys. Lett. B (2014) 325 [arXiv:1403.4616 [hep-ph]].[27] Z. Bern, V. Del Duca and C. R. Schmidt, “The Infrared behavior of one loop gluonamplitudes at next-to-next-to-leading order,” Phys. Lett. B (1998) 168[hep-ph/9810409].[28] T. Gehrmann and E. Remiddi, “Two loop master integrals for γ ∗ → (2001) 248 [hep-ph/0008287].[29] T. Gehrmann and E. Remiddi, “Two loop master integrals for γ ∗ → (2001) 287 [hep-ph/0101124].[30] E. Remiddi and J. A. M. Vermaseren, “Harmonic polylogarithms,” Int. J. Mod. Phys. A (2000) 725 [hep-ph/9905237].[31] T. Gehrmann and E. Remiddi, “Differential equations for two loop four point functions,”Nucl. Phys. B , 485 (2000) [hep-ph/9912329].[32] A. V. Kotikov, “Differential equations method: The Calculation of vertex type Feynmandiagrams,” Phys. Lett. B , 314 (1991)A. V. Kotikov, “Differential equation method: The Calculation of N point Feynmandiagrams,” Phys. Lett. B , 123 (1991). – 69 –
33] J. M. Henn, “Multiloop integrals in dimensional regularization made simple,” Phys. Rev.Lett. (2013) 25, 251601 [arXiv:1304.1806 [hep-th]].[34] S. Moch, P. Uwer and S. Weinzierl, “Nested sums, expansion of transcendental functionsand multiscale multiloop integrals,” J. Math. Phys. (2002) 3363 [hep-ph/0110083].[35] A. B. Goncharov, “Multiple polylogarithms, cyclotomy and modular complexes,” Math.Research Letters 5 (1998) 497 [arXiv:1105.2076 [math.AG]].[36] K. T. Chen, “Iterated path integrals,” Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977) 831F. Brown, “Multiple zeta values and periods of moduli spaces M ,n ,” Annales scientifiquesde l’ENS 42, fascicule 3, 371 (2009) [math/0606419]A. B. Goncharov, “A simple construction of Grassmannian polylogarithms,”arXiv:0908.2238 [math.AG]A. B. Goncharov, M. Spradlin, C. Vergu and A. Volovich, “Classical polylogarithms foramplitudes and Wilson loops,” Phys. Rev. Lett. (2010) 151605 [arXiv:1006.5703[hep-th]];C. Duhr, H. Gangl and J. R. Rhodes, “From polygons and symbols to polylogarithmicfunctions,” JHEP (2012) 075 [arXiv:1110.0458 [math-ph]];A.B. Goncharov, “Galois symmetries of fundamental groupoids and noncommutativegeometry”, Duke Math. J. , no.2 (2005), 209 [arXiv:math/0208144];F. Brown, “On the decomposition of motivic multiple zeta values,” arXiv:1102.1310[math.NT];C. Duhr, “Hopf algebras, coproducts and symbols: an application to Higgs bosonamplitudes,” JHEP , 043 (2012) [arXiv:1203.0454 [hep-ph]]., 043 (2012) [arXiv:1203.0454 [hep-ph]].