Un processus ponctuel associé aux maxima locaux du mouvement brownien
aa r X i v : . [ m a t h . P R ] A p r UN PROCESSUS PONCTUEL ASSOCI ´E AUX MAXIMALOCAUX DU MOUVEMENT BROWNIEN
Christophe LEURIDAN
R´esum´e
Soit B = ( B t ) t ∈ R un mouvement brownien sym´etrique, c’est-`a-dire un processustel que ( B t ) t ∈ R + et ( B − t ) t ∈ R + sont deux mouvements browniens ind´ependants issusde 0. Pour a ≥ b > M a,b = { t ∈ R : B t = max s ∈ [ t − a,t + b ] B s } . Nous relions cet ensemble au ferm´e r´eg´en´eratif R a = { t ∈ R + : B t = max s ∈ [( t − a ) + ,t ] B s } , et nous donnons la mesure de L´evy d’un subordinateur dont l’image ferm´ee est R a . Classification math´ematique : 60J65, 60G55.
Mots-cl´es : mouvement brownien, maximum local, processus ponctuel, renouvellement,ferm´e r´eg´en´eratif, subordinateur.
On consid`ere un mouvement brownien sym´etrique B = ( B t ) t ∈ R : autrement dit,( B t ) t ∈ R + et ( B − t ) t ∈ R + sont deux mouvements browniens ind´ependants issus de 0. Lebut de cet article est d’´etudier l’ensemble M des instants o`u ( B t ) t ∈ R atteint un maximumlocal. On v´erifie facilement que presque sˆurement, M est d´enombrable et dense dans R : il suffit par exemple de montrer qu’il y a un unique instant r´ealisant le maximumsur tout intervalle d’extr´emit´es rationnelles.Le fait qu’un instant donn´e soit un maximum local ne d´epend que des accroissementsdu mouvement brownien au voisinage de cet instant. L’ind´ependance des accroissementsdu mouvement brownien sugg`ere donc que l’ensemble M est sans m´emoire, mais encorefaut-il donner un sens `a cette affirmation. Une fa¸con serait de construire un processusde Poisson ponctuel qui prenne des valeurs pr´ecis´ement aux instants o`u B atteint unmaximum local.Dans [12], Tsirelson montre que cela est possible, puisqu’on peut construire unesuite ( T n ) n ≥ de variables al´eatoires ind´ependantes, de loi uniforme sur [0 ,
1] telle quel’ensemble des valeurs { T n ; n ∈ N } soit exactement l’ensemble des instants de [0 ,
1] o`u lemouvement brownien r´ealise un minimum local. En fait, cette propri´et´e est partag´ee parde nombreux ensembles al´eatoires d´enombrables denses. Par ailleurs, la loi uniforme sur[0 ,
1] peut ˆetre remplac´ee par n’importe quelle loi `a densit´e partout strictement positivesur [0 , , ∞ . On peut donc se demander si ce type de construction est possible sans apportd’al´ea ext´erieur.Une id´ee consiste `a associer `a tout instant t le plus grand intervalle I t contenant t sur lequel B reste inf´erieur ou ´egal `a B t . Autrement dit, I t = [ t − U t , t + V t ], o`u U t = inf { s > B t − s > B t } et V t = inf { s > B t + s > B t } . L’instant t est unmaximum local si et seulement si min( U t , V t ) >
0. Dans ce cas, nous dirons que U t et V t sont les port´ees `a gauche et `a droite du maximum local `a l’instant t .Mais on v´erifie facilement que les intervalles I s et I t associ´es `a deux instants s < t sont disjoints si le mouvement brownien d´epasse max( B s , B t ) pendant l’intervalle [ s, t ]et emboˆıt´es dans le cas contraire. Ce fait est une obstruction au fait que (min( U t , V t )) t ∈ R soit un processus de Poisson ponctuel puisqu’il poss`ede une m´emoire.Dans la suite, nous allons d´ecrire la loi de l’ensemble M a,b = { t ∈ R : U t ≥ a ; V t ≥ b } pour a > b > a, b ). Nous montrons que les dur´ees entre les instants successifs de M a,b formentdes variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi, et nous d´ecrirons cette loi.Une m´ethode pour montrer l’ind´ependance et l’´equidistribution des dur´ees consiste `arelier M a,b au ferm´e r´eg´en´eratif R a = { t ∈ R + : B t = max s ∈ [( t − a ) + ,t ] B s } . Inversement,nous utilisons des renseignements obtenus directement sur M a,b pour d´ecrire la mesurede L´evy d’un subordinateur dont l’image ferm´ee est le ferm´e r´eg´en´eratif R a .Signalons que dans [10], J. Neveu et J. Pitman ont obtenu des r´esultats similairessur les extrema de profondeur sup´erieure ou ´egale `a h fix´e, appel´es ≪ h -extrema ≫ parles auteurs. Avec nos notations, si t est un instant de maximum local, sa profondeur estla plus petite des quantit´es B t − min s ∈ [ t − U t ,t ] B s et B t − min s ∈ [ t,t + V t ] B s . Pour un minimum local, la d´efinition est sym´etrique.
Pour tous r´eels s < t , notons ρ ( s, t ) le plus petit instant de [ s, t ] r´ealisant le maximumde B sur [ s, t ] et introduisons les d´enivellations `a gauche et `a droite correspondantes : G s,t = B ρ ( s,t ) − B s et D s,t = B ρ ( s,t ) − B t Ces variables al´eatoires sont mesurables pour la tribu F s,t engendr´ee par les accroisse-ments du mouvement brownien entre s et t . Leur utilisation est rendue commode dufait que les tribus F s,t associ´ees `a des intervalles d’int´erieurs deux `a deux disjoints sontind´ependantes.L’ind´ependance permet de montrer facilement le r´esultat classique ci-dessous, quiconstitue le lemme 13.15 de [6]. Lemme 1 (Comparaison des maxima locaux)
Preque sˆurement, les valeurs desmaxima locaux de B sont toutes diff´erentes. B sur un segment fix´e non r´eduit `a unpoint n’est pas atteint aux extr´emit´es, il est donc r´ealis´e en un unique point int´erieur.Le r´esultat ci-dessous constitue la brique ´el´ementaire des calculs ult´erieurs. Proposition 2
Soient s < t deux r´eels. Le triplet ( ρ ( s, t ) , G s,t , D s,t ) a mˆeme loi que ( s cos Θ + t sin Θ , √ X √ t − s sin Θ , √ Y √ t − s cos Θ) o`u Θ , X et Y sont des variables al´eatoires ind´ependantes, Θ de loi uniforme sur [0 , π/ , X et Y de loi exponentielle de param`etre 1. D´emonstration. Pour d´emontrer ce r´esultat, on peut se limiter au cas o`u s = 0 parstationnarit´e des accroissements. Mais en notant S t = max { B s ; s ∈ [0 , t ] } , on a G ,t = S t et D ,t = S t − B t . La densit´e du triplet ( ρ (0 , t ) , S t , B t ) est connue (voir [7] ou le lemme 4de [8] ou la g´en´eralisation dans [3]) : en tout ( r, a, b ) tel que 0 < r < t et a > max(0 , b ),elle vaut a ( a − b ) πr / ( t − r ) / exp (cid:16) − a r (cid:17) exp (cid:16) − ( a − b ) t − r ) (cid:17) . Cela montre que ρ (0 , t ) suit la loi arcsinus sur l’intervalle [0 , t ] et que conditionnellement`a ρ t = r , les variables al´eatoires S t r et ( S t − B t ) t − r ) sont ind´ependantes de loi exponentiellede param`etre 1. (cid:3) Corollaire 3
Soient s < t deux r´eels. Quels que soient α, β ≥ , E h exp (cid:16) − αG s,t + βD s,t (cid:17)i = 1 α + β + αβ (cid:16) α √ α + β √ β (cid:17) . D´emonstration. Utilisons l’identit´e en loi de la proposition. En conditionnant par rap-port `a Θ, et en effectuant le changement de variable t = tan θ , on obtient E h exp (cid:16) − αG , + βD , (cid:17)i = E (cid:2) exp( − αX sin Θ) exp( − βY cos Θ) (cid:3) = E h
11 + α sin Θ ×
11 + β cos Θ i = 2 π Z π/ dθ (1 + α sin θ )(1 + β cos θ )= 2 π Z ∞ dt (1 + t )(1 + αt t )(1 + β t )= 2 π Z ∞ (1 + t ) dt (cid:0) α ) t (cid:1)(cid:0) (1 + β ) + t (cid:1) On remarque ensuite que α α ) t + β (1 + β ) + t = ( α + β + αβ )(1 + t ) (cid:0) α ) t (cid:1)(cid:0) β + t (cid:1) , pour en d´eduire la formule ci-dessus. (cid:3) Application `a l’´etude de M a,b pour a ≥ b > : fonctionsde corr´elation Soient a ≥ b >
0. Nous allons d´ecrire la mesure de comptage N a,b associ´ee `a M a,b :pour tout bor´elien A de R , N a,b ( A ) = Card( M a,b ∩ A ). Commen¸cons par quelquesremarques simples. Remarque 4 (Propri´et´es simples de N a,b )
1. Deux points de M a,b ne peuvent pas ˆetre `a une distance inf´erieure `a b . Parcons´equent, si le diam`etre de A est inf´erieur `a b , N a,b ( A ) vaut ou , suivantque le maximum de B sur A ait ou non des port´ees sup´erieures ou ´egales `a a et b .2. Comme la loi de M a,b est invariante par translation, la mesure A E [ N a,b ( A )] est un multiple de la mesure de Lebesgue.3. La variable al´eatoire N a,b ( A ) ne d´epend que des accroissements du mouvementbrownien sur l’ensemble A + [ − a, b ] . A cause de l’ind´ependance des accroissementsdu mouvement brownien, les variables al´eatoires comptant les points de M a,b dansdes parties distantes d’au moins a + b sont ind´ependantes. Nous allons d´emontrer le r´esultat suivant
Th´eor`eme 5
Le processus ponctuel M a,b poss`ede des fonctions de corr´elation : pourtout entier n ≥ , E [ N a,b ( dt ) · · · N a,b ( dt n )] = f n ( t , . . . , t n ) dt · · · dt n , o`u f n : R n → R est la fonction sym´etrique de n variables r´eelles d´efinie par f n ( t , . . . , t n ) = 1 π √ ab n − Y k =1 h a,b ( t k +1 − t k ) . pour ( t , . . . , t n ) tel que t ≤ . . . ≤ t n , avec h a,b ( r ) = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) r ≤ b πr q r − bb si b ≤ r ≤ a πr (cid:16)q r − bb + q r − aa (cid:17) si a ≤ r ≤ a + b π √ ab si r ≥ a + b D´emonstration. Soit t ∈ R . Pour tout ǫ ∈ ]0 , b [, l’intervalle [ t, t + ǫ ] contient au plus unpoint de M a,b et ρ ( t − a, t + b + ǫ ) ∈ [ t, t + ǫ ] = ⇒ N a,b ([ t, t + ǫ ]) = 1 = ⇒ ρ ( t − a + ǫ, t + b ) ∈ [ t, t + ǫ ] . Ces implications fournissent un encadrement de N a,b ([ t, t + ǫ ]), mais comme cet enca-drement est lourd `a manipuler, nous ´ecrirons de fa¸con heuristique N a,b ( dt ) = 1 ⇐⇒ ρ ( t − a, t + b ) ∈ dt, d’o`u E [ N a,b ( dt )] = dtπ √ ab ,
4e qui donne la fonction de corr´elation pour n = 1.Int´eressons-nous `a pr´esent au cas o`u n ≥
2. Soient t < . . . < t n .Si t k +1 − t k < b pour un certain k ∈ [1 . . . n − N a,b ( dt k ) N a,b ( dt k +1 ) = 0 et h a,b ( t k +1 − t k ) = 0, et le r´esultat est ´evident.Si t k +1 − t k > a + b pour un certain k ∈ [1 . . . n − N a,b ( dt ) · · · N a,b ( dt k ) estind´ependante de N a,b ( dt k +1 ) · · · N a,b ( dt n ) d’o`u E [ N a,b ( dt ) · · · N a,b ( dt n )] = E [ N a,b ( dt ) · · · N a,b ( dt k )] E [ N a,b ( dt k +1 ) · · · N a,b ( dt n )] . Mais on a aussi f n ( t , . . . , t n ) = f k ( t , . . . , t k ) f n − k ( t k +1 , . . . , t n )grˆace au fait que h a,b ( t k +1 − t k ) est ´egal `a l’intensit´e π √ ab du processus ponctuel.Ce raisonnement montre qu’on peut donc se limiter au cas o`u b ≤ t k +1 − t k ≤ a + b pour tout k ∈ [1 . . . n − s < t tels que la diff´erence r = t − s , le cas g´en´eral ne diff`erant que par la lourdeur desexpressions.Si b ≤ t − s ≤ a , alors s − a ≤ t − a ≤ s ≤ s + b ≤ t ≤ t + b . Donc E [ N a,b ( ds ) N a,b ( dt )] = P [ ρ ( s − a, s + b ) ∈ ds ; ρ ( t − a, t + b ) ∈ dt ]= P [ ρ ( s − a, s + b ) ∈ ds ; D s − a,s + b < G s + b,t + b ; ρ ( s + b, t + b ) ∈ dt ]Conditionnellement `a ( ρ ( s − a, s + b ) , ρ ( s + b, t + b )) = ( s, t ) les variables al´eatoires Y = D s − a,s + b / b et X = G s + b,t + b / r − b ) sont ind´ependantes et de loi exponentielle deparam`etre 1 et la probabilit´e pour que ( r − b ) X > bY vaut donc ( r − b ) /r . Donc E [ N a,b ( ds ) N a,b ( dt )] = dsπ √ ab dtπ p ( r − b ) b r − br = dsπ √ ab πr r r − bb dt. Si a ≤ t − s ≤ a + b , alors s − a ≤ s ≤ t − a ≤ s + b ≤ t ≤ t + b . En conditionnantpar rapport `a F t − a,s + b , on trouve E [ N a,b ( ds ) N a,b ( dt )] = P [ ρ ( s − a, s + b ) ∈ ds ; ρ ( t − a, t + b ) ∈ dt ]= P [ ρ ( s − a, t − a ) ∈ ds ; D s − a,t − a > G t − a,s + b ; D t − a,s + b < G s + b,t + b ; ρ ( s + b, t + b ) ∈ dt ]= dsπ p a ( r − a ) × dtπ p b ( r − b ) E h exp (cid:16) − G t − a,s + b r − a ) − D t − a,s + b r − b ) (cid:17)i . Mais par changement d’´echelle, E h exp (cid:16) − G t − a,s + b r − a ) − D t − a,s + b r − b ) (cid:17)i = E h exp (cid:16) − αG , + βD , (cid:17)i avec α = a + b − rr − a , β = a + b − rr − b . α = br − a , β = ar − b ,α + β + αβ = (1 + α )(1 + β ) − ab − ( r − a )( r − b )( r − a )( r − b ) = r ( a + b − r )( r − a )( r − b ) , on a donc d’apr`es le corollaire E h exp (cid:16) − αG , + βD , (cid:17)i = ( r − a )( r − b ) r ( a + b − r ) (cid:16) a + b − r p b ( r − a ) + a + b − r p a ( r − b ) (cid:17) = p ( r − a )( r − b ) r √ ab ( p a ( r − b ) + p b ( r − a )) , d’o`u le r´esultat. (cid:3) Remarque 6 (Etude du maximum de la fonction h a,b ) Si a ≤ b , la fonction h a,b est major´ee par sa limite en + ∞ . Autrement dit, laprobabilit´e pour qu’il y ait un point de M a,b au voisinage d’un instant t sachant que s ∈ M a,b est maximum pour | t − s | ≥ a + b : les points de M a,b ≪ se repoussent ≫ .En revanche, si a > b , la fonction h a,b poss`ede un maximum global strict en b :la probabilit´e pour qu’il y ait un point de M a,b au voisinage d’un instant t sachant que s ∈ M a,b est maximum pour | t − s | = 2 b . D´emonstration. On v´erifie facilement que la fonction r p a ( r − b ) + p b ( r − a ) estconcave sur [ a, + ∞ [, que sa valeur en a + b est a + b et que sa d´eriv´ee en a + b vaut 1. Parcons´equent, pour tout r ∈ [ a, + ∞ [, p a ( r − b )+ p b ( r − a ) ≤ r , d’o`u h a,b ( r ) ≤ / ( π √ ab ).Par ailleurs, on v´erifie facilement que la fonction r r − p ( r − b ) est strictementcroissante sur [ b, b ], strictement d´ecroissante sur [2 b, + ∞ [, si bien que le maximumde π √ bh a,b sur [ b, a ] est major´e par 1 / √ b , avec ´egalit´e lorsque a ≥ b . Pour que cemaximum exc`ede 1 / √ a , il faut et il suffit que a > b . (cid:3) On peut se demander si le processus ponctuel M a,b est d´eterminantal, comme parexemple l’ensemble des z´eros d’une s´erie enti`ere `a coefficients ind´ependants de loi N (0 , Remarque 7
Le processus ponctuel M a,b n’est pas d´eterminantal : on ne peut pas trou-ver d’application sym´etrique K de R dans R tel que les fonctions de corr´elation soientdonn´ees par f n ( t , . . . , t n ) = det (cid:0) K ( t i , t j ) (cid:1) ≤ i,j ≤ n . D´emonstration. En effet, si une telle application K existait, elle devrait v´erifier pourtout t ∈ R K ( t, t ) = f ( t ) = c avec c = 1 π √ ab et pour tout s, t ∈ R c − K ( s, t ) = f ( s, t )Mais f n ( t , . . . , t n ) > t , . . . , t n sont `a distance > b les uns des autres.On aurait donc K (0 , b ) = ξc , K ( b, b ) = ηc , K (0 , b ) = ζc avec | ξ | = | η | = 1 et | ζ | < f (0 , b, b ) = c (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ξ ζξ ηζ η (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = − c (1 − ξηζ + ζ ) < , ce qui est absurde. (cid:3) Ind´ependance et loi des dur´ees entre les points de M a,b La forme des fonctions de corr´elation, et plus pr´ecis´ement le fait que la fonction decorr´elation `a n points se factorise en f n ( t , . . . , t n ) = c h ( t − t ) · · · h ( t n − t n − ) pour t < . . . < t n permet de montrer que les dur´ees successives entre les instants de M a,b sont ind´ependantes et de mˆeme loi. Ces instants forment un processus de renouvellementstationnaire, comme le processus des h -extrema introduit par J. Neveu et J. Pitmandans [10]. Mais la loi des dur´ees entre les instants successifs de M a,b est plus compliqu´eeque la loi des dur´ees entre les h -extrema successifs, qui a pour transform´ee de Laplace θ / ch( h √ θ ). Th´eor`eme 8 (Loi de M a,b ) Notons . . . < T − < T < T < T < . . . les instants successifs de M a,b avec T ≤ < T .Alors– Les dur´ees . . . , T − − T − , T − T − , T − T , T − T , . . . sont ind´ependantes, demˆeme loi et forment une suite ind´ependante du couple ( T , T ) .– La dur´ee T − T poss`ede une densit´e donn´ee par g a,b ( r ) = ∞ X n =1 ( − n − h ∗ na,b ( r ) o`u h a,b est la fonction donn´ee dans le th´eor`eme 5.– La variable ( T , T ) poss`ede une densit´e donn´ee par f a,b ( t , t ) = I t < 7n utilisant le fait que 0 = 1, 0 m = 0 pour m ≥ 1, et la formule du binˆome, on obtient : I [ T ∈ I ; T ∈ I ] = (1 − N ( J ) N ( I )(1 − N ( J ) N ( I )= X k,l ∈ N ( − k + l (cid:18) N ( J ) k (cid:19) N ( I ) (cid:18) N ( J ) l (cid:19) N ( I )= X k,l ∈ N ( − k + l Card(( M a,b ) k + l +2 ∩ C k,l ) , avec C k,l = D k + l +2 ∩ J k × I × J l × I . En passant aux esp´erances, on obtient donc P [ T ∈ I ; T ∈ I ] = X k,l ∈ N ( − k + l e k,l avec e k,l = E [Card(( M a,b ) k + l +2 ∩ C k,l ]= Z C k,l f k + l +2 ( u , . . . , u k , t , v , . . . , v l , t ) du · · · du k dt dv · · · dv l dt = Z I × I (cid:0) Z
L/b ) + 1 si J est un intervalle de longueur L et grˆace au fait que h est`a support dans [ b, + ∞ [.2. D´eterminons maintenant la loi du 2 n -uplet ( T − n +1 , . . . , T , T , . . . , T n ).Soient I − n +1 , . . . , I , I , . . . , I n des intervalles de R , non enchev´etr´es, rang´es danscet ordre tels que 0 majore I et minore I . Notons m la borne inf´erieure de I − n +1 etsupposons que I − n +1 est de longueur < b . Dans ce cas, I − n +1 contient au plus un pointde M a,b , si bien que l’´ev´enement[ ∀ k ∈ [ − n + 1 . . . n ] , T k ∈ I k ] . signifie que T − n +1 , . . . , T n sont les instants successifs de M a,b apr`es m . Par stationnarit´ede M a,b , cet ´ev´enement a pour probabilit´e P [ ∀ k ∈ [1 . . . n ] , T k ∈ J k ] = Z J ×···× J n f ( s ) g ( s − s ) · · · g ( s n − s n − ) ds · · · ds n avec J k = I k − n − m pour tout k ∈ [1 . . . n ]. Mais J ⊂ [0 , b ], d’o`u f ( s ) = c pour tout s ∈ J . En effectuant le changement de variables s k = t k − n − m , on obtient donc P [ ∀ k ∈ [ − n + 1 . . . n ] , T k ∈ I k ] = Z I − n +1 ×···× I n c Y | k |≤ n − g ( t k +1 − t k ) dt − n +1 · · · dt n . Comme g est nulle sur R − , on en d´eduit que ( T − n +1 , . . . , T n ) admet pour densit´e( t − n +1 , . . . , t n ) I t < L’invariance de la loi de M a,b par translation permet de d´eduire facile-ment la densit´e de ( T , T ) de celle de T . En effet, pour t < < t , P [ T ≤ t ; T > t ] = P [ M a,b ∩ ] t , t ] = ∅ ] = P [ M a,b ∩ ]0 , t − t ] = ∅ ] = P [ T > t − t ] . Dans la suite, nous allons d´emontrer autrement l’ind´ependance des dur´ees entre lespoints successifs de M a,b . Pour cela, nous allons nous int´eresser `a l’ensemble M a, = { t ∈ R : U t ≥ a } des instants qui sont des records depuis une dur´ee au moins ´egale `a a . L’´etude de cet ensemble qu’on pourrait qualifier de ≪ ferm´e stationnaire r´eg´en´eratif ≫ se ram`ene `a celle du ferm´e r´eg´en´eratif R a = { t ∈ R + : U t ≥ min( t, a ) } . R a Dans cette partie, nous notons A at = max { B s ; s ∈ [( t − a ) + , t ] } pour tout t ∈ R + , sibien que R a = { t ∈ R + : A at = B t } . Pour ne pas alourdir les notations, nous omettronssouvent l’indice a lorsqu’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e. Proposition 9 Le ferm´e R a est r´eg´en´eratif dans la filtration naturelle de ( B t ) t ∈ R + ,not´ee ( F Bt ) t ∈ R + . R a est l’ensemble des z´eros de ( A t − B t ) t ∈ R + , on en d´eduitque R a est pr´evisible (donc progressif) dans la filtration naturelle de B .Soient r > D r = inf( R a ∩ ] r, + ∞ [). Notons B ′ t = B D r + t − B D r , A ′ t = max { B ′ s ; s ∈ [( t − a ) + , t ] } pour tout t ∈ R + et R ′ a = { t ∈ R + : A ′ t = B ′ t } . Alors pour tout r ≥ D r + t ∈ R a ⇐⇒ B D r + t = max { B s ; s ∈ [( D r + t − a ) + , D r + t ] } Mais le maximum de B sur l’intervalle [( D r + t − a ) + , D r + t ] est aussi le maximum de B surl’intervalle [ D r + ( t − a ) + , D r + t ]. En effet, si t ≤ a , alors ( D r − a ) + ≤ ( D r + t − a ) + ≤ D r donc B D r = max { B s ; s ∈ [( D r + t − a ) + , D r ] } ; si t ≥ a , il n’y a rien `a prouver. Donc D r + t ∈ R a ⇐⇒ B ′ t = max { B ′ s ; s ∈ [( t − a ) + , + t ] } ce qui montre que ( R a − D r ) + = R ′ a est ind´ependant de F BD r et de mˆeme loi que R a . (cid:3) Proposition 10 (Propri´et´es du processus ( A at ) t ∈ R + )1. Le processus ( A at ) t ∈ R + est continu et `a variation localement born´ee.2. La d´ecomposition ( A at ) t ∈ R + en somme d’un processus croissant et d’un processusd´ecroissant s’´ecrit A at = Z t I [ A as = B s ] dA as + Z t I [ A as = B s − a ] dA as . 3. Le processus L a = R · I [ A as = B s ] dA as est le temps local sym´etrique en de la semi-martingale ( A at − B t ) t ∈ R + . D´emonstration. La d´emonstration comporte plusieurs ´etapes.La continuit´e du processus ( A t ) t ∈ R + est ´evidente.L’ensemble des instants t tels que A t > B t est un ouvert de R + et le processus( A t ) t ∈ R + est d´ecroissant sur chaque composante connexe de cet ouvert. En effet, si A t > B t , alors par continuit´e de B , A t = max { B s ; s ∈ [( t − a ) + , t ] } au voisinage de t . De mˆeme, l’ensemble des instants t tels que A t > B ( t − a ) + est un ouvert de R + et leprocessus ( A t ) t ∈ R + est croissant sur chaque composante connexe de cet ouvert.D´efinissons une suite croissante de temps d’arrˆet ( T n ) n ∈ N par T = 0 et T n +1 = inf { t > T n : A t = B ( t − a ) + } .T n +2 = inf { t ≥ T n +1 : A t = B t } . D’apr`es les remarques pr´ec´edentes, le processus A est croissant sur chaque intervalle[ T n , T n +1 ], et d´ecroissant sur chaque intervalle [ T n +1 , T n +2 ]. Par ailleurs, presquesˆurement sur l’´ev´enement [ T n < ∞ ], pour tout t ∈ ] T n , T n + a ] A t ≥ max { B s ; s ∈ [ T n , t ] } > B T n = A T n ≥ B ( t − a ) + ce qui entraˆıne que T n +1 ≥ T n + a . Par cons´equent T n → + ∞ quand n → + ∞ . Ainsi,le processus A est monotone par morceaux.L’intersection des ferm´es { t ∈ R + : A t = B t } et { t ∈ R + : A t = B ( t − a ) + } est au plusd´enombrable : elle est contenue dans l’ensemble des instants T n et mˆeme dans l’ensembledes instants de la forme T n , puisque l’´egalit´e A T n +1 = B T n +1 entraˆıne T n +2 = T n +1 .10omme le processus ( A t ) t ∈ R + est constant sur tout intervalle o`u A t est diff´erent de B t et B t − a , il se d´ecompose sous la forme A t = Z t I [ A s = B s ] dA s + Z t I [ A s = B s − a ] dA s . Le temps local sym´etrique en 0 de la semi-martingale ( A t − B t ) t ∈ R + est donn´e parla formule de Tanaka A t − B t = A − B + Z t sgn( A s − B s ) d ( A s − B s ) + L t , avec la convention sgn(0) = 0. Comme pour tout s > P [ A s = B s ] = 0, l’ensembledes s ∈ R + tels que A s = B s est presque sˆurement de mesure nulle. En utilisant lad´ecomposition du processus ( A t ) t ∈ R + d´emontr´ee plus haut, on obtient A t − B t = Z t I [ A s = B ( s − a )+ ] dA s − B t + L t , d’o`u par diff´erence, L t = Z t I [ A s = B s ] dA s , ce qui termine la d´emonstration. (cid:3) Remarque 11 Presque sˆurement, l’intersection des ferm´es { t ∈ R + : A at = B t } et { t ∈ R + : A at = B ( t − a ) + } est r´eduite `a { } . Bien que ce r´esultat ne soit pas utile pour la suite, nous donnons une d´emonstration,qui utilise la fragmentation en intervalles associ´ee `a l’excursion brownienne, (voir [2]).D´emonstration. Grˆace `a la propri´et´e de Markov, il suffit de montrer que presquesˆurement, T n’appartient pas `a { t ∈ R + : A t = B ( t − a ) + } .Notons ǫ la premi`ere excursion de longueur ≥ a du mouvement brownien r´efl´echi( S t − B t ) t ∈ R + , Λ sa longueur et e l’excursion brownienne de longueur 1 obtenue parchangement d’´echelle `a partir de ǫ . Les variables al´eatoires Λ et e sont ind´ependantes,et P [Λ > x ] = p a/x pour tout x ≥ a . En particulier Λ > a presque sˆurement.L’excursion ǫ d´ebute `a l’instant T − a et finit apr`es l’instant T . Plus pr´ecis´ement,regardons la fragmentation en intervalles associ´ee `a l’excursion ǫ : pour tout h > F h la collection des intervalles d’excursions de ( S t − B t ) t ∈ R + au-dessus de h contenues dans l’excursion ǫ . Alors T est la fin du premier intervalle de longueur > a aumoment o`u celui-ci se casse en deux intervalles de longueur ≤ a . Pour que A T = B T − a , ilfaudrait que la fragmentation associ´ee `a l’excursion e produise un intervalle de longueurexactement ´egale `a a/ Λ.Mais si l’on choisit U uniform´ement dans [0 , 1] et ind´ependamment de e , on saitque la longueur de l’intervalle contenant U au cours de la fragmentation ´evolue `a unchangement de temps pr`es comme e − ξ , o`u ξ est un subordinateur. Le subordinateur ξ ne d´epend que de e et de U et est donc ind´ependant de Λ. Comme il est sans d´erive, P [ ∃ t ∈ R + : e − ξ t = a/ Λ] = 0, d’o`u P [ B T = B T − a ] = 0. (cid:3) On sait que tout ferm´e r´eg´en´eratif parfait est l’image ferm´ee d’un subordinateur,unique `a changement de temps lin´eaire pr`es : voir le th´eor`eme 2.1 de [1], d´emontr´e dans11’article [9] de B. Maisonneuve. Une fa¸con d’obtenir le subordinateur est de construireun temps local associ´e au ferm´e r´eg´en´eratif et de prendre son inverse. Nous allons voirque le temps local L a fait l’affaire, bien que qu’il soit d´efini comme temps local de lasemimartingale A a − B . Proposition 12 L’inverse continu `a droite du processus L a = R t I [ A as = B s ] dA as , d´efinipar σ al = inf { t ≥ L at > l } est un subordinateur dont l’image ferm´ee est R a . D´emonstration. L’image ferm´ee de σ a est ´egale au support de la mesure de Stieltjesassoci´ee `a L , qui est inclus dans R a = { t ∈ R + : A t = B t } . A l’aide de la propri´et´e fortede Markov, on montre que pour tout rationnel r > 0, l’instant D r = inf( R a ∩ ] r, + ∞ [)est (presque sˆurement) un instant de croissance des processus A et L , donc appartient`a l’image de σ a . Comme R a est d’int´erieur vide, tout instant de R a peut ˆetre approch´epar un instant de la forme D r , si bien que R a est contenu dans l’image ferm´ee de σ a .Comme L t ≥ A t ≥ B t pour tout t ∈ R + et comme presque sˆurement, les trajectoiresbrowniennes ne sont pas born´ees, le processus croissant L tend vers ∞ , si bien que lestemps d’arrˆet σ al sont finis presque sˆurement. Fixons l > t ≥ B ′ t = B σ al + t − B σ al ,A ′ t = max { B ′ s ; s ∈ [( t − a ) + , t ] } L ′ t = Z t I [ A ′ s = B ′ s ] dA ′ s . Comme dans la proposition 1, on montre que pour tout t ≥ A σ al + t = B σ al + A ′ t grˆace`a l’´egalit´e A σ al = B σ al . On en d´eduit que L σ al + t − A σ al = Z t I [ A σal + s = B σal + s ] dA σ al + s = Z t I [ A ′ s = B ′ s ] dA ′ s = L ′ t . Par cons´equent, le processus σ al + · − σ al est l’inverse continu `a droite de L ′ . Ce processusest donc ind´ependant de F Bσ al et a mˆeme loi que σ a . (cid:3) Nous d´ecrirons plus loin la mesure de L´evy du subordinateur σ a . Donnons d´ej`a unr´esultat imm´ediat. Proposition 13 Soit ν a la mesure de L´evy du subordinateur σ a . Pour tout b ∈ ]0 , a ] , ν a [ b, ∞ [= r πb . D´emonstration. On v´erifie facilement que le processus A co¨ıncide avec le processus S d´efini par S t = max { B s ; s ∈ [0 , t ] } jusqu’`a l’instant T = inf { t ≥ a : A t = B t − a } ,qui correspond au premier palier de longueur ≥ a des deux processus. Leurs inversescontinus `a droite co¨ıncident donc jusqu’au premier saut de taille ≥ a , qui a lieu au mˆememoment pour les deux. Donc les mesures de L´evy de ces deux subordinateurs donnentla mˆeme mesure `a l’intervalle [ b, + ∞ [ pour tout b ∈ ]0 , a ], puisque le premier saut dehauteur ≥ b d’un subordinateur de mesure de L´evy ν se produit au bout d’un tempsexponentiel de param`etre ν [ b, + ∞ [. (cid:3) Lien entre R a et M a,b pour a ≥ b > Supposons que a ≥ b > 0. Sur l’´ev´enement presque sˆur o`u les maxima locaux sont `ades hauteurs toutes diff´erentes (voir proposition 1), on v´erifie facilement l’´equivalencesuivante, valable pour tout t > a : t ∈ M a,b ⇐⇒ R a ∩ [ t, t + b [= { t } . Par cons´equent la trace de M a,b sur ] a, + ∞ [ est l’ensemble des d´ebuts des intervalles delongueur ≥ b dans l’ouvert R ca ∩ ] a, + ∞ [.Ces intervalles correspondent aux sauts de hauteur ≥ b du subordinateur σ a apr`es lefranchissement de a . Plus pr´ecis´ement, les ´el´ements de M a,b ∩ ] a, + ∞ [ sont les instants T ′ n = σ a ( R n ) − pour n ∈ N ∗ o`u ( R n ) n ∈ N est la suite d´efinie par R = inf { l ≥ σ al > a } et R n = inf { l > R n − : ∆ σ al ≥ b } . Comme le processus des sauts (∆ σ al ) l ≥ est unprocessus de Poisson ponctuel, on en d´eduit que les dur´ees T ′ − T ′ , T ′ − T ′ , . . . formentune suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi, ind´ependante de T ′ .Soit ν a la mesure de L´evy du subordinateur σ a . On peut exprimer la transform´ee deLaplace de T ′ − T ′ `a l’aide ν a en ´ecrivant T ′ − T ′ = ∆ σ aR + lim ǫ → X R 0, exp[ − θ ( T ′ − T ′ )] estla limite quand ǫ → Z R ∗ + e − θx ν a ( dx | [ b, ∞ [) × ∞ X n =1 ν a [ b, ∞ [ ν a [ ǫ, ∞ [ (cid:16) ν a [ ǫ, b [ ν a [ ǫ, ∞ [ (cid:17) n − (cid:16) Z R ∗ + e − θx ν a ( dx | [ ǫ, b [) (cid:17) n − = Z [ b, ∞ [ e − θx ν a ( dx ) 1 ν a [ ǫ, ∞ [ ∞ X n =1 (cid:16) R [ ǫ,b [ e − θx ν a ( dx ) ν a [ ǫ, ∞ [ (cid:17) n − = R [ b, ∞ [ e − θx ν a ( dx ) ν a [ ǫ, ∞ [ − R [ ǫ,b [ e − θx ν a ( dx ) . Par stationnarit´e des accroissements de B , la loi de M a,b est invariante par transla-tion si bien que la suite ( T ′ n − a ) n ≥ a mˆeme loi que la suite ( T n ) n ≥ o`u T < T < . . . sont les instants successifs de M a,b ∩ R ∗ + . On peut donc ´enoncer le r´esultat suivant. Proposition 14 Soient a ≥ b > . Notons T < T < . . . les instants successifs de M a,b ∩ R ∗ + . Les dur´ees T − T , T − T , . . . sont ind´ependantes entre elles et avec T ,de mˆeme loi ; leur transform´ee de Laplace est donn´ee par E [ e − θ ( T − T ) ] = R [ b, ∞ [ e − θx ν a ( dx ) R R ∗ + (1 − I [ x s > dsπ √ ab = E [ N a,b ( ds )] = ∞ X m =1 P [ T m ∈ ds ] = ∞ X m =1 ( µ a,b ∗ ν ∗ ( m − a,b )( ds )et dsπ √ ab h a,b ( t − s ) dt = E [ N a,b ( ds ) N a,b ( dt )] = ∞ X m =1 ∞ X n =1 P [ T m ∈ ds ; T m + n ∈ dt ]= ∞ X m =1 ∞ X n =1 ( µ a,b ∗ ν ∗ ( m − a,b )( ds ) ν ∗ na,b ( dt − s )d’o`u h a,b ( r ) dr = ∞ X n =1 ν ∗ na,b ( dr )On en d´eduit les ´egalit´es suivantes pour les transform´ees de Laplace1 π √ abθ = L µ a,b ( θ )1 − L ν a,b ( θ ) L h a,b ( θ ) = L ν a,b ( θ )1 − L ν a,b ( θ )On retrouve ainsi les lois ν a,b et µ a,b d´ecrites dans le th´eor`eme 8 par l’interm´ediaire deleur transform´ee de Laplace. σ a Dans toute cette partie, on ´etudie la fonction G a d´efinie par G a ( r ) = ν a ] r, ∞ [ pour r > G a ( r ) = 0 pour r ≤ G a En utilisant les ´egalit´es ci-dessus et la proposition 14, on obtient lorsque a ≥ b > L h a,b ( θ ) = L ν a,b ( θ )1 − L ν a,b ( θ ) = R [ b, ∞ [ e − θx ν a ( dx ) R R ∗ + (1 − e − θx ) ν a ( dx ) . Comme Z R ∗ + (1 − e − θx ) ν a ( dx ) = Z ∞ θ e − θr G a ( r ) dr = θ L G a ( θ ) , l’´egalit´e pr´ec´edente s’´ecrit aussi L h a,b ( θ ) L G a ( θ ) = 1 θ Z [ b, ∞ [ e − θx ν a ( dx ) , h a,b ∗ G a = I R + ∗ ( I [ b, ∞ [ ν a ) . Pour tout x ≥ 0, on a donc Z x h a,b ( y ) G a ( x − y ) dy = G a ( b ) − G a ( x ∨ b ) . (1)Comme h a,b ( y ) = 0 pour y ≤ b , cette ´egalit´e donne la valeur de G a ( x ) pour x ≥ b enfonction de G a ( b ) et des valeurs G a ( z ) pour z ∈ [0 , x − b ]. Comme G a ( x ) = p /πx pourtout x ∈ [0 , a ], G a est connue a fortiori sur [0 , b ], et la relation (1) permet de calculerpar r´ecurrence la valeur de G a sur les intervalles de la forme [ nb, ( n + 1) b ] avec n ∈ N .Les formules deviennent vite compliqu´ees mˆeme si elles se simplifient un peu dans le caso`u b = a .Un autre cas particulier plus int´eressant est le cas limite o`u b → 0. En effet, pourtout b ≤ a , √ bG a ( b ) = √ π et pour tout y > π √ bh a,b ( r ) → ( y ∧ a ) − / quand b → π √ b l’´egalit´e 1 et en faisant tendre b vers 0, on obtient donc parconvergence domin´ee Z x ( y ∧ a ) − / G a ( x − y ) dy = √ π (2)Cette ´egalit´e fournit une expression simple de la transform´ee de Laplace de G a . G a et applications Th´eor`eme 15 La transform´ee de Laplace de G a est donn´ee par L G a ( θ ) = √ πaM (cid:0) − 12 ; 12 ; − θa (cid:1) − o`u M ( a, b, · ) = F ( a, b, · ) est la fonction hyperg´eom´etrique d´efinie par : M ( a, b, x ) = + ∞ X n =0 ( a ) n ( b ) n x n n ! , en notant ( a ) n = a ( a + 1) · · · ( a + n − . D´emonstration. L’´equation 2 ci-dessus entraˆıne im´ediatement l’´egalit´e L G a ( θ ) × Z ∞ ( r ∧ a ) − / e − θr dr = √ πθ . Mais Z ∞ ( r ∧ a ) − / e − θr dr = Z ∞ a a − / e − θr dr + Z a r − / e − θr dr = a − / θ e − θa + + ∞ X n =0 ( − θ ) n n ! a n +1 / n + 1 / a − / θ (cid:16) + ∞ X n =0 ( − θa ) n n ! − + ∞ X n =1 ( − θa ) n ( n − n − / (cid:17) = a − / θ + ∞ X n =0 ( − θa ) n n ! (cid:16) − nn − / (cid:17) = a − / θ M (cid:0) − 12 ; 12 ; − θa (cid:1) , n ∈ N ,1 − nn − / − / n − / − / n (1 / n . ce qui d´emontre le th´eor`eme (cid:3) La transform´ee de Laplace fournit des indications sur le comportement asymptotiquede la queue de G a . En effet, par prolongement analytique, on d´eduit du th´eor`eme 15l’´egalit´e Z ∞ e θr G a ( r ) dr = √ πa M (cid:0) − 12 ; 12 ; θa (cid:1) − pour tout r´eel θ tel que θa < ρ , o`u ρ est l’unique z´ero dans R + de la fonction M ( − ; ; · ).De plus, quand ε → Z ∞ e − εr e ρr/a G a ( r ) dr = √ πa M (cid:0) − 12 ; 12 ; ρ − aε (cid:1) − ∼ √ πaλaε . avec λ = M ( ; ; ρ ). A l’aide du th´eor`eme taub´erien de Hardy ou de Karamata (voir [5]au chapitre XIII), on en d´eduit le r´esultat suivant. Proposition 16 Notons ρ l’unique z´ero dans R + de la fonction M ( − ; ; · ) et λ = ∂∂x M ( − ; ; · )( ρ ) = M ( ; ; ρ ) . Alors quand x → + ∞ , Z x e ρr/a G a ( r ) dr ∼ √ πλ √ a x. On peut s’attendre `a ce que la queue G a soit suffisamment r´eguli`ere pour que e ρr/a G a ( r ) ait une limite quand r → + ∞ , ce qui conduit `a la conjecture suivantesur le comportement asymptotique de la queue de ν a . Conjecture Avec les mˆemes notations que ci-dessus, G a ( r ) ∼ √ πλ √ a e − ρr/a . Cette conjecture est confort´ee par la repr´esentation graphique de ln G donn´ee `a lafin de l’article.De mˆeme, si a ≥ b > T < T < . . . sont les instants successifs de M a,b ∩ R ∗ + ,on peut conjecturer de mˆeme que la variable al´eatoire T − T a une queue (et unedensit´e) `a d´ecroissance exponentielle, puisque d’apr`es la proposition 14, on a pour tout θ > − E [ e − θ ( T − T ) ] = R [0 , ∞ [ (1 − e − θx ) ν a ( dx ) R R ∗ + (1 − I [ x − ρ/a , et il existe uneconstante C ∈ R ∗ + telle que E [ e ( ρa − ε )( T − T ) ] ∼ C/ε quand ǫ → . .3 Expression de G a sous forme de s´erie La transform´ee de Laplace de G a peut ˆetre r´e´ecrite comme suit. L G a ( θ ) = √ πθ (cid:16) Z ∞ r − / e − θr dr + Z ∞ a ( a − / − r − / ) e − θr dr (cid:17) − = √ πθ (cid:16)r πθ + 12 θ Z ∞ a r − / e − θr dr (cid:17) − = r θ (cid:16) √ πθ Z ∞ a r − / e − θr dr (cid:17) − . Pour tout θ suffisamment grand, on a donc L G a ( θ ) = r θ + ∞ X n =0 ( − n (cid:16) √ πθ Z ∞ a r − / e − θr dr (cid:17) n . Remarquons que l’application θ (cid:16) √ πθ Z ∞ a r − / e − θr dr (cid:17) n est la transform´ee de Laplace du produit de convolution de r (2 π ) − I [ r> r − / avec r I [ r>a ] r − / . Mais pour r > a , Z ra dy ( r − y ) / y / = Z ra r yr − y dyy = Z ∞ a/ ( r − a ) √ z dzrz = 2 r r r − aa , grˆace au changement de variable z = y/ ( r − y ) d’o`u 1 /z = r/y − 1. On d´eduit des calculspr´ec´edents une expression de G a . Th´eor`eme 17 Notons u et h ∞ ,a les applications d´efinies par u ( r ) = I [ r> r πr et h ∞ ,a ( r ) = I [ r>a ] πr r r − aa . Alors G a = + ∞ X n =0 ( − n ( u ∗ h ∗ n ∞ ,a ) Remarque. Dans cet ´enonc´e, la notation h ∞ ,a a ´et´e choisie par analogie avec lesnotations du th´eor`eme 5. Cependant nous n’avons pas d’explication `a l’´egalit´e formelle G a = u − u ∗ g ∞ ,a , dans laquelle la convolution par u s’apparente `a une int´egrationfractionnaire. Calcul de G a . Pour tout n ∈ N , u ∗ h ∗ n ∞ ,a est `a support dans [ na, + ∞ [. Pour calculer G a sur un intervalle [0 , N a ] avec N ∈ N , il suffit donc de faire varier n de 0 `a N − r ∈ [0 , a ], G a ( r ) = u ( r ) − u ∗ h ∞ ,a ( r ).Or pour tout r ∈ [ a, + ∞ [, u ∗ h ∞ ,a ( r ) = r πa π Z ra r x − ar − x dxx . 17e changement de variable t = r x − ar − x , soit x = rt + at + 1 ,dxx = (cid:16) rtrt + a − tt + 1 (cid:17) dt = (cid:16) t + 1 − art + a (cid:17) dtt , montre que pour tout r ∈ [ a, + ∞ [, u ∗ h ∞ ,a ( r ) = r πa π Z ∞ (cid:16) t + 1 − art + a (cid:17) dt = r πa (cid:16) − r ar (cid:17) = r πa − r πr . Pour tout r ∈ [ a, a ], on a ainsi G a ( r ) = u ( r ) − ( u ∗ h ∞ ,a )( r ) = 2 r πr − r πa . G et ln G La figure ci-dessous montre le graphe de G , calcul´e `a l’aide de Scilab. Je remercieJ.M. Decauwert pour son aide pr´ecieuse en la mati`ere. Notons que G a se d´eduit de G par changement d’´echelle. Plus pr´ecis´ement, la relation G a ( r ) = G ( r/a ) / √ a d´ecoule del’´egalit´e L G a ( θ ) = √ a L G ( aθ ) par injectivit´e de la transformation de Laplace. Figure 1. — Repr´esentation graphique de G .18a conjecture sur la croissance exponentielle de G a faite plus haut peut se r´e´ecriresous la forme ln G ( r ) + ρr → ln( √ π/λ ) quand r → + ∞ . Il est donc int´eressant de des-siner le graphe de ln G . La figure ci-dessous sugg`ere en effet que la courbe repr´esentantln G poss`ede une asymptote de pente voisine de -0,9. Le graphe a ´et´e limit´e `a l’intervalle[0 , 5] en raison de probl`emes d’instabilit´e num´erique qui apparaissent au-del`a. Figure 1. — Repr´esentation graphique de ln G R´ef´erences [1] Bertoin J., Subordinators : examples and applications , Lectures on ProbabilityTheory and Statistics (Ecole d’´et´e de Saint-Flour), Lecture Notes in Mathematics1717 (1999), p. 1-91.[2] Bertoin J., Self-similar fragmentations , Annales de l’Institut Henri Poincare (B)Probability and Statistics -3, (2002), p. 319-340.[3] Cs´aki E., F¨oldes A., Salminen P., On the joint distribution of the maximum and itslocation for a linear diffusion , Annales de l’Institut Henri Poincar´e - Probabilit´e etStatistiques -2 (1987), p. 179-194.[4] Daley D. J., Vere-Jones, D., An introduction to the theory of point processes - Vol.1 ;elementary theory and methods , Probability and its applications, Springer (2003).[5] Feller W., An introduction to probability theory and its applications , Volume II,Wiley and Sons, (1966). 196] Kallenberg, O., Foundations of Modern Probability , second edition Springer Seriesin Statistics, (2002).[7] Levy P., Processus stochastiques et mouvement brownien , Gauthier-Villars, (1948).[8] Louchard G., Mouvement brownien et valeurs propres du laplacien , Annales del’institut Henri Poincar´e (B) Probabilit´es et Statistiques, -4 (1968), p. 331-342.[9] Maisonneuve B., Ensembles r´eg´en´eratifs, temps locaux et subordinateurs , S´eminairede Probabilit´es V, Lecture Notes in Mathematics , Springer (1971), p. 147-169.[10] Neveu J., Pitman J., Renewal property of the extrema and tree property of theexcursion of a one-dimensional brownian motion. S´eminaire de Probabilit´es XXIII,Lecture Notes in Mathematics , Springer (1989), p. 239-247.[11] Peres Y., Vir´ag B., Zeros of the i.i.d. Gaussian power series : a conformally inva-riant determinantal process , Acta Mathematica -1, Springer (2005), p. 1-35.[12] Tsirelson B., Brownian local minima, random dense countable sets and randomequivalence classes. Electronic Journal of Probability11